مقالات

44: التعابير العقلانية


44: التعابير العقلانية

44: التعابير العقلانية

جمع وطرح التعبيرات النسبية

· أضف التعبيرات المنطقية وتبسيطها.

· طرح التعبيرات المنطقية وتبسيطها.

· أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعديد من التعبيرات الجبرية.

تبسيط المشاكل التي تجمع بين الجمع والطرح.

في بداية الرياضيات ، يتعلم الطلاب عادةً كيفية جمع وطرح الأعداد الصحيحة قبل تعليمهم الضرب والقسمة. ومع ذلك ، مع الكسور و تعابير عقلانيةيتم تدريس الضرب والقسمة في بعض الأحيان أولاً لأن أداء هذه العمليات أسهل من الجمع والطرح. ليس من السهل إجراء عملية جمع وطرح التعبيرات المنطقية مثل الضرب لأنه ، كما هو الحال مع الكسور الرقمية ، تتضمن العملية إيجاد قواسم مشتركة. من خلال العمل بعناية وتدوين الخطوات على طول الطريق ، يمكنك تتبع جميع الأرقام والمتغيرات وتنفيذ العمليات بدقة.

جمع وطرح التعبيرات النسبية ذات المقامات المتشابهة

إن إضافة التعبيرات المنطقية التي لها نفس المقام هو أبسط مكان للبدء ، لذا فلنبدأ من هناك.

لجمع كسور ذات مقامات متشابهة ، اجمع البسط واحتفظ بنفس المقام. ثم قم بتبسيط المجموع. أنت تعرف كيفية القيام بذلك باستخدام الكسور الرقمية.

اتبع نفس العملية لإضافة تعبيرات منطقية ذات مقامات متشابهة. لنجرب واحدة.

يضيف. اذكر المجموع في أبسط صورة.

اجمع البسط بما أن المقامات متشابهة. تذكر أن x لا يمكن أن يكون -4 لأن المقامات ستكون 0.

أعد كتابة العامل المشترك كضرب في 1 وبسّط.

تذكر أنه يجب عليك أيضًا وصف ملف نطاق، مجموعة كل القيم الممكنة للمتغيرات. ال القيم المستبعدة من المجال هي أي قيم للمتغير (المتغيرات) التي ينتج عنها أي مقام يساوي 0. في المسألة أعلاه ، المجال هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء −4 ، حيث أن قيمة x = −4 سينشئ المقام 0. في بعض الأحيان ، عندما نبسط تعبيرًا ما ، لن يدرك القارئ الذي ينظر فقط إلى الإجابة المبسطة أن هناك قيمًا مستبعدة. في المثال أعلاه ، مجرد النظر إلى الشكل المبسط 2x كبديل للأصل /> ، لن يكون لدى القارئ أي طريقة لمعرفة أنه لا يمكن استخدام قيمة −4 من أجل x. لذلك عندما ندعي أن 2x هو ما يعادل /> ، نحتاج إلى توضيح أن 4 قيمة مستبعدة.

لطرح التعبيرات الكسرية ذات المقامات المتشابهة ، اتبع نفس العملية التي تستخدمها لطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة. تشبه العملية تمامًا إضافة التعبيرات المنطقية ، باستثناء أنك تطرح بدلاً من الجمع.

طرح او خصم. اذكر الفرق في أبسط صورة.

اطرح البسط الثاني من الأول واحتفظ بالمقام كما هو. تذكر أن x لا يمكن أن يكون -6 لأن المقامات ستكون 0.

احرص على توزيع السالب على حدي البسط الثاني.

اجمع بين الشروط المتشابهة. لا يمكن تبسيط هذا التعبير المنطقي أكثر من ذلك.

اطرح واذكر الفرق في أبسط صورة. ، س ≠ 5

أ)

أ)

غير صحيح. لقد أجريت عملية الطرح بشكل صحيح ، ولكن يمكن تبسيط هذا التعبير المنطقي لأن البسط والمقام لهما عامل مشترك (x - 5). والجواب الصحيح هو x + 5 .

صيح. نظرًا لوجود قاسم مشترك ، اطرح البسط للحصول على . يمكن تحليل البسط والعامل المشترك لـ (x - 5) موجود في البسط والمقام. .

غير صحيح. العامل المشترك الموجود في البسط والمقام هو x - 5 ، لا x + 5. بعد التخصيم تحصل على: . والجواب الصحيح هو x + 5 .

غير صحيح. لإيجاد الفرق ، اطرح بسط الكسر الثاني من البسط الأول ، على النحو التالي: . ثم حلل البسط وقم بتبسيطه. والجواب الصحيح هو x + 5.

جمع وطرح التعبيرات النسبية ذات المقامات غير المتشابهة

قبل جمع وطرح التعبيرات المنطقية مع على عكس القواسم ، تحتاج إلى إيجاد قاسم مشترك. مرة أخرى ، هذه العملية مشابهة لتلك المستخدمة في جمع وطرح الكسور الرقمية ذات المقامات المختلفة. دعونا نلقي نظرة على مثال رقمي للبدء.

نظرًا لأن المقامات هي 6 و 10 و 4 ، فأنت تريد إيجاد القاسم المشترك الأصغر وعبر عن كل كسر بهذا المقام قبل الإضافة. (بالمناسبة ، يمكنك جمع الكسور من خلال إيجاد أي القاسم المشترك لا يجب أن يكون الأصغر. أنت تركز على استخدام الأقل لأنه لا يوجد تبسيط لذلك. لكن كلتا الحالتين تعمل.)

إيجاد المقام المشترك الأصغر هو نفسه إيجاد أقل مضاعف مشترك من 4 و 6 و 10. هناك طريقتان للقيام بذلك. الأول هو سرد مضاعفات كل رقم وتحديد المضاعفات المشتركة بينهما. سيكون أقل عدد من هذه الأرقام هو القاسم المشترك الأصغر.

الطريقة الأخرى هي استخدام التحليل الأولي، عملية إيجاد العوامل الأولية لعدد. هذه هي الطريقة التي تعمل بها الطريقة مع الأرقام.

استخدم التحليل الأولي لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ 6 و 10 و 4.

أولاً ، أوجد التحليل الأولي لكل مقام.

سيحتوي المضاعف المشترك الأصغر على عوامل 2 و 3 و 5. اضرب كل رقم في الحد الأقصى لعدد مرات ظهوره في عامل واحد.

في هذه الحالة ، 3 تظهر مرة واحدة ، و 5 تظهر مرة واحدة ، و 2 تستخدم مرتين لأنها تظهر مرتين في التحليل الأولي لـ 4.

لذلك ، المضاعف المشترك الأصغر للعدد 6 و 10 و 4 هو 3 • 5 • 2 • 2 أو 60.

المضاعف المشترك الأصغر للعدد 6 و 10 و 4 هو 60.

انظر إلى ذلك — لقد وجدت نفس المضاعف المشترك الأصغر باستخدام كلتا الطريقتين. ومع ذلك ، كان التحليل إلى العوامل الأولية أسرع ، لأنه لم يكن عليك إنشاء مخطط مليء بالمضاعفات للعثور على مضاعف مشترك.

الآن بعد أن وجدت المضاعف المشترك الأصغر ، يمكنك استخدام هذا الرقم باعتباره أقل مقام مشترك للكسور. اضرب كل كسر في الشكل الكسري 1 الذي سينتج عنه مقام 60:

الآن بعد أن أصبح لديك مثل القواسم ، أضف الكسور:

يمكنك أيضًا العثور على أقل القواسم المشتركة للتعبيرات المنطقية واستخدامها لإضافة تعبيرات منطقية ذات مقامات مختلفة:

يضيف. اذكر المجموع في أبسط صورة.

15م 2 = 3 • 5 • مم

أوجد التحليل الأولي لكل مقام.

15م 2 = 35م م

21م = 3 • 7م

LCM: 3 • 5 • 7 مم

أوجد المضاعف المشترك الأصغر. يظهر الرقم 3 مرة واحدة بالضبط في كلا التعبيرين ، لذا سيظهر مرة واحدة في المضاعف المشترك الأصغر. يظهر كل من 5 و 7 مرة واحدة على الأكثر. للمتغيرات ، الأكثر م يظهر مرتين.

استخدم المضاعف المشترك الأصغر للمقام المشترك الجديد ، وستكون شاشة LCD.

قارن بين كل مقام أصلي والمقام المشترك الجديد. الآن أعد كتابة المقادير الكسرية بحيث يكون لكل منها المقام المشترك 105م 2. تذكر ذلك م لا يمكن أن تكون 0 لأن المقامات ستكون 0.

المقام الأول هو 15م 2 وشاشة LCD هي 105م 2. عليك أن تضرب 15م 2 في 7 للحصول على LCD ، اضرب التعبير المنطقي بأكمله في .

المقام الثاني هو 21م وشاشة LCD هي 105م 2. تحتاج إلى ضرب 21م بنسبة 5م للحصول على شاشة LCD ، اضرب التعبير المنطقي بالكامل في .

اجمع البسط واحتفظ بالمقام كما هو.

إن أمكن ، بسّط بإيجاد العوامل المشتركة في البسط والمقام. هذا التعبير المنطقي موجود بالفعل في أبسط صورة لأن البسط والمقام لا يوجد بينهما عوامل مشتركة.

استغرق ذلك بعض الوقت ، لكنك تجاوزته. يمكن أن تكون إضافة التعبيرات المنطقية عملية طويلة ، ولكن يمكن القيام بها بخطوة واحدة في كل مرة.

الآن دعونا نحاول طرح التعبيرات المنطقية. ستستخدم نفس الأسلوب الأساسي لإيجاد المقام المشترك الأصغر وإعادة كتابة كل تعبير كسري للحصول على هذا المقام.

طرح او خصم. اذكر الفرق في أبسط صورة.

أوجد التحليل الأولي لكل مقام. ر + 1 لا يمكن تحليلها إلى عوامل أخرى ، ولكن يمكن ان يكون. تذكر ذلك ر لا يمكن أن يكون -1 أو 2 لأن المقامات ستكون 0.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر. ر يظهر + 1 مرة واحدة بالضبط في كلا التعبيرين ، لذا سيظهر مرة واحدة في المقام المشترك الأصغر. ر - يظهر الرقم 2 مرة واحدة أيضًا.

هذا يعني ذاك (ر - 2)(ر + 1) هو المضاعف المشترك الأصغر. في هذه الحالة ، من الأسهل ترك المضاعف المشترك بدلالة العوامل ، لذلك لن تضربه.

استخدم المضاعف المشترك الأصغر للمقام المشترك الجديد ، وستكون شاشة LCD.

قارن بين كل مقام أصلي والمقام المشترك الجديد. الآن أعد كتابة التعبيرات المنطقية بحيث يكون لكل منها المقام المشترك (ر + 1)(ر – 2).

تحتاج إلى الضرب ر + 1 من خلال ر - 2 للحصول على LCD ، اضرب التعبير المنطقي بأكمله في .

التعبير الثاني له بالفعل مقام (ر + 1)(ر - 2) فلا داعي لضربها بأي شيء.

ثم أعد كتابة مسألة الطرح بالمقام المشترك.

اطرح البسط وبسّط. تذكر أنه يجب تضمين الأقواس حول الثانية (ر - 2) في البسط لأنه يتم طرح الكمية بالكامل. وإلا فسوف تطرح فقط ر.”

البسط والمقام لهما عامل مشترك ر - 2 ، لذلك يمكن تبسيط التعبير المنطقي.

حتى الآن ، تشترك جميع التعبيرات المنطقية التي أضفتها وطرحتها في بعض العوامل. ماذا يحدث عندما لا يكون لديهم عوامل مشتركة؟

طرح او خصم. اذكر الفرق في أبسط صورة.

المضاعف المشترك الأصغر = (2ذ - 1)(ذ - 5)

لا 2 ذ - 1 ولا ص - 5 يمكن أخذها في الاعتبار. نظرًا لعدم وجود عوامل مشتركة بينهما ، فإن المضاعف المشترك الأصغر ، والذي سيصبح أقل القاسم المشترك ، هو حاصل ضرب هذه القواسم. تذكر أن y لا يمكن أن تكون ½ أو 5 لأن المقامات ستكون 0.

اضرب كل تعبير بما يعادل 1 حتى يعطيه المقام المشترك.

ثم أعد كتابة مسألة الطرح بالمقام المشترك. من المنطقي الاحتفاظ بالمقام في صورة محللة من أجل التحقق من العوامل المشتركة.

يضيف. اذكر المجموع في أبسط صورة.

أ)

ب)

ج)

د)

أ)

غير صحيح. النهج صحيح ، لكن الإجابة لم يتم تبسيطها. يمكن تبسيط بسط التعبير المنطقي عن طريق الضرب والجمع بين الحدود المتشابهة. والجواب الصحيح هو .

ب)

غير صحيح. لإضافة تعبيرات نسبية ذات مقامات مختلفة ، يجب أن تجد أولاً مقامًا مشتركًا. القاسم المشترك لهذه التعبيرات المنطقية هو لأن القواسم ليس لها أي عوامل مشتركة. اكتب كلتا الإضافتين بمقام مشترك ، ، ثم التبسيط. والجواب الصحيح هو .

ج)

غير صحيح. يمكنك فقط تبسيط البسط والمقام عند وجود مثل عوامل، لا يشبه مصطلحات. لا يمكنك إلغاء x فصلين و 12. والجواب الصحيح هو .

د)

صيح. ابحث أولاً عن قاسم مشترك ، (x + 4)(x - 3) ، وأعد كتابة كل إضافة باستخدام هذا المقام: . اضرب واجمع البسط: .

الجمع بين العديد من التعبيرات المنطقية

قد تحتاج إلى دمج أكثر من تعبيرين منطقيين. في حين أن هذا قد يبدو واضحًا جدًا إذا كان لديهم جميعًا نفس المقام ، فماذا يحدث إذا لم يكن لديهم نفس المقام؟

في المثال أدناه ، لاحظ كيف تم إيجاد قاسم مشترك لثلاثة تعبيرات نسبية. بمجرد الانتهاء من ذلك ، تبدو عملية جمع المصطلحات وطرحها كما كانت سابقًا ، عندما كنت تتعامل مع مصطلحين فقط.

تبسيط. اذكر النتيجة في أبسط صورة.

x 2 – 4 = (x + 2)(x – 2)

LCM = (x + 2)(x – 2)

أوجد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل كل مقام إلى عوامل. اضرب كل عامل في الحد الأقصى لعدد مرات ظهوره في عامل واحد. تذكر ذلك x لا يمكن أن يكون 2 أو -2 لأن المقامات ستكون 0.

(x + 2) يظهر بحد أقصى مرة واحدة ، كما يفعل (x - 2). هذا يعني أن LCM هو (x + 2)(x – 2).

المضاعف المشترك الأصغر يصبح المقام المشترك. اضرب كل تعبير بما يعادل 1 حتى يعطيه المقام المشترك.

أعد كتابة المسألة الأصلية بالمقام المشترك. من المنطقي الاحتفاظ بالمقام في صورة محللة من أجل التحقق من العوامل المشتركة.

تحقق من أبسط شكل. منذ لا ولا هو عامل ، هذا التعبير هو في أبسط صورة.

تبسيط. اذكر النتيجة في أبسط صورة.

3ذ = 3 • ذ

المضاعف المشترك الأصغر = 3 • 3 • xذ

أوجد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل كل مقام إلى عوامل. اضرب كل عامل في الحد الأقصى لعدد مرات ظهوره في عامل واحد. تذكر ذلك x و ذ لا يمكن أن تكون 0 لأن المقامات ستكون 0.

يصبح المضاعف المشترك الأصغر هو القاسم المشترك. اضرب كل تعبير بما يعادل 1 حتى يعطيه المقام المشترك.


تعابير عقلانية

حلل العوامل حيثما أمكن ، ثم اضرب البسط والمقام واختزل إلى أدنى حد.

استخدم خاصية قسمة التعبيرات المنطقية.

كما هو موضح في قائمة الخصائص ، لطرح تعبيرين كسريين لهما نفس المقام ، نطرح البسطين مع الاحتفاظ بنفس المقام.

لا يمكن إضافة هذه الكسور الثلاثة حتى تصبح مقاماتها كما هي. المقام المشترك الذي نقسم عليه كل من p و 2 p و 3 p هو 6p. لاحظ أن 12p هو أيضًا مقام مشترك ، لكن 6p هو المقام المشترك الأصغر. استخدم الخاصية الأساسية لإعادة كتابة كل تعبير كسري بمقامه 6p.

لإيجاد المقام المشترك الأصغر ، حلل كل مقام في الاعتبار أولًا ، ثم غيّر كل كسر بحيث يكون لكل منهم نفس المقام ، أي أن يتم الضرب في حاصل الضرب الذي يساوي 1 فقط.

نظرًا لأنه لا يمكن تحليل البسط إلى عوامل أخرى ، فإننا نترك إجابتنا بهذه الصيغة. يمكننا أيضًا ضرب المقام ، لكن الصيغة المحللة إلى عوامل عادة ما تكون أكثر فائدة.


اختزال التعبيرات المنطقية إلى أدنى حد

لاحظ أننا في الواقع نضرب في الأشكال المكافئة لـ 1 ، المتطابقة المضاعفة. إذا بدأنا بتحويلها إلى ، فإننا نبسطها عن طريق تقليلها إلى أدنى حد ، ويمكننا تقليلها على النحو التالي:

يتم التعبير عن العدد المنطقي بأدنى حد عندما لا يكون للبسط والمقام عوامل مشتركة غير 1. عند الاختزال ، نقسم البسط والمقام على العامل المشترك 2 ، أو "نقسم على" العامل المشترك 2. يمكننا اضرب أو اقسم كلًا من بسط ومقام رقم نسبي على نفس العدد غير الصفري دون تغيير قيمة الرقم المنطقي. هذه الحقيقة تسمى المبدأ الأساسي للأعداد المنطقية.

المبدأ الأساسي للأعداد النسبية

إذا كان عددًا نسبيًا وكان c عددًا حقيقيًا غير صفري ، إذن

يتعلم معظم الطلاب التحويل إلى عن طريق قسمة 3 على 6 للحصول على 2 ثم ضرب 2 في 2 للحصول على 4. في الجبر ، من الأفضل إجراء هذا التحويل بضرب البسط والمقام في 2 كما هو موضح هنا.

لا يمكننا تقسيم 2 في هذا التعبير لأن 2 ليست عوامل. يمكننا قسمة العوامل المشتركة فقط عند اختزال الكسور.

مثلما يحتوي العدد المنطقي على عدد لا نهائي من الأشكال المتكافئة ، فإن التعبير العقلاني له أيضًا عدد لا نهائي من الأشكال المكافئة. لتقليل التعبيرات المنطقية إلى أدنى حد ، نتبع نفس الإجراء تمامًا كما نفعل مع الأرقام المنطقية: حلل البسط والمقام إلى عوامل تمامًا ، ثم اقسم كل العوامل المشتركة.

اختصر كل تعبير منطقي لأدنى حد.

أ) إلى عوامل 18 كـ 2 Â · 3 2 و 42 كـ 2 · 3 Â · 7:

ب) نظرًا لأن هذا التعبير تم تحليله بالفعل إلى عوامل ، فإننا نستخدم قاعدة خارج القسمة للأسس لتقليل:


وظائف عقلانية

الدوال العقلانية لها الشكل

حيث p (x) و q (x) هي كثيرة الحدود و q (x) ≠ 0. مجال الدالة الكسرية يتكون من جميع الأعداد الحقيقية x بحيث يكون المقام q (x) ≠ 0.

أ. بسّط: r (x) = 2 x 2 + 5 x - 3 6 x 2 + 18 x.

أ. لتبسيط الدالة الكسرية ، حللها أولاً ثم احذفها.

ب. لتحديد القيود ، ساوي مقام الدالة الأصلية بالصفر وحلها.

يتكون المجال من جميع الأرقام الحقيقية x، حيث x ≠ 0 و x ≠ - 3.

ج. بما أن −2 ليس قيدًا ، فاستبدلها بالمتغير x باستخدام الصيغة المبسطة.

ب. المجال هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 0 و 3.

إذا كانت دالة تكلفة دالة تمثل تكلفة إنتاج عدد معين من الوحدات. تمثل C (x) تكلفة الإنتاج x الوحدات ، ثم متوسط ​​التكلفة إجمالي التكلفة مقسومًا على عدد الوحدات المنتجة ، والتي يمكن تمثيلها بـ c (x) = C (x) x ، حيث C (x) هي دالة تكلفة. ج (س) هي التكلفة مقسومة على عدد الوحدات المنتجة.

المثال 13: التكلفة بالدولار لإنتاج القمصان التي تحمل شعار الشركة يتم تحديدها بواسطة C (x) = 7 x + 200 ، حيث x يمثل عدد القمصان المنتجة. تحديد متوسط ​​تكلفة الإنتاج

حل: قم بإعداد وظيفة تمثل متوسط ​​التكلفة.

بعد ذلك ، احسب c (40) و c (250) و c (1000).

أ. إذا تم إنتاج 40 تي شيرت ، فإن متوسط ​​تكلفة القميص هو 12.00 دولارًا.

ب. إذا تم إنتاج 250 تي شيرت ، فإن متوسط ​​تكلفة القميص هو 7.80 دولارًا.

ج. إذا تم إنتاج 1000 تي شيرت ، فإن متوسط ​​تكلفة القميص هو 7.20 دولارًا.

الماخذ الرئيسية

  • لا يتم تعريف التعبيرات المنطقية عادةً لجميع الأعداد الحقيقية. الأعداد الحقيقية التي تعطي القيمة 0 في المقام ليست جزءًا من المجال. هذه القيم تسمى قيود.
  • إن تبسيط المقادير الكسرية يشبه تبسيط الكسور. أولًا ، حلل البسط والمقام إلى عوامل ثم احذف العوامل المشتركة. يتم تبسيط المقادير المنطقية إذا لم يكن هناك عوامل مشتركة غير 1 في البسط والمقام.
  • التعبيرات المنطقية المبسطة مكافئة للقيم في مجال التعبير الأصلي. تأكد من ذكر القيود إذا لم يُفترض أن المقامات ليست صفرية.
  • استخدم خاصية ذات الحدين المعاكسة لإلغاء العوامل ذات الحدين التي تتضمن الطرح. استخدم - (أ - ب) = ب - أ لاستبدال العوامل التي ستلغي بعد ذلك. لا تخلط بين هذا وبين العوامل التي تتضمن الجمع ، مثل (أ + ب) = (ب + أ).

تمارين الموضوع

الجزء أ: التعابير العقلانية

تقييم لمجموعة معينة من x-القيم.

9. املأ الرسم البياني التالي:

10. املأ الرسم البياني التالي:

11. املأ الرسم البياني التالي:

12. املأ الرسم البياني التالي:

يعتمد وزن الجسم على ارتفاعه فوق سطح الأرض. إذا كان الجسم يزن 120 رطلاً على سطح الأرض ، فإن وزنه بالجنيه ، W ، x يتم تقريب الأميال فوق السطح بواسطة الصيغة W = 120 ⋅ 4000 2 (4000 + x) 2

لكل مشكلة أدناه ، قم بتقريب وزن جسم يزن 120 رطلاً عند الارتفاع المعطى فوق سطح الأرض. (1 ميل = 5280 قدمًا)

نسبة السعر إلى الأرباح (P / E) هي مقياس يستخدم لمقارنة تقييمات الشركات المماثلة المتداولة علنًا. يتم احتساب نسبة السعر إلى العائد باستخدام سعر السهم وعائد السهم (EPS) خلال فترة الـ 12 شهرًا السابقة على النحو التالي: P / E = p r i c e p e r s h a r e e a r n i n g s p e r s h a r e

إذا تم تسعير كل سهم من أسهم الشركة بسعر 22.40 دولارًا ، فاحسب نسبة السعر إلى العائد مع إعطاء القيم التالية لأرباح السهم.

19. ماذا يحدث لنسبة السعر إلى الربحية عندما تنخفض الأرباح؟

20. ماذا يحدث لنسبة السعر إلى الربحية عند زيادة الأرباح؟

اذكر القيود على المجال.

33.4 × (2 × + 1) 12 × 2 + × - 1

الجزء ب: تبسيط التعبيرات المنطقية

اذكر القيود ثم قم بتبسيطها.

37.3 × 2 (× - 2) 9 × (× - 2)

38. 20 (x - 3) (x - 5) 6 (x - 3) (x + 1)

39.6 × 2 (× - 8) 36 × (× + 9) (× - 8)

41.9 × 2-6 × + 1 (3 × - 1) 2

45. 2 × 3-12 × 2 5 × 2-30 ×

46. ​​30 × 5 + 60 × 4 2 × 3-8 ×

48. x 2 - x - 6 3 x 2-8 x - 3

49.6 × 2 - 25 × + 25 3 × 2 + 16 × - 35

51. × 2-10 × + 21 × 2-4 × - 21

الجزء ج: تبسيط التعبيرات المنطقية بعوامل ذات الحدين

اذكر القيود ثم قم بتبسيطها.

59. (2 × - 5) (× - 7) (7 - ×) (2 × - 1)

60. (3 x + 2) (x + 5) (x - 5) (2 + 3 x)

63.4 × 2 (10 - ×) 3 × 3 - 300 ×

65. 2 × 2-7 × - 4 1-4 × 2

67. x 2-5 x - 14 7-15 x + 2 x 2

68. 2 x 3 + x 2 - 2 x - 1 1 + x - 2 x 2

69. x 3 + 2 x - 3 x 2-6 2 + x 2

تبسيط. (افترض أن جميع القواسم ليست صفرية.)

73. - 15 × 3 ص 2 5 × ص 2 (س + ص)

74. 14 × 7 ص 2 (س - 2 ص) 4 7 × 8 ص (س - 2 ص) 2

78. أ 2 - أ ب - 6 ب 2 أ 2 - 6 أ ب + 9 ب 2

79. 2 أ 2 - 11 أ + 12 - 32 + 2 أ 2

80. أ 2 ب - 3 أ 2 3 أ 2-3 أ ب

81. س ص 2 - س + ص 3 - ص س - س ص 2

82. x 3 - x y 2 - x 2 y + y 3 x 2 - 2 x y + y 2

الجزء د: وظائف عقلانية

85. و (س) = 5 س س - 3 و (0) ، و (2) ، و (4)

86. و (س) = س + 7 × 2 + 1 و (- 1) ، و (0) ، و (1)

87. ز (س) = س 3 (س - 2) 2 غ (0) ، غ (2) ، غ (- 2)

88. ز (س) = س 2-9 9 - × 2 غ (- 2) ، غ (0) ، غ (2)

89. ز (س) = س 3 × 2 + 1 غ (- 1) ، غ (0) ، غ (1)

90. جم (س) = 5 × + 1 × 2-25 جم (- 1/5) ، جم (- 1) ، جم (- 5)

حدد القيود على المجال ثم قم بتبسيطها.

91. f (x) = - 3 x 2-6 x x 2 + 4 x + 4

92. f (x) = x 2 + 6 x + 9 2 x 2 + 5 x - 3

95. ز (س) = 3 س - 15 10-2 س

96. ز (س) = 25-5 × 4 × - 20

97. التكلفة بالدولار لإنتاج أكواب القهوة مع شعار الشركة مُعطاة بواسطة C (x) = x + 40 ، حيث x يمثل عدد الأكواب المنتجة. احسب متوسط ​​تكلفة إنتاج 100 كوب ومتوسط ​​تكلفة إنتاج 500 كوب.

98. التكلفة بالدولار لاستئجار شاحنة متحركة لليوم تعطى بواسطة C (x) = 0.45 x + 90 ، حيث x يمثل عدد الأميال المقطوعة. احسب متوسط ​​التكلفة لكل ميل إذا تم قيادة الشاحنة لمسافة 250 ميلاً في يوم واحد.

99- التكلفة بالدولار لإنتاج قمصان العرق ذات التصميم المخصص من الخلف تعطى بواسطة C (x) = 1200 + (12 - 0.05 x) x ، حيث x يمثل عدد قمصان العرق المنتجة. احسب متوسط ​​تكلفة إنتاج 150 قميصًا مخصصًا للعرق.

100. تُعطى التكلفة بالدولار لإنتاج جزء مصبوب مخصص بالحقن C (x) = 500 + (3 - 0.001 x) x ، حيث x يمثل عدد الأجزاء المنتجة. احسب متوسط ​​تكلفة إنتاج 1000 قطعة مخصصة.

101. اشرح لماذا ب - أ أ - ب = - 1 ووضح هذه الحقيقة باستبدال بعض الأرقام بالمتغيرات.

102. اشرح لماذا ب + أ أ + ب = 1 ووضح هذه الحقيقة باستبدال بعض الأرقام بالمتغيرات.

103. اشرح لماذا لا يمكننا الإلغاء x في التعبير x x + 1.

الإجابات

19: تزداد نسبة السعر إلى العائد.

31: س ≠ 0 ، س ≠ - 3 ، س ≠ 1 2

39: × 6 (× + 9) × 0 ، - 9 ، 8

47: 2 × - 1 2 × 2 + × - 6 × ≠ - 2 ، 3 2

49: 2 × - 5 × + 7 × ≠ - 7 ، 5 3

53: × 2 - 2 × + 4 × - 2 × ≠ ± 2

59: - 2 × - 5 2 × - 1 × 1 2 ، 7

63: - 4 × 3 (س + 10) × ≠ ± 10 ، 0

67: س + 2 2 س - 1 س ≠ 1 2 ، 7

71: - 16 + 4 س + س 2 س - 4 س ≠ 4

85: و (0) = 0 ، و (2) = - 10 ، و (4) = 20

87: جم (0) = 0 ، ز (2) غير معرف ، ز (- 2) = - 1/2

89: جم (- 1) = - 1/2 ، جم (0) = 0 ، جم (1) = 1/2

91: و (س) = - 3 س س + 2 س ≠ - 2

97: متوسط ​​تكلفة إنتاج 100 كوب 1.40 دولار لكل كوب. متوسط ​​تكلفة إنتاج 500 كوب هو 1.08 دولار لكل كوب.


MAT 222 الأسبوع 1 & # 8211 مجالات مناقشة التعبيرات العقلانية الأسبوع 1 & # 8211 مجالات مناقشة العقلانية.

في هذه المناقشة ، تم تعيين تعبيرين منطقيين للعمل عليهما. تذكر أن تحلل كل كثيرات الحدود إلى عوامل تمامًا. اقرأ التعليمات التالية بالترتيب واطلع على المثال لإكمال هذه المناقشة. يرجى إكمال المشكلات التالية وفقًا للرقم المخصص لك. (سيخصص المعلمون لكل طالب رقمه.)

إذا كان الرقم المخصص لك هو:

أول تعبير منطقي لك هو

التعبير المنطقي الثاني الخاص بك هو

ج 2 + 2 ج - 10
10c2 - 80c + 160

· اشرح بأسلوبك الخاص معنى المجال. اشرح أيضًا لماذا لا يمكن أن يكون المقام صفراً.

· أوجد المجال لكل من التعبيرات المنطقية الخاصة بك.

· اكتب مجال كل تعبير منطقي في مجموعة التدوين (كما هو موضح في المثال).

· هل كلا التعبيرين العقلانيين يستبعدان قيمًا في مجالاتهما؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، اشرح سبب استبعادهم من المجالات. إذا كانت الإجابة "لا" ، فشرح سبب عدم ضرورة وجود استثناءات.

· قم بتضمين مفردات الرياضيات الخمس التالية في مناقشتك. استخدم الخط الغامق للتأكيد على الكلمات في كتابتك. لا تكتب تعريفات للكلمات ، استخدمها بشكل مناسب في جمل تصف عملك في الرياضيات.

يجب أن تكون رسالتك الأولية بطول 250 كلمة على الأقل. ادعم ادعاءاتك بأمثلة من المواد (المواد) المطلوبة و / أو الموارد العلمية الأخرى ، واذكر أي مراجع بشكل صحيح. قم بالرد على ما لا يقل عن اثنتين من مشاركات زملائك في الصف بحلول اليوم السابع. هل عملهم مشابه لعملك؟ هل استخدموا المفردات بشكل صحيح؟ هل تفهم إجاباتهم؟


تعابير عقلانية

& مجال ثور لتعبير جبري: مجال التعبير الجبري هو
مجموعة جميع الأرقام التي تم تعريف التعبير من أجلها. (أي مجموعة جميع الأرقام
يمكن استخدامه في التعبير دون وجود صفر في المقام أو سالب
رقم تحت جذري زوجي)

مثال: مجال جميع الأعداد الحقيقية ما عدا -2. منذ -2 من شأنه أن يسبب
مقام هذا التعبير هو صفر ، نستبعده من المجال. كل الآخرين
يمكن استبدال الأرقام الحقيقية دون أي مشاكل.

مثال: مجال كل الأعداد الحقيقية أكبر من أو تساوي 1. منذ
لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب ، نحتاج إلى x-1 & # 8805 0 مما يعني ذلك
هذا x & # 8805 1.

مثال: مجال يمكن تحديدها من خلال إيجاد الأعداد الحقيقية
سيؤدي ذلك إلى أن يكون المقام صفرًا. لذلك ، إذا عاملنا المقام
سيكون من الواضح ما هي هذه الأرقام: x ^ 2 - x + 6 = (x - 3) (x + 2). يمكننا أن نرى بعد ذلك ،
أن 3 و -2 سيتسببان في أن المقام يساوي صفرًا. ومن ثم ، فإننا نستبعد هذه الأرقام
من المجال. مجال التعبير كله ريالات ماعدا 3 ، -2.

& bull تبسيط التعبيرات المنطقية: اتبع هذه القيم لتبسيط التعبير المنطقي
خطوات:

1. حلل البسط والمقام إلى عوامل تمامًا.
2. قم بإلغاء أي عامل يظهر في كل من البسط والمقام.

& bull مضاعفة التعبيرات المنطقية: هذا في الحقيقة مجرد امتداد للتبسيط.
والخطوات هي كما يلي :

1. حلل بسط ومقام كل تعبير كسري إلى عوامل.
2. قم بإلغاء أي عامل يظهر في البسط والمقام.

& bull قسمة التعبيرات المنطقية: بعد الخطوة الأولى ، اتبع نفس الإستراتيجية كما في
ضرب التعبيرات المنطقية.

1. اقلب (اقلب) التعبير المنطقي الذي & # 8217re قسمة عليه (أي التعبير الثاني
أو واحد في مقام الكسر الكبير)
2. العامل
3. إلغاء

& bull إضافة وطرح التعبيرات المنطقية: منذ التعبيرات العقلانية
بشكل أساسي الكسور ، لكي نتمكن من جمعها أو طرحها ، يجب علينا أولاً
لها قواسم مشتركة ، ويفضل أن يكون لها القاسم المشترك الأقل.
إستراتيجية:

1. حلل القواسم إلى عوامل.
2. القاسم المشترك الأصغر هو نتاج جميع العوامل المثارة الحالية
إلى الأس الأعلى الذي يظهر في العامل في التفسيرات.
3. لكل كسر ، اضرب البسط والمقام في العوامل التي
موجودة في شاشة LCD ، ولكنها ليست في مقام الكسر & # 8217s.
4. اجمع أو اطرح البسط بما يتناسب مع المسألة.
5. التبسيط.

جرب هذه: الصفحات 43-44: 4 ، 10 ، 16 ، 34
الإجابات:
4.) جميع الريالات باستثناء 1 ، -1 ، -2
10.) 1
16.) أ - ب


أسئلة مشابهة

الجبر 2 مساعدة رجاء؟

ما هي أبسط شكل من أشكال التعبير الجذري؟ 4sqrt1296 x ^ 16 y ^ 12 كيف تكتب التعبير بالمقام الكسري؟ 3 sqrt 2/3 sqrt 4 ما هو حاصل القسمة (4-x) / (x ^ 2 + 5x - 6) / (x ^ 2-11x + 28) / (x ^ 2 + 7x + 6)

الجبر 1 ب التعبيرات الجذرية وتحليل البيانات أمبير

1. بسّط 2 / √5 A. 2 / √5 B. √10 C. √10 / 5 D. 2√10 / 5 *** إجابتي 2. بسّط -11√112 A. -44√7 B. -176 √7 C. -27 √7 D. 4√7 *** إجابتي 3. بسّط 17-17 -9 17 أ. 8 *** إجابتي ب.

هل يمكن لأحد أن يساعدني مع هذين. ما هو حاصل القسمة (6-x) / (x ^ 2 + 2x-3) ÷ (x ^ 2-4x-12) / (x ^ 2 + 4x + 3) في صورة مبسطة؟ اذكر أي قيود على المتغير. بسّط الكسر المركب ((x) / (x + 2)) / ((1) / (x) + (1) / (x + 2))

الجبر 2

بسّط التعبير المنطقي. اذكر أي قيود على المتغير. (n ^ 4-11n ^ 2 + 30) / (n ^ 4 -7n ^ 2 + 10) إجابتي هي n ^ 2-6 / n ^ 2-2 باستثناء + -sqrt5 و + -sqrt2

الجبر

1. تبسيط التعبير العقلاني ، حدد أي قيم مستبعدة. 7x-14 / x-2 Ax B.7 حيث x 7 C.7 حيث x ≠ 2 **** D.0 أعرف أنه يقع بين B و C لكنني لست متأكدًا مما يطلبه -> ≠ حقًا لكني أعتقد أن الإجابة هي C ،

الجبر

ما هو حاصل القسمة في أبسط صورة؟ اذكر أي قيود على المتغير. x + 2 / x-1 مقسومًا على x + 4 / x ^ 2 + 4x-5. إجابتي (x + 2) (x + 5) / x + 4 لا تحصل على جزء التقييد إما -5 أو -4 أو 1 ، -4 ، -5 هل يمكن لأحد أن يساعدني؟

الجبر 2

ما هو المنتج في أبسط صورة؟ اذكر أي قيود على المتغير. 4a ^ 5 / 7b ^ 4 مرات 2b ^ 2 / 2a ^ 4 إجابتي هي 4a / 7b ^ 2 باستثناء a = 0 و b = 0

الجبر 2

ما هو حاصل القسمة في صورة مبسطة؟ اذكر أي قيود على المتغير. (6-x) / x ^ 2 + 3x-28 مقسمة x ^ 2-36 / x ^ 2 + 5x-36

الجبر

بسّط المجموع. اذكر أي قيود على المتغيرات. x - 2 x + 3 + 10 x x 2-9

الجبر

ما هو حاصل القسمة في أبسط صورة ، اذكر القيود المفروضة على المتغير z ^ 2-4 / z-3 مقسومًا على z + 2 / z ^ 2 + z-12 حصلت على z ^ 2 + 2x-8 ولكني لست متأكدًا من القيود ربما 3 ، -2

الجبر

1- بسّط التعبير الجذري: √250h ^ 4k ^ 5 a) hk√125 b) 5√10h ^ 4k ^ 5 c) 5h ^ 2k ^ 2√10k d) 25hk√10k ** 2- بسّط التعبير الجذري: √21y * 5√49y a) 5y√1،029 b) 5√1،029y ^ 2 c) 35y√21 d) 35√21y ^ 2 ** 3-

الجبر

بسّط التعبير المنطقي. اذكر أي قيود على المتغير. ر ^ 2 + 4t-12 / طن ^ 2-4


التعابير والمعادلات العقلانية

51. لماذا من المهم بشكل خاص فحص الحلول الممكنة لمعادلة عقلانية؟

52. كيف يمكن استخدام الرسم البياني لتحديد عدد الحلول للمعادلة؟

8. يمكن لبوبي قطف ربع جالون من التوت في 20 دقيقة. يمكن أن تختار بلانش ربع جالون في 25 دقيقة.
كم من الوقت سيستغرق إذا عمل بوبي وبلانش معًا؟

14. سرعة قطار الشحن أبطأ بـ 15 ميلاً في الساعة من سرعة قطار الركاب.
يسافر قطار الشحن مسافة 390 ميلاً في نفس الوقت الذي يأخذ فيه قطار الركاب إليه
السفر 480 ميل. أوجد سرعة كل قطار.

44. يستغرق 60 أوقية. من بذور الحشائش لبذر 3000 قدم من العشب. على هذا المعدل ، إلى أي مدى
هناك حاجة لبذر 2 من العشب؟
5000 قدم

انظر الملف المرفق للحصول على وصف كامل للمشكلة.

© BrainMass Inc. brainmass.com 4 مارس 2021 ، 7:24 مساءً ad1c9bdddf
https://brainmass.com/math/basic-algebra/99180

المرفقات

معاينة الحل

يرجى الاطلاع على الملف المرفق.

5 -4
___ + ________
c2d3 7cd2

ضع كلاهما فوق قاسم مشترك:

36. 3x + 2 x - 2
_______ + ______
3x + 6 x2-4

ضع كلاهما فوق قاسم مشترك:

(3x + 2) (x2-4) + (x - 2) (3x + 6)
(3x + 6) (x2-4) (x2-4) (3x +6)

(3x + 2) (x2-4) + (x - 2) (3x + 6)
(× 2 - 4) (3 × +6)

لاحظ أن x2 - 4 = (x - 2) (x + 2) و 3x + 6 = 3 (x + 2).
عامل:

(3x + 2) (x - 2) (x + 2) + 3 (x - 2) (x + 2)
3 (س + 2) (س - 2) (س + 2)

(س - 2) (س + 2) [(3 س + 2) + 3]
3 (س + 2) (س - 2) (س + 2)

50.3 (x - 2) 5 (2x + 1) 3 (x + 1)
_______ + ________ + ________
2 س - 3 2 س - 3 3 - 2 س

هذا هو نفس ما ورد أعلاه. ضع قاسمًا مشتركًا ، وأضف ، وبسّط:

3 (x - 2) 5 (2x + 1) 3 (x + 1)
_______ + ________ + ________
2x - 3 2x - 3 - (2x - 3)

3 (x - 2) + 5 (2x + 1) - 3 (x + 1)
2x - 3

3 س - 6 + 10 س + 5 - 3 س -3
2x - 3

طرح او خصم. بسّط إن أمكن.

18. 3 2
_________ _ _____________
2 2
12 + س - س س - 9

انظر إلى مقام الكسر الأول: -x2 + x + 12. هذا هو نفسه - (x2 -x -12) ، والذي يمكن تحليله إلى عوامل - (x - 4) (x + 3). مقام.

ملخص الحل

تحتوي مجموعة المسائل هذه على ست مسائل تتضمن تبسيط التعابير المنطقية (التي تتضمن جمع الكسور وطرحها) ، وثلاث مسائل متشابهة تتضمن حل المعادلات المنطقية ، وسؤالين للمناقشة ، ومسائل من ثلاث كلمات.


نظرية التوقعات العقلانية: هل تعمل؟

يعتمد الاقتصاد بشكل كبير على النماذج والنظريات ، وكثير منها مترابط. على سبيل المثال ، التوقعات العقلانية لها علاقة حرجة بفكرة أساسية أخرى في الاقتصاد: مفهوم التوازن. إن صحة النظريات الاقتصادية - هل تعمل كما ينبغي في التنبؤ بالدول المستقبلية؟ - هي دائمًا قابلة للجدل. مثال على ذلك هو الجدل الدائر حول فشل النماذج الحالية في التنبؤ أو فك أسباب الأزمة المالية 2007-2008.

Because myriad factors are involved in economic models, it is never a simple question of working or not working. Models are subjective approximations of reality that are designed to explain observed phenomena. A model’s predictions must be tempered by the randomness of the underlying data it seeks to explain, and the theories that drive its equations.

When the Federal Reserve decided to use a quantitative easing program to help the economy through the 2008 financial crisis, it unwittingly set unattainable expectations for the country. The program reduced interest rates for more than seven years. Thus, true to theory, people began to believe that interest rates would remain low.


شاهد الفيديو: Simplifying Rational Expressions.. How? NancyPi (شهر اكتوبر 2021).