مقالات

2.2: رسوم بيانية لوظائف القاطع وقاطع التمام - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تحليل الرسوم البيانية لـ (y = sec x ) و (y = csc x ).
  • أشكال الرسم البياني لـ (y = sec x ) و (y = csc x ).

تحليل الرسوم البيانية لـ (y = sec x ) و (y = csc x )

تم تعريف الدالة secant من خلال الهوية المتبادلة (sec ، x = dfrac {1} { cos x} ). لاحظ أن الوظيفة غير محددة عندما يكون جيب التمام (0 ) ، مما يؤدي إلى خطوط مقاربة عمودية في ( dfrac { pi} {2} ) ، ( dfrac {3 pi} {2} ) إلخ. نظرًا لأن جيب التمام لا يزيد أبدًا عن (1 ) في القيمة المطلقة ، فإن القاطع ، كونه مقلوبًا ، لن يكون أبدًا أقل من (1 ) في القيمة المطلقة.

يمكننا رسم بياني (y = sec x ) بملاحظة الرسم البياني لدالة جيب التمام لأن هاتين الدالتين مقلوبتان لبعضهما البعض. راجع الشكل ( PageIndex {1} ). يظهر الرسم البياني لجيب التمام كموجة برتقالية متقطعة حتى نتمكن من رؤية العلاقة. عندما ينخفض ​​الرسم البياني لوظيفة جيب التمام ، يزداد الرسم البياني لوظيفة القاطع. عندما يزداد الرسم البياني لوظيفة جيب التمام ، ينخفض ​​الرسم البياني لوظيفة القاطع. عندما تكون دالة جيب التمام صفراً ، يكون القاطع غير معرّف.

يحتوي الرسم البياني القاطع على خطوط مقاربة عمودية عند كل قيمة (x ) حيث يتقاطع الرسم البياني لجيب التمام مع المحور (x ) - وهذا لأن معكوس 0 غير محدد. نعرضها في الرسم البياني أدناه بخطوط عمودية متقطعة ، لكننا لن نعرض جميع الخطوط المقاربة صراحةً في جميع الرسوم البيانية اللاحقة التي تتضمن القاطع وقاطع التمام.

لاحظ أنه نظرًا لأن جيب التمام دالة زوجية ، فإن القاطع هو أيضًا دالة زوجية. وهذا هو ، ( ثانية (−x) = ثانية س ).

لأنه لا توجد قيم قصوى أو أدنى لدالة الظل ، المصطلح السعة لا يمكن تفسيره كما هو الحال بالنسبة لوظائف الجيب وجيب التمام. بدلا من ذلك ، سوف نستخدم العبارة عامل التمدد / الضغط عند الإشارة إلى الثابت (أ ).

ميزات الرسم البياني لـ (Y = A sec (Bx) )

  • عامل التمدد هو (| A | ).
  • النقطة هي ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • المجال هو (x ≠ dfrac { pi} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.
  • النطاق هو ((- ∞، - | A |] ∪ [| A |، ∞) ).
  • تظهر الخطوط المقاربة العمودية عند (x = dfrac { pi} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.
  • لا يوجد سعة.
  • (y = A sec (Bx) ) دالة زوجية لأن جيب التمام دالة زوجية.

على غرار القاطع ، فإن ملف قاطع التمام يتم تعريفه من خلال الهوية المتبادلة ( csc x = dfrac {1} { sin x} ). لاحظ أن الوظيفة غير محددة عندما يكون الجيب (0 ) ، مما يؤدي إلى خط مقارب عمودي في الرسم البياني عند (0 ) ، ( pi ) ، وما إلى ذلك نظرًا لأن الجيب لا يزيد أبدًا عن (1) ) بالقيمة المطلقة ، فإن قاطع التمام ، كونه مقلوبًا ، لن يكون أبدًا أقل من (1 ) في القيمة المطلقة.

يمكننا رسم بياني (y = csc x ) بملاحظة الرسم البياني لوظيفة الجيب لأن هاتين الدالتين مقلوبتان لبعضهما البعض. راجع الشكل ( PageIndex {2} ). يظهر الرسم البياني للجيب كموجة برتقالية متقطعة حتى نتمكن من رؤية العلاقة. عندما ينخفض ​​الرسم البياني لوظيفة الجيب ، يزداد الرسم البياني لوظيفة قاطع التمام. حيث يزداد الرسم البياني لوظيفة الجيب ، فإن الرسم البياني لـ دالة قاطع التمام النقصان.

يحتوي الرسم البياني لجيب التمام على خطوط مقاربة عمودية عند كل قيمة (س ) حيث يتقاطع الرسم البياني الجيبي مع (س ) - المحور ؛ نعرضها في الرسم البياني أدناه بخطوط عمودية متقطعة.

لاحظ أنه نظرًا لأن الجيب دالة فردية ، فإن دالة قاطع التمام هي أيضًا دالة فردية. وهذا هو ، ( csc (−x) = - csc x ).

الرسم البياني لقاطع التمام ، الموضح في الشكل ( PageIndex {2} ) ، يشبه الرسم البياني للقطع.

ميزات الرسم البياني لـ (Y = A csc (Bx) )

  • عامل التمدد هو (| A | ).
  • النقطة هي ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • المجال هو (x ≠ dfrac { pi} {| B |} k ) ، حيث (k ) عدد صحيح.
  • النطاق هو ((- ∞، - | A |] ∪ [| A |، ∞) ).
  • تظهر الخطوط المقاربة عند (x = dfrac { pi} {| B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح.
  • (y = A csc (Bx) ) هي دالة فردية لأن الجيب دالة فردية.

أشكال الرسوم البيانية لـ (y = sec x ) و (y = csc x )

بالنسبة للإصدارات المنقولة والمضغوطة و / أو الممتدة من الدوال القاطعة وقاطع التمام ، فإننا نحدد الخطوط المقاربة العمودية ونقيم أيضًا الوظائف لبضع نقاط (تحديدًا القيم القصوى المحلية). إذا أردنا رسم فترة واحدة فقط ، فيمكننا اختيار الفاصل الزمني لهذه الفترة بأكثر من طريقة. إجراء القاطع مشابه جدًا ، لأن متطابقة الوظيفة المشتركة تعني أن الرسم البياني القاطع هو نفسه الرسم البياني لقاطع التمام الذي انزاح نصف فترة إلى اليسار. يمكن تطبيق الانزياحات الرأسية والطورية على دالة قاطع التمام بنفس الطريقة التي تطبق بها الدوال القاطعة والدوال الأخرى ، وتصبح المعادلات كما يلي.

[y = A sec (Bx − C) + D nonumber ]

[y = A csc (Bx − C) + D nonumber ]

ميزات الرسم البياني لـ (Y = A sec (Bx − C) + D )

  • عامل التمدد هو (| A | ).
  • النقطة هي ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  • المجال هو (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.
  • النطاق هو ((- ∞، - | A |] ∪ [| A |، ∞) ).
  • تظهر الخطوط المقاربة العمودية عند (x = dfrac {C} {B} + dfrac {π} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح فردي.
  • لا يوجد سعة.
  • (y = A sec (Bx) ) دالة زوجية لأن جيب التمام دالة زوجية.

ميزات الرسم البياني لـ (Y = A csc (Bx − C) + D )

  1. عامل التمدد هو (| A | ).
  2. النقطة هي ( dfrac {2 pi} {| B |} ).
  3. المجال هو (x ≠ dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {2 | B |} k ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح.
  4. النطاق هو ((- ∞، - | A |] ∪ [| A |، ∞) ).
  5. تظهر الخطوط المقاربة العمودية عند (x = dfrac {C} {B} + dfrac { pi} {| B |} k ) ، حيث (k ) عدد صحيح.
  6. لا يوجد سعة.
  7. (y = A csc (Bx) ) هي دالة فردية لأن الجيب دالة فردية.

كيف: إعطاء دالة على شكل (y = A sec (Bx) ) ، رسم بيانيًا لفترة واحدة

  1. ارسم الوظيفة (y = A cos (Bx) ).
  2. ارسم خطوطًا مقاربة عمودية حيث يتقاطع المنحنى مع خط الوسط ، وهو محور (س )
  3. املأ المنحنى القاطع بين الخطوط المقاربة. عندما يكون لمنحنى جيب التمام حدًا أقصى ، فإن منحنى القاطع سيكون له حرف U.

مثال ( PageIndex {1} ): رسم شكل بياني لوظيفة القاطع

رسم فترة واحدة من (f (x) = 2.5 sec (0.4x) ).

حل

  • الخطوة 1. ارسم رسمًا بيانيًا للوظيفة (f (x) = 2.5 cos (0.4x) ). (A = 2.5 ) لذا فإن عامل التمدد هو (2.5 ). (B = 0.4 ) لذا (P = dfrac {2 pi} {0.4} = 5 pi ). الفترة هي (5 pi ) وحدات. قسمة هذا على 4 يعطي ( dfrac {5 pi} {4} ). في كل مرة نقطع فيها مسافة ( dfrac {5 pi} {4} ) ، سنكون في أقصى حد ، أو على خط الوسط ، أو على الأقل.
  • الخطوة 2. ارسم خطوطًا مقاربة عمودية حيث يتقاطع المنحنى مع خط الوسط ، وهو محور (س )
  • الخطوه 3. املأ المنحنى القاطع بين الخطوط المقاربة. عندما يكون لمنحنى جيب التمام حد أدنى ، سيكون لمنحنى القاطع حرف U هبوطي يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) الرسم البياني. المنحنى الأخضر المتقطع هو دالة جيب التمام ، والتي تعمل عند "الهيكل العظمي" لمنحنى القاطع. الخطوط الزرقاء المتقطعة هي الخطوط المقاربة العمودية. المنحنيات الحمراء هي دالة القاطع الحاد.

تمرين ( PageIndex {1} )

رسم فترة واحدة من (f (x) = - 2.5 sec (0.4x) ).

إجابه

هذا انعكاس عمودي للرسم البياني السابق لأن (A ) سلبي.

سؤال وجواب: هل يؤثر التحول الرأسي والتمدد / الضغط على نطاق القاطع؟

نعم. نطاق (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) هو ((-، - | A | + D] ∪ [| A | + D، ∞) ).

بالنظر إلى دالة على الشكل (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) ، ارسم فترة واحدة.

  1. ارسم الرسم البياني لـ (f (x) = A cos (Bx − C) + D )
  2. ارسم الخطوط المقاربة العمودية ، والتي تحدث عندما يمر منحنى جيب التمام عبر خط الوسط عند (y = D )
  3. املأ المنحنى القاطع بين الخطوط المقاربة. عندما يكون لمنحنى جيب التمام حد أدنى ، فإن منحنى القاطع سيكون له حرف U هبوطي.

مثال ( PageIndex {2} ): رسم شكل بياني لوظيفة القاطع

رسم فترة واحدة من (y = sec left (2x− dfrac { pi} {2} right) +3 ).

حل

  • الخطوة 1. ارسم المنحنى (y = cos left (2x− dfrac { pi} {2} right) +3 ). عامل التمدد / الضغط هو (| A | = 1 ) وبالتالي فإن السعة هي 1. (B = 2 ) وبالتالي فإن النقطة هي ( dfrac {2 pi} {2} = pi ). ينتج عن قسمة النقطة على 4 ( dfrac { pi} {4} ). في كل مرة نقطع فيها هذه المسافة ، سنكون في أقصى حد ، أو في خط الوسط ، أو على الأقل. لإيجاد تحول الطور ، نحل المعادلة (2x− dfrac { pi} {2} = 0 ) التي لها الحل (x = dfrac { pi} {4} ). يوجد تحول طوري ( dfrac { pi} {4} ) إلى اليمين. هذا يعني أنه يمكننا "بدء" منحنى جيب التمام بأقصى حد يقع عند ( left ( dfrac { pi} {4}، 4 right) ). خط الوسط هو الخط الأفقي (ص = 3 ).
  • الخطوة 2. ارسم الخطوط المقاربة العمودية ، والتي تحدث عندما يمر منحنى جيب التمام عبر خط الوسط (y = 3 ).
  • الخطوه 3. املأ المنحنى القاطع بين الخطوط المقاربة. عندما يكون لمنحنى جيب التمام حد أدنى ، سيكون لمنحنى القاطع حرف U هبوطي يوضح الشكل ( PageIndex {5} ) الرسم البياني. المنحنى الأخضر هو دالة جيب التمام والخطوط الزرقاء العمودية هي الخطوط المقاربة العمودية. المنحنى (y = sec left (2x− dfrac { pi} {2} right) +3 ) باللون الأحمر.

تمرين ( PageIndex {2} )

ارسم فترة واحدة من (f (x) = - 6 sec (4x + 2) −8 ).

إجابه

سؤال وجواب: تم ​​إعطاء مجال ( csc ، x ) ليكون all (x ) بحيث (x ≠ k pi ) لأي عدد صحيح (k ). هل سيكون مجال (y = A csc (Bx − C) + D ) (x ≠ dfrac {C + k pi} {B} )؟

نعم. تتبع النقاط المستبعدة للمجال الخطوط المقاربة العمودية. توضح مواقعها التحول الأفقي والضغط أو التوسع الذي ينطوي عليه التحول إلى مدخلات الوظيفة الأصلية.

بالنظر إلى دالة على الشكل (y = A csc (Bx) ) ، ارسم فترة واحدة.

  1. ارسم الوظيفة (y = A sin (Bx) ).
  2. ارسم خطوطًا مقاربة عمودية حيث يتقاطع المنحنى مع خط الوسط ، وهو محور (س )
  3. املأ منحنى قاطع التمام بين الخطوط المقاربة. عندما يكون لمنحنى الجيب حدًا أقصى ، فإن منحنى قاطع التمام سيكون له حرف U.

مثال ( PageIndex {3} ): رسم شكل بياني لدالة قاطع التمام

ارسم فترة واحدة من (f (x) = - 3 csc (4x) ).

حل

  • الخطوة 1. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة (f (x) = - 3 sin (4x) ). (| A | = | −3 | = 3 ) ، لذا فإن السعة هي 3. (B = 4 ) ، لذا (P = dfrac {2 pi} {4} = dfrac { pi } {2} ). الفترة هي ( dfrac { pi} {2} ) وحدات. ينتج عن قسمة النقطة على 4 ( dfrac { pi} {8} ). في كل مرة نقطع فيها مسافة ( dfrac { pi} {8} ) ، سيكون لمنحنى الجيب الحد الأقصى ، أو يكون على خط الوسط ، أو يكون له حد أدنى. قيمة (C ) هي 0 لذلك لا يوجد تحول طور ، يمكننا "بدء" المنحنى على خط الوسط عند (x = 0 ). قيمة (D ) هي 0 لذلك لا يوجد تحول رأسي - الخط الأوسط هو المحور (س ).
  • الخطوة 2. ارسم خطوطًا مقاربة عمودية حيث يتقاطع المنحنى مع خط الوسط ، وهو محور (س ).
  • الخطوه 3. املأ منحنى قاطع التمام بين الخطوط المقاربة. عندما يكون لمنحنى الجيب حدًا أدنى ، فإن منحنى قاطع التمام سيكون له حرف U هبوطي. يوضح الشكل ( PageIndex {7} ) الرسم البياني خلال فترة واحدة.

تمرين ( PageIndex {3} )

رسم بياني (f (x) = 0.5 csc (2x) ) على مدى فترتين على الأقل.

إجابه

بالنظر إلى دالة على الشكل (f (x) = A csc (Bx − C) + D ) ، رسم بيانيًا لفترة واحدة

  1. ارسم الرسم البياني لـ (f (x) = A sin (Bx − C) + D )
  2. ارسم الخطوط المقاربة العمودية ، والتي تحدث عندما يمر منحنى الجيب عبر خط الوسط عند (y = D )
  3. املأ منحنى قاطع التمام بين الخطوط المقاربة. عندما يكون لمنحنى الجيب حد أدنى ، فإن منحنى قاطع التمام سيكون له حرف U هبوطي.

مثال ( PageIndex {4} ): رسم قاطع التمام الممدود عموديًا والمضغوط أفقيًا والمزاح عموديًا

ارسم رسمًا بيانيًا لـ (y = 2 csc left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ).

حل

  • الخطوة 1. ارسم رسمًا بيانيًا لـ (y = 2 sin left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ). (| A | = 2 ) إذًا السعة هي 2. الفترة هي ( dfrac {2 pi} {| B |} = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {2} } = 2 pi⋅ dfrac {2} { pi} = 4 ). قسمة الفترة على 4 يعطي 1. في كل مرة نقوم فيها بتحريك وحدة من 1 ، سيكون لمنحنى الجيب الحد الأقصى ، أو يكون في خط الوسط ، أو يكون له حد أدنى. لإيجاد تحول الطور ، نحل المعادلة ( dfrac { pi} {2} x = 0 ) التي لها حل (x = 0 ). يمكننا "بدء" منحنى الجيب عند (x = 0 ) على خط الوسط ، وهو عند (y = 1 ).
  • الخطوة 2. ارسم الخطوط المقاربة العمودية ، والتي تحدث عندما يمر منحنى الجيب عبر خط الوسط عند (y = 1 ).
  • الخطوه 3. املأ منحنى قاطع التمام بين الخطوط المقاربة. عندما يكون لمنحنى الجيب حد أدنى ، فإن منحنى قاطع التمام سيكون له حرف U هبوطي.

يظهر الرسم البياني لهذه الوظيفة في الشكل ( PageIndex {9} ) باللون الأزرق الداكن. الخط البرتقالي المتقطع هو منحنى الجيب والخطوط العمودية الزرقاء والخضراء المتقطعة هي الخطوط المقاربة العمودية.

تحليل

الخطوط المقاربة العمودية الموضحة في الرسم البياني تشير إلى فترة واحدة من الدالة ، وتظهر الحدود القصوى المحلية في هذه الفترة بالنقاط. لاحظ كيف يرتبط الرسم البياني لقاطع التمام المحول بالرسم البياني لـ (f (x) = 2 sin left ( frac { pi} {2} x right) +1 ) ، كما هو موضح كموجة برتقالية متقطعة .

تمرين ( PageIndex {4} )

بالنظر إلى الرسم البياني لـ (f (x) = 2 cos left ( frac { pi} {2} x right) +1 ) الموضح في الشكل ( PageIndex {10} ) ، ارسم الرسم البياني من (g (x) = 2 sec left ( dfrac { pi} {2} x right) +1 ) على نفس المحاور.

إجابه

المعادلات الرئيسية

وظيفة قاطعة تم تغييرها و / أو ضغطها و / أو تمديدها (ص = أ ثانية (ب س − ج) + د )
وظيفة قاطعة التمام المنقولة والمضغوطة و / أو الممتدة (y = A csc (Bx − C) + D )

المفاهيم الرئيسية

  • القاطع وقاطع التمام كلاهما دالات دورية بفترة (2 pi ).
  • (f (x) = A sec (Bx − C) + D ) يعطي رسمًا بيانيًا لوظيفة قاطعة متغيرة و / أو مضغوطة و / أو ممتدة. راجع المثال ( PageIndex {4} ) والمثال ( PageIndex {5} ).
  • (f (x) = A csc (Bx − C) + D ) يعطي رسمًا بيانيًا لدالة قاطعة التمام المقلوبة والمضغوطة و / أو الممتدة. راجع المثال ( PageIndex {6} ) والمثال ( PageIndex {7} ).

PCC SLC Math Resources

الرسم البياني للوظيفة (y = sec (t) ).

تذكر أن دالة القاطع هي مقلوب دالة جيب التمام. بمعنى ، ( sec (t) = frac <1> < cos (t)> text <.> ) بالنظر إلى ذلك ، يبدو أنه مكان جيد لبدء فهمنا للرسم البياني لـ (t) = sec (t) ) هو النظر إلى رسم بياني لـ (y = cos (t) text <.> ) يظهر هذا الرسم البياني بالشكل 16.6.1.

أول شيء يجب أن نلاحظه هو أن فترة دالة القاطع ستكون هي نفسها فترة دالة جيب التمام أي (2 pi text <.> )

يجب أن نلاحظ أيضًا أن ( cos (t) = 0 ) في (- frac <5 pi> <2> text <،> ) (- frac <3 pi> <2> text <،> ) (- frac < pi> <2> text <،> ) ( frac < pi> <2> text <،> ) ( frac <3 pi> <2> text <،> ) و ( frac <5 pi> <2> text <.> ) وبالتالي ، عند كل من هذه القيم من (t text <،> ) الدالة secant لها الشكل ( frac <1> <0> text <.> ) كما هو الحال مع الدوال المنطقية (أو أي دالة ، لهذه المسألة) ، في أي قيمة ترجع فيها الدالة كسرًا من شكل ( فارك < نص> < نص> text <،> ) يقترب الرسم البياني للوظيفة من خط مقارب عمودي. وبالتالي ، فإن الرسم البياني لـ (y = sec (t) ) له خط مقارب عمودي في كل مكان ( cos (t) = 0 text <.> ) الخط المقارب العمودي ، على وجه التحديد: ( ، . ، t = - frac <5 pi> <2>، ، t = - frac <3 pi> <2>، ، t = - frac < pi> <2>، ، t = frac < pi> <2> ، ، t = frac <3 pi> <2> ، ، t = frac <5 pi> <2> ، . text <.> )

تمت إضافة الخطوط المقاربة العمودية التي تظهر فوق ([- frac <5 pi> <2>، frac <5 pi> <2>] ) إلى الرسم البياني في الشكل 16.6.2.

عند (- 2 pi text <،> ) (0 text <،> ) و (2 pi text <،> ) ، تكون قيمة دالة جيب التمام هي (1 text < ،> ) لذا فإن قيمة الدالة secant هي أيضًا (1 text <.> ) على الفواصل الزمنية ( left (- frac <5 pi> <2> ، - frac <3 pi > <2> right) text <،> ) ( left (- frac < pi> <2>،frac <2> right) text <،> ) و ( left ( frac <3 pi> <2>،frac<5pi> <2> right) ) تكون دالة جيب التمام موجبة دائمًا ، لذا فإن دالة القاطع تكون أيضًا إيجابية دائمًا. وبالتالي ، في كلا طرفي كل من هذه الفواصل الزمنية ، سيشير منحنى القاطع إلى الأعلى على طول الخطوط المقاربة. تمت إضافة هذه الأجزاء من دالة القاطع في الشكل 16.6.3.

عند (- pi ) و ( pi text <،> ) ، تكون قيمة دالة جيب التمام هي (- 1 text <،> ) وبالتالي فإن قيمة دالة القاطع هي أيضًا (- 1 text <.> ) على الفواصل الزمنية ( left (- frac <3 pi> <2>،-frac <2> right) ) و ( left ( frac < pi> <2>،frac<3pi> <2> right) ) تكون دالة جيب التمام سالبة دائمًا ، لذا فإن دالة secant تكون سالبة دائمًا. وبالتالي ، في كلا طرفي كل من هذه الفواصل الزمنية ، سيشير منحنى القاطع إلى الأسفل على طول الخطوط المقاربة. تم إكمال وظيفة القاطع في الشكل 16.6.4.

مثال 16.6.5.

ارسم فترتين كاملتين للوظيفة (y = frac <1> <2> sec left (3 left (t- frac < pi> <2> right) right) text <.> )

نبدأ بملاحظة أن ( frac <1> <2> sec left (3 left (t- frac < pi> <2> right) right) = frac <1> <2> cdot frac <1> < cos left (3 left (t- frac < pi> <2> right) right)> text <.> ) يجب أن نلاحظ أيضًا أن ( y ) - ستكون الإحداثيات عند الحد الأدنى من النقاط المحلية على وظيفة القاطع ( frac <1> <2> ) و (y ) - ستكون الإحداثيات عند الحد الأقصى للنقاط المحلية (- frac < 1> <2> text <.> ) وبالتالي ، إذا أردنا أن تلمس منحنياتنا الحد الأدنى والأقصى للنقاط في دالة جيب التمام ، فإن دالة جيب التمام التي يجب أن نرسمها هي (y = frac <1> <2 > cos يسار (3 يسار (t- فارك < pi> <2> يمين) يمين) نص <.> )

سعة دالة جيب التمام التي سنرسمها هي ( frac <1> <2> text <.> ) نظرًا لعدم وجود تحول رأسي ، سيكون خط الوسط هو المحور (x ) - والمحور ستكون القيم الدنيا والقصوى لـ (t ) ، على التوالي ، (- frac <1> <2> ) و ( frac <1> <2> text <.> ) يجب أن نلاحظ ذلك لا نطبق سعة الكلمة على دالة القاطع أو قاطع التمام.

فترة كل من جيب التمام والدالة القاطعة التي سنرسمها هي ( frac <2 pi> <3> text <.> ) كلاهما لهما أيضًا تحول إلى اليمين لـ ( frac < pi> < 2> ) من وظائف الوالدين. بدون التحول الأفقي ، سنحصل على فترتين كاملتين على الفواصل الزمنية ( left (- frac <2 pi> <3> ، 0 right) ) و ( left (0 ، frac <2 pi > <3> right) text <.> ) مع التحول ، سنكمل فترتين على الفواصل الزمنية ( left (- frac <2 pi> <3> + frac < pi> <2 >، 0 + frac < pi> <2> right) ) و ( left (0+ frac < pi> <2>، frac <2 pi> <3> + frac < pi> <2> right) ) التي تبسط إلى ( left (- frac < pi> <6> ، frac < pi> <2> right) ) و ( left ( frac < pi> <2>، frac <7 pi> <6> right) text <.> )

ربع الفترة هو ( frac < pi> <6> text <.> ) يبدأ بـ (- frac < pi> <6> ) ويضيف ( frac <) بشكل متكرر pi> <6> ) حتى نصل إلى ( frac < pi> <2> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) عبر الفاصل ( يسار (- ) frac < pi> <6>، frac < pi> <2> right) ) هي (- frac < pi> <6> text <،> ) (0 text <، > ) ( frac < pi> <6> text <،> ) ( frac < pi> <3> text <،> ) و ( frac < pi> <2 > text <.> ) وبالمثل ، القيم الحرجة لـ (t ) عبر الفاصل ( left ( frac < pi> <2>، frac <7 pi> <6> right) ) هي ( frac < pi> <2> text <،> ) ( frac <2 pi> <3> text <،> ) ( frac <5 pi> < 6> text <،> ) ( pi text <،> ) و ( frac <7 pi> <6> text <.> )

نظرًا لأننا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة جيب التمام الموجب ، فإن (y ) - الإحداثيات عند القيم الحرجة لـ (t ) ستتبع الحد الأقصى للخط ، والخط الوسط ، والدقيقة ، والخط الأوسط ، والحد الأقصى

تظهر وظيفة جيب التمام في الشكل 16.6.6.

ستتلامس الدالة secant ودالة جيب التمام عند النقاط ( left (- frac < pi> <6>، frac <1> <2> right) text <،> ) ( left ( frac < pi> <6>، - frac <1> <2> right) text <،> ) ( left ( frac < pi> <2>، frac <1> <2> right) text <،> ) ( left ( frac <5 pi> <6> ، - frac <1> <2> right) text <،> ) و ( left ( frac <7 pi> <6>، frac <1> <2> right) text <.> )

ستقترب الدالة secant من الخطوط المقاربة العمودية (t = 0 text <،> ) (t = frac < pi> <3> text <،> ) (t = frac <2 pi > <3> text <،> ) و (t = pi text <.> ) على الفواصل الزمنية ( left (0، frac < pi> <3> right) ) و ( left ( frac <2 pi> <3>، pi right) ) ستشير منحنيات القاطع إلى الأسفل على طول الخطوط المقاربة. على ( left ( frac < pi> <3>، frac <2 pi> <3> right) ) سيشير المنحنى القاطع إلى الأعلى على طول الخطوط المقاربة. على الفاصل ( left (- frac < pi> <6>، 0 right) ) سيشير منحنى القاطع لأعلى على طول الخط المقارب (x = 0 ) وعلى الفاصل ( left ( pi ، frac <7 pi> <6> right) ) سيشير المنحنى القاطع لأعلى على طول الخط المقارب (t = pi text <.> )

يتم رسم الدالة القاطعة جنبًا إلى جنب مع دالة جيب التمام في الشكل 16.6.7.

الرسم البياني للوظيفة (y = csc (t) ).

نظرًا لأن دالة قاطع التمام ووظيفة الجيب هي وظائف متبادلة ، يمكننا الحصول على نظرة ثاقبة في الرسم البياني لـ (y = csc (t) ) من خلال النظر إلى الرسم البياني (y = sin (t) text <.> ) يظهر الرسم البياني لوظيفة الجيب في الشكل 16.6.8.

ستشارك دالة جيب التمام ووظيفة الجيب النقاط ( left (- frac <5 pi> <2>، -1 right) text <،> ) ( left (- frac <3 ) pi> <2>، 1 right) text <،> ) ( left (- frac < pi> <2>، -1 right) text <،> ) ( left ( frac < pi> <2>، 1 right) text <،> ) ( left ( frac <3 pi> <2>، -1 right) text <،> ) و ( left ( frac <5 pi> <2>، 1 right) text <.> )

الأسطر (t = -2 pi text <،> ) (t = - pi text <،> ) (t = 0 text <،> ) (t = pi سيعمل النص <،> ) و (= 2 pi ) كخطوط مقاربة عمودية لـ (y = csc (t) text <.> ) ستشير منحنيات قاطع التمام إلى الأعلى على طول الخطوط المقاربة حيث تكون وظيفة الجيب موجبة وستشير منحنيات قاطع التمام إلى الأسفل على طول الخطوط المقاربة حيث تكون دالة الجيب سالبة.

يتم عرض كلا من (y = csc (t) ) و (y = sin (t) ) في الشكل 16.6.9.

مثال 16.6.10.

ارسم نقطتين كاملتين للدالة (y = - csc left (2 left (t + frac < pi> <2> right) right) +3 text <.> )

سنبدأ برسم فترتين كاملتين من (y = - sin left (2 left (t + frac < pi> <2> right) right) +3 text <.> )

سعة دالة الجيب هي (1 نص <.> ) كتذكير ، لا ينطبق اتساع الكلمة على دالة قاطع التمام. هناك تحول تصاعدي قدره 3 ، لذا فإن خط الوسط هو (y = 3 text <.> ) (y ) - الإحداثيات عند الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط المحلية ستكون ، على التوالي ، (2 ) ) و (4 نص <.> )

الفترة هي ( frac <2 pi> <2> ) والتي تبسط إلى ( pi text <.> ) يوجد تحول لليسار لـ ( frac < pi> <2> text <،> ) لذلك فإن الفترة التي تحدث عادة خلال الفاصل ((- pi، 0) ) سيتم تحويلها إلى ( left (- frac <3 pi> <2>، - frac <2> right) ) وسيتم تحويل الفترة التي تحدث عادةً خلال (( pi ، 0) ) إلى ( left (- frac < pi> <2> ، frac < pi> <2> right) text <.> )

ربع الفترة هو ( frac < pi> <4> text <.> ) يبدأ من (- frac <3 pi> <2> ) ويضيف بشكل متكرر ( frac < pi> <4> ) حتى نصل (- frac < pi> <2> text <،> ) نرى أن القيم الحرجة لـ (t ) التي تحدث خلال الفاصل ( يسار (- frac <3 pi> <2> ، - frac < pi> <2> right) ) هي (- frac <3 pi> <2> text <،> ) (- frac <5 pi> <4> text <،> ) (- pi text <،> ) (- frac <3 pi> <4> text <،> ) و (- frac < pi> <2> text <.> ) وبالمثل ، القيم الحرجة لـ (t ) التي تحدث خلال الفاصل ( left (- frac < pi> <2>،frac <2> right) ) هي (- frac < pi> <2> text <،> ) (- frac < pi> <4> text <،> ) (0 text <،> ) ( frac < pi> <4> text <،> ) و ( frac < pi> <2> text < .> )

نظرًا لأننا نرسم رسمًا بيانيًا لدالة سالب الجيب ، فإن الإحداثيات (y ) - ستتبع نمط خط الوسط ، والدقيقة ، والخط الوسطي ، والحد الأقصى ، وخط الوسط خلال كل فترة من الفترات.

تظهر وظيفة الجيب في الشكل 16.6.11.

ستشارك وظيفة قاطع التمام ووظيفة الجيب في النقاط التي كانت فيها النقاط الموجودة في دالة الجيب ذات قيمة (1 ) أو (- 1 ) قبل حدوث التحول العمودي. هذه النقاط هي ( يسار (- فارك <5 بي> <4> ، 2 يمين) نص <،> ) ( يسار (- فارك <3 بي> <4> ، 4 يمين) نص <،> ) ( يسار (- فارك < pi> <4> ، 2 يمين) نص <،> ) و ( يسار (- فارك < pi> < 4>، 4 right) text <.> )

ستقترب دالة cosecant من الخطوط المقاربة العمودية عند قيم (t ) حيث (- sin left (2 left (t + frac < pi> <2> right) right) + 3 = 0 ) الذي يعطينا ( sin left (2 left (t + frac < pi> <2> right) right) = 3 text <.> ) الخطوط المقاربة العمودية هي (t = - frac <3pi> <2> text <،> ) (t = - pi text <،> ) (t = - frac < pi> <2> text <،> ) (t = 0 text <،> ) و (t = frac < pi> <2> text <.> )

ستشير منحنيات قاطع التمام إلى أعلى على طول الخطوط المقاربة على الفواصل الزمنية ( left (- pi، - frac < pi> <2> right) ) و ( left (0، frac < pi> <2> right) text <.> ) سوف تشير منحنيات قاطع التمام لأسفل على طول الخطوط المقاربة على الفواصل الزمنية ( left (- frac <3 pi> <2>، - pi right) ) و ( يسار (- فارك < بي> <2> ، 0 يمين) نص <.> )

تم رسم كل من دالة قاطع التمام ودالة الجيب في الشكل 16.6.12.


رسم التمام بالرسوم البيانية

  • كيف ترتبط وظائف الجيب وقاطع التمام؟ يتذكر الطلاب أنهم متبادلون.
  • كيف ستظهر هذه العلاقة على الرسم البياني؟ قد أضع كطلاب لإيجاد قيمة sin pi / 6 و csc pi / 6 لمساعدة الطلاب على رؤية العلاقة.
  • عندما يكون الجيب 0 ما هي قيمة قاطع التمام؟ كيف نظهر هذا على الرسم البياني؟
  • عندما تكون x بين 0 و pi sine عدد موجب بين 0 و 1. ما هي قيم قاطع التمام بين 0 و pi؟ أريد أن يفهم الطلاب أن القيم ستكون 1 أو أكبر.
  • ماذا ستكون قيم قاطع التمام عندما تكون x بين pi و 2pi؟
  • هل استخدمت شرط لمساعدتك في الرسم البياني؟
  • كيف حددت الخطوط المقاربة؟
  • كيف عرفت أين كان الرسم البياني موجبًا؟ سلبيًا؟

الرسوم البيانية القاطعة وقاطع التمام



أمثلة ، وحلول ، ومقاطع فيديو ، وأوراق عمل ، وأنشطة لمساعدة طلاب Algebra 2 على تعلم كيفية رسم وظائف القاطع والقاطع التمام.

يوضح الرسم البياني التالي الرسوم البيانية القاطعة وجيب التمام. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول للرسوم البيانية القاطعة.

يوضح الرسم البياني التالي رسومي قاطع التمام والجيب. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول لرسومات قاطع التمام.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


ال مفرط، [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] (اللاتينية: سيكانس الخارجي [10] [11] [12] [13]) المعروف أيضًا باسم الخارج, خارجي, [14] [15] [16] [17] الى الخارج أو قاطع خارجي ويختصر كـ exsec [18] [19] [20] [21] أو exs، [22] هي دالة مثلثية محددة من حيث دالة القاطع ثانية (θ): [23]

الاسم مفرط يمكن فهمها من خلال البناء الرسومي للوظائف المثلثية المختلفة من دائرة الوحدة ، مثل ما تم استخدامه تاريخيًا. ثانية (θ) هو الخط القاطع عمر الفاروق ، والمبالغ فيه هو الجزء DE من هذا القاطع الذي يكمن الخارج إلى الدائرة (السابق هو اللاتينية ل بعيدا عن المكان).

وظيفة ذات صلة هي مفرط [5] [24] أو معاكس، [25] [18] [26] المعروف أيضًا باسم الخارج, خارجي, [17] الى الخارج أو قاطع التمام الخارجي ويختصر كـ excosec, coexsec, [14] [18] [26] excsc [5] [24] أو باستثناء، [22] الزائدة التكميلية للزاوية:

مهمة في مجالات مثل المسح ، [8] هندسة السكك الحديدية [5] (على سبيل المثال لرسم منحنيات السكك الحديدية والارتفاع الفائق) ، والهندسة المدنية ، وعلم الفلك ، وعلم المثلثات الكروي حتى الثمانينيات ، أصبحت الوظيفة الباهظة الآن قليلة الاستخدام. [8] [23] يرجع ذلك أساسًا إلى أن التوافر الواسع للآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر قد أزال الحاجة إلى الجداول المثلثية للوظائف المتخصصة مثل هذه. [8]

إن سبب تحديد وظيفة خاصة للشيء الزائد مشابه لمنطق الآية: للزوايا الصغيرة θ، المجلس الأعلى للتعليم(θ) تقترب الدالة من واحد ، وبالتالي فإن استخدام الصيغة أعلاه للمُسْتَرْفِس سيشمل طرح كميتين متساويتين تقريبًا ، مما يؤدي إلى الإلغاء الكارثي. وبالتالي ، فإن جدول الوظيفة القاطعة سيحتاج إلى دقة عالية جدًا لاستخدامه في حالة الفائض ، مما يجعل جدولًا متخصصًا فادحًا مفيدًا. حتى مع وجود جهاز كمبيوتر ، يمكن أن تكون أخطاء الفاصلة العائمة مشكلة بالنسبة إلى الزوايا الصغيرة ، في حالة استخدام التعريف المستند إلى جيب التمام. الصيغة الأكثر دقة في هذا الحد هي استخدام الهوية:

قبل توفر أجهزة الكمبيوتر ، كان هذا يتطلب عمليات مضاعفة تستغرق وقتًا طويلاً.

استخدم جاليليو جاليلي الوظيفة المفرطة في عام 1632 بالفعل ، على الرغم من أنه لا يزال يطلق عليها سيغانتي (بمعنى قاطع). [27] [28] [29] [30] المصطلح اللاتيني سيكانس الخارجي تم استخدامه منذ حوالي عام 1745. [10] [11] [12] [13] استخدام المصطلح الإنجليزي قاطع خارجي والاختصار السابق. ثانية. يمكن إرجاعها إلى عام 1855 على أقل تقدير ، عندما نشر تشارلز هاسليت أول جدول معروف عن المنفذين. [1] [31] الاختلافات مثل على سبيل المثال و exsec كانت قيد الاستخدام في عام 1880 ، [14] و مفرط تم استخدامه منذ 1894 على أقل تقدير. [2]

الشروط معاكس [25] و coexsec [2] يمكن العثور عليها مستخدمة منذ عام 1880 وكذلك [2] [25] متبوعة مفرط منذ عام 1909. [5] استخدم ألبرت أينشتاين هذه الوظيفة أيضًا لوصف الطاقة الحركية للفرميونات. [29] [30]

تحرير المشتقات

تحرير التكاملات

وظائف معكوسة تحرير

الوظائف العكسية arcexsecant [26] (arcexsec, [5] [26] اكسسيك, [32] [33] aexs, exsec −1 ) و أركيكوسيكانت (arcexcosec, arcexcsc, [5] aexcsc, aexc, arccoexsecant, arccoexsec, excsc −1 ) موجودة أيضًا:

خصائص أخرى تحرير

مشتق من دائرة الوحدة:

ترتبط الوظيفة المفرطة بوظيفة الظل بواسطة

في القياس ، ترتبط وظيفة excosecant بوظيفة cotangent بواسطة

ترتبط الوظيفة المفرطة بوظيفة الجيب بواسطة

في القياس ، ترتبط وظيفة excosecant بوظيفة جيب التمام بواسطة

يمكن تمديد الدالتين المفرطتين والمتفرجتين إلى المستوى المعقد. [21]


2.1.8: SEC CSC COT

أثناء العمل على طلاء درج جدك ، فإنك تنظر إلى الشكل المثلثي الذي صنعه الجدار الذي يدعم الدرج. يبدو الدرج كالتالي:

الشكل ( PageIndex <1> )

أنت تفكر في كل العلاقات الممكنة بين الأطراف. أنت تعلم بالفعل أن هناك ثلاث علاقات مشتركة ، تسمى الجيب وجيب التمام والظل.

كم عدد الآخرين يمكنك أن تجد؟

قاطع, قاطع التمام و ظل التمام المهام

يمكننا تحديد ثلاث وظائف أخرى أيضًا بناءً على مثلث قائم الزاوية. إنها معادلات الجيب وجيب التمام والظل.


الشكل ( PageIndex <2> )

إذا كانت sinA = ac ، فإن تعريف قاطع التمام أو csc هو ( csc A = dfrac).

إذا كانت cosA = bc ، فإن تعريف secant ، أو sec ، هو ( sec A = dfrac).

إذا كانت tanA = ab ، فإن تعريف ظل التمام هو ( cot A = dfrac).

استخدم تعريف secant و cosecant و cotangent لحل المسائل التالية.

1. أوجد القاطع وقاطع التمام وظل التمام للزاوية (B ).

الشكل ( PageIndex <3> )

أولًا ، علينا إيجاد طول الوتر. يمكننا القيام بذلك باستخدام نظرية فيثاغورس:

يمكننا الآن إيجاد القاطع وقاطع التمام وظل التمام للزاوية B:

2. أوجد القاطع وقاطع التمام وظل التمام للزاوية A

الشكل ( PageIndex <4> )

3. أوجد الجيب وجيب التمام وظل الزاوية (A ) ، ثم استخدم هذا لتكوين القاطع ، وقاطع التمام ، وظل التمام للزاوية

الشكل ( PageIndex <5> )

نظرًا لأننا نعلم أن قاطع التمام هو مقلوب الجيب ، والقاطع هو مقلوب الجيب ، وظل التمام هو مقلوب الظل ، يمكننا بناء هذه الوظائف على النحو التالي:

في وقت سابق ، تلقيت مشكلة بشأن سلم جدك.

النظر إلى شكل مثلث يشبه الجدار يدعم سلم جدك:

الشكل ( PageIndex <6> )

يمكننا أن نرى أن هناك عدة طرق لإقامة علاقات بين الجانبين. في هذه الحالة ، نحن مهتمون فقط بالنسب بين الأضلاع ، مما يعني أن أحد الجانبين سيقسم على الآخر. لقد رأينا بالفعل بعض الوظائف ، مثل:

1) الضلع المقابل للزاوية مقسومًا على الوتر (دالة الجيب)

2) الضلع المجاور للزاوية مقسومًا على الوتر (دالة جيب التمام)

3) الضلع المقابل للزاوية مقسومًا على الضلع المجاور (دالة الظل)

في هذا القسم ، قدمنا ​​المعاملة بالمثل لوظائف المثلثات المذكورة أعلاه. تم العثور عليها عن طريق أخذ النسب بين نفس الجوانب الموضحة أعلاه ، باستثناء عكس البسط والمقام:

4) الوتر مقسومًا على الضلع المقابل للزاوية (دالة قاطع التمام)

5) الوتر مقسومًا على الضلع المجاور للزاوية (دالة القاطع)

6) الضلع المجاور مقسومًا على الضلع المقابل (دالة ظل التمام)

استخدم الشكل أدناه للمساعدة في حل الأمثلة التالية.

الشكل ( PageIndex <7> )


مقدمة

الملخص

يبدأ الفصل الأول بمناقشة أصل طريقة التقسيم لتوسيع سلسلة الطاقة. ثم يتم تعريف القارئ على الطريقة حيث يتم تطبيقها على الوظائف المتعالية الأساسية لكل من قاطع التمام ، القاطع والمقلوب للوظيفة اللوغاريتمية ، ln ⁡ (1 + z). تظهر معاملات توسعات سلسلة الطاقة الناتجة التي تم الحصول عليها من الدالتين المثلثيتين على أنها مرتبطة بأرقام برنولي وأويلر الشهيرة. All three cases yield resulting power series expansions, whose coefficients are not only rational but, unlike the Bernoulli and Eulers numbers, converge to zero for higher orders with those for the cosecant expansion converging the fastest. The chapter concludes by explaining how the method can be adapted to obtain the Bernoulli and Euler polynomials from their generating functions and relates them, respectively, to the cosecant and secant polynomials, which represent the polynomials in the generating functions of x cos ⁡ ( x t ) / sin ⁡ x and sin ⁡ ( x t ) / x cos ⁡ x . The latter polynomials are also found to possess numerous and interesting properties.


2.2: Graphs of the Secant and Cosecant Functions - Mathematics

Trigonometric Functions and Their Graphs:
The Co-Functions
(page 3 of 3)

What about the co-functions, the secant, the cosecant, and the cotangent?

The cosecant is the reciprocal of the sine. Wherever the sine is zero, the cosecant will be undefined, so there will be a vertical asymptote. Wherever the sine reaches its maximum value of 1 , the cosecant will reach its minimum value of 1 wherever the sine reaches its minimum value of &ndash1 , the cosecant will reach its maximum value of &ndash1 . Wherever the sine is positive but less than 1 , the cosecant will be positive but greater than 1 wherever the sine is negative but greater than &ndash1 , the cosecant will be negative but less than &ndash1 .

So I'll lightly draw the sine wave.

Copyright © Elizabeth Stapel 2010-2011 All Rights Reserved

. I'll draw vertical asymptotes through its zeroes and note the min/max points.

. and then I'll fill in the graph.

The Cosecant Graph

By using the same reasoning with the cosine wave, I can create the secant graph:

The Secant Graph

The secant and cosecant have periods of length 2&pi , and we don't consider amplitude for these curves.

The cotangent is the reciprocal of the tangent. Wherever the tangent is zero, the cotangent will have a vertical asymptote wherever the tangent has a vertical asymptote, the cotangent will have a zero. And the signs on each interval will be the same. So the cotangent graph looks like this:

The Cotangent Graph

The cotangent has a period of &pi , and we don't bother with the amplitude.

When you need to do the graphs, you may be tempted to try to compute a lot of plot points. But all you really need to know is where the graph is zero, where it's equal to 1, and / or where it has a vertical asymptote. If you know the behavior of the function at zero, &pi/2 , &pi , 3&pi/2 , and 2&pi , then you can fill in the rest. That's really all you "need".


Secant, Cosecant and Cotangent



In these lessons we will look at the reciprocal trigonometric functions: secant, cosecant and cotangent.

We can get three more trigonometric functions by taking the reciprocals of three basic functions: sine, cosine and tangent.

ال secant function is the reciprocal of the cosine function. The abbreviation of secant is sec.

ال cosecant function is the reciprocal of the sine function. The abbreviation of cosecant is csc or cosec.

ال cotangent function is the reciprocal of the tangent function. The abbreviation of cotangent is cot.

The following diagram shows the Reciprocal Trigonometric Functions. Scroll down the page for more examples and solutions on how to use the reciprocal trigonometric functions.

مثال:
Given that , and that &theta is acute, find, without using a calculator, the value of
a) sec &theta
b) cot &theta

We can use the Pythagorean theorem to get the third side of the right triangle.

Videos

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


Trigonometric Functions - Reciprocal Trigonometric Functions

We've covered sine, cosine, and tangent. We're experts on one little piece of trigonometric real estate. (Marvin Gardens? Park Place? Boardwalk? Pull out your Monopoly money.) Kudos to you, but there's more.

Sine, cosine, and tangent each have a متبادل function. Reciprocal, reciprocity—think of flipping things over, like hamburgers on a grill, pancakes on a griddle, eggs over easy. (When do we eat?) We already know that regular numbers have reciprocals (2 and 1 /2 are reciprocals, for example), but we can also flip our trig functions on their heads.

Cosecant is the reciprocal of sine. Its abbreviation is csc. To determine csc, just flip sin over.

Secant is the reciprocal of cosine. Its abbreviation is sec. To determine sec, just flip cos over.

Cotangent is the reciprocal of tangent. Its abbreviation is cot. To determine cot, just flip tan over. (Try remembering it all by thinking, "After an evening of sin, Joe stretches out on a cot in the backyard and later flips over to get a better tan." Weird, but it works.)

And no, they don't sizzle when they're flipped.

Sample Problem

إذا أ = 8 and ب = 15, find the six trig ratios of angle أ.

We're gonna need that missing hypotenuse, so first use أ 2 + ب 2 = ج 2 to find ج.

Now let's plug those sides into our relationships for sin, cos, and tan. Remember SOHCAHTOA. We're looking at angle أ, so the opposite side is 8, the adjacent side is 15, and the hypotenuse is 17. Ready, go.

Now we take the reciprocals, or flip each function over.

Sample Problem

What are the six trig ratios of angle B?

Once again, we'll need to track down that hypotenuse before we can take a trip to TrigVille. Give your buddy Pythagoras a call.

We know the two legs of the triangle, so plug 'em in for أ و ب.

Next, find the sine, cosine, and tangent of angle B.

To find the reciprocals, just flip the fractions over.

Sample Problem

An isosceles right triangle has two legs with a length of 1. If angle أ is one of the non-right angles, what are the sine, cosine, tangent, cosecant, secant, and cotangent of angle أ?

"Isosceles" looks pretty weird, but it really just means both legs have the exact same length. We don't have a picture to help us out, but who needs pictures? We're math detectives up in here.

All right, so we know both legs, which means أ = 1 and ب = 1 in our Pythagorean Theorem. Let's find ج.

There's our hypotenuse. Now, we know angle أ هو ليس the triangle's right angle. It's one of the other guys, which means its opposite side and adjacent side are both 1. Apply the trig ratios, and don't forget to rationalize your denominators.

When flipping over your fractions to find the reciprocals, use the original fraction (with the pre-rationalized denominator). It will save you time and heartache.

Co-functions

No, you won't stumble over co-functions if you find yourself in Dysfunction Junction. They're deeply embedded in trigonometric functions. Did you notice the "co" in cosine, cosecant, and cotangent?

"Co" is short for complementary.

Co + function = complementary functions.

Does the word complementary ring a bell? In geometry, we learned that complementary angles combine to form a 90° angle.

We also know that the sum of the angles in a triangle must be 180°. So if angle ج is a right angle (90°), the other two angles must add up to the other 90°.

حيث أ + B = 90°, أ و B are complementary angles.

And by rearranging things a little, we can see that:

Now let's apply our "co" to the trig functions.

Cosine is the complementary function of sine.

Cosecant is the complementary function of secant.

Cotangent is the complementary function of tangent.

What's this all about? Here's the deal. Take another peek at our triangle:

In this triangle, the cosine of angle أ is the same thing as the sine of angle B.

Go ahead and let that sink in for a sec. Cosine is the adjacent side over the hypotenuse (CAH), and sine is the opposite side over the hypotenuse (SOH). But the side adjacent to angle أ هل same thing as the side opposite angle B. That's why cos أ = الخطيئة B. They give us the exact same ratio.

Here's where the co-function stuff comes in. Substituting in B = 90° – أ gives us:

See what we did there? The cosine of أ is the same as the sine of أ's complementary angle.

It works the other way, too:

Sample Problem

Write sin(30°) in terms of its co-function.

This is way more chill than it might sound. The sine's co-function is just the cosine. Using sin أ = cos(90° – أ), we get:

Yep, that's it. The sine of 30° is the exact same thing as the cosine of 60°. Plop 'em into a calculator if you don't believe us.

Sample Problem

Write csc(70°) in terms of its co-function.

Cosecant goes hand-in-hand with secant, so we'll use complementary angles again. The formula this time is csc أ = sec(90° – أ).

csc(70°) = sec(90° – 70°)
csc(70°) = sec(20°)

Sample Problem

Write tan(10°) in terms of its co-function.

We wanna turn that tangent into cotangent, so we'll use the formula tan أ = cot(90°– أ).

tan(10°) = cot(90° – 10°)
tan(10°) = cot(80°)

Special Triangles

In trig and—eventually—calculus, you'll find that we use certain angles over and over, ad infinitum, ad nauseam. These angles make up two special triangles. We'll take a look at special triangles in the next section.

Special Triangles

45°-45°-90° Triangles

If we're handling a 45° angle in trig, we need to be able to draw this reference triangle.

الخدعة؟ First, draw an isosceles right triangle. Isosceles triangles have two legs that are the same length.

Label each leg 1. Like this:

Then, thanks to the Pythagorean Theorem, we can find the hypotenuse:

1 2 + 1 2 = ج 2
1 + 1 = ج 2
ج 2 = 2

And since we've got one 45° angle and one 90° angle, we know the third angle must be 180° – 90° – 45° = 45°.

We clearly know a heck of a lot more than when we started. Not only do we know about trig functions, but we also know about their complementary functions. Go us. Now, here's how we apply it in a triangulated world.

When going from the hypotenuse to a leg → divide by .

When going from a leg to the hypotenuse → multiply by .

These tricks work for any 45°-45°-90° triangle, no matter how long its sides are. A triangle with two 45° angles and one 90° is always gonna be isosceles, which means it'll always have two equal legs.

Sample Problem

First, rotate the reference triangle to match the problem triangle.

We have the leg. Now we need the hypotenuse. Multiply by . The answer is . Note that we also could've used the Pythagorean Theorem if we wanted, but this way was quicker.

Sample Problem

Sketch your reference triangle next to your problem.

We have the hypotenuse. Now we need a leg. Divide by .

Now we just need to rationalize the denominator. You know how math teachers hate having a radical sign down in the basement.

Sample Problem

This one is a cinch. Since we've got a 45° angle and a 90° angle, that must mean we have an isosceles triangle (equal-length legs, remember?). The answer is 5.

30°-60°-90° Triangles

If we're working with a 30° or 60° angle, we need to be able to draw this reference triangle.

To sketch this bad boy, first draw an equilateral triangle and label each side with a 2. Like this:

Now, split the triangle in half by bisecting the vertex angle. Label each half of the base with a 1. Like this:

Now, find the height, ح. That's the red line. It's also the leg of a right triangle, so we can use our main dude Pythagoras.

1 2 + ح 2 = 2 2
ح 2 = 2 2 – 1 2
ح 2 = 4 – 1
ح 2 = 3

Victory. You've got your 30°-60°-90° reference triangle.

Here's how all this applies in the trig world.

The short leg is the length of the hypotenuse. Or, if you're an optimist, the hypotenuse is twice the length of the short leg. BTW, the short leg is always the side opposite the 30° angle.

To go from the short leg to the hypotenuse → multiply by 2.

To go from the hypotenuse to the short leg → divide by 2.

To go from the short leg to the long leg → multiply by .

To go from the long leg to the short leg → divide by .

If we have the long leg and need the hypotenuse, we'll need to go the long way around. Find the short leg first, and then find the hypotenuse.

If you have the hypotenuse and need the long leg, find the short leg first, and then find the long leg.

Man, this is sounding like a LEGO marathon or a daddy long legs convention—with numbers. Hang in there.

Sample Problem

First, rotate the reference triangle and sketch it nearby. Like this.

We have the short leg and need the hypotenuse. Multiply the short leg by 2. The answer is 10.

Sample Problem

Rotate your reference triangle.

We have the short leg and need the long leg. Multiply by />. The answer is 4 />. We could do this all day.

Sample Problem

We have the hypotenuse and need the short leg, so we've gotta divide by 2.


شاهد الفيديو: الرياضيات للصف الخامس العلمي الفصل السادس مشتقات الدوال الدائرية الدرس 12 (شهر اكتوبر 2021).