مقالات

15.6E: تمارين للقسم 15.6 - الرياضيات


في التدريبات من 1 إلى 12 ، يتم عرض المنطقة (R ) التي تشغلها الصفيحة في رسم بياني. أوجد كتلة (R ) باستخدام دالة الكثافة ( rho ).

1. (R ) هي المنطقة المثلثية ذات الرؤوس ((0،0) ، الفضاء (0،3) ) ، و ((6،0) ؛ الفضاء rho (x ، y) = س ص ).

إجابه:
( فارك {27} {2} )

2. (R ) هي المنطقة المثلثية ذات الرؤوس ((0،0) ، space (1،1) ) ، و ((0،5) ؛ space rho (x ، y) = س + ص ).

3. (R ) هي المنطقة المستطيلة ذات الرؤوس ((0،0)، space (0،3)، space (6،3) ) و ((6،0)؛ space rho (x، y) = sqrt {xy} ).

إجابه:
(24 sqrt {2} )

4. (R ) هي المنطقة المستطيلة ذات الرؤوس ((0،1) ، الفضاء (0،3) ، الفضاء (3،3) ) و ((3،1) ؛ الفضاء رو (س ، ص) = س ^ 2 ص ).

5. (R ) هي المنطقة شبه المنحرفة المحددة بالخطوط (y = - frac {1} {4} x + frac {5} {2} ، space y = 0 ، space y = 2 ) و (س = 0 ؛ مساحة rho (س ، ص) = 3 س ص ).

إجابه:
(76)

6. (R ) هي المنطقة شبه المنحرفة التي تحددها الخطوط (y = 0 ، space y = 1 ، space y = x ) و (y = -x + 3 ؛ space rho (x ، y) = 2x + y ).

7. (R ) هو قرص نصف القطر (2 ) متمركز في ((1،2) ؛ مساحة rho (x ، y) = x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 4y + 5 ).

إجابه:
(8 بي )

8. (R ) هو قرص الوحدة ؛ ( rho (x، y) = 3x ^ 4 + 6x ^ 2y ^ 2 + 3y ^ 4 ).

9. (R ) هي المنطقة المحاطة بالقطع الناقص (x ^ 2 + 4y ^ 2 = 1 ؛ space rho (x ، y) = 1 ).

إجابه:
( frac { pi} {2} )

10. (R = big {(x، y) ، | ، 9x ^ 2 + y ^ 2 leq 1، space x geq 0، space y geq 0 big }؛ مسافة rho (x، y) = sqrt {9x ^ 2 + y ^ 2} ).

11. (R ) هي المنطقة التي يحدها (y = x، space y = -x، space y = x + 2، space y = -x + 2؛ space rho (x، y ) = 1 ).

إجابه:
(2)

12. (R ) هي المنطقة التي يحدها (y = frac {1} {x} و space y = frac {2} {x} و space y = 1 ) و (y = 2 ؛ مساحة rho (س ، ص) = 4 (س + ص) ).

في التدريبات من 13 إلى 24 ، ضع في اعتبارك صفيحة تشغل المنطقة (R ) ولها وظيفة الكثافة ( rho ) الواردة في مجموعة التمارين السابقة. استخدم نظام الجبر الحاسوبي (CAS) للإجابة على الأسئلة التالية.

أ. ابحث عن اللحظات (M_x ) و (M_y ) حول (x ) - المحور و (y ) - على التوالي.

ب. احسب ورسم مركز كتلة الصفيحة.

ج. [T] استخدم CAS لتحديد مركز الكتلة على الرسم البياني لـ (R ).

13. [T] (R ) هي المنطقة المثلثية ذات الرؤوس ((0،0)، space (0،3) )، و ((6،0)؛ space rho (x، ص) = س ص).

إجابه:

أ. (M_x = frac {81} {5}، space M_y = frac {162} {5} ) ؛
ب. ( bar {x} = frac {12} {5}، space bar {y} = frac {6} {5} ) ؛
ج.

14. [T] (R ) هي المنطقة المثلثية ذات الرؤوس ((0،0)، space (1،1) )، و ((0،5)؛ space rho (x، y) = x + y ).

15. [T] (R ) هي المنطقة المستطيلة ذات الرؤوس ((0،0) ، space (0،3) ، space (6،3) ) ، و ((6،0) ؛ مساحة rho (x، y) = sqrt {xy} ).

إجابه:

أ. (M_x = frac {216 sqrt {2}} {5}، space M_y = frac {432 sqrt {2}} {5} ) ؛
ب. ( bar {x} = frac {18} {5}، space bar {y} = frac {9} {5} ) ؛
ج.

16. [T] (R ) هي المنطقة المستطيلة ذات الرؤوس ((0،1) ، الفضاء (0،3) ، الفضاء (3،3) ) ، و ((3،1) ؛ مساحة rho (x ، y) = x ^ 2y ).

17. [T] (R ) هي المنطقة شبه المنحرفة المحددة بالخطوط (y = - frac {1} {4} x + frac {5} {2}، space y = 0، space ص = 2 ) و (س = 0 ؛ مساحة rho (س ، ص) = 3 س ص ).

إجابه:

أ. (M_x = frac {368} {5}، space M_y = frac {1552} {5} ) ؛
ب. ( bar {x} = frac {92} {95}، space bar {y} = frac {388} {95} )؛
ج.

18. [T] (R ) هي المنطقة شبه المنحرفة التي تحددها الخطوط (y = 0، space y = 1، space y = x، ) و (y = -x + 3؛ space rho (س ، ص) = 2 س + ص ).

19. [T] (R ) هو قرص نصف القطر (2 ) متمركز في ((1،2) ؛ space rho (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 4y + 5 ).

إجابه:

أ. (M_x = 16 pi ، space M_y = 8 pi ) ؛
ب. ( bar {x} = 1، space bar {y} = 2 ) ؛
ج.

20. [T] (R ) هو قرص الوحدة ؛ ( rho (x، y) = 3x ^ 4 + 6x ^ 2y ^ 2 + 3y ^ 4 ).

21. [T] (R ) هي المنطقة المحاطة بالقطع الناقص (x ^ 2 + 4y ^ 2 = 1 ؛ space rho (x ، y) = 1 ).

إجابه:

أ. (M_x = 0 ، مساحة M_y = 0) ) ؛
ب. ( bar {x} = 0، space bar {y} = 0 )؛
ج.

22. [T] (R = big {(x، y) ، | ، 9x ^ 2 + y ^ 2 leq 1، space x geq 0، space y geq 0 big } ؛ مسافة rho (x، y) = sqrt {9x ^ 2 + y ^ 2} ).

23. [T] (R ) هي المنطقة التي يحدها (y = x، space y = -x، space y = x + 2 )، و (y = -x + 2؛ space rho (س ، ص) = 1 ).

إجابه:

أ. (M_x = 2، space M_y = 0) ) ؛
ب. ( bar {x} = 0، space bar {y} = 1 )؛
ج.

24. [T] (R ) هي المنطقة التي يحدها (y = frac {1} {x} ، space y = frac {2} {x} ، space y = 1 ) ، و (ص = 2 ؛ الفضاء rho (س ، ص) = 4 (س + ص) ).

في التدريبات 25-36 ، ضع في اعتبارك صفيحة تشغل المنطقة (R ) ولها وظيفة الكثافة ( rho ) الواردة في أول مجموعتين من التمارين.

أ. ابحث عن لحظات القصور الذاتي (I_x ، space I_y ) و (I_0 ) حول (x ) - المحور ، (y ) - المحور ، والأصل ، على التوالي.

ب. أوجد نصف قطر الدوران فيما يتعلق بالمحور (س ) - المحور (ص ) والأصل على التوالي.

25. (R ) هي المنطقة المثلثية ذات الرؤوس ((0،0) ، الفضاء (0،3) ) ، و ((6،0) ؛ الفضاء rho (x ، y) = س ص ).

إجابه:
أ. (I_x = frac {243} {10} ، space I_y = frac {486} {5} ) ، و (I_0 = frac {243} {2} ) ؛
ب. (R_x = frac {3 sqrt {5}} {5} ، space R_y = frac {6 sqrt {5}} {5} ) ، و (R_0 = 3 )

26. (R ) هي المنطقة المثلثية ذات الرؤوس ((0،0) ، الفضاء (1،1) ) ، و ((0،5) ؛ الفضاء rho (x ، y) = س + ص ).

27. (R ) هي المنطقة المستطيلة ذات الرؤوس ((0،0)، space (0،3)، space (6،3) )، و ((6،0)؛ space rho (x، y) = sqrt {xy} ).

إجابه:
أ. (I_x = frac {2592 sqrt {2}} {7} ، space I_y = frac {648 sqrt {2}} {7} ) ، و (I_0 = frac {3240 sqrt { 2}} {7} ) ؛
ب. (R_x = frac {6 sqrt {21}} {7} ، space R_y = frac {3 sqrt {21}} {7} ) ، و (R_0 = frac {3 sqrt { 106}} {7} )

28. (R ) هي المنطقة المستطيلة ذات الرؤوس ((0،1) ، الفضاء (0،3) ، الفضاء (3،3) ) ، و ((3،1) ؛ الفضاء rho (س ، ص) = س ^ 2 ص ).

29. (R ) هي المنطقة شبه المنحرفة المحددة بالخطوط (y = - frac {1} {4} x + frac {5} {2} ، space y = 0 ، space y = 2 ) و x = 0 ؛ مساحة rho (x ، y) = 3xy ).

إجابه:
أ. (I_x = 88 ، space I_y = 1560 ) ، و (I_0 = 1648 ) ؛
ب. (R_x = frac { sqrt {418}} {19} ، space R_y = frac { sqrt {7410}} {10} ) ، و (R_0 = frac {2 sqrt {1957} } {19} )

30. (R ) هي المنطقة شبه المنحرفة التي تحددها الخطوط (y = 0 ، space y = 1 ، space y = x ) ، و y = -x + 3 ؛ مسافة rho (x، y) = 2x + y ).

31. (R ) هو قرص نصف القطر (2 ) متمركز في ((1،2) ؛ مساحة rho (x ، y) = x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 4y + 5 ).

إجابه:
أ. (I_x = frac {128 pi} {3} ، space I_y = frac {56 pi} {3} ) ، و (I_0 = frac {184 pi} {3} ) ؛
ب. (R_x = frac {4 sqrt {3}} {3} ، space R_y = frac { sqrt {21}} {2} ) ، و (R_0 = frac { sqrt {69} } {3} )

32. (R ) هو قرص الوحدة ؛ ( rho (x، y) = 3x ^ 4 + 6x ^ 2y ^ 2 + 3y ^ 4 ).

33. (R ) هي المنطقة المحاطة بالقطع الناقص (x ^ 2 + 4y ^ 2 = 1 ؛ space rho (x ، y) = 1 ).

إجابه:
أ. (I_x = frac { pi} {32} ، space I_y = frac { pi} {8} ) ، و (I_0 = frac {5 pi} {32} ) ؛
ب. (R_x = frac {1} {4} ، space R_y = frac {1} {2} ) ، و (R_0 = frac { sqrt {5}} {4} )

34. (R = big {(x، y) ، | ، 9x ^ 2 + y ^ 2 leq 1، space x geq 0، space y geq 0 big }؛ مسافة rho (x، y) = sqrt {9x ^ 2 + y ^ 2} ).

35. (R ) هي المنطقة التي يحدها (y = x ، space y = -x ، space y = x + 2 ) ، و (y = -x + 2 ؛ space rho ( س ، ص) = 1 ).

إجابه:
أ. (I_x = frac {7} {3} ، space I_y = frac {1} {3} ) ، و (I_0 = frac {8} {3} ) ؛
ب. (R_x = frac { sqrt {42}} {6} ، space R_y = frac { sqrt {6}} {6} ) ، و (R_0 = frac {2 sqrt {3} } {3} )

36. (R ) هي المنطقة التي يحدها (y = frac {1} {x} و space y = frac {2} {x} و space y = 1 ) و (y = 2 ؛ مساحة rho (س ، ص) = 4 (س + ص) ).

37. دع (Q ) يكون مكعب الوحدة الصلبة. أوجد كتلة المادة الصلبة إذا كانت كثافتها ( rho ) تساوي مربع مسافة نقطة عشوائية من (Q ) إلى (xy ) - المستوى.

إجابه:
(م = فارك {1} {3} )

38. اسمحوا (س ) أن يكون نصف الكرة الصلبة. أوجد كتلة المادة الصلبة إذا كانت كثافتها ( rho ) متناسبة مع مسافة نقطة عشوائية من (Q ) إلى الأصل.

39. الصلب (Q ) ذو الكثافة الثابتة (1 ) يقع داخل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16 ) وخارج الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + ض ^ 2 = 1 ). أظهر أن مركز كتلة المادة الصلبة لا يقع داخل المادة الصلبة.

40. أوجد كتلة المادة الصلبة (Q = big {(x، y، z) ، | ، 1 leq x ^ 2 + z ^ 2 leq 25، space y leq 1 - x ^ 2 - z ^ 2 big } ) كثافته ( rho (x، y، z) = k ) حيث (k> 0 ).

41. [T] الصلب (Q = big {(x، y، z) ، | ، x ^ 2 + y ^ 2 leq 9، space 0 leq z leq 1، space x geq 0، space y geq 0 big } ) له كثافة مساوية للمسافة إلى (xy ) - المستوى. استخدم CAS للإجابة على الأسئلة التالية.

أ. أوجد كتلة (س ).

ب. ابحث عن اللحظات (M_ {xy} ، space M_ {xz} ) و (M_ {yz} ) حول (xy ) - الطائرة ، (xz ) - الطائرة ، و (yz ) ) الطائرة ، على التوالي.

ج. أوجد مركز كتلة (س ).

د. رسم بياني (Q ) وحدد موقع مركز كتلته.

إجابه:

أ. (m = frac {9 pi} {4} ) ؛
ب. (M_ {xy} = frac {3 pi} {2} ، space M_ {xz} = frac {81} {8} ، space M_ {yz} = frac {81} {8} ) ؛
ج. ( bar {x} = frac {9} {2 pi}، space bar {y} = frac {9} {2 pi}، space bar {z} = frac {2 } {3} ) ؛
د.

42. انظر في المادة الصلبة (Q = big {(x، y، z) ، | ، 0 leq x leq 1، space 0 leq y leq 2، space 0 leq z leq 3 big } ) مع دالة الكثافة ( rho (x ، y ، z) = x + y + 1 ).

أ. أوجد مركز كتلة (س ).

43. [T] الصلب (Q ) له الكتلة المعطاة من خلال التكامل الثلاثي ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 int_0 ^ { pi / 4} int_0 ^ 1 r ^ 2 ، dr space d theta space dz. )

استخدم CAS للإجابة على الأسئلة التالية.

  • بيّن أن مركز كتلة (س ) يقع في (س ص ) - المستوى.
  • رسم بياني (Q ) وحدد موقع مركز كتلته.
إجابه:

( bar {x} = frac {3 sqrt {2}} {2 pi} )، ( bar {y} = frac {3 (2- sqrt {2})} {2 pi} ، مسافة شريط {z} = 0 ) ؛ 2. يظهر الصلبة (س ) ومركز كتلته في الشكل التالي.

44. الصلب (Q ) يحده المستويات (x + 4y + z = 8 ، space x = 0 ، space y = 0 ) ، و (z = 0 ). كثافته عند أي نقطة تساوي المسافة إلى الطائرة (xz ). أوجد لحظات القصور الذاتي للمادة الصلبة حول (xz ) - المستوى.

45. الصلب (Q ) يحده المستويات (x + y + z = 3 ، space x = 0 ، space y = 0 ) ، و (z = 0 ). كثافته هي ( rho (x، y، z) = x + ay ) حيث (a> 0 ). بيّن أن مركز كتلة المادة الصلبة يقع في المستوى (z = frac {3} {5} ) لأي قيمة لـ (a ).

46. ​​لنفترض (Q ) أن يكون الجسم الصلب الموجود خارج الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = z ) وداخل نصف الكرة العلوي (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = R ^ 2 ) ، حيث (R> 1 ). إذا كانت كثافة المادة الصلبة ( rho (x، y، z) = frac {1} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} ) ، ابحث عن (R ) بحيث تكون كتلة المادة الصلبة ( frac {7 pi} {2}. )

47. تُعطى كتلة المادة الصلبة (Q ) من خلال ( displaystyle int_0 ^ 2 int_0 ^ { sqrt {4-x ^ 2}} int _ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 }} ^ { sqrt {16-x ^ 2-y ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ n ، dz space dy space dx، ) حيث (n ) هو عدد صحيح. حدد (n ) كتلة المادة الصلبة ((2 - sqrt {2}) pi ).

إجابه:
(n = -2 )

48. لنفترض أن (Q ) هو الحد الصلب فوق المخروط (x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 ) وأسفل الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 4z = 0 ). كثافته ثابتة (ك> 0 ). أوجد (ك ) بحيث يقع مركز كتلة المادة الصلبة على (7 ) وحدات من الأصل.

49. المادة الصلبة (Q = big {(x، y، z) ، | ، 0 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 16، space x geq 0، space y geq 0 ، space 0 leq z leq x big } ) له الكثافة ( rho (x ، y ، z) = k ). بيّن أن اللحظة (M_ {xy} ) حول (xy ) - هي نصف اللحظة (M_ {yz} ) حول (yz ) - الطائرة.

50. الصلب (Q ) يحده الأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ) ، المكافئ (b ^ 2 - z = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، والمستوى (xy ) - حيث (0

51. لنفترض (Q ) أن تكون صلبة ذات كثافة ثابتة (ك ) ، حيث (ك> 0 ) ، التي تقع في الثماني الأول ، داخل المخروط الدائري (س ^ 2 + ص ^ 2 = 9 (ض - 1) ^ 2 ) ، وفوق المستوى (ض = 0 ). بيّن أن اللحظة (M_ {xy} ) حول الطائرة (xy ) - هي نفسها اللحظة (M_ {yz} ) حول (xz ) - الطائرة.

52. المادة الصلبة (Q ) لها الكتلة المعطاة بالتكامل الثلاثي ( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {r ^ 3} (r ^ 4 + r) مساحة dz space d theta space dr. )

أ. أوجد كثافة المادة الصلبة في الإحداثيات المستطيلة.

ب. أوجد اللحظة (M_ {xy} ) حول (xy ) - الطائرة.

53. للصلب (Q ) لحظة القصور الذاتي (I_x ) حول (yz ) - المستوى المعطى بالتكامل الثلاثي ( displaystyle int_0 ^ 2 int _ {- sqrt {4- y ^ 2}} ^ { sqrt {4-y ^ 2}} int _ { frac {1} {2} (x ^ 2 + y ^ 2)} ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 }} (y ​​^ 2 + z ^ 2) (x ^ 2 + y ^ 2) ، dz space dx space dy. )

أ. أوجد كثافة (س ).

ب. ابحث عن لحظة القصور الذاتي (I_z ) حول (xy ) - الطائرة.

إجابه:
أ. ( rho (س ، ص ، ض) = س ^ 2 + ص ^ 2 ) ؛
ب. ( فارك {16 بي} {7} )

54. المادة الصلبة (Q ) لها الكتلة المعطاة بالتكامل الثلاثي ( displaystyle int_0 ^ { pi / 4} int_0 ^ {2 space sec space theta} int_0 ^ 1 (r ^ 3 cos theta sin theta + 2r) ، dz space dr space d theta. )

أ. أوجد اللحظة (M_ {xz} ) حول (xz ) - الطائرة.

55. لنفترض أن (Q ) هو الصلب الذي يحده (xy ) - الطائرة ، والأسطوانة (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ) ، والمستوى (z = 1 ) ، حيث (a> 1 ) رقم حقيقي. أوجد اللحظة (M_ {xy} ) من المادة الصلبة حول (xy ) - المستوى إذا كانت كثافتها المعطاة في الإحداثيات الأسطوانية هي ( rho (x، y، z) = frac {d ^ 2f} {dr ^ 2} (r) ) ، حيث (f ) دالة قابلة للتفاضل مع المشتقات الأولى والثانية متصلة وقابلة للتفاضل على ((0، a) ).

إجابه:
(M_ {xy} = pi (f (0) - f (a) + af '(a)) )

56. صلب (Q ) له حجم معطى بواسطة ( displaystyle iint_D int_a ^ b ، dA space dz ) حيث (D ) هو إسقاط المادة الصلبة على (xy) ) - الطائرة و (أ <ب ) أرقام حقيقية ، وكثافتها لا تعتمد على المتغير (ض ). بيّن أن مركز كتلته يقع في المستوى (z = frac {a + b} {2} ).

57. ضع في اعتبارك المادة الصلبة المحاطة بالأسطوانة (x ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 ) والمستويات (y = b ) و (y = c ) ، حيث (a> 0 ) ) و (ب <ج ) أرقام حقيقية. كثافة (Q ) مُعطاة بواسطة ( rho (x، y، z) = f '(y) ) ، حيث (f ) هي دالة تفاضلية مشتقها مستمر على ((b ، ج) ). أظهر أنه إذا (f (b) = f (c) ) ، فإن لحظة القصور الذاتي حول (xz ) - مستوى (Q ) فارغة.

58. [T] يتم تعريف متوسط ​​كثافة المادة الصلبة (Q ) على أنها ( displaystyle rho_ {ave} = frac {1} {V (Q)} iiint_Q rho (x، y، z ) ، dV = frac {m} {V (Q)}، ) حيث (V (Q) ) و (m ) هما حجم وكتلة (Q ) على التوالي. إذا كانت كثافة وحدة الكرة المتمركزة في الأصل هي ( rho (x، y، z) = e ^ {- x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2} ) ، فاستخدم CAS لإيجاد متوسطها كثافة. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

59. أظهر أن لحظات القصور الذاتي (I_x ، space I_y ) ، و (I_z ) حول (yz ) - الطائرة ، (xz ) - الطائرة ، و (xy ) - الطائرة ، على التوالي ، لوحدة الكرة المتمركزة في الأصل والتي تكون كثافتها ( rho (x، y، z) = e ^ {- x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2} ) هي نفسها. حول إجابتك بفاصلتين.

إجابه:
(I_x = I_y = I_z حوالي 0.84 )

المساهمون

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


ECO210: الأساليب الرياضية للنظرية الاقتصادية

يغطي هذا المقرر الأساليب الرياضية الشائعة الاستخدام في النظرية الاقتصادية. بالاقتران مع MAT223 (الجبر الخطي 1) ، تم تصميمه ليكون إعدادًا كافيًا لدورات الاقتصاد في السنتين الثالثة والرابعة.

الموضوعات التي يتم تناولها هي حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات (مع التركيز على الأدوات المستخدمة في الاقتصاد) والتقعر والتحدب والتحسين المقيد والمعادلات التفاضلية. تم أخذ الأمثلة التوضيحية من علم الاقتصاد ، ولكن الغرض من الدورة هو تعليم الأساليب الرياضية ، وليس النظرية الاقتصادية.

الهدف الرئيسي من الدورة هو تعليمك التقنيات المستخدمة بشكل شائع لحل المشكلات الرياضية التي تنشأ في الاقتصاد. الهدف الثانوي هو تعليمك كيفية عمل حجج رياضية صارمة. إن القدرة على تقديم مثل هذه الحجج تعمق فهمك للتقنيات وتسمح لك أيضًا بتعديل الأساليب عندما لا تتناسب تمامًا مع المشكلة التي يتعين عليك حلها. مع وضع الهدف الثاني في الاعتبار ، سأقودك إلى بعض الأدلة.

محتوى الدورة هو إعداد رياضي كافٍ للحصول على درجة الماجستير في الاقتصاد. إذا كنت تخطط للمتابعة إلى درجة الدكتوراه ، فيجب أن تفكر في أخذ دورات أكثر صرامة ، مثل MAT235 أو MAT237 ودورات الرياضيات ذات المستوى الأعلى. (لا تغطي هذه الدورات جميع الموضوعات في هذه الدورة ، ولكنها في مستوى نظري أعلى.) بدلاً من ذلك ، يمكنك الالتحاق بهذه الدورة والحصول على دورات رياضيات ذات مستوى أعلى لاحقًا.

يتم تغطية جميع المواد الخاصة بالدورة في برنامج تعليمي مصمم خصيصًا لهذه الدورة. عندما قمت بتدريس الدورة في آخر مرة ، قال معظم الطلاب إنهم لا يحتاجون إلى الرجوع إلى كتاب ، ولكن إذا كنت ترغب في ذلك ، فإن المفضل لدي هو الرياضيات للتحليل الاقتصادي بواسطة Knut Syds & aeligter و Peter J. Hammond (Prentice Hall ، 1995). للأسف نفدت طباعة هذا الكتاب. (كتب المؤلفون كتابًا آخر ذي صلة ، الرياضيات الأساسية للتحليل الاقتصادي، والتي لا تتناسب مع الدورة التدريبية أيضًا (وهي باهظة الثمن).) إذا كنت مرتاحًا نسبيًا للمادة ، يمكنك إلقاء نظرة على كتاب أكثر تقدمًا إلى حد ما ، الرياضيات للاقتصاديين من تأليف كارل ب. سايمون ولورنس بلوم (نورتون ، 1994) . هذا الكتاب أكثر تقدمًا قليلاً من الدورة التدريبية ، ولكن إذا كنت مرتاحًا للطريقة الرسمية ، فقد تنال إعجابك.

المتطلبات الأساسية

المتطلبات الأساسية للدورة هي ECO100Y1 (67٪) / (ECO101H1 (63٪) ، ECO102H1 (63٪)) / ECO105Y1 (80٪) MAT133Y1 (63٪) / (MAT135H1 (60٪) ، MAT136H1 (60٪)) / MAT137Y1 (55٪) / MAT157Y1 (55٪) والمتطلبات الأساسية هي ECO200Y1 / ECO204Y1 / ECO206Y1.

أتوقع أن تكون على دراية بالمفاهيم الرياضية الأساسية والموضوعات التالية ، والتي يتم تناولها في دورات المتطلبات المسبقة.

  1. المنطق الأساسي.
  2. المصفوفات وحلول المعادلات الخطية المتزامنة (بما في ذلك المحددات وقاعدة كرامر). ملاحظة: إذا لم تكن قد درست المصفوفات من قبل ، فأنت بحاجة إلى القيام بذلك قبل الالتحاق بهذه الدورة. (يمكنك إما أن تتعلم المادة بشكل مستقل ، أو أن تأخذ دورة أساسية في الرياضيات تغطيها).
  3. حساب التفاضل والتكامل متغير واحد (التفاضل والتكامل ، بما في ذلك الدوال الأسية واللوغاريتمية).
  4. حساب التفاضل والتكامل الأساسي متعدد المتغيرات (التفاضل الجزئي).
  5. منحنى وضبط الرسم.
  6. التحسين الأساسي لوظائف متغير واحد (إيجاد القيم القصوى والدنيا باستخدام حساب التفاضل والتكامل).

سأغطي الموضوع الأخير الذي يجب أن تكون على دراية به (التحسين الأساسي) لاحقًا في الدورة.

إذا كنت بحاجة إلى مراجعة المادة ، يمكنك الرجوع إلى النص المستخدم في دورة المتطلبات المسبقة ، أو قراءة الكتاب بواسطة Syds & aeligter and Hammond ، أو الرجوع إلى القسم الأول من البرنامج التعليمي عبر الإنترنت. الأقسام التالية من Syds & aeligter و Hammond ذات صلة.


15.6E: تمارين للقسم 15.6 - الرياضيات

يتم توفير جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يمكن إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانات كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن العديد من التقنيات أو المناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم. المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة ويعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


15.6E: تمارين للقسم 15.6 - الرياضيات

أوصي بشدة بإجراء كل اختبار بعد قراءة الكتاب المدرسي والمحاضرات ، ودراسة كل سؤال معمل والإجابة عليه في WebAssign لأن كل مشاكل الامتحان تشبه إلى حد بعيد مشكلات المعمل.

القسم 12.1: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 12 ، 13 ، 15 ، 19 ، 22 ، 23 ، 31 ، 33 ، 35 ، 39 ، 43 ، 44 ، 45 ، 47.

القسم 12.2: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 13 ، 17 ، 21 ، 24 ، 25 ، 26 ، 27 ، 29 ، 34 ، 35 ، 37 ، 39 ، 41.

القسم 12.3: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 22 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 33 ، 35 ، 41 ، 42 ، 43 ، 47 ، 49 ، 51 ، 53.

القسم 12.4 جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 11 ، 13 ، 15 ، 16 ، 19 ، 27 ، 31 ، 33 ، 35 ، 37 ، 38 ، 41 ، 45.

القسم 12.5: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 33 ، 35 ، 37 ، 39 ، 41 ، 45 ، 46 ، 47 ، 49 ، 51 ، 55 ، 57 ، 58 ، 59 ، 61 ، 63 ، 65 ، 67 ، 69 ، 71 ، 73 ، 75 ، 76 ، 77 ، 78 ، 79.

القسم 12.6: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 33 ، 37 ، 39 ، 41 ، 45 ، 47.

القسم 13.1: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 41 ، 42 ، 43 ، 45 ، 50.

القسم 13.2 جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 34 ، 35 ، 37 ، 39 ، 41 ، 47 ، 49 ، 51 ، 53 ، 55.

القسم 13.3: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 31 ، 33 ، 37 ، 43 ، 45 ، 47 ، 49 ، 53 ، 55 ، 57 ، 65.

القسم 13.4: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 31 ، 37 ، 39 ، 41 ، 43 ، 45 .

القسم 14.1: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 3 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 29 ، 31 ، 32 ، 37 ، 41 ، 45 ، 49 ، 53 ، 55 ، 59 ، 61 ، 63 ، 65 ، 67 ، 69 ، 71.

القسم 14.2 جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 25 ، 17 ، 21 ، 23 ، 25 ، 29 ، 31 ، 33 ، 35 ، 37 ، 39 ، 41.

القسم 14.3: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 29 ، 31 ، 33 ، 39 ، 43 ، 45 ، 47 ، 49 ، 51 ، 52 ، 53 ، 55 ، 57 ، 59 ، 61 ، 63 ، 65 ، 67 ، 73 ، 77 ، 83 ، 97 ، 99.

القسم 14.4: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 31 ، 33 ، 35 ، 43 ، 45.

القسم 14.5: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 33 ، 35 ، 45.

القسم 14.6: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 4 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 18 ، 19 ، 20 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 28 ، 29 ، 33 ، 39 ، 41 ، 43 ، 45 ، 49 ، 55 ، 57 ، 59 ، 61 ، 63.

القسم 14.7: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 31 ، 33 ، 35 ، 37 ، 41 ، 43 ، 45 ، 47 ، 49 ، 51 ، 53 ، 55.

القسم 14.8: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 33 ، 35 ، 39 ، 41 ، 43 ، 45.

القسم 15.1: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 12 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 33 ، 35 ، 37 ، 39 ، 41 ، 43 ، 47 ، 49.

القسم 15.2 جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 35 ، 37 ، 39 ، 45 ، 47 ، 49 ، 51 ، 53 ، 55 ، 57 ، 59 ، 61 ، 65 ، 67.

القسم 15.3: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 33 ، 35 ، 37 ، 39 ، 41.

القسم 15.4: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27.

القسم 15.5: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 12 ، 13 ، 15 ، 21 ، 23.

القسم 15.6: جميع الأمثلة وعلى الأقل هذه التمارين: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 33 ، 35 ، 37 ، 39 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 55.

القسم 15.7: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 12 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29.

القسم 15.8: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 30 ، 31 ، 33 ، 35 ، 37 ، 41 ، 43 ، 48.

القسم 15.9: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27.

القسم 16.1: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 21 ، 23 ، 25 ، 29 ، 30 ، 31 ، 32 ، 33 ، 35.

القسم 16.2 جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 12 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 24 ، 25 ، 33 ، 39 ، 41 ، 45.

القسم 16.3: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 21 ، 23 ، 25 ، 26 ، 28 ، 29 ، 30 ، 31 ، 33 ، 35.

القسم 16.4: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 21 ، 25 ، 27 ، 29.

القسم 16.5: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 10 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31.

القسم 16.6: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 26 ، 33 ، 35 ، 39 ، 41 ، 43 ، 47 ، 49 ، 51 ، 61 ، 63.

القسم 16.7: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 ، 31 ، 39 ، 45 ، 47 .

القسم 16.8: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19.

القسم 16.9: جميع الأمثلة وهذه التمارين على الأقل: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 20 ، 24.

تشبه أسئلتك النهائية معمل 1 ، معمل 2 ، معمل 3 ، ومختبر 4. للمراجعة من أجل النهائي ، راجع 4 أسئلة Lab.

حقوق النشر تم تحرير هذا الموقع آخر مرة يوم الثلاثاء 15 يناير 2019 - د. رجاء خوري - كلية كولين - جميع الحقوق محفوظة


هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


15.6E: تمارين للقسم 15.6 - الرياضيات

يتم توفير جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يمكن إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانات كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن العديد من التقنيات أو المناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم. المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة ويعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


جدول المحتويات

1𔂿 الأعداد الحقيقية 2

1𔃀 الجمع والطرح 9

1𔃁 الضرب 15

1𔃃 23- الجذور

1𔃄 العمليات المجمعة 29

1𔃅 32- الترميز العلمي والترميز الهندسي

1𔃆 وحدات القياس 41

الفصل 1 - مشاكل المراجعة 59

2 مقدمة في الجبر 62

2𔂿 التعبيرات الجبرية 63

2𔃀 67- كتابة كثيرات الحدود وطرحها

2𔃁 قوانين الأسس 72

2𔃂 ضرب حد أحادي في عدد 80

2𔃃 83

2𔃄 ضرب ذات الحدين في ذات الحدين 86

2𔃅 ضرب متعدد الحدود في متعدد الحدود 88

2𔃆 رفع متعدد الحدود إلى قوة 90

2𔃇 قسمة حد على عدد 92

2󈝶 قسمة كثير الحدود على أحادي 95

2󈝷 قسمة كثير الحدود على كثير الحدود 98

الفصل 2 مراجعة المشاكل 101

3 المعادلات البسيطة والمسائل الكلامية 103

3𔂿 104- حل معادلة بسيطة

3𔃀 113- حل مشاكل الكلمات

3𔃁 118- إبتسامة على وجه الأرض

3𔃂 مشاكل المال 121

3𔃃 التطبيقات التي تشمل المخاليط 123

3𔃄 تطبيقات الإحصاء 127

3𔃅 تطبيقات العمل وتدفق السوائل وتدفق الطاقة 129

الفصل الثالث مشاكل المراجعة 133

4 136

4𔂿 الوظائف والعلاقات 137

4𔃀 المزيد عن الوظائف 144

الفصل الرابع مشاكل المراجعة 154

5𔂿 الإحداثيات المستطيلة 157

5𔃀 161

5𔃁 رسم دالة بواسطة الآلة الحاسبة 164

5𔃂 167

5𔃃 172

الفصل الخامس مشاكل المراجعة 173

6𔂿 المستقيمات والزوايا 176

6𔃁 الأشكال الرباعية 187

6𔃄 الأسطوانة والمخروط والكرة 201

الفصل السادس مشاكل المراجعة 205

7 المثلثات القائمة الزاوية والمتجهات 207

7𔂿 208

7𔃀 212

7𔃁 تطبيقات المثلث الأيمن 216

7𔃂 الزوايا في الوضع القياسي 221

7𔃃 مقدمة في النواقل 222

7𔃄 تطبيقات المتجهات 226

الفصل السابع مراجعة المشاكل 229

8 231- مسعود

8𔂿 الدوال المثلثية لأي زاوية 232

8𔃀 إيجاد الزاوية عند معرفة الدالة المثلثية 236

8𔃂 246ـ قانون التمام

8𔃄 المتجهات غير العمودية 255

الفصل الثامن مشاكل المراجعة 260

9 أنظمة المعادلات الخطية 263

9𔂿 نظم معادلتين خطيتين 264

9𔃁 أنظمة المعادلات الأخرى 279

9𔃂 نظم ثلاث معادلات 284

الفصل 9 مشاكل المراجعة 290

10 المصفوفات والمحددات 292

10𔂿 مقدمة في المصفوفات 293

10𔃀 حل أنظمة المعادلات بطريقة مصفوفة الوحدة 297

10𔃁 محددات الدرجة الثانية 302

10𔃂 محددات الترتيب الأعلى 308

الفصل العاشر مراجعة المشاكل 316

11 تحليل العوامل والكسور 319

11𔂿 العوامل المشتركة 320

11𔃀 323

11𔃁 العوملة الثلاثية 326

11𔃂 333

11𔃃 تبسيط الكسور 335

11𔃄 ضرب وقسمة الكسور 340

11𔃅 جمع وطرح الكسور 344

11𔃆 الكسور المركبة 349

11𔃇 352

11󈝶 المعادلات والصيغ الحرفية 355

الفصل 11 مراجعة المشاكل 360

12 المعادلات التربيعية 363

12𔂿 حل المعادلة التربيعية بيانياً وبالآلة الحاسبة 364

12𔃀 حل المعادلة التربيعية بالصيغة 368

12𔃁 التطبيقات 372

الفصل 12 مراجعة المشاكل 377

13 الأس والجذور 379

13𔂿 أسس متكاملة 380

13𔃀 تبسيط الجذور 385

13𔃁 392- مسعود

13𔃂 المعادلات الجذرية 398

الفصل 13 مراجعة المشاكل 403

14 قياس الراديان وطول القوس والدوران 405

14𔂿 قياس الراديان 406

14𔃁 الحركة الدائرية المنتظمة 416

الفصل 14 مشاكل المراجعة 420

15 الرسوم البيانية المثلثية والبارامترية والقطبية 422

15𔂿 الرسم البياني للموجة الجيبية بواسطة الآلة الحاسبة 423

15𔃀 الرسم البياني اليدوي للموجة الجيبية 430

15𔃁 الموجة الجيبية كدالة للوقت 435

15𔃂 رسم بياني للدوال المثلثية الأخرى 441

15𔃃 رسم معادلة حدودية بيانية 448

15𔃄 رسم بياني في الإحداثيات القطبية 452

الفصل 15 مشاكل المراجعة 459

16 المتطابقات والمعادلات المثلثية 461

16𔂿 الهويات الأساسية 462

16𔃀 مجموع أو فرق الزاويتين 469

16𔃁 دوال الزوايا المزدوجة ونصف الزوايا 474

16𔃂 إيجاد قيمة التعبير المثلثي 481

16𔃃 حل المعادلة المثلثية 484

الفصل 16 مراجعة المشاكل 489

17 النسبة والتناسب والتباين 491

17𔂿 النسبة والنسبة 492

17𔃀 أرقام متشابهة 497

17𔃁 التباين المباشر 501

17𔃂 وظيفة الطاقة 505

17𔃃 509

17𔃄 وظائف لأكثر من متغير 513

الفصل 17 مراجعة المشاكل 518

18 521

18𔂿 522ـًا

18𔃁 خصائص اللوغاريتمات 539

18𔃂 حل المعادلة الأسية 547

18𔃃 554 حل المعادلة اللوغاريتمية

الفصل 18 مراجعة المشاكل 560

19 الأعداد المركبة 562

19𔂿 الأعداد المركبة في شكل مستطيل 563

19𔃀 الأعداد المركبة في الصورة القطبية 568

19𔃁 الأعداد المركبة في الآلة الحاسبة 572

19𔃂 العمليات المتجهية باستخدام الأعداد المركبة 575

19𔃃 578ـ مـحـسـبـة

الفصل 19 مراجعة المشاكل 584

20 المتتاليات والمتسلسلات ونظرية ذات الحدين 586

20𔂿 المتواليات والمسلسلات 587

20𔃀 593- مسعود

20𔃁 التعاقب الهندسي 600

20𔃂 604- مسعود

20𔃃 نظرية ذات الحدين 607

الفصل 20 مشاكل المراجعة 614

21 مقدمة في الإحصاء والاحتمالية 617

21𔂿 التعاريف والمصطلحات 618

21𔃀 توزيعات التردد 622

21𔃁 الوصف العددي للبيانات 628

21𔃂 مقدمة إلى الاحتمالية 638

21𔃃 المنحنى العادي 648

21𔃄 الأخطاء المعيارية 654

21𔃅 661

الفصل 21 مراجعة المشاكل 674

22 هندسة تحليلية 679

22𔂿 الخط المستقيم 680

22𔃀 معادلة الخط المستقيم 687

22𔃂 بارابولا 702

22𔃄 القطيع 725

الفصل 22 مراجعة المشاكل 733

أ ملخص الحقائق والصيغ A-0

ب عوامل التحويل A-0

ج جدول التكاملات A-0

فهرس لكتابة الأسئلة I-0


15.6E: تمارين للقسم 15.6 - الرياضيات

3 endstream endobj 98 0 obj> stream H | TiX G aЙ : = = EEW g

qJ9 Hi ] δ mr. [q2 E ( km4 "l X v C v H ) = vr x ⱄ dt & L9 ` eN٪ s :: endstream endobj 100 0 obj> endobj 101 0 obj> endobj 102 0 obj> endobj 103 0 obj> endobj 104 0 obj> endobj 105 0 obj> stream H dT TW ! 0H S f RE PQ [E D .Z T Ů n X

8 q я G UY، lz 딚 1 X QN I i 0 Ȣ endstream endobj 107 0 obj> endobj 108 0 obj> endobj 109 0 obj> endobj 110 0 obj> stream H bd`ab`dd rwu M .I f ! C G  jc Ep 3B L q E ٪ : LZ HK 0 1200RpL OJU ، .I -V K / * / J، IM Sp QT P Z ZT w ، HU PHIMc K tt f / # > >

f r endstream endobj 112 0 obj> endobj 113 0 obj> endobj 114 0 obj [/ Separation / Black / DeviceCMYK>] endobj 115 0 obj> endobj 116 0 obj> endobj 117 0 obj> endobj 118 0 obj> endobj 119 0 obj> endobj 120 0 obj> endobj 121 0 obj> endobj 122 0 obj> endobj 123 0 obj> endobj 124 0 obj endobj 125 0 obj endobj 126 0 obj endobj 127 0 obj endobj 128 0 obj endobj 129 0 obj> stream 2010- 03-15T12: 09: 44-05: 00 2009-12-28T16: 11: 50-06: 00 2010-03-15T12: 09: 44-05: 00 تطبيق Adobe InDesign CS3 (5.0.2) / pdf uuid: 3c4711d2-067c-f747-a75f-213bff162491 uuid: 053cb76d-d8bb-4272-adad-909e13415366

endstream endobj 130 0 obj> endobj xref 011 0000000000 65535 f 0000463511 00000 n 0000464471 00000 n 0000470618 00000 n 0000471816 00000 n 0000478910 00000 n 0000479360 00000 n 0000479648 00000 n 0000479942 00000 n 0000480000981 00000 n 0000470618 00000 n 0000471816 00000 n 0000478910 00000 n 0000479360 00000 n 0000479648 00000 n 0000479942 00000 n 0000480000981 00000 n 0000470618 00000 n 0000500879 00000 n 0000501174 00000 n 0000502850 00000 n 0000510371 00000 n 0000511715 00000 n 0000518831 00000 n 0000520055 00000 n 0000526996 00000 n 0000528136 00000 n 0000534648 00000 n 0000536055 00000 n 0000543044 00000 n 0000544243 00000 n 0000551428 00000 n 0000552299 00000 n 0000558912 00000 n 0000566220 00000 n 0000566463 00000 n 0000566531 00000 n 0000567029 00000 n 0000567053 00000 n 0000567457 00000 n 0000572324 00000 n 0000572578 00000 n 0000572646 00000 n 0000572809 00000 n 0000572833 00000 n 0000573139 00000 n 0000574266 00000 n 0000581163 00000 n 0000582233 00000 n 0000589042 00000 n 0000590164 00000 n 0000597225 00000 n 0000598006 00000 n 0000604073 00000 n 000 0605113 00000 n 0000611746 00000 n 0000612696 00000 n 0000618988 00000 n 0000619809 00000 n 0000625339 00000 n 0000626315 00000 n 0000631977 00000 n 0000632809 00000 n 0000638632 00000 n 0000639672 00000 n 0000644881 00000 n 0000645662 00000 n 0000651476 00000 n 0000652230 00000 n 0000657904 00000 n 0000658817 00000 n 0000663788 00000 n 0000664726 00000 n 0000670228 00000 n 0000671006 00000 n 0000678182 00000 n 0000688416 00000 n 0000692189 00000 n 0000692436 00000 n 0000694169 00000 n 0000694444 00000 n 0000695769 00000 n 0000696020 00000 n 0000696725 00000 n 0000701804 00000 n 0000702496 00000 n 0000707074 00000 n 0000707779 00000 n 0000711945 00000 n 0000716724 00000 n 0000717343 00000 n 0000717435 00000 n 0000717997 00000 n 0000718250 00000 n 0000718815 00000 n 0000719328 00000 n 0000719643 00000 n 0000719728 00000 n 0000720014 00000 n 0000720373 00000 n 0000720662 00000 n 0000723823 00000 n 0000724276 00000 n 0000730958 00000 n 0000732161 00000 n 0000732596 00000 n 0000732882 0000 0 n 0000733070 00000 n 0000733258 00000 n 0000733546 00000 n 0000738067 00000 n 0000738551 00000 n 0000739054 00000 n 0000739186 00000 n 0000739314 00000 n 0000739703 00000 n 0000740008 00000 n 0000740184 00000 n 0000740439 00000 n 0000740568 00000 n 0000740860 00000 n 0000741288 00000 n 0000741670 00000 n 0000742862 00000 n 0000742953 00000 n 0000743030 00000 n 0000743067 00000 n 0000743098 00000 n 0000743185 00000 n 0000743315 00000 n 0000743411 00000 n 0000743507 00000 n 0000743603 00000 n 0000743699 00000 n 0000747080 00000 n trailer > startxref 116 %%EOF


15.6E: Exercises for Section 15.6 - Mathematics

Course assistants for section 1 (1:10-2:25 pm): Daniel Krasner ([email protected]) & Dmytro Karabash (dk2204) Course assistants for section 2 (2:40-3:55 pm): Irina Goia ([email protected]) & James Long (jpl2116) Help Rooms: Columbia, Barnard

Prof. Robert Friedman's notes on functions of a complex variable:
Lecture 1, Lecture 2, Lecture 3

Complex Analysis, an on-line text by Prof. George Cain, Georgia Inst. of Technology

Review questions for the final exam
REVIEW SESSION: Sunday, December 17, 2-4 pm, 203 Mathematics

NEW LOCATION TO HAND IN ASSIGNMENTS:
In the wooden mailboxes across from 407 Mathematics Hall.
SECTION 1 (1:10-2:25 pm): use the box marked "Thaddeus, Calculus IV, Section 1" on the MIDDLE shelf.
SECTION 2 (2:40-3:55 pm): use the box marked "Thaddeus, Calculus IV, Section 2" on the TOP shelf.

ASSIGNMENT #1: Due Friday, September 15 at 5 pm.
Read 15.1-15.3 in Stewart.
From 15.1, do 1, 6, 10, 13, 18 from 15.2, do 16, 19, 28, 33, 35 (optional), 36(a) from 15.3, do 9, 14.

ASSIGNMENT #2: Due Friday, September 22 at 5 pm.
Read 15.4-15.6 in Stewart.
From 15.3, do 20, 26, 39, 46, 49, 52, 55 from 15.4, do 13, 20, 26, 28, 33, 36 (optional).

ASSIGNMENT #3: Due Friday, September 29 at 5 pm.
Read 15.7 in Stewart.
From 15.5, do 7, 13, 15, 18, 23, 26 from 15.6, do 4, 5, 8, 21, 23.

ASSIGNMENT #4: Due Friday, October 6 at 5 pm.
Read 15.8 and 15.9 in Stewart.
From 15.7, do 13, 16, 26, 40, 44, 45, 49 from 15.8, do 6, 8, 17, 28, 36.

ASSIGNMENT #5: Due Friday, October 13 at 5 pm.
Read 16.1 and 16.2 in Stewart.
From 15.9, do 5, 12, 13, 14, 20, 21, 22 from 16.1, do 2, 4, and 15-18.

ASSIGNMENT #6: Due Friday, October 20 at 5 pm.
Read 16.3 in Stewart.
From 16.1, do 29-32 from 16.2, do 1, 6, 18, 19, 22, 33, 41, 42, 43, 44.

ASSIGNMENT #7: Due Friday, October 27 at 5 pm.
Read 16.4 in Stewart.
From 16.3, do 4, 6, 15, 19, 22, 23, 27, 28, 29, 32, 33, 34ab.
To avoid boredom, mix things up by finding some potentials by Stewart's method, others by the method I demonstrated in class.

ASSIGNMENT #8: Due Friday, November 3 at 5 pm.
Read 16.5 and 16.6 in Stewart.
From 16.4, do 9, 12, 19, 21, 22, 24 from 16.5, do 6, 20, 25, 27, 30ab, 31bd, 37.

ASSIGNMENT #9: Due Friday, November 10 at 5 pm.
Read 16.7 and 16.8 in Stewart.
From 16.6, do 1, 4, 11-16, 31, 39, 56ac from 16.7, do 9, 20, 23, 26, 38a.

ASSIGNMENT #10: Due Friday, November 17 at 5 pm.
Read 16.9 in Stewart.
From 16.8, do 1, 6, 10 (also make a sketch), 16, 18, 19, 20 (optional to do the exercises this relies on) from 16.9, do 8, 19, 21, 22, 28.

ASSIGNMENT #11: Due Friday, December 1 at 5 pm.
Read Appendix G in Stewart and lectures 1 and 2 in Prof. Friedman's notes.
Also look at the notes from the Nov. 22 lecture if you missed it.
Then do exercises 1-8 from Lecture 1 and 1-3 from Lecture 2.

ASSIGNMENT #12: Due Friday, December 8 at 5 pm.
Read lecture 3 in Prof. Friedman's notes. Then do exercises 4-7 from Lecture 2 and 1-7 from Lecture 3.
Note: exercises 4-7 from Lecture 3 use Cauchy's integral formula, which we may not get to until the December 11 lecture. If so, these exercises will be optional.


Step by step guide to finding missing sides and angles of a Right Triangle

  • By using Sine, Cosine or Tangent, we can find an unknown side in a right triangle when we have one length, and one angle (apart from the right angle).
  • Adjacent, Opposite and Hypotenuse, in a right triangle is shown below.
  • Recall the three main trigonometric functions:
    SOH – CAH – TOA, sin (θ=frac), Cos (θ=frac), tan (⁡θ=frac)

Missing Sides and Angles of a Right Triangle – Example 1:

Find AC in the following triangle. Round answers to the nearest tenth.

حل:

sin ((θ=frac). sine (45^circ=frac<8>→8 ×sin 45^circ=AC),
now use a calculator to find sin (45^circ). sin (40^circ=frac><2>→AC cong 0.70710)

Missing Sides and Angles of a Right Triangle – Example 2:

Find AC in the following triangle. Round answers to the nearest tenth.

حل:

sine (θ=frac). sine (40^circ=frac<6>→6 ×) sine (40^circ=AC),
now use a calculator to find sine (40^circ). sine (40^circcong 0.642→AC cong 3.9)