مقالات

3.1: مقدمة في وظائف المتغيرات المتعددة - الرياضيات


في مقدمة لتطبيقات المشتقات ، درسنا كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى لدالة لمتغير واحد خلال فترة زمنية مغلقة. في كل من هذه الأمثلة ، تحتوي الوظيفة على متغير مستقل واحد.

افترض ، مع ذلك ، أن لدينا كمية تعتمد على أكثر من متغير واحد. على سبيل المثال ، يمكن أن تعتمد درجة الحرارة على الموقع والوقت من اليوم ، أو قد يعتمد نموذج ربح الشركة على عدد الوحدات المباعة ومقدار الأموال التي يتم إنفاقها على الإعلان. في هذا الفصل ، ننظر إلى شركة تنتج كرات الجولف. نحن نطور نموذجًا للربح ، وفي ظل قيود مختلفة ، نجد أن المستوى الأمثل للإنتاج والإعلان بالدولار الذي يتم إنفاقه يحدد أقصى ربح ممكن. اعتمادًا على طبيعة القيود ، يتغير كل من طريقة الحل والحل نفسه.

عند التعامل مع دالة لأكثر من متغير مستقل ، تظهر عدة أسئلة بشكل طبيعي. على سبيل المثال ، كيف نحسب حدود وظائف أكثر من متغير واحد؟ يتضمن تعريف المشتق الذي استخدمناه من قبل حدًا. هل يتضمن التعريف الجديد للمشتق حدودًا أيضًا؟ هل تنطبق قواعد التفاضل في هذا السياق؟ هل يمكننا إيجاد القيمة القصوى النسبية للدوال باستخدام المشتقات؟ يتم الرد على كل هذه الأسئلة في هذا الفصل.


انسايت الرياضيات

لقد تعلمت في حساب التفاضل والتكامل ذي المتغير الواحد أن الدالة $ f: R to R $ (confused؟) قد تكون أو لا تكون قابلة للاشتقاق. في الواقع ، قد تكون الوظيفة قابلة للتفاضل في بعض الأماكن ولكن ليس في أماكن أخرى.

ضع في اعتبارك الدالة $ r (i) $ التي تعطي معدل المخرجات $ r $ للخلايا العصبية كدالة لمدخلها $ i $. يتصل العصبون بالخلايا العصبية الأخرى عن طريق إرسال نبضات الإخراج (أو & ldquospikes & rdquo) إلى الخلايا العصبية الأخرى. للتبسيط ، نحن فقط نتتبع السعر $ r (i) $ لهذه الارتفاعات. نظرًا لأن المعدل السلبي ليس له معنى ، فنحن نعلم أن $ r (i) ge 0 $.

بالنسبة لهذا النموذج العصبوني المثالي ، تكون الخلية العصبية صامتة تمامًا عندما يكون لديها القليل جدًا من المدخلات ، أي عندما يكون الإدخال $ i $ صغيرًا ، فإن المعدل $ r (i) = 0 $. فقط عندما يتجاوز المدخل بعض العتبة $ I_0 $ تبدأ العصبون بإصدار طفرات الإخراج. يزداد معدل المخرجات مع زيادة $ i $ ، كما هو موضح في هذا الرسم البياني لـ $ r (i) $. (مستويات المنحنى متوقفة عن القيم العالية لـ $ i $ لأن هناك حدًا لمدى السرعة التي يمكن أن تصدر بها الخلايا العصبية ارتفاعات في الإخراج. على سبيل المثال ، قد يكون الحد 200 نبضة في الثانية.)

الوظيفة قابلة للتفاضل في كل مكان باستثناء النقطة التي يكون فيها $ i = I_0 $. نعني بالقابلية التفاضلية أنه يمكننا ملاءمة الرسم البياني لـ $ r (i) $ بخط مماس (غير عمودي). بالنظر إلى أي مستوى من المدخلات ، لنفترض أن $ i = a $ ، يمكننا العثور على سطر يقترب تقريبًا من $ r (i) $ حول $ a $ ، طالما $ a ne I_0 $.

الدالة $ r (i) $ غير قابلة للاشتقاق عند $ i = I_0 $ لأنه لا يوجد خط مماس عند $ i = I_0 $. الرسم البياني لـ $ r $ به تشابك هناك ، لذلك بغض النظر عن الخط الذي اخترناه ، سيفشل في مطابقة الرسم البياني على الجانب الأيسر أو الأيمن من $ I_0 $.

معادلة خط يمر بالنقطة $ (a، r (a)) $ (تظهر كنقطة سوداء في الشكل) هي begin L (i) = r (a) + m (i-a) ، النهاية حيث $ m $ هو ميل الخط. يمكننا التفكير في حقيقة أن & ldquo $ r (i) $ قابل للتفاضل عند $ i = ardquo بمعنى أن $ r (i) $ خطي تقريبًا لـ $ i $ بالقرب من $ a $. يمكننا إيجاد قيمة معينة للمنحدر $ m $ بحيث يكون السطر $ L (i) $ تقديرًا جيدًا جدًا لـ $ r (i) $ عندما يكون $ i $ قريبًا من $ a $. لهذه القيمة الخاصة $ m $ ، يُطلق على السطر $ L (i) $ التقريب الخطي لـ $ r (i) $ حول $ a $. هذا الخط ، بالطبع ، هو خط المماس لـ $ r $.

المنحدر المحدد حيث يصبح $ L (i) $ خط المماس ، أو التقريب الخطي ، هو المشتق $ m = r '(a) $. لقد تعلمت تعريفات أخرى لمشتقة دالة ، لكن يمكنك تعريفها أيضًا على أنها ميل هذا التقريب الخطي. هذا ، في الواقع ، كيف سنعرف المشتق في أبعاد أعلى.

التفاضل في بعدين

كان الغرض من المراجعة الطويلة للتفاضل ذي المتغير الواحد هو إعادة صياغة المشتق في اللغة التي سنستخدمها في التفاضل متعدد المتغيرات.

للتوضيح ، دعنا نعدل مثالنا على الخلايا العصبية. اتضح أن العديد من الخلايا العصبية لديها & ldquoreceptors & rdquo مدمجة فيها تستجيب للنيكوتين. بالنسبة لهذه الخلايا العصبية ، فإن وجود النيكوتين يغير سلوكها. (وغني عن القول ، أن الكثيرين في المجتمع الطبي مهتمون بمستقبلات النيكوتين حيث أن النيكوتين عقار شائع للإدمان.) يمكننا نمذجة تأثيرات النيكوتين من خلال تحديد وظيفة جديدة $ r: R ^ 2 to R $ يعطي الاستجابة العصبية كدالة لكل من الإدخال $ i $ ومستوى النيكوتين $ s $. (يأتي اختيار الحرف $ s $ من & ldquosmoke. & rdquo)

دعنا نتظاهر بأن تأثير النيكوتين هو تحويل عتبة $ I_0 $ إلى قيم أصغر وتسطيح استجابة الخلايا العصبية للمدخلات. نكتب استجابة خلية عصبية لإدخال $ i $ والنيكوتين $ s $ كـ $ r (i، s) $. إذا نظرنا إلى الحالة عندما يكون $ s = 0 $ ، يكون لدينا المنحنى الأصلي $ r (i، 0) $ لمعدل المخرجات العصبية للإدخال. إذا أضفنا النيكوتين إلى حد ما ، لنقل $ s = 2 $ (في بعض الوحدات التعسفية) ، يصبح المنحنى $ r (i، 2) $ ، وهو نسخة مقلوبة ومسطحة من المنحنى الأصلي. زيادة النيكوتين أكثر إلى $ s = 4 $ يعطي المنحنى المقلوب والمسطّح $ r (i، 4) $.

للحصول على صورة كاملة ، يمكننا رسم الوظيفة الكاملة $ r (i، s) $. إليك تطبيق صغير يعرض $ r (i، s) $ ، والذي يمكنك تدويره لعرضه بشكل أفضل.

الصغير تحميل

معدل إطلاق الخلايا العصبية استجابة لمستويات المدخلات والنيكوتين. تمثيل وهمي لمعدل الإطلاق $ r (i، s) $ للخلايا العصبية استجابة لمدخل $ i $ ومستوى النيكوتين $ s $. يزيد معدل إطلاق النار مع الإدخال $ i $ ، لكنه يزيد بشكل أبطأ مع زيادة $ s $. معدل إطلاق النار هو صفر تحت عتبة الإدخال التي تتناقص مع $ s $. يؤدي هذا إلى طية في السطح تصف الدالة $ r (i، s) $.

من أول الأشياء التي قد تلاحظها أن السطح $ r (i، s) $ أملس باستثناء الطية أو التجعد على طول الخط. تتكون هذه الطية من تلك النقاط التي يصبح فيها $ r (i، s) $ فجأة غير صفري عند زيادة الإدخال $ i $ لمستوى نيكوتين معين. الطية مماثلة للتشابك عند $ I_0 $ الذي رأيناه في المنحنى الأصلي أعلاه.

نريد تحديد مفهوم التفاضل لدالة المتغيرات المتعددة $ r (i، s) $. كما في حالة المتغير الواحد ، قد تكون الوظيفة $ r (i، s) $ قابلة للتفاضل في بعض النقاط وليس في نقاط أخرى. يجب أن يميز تعريفنا للتفاضل الطية في السطح عن الأجزاء الملساء من السطح. لكي تكون متسقة مع حالة المتغير الواحد ، يجب ألا تكون الدالة $ r (i، s) $ قابلة للاشتقاق على طول الطية.

على سبيل المثال ، يوضح الرسم البياني أدناه أن $ r (i، s) $ قابل للتفاضل عند النقطة $ (i، s) = (3،3) $ (كما هو موضح بالنقطة الخضراء) ، حيث يوجد مستوى مماس عند ذلك هدف. من ناحية أخرى ، إذا حاولنا ملاءمة مستوى عند نقطة يطوي فيها السطح (على سبيل المثال ، النقطة الموضحة بالنقطة الحمراء) ، فلن ننجح أبدًا. ستفشل الطائرة في مطابقة الرسم البياني على أحد جانبي الطية أو الجانب الآخر. ومن ثم فإن الدالة $ r (i، s) $ غير قابلة للاشتقاق في أي نقطة على طول الطية.

الصغير تحميل

وظيفة معدل إطلاق الخلايا العصبية مع مستوى ظل. تمثيل وهمي لمعدل الإطلاق $ r (i، s) $ للخلايا العصبية استجابة لمدخل $ i $ ومستوى النيكوتين $ s $. يحتوي الرسم البياني للدالة على مستوى مماس في موقع النقطة الخضراء ، وبالتالي فإن الوظيفة قابلة للاشتقاق هناك. من خلال تدوير الرسم البياني ، يمكنك أن ترى كيف يلامس المستوى المماس السطح عند تلك النقطة. يمكنك تحريك النقطة الخضراء في أي مكان على السطح طالما أنها ليست بطول طية الرسم البياني (حيث تكون النقطة الحمراء مقيدة) ، يمكنك رؤية مستوى الظل الذي يوضح أن الوظيفة قابلة للتفاضل. لا يوجد مستوى مماس للرسم البياني في أي نقطة على طول طية الرسم البياني (يمكنك تحريك النقطة الحمراء إلى أي نقطة على طول هذه الطية). الدالة $ r (i، s) $ غير قابلة للاشتقاق في أي نقطة على طول الطية. كدليل إضافي على عدم قابلية التفاضل ، يقفز المستوى المماس إلى زاوية مختلفة عندما تحرك النقطة الخضراء عبر الطية.

يتم إعطاء معادلة لمستوى عبر النقطة $ (a_1، a_2، r (a_1، a_2)) $ (مثل النقطة الخضراء في التطبيق الصغير) بواسطة start L (i، s) = r (a_1، a_2) + m (i-a_1) + n (s-a_2). نهاية في هذه الحالة ، لدينا منحدران: المنحدر $ m $ في الاتجاه الذي يزيد فيه $ i $ ، والميل $ n $ في الاتجاه الذي يزيد فيه $ s $. إذا كان $ r (i، s) $ قابلاً للتفاضل عند $ (a_1، a_2) $ ، فهذا يعني أن $ r $ خطي تقريبًا لـ $ (i، s) $ بالقرب من $ (a_1، a_2) $. ومن ثم ، يمكننا إيجاد المنحدرات $ m $ و $ n $ بحيث يكون $ f (i، s) $ تقديرًا جيدًا حقًا لـ $ r (i، s) $ لـ $ (i، s) $ بالقرب من $ (a_1 ، a_2) $. بالنسبة لهذه القيم المعينة لـ $ m $ و $ n $ ، يُطلق على $ L (i، s) $ التقريب الخطي لـ $ r (i، s) $ ، أي $ L (i، s) $ هو المستوى المماس .

ما هي هذه القيم الخاصة لـ $ m $ و $ n $؟ هي منحدرات الرسم البياني لـ $ r (i، s) $ في الاتجاهين $ i $ و $ s $ ، وهما مشتقات جزئية لـ $ r $ عند $ vc = (a_1، a_2) $: begin م = pdiff(a_1، a_2) n = pdiff(أ_1 ، أ_2). نهاية

وبهذه الطريقة ، يكون التفاضل ثنائي المتغيرين مماثلاً للتفاضل ذي المتغير الواحد ، حيث تعني التفاضلية وجود التقريب الخطي. يعتبر التقريب الخطي أكثر تعقيدًا بعض الشيء: يتم استبدال خط المماس بميل واحد بالمستوى المماس ذي المنحدرين. في حالة المتغير الواحد ، كان الميل هو المشتق. في حالة المتغيرين ، نقوم بتجميع المنحدرين معًا في مصفوفة المشتقات الجزئية: يبدأ الدكتور (a_1، a_2) = يسار [ pdiff(a_1، a_2) ، ، ، ، pdiff(a_1، a_2) right]. نهاية إذا كان المستوى المماس موجودًا عند $ vc = (a_1، a_2) $ ، فيمكننا التفكير في مصفوفة الصف $ Dr ( vc) $ على أنها مشتق $ r $ عند النقطة $ vc $.

لقد خدشنا السطح للتو

في مثل هذه المقدمة القصيرة للتفاضل ، كان علينا إخفاء الكثير من التفاصيل المهمة تحت السجادة. ربما لاحظت أننا لعبنا بعض الشيء مع اللغة في وصف حالة التفاضل على أنها ذات تقريب خطي ، حيث استخدمنا عبارات مثل التقريب & ldquoreally good & rdquo للوظيفة.

بمجرد أن تشعر بالراحة تجاه الفكرة الأساسية للتفاضل المقدمة في هذه الصفحة ، فإننا نشجعك على اتخاذ الخطوة التالية نحو فهم معنى التفاضل حقًا. أحد الاقتراحات هو التحقق من التعريف الفعلي للتفاضل لمعرفة ما قصدناه عندما قلنا أن التقريب الخطي يجب أن يكون & ldquoreally جيدة & rdquo تقريب الوظيفة. (إذا كانت هذه هي المرة الأولى التي تقرأ فيها عن التفاضل ، فقد ترغب في الخروج أولاً والحصول على بعض الهواء النقي قبل المتابعة.)

تعد قابلية التفاضل في الأبعاد الأعلى أصعب مما هي عليه في بعد واحد لأنه مع وجود بعدين أو أكثر ، يمكن أن تفشل الوظيفة في أن تكون قابلة للتفاضل بطرق أكثر دقة من الطية البسيطة التي أظهرناها في المثال أعلاه. في الواقع ، يمكن أن توجد مصفوفة المشتقات الجزئية في نقطة ما دون أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة. هذا صحيح ، فوجود جميع المشتقات الجزئية لا يكفي لضمان التفاضل. لفهم التفاضل حقًا ، عليك أن تتعامل مع بعض هذه التفاصيل الدقيقة للتفاضل في أبعاد أعلى.

هل تريد أن ترى بعض الأمثلة لحساب المشتق في أبعاد أعلى؟


وحدة الوظائف

تعليقات

هل تحتاج إلى مزيد من المساعدة في دراسات الجبر؟

احصل على الوصول إلى المئات من أمثلة الفيديو وممارسة المشاكل مع اشتراكك! & # xa0

انقر هنا لمزيد من المعلومات حول خيارات الاشتراك بأسعار معقولة.

ألست مستعدًا للاشتراك؟ & # xa0 سجل في دورة تنشيطية مجانية لما قبل الجبر.

أعضاء دورة الجبر الإلكترونية

انقر هنا للحصول على مزيد من المعلومات حول الدورات الإلكترونية لصف الجبر.


لغة PLaSM

PLaSM ، (لغة البرمجة للنمذجة الصلبة) هي أ لغة التصميم، التي طورتها مجموعة CAD في جامعات روما لا سابينزا و روما تري [PS92 ، PPV95]. اللغة متأثرة بشدة بـ FL. مع القليل من الاختلافات sintactical ، يمكن اعتباره امتدادًا هندسيًا لمجموعة فرعية FL. من بين النقاط القوية في PLaSM نذكر:

النهج الوظيفي ، الذي يسمح للحساب مع الأشكال الهندسية وكذلك مع الأرقام والوظائف ، و

التنفيذ المستقل عن البعد لهياكل البيانات الهندسية والخوارزميات.

تؤدي الميزة الأولى إلى نهج طبيعي وقوي للغاية للهندسة البارامترية. الثانية ، مقترنة بـ "المحرك الاندماجي" للغة FL ، تعطي قوة وصفية مذهلة عند الحوسبة باستخدام الهندسة.


RBF Kernel & # 8211 لماذا هو & # 8217s مشهور جدًا؟

في هذا القسم ، نرى نواة RBF (دالة الأساس الشعاعي) ، والتي تتمتع بتمثيل مرن وتستخدم في الغالب في طرق kernel العملية.

نواة RBF هي نواة تعتمد فقط على معيارها.
على وجه الخصوص ، يسمى الشكل التالي من النواة نواة جاوس.

ملاحظة: من المعروف & # 8217s أن دالة kernel صالحة ، إذا كانت دالة kernel.
نواة غاوس لها أبعاد لا نهائية.

في هذا القسم ، سأوضح لك كيف تتناسب مع البيانات الحقيقية وأجعلك تفهم سبب شهرة هذه النواة (تقدير بارزن).
للتبسيط ، نناقش استخدام الانحدار الخطي السابق في البداية

الآن ، لتبسيط الأمور ، دعونا نفترض التصنيف الثنائي التالي للبعد 2 & # 8217s vector ، والنظر في إمكانية حدوث أخطاء.

كما يمكنك أن تتخيل بسهولة ، سترى قيم الخطأ مع احتمال كبير عندما يكون & # 8217s بالقرب من الحدود ، وباحتمال أقل عندما يكون & # 8217s بعيدًا عن الحدود. كما ترى أدناه ، فإن احتمال حدوث أخطاء سيتبع التوزيع الطبيعي ثنائي الأبعاد (التوزيع الغاوسي) اعتمادًا على المسافة (المعيار الإقليدي) من الحدود.

ملاحظة: من أجل التبسيط ، نحن هنا & # 8217re بافتراض أن متغيرين ومستقلين عن بعضهما البعض ، فإن تغايرهما يساوي صفرًا. ونفترض أيضًا الانحراف المعياري لـ وكلاهما.
(على سبيل المثال ، مصفوفة التغاير في التوزيع الغوسي متناحرة.)

على العكس من ذلك ، دعونا ننظر في احتمال الخطأ في النقطة التالية.
كما ترى أدناه ، سيتأثر هذا بكل من الجانب العلوي & # 8217s حد والجانب السفلي & # 8217s حد ، وسيصبح مجموع كلا الاحتمالين.

ملاحظة: إذا قمت ببساطة بإضافة هذه الاحتمالات (للجانب العلوي والجانب السفلي) ، فستتجاوز الاحتمالات الإجمالية 1. وبالتالي ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، يجب عليك تسوية مجموع هذه الاحتمالات.

في نهاية المطاف ، سيتم وصف إمكانية حدوث أخطاء على أنها توزيع كثافة احتمالية من خلال الجمع (المجموع والتطبيع) للتوزيعات العادية في كل نقطة ملحوظة.

من أجل رؤية هذا في المثال المختصر ، دعنا نفترض منحنى الجيب التالي أحادي البعد ولدينا النقاط الست التالية التي تمت ملاحظتها بالضبط على هذا المنحنى.

بعد ذلك ، بتطبيق الخطوات التالية ، يمكننا تقدير منحنى الجيب الأصلي بهذه النقاط الست.

  1. افترض التوزيعات العادية (التوزيعات الغوسية) لكل 6 نقاط ملحوظة.
  2. احصل على النسبة الموزونة لكل توزيعات.
    على سبيل المثال ، نفترض في الصورة أعلاه (توزيعات غاوسية متعددة). ثم القيمة المرجحة لكل عنصر في هي:
    ,
    ,
    ,
    .
    توضح الصورة التالية المخططات الموزونة لكل توزيعات.
  3. اضرب بكل القيم المرصودة.
    على سبيل المثال ، إذا كانت قيمة t للنقطة الملحوظة الأولى هي 5 (انظر الصورة أعلاه لمنحنى الجيب) ، فإن تأثير هذه القيمة الأولى (الخط ذو اللون الأسود) على سيكون مساويًا لـ. (انظر الصورة أدناه.)
  4. أخيرًا ، قم بجمع كل هذه القيم (أي هذه التأثيرات) لـ 6 عناصر في كل نقطة من نقاط المحور x.

يرجى التذكير بأن الوظيفة التنبؤية عن طريق الانحدار الخطي مع وظيفة الأساس يمكن كتابتها كمجموعة خطية بين القيم المستهدفة (t) ووظائف النواة. (انظر القسم السابق).
نتيجة لذلك ، يمكنك بسهولة تقدير المنحنى الأصلي بواسطة نواة Gaussian باستخدام البيانات المرصودة المحددة على النحو التالي.
نواة Gaussian لها تمثيل غني ويمكن أن تتناسب مع نوع مختلف من الصيغة.

ملاحظة: هنا عرضت مثالًا موجزًا ​​باستخدام منحنى جيب بسيط أحادي البعد ، لكن انظر الفصل 6.3.1 في & # 8220 التعرف على النمط والتعلم الآلي & # 8221 (كريستوفر إم بيشوب ، Microsoft) للخطوات العامة لانحدار Nadaraya-Watson (نواة أكثر سلاسة).

في Gaussian بشكل تجريبي.
عندما يكون النموذج أكبر ، سيصبح أكثر سلاسة. على العكس من ذلك ، عندما يكون النموذج أصغر ، فإن النموذج يهيمن عليه محليًا بالقيم المرصودة القريبة.

قيمة الانحراف المعياري () كبيرة

قيمة الانحراف المعياري () صغيرة

ملاحظة: عند الاختلاف الشديد في كل نقطة ، يمكنك استخدام التقدير بطريقة kNN (أقرب جوار K) في نهج غير معلمي.
على عكس النهج البارامترى ، فإن هذه غير المعلمات ستلائم فقط بالقرب من البيانات المرصودة. (انظر رسالتي المبكرة & # 8220 فهم أساسيات الانحدار & # 8221 للانحدارات حدودي.)

لنعد الآن & # 8217s إلى المعادلة (6) و (7).

في هذه المعادلات ، صيغة غير معروفة ، ولكن يمكننا أن نتوقع أن يتم تقديرها أيضًا بواسطة Gaussian kernel ، ومن ثم يمكننا الحصول على مضاعفات Lagrange المثلى وفقًا لهذه الافتراضات.
كما رأيت أعلاه ، عندما تكون أصغر في Gaussian kernel ، ستهيمن أيضًا البيانات المرصودة القريبة على المستوى الفائق بشكل متزايد مقارنة بالبيانات البعيدة.

ملاحظة: بشكل عام ، تسمى وظيفة الانحدار التي تشكل مزيجًا خطيًا من النواة بواسطة مجموعة التدريب والقيم المستهدفة سلاسة خطية.
هنا حصلنا على هذا النموذج من خلال التفكير الحدسي ، ولكن يمكنك الحصول على نتيجة الانحدار المكافئة من خلال الاستدلال البايزي (الحساب الجبري) لوظيفة الأساس الخطي.


ما تجده في هذا zyBook:

المزيد من العمل بنص أقل.

  • تركيز قوي على عمليات المصفوفة
  • أكثر من 700 نشاط للمشاركة والتحدي: أسئلة ، رسوم متحركة ، أدوات
  • نظام الواجبات المنزلية MATLAB® المدمج بالكامل
  • مثالية للتعلم المستقل الذاتي ، وكذلك للفصل الدراسي التقليدي
  • مع بنوك الاختبار

zyBooks هو الشريك الأول الذي يقدم MATLAB® في السحابة ومتكامل في كتاب مدرسي. MATLAB® وشعار الغشاء على شكل حرف L هما علامتان تجاريتان مسجلتان لشركة MathWorks، Inc.

المدربون: هل أنت مهتم بتقييم هذا zyBook لفصلك؟ قم بالتسجيل للحصول على نسخة تجريبية مجانية وتحقق من الفصل الأول من أي zyBook اليوم!


مقدمة 9
الفصل 1. المتغير المركب ووظائف متغير معقد 11

1.1 الأعداد المركبة والعمليات على الأعداد المركبة 11
أ. مفهوم العدد المركب 11
ب. العمليات على الأعداد المركبة 11
ج. التفسير الهندسي للأعداد المركبة 13
د. استخراج جذر العدد المركب 15

1.2 نهاية تسلسل الأعداد المركبة 17
أ. تعريف التسلسل المتقارب 17
ب. اختبار كوشي 19
ج. أشر إلى ما لا نهاية 19

1.3 مفهوم وظيفة المتغير المعقد. الاستمرارية 20
أ. التعريفات الأساسية 20
ب. الاستمرارية 23
ج. أمثلة 26

1.4 التفريق بين وظيفة المتغير المركب 30
أ. تعريف. شروط كوشي ريمان 30
ب. 33- خواص الوظائف التحليلية
ج. المعنى الهندسي لمشتقة دالة لمتغير معقد 35
د. أمثلة 37

1.5 تكامل مع احترام المتغير المعقد 38
أ. الخصائص الأساسية 38
ب. نظرية كوشي 41
ج. 44- المهر
1.6 47- مسعود
أ. اشتقاق صيغة كوشي 47
ب. النتائج الطبيعية لصيغة كوشي 50
ج. 51- مبدأ المعامل الأقصى للدالة التحليلية

1.7 53- التكاملات التي تعتمد على المعامل
أ. 53 ـ الاعتماد التحليلي على المعامل
ب. 55- دالة تحليلية ووجود مشتقات لكل الطلبات
الفصل 2. سلسلة الوظائف التحليلية 58

2.1. سلسلة وظائف متقاربة بشكل موحد لمتغير معقد 58
أ. سلسلة الأرقام 58
ب. سلسلة وظيفية. التقارب المنتظم 59
ج. خصائص متسلسلة متقاربة بشكل موحد. 62- نظريات فيرستراس
د. 66- التكاملات غير الصحيحة التي تعتمد على المعامل

2.2. سلسلة الطاقة. سلسلة تايلور 67
أ. نظرية هابيل 67
ب. سلسلة تايلور 72
ج. أمثلة 74
2.3 تفرد تعريف الوظيفة التحليلية 76
أ. أصفار دالة تحليلية 76
ب. 77- نظرية التفرد

الفصل 3. المتابعة التحليلية. وظائف أولية لمتغير معقد 80

3.1. الدوال الأولية لمتغير معقد. استمرار
من المحور الحقيقي 80
أ. استمرار من المحور الحقيقي 80
ب. 84ـ الإعتداء
ج. خواص الوظائف الابتدائية 87
د. 91- مهربة
3.2 الاستمرار التحليلي. سطح ريمان 95
أ. المبادئ الأساسية. مفهوم سطح ريمان 95
ب. استمرار التحليل عبر الحدود 98
ج. أمثلة في بناء استمرارية تحليلية. استمرار عبر الحد 100
د. أمثلة في بناء استمرارية تحليلية. الاستمرارية عن طريق سلسلة الطاقة 105
ه. النقاط المنتظمة والمفردة للدالة التحليلية 108
F. 111- مفهوم الوظيفة التحليلية الكاملة
الفصل 4. سلسلة لوران والنقاط الفردية المعزولة 113

4.1 سلسلة Laurent 113
أ. مجال تقارب سلسلة لوران 113
ب. توسيع دالة تحليلية في سلسلة لوران 115

4.2 تصنيف النقاط المفردة المعزولة لوظيفة التحليل أحادية القيمة 118
الفصل الخامس: المقيمون وتطبيقاتهم 125

5.1 بقايا وظيفة تحليلية في وحدة مفردة منعزلة 125
أ. تعريف المخلفات. 125
ب. نظرية المخلفات 127

5.2 تقويم التكاملات المحددة بواسطة! leans of Residues 130
أ. تكاملات النموذج $ int ^ <2 pi> _ <0> R ( cos theta sin theta) d theta $ 131
ب. تكاملات النموذج $ int ^ < infty> _ < infty> f (x) dx $ 132
ج. تكاملات النموذج $ int ^ < infty> _ < infty> exp (iax) f (x) dx $. 135ـ عذاب القحطاني
د. 141

5.3 147- مسعود
أ. مفهوم المخلفات اللوغاريتمية 147
ب. 149- حساب عدد أصفار دالة تحليلية

الفصل السادس: الخرائط غير الرسمية 153

6.1 الخصائص العامة 153
أ. 153ـ
ب. 157- عائدون
ج. 160
د. نظرية ريمان 166

6.2 دالة كسور خطية 169

6.3 179- منازع

6.4. شوارتز كريستوفيل لا يتجزأ. تحويل المضلعات 181

الفصل السابع - الوظائف التحليلية في حل مشاكل القيمة الحدودية 191

7- العموميات 191
أ. علاقة الدوال التحليلية بالتناسق 191
ب. 192- المحافظة على عامل لابلاس
ج. مشكلة ديريتشليت 194
د. 197- بناء وظيفة المصدر

7.2 تطبيقات على مشاكل في الميكانيكا والفيزياء 199
أ. تدفق الحالة المستقرة ثنائي الأبعاد لسائل 199
ب. مجال إلكتروستاتيكي ثنائي الأبعاد 211

الفصل 8. أساسيات حساب العمليات 221

8.1 الخصائص الأساسية لتحول لابلاس 221
أ. التعريف 221
ب. تحويلات الوظائف الأولية 225
ج. خصائص التحويل 227
د. جدول خصائص المحولات 236
ه. 236
8.2 تحديد الوظيفة الأصلية من التحويل 238
أ. صيغة ميلين 238
ح. 241ـ شروط وجود الوظيفة الأصلية
ج. حوسبة تكامل ميلين 245
د. حالة الدالة العادية عند اللانهاية 249
8.3 حل مسائل المعادلات التفاضلية الخطية بالطريقة التشغيلية 252
أ. المعادلات التفاضلية العادية 252
ب. معادلة التوصيل الحراري 257
ج. مسألة القيمة الحدية لمعادلة تفاضلية جزئية 259
الملحق الأول. طريقة النقطة المنحدرة 261
أولا 1. ملاحظات تمهيدية 261

أنا 2. طريقة لابلاس 264
I.3. طريقة سادل بوينت 271
الملحق الثاني. طريقة WIENER-HOPF 280

II.1. ملاحظات تمهيدية 280
11.2. الخصائص التحليلية لتحول فورييه 284
11.3. المعادلات التكاملية ذات نواة الفروق 287
II.4. المخطط العام لطريقة Wiener-Hopf 292
II.5. المسائل التي تختزل إلى تكامل المعادلات مع اختلاف
نواة 297
أ. اشتقاق معادلة ميلن 297
ب. التحقيق في حل معادلة ميلن 301
ج. حيود على شاشة مسطحة 305
II.6. حل مسائل القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية الجزئية بطريقة وينر هوبف 306

الملحق الثالث. وظائف للعديد من المتغيرات المعقدة 310

III.1. التعريفات الأساسية 310
III.2. مفهوم الوظيفة التحليلية للعديد من المتغيرات المعقدة 311
ثالثا -3. صيغة كوشي 312
III.4. باور سيريز 314
ثالثا -5. سلسلة تايلور 316
ثالثا -6. الاستمرارية التحليلية 317

الملحق الرابع. طريقة واتسون 320
المراجع 328
فهرس الاسم 329
فهرس الموضوع 330


3.1: مقدمة في وظائف المتغيرات المتعددة - الرياضيات

المصفوفة تمثل مجموعة من الأرقام مرتبة في ترتيب الصفوف والأعمدة. من الضروري إرفاق عناصر المصفوفة بين قوسين أو أقواس.
يتم عرض مصفوفة من 9 عناصر أدناه.


هذه المصفوفة [M] بها 3 صفوف و 3 أعمدة. يمكن الإشارة إلى كل عنصر من عناصر المصفوفة [M] من خلال رقم الصف والعمود. على سبيل المثال ، أ23=6

ترتيب المصفوفة:
يتم تحديد ترتيب المصفوفة من حيث عدد الصفوف والأعمدة.
ترتيب المصفوفة = عدد الصفوف × لا. من الأعمدة
لذلك فإن المصفوفة [M] هي مصفوفة مرتبة 3 × 3.

تبديل المصفوفة:
إن منقول [M] T لمصفوفة m x n [M] هو مصفوفة n x m التي تم الحصول عليها عن طريق تبديل صفوف وأعمدة [M].
إذا كان A = [aاي جاي] mxn ، ثم A T = [bاي جاي] nxm حيث باي جاي = أجي

خصائص تبديل المصفوفة:

المصفوفة المفردة وغير الوحيدة:

  1. المصفوفة المفردة: يُقال إن المصفوفة المربعة هي مصفوفة مفردة إذا كان محددها صفرًا ، أي | A | = 0
  2. المصفوفة غير الوحيدة: يُقال أن المصفوفة المربعة هي مصفوفة غير مفردة إذا كان محددها غير صفري.

خصائص الجمع والضرب المصفوفة:

  1. أ + ب = ب + أ (تبادلي)
  2. (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (ترابطي)
  3. AB؟ بكالوريوس (غير تبادلي)
  4. (AB) C = A (BC) (ترابطي)
  5. A (B + C) = AB + AC (توزيعي)

مصفوفة مربعة: تحتوي المصفوفة المربعة على عدد من الصفوف يساوي عدد الأعمدة. أي عدد الصفوف = لا أعمدة.
مصفوفة متماثلة: يُقال أن المصفوفة المربعة متماثلة إذا كان مدور المصفوفة الأصلية مساويًا لمصفوفتها الأصلية. أي (A T) = A.
انحراف متماثل: المصفوفة المنحرفة المتماثلة (أو غير المتماثلة أو المضادة للقياس [1]) هي مصفوفة مربعة يكون تحويلها يساوي سالبها. (A T) = -A.

مصفوفة قطرية:المصفوفة القطرية هي مصفوفة تكون فيها جميع المدخلات خارج القطر الرئيسي صفرًا. يشير المصطلح عادة إلى المصفوفات المربعة.
مصفوفة الهوية:مصفوفة مربعة تكون فيها جميع عناصر القطر الرئيسي آحادًا وجميع العناصر الأخرى أصفار ، ويشار إلى مصفوفة الهوية بالرمز I.
مصفوفة متعامدة: يُقال أن المصفوفة متعامدة إذا كانت AA T = A T A = I
مصفوفة العاطلين: يُقال أن المصفوفة تكون خاملة إذا كانت A 2 = A
المصفوفة اللاإرادية: يُقال أن المصفوفة لا إرادية إذا كانت A 2 = I.

ملاحظة: يمكن التعبير عن كل مصفوفة مربعة بشكل فريد كمجموع مصفوفة متماثلة ومصفوفة منحرفة متماثلة. أ = 1/2 (AT + A) + 1/2 (A & # 8211 AT).

ربط مصفوفة مربعة: المصفوفة المجاورة للمصفوفة A هي تبديل مصفوفة العامل المساعد A



خصائص Adjoint:

  1. أ (Adj A) = (Adj A) A = | A | أنان
  2. Adj (AB) = (Adj B). (Adj A)
  3. | Adj A | = | A | ن -1
  4. Adj (kA) = k n-1 Adj (A)
  5. | صفة (صفة (أ)) | = | أ | ^ (ن -1) ^ 2
  6. صفة (صفة (أ)) = | أ | ^ (ن -2) * أ
  7. إذا كان A = [L ، M ، N] ثم المجاور (A) = [MN ، LN ، LM]
  8. صفة (أنا) = أنا

حيث ، & # 8220n = عدد الصفوف = عدد الأعمدة & # 8221

معكوس مصفوفة مربعة:


هنا | أ | لا ينبغي أن تكون مساوية للصفر ، يعني أن المصفوفة A يجب أن تكون غير مفردة.

خصائص معكوس:

1. (أ -1) -1 = أ
2. (AB) -1 = B -1 A -1
3. فقط المصفوفة غير المربعة يمكن أن يكون لها معكوس.

أين يجب أن نستخدم معكوس المصفوفة؟

إذا كانت لديك مجموعة من المعادلات الآنية:

7 س + 2 ص + ع = 21
3 ص - ض = 5
-3 س + 4 ص - 2 س = -1

كما نعلم عندما يكون AX = B ، ثم X = A -1 B لذلك نحسب معكوس A وبضربه B ، يمكننا الحصول على قيم x و y و z.

تتبع مصفوفة: تتبع المصفوفة يرمز له بـ tr (A) والذي يستخدم فقط للمصفوفة المربعة ويساوي مجموع العناصر القطرية للمصفوفة. تذكر أن تتبع المصفوفة يساوي أيضًا مجموع قيمة eigen للمصفوفة. على سبيل المثال:


هذه المقالة ساهمت بها نيتيكا بانسال. إذا كنت تحب GeeksforGeeks وترغب في المساهمة ، فيمكنك أيضًا كتابة مقال باستخدام write.geeksforgeeks.org أو إرسال مقالتك بالبريد إلى [email protected] شاهد مقالتك تظهر على صفحة GeeksforGeeks الرئيسية وساعد المهوسين الآخرين.

يرجى كتابة التعليقات إذا وجدت أي شيء غير صحيح ، أو إذا كنت ترغب في مشاركة المزيد من المعلومات حول الموضوع الذي تمت مناقشته أعلاه.

القارئ الانتباه! لا تتوقف عن التعلم الآن. تعلم كل شيء مفاهيم GATE CS مع فصول دراسية مباشرة مجانية على قناة يوتيوب لدينا.


3.1: مقدمة في وظائف المتغيرات المتعددة - الرياضيات

حساب التفاضل والتكامل هو دراسة الوظائف.

تتشابه وظائف ثلاثة متغيرات في العديد من الجوانب مع وظائف متغيرين. ومع ذلك ، فإن أحد الاختلافات الأساسية هو أن الرسوم البيانية للوظائف لأكثر من متغيرين لا يمكن تصورها مباشرة ، نظرًا لأن أبعادها أكبر من ثلاثة. ومع ذلك ، لا يزال بإمكاننا استخدام منحنيات الشرائح وأسطح الشرائح والملامح ومجموعات المستويات لفحص هذه الوظائف ذات الأبعاد الأعلى.

أبسط الوظائف هي الدوال الثابتة والوظائف الخطية.


عندما نصف المستوى الفائق على أنه الرسم البياني للدالة الخطية f (x ، y ، z) = px + qy + rz + k ، فإننا نعطي دورًا خاصًا للأصل. غالبًا ما يكون من الأنسب النظر في الطائرات من خلال نقطة معينة (x0، ذ0، ض0، دبليو0) في الفضاء ، ويمكننا وصف مثل هذا المستوى باستخدام x-slope p و y-slope q و z-slope r بالشرط w-w0 = ص (س - س0) + ف (ص ص0) + r (z-z0). باختيار قيم مختلفة للمنحدرات p و q و r ، نحصل على جميع المستويات غير الرأسية من خلال (x0، ذ0، ض0، دبليو0).

أبسط وظيفة على الإطلاق هي صفر وظيفة، من تحديد و (س ، ص ، ض) = 0 للجميع س ، ص ، ض. يمكن تعريف هذه الوظيفة لأي مجال ، وسيظل النطاق دائمًا هو النقطة الفردية .

أبسط فئة من الوظائف التالية هي وظائف ثابتة المعرفة من قبل و (س ، ص ، ض) = ك للجميع س ، ص ، ض. يمكن تحديد دالة ثابتة لأي مجال ، وسيظل النطاق دائمًا هو النقطة المفردة .

الدوال الخطية هي الفئة التالية الأكثر بساطة من الوظائف ، ويتم تحديدها بواسطة L (x، y، z) = px + qy + rz + k للثوابت ص ، ف ، ص، و ك. الارقام ص ، ف و ص تسمى x-ميل، ال ذ-ميل، و ال ض-ميل للدالة الخطية و ك يسمى به ث-تقاطع. المجال الطبيعي للدالة الخطية إل هو كل ثلاثة أضعاف (س ، ص ، ض) من الأعداد الحقيقية. إذا ص & # 8800 0 أو ف & # 8800 0 أو ص & # 8800 0، ثم النطاق إل هي كل الأرقام الحقيقية.

حساب التفاضل والتكامل ثلاثي المتغيرات يأخذ في الاعتبار وظائف ثلاثة متغيرات حقيقية.

ال نطاق للدالة المكونة من ثلاثة متغيرات هي مجموعة فرعية من الإحداثيات ثلاثية الفراغات <(س ، ص ، ض) | س ، ص ، ض & # 8712 >.

ال نطاق لدالة ذات قيمة حقيقية F هو جمع كل الأرقام الحقيقية و (س ، ص ، ض) أين (س ، ص ، ض) يقع في مجال F.

أبسط مثال على الدالة هو وظيفة ثابتة التي تحدد الرقم الحقيقي ك للجميع (س ، ص ، ض) في المجال. نطاق هذه الوظيفة هو المجموعة تحتوي على نقطة واحدة. أبسط مثال تالي هو خطي الوظيفة التي تحددها الصيغة و (س ، ص ، ض) = بكسل + qy + rz + k أين ص ، ف، و ص هي منحدرات جزئية للدالة الخطية و ك يدل على ث-تقاطع.. نطاق هذه الوظيفة هو جميع الأعداد الحقيقية إذا ص, ف، و ص ليست كلها صفرا ، بل القيمة فقط إذا ع = 0, ف = 0، و ص = 0.

كما ذكرنا من قبل ، فإن الرسم البياني لوظيفة من 3 متغيرات هو طائرة مفرطة ثلاثية الأبعاد تقع في 4 فضاء. لذلك لا يمكن تصور الرسم البياني مباشرة المجال نفسه هو بالفعل ثلاثي الأبعاد.


لكل نقطة (x0، ذ0، ض0) في مجال الدالة f ، تقاطع التمثيل البياني لـ f مع المستوى العمودي x = x0، ص = ص0 سيكون (x0، ذ0) -منحنى شريحة (x0، ذ0، z ، f (x0، ذ0، ض)). مجال x0-منحنى شريحة هو مجموعة z التي (x0، ذ0، z) في مجال f.

وبالمثل نحدد (y0، ض0) -منحنى شريحة ليكون (x، y0، ض0، و (س ، ذ0، ض0)) لكل x مثل (x، y0، ض0) في مجال f ، ونقوم بتعريف (x0، ض0) -منحنى شريحة ليكون (x0، ذ ، ض0، و (x0، ذ ، ض0)) لكل ص مثل (س ، ص0، ض0) في مجال f.


لكل نقطة (x0، ذ0، ض0) في مجال الوظيفة f ، تقاطع الرسم البياني لـ f مع المستوي الفائق العمودي z = z0، سيكون z0-سطح شريحة (x، y، z0، f (x ، y ، z0)). The domain of the z0-slice surface is the set of (x, y) for which (x,y,z0) is in the domain of f.

Similarly we define the y0-slice surface to be (x,y0,z,f(x,y0,z)) for all (x, z) such that (x,y0,z) is in the domain of f, and we define the x0-slice surface to be (x0,y,z,f(x0,y,z)) for all (y, z) such that (x0,y,z) is in the domain of f.



The collection of all points (x,y,z) in the domain of a function F for which f (x,y,z) = k is called the level set of f at level k.

The set of points (x,y,z,f(x,y,z)) in the graph of f in four-dimensional space for which f(x,y,z) = k is called the contour of f at height k.

A curve (x(t),y(t),z(t)) in the domain of F مثل ذلك f(x(t),y(t),z(t)) = k يسمى أ level curve of f at level k. A surface (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) مثل ذلك f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) = k يسمى أ level surface of f at level k.


We can also construct a color graph of the function F by assigning to each point (x,y,z) in the domain a color that corresponds to the value f(x,y,z).


One of the most important properties of functions of two real variables is continuity . The basic intuition for continuity is that the range of a function f(x,y,z) will lie in an arbitrarily small interval centered at f(x0,y0,z0) if (x,y,z) is restricted to lie in a sufficiently small ball centered at (x0,y0,z0). Geometrically, this means that the graph of f(x,y,z) will lie between a pair of parallel hyperplanes z = f(x0,y0,z0) + ε and z = f(x0,y0,z0) – ε if (x,y,z) is required to lie in the ball of radius δ centered at f(x0,y0,z0) i.e. √((x – x0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 ) < δ.

According to the epsilon-delta definition, a function F of three real variables is said to be continuous في (x0,y0,z0) if for any ε > 0 there exists a δ مثل ذلك | f(x,y,z) - f(x0,y0,z0) | < ε whenever | (x,y,z) - (x0,y0,z0) | < δ.

A function f of three real variables is said to be continuous if it is continuous at all points (x0,y0,z0) in its domain.


3.1: Introduction to Functions of Multiple Variables - Mathematics

Propositional logic and first-order logic, with an emphasis on the relationship between the semantic and syntactic approaches these ideas are summarized in Godel's Completeness Theorems. Hilbert's Program and the work of Godel [Incompleteness Theorems], Church, Turing, and Tarski on undecidability and indefinability.

We will cover in considerable detail 1.1-1.6, 2.1-2.2 and 3.1-3.4 from Hodel's book. We will cover in considerable detail nearly all of Chapters 2 and 3 from Mendelson's book. All of this material will be supplemented with my own notes

We will introduce some concepts from computer science to clarify some of the material in the beginning as well as to allow some calculations to be done by the computer.

وضع العلامات

There will be weekly assignments which will be graded this will count for 50% of your grade. There will be two in class tests on the terminology these will each count 10% of your grade. There will be a final assignment which will count the remaining 20% of your grade.

Here are the definitions from which the first test will be taken: PDF

This supplants what was in the course synopsis (although it really isn't that different, is it?) I may change this slightly later on.

It may be possible to do some sort of project on a topic related to logic which interests you. We'll see.

Students with excused absences will be given a make-up exam. No quizzes or homework will be made up for credit, but it's important to make it up for your own benefit. Late homework will not be accepted.


شاهد الفيديو: الدوال متعددة المتغيرات الدرس الاول (شهر اكتوبر 2021).