مقالات

2.4: حدود لانهائية


حدود لانهائية

يساعدنا تقييم حد دالة عند نقطة ما أو تقييم حد دالة من اليمين واليسار عند نقطة ما على توصيف سلوك دالة حول قيمة معينة. كما سنرى ، يمكننا أيضًا وصف سلوك الوظائف التي ليس لها حدود محدودة.

نوجه انتباهنا الآن إلى (h (x) = 1 / (x − 2) ^ 2 ) ، الوظيفة الثالثة والأخيرة المقدمة في بداية هذا القسم (انظر الشكل (ج)). من الرسم البياني ، نرى أنه مع اقتراب قيم x من 2 ، تصبح قيم (h (x) = 1 / (x − 2) ^ 2 ) أكبر وأكبر ، وفي الواقع ، تصبح غير محدودة. رياضياً ، نقول إن حد (h (x) ) عندما تقترب x من 2 هو ما لا نهاية موجب. من الناحية الرمزية ، نعبر عن هذه الفكرة كـ

[ lim_ {x to 2} h (x) = + ∞. ]

بشكل عام ، نحن نحدد حدود لانهائية كما يلي:

التعاريف: حدود لانهائية

نحدد ثلاثة أنواع من حدود لانهائية.

حدود لا نهائية من اليسار: لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فاصل مفتوح من النموذج ((b، a) ).

أنا. إذا كانت قيم (f (x) ) تزداد بلا حدود حيث تقترب قيم x (حيث (x

ثانيا. إذا كانت قيم (f (x) ) تنخفض بلا حدود حيث تقترب قيم x (حيث (x

حدود لا نهائية من اليمين: لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فاصل زمني مفتوح من النموذج ((a، c) ).

أنا. إذا كانت قيم (f (x) ) تزداد بلا حدود حيث تقترب قيم x (حيث (x> a )) من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد عندما يقترب x من a من اليسار هو ما لا نهاية موجب ونكتب [ lim_ {x إلى a +} f (x) = + ∞. ]

ثانيا. إذا كانت قيم (f (x) ) تتناقص بلا حدود حيث تقترب قيم x (حيث (x> a )) من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد عندما يقترب x من a من اليسار هو ما لا نهاية سالب ونكتب [ lim_ {x إلى a +} f (x) = - ∞. ]

حد لانهائي على الوجهين: دع (f (x) ) يتم تعريفه لجميع (x ≠ a ) في فاصل مفتوح يحتوي على (a )

أنا. إذا كانت قيم (f (x) ) تزداد بلا حدود لأن قيم x (حيث (x x a )) تقترب من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد عندما يقترب x من a هو اللانهاية الموجبة ونكتب [ lim_ {x إلى a} f (x) = + ∞. ]

ثانيا. إذا كانت قيم (f (x) ) تتناقص بلا حدود لأن قيم x (حيث (x x a )) تقترب من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد عندما يقترب x من a هو اللانهاية السالبة ونكتب [ lim_ {x إلى a} f (x) = - ∞. ]

من المهم أن نفهم أنه عندما نكتب عبارات مثل ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) أو ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = −∞ ) نحن نصف سلوك الوظيفة كما حددناها للتو. نحن لا نؤكد وجود حد. لكي تتواجد حد الدالة f (x) عند a ، يجب أن تقترب من العدد الحقيقي L عندما تقترب x من a. ومع ذلك ، إذا كان ، على سبيل المثال ، ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) ، نكتب دائمًا ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) بدلاً من ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) ) DNE.

مثال ( PageIndex {5} ): التعرف على حد لانهائي

قم بتقييم كل من الحدود التالية ، إن أمكن. استخدم جدول القيم الوظيفية والرسم البياني (f (x) = 1 / x ) لتأكيد استنتاجك.

  1. ( displaystyle lim_ {x to 0−} frac {1} {x} )
  2. ( displaystyle lim_ {x to 0+} frac {1} {x} )
  3. ( displaystyle lim_ {x to 0} frac {1} {x} )

حل

ابدأ ببناء جدول للقيم الوظيفية.

(س ) ( فارك {1} {س} ) (س ) ( فارك {1} {س} )
-0.1-100.110
-0.01-1000.01100
-0.001-10000.0011000
-0.0001-10,0000.000110,000
-0.00001-100,0000.00001100,000
-0.000001-1,000,0000.0000011,000,000

أ. تنقص قيم (1 / x ) بلا حدود حيث تقترب (x ) من 0 من اليسار. نستنتج أن

[ lim_ {x to 0 -} frac {1} {x} = - ∞. nonumber ]

ب. تزداد قيم (1 / x ) بلا حدود لأن (x ) يقترب من 0 من اليمين. نستنتج أن

[ lim_ {x to 0 +} frac {1} {x} = + ∞. لا يوجد رقم]

ج. بما أن ( displaystyle lim_ {x to 0 -} frac {1} {x} = - ∞ ) و ( displaystyle lim_ {x to 0 +} frac {1} {x} = + ∞ ) لها قيم مختلفة ، نستنتج ذلك

[ lim_ {x to 0} frac {1} {x} DNE. لا يوجد رقم]

يؤكد الرسم البياني (f (x) = 1 / x ) في الشكل ( PageIndex {8} ) هذه الاستنتاجات.

الشكل ( PageIndex {8} ): يؤكد الرسم البياني (f (x) = 1 / x ) أن النهاية عندما تقترب x من 0 غير موجودة.

تمرين ( PageIndex {5} )

قم بتقييم كل من الحدود التالية ، إن أمكن. استخدم جدول القيم الوظيفية والرسم البياني (f (x) = 1 / x ^ 2 ) لتأكيد استنتاجك.

  1. ( displaystyle lim_ {x to 0 -} frac {1} {x ^ 2} )
  2. ( displaystyle lim_ {x to 0 +} frac {1} {x ^ 2} )
  3. ( displaystyle lim_ {x to 0} frac {1} {x ^ 2} )

النشاط 2.4 حدود الرابط الثابت اللانهاية

كثيرًا ما نهتم بـ "السلوك النهائي" لوظيفة ما. بمعنى ، ما هو سلوك الوظيفة حيث يزيد متغير الإدخال بدون حدود أو ينقص بلا حدود.

في كثير من الأحيان ، ستقترب الوظيفة من خط مقارب أفقي كسلوك نهائي لها. بافتراض أن الخط المقارب الأفقي (y = L ) يمثل السلوك النهائي للوظيفة (f ) على حد سواء كما يزيد (x ) بدون حدود وكما يتناقص (x ) إلى السلبية بدون حدود ، نكتب ( ليم حدود_ fe= L ) و ( ليم حدود_ fe= L نص <.> )

الطريقة الشكلية للقراءة ( ليم حدود_ fe= L ) هو "حد ( fe) عندما يقترب (x ) من اللانهاية يساوي (L text <.> ) "عند القراءة بهذه الطريقة ، يجب أخذ الكلمات أي شيء إلا حرفيا. في المقام الأول ، (س ) لا يقترب من أي شيء! النقطة الأساسية هي أن (x ) يتزايد دون أي قيود على حجم قيمته. ثانيًا ، لا يوجد مكان على خط الأعداد الحقيقي يسمى "اللانهاية" اللانهاية ليست رقمًا. ومن ثم ، بالتأكيد لا يمكن الاقتراب من شيء ليس موجودًا!


الحدود اللانهائية للخطوط المقاربة العمودية - المفهوم

كانت نورم في المركز الرابع في بطولة الولايات المتحدة الأمريكية لرفع الأثقال لعام 2004! لا يزال يتدرب ويتنافس من حين لآخر ، على الرغم من جدول أعماله المزدحم.

عندما ينخفض ​​حد حساب التفاضل والتكامل أو يزيد دون تقييد بالقرب من قيم معينة للمتغيرات المستقلة ، فإننا نسميها حدود لانهائية. بشكل عام ، سيكون للدالة الكسرية حد لانهائي إذا كانت نهاية المقام صفرًا ولم تكن نهاية البسط صفراً. يمكن أن يكون الحد اللانهائي موجبًا أو سالبًا ويتحدد بعلامة خارج قسمة البسط والمقام.

دعونا نلقي نظرة أخرى على حدود جانب واحد ، ضع في اعتبارك الوظيفة g في x = 10x على x-2. وأريد أن أنظر تحديدًا إلى النهاية عندما يقترب x من 2 من يسار الدالة g في المتغير x. أنت تعلم الآن أن شيئًا مثيرًا للاهتمام سيحدث لأنه إذا كانت x = 2 فهذا الشيء غير محدد. لذلك نحن ذاهبون إلى التسلل نوعًا ما من اليسار.
لنبدأ بالرقم 1 ، لذا لدينا g لـ x يساوي 10x1 أو 10 على 1-2 ، -1 التي & # 39s ستكون -10. الآن دع & # 39s نقترب قليلاً من 2 ، 1.9 10x1.9 هي 19. 1.9-2 هي -0.1 سيكون هذا ، & # 39 s مثل 19x-10 -190.
واسمحوا لي فقط بتسريع هذا باقي القيم 1.99 ، 1.999 سأحصل عليها -1990 ، -19990. ما الذي يحدث لقيم g لـ x عندما تقترب x أكثر فأكثر من 2. يبدو أنها تتناقص بسرعة أكبر ، ونقول إنها تتجه نحو اللانهاية السالبة. إذن يمكننا القول إن هذه النهاية هي سالب ما لا نهاية. النهاية عندما تقترب x من 2 من يسار الدالة g في المتغير x تساوي سالب ما لا نهاية. تتناقص القيم بلا حدود.
الآن دعونا نرى ما يحدث عندما تقترب x من اثنين من اليمين. لذا اختر رقمًا على يمين 2 مثل 3 ، 10x3 هو 30 على 3-2 1 يساوي 30. دعنا & # 39s نحاول أقرب قليلاً إلى 2 2.1 ، 10x2.1 هو 21 على 2.1-2 من 0.1 الذي & # 39 s الذهاب أن تكون 210 ثم فقط لملء باقي القيم تقترب أكثر فأكثر من 2 لدينا 2.01 ، 2.001 ونحصل على 2010 ، 20010. يمكنك أن ترى أنه كلما اقتربت هذه القيم من 2 ، تحصل قيم y أقرب وأقرب أو يزدادون بدون قيود يقتربون من اللانهاية.
لذلك نقول إن هذه النهاية هي ما لا نهاية ، الآن & # 39 شاهدت دوال مثل هذه قبل أن تكون g في x يساوي 10x على x-2. عندما تقترب x من 2 من اليسار ، تنتقل الدالة إلى سالب ما لا نهاية. وعندما تقترب x من 2 من اليمين ، فإنها تنتقل إلى اللانهاية الموجبة. تشير هذه الحدود إلى وجود خط مقارب عمودي.
وهذا يقودنا إلى هذا التعريف ، الخط المستقيم العمودي x = a هو خط عمودي مقارب لمنحنى دالة y = f لـ x إذا كان أحد هذه الأشياء الأربعة صحيحًا. إما أن تكون النهاية عندما يقترب x من a من يسار الدالة f في المتغير x هي زائد ما لا نهاية أو أنها & # 39s ناقص ما لا نهاية. أو النهاية عندما يقترب x من a من اليمين تساوي زائد ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية. أي واحد من هذه الأشياء الأربعة صحيح x = a كخط مقارب عمودي ، في هذه الحالة لدينا اثنان من هذه الأشياء صحيح ، النهاية x تقترب من 2 من اليسار هي سالب ما لا نهاية. النهاية عندما تقترب x من 2 من اليمين هي ما لا نهاية موجب.


2.4: حدود لانهائية

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

حدد متى تكون النهاية لانهائية.

الحدود اللانهائية لها علاقة مباشرة بالخطوط المقاربة العمودية.

في الأمثلة القليلة التالية ، سوف نبحث في الحدود اللانهائية للوظائف المنطقية. تحدث هذه عادةً عند النقاط التي يقترب فيها مقام الدالة المنطقية من الصفر ، لكن البسط لا يقترب من الصفر ، مما يؤدي إلى غير معرف شكل الكسر

يعوض عن التعبير الذي هو غير معرّف. عندما يتجه المقام إلى الصفر ، يصبح أصغر وأصغر ، وبالتالي سينقسم إلى البسط مرات أكثر. يؤدي هذا إلى "تفجير" الكسر. من حيث الحد ، فمن المعقول أن نتوقع إجابة من أي منهما أو. لتحديد أيهما ، نقوم بعمل تحليل التوقيع كما يلي. نظرًا لأن قيم موجبة مثل ، فإن قيم موجبة أيضًا.

ومن ثم ، يمكننا أن نستنتج ذلك

تكمن الأهمية الهندسية لهذه النتيجة في أن الخط (المحور-) هو خط مقارب رأسي للرسم البياني للوظيفة ، كما هو موضح أدناه.

قيمة الحد هي (اكتب infinity لـ or-infinity لـ)

نلاحظ أولاً أن التعويض بالقيمة يعطي ما هو غير معرف وأن الكسر "ينفجر" في النهاية. سيخبرنا تحليل الإشارة ما إذا كان الحد هو. منذ ذلك الحين ، لدينا وبالتالي. بما أن البسط موجب والمقام يقترب من القيم السالبة ، فإن القيم الموجودة في هذا النهاية سالبة. نستنتج أن

هذه الأهمية الهندسية للنتيجة هي أن الخط هو خط مقارب رأسي للرسم البياني للدالة ، كما هو موضح أدناه.

قيمة الحد هي (اكتب infinity لـ or-infinity لـ)

بالتعويض في الدالة الكسرية يعطي التعبير غير المعرف. من هذه المعلومات ، يمكننا أن نستنتج أن الحدود أحادية الجانب كمقاربات 2 ستعطي إما أو ، أي ، ولتحديد أي منها ، سنقوم بتحليل إشارة على كل حد من جانب واحد. ضع في اعتبارك الحد الأيسر أولاً: يقترب البسط من 3 ، وهو أمر موجب. المقام يقترب من الصفر وهو ليس موجبًا ولا سالبًا ، ولكن منذ ذلك الحين ، نعرف ذلك وبالتالي. ومن ثم فإن المقام سالب في هذه النهاية. بما أن موجب مقسومًا على سالب هو سالب ، نحصل على

الآن ، سنقوم بتحليل إشارة على الحد الأيمن: يقترب البسط من 3 ، وهو أمر إيجابي. في المقام ، لأننا نعرف ذلك ، وبالتالي. ومن ثم فإن المقام موجب في هذه النهاية. بما أن حاصل قسمة الموجب على موجب هو أمر إيجابي ، نحصل على:

كانت الحدود أحادية الجانب مختلفة ، لذا لا يوجد حد ذو وجهين: الرسم البياني لـ له خط مقارب رأسي عند ، كما هو موضح أدناه.

تحليل حد الوجهين:

يعطينا التعويض بالدالة الكسرية المقدار غير المعرف. من هذه المعلومات ، يمكننا أن نستنتج أن الحدود أحادية الجانب ستعطي إما أو ، أي ، ولتحديد أي منها ، سنقوم بتحليل إشارة على كل من الحدود من جانب واحد. ضع في اعتبارك الحد الأيسر أولاً: يقترب البسط ، وهو سالب. في المقام ، لأننا نعرف ذلك ، وبالتالي. بما أنه سلبي ، فذلك هو. السالب مقسومًا على السالب موجب ، فنحصل على:

الآن ، سنقوم بتحليل علامة على حد اليد اليمنى: لا يزال البسط يقترب. في المقام ، لأننا نعرف ذلك ، وبالتالي. بما أن هذا أمر إيجابي ، فهو كذلك. السالب مقسومة على موجب سالب ، لذلك نحصل على:

كانت الحدود أحادية الجانب مختلفة ، لذا لا يوجد حد ذو وجهين:


اللانهاية (& اللانهاية)

إن NFINITY ، إلى جانب رمزها & infin ، ليست رقمًا وليست مكانًا. عندما نقول في حساب التفاضل والتكامل أن شيئًا ما "غير محدود" ، فإننا نعني ببساطة أنه لا يوجد حد لقيمه.

لنفترض أن f (x) ، على سبيل المثال ، تكون. ثم عندما تصبح قيم x أصغر وأصغر ، تصبح قيم f (x) أكبر وأكبر. بغض النظر عن العدد الكبير الذي نسميه ، سيكون من الممكن تسمية قيمة x بحيث تكون قيمة f (x) أكبر من ذلك الرقم الذي قمنا بتسميته.

ثم نقول إن قيم f (x) تصبح لانهائية ، أو تميل إلى اللانهاية. نقول أنه عندما تقترب x من 0 ، فإن نهاية f (x) هي ما لا نهاية.

الآن الحد هو رقم وحدود مدشا. لذلك عندما نقول إن النهاية هي ما لا نهاية ، فإننا نعني أنه لا يوجد رقم يمكننا تسميته.

يجب أن يكون الطالب مدركًا أن كلمة لانهائية كما تم استخدامها واستخدمت تاريخيًا في حساب التفاضل والتكامل ، ليس لها نفس المعنى كما في نظرية المجموعات اللانهائية. شاهد هذا من ويكيبيديا ، وخاصة آراء كارل فريدريش جاوس في قسم "استقبال الحجة".

D EFINITION 4. يصبح لانهائي. نقول إن المتغير "يصبح لانهائيًا" أو "يميل إلى اللانهاية" إذا كانت القيمة المطلقة لهذا المصطلح وأي مصطلح لاحق نسميه أكبر من أي رقم موجب نسميه ، بدءًا من مصطلح معين في تسلسل قيمه ، مهما كانت كبيرة.

عندما يكون المتغير x ويأخذ قيمًا موجبة فقط ، يصبح x لا نهائيًا بشكل إيجابي. نحن نكتب

إذا كانت x تأخذ قيمًا سالبة فقط ، فإنها تصبح لانهائية سالبة ، وفي هذه الحالة نكتب

في كلتا الحالتين ، نعني: بغض النظر عن العدد الكبير M الذي نسميه ، نصل إلى نقطة في سلسلة من قيم x تصبح قيمها المطلقة أكبر من M.

عندما يكون المتغير دالة f (x) ، ويصبح لانهائيًا بشكل إيجابي أو سلبي عندما يقترب x من القيمة c ، فإننا نكتب

على الرغم من أننا نكتب الرمز "lim" للنهاية ، فإن هذه العبارات الجبرية تعني: لا يوجد حد f (x) عندما تقترب x من c. مرة أخرى ، الحد هو رقم. (التعريف 2.1.)

التعريف 4 هو تعريف "تصبح لانهائية" وليس تعريف للنهاية.

أما بالنسبة للرمز & infin ، فنحن نستخدمه في العبارات الجبرية للدلالة على أن تعريف يصبح لانهائيًا قد تم استيفائه. هذا الرمز في حد ذاته ليس له معنى.

دعونا نرى ما يحدث لقيم y عندما تقترب x من 0 من اليمين:

نظرًا لأن تسلسل قيم x أصبح عددًا صغيرًا جدًا ، فإن تسلسل قيم y ، المقلوب ، يصبح أعدادًا كبيرة جدًا. ستصبح قيم y وتظل أكبر ، على سبيل المثال ، من 10 100000000. ص تصبح لانهائية.

إذا اقتربت x من 0 من اليسار ، فإن القيم تصبح أعدادًا سالبة كبيرة. في هذه الحالة نكتب

عندما تصبح الدالة لا نهائية عندما تقترب x من القيمة c ، فإن الوظيفة تكون غير متصلة عند x = c ، والخط المستقيم x = c هو خط مقارب رأسي للرسم البياني. (موضوع 18 من حساب التفاضل والتكامل.) الرسم البياني لـ y = ، إذن ، غير متصل عند x = 0 ، والخط المستقيم x = c خط مقارب عمودي.

بعد ذلك ، دعونا نفكر في الحالة عندما تصبح x لانهائية ، أي عندما تصبح قيمها أرقامًا موجبة كبيرة في أقصى اليمين من 0.

في هذه الحالة ، يصبح عددًا صغيرًا جدًا ، أي 0. نكتب

يجب أن نقرأ أن "النهاية عندما تصبح x لانهائية" ، وليس عندما تقترب "x من اللانهاية" لأنه مرة أخرى ، اللانهاية ليست رقمًا ولا مكانًا. من ناحية أخرى ، يمكننا أن نقرأ ذلك كيفما نرغب ("الحد مثل س يصاب بالدوار") ، طالما أن أي تعبير نستخدمه يشير إلى حالة التعريف 4.

راجع المبادئ الأولى لعناصر إقليدس ، تعليق على التعاريف. انظر بشكل خاص إلى أن التعريف اسمي فهو يؤكد فقط كيفية استخدام كلمة أو اسم ويجب أن نتفق على ذلك.

أخيرًا ، عندما يصبح x سالبًا لانهائيًا ، أي عندما يفترض قيمًا إلى أقصى يسار 0 (& ناقص & infin) ، ثم مرة أخرى pproaches 0. نكتب

بعبارة أخرى ، عندما تصبح x لا نهائية بشكل إيجابي أو سلبي ، فإن قيم y = تقترب من الخط الأفقي y = 0. يسمى هذا الخط خطًا مقاربًا أفقيًا للرسم البياني.

لرؤية الإجابة ، مرر مؤشر الماوس فوق المنطقة الملونة.
لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق "تحديث" ("إعادة تحميل").
هل المشكلة بنفسك أولا!

في ، tan x غير موجود. (الموضوع 15 والموضوع 18 من علم المثلثات.)

مع اقتراب x من اليسار ، يصبح tan x أكبر من أي رقم قد نسميه. (التعريف 4.)

حدود الوظائف المنطقية

الدالة الكسرية هي حاصل قسمة كثيرات الحدود (موضوع 6 من حساب التفاضل والتكامل). سيكون لها هذا النموذج:

حيث f و g كثيرات الحدود (g 0).

بصرف النظر عن الحد الثابت ، سيكون لكل حد من كثير الحدود العامل x n (n & ge 1). لذلك دعونا نفحص الحدود التالية.

يمكن أن يكون c أي ثابت موجب. يجب على الطالب إكمال كل جانب من الجانب الأيمن.

لرؤية الإجابة ، مرر مؤشر الماوس فوق المنطقة الملونة.
لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق "تحديث" ("إعادة تحميل").
افعل ذلك بنفسك أولاً!

حل . اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. في هذه الحالة ، قسّمهم على x 2:

وفقًا لـ 1) أعلاه ، فإن حد كل مصطلح يحتوي على x هو 0. لذلك وفقًا لنظريات الموضوع 2 ، لدينا الإجابة المطلوبة.

في حالات مماثلة ، فإن الخطوة الأولى هي: قسمة البسط والمقام على قوة x التي تظهر في الحد الأول لأي منهما.

تأتي النتيجة بعد قسمة كل من البسط والمقام على x.

بمعنى آخر: عندما يكون البسط والمقام متساويان في الدرجة ،
ثم النهاية عندما تصبح x لانهائية تساوي حاصل قسمة المعامِلات الرئيسية.

في ما يلي ، تكون الوظيفة المنطقية هي المعاملة بالمثل أعلاه:

عندما تكون درجة المقام أكبر من درجة البسط - أي عندما يسيطر المقام - تكون النهاية عندما تصبح x لانهائية هي 0. ولكن عندما يهيمن البسط - عندما تكون درجة البسط أكبر - إذن تكون النهاية عندما تصبح x لانهائية.

بدلاً من أن يكون لدينا النهج المتغير 0 ، نفضل أحيانًا أن يصبح لانهائيًا. في هذه الحالة ، نقوم بتغيير المتغير. نضع x = أو لا يهم. لأن x التي تقترب من 0 تكافئ z تصبح لانهائية. ثم

عند استبدال x بـ ، أصبح z غير محدود. يبقى الحد 1.

أين سيأتي هذا؟ في الحد الذي نحسب منه الرقم e:

المشكلة 5. في الحد أعلاه ، قم بتغيير المتغير إلى n ، واجعله غير محدود.

يرجى التبرع لإبقاء TheMathPage على الإنترنت.
حتى دولار واحد سيساعد.


حدود ونهاية السلوك - المفهوم

كانت نورم في المركز الرابع في بطولة الولايات المتحدة الأمريكية لرفع الأثقال لعام 2004! لا يزال يتدرب ويتنافس من حين لآخر ، على الرغم من جدول أعماله المزدحم.

عندما نقيم حدود دالة حيث (x) تذهب إلى ما لا نهاية أو ناقص ما لا نهاية ، فإننا نفحص شيئًا يسمى نهاية السلوك من الحد. من أجل تحديد السلوك النهائي ، نحتاج إلى استبدال سلسلة من القيم أو ببساطة تحدد الوظيفة العدد الذي تقترب منه الدالة مع زيادة نطاق الدالة أو انخفاضها باتجاه اللانهاية أو ناقص اللانهاية.

أريد أن أتحدث عن حدود وسلوك النهاية للوظائف. لنلقِ نظرة على دالة f في المتغير x تساوي 10x على x-2. ماذا يحدث عندما ينتقل x إلى ما لا نهاية ، يمكنني الآن & # 39t إدخال ما لا نهاية في هذه الدالة لمعرفة ذلك ولكن يمكنني أخذ الحدود عندما يقترب x من اللانهاية.
دعونا نلقي نظرة على الدالة نفسها f في المتغير x. الآن يمكنك الآن رؤية 10x على x-2 أن كلًا من البسط والمقام سيصبحان كبيرين للغاية مع تحرك x نحو اللانهاية. لذلك ، ليس من الواضح تمامًا ما يحدث ولكن هناك شيء واحد يمكن أن يوضحه هو خدعة جبرية صغيرة تتخلص من x & # 39s ، سأقوم بضرب الجزء العلوي والسفلي بمقدار 1 على x . عادةً ما تكون هذه الخطوة غير مرغوبة ولكن هنا ستكون مفيدة جدًا عندما أضرب الجزء العلوي بمقدار 1 على x فإن x & # 39 s يلغي ويتبقى I & # 39m مع 10. وعندما أضرب القاع ، يجب أن أقوم بتوزيع ذلك 1 على x ضرب x أحصل على 1-2 على x.
من الأسهل كثيرًا أن نرى ما يحدث عندما ينتقل x إلى اللانهاية عندما تنظر إلى الوظيفة المكتوبة بهذا الشكل بشكل صحيح ، فهذه بالضبط نفس الوظيفة مثل هذه. لكن في هذه الصورة ، يمكنك أن ترى أنه عندما ينتقل x إلى ما لا نهاية ، فإن هذا الحد سيذهب إلى 0 وبالتالي فإن الباقي سيذهب إلى 10 على 1-0. إذن ، النهاية عندما يقترب x من ما لا نهاية لـ f في المتغير x هي النهاية عندما يقترب x من ما لا نهاية 10 على 1-2 على x. الآن هذه القطعة تذهب إلى الصفر ، لذا فإن هذا الحد هو 10 على 1-0 أو 10. لنجرب هذه الخدعة والنهاية عندما يقترب x من اللانهاية السالبة. الآن لا يزال بإمكاننا استخدام حقيقة أن الدالة f في المتغير x تساوي 10 على 1-2 على x ، لذا فإن النهاية عندما يقترب x من سالب ما لا نهاية لـ f في المتغير x هي النهاية عندما يقترب x من سالب ما لا نهاية 10 على 1-2 على x ذلك & # 39 ثانية سالب.
الآن مع اقتراب x من اللانهاية السالبة ، ستظل هذه الكمية تذهب إلى 0 ، لذا فإن هذا الحد لا يزال 10 على 1-0 أو 10 عفواً. ماذا يعني ذلك أنه يقترب من أن قيمة الدالة & # 39 s تقترب من 10 عندما يقترب x ما لا نهاية أو عندما تقترب x من سالب ما لا نهاية. حسنًا ، دعنا نلقي نظرة على الرسم البياني. عندما تقترب x من اللانهاية ، تقترب قيمة الدالة من 10 وهذا يعني أنها تقترب من هذا الخط الأفقي y = 10. يشير هذا إلى وجود خط مقارب أفقي ونفس الشيء عندما تقترب x من اللانهاية السالبة ، فإن القيم تقترب من 10 تقترب من أسفل ولكنهم لا يزالون يتجهون نحو هذا الرقم 10. وبالتالي فإن كلا الحدين يشيران إلى أن y = 10 هو خط مقارب أفقي وهنا تعريفنا للخط المقارب الأفقي ، y = b هو خط مقارب أفقي للرسم البياني للدالة y = f في المتغير x إذا كانت النهاية x تقترب من ما لا نهاية لـ f في المتغير x هي b أو إذا كانت النهاية هي x تقترب من اللانهاية السالبة لـ f لـ x = b ، فأنت تحتاج فقط إلى أن يكون أحد هذه القيم صحيحًا حتى يكون y = b خطًا مقاربًا أفقيًا.


الأعداد الصحيحة محدودة بطبيعتها. أقرب ما يمكنك الحصول عليه هو عن طريق تعيين قيمة الحد الأقصى لقيمة int:

والذي سيكون 2 ^ 31 - 1 (أو 2 147483 647) إذا كان int 32 بت عرضًا عند التنفيذ.

اذا أنت حقا تحتاج إلى ما لا نهاية ، استخدم نوع رقم النقطة العائمة ، مثل عدد عشري أو مزدوج. يمكنك بعد ذلك الحصول على ما لا نهاية باستخدام:

الأعداد الصحيحة محدودة ، لذا للأسف لا يمكنك ضبطها على اللانهاية الحقيقية. ومع ذلك ، يمكنك ضبطه على القيمة القصوى لـ int ، وهذا يعني أنه سيكون أكبر أو يساوي أي int أخرى ، على سبيل المثال:

سيكون هذا عادةً مساوياً لـ 2،147،483،647

إذا كنت تحتاج حقًا إلى قيمة "لانهائية" حقيقية ، فسيتعين عليك استخدام قيمة مضاعفة أو عدد عشري. ثم يمكنك ببساطة القيام بذلك

يمكن العثور على تفسيرات إضافية للحدود العددية هنا

ملاحظة: كما ذكر WTP ، إذا كان من الضروري للغاية أن يكون لديك int "غير محدود" ، فسيتعين عليك كتابة فئة مجمعة لـ int وتحميل مشغلي المقارنة ، على الرغم من أن هذا قد لا يكون ضروريًا لمعظم المشاريع.


ما مدى لانهائية هي العملات المشفرة؟

عندما يتم إنشاء عملة مشفرة ، يقوم مطوروها بإدخال الإجراء ومقدار التوريد في الكود الأصلي. في بعض الحالات ، يتم تعيين الحد مسبقًا ، ثم يتم تعدين العملة المشفرة على مبدأ تنازلي. على سبيل المثال ، يمكن تعدين 21 مليون عملة بيتكوين فقط. وفقًا للخبراء ، سيصل العرض العالمي لأول عملة مشفرة إلى حدوده بحلول منتصف القرن الحادي والعشرين.

في حالات أخرى ، يتم إصدار العملة دفعة واحدة. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عملات مشفرة بإمداد غير محدود.

هناك أيضًا حد فني تم تعيينه لتأكيد الكفاءة أو للتحكم في معدل التضخم الأولي ، ثم يتم إلغاؤه أو زيادته.

"ليس من الضروري (إد. - يجب أن يكون لهذه العملة المشفرة حد توريد). Dogecoin ، على سبيل المثال ، ليس لديها مثل هذا الحد وتنتج نظريًا 5 مليارات قطعة نقدية سنويًا. ليس لدى Peercoin أيضًا مثل هذا الحد. من الناحية النظرية ، يمكن التحكم فيه باستخدام آليات أخرى لتدمير العملات في الشبكة ("حرق" عند إجراء معاملة ، وما إلى ذلك) ، ومع ذلك ، كما أفهم ، فإن عدم وجود حد يؤثر بشكل سيء على تضخم العملة. الغرض من هذا النوع من العملات هو تحقيق التوازن بين خسارة العملات المعدنية (موت المالكين ، الحرق) والعرض. الأثير ، على سبيل المثال ، يصدر كل عام 25٪ من العرض الأولي. قال جورج باسيلادزه ، المؤسس المشارك لخدمة Cryptopay ، وهو عضو في ICO Hypethon blockchain ، إن الفارق هو أن الحد يدفع إلى التمسك على المدى الطويل ، في حين أن غيابه على العكس من ذلك يشجع على إنفاق المزيد.

في الرسم البياني أدناه ، يمكنك رؤية حدود العرض الخاصة بالعملات المشفرة من فئة TOP-10 من حيث الرسملة (بالدولار الأمريكي). تم تعيين أكبر حد للتعدين لـ Ripple - 100 مليار وسعره هو الأدنى مقارنة بالعملات المشفرة التي تم النظر فيها. تمتلك NEM و IOTA أسعارًا منخفضة نسبيًا أيضًا ، حيث يبلغ حد العرض 9 مليار و 2.8 مليار قطعة نقدية على التوالي. Bitcoin ، التي لديها أصغر حد للإمداد ، هي أغلى عملة مشفرة.

ومع ذلك ، لا يمكن القول على وجه اليقين أنه كلما كان الحد أصغر ، زادت تكلفة العملة المشفرة ، نظرًا لتأثرها بالعديد من العوامل.

عملة مشفرةالقيمة السوقية بالدولار الأمريكيسعر*المبلغ الإجمالي
بيتكوين $55,8 $3384,21 21 مليون
إيثيريوم $25,3 $269,92 90 مليون
تموج $6,9 ,179860 100 مليار
بيتكوين كاش $4,4 $269,62 21 مليون
نيم $2,5 ,279876 حوالي 9 مليارات
لايتكوين $2,4 $46,19 84 مليون
إيثريوم كلاسيك $1,5 $15,40 90 مليون
اندفاع $1,4 $192,60 22 مليون
ذرة $1,3 ,469913 2،8 مليار
NEO ,9 $18,44 لايوجد بيانات
* اعتبارًا من 08.08.2017

الرسم البياني - حدود العرض للعملات المشفرة الأكثر شيوعًا
المصدر: مصادر مفتوحة

يمكن العثور على حجم حد التوريد على مواقع الويب المتخصصة المختلفة أو في المستند التعريفي التمهيدي الخاص بالمشروع.

كما يشير الخبراء ، يمكن تغيير الحدود التي كانت موجودة بالفعل. "من الناحية النظرية ، يمكن تغيير الحد عند حدوث الانقسام الكلي (ملاحظة: هارد فورك هو تغيير البروتوكول. يغير هيكل الكتلة أو يسمح باستخدام الكتل غير الصالحة سابقًا. أحدث مثال على ذلك هو انقسام البيتكوين). إذا لم يتم قبول التغييرات من قبل المجتمع بأكمله ، فسنحصل على عملة جديدة (نسخة طبق الأصل) بمواصفات تم تغييرها. وقال قنسطنطين ساخوقية ، مدير الأصول في CRESCO Finance ، إن القرار يمكن أن يتخذ من قبل المطورين أو مجتمع عمال المناجم.

قبل إصدار الرموز المميزة ، يوصي الخبراء بعمل مستند يحتوي على جميع المعلومات الخاصة بحد العرض من أجل ترك مساحة للتغييرات المحتملة. وفقًا للخبراء ، فإن زيادة الحد أو خفضه يساعد في التحكم في سعر التوكنات.

"يمكن تغيير الحدود خلال تحديث العملة المشفرة لاستخدامها بشكل أكثر فاعلية من حيث الفطرة السليمة وكذلك لتقليل التكاليف. كما يسمح أيضًا بتثبيت سعر العملة المشفرة وتعزيز مكانتها في السوق. على سبيل المثال ، غالبًا ما يقول مبتكر Ethereum Vitaliy Buterin أن المعروض من العملة قد يكون ثابتًا "، كما يشير ديمتري Pigarev ، الرئيس التنفيذي في Green Fund.

من الأمثلة الواضحة على تغيير Lim it هو الوضع مع العملة المشفرة Dogecoin ، التي تم إصدارها في عام 2013. في البداية ، خطط مؤسسها لتعدين يحدها عند مستوى 100 مليار عملة معدنية بطريقة مماثلة لعملة البيتكوين. ولكن بعد قبول المعدنين لهذه العملة المشفرة ، تم رفع الحد المعروض منها.

لا توجد صورة واضحة لكيفية تأثير محدودية العرض على ديناميكيات قيمته. بالإضافة إلى ذلك ، لا يزال الاقتصاد المشفر في مراحله الأولى ، ويتم تشكيل قوانين تطوره فقط.


7. الخاتمة

هناك العديد من الجوانب اللانهائية التي لا تغطيها هذه المقالة. فيما يلي بعض منها: حد أعلى لكمية المعلومات في الكون ، وإعادة التطبيع في نظرية المجال الكمومي ، والمهام الفائقة والآلات اللانهائية ، والاستخدامات المصنفة والمزامنة لكلمة "اللانهاية" ، والحساب الترتيبي والكاردينال في ZF ، نظريات مختلفة غير مجموعة ZF ، وحلول غير قياسية لمفارقات Zeno & # 8217s ، وحجج كانتور & # 8217s للمطلق ، وجهات نظر كانط حول اللانهائية ، والمحددات الكمية التي تؤكد وجود عدد لا يحصى من الكائنات ، والحجج التفصيلية المؤيدة والمعارضة للبنائية ، الحدس والنهاية. لمزيد من المناقشة حول هذه البرامج الثلاثة الأخيرة ، انظر (Maddy 1992).


قائمة سلسلة الاختبارات

سيتم دائمًا ترميز سلسلة الاهتمام على أنها مجموع ، حيث تنتقل n من 1 إلى ما لا نهاية ، لـ [n]. بالإضافة إلى ذلك ، سيتم ترميز أي تسلسل مساعد على أنه مجموع ، حيث ينتقل n من 1 إلى ما لا نهاية ، لـ b [n]. أو ، بشكل رمزي ،

انقر فوق اسم الاختبار للحصول على مزيد من المعلومات حول الاختبار.

سلسلة الاختبارات المشتركة

إذا لم تكن نهاية [n] صفراً أو غير موجودة ، فإن المجموع يتباعد.

إذا كان بإمكانك تعريف f بحيث تكون دالة مستمرة ، موجبة ، متناقصة من 1 إلى ما لا نهاية (بما في ذلك 1) مثل [n] = f (n) ، فإن المجموع سوف يتقارب إذا وفقط إذا كان تكامل f من 1 إلى ما لا نهاية تتقارب.

يرجى ملاحظة أن هذا لا يعني أن مجموع المتسلسلة يساوي قيمة التكامل. في معظم الحالات ، سيكون الاثنان مختلفين تمامًا.

لنفترض أن b [n] سلسلة ثانية. اشتراط أن تكون كل [n] و b [n] موجبة. إذا تقاربت b [n] ، و a [n] & lt = b [n] لكل n ، فإن a [n] يتقارب أيضًا. إذا تباعد مجموع b [n] ، و a [n] & gt = b [n] لكل n ، فإن مجموع a [n] يتباعد أيضًا.

  • إذا كانت نهاية a [n] / b [n] موجبة ، فإن مجموع a [n] يتقارب إذا وفقط إذا كان مجموع b [n] يتقارب.
  • إذا كانت نهاية a [n] / b [n] تساوي صفرًا ، ويتقارب مجموع b [n] ، فإن مجموع a [n] يتقارب أيضًا.
  • إذا كان حد [n] / b [n] غير محدود ، ويتباعد مجموع b [n] ، فإن مجموع a [n] يتباعد أيضًا.

إذا كان a [n] = (- 1) ^ (n +1) b [n] ، حيث يكون b [n] موجبًا ومتناقصًا ومقاربًا للصفر ، فإن مجموع a [n] يتقارب.

إذا كان مجموع | أ [ن] | يتقارب ، ثم يتقارب مجموع [n].

إذا كان الحد | أ [ن +1] / أ [ن] | أقل من 1 ، ثم تتقارب السلسلة (تمامًا). إذا كان الحد أكبر من واحد ، أو لانهائي ، فإن السلسلة تتباعد.

إذا كان الحد | a [n] | ^ (1 / n) أقل من واحد ، ثم تتقارب السلسلة (تمامًا). إذا كان الحد أكبر من واحد ، أو لانهائي ، فإن السلسلة تتباعد.


شاهد الفيديو: Infinite Limits and Vertical Asymptotes (شهر اكتوبر 2021).