مقالات

6.8: النمو الأسي والانحلال - الرياضيات


أهداف التعلم

  • استخدم نموذج النمو الأسي في التطبيقات ، بما في ذلك النمو السكاني والفائدة المركبة.
  • اشرح مفهوم مضاعفة الوقت.
  • استخدم نموذج الاضمحلال الأسي في التطبيقات ، بما في ذلك الاضمحلال الإشعاعي وقانون التبريد لنيوتن.
  • اشرح مفهوم نصف العمر.

أحد أكثر تطبيقات الدوال الأسية انتشارًا يتضمن نماذج النمو والانحلال. من النمو السكاني والاهتمام المتزايد باستمرار إلى الاضمحلال الإشعاعي وقانون التبريد لنيوتن ، فإن الوظائف الأسية موجودة في كل مكان بطبيعتها. في هذا القسم ، ندرس النمو الأسي والانحلال في سياق بعض هذه التطبيقات.

نموذج النمو الأسي

العديد من الأنظمة تظهر نموًا أسيًا. تتبع هذه الأنظمة نموذجًا على الشكل (y = y_0e ^ {kt}، ) حيث يمثل (y_0 ) الحالة الأولية للنظام و (k ) ثابتًا موجبًا يسمى ثابت النمو. لاحظ أنه لدينا في نموذج النمو الأسي

[y ′ = ky_0e ^ {kt} = ky. التسمية {eq1} ]

أي أن معدل النمو يتناسب مع قيمة الوظيفة الحالية. هذه هي السمة الرئيسية للنمو الأسي. تتضمن المعادلة ref {eq1} مشتقات وتسمى معادلة تفاضلية.

النمو الأسي

الأنظمة التي تعرض النمو الأسي زيادة حسب النموذج الرياضي

[y = y_0e ^ {kt} ]

حيث (y_0 ) يمثل الحالة الأولية للنظام و (k> 0 ) ثابت يسمى ثابت النمو.

النمو السكاني هو مثال شائع للنمو الأسي. ضع في اعتبارك مجموعة من البكتيريا ، على سبيل المثال. يبدو من المعقول أن يكون معدل النمو السكاني متناسبًا مع حجم السكان. بعد كل شيء ، كلما زاد عدد البكتيريا الموجودة للتكاثر ، زادت سرعة نمو السكان. يمثل الشكل ( PageIndex {1} ) والجدول ( PageIndex {1} ) نمو مجموعة من البكتيريا بمجموعة أولية من 200 بكتيريا وثابت نمو قدره 0.02. لاحظ أنه بعد ساعتين فقط (120 دقيقة) يصبح عدد السكان 10 أضعاف حجمه الأصلي!

الجدول ( PageIndex {1} ): النمو الأسي لمجموعة البكتيريا
الوقت (دقيقة)حجم السكان (عدد البكتيريا)
10244
20298
30364
40445
50544
60664
70811
80991
901210
1001478
1101805
1202205

لاحظ أننا نستخدم دالة مستمرة لنمذجة السلوك المنفصل بطبيعته. في أي وقت ، يحتوي سكان العالم الحقيقي على عدد كامل من البكتيريا ، على الرغم من أن النموذج يأخذ قيمًا غير صحيحة. عند استخدام نماذج النمو الأسي ، يجب أن نكون حريصين دائمًا على تفسير قيم الوظيفة في سياق الظاهرة التي نصممها.

مثال ( PageIndex {1} ): النمو السكاني

ضع في اعتبارك عدد البكتيريا الموصوفة سابقًا. ينمو عدد السكان وفقًا للدالة (f (t) = 200e ^ {0.02t}، ) حيث يتم قياس t بالدقائق. كم عدد البكتيريا الموجودة في المجتمع بعد (5 ) ساعات ( (300 ) دقيقة)؟ متى يصل السكان إلى (100،000 ) بكتيريا؟

حل

لدينا (f (t) = 200e ^ {0.02t}. ) إذن

[f (300) = 200 هـ ^ {0.02 (300)} 80686 ين. لا يوجد رقم ]

يوجد (80686 ) بكتيريا في المجتمع بعد (5 ) ساعات.

لإيجاد متى يصل عدد البكتيريا إلى (100،000 ) بكتيريا ، نقوم بحل المعادلة

[ begin {align *} 100،000 & = 200e ^ {0.02t} [4pt] 500 & = e ^ {0.02t} [4pt] ln 500 & = 0.02 t [4pt] t & = frac { ln 500} {0.02} ≈310.73. النهاية {محاذاة *} ]

يصل عدد البكتيريا إلى (100،000 ) بكتيريا بعد (310.73 ) دقيقة.

تمرين ( PageIndex {1} )

ضع في اعتبارك مجموعة من البكتيريا التي تنمو وفقًا للدالة (f (t) = 500e ^ {0.05t} ) ، حيث يتم قياس (t ) بالدقائق. كم عدد البكتيريا الموجودة في السكان بعد 4 ساعات؟ متى يصل عدد السكان إلى (100 ) مليون بكتيريا؟

إجابه

استخدم العملية من المثال السابق.

إجابه

يوجد (81،377،396 ) بكتيريا في المجتمع بعد (4 ) ساعات. يصل عدد السكان إلى (100 ) مليون بكتيريا بعد (244.12 ) دقيقة.

دعنا نوجه انتباهنا الآن إلى تطبيق مالي: الفائدة المركبة. تسمى الفائدة غير المركبة بالفائدة البسيطة. مصلحة بسيطة تدفع مرة واحدة في نهاية الفترة الزمنية المحددة (عادة (1 ) سنة). لذلك ، إذا وضعنا (1000 دولار ) في حساب توفير لكسب (2٪ ) فائدة بسيطة كل عام ، فعندئذ في نهاية العام يكون لدينا

[ 1000(1+0.02)=$1020.]

يتم دفع الفائدة المركبة عدة مرات في السنة ، اعتمادًا على الفترة المركبة. لذلك ، إذا قام البنك بتجميع الفائدة كل (6 ) أشهر ، فإنه يقيد نصف فائدة السنة للحساب بعد (6 ) أشهر. خلال النصف الثاني من العام ، يربح الحساب فائدة ليس فقط على ($ 1000 ) الأولي ، ولكن أيضًا على الفائدة المكتسبة خلال النصف الأول من العام. رياضيا ، في نهاية العام ، لدينا

[1000 left (1+ dfrac {0.02} {2} right) ^ 2 = $ 1020.10. ]

وبالمثل ، إذا كانت الفائدة تتضاعف كل (4 ) أشهر ، فلدينا

[1000 left (1+ dfrac {0.02} {3} right) ^ 3 = 1020.13 دولارًا ، ]

وإذا تضاعفت الفائدة يومياً ( (365 ) مرة في السنة) فلدينا ($ 1020.20 ). إذا قمنا بتوسيع هذا المفهوم ، بحيث تتضاعف الفائدة بشكل مستمر ، بعد (t ) سنوات لدينا

[1000 lim_ {n → ∞} left (1+ dfrac {0.02} {n} right) ^ {nt}. ]

الآن دعونا نتعامل مع هذا التعبير حتى نحصل على دالة نمو أسي. تذكر أنه يمكن التعبير عن الرقم (e ) كحد:

[e = lim_ {m → ∞} left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ m. ]

بناءً على ذلك ، نريد أن يكون للتعبير الموجود داخل الأقواس الشكل ((1 + 1 / م) ). دعنا (n = 0.02m ). لاحظ ذلك كـ (n → ∞، m → ∞ ) أيضًا. ثم نحصل

[1000 lim_ {n → ∞} left (1+ dfrac {0.02} {n} right) ^ {nt} = 1000 lim_ {m → ∞} left (1+ dfrac {0.02} { 0.02m} right) ^ {0.02mt} = 1000 left [ lim_ {m → ∞} left (1+ dfrac {1} {m} right) ^ m right] ^ {0.02t}. ]

نتعرف على الحد الموجود داخل الأقواس على أنه الرقم (هـ ). إذن ، الرصيد في حسابنا المصرفي بعد (t ) سنة مُعطى بـ (1000 e ^ {0.02t} ). بتعميم هذا المفهوم ، نرى أنه إذا كان حساب بنكي برصيد أولي من ($ P ) يربح فائدة بمعدل (r٪ ) ، يتضاعف باستمرار ، ثم رصيد الحساب بعد (t ) سنوات

[ text {Balance} ؛ = Pe ^ {rt}. ]

مثال ( PageIndex {2} ): الفائدة المركبة

يُعرض على طالب يبلغ من العمر 25 عامًا فرصة لاستثمار بعض الأموال في حساب تقاعد يدفع (5٪ ) فائدة سنوية مضاعفة باستمرار. كم يحتاج الطالب أن يستثمر اليوم ليحصل على (1 $ ) مليون عندما تتقاعد في سن (65 )؟ ماذا لو استطاعت أن تكسب (6٪ ) فائدة سنوية مضاعفة باستمرار؟

حل

نحن لدينا

[1،000،000 = Pe ^ {0.05 (40)} ]

[P = 135،335.28. ]

يجب أن تستثمر (135335.28 دولارًا ) بفائدة (5٪ ).

إذا كانت قادرة بدلاً من ذلك على كسب (6٪ ، ) ، تصبح المعادلة

[1،000،000 = Pe ^ {0.06 (40)} ]

[P = 90.717.95. ]

في هذه الحالة ، عليها أن تستثمر فقط ($ 90،717.95. ) وهذا ما يقرب من ثلثي المبلغ الذي تحتاجه للاستثمار في (5٪ ). حقيقة أن الفائدة تتضاعف باستمرار تزيد بشكل كبير من تأثير (1٪ ) الزيادة في سعر الفائدة.

تمرين ( PageIndex {2} )

لنفترض أنه بدلاً من الاستثمار في السن (25 sqrt {b ^ 2−4ac} ) ، ينتظر الطالب حتى سن (35 ). كم سيكون عليها الاستثمار في (5٪ )؟ عند (6٪ )؟

تلميح

استخدم العملية من المثال السابق.

إجابه

بفائدة (5٪ ) يجب أن تستثمر ($ 223،130.16 ). بفائدة (6٪ ) يجب أن تستثمر ($ 165،298.89. )

إذا نمت الكمية بشكل كبير ، فإن الوقت الذي تستغرقه الكمية لمضاعفة يظل ثابتًا. بمعنى آخر ، يستغرق نمو عدد البكتيريا نفس القدر من الوقت لينمو من (100 ) إلى (200 ) بكتيريا كما يحدث للنمو من (10000 ) إلى (20000 ) بكتيريا. هذه المرة تسمى الوقت المضاعف. لحساب وقت المضاعفة ، نريد أن نعرف متى تصل الكمية إلى ضعف حجمها الأصلي. اذا لدينا

[ begin {align *} 2y_0 & = y_0e ^ {kt} [4pt] 2 & = e ^ {kt} [4pt] ln 2 & = kt [4pt] t & = dfrac { ln 2} {ك}. النهاية {محاذاة *} ]

التعريف: مضاعفة الوقت

إذا نمت الكمية بشكل كبير ، فإن مضاعفة الوقت هو مقدار الوقت الذي تستغرقه الكمية لمضاعفة. أعطيت من قبل

[ text {مضاعفة الوقت} = dfrac { ln 2} {k}. ]

مثال ( PageIndex {3} ): استخدام الوقت المضاعف

افترض أن مجموعة الأسماك تنمو باطراد. يخزن الحوض مبدئيا بـ (500 ) سمكة. بعد (6 ) أشهر يوجد (1000 ) سمكة في البركة. سيسمح المالك لأصدقائه وجيرانه بالصيد في بركته بعد أن يصل عدد الأسماك إلى (10000 ). متى سيسمح لأصدقاء المالك بالصيد؟

حل

نعلم أن تعداد الأسماك يستغرق (6 ) أشهر حتى يتضاعف في الحجم. لذلك ، إذا كان (t ) يمثل الوقت بالأشهر ، من خلال صيغة مضاعفة الوقت ، لدينا (6 = ( ln 2) / ك ). ثم (ك = ( ln 2) / 6 ). وبالتالي ، يتم إعطاء التعداد السكاني بواسطة (y = 500e ^ {(( ln 2) / 6) t} ). لمعرفة متى يصل عدد السكان إلى (10000 ) سمكة ، يجب أن نحل المعادلة التالية:

[ begin {align *} 10،000 & = 500e ^ {( ln 2/6) t} [4pt] 20 & = e ^ {( ln 2/6) t} [4pt] ln 20 & = left ( frac { ln 2} {6} right) t [4pt] t & = frac {6 ( ln 20)} { ln 2} [4pt] & ≈ 25.93. النهاية {محاذاة *} ]

يتعين على أصدقاء المالك الانتظار (25.93 ) شهرًا (أكثر بقليل من (2 ) سنة) للصيد في البركة.

تمرين ( PageIndex {3} )

افترض أن عدد الأسماك في المثال ( PageIndex {3} ) يستغرق (9 ) أشهر للوصول إلى (1000 ) سمكة. في ظل هذه الظروف ، ما المدة التي ينتظرها أصدقاء المالك؟

تلميح

استخدم العملية من المثال السابق.

إجابه

(38.90 ) شهر

نموذج الاضمحلال الأسي

يمكن أيضًا استخدام الدوال الأسية لنمذجة المجموعات السكانية التي تتقلص (من المرض ، على سبيل المثال) ، أو المركبات الكيميائية التي تتفكك بمرور الوقت. نقول أن مثل هذه الأنظمة تظهر الانحطاط الأسي ، بدلاً من النمو الأسي. النموذج متماثل تقريبًا ، باستثناء وجود علامة سالبة في الأس. وبالتالي ، بالنسبة لبعض الثوابت الموجبة (ك ) ، لدينا

[y = y_0e ^ {- kt}. ]

كما هو الحال مع النمو الأسي ، هناك معادلة تفاضلية مرتبطة بالتآكل الأسي. نحن لدينا

[y ′ = - ky_0e ^ {- kt} = - ky. ]

تسوس الأسي

الأنظمة التي تظهر الاضمحلال الأسي تتصرف وفقًا للنموذج

[y = y_0e ^ {- kt}، ]

حيث (y_0 ) يمثل الحالة الأولية للنظام و (k> 0 ) ثابت يسمى ثابت الانحلال.

يعرض الشكل ( PageIndex {2} ) رسمًا بيانيًا لدالة الانحلال الأسي التمثيلية.

دعونا نلقي نظرة على التطبيق المادي للانحلال الأسي. قانون نيوتن للتبريد يقول أن الجسم يبرد بمعدل يتناسب مع الاختلاف بين درجة حرارة الجسم ودرجة حرارة البيئة المحيطة. بمعنى آخر ، إذا كان (T ) يمثل درجة حرارة الكائن و (T_a ) يمثل درجة الحرارة المحيطة في الغرفة ، إذن

[T ′ = - ك (T − T_a). ]

لاحظ أن هذا ليس النموذج الصحيح تمامًا للانحلال الأسي. نريد أن يكون المشتق متناسبًا مع الوظيفة ، وهذا التعبير له المصطلح الإضافي (T_a ). لحسن الحظ ، يمكننا إجراء تغيير في المتغيرات التي تحل هذه المشكلة. دع (y (t) = T (t) −T_a ). ثم (y ′ (t) = T ′ (t) −0 = T ′ (t) ) ، وتصبح معادلتنا

[y ′ = - كاي. ]

من عملنا السابق ، نعلم أن هذه العلاقة بين (y ) ومشتقاته تؤدي إلى الاضمحلال الأسي. هكذا،

[y = y_0e ^ {- kt}، ]

ونرى ذلك

[T − T_a = (T_0 − T_a) e ^ {- kt} ]

[T = (T_0 − T_a) e ^ {- kt} + T_a ]

حيث تمثل (T_0 ) درجة الحرارة الأولية. دعنا نطبق هذه الصيغة في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {4} ): قانون نيوتن للتبريد

وفقًا لخبراء صناعة القهوة ذوي الخبرة ، تتراوح درجة الحرارة المثلى لتقديم القهوة بين (155 درجة فهرنهايت) و (175 درجة فهرنهايت). لنفترض أن القهوة تم سكبها عند درجة حرارة (200 درجة فهرنهايت ) ، وبعد (2 ) دقيقة في غرفة (70 درجة فهرنهايت ) تم تبريدها إلى (180 درجة فهرنهايت ). متى تكون القهوة أول مرة باردة بما يكفي لتقديمها؟ متى تكون القهوة باردة جدا لتقديمها؟ قرّب الإجابات لأقرب نصف دقيقة.

حل

نحن لدينا

[ begin {align *} T & = (T_0 − T_a) e ^ {- kt} + T_a [4pt] 180 & = (200−70) e ^ {- k (2)} + 70 [4pt] 110 & = 130e ^ {- 2k} [4pt] dfrac {11} {13} & = e ^ {- 2k} [4pt] ln dfrac {11} {13} & = −2k [4pt] ln 11− ln 13 & = - 2k [4pt] k & = dfrac { ln 13− ln 11} {2} end {align *} ]

ثم النموذج

[T = 130e ^ {( ln 11− ln 13/2) t} +70. لا يوجد رقم]

تصل القهوة إلى (175 درجة فهرنهايت ) عندما

[ begin {align *} 175 & = 130e ^ {( ln 11− ln 13/2) t} +70 [4pt] 105 & = 130e ^ {( ln 11− ln 13/2 ) t} [4pt] dfrac {21} {26} & = e ^ {( ln 11− ln 13/2) t} [4pt] ln dfrac {21} {26} & = dfrac { ln 11− ln 13} {2} t [4pt] ln 21− ln 26 & = left ( dfrac { ln 11− ln 13} {2} right) t [4pt] t & = dfrac {2 ( ln 21− ln 26)} { ln 11− ln 13} [4pt] & ≈2.56. النهاية {محاذاة *} ]

يمكن تقديم القهوة بعد حوالي (2.5 ) دقيقة من سكبها. تصل القهوة إلى (155 درجة فهرنهايت) عند

[ begin {align *} 155 & = 130e ^ {( ln 11− ln 13/2) t} +70 [4pt] 85 & = 130e ^ {( ln 11− ln 13) t } [4pt] dfrac {17} {26} & = e ^ {( ln 11− ln 13) t} [4pt] ln 17− ln 26 & = left ( dfrac { ln 11− ln 13} {2} right) t [4pt] t & = dfrac {2 ( ln 17− ln 26)} { ln 11− ln 13} [4pt ] & ≈5.09. end {محاذاة *} ]

القهوة باردة جدًا بحيث لا يمكن تقديمها بعد حوالي (5 ) دقائق من سكبها.

تمرين ( PageIndex {4} )

لنفترض أن الغرفة أكثر دفئًا ((75 درجة فهرنهايت) ) وبعد (2 ) دقيقة ، تم تبريد القهوة فقط إلى (185 درجة فهرنهايت ) متى تكون القهوة أول مرة باردة بما يكفي لتقديمها؟ متى تكون القهوة باردة جدًا بحيث لا يمكن تقديمها؟ قرّب الإجابات لأقرب نصف دقيقة.

تلميح

استخدم العملية من المثال السابق.

إجابه

تكون القهوة أولًا باردة بدرجة كافية لتخدم بعد حوالي (3.5 ) دقيقة من سكبها. القهوة باردة جدًا بحيث لا يمكن تقديمها بعد حوالي (7 ) دقائق من سكبها.

تمامًا كما أن الأنظمة التي تظهر نموًا أسيًا لها وقت مضاعف ثابت ، فإن الأنظمة التي يظهر عليها الانحطاط الأسي لها نصف عمر ثابت. لحساب نصف العمر ، نريد أن نعرف متى تصل الكمية إلى نصف حجمها الأصلي. لذلك لدينا

( dfrac {y_0} {2} = y_0e ^ {- kt} )

( dfrac {1} {2} = e ^ {- kt} )

(- ln 2 = −kt )

(t = dfrac { ln 2} {k} ).

ملحوظة: هذا هو نفس التعبير الذي توصلنا إليه لمضاعفة الوقت.

التعريف: نصف العمر

إذا اضمحلت الكمية بشكل كبير ، فإن نصف العمر هو مقدار الوقت الذي تستغرقه الكمية لتخفيضها إلى النصف. أعطيت من قبل

[ text {Half-life} = dfrac { ln 2} {k}. ]

مثال ( PageIndex {5} ): التأريخ بالكربون المشع

يعد التأريخ بالكربون أحد أكثر التطبيقات شيوعًا لنموذج الانحلال الأسي. يتحلل الكربون -14 (ينبعث منه جسيم مشع) بمعدل أسي منتظم وثابت. لذلك ، إذا عرفنا مقدار الكربون 14 الموجود أصلاً في الجسم وكمية الكربون 14 المتبقية ، فيمكننا تحديد عمر الجسم. يبلغ عمر النصف للكربون 14 حوالي 5730 عامًا - بمعنى أنه بعد هذه السنوات العديدة ، تحول نصف المادة من الكربون 14 الأصلي إلى النيتروجين 14 الجديد غير المشع. إذا كان لدينا 100 غرام من الكربون -14 اليوم ، فما الكمية المتبقية خلال 50 عامًا؟ إذا كانت القطعة الأثرية التي احتوت في الأصل على 100 غرام من الكربون 14 تحتوي الآن على 10 غرام من الكربون 14 ، فكم يبلغ عمرها؟ قرب الإجابة لأقرب مائة عام.

حل

نحن لدينا

[5730 = dfrac { ln 2} {k} nonumber ]

[k = dfrac { ln 2} {5730}. nonumber ]

لذلك ، يقول النموذج

[y = 100e ^ {- ( ln 2/5730) t}. nonumber ]

في (50 ) سنة ، لدينا

[y = 100e ^ {- ( ln 2/5730) (50)} 99.40 nonumber ]

لذلك ، في (50 ) سنة ، يتبقى (99.40 ) جم من الكربون -14.

لتحديد عمر الأداة ، يجب أن نحل

[ begin {align *} 10 & = 100e ^ {- ( ln 2/5730) t} [4pt] dfrac {1} {10} & = e ^ {- ( ln 2/5730) t} t & ≈19035. النهاية {محاذاة *} ]

يبلغ عمر القطعة حوالي (19000) سنة.

تمرين ( PageIndex {5} ): Carbon-14 Decay

إذا كان لدينا 100 جرام من الكربون 14 ، فما الكمية المتبقية بعد 500 عام؟ إذا كانت القطعة الأثرية التي تحتوي في الأصل على 100 غرام من الكربون 14 تحتوي الآن على 20 غرامًا من الكربون 14 ، فكم يبلغ عمرها؟ قرب الإجابة لأقرب مائة عام.

تلميح

استخدم العملية من المثال السابق.

إجابه

يتبقى 94.13 جم من الكربون -14 بعد 500 عام. القطعة الأثرية عمرها ما يقرب من 13300 سنة.

المفاهيم الرئيسية

  • يعد النمو الأسي والانحلال الأسي من أكثر التطبيقات شيوعًا للوظائف الأسية.
  • تتبع الأنظمة التي تُظهر نموًا أسيًا نموذجًا بالشكل (y = y_0e ^ {kt} ).
  • في النمو الأسي ، يتناسب معدل النمو مع الكمية الحالية. بمعنى آخر ، (y ′ = ky ).
  • الأنظمة التي تُظهر نموًا أسيًا لها وقت مضاعف ثابت ، يتم توفيره بواسطة (( ln 2) / k ).
  • تتبع الأنظمة التي تظهر الاضمحلال الأسي نموذجًا بالصيغة (y = y_0e ^ {- kt}. )
  • الأنظمة التي تُظهر الانحلال الأسي لها نصف عمر ثابت ، والذي يُعطى بواسطة (( ln 2) / k. )

قائمة المصطلحات

مضاعفة الوقت
إذا نمت الكمية بشكل أسي ، فإن الوقت المضاعف هو مقدار الوقت الذي تستغرقه الكمية لمضاعفة ، ويعطى بواسطة (( ln 2) / ك )
تسوس الأسي
الأنظمة التي تظهر الاضمحلال الأسي تتبع نموذجًا بالشكل (y = y_0e ^ {- kt} )
النمو الأسي
الأنظمة التي تظهر نموًا أسيًا تتبع نموذجًا بالشكل (y = y_0e ^ {kt} )
نصف الحياة
إذا اضمحلت الكمية بشكل كبير ، فإن نصف العمر هو مقدار الوقت الذي تستغرقه الكمية لتخفيضها إلى النصف. تعطى بواسطة (( ln 2) / ك )

نموذج النمو الأسي

تعرض العديد من الأنظمة النمو الأسي. تتبع هذه الأنظمة نموذجًا بالصيغة [اللاتكس] y =_<0>^، [/ اللاتكس] حيث [اللاتكس]_ <0> [/ latex] يمثل الحالة الأولية للنظام و [latex] k [/ latex] هو ثابت موجب يسمى نمو ثابت. لاحظ أنه في نموذج النمو الأسي لدينا

أي أن معدل النمو يتناسب مع قيمة الوظيفة الحالية. هذه هي السمة الرئيسية للنمو الأسي. (الشكل) يتضمن المشتقات ويسمى أ المعادلة التفاضلية. نتعلم المزيد عن المعادلات التفاضلية في مقدمة المعادلات التفاضلية في المجلد الثاني من هذا النص.

القاعدة: نموذج النمو الأسي

تزداد الأنظمة التي تُظهر نموًا أسيًا وفقًا للنموذج الرياضي

أين [اللاتكس]_ <0> [/ latex] يمثل الحالة الأولية للنظام و [latex] k & gt0 [/ latex] هو ثابت يسمى نمو ثابت.

النمو السكاني هو مثال شائع للنمو الأسي. ضع في اعتبارك مجموعة من البكتيريا ، على سبيل المثال. يبدو من المعقول أن يكون معدل النمو السكاني متناسبًا مع حجم السكان. بعد كل شيء ، كلما زاد عدد البكتيريا الموجودة للتكاثر ، زادت سرعة نمو السكان. (الشكل) و (الشكل) يمثلان نمو مجموعة من البكتيريا يبلغ عدد سكانها الأولي 200 بكتيريا وثابت نمو قدره 0.02. لاحظ أنه بعد ساعتين فقط [لاتكس] (120 [/ لاتكس] دقيقة) ، يصبح عدد السكان 10 أضعاف حجمه الأصلي!

الشكل 1. مثال على النمو الأسي للبكتيريا.

النمو الأسي للبكتيريا
الوقت (دقيقة) حجم السكان (عدد البكتيريا)
10 244
20 298
30 364
40 445
50 544
60 664
70 811
80 991
90 1210
100 1478
110 1805
120 2205

لاحظ أننا نستخدم دالة مستمرة لنمذجة السلوك المنفصل بطبيعته. في أي وقت ، يحتوي سكان العالم الحقيقي على عدد كامل من البكتيريا ، على الرغم من أن النموذج يأخذ قيمًا غير صحيحة. عند استخدام نماذج النمو الأسي ، يجب أن نكون حريصين دائمًا على تفسير قيم الوظيفة في سياق الظاهرة التي نصممها.

النمو السكاني

ضع في اعتبارك عدد البكتيريا الموصوفة سابقًا. تنمو هذه المجموعة السكانية وفقًا للدالة [اللاتكس] f (t) = 200^ <0.02t>، [/ latex] حيث يتم قياس [latex] t [/ latex] بالدقائق. كم عدد البكتيريا الموجودة في المجتمع بعد 5 ساعات [لاتكس] (300 [/ لاتكس] دقيقة)؟ متى يصل السكان إلى 100000 بكتيريا؟

لدينا [اللاتكس] f (t) = 200^ <0.02 طن>. [/ لاتكس] ثم

يوجد 80686 بكتيريا في السكان بعد 5 ساعات.

لمعرفة متى يصل عدد البكتيريا إلى 100000 بكتيريا ، نقوم بحل المعادلة

يصل عدد البكتيريا إلى 100000 بعد 310.73 دقيقة.

ضع في اعتبارك مجموعة من البكتيريا التي تنمو وفقًا للوظيفة [اللاتكس] f (t) = 500^ <0.05t>، [/ latex] حيث يتم قياس [latex] t [/ latex] بالدقائق. كم عدد البكتيريا الموجودة في السكان بعد 4 ساعات؟ متى يصل عدد السكان إلى 100 مليون بكتيريا؟

يوجد 81،377،396 بكتيريا في السكان بعد 4 ساعات. يصل عدد السكان إلى 100 مليون بكتيريا بعد 244.12 دقيقة.

استخدم العملية من المثال السابق.

دعنا نوجه انتباهنا الآن إلى تطبيق مالي: الفائدة المركبة. تسمى الفائدة التي لا تتضاعف مصلحة بسيطة . يتم دفع الفائدة البسيطة مرة واحدة ، في نهاية الفترة الزمنية المحددة (عادة سنة واحدة). لذا ، إذا وضعنا [اللاتكس] 1000 دولارًا أمريكيًا [/ لاتكس] في حساب توفير يكسب 2٪ فائدة بسيطة سنويًا ، ففي نهاية العام يكون لدينا

يتم دفع الفائدة المركبة عدة مرات في السنة ، اعتمادًا على الفترة المركبة. لذلك ، إذا قام البنك بتجميع الفائدة كل 6 أشهر ، فإنه يقيد نصف فائدة السنة للحساب بعد 6 أشهر. خلال النصف الثاني من العام ، يربح الحساب فائدة ليس فقط على السعر الأولي [اللاتكس] 1000 دولار ، [/ اللاتكس] ولكن أيضًا على الفائدة المكتسبة خلال النصف الأول من العام. رياضيا ، في نهاية العام ، لدينا

وبالمثل ، إذا تم مضاعفة الفائدة كل 4 أشهر ، لدينا

وإذا تضاعفت الفائدة يوميًا [اللاتكس] (365 [/ اللاتكس] مرة في السنة) ، فلدينا [اللاتكس] 1020.20 دولارًا. [/ اللاتكس] إذا قمنا بتوسيع هذا المفهوم ، بحيث تتضاعف الفائدة باستمرار ، بعد [اللاتكس] ر [/ اللاتكس] سنوات لدينا

الآن دعونا نتعامل مع هذا التعبير حتى نحصل على دالة نمو أسي. تذكر أن الرقم [اللاتكس] e [/ اللاتكس] يمكن التعبير عنه كحد:

بناءً على ذلك ، نريد أن يكون للتعبير الموجود داخل الأقواس الشكل [لاتكس] (1 + 1 نصm). [/ latex] دع [latex] n = 0.02m. [/ latex] لاحظ أنه مثل [latex] n to infty ، [/ latex] [latex] m to infty [/ latex] أيضًا . ثم نحصل

نتعرف على الحد الموجود داخل الأقواس على أنه الرقم [اللاتكس] e. [/ لاتكس] لذا ، الرصيد في حسابنا المصرفي بعد [اللاتكس] t [/ اللاتكس] سنة يُعطى بواسطة [اللاتكس] 1000^ <0.02t>. [/ latex] بتعميم هذا المفهوم ، نرى أنه إذا كان الحساب المصرفي برصيد أولي من [اللاتكس] $ P [/ اللاتكس] يربح فائدة بمعدل [اللاتكس] r text <٪> ، [/ اللاتكس] يتضاعف باستمرار ، ثم رصيد الحساب بعد [اللاتكس] ر [/ اللاتكس] سنوات هو

الفائدة المركبة

يُعرض على طالب يبلغ من العمر 25 عامًا فرصة لاستثمار بعض الأموال في حساب تقاعد يدفع فائدة سنوية بنسبة 5 ٪ مضاعفة باستمرار. كم يحتاج الطالب أن يستثمر اليوم ليحصل على مليون [لاتكس] 1 دولار [/ لاتكس] عندما تتقاعد في سن [اللاتكس] 65؟ [/ لاتكس] ماذا لو كان بإمكانها كسب 6٪ فائدة سنوية مضاعفة باستمرار بدلاً من ذلك؟

يجب أن تستثمر [اللاتكس] $ 135،335.28 [/ latex] بفائدة 5٪.

إذا كانت ، بدلاً من ذلك ، قادرة على كسب [لاتكس] 6 نص <٪> ، [/ لاتكس] تصبح المعادلة

في هذه الحالة ، عليها أن تستثمر فقط [لاتكس] 90717.95 دولارًا. [/ لاتكس] هذا ما يقرب من ثلثي المبلغ الذي تحتاجه للاستثمار في [لاتكس] 5 نص <٪>. [/ لاتكس] حقيقة أن الفائدة يُضاعف بشكل مستمر تأثير الزيادة بنسبة 1٪ في سعر الفائدة.

افترض بدلاً من الاستثمار في السن [اللاتكس] 25 sqrt <^ <2> -4ac> ، [/ latex] تنتظر الطالبة حتى سن 35. ما المبلغ الذي يجب أن تستثمره في [latex] 5 text <٪>؟ [/ latex] في [latex] 6 text <٪ >؟ [/ لاتكس]

بفائدة 5٪ ، يجب أن تستثمر [اللاتكس] $ 223،130.16. [/ latex] بفائدة 6٪ ، يجب أن تستثمر [اللاتكس] $ 165،298.89. [/ latex]

استخدم العملية من المثال السابق.

إذا نمت الكمية بشكل كبير ، فإن الوقت الذي تستغرقه الكمية لمضاعفة يظل ثابتًا. بعبارة أخرى ، يستغرق نمو عدد البكتيريا من 100 إلى 200 بكتيريا نفس القدر من الوقت كما يحدث في النمو من 10000 إلى 20000 بكتيريا. هذه المرة تسمى مضاعفة الوقت. لحساب وقت المضاعفة ، نريد أن نعرف متى تصل الكمية إلى ضعف حجمها الأصلي. اذا لدينا

تعريف

إذا نمت الكمية بشكل كبير ، فإن الوقت المضاعف هو مقدار الوقت الذي تستغرقه الكمية لمضاعفة. أعطيت من قبل

استخدام الوقت المضاعف

افترض أن عددًا من الأسماك ينمو بشكل كبير. يتم تخزين 500 سمكة فى الحوض فى البداية. بعد 6 أشهر ، يوجد 1000 سمكة في البركة. سيسمح المالك لأصدقائه وجيرانه بالصيد في بركته بعد أن يصل عدد الأسماك إلى 10000. متى سيسمح لأصدقاء المالك بالصيد؟

نحن نعلم أن تعداد الأسماك يستغرق 6 أشهر لتتضاعف في الحجم. لذلك ، إذا كان [اللاتكس] t [/ اللاتكس] يمثل الوقت بالأشهر ، من خلال صيغة مضاعفة الوقت ، لدينا [اللاتكس] 6 = ( text2) نصك [/ لاتكس] ثم [لاتكس] ك = (نص2) نص6. [/ latex] وبالتالي ، فإن عدد السكان يُعطى بواسطة [اللاتكس] y = 500^ <(( text2) نص6) t>. [/ latex] لمعرفة متى يصل عدد الأسماك إلى 10000 سمكة ، يجب علينا حل المعادلة التالية:

يتعين على أصدقاء المالك الانتظار 25.93 شهرًا (أكثر بقليل من عامين) للصيد في البركة.

لنفترض أن عدد الأسماك في (الشكل) استغرق 9 أشهر لتصل إلى 1000 سمكة. في ظل هذه الظروف ، ما المدة التي ينتظرها أصدقاء المالك؟


بملاحظة $ dh / dt = 0 $ نجد أن $ H = 20 $ وهذا يعني أن الوظيفة تتوقف عن التغير عند درجة حرارة الغرفة $ H = 20 $. بما أن $ t $ يعني أن $ H = 20 + Ae ^ <-kt> $ حيث أن $ t $ يقترب من اللانهاية $ H = 20 $.

أعتقد أنه يمكنك استخدام فصل المتغيرات ، لذلك لدينا $ frac

= -k (H-20) frac = -kdt int < frac> = int <-kdt> ln (H-20) = -kt + C e ^ < ln <(H-20) >> = e ^ <-kt + C> H- 20 = e ^ <-kt + C> H-20 = e ^ <-kt> e ^ $

الآن ، قم بحل قيمة $ e ^ C $ ، مع تعيين $ t = 0 $ يعطي

$ H_0 - 20 = e ^ C $ والذي يعطي أخيرًا $ H (t) = (H_0 - 20) e ^ <-kt> + 20 quad quad (1) $

نحتاج الآن إلى حساب $ k $ باستخدام المعادلة $ (1) $ والمعلومات الواردة في المشكلة: افترض أن $ H_0 = 100 $ ، إذن

90 دولارًا أمريكيًا = (100-20) e ^ <-2k> + 20 70 = 80e ^ <-2k> frac <70> <80> = e ^ <-2k> ln left ( frac <70> <80> right) = -2k ln (7/8) = -2k k = - frac < ln (8/7)> <2> k تقريبًا 0.0667656963123 دولار

لذلك يستغرق فنجان القهوة حوالي 10 دقائق ليبرد إلى 60 دولارًا أمريكيًا ^ < circ> $ C.

ملحوظة: لقد غليتم القهوة ، دعنا نقول $ H (0) حوالي 100 ^ o C $

أنت تعلم الآن أن القهوة ستفقد الحرارة باستمرار حتى تصل إلى درجة حرارة الغرفة ، ولا تقل عنها أبدًا. لذلك $ فارك

$ سلبي. يكون $ (H-20) $ موجبًا دائمًا. وبالتالي، k موجب


استراتيجيات التدريس: أفكار من تعليم الرياضيات

ضع المفاهيم الكمية في سياقها

هناك عدد من السياقات الجيولوجية التي يتم فيها تقديم مفهوم النمو الأسي والانحلال. بعض هذه تشمل:

استخدم تمثيلات متعددة

نظرًا لأن كل شخص لديه طرق مختلفة للتعلم ، فقد حدد علماء الرياضيات عددًا من الطرق التي يمكن من خلالها تمثيل المفاهيم الكمية للأفراد. فيما يلي بعض الطرق التي يمكن من خلالها تمثيل النمو الأسي والانحلال.

استخدم التكنولوجيا بشكل مناسب

يمتلك الطلاب أي عدد من الأدوات التكنولوجية التي يمكنهم استخدامها لفهم المفاهيم الكمية بشكل أفضل - من الآلات الحاسبة في حقائب الظهر الخاصة بهم إلى أجهزة الكمبيوتر في غرف النوم الخاصة بهم. يمكن للنمو الأسي والانحلال الاستفادة من هذه الأدوات لمساعدة الطلاب على فهم هذا المفهوم الصعب في كثير من الأحيان.

اعمل في مجموعات للقيام بمشاكل متعددة اليوم ومتعمقة

يشير علماء الرياضيات أيضًا إلى أن الطلاب يتعلمون المفاهيم الكمية بشكل أفضل عندما يعملون في مجموعات ويعيدون النظر في أحد المفاهيم في أكثر من يوم واحد. لذلك ، عند مناقشة المفاهيم الكمية في دورات علوم الأرض للمبتدئين ، اطلب من الطلاب مناقشة المفاهيم أو ممارستها معًا. تأكد أيضًا من تضمين المشكلات التي قد تمتد لأكثر من فترة دراسية واحدة أو قم بإعادة النظر في المفهوم في مناسبات عديدة.

النمو الأسي والانحلال هو مفهوم يظهر مرارًا وتكرارًا في علوم الأرض التمهيدية: الاضمحلال الإشعاعي ، والنمو السكاني ، وثاني أكسيد الكربون2 زيادة ، إلخ. عند تقديم كل موضوع جديد ، تأكد من الإشارة إلى أنهم قد رأوا هذا النوع من الوظائف من قبل ويجب أن يتعرفوا عليه.


5 إجابات 5

هناك الكثير من الطرق المتنوعة لحل هذا النوع من مشاكل الانحدار. أنها تنطوي على حساب التفاضل والتكامل العددي التكراري ، بدءا من القيم "التخمينية" للمعلمات المراد تقييمها. السؤال الذي يطرحه البروتوكول الاختياري هو كيفية العثور على القيم الأولية الصحيحة بشكل كافٍ. غالبًا ما تكون التخمينات غير الجيدة سببًا رئيسيًا لانخفاض المتانة.

هناك طريقة غير تقليدية للتغلب على صعوبة "التخمينات". هذه الطريقة ليست تكرارية ولا تتطلب قيمًا أولية. تم وصف المبدأ العام في الورقة: https://fr.scribd.com/doc/14674814/Regressions-et-equations-integrales.

تظهر حالة ملاءمة دالة أسية في الصفحات 71-72 ومثال عددي معطى ص 73. لكن الوظيفة المعتبرة هي: $ y (x) = b : e ^+ ج : ه ^$ وهي أربع معاملات $ p و q و b و c $. هذا يختلف قليلاً عن المشكلة التي أثارتها OP مع خمسة معلمات. هذا يتطلب استبدال مصفوفة 4X4 بمصفوفة 5X5. تظهر العملية المحدثة في الورقة أدناه. من أجل أن تكون متوافقة مع الرموز المستخدمة في الورقة المشار إليها ، فإن الوظيفة المعتبرة هي: $ y (x) = a + b : e ^+ ج : ه ^$ المعلمات الخمس التي يجب حسابها هي $ p و q و a و b و c $.

المثال العددي مشترك أدناه:

في هذه الطريقة ، يتم الحصول على الانحدار الخطي بفضل معادلة متكاملة. يتطلب هذا بعض عمليات التكامل العددية التي تتوافق مع حساب التفاضل والتكامل $ S_k $ و $ SS_k $. هذه نقطة أساسية: إذا كان التكامل العددي دقيقًا ، فستكون النتيجة النهائية مثالية. لكن التكامل العددي ليس دقيقًا. هذا سبب للانحراف خاصة إذا كانت نقاط قليلة وإذا لم يتم توزيع النقاط بشكل جيد. نتيجة لذلك ، فإن قيم $ p و q و a و b و c $ التي تم الحصول عليها تقريبية بشكل عام ليست بعيدة عن القيم الصحيحة (إذا كانت التكاملات الرقمية دقيقة بدرجة كافية ، الأمر الذي يتطلب بعض الشروط للبيانات ، خاصة عدد النقاط الكبيرة كافية).

إذا كانت النتيجة الإجمالية غير دقيقة بما فيه الكفاية ، فلا يمكن للمرء تجنب استخدام عملية تكرارية مشتركة من أجل تحسين النتيجة. لكن الميزة الرئيسية هي أنه لا توجد قيم مُخَمَّنة ضرورية: كقيم أولية ، يمكن للمرء استخدام القيم التقريبية التي تم العثور عليها بالفعل بفضل الطريقة المذكورة أعلاه. هذا يجعل العملية برمتها قوية.

بالإضافة إلى النظرية الواردة في الورقة المرجعية ، فإن المعادلة التكاملية المستخدمة هنا هي: $ y (x) = - pq int int y : dx : dx + (p + q) int y : dx + C : x ^ 2 + D : x + E $ تظهر المعلمات $ a و b و c $ وحدود التكاملات المحددة بطريقة معقدة في المعاملات $ C و D و E $. من الأسهل بكثير إجراء انحدار خطي لـ $ a ، b ، c $ من محاولة اشتقاقها من $ C ، D ، E $. هذا ما تم فعله أخيرًا بمصفوفة 3X3.


النمو الأسي والاضمحلال

يتم تعريف الدالة الأسية بالقاعدة b بواسطة f (x) = ab x
حيث a ≠ 0 و b & gt 0 و b ≠ 1 و x هو أي رقم حقيقي.
القاعدة b ثابتة والأس x متغير.

تنويه: ال المتغير x هو الأس. على هذا النحو ، فإن الرسوم البيانية لهذه الوظائف ليست خطوطًا مستقيمة. في الخط المستقيم ، & # 8220 rate of change & # 8221 هي نفسها عبر الرسم البياني. في هذه الرسوم البيانية ، يزيد & # 8220 rate of change & # 8221 أو ينقص عبر الرسوم البيانية.

لاحظ كيف تتغير الرسوم البيانية للوظائف الأسية بناءً على قيم a و b:
في المثال التالي ، a = 1 و b = 2.

  • المجال هو جميع الأرقام الحقيقية.
  • النطاق هو كل الأرقام الحقيقية الموجبة (وليس الصفر).
  • الرسم البياني له تقاطع y عند (0،1). تذكر أن أي عدد مرفوع إلى أس صفر يساوي 1.
  • عندما b & gt 1 ، يزيد الرسم البياني. كلما كبرت القاعدة ب ، زادت سرعة ارتفاع الرسم البياني من اليسار إلى اليمين.
  • عندما 0 & lt b & lt 1 ، ينخفض ​​الرسم البياني.
  • يحتوي على خط مقارب (خط يقترب منه الرسم البياني جدًا جدًا ، ولكن لا يتقاطع أو يلمس أبدًا). الخط المقارب لهذا الرسم البياني هو المحور x (y = 0).

النمو والانحلال

يمكن نمذجة العديد من ظواهر العالم الحقيقي من خلال وظائف تصف كيف تنمو الأشياء أو تتحلل مع مرور الوقت. ومن الأمثلة على هذه الظواهر دراسات السكان ، والبكتيريا ، وفيروس الإيدز ، والمواد المشعة ، والكهرباء ، ودرجات الحرارة ، والمدفوعات الائتمانية ، على سبيل المثال لا الحصر.

يقال إن أي كمية تنمو أو تتحلل بنسبة مئوية ثابتة على فترات منتظمة تمتلك النمو الأسي أو تسوس الأسي.

على مستوى الجبر ، هناك نوعان من الوظائف التي يمكن استخدامها بسهولة لتوضيح مفاهيم النمو أو الاضمحلال في المواقف التطبيقية. عندما تنمو كمية بنسبة مئوية ثابتة على فترات منتظمة ، يمكن تمثيل النمط من خلال الوظائف ،

في النمو الأسي، تزداد الكمية ببطء في البداية ، ثم بسرعة كبيرة. يزداد معدل التغيير بمرور الوقت. يصبح معدل النمو أسرع مع مرور الوقت. هذا النمو السريع هو المقصود بالتعبير & # 8220increases بشكل كبير & # 8221.

في تسوس الأسي، تنخفض الكمية بسرعة كبيرة في البداية ، ثم تنخفض بشكل أبطأ. معدل التغيير يتناقص بمرور الوقت. يصبح معدل الانحلال أبطأ بمرور الوقت.

مثال: A bank account balance, b, for an account starting with s dollars, earning an annual interest rate, r, and left untouched for n years can be calculated as b = s(1 + r) n (an exponential growth formula). Find a bank account balance to the nearest dollar, if the account starts with $100, has an annual rate of 4%, and the money left in the account for 12 years.

We will now examine rate of growth and decay in a three step process. We will (1) build a chart to examine the data and “see” the growth or decay, (2) write an equation for the function, and (3) prepare a scatter plot of the data along with the graph of the function.

Consider these examples of growth and decay:

Growth:

Cell Phone Users In 1985, there were 285 cell phone subscribers in the small town of Centerville. The number of subscribers increased by 75% per year after 1985. How many cell phone subscribers were in Centerville in 1994? (Don’t consider a fractional part of a person.)

Therefore, there were 43,871 subscribers in 1994.

Growth by doubling:

One of the most common examples of exponential growth deals with bacteria. Bacteria can multiply at an alarming rate when each bacteria splits into two new cells, thus doubling. For example, if we start with only one bacteria which can double every hour, by the end of one day we will have over 16 million bacteria.
Let’s examine the graph of our scatter plot and function. To the left of the origin we see that the function graph tends to flatten, but stays slightly above the x-axis. To the right of the origin the function graph grows so quickly that it is soon off the graph. The rate at which the graph changes increases as time increases.

When we can see larger y-values, we see that the growth still continues at a rapid rate. This is what is meant by the expression “increases exponentially”.

Note: In reality, exponential growth does not continue indefinitely. There would, eventually, come a time when there would no longer be any room for the bacteria, or nutrients to sustain them. Exponential growth actually refers to only the early stages of the process and to the manner and speed of the growth.

Decay:

Tennis Tournament Each year the local country club sponsors a tennis tournament. Play starts with 128 participants. During each round, half of the players are eliminated. How many players remain after 5 rounds?

Notice the shape of this graph compared to the graphs of the growth functions.

Decay by half-life:

The pesticide DDT was widely used in the United States until its ban in 1972. DDT is toxic to a wide range of animals and aquatic life, and is suspected to cause cancer in humans. The half-life of DDT can be 15 or more years. Half-life is the amount of time it takes for half of the amount of a substance to decay. Scientists and environmentalists worry about such substances because these hazardous materials continue to be dangerous for many years after their disposal.

For this example, we will set the half-life of the pesticide DDT to be 15 years.
Let’s mathematically examine the half-life of 100 grams of DDT.

Let’s examine the scatter plot and the function. At 0 the y-intercept is 100. To the right of the origin we see that the graph declines rapidly and then tends to flatten, staying slightly above the x-axis. The rate of change decreases as time increases.

When we zoom in on the flattened area of the graph, we see that the graph does stay above the x-axis. This makes sense because we could not have a “negative” number of grams of DDT leftover.

Exponential growth and decay are mathematical changes. The rate of the change continues to either increase or decrease as time passes. In exponential growth, the rate of change increases over time – the rate of the growth becomes faster as time passes. In exponential decay, the rate of change decreases over time – the rate of the decay becomes slower as time passes. Since the rate of change is not constant (the same) across the entire graph, these functions are not straight lines.


Examples

David owns a chain of fast food restaurants that operated 200 stores in 1999. If the rate of increase is 8% annually, how many stores does the restaurant operate in 2007 ?

Number of years between 1999 and 2007 is 

No. of stores in the year 2007 is 

Substitute P = 200, r = 8% or 0.08, n = 8.

So, the number of stores in the year 2007 is 370 (approximately)

You invest $2500 in bank which pays 10% interest per year compounded continuously. What will be the value of the investment after 10 years ?

We have to use the formula given below to know the value of the investment after 3 years. 

A = Final value of the deposit

So, the value of the investment after 10 years is $6795.70.

Suppose a radio active substance decays at a rate of 3.5% per hour. What percent of substance will be left after 6 hours ?

Because the initial amount of substance is not given and the problem is based on percentage, we have to assume that the initial amount of substance is 100. 

We have to use the formula given below to find the percent of substance after 6 hours. 

A  =  Amount of substance after 6 hours. 

(Here, the value of "r" is taken in negative sign. because the substance decays)

Because the initial amount of substance is assumed as 100, the percent of substance left after 6 hours is 80.75%. 

The number of bacteria in a certain culture doubles every hour. If there were 30 bacteria  present in the culture initially, how many bacteria will be present at the end of 8th hour?

Note that the number of bacteria present in the culture doubles at the end of  successive hours.

Since it grows at the constant ratio "2", the growth is based is on geometric progression. 

We have to use the formula given below to find the no. of bacteria present at the end of 8th hour. 

A  =  No. of bacteria at the end of 8th hour

So, the number of bacteria at the end of 8th hour is 7680.

A sum of money placed at compound interest doubles itself in 3 years. If interest is being compounded annually, in how many years will it amount to four times itself ?

Let 'P' be the amount invested initially. 

From the given information, P becomes 2P in 3 years. 

Because the investment is in compound interest, for the 4th year, the principal will be 2P. 

And 2P becomes 4P (it doubles itself) in the next 3 years. 

Therefore, at the end of 6 years accumulated value will be 4P. 

So, the amount deposited will amount to 4 times itself in 6 years.

Apart from the stuff given above, if you need any other stuff in math, please use or google custom search here. 

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


Exponential growth and decay (Part 3): Paying off credit-card debt

The following problem in differential equations has a very practical application for anyone who has either (1) taken out a loan to buy a house or a car or (2) is trying to pay off credit card debt. To my surprise, most math majors haven’t thought through the obvious applications of exponential functions as a means of engaging their future students, even though it is directly pertinent to their lives (both the students’ and the teachers’).

You have a balance of $2,000 on your credit card. Interest is compounded continuously with a relative rate of growth of 25% per year. If you pay the minimum amount of $50 per month (or $600 per year), how long will it take for the balance to be paid?

In yesterday’s post, I showed that the answer to this question was about 7.2 years. To obtain this answer, I started with the differential equation

which, given the initial condition , has solution

Today, I’ll give some pedagogical thoughts about how this problem, and other similar problems inspired by financial considerations, could fit into a Precalculus course… and hopefully improve the financial literacy of high school students.

I’ve read many Precalculus books not many of them include applying exponential functions to the paying off of credit-card debt (or a mortgage on a house or car). Of course, yesterday’s derivation was well above the comprehension level of students in Precalculus. However, there’s no reason why Precalculus students couldn’t be given the general formula

where is the initial amount, is the relative rate of growth, and is the amount paid per year. In other words, students could be given the formula without the full explanation of where it comes from. After all, many Precalculus textbooks give the formula for Newton’s Law of Cooling (the subject of a future post) with neither derivation nor explanation (though its derivation is nearly identical to the work of yesterday’s post), So I don’t see why also giving students the above formula for paying off credit-card debt isn’t more common.

Plugging in , , and into this equation again yields the function

from which we find that it will take years to pay off the debt.

A natural follow-up question is “How much money actually was spent to pay off this debt?” By this point, the answer is quite easy: the lender paid per year for years, and so the amount spent is

When I teach this topic in differential equations, I let that answer sink in for a while. The original debt was only $2000, but ultimately $4300 needs to be paid over 7.2 years in order to pay off the debt.

The natural question is, “Why did it take so long?” Of course, the answer is that the debtor only paid the minimal amount — $50 per month, or $600 per year. It stands to reason that if extra money was paid each month, then the debt will be paid off faster at lesser expense.

To give one example, let’s repeat the calculation if the debtor paid twice as much ($100 per month, or $1200 per year). Then the amount owed as a function of time would be

To find when the credit card will be paid off, we set :

That’s certainly a lot faster! Also, the amount that’s spent over that time is also considerably less:

So, along with being a good way to practice proficiency with exponential and logarithmic functions, this problem lends itself for students discovering some basic principles of financial literacy.


10.6 Exponential Growth and Decay

ex: Timmy drank hot chocolate which has 110 milligrams of sugar. If the sugar was eliminated from the body at a rate of 12% per hour. How long will it take for half of the sugar to be gone from his body?

55 = 110(1 – .12) t Plug in the values for the equations
.5 = (.88) t Divide by 110
log .5= log (.88) t Set both into log form
log .5= t log (.88) Use power property
.30102 / .05551 = t Divide log .5 by log. 88
5.42 ≈ t Round

Exponential decay equation #2 (continuous) – y = ae -kt
y = what’s leftover
a = what you start with
e = e (log)
k = rate
ر = الوقت

ex: An investigator finds there is 25% of the blood left on the crime scene than when the crime was first committed. Each day 7% of the blood goes away. How long ago did the crime take place?

.25a = ae -.07t Plug in values of the variables
.25 = e -.07t Divide by a
ln .25 = ln e -.07t Set to ln to get rid of e
ln .25 = -.07t Cancel ln and e
ln .25 / -.07 = t Divide ln .25 by -.07
19.80 ≈ t Round

Exponential growth equation #1 – y = a(1 + r) t

ex: Bob Industries bought a plasma for $2500. It is expected to appreciate at most 4% per year. What will the plasma be worth in 2 years?

y = 2,500(1 + .04) 2 Plug in values
y = 2,500(1.04) 2 Add the numbers in the parenthesis
y = 2,500(1.0816) Square the number in the parenthesis
y ≈ 2,704 Multiply

Exponential growth equation #2 (continuous) – y = ae kt

ex: A family bought a house 16 years ago for $130,000, now the house is worth $176,000. Assuming there is a steady rate of growth, what is the yearly rate of appreciation?

176000 = 130000e 16t Replace the variables with their values
ln 176000 = ln 130000 + ln e 16t Set everything to ln
ln 176000 = ln 130000 + 16k ln and e cancel
12.0782 / 11.7752 = 16k Divide by ln 130000 (the 11.7752)
1.0257 = 16k Simplify
.0641 ≈ k Divide by 16
6.41% ≈ k Convert to a percentage


Exponential growth and decay (Part 7): Paying off credit-card debt via recurrence relations

The following problem in differential equations has a very practical application for anyone who has either (1) taken out a loan to buy a house or a car or (2) is trying to pay off credit card debt. To my surprise, most math majors haven’t thought through the obvious applications of exponential functions as a means of engaging their future students, even though it is directly pertinent to their lives (both the students’ and the teachers’).

You have a balance of $2,000 on your credit card. Interest is compounded continuously with a rate of growth of 25% per year. If you pay the minimum amount of $50 per month (or $600 per year), how long will it take for the balance to be paid?

In previous posts, I approached this problem using differential equations. There’s another way to approach this problem that avoids using calculus that, hypothetically, is within the grasp of talented Precalculus students. Instead of treating this problem as a differential equation, we instead treat it as a first-order difference equation (also called a recurrence relation):

The idea is that the amount owed is multiplied by a factor (which is greater than 1), and from this product the amount paid is deducted. With this approach — and unlike the approach using calculus — the payment period would be each month and not per year. Therefore, we can write

Notice that the meaning of the 25% has changed somewhat… it’s no longer the relative rate of growth, as the 25% has been equally divided for the 12 months.

A full treatment of the solution of difference equations belongs to a proper course in discrete mathematics. In the previous posts, I demonstrated how this difference equation could be solved by directly finding and looking for a pattern.

In this post, I’d like to present an alternative method for deriving the solution. I’ll let the reader decide for him/herself as to whether this technique is pedagogically superior to the previous method. We will attempt to find a solution of the form

where and are unknown constants.Why do we guess the solution to have this form? I won’t dive into the details, but this is entirely analogous to constructing the characteristic equation of a linear differential equation with constant coefficients as well as using the method of undetermined coefficients to find a particular solution to a inhomogeneous linear differential equation with constant coefficients.

Substituting instead of , we find that

So we plug both of these into the difference equation:

We also use the fact that :

Combining these, we obtain the solution of the difference equation:

Unsurprisingly, this matches the solution that was obtained in the previous two posts (though the terms have been rearranged).


شاهد الفيديو: #رياضيات 5 - الدوال الأسية - شرح الدرس (شهر اكتوبر 2021).