مقالات

8.2: حل أنظمة المعادلات الخطية - الرياضيات


تذكر مجموعة المعادلات التالية من مثال وزن الكتلة:

[40A + 15B = 100 بدون رقم ]

[25 ب = 50 + 50 ألف غير رقم ]

كما تعلم ، يمكن كتابة نظام المعادلات أعلاه كمصفوفة معززة بالشكل التالي:

[ ابدأ {تقسيم}
غادر[
ابدأ {matrix}
40 & 15 \
-50 & 25
نهاية {matrix}
، منتصف فير ،
ابدأ {matrix}
100 \ 50
نهاية {matrix}
حق]
نهاية {تقسيم} غير رقم ]

سؤال

قسّم المصفوفة المعزّزة ( left [ start {matrix} A end {matrix} ، middle vert ، begin {matrix} b end {matrix} right] ) إلى الحجم الأيسر ( يسار (2 مرات 2 يمين) ) مصفوفة (أ ) وهو يمين ( يسار (2 مرات 1 يمين) ) مصفوفة (ب ). حدد المصفوفات (أ ) و (ب ) على أنهاحبيبيالمصفوفات:

سؤال

حل نظام المعادلات أعلاه باستخدامnp.linalg.solveدالة وتخزين القيمة في متجه باسم x:


8.2: حل أنظمة المعادلات الخطية - الرياضيات

لقد رأينا كيف نكتب أ نظام المعادلات مع ال المصفوفة المعززة، ثم كيفية استخدام عمليات الصف والاستبدال الخلفي للحصول عليها شكل الصف الصف. الآن ، سنأخذ ترتيب الصف خطوة أبعد لحل نظام 3 في 3 من المعادلات الخطية. الفكرة العامة هي حذف جميع المتغيرات باستثناء متغير واحد باستخدام عمليات الصفوف ثم استبدالها بحساب المتغيرات الأخرى.

مثال 6: حل نظام معادلات خطية باستخدام المصفوفات

حل نظام المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات.

حل

أولاً ، نكتب المصفوفة المعززة.

بعد ذلك ، نقوم بإجراء عمليات الصف للحصول على نموذج الصف التسلسلي.

أسهل طريقة للحصول على 1 في الصف 2 من العمود 1 هي تبادل [اللاتكس]_ <2> [/ لاتكس] و [لاتكس]_ <3> [/ لاتكس].

المصفوفة الأخيرة تمثل النظام المكافئ.

باستخدام الاستبدال الخلفي ، نحصل على الحل مثل [اللاتكس] يسار (4 ، -3،1 يمين) [/ اللاتكس].

مثال 7: حل نظام تابع للمعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

حل نظام المعادلات الخطية التالي باستخدام المصفوفات.

حل

اكتب المصفوفة المعززة.

أولاً ، اضرب الصف 1 في [اللاتكس] -1 [/ اللاتكس] للحصول على 1 في الصف 1 ، العمود 1. ثم نفذ عمليات الصف للحصول على شكل صف الصف.

المصفوفة الأخيرة تمثل النظام التالي.

نرى من خلال الهوية [اللاتكس] 0 = 0 [/ اللاتكس] أن هذا نظام تابع مع عدد لا حصر له من الحلول. ثم نجد الحل العام. من خلال حل المعادلة الثانية لـ [اللاتكس] y [/ اللاتكس] واستبدالها في المعادلة الأولى يمكننا حل [اللاتكس] z [/ اللاتكس] بدلالة [اللاتكس] x [/ اللاتكس].

الآن نستبدل التعبير عن [اللاتكس] z [/ اللاتكس] في المعادلة الثانية لحل [اللاتكس] y [/ اللاتكس] بدلالة [اللاتكس] x [/ اللاتكس].

الحل العام هو [اللاتكس] left (x، frac <2 - 2x> <3>، frac <1-x> <3> right) [/ latex].

جربه 5

حل النظام باستخدام المصفوفات.

هل يمكن حل أي نظام من المعادلات الخطية بالحذف الغاوسي؟

نعم ، يمكن حل نظام المعادلات الخطية بأي حجم عن طريق الحذف الغاوسي.

الكيفية: باستخدام نظام المعادلات ، قم بحلها باستخدام المصفوفات باستخدام الآلة الحاسبة.

  1. احفظ المصفوفة المدمجة كمتغير مصفوفة [لاتكس] يسار [أ يمين] ، يسار [ب يمين] ، يسار [C يمين] نص <،> نقاط [/ لاتكس]
  2. استخدم ال المرجع ( في الآلة الحاسبة ، واستدعاء كل متغير مصفوفة حسب الحاجة.

مثال 8: حل أنظمة المعادلات باستخدام المصفوفات باستخدام الآلة الحاسبة

حل نظام المعادلات.

حل

اكتب المصفوفة المعززة لنظام المعادلات.

في صفحة المصفوفة بالآلة الحاسبة ، أدخل المصفوفة المدمجة أعلاه كمتغير المصفوفة [اللاتكس] اليسار [A right] [/ اللاتكس].

استخدم ال المرجع ( وظيفة في الآلة الحاسبة ، واستدعاء متغير المصفوفة [لاتكس] يسار [أ يمين] [/ لاتكس].

باستخدام الاستبدال الخلفي ، يكون الحل هو [اللاتكس] left ( frac <61> <187> ، - frac <92> <187> ، - frac <24> <187> right) [/ latex].

مثال 9: تطبيق مصفوفات 2 × 2 على التمويل

تستثمر كارولين ما مجموعه 12000 دولار في سندات بلديتين ، أحدهما يدفع فائدة 10.5٪ والآخر يدفع فائدة 12٪. بلغت الفائدة السنوية المكتسبة على الاستثمارين العام الماضي 1،335 دولارًا أمريكيًا. كم تم استثماره في كل سعر؟

حل

لدينا نظام من معادلتين في متغيرين. دع [latex] x = [/ latex] المبلغ المستثمر بفائدة 10.5٪ ، و [latex] y = [/ latex] المبلغ المستثمر بفائدة 12٪.

اضرب الصف 1 بـ [latex] -0.105 [/ latex] وأضف النتيجة إلى الصف 2.

إذن [اللاتكس] 12000 - 5000 = 7000 [/ لاتكس].

وبالتالي ، تم استثمار 5000 دولار بفائدة 12٪ و 7000 دولار بفائدة 10.5٪.

مثال 10: تطبيق مصفوفات 3 × 3 على التمويل

تستثمر Ava ما مجموعه 10000 دولار في ثلاثة حسابات ، أحدهما يدفع فائدة 5٪ ، والآخر يدفع فائدة 8٪ ، والثالث يدفع فائدة 9٪. بلغت الفائدة السنوية المكتسبة على الاستثمارات الثلاثة العام الماضي 770 دولارًا. كان المبلغ المستثمر بنسبة 9٪ ضعف المبلغ المستثمر بنسبة 5٪. كم تم استثماره في كل سعر؟

حل

لدينا نظام من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات. لنفترض أن [latex] x [/ latex] هو المبلغ المستثمر بفائدة 5٪ ، دع [latex] y [/ latex] هو المبلغ المستثمر بفائدة 8٪ ، واجعل [latex] z [/ latex] هو المبلغ المستثمر بفائدة 9٪. هكذا،

الآن ، نقوم بإزالة Gaussian لتحقيق شكل الصف الصف.

يخبرنا الصف الثالث [اللاتكس] - frac <1> <3> z = -2000 [/ اللاتكس] وبالتالي [اللاتكس] z = 6000 [/ اللاتكس].

يخبرنا الصف الثاني [اللاتكس] y + frac <4> <3> z = 9000 [/ latex]. استبدال [اللاتكس] z = 6000 [/ اللاتكس] ، نحصل عليه

يخبرنا الصف الأول [اللاتكس] x + y + z = 10،000 [/ latex]. استبدال [اللاتكس] y = 1،000 [/ latex] و [latex] z = 6،000 [/ latex] ، نحصل على

الجواب هو 3000 دولار أمريكي مستثمرة بفائدة 5٪ و 1000 دولار أمريكي مستثمرة بنسبة 8٪ و 6000 دولار أمريكي مستثمرة بفائدة 9٪.

جربه 6

اقترضت شركة أحذية صغيرة 1500000 دولار لتوسيع مخزونها. تم اقتراض جزء من الأموال بنسبة 7٪ ، وتم اقتراض جزء بنسبة 8٪ ، وتم اقتراض جزء بنسبة 10٪. كان المبلغ المقترض بنسبة 10٪ أربعة أضعاف المبلغ المقترض بنسبة 7٪ ، وكانت الفائدة السنوية على جميع القروض الثلاثة 130،500 دولار. استخدم المصفوفات للعثور على المبلغ المقترض بكل سعر.


مقدمة في حلول الأنظمة

من أجل التحقيق في مواقف مثل تلك الخاصة بالشركة المصنعة لألواح التزلج ، نحتاج إلى إدراك أننا نتعامل مع أكثر من متغير واحد وعلى الأرجح أكثر من معادلة واحدة. أ نظام المعادلات الخطية يتكون من معادلتين خطيتين أو أكثر تتكون من متغيرين أو أكثر بحيث يتم النظر في جميع المعادلات في النظام في وقت واحد. لإيجاد الحل الفريد لنظام المعادلات الخطية ، يجب أن نجد قيمة عددية لكل متغير في النظام تفي بجميع المعادلات في النظام في نفس الوقت. قد لا تحتوي بعض الأنظمة الخطية على حل وقد يكون لدى البعض الآخر عدد لا حصر له من الحلول. من أجل أن يكون للنظام الخطي حل فريد ، يجب أن يكون هناك على الأقل عدد من المعادلات بقدر وجود المتغيرات. ومع ذلك ، فإن هذا لا يضمن حلاً فريدًا.

في هذا القسم ، سننظر في أنظمة المعادلات الخطية في متغيرين ، والتي تتكون من معادلتين تحتويان على متغيرين مختلفين. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك النظام التالي من المعادلات الخطية في متغيرين.

ال المحلول إلى نظام المعادلات الخطية في متغيرين هو أي زوج مرتب يفي بكل معادلة على حدة. في هذا المثال ، الزوج المرتب [لاتكس] (4،7) [/ لاتكس] هو الحل لنظام المعادلات الخطية. يمكننا التحقق من الحل بتعويض القيم في كل معادلة لمعرفة ما إذا كان الزوج المرتب يحقق كلا المعادلتين. سنبحث قريبًا في طرق إيجاد مثل هذا الحل إذا كان موجودًا.

[اللاتكس] ابدأ2 يسار (4 يمين) + يسار (7 يمين) & = 15 && نص [1 مم] 3 يسار (4 يمين) - يسار (7 يمين) & = 5 && نص نهاية[/ اللاتكس]

بالإضافة إلى مراعاة عدد المعادلات والمتغيرات ، يمكننا تصنيف أنظمة المعادلات الخطية بعدد الحلول. أ نظام متسق من المعادلات لها حل واحد على الأقل. يعتبر النظام المتسق أن يكون نظام مستقل إذا كان يحتوي على حل واحد ، مثل المثال الذي اكتشفناه للتو. الخطان لهما منحدرات مختلفة ويتقاطعان عند نقطة واحدة في المستوى. يعتبر النظام المتسق أن يكون نظام تابع إذا كانت المعادلات لها نفس الميل ونفس الشيء ذ- اعتراضات. بمعنى آخر ، تتطابق الخطوط بحيث تمثل المعادلات نفس الخط. كل نقطة على الخط تمثل زوج إحداثيات يرضي النظام. وبالتالي ، هناك عدد لا حصر له من الحلول.

نوع آخر من نظام المعادلات الخطية هو نظام غير متسق، وهو الخط الذي تمثل فيه المعادلات خطين متوازيين. الخطوط لها نفس الميل ومختلفة ص-يعترض. لا توجد نقاط مشتركة لكلا الخطين ، وبالتالي لا يوجد حل للنظام.

ملاحظة عامة: أنواع الأنظمة الخطية

هناك ثلاثة أنواع من أنظمة المعادلات الخطية في متغيرين وثلاثة أنواع من الحلول.

  • ان نظام مستقل لديه زوج حل واحد بالضبط [لاتكس] يسار (س ، ص يمين) [/ لاتكس]. النقطة التي يتقاطع عندها الخطان هي الحل الوحيد.
  • ان نظام غير متسق ليس له حل. لاحظ أن الخطين متوازيان ولن يتقاطعان أبدًا.
  • أ نظام تابع عدد لا نهائي من الحلول. الخطوط متزامنة. إنهما نفس الخط ، لذا فإن كل زوج إحداثيات على الخط هو حل لكلتا المعادلتين.

فيما يلي مقارنة بين التمثيلات الرسومية لكل نوع من أنواع الأنظمة.

الكيفية: بالنظر إلى نظام المعادلات الخطية والزوج المرتب ، حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً أم لا.

  1. عوّض الزوج المرتب في كل معادلة في النظام.
  2. حدد ما إذا كانت العبارات الصحيحة ناتجة عن الاستبدال في كلا المعادلتين إذا كان الأمر كذلك ، فالزوج المرتب هو حل.

مثال: تحديد ما إذا كان الزوج المطلوب هو حل لنظام المعادلات

حدد ما إذا كان الزوج المرتب [لاتكس] يسار (5،1 يمين) [/ لاتكس] هو حل لنظام المعادلات المحدد.

استبدل الزوج المرتب [اللاتكس] left (5،1 right) [/ latex] في كلا المعادلتين.

[اللاتكس] ابدأ يسار (5 يمين) +3 يسار (1 يمين) & = 8 [1 مم] 8 & = 8 && نص [3mm] 2 left (5 right) -9 & = left (1 right) [1mm] 1 & = 1 && text نهاية[/ اللاتكس]

الزوج المرتب [لاتكس] يسار (5،1 يمين) [/ لاتكس] يلبي كلا المعادلتين ، لذا فهو الحل للنظام.

تحليل الحل

يمكننا رؤية الحل بوضوح من خلال رسم التمثيل البياني لكل معادلة. نظرًا لأن الحل هو زوج مرتب يرضي كلا المعادلتين ، فهو نقطة على كلا الخطين وبالتالي نقطة تقاطع الخطين.

جربها

حدد ما إذا كان الزوج المرتب [لاتكس] يسار (8،5 يمين) [/ لاتكس] هو حل للنظام التالي.

حل أنظمة المعادلات بالرسوم البيانية

هناك طرق متعددة لحل أنظمة المعادلات الخطية. ل نظام المعادلات الخطية في متغيرين ، يمكننا تحديد كل من نوع النظام والحل عن طريق رسم نظام المعادلات على نفس مجموعة المحاور.

مثال: حل نظام المعادلات في متغيرين عن طريق التمثيل البياني

حل نظام المعادلات التالي عن طريق التمثيل البياني. تحديد نوع النظام.

حل المعادلة الأولى من أجل [اللاتكس] y [/ latex].

حل المعادلة الثانية لـ [اللاتكس] y [/ latex].

ارسم كلا المعادلتين على نفس مجموعة المحاور:

يبدو أن الخطوط تتقاطع عند النقطة [لاتكس] يسار (-3 ، -2 يمين) [/ لاتكس]. يمكننا التحقق للتأكد من أن هذا هو حل النظام عن طريق التعويض بالزوج المرتب في كلا المعادلتين.

[اللاتكس] ابدأ2 يسار (-3 يمين) + يسار (-2 يمين) & = - 8 [1 مم] -8 = -8 && نص [3mm] left (-3 right) - left (-2 right) & = - 1 [1mm] -1 & = - 1 && text نهاية[/ اللاتكس]

حل النظام هو الزوج المرتب [لاتكس] يسار (-3 ، -2 يمين) [/ لاتكس] ، وبالتالي فإن النظام مستقل.

جربها

حل نظام المعادلات التالي عن طريق التمثيل البياني.

حل النظام هو الزوج المرتب [لاتكس] يسار (-5،3 يمين) [/ لاتكس].

هل يمكن استخدام الرسوم البيانية إذا كان النظام غير متسق أو تابع؟

نعم ، في كلتا الحالتين لا يزال بإمكاننا رسم النظام لتحديد نوع النظام والحل. إذا كان الخطان متوازيان ، فلا يوجد حل للنظام ويكون غير متسق. إذا كان الخطان متطابقين ، فإن النظام لديه حلول لا نهائية وهو نظام تابع.

جربها

ارسم الأنظمة الثلاثة المختلفة باستخدام أداة الرسوم البيانية عبر الإنترنت. صنف كل حل على أنه إما متسق أو غير متسق. إذا كان النظام متسقًا ، فحدد ما إذا كان تابعًا أم مستقلًا. قد تجد أنه من الأسهل رسم كل نظام على حدة ، ثم امسح إدخالاتك قبل أن ترسم التالي.
1)
[اللاتكس] 5x-3y = -19 [/ اللاتكس]
[اللاتكس] x = 2y-1 [/ latex]

2)
[اللاتكس] 4x + y = 11 [/ لاتكس]
[اللاتكس] -2y = -25 + 8x [/ اللاتكس]

  1. حل واحد & # 8211 ثابت ومستقل
  2. لا حلول ، غير متناسقة ، لا تعتمد ولا مستقلة
  3. العديد من الحلول & # 8211 متسقة ، تعتمد

3. مثال: 4-qubit HHL لنأخذ المثال الصغير من المقدمة لتوضيح الخوارزمية. وهذا يعني أن $ A = start1 & amp -1/3 - 1/3 & amp 1 end رباعي نص رباعي | ب rangle = ابدأ1 0 نهاية$ سوف نستخدم $ n_= 1 دولار كيوبت لتمثيل $ | b rangle $ ، ولاحقًا الحل $ | x rangle $، $ n_= 2 دولار كيوبت لتخزين التمثيل الثنائي لقيم eigenvalues ​​و 1 دولار كيوبت إضافي لتخزين ما إذا كان الدوران المشروط ، ومن ثم الخوارزمية ، ناجحًا. لغرض توضيح الخوارزمية ، سنخدع قليلاً ونحسب قيم eigenvalues ​​لـ $ A $ حتى نتمكن من اختيار $ t $ للحصول على تمثيل ثنائي دقيق للقيم الذاتية المعاد قياسها في $ n_-تسجيل. ومع ذلك ، ضع في اعتبارك أنه بالنسبة لتنفيذ خوارزمية HHL ، لا يحتاج المرء إلى معرفة سابقة بقيم eigenvalues. بعد قولي هذا ، فإن الحساب القصير سيعطي $ lambda_ = 2/3 quad text رباعي لامدا_ = 4/3 دولار تذكر من القسم السابق أن QPE سينتج $ n_تقريب ثنائي $ -bit ($ 2 $ -bit في هذه الحالة) $ frac t> $. لذلك ، إذا قمنا بتعيين $ t = 2 pi cdot frac $ ، فإن QPE ستعطي تقديرًا ثنائيًا بقيمة $ 2 $ -bit إلى $ frac t> = 1/4 رباعي نص quad frac t> = 1/2 $ وهو ، على التوالي ، $ | 01 rangle_<>> رباعي نص رباعي | 10 rangle_<>>$ المتجهات الذاتية هي ، على التوالي ، $ | u_ rangle = start1 -1 نهاية رباعي نص رباعي | u_ rangle = ابدأ1 1 نهاية$ مرة أخرى ، ضع في اعتبارك أن المرء لا يحتاج إلى حساب المتجهات الذاتية لتطبيق HHL. في الواقع ، يمكن أن تحتوي المصفوفة Hermitian العامة $ A $ ذات البعد $ N $ على قيم ذاتية مختلفة تصل إلى $ N $ ، وبالتالي فإن حسابها يتطلب $ mathcal(N) سيتم فقد الوقت والميزة الكمية. يمكننا بعد ذلك كتابة $ | b rangle $ في eigenbasis $ A $ كـ $ | b rangle _<>> = sum_^ فارك > | u_ rangle _<>>$ نحن الآن جاهزون لمتابعة الخطوات المختلفة لخوارزمية HHL. يعد تحضير الحالة في هذا المثال أمرًا بسيطًا نظرًا لأن $ | b rangle = | 0 rangle $. سيؤدي تطبيق QPE إلى إنتاج $ frac > | 01 rangle | u_ rangle + frac > | 10 rangle | u_ rangle $ دوران مشروط بـ $ C = 1/8 $ وهو أقل من قيمة eigenvalue الأصغر (المعاد قياسها) لـ $ frac $. لاحظ أن المتغير $ C $ هنا يجب أن يتم اختياره بحيث يكون أقل من القيمة الذاتية الأصغر (التي تم إعادة قياسها) لـ $ frac $ ولكنها كبيرة بقدر الإمكان بحيث عند قياس الكيوبت المساعد ، احتمال وجوده في الدولة $ | 1 & gt $ كبير. $ frac > | 01 rangle | u_ rangle left ( sqrt > >> | 0 rangle + frac | 1 rangle right) + frac > | 10 rangle | u_ rangle left ( sqrt > >> | 0 rangle + frac | 1 rangle right) $ $ = frac > | 01 rangle | u_ rangle left ( sqrt > | 0 rangle + frac | 1 rangle right) + frac > | 10 rangle | u_ rangle يسار ( sqrt > | 0 rangle + frac | 1 rangle right) $ بعد تطبيق QPE $ ^ $ ، يكون الكمبيوتر الكمي في الحالة $ frac > | 00 rangle | u_ rangle left ( sqrt > | 0 rangle + frac | 1 rangle right) + frac > | 00 rangle | u_ rangle يسار ( sqrt > | 0 rangle + frac | 1 rangle right) $ في النتيجة $ 1 $ عند قياس الكيوبت المساعد ، تكون الحالة $ frac > | 00 rangle | u_ rangle frac | 1 rangle + frac > | 00 rangle | u_ rangle frac | 1 rangle> > $ A يُظهر الحساب السريع أن $ frac > | u_ rangle + frac > | u_ rangle> > = frac $ بدون استخدام بوابات إضافية ، يمكننا حساب المعيار $ | x rangle $: هو احتمال قياس $ 1 $ في الكيوبت الإضافي من الخطوة السابقة. $ P (| 1 rangle) = left ( frac > right) ^ + left ( frac > right) ^ = frac = || x || ^ $ حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام التعويض

أ نظام ال المعادلات الخطية هي مجرد مجموعة من معادلتين خطيتين أو أكثر.

في متغيرين (x & thinsp & thinsp و & thinsp & thinsp y) ، يكون الرسم البياني لنظام من معادلتين عبارة عن زوج من الخطوط في المستوى.

هناك ثلاثة احتمالات:

  • تتقاطع الخطوط عند نقطة الصفر. (الخطوط متوازية).
  • تتقاطع الخطوط عند نقطة واحدة بالضبط. (أغلب الحالات.)
  • تتقاطع الخطوط في عدد لا نهائي من النقاط. (تمثل المعادلتان نفس الخط.)

كيفية حل نظام باستخدام طريقة الاستبدال

  • الخطوة 1 : أولاً ، حل معادلة خطية واحدة لـ y بدلالة x.
  • الخطوة 2 : ثم عوض بهذا التعبير عن y في المعادلة الخطية الأخرى. ستحصل على معادلة في x.
  • الخطوه 3 : حل هذا ، وستحصل على x - منسق التقاطع.
  • الخطوة الرابعة: ثم عوض بـ x في أي من المعادلتين لإيجاد المنسق y المقابل.

ملاحظة 1: إذا كان الأمر أسهل ، يمكنك البدء بحل معادلة لـ x بدلالة y ، وأيضًا & ndash نفس الاختلاف!

حل المعادلة الثانية من أجل y.

عوّض بـ 19 & ناقص 7 x عن y في المعادلة الأولى وحل من أجل x.

3 × + 2 (19 & ناقص 7 ×) = 16 3 × + 38 & ناقص 14 × = 16 & ناقص 11 × = & ناقص 22 × = 2

عوّض بـ 2 عن x في y = 19 & ناقص 7 x وحل من أجل y.

ملاحظة 2 : إذا كانت الخطوط متوازية ، ستلغي مصطلحات x في الخطوة 2 ، وستحصل على معادلة مستحيلة ، مثل 0 = 3.

ملاحظة 3 : إذا كانت المعادلتان تمثلان نفس السطر ، فسيتم إلغاء كل شيء في الخطوة 2 ، وستحصل على معادلة زائدة ، 0 = 0.

قم بتنزيل تطبيقات أدوات التعلم المجانية الخاصة بنا وكتب الاختبار الإعدادية

أسماء الاختبارات الموحدة مملوكة لأصحاب العلامات التجارية وليست تابعة لشركة Varsity Tutors LLC.

4.9 / 5.0 تصنيف الرضا عن آخر 100،000 جلسة. اعتبارًا من 27/4/2018.

العلامات التجارية لمنافذ الوسائط مملوكة لوسائل الإعلام المعنية وليست تابعة لـ Varsity Tutors.

مطالبة حائزة على جوائز تستند إلى جوائز CBS Local و Houston Press.

ليس لدى Varsity Tutors أي ارتباط بالجامعات المذكورة على موقعها على الإنترنت.

يربط مدرسو Varsity المتعلمين بالخبراء. المدربون هم مقاولون مستقلون يصممون خدماتهم لكل عميل ، باستخدام أسلوبهم وطرقهم وموادهم.


نظام المعادلات الخطية في متغيرين

نظام المعادلة يعني فقط "أكثر من معادلة واحدة".. أ نظام المعادلات الخطية أكثر من سطر واحد فقط ، انظر الصورة:

حسنًا ، ما هو ملف المحلول من نظام المعادلات؟

الحل هو حيث "تلتقي" المعادلات أو تتقاطع. ال النقطة الحمراء هي حل النظام.

كم عدد الحلول التي يمكن أن تمتلكها أنظمة المعادلات الخطية؟

يمكن أن يكون هناك حلول صفرية أو حل واحد أو حلول غير محدودة - يتم شرح كل حالة بالتفصيل أدناه. ملاحظة: على الرغم من أن أنظمة المعادلات الخطية يمكن أن تحتوي على 3 معادلات أو أكثر ، فإننا سنشير إلى الحالة الأكثر شيوعًا - جذع يتكون من سطرين بالضبط.

هذا هو الموقف الأكثر شيوعًا وهو يتضمن خطوطًا تتقاطع عند نقطة واحدة بالضبط.

يحدث هذا فقط عندما تكون الخطوط متوازية. كما ترى ، لن تلتقي الخطوط المتوازية أبدًا.

هذه هي الحالة النادرة ولا تحدث إلا عندما يكون لديك ملف نفس الخط
ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الخطين أدناه (ص = 2 س + 1 و 2 ص = 4x + 2). هاتان المعادلتان هما في الحقيقة نفس الخط.

كيف يمكننا إيجاد حلول لأنظمة المعادلات؟

للعثور على حل لأنظمة المعادلات الخطية ، يمكنك أي من الطرق التالية:


أنظمة من معادلتين خطيتين متزامنتين في مجهولين

أنظمة من معادلتين خطيتين متزامنتين في مجهولين.
الطرق الأساسية للحل. الاستبدال. الجمع أو الطرح
من المعادلات. محددات الرتبة الثانية. حكم كرامر.
التحقيق في الحلول.

أنظمة من معادلتين خطيتين متزامنتين في مجهولين لها الشكل:

أين أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و - معاملات عددية س ، ص - مجهول.

يمكن إيجاد حل هذه المعادلات الآنية بطريقتين أساسيتين:

الاستبدال. 1). من معادلة واحدة نعبر عن واحدة من المجهول ، على سبيل المثال x ، من خلال المعاملات وآخر غير معروف ذ :

2). عوّض في المعادلة الثانية بدلاً من x :

3). الآن ، حل المعادلة الأخيرة ، أوجد ذ :

y = (af - cd) / (ae - bd).

4). استبدل هذه القيمة بـ ذ في التعبير (2) بدلاً من ذ :

x = (ce - bf) / (ae - bd).

مثال . حل نظام المعادلات الآنية:

من المعادلة الأولى صريحة x من خلال المعاملات و ذ :

عوّض بهذا المقدار في المعادلة الثانية وأوجد ذ :

( 2ذ + 4 ) / 3 + 3ذ = 5 ، وبالتالي ص = 1 .

تجد الآن x ، مع استبدال القيمة التي تم العثور عليها بدلاً من ذ داخل

التعبير عن x: x = (2 · 1 + 4) / 3 من هنا س = 2 .

الجمع أو الطرح. تتكون هذه الطريقة مما يلي.

1). اضرب طرفي المعادلة الأولى للنظام (1) ب ( د ) والجانبين

من المعادلة الثانية بواسطة أ وأضفهم:

من هنا نتلقى: y = (af - cd) / (ae - bd).

2). استبدل القيمة التي تم العثور عليها ذ داخل أي معادلة النظام الأصلي (1):

الفأس + b (af - cd) / (ae - bd) = c.

3). ابحث عن غير معروف آخر x : x = (ce - bf) / (ae - bd).

مثال . حل نظام المعادلات الآنية:

بالطريقة الثانية (جمع أو طرح).

اضرب المعادلة الأولى في -1 ، والثانية في 3 وأضفهم:

من هنا ص = 1. عوّض بهذه القيمة في المعادلة الثانية

(هل من الممكن استبدال هذا في المعادلة الأولى؟): 3x + 9 = 15 ، إذن ، س = 2 .

محددات الرتبة الثانية. لقد رأينا أن هذه الصيغ لحل نظام معادلتين خطيتين متزامنتين في مجهولين لها الشكل:

x = ( م - فرنك بلجيكي ) / ( عبد اللطيف - دينار بحريني ) ,

ذ = ( af - cd ) / ( عبد اللطيف - دينار بحريني ) .

يمكن تذكر هذه الصيغ بسهولة بالغة ، إذا تم إدخال الرمز التالي لبسطها ومقامها:

، والتي ستستخدم للدلالة على تعبير: ps - qr.

يتم تلقي هذا التعبير عن طريق الضرب العرضي للأرقام ص, ف, ص, س :

والطرح التالي لمنتج من منتج آخر: ملاحظة - ريال قطري. تُؤخذ العلامة "+" لمنتج من الأرقام ، يقع على القطر ، من الرقم العلوي الأيسر إلى الرقم السفلي الأيمن. الإشارة " "لقطري آخر ، الانتقال من الرقم العلوي الأيمن إلى الرقم السفلي الأيسر. على سبيل المثال،


يسمى التعبير محدد الدرجة الثانية.

حكم كريمر. باستخدام المحددات ، يمكن كتابة الصيغ (3) على النحو التالي:

الصيغ (4) تسمى حكم كريمر لحل نظام معادلتين خطيتين متزامنتين في مجهولين.

مثال . حل نظام المعادلات الآنية

حل . هنا أ = 1, ب = 1, ج = 12, د = 2, ه = 3, F = 14 .

التحقيق في الحلول لنظام من معادلتين خطيتين متزامنتين في مجهولين يظهر ذلك حسب المعاملات ثلاث حالات مختلفة ممكنة:

1) المعاملات المجهولة في المعادلات نكون غير متناسب: ميلادييكون ,

في هذه الحالة ، يحتوي نظام المعادلات الخطية المتزامنة على أ حل واحد,

2) جميع معاملات المعادلات متناسبة: ميلادي = يكون = ج: و ، في هذه الحالة

نظام المعادلات الخطية المتزامنة له مجموعة لا حصر لها من الحلول,

لأن لدينا معادلة واحدة بدلاً من اثنين.

مثال . في النظام

وهذا النظام لديه مجموعة لا حصر لها من الحلول. ( لماذا؟ )

قسمة المعادلة الأولى على 2 والثانية على 3 ،

سنتلقى معادلتين متطابقتين:

هذه معادلة واحدة في مجهولين ، والتي لها مجموعة لا نهائية من الحلول.

3) المعاملات المجهولة متناسبة ، ولكنها غير متناسبة مع الشروط المجانية:

ميلادي = يكونج: و ، في هذه الحالة ، فإن نظام المعادلات الخطية المتزامنة له


8.2: حل أنظمة المعادلات الخطية - الرياضيات

طريقة الحذف

· يحل نظام المعادلات عندما لا يكون الضرب ضروريًا لاستبعاد المتغير.

· يحل نظام معادلات عندما يكون الضرب ضروريًا لاستبعاد متغير.

· التعرف على الأنظمة التي ليس لها حل أو عدد لا حصر له من الحلول.

· حل مشاكل التطبيق باستخدام طريقة الحذف.

ال طريقة القضاء لحل أنظمة المعادلات الخطية يستخدم خاصية الجمع للمساواة. يمكنك إضافة نفس القيمة إلى كل جانب من المعادلة.

لذلك إذا كان لديك نظام: x - 6 = −6 و x + ص = 8 ، يمكنك إضافة x + ذ إلى الجانب الأيسر من المعادلة الأولى وإضافة 8 إلى الجانب الأيمن من المعادلة. ومنذ ذلك الحين x + ذ = 8 ، أنت تضيف نفس القيمة إلى كل جانب من المعادلة الأولى.

استخدام الجمع لإزالة متغير

إذا أضفت المعادلتين ، xذ = −6 و x + ذ = 8 معًا ، كما هو مذكور أعلاه ، راقبوا ما يحدث.

لقد قضيت على ذ المصطلح ، ويمكن حل هذه المعادلة باستخدام طرق حل المعادلات بمتغير واحد.

دعونا نرى كيف يتم حل هذا النظام باستخدام طريقة الحذف.

استخدم الحذف لحل النظام.

xذ =6

x + ذ = 8

استبدل x = 1 في إحدى المعادلات الأصلية وحلها من أجل ذ.

تأكد من التحقق من إجابتك في كلا المعادلتين!

لسوء الحظ ، ليست كل الأنظمة تعمل على هذا بسهولة. ماذا عن نظام مثل 2x + ذ = 12 و - 3x + ذ = 2. إذا جمعت هاتين المعادلتين معًا ، فلن يتم حذف أي متغيرات.

لكنك تريد حذف متغير. لذلك دعونا نضيف عكس إحدى المعادلات إلى المعادلة الأخرى.

2x + ذ =12 → 2x + ذ = 12 → 2x + ذ = 12

− 3x + ذ = 2 → − ( − 3x + ذ) = − (2) → 3xذ = 2

لقد قضيت على ذ متغير ويمكن الآن حل المشكلة. انظر المثال أدناه.

استخدم الحذف لحل النظام.

2x + ذ = 12

3x + ذ = 2

يمكنك القضاء على ذ-متغير إذا أضفت عكس إحدى المعادلات إلى المعادلة الأخرى.

أعد كتابة المعادلة الثانية على أنها معاكسة لها.

استبدل ذ = 2 في إحدى المعادلات الأصلية وحلها من أجل ذ.

تأكد من التحقق من إجابتك في كلا المعادلتين!

فيما يلي مثالان إضافيان يوضحان كيفية حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام الحذف.

استخدم الحذف لحل النظام.

2x + 3ذ = 1

2x + 5ذ = 25

لاحظ معاملات كل متغير في كل معادلة. إذا قمت بإضافة هاتين المعادلتين ، فإن x سيتم حذف المصطلح منذ ذلك الحين

استبدل ذ = 3 في إحدى المعادلات الأصلية.

استخدم الحذف لحلها x و ذ.

4x + 2ذ = 14

5x + 2ذ = 16

لاحظ معاملات كل متغير في كل معادلة. ستحتاج إلى إضافة عكس إحدى المعادلات للتخلص من المتغير ذ، مثل 2ذ + 2 ص = 4ذ، لكن

غيّر إحدى المعادلتين إلى نقيضها ، واجمعها وحلها x.

استبدل x = 2 في إحدى المعادلات الأصلية وحلها من أجل ذ.

استمر وتحقق من هذا المثال الأخير - استبدل (2 ، 3) في كلا المعادلتين. تحصل على عبارتين صحيحتين: 14 = 14 و 16 = 16!

لاحظ أنه كان بإمكانك استخدام عكس المعادلة الأولى بدلاً من المعادلة الثانية والحصول على نفس النتيجة.

استخدام الضرب والجمع للتخلص من المتغيرات

في كثير من الأحيان ، لن تؤدي إضافة المعادلات أو إضافة عكس إحدى المعادلات إلى حذف متغير. انظر إلى النظام أدناه.

إذا أضفت المعادلات أعلاه ، أو أضفت عكس إحدى المعادلات ، فستحصل على معادلة لا تزال تحتوي على متغيرين. فلنستخدم الآن خاصية الضرب للمساواة أولاً. يمكنك ضرب طرفي إحدى المعادلات في رقم سينتج عنه أن يكون معامل أحد المتغيرات هو عكس نفس المتغير في المعادلة الأخرى.

هذا هو المكان الذي يكون فيه الضرب مفيدًا. لاحظ أن المعادلة الأولى تحتوي على المصطلح 4ذ، والمعادلة الثانية تحتوي على المصطلح ذ. إذا قمت بضرب المعادلة الثانية في −4 ، فعند جمع كلتا المعادلتين ، فإن ذ المتغيرات سوف تضيف ما يصل إلى 0.

3x + 4ص = 52 → 3x + 4ص = 52 → 3x + 4ص = 52

5س + ص = 30 → − 4(5x + ذ) = − 4(30) → − 20x – 4ذ = 120

حل من أجل x و ذ .

المعادلة أ: 3x + 4ص = 52

المعادلة ب: 5x + ذ = 30

ابحث عن المصطلحات التي يمكن حذفها. المعادلات ليس لها أي x أو ذ شروط بنفس المعاملات.

اضرب المعادلة الثانية في - 4 بحيث يكون لهما نفس المعامل.

أعد كتابة النظام وأضف المعادلات.

استبدل x = 4 في إحدى المعادلات الأصلية لإيجادها ذ.

هناك طرق أخرى لحل هذا النظام. بدلاً من ضرب معادلة واحدة من أجل حذف متغير عند إضافة المعادلات ، كان بإمكانك الضرب على حد سواء المعادلات بأرقام مختلفة.

دعونا نحذف المتغير x هذا الوقت. اضرب المعادلة أ في 5 والمعادلة ب ب -3.

حل من أجل x و y.

3x + 4ص = 52

ابحث عن المصطلحات التي يمكن حذفها. المعادلات ليس لها أي x أو ذ شروط بنفس المعامل.

من أجل استخدام طريقة الحذف ، عليك إنشاء متغيرات لها نفس المعامل - ثم يمكنك حذفها. اضرب المعادلة العليا في 5.

الآن اضرب المعادلة السفلية في −3.

بعد ذلك ، أضف المعادلات وحلها من أجل ذ.

استبدل ذ = 10 في إحدى المعادلات الأصلية لإيجادها x.

لقد توصلت إلى نفس الحل كما كان من قبل.

تم ضرب هاتين المعادلتين في 5 و - 3 على التوالي ، لأن ذلك أعطاك حدودًا من شأنها أن تصل إلى 0. تأكد من ضرب كل شروط المعادلة.

يحتاج فيليكس إلى البحث x و ذ في النظام التالي.

المعادلة أ: 7ذ − 4x = 5

المعادلة ب: 3ذ + 4x = 25

إذا أراد استخدام طريقة الحذف للتخلص من أحد المتغيرات ، فما هي الطريقة الأكثر فاعلية بالنسبة له للقيام بذلك؟

أ) أضف المعادلة أ والمعادلة ب

ب) أضف 4x على جانبي المعادلة أ

ج) اضرب المعادلة أ ب 5

د) اضرب المعادلة ب ب - 1

أ) أضف المعادلة أ والمعادلة ب

صيح. إذا جمع فيليكس المعادلتين ، فإن المصطلحين 4x و - 4x سيتم الإلغاء ، وترك 10ذ = 30. سيكون فيليكس قادرًا على حلها بسهولة ذ.

ب) أضف 4x على جانبي المعادلة أ

غير صحيح. إضافة 4x لكلا طرفي المعادلة A لن يغير قيمة المعادلة ، لكنه لن يساعد في حذف أي من المتغيرات - سينتهي بك الأمر مع المعادلة المعاد كتابتها 7ذ = 5 + 4x. الإجابة الصحيحة هي إضافة المعادلة أ والمعادلة ب.

ج) اضرب المعادلة أ ب 5

غير صحيح. ينتج عن ضرب المعادلة A في 5 الناتج 35ذ − 20x = 25 وهو ما لا يساعدك على التخلص من أي من المتغيرات في النظام. قد يلاحظ فيليكس أن ثابتًا لكل المعادلتين هو 25 ، لكن طرح أحدهما من الآخر ليس طريقة فعالة لحل هذه المشكلة. بدلاً من ذلك ، ستنشئ معادلة أخرى حيث يوجد كلا المتغيرين. الإجابة الصحيحة هي إضافة المعادلة أ والمعادلة ب.

د) اضرب المعادلة ب ب - 1

غير صحيح. ضرب المعادلة ب في - 1 ينتج - 3ذ – 4x = - 25 مما لا يساعدك على التخلص من أي من المتغيرات في النظام. قد يلاحظ فيليكس أن كلا المعادلتين لهما حد - 4x، لكن إضافتها لن تلغيها ، بل ستمنحك - 8x. الإجابة الصحيحة هي إضافة المعادلة أ والمعادلة ب.

تمامًا كما هو الحال مع طريقة الاستبدال ، سيتم حذف طريقة الحذف في بعض الأحيان كلاهماariables ، وينتهي بك الأمر إما ببيان صحيح أو بيان خاطئ. تذكر أن البيان الخاطئ يعني أنه لا يوجد حل.

حل من أجل x و ذ.

- x ذ = -4

x + ص = 2

أضف المعادلات للتخلص من

يوضح الرسم البياني لهذه الخطوط أنها خطوط متوازية وبالتالي لا تشترك في أي نقطة مشتركة ، مما يؤكد عدم وجود حل.

إذا تم حذف كلا المتغيرين وتركت جملة صحيحة ، فهذا يشير إلى أن هناك عددًا لا حصر له من الأزواج المرتبة التي تفي بكلتا المعادلتين. في الواقع ، المعادلات هي نفس الخط.

حل من أجل x و ذ.

x + ذ = 2

- x ص = - 2

أضف المعادلات للتخلص من

هناك عدد لا حصر له من الحلول.

سيساعد رسم هاتين المعادلتين في توضيح ما يحدث.

حل مشاكل التطبيق باستخدام طريقة الحذف

يمكن تطبيق طريقة الحذف لحل أنظمة المعادلات التي تمثل مواقف حقيقية. فيما يلي مثالين لاستخدام طريقة الحذف في حل المشكلات.

مجموع عددين هو 10. الفرق بينهما هو 6. ما هو الرقمان؟

اكتب نظام معادلات لنمذجة الموقف.

أضف المعادلات للتخلص من ذ- مصطلح ثم حل ل x.

استبدل قيمة x في إحدى المعادلات الأصلية لإيجادها ذ.

تحقق من إجابتك عن طريق الاستبدال x = 8 و ذ = 2 في النظام الأصلي.

باع مسرح 800 تذكرة لأداء ليلة الجمعة. تبلغ تكلفة تذكرة الطفل الواحد 4.50 دولارًا وتكلفة تذكرة الشخص البالغ 6.00 دولارًا أمريكيًا ، وبلغ إجمالي المبلغ المحصل 4500 دولار كم عدد التذاكر التي تم بيعها من كل نوع؟

العدد الإجمالي للتذاكر المباعة هو 800.

مبلغ المال المحصل هو $4,500

اكتب نظام معادلات لنمذجة حالة بيع التذاكر.

أ = عدد تذاكر البالغين المباعة

ج = عدد تذاكر الأطفال المباعة

استخدم الضرب لإعادة كتابة المعادلة الأولى.

أضف عكس المعادلة الثانية للتخلص من الحد وحل من أجله ج.

استبدل 200 في من أجل ج في إحدى المعادلات الأصلية.

تحقق من إجابتك عن طريق الاستبدال

ج = 200 في النظام الأصلي. التحقق من الإجابات.

تم بيع 600 تذكرة للبالغين و 200 تذكرة أطفال.

يعد دمج المعادلات أداة قوية لحل نظام المعادلات. Adding or subtracting two equations in order to eliminate a common variable is called the elimination (or addition) method. Once one variable is eliminated, it becomes much easier to solve for the other one. Multiplication can be used to set up matching terms in equations before they are combined. When using the multiplication method, it is important to multiply all the terms on both sides of the equation—not just the one term you are trying to eliminate.


Solving Large Systems of Equations

To solve any system of linear equations, you will need to have at least the same number of independent equations as the number of variables. This can then be solved via the algebraic method or the algebraic elimination method. You can apply either method enough times to reduce each relation from a system of three or more equations with 3 or more variables to a system of 2 equations and two variables.

مثال

$ 2x - y + 6z = 1 ext < (equation 1)>$ $ x - y + z = 2 ext < (equation 2)>$ $ x + y + z = 1 ext < (equation 3)>$

Steps to solve:

1) Solve equation 1 for y. After applying basic algebra skills, equation 1 becomes (y = 2x + 6z - 1).

2) Plug the value of y, which is ((2x + 6z -1)), into equations 2 and 3. Equation 2 becomes:

$ x - y + z = 2 $ $ x -(2x + 6z -1) + z = 2 $ $ x -2x - 6z + 1 = 2 $ $ -x - 6z = 2-1 $ $ -x -6z = 1 $

$ x + y + z = 1 $ $ x + 2x + 6z -1 + z = 1 $ $ 3x + 7z -1 = 1 $ $ 3x + 7z = -1+1 $ $ 3x + 7z = 0 $

We now have come down to a system of two equations and two variables. Here are the two equations and two variables:

$ -x - 6z = 1 $ $ -x = 6z + 1 $ $ x = -6z - 1 $

4) Plug the value for x into equation B to solve for z:

$ 3x + 7z = 0 $ $ 3(-6z - 1) + 7z = 0 $ $ -18z - 3 + 7z = 0 $ $ -11z - 3 = 0 $ $ -11z = 3 $ $ z = frac<-11> <3>$

5) Now plug the value for z into equation A to find x:

$ -x - 6z = 1 $ $ -x -6frac<-11> <3>= 1 $ $ -x + 22 = 1 $ $ -x = -22 + 1 $ $ -x = -21 $ $ x = 21 $

6) Lastly, go back to ANY of the original 3 equations to find the value of y by substituting what you found for x and z. I will select equation 3.

$ x + y + z = 1 $ $ 21 + y - frac<11> <3>= 1 $ $ frac<52> <3>+ y = 1 $ $ y = frac<-52> <3>+ 1 $ $ y = frac<-49> <3>$

Final answer:

There are cases when NO solution to a system is possible. A solution to a system takes place where the graphs of the equations will cross or meet. Because of this, we can say that parallel lines (which have equal slopes) have NO solution because parallel lines never cross, touch or meet.

These two lines never meet, and thus have no intersection:

It is also possible to face a question where BOTH equations share the SAME LINE on the xy-plane. For example, (2r -s = 5) and (4r - 2s = 10) can be reduced to (s = 2r - 5). These two equations share the SAME LINE on the xy-plane. They are not independent, and there is no unique solution to the system.


مدونة Symbolab

أ نظام المعادلات is a collection of two or more equations with the same set of variables. In this blog post, we will be focusing on a system of linear equations. A system of linear equations is a collection of two or more linear equations with the same set of variables, meaning the variables are only to the first power and there are no products of variables. There are a couple ways to solve a system of linear equations, but in this blog post we will focus on one method, elimination.

  1. Multiply equation by a constant (not zero)
  2. Add/subtract equations together
  3. Plug the calculated value of variable in one of the equations to find value of other variable
  4. Double check your work by plugging the values back into the equation

It’s easier to visually understand elimination. We will go through one example step by step.

Here’s another example with two equations (click here):


Here’s an example of three equations with three variables (click here):


*Remember to use the tips for solving this type of system of linear equations!

Solving a system of equations using elimination is pretty simple. Keep your work clean, double check your work for small errors, and practice a couple problems. Elimination is a very popular method to solve systems of linear equations before learning about matrices, so it is important to practice it.


شاهد الفيديو: تشويقات. حل المعادلات الخطية بيانيا (شهر اكتوبر 2021).