مقالات

12.1: النواقل في الفضاء


أهداف التعلم

  • وصف الفضاء ثلاثي الأبعاد رياضيا.
  • حدد النقاط في الفضاء باستخدام الإحداثيات.
  • اكتب صيغة المسافة في ثلاثة أبعاد.
  • اكتب معادلات المستويات والكرات البسيطة.
  • نفذ عمليات المتجه في ( mathbb {R} ^ {3} ).

المتجهات هي أدوات مفيدة لحل المشاكل ثنائية الأبعاد. لتوسيع استخدام المتجهات إلى تطبيقات أكثر واقعية ، من الضروري إنشاء إطار عمل لوصف الفضاء ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال ، على الرغم من أن الخريطة ثنائية الأبعاد هي أداة مفيدة للتنقل من مكان إلى آخر ، إلا أن تضاريس الأرض مهمة في بعض الحالات. هل طريقك المخطط يمر عبر الجبال؟ هل يجب عليك عبور النهر؟ لتقدير تأثير هذه الميزات الجغرافية بشكل كامل ، يجب عليك استخدام ثلاثة أبعاد. يقدم هذا القسم امتدادًا طبيعيًا لمستوى الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد إلى ثلاثة أبعاد.

أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد

كما تعلمنا ، يحتوي نظام إحداثيات المستطيل ثنائي الأبعاد على محورين متعامدين: المحور الأفقي (س) والمحور الرأسي (ص). يمكننا إضافة بعد ثالث ، المحور (ض ) - عمودي على كل من المحور (س ) والمحور (ص ). نسمي هذا النظام نظام إحداثيات المستطيل ثلاثي الأبعاد. إنه يمثل الأبعاد الثلاثة التي نواجهها في الحياة الواقعية.

التعريف: نظام تنسيق مستطيل ثلاثي الأبعاد

يتكون نظام الإحداثيات المستطيل ثلاثي الأبعاد من ثلاثة محاور متعامدة: المحور (س ) - المحور (ص ) - والمحور (ض ). نظرًا لأن كل محور عبارة عن خط أرقام يمثل جميع الأرقام الحقيقية في (ℝ ) ، غالبًا ما يتم الإشارة إلى النظام ثلاثي الأبعاد بواسطة (ℝ ^ 3 ).

في الشكل ( PageIndex {1a} ) ، يظهر المحور الموجب (z ) - أعلى المستوى الذي يحتوي على المحورين (x ) - و (y ) -. يظهر المحور الموجب (س ) - إلى اليسار والمحور الموجب (ص ) إلى اليمين. السؤال الطبيعي الذي يجب طرحه هو: كيف تم تحديد هذا الترتيب؟ النظام المعروض يتبع حكم اليد اليمنى. إذا أخذنا يدنا اليمنى وقمنا بمحاذاة الأصابع مع المحور الموجب (س ) ، فقم بلف الأصابع بحيث تشير في اتجاه المحور (ص ) - الموجب ، يشير إبهامنا في اتجاه المحور موجب (z ) - المحور (الشكل ( PageIndex {1b} )). في هذا النص ، نعمل دائمًا مع أنظمة إحداثيات تم إعدادها وفقًا لقاعدة اليد اليمنى. تتبع بعض الأنظمة قاعدة اليسار ، لكن قاعدة اليد اليمنى تعتبر التمثيل القياسي.

في بعدين ، نصف نقطة في المستوى بالإحداثيات ((س ، ص) ). يصف كل إحداثي كيفية محاذاة النقطة مع المحور المقابل. في ثلاثة أبعاد ، إحداثيات جديدة ، (ض ), تم إلحاقه للإشارة إلى المحاذاة مع (z ) - المحور: ((x ، y ، z) ). يتم تحديد نقطة في الفضاء من خلال جميع الإحداثيات الثلاثة (الشكل ( PageIndex {2} )). لرسم النقطة ((س ، ص ، ض) ) ، انتقل (س ) وحدات على طول (س ) - المحور ، ثم (ص ) الوحدات في اتجاه (ص ) -المحور ، ثم (ض ) الوحدات في اتجاه (ض ) - المحور.

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد موقع النقاط في الفضاء

ارسم النقطة ((1، −2،3) ) في مساحة ثلاثية الأبعاد.

حل

لرسم نقطة ، ابدأ برسم ثلاثة جوانب من منشور مستطيل على طول محاور الإحداثيات: وحدة واحدة في الاتجاه الموجب (س ) ، (2 ) الوحدات في الاتجاه السالب (ص ) ، و ( 3 ) وحدات في الاتجاه الموجب. أكمل المنشور لرسم النقطة (الشكل).

تمرين ( PageIndex {1} )

ارسم النقطة ((- 2،3 ، −1) ) في مساحة ثلاثية الأبعاد.

تلميح

ابدأ برسم محاور الإحداثيات. على سبيل المثال ، الشكل ( PageIndex {3} ). ثم ارسم منشورًا مستطيلًا للمساعدة في إيجاد النقطة في الفضاء.

إجابه

في الفضاء ثنائي الأبعاد ، يتم تحديد مستوى الإحداثيات بزوج من المحاور المتعامدة. تسمح لنا هذه المحاور بتسمية أي مكان داخل الطائرة. في ثلاثة أبعاد ، نحدد تنسيق الطائرات بمحاور الإحداثيات ، كما هو الحال في بعدين. هناك ثلاثة محاور الآن ، لذلك هناك ثلاثة أزواج متقاطعة من المحاور. يشكل كل زوج من المحاور مستوى إحداثي: المستوى (xy ) - المستوى (xz ) - المستوى (yz ) - المستوى (الشكل ( فهرس الصفحة {3} )). نحدد (xy ) - الطائرة رسميًا على أنها المجموعة التالية: ( {(x ، y ، 0): x ، y∈ℝ }. ) وبالمثل ، فإن (xz ) - الطائرة و (yz ) - يتم تعريف الطائرة على أنها ( {(x، 0، z): x، z∈ℝ } ) و ( {(0، y، z): y، z∈ℝ }،) على التوالى.

لتصور هذا ، تخيل أنك تبني منزلًا وتقف في غرفة انتهى بها اثنان فقط من الجدران الأربعة. (افترض أن الجدارين النهائيين متجاورين.) إذا وقفت مع ظهرك إلى الزاوية حيث يلتقي الجداران المكتملان ، في مواجهة الغرفة ، فإن الأرضية هي الطائرة (xy ) ، والجدار إلى يمينك هو الطائرة (xz ) ، والجدار على يسارك هو الطائرة (yz ).

في بعدين ، تقسم محاور الإحداثيات الطائرة إلى أربعة أرباع. وبالمثل ، فإن مستويات الإحداثيات تقسم المساحة بينهما إلى ثماني مناطق حول الأصل ، تسمى ثماني. تملأ الثمانيات (ℝ ^ 3 ) بنفس الطريقة التي تملأ بها الأرباع (ℝ ^ 2 ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {4} ).

معظم العمل في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو امتداد مريح للمفاهيم المقابلة في بعدين. في هذا القسم ، نستخدم معرفتنا بالدوائر لوصف المجالات ، ثم نوسع فهمنا للمتجهات إلى ثلاثة أبعاد. لتحقيق هذه الأهداف ، نبدأ بتكييف صيغة المسافة مع الفضاء ثلاثي الأبعاد.

إذا كانت نقطتان تقعان في نفس مستوى الإحداثي ، فمن السهل حساب المسافة بينهما. نحن أن المسافة (d ) بين نقطتين ((x_1، y_1) ) و ((x_2، y_2) ) في x (y ) - تنسيق الطائرة معطاة بالصيغة

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

صيغة المسافة بين نقطتين في الفضاء هي امتداد طبيعي لهذه الصيغة.

المسافة بين نقطتين في الفضاء

المسافة (d ) بين النقاط ((x_1، y_1، z_1) ) و ((x_2، y_2، z_2) ) تعطى من خلال الصيغة

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. تسمية {مسافة_شكل} ]

يتم ترك إثبات هذه النظرية كتمرين. (تلميح: أولاً ، ابحث عن المسافة (d_1 ) بين النقاط ((x_1، y_1، z_1) ) و ((x_2، y_2، z_1) ) كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {5} ).)

مثال ( PageIndex {2} ): المسافة في الفضاء

أوجد المسافة بين النقاط (P_1 = (3، −1،5) ) و (P_2 = (2،1، −1). )

حل

استبدل القيم مباشرةً في صيغة المسافة (المعادلة المرجع {مسافة النموذج}):

[ start {align *} d (P_1، P_2) & = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} [4pt] & = sqrt {(2−3) ^ 2 + (1 - (- 1)) ^ 2 + (- 1−5) ^ 2} [4pt] & = sqrt {(- 1) ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 6) ^ 2} [4pt] & = sqrt {41}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد المسافة بين النقاط (P_1 = (1، −5،4) ) و (P_2 = (4، −1، −1) ).

تلميح

(d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} )

إجابه

(5 sqrt {2} )

قبل الانتقال إلى القسم التالي ، دعنا نتعرف على كيفية اختلاف (ℝ ^ 3 ) عن (ℝ ^ 2 ). على سبيل المثال ، في (ℝ ^ 2 ) ، يجب أن تتقاطع الأسطر غير المتوازية دائمًا. ليس هذا هو الحال في (ℝ ^ 3 ). على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السطر الموضح في الشكل ( PageIndex {7} ). هذان الخطان ليسا متوازيين ولا يتقاطعان.

الشكل ( PageIndex {7} ): هذان الخطان ليسا متوازيين ، لكنهما لا يتقاطعان.

يمكن أيضًا أن يكون لديك دوائر مترابطة ولكن ليس لها نقاط مشتركة ، كما في الشكل ( PageIndex {8} ).

الشكل ( PageIndex {8} ): هذه الدوائر مترابطة ولكن ليس لها نقاط مشتركة.

لدينا الكثير من المرونة في العمل في ثلاثة أبعاد أكثر مما نتمتع به إذا تمسكنا ببُعدين فقط.

كتابة المعادلات في (ℝ ^ 3 )

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا تمثيل النقاط في الفضاء وإيجاد المسافة بينها ، يمكننا تعلم كيفية كتابة معادلات كائنات هندسية مثل الخطوط والمستويات والأسطح المنحنية في (ℝ ^ 3 ). أولاً ، نبدأ بمعادلة بسيطة. قارن الرسوم البيانية للمعادلة (x = 0 ) في (ℝ ) و (ℝ ^ 2 ) و (ℝ ^ 3 ) (الشكل ( فهرس الصفحة {9} )). من هذه الرسوم البيانية ، يمكننا أن نرى أن نفس المعادلة يمكن أن تصف نقطة أو خطًا أو مستوى.

في الفضاء ، تصف المعادلة (س = 0 ) جميع النقاط ((0 ، ص ، ض) ). تحدد هذه المعادلة المستوى (yz ) -. وبالمثل ، يحتوي المستوى (xy ) - على جميع نقاط النموذج ((x، y، 0) ). تحدد المعادلة (z = 0 ) المستوى (xy ) - وتصف المعادلة (y = 0 ) المستوى (xz ) - (الشكل ( فهرس الصفحة {10} )).

يتيح لنا فهم معادلات مستويات الإحداثيات كتابة معادلة لأي مستوى موازٍ لأحد مستويات الإحداثيات. عندما تكون الطائرة موازية للمستوى (xy ) - ، على سبيل المثال ، (z )-تنسيق كل نقطة في المستوى له نفس القيمة الثابتة. فقط (س ) - و (ص ) -تختلف إحداثيات النقاط في ذلك المستوى من نقطة إلى أخرى.

معادلات المستويات الموازية لمستويات التنسيق

  1. يمكن تمثيل المستوى في الفضاء الموازي للمستوى (xy ) - ويحتوي على النقطة ((أ ، ب ، ج) ) بالمعادلة (ض = ج ).
  2. يمكن تمثيل المستوى في الفضاء الموازي للمستوى (xz ) - ويحتوي على النقطة ((أ ، ب ، ج) ) بالمعادلة (ص = ب ).
  3. يمكن تمثيل المستوى في الفضاء الموازي للمستوى (yz ) - ويحتوي على النقطة ((أ ، ب ، ج) ) بالمعادلة (س = أ ).

مثال ( PageIndex {3} ): كتابة معادلات المستويات بالتوازي مع المستويات الإحداثية

  1. اكتب معادلة للمستوى المار بالنقطة ((3،11،7) ) الموازية للمستوى (yz ) -.
  2. ابحث عن معادلة المستوى المار بالنقاط ((6، −2،9)، (0، −2،4)، ) و ((1، −2، −3). )

حل

  1. عندما تكون الطائرة موازية للطائرة (yz ) ، فقط ملف (ص ) - و (ض ) - قد تختلف الإحداثيات. الإحداثي (س ) له نفس القيمة الثابتة لجميع النقاط في هذا المستوى ، لذلك يمكن تمثيل هذا المستوى بالمعادلة (س = 3 ).
  2. كل من النقاط ((6، −2،9)، (0، −2،4)، ) و ((1، −2، −3) ) لها نفس الشيء (ص ) -تنسيق. يمكن تمثيل هذا المستوى بالمعادلة (y = −2 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

اكتب معادلة للمستوى المار بالنقطة ((1، −6، −4) ) الموازية للمستوى (xy ) -.

تلميح

إذا كانت الطائرة موازية للمستوى (س ص ) ، فإن ض-إحداثيات النقاط في ذلك المستوى لا تختلف.

إجابه

(ض = -4 )

كما رأينا ، في (ℝ ^ 2 ) المعادلة (x = 5 ) تصف الخط العمودي الذي يمر بالنقطة ((5،0) ). هذا الخط موازٍ لمحور (ص ). في الامتداد الطبيعي ، تصف المعادلة (x = 5 ) في (ℝ ^ 3 ) المستوى الذي يمر عبر النقطة ((5،0،0) ) ، والتي توازي (yz ) -طائرة. تم العثور على امتداد طبيعي آخر لمعادلة مألوفة في معادلة الكرة.

التعريف: سفير

الكرة هي مجموعة جميع النقاط في الفضاء على مسافة متساوية من نقطة ثابتة ، مركز الكرة (الشكل ( فهرس الصفحة {11} )) ، تمامًا مثل مجموعة جميع النقاط في المستوى التي تكون على مسافة متساوية من المركز يمثل دائرة. في الكرة ، كما هو الحال في الدائرة ، تسمى المسافة من المركز إلى نقطة على الكرة بـ نصف القطر.

تُشتق معادلة الدائرة باستخدام صيغة المسافة ذات البعدين. بالطريقة نفسها ، تعتمد معادلة الكرة على الصيغة ثلاثية الأبعاد للمسافة.

المعادلة القياسية للكرة

يمكن تمثيل الكرة ذات المركز ((أ ، ب ، ج) ) ونصف القطر (r ) بالمعادلة

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2. ]

تُعرف هذه المعادلة باسم المعادلة القياسية للكرة.

مثال ( PageIndex {4} ): البحث عن معادلة لمجال

أوجد المعادلة القياسية للكرة مع المركز ((10،7،4) ) والنقطة ((- 1،3، −2) ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {12} ).

الشكل ( PageIndex {12} ): الكرة المتمركزة في ((10،7،4) ) تحتوي على النقطة ((- 1،3 ، −2). )

حل

استخدم صيغة المسافة لإيجاد نصف قطر (r ) الكرة:

[ begin {align *} r & = sqrt {(- 1−10) ^ 2 + (3−7) ^ 2 + (- 2−4) ^ 2} [4pt] & = sqrt { (−11) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (- 6) ^ 2} [4pt] & = sqrt {173} end {align *} ]

المعادلة القياسية للكرة هي

[(x − 10) ^ 2 + (y − 7) ^ 2 + (z − 4) ^ 2 = 173. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد المعادلة القياسية للكرة التي تحتوي على المركز ((- 2،4، −5) ) الذي يحتوي على النقطة ((4،4، −1). )

تلميح

استخدم أولاً صيغة المسافة لإيجاد نصف قطر الكرة.

إجابه

[(x + 2) ^ 2 + (y − 4) ^ 2 + (z + 5) ^ 2 = 52 nonumber ]

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد معادلة الكرة

دع (P = (- 5،2،3) ) و (Q = (3،4، −1) ) ، وافترض أن قطعة خطية ( overline {PQ} ) تشكل قطر الكرة (الشكل ( PageIndex {13} )). أوجد معادلة المجال.

حل:

نظرًا لأن ( overline {PQ} ) هو قطر للكرة ، فإننا نعلم أن مركز الكرة هو نقطة المنتصف ( overline {PQ} ). ثم ،

[C = left ( dfrac {−5 + 3} {2} ، dfrac {2 + 4} {2} ، dfrac {3 + (- 1)} {2} right) = (- 1 ، 3،1). لا يوجد رقم]

علاوة على ذلك ، نعلم أن نصف قطر الكرة يساوي نصف طول القطر. هذا يعطي

[ begin {align *} r & = dfrac {1} {2} sqrt {(- 5−3) ^ 2 + (2−4) ^ 2 + (3 - (- 1)) ^ 2} [4pt] & = dfrac {1} {2} sqrt {64 + 4 + 16} [4pt] & = sqrt {21} end {align *} ]

إذن ، معادلة الكرة هي ((x + 1) ^ 2 + (y − 3) ^ 2 + (z − 1) ^ 2 = 21. )

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد معادلة الكرة ذات القطر ( overline {PQ} ) ، حيث (P = (2، −1، −3) ) و (Q = (- 2،5، −1). )

تلميح

أوجد نقطة منتصف القطر أولًا.

إجابه

[x ^ 2 + (y − 2) ^ 2 + (z + 2) ^ 2 = 14 nonumber ]

مثال ( PageIndex {6} ): رسم معادلات أخرى في ثلاثة أبعاد بيانية

صف مجموعة النقاط التي تحقق ((x − 4) (z − 2) = 0، ) وارسم المجموعة بالرسم البياني.

حل

يجب أن يكون لدينا إما (x − 4 = 0 ) أو (z − 2 = 0 ) ، لذا فإن مجموعة النقاط تشكل المستويين (x = 4 ) و (z = 2 ) (الشكل ( PageIndex {14} )).

تمرين ( PageIndex {6} )

صف مجموعة النقاط التي تحقق ((y + 2) (z − 3) = 0، ) وارسم المجموعة بالرسم البياني.

تلميح

يجب أن يكون أحد العوامل صفرًا.

إجابه

تشكل مجموعة النقاط المستويين (y = −2 ) و (z = 3 ).

مثال ( PageIndex {7} ): رسم معادلات أخرى في ثلاثة أبعاد بيانية

صِف مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تحقق ((x − 2) ^ 2 + (y − 1) ^ 2 = 4 ، ) وارسم المجموعة بالرسم البياني.

حل

تشكل الإحداثيات (س ) - و (ص ) - دائرة في (س ص ) - مستوى نصف القطر (2 ) ، مركزها ((2،1) ). نظرًا لعدم وجود قيود على الإحداثي (ض ) ، فإن النتيجة ثلاثية الأبعاد هي أسطوانة دائرية نصف قطرها (2 ) تتمحور حول الخط مع (س = 2 ) و (ص = 1 ) ). تمتد الأسطوانة إلى أجل غير مسمى في (z ) - الاتجاه (الشكل ( PageIndex {15} )).

تمرين ( PageIndex {7} )

صِف مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تحقق (x ^ 2 + (z − 2) ^ 2 = 16 ) وارسم السطح بالرسم البياني.

تلميح

فكر فيما يحدث إذا رسمت هذه المعادلة في بعدين في مستوى (xz ).

إجابه

أسطوانة نصف قطرها 4 متمركزة على الخط مع (x = 0 ) و (z = 2 ).

العمل مع النواقل في (ℝ ^ 3 )

تمامًا مثل المتجهات ثنائية الأبعاد ، فإن المتجهات ثلاثية الأبعاد عبارة عن كميات لها كل من الحجم والاتجاه ، ويتم تمثيلها بواسطة مقاطع خطية موجهة (أسهم). باستخدام متجه ثلاثي الأبعاد ، نستخدم سهمًا ثلاثي الأبعاد.

يمكن أيضًا تمثيل المتجهات ثلاثية الأبعاد في شكل مكون. التدوين ( vecs {v} = x، y، z⟩ ) هو امتداد طبيعي للحالة ثنائية الأبعاد ، ويمثل متجهًا مع النقطة الأولية في الأصل ، ((0،0،0) ) والنقطة الطرفية ((س ، ص ، ض) ). المتجه الصفري هو ( vecs {0} = ⟨0،0،0⟩ ). لذلك ، على سبيل المثال ، يتم تمثيل المتجه ثلاثي الأبعاد ( vecs {v} = ⟨2،4،1⟩ ) بقطعة مستقيمة موجهة من النقطة ((0،0،0) ) إلى النقطة ( (2،4،1) ) (الشكل ( PageIndex {16} )).

يتم تعريف إضافة المتجه والضرب القياسي بشكل مشابه للحالة ثنائية الأبعاد. إذا كانت ( vecs {v} = ⟨x_1 ، y_1 ، z_1⟩ ) و ( vecs {w} = ⟨x_2 ، y_2 ، z_2⟩ ) متجهات ، و (k ) عددية ، إذن

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1 + x_2، y_1 + y_2، z_1 + z_2⟩ ]

و

[k vecs {v} = ⟨kx_1، ky_1، kz_1⟩. ]

إذا تمت كتابة (k = −1، ) فإن (k vecs {v} = (- 1) vecs {v} ) تمت كتابته كـ (- vecs {v} ) ، ويتم تعريف الطرح المتجه بواسطة ( vecs {v} - vecs {w} = vecs {v} + (- vecs {w}) = vecs {v} + (- 1) vecs {w} ).

تمتد متجهات الوحدة القياسية بسهولة إلى ثلاثة أبعاد أيضًا ، ( hat { mathbf i} = ⟨1،0،0⟩ )، ( hat { mathbf j} = ⟨0،1،0⟩ ) و ( hat { mathbf k} = ⟨0،0،1⟩ ) ، ونستخدمها بنفس الطريقة التي استخدمنا بها متجهات الوحدة القياسية في بعدين. وبالتالي ، يمكننا تمثيل المتجه في (ℝ ^ 3 ) بالطرق التالية:

[ vecs {v} = ⟨x، y، z⟩ = x hat { mathbf i} + y hat { mathbf j} + z hat { mathbf k} ].

مثال ( PageIndex {8} ): تمثيلات المتجهات

لنفترض أن ( vecd {PQ} ) هو المتجه بالنقطة الأولية (P = (3،12،6) ) والنقطة النهائية (Q = (- 4 ، −3،2) ) كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {17} ). Express ( vecd {PQ} ) في شكل مكون وباستخدام متجهات الوحدة القياسية.

حل

في شكل مكون ،

[ start {align *} vecd {PQ} = ⟨x_2 − x_1، y_2 − y_1، z_2 − z_1⟩ [4pt] = ⟨− 4−3، −3−12،2−6⟩ [4pt] = ⟨− 7، −15، −4⟩. النهاية {محاذاة *} ]

في شكل وحدة قياسية ،

[ vecd {PQ} = - 7 hat { mathbf i} −15 hat { mathbf j} −4 hat { mathbf k}. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {8} )

دعونا (S = (3،8،2) ) و (T = (2 ، −1 ، 3) ). Express ( vec {ST} ) في شكل مكون وفي شكل وحدة قياسية.

تلميح

اكتب ( vecd {ST} ) في شكل المكون أولاً. (T ) هي النقطة النهائية لـ ( vecd {ST} ).

إجابه

( vecd {ST} = ⟨− 1، −9،1⟩ = - hat { mathbf i} −9 hat { mathbf j} + hat { mathbf k} )

كما هو موضح سابقًا ، تتصرف المتجهات ثلاثية الأبعاد بنفس الطريقة التي تتصرف بها المتجهات في المستوى. التفسير الهندسي لإضافة المتجه ، على سبيل المثال ، هو نفسه في كل من الفضاء ثنائي وثلاثي الأبعاد (الشكل ( PageIndex {18} )).

لقد رأينا بالفعل كيف يمكن تمديد بعض الخصائص الجبرية للمتجهات ، مثل الجمع المتجه والضرب القياسي ، إلى ثلاثة أبعاد. يمكن تمديد خصائص أخرى بطريقة مماثلة. تم تلخيصها هنا كمرجع لنا.

خصائص النواقل في الفضاء

لنفترض أن ( vecs {v} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ ) و ( vecs {w} = ⟨x_2، y_2، z_2⟩ ) متجهات ، واجعل (k ) عددًا.

  • الضرب القياسي: [k vecs {v} = ⟨kx_1، ky_1، kz_1⟩ ]
  • إضافة المتجه: [ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ + ⟨x_2، y_2، z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2، y_1 + y_2، z_1 + z_2⟩ ]
  • الطرح المتجه: [ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ − ⟨x_2، y_2، z_2⟩ = x_1 − x_2، y_1 − y_2، z_1 − z_2⟩ ]
  • حجم المتجه: [ | vecs {v} | = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} ]
  • ناقل الوحدة في اتجاه ( vecs {v} ): [ dfrac {1} { | vecs {v} |} vecs {v} = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨x_1 ، y_1 ، z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { | vecs {v} |} ، dfrac {y_1} { | vecs {v} |} ، dfrac {z_1} { | vecs {v} |}⟩، quad text {if} ، vecs {v} ≠ vecs {0} ]

لقد رأينا أن إضافة المتجه في بعدين يلبي خصائص المعكوس التبادلي والرابطي والجمع. هذه الخصائص لعمليات المتجه صالحة أيضًا للناقلات ثلاثية الأبعاد. يلبي الضرب القياسي للمتجهات خاصية التوزيع ، ويعمل المتجه الصفري باعتباره هوية مضافة. البراهين للتحقق من هذه الخصائص في ثلاثة أبعاد هي امتدادات مباشرة للبراهين في بعدين.

مثال ( PageIndex {9} ): عمليات المتجه في ثلاثة أبعاد

دعونا ( vecs {v} = ⟨− 2،9،5⟩ ) و ( vecs {w} = ⟨1، −1،0⟩ ) (الشكل ( PageIndex {19} )) . ابحث عن المتجهات التالية.

  1. (3 vecs {v} −2 vecs {w} )
  2. (5 | vecs {w} | )
  3. ( | 5 vecs {w} | )
  4. متجه وحدة في اتجاه ( vecs {v} )

حل

أ. أولاً ، استخدم الضرب العددي لكل متجه ، ثم اطرح:

[ start {align *} 3 vecs {v} −2 vecs {w} = 3⟨ − 2،9،5⟩ − 2⟨1، −1،0⟩ [4pt] = ⟨− 6 ، 27،15⟩ − ⟨2، −2،0⟩ [4pt] = ⟨− 6−2،27 - (- 2)، 15−0⟩ [4pt] = ⟨− 8،29،15 ⟩. نهاية {محاذاة *} ]

ب. اكتب معادلة مقدار المتجه ، ثم استخدم الضرب القياسي:

[5 | vecs {w} | = 5 sqrt {1 ^ 2 + (- 1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 5 sqrt {2}. لا يوجد رقم]

ج. أولاً ، استخدم الضرب العددي ، ثم أوجد مقدار المتجه الجديد. لاحظ أن النتيجة هي نفسها للجزء ب:

[ | 5 vecs {w} | = ∥⟨5، −5،0⟩∥ = sqrt {5 ^ 2 + (- 5) ^ 2 + 0 ^ 2} = sqrt {50} = 5 sqrt {2} nonumber ]

د. تذكر أنه لإيجاد متجه وحدة في بعدين ، نقسم المتجه على حجمه. الإجراء هو نفسه في ثلاثة أبعاد:

[ begin {align *} dfrac { vecs {v}} { | vecs {v} |} = dfrac {1} { | vecs {v} |} ⟨− 2،9 ، 5⟩ [4pt] = dfrac {1} { sqrt {(- 2) ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2}} ⟨− 2،9،5⟩ [4pt] = dfrac {1} { sqrt {110}} ⟨− 2،9،5⟩ [4pt] = ⟨ dfrac {−2} { sqrt {110}} ، dfrac {9} { sqrt {110} } ، dfrac {5} { sqrt {110}}⟩. نهاية {محاذاة *} ]

التمرين ( PageIndex {9} ):

دعونا ( vecs {v} = ⟨− 1، −1،1⟩ ) و ( vecs {w} = ⟨2،0،1⟩ ). ابحث عن متجه الوحدة في اتجاه (5 vecs {v} +3 vecs {w}. )

تلميح

ابدأ بكتابة (5 vecs {v} +3 vecs {w} ) في شكل مكون.

إجابه

(⟨ dfrac {1} {3 sqrt {10}} ، - dfrac {5} {3 sqrt {10}} ، dfrac {8} {3 sqrt {10}}⟩ )

مثال ( PageIndex {10} ): إلقاء مرور أمامي

يقف قورتربك في ملعب كرة القدم يستعد لرمي تمريرة. يقف جهاز الاستقبال على بعد 20 ياردة أسفل الملعب و 15 ياردة إلى اليسار من الوسط. يرمي لاعب الوسط الكرة بسرعة 60 ميلاً في الساعة باتجاه المتلقي بزاوية صعودية تبلغ (30 درجة ) (انظر الشكل التالي). اكتب متجه السرعة الابتدائية للكرة ، ( vecs {v} ) ، في صورة مكون.

حل

أول شيء نريد فعله هو إيجاد متجه في نفس اتجاه متجه سرعة الكرة. ثم قمنا بقياس المتجه بشكل مناسب بحيث يكون له المقدار الصحيح. ضع في اعتبارك المتجه ( vecs {w} ) الممتد من ذراع لاعب الوسط إلى نقطة أعلى رأس المستلم مباشرة بزاوية (30 درجة ) (انظر الشكل التالي). سيكون لهذا المتجه نفس اتجاه ( vecs {v} ) ، ولكن قد لا يكون له الحجم الصحيح.

المتلقي على بعد 20 ياردة أسفل الملعب و 15 ياردة إلى اليسار. لذلك ، فإن مسافة الخط المستقيم من لاعب الوسط إلى المتلقي هي

Dist من QB إلى المستقبل (= sqrt {15 ^ 2 + 20 ^ 2} = sqrt {225 + 400} = sqrt {625} = 25 ) ياردة.

لدينا ( dfrac {25} { | vecs {w} |} = cos 30 °. ) ثم يتم إعطاء حجم ( vecs {w} ) بواسطة

( | vecs {w} | = dfrac {25} { cos 30 °} = dfrac {25⋅2} { sqrt {3}} = dfrac {50} { sqrt {3} } ) ياردة

والمسافة العمودية من جهاز الاستقبال إلى نقطة المحطة الطرفية ( vecs {w} ) هي

فيرت dist من المتلقي إلى نقطة المحطة الطرفية ( vecs {w} = | vecs {w} | sin 30 ° = dfrac {50} { sqrt {3}} ⋅ dfrac {1} {2} = dfrac {25} { sqrt {3}} ) ياردة.

ثم ( vecs {w} = ⟨20،15، dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ ) ، وله نفس اتجاه ( vecs {v} ).

تذكر ، مع ذلك ، أننا حسبنا حجم ( vecs {w} ) ليكون ( | vecs {w} | = dfrac {50} { sqrt {3}} ) ، و ( vecs {v} ) له حجم (60 ) ميل في الساعة. لذلك ، نحتاج إلى ضرب المتجه ( vecs {w} ) في ثابت مناسب ، (k ). نريد إيجاد قيمة (ك ) بحيث (∥k vecs {w} ∥ = 60 ) ميل في الساعة. نحن لدينا

( | k vecs {w} | = k | vecs {w} | = k dfrac {50} { sqrt {3}} ) ميل في الساعة ،

لذلك نريد

(k dfrac {50} { sqrt {3}} = 60 )

(k = dfrac {60 sqrt {3}} {50} )

(k = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ).

ثم

( vecs {v} = k vecs {w} = k⟨20،15، dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = dfrac {6 sqrt {3}} {5} ⟨20 ، 15، dfrac {25} { sqrt {3}}⟩ = ⟨24 sqrt {3}، 18 sqrt {3}، 30⟩ ).

دعنا نتحقق جيدًا من أن ( | vecs {v} | = 60. ) لدينا

( | vecs {v} | = sqrt {(24 sqrt {3}) ^ 2+ (18 sqrt {3}) ^ 2+ (30) ^ 2} = sqrt {1728 + 972 +900} = sqrt {3600} = 60 ) ميل في الساعة.

لذلك ، وجدنا المكونات الصحيحة لـ ( vecs {v} ).

تمرين ( PageIndex {10} )

افترض أن لاعب الوسط والمتلقي في نفس المكان كما في المثال السابق. لكن هذه المرة ، يقوم لاعب الوسط برمي الكرة بسرعة (40 ) ميل في الساعة وبزاوية (45 درجة ). اكتب متجه السرعة الابتدائية للكرة ، ( vecs {v} ) ، في صورة مكونة.

تلميح

اتبع العملية المستخدمة في المثال السابق.

إجابه

(v = ⟨16 sqrt {2}، 12 sqrt {2}، 20 sqrt {2}⟩ )

المفاهيم الرئيسية

  • تم بناء نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد حول مجموعة من ثلاثة محاور تتقاطع بزوايا قائمة عند نقطة واحدة ، نقطة الأصل. تستخدم المضاعفات المرتبة ((x ، y ، z) ) لوصف موقع نقطة في الفضاء.
  • المسافة (d ) بين النقاط ((x_1، y_1، z_1) ) و ((x_2، y_2، z_2) ) تعطى من خلال الصيغة [d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2+ (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2}. nonumber ]
  • في ثلاثة أبعاد ، تصف المعادلات (س = أ ، ص = ب ، ) و (ض = ج ) المستويات الموازية لمستويات الإحداثيات.
  • المعادلة القياسية للكرة ذات المركز ((أ ، ب ، ج) ) ونصف القطر (r ) هي [(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = ص ^ 2. لا يوجد رقم ]
  • في ثلاثة أبعاد ، كما هو الحال في اثنين ، يتم التعبير عن المتجهات بشكل عام في شكل مكون ، (v = ⟨x ، y ، z⟩ ) ، أو من حيث متجهات الوحدة القياسية ، (xi + yj + zk. )
  • تعد خصائص المتجهات في الفضاء امتدادًا طبيعيًا لخصائص المتجهات في المستوى. لنفترض (v = ⟨x_1 ، y_1 ، z_1⟩ ) و (w = ⟨x_2 ، y_2 ، z_2⟩ ) أن تكون متجهات ، ولنكن (k ) عددًا.

الضرب القياسي:

[(k vecs {v} = ⟨kx_1، ky_1، kz_1⟩ nonumber ]

إضافة المتجهات:

[ vecs {v} + vecs {w} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ + ⟨x_2، y_2، z_2⟩ = ⟨x_1 + x_2، y_1 + y_2، z_1 + z_2⟩ nonumber ]

الطرح المتجه:

[ vecs {v} - vecs {w} = ⟨x_1، y_1، z_1⟩ − ⟨x_2، y_2، z_2⟩ = x_1 − x_2، y_1 − y_2، z_1 − z_2⟩ nonumber ]

حجم المتجه:

[‖ vecs {v} ‖ = sqrt {x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 + z_1 ^ 2} nonumber ]

ناقل الوحدة في اتجاه ( vecs {v} ):

[ dfrac { vecs {v}} {‖ vecs {v} ‖} = dfrac {1} {‖ vecs {v} ‖} ⟨x_1، y_1، z_1⟩ = ⟨ dfrac {x_1} { ‖ vecs {v} ‖} ، dfrac {y_1} {‖ vecs {v} ‖} ، dfrac {z_1} {‖ vecs {v} ‖}⟩ ، vecs {v} ≠ vecs {0 } لا يوجد رقم]

المعادلات الرئيسية

المسافة بين نقطتين في الفضاء:

[d = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2 + (z_2 − z_1) ^ 2} ]

كرة بمركز ((أ ، ب ، ج) ) ونصف قطر (r ):

[(x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ]

قائمة المصطلحات

خطة تنسيق
مستوى يحتوي على اثنين من محاور الإحداثيات الثلاثة في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد ، يُسمى بالمحاور التي يحتوي عليها: (xy ) - المستوى ، (xz ) - المستوى ، أو (yz ) - المستوى
حكم اليد اليمنى
طريقة شائعة لتحديد اتجاه نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد ؛ عندما تكون اليد اليمنى منحنية حول المحور (z ) بطريقة تجعل الأصابع تتجعد من المحور الموجب (س ) إلى المحور الموجب (ص ) - يشير الإبهام في الاتجاه من المحور (ض ) الموجب
ثماني
مناطق الفضاء الثمانية التي أنشأتها طائرات الإحداثيات
جسم كروى
مجموعة جميع النقاط متساوية البعد من نقطة معينة تعرف باسم المركز
المعادلة القياسية للكرة
((x − a) ^ 2 + (y − b) ^ 2 + (z − c) ^ 2 = r ^ 2 ) يصف كرة مركزها ((a، b، c) ) ونصف قطرها (ص)
نظام إحداثيات مستطيل ثلاثي الأبعاد
نظام إحداثيات محدد بثلاثة خطوط تتقاطع بزوايا قائمة ؛ يتم وصف كل نقطة في الفضاء من خلال ثلاثية مرتبة ((x ، y ، z) ) التي ترسم موقعها بالنسبة إلى المحاور المحددة

MADISON ، ويسكونسن ، 31 يوليو 2020 / PRNewswire / - توضح اتجاهات التبادل ذلك سيتم استبدال سباق الفضاء الجديد خلال العقد المقبل من خلال مشاريع البنية التحتية الفضائية ، وتوزيع الفضاء ، والاستثمار المستمر في تطبيقات التكنولوجيا الفضائية.

تتوقع Boeing Market Outlook توفير 2.5 تريليون دولار من فرص الدفاع والفضاء خلال العقد المقبل.

عاصمة الفضاء تشير التقارير إلى ما مجموعه 12.1 مليار دولار تم استثمارها في شركات الفضاء في الربع الأول والربع الثاني من عام 2020 ، مع تخصيص 303 مليون دولار منها لاستثمارات المرحلة المبكرة.

غالبًا ما نعتبر أن الاستثمارات الفضائية هي أكثر من مجرد مشاريع إطلاق القمر على المريخ وكبسولات الصواريخ ذاتية الهبوط. دعونا لا ننسى أن الاستثمار في الفضاء جلب لنا نظام تحديد المواقع العالمي (GPS). وبدون نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) ، لا نحصل على Uber أو Google Maps أو Pokémon Go. ناهيك عن مدى أهمية نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) في إثبات دوره في الرعاية الصحية. - كوريل لاشبروك ، صندوق لاشبروك جروث

يعمل مشروع Starlink SpaceX & # 39s على إنشاء إنترنت ساتلي عالمي مع أكثر من 42000 قمر صناعي منخفض المدار - مما يوفر للمناطق الريفية والمتخلفة إنترنت عالي السرعة.

وبالمثل ، تقوم SpaceMobile بإنشاء شبكة فائقة القوة توفر اتصالاً متنقلًا بسرعة 4G / 5G في كل مكان على الكوكب - الأرض والبحر وأثناء الرحلة.

كيف يتغير السوق العالمي عندما يمكننا البث المباشر لقمة Mt. إيفرست والمزارعين الريفيين في شيلي يمكن أن تشارك في التجارة عبر الإنترنت؟

التصوير الساتلي التجاري هو مجال آخر متسارع للاستثمار في الفضاء. توفر شركات مثل Picterra و Planet Labs و SkyWatch منصات حيث يمكن لأي شخص الوصول إلى الذكاء الاصطناعي الخاص به وتدريبه لاكتشاف الكائنات والأنماط على صور الأقمار الصناعية. بالمعنى الحرفي للكلمة ، يمكن لمالك الموقف حساب عدد السيارات الموجودة في ساحة انتظاره من الفضاء.

ذكرت شركة سبيس كابيتال أنه منذ عام 2004 ، تلقت أكثر من 862 شركة فضاء تمويلًا ، مع حوالي 85 ٪ من دولارات الاستثمار في السنوات الست الماضية.

نحن في خضم سباق الفضاء الجديد. وهذه المرة سيكون التأثير التجاري محسوسًا في كل مكان.

في يوم الخميس ، السادس من أغسطس الساعة 1:30 مساءً بتوقيت شرق الولايات المتحدة ، تستضيف Trends Exchange برنامج ساعة سعيدة افتراضية لملائكة الفضاء & # 39 2020 حالة الصناعة.

يقدم كل من Trends Exchange و Correll Lashbrook تعليقًا على الاتجاهات الكلية في صناعة الفضاء ، وإشارات السوق للربع الثاني ، والتطورات الصناعية الرئيسية ومعالم أمبير ، والرؤى الرئيسية من Space Angels.


إليك إجابة بدون استخدام الرموز.

الفرق هو بالضبط ما بين موقعك و الإزاحة.

  • النقاط هي مواقع في الفضاء.
  • النواقل النزوح في الفضاء.

إن التشابه مع الوقت يعمل بشكل جيد.

  • الأوقات (وتسمى أيضًا اللحظات أو التواريخ) هي المواقع في الوقت المناسب.
  • المدد النزوح في الوقت المناسب.
  • 4:00 مساءً ، ظهرًا ، منتصف الليل ، 12:20 ، 23:11 ، إلخ مرات
  • +3 ساعات ، -2.5 ساعة ، +17 ثانية ، إلخ المدد

لاحظ كيف يمكن أن تكون المدد موجبة أو سالبة ، فهذا يعطيها "الاتجاه" بالإضافة إلى قيمتها العددية الصافية. الآن أفضل طريقة للتمييز العقلي بين الأوقات والمدد هي من خلال العمليات التي تدعمها

  • بالنظر إلى الوقت ، يمكنك إضافة مدة للحصول على وقت جديد (3:00 + 2 ساعة = 5:00)
  • يمكنك طرح مرتين للحصول على المدة (7:00 - 1:00 = 6 ساعات)
  • يمكنك إضافة مدتين (3 ساعات ، 20 دقيقة + 6 ساعات ، 50 دقيقة = 10 ساعات ، 10 دقائق)

لكن لا يمكنك إضافة مرتين (3:15 صباحًا + ظهرًا =.)

دعنا ننتقل إلى التشبيه لنتحدث الآن عن الفضاء:

  • $ (3،5) $ ، $ (- 2.25،7) $ ، $ (0، -1) $ ، إلخ نقاط
  • $ langle 4، -5 rangle $ هو أ المتجه، مما يعني 4 وحدات شرقًا ثم 5 جنوبيًا ، بافتراض أن الشمال لأعلى (آسف لسكان نصف الكرة الجنوبي)

الآن لدينا نفس العمليات المماثلة في الفضاء تمامًا كما فعلنا مع الوقت:

  • يمكنك إضافة نقطة ومتجه: بدءًا من $ (4،5) $ والذهاب $ langle -1،3 rangle $ يأخذك إلى النقطة $ (3،8) $
  • يمكنك طرح نقطتين للحصول على الإزاحة بينهما: $ (10،10) - (3،1) = langle 7،9 rangle $ ، وهي الإزاحة التي ستأخذها من الموقع الثاني للوصول إلى الأول
  • يمكنك إضافة عمليتي إزاحة للحصول على إزاحة مركبة: $ langle 1،3 rangle + langle -5،8 rangle = langle -4،11 rangle $. بمعنى ، الذهاب خطوة واحدة شمالًا و 3 شرقًا ، ثم الانتقال 5 جنوبًا و 8 شرقًا هو نفس الشيء ويتجه 4 جنوبًا و 11 شرقًا.

لكن لا يمكنك إضافة نقطتين.

بعبارات أكثر تحديدًا: موسكو + $ langle text <200 كم شمالًا ، 7000 كم غربًا> rangle $ هو موقع آخر (نقطة) في مكان ما على الأرض. لكن موسكو + لوس أنجلوس لا معنى لها.

للتلخيص ، الموقع هو مكان (أو متى) أنت ، والإزاحة هي كيف تنتقل من مكان إلى آخر. تحتوي الإزاحات على المقدار (إلى أي مدى يجب قطعها) والاتجاه (والذي يكون في الوقت المناسب ، الفضاء أحادي البعد ، ببساطة موجبًا أو سالبًا). في الفضاء ، المواقع نقاط والتهجير ثلاثة أبعاد. في الوقت المناسب ، المواقع هي (نقاط في) الوقت ، الملقب. لحظات والتهجير المدد.

تحرير 1: رداً على بعض التعليقات ، أود أن أشير إلى أن الساعة 4:00 مساءً. هو ليس إزاحة ، ولكن "+4 ساعات" و "-7 ساعات". بالتأكيد يمكنك الوصول إلى الساعة 4:00 مساءً. (لحظة) بإضافة الإزاحة "+16 ساعة" إلى منتصف الليل الفوري. يمكنك أيضًا الوصول إلى الساعة 4:00 مساءً. باضافة الدبلومة "-3 ساعات" الى 7:00 م مصدر الارتباك بين المواقع وحالات الإزاحة هو أن الناس يعملون عقليًا في أنظمة إحداثيات بالنسبة إلى بعض الأصول (سواء كان $ (0،0) $ أو "منتصف الليل" أو ما شابه ذلك) ويتم تمثيل كلا المفهومين كإحداثيات. أعتقد أن هذا كان الهدف من السؤال.

تحرير 2: I added some text to make clear that durations actually have direction I had written both -2.5 hours and +3 hours earlier, but some might have missed that the negative encapsulated a direction, and felt that a duration is "only a scalar" when in fact the adding of a $ or $-$ really does give it direction.

EDIT 3: A summary in table form:

Points and vectors are not the same thing. Given two points in 3D space, we can make a vector from the first point to the second. And, given a vector and a point, we can start at the point and "follow" the vector to get another point.

There is a nice fact, however: the points in 3D space (or $mathbb^n$, more generally) are in a very nice correspondence with the vectors that start at the point $(0,0,0)$. Essentially, the idea is that we can represent the vector with its ending point, and no information is lost. This is sometimes called putting the vector in "standard position".

For a course like vector calculus, it is important to keep a good distinction between points and vectors. Points correspond to vectors that start at the origin, but we may need vectors that start at other points.

For example, given three points $A$, $B$, and $C$ in 3D space, we may want to find the equation of the plane that spans them, If we just knew the normal vector $vec n$ of the plane, we could write the equation directly as $vec n cdot (x,y,z) = vec n cdot A$. So we need to find that normal $vec n$. To do that, we compute the cross product of the vectors $vec $ and $vec$. If we computed the cross product of $A$ and $C$ instead (pretending they are vectors in standard position), we could not get the right normal vector.

For example, if $A = (1,0,0)$, $B = (0,1,0)$, and $C = (0,0,1)$, the normal vector of the corresponding plane would not be parallel to any coordinate axis. But if we take any two of $A$, $B$, and $C$ and compute a cross product, we will get a vector parallel to one of the coordinate axes.

In spirit they are different things. But the usual convention is to think of vector in the plane or in three-dimensional space as starting at the origin. In that case, a vector is identified precisely by its ending point, giving you an identification between points and vectors.

One way to see that they are different things (even if identified in many circumstances), is that you can add vectors, while the sum of points makes no sense. Same with the dot and cross products.

What exactly is أ vector? You are right that we usually consider a vector as something that has a direction and a magnitude, but there more precise and abstract definition is that a vector in, for example, $mathbb^n$ is just an element of that set. So it is the same as a point when you consider it as an element of a set.

Now if you want to talk about cross products and magnitudes, then it becomes a question about linguistics. The way you, for example, define the magnitude as the function $ lvertcdot vert: mathbb^2 o mathbb $ given for $a = (a_1, a_2) in mathbb^2$ by $ lvert a vert = sqrt. $ So if you insist on talking about the magnitude of a point, then you are "free" to do so (i.e. free to define this). But bare in mind that you will also cause confusion by doing this. And with doing math, we want to communicate clearly and so .

In the same way, you could define the addition or cross product of points.

Maybe it would be better to say this: Is the vector space the same as a set? Yes, a vector space is a set. But it is also more than a set. We can't add elements of a set, but we can add elements of a vector space because with a vector space you get the definition of an addition. So in this sense, a point and vector are very much different.

Added: If you want to find the equation of a plane that contains the three points $a$, $b$, and $c$, then you would not subtract the points. So how do you so it. Well, if the coordinates to point $a$ are $(a_1, a_2, a_3)$, i.e. if $a = (a_1, a_2, a_3)$, (and likewise for $b$ and $c$) then you first define the vectors $ vec = (b_1 - a_1, b_2- a_2, b_3 - a_3) $ and $ vec = (c_1 - a_1, c_2- a_2, c_3 - a_3). $ Then a normal vector for/to the plane is the cross product of the vectors: $vec imes vec$.

This is a question which causes a lot of confusion and it's good that you are trying to clear it up as early as possible. It is clearly a question about the geometric meaning of vectors, so IMHO it is not helpful when people start to involve vector spaces in the discussion.

Let me make the assumption that you know what a point is, and that the confusion begins when vectors are introduced. I don't know how to include diagrams in a post so I must ask you to draw your own. You can visualise a vector as an arrow in the plane (or in $3$-dimensional space, but let's stick with a plane for now). The usual understanding is that a vector is specified by its length and direction, and ليس by where it is located in the plane. For example, draw an arrow from $(1,-2)$ to $(3,1)$ and another from $(0,2)$ to $(2,5)$. The two arrows have the same length and direction, so they are regarded as the same vector, and it can be written as the vector $(2,5)$, or $2<f i>+5<f j>$ if that's the notation your instructors use.

We often use language a bit loosely and refer to a point as a vector. (It would be more precise to say the point is represented by the vector, but contrary to popular belief mathematicians are not always 100% accurate in how they speak!) In this case we mean the vector from the origin to the stated point. So the first vector drawn above does not represent the point $(3,1)$ since it does not start from the origin. On the other hand, if you draw the arrow from $(0,0)$ to $(2,5)$ then you can see that it is the same vector (that is, has the same length and direction) as the other two. Since it starts from the origin, this vector represents the point $(2,5)$ - as do the other two, since they are the same vector. As you can see, a vector from the origin and the point it represents are the same numerically, but they are different conceptually and it's worth spending some time trying to get your head around it.

Another example - if you haven't seen this yet I expect you soon will. The equation of a line can be written in "parametric vector form" as, for example, $<f x>=(1,2)+lambda(3,4)quadhbox$>.$ Here we think of the vector $(1,2)$ as specifying a point on the line and $(3,4)$ as specifying the direction of the line. So it هو important that we should draw $(1,2)$ as starting from the origin (please draw it), but it is ليس important where we draw $(3,4)$, and the easiest way is to draw it starting at $(1,2)$ and going to $(4,6)$. Then you can draw in the line through $(1,2)$ in the direction $(3,4)$, and this is the line specified by the above equation. The notation $<f x>$ will be a variable point on the line, or in other words a variable vector from the origin to the line.


محتويات

أ linear code of length ن and rank ك is a linear subspace ج with dimension ك of the vector space F q n _^> where F q _> is the finite field with ف elements. Such a code is called a ف-ary code. If ف = 2 or ف = 3, the code is described as a binary code, or a ternary code respectively. The vectors in ج are called codewords. ال size of a code is the number of codewords and equals ف ك .

ال weight of a codeword is the number of its elements that are nonzero and the distance between two codewords is the Hamming distance between them, that is, the number of elements in which they differ. The distance د of the linear code is the minimum weight of its nonzero codewords, or equivalently, the minimum distance between distinct codewords. A linear code of length ن, dimension ك, and distance د is called an [ن,ك,د] code.

We want to give F q n _^> the standard basis because each coordinate represents a "bit" that is transmitted across a "noisy channel" with some small probability of transmission error (a binary symmetric channel). If some other basis is used then this model cannot be used and the Hamming metric does not measure the number of errors in transmission, as we want it to.

Linearity guarantees that the minimum Hamming distance د between a codeword c0 and any of the other codewords cc0 is independent of c0. This follows from the property that the difference cc0 of two codewords in ج is also a codeword (i.e., an element of the subspace ج), and the property that د(c, c0) = د(cc0, 0). These properties imply that

In other words, in order to find out the minimum distance between the codewords of a linear code, one would only need to look at the non-zero codewords. The non-zero codeword with the smallest weight has then the minimum distance to the zero codeword, and hence determines the minimum distance of the code.

The distance د of a linear code ج also equals the minimum number of linearly dependent columns of the check matrix ح.

Example : The linear block code with the following generator matrix and parity check matrix is a [ 7 , 4 , 3 ] 2 > Hamming code.


2 Answers 2

I don't know what zeroes have got to do with it.

Two vectors will always fill a plane unless one is a multiple of the other.

Three vectors will usually fill $R^3$, but you need to watch out for one of the vectors being a linear combination of the others. Given vectors $u$, $v$ and $w$, you need to check that there are no scalars $a$ and $b$ such that $w=au+bv$. If that is the case, then you only have two independent vectors and they fill a plane. Of course, if all three are multiples of each other then you just have a line.

A. It will fill a plane because $v e ku$.

B. They're not all multiples of each other, so not a line.

Gives equations $2a=2$, $2b=2$, $2b=3$.

These are not consistent, so $w$ is not a linear combination of $u$ and $v$, so they fill $R^3$

For part A, it’s just the opposite: each vector contributes something that the other doesn’t, so together they fill a plane.

In part B you’ve got the same situation with the vectors $u$ and $v$—each makes an independent contribution to the whole. Now, does $w$ also make its own contribution, i.e., is it linearly independent of the other two vectors? Any linear combination of $u$ and $v$ must have the same value for the last two coordinates, but that’s not the case for $w$, so mixing in a multiple of $w$ will vary the last coordinate and the three vectors fill the entire space.

More generrally, it’s not so much how many of the coordinates are affected by the given vectors as it is how many will vary independently of each other. For example, multiples of a single vector will in general affect all of the coordinates, but they will vary in lock-step with each other, so you’ll only get a line that way.


محتويات

A smooth manifold is a mathematical object which looks locally like a smooth deformation of Euclidean space ر ن : for example a smooth curve or surface looks locally like a smooth deformation of a line or a plane. Smooth functions and vector fields can be defined on manifolds, just as they can on Euclidean space, and scalar functions on manifolds can be differentiated in a natural way. However, differentiation of vector fields is less straightforward: this is a simple matter in Euclidean space, because the tangent space of based vectors at a point p can be identified naturally (by translation) with the tangent space at a nearby point q . On a general manifold, there is no such natural identification between nearby tangent spaces, and so tangent vectors at nearby points cannot be compared in a well-defined way. The notion of an affine connection was introduced to remedy this problem by connecting nearby tangent spaces. The origins of this idea can be traced back to two main sources: surface theory and tensor calculus.

Motivation from surface theory Edit

Consider a smooth surface S in 3-dimensional Euclidean space. Near to any point, S can be approximated by its tangent plane at that point, which is an affine subspace of Euclidean space. Differential geometers in the 19th century were interested in the notion of development in which one surface was rolled along another, without slipping أو twisting. In particular, the tangent plane to a point of S can be rolled on S : this should be easy to imagine when S is a surface like the 2-sphere, which is the smooth boundary of a convex region. As the tangent plane is rolled on S , the point of contact traces out a curve on S . Conversely, given a curve on S , the tangent plane can be rolled along that curve. This provides a way to identify the tangent planes at different points along the curve: in particular, a tangent vector in the tangent space at one point on the curve is identified with a unique tangent vector at any other point on the curve. These identifications are always given by affine transformations from one tangent plane to another.

This notion of parallel transport of tangent vectors, by affine transformations, along a curve has a characteristic feature: the point of contact of the tangent plane with the surface always moves with the curve under parallel translation (i.e., as the tangent plane is rolled along the surface, the point of contact moves). This generic condition is characteristic of Cartan connections. In more modern approaches, the point of contact is viewed as the origin in the tangent plane (which is then a vector space), and the movement of the origin is corrected by a translation, so that parallel transport is linear, rather than affine.

In the point of view of Cartan connections, however, the affine subspaces of Euclidean space are model surfaces — they are the simplest surfaces in Euclidean 3-space, and are homogeneous under the affine group of the plane — and every smooth surface has a unique model surface tangent to it at each point. These model surfaces are Klein geometries in the sense of Felix Klein's Erlangen programme. More generally, an n -dimensional affine space is a Klein geometry for the affine group Aff(ن) , the stabilizer of a point being the general linear group GL(ن) . An affine n -manifold is then a manifold which looks infinitesimally like n -dimensional affine space.

Motivation from tensor calculus Edit

The second motivation for affine connections comes from the notion of a covariant derivative of vector fields. Before the advent of coordinate-independent methods, it was necessary to work with vector fields by embedding their respective Euclidean vectors into an atlas. These components can be differentiated, but the derivatives do not transform in a manageable way under changes of coordinates. [ citation needed ] Correction terms were introduced by Elwin Bruno Christoffel (following ideas of Bernhard Riemann) in the 1870s so that the (corrected) derivative of one vector field along another transformed covariantly under coordinate transformations — these correction terms subsequently came to be known as Christoffel symbols.

This idea was developed into the theory of absolute differential calculus (now known as tensor calculus) by Gregorio Ricci-Curbastro and his student Tullio Levi-Civita between 1880 and the turn of the 20th century.

Tensor calculus really came to life, however, with the advent of Albert Einstein's theory of general relativity in 1915. A few years after this, Levi-Civita formalized the unique connection associated to a Riemannian metric, now known as the Levi-Civita connection. More general affine connections were then studied around 1920, by Hermann Weyl, [4] who developed a detailed mathematical foundation for general relativity, and Élie Cartan, [5] who made the link with the geometrical ideas coming from surface theory.

Approaches Edit

The complex history has led to the development of widely varying approaches to and generalizations of the affine connection concept.

The most popular approach is probably the definition motivated by covariant derivatives. On the one hand, the ideas of Weyl were taken up by physicists in the form of gauge theory and gauge covariant derivatives. On the other hand, the notion of covariant differentiation was abstracted by Jean-Louis Koszul, who defined (linear or Koszul) connections on vector bundles. In this language, an affine connection is simply a covariant derivative or (linear) connection on the tangent bundle.

However, this approach does not explain the geometry behind affine connections nor how they acquired their name. [b] The term really has its origins in the identification of tangent spaces in Euclidean space by translation: this property means that Euclidean n -space is an affine space. (Alternatively, Euclidean space is a principal homogeneous space or torsor under the group of translations, which is a subgroup of the affine group.) As mentioned in the introduction, there are several ways to make this precise: one uses the fact that an affine connection defines a notion of parallel transport of vector fields along a curve. This also defines a parallel transport on the frame bundle. Infinitesimal parallel transport in the frame bundle yields another description of an affine connection, either as a Cartan connection for the affine group Aff(ن) or as a principal GL(ن) connection on the frame bundle.

Let M be a smooth manifold and let Γ(Tم) be the space of vector fields on M , that is, the space of smooth sections of the tangent bundle Tم . Then an affine connection on M is a bilinear map

such that for all f in the set of smooth functions on م , written ج ∞ (م, ر) , and all vector fields X, ص on M :


محتويات

The concept of tensor product generalizes the idea of forming tensors from vectors using the outer product, which is an operation that can be defined in finite-dimensional vector spaces using matrices: given two vectors v ∈ V in V> and w ∈ W in W> written in terms of components, i.e.

their outer or Kronecker product is given by

The matrix formed this way corresponds naturally to a tensor, where such is understood as a multilinear functional, by sandwiching it with matrix multiplication between a vector and its dual, or transpose:

It is important to note that the tensor, as written, takes two dual vectors - this is an important point that will be dealt with later. In the case of finite dimensions, there is not a strong distinction between a space and its dual, however, it does matter in infinite dimensions and, moreover, getting the regular-vs-dual part right is essential to ensuring that the idea of tensors being developed here corresponds correctly to other senses in which they are viewed, such as in terms of transformations, which is common in physics.

The tensors constructed this way generate a vector space themselves when we add and scale them in the natural componentwise fashion and, in fact, الكل multilinear functionals of the type given can be written as some sum of outer products, which we may call pure tensors أو simple tensors. This is sufficient to define the tensor product when we can write vectors and transformations in terms of matrices, however, to get a fully general operation, a more abstract approach will be required. Especially, we would like to isolate the "essential features" of the tensor product without having to specify a particular basis for its construction, and that is what we will do in the following sections.

To achieve that aim, the most natural way to proceed is to try and isolate an essential characterizing property which will describe, out of all possible vector spaces we could build from الخامس و دبليو, the one which (up to isomorphism) is their tensor product, and which will apply without consideration of any arbitrary choices such as a choice of basis. And the way to do this is to flip the tensor concept "inside out" - instead of viewing the tensors as an object which acts upon vectors in the manner of a bilinear map, we will view them instead as objects to be acted upon ل produce a bilinear map. The trick is in recognizing that the Kronecker product "preserves all the information" regarding which vectors went into it: the ratios of vector components can be derived from


12.1: Vectors in Space

In this section we need to take a look at the equation of a line in (^3>). As we saw in the previous section the equation (y = mx + b) does not describe a line in (^3>), instead it describes a plane. This doesn’t mean however that we can’t write down an equation for a line in 3-D space. We’re just going to need a new way of writing down the equation of a curve.

So, before we get into the equations of lines we first need to briefly look at vector functions. We’re going to take a more in depth look at vector functions later. At this point all that we need to worry about is notational issues and how they can be used to give the equation of a curve.

The best way to get an idea of what a vector function is and what its graph looks like is to look at an example. So, consider the following vector function.

[vec rleft( t ight) = leftlangle ight angle ]

A vector function is a function that takes one or more variables, one in this case, and returns a vector. Note as well that a vector function can be a function of two or more variables. However, in those cases the graph may no longer be a curve in space.

The vector that the function gives can be a vector in whatever dimension we need it to be. In the example above it returns a vector in (^2>). When we get to the real subject of this section, equations of lines, we’ll be using a vector function that returns a vector in (^3>)

Now, we want to determine the graph of the vector function above. In order to find the graph of our function we’ll think of the vector that the vector function returns as a position vector for points on the graph. Recall that a position vector, say (vec v = leftlangle ight angle ), is a vector that starts at the origin and ends at the point (left( ight)).

So, to get the graph of a vector function all we need to do is plug in some values of the variable and then plot the point that corresponds to each position vector we get out of the function and play connect the dots. Here are some evaluations for our example.

[vec rleft( < - 3> ight) = leftlangle < - 3,1> ight angle hspace<0.25in>hspace<0.25in>vec rleft( < - 1> ight) = leftlangle < - 1,1> ight angle hspace<0.25in>hspace<0.25in>vec rleft( 2 ight) = leftlangle <2,1> ight angle hspace<0.25in>hspace<0.25in>vec rleft( 5 ight) = leftlangle <5,1> ight angle ]

So, each of these are position vectors representing points on the graph of our vector function. The points,

are all points that lie on the graph of our vector function.

If we do some more evaluations and plot all the points we get the following sketch.

In this sketch we’ve included the position vector (in gray and dashed) for several evaluations as well as the (t) (above each point) we used for each evaluation. It looks like, in this case the graph of the vector equation is in fact the line (y = 1).

Here’s another quick example. Here is the graph of (vec rleft( t ight) = leftlangle <6cos t,3sin t> ight angle ).

In this case we get an ellipse. It is important to not come away from this section with the idea that vector functions only graph out lines. We’ll be looking at lines in this section, but the graphs of vector functions do not have to be lines as the example above shows.

We’ll leave this brief discussion of vector functions with another way to think of the graph of a vector function. Imagine that a pencil/pen is attached to the end of the position vector and as we increase the variable the resulting position vector moves and as it moves the pencil/pen on the end sketches out the curve for the vector function.

Okay, we now need to move into the actual topic of this section. We want to write down the equation of a line in (^3>) and as suggested by the work above we will need a vector function to do this. To see how we’re going to do this let’s think about what we need to write down the equation of a line in (^2>). In two dimensions we need the slope ((m)) and a point that was on the line in order to write down the equation.

In (^3>) that is still all that we need except in this case the “slope” won’t be a simple number as it was in two dimensions. In this case we will need to acknowledge that a line can have a three dimensional slope. So, we need something that will allow us to describe a direction that is potentially in three dimensions. We already have a quantity that will do this for us. Vectors give directions and can be three dimensional objects.

So, let’s start with the following information. Suppose that we know a point that is on the line, ( = left( <,,> ight)), and that (vec v = leftlangle ight angle ) is some vector that is parallel to the line. Note, in all likelihood, (vec v) will not be on the line itself. We only need (vec v) to be parallel to the line. Finally, let (P = left( ight)) be any point on the line.

Now, since our “slope” is a vector let’s also represent the two points on the line as vectors. We’ll do this with position vectors. So, let (overrightarrow <> ) and (vec r) be the position vectors for ص0 and (P) respectively. Also, for no apparent reason, let’s define (vec a) to be the vector with representation (overrightarrow <P> ).

We now have the following sketch with all these points and vectors on it.

Now, we’ve shown the parallel vector, (vec v), as a position vector but it doesn’t need to be a position vector. It can be anywhere, a position vector, on the line or off the line, it just needs to be parallel to the line.

Next, notice that we can write (vec r) as follows,

[vec r = overrightarrow <> + vec a]

If you’re not sure about this go back and check out the sketch for vector addition in the vector arithmetic section. Now, notice that the vectors (vec a) and (vec v) are parallel. Therefore there is a number, (t), such that

This is called the vector form of the equation of a line. The only part of this equation that is not known is the (t). Notice that (t,vec v) will be a vector that lies along the line and it tells us how far from the original point that we should move. If (t) is positive we move away from the original point in the direction of (vec v) (right in our sketch) and if (t) is negative we move away from the original point in the opposite direction of (vec v) (left in our sketch). As (t) varies over all possible values we will completely cover the line. The following sketch shows this dependence on (t) of our sketch.

There are several other forms of the equation of a line. To get the first alternate form let’s start with the vector form and do a slight rewrite.

[eginvec r & = leftlangle <,,> ight angle + tleftlangle ight angle leftlangle ight angle & = leftlangle <+ ta, + tb, + tc> ight angle end]

The only way for two vectors to be equal is for the components to be equal. In other words,

This set of equations is called the parametric form of the equation of a line. Notice as well that this is really nothing more than an extension of the parametric equations we’ve seen previously. The only difference is that we are now working in three dimensions instead of two dimensions.

To get a point on the line all we do is pick a (t) and plug into either form of the line. In the vector form of the line we get a position vector for the point and in the parametric form we get the actual coordinates of the point.

There is one more form of the line that we want to look at. If we assume that (a), (b), and (c) are all non-zero numbers we can solve each of the equations in the parametric form of the line for (t). We can then set all of them equal to each other since (t) will be the same number in each. Doing this gives the following,

This is called the symmetric equations of the line.

If one of (a), (b), or (c) does happen to be zero we can still write down the symmetric equations. To see this let’s suppose that ­(b = 0). In this case (t) will not exist in the parametric equation for (y) and so we will only solve the parametric equations for (x) and (z) for (t). We then set those equal and acknowledge the parametric equation for (y) as follows,

Let’s take a look at an example.

To do this we need the vector (vec v) that will be parallel to the line. This can be any vector as long as it’s parallel to the line. In general, (vec v) won’t lie on the line itself. However, in this case it will. All we need to do is let (vec v) be the vector that starts at the second point and ends at the first point. Since these two points are on the line the vector between them will also lie on the line and will hence be parallel to the line. So,

[vec v = leftlangle <1, - 5,6> ight angle ]

Note that the order of the points was chosen to reduce the number of minus signs in the vector. We could just have easily gone the other way.

Once we’ve got (vec v) there really isn’t anything else to do. To use the vector form we’ll need a point on the line. We’ve got two and so we can use either one. We’ll use the first point. Here is the vector form of the line.

[vec r = leftlangle <2, - 1,3> ight angle + tleftlangle <1, - 5,6> ight angle = leftlangle <2 + t, - 1 - 5t,3 + 6t> ight angle ]

Once we have this equation the other two forms follow. Here are the parametric equations of the line.

[eginx & = 2 + t y & = - 1 - 5t z & = 3 + 6tend]

Here is the symmetric form.

To answer this we will first need to write down the equation of the line. We know a point on the line and just need a parallel vector. We know that the new line must be parallel to the line given by the parametric equations in the problem statement. That means that any vector that is parallel to the given line must also be parallel to the new line.

Now recall that in the parametric form of the line the numbers multiplied by (t) are the components of the vector that is parallel to the line. Therefore, the vector,

[vec v = leftlangle <3,12, - 1> ight angle ]

is parallel to the given line and so must also be parallel to the new line.

The equation of new line is then,

[vec r = leftlangle <0, - 3,8> ight angle + tleftlangle <3,12, - 1> ight angle = leftlangle <3t, - 3 + 12t,8 - t> ight angle ]

If this line passes through the (xz)-plane then we know that the (y)-coordinate of that point must be zero. So, let’s set the (y) component of the equation equal to zero and see if we can solve for (t). If we can, this will give the value of (t) for which the point will pass through the (xz)-plane.

[ - 3 + 12t = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>t = frac<1><4>]

So, the line does pass through the (xz)-plane. To get the complete coordinates of the point all we need to do is plug (t = frac<1><4>) into any of the equations. We’ll use the vector form.

[vec r = leftlangle <3left( <4>> ight), - 3 + 12left( <4>> ight),8 - frac<1><4>> ight angle = leftlangle <4>,0,frac<<31>><4>> ight angle ]

Recall that this vector is the position vector for the point on the line and so the coordinates of the point where the line will pass through the (xz)-plane are (left( <4>,0,frac<<31>><4>> ight)).


Blanks and lengths: Understanding SAS/IML character vectors

SAS programmers are probably familiar with how SAS stores a character variable in a data set, but how is a character vector stored in the SAS/IML language?

Recall that a character variable is stored by using a fixed-width storage structure. In the SAS DATA step, the maximum number of characters that can be stored in a variable is determined when the variable is initialized, or you can use the LENGTH statement to specify the maximum number of characters. For example, the following statement specifies that the NAME variable can store up to 10 characters:

The values in a character variable are left aligned. That is, values that have fewer than 10 characters are padded on the right with blanks (space characters).

SAS/IML character vectors

The same rules apply to character vectors in the SAS/IML language. A vector has a "length" that determines the maximum number of characters that can be stored in any element. (In this article, "length" means the maximum number of characters, not the number of elements in a vector.) Elements with fewer characters are blank-padded on the right. Consequently, the following two character vectors are equivalent. :

You can determine the maximum number of characters that can be stored in each element by using the NLENG function in SAS/IML. You can also discover the number of characters in each element of a vector (omitting any blank padding) by using the LENGTH function, as follows:

In this example, each element of the vector c can hold up to six characters. If you write the c variable to a SAS data set, the corresponding variable will have length 6. However, if you trim off the blanks at the end of the strings, most elements have fewer than six characters. Notice that the LENGTH function counts blanks at the beginning and the middle of a string but not at the end, so that the string " XZ" counts as four characters.

Where are the blanks?

Notice that the ODS HTML destination is not ideal for visualizing blanks in strings. In HTML, multiple blank characters are compressed into a single blank when the string is rendered, so only one space appears on the displayed output. If you need to view the spaces in the strings, use the ODS LISTING destination, which uses a fixed-width font that preserves spaces. Alternatively, the following SAS/IML function prints each character (not including trailing blanks):

I think the Str2Vec function is very cool. It uses a feature of the SUBSTR function in SAS/IML 12.1 to convert a string into a vector of characters. The PrintChars function simply calls the Str2Vec function for each element of a character matrix and prints the characters with a column header. This makes it easy to see each character's position in a string.

This article provides a short overview of how strings are stored inside SAS/IML character vectors. For more details about SAS/IML character vectors and how you can manipulate strings, see Chapter 2 of Statistical Programming with SAS/IML Software.

About Author

Rick Wicklin, PhD, is a distinguished researcher in computational statistics at SAS and is a principal developer of SAS/IML software. His areas of expertise include computational statistics, simulation, statistical graphics, and modern methods in statistical data analysis. Rick is author of the books Statistical Programming with SAS/IML Software و Simulating Data with SAS.

4 Comments

كيف يتغير هذا عند استخدام أحرف متعددة البايت ، خاصة UTF-8 ، حيث يكون للأحرف عروض مختلفة؟ هذا اعتبار مهم في جميع اللغات تقريبًا بخلاف الإنجليزية. لا ينبغي أبدًا كتابة البرامج الحديثة بافتراض أن الحرف يستخدم بايتًا واحدًا.

أنت محق ، تمت كتابة منشور المدونة هذا للنص باللغة الإنجليزية. تدعم SAS العديد من الوظائف لـ DBCS و MBCS. بالنسبة للأحرف متعددة البايت ، تنطبق نفس الأفكار العامة للتسلسل ، لكنك تحتاج إلى استخدام "دوال K" مثل وظيفة KSUBSTR للاستعلام عن السلاسل ومعالجتها.


إجراء SSM (تجريبي)

تم وصف نموذج الفضاء (الخطي) في الأدبيات بعدة طرق مختلفة وبدرجات متفاوتة من العمومية. الوصف الوارد في هذا القسم يتبع بشكل فضفاض الوصف الوارد في Durbin and Koopman (2001 ، الفصل 6 ، القسم 4). هذه الصيغة لـ SSM عامة جدًا على وجه الخصوص ، فهي تشمل SSM غير الثابتة مع مصفوفات نظام متغيرة بمرور الوقت ومعادلات الحالة مع حالة أولية منتشرة (يتم تعريف هذه المصطلحات لاحقًا في هذا القسم الفرعي).

افترض أنه تم جمع الملاحظات بطريقة متسلسلة (مفهرسة بواسطة متغير رقمي) على بعض المتغيرات: المتجه ، الذي يشير إلى قيم الاستجابة المتغيرة ، والمتجه ذي الأبعاد ، والذي يشير إلى المتنبئين. افترض أن حالات المراقبة هي. لا يتم استبعاد احتمال أن يتم أخذ ملاحظات متعددة في حالة معينة ، ولا تحتاج حالات الملاحظة المتتالية إلى أن تكون متباعدة بانتظام - أي لا تحتاج إلى المساواة. على سبيل المثال ، افترض أن () تشير إلى عدد الملاحظات المسجلة على سبيل المثال. من أجل التبسيط الترميزي ، يتم استخدام فهرس ثانوي ذي قيمة صحيحة لفهرسة البيانات بحيث تتوافق مع ، وتتوافق ، وما إلى ذلك. ضع في اعتبارك النموذج التالي:

تصف القائمة التالية هذه المعادلات:

تصف معادلة الملاحظة العلاقة بين متجه الاستجابة الأبعاد والمتجهات غير المرصودة ، و. يتم تكديس الاستجابات المتغيرة عموديًا في عمود لتشكيل متجه الاستجابة هذا ذي الأبعاد. تسمى المتجهات ذات الأبعاد بالحالات ، والمتجه ذو الأبعاد هو متجه معامل الانحدار المرتبط بالمتنبئات ، وتسمى المتجهات ذات الأبعاد باضطرابات الملاحظة. تتوافق مصفوفات (البعد) و (البعد) مع تأثير الحالة وتأثير الانحدار ، على التوالي. من المفترض أن تكون عناصر معروفة بالكامل. الحالات والاضطرابات متواليات عشوائية. من المفترض أن تكون سلسلة من المتجهات العشوائية الغوسية المستقلة ذات المتوسط ​​الصفري مع تباينات قطرية ، مع الإشارة إلى العناصر القطرية بواسطة.

يُفترض أن يتبع تسلسل الحالة بنية ماركوفيان الموصوفة في معادلة انتقال الحالة والشرط الأولي المرتبط بها.

تفترض معادلة انتقال الحالة أن مثيلًا جديدًا للحالة ، يتم الحصول عليه بضرب مثيله السابق ، بمصفوفة مربعة الأبعاد (تسمى مصفوفة انتقال الحالة) وإضافة متجهين: متجه غير عشوائي معروف (يسمى الحالة المدخلات) وناقل اضطراب عشوائي. يُفترض أن تكون نواقل اضطراب الحالة ذات الأبعاد مستقلة ، متجهات عشوائية غاوسية ذات متوسط ​​صفري مع تباينات مشتركة (ليس بالضرورة قطريًا).

يصف الشرط الأولي حالة البداية لمعادلة تطور الحالة. يُفترض أن يكون متجه حالة البداية منتشرًا جزئيًا: إنه مجموع متجه غير عشوائي معروف ، ومتجه غاوسي متوسط ​​الصفر ، ومصطلح يمثل المساهمة من متجه منتشر الأبعاد (المتجه المنتشر هو ناقل غاوسي مع التغاير اللانهائي). من المفترض أن تكون المصفوفة معروفة تمامًا.

يفترض أن تكون اضطرابات الملاحظة واضطرابات الحالة (من أجل) مستقلة عن بعضها البعض. يُفترض أن تكون عناصر المصفوفات والعناصر القطرية لاضطراب الملاحظة معروفة تمامًا ، أو يمكن أن يكون بعضها وظائف لمجموعة صغيرة من المعلمات غير المعروفة (يتم تقديرها من البيانات). افترض أن هذه المجموعة غير المعروفة من المعلمات يُشار إليها بالرمز.

يشكل المتجه المنتشر ذو الأبعاد من الحالة الأولية للحالة مع متجه معامل الانحدار الأبعاد الحالة الأولية المنتشرة ذات الأبعاد الكلية للنموذج. راجع قسم الاحتمالية والتصفية والتجانس لمزيد من المعلومات.

على الرغم من أن هذا الوصف لنموذج الفضاء الخاص بالولاية قد يبدو متضمنًا ، إلا أنه يغطي بشكل ملائم العديد من المتغيرات من SSMs التي يتم مواجهتها في الممارسة ويصف بدقة الحالة الأكثر عمومية التي يمكن معالجتها بواسطة إجراء SSM. أحد القيود المهمة حول الوصف السابق لصياغة النموذج هو أنه يفترض أن المصفوفات التي تظهر في معادلة الملاحظة خالية من المعلمات غير المعروفة وأن التغايرات في اضطرابات الملاحظة قطرية. في معظم الحالات العملية ، يمكن إعادة صياغة النموذج قيد الدراسة بسهولة إلى شكل مكافئ إحصائيًا يتوافق مع هذا التقييد.

لسهولة الرجوع إليها ، يلخص الجدول 27.4 المعلومات الواردة في معادلات SSM.


شاهد الفيديو: Planete en ruimte vir kinders - Opvoedkundige video oor planete met n oulike rympie in Afrikaans (شهر اكتوبر 2021).