مقالات

15: الفصل 17 - الرياضيات


هذه الصفحة هي عنصر نائب تم إنشاؤه لأنه تم حذف الصفحة ، ولكن بها صفحات فرعية.

كتب NCERT للفصل 10 الرياضيات الفصل 15 الاحتمالية

كتاب الاحتمالية فئة 10 NCERT: إذا كنت تبحث عن أفضل كتب Class 10 Maths ، فيمكن أن تكون NCERT Books خيارًا رائعًا لبدء التحضير. كتب NCERT للصف 10 الرياضيات الفصل 15 يمكن أن تكون الاحتمالية ذات فائدة قصوى للطلاب لفهم المفاهيم بطريقة بسيطة. يوصى بشدة باستخدام كتب NCERT للرياضيات للصف 10 لأنها تساعد في تغطية المنهج بأكمله. ستساعدك كتب NCERT للصف 10 في الرياضيات أثناء تحضيرك للامتحانات المدرسية وكذلك الاختبارات التنافسية.

سوف تمنحك كتب NCERT 10th Class Maths Chapter 15 معلومات أصلية ويمكنك الاعتماد عليها أثناء التحضير. استعد من تنزيل ملف PDF للصف العاشر من الفصل الخامس عشر من NCERT حيث أنها تحتوي على جميع مجموعات الأسئلة بحيث يمكنك الحصول على أساس قوي من الأساسيات. حاول التدرب على الأوراق السابقة وعينات الأسئلة المرفقة في كتب NCERT للصف العاشر من الرياضيات ، الفصل 15 ، الاحتمال لحل الأسئلة في امتحانك بسهولة.


سمات

  • اقرأها الروابط الموجودة أسفل كل سؤال ، انتقل بسرعة إلى القسم المقابل في الكتاب الإلكتروني.
  • مشكلة موسعة (EP) الأسئلة عبارة عن إصدارات موسعة من الأسئلة الحالية التي تتضمن خطوات وسيطة لتوجيه الطالب إلى الإجابة النهائية.

جديد لخريف 2019!

تحديثات النظام الأساسي

ألق نظرة جديدة على WebAssign

في هذا الخريف ، يتم تحديث WebAssign لتلبية احتياجات وتوقعات طلاب اليوم بشكل أفضل. تعرف على التغييرات القادمة على WebAssign - والتي تم تطويرها لضمان الدعم عبر نماذج الدورة التدريبية ومناهج التدريس.


رياضيات 421: نظرية حساب المتغير الفردي

إذا كنت مؤهلاً للحصول على اعتبار خاص في الاختبارات ، فيرجى إبلاغي بذلك في أقرب وقت ممكن ، حتى أتمكن من ضمان تلبية احتياجاتك.
سيقدم الطلاب الذين يحملون تأشيرات McBurney امتحاناتهم في مركز الاختبارات ، اقرأ هنا وهنا لمزيد من التفاصيل.

    إذا كنت بحاجة إلى مساعدة في الدورة ، فتحدث أولاً إلى معلمك. تشمل المصادر الأخرى للمساعدة ما يلي:
      : مقدمة من مركز التعلم للطلاب الجامعيين بكلية الهندسة (مجانًا). : مدعوم من الجامعة مع مدرسين متطوعين (مجاني). . : إذا كنت تفضل ذلك ، فإن بعض خريجي قسم الرياضيات يقدمون خدمات التدريس الخصوصية.
      لن يتم جمع الواجبات المنزلية أو تصنيفها ، ولكن الاختبارات في المناقشة ستستند إلى هذه المهام ، وإكمال هذه المهام ضروري لتعلم المادة. سيتم نشر المهام في الجدول أدناه حيث نغطي مادة الفصل.

      كمجموعة متنوعة ، يسعى قسم الرياضيات إلى تعزيز مجتمع منفتح وداعم لإجراء البحوث والتدريس والتعلم. وفقًا لهذه المعتقدات والطائفة. 36.12 من قوانين ولاية ويسكونسن الأساسية ، يؤكد قسم الرياضيات أن جميع أفراد المجتمع يجب أن يعاملوا بكرامة واحترام وأنه لن يتم التسامح مع التمييز والمضايقة. نلتزم كذلك بجعل القسم بيئة داعمة وشاملة وآمنة لجميع الطلاب وأعضاء هيئة التدريس والموظفين والزوار ، بغض النظر عن العرق أو الدين أو الأصل القومي أو التوجه الجنسي أو الهوية الجنسية أو الإعاقة أو العمر أو الحمل أو أي جانب آخر من جوانب الهوية. لمزيد من المعلومات ، راجع https://www.math.wisc.edu/climate

      كطالب قد تواجه مجموعة من القضايا التي يمكن أن تسبب حواجز أمام التعلم. قد تشمل هذه العلاقات المتوترة ، والقلق ، ومستويات عالية من التوتر ، ومشاكل الكحول / المخدرات ، والشعور بالإحباط ، أو فقدان الدافع. الخدمات الصحية الجامعية هنا لمساعدتك في حل هذه المشكلات أو غيرها من المشكلات التي قد تواجهها. يمكنك التعرف على خدمات الصحة العقلية المجانية والسرية المتاحة في الحرم الجامعي من خلال الاتصال على 608-265-5600 أو زيارة uhs.wisc.edu. المساعدة متاحة دائمًا.

      يحق للطلاب في هذا الفصل أن يتوقعوا أن زملائهم الطلاب يدعمون النزاهة الأكاديمية لهذه الجامعة. يعد عدم الأمانة الأكاديمية جريمة خطيرة في الجامعة لأنها تقوض أواصر الثقة والصدق بين أفراد المجتمع. في الواجبات المنزلية ، ينطوي عدم الأمانة الأكاديمية على استخدام عمل شخص آخر دون الإسناد (راجع قسم الواجب المنزلي للحصول على التفاصيل). في الاختبارات القصيرة والامتحانات ، تشمل الأكاديمي غير النزيه على سبيل المثال لا الحصر: النظر إلى عمل طلاب آخرين ، والاستفادة من مرجع غير مسموح به أثناء الاختبار ، والنظر إلى الهاتف المحمول لأي سبب (حتى لو كان ذلك لمجرد التحقق من الوقت) أثناء الامتحان ، أو عدم اتباع السياسات المعلنة لامتحانات المنزل.


    بنك أسئلة الرياضيات PDF باللغة الإنجليزية

    بنك أسئلة الرياضيات - الجزء الأول [إنجليزي]

    إذا كنت ترغب في تنزيل English Medium Mathematics Question Bank الجزء الأول من ملف PDF من لوحة Gujarat للامتحانات NEET أو Gujcet أو JEE أو غيرها من الاختبارات التي يمكنك تنزيلها من الجدول أدناه.

    لا.بنك أسئلة الرياضيات (الجزء الأول)
    1.لقب
    2.فهرس
    3.الفصل 1
    4.الفصل 2
    5.الفصل 3
    6.الفصل 4
    7.الفصل 5
    8.الفصل 6
    9.الفصل 7
    10.الفصل 8
    11.الفصل 9
    12.الفصل 10
    13.الفصل 11
    14.الفصل الثاني عشر

    بنك أسئلة الرياضيات - الجزء 2 [إنجليزي]

    إذا كنت ترغب في تنزيل ملف الرياضيات الجزء 2 من بنك أسئلة الرياضيات الفصل الحكيم باللغة الإنجليزية المتوسطة مما يمكنك تنزيله من الجدول أدناه.


    اختبار دخول ECAT اختبار الرياضيات MCQs

    في الرياضيات ECAT الموضوع ذو قيمة كبيرة. هذا بسبب المواد الهندسية القائمة على الرياضيات. لذلك ، يجب على الطلاب الذين يرغبون في الحصول على القبول في كليات الهندسة إظهار مستوى عالٍ من المعرفة في مادة الرياضيات. في بعض الأحيان ، يعتقد الطلاب أن هذه الأسئلة ستكون مشابهة للأسئلة التي أجروها أثناء امتحانهم المتوسط. ولكن ، يجب على الطلاب إبلاغ أن هذه الأسئلة تأتي مع تقدم وفي نفس الوقت تأتي هذه الأسئلة بمستوى صعوبة ، لذلك لا تعتمد على ممارسة أو نتيجة اختبار FSC الخاص بك وإحراز بعض التقدم الإضافي من أجل اجتياز امتحان القبول.

    مواد الرياضيات اعداد ECAT:

    يجب أن يعلم الطلاب أننا لا نخاف من امتحان القبول ، ولكن في نفس الوقت ، فإن عملية الإصلاح ضرورية. حسنًا ، إذا كنا نجعلك على دراية بالواقع في نفس الوقت ، فنحن نقدم لك أيضًا حلاً محتملاً ويتألف هذا الحل من اختبار دخول ECAT الرياضيات MCQs اختبار. نؤكد لكم أنه بعد المرور بهذه الأمور اختبارات MCQs 2021 سيتمكن المرء من تغطية قسم ECAT الذي يتضمن مادة الرياضيات. إذا لم تكن على دراية بأهمية هذه الاختبارات ، فعليك إبلاغها ECAT MCQs مع الإجابات يتم إعداد الاختبارات من قبل المعلمين المحترفين. المعلمون الذين لديهم فكرة عن كيفية قيام الممتحنين بتعيين امتحان القبول وما هي الأساليب للعثور على إجابة جيدة.

    التحضير لاختبار القبول في الرياضيات:

    يجب أن يعلم الطلاب أن امتحان القبول أو ECAT لا يشمل فقط مادة الرياضيات ولكن هناك بعض المواد الأخرى التي يجب عليك دراستها أيضًا وهي الكيمياء والفيزياء واللغة الإنجليزية. يجب على الطلاب إبلاغ أن campus.pk يقدم لك أيضًا اختبار دخول ECAT الفيزياء MCQs اختبار ، اختبار دخول ECAT حل الكيمياء MCQs اختبار وغيرها. يجب أن يعلم الطلاب أنه قبل الحضور لامتحانات القبول ، سيكونون قادرين على العثور على أوراق تاريخ ECAT هنا في campus.pk ، وقبل كل شيء ، يتم تزويد الطلاب أيضًا نتيجة اختبار الدخول لعام 2021 لـ ECAT بواسطة campus.pk.

    الرياضيات كتاب كامل اختبارات MCQ

    تحتوي منصة الحرم الجامعي على مجموعة من 3359 سؤالاً تمت إضافتها إلى فصل الرياضيات. إذا أجريت اختبار MCQ عبر الإنترنت ، فسيقوم نظامنا باختيار 30 سؤالًا بشكل عشوائي. وفي كل مرة تجري فيها اختبارًا آخر ، لن يتكرر أي سؤال من اختبار prevoius.


    تفاصيل

    فابريزيو جابانيي

    الدكتور جاباني أستاذ في قسم علم الأعصاب في كلية بايلور للطب. بعد حصوله على جائزة أبحاث مؤسسة Alexander von Humboldt المرموقة في عام 2012 ، أكمل للتو موعدًا متقاطعًا لمدة عام واحد في معهد Max Planck لعلم الأعصاب في Martinsried ولديه خبرة دولية في مجال علم الأعصاب الحسابي. شارك الدكتور جاباني مع الدكتور كوكس في تأليف الطبعة الأولى من هذا الكتاب الأفضل مبيعًا في عام 2010.

    الانتماءات والخبرة

    كلية بايلور للطب ، هيوستن ، تكساس ، الولايات المتحدة الأمريكية

    ستيفن كوكس

    الدكتور كوكس أستاذ الرياضيات الحاسوبية والتطبيقية في جامعة رايس. ينتمي إلى مركز علم الأعصاب ، وبرنامج العلوم المعرفية ، ومعهد كين كينيدي لتكنولوجيا المعلومات ، وهو أيضًا أستاذ مساعد في علم الأعصاب في كلية بايلور للطب. بالإضافة إلى ذلك ، عمل الدكتور كوكس كمحرر مشارك لعدد من مجلات الرياضيات ، بما في ذلك الطب الرياضي وعلم الأحياء والمشكلات العكسية. سبق له أن قام بتأليف الطبعة الأولى من هذا العنوان مع د.

    الانتماءات والخبرة

    الرياضيات الحسابية والتطبيقية ، جامعة رايس ، هيوستن ، تكساس ، الولايات المتحدة الأمريكية


    التسهيلات للطلاب ذوي الإعاقة: لنصف الفصل الدراسي والنهائي ، يرجى الاتصال بالسيدة ستيفاني فوستر على Math202 (765-494-1991 ، [email protected]) لتحديد موعد امتحانك.

    الكتاب النصي: حساب التفاضل والتكامل ، المتعالي المبكر بقلم بريجز ، كوكران ، جيليت ، وشولز ، الطبعة الثالثة.

    بالنسبة للطالب الذي يبدو أنه ليس لديه حساب على الويب:
    1) انتقل إلى Web Assign Login
    2) انقر على الزر الأحمر "LOG IN @ PURDUE UNIVERSITY" (لا تنقر على زر "LOG IN" الأحمر في الزاوية اليمنى العليا)
    3) سينقلك هذا إلى خادم Purdue ، حيث تقوم بإدخال اسم المستخدم وكلمة المرور الخاصين بوظيفتك.
    يجب أن يتم نقلك بعد ذلك إلى حساب صحيح في WebAssign ، حيث يجب أن ترى فصولك الدراسية.

    بالنسبة للطالب الذي اشترى حق الوصول قبل النقل ، يرجى إرسال المعلومات التالية إلى TA الجديد الخاص بك:
    1. الأصل ورقم القسم.
    2. رقم القسم الجديد.
    3. اسم الطالب.
    4. عشرة أرقام PUID للطالب.
    5. البريد الإلكتروني للطالب.

    واجب منزلي متدرج يدويًا
    5.2: 7 (أ ، ب) ، 8 سبتمبر
    5.4: 11 ، 35 سبتمبر 15
    5.5: 6 ، 17 سبتمبر الجزء (ج ، د) يحتاج فقط إلى إيجاد المصطلحات الثلاثة الأولى لكل حلول سلسلة
    6.2: 23، 29 سبتمبر
    6.4: 10 (أ) ، 6 أكتوبر
    7.3: 25، 8 أكتوبر
    7.5:18، 20 أكتوبر
    7.9: 1 ، 29 أكتوبر باستخدام كل من طريقة المعاملات غير المحددة وطريقة تغيير المعلمات لإيجاد حل معين
    10.1:15، 17 نوفمبر
    10.2:15، 19 نوفمبر
    10.5: 8 ، 1 ديسمبر
    10.6: 9 (أ) ، 3 ديسمبر
    -->


    قام المعلمون الخبراء في CBSETuts.com بتجميع وحل علامات 2 و 4 وضع علامة على الأسئلة المهمة للصف 10 الرياضيات الفصل 15 الاحتمالية.

    أسئلة نوع الإجابة قصيرة جدًا [علامة واحدة]

    السؤال رقم 1.
    يتم وضع البطاقات التي تحمل الرقم 3،4،5،50 في صندوق ومختلطة تمامًا. يتم سحب بطاقة عشوائيًا من الصندوق. أوجد احتمال أن تحتوي البطاقة المحددة على رقم مربع كامل.
    حل:
    إجمالي النتائج المحتملة عند سحب بطاقة واحدة = 48
    عندما يكون الرقم الموجود على البطاقة المرسومة مربعًا مثاليًا ، يكون إجمالي الحالات المواتية 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، أي = 6

    السؤال 2.
    يتم سحب البطاقة عشوائيًا من حزمة خلطت جيدًا مكونة من 52 ورقة لعب. اكتشف احتمالية عدم الحصول على بطاقة حمراء ولا ملكة.
    حل:
    عدد النتائج المحتملة عند سحب بطاقة واحدة = 52
    عدد النتائج الإيجابية عندما لا تكون البطاقة حمراء ولا ملكة = 28

    السؤال 3.
    20 بطاقة ، كُتب عليها الأرقام من 1 إلى 20 ، يتم خلطها جيدًا ثم يتم سحب تذكرة منها عشوائيًا. أوجد احتمال أن الرقم الموجود على التذكرة المسحوبة هو مضاعف 3 أو 7.
    حل:
    عندما يتم سحب بطاقة واحدة ، يكون إجمالي الحالات الممكنة 20.
    الحالات المواتية عندما يكون الرقم مضاعفًا لـ 3 أو 7 هي 3 ، 6 ، 9 ، 12 ، 15 ، 18 ، 7 ، 14 ، أي 8 حالات.

    أسئلة نوع الإجابة المختصرة II [3 علامات]

    السؤال 4.
    برمية واحدة لزوج نرد مختلف ، ما هو احتمال الحصول عليه

    حل:
    إجمالي الحالات المحتملة عند رمي نردتين معًا = 6 × 6 = 36
    الحالات المواتية عندما يكون كلا الرقمين أوليين هي (2 ، 2) ، (2 ، 3) ، (2 ، 5) ، (3 ، 2) ، (3 ، 3) ، (3 ، 5) ، (5 ، 2) ، (5 ، 3) ، (5،5) ، أي 9 نتائج

    (2) الحالات المواتية عندما يكون مجموع الأرقام 9 أو 11 هي (3 ، 6) ، (4 ، 5) ، (5 ، 4) ، (5 ، 6) ، (6 ، 3) ، (6 ، 5) ، أي 6 نتائج

    السؤال 5.
    رمي نردان مختلفان معًا. أوجد احتمال:

    1. الحصول على رقم أكبر من 3 في كل نرد.
    2. الحصول على إجمالي 6 أو 7 من الأرقام الموجودة على نردتين

    1. عندما يتم رمي نردتين معًا ، يكون إجمالي النتائج المحتملة = 6 × 6 = 36
      النتائج المواتية عندما يكون لكل من النرد عدد أكبر من 3 هي (4 ، 4) ، (4 ، 5) ، (4 ، 6) ، (5 ، 4) ، (5 ، 5) ، (5 ، 6) ، (6 ، 4) ، (6 ، 5) ، (6 ، 6) ، أي 9 نتائج.

      =9/36=1/4
    2. النتائج الإيجابية عندما يكون مجموع الأرقام التي تظهر على النرد هو 6 أو 7 ، أي (1،5) ، (1 ، 6) ، (2،4) ، (2،5) ، (3،3) ، (3 ، 4) ، (4 ، 2) ، (4 ، 3) ، (5،1) ، (5،2) ، (6،1) ، النتائج.
      P (إجمالي 6 أو 7) = 11/36

    السؤال 6.
    يتكون الصندوق من 100 قميص ، 88 منها جيدة ، و 8 بها عيوب طفيفة ، و 4 بها عيوب كبيرة. راميش ، صاحب متجر سيشتري فقط القمصان الجيدة ولكن "كوال" صاحب متجر آخر لن يشتري قمصانًا بها عيوب كبيرة. يتم إخراج القميص من الصندوق بشكل عشوائي. ما هو احتمال ذلك

    1. عندما يتم نزع قميص واحد ، فإن إجمالي النتائج المحتملة = 100
      راميش سيشتري عندما يكون القميص جيداً
      النتائج الإيجابية = عدد القمصان الجيدة = 88
    2. سيشتري Kewal قميصًا إذا لم يكن القميص به عيب كبير.
      عدد النتائج الإيجابية = عدد القمصان بدون عيب كبير = 96
      P (Kewal يشتري قميصًا) = 96/100 = 24/25

    السؤال 7.
    يتم رمي ثلاث عملات مختلفة معًا. أوجد احتمال الحصول

    حل:
    النتائج المحتملة عند إلقاء ثلاث عملات معدنية HHH و HHT و HTT و TTT و THH و TTH و HTH و THT

    1. عدد الرأسين بالضبط هما HHT و HTH و THH.
      P (رأسان بالضبط) = 3/8
    2. في حالة وجود رأسين على الأقل ، تكون النتائج HHT و HTH و THH و HHH.
      P (رأسان على الأقل) = 4/8 = 1/2
    3. في حالة وجود طرفين على الأقل ، تكون النتائج هي TTH و THT و HTT و TTT.
      P (ذيولان على الأقل) = 4/8 = 1/2

    السؤال 8.
    من حزمة من 52 ورقة لعب ، تمت إزالة Jacks و Queens و Kings of red. من الباقي ، يتم سحب البطاقة بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة هي:

    حل:
    تمت إزالة بطاقات اللون الأحمر = 3 & # 2152 = 6
    البطاقات المتبقية = 52 & # 8211 6 = 46

    1. عدد الملوك السود = 2
      الفوسفور (ملك أسود) = 2/46 = 1/23
    2. عدد بطاقات اللون الأحمر = 26
      بطاقات اللون الأحمر المتبقية = 26 & # 8211 6 = 20
      ف (بطاقة حمراء اللون) = 20/46 = 10/23
    3. عدد البطاقات السوداء = 26
      ف (بطاقة سوداء اللون) = 26/46 = 13/23

    السؤال 9.
    توجد 100 بطاقة في الحقيبة مكتوب عليها الأرقام من 1 إلى 100. يتم إخراج بطاقة من الحقيبة بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن الرقم الموجود على البطاقة المحددة:

    حل:
    مجموع الحالات الممكنة = 100

    1. الحالات المفضلة عندما يكون الرقم مربعًا كاملاً وقابل للقسمة على 9 هي 9 و 36 و 81.
      إذن ، عدد الحالات المواتية = 3
    2. الحالات المواتية هي الأعداد الأولية الأكبر من 80 هي 83 و 89 و 97
      إذن ، عدد الحالات المواتية = 3

    السؤال 10.
    تتكون اللعبة من رمي عملة واحدة روبية 3 مرات ولا شيء النتيجة في كل مرة. سيفوز راميش باللعبة إذا أظهر كل اللاعبين نفس النتيجة ، (أي إما جميع الرؤوس الثلاثة أو التيول الثلاثة) وخسر اللعبة على خلاف ذلك. أوجد احتمال خسارة راميش للمباراة.
    حل:
    عندما يتم رمي ثلاث عملات معًا ، يكون إجمالي النتائج هو HHH و HHT و HTT و TTT و TTH و THH و HTH و THT إجمالي الحالات المحتملة = 8
    الحالات المفضلة للفوز باللعبة هي HHH أو TTT ، أي حالتين.

    الاحتمال المطلوب = P (راميش سيخسر اللعبة) = 1 -1 / 4 = 3/4

    أسئلة نوع الإجابة الطويلة [4 علامات]

    السؤال 11.
    تتكون لعبة الحظ من تدوير سهم على لوحة دائرية ، مقسمة إلى 8 أجزاء متساوية ، والتي تأتي في حالة سكون مشيرة إلى أحد الأرقام 1،2،3 ، & # 8230 ، 8 وهي نتائج محتملة متساوية. ما هو احتمال أن يشير السهم

    1. رقم فردي
    2. عدد أكبر من 3
    3. عدد أقل من 9.
    1. إجمالي النتائج المحتملة عندما يكون السهم يشير إلى أحد الأرقام هو 8.
      النتائج الإيجابية عندما يكون الرقم المطلوب فرديًا هي 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، أي 4 نتائج.
    2. النتائج المواتية عندما يكون العدد المطلوب أكثر من 3 هي 4،5،6،7، 8 ، أي 5 نتائج.
    3. النتائج الإيجابية عندما يكون العدد المطلوب أقل من 9 هي 1،2،3،4،5،6،7،8 أي 8 نتائج

    السؤال 12.
    يتم اختيار رقم JC عشوائيًا من الأرقام 1،2،3 و 4. يتم تحديد رقم آخر y عشوائيًا من الأرقام 1 و 4 و 9 و 16. أوجد احتمال أن يكون منتج JC و y أقل من 16.
    حل:
    يمكن أن تكون x أيًا من 1 أو 2 أو 3 أو 4 andy ويمكن أن تكون أيًا من 1 أو 4 أو 9 أو 16.
    إجمالي عدد حالات xy = 16
    عدد الحالات التي يكون فيها المنتج أقل من 16 هي 1 × 1،1 × 4،1 × 9 ، 2 × 1 ، 2 × 4 ، 3 × 1 ، 3 × 4،4 × 1 ، أي 8 حالات.

    السؤال 13.
    يتم اختيار رقم x عشوائيًا من الأرقام 1،4،9،16 ويتم اختيار رقم آخر عشوائيًا من الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4. أوجد احتمال أن تكون قيمة xy أكثر من 16
    حل:
    يمكن أن يكون x 1 أو 4 أو 9 أو 16 ويمكن أن يكون y 1 أو 2،3 أو ​​4.
    إجمالي عدد حالات Ay هي 16.
    عدد الحالات عندما يكون Ay أكبر من 16 هي (9 × 2) ، (9 × 3) ، (9 × 4) ، (16 × 2) ، (16 × 3) ، (16 × 4) ، أي 6 حالات.
    6 3
    P (قيمة xy أكثر من 16) = 6/16 = 3/8

    السؤال 14.
    يظهر في الشكل قرصًا يدور عليه اللاعب سهمًا مرتين. يتكون الكسر أ / ب ، حيث "أ" هو عدد القطاعات التي يتوقف فيها السهم على الأول و ب هو رقم القطاع الذي يتوقف فيه السهم عند الدوران الثاني. في كل دورة ، يكون لكل قطاع فرصة متساوية للاختيار بواسطة السهم. أوجد احتمال أن يكون a / b & gt 1.

    حل:
    بالنسبة إلى a / b & gt 1 ، عندما تكون a = 1 ، لا يمكن لـ b أن تأخذ أي قيمة
    أ = 2 ، ب يمكن أن تأخذ قيمة واحدة
    أ = 3 ، ب يمكن أن تأخذ قيمة 2 ، أي 1 و 2
    أ = 4 ، ب يمكن أن تأخذ 3 قيمة ، أي 1 ، 2 ، 3
    أ = 5 ، ب يمكن أن تأخذ 4 قيمة ، أي 1 ، 2 ، 3،4
    أ = 6 ، ب يمكن أن تأخذ 5 قيمة ، أي 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5
    إجمالي النتائج الممكنة = 6 × 6 = 36
    النتائج الإيجابية = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

    2015
    أسئلة نوع الإجابة قصيرة جدًا [علامة واحدة]

    السؤال 15.
    يتم اختيار حرف من الأبجدية الإنجليزية بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يكون الحرف المختار ساكنًا.
    حل:
    مجموع الأبجديات الإنجليزية = 26
    عدد الحروف الساكنة في الأبجدية الإنجليزية = 21
    . & # 8217. ف (اختيار ساكن) = 21/26

    السؤال 16.
    رمي نردان مختلفان معًا. أوجد احتمال أن يكون حاصل ضرب العددين الموجودين أعلى النرد هو 6.
    حل:
    العدد الإجمالي للنتائج المحتملة = 36
    فليكن الحدث مثل هذا
    أ = حاصل ضرب الأرقام أعلى النرد هو 6.
    النتائج المواتية (1 ، 6) ، (2 ، 3) ، (3 ، 2) ، (6،1) ، أي 4.

    السؤال 17.
    تتكون لعبة الحظ من تدوير سهم يستريح مشيرًا إلى أحد الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 وهذه نتائج محتملة بنفس القدر. أوجد احتمال أن يشير السهم إلى أي عامل 8.
    حل:
    إجمالي النتائج = 8
    عوامل 8 هي 1 و 2 و 4 و 8.
    الاحتمال المطلوب = 4/8 = 1/2

    أسئلة نوع الإجابة المختصرة II [3 علامات]

    السؤال 18.
    يتم لف نردين مختلفين معًا. أوجد احتمال الحصول على:

    حل:
    إجمالي عدد النتائج أثناء رمي نردتين = 36.
    ج: مجموع الأعداد هو 5.
    ب: رقم زوجي على كلا النرد.

    1. عدد الحالات المواتية للحدث أ = 4 [أي (1 ، 4) ، (4،1) ، (2،3) ، (3،2)]
      لذلك P (A) = 4/36 = 1/9
    2. عدد الحالات المواتية للحدث B = 9 [أي (2 ، 2) ، (2 ، 4) ، (2 ، 6) ، (4 ، 2) ، (4 ، 4) ، (4 ، 6) ، (6 ، 2) ، (6 ، 4) ، (6) ، 6)]
      لذلك P (B) = 9/36 = 1/4

    السؤال 19.
    تم رمي ثلاث عملات مميزة معًا. أوجد احتمال الحصول على:

    حل:
    عند رمي ثلاث عملات ، يكون التالي هو مساحة العينة:

    السؤال 20.
    تمت إزالة جميع بطاقات الوجه الحمراء من مجموعة من أوراق اللعب. تم خلط البطاقات المتبقية جيدًا ثم يتم سحب بطاقة منها بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة
    469

    حل:
    بعد إزالة جميع بطاقات الوجه الحمراء من حزمة أوراق اللعب ، العدد الإجمالي للبطاقات = 52-6 = 46

    السؤال 21.
    احتمال اختيار كرة حمراء عشوائيًا من برطمان يحتوي على كرات حمراء وزرقاء وبرتقالية فقط هو 1/4. احتمال اختيار كرة زرقاء عشوائيًا من نفس البرطمان هو 1/3. إذا كان البرطمان يحتوي على 10 كرات برتقالية ، فأوجد العدد الإجمالي للكرات في البرطمان.
    حل:
    دع عدد الكرات الحمراء في الجرة = x
    عدد الكرات الزرقاء في الجرة = ص
    إجمالي عدد الكرات في الجرة = x + y + 10
    احتمال اختيار الكرة الحمراء = 1/4

    السؤال 22.
    تحتوي الحقيبة على كرات بيضاء وسوداء وحمراء فقط. يتم سحب كرة من الكيس عشوائيًا. إذا كان احتمال الحصول على كرة بيضاء هو 3/10 والكرة السوداء 2/5 ، فأوجد احتمال الحصول على كرة حمراء. إذا كانت الحقيبة تحتوي على 20 كرة سوداء ، فابحث عن العدد الإجمالي للكرات الموجودة في الكيس.
    حل:
    دع R = الحصول على كرة حمراء
    ب = الحصول على كرة سوداء
    W = الحصول على كرة بيضاء
    الآن ، P (R) + P (B) + P (W) = 1
    الفوسفور (R) = + 2/5 + 3/10 = 1
    الفوسفور (R) = 1-2 / 5-3 / 10 = 10-4-3 / 10 = 3/10
    دع العدد الإجمالي للكرات = x
    الفوسفور (ب) = 20 / س = 2/5 = 20 / س
    س = 20 × 5/2
    إجمالي عدد الكرات = 50

    السؤال 23.
    كيس يحتوي على 18 كرة منها x كرات حمراء.

    1. إذا سحبت إحدى الكرات عشوائيًا من الكيس ، فما احتمال أنها ليست حمراء؟
    2. إذا تم وضع كرتين حمراء أخرى في الحقيبة ، فإن احتمال سحب كرة حمراء سيكون 9/8 ضعف احتمال سحب كرة حمراء في الحالة الأولى. ابحث عن 8
      قيمة X.
    1. عدد الكرات غير الحمراء = 18 -x
      احتمال ألا تكون الكرة المسحوبة باللون الأحمر = 18-x / 18
    2. احتمالية أن تكون الكرة المسحوبة حمراء = x / 18
      عندما يتم وضع كرتين أحمرتين أخريين في الكيس ، يكون عدد الكرات في الكيس 20.
      الآن ، عدد الكرات الحمراء = x + 2
      احتمالية أن تكون الكرة المسحوبة حمراء = س + 2/20
      حسب السؤال ،
      س + 2/20 = 9 / 8Xx / 18
      س + 2/20 = س / 16
      16 س + 32 = 20 س
      4 س = 32
      س = 8

    السؤال 24.
    تتكون اللعبة من رمي عملة معدنية من روبية واحدة ثلاث مرات مع ملاحظة نتيجتها في كل مرة. أوجد احتمال الحصول

    حل:
    النتائج المحتملة HHH، HHT، HTH، THH، TTT، TTH، THT، HTT
    العدد الإجمالي للنتائج = 8

    1. أ = الحصول على ثلاثة رؤوس ، 1 [أي سمو]
      الفوسفور (أ) = 1/8
    2. B = الحصول على ذيلين على الأقل ، 4 [أي. TTT ، TTH ، THT ، HTT]
      الفوسفور (ب) = 4/8 = 1/2

    السؤال 25.
    كيس يحتوي على 20 كرة منها x كرات حمراء.

    1. إذا تم سحب كرة واحدة عشوائيًا من الحقيبة ، فأوجد احتمال أنها ليست حمراء.
    2. إذا تم وضع 4 كرات حمراء أخرى في الحقيبة ، فإن احتمال سحب كرة حمراء سيكون 5/4 أضعاف احتمال سحب كرة حمراء في الحالة الأولى. العثور على قيمة x.

    حل:
    على غرار Ans. 23.

    أسئلة نوع الإجابة الطويلة [4 علامات]

    السؤال 26.
    تحتوي الحقيبة على 25 بطاقة مرقمة من 1 إلى 25. يتم سحب بطاقة عشوائيًا من الحقيبة. أوجد احتمال أن يكون الرقم الموجود على البطاقة المسحوبة هو:

    1. الأرقام من 1 إلى 25 القابلة للقسمة على 3 أو 5 هي 3 ، 6 ، 9 ، 12 ، 15 ، 18 ، 21 ، 24 ، 5 ، 10 ، 20 ، 25.
      P (رقم يقبل القسمة على 3 أو 5) = 12/25
    2. الأرقام من 1 إلى 25 التي تكون مربعًا كاملًا هي 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25
      P (رقم مربع كامل) = ^ 5/25 = 1/5.

    السؤال 27.
    صندوق يحتوي على 20 بطاقة مرقمة من 1 إلى 20. بطاقة يتم سحبها عشوائيًا من الصندوق. أوجد احتمال أن الرقم الموجود على البطاقة المسحوبة هو

    1. الأعداد من 1 إلى 20 القابلة للقسمة على 2 أو 3 هي 2،4 ، 6،8 ، 10 ، 12 ، 14 ، 16 ، 18 ، 20 ، 3 ، 9،15
      P (رقم قابل للقسمة على 2 أو 3) = 13/20
    2. الأعداد الأولية من 1 إلى 20 هي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19
      P (عدد أولي) = 8/20 = 2/5

    السؤال 28.
    يتم سحب البطاقة عشوائيًا من مجموعة أوراق اللعب التي تم خلطها جيدًا. أوجد احتمال أن تكون البطاقة المرسومة هي

    1. ورقة الأشياء بأسمائها الحقيقية أو الآس.
    2. ملك أسود.
    3. لا جاك ولا ملك
    4. إما ملك أو ملكة

    حل:
    العدد الإجمالي للنتائج = 52

    1. A = البطاقة هي الأشياء بأسمائها الحقيقية أو الآس
      البطاقات المفضلة لـ A = 13 + 3 = 16
      الفوسفور (أ) = 16/52 = 4/13
    2. ب = البطاقة هي ملك أسود
      عدد الملوك السود = 2
      الفوسفور (ب) = 2/52 = 1/26
    3. C = البطاقة ليست مقبسًا ولا ملكًا
      عدد البطاقات المفضلة لـ C = 52-4-4 = 44
      الفوسفور (ج) = 44/52 = 11/13
    4. D = البطاقة إما ملك أو ملكة
      عدد البطاقات المفضلة لـ D = 4 + 4 = 8
      الفوسفور (د) = 8/52 = 2/13

    السؤال 29.
    صندوق يحتوي على بطاقات تحمل أرقامًا من 6 إلى 70. إذا تم سحب بطاقة واحدة عشوائيًا من الصندوق ، فابحث عن احتمال تحملها

    1. رقم مكون من رقم واحد.
    2. رقم يقبل القسمة على 5.
    3. عدد فردي أقل من 30.
    4. رقم مركب بين
      50 و 70.

    حل:
    عدد البطاقات في الصندوق = 65

    1. البطاقات التي تحتوي على رقم واحد هي 6 ، 7 ، 8 ، 9 (أي 4 بطاقات)
      احتمالية أن تحمل البطاقة رقمًا واحدًا = 4/65
    2. ب: الرقم الموجود على البطاقات قابل للقسمة على 5.
      البطاقات المفضلة لـ B هي 10،15،20،25،30،35،40،45،50،55،60،65،70 (أي 13 بطاقة).
      الفوسفور (ب) = 13/65 = 1/5
    3. ج: بطاقات ذات عدد فردي أقل من 30.
      البطاقات المفضلة لـ C هي 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15 ، 17 ، 19 ، 21 ، 23 ، 25 ، 27 ، 29 (أي 12 بطاقة).
      الفوسفور (ج) = 12/65
    4. D: بطاقة برقم مركب بين 50 و 70.
      البطاقات المفضلة لـ D هي 51،52،54،55،56،57،58،60،62،63،64،65، 66،68، 69 ​​(أي 15 بطاقة).
      الفوسفور (د) = 15/65 = 3/13

    2014
    أسئلة من نوع الإجابة المختصرة I [2 علامات]

    السؤال 30.
    يقذف رحيم عملتين مختلفتين في نفس الوقت. أوجد احتمال الحصول على ذيل واحد على الأقل.
    حل:
    مجموع الحالات .
    الحالات المواتية هي (HT ، TH ، TT>.
    . & # 8217. الاحتمال المطلوب = 3/4

    السؤال 31.
    رمي نردان مختلفان معًا. أوجد الاحتمال

    1. أن الرقم على كل نرد هو عدد زوجي.
    2. أن مجموع الأرقام التي تظهر على حجري النرد هو 5

    حل:
    رمي نردان مختلفان. لذلك ، إجمالي النتائج هو 36.

    1. نتائج مواتية للأرقام الزوجية على كلا النردين = 9 ، [أي (2 ، 2) ، (2 ، 4) ، (2 ، 6) ، (4 ، 2) ، (4 ، 4) ، (4 ، 6) ، (6 ، 2) ، (6 ، 4) ، (6) ، 6)].
      احتمال الحصول على رقم زوجي على كلا النردين = 9/36 = 1/4
    2. النتائج الإيجابية أن مجموع الأرقام التي تظهر على حجري نرد هو 5 هي (1،4) ، (2 ، 3) ، (3 ، 2) ، (4،1) ، أي 4.
      احتمال الحصول على مجموع الأرقام التي تظهر على نرد هو 5 = 4/36 = 1/9

    السؤال 32.
    يتم رمي نردين مختلفين في وقت واحد. أوجد احتمال أن مجموع الأرقام التي تظهر على نردَي النرد هو 10.
    حل:
    عندما يتم رمي نردين مختلفين ، فإن إجمالي النتائج المحتملة = 36.
    النتائج الإيجابية لمجموع الأرقام التي تظهر على نردتين هي 10 = 3 ، أي <(4 ، 6) ، (5 ، 5) ، (6 ، 4)>
    احتمال الحصول على مجموع الأرقام التي تظهر على نردتين هو 10 = 3/36 = 1/12

    أسئلة نوع الإجابة الطويلة [4 علامات]

    السؤال 33.
    حقيبة. يحتوي على بطاقات مرقمة من 1 إلى 49. يتم سحب A و C من التسول عشوائيًا ، بعد خلط البطاقات جيدًا. أوجد احتمال أن الرقم الموجود على البطاقة المسحوبة هو

    1. رقم فردي.
    2. من مضاعفات العدد 5.
    3. مربع كامل.
    4. عدد أولي زوجي

    حل:
    إجمالي عدد البطاقات في الحقيبة = 49.

    1. عدد البطاقات الفردية = 25
      & # 8217. الاحتمال المطلوب = 25/49
    2. عدد مضاعفات 5 = 9 (أي 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40 ، 45)
      & # 8217. الاحتمال المطلوب = 9/49
    3. عدد التربيع الكامل = 7 (أي 1،4،9،16، 25، 36،49)
      . & # 8217. الاحتمال المطلوب = 7/49 = 1/7
    4. عدد الأعداد الأولية = 1 (أي 2)
      . & # 8217. الاحتمال المطلوب = 1/49

    السؤال 34.
    تتم إزالة جميع بطاقات الوجه السوداء من حزمة مكونة من 52 ورقة لعب. يتم خلط البطاقات المتبقية جيدًا ثم يتم سحب البطاقة بشكل عشوائي. أوجد احتمال الحصول على

    حل:
    مجموع البطاقات = 52
    إجمالي بطاقات الوجه السوداء = 6
    بعد إزالة بطاقات الوجه السوداء من حزمة مكونة من 52 بطاقة ، عدد البطاقات المتبقية
    = 52-6 = 46.

    1. عدد بطاقات الوجه في البطاقات المتبقية = 6 (أي 2 ملك أحمر و 2 ملك أحمر و 2 جاك أحمر)
      الاحتمال المطلوب = 6/46 = 3/23
    2. عدد البطاقات الحمراء في البطاقات المتبقية = 26
      الاحتمال المطلوب = 26/46 = 13/23
    3. عدد البطاقات السوداء في البطاقات المتبقية = 20
      الاحتمال المطلوب = 20/46 = 10/23
    4. عدد الملوك في البطاقات المتبقية = 2 (أي 2 ملوك أحمر)
      الاحتمالات المطلوبة = 2/46 = 1/23

    السؤال 35.
    يتم الاحتفاظ بالبطاقات المرقمة من 11 إلى 60 في صندوق. إذا تم سحب بطاقة عشوائيًا من الصندوق ، فابحث عن احتمال أن يكون الرقم الموجود على البطاقة المسحوبة هو

    1. رقم فردي.
    2. رقم مربع كامل.
    3. يقبل القسمة على 5.
    4. عضو رئيسي أقل من 20.

    حل:
    إجمالي عدد البطاقات من 11 إلى 60 = 50.

    1. الحالات المواتية للعدد الفردي = 25
      . & # 8217. الاحتمال المطلوب = 25/50 = 1/2
    2. عدد الأعداد المربعة الكاملة من 11 إلى 60 = 4 (أي 16 ، 25 ، 36 ، 49)
      . & # 8217. الاحتمال المطلوب = 4/50 = 2/25
    3. عدد مضاعفات 5 = 10 (أي 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40 ، 45 ، 50 ، 55 ، 60)
      . & # 8217. الاحتمال المطلوب = 10/50 = 1/5
    4. عدد الأعداد الأولية أقل من 20 = 4 (أي 11،13،17،19)
      . & # 8217. الاحتمال المطلوب = 4/50 = 2/25

    السؤال 36.
    تتم إزالة الملكات الحمراء والبلاك جاك من حزمة من 52 ورقة لعب. يتم سحب بطاقة عشوائيًا من البطاقات المتبقية بعد إعادة خلطها. أوجد احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة

    حل:
    الملكات الحمراء والبلاك جاك ، أي 2 + 2 = 4 بطاقات يتم إزالتها من حزمة من 52 ورقة لعب. البطاقات المتبقية = 52 & # 8211 4 = 48.
    . & # 8217. النتائج المحتملة لسحب بطاقة واحدة من 48 بطاقة هي 48.

    1. النتائج الإيجابية لرسم الملك هي 4.
      . & # 8217. احتمال رسم ملكة = 4/48 = 1/12
    2. النتائج الإيجابية للبطاقة ذات اللون الأحمر هي 24 حيث تمت إزالة ملكات حمراء.
      . & # 8217. احتمال رسم ملكة = 24/48 = 1/2
    3. نتائج مواتية لبطاقة الوجه (4 ملوك ، 2 ملكات ، 2 جاك) = 8
      . & # 8217. احتمال رسم ملكة = 8/48 = 1/6
    4. النتائج المواتية لرسم ملكة هي 2 ، حيث تمت إزالة ملكتين حمراء.
      . & # 8217. احتمال رسم ملكة = 2/48 = 1/24

    السؤال 37.
    تتم إزالة جميع بطاقات الوجه الحمراء من حزمة مكونة من 52 ورقة لعب. يتم سحب بطاقة عشوائيًا من البطاقات المتبقية بعد إعادة خلطها. أوجد احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة

    حل:
    تُؤخذ بطاقات الوجه على أنها (4 مقابس و 4 ملكات و 4 ملوك):
    حيث يتم إزالة جميع بطاقات الوجه الحمراء
    . & # 8217. تتم إزالة 6 بطاقات (2 مقابس ، 2 ملكات وملوك 2) من 52 بطاقة.
    . & # 8217. البطاقات المتبقية = 52 & # 8211 6 = 46 بطاقة
    . & # 8217. إجمالي نتائج سحب بطاقة من 46 بطاقة = 46

    1. النتائج الإيجابية لسحب البطاقة الحمراء = 20 (حيث تمت إزالة 6 بطاقات حمراء من 26)
      . & # 8217. احتمال سحب بطاقة حمراء = 20/46 = 10/23
    2. النتائج الإيجابية لرسم ملكة = 2 (حيث تمت إزالة ملكتين حمرتين من أصل 4)
      . & # 8217. احتمال رسم ملكة = 2/46 = 1/23
    3. النتائج الإيجابية لرسم الآس = 4
      . & # 8217. احتمال رسم الآس = 4/46 = 2/23
    4. النتائج المواتية لرسم بطاقة وجه = 6 (حيث تمت إزالة مقعرين وملكات وملوكين)
      . & # 8217. احتمال رسم بطاقة وجه = 6/46 = 3/23

    السؤال 38.
    خمس بطاقات & # 8211 العشرة ، جاك ، الملكة ، الملك والآس من الماس ، يتم خلطها جيدًا مع وجوههم لأسفل. ثم يتم اختيار بطاقة واحدة بشكل عشوائي.

    • ما هو احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة هي الملكة؟
    • إذا سحبت الملكة ووضعت جانبًا ، وسُحبت بطاقة ثانية ، فأوجد احتمال أن تكون البطاقة الثانية موجودة
    1. الآس
    2. ملكة.

    حل:
    خمس أوراق: العشرة ، جاك ، الملكة ، الملك والآس من الماس يتم خلطها مع الوجوه لأسفل.
    إجمالي الاحتمالات لاختيار بطاقة واحدة = 5

    • نتائج مواتية لرسم ملكة = 1
      احتمال رسم ملكة = 1/5
    • عندما يتم الاحتفاظ بالملكة جانبًا ، فإن البطاقات المتبقية = 4
      إذن ، إجمالي نتائج رسم البطاقة = 4
    1. النتائج الإيجابية لرسم الآس هي 1
      احتمال رسم الآس = 1/4
    2. نتائج مواتية لرسم ملكة = 0 (حيث لا توجد بطاقة ملكة).
      احتمال رسم ملكة = 0/4 ، أي 0

    السؤال 39.
    يتم وضع البطاقات المرقمة من 1 إلى 30 في الحقيبة. يتم سحب بطاقة عشوائيًا من هذه الحقيبة. أوجد احتمال أن الرقم الموجود على البطاقة المسحوبة هو

    1. لا يقبل القسمة على 3.
    2. عدد أولي أكبر من 7.
    3. ليس رقم مربع كامل

    حل:
    إجمالي النتائج المحتملة لسحب بطاقة من كيس من 30 بطاقة هو 30.

    1. نتائج مواتية لبطاقة مرقمة غير قابلة للقسمة على 3 = 20 (أي 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 10 ، 11 ، 13 ، 14 ، 16 ، 17 ، 19 ، 20 ، 22 ، 23 ، 25 ، 26 ، 28 و 29).
      . & # 8217. احتمال سحب بطاقة مرقمة غير قابلة للقسمة على 3 = 20/30 = 2/3
    2. نتائج مواتية لبطاقة مرقمة أكبر من 7
      = 6 (أي 11،13،17،19 ، 23 و 29)
      . & # 8217. احتمالية سحب بطاقة مرقمة أولية أكبر من 7
    3. نتائج مواتية لعدم وجود بطاقة مرقمة مربعة كاملة
      = 25 (يترك 1 و 4 و 9 16 و 25)
      . & # 8217. احتمال رسم بطاقة ليست مربعًا كاملاً = 25/30 = 5/6

    السؤال 40.
    يتم دحرجة النرد مرتين. أوجد احتمال ذلك

    حل:
    عندما يتم دحرجة حجر النرد مرتين ، فإن إجمالي النتائج المحتملة = 36.

    1. النتائج الإيجابية التي لن تأتي 5 في أي وقت هي 25 [(1 ، 1) ، (1،2) ، (1 ، 3) ، (1،4) ، (1،6) ، (2،1) ، (2) ، 2) ، (2،3) ، (2،4) ، (2،6) ، (3،1) ، (3،2) ، (3،3) ، (3،4) ، (3،6) ) ، (4،1) ، (4،2) ، (4 ، 3) ، (4 ، 4) ، (4 ، 6) ، (6،1) ، (6 ، 2) ، (6 ، 3) ، (6 ، 4) ، (6 ، 6)]
      احتمال ألا تأتي 5 في أي وقت = 25/36
    2. النتائج الإيجابية التي تظهر 5 مرة واحدة بالضبط هي 10 [(5،1) ، (5 ، 2) ، (5 ، 3) ، (5،4) ، (5 ، 6) ، (1 ، 5) ، (2 ، 5) ، (3 ، 5) ، (4 ، 5) ، (6 ، 5)]
      احتمال ظهور العدد 5 مرة واحدة بالضبط = 10/36 = 5/18

    السؤال 41.
    A piggy bank contains hundred 50 p coins, fifty 1 coins, twenty 2 coins and ten 5 coins. If it is equally likely that one of the coins will fall out when the bank is turned upside down, find the probability that the coin which fell

    1. will be a 50 p coin
    2. will be of value more than 1
    3. will be of value less than 5
    4. will be a 1 or 2 coin

    Solution:
    Total coins in piggy bank are:
    50 p coins = 100 1 coins = 50 2 coins = 20 5 coins = 10
    Total coins = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
    Therefore, total possible outcomes that one coin will fall = 180

    1. Favourable outcomes for falling a 50 p coin = 100
      .’.Probability that a 50 p coin falls =100/180=5/9
    2. Favourable outcomes for a coin of value more than 1 are 30 (20 + 10).
      .’.Probability of falling a coin of value more than 1=30/180=1/6
    3. Favourable outcomes for falling a coin of value less than ? 5 are 170 (100 + 50 + 20)
      .’.Probability of falling a coin of value less than 5 = 170/180=17/18
    4. Favourable outcomes for falling a coin of value 1 or 2 = 70(50 + 20)
      .’. Probability of falling a coin of value 1 or 2 =7/180=7/18

    2013
    Short Answer Type Questions I [2 Marks]

    Question 42.
    A card is drawn at random from a well shuffled pack of 52 playing cards. Find the probability that the drawn card is neither a jack nor an ace
    Solution:
    Total cards = 52
    Number of jacks + Number of ace = 4 + 4 = 8
    Number of cards neither a jack nor an ace = 52 – 8 = 44

    Question 43.
    A die is tossed once. Find the probability of getting an even number or a multiple of 3.
    Solution:
    Even numbers on a die are 2,4, 6.
    Multiple of 3 are 3, 6.
    So, total favourable cases are 2, 4, 6, 3.
    So, required probability =4/6=2/3

    Question 44.
    A card is drawn at random from a well shuffled pack of 52 playing cards. Find the probability that the drawn card is neither a king nor a queen.
    Solution:
    Total cards = 52.
    Number of kings + number of queen = 4 + 4 = 8
    Number of cards neither a king nor a queen = 52 – 8 = 44.
    So, required probability =44/52=11/13

    Question 45.
    Two coins are tossed simultaneously. Find the probability of getting at least one head.
    Solution:
    Possible outcomes on tossing two coins: HH, HT, TH, TT
    Number of total possible outcomes = 4
    Favourable outcomes of getting at least one head: HT, TH, HH
    Number of favourable outcomes = 3
    Required probability=3/4

    Question 46.
    Three coins are tossed simultaneously. Find the probability of getting Exactly two heads.
    Solution:
    Possible outcomes when 3 coins are tossed are 8 (i.e. HHH, HHT, HTH, THH, TTH, TTT, THT, HTT).
    Favourable cases for exactly 2 heads are 3 (i.e. HHT, HTH, THH)
    Required probability = 3/8

    Question 47.
    Two dice are thrown simultaneously. Find the probability of getting a doublet.
    Solution:
    Two dice are thrown. So, total number of possible outcomes are 36.
    Doublet are (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)
    Number of favourable cases = 6
    Required probability =6/36=1/6

    Question 48.
    Three cards of spades are lost from a pack of 52 playing cards. The remaining cards were well shuffled and then a card was drawn at random from them. Find the probability that the drawn card is of black colour.
    Solution:
    Number of cards left = 52 – 3 = 49
    Number of cards of spade left = 13 – 3 = 10
    Number of black cards left = 13 + 10 = 23 [ .’. Spade is of black colour]
    Total Number of ways to draw a card = 49
    Number of ways to draw a black card = 23
    Required probability=23/49

    Question 49.
    The ace, jack, queen and king of clubs are removed from a pack of 52 playing cards. Remaining cards are well shuffled and a card is drawn from them at random. Find the probability that the drawn card is of black colour.
    Solution:
    Ace, jack, queen, king of clubs are removed from a deck of playing cards.
    Number of Remaining cards = 52 – 4 = 48
    Number of black cards remain = 22
    (jack, ace, queen, king of club are removed).
    Required Probability = 22/48=11/24

    Question 50.
    Out of cards numbered from 1 to 20, which are mixed thoroughly, a card is drawn at random. Find the probability that the drawn card bears a number which is a multiple of 3 or 7.
    Solution:
    Number of total cards from 1 to 20 = 20
    Total possible outcomes = 20
    Multiple of 3 or 7 in between 1 to 20 are 3, 6, 9,12,15,18, 7,14
    Number of favourable outcomes = 8
    Required Probability=8/20=2/25

    Long Answer Type Questions [4 Marks]

    Question 51.
    A group consists of 12 persons, of which 3 are extremely patient, other 6 are extremely honest and rest are extremely kind. A person from the group is selected at random. Assuming that each person is equally likely to be selected, find the probability of selecting a person who is

    Solution:
    Total number of persons = 12
    Number of extremely patient = 3
    Number of extremely honest = 6
    Number of extremely kind = 12 -(6+ 3) = 3

    1. Probability of selecting extremely patient = 3/12=1/4
    2. Probability of selecting extremely kind or honest = 3+6/12=9/12=3/4
      We prefer one should be honest first

    Question 52.
    A box contains cards numbered 3,5,7,9,…, 35,37. A card is drawn at random from the box. Find the probability that the number on the drawn card is a prime number.
    Solution:
    Total no. of cards in the box = 18
    Number of ways to draw one card = 18
    Number of cards with a prime number are 11 (i.e. 3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31, 37)
    Number of ways to draw a card bearing a prime number = 11
    Required probability =11/18

    Question 53.
    A die is thrown twice. Find the probability that

    Solution:
    Total outcomes
    (1.1),(1,2), (1,3), (1,4),(1,5), (1,6)
    (2.1),(2, 2),(2,3),(2,4),(2,5),(2, 6)
    (3.1),(3, 2),(3, 3),(3,4),(3,5),(3, 6)
    (4.1),(4, 2),(4, 3),(4,4),(4, 5),(4, 6)
    (5.1),(5, 2),(5, 3),(5,4),(5, 5),(5, 6)
    (6.1),(6,2),(6, 3),(6,4), (6, 5),(6, 6)
    Number of total outcome = 36

    1. Number of outcomes when 5 may not come either time = Outcome except
      (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5),= 36 -11 = 25
      Probability that 5 may not come either time = 25/36
    2. Number of outcome when same number may not come on the dice thrown two times = Number of outcomes except (1,1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5), (6, 6) = 36 – 6 = 30
      Probability that same number may not come on the dice thrown two times = 3036=5/6

    Question 54.
    A bag contains 12 balls, out of which x are white.

    1. If one ball is drawn at random, find the probability that it is a white ball.
    2. If 6 more white balls are put in the bag, the probability of drawing a white ball is double than that in
    • Find x.

    Solution:

    Question 55.
    Two dice are thrown simultaneously. Determine the probability that the difference of the numbers on the two dice is 2
    Solution:
    Two dice are thrown
    Total possible outcomes = 36
    Favourable outcomes, that difference of numbers on the two dice is 2 are.
    (1, 3), (3,1), (2, 4), (4,2), (3, 5), (5, 3), (4, 6), (6, 4)
    Number of favourable outcomes = 8
    Required Probability =8/36=2/9

    2012
    Short Answer Type Questions I [2 Marks]

    Question 56.
    A card is drawn at random from a well-shuffled pack of 52 playing cards. Find the probability of getting

    1. Total cards = 52
      Number of red kings = 2
      Probability (a red king) = 2/52=1/26
    2. Number of queen=4
      Number of jack= 4
      Number of favourable cards = 8
      P(a queen or a jack)=8/52=2/13

    Question 57.

    The die is thrown once. Find the probability of getting

    Solution:
    Total cases = 6

    1. There are three faces marked with A.
      Probability of getting A = 3/6=1/2
    2. There is one face marked with D.
      Probability of getting D =1/6

    Question 58.
    A box contains 100 red cards, 200 yellow cards and 50 blue cards. If a card is drawn at random from the box, then find the probability that it will be

    Solution:
    Red cards = 100 Yellow cards = 200 Blue cards = 50

    1. P(a blue card) = 50/350=1/7
    2. P(not a yellow card) = 150/350=3/7
    3. P(neither yellow nor blue cards) = P(only red card) =100/350=2/7

    Short Answer Type Questions II [3 Marks]

    Question 59.
    A card is drawn from a well shuffled deck of 52 cards. Find the probability of getting

    Solution:
    Total cards = 52

    Question 60.
    A box contains 35 blue, 25 white and 40 red marbles. If a marble is drawn at random from the box, find the probability that the drawn marble is

    Solution:
    Given: Number of blue marbles = 35 Number of white marbles = 25
    Number of red marbles = 40
    Total number of marbles = 100

    1. P(white marble) =25/100=1/4
    2. P(no blue marble) = 25+40/100=65/100=13/20
    3. P(neither white nor blue) = 40/100=2/5

    Question 61.
    A box contains 70 cards numbered from 1 to 70. If one card is drawn at random from the box, find the probability that it bears

    Solution:

    Question 62.
    All kings, queens and aces are removed from a pack of 52 cards. The remaining cards are well shuffled and then a card is drawn from it. Find the probability that the drawn card is

    Solution:
    Number of kings = 4, number of queens = 4, number of aces = 4
    After removing all kings, queens and aces, number of remaining cards = 52 – 12 = 40

    1. Number of black face cards in the remaining cards (2 jacks) = 2
      Probability of black face card = 2/40=1/20
    2. Out of removed 12 cards, 6 are of red colour.
      Number of red coloured cards in remaining cards = 26 – 6 = 20
      Probability of getting a red card =20/40=1/2

    Question 63.
    Card marked with numbers 1, 3, 5, …, 101 are placed in a bag and mixed thoroughly. A card is then drawn at random from the bag. Find the probability that the number on the drawn card is

    Solution:
    Total number of cards in the bag = 51

    1. Number of cards bearing a number less than 19 are 9 (i.e. 1, 3, 5, 7, 9,11,13,15,17).
      .’. Probability that the number on the drawn card is less than 19 = 9/51=3/17
    2. Number of cards bearing a prime number less than 20 are 7 (i.e. 3,5, 7,11,13,17,19).
      .’.Probability that the number on the drawn card is a prime number less than 20 =7/51

    Question 64.
    A die is thrown once. Find the probability of getting the following:

    Solution:
    The possible outcomes are = 6 (i.e. 1, 2, 3, 4, 5, 6). .

    1. Prime numbers on a die = <2, 3, 5>
      P(getting a prime number) =3/6=1/2
    2. Number lying between 2 and 5 are 2 (i.e. 3, 4).
      P(getting a number lying between 2 and 5) =2/6=1/3

    Question 65.
    A box contains 75 cards which are numbered from 1 to 75. If one card is drawn at random from the box, find the probability that the drawn card bears

    Solution:
    Total number of cards = 75

    1. Total number of two digit numbers from 1 to 75 = 66
      P (getting a two digit number) =66/75=22/25
    2. Perfect square numbers from 1 to 75 are 8 (i.e. 1, 4, 9,16, 25, 36,49, 64).
      P(getting a perfect square number) = 8/75

    2011
    Very Short Answer Type Questions I [2 Marks]

    Question 66.
    A coin is tossed two times. Find the probability of getting at least one head.
    Solution:
    Total outcomes are 4, i.e. (HH, HT, TH, TT>
    Favourable outcomes are 3, i.e.
    P(at least one head)=3/4

    Question 67.
    A coin is tossed two times. Find the probability of getting both heads or both tails.
    Solution:
    Total number of cases while tossing a coin two times are 4, i.e.
    Favourable cases of getting both heads or both tails are 2, i.e.

    Question 68.
    A coin is tossed two times. Find the probability of getting not more than one head.
    Solution:
    Total number of cases while tossing a coin two times are 4, i.e. (HH, HT, TH, TT>
    Favourable cases of getting not more than one head are 3, i.e.

    Question 69.
    A ticket is drawn at random from a bag containing tickets numbered from 1 to 40. Find the probability that the selected ticket has a number which is a multiple of 5.
    Solution:
    Total number of tickets = 40
    Multiples of 5 are 5,10,15,20,25,30,35,40
    Number of favourable tickets = 8
    .’. P(a number which is a multiple of 5) =8/40=1/5

    Question 70.
    Two different dice are thrown at the same time. Find the probability that the sum of the two numbers appearing on the top of the dice is 7.
    Solution:
    Total number of cases while throwing two dice = 36
    Number of favourable cases whose sum is 7 are 6, i.e. <1, 6>, (2,5), (3, 4), (4,3), (5, 2), (6,1)

    Short Answer Type Questions II [3 Marks]

    Question 71.
    A game consists of tossing a coin 3 times and noting its outcome each time. Hanif wins if he gets three heads or three tails, and loses otherwise. Calculate the probability that Hanif will lose the game.
    Solution:
    Total possible outcomes are 8, i.e.
    There are only two outcomes at which Hanif can win, i.e. , i.e. 2
    .’. P(Hanif will lose the game)=6/8=3/4

    Question 72.
    Two dice are rolled once. Find the probability of getting such numbers on two dice, whose product is a perfect square.
    Solution:
    Total number of cases = 36
    Favourable cases are (1,1), (1,4), (2,2), (3, 3), (4,1), (4,4), (5,5), (6, 6)

    Question 73.
    A box contains 80 discs which are numbered from 1 to 80. If one disc is drawn at random from the box, find the probability that it bears a perfect square number.
    Solution:
    Total number of discs = 80
    Numbers from 1 to 80 which are perfect square are 1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64.
    Favourable number of dies =8
    Required probability =8/80=1/10

    Question 74.
    Two dice are rolled once. Find the probability of getting such numbers on the two dice, whose product is 12.
    Solution:
    When two dice are rolled, total number of cases = 36
    Number of favourable cases whose product is 12 are given as <(2,6), (3,4), (4,3), (6,2)>, i.e. 4

    Question 75.
    Cards marked with numbers 5,6,7, , 74 are placed in a bag and mixed thoroughly. One card is drawn at random from the bag. Find the probability that the number on the card is a perfect square.
    Solution:
    Total cards = 70
    Perfect square numbers from 5 to 74 are 9,16, 25, 36, 49, 64.
    Number of favourable cards = 6
    P(a perfect square) =6/70=3/35

    2010
    Short Answer Type Questions I [2 Marks]

    Question 76.
    A card is drawn at random from a well-shuffled pack of 52 playing cards. Find the probability of getting a red face card.
    Solution:
    Total cases = 52
    Favourable cases = 6 (red face cards, i.e. 2 kings, 2 queens, 2 jacks)
    Probability of getting a red face card =6/52=3/26

    Question 77.
    A die is thrown once. What is the probability of getting a number greater than 4?
    Solution:
    Total cases = 6
    Favourable cases for the numbers greater than 4 are 2 (i.e. 5, 6).
    Probability of getting a number greater than 4=2/6=1/3

    Question 78.
    A die is thrown twice. What is the probability that the same number will come up either time?
    Solution:
    Total cases when die is thrown twice = 36
    Favourable cases for same number either time = 6 i.e. (1,1), (2, 2), (3,3), (4,4), (5,5), (6, 6)
    Probability of getting same number either time =6/36=1/6

    Short Answer Type Questions II [3 Marks]

    Question 79.
    Cards bearing numbers 1,3,5. 35 are kept in a bag. A card is drawn at random from the bag. Find the probability of getting a card bearing

    Solution:
    Total number of cards in a bag = 18

    • Prime numbers less than 15 are 3, 5, 7,11,13
      Number of favourable cases = 5
      P (a prime number less than 15) =5/18
    • The number divisible by 3 and 5 in given number is 15.
      Number of favourable cases = 1
      P (a number divisible by 3 and 5)=1/18

    Question 80.
    A bag contains cards which are numbered from 2 to 90. A card is drawn at random from the bag. Find the probability that it bears

    Solution:
    Total number of cards = 89

    • Out of 89 cards, there are 8 single-digit numbers and 81 are two-digit numbers.
      Number of favourable cases = 81
      P (getting a two-digit number) = 81/89
    • 4, 9,16, 25, 36,49, 64, 81 are 8 perfect square numbers from 2 to 90.
      P (getting a perfect square number) =8/89

    Question 81.
    From a well-shuffled pack of playing cards, blackjacks, black kings and black aces are removed. A card is then drawn at random from the pack. Find the probability of getting

    Solution:
    As blackjacks, black kings and black aces are removed from the pack, so, number of remaining cards in a pack = 46


    15: Chapter 17 - Mathematics

    The problems are from Contemporary Abstract Algebra by Gallian, 6th Edition unless otherwise noted.

      Homework #1 (Due Tuesday, January 13)

    Hand in Problems:
    Chapter 0: #6, 8, 10, 14, 16, 18*, 19, 22, 24, 36, 48, 50.
    *First prove that if a and b are positive integers, then a does not divide ab+1.

    Extra problems for practice (do not hand in): ∙
    Chapter 0:
    #2, 11, 13, 17, 22, 25, 28, 30, 49.

    Hand in Problems:
    Chapter 1: #4, 6, 8, 10.
    Chapter 2: #6, 11, 12, 14, 16, 20, 22, 24, 28, 33.
    Note: You may assume without proof in #11 that multiplication of matrices is associative.

    Extra problems for practice (do not hand in):
    Chapter 1: #3, 5, 7, 11, 13.
    Chapter 2: #1, 7, 13, 17, 18, 19, 21, 25, 33.

    Hand in Problems:
    Chapter 3: #2, 8, 10, 14, 16, 19, 22, 34, 36, 44, 51

    Extra problems for practice (do not hand in):
    Chapter 3: #1, 7, 15, 23, 25, 33, 35, 39, 43

    Math 103A Homework 1-3 answers.pdf -- Joey will supply you with the password for this file after you hand in your homework. I will email the password to the class Wednesday morning as well.

    The first Midterm is on Wednesday, January 28, 2009.
    This midterm will cover Chapters 0 -- 3 of the book.
    Please bring a blue book!
    You may bring one 8 1/2 X 11 sheet (front and back) of notes if you wish.

    Hand in Problems:
    Chapter 4: #4, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 40, 46 (hint: see #45), 54, 56*, 62
    *Hint: show that U(2^n) contains at least two elements of order 2.

    Extra problems for practice (do not hand in):
    Chapter 4: #1, 3, 9, 15, 17, 47, 59

    Extra problems for practice (do not hand in):
    Chapter 7: #3, 5, 7, 9, 15, 17, 19, 23, 25, 27
    Chapter 10:#3, 15, 21, 23, 27

    Extra problems for practice (do not hand in):
    Chapter 10: #3, 21, 23
    Chapter 6: #1, 3, 5

    The second Midterm is on Wednesday, February 25.
    This midterm will cover the parts of Chapters 4, 6, 7, 8, 10 that we have
    covered so far, i.e. the material from Homeworks 4-7.
    Please bring a blue book!
    You may bring one 8 1/2 X 11 sheet (front and back) of notes if you wish.

      Homework # 8 (Due Tuesday, March 3)
      Hand in Problems:
      Chapter 8: # 50, 56, 58, 64
      Chapter 10: # 32 (Hint use #9 and or see the example involving U(30) in Lecture 22 )
      Chapter 5: #4, 18, 24, 28, 34, 36, 46

      Extra problems for practice
      (do not hand in):
      Chapter 8: # 51, 55, 57, 67
      Chapter 5: #5, 37, 41

    Extra problems for practice (do not hand in):
    Chapter 5: #7, 9, 15
    Chapter 9: #5, 9, 11, 23, 51, 57

    The Final Exam is on Friday, March 16 from 3:00 - 6:00 PM.
    This final is cumulative.
    Please bring a blue book!
    You may bring one 8 1/2 X 11 sheet (front and back) of notes if you wish.


    شاهد الفيديو: التكامل محاضرة 15اللوغارتم الطبيعي الجزء الثاني. الاستاذ حيدر وليد (شهر اكتوبر 2021).