مقالات

1.6: النمذجة ذات الدوال الخطية - الرياضيات


عند نمذجة السيناريوهات بوظيفة خطية وحل المشكلات التي تتضمن تغيير الكميات خطيًا ، فإننا نتبع عادةً نفس استراتيجيات حل المشكلات التي قد نستخدمها لأي نوع من الوظائف:

استراتيجية حل المشكلات

  1. حدد الكميات المتغيرة ، ثم حدد بدقة ووضوح المتغيرات الوصفية لتمثيل تلك الكميات. عند الاقتضاء ، ارسم صورة أو حدد نظام إحداثيات.
  2. اقرأ المشكلة بعناية لتحديد المعلومات المهمة. ابحث عن المعلومات التي تعطي قيمًا للمتغيرات ، أو قيمًا لأجزاء من النموذج الوظيفي ، مثل الميل والقيمة الأولية.
  3. اقرأ المشكلة بعناية لتحديد ما نحاول إيجاده أو تحديده أو حله أو تفسيره.
  4. حدد مسار الحل من المعلومات المقدمة إلى ما نحاول إيجاده. غالبًا ما يتضمن ذلك فحص الوحدات وتتبعها أو بناء جدول أو حتى إيجاد صيغة للدالة المستخدمة لنمذجة المشكلة.
  5. عند الحاجة ، ابحث عن صيغة للدالة.
  6. حل أو قيم باستخدام الصيغة التي وجدتها للكميات المرغوبة.
  7. فكر فيما إذا كانت إجابتك معقولة بالنسبة للموقف المعين وما إذا كانت منطقية من الناحية الحسابية.
  8. انقل نتيجتك بوضوح باستخدام الوحدات المناسبة ، وأجب بجمل كاملة عند الاقتضاء.

مثال ( PageIndex {1} )

اشترت إحدى الشركات معدات مكتبية جديدة بقيمة 120 ألف دولار. ثم توقع أن تنخفض القيمة (تنخفض) بمقدار 16000 دولار في السنة. ابحث عن نموذج خطي للقيمة ، ثم ابحث عن التقاطع الأفقي وقم بتفسيره وحدد مجالًا ونطاقًا معقولًا لهذه الوظيفة.

حل

في المشكلة ، هناك نوعان من الكميات المتغيرة: الوقت والقيمة. تعتمد القيمة المتبقية للمعدات على المدة التي حصلت عليها الشركة. يمكننا تحديد متغيراتنا ، بما في ذلك الوحدات.

المخرجات: (V ) القيمة المتبقية بالدولار

الإدخال: (t ) ، الوقت ، بالسنوات

عند قراءة المشكلة ، نحدد قيمتين مهمتين. الأول ، 120000 دولار ، هو القيمة الأولية لـ (V ). يبدو أن القيمة الأخرى هي معدل التغيير - وحدات الدولارات في السنة تتطابق مع وحدات متغير الناتج لدينا مقسومًا على متغير المدخلات. القيمة آخذة في الإهلاك ، لذا يجب أن تدرك أن القيمة المتبقية تتناقص كل عام وأن الميل سالب.

باستخدام التقاطع والميل الموضحين في المسألة ، يمكننا كتابة المعادلة: (V (t) = 120،000 - 16،000t ).

لإيجاد التقاطع الأفقي ، قمنا بتعيين الإخراج على صفر ، ثم حللنا من أجل الإدخال:

[ begin {align *} 0 & = 120،000 - 16،000t t & = frac {120،000} {16،000} = 7.5 end {align *} ]

التقاطع الأفقي 7.5 سنوات. نظرًا لأن هذا يمثل قيمة الإدخال حيث سيكون الناتج صفرًا ، عند تفسير ذلك ، يمكننا القول: لن يكون للجهاز قيمة متبقية بعد 7.5 سنوات.

عند نمذجة أي سيناريو من الحياة الواقعية بوظائف ، عادة ما يكون هناك مجال محدود يكون هذا النموذج صالحًا عليه - تقريبًا لا يستمر أي اتجاه إلى أجل غير مسمى. في هذه الحالة ، ليس من المنطقي بالتأكيد التحدث عن قيم إدخال أقل من الصفر. هذا النموذج غير صالح أيضًا بعد التقاطع الأفقي.

يمثل المجال مجموعة قيم الإدخال وبالتالي فإن المجال المعقول لهذه الوظيفة هو (0 leq t leqs 7.5 ). يمثل النطاق مجموعة قيم المخرجات وتبدأ القيمة عند 120000 دولار وتنتهي بـ 0 دولار بعد 7.5 سنوات ، وبالتالي فإن النطاق المقابل هو (0 leq V (t) leqs 120.000 ).

الأهم من ذلك تذكر أن المجال والنطاق مرتبطان معًا ، وأي شيء تقرره هو الأنسب للمجال (المتغير المستقل) سيحدد متطلبات النطاق (المتغير التابع).

مثال ( PageIndex {2} )

جمال يختار بين شركتين متحركتين. الأول ، U-Haul ، يتقاضى رسمًا مقدمًا قدره 20 دولارًا ، ثم 59 سنتًا للميل. الثانية ، الميزانية ، تتقاضى رسومًا مقدمة قدرها 16 دولارًا ، ثم 63 سنتًا للميل (تم استرداد الأسعار في 2 أغسطس 2010 من www.budgettruck.com و http://www.uhaul.com/). متى سيكون U-Haul الخيار الأفضل لجمال؟

حل

الكميتان المهمتان في هذه المشكلة هما التكلفة وعدد الأميال المقطوعة. نظرًا لأن لدينا شركتين يجب مراعاتهما ، فسنحدد وظيفتين:

الإدخال: (م ) ، أميال مدفوعة

المخرجات:

(Y (m) ): التكلفة بالدولار للتأجير من U-Haul

(B (m) ): التكلفة بالدولار للتأجير من الميزانية

عند قراءة المشكلة بعناية ، يبدو أننا حصلنا على تكلفة أولية ومعدل تغيير لكل شركة. نظرًا لأن مخرجاتنا تقاس بالدولار ولكن التكاليف لكل ميل الواردة في المشكلة بالسنتات ، فسنحتاج إلى تحويل هذه الكميات لتتناسب مع الوحدات التي نريدها: 0.59 دولار للميل لـ U-Haul و 0.63 دولار للميل للميزانية.

بالنظر إلى ما نحاول العثور عليه ، نريد أن نعرف متى سيكون U-Haul هو الخيار الأفضل. نظرًا لأن كل ما يتعين علينا اتخاذ هذا القرار من خلاله هو التكاليف ، فإننا نبحث عن الوقت الذي ستكلف فيه U-Haul أقل ، أو متى (Y (m)

[ص (م) = 20 + 0.59 م غير رقم ]
[B (م) = 16 + 0.63 م غير رقم ]

يتم رسم هذه الرسوم البيانية إلى اليمين ، مع رسم Y (م) متقطع.

لإيجاد التقاطع ، نساوي المعادلات ونحل:

[ start {array} {rcl} {Y (m)} & = & {B (m)} {20 + 0.59m} & = & {16 + 0.63m} {4} & = & {0.04 م} {m} & = & {100} end {array} nonumber ]

يخبرنا هذا أن التكلفة من الشركتين ستكون هي نفسها إذا تم قيادة 100 ميل. إما من خلال النظر إلى الرسم البياني ، أو ملاحظة أن (Y (m) ) ينمو بمعدل أبطأ ، يمكننا أن نستنتج أن U-Haul سيكون السعر الأرخص عندما يتم القيادة لأكثر من 100 ميل.

مثال ( PageIndex {3} )

كانت إيرادات الشركة تنمو بشكل خطي. في عام 2012 بلغت عائداتهم 1.45 مليون دولار. بحلول عام 2015 ، نمت الإيرادات إلى 1.81 مليون دولار. إذا استمر هذا الاتجاه ،

أ. توقع الإيرادات في عام 2020.

ب. متى ستصل الإيرادات إلى 3 ملايين دولار؟

حل

الكميتان المتغيرتان هما العائد والوقت. بينما يمكننا استخدام قيمة السنة الفعلية كمدخلات ، فإن القيام بذلك يؤدي إلى معادلات قبيحة للغاية ، حيث أن التقاطع الرأسي سيتوافق مع العام 0 ، منذ أكثر من 2000 عام!

لجعل الأمور أجمل قليلاً ، ولجعل حياتنا أسهل أيضًا ، سنحدد مدخلاتنا على أنها سنوات منذ عام 2012:

المدخلات: (t ) ، منذ عام 2012

المخرجات: (R (t) ) إيرادات الشركة بملايين الدولارات

تعطينا المسألة زوجين من المدخلات والمخرجات. تحويلها لتتناسب مع المتغيرات المحددة لدينا ، فإن عام 2012 يتوافق مع (t = 0 ) ، مع إعطاء النقطة ((0 ، 1.45) ). لاحظ أنه من خلال اختيارنا الذكي للتعريف المتغير ، فقد "أعطينا" أنفسنا التقاطع الرأسي للوظيفة. سيتوافق عام 2015 مع (t = 3 ) ، مع إعطاء النقطة ((3 ، 1.81) ).

للتنبؤ بعدد السكان في عام 2020 ( (t = 8 )) ، نحتاج إلى معادلة للسكان. وبالمثل ، لمعرفة متى ستصل الإيرادات إلى 3 ملايين دولار ، سنحتاج إلى إيجاد المدخل الذي سيوفر ناتجًا بمقدار 3. وفي كلتا الحالتين ، نحتاج إلى معادلة. للعثور عليه ، نبدأ بحساب معدل التغيير:

[m = frac {1.81 - 1.45} {3 - 0} = frac {0.36} {3} = 0.12 text {مليون دولار سنويًا.} nonumber ]

نظرًا لأننا نعرف بالفعل التقاطع الرأسي للخط ، فيمكننا كتابة المعادلة على الفور:

[R (t) = 1.45 + 0.12t ]

للتنبؤ بالإيرادات في عام 2020 ، نقوم بتقييم وظيفتنا على (t = 8 ) ،

[R (8) = 1.45 + 0.12 (8) = 2.41 nonumber ]

إذا استمر هذا الاتجاه ، فإن نموذجنا يتوقع إيرادات قدرها 2.41 مليون دولار في عام 2020.

لمعرفة متى سيصل عدد السكان إلى 3 ملايين دولار ، يمكننا تعيين (R (t) = 3 ) وإيجاد (t ).

[ start {align *} 3 & = 1.45 + 0.12t 1.55 & = 0.12t t & almost 12.917 end {align *} ]

يتوقع نموذجنا أن تصل الإيرادات إلى 3 ملايين دولار في أقل من 13 عامًا بقليل بعد عام 2012 ، أو قبل عام 2025 مباشرةً.

في مجال الأعمال ، هناك تطبيق شائع جدًا للوظائف هو تصميم التكلفة والإيرادات والأرباح.

التعريف: كلمة

عندما تنتج الشركة ف العناصر التكلفة الإجمالية هي التكلفة الإجمالية لإنتاج تلك العناصر. التكلفة الإجمالية تشمل كليهما سعر ثابت، وهي تكاليف بدء التشغيل ، مثل المعدات والمباني ، و اسعار متغيرة، وهي تكاليف تعتمد على عدد العناصر المنتجة ، مثل المواد والعمالة.

في أبسط الحالات ، التكلفة الإجمالية = (التكاليف الثابتة) + (التكاليف المتغيرة) ∙ ف

ربح هو مقدار المال الذي تجنيه الشركة من المبيعات.

في أبسط الحالات ، الإيرادات = (السعر لكل عنصر) ∙ ف

ربح هو مقدار المال الذي يتم جلبه بعد المصاريف.

الربح = الإيرادات - التكاليف

غالبًا ما نتحدث عن التعادل هدف. هذا هو مستوى الإنتاج حيث تساوي الإيرادات التكلفة ، أو بشكل مكافئ حيث يكون الربح صفرًا. عادة ما يكون هذا هو الحد الأدنى لمستوى المبيعات اللازم للشركة لتحقيق ربح.

مثال ( PageIndex {4} )

تبحث شركة تقنية ناشئة في تطوير وإطلاق تطبيق جوال جديد. سيكلف التطوير الأولي للتطبيق 300000 دولار ، ويقدرون تكلفة التسويق والدعم لكل مستخدم 0.50 دولار. على الرغم من أن التطبيق سيكون مجانيًا ، إلا أنهم يقدرون أنهم سيكونون قادرين على جلب 2 دولار لكل مستخدم في المتوسط ​​من عمليات الشراء داخل التطبيق. كم عدد المستخدمين الذين ستحتاج الشركة لتحقيق التعادل؟

نبدأ بنمذجة التكلفة والإيرادات والأرباح. يترك ف = عدد المستخدمين.

التكاليف الثابتة (الأولية) هي 300000 دولار ، والتكاليف المتغيرة (لكل عنصر) هي 0.50 دولار لكل مستخدم. يمكننا كتابة معادلة التكلفة الإجمالية:

[TC (q) = 300،000 + 0.50q nonumber ]

ستكون الإيرادات 2 دولار لكل مستخدم ، لذلك ستكون معادلة الإيرادات:

[R (q) = 2q nonumber ]

يمكننا إيجاد نقطة التعادل عن طريق تحديد التكلفة الإجمالية المساوية للإيراد ، وهو ما يعادل إيجاد تقاطع السطور.

بدلاً من ذلك ، يمكننا المضي قدمًا وإيجاد معادلة ربح أولاً:

[P (q) = R (q) - TC (q) = 2q - left ({300،000 + 0.50q} right) = 1.5q - 300،000 nonumber ]

يمكن إيجاد نقطة التعادل عن طريق ضبط الربح على مساوٍ للصفر:

[ begin {align *} 0 & = 1.5q - 300000 q & = 200000 end {align *} ]

سيتعين على الشركة الحصول على 200000 مستخدم لتحقيق التعادل.

تمرين ( PageIndex {1} )

يقدر متجر دونات نفقاتهم اليومية الثابتة بـ 600 دولار. إذا كانت تكلفة كل دونات حوالي 0.05 دولارًا لصنعها وبيعها مقابل 0.60 دولارًا ، فكم عدد الكعك الذي يحتاجون لبيعه لتحقيق التعادل؟

إجابه

الإيرادات: (R = 0.60q )

نقطة التعادل عند (R = C ) ، بكمية تقارب 1091 قطعة دونات في اليوم.

في علم الاقتصاد ، هناك نموذج لكيفية تحديد الأسعار في السوق الحرة والذي ينص على ذلك العرض والطلب لمنتج مرتبط بالسعر. توضح علاقة الطلب كمية منتج معين يرغب المستهلكون في شرائه بسعر معين. عادةً ما تنخفض الكمية المطلوبة لعنصر ما إذا ارتفع السعر. توضح علاقة التوريد كمية المنتج التي يرغب الموردون في إنتاجها بسعر مبيعات معين. عادة سيزداد العرض المطلوب إذا ارتفع السعر. تقول النظرية الاقتصادية أن العرض والطلب سوف يتفاعلان ، وسيكون التقاطع هو سعر التوازن ، أو سعر السوق ، حيث ستكون الكمية المعروضة والمطلوبة متساوية.

العرض والطلب

إذا كان (p ) هو سعر المنتج ، إذن

(Q_d ) هي الكمية المطلوبة ؛

(Q_s ) هي الكمية المعروضة.

منحنى الطلب دالة متناقصة ، بينما منحنى العرض دالة متزايدة.

تقاطع المنحنيات هو سعر وكمية التوازن، ويسمى أيضًا سعر وكمية السوق. غالبًا ما يتم تدوين هذه النقطة على أنها (p ^ *، Q ^ * ).

في الفصول اللاحقة سوف تستكشف منحنيات العرض والطلب غير الخطية ، ولكن في هذا الفصل سنركز على وظائف العرض والطلب الخطية.

في معظم الكتب الاقتصادية ، سترى منحنى العرض والطلب مكتوبًا بالسعر كمدخل وكمية مثل المخرجات ، مثل (Q_d = 140 - 2p ). ومع ذلك ، يتم رسم الرسوم البيانية للعرض والطلب بالسعر على المحور الرأسي والكمية على المستوى الأفقي. في محاولة لتجنب الالتباس ، سنقوم في معظم الوقت في هذا النص بدلاً من ذلك بكتابة منحنيات العرض والطلب مع السعر باعتباره الناتج ، لمطابقة موضعه على المحور الرأسي.

مثال ( PageIndex {5} )

بسعر 2.50 دولار للغالون يوجد طلب في بلدة معينة على 42.5 ألف جالون من الغاز وتوريد 20 ألف جالون. بسعر 3.50 دولار يوجد طلب 25.5 ألف جالون وعرض 28 ألف جالون. بافتراض أن العرض والطلب خطيان ، ابحث عن سعر وكمية التوازن.

حل

نبدأ بإيجاد معادلة خطية لكل من العرض والطلب. سنستخدم السعر (ع ) بالدولار كمخرجات وكمية (ف ) بآلاف الجالونات كمدخل.

للإمداد ، لدينا النقاط ((20 ، 2.50) ) و ((28 ، 3.50) ).

إيجاد المنحدر: (m = frac {3.50 - 2.50} {28 - 20} = frac {1} {8} )

نحن نعلم أن المعادلة ستبدو مثل (p = frac {1} {8} q + b ) ، لذا استبدال ((20، 2.50) ) ،

[ begin {align *} 2.5 & = frac {1} {8} (20) + b 2.5 & = 2.5 + b b & = 0 end {align *} ]

معادلة العرض هي: (p = frac {1} {8} q )

للطلب لدينا النقاط ((42.5، 2.50) ) و ((25.5، 3.50) ). باستخدام نهج مماثل ، يمكننا إيجاد معادلة الطلب هي: (p = - frac {1} {17} q + 5 ).

لإيجاد التوازن ، نحدد العرض مساوياً للطلب:

[ begin {align *} frac {1} {8} q & = - frac {1} 17q + 5 & quad text {الضرب في 8 (17) = 136 لمسح الكسور} & 136 left ( frac {1} {8} q right) & = 136 left (- frac {1} {17} q + 5 right) & 17q & = - 8q + 680 & quad text {نحل الآن} q & 25q & = 680 & q & = 27.2 & end {align *} ]

لإيجاد سعر التوازن ، يمكننا استبدال هذه القيمة مرة أخرى في أي من المعادلتين:

[p = frac {1} {8} (27.2) = 3.4 nonumber ]

ستكون كمية التوازن 27.2 ألف جالون من الغاز بسعر 3.40 دولار.

تمرين ( PageIndex {1} )

تقدر الشركة أنه عند سعر 140 دولارًا ، سيكون هناك طلب على 4000 عنصر ، ولكل زيادة قدرها 5 دولارات في السعر ، سينخفض ​​الطلب بمقدار 200 عنصر. منحنى العرض هو (p = frac {1} {20} q ). أوجد سعر وكمية التوازن.

إجابه

الطلب: (p = - frac {1} {40} q + 240 )

العرض = الطلب عند (q = 3200، p = $ 160 )

موضوعات مهمة في هذا القسم

عملية حل المشكلة

  1. حدد الكميات المتغيرة ، ثم حدد بدقة ووضوح المتغيرات الوصفية لتمثيل تلك الكميات. غالبًا ما يتضمن ذلك فحص الوحدات وتتبعها أو بناء جدول أو حتى إيجاد صيغة للدالة المستخدمة لنمذجة المشكلة.
  2. ابحث عن صيغة للدالة عند الحاجة.
  3. حل أو قيم باستخدام الصيغة التي وجدتها للكميات المرغوبة.
  4. انقل نتيجتك بوضوح باستخدام الوحدات المناسبة ، وأجب بجمل كاملة عند الاقتضاء.

نمذجة مواقف العالم الحقيقي باستخدام المعادلات الخطية

تنتج الشركة المصنعة 80 وحدة من المنتج بسعر 22000 دولار و 125 وحدة بتكلفة 28750 دولارًا. بافتراض أن منحنى التكلفة خطي ، ابحث عن معادلة الخط ثم استخدمه لتقدير تكلفة 95 وحدة. & # xa0

نظرًا لأن منحنى التكلفة خطي ، فستكون معادلته

(هنا ص = التكلفة الإجمالية ، س = عدد الوحدات)

80 وحدة بسعر $ 22000 ----- & GT 22000 & # xa0 = & # xa0 80A + B ----- (1)

125 وحدة بسعر 28750 دولارًا ----- & GT 28750 & # xa0 = & # xa0 125A + B ----- (2)

بحل (1) و (2) ، نحصل على A & # xa0 = 150 و B = 10000

إذن ، معادلة الخط هي

لإيجاد تكلفة 95 وحدة ، استبدل x = 95 في (3).

تكلفة 95 وحدة 24250 دولار

المتداول لديه 100 وحدة من المنتج. يبيع A بعض الوحدات بسعر 6 دولارات للوحدة والوحدات المتبقية بسعر 8 دولارات للوحدة. حصل على إجمالي 660 دولارًا لكل 100 وحدة. أوجد عدد الوحدات المباعة في كل فئة. & # xa0

x ----- & gt عدد الوحدات المباعة بسعر 6 دولارات / للوحدة

y ----- & gt عدد الوحدات المباعة بسعر 8 دولارات / للوحدة

عدد التذاكر المباعة بسعر 6 دولارات للوحدة هو 70 و & # xa0 عدد التذاكر المباعة بسعر 8 دولارات للوحدة هو 30.

تبلغ أجر 8 رجال و 6 أولاد 33 دولارًا. إذا كان 4 رجال يكسبون 4.50 دولارًا أكثر من 5 أولاد ، حدد أجر كل رجل وفتى. & # xa0

فليكن x و y أجرة كل رجل وفتى. & # xa0

أجر كل رجل وكل ولد 3 دولارات و 1.50 دولار على التوالي

مجموع مداخيل A و B هو 2640 دولارًا. إذا كان دخل ب 20٪ أكثر من أ ، فأوجد دخل أ وب. & # xa0

لنفترض أن x و y هما دخلا A و B على التوالي.

معطى: دخل & # xa0B هو 20٪ أكثر من A

دخلا A و B هما 1200 دولار و 1440 دولارًا

يربح المتداول ثلث سعر التكلفة كأرباح على منتج وربع سعر التكلفة كأرباح على منتج آخر. إجمالي الربح المكتسب على هذين المنتجين هو 43 دولارًا. & # xa0 مجموع أسعار التكلفة لمنتجين هو 150 دولارًا. أوجد سعر التكلفة لكل منتج & # xa0

لنفترض أن x و y هما أسعار تكلفة المنتجين.

معطى: ثلث سعر التكلفة كأرباح على منتج

إذن ، الربح على المنتج الأول = (1/3) x = x / 3.

معطى: ربع سعر التكلفة كربح على المنتج الآخر & # xa0

إذن ، الربح على المنتج الثاني = (1/4) y = y / 4.

إجمالي الربح المكتسب على هذين المنتجين = 43 دولارًا.

أسعار تكلفة منتجين هي 66 دولارًا و 84 دولارًا و # xa0

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


1.6: النمذجة ذات الدوال الخطية - الرياضيات

يمكن استخدام الوظائف الخطية كنماذج في العلوم البيولوجية عندما تتغير كمية معينة تابعة بمعدل ثابت فيما يتعلق بمتغير مستقل. من منظور النمذجة ، المعادلة ، ذ (x) = مكس + ب، يمكن تفسيره على النحو التالي ،

ثابت ما يمثله في نموذج خطي
ثابت ب المقدار الأولي للكمية التي يتم نمذجتها عندما يكون المتغير المستقل هو الوقت
المنحدر (م) معدل التغير الثابت للكمية التي يتم نمذجتها فيما يتعلق بالمتغير المستقل

هناك العديد من النماذج الخطية في علوم الحياة. سوف نقدم المفاهيم الأساسية للنمذجة الخطية من خلال النظر في نماذج النمو الخطي.

نموذج النمو الخطي

تنمو الكائنات الحية بشكل عام في دفعات تعتمد على كل من البيئة وعلم الوراثة. ومع ذلك ، في ظل ظروف معملية خاضعة للرقابة ، يمكن للمرء في كثير من الأحيان ملاحظة معدل نمو ثابت. غالبًا ما يشار إلى فترات النمو المستمر هذه بالأجزاء الخطية لمنحنى النمو. في هذا المثال ، سنقوم ببناء معادلة خطية لنمذجة المرحلة الخطية لنمو يرقات حشرة افتراضية.

افترض أن يرقات نوع معين من الحشرات تنمو بشكل خطي في الكتلة خلال الطور الأخير ، من ر = 0 إلى ر = 48 ساعة. تشير الملاحظات المعملية إلى أن اليرقات ، في المتوسط ​​، يبلغ حجمها في البداية 8 جرامات وتنمو إلى متوسط ​​حجم 12 جرامًا خلال فترة 48 ساعة. لإيجاد المعادلة التي تمثل النمو ، علينا إيجاد الثوابت م و ب في المعادلة ،

المتغير ذ يمثل كتلة اليرقات بالجرام (جم) و ر يمثل الوقت بالساعات (ح). نضع القيد 0 & جنيه ر & جنيه 48 يوم ر لأن النموذج صالح فقط من الساعة 0 إلى الساعة 48. في الساعة 48 ، سيبدأ النمو في التباطؤ حيث تستعد الحشرة للخضوع للشرانق. لذلك ، فإن نموذجنا صالح فقط للجزء الخطي من منحنى النمو.

الآن بعد أن أصبح لدينا نموذجنا ، يمكننا إيجاد الكتلة الأولية لليرقات (ممثلة بالثابت ب) بناء على المعلومات المقدمة. لقد علمنا أن اليرقات كانت في البداية 8 جم ، لذلك ب يساوي 8 ونكتب

لإيجاد ميل الخط (م) ، نأخذ نقطتين نعرف أنهما تقعان على الخط. نختار النقطتين كـ (ر1, ذ1) = (0 ، 8) و (ر2, ذ2) = (48 ، 12) بناءً على المعلومات المقدمة. باستخدام صيغة الميل ، لدينا ،

لذلك ، يمكننا كتابة المعادلة التي تمثل نمو حشرة اليرقات ،

الآن بعد أن تعاملنا مع الأعداد والمتغيرات ، يجب أن نتأكد أيضًا من أن نموذجنا يحتوي على وحدات متسقة. يجب أن تتطابق الوحدات في كل جانب من المعادلة - المتغير التابع على الجانب الأيسر من المعادلة به وحدات جرامات ، ثم يجب أن تكون الوحدات الموجودة على الجانب الأيمن أيضًا جرامات. التحقق من تناسق الوحدات يسمى التحليل البعدي.

هناك نوعان من المصطلحات على الجانب الأيمن ، طن متري و ب. يجب أن يحتوي كلا المصطلحين على وحدات من g. بطبيعة الحال ، المصطلح ب، والتي تمثل الكتلة الأولية لليرقات ، لديها وحدات g و ر، الذي يمثل الوقت ، يحتوي على وحدات من الساعات. ما هي الوحدات الموجودة على م؟ يمكننا تحديد م& rsquos على النحو التالي ،

أين & middot يمثل مو rsquos الوحدات. باستخدام هذه المعادلة ، نرى أن & middot يجب أن تحتوي على وحدات g / hour حتى يتم إلغاء ساعات كما ،

وبالتالي ، فإننا نفسر ميلنا باستخدام الوحدات على النحو التالي:

& ldquoLarvae ينمو 1/12 عشر من جرام في الساعة. & rdquo

بالطبع ، نموذجنا هو مجرد تقريب للواقع ، حيث سيكون هناك اختلاف في الكتلة بين اليرقات. على سبيل المثال ، قد تنمو يرقة واحدة إلى 12.1 جم بينما تنمو يرقة أخرى إلى 11.9 جم فقط خلال 48 ساعة. نحن نعلم ببساطة أن اليرقة تنمو في المتوسط ​​إلى 12 جم خلال فترة 48 ساعة.

يمكن أن يوفر تحليل الأبعاد أيضًا فحصًا داخليًا لعملك. إذا وجدت في نهاية حساباتك أن & quotseconds = grams & quot ، فأنت تعلم أن هناك شيئًا ما خطأ في نموذجك أو حساباتك أو كليهما!

معدل النمو السكاني

يمكن أيضًا تطبيق النماذج الخطية على نمو مجموعة من الكائنات الحية. على سبيل المثال ، يفترض نموذج النمو السكاني اللوجستي أن معدل النمو السكاني (ص) يتناقص خطيًا مع حجم السكان (ن) من خلال عملية تُعرف بالمنافسة غير المحددة. يمكن أن يكون معدل النمو السكاني موجبًا أو سالبًا أو صفرًا. إذا ص أكبر من الصفر يزداد عدد السكان ، بينما إذا ص أقل من الصفر ، ينخفض ​​عدد السكان. متي ص = 0 يظل حجم السكان ثابتًا.

يمكننا كتابة معادلة ل ص ك وضيفة من ن كما يلي،

أين ص0 & gt 0 هو معدل النمو السكاني في حالة عدم وجود منافسة غير محددة و
ك
& gt 0 هي القدرة الاستيعابية للبيئة. يمكننا إعادة الكتابة ص(ن) في شكل معادلة الميلان المحصور مثل،

في هذا المثال ، المتغير التابع هو معدل النمو السكاني ، ص ، والمتغير المستقل هو حجم السكان ، ن، حيث ص0 و ك هي أرقام إيجابية. يُعطى ميل الخط بواسطة

تشير العلامة السلبية إلى ذلك ص يتناقص مع ن. ال ص-تقاطع (ذ-intercept) بواسطة ب = ص0 ، مما يعني أنه متى ن = 0 ، لا توجد منافسة غير محددة. يمكننا العثور على ن-تقاطع (x-تقاطع) من ص (ن) عن طريق الإعداد ص (ن) = 0 وحل من أجل ن,

لذلك ، نجد ن- اعتراض أن يكون ك. وضعنا ص (ن) يساوي الصفر على النحو الوارد أعلاه لأن ص-تنسيق (ذ-تنسيق) من النقاط الملقاة على ن-محور (x-axis) يجب أن يكون صفرًا. يمكننا التآمر ص(ن) كما يلي،

هذا الرسم البياني يشير إلى ذلك

بمعنى آخر ، ينمو عدد السكان عندما يكون عدد السكان أقل من القدرة الاستيعابية ، وينخفض ​​عندما يكون عدد السكان أعلى من القدرة الاستيعابية. عندما يكون حجم السكان في القدرة الاستيعابية ( ن = ك) ، لا يوجد نمو أو تراجع (ص = 0) .

في القسم التالي سوف ندرس بعض التطبيقات الأخرى للنماذج الخطية.


1.6 المعالجة الرياضية لنتائج القياس

غالبًا ما يكون الأمر هو أن كمية الفائدة قد لا يكون من السهل (أو حتى ممكن) قياسها بشكل مباشر ولكن بدلاً من ذلك يجب حسابها من الخصائص الأخرى المقاسة مباشرة والعلاقات الرياضية المناسبة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك قياس متوسط ​​سرعة العدو في سباقات السرعة. يتم تحقيق ذلك عادةً عن طريق قياس زمن مطلوب للرياضي ليركض من خط البداية إلى خط النهاية ، و مسافه: بعد بين هذين السطرين ، ثم الحوسبة سرعة من المعادلة التي تتعلق بهذه الخصائص الثلاث:

يمكن لعداء بجودة أولمبية الركض لمسافة 100 متر في حوالي 10 ثوانٍ ، وهو ما يقابل متوسط ​​سرعة

لاحظ أن هذا الحساب البسيط يتضمن قسمة أرقام كل كمية مقاسة للحصول على رقم الكمية المحسوبة (100/10 = 10) وبالمثل قسمة وحدات كل كمية مقاسة لإعطاء وحدة الكمية المحسوبة (م / ث = م / ث). الآن ، ضع في اعتبارك استخدام هذه العلاقة نفسها للتنبؤ بالوقت المطلوب لشخص يركض بهذه السرعة ليقطع مسافة 25 مترًا. يتم استخدام نفس العلاقة بين الخصائص الثلاث ، ولكن في هذه الحالة ، الكميتان المقدمتان هما السرعة (10 م / ث) والمسافة (25 م). للحصول على الخاصية المطلوبة ، الوقت ، يجب إعادة ترتيب المعادلة بشكل مناسب:

يمكن بعد ذلك حساب الوقت على النحو التالي:

مرة أخرى ، كان الحساب على الأرقام (25/10 = 2.5) مصحوبًا بنفس الحساب على الوحدات (م / م / ث = ث) لإعطاء رقم ووحدة النتيجة ، 2.5 ثانية. لاحظ أنه ، كما هو الحال بالنسبة للأرقام ، عندما تقسم الوحدة على وحدة متطابقة (في هذه الحالة ، م / م) ، تكون النتيجة "1" - أو ، كما هو شائع ، "تلغي" الوحدات.

هذه الحسابات هي أمثلة على نهج رياضي متعدد الاستخدامات يُعرف باسم التحليل البعدي (أو طريقة تسمية العوامل). يعتمد تحليل الأبعاد على هذه الفرضية: يجب أن تخضع وحدات الكميات لنفس العمليات الحسابية مثل الأرقام المرتبطة بها. يمكن تطبيق هذه الطريقة على حسابات تتراوح من تحويلات بسيطة للوحدات إلى عمليات حسابية أكثر تعقيدًا ومتعددة الخطوات تتضمن عدة كميات مختلفة.

عوامل التحويل وتحليل الأبعاد

يمكن استخدام نسبة كميتين معادلتين معبراً عنها بوحدات قياس مختلفة كعامل تحويل للوحدة. على سبيل المثال ، أطوال 2.54 سم و 1 بوصة متكافئة (حسب التعريف) ، وبالتالي يمكن اشتقاق عامل تحويل الوحدة من النسبة ،

يتم إعطاء العديد من عوامل التحويل الأخرى شائعة الاستخدام في الجدول 1.6.

طول مقدار كتلة
1 م = 1.0936 ياردة 1 لتر = 1.0567 كوارت 1 كجم = 2.2046 رطل
1 بوصة = 2.54 سم (بالضبط) 1 كيو تي = 0.94635 لتر 1 رطل = 453.59 جم
1 كم = 0.62137 ميل 1 قدم 3 = 28.317 لترًا 1 (أفواردوبوا) أوقية = 28.349 جم
1 ميل = 1609.3 م 1 ملعقة كبيرة = 14.787 مل 1 (تروي) أوقية = 31.103 جم

عندما يتم ضرب كمية (مثل المسافة بالبوصة) في عامل تحويل وحدة مناسب ، يتم تحويل الكمية إلى قيمة مكافئة بوحدات مختلفة (مثل المسافة بالسنتيمتر). على سبيل المثال ، يمكن تحويل القفزة العمودية للاعب كرة السلة البالغة 34 بوصة إلى سنتيمترات عن طريق:

مثال 1.8

استخدام معامل تحويل الوحدات

حل

يمكن تمثيل عامل تحويل الوحدة على النحو التالي:

عامل تحويل الوحدة الصحيح هو النسبة التي تلغي وحدات الجرامات والأوقية.

تحقق من التعلم الخاص بك

إجابه:

بالإضافة إلى تحويلات الوحدات البسيطة ، يمكن استخدام طريقة تسمية العوامل لحل المشكلات الأكثر تعقيدًا التي تنطوي على عمليات حسابية. بغض النظر عن التفاصيل ، فإن النهج الأساسي هو نفسه — جميع ملفات عوامل المشاركة في الحساب يجب أن تكون موجهة بشكل مناسب للتأكد من أن ملصقات (الوحدات) سوف تلغي و / أو تتحد بشكل مناسب لإنتاج الوحدة المطلوبة في النتيجة. مع استمرار دراستك للكيمياء ، ستواجه العديد من الفرص لتطبيق هذا النهج.

مثال 1.9

حساب الكميات من نتائج القياس والعلاقات الرياضية المعروفة

حل

يمكن تحويل الحجم من كوارت إلى مليلتر من خلال خطوتين:

    الخطوة 1. تحويل لتر لتر.

بدلاً من ذلك ، يمكن إعداد الحساب بطريقة تستخدم ثلاثة عوامل تحويل للوحدات بالتتابع على النحو التالي:

تحقق من التعلم الخاص بك

إجابه:

المثال 1.10

حساب الكميات من نتائج القياس والعلاقات الرياضية المعروفة

(أ) ما الاقتصاد في استهلاك الوقود (المتوسط) ، بالأميال للغالون الواحد ، الذي حصلت عليه رودستر خلال هذه الرحلة؟

(ب) إذا كان سعر البنزين 3.80 دولارًا أمريكيًا للغالون الواحد ، فما هي تكلفة الوقود لهذه الرحلة؟

حل

ثم قم بتحويل الحجم من اللترات إلى الجالونات:

بدلاً من ذلك ، يمكن إعداد الحساب بطريقة تستخدم جميع عوامل التحويل بالتتابع ، على النحو التالي:

(ب) باستخدام الحجم المحسوب مسبقًا بالجالونات ، نجد:

تحقق من التعلم الخاص بك

(أ) ما الاقتصاد في استهلاك الوقود (المتوسط) ، بالأميال للغالون الواحد ، الذي حصلت عليه بريوس خلال هذه الرحلة؟

(ب) إذا كان سعر البنزين 3.90 دولار للغالون الواحد ، فما هي تكلفة الوقود لهذه الرحلة؟

إجابه:

تحويل وحدات درجة الحرارة

نستخدم كلمة درجة الحرارة للإشارة إلى سخونة أو برودة مادة ما. إحدى الطرق التي نقيس بها التغير في درجة الحرارة هي استخدام حقيقة أن معظم المواد تتمدد عندما ترتفع درجة حرارتها وتتقلص عندما تنخفض درجة حرارتها. يغير الزئبق أو الكحول في ميزان حرارة زجاجي شائع حجمه مع تغير درجة الحرارة ، ويمكن استخدام موضع السائل المحبوس على طول مقياس مطبوع كمقياس لدرجة الحرارة.

يتم تحديد مقاييس درجة الحرارة بالنسبة لدرجات الحرارة المرجعية المختارة: اثنان من أكثرها استخدامًا هما درجة حرارة التجمد والغليان للماء عند ضغط جوي محدد. على مقياس سيليزيوس ، يتم تعريف 0 درجة مئوية على أنها درجة حرارة تجمد الماء و 100 درجة مئوية على أنها درجة حرارة غليان الماء. المسافة بين درجتي الحرارة مقسمة إلى 100 فترة متساوية ، والتي نسميها بالدرجات. على مقياس فهرنهايت ، يتم تحديد نقطة تجمد الماء على أنها 32 درجة فهرنهايت ودرجة حرارة الغليان هي 212 درجة فهرنهايت. المسافة بين هاتين النقطتين على مقياس حرارة فهرنهايت مقسمة إلى 180 جزءًا متساويًا (درجة).

يؤدي تحديد مقاييس درجة الحرارة المئوية والفهرنهايت كما هو موضح في الفقرة السابقة إلى علاقة أكثر تعقيدًا بعض الشيء بين قيم درجة الحرارة على هذين المقياسين مقارنة بوحدات القياس المختلفة للخصائص الأخرى. معظم وحدات القياس لخاصية معينة تتناسب طرديًا مع بعضها البعض (y = mx). استخدام وحدات الطول المألوفة كمثال واحد:

حيث y = الطول بالأقدام ، و x = الطول بالبوصة ، وثابت التناسب ، m ، هو عامل التحويل. ومع ذلك ، لا تشترك مقاييس درجة الحرارة المئوية والفهرنهايت في نقطة الصفر المشتركة ، وبالتالي فإن العلاقة بين هذين المقياسين هي علاقة خطية وليست تناسبية (y = mx + b). وبالتالي ، فإن تحويل درجة حرارة من أحد هذه المقاييس إلى الآخر يتطلب أكثر من مجرد عملية ضرب بواسطة عامل تحويل ، m ، كما يجب أن يأخذ في الاعتبار الاختلافات في نقاط الصفر للمقياس (ب).

تُشتق المعادلة الخطية المتعلقة بدرجات الحرارة المئوية والفهرنهايت بسهولة من درجتي الحرارة المستخدمتين لتحديد كل مقياس. تمثل درجة الحرارة المئوية كما x ودرجة حرارة فهرنهايت كما ذالمنحدر م، يتم حسابه ليكون:

ال ذ- معادلة المعادلة ، ب، ثم يتم حسابها باستخدام أي من أزواج درجة الحرارة المكافئة ، (100 درجة مئوية ، 212 درجة فهرنهايت) أو (0 درجة مئوية ، 32 درجة فهرنهايت) ، على النحو التالي:

المعادلة المتعلقة بدرجة الحرارة (تي) المقاييس إذن:

الشكل المختصر لهذه المعادلة التي تحذف وحدات القياس هو:

ينتج عن إعادة ترتيب هذه المعادلة الشكل المفيد للتحويل من فهرنهايت إلى مئوية:

كما ذكرنا سابقًا في هذا الفصل ، فإن وحدة درجة الحرارة في النظام الدولي للوحدات هي كلفن (ك). على عكس مقياسي Celsius و Fahrenheit ، فإن مقياس كلفن هو مقياس درجة حرارة مطلقة حيث يتوافق 0 (صفر) K مع أدنى درجة حرارة يمكن تحقيقها نظريًا. نظرًا لأن مقياس درجة حرارة كلفن مطلق ، لم يتم تضمين رمز درجة في اختصار الوحدة ، يشير اكتشاف العلاقة بين حجم الغاز ودرجة الحرارة في أوائل القرن التاسع عشر إلى أن حجم الغاز سيكون صفرًا عند 3273.15 درجة ج. في عام 1848 ، اقترح الفيزيائي البريطاني ويليام طومسون ، الذي تبنى لاحقًا لقب اللورد كلفن ، مقياسًا مطلقًا لدرجة الحرارة بناءً على هذا المفهوم (تم توفير مزيد من المعالجة لهذا الموضوع في فصل هذا النص عن الغازات).

درجة حرارة تجمد الماء على هذا المقياس هي 273.15 كلفن ودرجة غليانها 373.15 كلفن ، لاحظ أن الاختلاف العددي في هاتين الدرجتين المرجعيتين هو 100 ، وهو نفس الاختلاف في المقياس المئوي ، وبالتالي فإن العلاقة الخطية بين هذين المقياسين لدرجات الحرارة ستكون تعرض منحدرًا قدره 1 كْلْمْ 1 كْم. باتباع نفس النهج ، يتم اشتقاق معادلات التحويل بين مقياسي درجة الحرارة كلفن ودرجة الحرارة المئوية لتكون:

تم تحديد 273.15 في هذه المعادلات تجريبياً ، لذا فهي ليست دقيقة. يوضح الشكل 1.28 العلاقة بين مقاييس درجة الحرارة الثلاثة.


الجبر

أي نوع من الوظائف يمثل أفضل نموذج لمجموعة نقاط البيانات (–1 ، 22) ، (0 ، 6) ، (1 ، –10) ، (2 ، –26) ، (3 ، –42)؟ الخطي **** التربيعي الأسي لا شيء مما سبق 2. أي نوع من الوظائف يمثل أفضل نموذج لمجموعة نقاط البيانات

ما قبل الجبر

توضح البيانات الواردة في الجدول وظيفة خطية. x | –3 ، 0 ، 3 ، 6 سنوات | –6، –2، 2، 6 ما هو ميل الدالة الخطية؟ أي رسم بياني يمثل البيانات؟

12. أي وظيفة هي دالة تربيعية؟ أ. y = 3x ^ 2 + x B. y = 2x-1 C. y = 3 / x D. y = - | x | Which function rule represents the data in the table? x -3, -2, -1, 0, 1 y 1, -2, -5, -8, -11 A. y=-3x-8 B. y=1/3x -8 C. y=1/3x+8 D. y=3x+8

الجبر

which kind of function best models the data in the table use differences or ratios x y 0, 1.3 1, 7.8 2, 46.8 3, 280.8 4, 1684.8 A) linear B) quadratic C) exponential D) none of the above

الجبر

Myra uses an inverse variation function to model the data for the ordered pairs below. (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) Which statement best explains whether an inverse variation function is the best model for the data?

The table shows the outputs y for different inputs x: Input (x) 3 7 11 15 Output (y) 4 6 8 10 Part A: Do the data in this table represent a function? Justify your answer. (3 points) Part B: Compare the data in the table with the

Jane is organizing a fundraiser to buy a ping-pong table for the community center. The table costs $500.00. Jane is asking contributors to pay for an equal share of the cost of the table. She already has five contributors lined

Math I need help ASAP!

1) Identify the function rule shown in the table. Function Table n - 3, 4, 5, 6 y - 2, 1, 0, -1 a. y = 2 + n b. y = 5n c. y = 5 - n d. not enough information ** 2) What is the values of the function y = -2x - 4 for x = 0,1,2 and

الجبر

Which kind of function best models the data in the table? Use differences or ratios. x y 0 1.7 1 6.8 2 27.2 3 108.8 4 435.2 A.linear B.quadratic C.exponential D.none of the above I think it is C.

Algebra 1

Does the data in the table represent a direct or inverse variation? Write an equation that models the data in the table. X | 1 | 3 | 5 | 10 Y | 4 | 12| 20| 40 A) direct variation y=4x B) direct variation y=1/4x C) inverse

الجبر

kind of function best models the data on the table used to differences or ratios 0 0.6 1 4.2 2 29.4 3 205.8 4 1440.6

حساب التفاضل والتكامل

The function f is continuous on the interval [3, 13] with selected values of x and f(x) given in the table below. Use the data in the table to approximate f '(3.5) x 3 4 7 10 13 f(x) 2 8 10 12 22


Linear Algebra: Gateway to Mathematics: Second Edition

Linear Algebra: Gateway to Mathematics uses linear algebra as a vehicle to introduce students to the inner workings of mathematics. The structures and techniques of mathematics in turn provide an accessible framework to illustrate the powerful and beautiful results about vector spaces and linear transformations.

The unifying concepts of linear algebra reveal the analogies among three primary examples: Euclidean spaces, function spaces, and collections of matrices. Students are gently introduced to abstractions of higher mathematics through discussions of the logical structure of proofs, the need to translate terminology into notation, and efficient ways to discover and present proofs. Application of linear algebra and concrete examples tie the abstract concepts to familiar objects from algebra, geometry, calculus, and everyday life.

Students will finish a course using this text with an understanding of the basic results of linear algebra and an appreciation of the beauty and utility of mathematics. They will also be fortified with a degree of mathematical maturity required for subsequent courses in abstract algebra, real analysis, and elementary topology. Students who have prior background in dealing with the mechanical operations of vectors and matrices will benefit from seeing this material placed in a more general context.


Linear Equations Worksheet With Answers Pdf

1 6 r 7 13 7r 2 13 4x 1 x 3 7x 3x 2 8x 8 4 8 x x 4x. Let and represent algebraic expressions.

Solving Equations And Inequalities Worksheet Answers In 2020 Free Math Lessons 9th Grade Math School Algebra

The diagram below is a rectangle.

Linear equations worksheet with answers pdf. You can customize the worksheets to include one step two step or multi step equations variable on both sides parenthesis and more. Test and worksheet generators for math teachers. 25 x y 6 26 x 3 27 x 5 28 8x 7y 17 29 x 2y 12 30 2x 5y 5 write the standard form of the equation of each line given the slope and y intercept.

B work out the length of the rectangle. Algebra worksheet solving linear equations including negative values form ax b c author. Systems of linear equations worksheet answers.

5x 50 x 10 4. The perimeter of the rectangle is 62 cm. Solving linear equations goal.

Elementary algebra skill solving linear equations. The goal of solving a linear equation is to find the value of the variable that will make the statement equation true. Diagram not drawn to scale 2x 10 x 3 a work out the value of x.

Math drills com free math worksheets subject. Worksheets for linear equations find here an unlimited supply of printable worksheets for solving linear equations available as both pdf and html files. Perform operations to both sides of the equation in order to isolate the variable.

Linear equations word problems worksheet with answers pdf september 4 2020 by admin 21 posts related to linear equations word problems worksheet with answers pdf. Algebra worksheet solving linear equations form ax c. X z jm9aqdvey tw 1i 0t uhz picn lfnisn iet 8eo fa al cg gexbhr qay m14 k worksheet by kuta software llc write the slope intercept form of the equation of each line.

Moreover behind you finish this book you may not only solve your curiosity but after that find the genuine meaning. Algebra mathematics math solving linear equations created date. Variable on both sides solve each equation.

Free algebra 1 worksheets created with infinite algebra 1. Linear equations and inequalities finding slope from a graph finding slope from two points. Answer in its simplest form.

B hence work out the perimeter and area of the rectangle. All measurements are in centimeters. Printable in convenient pdf format.

Your curiosity just about this pdf will be solved sooner considering starting to read. All worksheets created with infinite. Addition and subtraction properties of equality.

Create no mistake this collection is essentially recommended for you. Simple linear equations a answers solve for each variable.

Algebra 2 Worksheets Systems Of Equations And Inequalities Worksheets Graphing Inequalities Linear Inequalities Algebra 2 Worksheets

The Solving Linear Equations Form Ax B C A Math Worksheet From The Algebra Worksheet Page Solving Linear Equations Algebra Worksheets Linear Equations

Solving Linear Equations Worksheet Pdf Awesome 25 Best Ideas About Solving Equations On Pinterest In 2020 Teaching Math Math School Teaching Mathematics

Solving Equations Maths Worksheet Algebra Worksheets Solving Linear Equations Pre Algebra Worksheets

Algebra 1 Worksheets Inequalities Worksheets Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets Graphing Inequalities

Algebra Worksheets Pre Algebra Algebra 1 And Algebra 2 Worksheets In 2020 Graphing Inequalities Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets

28 Square Root Exercises With Answers Solving Equations Worksheets Math In 2020 Algebra Worksheets Solving Linear Equations Solving Equations

Legal Simple Algebra Worksheets

Solving Linear Equations Worksheet Pdf Best Of Solving Equations Worksheets In 2020 Algebra Worksheets Solving Linear Equations College Algebra

30 Solving Two Step Equations Worksheet Answers Two Step Equations And Inequalities W In 2020 Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets Multi Step Equations Worksheets

Linear Equations Graphs Graphing Linear Equations Graphing Worksheets Linear Equations

Solving Equations Sudoku Solving Equations Solving Linear Equations Math Expressions

Ks3 Ks4 Maths Worksheets Printable With Answers Year 7 Math Pdf Al 5 Uk Algebra Fractions An Algebra Worksheets Solving Linear Equations Pre Algebra Worksheets

Solving Linear Equations Form Ax C C 10 06 B Solving Linear Equations Linear Equations Algebra Worksheets

Systems Of Linear Equations By Elimination From Dawnmbrown On Teachersnotebook Com 2 Pages Linear Equations Systems Of Equations Solving Linear Equations

Graphing Linear Equations Worksheet Pdf Graphing Linear Equations Linear Function Graphing Worksheets

Solving Linear Equations Worksheet Pdf Best Of Solving Equations Worksheets Chessmuseum Templ In 2020 Algebra Worksheets Word Problem Worksheets Free Math Worksheets

Solving Equations Worksheets Cazoom Maths Worksheets Solving Linear Equations School Algebra Algebra Worksheets

Graphing Linear Equations With Color Worksheet Graphing Linear Equations Linear Equations Algebra Lessons


Understanding the Cost Function

Let’s do an analysis using the squared error cost function.

Remember a cost function خرائط event or values of one or more variables onto a real number. In this case, the event we are finding the cost of is the difference between estimated values, or the difference between the فرضية and the real values — the actual data we are trying to fit a line to.

Let’s unwrap the mess of greek symbols above. On the far left, we have 1/2*m. m is the number of samples — in this case, we have three samples for X. Those are 1 , 2 and 3 . So 1/2*m is a constant. It turns out to be 1/6 , or 0.1667 .

This means the sum. In this case, the sum from i to m , or 1 to 3 . We repeat the calculation to the right of the sigma, that is:

The actual calculation is just the hypothesis value for h(x) , minus the actual value of y . Then you square whatever you get.

The final result will be a single number. We repeat this process for all the hypothesis, in this case best_fit_1 , best_fit_2 and best_fit_3 . Whichever has the lowest result, or the lowest “cost” is the best fit of the three hypothesis.

Let’s go ahead and see this in action to get a better intuition for what’s happening.


Slope of Linear Functions

The concept of slope is important in economics because it is used to measure the rate at which changes are taking place. Economists often look at how things change and about how one item changes in response to a change in another item.

It may show for example how demand changes when price changes or how consumption changes when income changes or how quickly sales are growing.

Slope measures the rate of change in the dependent variable as the independent variable changes. The greater the slope the steeper the line.

Consider the linear function:

b is the slope of the line. Slope means that a unit change in x, the independent variable will result in a change in y by the amount of b.

slope = change in y/change in x = rise/run

Slope shows both steepness and direction. مع إيجابي slope the line moves upward when going from left to right. مع نفي slope the line moves down when going from left to right.

If two linear functions have the same slope they are parallel.

Slopes of linear functions

The slope of a linear function is the same no matter where on the line it is measured. (This is not true for non-linear functions.)


An example of the use of slope in economics

Demand might be represented by a linear demand function such as

Q(d) represents the demand for a good

P represents the price of that good.

Economists might consider how sensitive demand is to a change in price.

This is a typical downward sloping demand curve which says that demand declines as price rises.

This is a special case of a horizontal demand curve which says at any price above P* demand drops to zero. An example might be a competitor's product which is considered just as good.

This is a special case of a vertical demand curve which says that regardless of the price quantity demanded is the same. An example might be medicine as long as the price does not exceed what the consumer can afford.

Supply might be represented by a linear supply function such as

Q(s) represents the supply for a good

P represents the price of that good.

Economists might consider how sensitive supply is to a change in price.

This is a typical upward sloping supply curve which says that supply rises as price rises.

An example of the use of slope in economics

The demand for a breakfast cereal can be represented by the following equation where p is the price per box in dollars:

This means that for every increase of $1 in the price per box, demand decreases by 1,500 boxes.

Calculating the slope of a linear function

Slope measures the rate of change in the dependent variable as the independent variable changes. Mathematicians and economists often use the Greek capital letter D or D as the symbol for change. Slope shows the change in y or the change on the vertical axis versus the change in x or the change on the horizontal axis. It can be measured as the ratio of any two values of y versus any two values of x.


Generalized Linear Models (GLMs) in R, Part 4: Options, Link Functions, and Interpretation

Last year I wrote several articles (GLM in R 1, GLM in R 2, GLM in R 3) that provided an introduction to Generalized Linear Models (GLMs) in R.

As a reminder, Generalized Linear Models are an extension of linear regression models that allow the dependent variable to be non-normal.

In our example for this week we fit a GLM to a set of education-related data.

Let’s read in a data set from an experiment consisting of numeracy test scores (numeracy), scores on an anxiety test (anxiety), and a binary outcome variable (success) that records whether or not the students eventually succeeded in gaining admission to a prestigious university through an admissions test.

We will use the glm() command to run a logistic regression, regressing success on the numeracy and anxiety scores.

The variable ‘success’ is a binary variable that takes the value 1 for individuals who succeeded in gaining admission, and the value 0 for those who did not. Let’s look at the mean values of numeracy and anxiety.

We begin by fitting a model that includes interactions through the asterisk formula operator. The most commonly used link for binary outcome variables is the logit link, though other links can be used.

glm() is the function that tells R to run a generalized linear model.

Inside the parentheses we give R important information about the model. To the left of the

is the dependent variable: success. It must be coded 0 & 1 for glm to read it as binary.

, we list the two predictor variables. The * indicates that not only do we want each main effect, but we also want an interaction term between numeracy and anxiety.

And finally, after the comma, we specify that the distribution is binomial. The default link function in glm for a binomial outcome variable is the logit. More on that below.

We can access the model output using summary() .

The estimates (coefficients of the predictors – numeracy and anxiety) are now in logits. The coefficient of numeracy is: 1.94556, so that a one unit change in numeracy produces approximately a 1.95 unit change in the log odds (i.e. a 1.95 unit change in the logit).

From the signs of the two predictors, we see that numeracy influences admission positively, but anxiety influences survival negatively.

We can’t tell much more than that as most of us can’t think in terms of logits. Instead we can convert these logits to odds ratios.

We do this by exponentiating each coefficient. (This means raise the value e –approximately 2.72–to the power of the coefficient. e^b).

So, the odds ratio for numeracy is:

However, in this version of the model the estimates are non-significant, and we have a non-significant interaction. Model1 produces the following relationship between the logit (log odds) and the two predictors:

logit(p) = 0.88 + 1.95* numeracy – 0.45 * anxiety – 1.0* interaction term

The output produced by glm() includes several additional quantities that require discussion.

We see a z value for each estimate. The z value is the Wald statistic that tests the hypothesis that the estimate is zero. The null hypothesis is that the estimate has a normal distribution with mean zero and standard deviation of 1. The quoted p-value, P(>|z|), gives the tail area in a two-tailed test.

For our example, we have a Null Deviance of about 68.03 on 49 degrees of freedom. This value indicates poor fit (a significant difference between fitted values and observed values). Including the independent variables (numeracy and anxiety) decreased the deviance by nearly 40 points on 3 degrees of freedom. The Residual Deviance is 28.2 on 46 degrees of freedom (i.e. a loss of

عن المؤلف: David Lillis has taught R to many researchers and statisticians. His company, Sigma Statistics and Research Limited, provides both on-line instruction and face-to-face workshops on R, and coding services in R. David holds a doctorate in applied statistics.


شاهد الفيديو: الصف التاسع الرياضيات الدوال الخطية 1 (شهر اكتوبر 2021).