مقالات

3.E: المنطق والأدلة الرمزية (تمارين) - الرياضيات


3.1: منطق الاقتراح

1

ضع في اعتبارك العبارة المتعلقة بالحفل ، "إذا كان عيد ميلادك أو سيكون هناك كعكة ، فستكون هناك كعكة".

  1. ترجم البيان أعلاه إلى رموز. اذكر بوضوح أي عبارة هي (P ) وأيها (Q text {.} )
  2. اصنع جدول الحقيقة للبيان.
  3. إذا افترضنا أن العبارة صحيحة ، فماذا (إن وجدت) يمكنك استنتاج ما إذا كانت هناك كعكة؟
  4. إذا افترضنا أن العبارة صحيحة ، فماذا (إذا كان هناك أي شيء) يمكنك استنتاجه إذا لم يكن هناك كعكة؟
  5. لنفترض أنك اكتشفت أن البيان كان كذبة. ماذا يمكنك أن تستنتج؟
حل
  1. (P text {:} ) عيد ميلادك. (Q text {:} ) سيكون هناك كعكة. ((P vee Q) إمب س )
  2. تلميح: يجب أن تحصل على ثلاثة حرف T وواحدة F.
  3. فقط سيكون هناك كعكة.
  4. إنه ليس عيد ميلادك!
  5. إنه عيد ميلادك ، لكن الكعكة كذبة.

يتم فرز هذه الرموز حسب قيمة Unicode الخاصة بها:

  • U + 0305 ̅ الجمع بين الخط العلوي ، يستخدم كاختصار للأرقام القياسية (نظرية الأرقام المطبعية). على سبيل المثال ، يعد استخدام نمط HTML "4̅" اختصارًا للرقم القياسي "SSSS0".
    • Overline هو أيضًا تنسيق نادر الاستخدام للإشارة إلى أرقام Gödel: على سبيل المثال ، يقول "A says B" رقم Gödel لـ "(A ∨ B)".
    • Overline هو أيضًا ملف قديم [على من؟] طريقة للدلالة على النفي ، لا تزال مستخدمة في الإلكترونيات: على سبيل المثال ، "A ∨ B" هي نفسها "¬ (A ∨ B)".

    نادرًا ما يتم دعم العوامل التالية بواسطة الخطوط المثبتة محليًا.

    • U + 27E1 ⟡ ماسي أبيض مقعر
    • U + 27E2 ⟢ WHITE CONCAVE-SIDED DIAMOND WITH LEFTWARDS TICK: مشغل الوسائط لم يكن أبدًا
    • U + 27E3 ⟣ WHITE CONCAVE-SIDED DIAMOND WITH RIGHTWARDS TICK: لن يكون المشغل النموذجي لـ
    • U + 27E4 ⟤ WHITE SQUARE WITH LEFTWARDS TICK: مشغل الوسائط كان دائمًا
    • U + 27E5 ⟥ مربع أبيض مع نقرة RIGHTWARDS: مشغل الوسائط سيكون دائمًا
    • U + 297D ⥽ RIGHT FISH TAIL: تُستخدم أحيانًا للإشارة إلى "العلاقة" ، وتُستخدم أيضًا للدلالة على العلاقات المخصصة المختلفة (على سبيل المثال ، للدلالة على "المشاهدة" في سياق خدعة روسر). يُستخدم خطاف السمك أيضًا كتضمين صارم بواسطة CI لويس ف ⥽ q ≡ ◻ (p → q) ، ماكرو LaTeX المقابل هو Strictif. انظر هنا للحصول على صورة رسومي. يضاف إلى Unicode 3.2.0.
    • U + 2A07 ⨇ اثنان المنطقي والمشغل

    بولندا وألمانيا تحرير

    تحرير اليابان

    غالبًا ما يستخدم الرمز في النص ليعني "النتيجة" أو "الاستنتاج" ، كما هو الحال في "فحصنا ما إذا كان يجب بيع المنتج أم لا" لن نبيعه ". أيضًا ، غالبًا ما يتم استخدام الرمز → للإشارة إلى "تم التغيير إلى" ، كما هو الحال في الجملة "تغير سعر الفائدة. 20٪ مارس → 21٪".


    5 إجابات 5

    سأتبع اقتراح اس سي كلين, المنطق الرياضي (1967) ، حيث لخص في جدول قائمة التعبيرات وترجمتها المحتملة في الرموز (صفحة 64):

    $ A lor B $ هو $ A $ ما لم يكن $ B $ [عادةً] ويكون $ A $ ماعدا $ B $ [عادةً].

    جرب الآن مع التمارين:

    التمرين 3: إذا كانت $ P $ و $ Q $ و $ R $ ترجمات لـ "$ x = y $" و "$ x / z = y / z $" و "$ z = 0 $" ، اكتب ترجمة لـ "if $ x = y $ ، ثم $ x / z = y / z $ باستثناء عندما يكون $ z = 0 $ ”

    سأبدأ من الشرط الرياضي ، مع إعادة كتابته على النحو التالي: $ lnot z = 0 rightarrow (x = y rightarrow x / z = y / z) $ ie $ z = 0 lor (x = y rightarrow x / z = y / z) $.

    لدينا هذا: $ R lor (P rightarrow Q) $ ، أي $ (P rightarrow Q) lor R $.

    يمكننا قراءتها على النحو التالي: "إذا كان $ x = y $ ، فإن $ x / z = y / z $ ، باستثناء عندما يكون $ z = 0 $"

    التمرين 4: إذا كان $ P $ و $ Q $ هما ترجمتا "$ (n-1)! + 1 $ قابل للقسمة على $ n $" و "$ n $ أساسي" ، فاكتب ترجمة لـ "$ (n-1) ! + 1 $ غير قابل للقسمة على $ n $ ، ما لم يكن $ n $ أوليًا "

    الشرط الرياضي هو: [$ (n-1)! + 1 $ قابل للقسمة على $ n $] $ rightarrow $ ($ n $ رئيسي) أي $ lnot [(n-1)! + 1 $ قابل للقسمة بواسطة $ n $] $ lor $ ($ n $ رئيسي).

    لدينا هذا: $ lnot P lor Q $.

    بالنظر إلى "ما لم" تعني "بدون" ، "إن لم يكن" ، فلدينا عدة طرق لترجمة "$ P $ ما لم / باستثناء $ R $". لاحظ أن

    • بدون $ R $ ، يكون $ P $ صحيحًا. يمكننا كتابة "$ sim R to P $".
    • إما $ P $ أو $ R $ صحيح. يمكننا كتابة "$ P $ أو $ R $"
    • إذا فشل $ P $ ، فإن $ R $ هو السبب. يمكننا كتابة "$ sim P to R $"

    علاوة على ذلك ، فإن "$ P to Q $" مكافئ منطقيًا لـ "$ sim P $ أو $ Q $" ، وكذلك "$ sim (P $ و $ sim Q) $"

    لذلك لا تخلط بين ما هو $ P و R $. هم فقط رموز تمثل الافتراضات.

    بالنسبة إلى Ex3 ، حدد ما إذا كان الجزء "$ P to Q $" ب $ S $ وما لم يكن الجزء "$ sim R $" ب $ T $ ، فمن المعتاد كتابة $ sim T إلى S equiv sim ( sim R) to (P to Q) equiv sim (R sim ( sim (P sim Q))) equiv sim (R (P sim Q)) $

    Ex4 مماثل وأكثر وضوحا.

    نعم ، أحيانًا نفسر "$ P $ ما لم $ Q $" كـ $ P equiv sim Q $. هذا يعني أن $ P $ يكون صحيحًا إذا لم يكن $ Q $ صحيحًا والعكس صحيح. لكن هذا يعتمد.

    إذا كان "$ P $ إلا إذا كان $ Q $" يعني "$ P equiv sim Q $" ، فعندئذ عندما يكون $ Q $ صحيحًا ، لا يمكن أن يكون $ P $ صحيحًا ، أو "$ Q to sim P $". دعنا نتحقق من ذلك من أجل Ex3. افترض أن $ z = 0 $ و $ x = y $ ، فنحن نطلب $ x / z = y / z $ خطأ. ومع ذلك ، فإن $ x / z = y / z $ ليس صحيحًا ولا خطأ لأنه غير محدد. و Ex4 ، بالمثل ، نفترض أن $ n $ أولي ، من المتوقع أن $ (n − 1)! + 1 $ غير قابل للقسمة على $ n $ خطأ ، أو $ n vert (n-1)! + 1 $ و هذه هي الحقيقة ، وفي هذه الحالة يمكنك أن تقول "$ P equiv sim Q $".

    في الأمثلة أعلاه ، نرى "ما لم" يمكن أن يكون لها معان مختلفة في سياق مختلف. لكن بالنسبة للمنطق الافتراضى ، ليس لدينا أي سياق. لا أحد يعرف ما يمثله رمز الاقتراح. هذا هو السبب في المنطق الافتراضى ، "ما لم" تعني "إن لم يكن" بدلاً من "إن لم يكن وفقط إذا لم يكن".

    اكتب ترجمة لـ "if $ x = y $ ، ثم $ x / z = y / z $ باستثناء عندما $ z = 0 $".

    يمكن كتابة هذا أيضًا ، "if $ z neq 0 $ ثم (إذا $ x = y $ ، ثم $ x / z = y / z) $".

    باستخدام عامل التضمين ، لدينا

    يشير $ z neq 0 إلى [x = y يشير إلى x / z = y / z] $.

    لكن لا يمكنك استخدام الضمني ، فقط الاستدلال والنفي. حسب التعريف،

    يعني $ A equiv neg [A land neg B] $

    بتطبيق هذا التعريف مرتين ، سيكون لدينا

    $ neg [z neq 0 land [x = y land neg [x / z = y / z]]] $

    والتي يمكن ترجمتها بسهولة إلى تدوينك الخاص كـ

    تحليل مماثل ينطبق على التمرين الآخر. لاحظ أنه ، كما هو مستخدم هنا ، يمكن استبدال "ما لم" و "إلا عندما".

    س))) صح؟ $ endgroup $ & ndash JimmyJackson 23 ديسمبر 2013 الساعة 19:34

    ، ومن ثم يمكننا إضافة دلالات كما نجدها (بما أن $ يعني أن $ لا ينتمي في الواقع إلى منطقنا الرمزي ، فهو اختصار فقط). $ endgroup $ & ndash JimmyJackson 23 ديسمبر 2013 الساعة 20:20

    من فضلك ، لاحظ أن إصدار دوفر من جيه بي روسر, المنطق لعلماء الرياضيات (2008) به (الصفحة 17) في مثال 2.1.3 : $ R $ مقابل "$ z = 0 $".

    تعريفات:

    يستثني: باستثناء أو استثناء

    ما لم: 1) إلا بشرط: تحت أي ظرف آخر غير 2) دون الظروف أو الشروط المصاحبة لذلك

    حل: الخطوة الأولى لتشكيل ترجمتنا هي تجريد العبارة من معناها ، نلاحظ أن بياننا هو من الشكل "$ P rightarrow Q $ إلا عندما $ sim R $". الآن يُترك لنا تفسير ما تعنيه عبارة "إلا متى". من خلال التعريف أعلاه ، يمكننا كتابة "$ P rightarrow Q $ باستثناء الحالة $ sim R $" والتي يمكن تفسيرها بطريقتين "عندما يكون $ sim ( sim R) $ صحيحًا ، فإن $ (P rightarrow Q) $ is true "في الرموز التي تقول" $ sim (R sim (P rightarrow Q)) $ "، أي $ R rightarrow (P rightarrow Q) $. كان بإمكاننا أيضًا تفسير العبارة على أنها "ليست الحالة أن $ sim R $ و $ P rightarrow Q $ كلاهما صحيحان" وهذا يعني ببساطة أن "$ sim ( sim R (P rightarrow Q) )) $ ”. أي $ (P rightarrow Q) rightarrow R $. إذا أخذنا في الاعتبار اقتران كلا التفسيرين أعلاه ، فسيتعين علينا إذن أن نستنتج "$ P rightarrow Q $ إلا عندما يتم ترجمة $ sim R $" كـ "$ (P rightarrow Q) equiv R $ ”.

    هناك طريقة أخرى يمكننا من خلالها ترجمة "$ P rightarrow Q $ إلا عندما يكون $ sim R $" وهي أن نقول "$ sim (P rightarrow Q) $ عندما وفقط عندما $ sim R $" أو "$ P rightarrow Q $ عندما وفقط عندما $ sim ( sim R) $ "في كلتا الحالتين علينا أن نستنتج مرة أخرى" $ (P rightarrow Q) equiv R $ ". يتوافق استنتاجنا أيضًا مع المصدر التالي في الشريحة 114 علاوة على ذلك ، لقد وجدت مصدرًا آخر هنا في الصفحة 157 يشجعنا أيضًا على توخي الحذر عند استخدام كلمة "ما لم". كما هو موضح في المصدر الأول ، يجب أن نميز بين أ قوي "ما لم" و أ ضعيف "ما لم يكن قوي يجب ترجمة "$ P $ ما لم يكن $ Q $" كـ "$ P equiv sim Q $" بينما يتم تفسير النسخة الضعيفة على أنها "$ sim Q rightarrow P $" (كما اقترحه الكثيرون في الإجابات الأخرى). يشرح المؤلف أنه عندما يكون هناك شك ، يجب أن نفترض أن الضعف "ما لم" يتم استخدامه. ومع ذلك ، عند محاولة إثبات الشكل القوي لـ "ما لم" اختار المؤلف الاستعاضة عن "إلا" عن "باستثناء" مما قد يقود المرء إلى الاعتقاد بأن "باستثناء" تعني ضمنيًا "ما لم" كما استنتجت أعلاه.

    ومع ذلك ، هذه مجرد تكهنات من جانبي من المعلومات القليلة التي قدمها أولئك الذين أفترض أنهم يعرفون المزيد عن الموضوع أكثر مني. لا يسعني إلا أن أستنتج من هذا التمرين أن "ما عدا" و "ما لم" يتم إدخالهما في منطقنا بسبب اللغة الإنجليزية الشائعة ، أي أنه في بعض الأحيان لا يكون لدينا خيار سوى التعامل مع الصياغة التي نقدمها لنا. لكن هناك بدائل عديدة لهذه الكلمة تقضي على الغموض ، وبالتالي يجب أن نجتهد في تجنب استخدام كلمة "ما لم" و "ما عدا" لأنها قذرة بسبب طبيعتها.

    لبدء بياننا يقول "$ sim P $ ما لم يكن $ Q $" ، وفي هذه الحالة نعتبر عادةً "إلا" التي يجب تفسيرها على أنها "إذا لم يكن $ Q $ ثم $ sim P $" أو "$ sim Q rightarrow sim P $ "، وهو يعادل" $ P rightarrow Q $ ". (تم شرح السابق بالتفصيل في التمرين 3). ولكن من السياق ، من الواضح أيضًا أن "$ Q rightarrow P $" ، وفي هذه الحالة لدينا "$ P equiv Q $". ومع ذلك ، كقاعدة عامة ، سنفسر دائمًا "$ P $ ما لم يكن $ Q $" على أنه "$ sim Q rightarrow P $" وليس كـ "$ P equiv sim Q $" وهو ما يعادل "$ sim P equiv Q $ ”.

    الآن في ملاحظة جانبية، في سؤالي الأصلي ، زعمت أن $ R rightarrow (P rightarrow Q) $ يعادل $ RP rightarrow Q $. لقد زعمت أيضًا أن $ (P rightarrow Q) rightarrow R $ كان منطقيًا مكافئًا لـ $ Q rightarrow RP $ وهو ما دحضه في جدول الحقيقة أدناه:

    بالإضافة إلى ذلك ، أضفت جدول الحقيقة التالي لتأكيد $ RP rightarrow Q $:


    الاقتراحات والرموز

    تمامًا كما هو الحال في المنطق التقليدي أو المنطق الأرسطي ، فإن هدفنا الرئيسي في المنطق الرمزي هو تحديد صحة الحجج. ولكن نظرًا لأن الحجج تتكون من افتراضات ، ولأننا نحتاج إلى ترميز الحجة أولاً قبل أن نتمكن من تحديد صلاحيتها باستخدام قاعدة معينة ، فنحن بحاجة إلى مناقشة أنواع الافتراضات والرموز المستخدمة في المنطق الرمزي.

    يرجى ملاحظة أن المنطق الرمزي يستخدم فقط البيانات أو الافتراضات التقريرية لأن أي أنواع أخرى من الافتراضات ليست وظيفية ، أي أنها لا يمكن أن تكون إما حقيقية أو خاطئة. على سبيل المثال ، اقتراح الاستفهام "ما اسمك؟" ليست وظيفة الحقيقة لأننا لا نستطيع تخصيص أي قيمة حقيقية لها ، أي أنها لا يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة.

    بطريقة مماثلة ، اقتراح التعجب "يا لها من رحلة مثيرة!" لا يمكن استخدامها في المنطق الرمزي لأننا ، مرة أخرى ، لا نستطيع تخصيص قيمة حقيقية لها. ومن ثم ، مرة أخرى ، يمكننا فقط استخدام القضايا التصريحية في المنطق الرمزي لأنها الأنواع الوحيدة من الافتراضات التي يمكن أن تكون إما صحيحة أو خاطئة. فكر ، على سبيل المثال ، في الاقتراح "دونالد ترامب رئيس عنصري". اعتمادًا على السياق ، قد نقول "نعم ، صحيح أن دونالد ترامب رئيس عنصري" ، أو قد نقول "من الخطأ أن يكون دونالد ترامب رئيسًا عنصريًا".

    هناك نوعان من الافتراضات التصريحية المستخدمة في المنطق الرمزي ، وهما: بسيط و مجمع اقتراح.

    من ناحية أخرى ، فإن الافتراض البسيط يتكون من اقتراح واحد فقط. على سبيل المثال ، "دونالد ترامب هو رئيس الولايات المتحدة." كما نرى ، يحتوي هذا الاقتراح على مكون واحد فقط.

    من ناحية أخرى ، يتكون الاقتراح المركب من افتراضين أو أكثر ، مثل:

    1. جاك يغني ، بينما جيل ترقص.
    2. إذا كان الطريق مبللاً ، فإما أن تمطر اليوم أو أن شاحنة الإطفاء تسكب الماء على الطريق.

    كما لاحظت ، يتكون المثال الأول من اقتراحين ، وهما:

    جاك يغني.
    جيل ترقص.

    من ناحية أخرى ، يتكون المثال الثاني من ثلاث افتراضات ، وهي:

    الطريق
    إنها تمطر اليوم.
    شاحنة الإطفاء تسكب الماء على الطريق.

    الآن ، يستخدم المنطقون عادة الأحرف الصغيرة للأبجدية الإنجليزية ص من خلال ض لترمز إلى المقترحات. يطلق عليهم المتغيرات. الأحرف الكبيرة من الألف إلى الياء تسمى الثوابت. على سبيل المثال ، إذا سمحنا ص الوقوف على الاقتراح "جاك يغني" ، ثم يرمز لها كـ ص. وهكذا ، بدلاً من أن نقول "جاك يغني" ، نقول فقط ص.

    يتم استخدام الرمز • (نقطة) ، والذي يُقرأ على أنه "و" ، للإشارة إلى رابط الاقتراح المُرتبط. كما سأناقش في المنشورات التالية ، يتم ربط الاقتراح المشترك بكلمة "و". لنأخذ ، على سبيل المثال ، الاقتراح "جاك يغني وجيل ترقص". إذا سمحنا ص الوقوف على "جاك يغني" و ف بالنسبة إلى "جيل ترقص" ، فإن الاقتراح "جاك يغني وجيل يرقص" يرمز إليه على النحو التالي:

    صف

    الرمز الخامس (الوتد) ، والتي تُقرأ على أنها "إما ... أو" أو "أو" فقط تُستخدم لترمز إلى رابط اقتراح منفصل. كما سأناقش في المنشورات التالية ، ترتبط المقترحات المنفصلة بالكلمات "إما ... أو" أو ببساطة "أو". إذا سمحنا ص الوقوف على "جاك يغني" و ف بالنسبة إلى "جيل ترقص" ، فإن الاقتراح "إما أن جاك يغني أو جيل ترقص" يرمز إليه على النحو التالي:

    ص الخامس ف

    يرجى ملاحظة أن الاقتراح أعلاه هو فصل شامل. هناك طريقة أخرى لترمز إلى الانفصال الحصري. لكنني سأناقش هذا النوع الآخر من الافتراضات المنفصلة عندما أذهب إلى الأنواع الأربعة من الافتراضات المركبة.

    يتم استخدام الرمز ⊃ (حذاء الحصان) ، الذي يُقرأ كـ "If… then" أو "إذًا" فقط للإشارة إلى رابط اقتراح شرطي. كما سأناقش في المنشورات التالية ، ترتبط المقترحات الشرطية بالكلمات "If… then" أو "حينئذٍ" فقط. الآن ، إذا سمحنا ص الوقوف على "جاك يغني" و ف بالنسبة إلى "Jill is dancing" ، فإن الاقتراح "إذا كان Jack يغني ، فإن Jill ترقص" يتم ترميزه على النحو التالي:

    الرمز (شريط ثلاثي) ، والذي يُقرأ على أنه "إذا وفقط إذا" ، يستخدم لترمز إلى رابط اقتراح ثنائي الشرط. كما سأناقش في المنشورات التالية ، ترتبط المقترحات ثنائية الشرط بالكلمات "إذا وفقط إذا". إذا سمحنا ص الوقوف على "جاك يغني" و ف بالنسبة إلى "جيل ترقص" ، فإن الاقتراح "جاك يغني إذا وفقط إذا كان جيل يرقص" يُرمز إليه على النحو التالي:

    ص ف

    الرمز / (الشرطة المائلة للأمام والنقاط الثلاثية) تتم قراءتها على أنها "لذلك". يستخدم هذا الرمز للفصل بين المباني والاستنتاج في الحجة. على سبيل المثال ، إذا كانت المباني في الحجة هي 1) ص ف, 2) ص والاستنتاج هو ف، ثم يتم ترميز الوسيطة على النحو التالي:

    ص ف
    ص / ف

    (تيلدا) ، والتي تُقرأ على أنها "لا" ، تُستخدم لنفي اقتراح. كما سأوضح لاحقًا ، يمكن رفض أي اقتراح. وبالتالي ، فإن اقتراح "جاك لا يغني" يُرمز له على النحو التالي:

    فيما يلي ملخص لبعض الرموز الأساسية المستخدمة في المنطق الرمزي.


    الخطوة الثانية: أخذ البيانات في الاعتبار

    نعلم من محادثة المفتش كريج مع لوسي ومينا أن لديهما حجج متعارضة:

    كلا العبارتين لا يمكن أن يكونا صحيحين لأنهما يتعارضان مع بعضهما البعض. نعلم أيضًا أن هذين البيانين لا يمكن أن يكونا أكاذيب لأن ذلك سيكون أيضًا متناقضًا.

    لذا قم بإزالة جميع السيناريوهات التي تؤدي إلى قيام لوسي ومينا إما بقول الحقيقة أو كلاهما يكذب.

    هذا يترك لنا 4 سيناريوهات محتملة:

    • لوسي = Sane Human (T) ، Minna = Sane Vampire (L)
    • لوسي = إنسان مجنون (يسار) ، مينا = مصاص دماء مجنون (تي)
    • لوسي = Sane Vampire (L) ، Minna = Sane Human (T)
    • لوسي = مصاص دماء مجنون (T) ، مينا = إنسان مجنون (L)

    3.E: المنطق والأدلة الرمزية (تمارين) - الرياضيات

    قمت بتدريس دورات الفلسفة التالية (بعضها عدة مرات) في السنوات العديدة الماضية. (هذه كلها & ldquoPHIL & rdquo الدورات ، مدرجة حسب الرقم ، بترتيب تنازلي.)

    • 422/522 الموضوع: الصلة والمنطق البنائي
    • 422/522 الموضوع: قابلية الحوسبة ونظريات عدم اكتمال جودل
    • 422/522 الموضوع: نظريات عدم الاكتمال لجودل
    • 422/522 الموضوع: نظرية Gaggle المطبقة على الوسائط ، والملاءمة ، والمنطق غير الكلاسيكي
    • 422/522 الموضوع: إثبات نظرية المنطق الكلاسيكي والبنيوي
    • 421/522 Modal Logic / Topics in Logic
    • 420/522 ميتالوجيك / موضوعات في المنطق
    • 367 مقدمة في فلسفة الرياضيات
    • 365 فلسفة الحوسبة
    • 325 المخاطرة والاختيار والعقلانية
    • 220 المنطق الرمزي 2
    • 120 المنطق الرمزي 1

    مجال بحثي الرئيسي هو منطق. أنا مهتم بشكل خاص بالمنطق غير الكلاسيكي ، بما في ذلك ملاءمة و منطق تحت البنيوية, منطق مشروط, المنطق التوافقي و λ- حسابات. المنطق غير الكلاسيكي تم تقديمه لأول مرة كحل للمشاكل الفلسفية مثل مشكلة التضمين والاستنتاج. في وقت لاحق ، ظهرت منطق جديدة في تخصصات أخرى أيضًا و [مدش] من الرياضيات إلى علوم الكمبيوتر واللغويات. ترتبط بعض اهتماماتي البحثية و [مدش] خارج المنطق وفلسفة المنطق و [مدش] بالمجالات الأخيرة. لدي اهتمام كبير بفلسفة الرياضيات ، ولا سيما في أسس الرياضيات. أحاول أيضًا متابعة آخر التطورات في فلسفة علوم الكمبيوتر والمعلوماتية ، وخاصة تلك التي تتعلق بالأسئلة المتعلقة بعلوم الكمبيوتر النظرية و [مدش] مثل الخوارزميات وتصميم لغة البرمجة ونظرية المعلومات ونظرية التعقيد والأمن السيبراني. في وقت سابق ، عملت على بعض الأسئلة في دلالات اللغات الطبيعية ، في المقام الأول ، باستخدام المنطق النموذجي (على وجه التحديد ، الزمني والمتوتر) ونظرية تمثيل الخطاب.

    بعض نتائج بحثي تهمني دلالات للعديد من المنطق غير الكلاسيكي (على سبيل المثال ، حسابات المنطق التوافقي). كتب مايكل دن وأنا أ الكتاب على ال دلالات العلائقية المنطق غير الكلاسيكي. تعمل هذه الأنواع من الدلالات على تعميم دلالات كريبك للعالم المحتمل للمنطق المعياري العادي ، وكانت النوع المفضل من الدلالات لعقود. منذ بضع سنوات ، عملنا على تمثيلات لمنطق كلاين ومنطق الفعل ، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالمنطق الديناميكي. لقد تعاونا أيضًا في تحديد دلالات & ldquofour-valued & rdquo للحد الأدنى من المنطق تحت البنيوي. ضمن مشروع SSHRC IG ، عملنا على تاريخ ثلاثة دلالات علائقية ومشكلات قابليتها للتطبيق على منطق الصلة بمجموعات رقيقة من الوصلات. الأول) الورشة الثالثة، الذي عقد في 16 مايو و ndash17 ، 2016 ، في جامعة ألبرتا ، كان مرتبطًا بشكل موضوعي بنفس SSHRC IG. (ملصق ورشة العمل.) نواصل التعاون في الأسئلة المتعلقة بدلالات العلائقية المختلفة للمنطق تحت البنيوي كجزء من SSHRC IG.

    يؤدي التوصيف الأكثر دقة لفئات الهياكل لمختلف المنطق غير الكلاسيكي مباشرة إلى الإطارات الطوبولوجية. لقد أثبتت نظريات الازدواجية الطوبولوجية لشبكات أورثو ودي مورغان ولجبر منطق الاستنتاج. توفر نظريات الازدواجية هذه الكثير من الأفكار حول المنطق نفسه ، لأنه يمكن النظر إلى تفسيرات الصيغ كخرائط في فئة.

    يؤدي التوصيف الأكثر دقة لفئات الهياكل لمختلف المنطق غير الكلاسيكي مباشرة إلى الإطارات الطوبولوجية. لقد أثبتت نظريات الازدواجية الطوبولوجية لشبكات أورثو ودي مورغان ولجبر منطق الاستنتاج. توفر نظريات الازدواجية هذه الكثير من الأفكار حول المنطق نفسه ، لأنه يمكن النظر إلى تفسيرات الصيغ كخرائط في فئة.

    المنطق التوافقي و λ- حسابات ترتبط بالمنطق غير الكلاسيكي بطرق مختلفة ، أحدها هو مراسلات Curry & ndashHoward (CHC). لقد كتبت أنا وجي مايكل دن ورقة حول استخراج السكان التوافقيين من البراهين في حساب التفاضل والتكامل من أجل تضمين التذكرة الضمنية ، وقمت أيضًا بتطبيق النهج على المنطق الحدسي الضمني. يؤدي استخدام الحسابات المتسلسلة و [مدش] بدلاً من نظام الحسم الطبيعي و [مدش] إلى مجموعات مُجمِّعة أخرى وقاطِع اندماج أخرى أكثر من المعتاد. يوضح هذا النهج طريقة لتوسيع CHC دون التبديل إلى شروط & lambda أو تقديم عملية إحلال. تشفر المصطلحات التجميعية القابلة للنمط البراهين في صياغة بديهية لمنطق ، وبالتالي ، فإن مسألة قابلية التحديد تتحول إلى مسألة سكن. أيضا ، المنطق التوافقي في حد ذاته هو أنيق وقوي الشكلية التي يمكن أن تمثل وظائف قابلة للحساب & [مدش] تمامًا ، على سبيل المثال ، يمكن لآلات التسجيل. هذه بعض الدوافع التي دفعتني لكتابة ملف الكتاب على المنطق التوافقي.

    ال نظرية الإثبات المنطق غير الكلاسيكي يصبح أحيانًا صعبًا حقًا. التسلسل الأصلي للحسابات لوسي و LJ هي على ما يبدو أنظمة إثبات بسيطة ، ولكن في الواقع ، يتم التحكم في البراهين بإحكام و [مدش] كما يتضح من نظرية القطع. لا يمكن إضفاء الطابع الرسمي على بعض منطق الصلة المعروفة على أنها امتدادات لحساب لامبيك الترابطي ، والذي يسبب العديد من التعقيدات التقنية. & rdquo نجحت في تحديد الحسابات المتسلسلة لبعض من هذه المنطق ذات الصلة مع إثبات نظرية القطع بالنسبة لهم. كان أحد المشاريع البحثية الرئيسية التي عملت عليها أنا وج. مايكل دن (بصفتي SSHRC SRG) مشكلة إمكانية تقرير الجزء الضمني من التذكرة، والتي ظلت مفتوحة لأكثر من 50 عامًا. أصبح إثبات القدرة على اتخاذ القرار ممكنًا من خلال حساب التفاضل والتكامل الجديد للتضمين ص، والذي يوسع حساب التفاضل والتكامل المتسلسل للتضمين تي من خلال قاعدتين تضيفان بالضبط الفرق بين هذين المنطقين. لقد كتبت أ الكتاب على نظرية الإثبات مع التركيز على الحسابات المتسلسلة (بما في ذلك بعض اللوحات وأنظمة الدقة). لقد أثبتت قابلية تقرير MELL (جزء الضرب و ndashexponential من المنطق الخطي). لقد أثبتنا أنا وجي مايكل دن إمكانية تقرير العديد من منطق الصلة بالشروط. في العام الماضي ، أثبتت أن مجموعة أخرى من المنطق الشرطي (بعض منطق الوسائط شبه الشبكية) قابلة للفصل. بالطبع ، ليست كل المنطق (الافتراضى) قابلة للتقرير ، ولكن بعضها & [مدش] حتى لو كانت قابليتها للتقرير مفاجئة (لعدد قليل).

    أنا متأكد من ذلك منطق & [مدش] جنبًا إلى جنب مع صلاته ونسله العديدة و [مدش] هو ملف مثير و مزدهرة مجال البحث.

    في عام 2012 ، حصلت على جائزة التميز في البحث الفني.

    جامعة ألبرتا
    قسم الفلسفة
    2-40 قاعة Assiniboia
    ادمونتون ، AB T6G 2E7 ، كندا


    مقدمة في المنطق

    نقطة البداية لتقدير المنطق الرمزي هي تقدير الفرق بين العبارات البسيطة والتعليمات المركبة. ربما كنت تعتقد أنها ستكون بعض الرموز ، لكن الرموز ستكون مفيدة فقط بمجرد أن نكون واضحين بشأن ما نرمز إليه.

    هذا أكثر أهمية من الناحية النفسية مما قد يبدو ، لأن بعض الناس الذين يعتقدون أن الرياضيات مخيفة يعتقدون أن المنطق الرمزي مخيف أيضًا. هذا لأنهم يخلطون بين الرياضيات والمنطق. لكن في المنطق ، نستخدم الرموز ليس لتحديد الأرقام أو العمليات التي تتم على الأرقام ، ولكن لتحديد المعاني والكلمات والبيانات التي يتعامل معها كل منا ويستخدمها ويذكرها كل يوم.

    "المنطق الرمزي" هو مجرد امتداد لأنواع الاختصارات التي تعلمنا استخدامها بالفعل في التعامل مع المنطق الفئوي: توقفنا عن قول "All S is P" ، وبدأنا في قول "ASP" ، وترك الحرف "A" يرمز إلى حقيقة ذلك كانت "S" و "P" أجزاء من اقتراح إيجابي عالمي. الاختصارات ليست مخيفة جدا.

    لذلك سنستخدم الرموز للإشارة إلى عناصر المعنى ، والفرق الكبير هنا هو أننا نتعامل الآن مع العبارات بدلاً من عناصر العبارات (الفئات والكلمات الكمية). هنا في البداية ، ستكون أصغر العناصر ذات المعنى إما عبارات بسيطة أو ما نسميه "عوامل التشغيل" ، وهو ما يعني المعاني التي يمكن تطبيقها على العبارات ، عادةً لضمها إلى أخرى.

    البيان البسيط هو تأكيد أو إعلان واحد. "واشنطن ميتة" هي عبارة بسيطة. "اغتيلت واشنطن" شيء آخر. يمكن ربط هاتين العبارتين البسيطتين بواسطة المشغل أو المعنى "ليس،" او بواسطة "اذا ثم،" أو بالمعنى "إما او،" أو بالمعنى "…و…،" على سبيل المثال.

    الاصطلاح في المنطق هو أن العبارات البسيطة هي تصريحات إيجابية. أي عبارة تصدمنا على أنها تنكر شيئًا ما (مثل "لا باباوات هندوس") ستفهم على أنها عبارة مركبة بدلاً من عبارة بسيطة سنقول إنها تتكون من عنصرين: البيان الإيجابي البسيط زائد نفي أو إنكار. سنمثله على أنه مكون من جزأين: "ليس" و "P" (حيث تعني "P" "باباوات هندوس").

    الحروف الكبيرة ، من خلال الاصطلاحات التي يؤيدها المنطقون عالميًا ، تمثل عبارات كاملة ولكنها بسيطة.

    كولبير كوميدي موهوب: ج

    لقد حصلت على Les Paul في عيد ميلادي: لام

    ثم نقدم خمسة رموز للعمل بناءً عليها أو ربط هذه الأحرف الكبيرة ، لتمثيل عبارات أكثر تعقيدًا ، مثل العبارات المكونة من عبارات متعددة.

    "المعروفة باسم" التلدة "، تعني" لا "أو أي شكل من أشكال النفي بشكل عام. نضعه أمام حرف كبير لإظهار أن العبارة البسيطة قد تم نفيها. على سبيل المثال:

    لم يكن كولبير مضحكا جدا الليلة

    (طالما اتفقنا على تمثيل "Colbert كان مضحك الليلة" بواسطة "F"). لن تمثل علامة التلدة "لا" فقط ، بل ستشير أيضًا إلى "إنه خطأ ذلك" ، "ليس الأمر كذلك" ، "لا" ، وأي عدد من الطرق الأخرى التي يمكن التعبير عن الرفض أو النفي بها.

    حسب الاصطلاح ، تؤثر علامة التلدة على الوحدة التي تسبقها. سنرى بعض الأهمية لهذا في لحظة. جميع الرموز الأخرى تربط بيانًا بآخر.

    أبسط رمز توصيل هو الرمز الخاص بـ بالاشتراك، وهو ما يعني "إضافة شيء إلى آخر." الآن ، تذكر أن الأمر لا يتعلق بالرياضيات ، لذا فإن معنى "الإضافة" ليس هو نفسه إيجاد مبلغ.

    كان مارتن لوثر كينج من قادة الحقوق المدنية وكان جيمس فارمر أيضًا.

    يأخذ هذا بيانين فرديين (1. "مارتن لوثر كينغ كان زعيمًا للحقوق المدنية" 2. "جيمس فارمر كان زعيمًا للحقوق المدنية") ويربطهما معًا ، قائلاً إن كلا التصريحين صحيحان.

    إن معنى "و" الذي نتحدث عنه هنا في المنطق واسع جدًا. ما نعنيه هنا هو أنه طالما أن كل من العبارتين المتميزتين تدعي بشكل صحيح أنها صحيحة ، فإن البيان الذي ينتج عن ربطهما معًا بكلمة مثل "و" سيكون صحيحًا أيضًا. وبالتالي:

    تقع الولايات المتحدة والمكسيك في نصف الكرة الغربي

    هو بالتأكيد ارتباط حقيقي.

    "و" هي نموذج الاقتران في اللغة الإنجليزية ، ولكنها ليست الكلمة الوحيدة التي تعمل بهذه الطريقة ، أي أن هناك مصطلحات أخرى يمكن أن تجمع بين جملتين حقيقيتين في تأكيد كلاهما ولا تزال صحيحة. "لكن" ، "على الرغم من" ، "ولكن" تفعل ذلك أيضًا. وكذلك الحال مع "أيضًا". وكذلك الحال مع الفاصلة المنقوطة. ضع في اعتبارك هذه المركبات:

    تقع نيويورك على الساحل الشرقي ، وكذلك جورجيا.

    نيويورك على الساحل الشرقي ، جورجيا أيضًا.

    تقع نيويورك على الساحل الشرقي ، وكذلك جورجيا.

    تقع نيويورك على الساحل الشرقي ، على الرغم من وجود جورجيا أيضًا.

    منطقيا ، هذه كلها مكافئة ل

    نيويورك وجورجيا على الساحل الشرقي.

    سنرمز لهم جميعًا على النحو التالي:

    هذا الرمز بين "N" و "G" يسمى النقطة ، إنها نقطة ، لكنها مرفوعة فوق السطر. (لسوء الحظ ، لا تحتوي لوحات المفاتيح القياسية على هذه الفترة المرتفعة ، لذلك في النص المكتوب ، سترى نقطة على السطر ، ولكن عندما نكتبها أنت أو نكتبها يدويًا ، سنرفعها فوق السطر.) مسار تاريخ المنطق الرمزي ، الذي لم يتجاوز قرنًا من الزمان ، كانت هناك مجموعة متنوعة من الرموز التي استخدمها مختلف المنطقين. عندما قدم برتراند راسل وألفريد نورث وايتهيد رموزًا للمنطق ، استخدموا حرف "v" المقلوب للإشارة إلى "و" ، لذلك ربما كتبوا "N ^ ز. " ومع ذلك ، أصبحت النقطة هي المعيار اليوم. إذا كنت تعمل على موقع Bluestorm / TheLogicCourse ، فسترى أنهم يستخدمون "& amp" للترابط. هذا لا ينبغي أن يعطيك وقفة.

    تعليق آخر على "و" هو أنه في الحياة اليومية لا يعني دائمًا "و" ، أي اقتران. ضع في اعتبارك التعبير اليومي "أنت تفعل ذلك مرة أخرى وسوف تكون آسف". عليك أن تكون منتبهاً لما يحدث في هذه الكلمات الصغيرة ، فهذه العبارة لا تجمع بين جملتين ، بل تؤكد على شرط. هذا يعني "إذا فعلت ذلك مرة أخرى ، فسوف تشعر بالأسف."

    على عكس هذا المثال ، فإن الطريقة التي سنستخدمها بها في Logic ، "و" هي ما يسمى بـ وظيفة الحقيقة المشغل أو العامل. هذا يعني أن قيمة الحقيقة لبيان "و" هي دالة لقيمة الحقيقة للقطع التي تتكون منها. قاعدة "و" بديهية تمامًا: تكون عبارة "و" صحيحة فقط إذا كانت كلتا العبارتين المرتبطين بـ "و" صحيحة. إذا كان أحدهما (أو كلاهما) خاطئًا ، فإن أداة العطف نفسها خاطئة.

    إذا وضعنا أقواسًا حول "N ∙ G" ، فسيشير هذا إلى أنه يتم التعامل مع هذه العبارة كوحدة ، وبالتالي لن تعني الرموز التالية نفس الشيء:

    أ) يقول نيويورك ليست على الساحل الشرقي ولكن جورجيا و

    ب) يقول ليست كل من نيويورك وجورجيا على الساحل الشرقي.

    يؤثر التلدة على الوحدة التي تليها على الفور ، لذا فإن الأقواس مهمة: فهي تحدد ، في هذه الحالة ، حجم الوحدة التي يتم رفضها. هاتان العبارتان لا تعنيان الشيء نفسه ، لكنهما خاطئان لأسباب مختلفة. الشيء المهم الذي يجب رؤيته هو أنه في "أ" ، تؤثر المدرجات على العبارة "N" ، بينما في "ب" ، تؤثر على النقطة ، والكلمة "و".

    أصبح حرف "v" المقلوب (أي "v" القديم المعتاد) ، والمعروف في المنطق باسم "الإسفين" ، معيارًا لتمثيل معنى "إما ... أو ..." ، والذي يُعرف أيضًا باسم انفصال. لقد سمعت عن "دق إسفين بين الأشياء" ، أراهن حتى تتمكن من الاعتماد على ذلك لتذكر اسم رمز الانفصال. عندما تدق إسفينًا بين الأشياء أو الأشخاص ، فإنك تفصلهم عن بعضهم البعض ، وهذه أيضًا وظيفة "أو" عندما تخبرك والدتك:

    يمكنك تناول الطعام التايلاندي أو الصيني.

    هذا يعني "ليس كلاهما". "أحدهما أو الآخر" يعني "ليس كلاهما".

    هذا في الواقع واحد فقط من معنيين لهما في اللغة الإنجليزية (في الواقع ، سنرى المعنى الثالث قريبًا بما فيه الكفاية). هذا المعنى يسمى قوي أو حصري "أو" لأنه يميز شيئين تمامًا. ولكن هناك أيضًا معنى أضعف شائعًا جدًا لكلمة "أو ،" الذي يسمح بإمكانية أن يكون كلا الأمرين مقبولًا أو صحيحًا ، وغالبًا ما نستخدم التعبير "و / أو" لتوضيح ذلك. سيكون على سبيل المثال

    يمكنك أن تأخذ المنطق أو الإحصاء لمتطلبات التفكير الكمي.

    أخذ المنطق هو خيار أخذ الإحصائيات هو أيضًا خيار يمكنك القيام بهما معًا. "أو" هنا تشمل كلا الاحتمالين.

    يعفى الغياب في حالة المرض أو الطوارئ

    لا يُقصد به استبعاد احتمال إصابة شخص ما بالمرض بشكل مفاجئ وعنيف حتى الآن.

    So these are different “or’s” from the “or” of

    Everyone here is either a Democrat or a Republican,

    which means that no one here is both.

    Now let’s put these last four statements into symbols:

    T v C You can either have Thai or Chinese.

    L v S You can take Logic or Stats.

    I v E Absences are excused for illness or emergency.

    D v R Everyone is either a Democrat or a Republican

    You cannot tell from the symbolization that some of these are weak “or’s” and some are strong “or’s.” So we seem to have a dilemma: if we don’t want to treat a weak “or” as the same as a strong “or,” we shouldn’t use the wedge for both.

    The solution will be to remember what

    (N . G) meant above: “not both.” With “not both,” we can clear up any ambiguity that “either…or” might create, i.e., we can make a strong “or” explicit by tacking “and not both” onto a weak one.

    So if the context required that we clear away the ambiguity, we could leave the “Logic” and “emergency” statements as they are, but change the others to look like this:

    You can have either Thai or Chinese, but not both Thai and Chinese.

    Everyone here is either a Democrat or a Republican, but not both a Democrat and a Republican.

    It should be clear that the truth-functional definition of “or” will be the one that fits the weak or inclusive “or.” A disjunction is false if and only if both of its disjuncts are false otherwise it is true (i.e., as long as at least one disjunct is true). This is why some tautologies (we’ll talk about them soon enough) are true, since they say things like “Either it’s too late or it’s not too late.”

    Let’s consider another example:

    Neither Arthur nor Chloe can tie their own shoes.

    There are two ways you might approach understanding this. You might emphasize the role of “neither,” and write it as a negated disjunction:

    ( A v C ). But you might also break it down into two negations, and understand it as

    Arthur can’t tie his own shoes and neither can Chloe.

    Arthur can’t tie his own shoes and Chloe can’t either.

    These are strictly equivalent, and we’ll prove it to you in a little while with a truth table. For now, let’s describe what each is in its own right, and appreciate that they say the same thing differently: a negative disjunction says the same thing as a conjunction of negatives.

    The main operator of the two statements is different:

    (A v C) the main operator is the tilde it’s a negative disjunction: “neither…nor.”

    C the main operator is the dot it’s a conjunction of negatives: “not the one and not the other.”

    Although in English most disjunction is expressed with either “either…or” or just plain “or,” it can also be expressed by “unless.”

    It will rain unless it gets a lot colder.

    In this statement, it may not appear that an “either…or” is at work it may appear that an “if not…” is:

    It will rain if it does not get a lot colder.

    And that really means just the same thing:

    Either it will rain or it will get a lot colder.

    So “or” has three distinguishable meanings: exclusive “or,” inclusive “or,” and “if not.”

    “If,” of course, is really shorthand for “if…then,” which we know is the form of the conditional statement. We call the “if” clause the antecedent, and the “then” clause the consequent and we know from earlier in this course that the antecedent can be read as expressing a sufficient condition for the consequent, while the consequent can be read as expressing a necessary condition for the antecedent.

    The standard written symbol for the conditional is a horseshoe pointing to the right. But keyboards have arrows (>) on them rather than horseshoes, and they are close enough that we can tell they mean the same thing. The horseshoe or arrow goes ما بين the antecedent and the consequent, where the word “then” would be expected. It’s important to get clear on this, because in the symbolization of a conditional, the antecedent has to come first, but in ordinary language, we don’t always have antecedents preceding consequents. Like this:

    Scott can take the trip if Betty lends him some cash.

    This would have to be symbolized as ب > س, not S > B, because the statement about Scott is really the consequent, even though it came first.
    “Given that,” “on condition that,” and “in case” are three other ways to express the conditional relationship between two statements in English. “If” is certainly the most common, but given that there are others, you can’t count on it.

    Note that in that last sentence, “given that” didn’t mean “if,” it meant “since.” “Given that” can indicate either an antecedent أو it can indicate a premise –determining which is a matter of understanding the statement in context. “Given that there are others, you can’t count on it” is an argument. Probably the best way to identify this argument would be as what we’ve been calling a hypothetical syllogism up to this point, by spelling it out like this:

    If a word has more than one meaning, you can’t count on it meaning the same thing every time “given that” has more than one meaning, so you can’t count on it meaning the same thing every time.

    Rather few people ever consider the meaning of “if,” but if you do, you’ll find that it’s quite a tricky word. “If” sets up a relation between statements which can be intended and understood in quite different ways. For instance, these conditionals don’t mean the same thing by “if,” if you stop and think about it:

    If the Pope’s not Catholic, I’m a monkey’s uncle.

    If Watson has chalk on his fingers, he played billiards.

    The first of these is the kind of conditional we can deal with in Logic maybe you can see how it’s different from the second. The second is about cause and effect: such-and-such conditions will bring about such-and-such an effect. The first is about the compatibility of statements the point of the conditional is that the Pope is Catholic. The person who says “If the Pope’s not Catholic I’m a monkey’s uncle,” is just trying to make it clear that he thinks the Pope is Catholic. This conditional implies an argument we’ll be calling “modus tollens,” and which is quite common and obvious: If he’s not Catholic, I’m a monkey’s uncle. But I’m not a monkey’s uncle, so obviously he’s a Catholic.

    Another way to show the difference would be by appreciating the logical equivalence of a conditional with a disjunction in which one statement is negated: you could rewrite If the Pope’s not Catholic, I’m a monkey’s uncle مثل Either the Pope’s Catholic or else I’m a monkey’s uncle.

    But a similar rewrite of the causal conditional would fail to capture its point: Either Watson doesn’t have chalk on his fingers or else he played billiards just doesn’t capture the sense of If Watson has chalk on his fingers, he played billiards. Either Watson didn’t play billiards or else he has chalk on his hands comes a bit closer, but is still much more difficult to understand than the “if…then…” construction.

    What we deal with in Logic are called “material conditionals,” and they are different from causal ones.

    The specific nature of the material conditional can be brought out convincingly by the following example, which will also provide us with the truth-functional definition of conditionals. (I owe this example to Hurley it’s one of the best things in his Concise Introduction to Logic .) If you can come up with another example that’s as good as this, it’s worth extra credit.

    Let’s say this statement appears on the syllabus for one of your classes:

    If you get an A on the final, you’ll get an A in the course.

    There are four possibilities, right?

    1. You get an A on the final, و you get an A in the course. You’re happy.

    2. You get an A on the final, لكن you don’t get an A in the course. You’re not happy in fact you feel betrayed: “he lied!”

    3. You don’t get an A on the final, لكن you do get an A in the course. You’re happy.

    4. You don’t get an A on the final, و you don’t get an A in the course. That’s ok what did you expect?

    The moral of this example is that a Material Conditional statement is true unless its antecedent is true while its consequent is false. That is, it’s true even when its antecedent is false. That’s why “If the Pope’s not Catholic I’m a monkey’s uncle” works: even though both antecedent and consequent are false, it has the effect of being a true conditional. Another good example: “If I’m 25 feet tall I can touch the ceiling in 106A.” I’m not that tall, and I cannot touch the ceiling in 106A, but the statement is clearly true.

    But some conditionals are glaringly inappropriate to treat or interpret this way. For instance, “If Chicago is in Florida, it’s near San Diego.” Obviously this is a false statement, and both its antecedent and consequent are false. It would not do to claim this is a true statement. This is not a Material Conditional.

    IF AND ONLY IF

    So that’s part of the can of worms that “if” offers. Another is its tempting similarity to “only if.” Most people probably think, when they hear “only if,” that they are just hearing “if.” But they are mistaken. “If” and “only if” mean two distinct things (and “if and only if” means something else again –please be careful with the quotation marks!)

    This pair of statements might make the point visible:

    The car runs if there’s gas in the tank.

    The car runs only if there’s gas in the tank.

    If you can tell intuitively which of these is “more true,” that’s the start.

    It would be the second one.

    “Only if” is saying that gas is a necessary condition for the car to run. The first sentence might “make do” as we say in everyday life, but to really be adequate, it would have to be continued with a series of other conditions “…and the alternator belt is on, and the spark plugs are attached, and the battery is charged, etc., etc.” This is because (as we said in the beginning of the course when we identified conditionals as non-arguments) the antecedent of a conditional expresses a sufficient condition, and much more than just gas in the tank makes the car run. But you can be certain that there’s gas in the tank if the car is running.

    وبالتالي The car runs ONLY IF there’s gas in the tank means the same thing as IF the car runs, there’s gas in the tank.

    These are equivalent statements, but notice that in the one, “only if” is introducing the consequent, and in the other, “if” is introducing the antecedent. That’s because “if” and “only if” really do not mean the same thing.

    “If” introduces a sufficient condition, but “only if” introduces a necessary one. It’s very important to keep this straight. As a practical piece of advice, remember this: always look to see if “if” is accompanied by “only.” If it is, then it is not really “if,” it is “only if,” and must be treated as such.

    This leads naturally enough to the question “What do people mean when they say “if and only if”?

    Well, that depends on them, but what they should mean can be made clear by the following:

    Someone might use the expression like this: I’ll buy you that new guitar if and only if you promise to practice every single day.

    I doubt that the speaker of this statement meant: If I buy you that guitar you promise to practice every day, and if you promise to practice every day I will buy you that guitar. All he or she really meant was “only if,” and he or she added the “if and” as a way of being emphatic.

    A correct use of the expression is something like

    You are President if and only if you are commander-in-chief

    A conjunction is true if and only if both of its conjuncts are true.

    These are called genuine bi-conditionals, and they each assert that one thing is both a necessary and a sufficient condition for the other:

    If you are President then you are Commander-in-Chief, and if you are Commander-in-Chief, then you are President.

    If the conjunction is true, then both its conjuncts are true, and if both its conjuncts are true, then the conjunction is true.

    The symbol for a bi-conditional is a triple bar, ≡. It looks like an equal sign with a third line. Since our keyboards don’t have the triple bar symbol, when you are working on a computer, just use the equal sign, “=.” But when you are writing by hand, remember to add the third bar to it.

    That triple bar is an abbreviation for a conjunction of conditionals (hence the name “bi-conditional”).

    (P > C) ∙ (C > P) is the conjunction of conditionals that P ≡ C says in one symbol.

    Given that we’ve introduced the truth-functional definitions of the operators as we’ve introduced the operators themselves, we can use them to determine what the truth-functional definition of the triple bar is, since after all, the triple bar is just a way of symbolizing in one symbol what can be symbolized using a dot and two horseshoes.

    Truth-Table Definitions of Truth-Functional Operators

    The tables below sum up the truth functional definitions so far. As you review their meanings in the following presentation of the truth tables, see if you can anticipate how to use them to build up the table that will provide the truth-functional definition of the triple bar.

    Tilde/ Negation. This table says that the negation of any statement has the opposite truth-value of that statement. It says this under the tilde.

    Dot/ Conjunction. This one says that a conjunction of statements is true if and only if both statements are true. Look under the dot to see this. If you were filling in this table, you would fill in the T T F F under the “p” first then the T F T F under the “q,” and then you would fill in the values for the dot.

    ص . ف
    تي تي تي
    تي F F
    F F تي
    F F F

    Wedge/ Disjunction. This one says that a disjunction is true unless (strong “or”) both disjuncts are false. Another way to say that is: a disjunction is false if and only if both of its parts are false.

    ص الخامس ف
    تي تي تي
    تي تي F
    F تي تي
    F F F

    Horseshoe (arrow)/ Conditional. This one says that a conditional statement is true unless its antecedent is true but its consequent is false.

    ص > ف
    تي تي تي
    تي F F
    F تي تي
    F تي F

    Triple bar/ Bi-conditional. And this one says that triple bar statement is true if and only if its parts have the same truth value. They don’t have to both be true, they have to either both be true or both be false, for the triple bar itself to be true. The triple bar is another way of saying two statements are equivalent in truth value to each other. With the information from these tables (actually only from two of them) you should be able to fill in the boxes on the table below, which is the biconditional equivalent to the triple bar.

    ص ف
    تي تي تي
    تي F F
    F F تي
    F تي F

    Begin by writing T T F F under “p,” and T F T F under “q.” Since the table has four lines or rows, the left-most letter gets 2 “t’s” and then2 “f’s.” If the table had 8 rows, this left-most letter would get 4 of each if the table had 16 rows, the left-most letter would get 8 “trues” and 8 “falses.” The next letter in gets half that amount, and the next one again gets half of الذي - التي amount. Of course for these latter letters you would have to repeat the pattern until you filled in the table to the bottom.

    Fill in the values under the arrows/ horseshoes first, then the value under the dot (which joins the values of the horseshoes).


    If-then statement

    An if-then statement or conditional statement is a type of compound statement that is connected by the words “if…then”. Logicians usually used horseshoe () as the symbol for “if…then”. In some cases, logicians used the mathematical symbol “greater-than” (>) instead of a horseshoe. Let us consider the example below:

    إذا the company closes down, ومن بعد obviously many workers will suffer. (p, q)

    If we let ص stand for the statement “The company closes down” and ف for the statement “Obviously many workers will suffer”, then the conditional statement is symbolized as follows:

    ص ف

    If we use the greater-than symbol, then the statement above is symbolized as follows:

    ص > ف

    It is important to note that the statement that precedes the connective horseshoe () is called the “antecedent” and the proposition that comes after it is called “consequent.” Hence, in the example above, the antecedent is “The company closes down”, while the consequent is “Obviously many workers will suffer”.

    It is also important to note that there are cases wherein the words “if…then” is not mentioned in the statement, yet it remains a conditional one. Let us consider the following example:

    Provided that the catalyst is present, the reaction will occur. (p, q)

    If we analyze the statement, it is very clear that it is conditional because it suggests a “cause and effect” relation. Thus, the statement can be stated as follows:

    If the catalyst is present, then the reaction will occur. (p, q)

    If we let ص stand for the statement “Provided that the catalyst is present” and ف for “The reaction will occur”, then the statement is symbolized as follows:

    ص ف

    It is equally important to note that sometimes the antecedent is stated after the consequent. If this happens, then we have to symbolize the statement accordingly. Let us take the example below.

    The painting must be very expensive if it was painted by Michelangelo. (p, q)

    If we analyze the statement, it is clear that the antecedent is “It was painted by Michelangelo” and the consequent is “The painting must be very expensive”.

    Now, if we let ص stand for “The painting must be very expensive” and ف for “It was painted by Michelangelo”, then statement “The painting must be very expensive if it was painted by Michelangelo” is symbolized as follows:

    ف ص

    Please note that we symbolized the statement “The painting must be very expensive if it was painted by Michelangelo” as ف ص because in symbolizing if-then or conditional statements, we always write the antecedent first and then the consequent. By the way, please note that the variables provided after the statement represent the statements in the entire statement respectively. Thus, in the statement

    The painting must be very expensive if it was painted by Michelangelo. (p, q)

    the variable ص stands for the statement “The painting must be very expensive” and ف stands for the statement “It was painted by Michelangelo”. Again, since ف is our antecedent and ص is our consequent, and since in symbolizing if-then statement we need to write the antecedent first and then the consequent, so the statement “The painting must be very expensive if it was painted by Michelangelo” is symbolized as follows:

    ف ص

    Rules in If-then Statements

    1. An If-then statement is false if the antecedent is حقيقية and the consequent false.
    2. Thus, other than this form, the If-then statement is true.

    The truth table below illustrates this point.

    The truth table above says:

    1. إذا ص هو حقيقية و ف هو حقيقية، ومن بعد صف هو حقيقية.
    2. إذا ص هو حقيقية و ف هو false، ومن بعد صف هو false.
    3. إذا ص هو false و ف هو حقيقية، ومن بعد صف هو حقيقية.
    4. إذا ص هو false و ف هو false، ومن بعد صف هو حقيقية.

    As we can see, the rules in If-then statements or conditional statements say that the only instance wherein the conditional statement becomes false is when the antecedent is حقيقية and the consequent false. Let us consider the example below.

    إذا it rains today, ومن بعد the road is wet.

    Now, the first row in the truth table above says that ص هو حقيقية و فهو حقيقية. So, obviously, ص ف هو حقيقية. This is because, if it is حقيقية that “it rains today,” then it must also be حقيقية that “the road is wet.”

    The second row says that ص هو حقيقية و ف هو false. وبالتالي، ص ف يجب أن false. This is because if it is true that “it rains today” then it must necessarily follow that “the road is wet.” However, it is said that ف هو false, that is, the road is not wet hence, the conditional statement is false. Again, it is impossible for the road not to get wet if it rains.

    The third row says ص هو false و ف هو حقيقية. If this is the case, then ص ف هو حقيقية. This is because if it is false that it rains today (in other words, it does not rain today), it does not necessarily follow that the road is dry. Even if it does not rain, the road may still be wet because, for example, a fire truck passes by and spills water on the road.

    Lastly, the fourth row in the truth table above says ص هو false و ف هو false. If this is the case, then ص ف هو حقيقية. This is because, based on the example above, it says “it does not rain today” and the “road is not wet.” So, obviously, the conditional statement is true.

    So much for the discussion on If-then statement or conditional statements. If you are a student in symbolic logic or mathematical logic who has questions on the topic presented above or other topics in logic, please don’t hesitate to keep in touch. The PHILO-notes team is more than willing to help you. You may also leave your comments below. Thank you and all the best!


    Exercises: Translation practice in propositional logic (with answers)

    Pick a capital letter to represent each simple statement, and represent the following statements symbolically, using the tilde, dot, wedge, horseshoe and triple bar. The answers are printed below.

    1. Mark Twain wrote Huckleberry Finn as well as Letters from the Earth .

    2. If Sam Clemens called himself “Mark Twain,” he should have put it in quotation marks.

    3. Twain wrote Letters from the Earth but he did not write Ecce Homo .

    4. Either the author of Joan of Arc and Letters from the Earth wrote Tom Sawyer , or else he wrote A Connecticut Yankee in King Arthur’s Court .

    5. In Letters , Satan, Gabriel and Michael all wonder if creating natural law was such a good idea.

    6. Satan says something sarcastic and has to leave Heaven for a while he goes to find Earth.

    7. He finds that humans believe that God spends nights sitting up watching over them, but he thinks that either they are just wrong or else they are insane.

    8. If they are just wrong, it’s because they don’t think logically.

    9. If they are insane, it’s because it’s part of their God-given nature.

    10. God says you should forgive, but he forgave neither Adam nor Eve, and he punishes their descendants to this very day.

    11. I think, therefore I am. (Descartes)

    12. If “I think, therefore I am” is true, then I am a thinking thing.

    13. If I am a thinking thing, then I am not a material thing.

    14. If I am not a material thing, then I am a pure spirit or mind.

    15. If arguments are always made up of multiple statements, then no single statement can ever be an argument.

    16. If “if” always indicates the beginning of a single statement, then all “if” statements are just statements, and none of them are arguments.

    17. Either a valid argument is sound or it is unsound, but no valid arguments are cogent.

    18. If premises are either true or false, then arguments can’t be either true or false.

    19. If an argument is weak, it’s inductive.

    20. An argument is strong only if it’s inductive.

    21. A necessary condition of an argument being valid is that it be deductive.

    22. A sufficient condition of an argument being valid is that it be sound.

    23. An argument commits the fallacy of Appeal to Authority if and only if it invokes the expertise of some person and that person is not really qualified.

    24. A passage is an illustration only if it makes a claim and then provides an example to make it clear.

    25. If you are the Vice President, then if your aide is found guilty of lying to federal investigators, then if you don’t go on the record to distance yourself from him, then you are going to be “under a cloud” on the cover of Time.

    26. If you are the Vice President and your aide is found guilt of lying to federal investigators, then if you don’t go on the record to distance yourself from him, you will be under a cloud on Time’s cover.

    27. If you are the Vice President and your aide is found guilty and you don’t go on the record, then you will be under a cloud.

    28. Neither rain nor snow nor sleet nor hail will keep me from putting this letter in your mailbox.

    29. If neither rain nor snow nor sleet nor hail will prevent me from putting this letter in your mailbox, then if I am neither a postal worker nor a sociopath, then I must just be a good friend.

    30. If the set of all sets that are not members of themselves is a member of itself, then it is not a member of itself.

    31. Existence is not a predicate

    32. “Existence” is not a predicate.

    33. If all words have both a sense and a reference, then “Alice” has to have both.

    34. If Wittgenstein invented truth tables, then Hume critiqued the Argument from Design only if Kant pointed out that “existence” is not a predicate and Leibnitz called identical things “indiscernibles.”

    1. Mark Twain wrote Huckleberry Finn as well as Letters from the Earth .

    2. If Sam Clemens called himself “Mark Twain,” he should have put it in quotation marks.

    3. Twain wrote Letters from the Earth but he did not write Ecce Homo .

    4. Either the author of Joan of Arc and Letters from the Earth wrote Tom Sawy er, or else he wrote A Connecticut Yankee in King Arthur’s Court.

    J = the author of Joan of Arc كتب Tom Sawyer

    L = the author of Letters from the Earth كتب Tom Sawyer

    C = the author of both Joan of Arc و Letters from the Earth كتب A Connecticut Yankee in King Arthur’s Court

    But this could be simplified to

    T = The author of both Joan of Arc و Letters from the Earth كتب Tom Sawyer

    C= The author of both Joan of Arc و Letters from the Earth كتب A Connecticut Yankee in King Arthur’s Court

    5. In Letters , Satan, Gabriel and Michael all wonder if creating natural law was such a good idea.

    6. Satan says something sarcastic and has to leave Heaven for a while he goes to find Earth.

    7. He finds that humans believe that God spends nights sitting up watching over them, but he thinks that either they are just wrong or else they are insane.

    8. If they are just wrong, it’s because they don’t think logically.

    9. If they are insane, it’s because it’s part of their God-given nature.

    10. God says you should forgive, but he forgave neither Adam nor Eve, and he punishes their descendants to this very day.

    Remember? a negative disjunction is logically equivalent to a conjunction of negatives

    11. I think, therefore I am.

    This is an argument, not a conditional, so we’ll use “/” to set the conclusion off from the premise.

    12. If “I think, therefore I am” is true, then I am a thinking thing.

    13. If I am a thinking thing, then I am not a material thing.

    14. If I am not a material thing, then I am a pure spirit or mind.

    Don’t write “I am a pure spirit or mind” as a disjunction since the two words (“spirit” and “mind”) are meant to be synonyms here.

    15. If arguments are always made up of multiple statements, then no single statement can ever be an argument.

    16. If “if” always indicates the beginning of a single statement, then all “if” statements are just statements, and none of them are arguments.

    17. Either a valid argument is sound or it is unsound, but no valid arguments are cogent.

    18. If premises are either true or false, then arguments can’t be either true or false.

    A) tricky: “T” stands for “Premises are true” and “A” stands for “Arguments are true.”

    Literally this reads “If either Premises are true or Premises are not true, ومن بعد it is false that either Arguments are true or Arguments are false.”

    19. If an argument is weak, it’s inductive.

    20. An argument is strong only if it’s inductive.

    21. A necessary condition of an argument being valid is that it be deductive.

    22. A sufficient condition of an argument being valid is that it be sound.

    23. An argument commits the fallacy of Appeal to Authority if and only if it invokes the expertise of some person and that person is not really qualified.

    24. A passage is an illustration only if it makes a claim and then provides an example to make it clear.

    25. If you are the Vice President, then if your aide is found guilty of lying to federal investigators, then if you don’t go on the record to distance yourself from him, then you are going to be “under a cloud” on the cover of Time.

    26. If you are the Vice President and your aide is found guilt of lying to federal investigators, then if you don’t go on the record to distance yourself from him, you will be under a cloud on Time’s cover.

    27. If you are the Vice President and your aide is found guilty and you don’t go on the record, then you will be under a cloud.

    28. Neither rain nor snow nor sleet nor hail will keep me from putting this letter in your mailbox.

    29. If neither rain nor snow nor sleet nor hail will prevent me from putting this letter in your mailbox, then if I am neither a postal worker nor a sociopath, then I must just be a good friend.

    30. If the set of all sets that are not members of themselves is a member of itself, then it is not a member of itself.

    31. Existence is not a predicate

    32. “Existence” is not a predicate.

    33. If all words have both a sense and a reference, then “Alice” has to have both.

    34. If Wittgenstein invented truth tables, then Hume critiqued the Argument from Design only if Kant pointed out that “existence” is not a predicate and Leibnitz called identical things “indiscernibles.”

    3 Responses to Exercises: Translation practice in propositional logic (with answers)

    Good day! Do you know if they make any plugins to safeguard against hackers? I’m kinda paranoid about losing everything I’ve worked hard on. Any tips?

    Thanks for the several tips shared on this site. I have seen that many insurance companies offer buyers generous discount rates if they choose to insure several cars with them. A significant number of households have got several motor vehicles these days, particularly people with old teenage youngsters still living at home, and also the savings for policies can easily soon increase. So it is good to look for a great deal.


    Logic and Mathematical Statements

    Sometimes in mathematics it's important to determine what the opposite of a given mathematical statement is. This is usually referred to as "negating" a statement. One thing to keep in mind is that if a statement is true, then its negation is false (and if a statement is false, then its negation is true).

    Let's take a look at some of the most common negations.

    Negation of "A أو B".

    Before giving the answer, let's try to do this for an example.

    Consider the statement "You are either rich or happy." For this statement to be false, you can't be rich و you can't been happy. In other words, the opposite is to be not rich و not happy. Or if we rewrite it in terms of the original statement we get "You are not rich and not happy."

    If we let A be the statement "You are rich" and B be the statement "You are happy", then the negation of "A or B" becomes "Not A and Not B."

    In general, we have the same statement: The negation of "A or B" is the statement "Not A و Not B."

    Negation of "A و B".

    Again, let's analyze an example first.

    Consider the statement "I am both rich and happy." For this statement to be false I could be either not rich أو not happy. If we let A be the statement "I am rich" and B be the statement "I am happy", then the negation of "A and B" becomes "I am not rich أو I am not happy" or "Not A or Not B".

    Negation of "إذا A, ومن بعد B".

    To negate a statement of the form "If A, then B" we should replace it with the statement "A and Not B". This might seem confusing at first, so let's take a look at a simple example to help understand why this is the right thing to do.

    Consider the statement "If I am rich, then I am happy." For this statement to be false, I would need to be rich and not happy. If A is the statement "I am rich" and B is the statement "I am happy,", then the negation of "A $Rightarrow$ B" is "I am rich" = A, and "I am not happy" = not B.

    So the negation of "إذا A, ومن بعد B" becomes "A and not B".

    مثال.

    Now let's consider a statement involving some mathematics. Take the statement "If n is even, then $frac<2>$ is an integer." For this statement to be false, we would need to find an even integer $n$ for which $frac<2>$ was not an integer. So the opposite of this statement is the statement that "$n$ is even and $frac<2>$ is not an integer."

    Negation of "For every . ", "For all . ", "There exists . "

    مثال.

    Consider the statement "For all integers $n$, either $n$ is even or $n$ is odd". Although the phrasing is a bit different, this is a statement of the form "If A, then B." We can reword this sentence as follows: "If $n$ is any integer, then either $n$ is even or $n$ is odd."

    How would we negate this statement? For this statement to be false, all we would need is to find a single integer which is not even and not odd. In other words, the negation is the statement "There exists an integer $n$, so that $n$ is not even and $n$ is not odd."

    In general, when negating a statement involving "for all," "for every", the phrase "for all" gets replaced with "there exists." Similarly, when negating a statement involving "there exists", the phrase "there exists" gets replaced with "for every" or "for all."

    مثال. Negate the statement "If all rich people are happy, then all poor people are sad."

    First, this statement has the form "If A, then B", where A is the statement "All rich people are happy" and B is the statement "All poor people are sad." So the negation has the form "A and not B." So we will need to negate B. The negation of the statement B is "There exists a poor person who is not sad."

    Putting this together gives: "All rich people are happy, but there exists a poor person who is not sad" as the negation of "If all rich people are happy, then all poor people are sad."


    شاهد الفيديو: رياضيات اولى باك علوم. تمارين مبادئ في المنطق (شهر اكتوبر 2021).