مقالات

12.3: الاستمرارية - الرياضيات


تشتهر ولاية أريزونا بالحرارة الجافة. في يوم معين ، قد ترتفع درجة الحرارة لتصل إلى (118 ^ ∘F ) وتنخفض فقط إلى مستوى سريع (95 ^ ∘F. ) يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) الوظيفة (T ) ، حيث يكون ناتج (T (x) ) هو درجة الحرارة بدرجات فهرنهايت والمدخل (x ) هو الوقت من اليوم ، باستخدام نظام 24 ساعة في يوم صيفي معين.

عندما نحلل هذا الرسم البياني ، نلاحظ خاصية معينة. لا توجد فواصل في الرسم البياني. يمكننا تتبع الرسم البياني دون التقاط قلمنا الرصاص. تخبرنا هذه الملاحظة الفردية كثيرًا عن الوظيفة. في هذا القسم ، سوف نتحرى الوظائف مع وبدون فواصل.

تحديد ما إذا كانت الدالة مستمرة عند رقم

دعنا نفكر في مثال محدد لدرجة الحرارة من حيث التاريخ والموقع ، مثل 27 حزيران (يونيو) 2013 ، في فينيكس ، أريزونا. يشير الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {1} ) إلى أن درجة الحرارة كانت في الساعة الثانية صباحًا (96 ^ ∘F ). بحلول الساعة 2 مساءً ارتفعت درجة الحرارة إلى (116 ^ فهرنهايت ، ) وبحلول الساعة 4 مساءً. كان (118 ^ ∘F. ) في وقت ما بين الساعة 2 صباحًا و 4 مساءً ، يجب أن تكون درجة الحرارة بالخارج بالضبط (110.5 ^ ∘ F ). في الواقع ، حدثت أي درجة حرارة بين (96 ^ ∘ F ) و (118 ^ ∘ F ) في وقت ما في ذلك اليوم. هذا يعني أن جميع الأرقام الحقيقية في الناتج بين (96 ^ ∘ F ) و (118 ^ ∘ F ) يتم إنشاؤها في مرحلة ما بواسطة الدالة وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة ،

انظر مرة أخرى إلى الشكل ( PageIndex {1} ). لا توجد فواصل في الرسم البياني للوظيفة خلال فترة الـ 24 ساعة هذه. لم تتوقف درجة الحرارة عن الوجود في أي وقت ، ولم تكن هناك نقطة قفزت فيها درجة الحرارة على الفور بعدة درجات. تُعرف الوظيفة التي لا تحتوي على ثقوب أو فواصل في الرسم البياني الخاص بها بالوظيفة المستمرة. درجة الحرارة كدالة للوقت هي مثال على وظيفة مستمرة.

إذا كانت درجة الحرارة تمثل دالة مستمرة ، فما نوع الوظيفة التي لن تكون متصلة؟ فكر في مثال للدولارات التي يتم التعبير عنها كدالة لساعات وقوف السيارات. لننشئ الوظيفة (D ) ، حيث (D (x) ) هو الناتج الذي يمثل التكلفة بالدولار لوقوف السيارات (x ) عدد الساعات (الشكل ( PageIndex {2} )).

لنفترض أن مرآب السيارات يتقاضى 4.00 دولارات لكل ساعة أو جزء من الساعة ، مع تكلفة قصوى قدرها 25 دولارًا في اليوم. بارك لمدة ساعتين وخمس دقائق وتكلفة 12 دولارًا. بارك لمدة ساعة إضافية وتكلفة 16 دولارًا. لا يمكن أبدًا تحميلنا 13 دولارًا أو 14 دولارًا أو 15 دولارًا. هناك أرقام حقيقية بين 12 و 16 لا تخرجها الدالة أبدًا. توجد فواصل في الرسم البياني للوظيفة خلال فترة الـ 24 ساعة هذه ، وهي نقاط يقفز عندها سعر وقوف السيارات على الفور بعدة دولارات.

الوظيفة التي تظل مستوية لفترة ما ثم تنتقل فورًا إلى قيمة أعلى تسمى a خطوة بخطوة وظيفة. هذه الوظيفة هي مثال.

تُعرف الوظيفة التي تحتوي على أي ثقب أو فاصل في الرسم البياني الخاص بها باسم a وظيفة متقطعة. الوظيفة المتدرجة ، مثل رسوم مرآب وقوف السيارات كدالة لساعات الوقوف ، هي مثال على وظيفة غير مستمرة.

إذن كيف يمكننا أن نقرر ما إذا كانت الدالة متصلة برقم معين؟ يمكننا التحقق من ثلاثة شروط مختلفة. لنستخدم الدالة (y = f (x) ) الممثلة في الشكل كمثال.

الشرط 3 وفقًا للشرط 3 ، يملأ إحداثي y y المقابل عند (x = a ) الفتحة الموجودة في الرسم البياني (f ). هذا مكتوب ( lim limits_ {x to a} f (x) = f (a) ).

استيفاء جميع الشروط الثلاثة يعني أن الوظيفة مستمرة. يتم استيفاء جميع الشروط الثلاثة للدالة الممثلة في الشكل بحيث تكون الوظيفة مستمرة كـ (x = a ).

تم استيفاء جميع الشروط الثلاثة. الدالة مستمرة عند (x = a ).

يقدم الشكل من خلال الشكل عدة أمثلة على الرسوم البيانية للوظائف غير المستمرة عند (x = a ) والشرط أو الشروط التي تفشل.

تم استيفاء الشرط 2. كلا الشرطين 1 و 3 يفشلان.

تم استيفاء كل من الشرطين 1 و 2. فشل الشرط 3.

تم استيفاء الشرط 1. تفشل الشروط 2 و 3.

الشروط 1 و 2 و 3 تفشل جميعها.

تعريف الاستمرارية

الدالة (f (x) ) هي مستمر في (س = أ ) بشرط أن تكون الشروط الثلاثة التالية صحيحة:

  • الشرط 1: (f (a) ) موجود.
  • الشرط 2: ( lim limits_ {x to a} f (x) ) موجود في (x = a ).
  • الشرط 3: ( lim limits_ {x to a} f (x) = f (a) )

إذا كانت الدالة (f (x) ) غير متصلة عند (x = a ) ، فإن الوظيفة تكون متقطع في (س = أ ).

تحديد توقف الانتقال

يمكن أن يحدث الانقطاع بطرق مختلفة. رأينا في القسم السابق أن الدالة يمكن أن يكون لها حد أيسر ونهاية أيمن حتى لو لم تتساوى. إذا كانت الحدود اليمنى واليسرى موجودة ولكنهما مختلفتان ، فإن الرسم البياني "يقفز" عند (x = a ). يقال أن الوظيفة لها انقطاع في القفز.

كمثال ، انظر إلى الرسم البياني للوظيفة (y = f (x) ) في الشكل. لاحظ كيف يقترب (x ) من (أ ) كيف يقترب الإخراج من القيم المختلفة من اليسار ومن اليمين.

رسم بياني لوظيفة مع توقف قفزة.

توقف القفزة

الدالة (f (x) ) لها انقطاع في القفز عند (x = a ) إذا كانت الحدين الأيمن والأيسر كلاهما موجودان ولكنهما غير متساويين: ( lim limits_ {x to a ^ -} f (x) ≠ lim limits_ {x to a ^ +} f (x) )

تحديد الانقطاع القابل للإزالة

بعض الوظائف لها انقطاع ، ولكن من الممكن إعادة تعريف الوظيفة في تلك المرحلة لجعلها مستمرة. يقال إن هذا النوع من الوظائف له انقطاع قابل للإزالة. لنلقِ نظرة على الوظيفة (y = f (x) ) التي يمثلها الرسم البياني في الشكل. الوظيفة لها حدود. ومع ذلك ، هناك فجوة في (س = أ ). يمكن ملء الثقب بتوسيع المجال ليشمل المدخلات (س = أ ) وتحديد الناتج المقابل للوظيفة عند تلك القيمة كحد للوظيفة عند (س = أ ).

رسم بياني للوظيفة (و ) مع انقطاع قابل للإزالة عند (س = أ ).

انقطاع قابل للإزالة

الوظيفة f (x) f (x) لها انقطاع قابل للإزالة عند (x = a ) إذا كان الحد ، ( lim limits_ {x to a} f (x)، ) موجودًا ، ولكن إما

  1. (f (a) ) غير موجود أو
  2. (f (a) ) ، قيمة الدالة عند (x = a ) لا تساوي الحد ، (f (a) ≠ lim limits_ {x to a} f (x) ).

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد حالات التوقف

حدد جميع حالات التوقف للوظائف التالية على أنها قفزة أو انقطاع قابل للإزالة.

  1. (f (x) = frac {x ^ 2−2x − 15} {x − 5} )
  2. [g (x) = begin {cases} x + 1، & x <2 −x، & x≥2 end {cases} ]
  1. لاحظ أن الوظيفة معرّفة في كل مكان باستثناء (x = 5 ).

    وبالتالي ، فإن (f (5) ) غير موجود ، والشرط 2 غير مستوفى. نظرًا لاستيفاء الشرط 1 ، فإن الحد عند (x ) يقترب من 5 هو 8 ، والشرط 2 غير مستوفٍ ، وهذا يعني وجود انقطاع قابل للإزالة عند (x = 5 ).

  2. تم استيفاء الشرط 2 لأن (ز (2) = - 2. )

    لاحظ أن الوظيفة هي أ دالة متعددة التعريف، ولكل قطعة ، يتم تحديد الوظيفة في كل مكان في مجالها. دعنا نفحص الشرط 1 عن طريق تحديد الحدود اليمنى واليسرى عندما يقترب (x ) من 2.

    حد اليد اليسرى: ( lim limits_ {x to 2 ^ -} (x + 1) = 2 + 1 = 3 ). الحد الأيسر موجود.

    حد اليد اليمنى: ( lim limits_ {x to 2 ^ +} (−x) = - 2 ). الحد الأيمن موجود. لكن

    [ lim limits_ {x to 2 ^ -} f (x) ≠ lim limits_ {x to 2 ^ +} f (x). ]

    لذلك ، ( lim limits_ {x to 2} f (x) ) غير موجود ، وفشل الشرط 2: لا يوجد انقطاع قابل للإزالة. ومع ذلك ، نظرًا لوجود كل من الحدود اليمنى واليسرى ولكنهما غير متساويين ، يتم استيفاء الشروط لانقطاع القفزة عند (x = 2 ).

تمرين ( PageIndex {1} ):

حدد جميع حالات التوقف للوظائف التالية على أنها قفزة أو انقطاع قابل للإزالة.

  1. (f (x) = frac {x ^ 2−6x} {x − 6} )
  2. (g (x) = begin {cases} sqrt {x}، & 0≤x <4 2x، & x≥4 end {cases} )
  1. انقطاع قابل للإزالة عند (س = 6 ) ؛
  2. قفزة توقف عند (س = 4 )

التعرف على وظائف الأعداد الحقيقية المستمرة والمتقطعة

العديد من الوظائف التي واجهناها في الفصول السابقة مستمرة في كل مكان. ليس لديهم ثغرة في نفوسهم أبدًا ، ولا يقفزون أبدًا من قيمة إلى أخرى. لكل هذه الوظائف ، حد (f (x) ) حيث (x ) يقترب من a هو نفس قيمة (f (x) ) عندما (x = a ). لذلك ( lim limits_ {x to a} f (x) = f (a) ). هناك بعض الوظائف المستمرة في كل مكان وبعضها متصل فقط حيث يتم تعريفها في مجالها لأنها غير محددة لجميع الأعداد الحقيقية.

أمثلة على الوظائف المستمرة

الوظائف التالية مستمرة في كل مكان:

وظائف كثيرة الحدودمثال: (f (x) = x ^ 4−9x ^ 2 )
الدوال الأسيةمثال: (f (x) = 4 ^ {x + 2} −5 )
وظائف شرطمثال: (f (x) = sin (2x) −4 )
وظائف جيب التماممثال: (f (x) = - cos (x + frac {π} {3}) )

الوظائف التالية مستمرة في كل مكان يتم تحديدها في مجالها:

الدوال اللوغاريتميةمثال: (f (x) = 2 ln (x) ، x> 0 )
وظائف الظلمثال: (f (x) = tan (x) +2، x ≠ frac {π} {2} + kπ، k ) عدد صحيح
وظائف عقلانيةمثال: (f (x) = frac {x ^ 2−25} {x − 7}، x ≠ 7 )

كيفية: إعطاء دالة (f (x) ) ، حدد ما إذا كانت الوظيفة مستمرة عند (x = a ).

  1. تحقق من الشرط 1: (f (a) ) موجود.
  2. تحقق من الشرط 2: ( lim limits_ {x to a} f (x) ) موجود في (x = a ).
  3. تحقق من الشرط 3: ( lim limits_ {x to a} f (x) = f (a). )
  4. إذا تم استيفاء جميع الشروط الثلاثة ، تكون الوظيفة مستمرة عند (x = a ). إذا لم يتم استيفاء أي من الشروط ، فإن الوظيفة ليست متصلة عند (x = a ).

مثال ( PageIndex {2} ): تحديد ما إذا كانت الدالة التجميعية مستمرة عند رقم معين

حدد ما إذا كانت الوظيفة (f (x) = begin {cases} 4x ، & x≤3 8 + x ، & x> 3 end {cases} ) متصلة عند

  1. (س = 3 )
  2. (س = فارك {8} {3} )

لتحديد ما إذا كانت الوظيفة (f ) مستمرة عند (س = أ ، ) سنحدد ما إذا كانت الشروط الثلاثة للاستمرارية مستوفاة في (س = أ ).

  1. الشرط 1: هل (f (a) ) موجود؟

    [ start {align} f (3) = 4 (3) = 12 ⇒ text {تم تلبية الشرط 1.} end {align} ]

    الشرط 2: هل ( lim limits_ {x to 3} f (x) ) موجود؟

    إلى يسار (x = 3، f (x) = 4x؛ ) على يمين (x = 3، f (x) = 8 + x. ) نحتاج إلى إيجاد قيمة اليسار واليمين- حدود اليد حيث تقترب (x ) من 1.

    • حد اليد اليسرى: ( lim limits_ {x to 3 ^ -} f (x) = lim limits_ {x to 3 ^ -} 4 (3) = 12 )
    • حد اليد اليمنى: ( lim limits_ {x to 3 ^ +} f (x) = lim limits_ {x to 3 ^ +} (8 + x) = 8 + 3 = 11 )

    لأن ( lim limits_ {x to 1 ^ -} f (x) ≠ lim limits_ {x to 1 ^ +} f (x)، lim limits_ {x to 1} f (x )) غير موجود.

    [⇒ text {فشل الشرط 2.} ]

    ليست هناك حاجة للمضي قدما. فشل الشرط 2 في (x = 3 ). إذا لم يتم استيفاء أي من شروط الاستمرارية عند (x = 3 ) ، فإن الوظيفة (f (x) ) ليست متصلة عند (x = 3 ).

  2. (س = فارك {8} {3} )

    الشرط 1: هل (f ( frac {8} {3}) ) موجود؟

    [ begin {align} f ( frac {8} {3}) = 4 ( frac {8} {3}) = frac {32} {3} ⇒ text {الشرط 1 مستوفى. } نهاية {محاذاة} ]

    الشرط 2: هل ( lim limits_ {x to frac {8} {3}} f (x) ) موجود؟

    إلى يسار (x = frac {8} {3} ) (f (x) = 4x ) ؛ على يمين (x = frac {8} {3} ، f (x) = 8 + x ). نحن بحاجة إلى تقييم حدي اليمين واليسار عند اقتراب (x ) من ( frac {8} {3} ).

    • حد اليد اليسرى: ( lim limits_ {x to frac {8} {3} ^ -} f (x) = lim limits_ {x to frac {8} {3} ^ -} 4 ( frac {8} {3}) = frac {32} {3} )
    • حد اليد اليمنى: ( lim limits_ {x to frac {8} {3} ^ +} f (x) = lim limits_ {x to frac {8} {3} ^ +} (8 + x) = 8 + frac {8} {3} = frac {32} {3} )

    نظرًا لوجود ( lim limits_ {x to frac {8} {3}} f (x) ) ،

    [⇒ text {تم استيفاء الشرط الثاني.} ]

    الشرط 3: هل (f ( frac {8} {3}) = lim limits_ {x to frac {8} {3}} f (x) )؟

    [ start {align} f ( frac {32} {3}) = frac {32} {3} = lim limits_ {x to frac {8} {3}} f (x) ⇒ text {تم استيفاء الشرط الثالث.} النهاية {محاذاة} ]

    نظرًا لاستيفاء جميع شروط الاستمرارية الثلاثة في (x = frac {8} {3} ) ، تكون الوظيفة (f (x) ) متصلة عند (x = frac {8} {3} ).

تمرين ( PageIndex {2} ):

حدد ما إذا كانت الوظيفة (f (x) = start {cases} & frac {1} {x}، && x≤2 & 9x − 11.5، && x> 2 end {cases} ) مستمرة في (س = 2 ).

نعم

مثال ( PageIndex {3} ): تحديد ما إذا كانت الدالة العقلانية مستمرة عند رقم معين

حدد ما إذا كانت الدالة (f (x) = frac {x ^ 2−25} {x − 5} ) متصلة عند (x = 5 ).

لتحديد ما إذا كانت الوظيفة (f ) مستمرة عند (x = 5 ) ، سنحدد ما إذا كانت شروط الاستمرارية الثلاثة مستوفاة في (x = 5 ).

الشرط 1:

[ start {align} f (5) text {غير موجود.} ⇒ text {فشل الشرط 1.} end {align} ]

ليست هناك حاجة للمضي قدما. فشل الشرط 2 في (x = 5 ). إذا لم يتم استيفاء أي من شروط الاستمرارية عند (x = 5 ) ، فإن الوظيفة f f ليست متصلة عند (x = 5 ).

تحليل

أنظر للشكل. لاحظ أنه بالنسبة للشرط 2 لدينا

[ begin {align} lim limits_ {x to 5} dfrac {x ^ 2−25} {x − 5} & = lim limits_ {x to 3} dfrac { إلغاء {( x − 5)} (x + 5)} { إلغاء {x − 5}} & = lim limits_ {x to 5} (x + 5) & = 5 + 5 = 10 & ⇒ text {تم استيفاء الشرط 2.} end {align} ]

عند x = 5 ، x = 5 ، يوجد انقطاع قابل للإزالة. أنظر للشكل.

تمرين ( PageIndex {3} ):

حدد ما إذا كانت الدالة (f (x) = frac {9 − x ^ 2} {x ^ 2−3x} ) متصلة عند (x = 3 ). إذا لم يكن كذلك ، فاذكر نوع الانقطاع.

لا ، الوظيفة ليست متصلة عند (x = 3 ). يوجد انقطاع قابل للإزالة عند (س = 3 ).

تحديد قيم الإدخال التي لها وظيفة غير متصلة

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا تحديد الوظائف المستمرة ، وانقطاعات القفز ، والانقطاعات القابلة للإزالة ، سننظر في وظائف أكثر تعقيدًا للعثور على حالات التوقف. هنا ، سنقوم بتحليل دالة متعددة التعريف لتحديد ما إذا كانت هناك أي أرقام حقيقية حيث تكون الوظيفة غير متصلة. أ دالة متعددة التعريف قد يكون هناك انقطاعات عند النقاط الحدودية للوظيفة وكذلك داخل الوظائف التي تتكون منها.

لتحديد الأعداد الحقيقية التي تتكون منها دالة متعددة التعريف متعدد الحدود الدوال ليست متصلة ، تذكر أن دوال كثيرة الحدود نفسها متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. سيكون أي انقطاع عند النقاط الحدودية. إذن ، علينا استكشاف الشروط الثلاثة للاستمرارية عند نقاط حدود الدالة متعددة التعريف.

كيفية: إعطاء دالة متعددة التعريف ، حدد ما إذا كانت متصلة عند النقاط الحدودية

  1. لكل نقطة حدية (أ ) للدالة متعددة التعريف ، حدد الحدود اليمنى واليسرى حيث (س ) يقتربان من (أ ، ) بالإضافة إلى قيمة الوظيفة في (أ ).
  2. تحقق من كل شرط لكل قيمة لتحديد ما إذا كانت الشروط الثلاثة مستوفاة.
  3. حدد ما إذا كانت كل قيمة تفي بالشرط 1: (f (a) ) موجود.
  4. حدد ما إذا كانت كل قيمة تفي بالشرط 2: ( lim limits_ {x to a} f (x) ) موجود.
  5. حدد ما إذا كانت كل قيمة تفي بالشرط 3: ( lim limits_ {x to a} f (x) = f (a). )
  6. إذا تم استيفاء جميع الشروط الثلاثة ، تكون الوظيفة مستمرة عند (x = a ). إذا فشل أي من الشروط ، فإن الوظيفة ليست متصلة عند (x = a ).

مثال ( PageIndex {4} ): تحديد قيم الإدخال التي تكون فيها الدالة المتقطعة غير متصلة

حدد ما إذا كانت الدالة f f غير متصلة لأي أعداد حقيقية.

[fx = begin {cases} x + 1، & x <2 3، & 2≤x <4 x ^ 2−11، & x≥4 end {cases} ]

تحليل

أنظر للشكل. عند (x = 4 ) ، يوجد انقطاع للقفز. لاحظ أن الوظيفة مستمرة عند (x = 2 ).

الرسم البياني مستمر عند (x = 2 ) ولكنه يظهر توقف قفزة عند (x = 4 ).

التمرين ( PageIndex {4} ):

حدد مكان الوظيفة (f (x) = start {cases} frac {πx} {4}، & x <2 frac {π} {x}، & 2≤x≤6 2πx، & x > 6 end {cases} ) غير مستمر.

(س = 6 )

تحديد ما إذا كانت الوظيفة مستمرة

لتحديد ما إذا كان ملف دالة متعددة التعريف متصلة أو غير متصلة ، بالإضافة إلى التحقق من النقاط الحدودية ، يجب علينا أيضًا التحقق مما إذا كانت كل دالة من الدوال التي تشكل الدالة متعددة التعريف مستمرة.

كيف: إعطاء دالة متعددة التعريف ، حدد ما إذا كانت متصلة.

  1. حدد ما إذا كانت كل دالة مكونة للدالة متعددة التعريف مستمرة. إذا كانت هناك حالات توقف ، فهل تحدث داخل المجال حيث يتم تطبيق وظيفة المكون هذه؟
  2. لكل نقطة حد (س = أ ) للدالة متعددة التعريف ، حدد ما إذا كان كل شرط من الشروط الثلاثة صحيحًا.

مثال ( PageIndex {5} ): تحديد ما إذا كانت الدالة التجميعية مستمرة

حدد ما إذا كانت الوظيفة أدناه متصلة. إذا لم يكن كذلك ، فاذكر موقع ونوع كل انقطاع.

[fx = begin {cases} sin (x)، & x <0 x ^ 3، & x> 0 end {cases} ]

الدالتان المكونتان لهذه الوظيفة متعددة التعريف هما (f (x) = sin (x) ) على (x <0 ) و (f (x) = x ^ 3 ) في (x> 0 ) ). دالة الجيب وجميع وظائف كثير الحدود مستمرة في كل مكان. أي انقطاعات ستكون عند نقطة الحدود ،

عند (x = 0 ) ، دعنا نتحقق من شروط الاستمرارية الثلاثة.

الشرط 1:

[ start {align} f (0) text {غير موجود.} ⇒ text {فشل الشرط 1.} end {align} ]

نظرًا لأن جميع الشروط الثلاثة غير مستوفاة عند (x = 0 ) ، فإن الوظيفة (f (x) ) غير متصلة عند (x = 0 ).

تحليل

أنظر للشكل. يوجد انقطاع قابل للإزالة عند (x = 0 ) ؛ ( lim limits_ {x to 0} f (x) = 0 ) ، وبالتالي فإن الحد موجود وهو محدود ، لكن (f (a) ) غير موجود.

الوظيفة لها انقطاع قابل للإزالة عند 0.

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن تمثيل الوظيفة المستمرة برسم بياني بدون ثقوب أو فواصل.
  • الوظيفة التي يحتوي رسمها البياني على ثقوب هي وظيفة غير متصلة.
  • تكون الوظيفة متصلة برقم معين إذا تم استيفاء ثلاثة شروط:
    • الشرط 1: (f (a) ) موجود.
    • الشرط 2: ( lim limits_ {x to a} f (x) ) موجود في (x = a ).
    • الشرط 3: ( lim limits_ {x to a} f (x) = f (a) ).
  • وظيفة لها انقطاع في القفز إذا كانت الحدود اليمنى واليسرى مختلفة ، مما يتسبب في "قفزة" الرسم البياني.
  • وظيفة لها انقطاع قابل للإزالة إذا كان من الممكن إعادة تعريفها عند نقطة غير متصلة لجعلها مستمرة. انظر المثال.
  • بعض الوظائف ، مثل دوال كثيرة الحدود ، مستمرة في كل مكان. الوظائف الأخرى ، مثل الوظائف اللوغاريتمية ، مستمرة في مجالها. انظر المثال والمثال.
  • لكي تكون دالة متعددة التعريف مستمرة ، يجب أن تكون كل قطعة متصلة في الجزء الخاص بها من المجال ويجب أن تكون الوظيفة ككل متصلة عند الحدود. انظر المثال والمثال.

قائمة المصطلحات

وظيفة مستمرة
دالة لا تحتوي على ثقوب أو فواصل في الرسم البياني الخاص بها
وظيفة متقطعة
دالة غير متصلة عند (س = أ )
قفز الانقطاع
نقطة انقطاع في دالة (f (x) ) عند (x = a ) حيث توجد كلتا الحدين الأيمن والأيسر ، ولكن ( lim limits_ {x to a ^ -} f (x) ≠ lim limits_ {x to a ^ +} f (x) )
انقطاع قابل للإزالة
نقطة انقطاع في دالة (f (x) ) حيث تكون الوظيفة غير متصلة ، ولكن يمكن إعادة تعريفها لجعلها مستمرة

معادلات كثيرة الحدود.

كتابة المعاملات بالترتيب وتكرار الحالة الأولى.

ومن ثم ، فإن المعادلتين المعطاة لهما جذر مشترك.

كتابة المعاملات بالترتيب وتكرار الحالة الأولى.

تعبير اليد اليمنى = (4.4 + 2.3) 2 = $ < left (<22> right) ^ 2> $ = 484

ومن ثم ، فإن المعادلات التربيعية المعطاة لها جذر مشترك.

كتابة المعاملات بالترتيب وتكرار الحالة الأولى.

تعبير اليد اليمنى = (& ndash 48 + 16) 2 = 1024

لكونه جذرًا واحدًا مشتركًا ، 256p 2 = 1024

كتابة المعاملات بالترتيب وتكرار الحالة الأولى.

تعبير اليد اليسرى = (& ndash4 & ndash 3p). (& ndash 5p & ndash 2)

= 20p + 8 + 15p 2 + 6p = 15p 2 + 26p + 8

تعبير اليد اليمنى = (& ndash 3 + 10) 2 = 49

لنكن & alpha جذر المعادلات المعطاة:

حل (1) و (2) عن طريق الضرب المتبادل ،

حل (1) و (2) عن طريق الضرب المتبادل ،

دع & alpha هو الجذر المشترك ، إذن

حل (1) و (2) بطريقة الضرب المتبادل ،

إذن ، إما p = q أو p + q + 1 = 0.

دع & alpha هو الجذر المشترك ، إذن ،

حل (1) و (2) بطريقة الضرب المتبادل ،

أو (ab & ndash c 2) (ac & ndash b 2) = (bc & ndash a 2) 2

أو ، 2 bcc & ndash ab 3 & ndash ac 3 + b 2 c 2 = b 2 c 2 & ndash 2a 2 bc + a 4

أو 2 ق.م & ndash ab 3 & ndash ac 3 + 2a 2 ق.م & ndash a 4 = 0

أو ، & ndasha (a 3 + b 3 + c 3 & ndash 3abc) = 0

إذن ، a 3 + b 3 + c 3 & ndash 3abc = 0 [a & ne 0]

(a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 & ndash ab & ndash bc & ndash ca)

أو ، a 2 + b 2 + c 2 & ndash ab & ndash bc & ndash ca = 0

أي 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 & ndash 2ab & ndash 2bc & ndash 2ca = 0

أو ، a 2 & ndash 2ab + b 2 + b 2 & ndash 2bc + c 2 + c 2 & ndash 2ca + a 2 = 0


تتوفر حلول كتب الرياضيات للصف الثاني عشر من NCERT بصيغة PDF للتنزيل المجاني. هذه الأسئلة والأجوبة الحكيمة لفصل كتاب ncert مفيدة جدًا لامتحان مجلس CBSE. توصي CBSE بكتب NCERT ويتم طرح معظم الأسئلة في اختبار CBSE من الكتب المدرسية NCERT. يمكن تنزيل حل NCERT للفصل الثاني عشر في الرياضيات للجزء الأول من الرياضيات والجزء الثاني من الرياضيات لجميع الفصول من موقعنا على الويب وتطبيق الهاتف المحمول myCBSEguide مجانًا.


رياضيات 277: تدفق ريتشي

لملاحظات المحاضرة والتسجيلات ، يرجى التمرير لأسفل

هذا هو الموقع الإلكتروني للفصل الدراسي عبر الإنترنت على Ricci flow ، والذي سأدرسه في فصل الخريف لعام 2020 (27 أغسطس - 8 ديسمبر).

يرجى مراسلتي عبر البريد الإلكتروني لإضافتي إلى القائمة البريدية لهذا الفصل.

نرحب بك لحضور الفصل حتى لو لم تكن طالبًا في جامعة كاليفورنيا في بيركلي. يسعدني أن أرسل إليك بريدًا إلكترونيًا بمعرف Zoom.

يمكنك أيضًا حل اللغز في نهاية صفحة الويب هذه إذا كنت في عجلة من أمرك وتحتاج إلى معرف التكبير.

نظرًا لإعدادات أمان معينة ، لا يمكنك فتح معرّف Zoom إلا بعد إنشاء حساب Zoom مجاني.

أوقات الاجتماع

ساعات العمل

المتطلبات الأساسية

مشاكل الممارسة

يمكن العثور على مزيد من مشاكل الممارسة هنا.

لاحظ أنه لا يوجد متطلب رسمي لهذا الفصل. مشاكل التدريب هذه اختيارية.

سوف أقوم بتحديث هذا الملف بشكل متكرر وإضافة المشاكل التي تتبادر إلى ذهني. في بعض الأحيان ، قد أضيف مشكلة أو أجري تعديلات على مجموعة مشاكل سابقة. لذا يرجى إعادة تحميل هذا الرابط بشكل متكرر. قد يختلف أيضًا عدد المشكلات لكل فصل ، حيث أن بعض الموضوعات تكون أفضل أو أسوأ لممارسة المشكلات.

لا توجد حلول رسمية لهذه المشاكل. نرحب بك لمناقشة هذه المشكلات مع زملائك في الفصل ويسعدني أيضًا إنشاء موقع Piazza أو Slack لهذا الغرض إذا كان هناك اهتمام.

الجدول الزمني المؤقت

أخطط لقضاء جزء كبير من الفصل في مناقشة عملي الأخير حول نظرية الاكتناز والانتظام الجزئي لتدفقات ريتشي. بالطبع ، سأغطي أيضًا المواد الأساسية في البداية.

قد يكون الجدول التالي طموحًا للغاية. قد أحتاج إلى تعديل الجدول الزمني بعد اكتساب بعض الخبرة مع الفصل. قد أقرر أيضًا قضاء المزيد من الوقت في دراسة الحالة ثلاثية الأبعاد ( ( kappa ) - الحلول وما إلى ذلك) في بداية الفصل الدراسي.

1 ث ، 8/27 الأساسيات في الهندسة الريمانية [Pet ، Lee ، dCa] ، الخصائص الأساسية لتدفق ريتشي ، الوجود قصير الوقت [BK17 ، الملحق أ] ، [كري]
2 تو ، 9/1 الوجود قصير الأمد ، تطور الكميات الهندسية ، تقديرات تشوه المسافة
3 ث ، 9/3 خدعة Uhlenbeck ، هوية Bianchi لتدرج معادلة الحرارة ، تطور كميات الانحناء
4 تو ، 9/8 مبدأ الحد الأقصى الضعيف والقوي العددي ، التطبيقات
5 عشر ، 9/10 تطبيقات أخرى لمبادئ الحد الأقصى الضعيف والقوي العددي ، تقديرات المشتقات المحلية والعالمية لموتّر الانحناء (تقديرات شي) ، الوجود طويل الأمد ، الحواجز واللزوجة
6 الثلاثاء ، 9/15 الحد الأقصى للمبادئ في حزم المتجهات والتطبيقات
7 ث ، 9/17 مناقشة الصلابة لمبدأ الحد الأقصى القوي ، نظرية هاملتون Ricci> 0
8 تو ، 9/22 مسح لظروف الانحناء المحفوظة الأخرى ، معسر هاملتون-آيفي [Bre10، Bre19، BS09، BW08، Wil13]
9 ث ، 9/24 تعميمات مبدأ الحد الأقصى الضعيف [Bam15، BCW، Bei19]، نظريات الضغط الهندسي [BBS]
10 تو ، 9/29 ضغط الترددات الراديوية ، أمثلة أخرى لتشكيل التفرد ، Solitons ، Perelman's ( mathcal) و ( mathcal)-وظيفي
11 عشر ، 10/1 نظرية Perelman's No Local Collapsing المبنية على ( mathcal) - وظيفية ، تقدير بيرلمان هارناك ، ( mathcal) - الهندسة
12 Tu، 10/6 ( رياضيات) - استمر علم الهندسة ، وإثبات بديل لنظرية عدم الانهيار المحلي
13 الخميس ، 10/8 Hein and Naber's Poincare و Log-Sobolev عدم المساواة وحدود نواة الحرارة ، فرط التعاقد ، تقديرات نواة الحرارة الغوسية المتكاملة ، إنتروبيا ناش
14 تو ، 10/13 تقديرات التدرج لمعادلات الحرارة ، المزيد عن إنتروبيا ناش المدببة ، وحدود التباين ، وحدود الحجم المنخفضة
15 الخميس ، 10/15 المزيد عن حدود نواة الحرارة ، وحدود حجم الحرارة العليا ، وحدود الحجم العليا ، (P ^ * ) - الأحياء المكافئة ، ( varepsilon ) - نظرية الانتظام
تو ، 10/20 لا توجد فئة
16 الخميس ، 10/22 أساسيات القياس المتري ومسافة Wasserstein
17 تو ، 10/27 التدفقات المترية ، الخصائص الأساسية ، استمرارية الشرائح الزمنية
18 الخميس ، 10/29 مساحة أزواج التدفق المتري ، ( mathbb) - التقارب والاكتناز
19 تو ، 11/3 التدفقات المترية الجوهرية ، الجزء المنتظم من التدفق المتري ، التقارب السلس
20 ث، 11/5 الانتظام الجزئي للحد
21 Tu، 11/10 الانتظام الجزئي للحد
22 ث، 11/12 الانتظام الجزئي للحد
23 تو ، 11/17 الانتظام الجزئي للحد
24 ث، 11/19 يتدفق ريتشي في البعد 3
25 تو ، 11/24 يتدفق ريتشي مع الجراحة في البعد 3
ث ، 11/26 لا توجد فئة
26 تو ، 12/1 يتدفق ريتشي مع الجراحة في البعد 3
27 ث ، 12/3 يتدفق ريتشي المفرد في البعد 3
28 تو ، 12/8 يتدفق ريتشي المفرد في البعد 3

التسجيلات ومذكرات المحاضرات

التسجيلات وملاحظات المحاضرات متوفرة هنا. يرجى إعلامي إذا كان هذا الرابط لا يعمل بشكل صحيح ، أو إذا استغرق التنزيل وقتًا طويلاً.

المؤلفات

لغز لمعرف التكبير

من أجل حماية هذا الفصل من Zoom-bombers ، أحتاج إلى أن أطلب منك حل أحد الألغاز المفضلة لدي (ونسخ Arthur Engel). يمكن الحصول على معرّف التكبير / التصغير بضرب إجابة هذا اللغز في 45878932671.

معظم سكان جزيرة سيكينيا هم من الرعاة. لقد كان تقليدًا قديمًا أن الأغنام في سيكينيا تساوي عددًا من Kolotniks (العملة المحلية) مثل الأغنام الموجودة بها. ذات مرة ، مات راع وترك قطيعه كله لابنه وابنته. قرر الأشقاء بيع القطيع وتوزيع النقود بالتساوي. من أجل تسريع العملية ، وضعوا جميع Kolotniks على طاولة ثم قاموا بسحب 10 Kolotnik بالتناوب من الكومة حتى لم يتبق أي نقود. رسم الابن أولاً وانتهى الأمر بالابنة برسم ما تبقى من كولوتنيك.
في النهاية ، اشتكت الابنة: "هذا غير عادل! لم يتبق 10 كولوتنيك في المنعطف الأخير".
أجاب الابن: "أنت على حق .. لماذا لا تأخذ سكين جيبي ، ثم نحن حتى".


12.3: الاستمرارية - الرياضيات

سنقدم الآن مثالاً لدالة متصلة في كل نقطة وقابلة للاشتقاق في أي نقطة من. ظهر أول مثال منشور لمثل هذه الوظيفة في عام 1874 وكان بسبب كارل وييرستراس (1815-1897) [29 ، الصفحة 976]. المثال الموضح أدناه يرجع إلى Helga von Koch (1870-1924) ، وهو نسخة معدلة قليلاً من ندفة الثلج في Koch. من المناقشة في القسم 2.6 ، ليس من الواضح حقًا ما الذي نعنيه بمحيط ندفة الثلج ، ولكن من الواضح تمامًا أنه مهما كان المحيط ، فهو ليس الرسم البياني للدالة. ومع ذلك ، فإن التعديل الطفيف لبناء كوخ ينتج عنه وظيفة مستمرة في كل مكان ولكن لا يمكن تمييزها في أي مكان.

سنقوم ببناء سلسلة من الوظائف على. سيكون رسم بياني خطًا متعدد الأضلاع يحتوي على مقاطع. وضعنا

بحيث يكون الرسم البياني هو القطعة المستقيمة من إلى.

بشكل عام ، يتم الحصول على الرسم البياني لـ من الرسم البياني عن طريق استبدال كل جزء في الرسم البياني بأربعة أجزاء ويتم بناؤه وفقًا للقواعد الثلاثة التالية:

اتضح أن هذا مستمر ولا يمكن التفاضل في أي مكان. يمكن العثور على دليل على ذلك في [31 ، الصفحة 168].

تزودنا الدالة بمثال على دالة متصلة ليست رتيبة متعددة التعريف على أي فترة زمنية.


12.3: الاستمرارية - الرياضيات

ملاحظة: وفقًا لهذا التعريف ، لكي نكون مستمرين يجب أن يكون لدينا

غالبًا ما لا يتم تضمين الشرط الثاني في تعريف الاستمرارية ، لذا فإن هذا التعريف لا يتوافق تمامًا مع التعريف المعتاد.

ملاحظة: الطريقة التي نستخدمها عادةً لإظهار أن الوظيفة ليست متصلة عند نقطة ما ، وهي إيجاد تسلسل في مثل هذا ، ولكن إما أن تتباعد أو تتقارب إلى قيمة مختلفة عنها.

تؤدي قواعد النهاية لدينا إلى ظهور نظريات حول الدوال المستمرة.

الدليل: افترض أنك متصل في ، ويمكن الوصول إليه من. ثم

من خلال قاعدة مجموع النهايات (نظرية 10.15) يتبع ذلك

هكذا هو مستمر في. تتشابه براهين الأجزاء الأخرى من النظرية.

أين هي مجموعة فرعية من ذلك بحيث تحتوي كل فترة فرعية ذات طول موجب على نقطة في ونقطة ليست في. يترك .

الحالة 1. إذا تمكنا من العثور على سلسلة من النقاط في ذلك. ثم

الحالة 2. إذا تمكنا من العثور على سلسلة من النقاط في ذلك. ثم

أنا أدعي أن هذا مستمر. نعلم أن هذا قابل للاشتقاق ، لذا فهو مستمر عند كل نقطة من. في المثال 10.13 ، أظهرنا أن ذلك أيضًا مستمر عند.

ثم وكلاهما وظائف مستمرة. الآن

وبالتالي فهي ليست مستمرة. مجال يحتوي على نقطة واحدة فقط ، وهذه النقطة ليست ودودة من.


بريان مارتن كان عضوًا متفرغًا في قسم الفيزياء وعلم الفلك في UCL من 1968 إلى 1995 ، بما في ذلك عقد من 1994 إلى 2004 كرئيس للقسم. تقاعد في عام 2005 ويحمل الآن لقب أستاذ الفيزياء الفخري. لديه خبرة واسعة في تدريس فصول الرياضيات الجامعية على جميع المستويات وخبرة جامعات أخرى من خلال الامتحان الخارجي للدرجات الأولى في إمبريال كوليدج ورويال هولواي كوليدج لندن. كان أيضًا عضوًا خارجيًا في المجلس العام لقسم الفيزياء في جامعة كامبريدج الذي استعرض البرنامج الأكاديمي الكامل لهذا القسم ، بما في ذلك التدريس.

جراهام شو (http://www.hep.man.ac.uk/u/graham/) كان عضوًا كاملاً في قسم الفيزياء وعلم الفلك بجامعة مانشستر حتى سبتمبر 2009. واصل التدريس بدوام جزئي حتى سبتمبر 2012 ويشغل حاليًا منصبًا فخريًا في القسم. لديه خبرة واسعة في تدريس الفيزياء للطلبة الجامعيين والرياضيات المرتبطة بها وكان عضوًا في لجنة التدريس بالمدرسة ومديرًا لمدرسة الشرف للرياضيات والفيزياء لسنوات عديدة.


CBSE Class 12 ملاحظات مراجعة الرياضيات الفصل 11 الهندسة ثلاثية الأبعاد

  • جيب التمام للخط: جيب التمام للاتجاه للخط هو جيب التمام للزوايا التي يصنعها الخط مع الاتجاهات الإيجابية لمحاور الإحداثيات.
  • هي جيب التمام الأيوني المباشر لخط ، إذن
  • جيب التمام الأيوني المباشر لخط يصل بين نقطتين

· أين

  • نسب اتجاه الخط هي الأرقام التي تتناسب مع جيب التمام الأيوني المباشر للخط.
  • إذا كانت جيب التمام الأيوني المباشر ونسب الأيونات المباشرة للخط
  • خطوط الانحراف: خطوط الانحراف هي خطوط في الفضاء ليست متوازية ولا متقاطعة. إنهم يكذبون في طائرات مختلفة.
  • الزاوية بين خطين منحرفين: الزاوية بين خطوط الانحراف هي الزاوية بين خطين متقاطعين مرسومين من أي نقطة (ويفضل أن يكون ذلك من خلال الأصل) موازية لكل خط من خطوط الانحراف.
  • إذا كان اتجاه جيب التمام لخطين وكانت الزاوية الحادة بين الخطين ،
  • معادلة المتجه لخط يمر عبر نقطة معينة يكون متجه موضعها موازيًا لمتجه معين
  • معادلة الخط المار بنقطة ووجود جيب التمام الأيوني المباشر هي
  • معادلة المتجه لخط يمر عبر نقطتين لهما متجهات موقعهما
  • المعادلة الديكارتية لخط يمر بنقطتين وهو
  • إذا كانت الزاوية الحادة بين و بعد ذلك ،
  • إذا كانت معادلات خطين ، فإن الزاوية الحادة بين الخطين معطاة بواسطة
  • أقصر مسافة بين خطي انحراف هي الجزء المستقيم المتعامد مع كلا الخطين.
  • أقصر مسافة بين و
  • أقصر مسافة بين السطور: و هي

  • المسافة بين الخطوط المتوازية و هي
  • في شكل المتجه ، معادلة المستوى الذي يقع على مسافة d من الأصل ، وهو متجه الوحدة الطبيعي للمستوى من خلال الأصل
  • معادلة المستوى الذي يقع على مسافة d من الأصل واتجاه جيب التمام للخط العمودي للمستوى مثل l ، m ، n.
  • معادلة المستوى المار بنقطة يكون متجه موضعها a وعموديًا على المتجه.
  • Equation of a plane perpendicular to a given line with direction ratios A, B, C and passing through a given point is
  • Equation of a plane passing through three non collinear points ,
  • Vector equation of a plane that contains three non collinear points having position vectors and is .
  • Equation of a plane that cuts the coordinates axes at is .
  • Vector equation of a plane that passes through the intersection of planes and is , where is any non-zero constant.
  • Cartesian equation of a plane that passes that passes through the intersection of two given planes and is
  • Two lines and are coplanar if
  • Two planes and are coplanar if
  • In the vector form, if is the angle between the two planes, and , then
  • The angle between the line and the plane is
  • The angle between the planes and is given by
  • The distance of a point whose position vector is from the plane is .
  • The distance from a point to the plane Ax + By + Cz + D = 0 is
  • Equation of any plane that is parallel to a plane that is parallel to a plane Ax + By + Cz + D = 0 is Ax + By + Cz + k = 0, where k is a different constant other than D.

المنهج

section discussion session TA
0311 TuTh 8-8:50 MTH 0207 Xuesen Na
[email protected]
0321 TuTh 9:30-10:20 MTH 0307
0312 TuTh 8-8:50 MTH 0305 Kilian Cooley
[email protected]
0331 TuTh 11-11:50 MTH 0303
0341 TuTh 12:30-1:20 MTH 0307 Xin Dong
[email protected]
0351 TuTh 2-2:50 MTH 0307
اسم@math means اسم@math.umd.edu

Math 283 Honors Multivariate Calculus (Fall 2021)

The final is not comprehensive.
Six quizzes each worth 20 points
will be given. Your best 5 quiz
scores determine Q above.

Exam and quiz dates are indicated
أدناه. Their content will be announced in class.

All exams and quizzes are closed book and no electronic devices are permitted.

المنهج: Material covered in text is from:

Chapter 12: Vector Geometry
Chapter 13: Vector Valued Functions
Chapter 14: Differentiation in Several Variables
Chapter 15: Multiple Integration
Chapter 16: Line and Surface Integrals
Chapter 17: Fundamental Theorems of Vector Analysis

الواجب المنزلي: Suggested homework is listed below.

Although the homework is not graded
it is representative of the kinds of
questions which will be on quizzes
and exams.

Some additional problem sets and/or
handouts will be handed out in class
or emailed to you.

Handouts: Review sheets and supplementary materials will either be handed out in class or emailed to you. They will NOT be posted. Below such materials are indicated by a bold (S)


10
11
Vetran's Day 12 (Q5)

Suggested Homework and Syllabus

12.1 9,23,33,35,37,39,43,47,61 Vectors in the plane
12.2 5,9,11,19,25,29,31,35,37,43,47,51,52,53 Vectors and lines in R^3
12.3 1,11,13,15,19,21,23,25,35,39,43,,49,55,57,67 Dot Products, angles, orthogonal, projection
12.4 9,11,13,21,28,30,37,41,43,44,45 Cross Product
12.5 3,13,15,17,21-23,25,27,29,39,41,55,57,63,65,69 Planes in 3D
12.6 just read the section Survey of Quadratic Surfaces
12.7 Will be done in tandem with Volume integrals in Chapte 15 Cylindrical Spherical coordinates
13.1 1,2,7,10,12b,12c,17,19,25,33(use "s" for r_2(t)),39 Vector Valued Functions
13.2 3,5,7,9,13,17,20,23,29,31,39,47(integrate),51(integrate twice),57 Calculus of Vector Valued Functions
13.3 1,3,5,9,11,15,25,31 Arclength and Speed
13.4 1,5,7,11,13,37,39,41,43,53 Curvature
13.5 3,5,11,15,33,35,37,41 Motion in Space
(S) Chapter 12-13 Supplementary problems
Midterm 1
14.1 1,5,7,29,31,33,39a, 39b Functions of several variables
14.2 7,8,9,13,15,17,18 (polar in chapter 11),29,34 Limits and Continuity
14.3 3,5,7,13,15,17,19,23,25,29,42,43,57,61,67,76 المشتقات الجزئية
14.4 1,5,11,13,19,21,23,25 Tangent Planes
14.5 5,7,9,11,15,17,19,21,23,25,29,31,37,39,41,44,45,61(hard) Gradient and Directional Derivatives
14.6 1,3,7,11,13,19,27,29 حكم السلسلة
14.7 1,3,7,9,11,13,16,19,35,37 (on boundary),47,48 Optimization in Several variables
14.8 1,2,5,7,8,11,17,19,21,23 Lagrange Multipliers
(S) Chapter 14 Supplementary problems
Midterm 2
15.1 19,21,31,37 Double Integrals: Rectangles
15.2 3,9,11 (dy dx),17,21,25,27,31,45,49 Double Integrals: General Cartesian
15.3 3,9,11,17,21 (intersect planes),26,35 (dxdydz) Triple Integrals: Cartesian
15.4 1,3,5,7,9,11,13,15,19,23,25,27,29,31,38,39,42,43,45,47,51,53,55 Integrals: Polar, Cylindrical, Spherical coordinates
15.5 not covering Integrals: Applications
15.6 not covering Integrals: Change of Coordinates 2D
16.1 13-16, 23,24,27,29,39,41,43 Vector-Fields
16.2 1,3,5,7,9,11,19,21,23,27,28,29,45,53 Line Integrals
16.3 1,57,8,9,12,17,19 Conservative Vector Fields
16.4 4,5,15,17,21,23,25 (Use Eqn 9 on pg 938 for all) Parametrized Surfaces and Surface Integrals. (extra material)
16.5 2, 5,7,9,11,13 (Nhat=khat) Flux integrals (extra material)
(S) Chapter 15-16 Review questions and examples
17.1 TBA Green's Theorem
17.2 TBA Stokes Theorem
17.3 5,7,9,11,15 Divergence Theorem

Exam and Quiz Outlines

Quiz is on 12.1-12.3 (text and in class) (25 min - no electronic devices).

Quiz on 12.4, 12.5, 13.2 (not 12.6,13.1). Know how to compute a cross product and its properties. Most of the exam will be on 12.5 material including equations of planes, distance from points to lines and planes, etc. 13.2 is basically differentiating and integrating vector valued functions.

Quiz will be on 14.6 (Chain Rule), 14.7 (critical points, Second derivative test. ), and 14.8 (Lagrange multipliers). There won't be any questions like 14.7 #29-45 in the HW (max/min on bounded regions).

There will be no questions from 16.1, 16.3 (Vector potentials).

We are not doing parametrized surfaces on this quiz. only surface integrals on graphs z=f(x,y). In the text this means eqn 8-9 on pg 938 of 16.4.

Textbook Sections: 12.1-12.5 and 13.2-13.5

(50min, No electronic devices or notes/formula sheet)

  • recommended HW questions (above) and the Review Sheet especially are accurate representations of the kind of Midterm questions
  • dot and cross product properties and identities
  • equations of lines and planes (big topic)
  • velocity, speed, acceleration, arclength, arclength parametrization
  • computing arclength
  • unit tangent, normal and binormal
  • computing curvature (Thm 1, Sec 13.4)
  • tangent and normal components of acceleration (Thm 1, Sec 13.5)
  • Review Sheet is indicative of test questions.
  • 20% of the exam may be on Lagrange multipliers/ constrained optimization for problems of 2 or 3 variables (and one constraint), i.e f=f(x,y) or f=f(x,y,z), etc. Possibly a simple word problem.
  • 20% of the exam will be a find and classify critical point problem.
  • 20-30% will be on Directional derivatives, geometry of gradients, and/or chain rule
  • 10% on limits
  • balance will be just simple calculations.
  • There will be NO problems involving maximing f(x,y) on a region like (7) in the Review Sheet emailed to you.
  • You have 1hr 50min but I'm trying to write a 75min exam.
  • There will be 9-10 questions. Some should be easy.
  • you'll be required to evaluate حول half the integrals. The rest you will only be required to "set up" the integrals
  • double integrals in cartesian coordinates
  • reversing the order of integration on a double integral
  • double integrals in polar coordinates
  • triple integral in cartesian coordinates
  • triple integral in cylindrical coordinates
  • triple integrals in spherical coordinates
  • scalar line integrals
  • Vector line integrals
  • line integrals of conservative vector fields
  • surface integrals (graphs z=f(x,y) only)
  • flux integrals (graphs z=f(x,y) only)
  • Divergence Theorem

Mark Pernarowski
Associate Professor
Dept. of Mathematical Sciences
Montana State University
Bozeman, MT 59717


شاهد الفيديو: Continuity - الاستمرارية (شهر اكتوبر 2021).