مقالات

67: حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي


67: حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي

67: حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي

تسمى المعادلة التي تحتوي على كثير حدود من الدرجة الثانية أ معادلة من الدرجة الثانية. على سبيل المثال ، المعادلات مثل [لاتكس] 2^ <2> + 3x - 1 = 0 [/ لاتكس] و [لاتكس]^ <2> -4 = 0 [/ لاتكس] هي معادلات تربيعية. يتم استخدامها بطرق لا حصر لها في مجالات الهندسة ، والعمارة ، والتمويل ، والعلوم البيولوجية ، وبالطبع الرياضيات.

غالبًا ما تكون أسهل طريقة لحل المعادلة التربيعية هي التخصيم. التحليل إلى العوامل يعني إيجاد التعبيرات التي يمكن ضربها معًا للحصول على التعبير في أحد طرفي المعادلة.

إذا كان من الممكن تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل ، يتم كتابتها كمنتج للمصطلحات الخطية. يعتمد الحل عن طريق التحليل على خاصية المنتج الصفري التي تنص على أنه إذا كان [اللاتكس] a cdot b = 0 [/ latex] ، فإن [latex] a = 0 [/ latex] أو [latex] b = 0 [/ latex] ، أين أ و ب هي أعداد حقيقية أو تعبيرات جبرية. بعبارة أخرى ، إذا كان حاصل ضرب عددين أو تعبيرين يساوي صفرًا ، فيجب أن يساوي أحدهما أو أحدهما صفرًا لأن صفرًا مضروبًا في أي شيء يساوي صفرًا.

يؤدي ضرب العوامل إلى توسيع المعادلة إلى سلسلة من المصطلحات مفصولة بعلامات زائد أو ناقص. وبهذا المعنى ، فإن عملية الضرب تبطل عملية التحليل. على سبيل المثال ، قم بتوسيع التعبير المحلل إلى عوامل [لاتكس] يسار (س - 2 يمين) يسار (س + 3 يمين) [/ لاتكس] بضرب العاملين معًا.

المنتج عبارة عن تعبير تربيعي. تعيين يساوي الصفر ، [لاتكس]^ <2> + س - 6 = 0 [/ لاتكس] هي معادلة من الدرجة الثانية. إذا قمنا بتحليل المعادلة ، فسنستعيد العوامل التي ضربناها.

تعتمد عملية تحليل المعادلة التربيعية على المعامل الرئيسي ، سواء كان 1 أو عددًا صحيحًا آخر. سننظر في كلتا الحالتين ولكن أولاً ، نريد التأكيد على أن المعادلة مكتوبة بالصيغة القياسية ، [لاتكس] أ^ <2> + bx + c = 0 [/ latex] ، أين أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية و [لاتكس] أ ne 0 [/ لاتكس]. المعادلة [اللاتكس]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex] بالشكل القياسي.

يمكننا استخدام خاصية المنتج الصفري لحل المعادلات التربيعية التي علينا أولًا تحليلها العامل المشترك الاكبر (GCF) ، وللمعادلات التي لها صيغ تحليل عوامل خاصة أيضًا ، مثل فرق المربعات ، وكلاهما سنرى لاحقًا في هذا القسم.

ملاحظة عامة: خاصية المنتج الصفري والمعادلات التربيعية

ال خاصية المنتج الصفري تنص على

أين أ و ب هي أرقام حقيقية أو تعبيرات جبرية.

أ معادلة من الدرجة الثانية هي معادلة تحتوي على كثير حدود من الدرجة الثانية على سبيل المثال

أين أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية ، و [لاتكس] a ne 0 [/ لاتكس]. إنه في شكل قياسي.


التخصيم وممتلكات الجذر التربيعي

تسمى المعادلة التي تحتوي على كثير حدود من الدرجة الثانية أ معادلة من الدرجة الثانية. على سبيل المثال ، المعادلات مثل [لاتكس] 2^ <2> + 3x - 1 = 0 [/ لاتكس] و [لاتكس]^ <2> -4 = 0 [/ لاتكس] هي معادلات تربيعية. يتم استخدامها بطرق لا حصر لها في مجالات الهندسة ، والعمارة ، والتمويل ، والعلوم البيولوجية ، وبالطبع الرياضيات.

غالبًا ما تكون أسهل طريقة لحل المعادلة التربيعية هي التخصيم. التحليل إلى العوامل يعني إيجاد التعبيرات التي يمكن ضربها معًا للحصول على التعبير في أحد طرفي المعادلة.

إذا كان من الممكن تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل ، يتم كتابتها كمنتج للمصطلحات الخطية. يعتمد الحل عن طريق التحليل على خاصية المنتج الصفري التي تنص على أنه إذا كان [اللاتكس] a cdot b = 0 [/ latex] ، فإن [latex] a = 0 [/ latex] أو [latex] b = 0 [/ latex] ، أين أ و ب هي أرقام حقيقية أو تعبيرات جبرية. بعبارة أخرى ، إذا كان حاصل ضرب عددين أو تعبيرين يساوي صفرًا ، فيجب أن يساوي أحدهما أو أحدهما صفرًا لأن صفرًا مضروبًا في أي شيء يساوي صفرًا.

يؤدي ضرب العوامل إلى توسيع المعادلة إلى سلسلة من المصطلحات مفصولة بعلامات زائد أو ناقص. وبهذا المعنى ، فإن عملية الضرب تبطل عملية التحليل. على سبيل المثال ، قم بتوسيع التعبير المحلل إلى عوامل [لاتكس] يسار (س - 2 يمين) يسار (س + 3 يمين) [/ لاتكس] بضرب العاملين معًا.

المنتج عبارة عن تعبير تربيعي. تعيين يساوي الصفر ، [لاتكس]^ <2> + س - 6 = 0 [/ لاتكس] هي معادلة من الدرجة الثانية. إذا قمنا بتحليل المعادلة ، فسنستعيد العوامل التي ضربناها.

تعتمد عملية تحليل المعادلة التربيعية على المعامل الرئيسي ، سواء كان 1 أو عددًا صحيحًا آخر. سننظر في كلتا الحالتين ولكن أولاً ، نريد التأكيد على أن المعادلة مكتوبة بالصيغة القياسية ، [لاتكس] أ^ <2> + bx + c = 0 [/ latex] ، أين أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية و [لاتكس] أ ne 0 [/ لاتكس]. المعادلة [اللاتكس]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex] بالشكل القياسي.

يمكننا استخدام خاصية المنتج الصفري لحل المعادلات التربيعية التي علينا أولًا تحليلها العامل المشترك الاكبر (GCF) ، وللمعادلات التي لها صيغ تحليل عوامل خاصة أيضًا ، مثل فرق المربعات ، وكلاهما سنرى لاحقًا في هذا القسم.

ملاحظة عامة: خاصية المنتج الصفري والمعادلات التربيعية

ال خاصية المنتج الصفري تنص على

أين أ و ب هي أرقام حقيقية أو تعبيرات جبرية.

أ معادلة من الدرجة الثانية هي معادلة تحتوي على كثير حدود من الدرجة الثانية على سبيل المثال

أين أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية ، و [لاتكس] a ne 0 [/ لاتكس]. إنه في شكل قياسي.

حل المعادلات التربيعية بمعامل قيادي 1

في المعادلة التربيعية [لاتكس]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex] ، المعامل الرئيسي ، أو معامل [اللاتكس]^ <2> [/ latex] ، هو 1. لدينا طريقة واحدة لتحليل المعادلات التربيعية في هذه الصورة.

الكيفية: بالنظر إلى معادلة من الدرجة الثانية مع المعامل الرئيسي 1 ، حللها

  1. أوجد عددين يساوي حاصل ضربهما ج ومجموعهم يساوي ب.
  2. استخدم هذه الأرقام لكتابة عاملين من الشكل [اللاتكس] left (x + k right) text <أو> left (x-k right) [/ latex] ، حيث ك أحد الأرقام الموجودة في الخطوة 1. استخدم الأرقام كما هي تمامًا. بمعنى آخر ، إذا كان الرقمان 1 و [اللاتكس] -2 [/ اللاتكس] ، فإن العوامل هي [اللاتكس] اليسار (x + 1 اليمين) اليسار (x - 2 اليمين) [/ اللاتكس].
  3. حل باستخدام خاصية المنتج الصفري بجعل كل عامل يساوي صفرًا وحل المتغير.

مثال: تحليل وحل معادلة تربيعية بمعامل قيادي 1

عامل وحل المعادلة: [اللاتكس]^ <2> + x - 6 = 0 [/ لاتكس].

لعامل [اللاتكس]^ <2> + x - 6 = 0 [/ latex] ، نبحث عن رقمين يساوي منتجهما [اللاتكس] -6 [/ latex] ومجموعهما يساوي 1. ابدأ بالنظر في العوامل المحتملة لـ [اللاتكس] - 6 [/ لاتكس].

جمع الزوج الأخير ، [اللاتكس] 3 cdot left (-2 right) [/ latex] إلى 1 ، لذلك هذه هي الأرقام. لاحظ أن زوجًا واحدًا فقط من الأرقام سيعمل. ثم اكتب العوامل.

لحل هذه المعادلة ، نستخدم خاصية المنتج الصفري. ضع كل عامل مساويًا للصفر وحل.

الحلان هما [لاتكس] س = 2 [/ لاتكس] و [لاتكس] س = -3 [/ لاتكس]. يمكننا أن نرى كيف ترتبط الحلول بالرسم البياني أدناه. الحلول هي س-اعتراضات الرسم البياني لـ [اللاتكس]^ <2> + x - 6 [/ لاتكس].

جربها

عامل وحل المعادلة التربيعية: [اللاتكس]^ <2> -5x - 6 = 0 [/ لاتكس].


نظرة عامة على الطرق المختلفة لحل المعادلة التربيعية - المفهوم

قام كارل بتدريس الرياضيات العليا في عدة مدارس ويدير حاليًا شركته الخاصة للدروس الخصوصية. يراهن على أنه لا أحد يستطيع التغلب على حبه للأنشطة المكثفة في الهواء الطلق!

قد يكون حل المعادلات التربيعية أمرًا صعبًا ، ولكن لحسن الحظ ، هناك عدة طرق مختلفة يمكننا استخدامها اعتمادًا على نوع المعادلات التربيعية التي نحاول حلها. الطرق الأربعة ل حل المعادلة التربيعية تحلل ، باستخدام الجذور التربيعية ، وتكمل المربع والصيغة التربيعية.

ما أريد أن أتحدث عنه الآن هو نظرة عامة على جميع الطرق المختلفة لحل المعادلة التربيعية. ما أعنيه بذلك هو أي شيء بصيغة: ax² زائد bx زائد c. لذلك لدينا أربع طرق مختلفة حسب رغبتنا. لدينا خاصية التحليل والجذر التربيعي وإكمال المربع والصيغة التربيعية. يمكننا استخدام هذه الأساليب في أوقات مختلفة ، وما أريد فعله هو مجرد الحديث عن متى يمكننا استخدامها ، ولماذا هي جيدة ، ولماذا هي سيئة. لذلك سأذهب إلى أسفل الصف وأتحدث عن كل واحد. يعني & # 39check & # 39 إيجابيات و & # 39minus & # 39 يعني سلبيات. عادةً ما يكون التخصيم هو أسرع وأسهل طريقة لحل شيء ما عندما يكون قابلاً للتحليل. في كثير من الأحيان ، نتعامل مع معادلة تربيعية غير قابلة للتحليل ، لذا فإن العوملة لن تساعدنا. لذلك يكون الأمر سريعًا وسهلاً عندما يكون قابلاً للاستخدام ، ولكن ليس دائمًا قابلاً للتحليل أيضًا. سريع جدًا وسهل ، لكن ليس دائمًا قابلاً للتطبيق.
الأمر التالي الذي سنتحدث عنه هو خاصية الجذر التربيعي. هذا عندما يكون لدينا شيء مربع. لذا ، فإن المحترف: هل هو رائع عندما & # 39 إعادة حل لشيء مربع. المشكلة الوحيدة هي أنه ليس دائمًا الوضع الذي نتعامل معه. في أي وقت يكون لديك مصطلح X أو شيء من هذا القبيل لن نتمكن من استخدامه. لذلك فهو ليس دائمًا مصطلحًا مربعًا. إنه أمر رائع عند الاقتضاء ، لكنه ليس كذلك دائمًا. في الواقع ، ليس هذا هو الحال في كثير من الأحيان على الإطلاق.
استكمال المربع. إن الشيء العظيم في إكمال المربع هو أنه يمكننا دائمًا القيام بذلك. لن يكون هناك وقت ستفوز فيه & # 39t لتتمكن من إكمال المربع. لكن السقوط هو أنه يمكن أن يصبح قبيحًا. إذا كنت تتعامل مع معامل أو حد متوسط ​​فردي أو شيء من هذا القبيل ، فستقوم بإدخال الكسور. لن يكون دائمًا أجمل موقف.
أخيرًا ، هي الصيغة التربيعية. إنه أمر رائع ، مرة أخرى ، لأنه يمكنك دائمًا استخدامه. والسلبيات ، ذلك يعتمد على الشخص. إذا كنت تستخدم الجذور التربيعية ، وهو ما لا يحبه بعض الناس دائمًا ، فعليك دائمًا استخدام الجذور التربيعية أيضًا. عادةً ما لا يكون الأمر سهلاً مثل بعض هذه الطرق الأخرى ، فإن إكمال المربع ، كما أقول ، أسهل قليلاً من ذلك ولكنه شيء يجب أن تتذكره. لذلك عليك أن تتذكر الصيغة ، ويمكن أن تصبح قبيحة.
هذه هي الطرق الأربع المختلفة ، الإيجابيات والسلبيات ، وبعض الأشياء التي يجب التفكير فيها عند حل مشكلة ما. لن أقوم في الواقع بحل أي شيء من أجلك. لقد قمت للتو بإنشاء مخطط صغير حتى تعرف الموارد المتاحة لديك وإيجابيات وسلبيات كل منها.


مثال

حدد الطريقة الأنسب لاستخدامها في حل كل معادلة من الدرجة الثانية:

حل

بما أن المعادلة في (a^ <2> = k ) ، الطريقة الأنسب هي استخدام خاصية الجذر التربيعي.

ندرك أن الجانب الأيسر من المعادلة عبارة عن مربع كامل ثلاثي الحدود ، وبالتالي فإن التحليل هو الطريقة الأنسب.

ضع المعادلة في الشكل القياسي. (8^ <2> + 6u-11 = 0 )

في حين أن فكرتنا الأولى قد تكون محاولة التحليل ، فإن التفكير في كل احتمالات التجربة والخطأ يقودنا إلى اختيار الصيغة التربيعية باعتبارها الطريقة الأكثر ملاءمة

موارد:

يمكنك الوصول إلى هذه الموارد للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام الصيغة التربيعية:


حل المعادلات التربيعية باستخدام طريقة الجذر التربيعي



أمثلة ومقاطع فيديو وأوراق عمل وحلول وأنشطة لمساعدة طلاب الجبر على التعرف على حل المعادلات التربيعية باستخدام طريقة الجذر التربيعي.

ما هي قاعدة الجذر التربيعي؟
عندما تتكون المعادلة التربيعية من حد مربع وثابت فقط ، يمكننا حل المعادلة باستخدام قاعدة الجذر التربيعي.
تنص قاعدة الجذر التربيعي على ذلك
إذا كانت x 2 = k إذن
(x = pm sqrt k )

كيفية حل المعادلات التربيعية باستخدام قاعدة الجذر التربيعي؟

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


خصائص المعادلات التربيعية

4. إذا كان صفي المعادلة التربيعية غير منطقيين ، فسيحدث الصفران (الجذور) في أزواج مترافقة. أي إذا كان (m + & # xa0 √n) جذرًا ، فإن (m - & # xa0 √n) هو الجذر الآخر لنفس المعادلة. & # xa0

5. مجموع أصفار المعادلة التربيعية في الصورة القياسية a x 2 + bx + c = 0 هو & # xa0 -b / a. & # xa0

6. حاصل ضرب أصفار المعادلة التربيعية في الصورة القياسية & # xa0 a x 2 + bx + c = 0 & # xa0is c / a.

7. إذا كان اثنان من أصفار المعادلة التربيعية & # xa0 a x 2 + bx + c = 0 & # xa0 مقلوبان لبعضهما البعض ، فإن حاصل ضربهما هو 1 أو

8. إذا كان اثنان من الأصفار في المعادلة التربيعية & # xa0 a x 2 + bx + c = 0 متساويان في الحجم ، لكنهما معاكسان في الإشارة ، فإن مجموعهما يساوي صفرًا أو & # xa0

9. إذا عرفنا الصفرين & # xa0 لمعادلة تربيعية ، فيمكن استخدام الصيغة الواردة أدناه لتكوين المعادلة التربيعية. & # xa0

x 2 - (مجموع الجذور) x + حاصل ضرب الجذور & # xa0 = & # xa00

10. الرسم البياني لأي معادلة من الدرجة الثانية سيكون القطع المكافئ.

11. أصفار المعادلة التربيعية هي إحداثيات x للنقاط حيث يقطع القطع المكافئ (الرسم البياني للدالة التربيعية) المحور x.

12. إذا كان صفي دالة تربيعية تخيليين ، فلن يتقاطع الرسم البياني (القطع المكافئ) أبدًا مع المحور س. & # xa0

13. إن تقاطعي x للقطع المكافئ & # xa0 (الرسم البياني لوظيفة تربيعية) ليسوا سوى أصفار الدالة التربيعية. & # xa0

14. x- تنسيق رأس القطع المكافئ هو -b / 2a والرأس هو [-b / 2a، f (-b / 2a)] & # xa0

15. لمعرفة أين يقطع القطع المكافئ المحور y أو التقاطع y للقطع المكافئ ، علينا أن نعوض بـ x = 0 في الدالة التربيعية المعطاة.

16. & # xa0f (x) = & # xa0a x 2 & # xa0 + bx + c ، إذا كانت إشارة المصطلح الأول (a x 2) سالبة ، سيتم فتح القطع المكافئ لأسفل. خلاف ذلك ، سيتم فتح القطع المكافئ لأسفل. & # xa0

17. إن المميز b 2 & # xa0- 4ac & # xa0 يميز طبيعة أصفار المعادلة التربيعية a x 2 & # xa0 + bx + c = 0.

دعونا نرى كيف يمكن استخدام هذا التمييز t & # xa0 'b 2 & # xa0- 4ac' & # xa0 لمعرفة طبيعة جذور المعادلة التربيعية. & # xa0

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


المعادلات التربيعية

شاشة الكمبيوتر على اليسار في [link] هي من طراز 23.6 بوصة والشاشة الموجودة على اليمين هي موديل 27 بوصة. بشكل متناسب ، تبدو الشاشات متشابهة جدًا. إذا كانت المساحة محدودة ونرغب في أكبر شاشة ممكنة ، فكيف نقرر أيهما نختار؟ في هذا القسم ، سوف نتعلم كيفية حل مشاكل مثل هذه باستخدام أربع طرق مختلفة.

حل المعادلات التربيعية بالتحليل

تسمى المعادلة التي تحتوي على كثير حدود من الدرجة الثانية أ معادلة من الدرجة الثانية. على سبيل المثال ، معادلات مثل 2 × 2 + 3 × - 1 = 0

هي معادلات من الدرجة الثانية. يتم استخدامها بطرق لا حصر لها في مجالات الهندسة ، والعمارة ، والتمويل ، والعلوم البيولوجية ، وبالطبع الرياضيات.

غالبًا ما تكون أسهل طريقة لحل المعادلة التربيعية هي التخصيم. التحليل إلى العوامل يعني إيجاد التعبيرات التي يمكن ضربها معًا للحصول على التعبير في أحد طرفي المعادلة.

إذا كان من الممكن تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل ، يتم كتابتها كمنتج للمصطلحات الخطية. الحل بالتحليل إلى عوامل يعتمد على خاصية المنتج الصفري ، والتي تنص على أنه إذا كان a ⋅ b = 0 ،

أين أ و ب هي أرقام حقيقية أو تعبيرات جبرية. بعبارة أخرى ، إذا كان حاصل ضرب عددين أو تعبيرين يساوي صفرًا ، فيجب أن يساوي أحدهما أو أحدهما صفرًا لأن صفرًا مضروبًا في أي شيء يساوي صفرًا.

يؤدي ضرب العوامل إلى توسيع المعادلة إلى سلسلة من المصطلحات مفصولة بعلامات زائد أو ناقص. وبهذا المعنى ، فإن عملية الضرب تبطل عملية التحليل. على سبيل المثال ، قم بتوسيع التعبير المحلّل إلى عوامل (x - 2) (x + 3)

بضرب العاملين معًا.

المنتج عبارة عن تعبير تربيعي. ضع مساوٍ للصفر ، x 2 + x - 6 = 0

هي معادلة من الدرجة الثانية. إذا قمنا بتحليل المعادلة ، فسنستعيد العوامل التي ضربناها.

تعتمد عملية تحليل المعادلة التربيعية على المعامل الرئيسي ، سواء كان 1 أو عددًا صحيحًا آخر. سننظر في كلتا الحالتين ولكن أولاً ، نريد التأكد من أن المعادلة مكتوبة بالصيغة القياسية ، أ س 2 + ب س + ج = 0 ،

أين أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية ، و ≠ 0.

المعادلة x 2 + x - 6 = 0

يمكننا استخدام خاصية المنتج الصفري لحل المعادلات التربيعية التي علينا أولًا تحليلها العامل المشترك الاكبر (GCF) ، وللمعادلات التي لها صيغ تحليل عوامل خاصة أيضًا ، مثل فرق المربعات ، وكلاهما سنرى لاحقًا في هذا القسم.

ال خاصية المنتج الصفري تنص على

أين أ و ب هي أرقام حقيقية أو تعبيرات جبرية.

أ معادلة من الدرجة الثانية هي معادلة تحتوي على كثير حدود من الدرجة الثانية على سبيل المثال

أين أ, ب، و ج هي أرقام حقيقية ، وإذا كانت 0 ،

حل المعادلات التربيعية بمعامل قيادي 1

في المعادلة التربيعية x 2 + x - 6 = 0 ،

المعامل الرئيسي ، أو معامل x 2 ،

هو 1. لدينا طريقة واحدة لتحليل المعادلات التربيعية في هذه الصورة.

بالنظر إلى المعادلة التربيعية ذات المعامل الرئيسي 1 ، حللها.

  1. أوجد عددين يساوي حاصل ضربهما ج ومجموعهم يساوي ب.
  2. استخدم هذه الأرقام لكتابة عاملين على الشكل (س + ك) أو (س - ك) ،

أين ك أحد الأرقام الموجودة في الخطوة 1. استخدم الأرقام كما هي تمامًا. بمعنى آخر ، إذا كان الرقمان 1 و

حلل المعادلة إلى عوامل أخرى وحلها: x 2 + x - 6 = 0.

نبحث عن عددين حاصل ضربهما −6

ومجموعهم يساوي 1. ابدأ بالنظر إلى العوامل المحتملة لـ −6.

المجاميع إلى 1 ، فهذه هي الأرقام. لاحظ أن زوجًا واحدًا فقط من الأرقام سيعمل. ثم اكتب العوامل.

لحل هذه المعادلة ، نستخدم خاصية المنتج الصفري. ضع كل عامل مساويًا للصفر وحل.

يمكننا أن نرى كيف ترتبط الحلول بالرسم البياني في [الرابط]. الحلول هي س-تقاطعات y = x 2 + x - 6 = 0.

حلل المعادلة التربيعية إلى عوامل وحلها: x 2-5 x - 6 = 0.

حل المعادلة التربيعية بالتحليل إلى عوامل: x 2 + 8 x + 15 = 0.

أوجد عددين حاصل ضربهما 15

الأعداد التي تضيف إلى 8 هي 3 و 5. ثم اكتب العوامل ، واجعل كل عامل يساوي صفرًا ، ثم قم بحلها.

حل المعادلة التربيعية بالتحليل إلى عوامل: x 2-4 x - 21 = 0.

حل فرق معادلة المربعات باستخدام خاصية المنتج الصفري: x 2 - 9 = 0.

بإدراك أن المعادلة تمثل الفرق بين المربعات ، يمكننا كتابة العاملين بأخذ الجذر التربيعي لكل حد ، باستخدام علامة الطرح كعامل تشغيل في عامل واحد وعلامة زائد كعامل تشغيل في الآخر. حل باستخدام خاصية الصفر.

حل بالتحليل إلى عوامل: x 2-25 = 0.

حل معادلة من الدرجة الثانية عن طريق التحليل عندما لا يكون المعامل الرئيسي 1

عندما لا يكون المعامل الرئيسي 1 ، فإننا نحلل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة تسمى التجميع ، والتي تتطلب أربعة شروط. مع المعادلة في الشكل القياسي ، دعنا نراجع إجراءات التجميع:

    مع المعادلة التربيعية في الصورة القياسية ، أ س 2 + ب س + ج = 0 ،

مصطلح بمصطلحين باستخدام الأرقام الموجودة في الخطوة 1 كمعامِلات لـ x.

استخدم التجميع لتحليل المعادلة التربيعية وحلها: 4 x 2 + 15 x + 9 = 0.

أولًا ، اضرب a c: 4 (9) = 36.

ثم اكتب قائمة عوامل 36.

زوج العوامل الوحيد الذي يصل إلى 15

أعد كتابة المعادلة لتحل محل ب المدى ، 15 × ،

مع حدين باستخدام 3 و 12 كمعاملين لـ x. حلل الحدين الأولين إلى عوامل ، ثم حلل الحدين الأخيرين.

حل باستخدام خاصية المنتج الصفري.

حل باستخدام التحليل إلى عوامل التجميع: 12 x 2 + 11 x + 2 = 0.

حل المعادلة بالتحليل إلى عوامل: −3 x 3 - 5 x 2-2 x = 0.

لا تبدو هذه المعادلة كتربيعية ، حيث أن أعلى قوة هي 3 ، وليس 2. تذكر أن أول شيء نريد فعله عند حل أي معادلة هو تحليل العامل المشترك الأكبر ، إن وجد. وهذا ما يحدث هنا. يمكننا تحليل - x

من جميع المصطلحات ثم تابع التجميع.

استخدم التجميع على التعبير بين قوسين.

الآن ، نستخدم خاصية المنتج الصفري. لاحظ أن لدينا ثلاثة عوامل.


67: حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي

الصيغة التربيعية

· اكتب معادلة من الدرجة الثانية في شكل قياسي وحدد قيم أ, ب، و ج في شكل قياسي معادلة من الدرجة الثانية.

· استخدم الصيغة التربيعية لإيجاد جميع الحلول الحقيقية.

· استخدم الصيغة التربيعية لإيجاد كل الحلول المعقدة.

· حساب المميز واذكر عدد الحلول ونوعها.

· حل مشاكل التطبيق التي تتطلب استخدام الصيغة التربيعية.

يمكنك حل أي معادلة من الدرجة الثانية من خلال استكمال المربع—صياغة جزء من المعادلة كمربع كامل ثلاثي الحدود. إذا أكملت المربع في المعادلة العامة فأس 2 + bx + ج = 0 ثم حل من أجل xتجد ذلك. تُعرف هذه المعادلة بالصيغة التربيعية.

هذه الصيغة مفيدة جدًا في حل المعادلات التربيعية التي يصعب أو يستحيل تحليلها ، ويمكن أن يكون استخدامها أسرع من إكمال المربع. يمكن استخدام الصيغة التربيعية لحل أي معادلة تربيعية للصيغة فأس 2 + bx + ج = 0.

النموذج فأس 2 + bx + ج = 0 يسمى النموذج القياسي للمعادلة التربيعية. قبل حل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة التربيعية ، فهي مهم للغاية أن تكون متأكدًا من أن المعادلة بهذا الشكل. إذا لم تقم بذلك ، فقد تستخدم قيمًا خاطئة لـ أ, ب، أو ج، وبعد ذلك ستعطي الصيغة حلولاً غير صحيحة.

أعد كتابة المعادلة 3x + 2x 2 + 4 = 5 في الشكل القياسي وتحديد أ, ب، و ج.

3x + 2x 2 + 4 = 5

3x + 2x 2 + 4 – 5 = 5 – 5

تأكد أولاً من أن الجانب الأيمن من المعادلة هو 0. في هذه الحالة ، كل ما عليك فعله هو طرح 5 من كلا الطرفين.

3x + 2x 2 – 1 = 0

2x 2 + 3x – 1 = 0

بسّط واكتب الحدود مع الأس على المتغير بترتيب تنازلي.

أ = 2, ب = 3, ج = −1

الآن بعد أن أصبحت المعادلة في الشكل القياسي ، يمكنك قراءة قيم أ, ب، و ج من المعاملات والثابت. لاحظ أنه نظرًا لطرح الثابت 1 ، ج يجب أن تكون سلبية.

2x 2 + 3x – 1 = 0 أ = 2, ب = 3, ج = −1

أعد كتابة المعادلة 2 (x + 3) 2-5x = 6 في الشكل القياسي وتحديد أ, ب، و ج.

2(x + 3) 2 – 5x = 6

2(x + 3) 2 – 5x – 6 = 6 – 6

تأكد أولاً من أن الجانب الأيمن من المعادلة هو 0.

2(x 2 + 6x + 9) – 5x – 6 = 0

2x 2 + 12x + 18 – 5x – 6 = 0

2x 2 + 12x – 5x + 18 – 6 = 0

2x 2 + 7x + 12 = 0

انشر التربيع ذي الحدين ، ثم بسّط بجمع الحدود المتشابهة.

تأكد من كتابة الحدود مع الأس على المتغير بترتيب تنازلي.

أ = 2, ب = 7, ج = 12

الآن بعد أن أصبحت المعادلة في الشكل القياسي ، يمكنك قراءة قيم أ, ب، و ج من المعاملات والثابت.

2x 2 + 7x + 12 = 0 أ = 2, ب = 7, ج = 12

تحديد قيم أ, ب، و ج في الشكل القياسي للمعادلة 3x + x 2 = 6.

أ) أ = 3, ب = 1, ج = 6

ب) أ = 1, ب = 3, ج = 6

ج) أ = 1, ب = 3, ج = −6

د) أ = 3, ب = 1, ج = −6

أ) أ = 3, ب = 1, ج = 6

غير صحيح. تذكر أنه في الشكل القياسي ، تتم كتابة المعادلة بالصيغة فأس 2 + bx + ج = 0. 3x + x 2 = 6 تصبح 3x + x 2-6 = 0 ، فالصيغة القياسية هي x 2 + 3x - 6 = 0. هذا يعني أن الإجابة الصحيحة هي أ = 1, ب = 3 و ج = −6.

ب) أ = 1, ب = 3, ج = 6

غير صحيح. لقد وضعت الشروط بالترتيب الصحيح ، ولكن يجب أن يكون الجانب الأيمن مساويًا للصفر ج يجب أن تكون في الجانب الأيسر من المعادلة. 3x + x 2 = 6 تصبح 3x + x 2-6 = 0 ، فالصيغة القياسية هي x 2 + 3x - 6 = 0. هذا يعني أن الإجابة الصحيحة هي أ = 1, ب = 3 و ج = −6.

ج) أ = 1, ب = 3, ج = −6

صيح. 3x + x 2 = 6 تصبح 3x + x 2-6 = 0 ، فالصيغة القياسية هي x 2 + 3x - 6 = 0. هذا يعني أ = 1, ب = 3 و ج = −6.

د) أ = 3, ب = 1, ج = −6

غير صحيح. تذكر أنه في الشكل القياسي ، تتم كتابة المعادلة بالصيغة فأس 2 + bx + ج = 0. لقد وجدت ذلك بشكل صحيح 3x + x 2 = 6 تصبح 3x + x 2 - 6 = 0. ترتيب الحدود يعطي الشكل القياسي x 2 + 3x - 6 = 0. هذا يعني أن الإجابة الصحيحة هي أ = 1, ب = 3 و ج = −6.

اشتقاق الصيغة التربيعية

دعنا نكمل المربع في المعادلة العامة ونرى بالضبط كيف ينتج ذلك الصيغة التربيعية. أذكر عملية إكمال المربع.

· ابدأ بمعادلة النموذج x 2 + ب س + ج = 0.

· أعد كتابة المعادلة بحيث x 2 + bx معزولة من جانب واحد.

· أكمل المربع بإضافة كلا الجانبين.

· أعد كتابة ثلاثي الحدود للمربع الكامل كمربع ذي الحدين.

· استخدم ال خاصية الجذر التربيعي وحلها x.

هل يمكنك إكمال المربع في المعادلة التربيعية العامة فأس 2 + bx + ج = 0؟ جربه بنفسك قبل المتابعة إلى المثال أدناه. تلميح: لاحظ أنه في المعادلة العامة ، يكون معامل x 2 لا تساوي 1. يمكنك قسمة المعادلة على أ، مما يجعل بعض التعبيرات فوضوية بعض الشيء ، ولكن إذا كنت حريصًا ، فسيعمل كل شيء ، وفي النهاية ، ستحصل على الصيغة التربيعية!

أكمل مربع فأس 2 + bx + ج = 0 للوصول إلى الصيغة التربيعية.

اقسم طرفي المعادلة على أ، بحيث يكون معامل x 2 هو 1.

أعد الكتابة بحيث يصبح الجانب الأيسر في الشكل x 2 + bx (على الرغم من أنه في هذه الحالة bx هو في الواقع).

منذ المعامل على x هي القيمة التي يجب إضافتها إلى كلا الجانبين.

اكتب الطرف الأيسر كمربع ذي الحدين.

اكتب الكسور في الطرف الأيمن باستخدام مقام مشترك.

اجمع الكسور على اليمين.

استخدم خاصية الجذر التربيعي. تذكر أنك تريد كلا الجذور التربيعية الموجبة والسالبة!

اطرح من كلا الجانبين للعزل x.

المقام تحت الجذر مربع كامل ، لذلك:

اجمع الكسور لأن مقامها مشترك.

إليكم الأمر ، الصيغة التربيعية.

حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام الصيغة التربيعية

ستعمل الصيغة التربيعية مع أي معادلة من الدرجة الثانية ، لكن فقط إذا كانت المعادلة في شكل قياسي ،. لاستخدامه ، اتبع هذه الخطوات.

· ضع المعادلة بالصيغة القياسية أولاً.

· تحديد المعاملات. أ, ب، و ج. احرص على تضمين العلامات السلبية إذا كان bx أو ج يتم طرح الشروط.

· استبدل قيم المعاملات في الصيغة التربيعية.

تبسيط قدر الإمكان.

· استخدم ± أمام الجذر لفصل المحلول إلى قيمتين: واحدة يُضاف فيها الجذر التربيعي ، وأخرى يُطرح فيها..

تبسيط كلا القيمتين للحصول على الحلول الممكنة.

هذا كثير من الخطوات. دعنا نحاول استخدام الصيغة التربيعية لحل معادلة بسيطة نسبيًا أولاً ثم ستعود مرة أخرى وتحلها مرة أخرى باستخدام طريقة تحليل أخرى.

استخدم الصيغة التربيعية لحل المعادلة

x 2 + 4x = 5.

اكتب المعادلة أولاً في الشكل القياسي.

أ = 1, ب = 4, ج = −5

لاحظ أن علامة الطرح تعني الثابت ج سلبي.

عوّض بالقيم في الصيغة التربيعية.

تبسيط ، مع الحرص على تصحيح الإشارات.

افصل وابسط لإيجاد حلول المعادلة التربيعية. لاحظ أنه في واحد ، يتم إضافة 6 وفي الأخرى ، يتم طرح 6.

يمكنك التحقق من هذه الحلول بالتعويض عن 1 و 5 في المعادلة الأصلية.

تحصل على عبارتين حقيقيتين ، لذا فأنت تعلم أن كلا الحلين يعملان: x = 1 أو −5. لقد حللت المعادلة بنجاح باستخدام الصيغة التربيعية!

ومع ذلك ، عند النظر في x 2 + 4x = 5 ، ربما تكون قد فكرت "أنا أعرف بالفعل كيفية القيام بذلك ، يمكنني إعادة كتابة هذه المعادلة كـ x 2 + 4x - 5 = 0 ، ثم عاملها على أنها (x + 5)(x - 1) = 0 ، إذن x = −5 أو 1. " هذا صحيح - ومبروك إذا أجريت هذا الاتصال!

في بعض الأحيان ، قد يكون من الأسهل حل معادلة باستخدام طرق التحليل التقليدية ، مثل إيجاد أزواج أعداد مجموعها رقم واحد (في هذا المثال ، 4) والتي تنتج منتجًا معينًا (في هذا المثال −5) عند ضربها. تكمن قوة الصيغة التربيعية في إمكانية استخدامها لحلها أي المعادلة التربيعية ، حتى تلك التي لا يعمل فيها العثور على مجموعات الأرقام.

معظم المعادلات التربيعية التي نظرت إليها لها حلين ، مثل الحل أعلاه. المثال التالي مختلف قليلاً.

استخدم الصيغة التربيعية لحل المعادلة

x 2 – 2x = 6x – 16.

x 2 – 2x = 6x – 16

x 2 – 2x – 6x + 16 = 0

x 2 – 8x + 16 = 0

اطرح 6x من كلا الطرفين وأضف 16 للطرفين لوضع المعادلة في الصورة القياسية.

حدد المعاملات أ, ب، و ج. x 2 = 1x 2 ، لذلك أ = 1. منذ 8x مطروح ، ب سلبي.

أ = 1, ب = −8, ج = 16

عوّض بالقيم في الصيغة التربيعية.

نظرًا لأن الجذر التربيعي لـ 0 هو 0 ، وكلا الجمع والطرح يعطيان نفس النتيجة ، فلا يوجد سوى قيمة واحدة ممكنة.

مرة أخرى ، تحقق باستخدام المعادلة الأصلية.

x 2 – 2x = 6x – 16

لنجرب مثالاً أخيرًا. هذا أيضًا له اختلاف في الحل.

استخدم الصيغة التربيعية لحل المعادلة

x 2 + 2x = −5.

اكتب المعادلة أولاً في الشكل القياسي.

أ = 1, ب = 2, ج = 5

عوّض بالقيم في الصيغة التربيعية.

تبسيط ، مع الحرص على تصحيح الإشارات.

بسّط الجذر ، لكن لاحظ أن الرقم تحت رمز الجذر سالب! الجذر التربيعي لـ 16 تخيلي. .

افصل وابسط لإيجاد حلول المعادلة التربيعية.

x = −1 + 2أنا أو −1 - 2أنا

تحقق من هذه الحلول في المعادلة الأصلية. كن حذرًا عند توسيع المربعات واستبدالها أنا 2 مع -1.

( − 1+2أنا) 2 + 2( − 1 + 2أنا) = − 5

( − 1 – 2أنا) 2 + 2( − 1 – 2أنا) = − 5

1 – 4أنا + 4أنا 2 – 2 + 4أنا = −5

1 + 4أنا + 4أنا 2 – 2 – 4أنا = −5

1 – 4أنا + 4(−1) – 2 + 4أنا = −5

1 + 4أنا + 4(-1) – 2 – 4أنا = −5

استخدم الصيغة التربيعية لحل المعادلة x 2 – 2x – 4 = 0.

غير صحيح. ربما تكون قد عالجت الجانب الأيسر بشكل غير صحيح كـ (x - 2) 2. حيث أ = 1, ب = −2 و ج = −4, .

غير صحيح. . إذا تجاهلت الجذر التربيعي ، فسيصبح هذا x = 11 أو x = −9 ، لذلك ربما نسيت أن تأخذ الجذر التربيعي لـ 20. مما يعني أن الإجابة الصحيحة هي أو.

غير صحيح. باستخدام الصيغة ،. إذا نسيت أن المقام يقع تحت كلا الحدين في البسط ، فقد تحصل على أو. ومع ذلك ، فإن التبسيط الصحيح هو ، إذن الإجابة هي أو.

صيح. باستخدام الصيغة ،

أظهرت هذه الأمثلة أن المعادلة التربيعية قد يكون لها حلين حقيقيين ، أو حل حقيقي واحد ، أو حلان معقدان.

في الصيغة التربيعية ، يحدد التعبير الموجود أسفل الرمز الجذري عدد الحلول التي ستكشفها الصيغة ونوعها. هذا التعبير، ب 2 – 4أ، يسمى مميز من المعادلة فأس 2 + bx + ج = 0.

دعونا نفكر في كيفية تأثير المميّز على التقييم ، وكيف يساعد ذلك في تحديد مجموعة الحلول.

· إذا ب 2 – 4أ & gt 0 ، فسيكون الرقم الموجود أسفل الجذر قيمة موجبة. يمكنك دائمًا إيجاد الجذر التربيعي للموجب ، لذا فإن حساب الصيغة التربيعية سينتج عنه حلين حقيقيين (أحدهما بجمع الجذر التربيعي الموجب والآخر بطرحه).

· إذا ب 2 – 4أ = 0 ، إذن ستأخذ الجذر التربيعي لـ 0 ، وهو 0. بما أن جمع 0 وطرحه يعطيان نفس النتيجة ، فإن الجزء & quot ± & quot من الصيغة غير مهم. سيكون هناك حل حقيقي واحد.

· إذا ب 2 – 4أ & lt 0 ، فإن الرقم الموجود أسفل الجذر سيكون قيمة سالبة. بما أنه لا يمكنك إيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب باستخدام الأعداد الحقيقية ، فلا توجد حلول حقيقية. ومع ذلك ، يمكنك استخدام أرقام تخيلية. سيكون لديك بعد ذلك حلين مركبين ، أحدهما بجمع الجذر التربيعي التخيلي والآخر بطرحه.

استخدم المميز لتحديد عدد الحلول المعادلة التربيعية ونوعها

x 2 – 4x + 10 = 0 لديها.

يقيم ب 2 – 4أ. أولا لاحظ ذلك أ = 1, ب = −4 و ج = 10.

النتيجة رقم سالب. المميز سالب ، لذا فإن للمعادلة التربيعية حلين مركبين.

المعادلة التربيعية x 2 – 4x + 10 = 0 له حلين مركبين.

لنفترض أن المعادلة التربيعية لها مميز يساوي صفرًا. أي من العبارات التالية صحيح دائمًا؟

أ) للمعادلة حلين.

ب) المعادلة لها حل واحد.

ج) المعادلة ليس لها حلول.

أ) للمعادلة حلين.

غير صحيح. نظرًا لأن جمع 0 وطرحه يعطيان نفس النتيجة ، فإن الجزء & quot ± & quot من الصيغة التربيعية لا يهم. مميّز الصفر يعني أن المعادلة لها حل واحد. الجواب الصحيح هو "المعادلة لها حل واحد".

ب) المعادلة لها حل واحد.

صيح. مميّز الصفر يعني أن المعادلة لها حل واحد.

ج) المعادلة ليس لها حلول.

غير صحيح. عندما يكون المميز صفرًا ، سيكون للمعادلة حل واحد. الجواب الصحيح هو "المعادلة لها حل واحد".

تطبيق الصيغة التربيعية

تُستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في العلوم والأعمال والهندسة. تُستخدم المعادلات التربيعية بشكل شائع في المواقف التي يتم فيها ضرب شيئين معًا ويعتمد كلاهما على نفس المتغير. على سبيل المثال ، عند العمل مع المنطقة ، إذا تمت كتابة كلا البعدين من حيث نفس المتغير ، فإنك تستخدم معادلة من الدرجة الثانية. نظرًا لأن كمية المنتج المباع غالبًا ما تعتمد على السعر ، فإنك تستخدم أحيانًا معادلة من الدرجة الثانية لتمثيل الإيرادات كمنتج للسعر والكمية المباعة. تُستخدم المعادلات التربيعية أيضًا عند وجود الجاذبية ، مثل مسار الكرة أو شكل الكابلات في جسر معلق.

من التطبيقات الشائعة جدًا وسهلة الفهم ارتفاع الكرة التي تُلقى على الأرض من المبنى. نظرًا لأن الجاذبية ستجعل الكرة تسرع عند سقوطها ، فيمكن استخدام معادلة تربيعية لتقدير ارتفاعها في أي وقت قبل أن تصطدم بالأرض. ملحوظة: المعادلة ليست دقيقة تمامًا ، لأن الاحتكاك من الهواء سيبطئ الكرة قليلًا. For our purposes, this is close enough.

A ball is thrown off a building from 200 feet above the ground. Its starting velocity (also called initial velocity) is −10 feet per second. (The negative value means it's heading toward the ground.)

The equation ح = −16ر 2 – 10ر + 200 can be used to model the height of the ball after ر seconds. About how long does it take for the ball to hit the ground?

ح = -16ر 2 – 10ر + 200

0 = -16ر 2 – 10ر + 200

−16ر 2 – 10ر + 200 = 0

When the ball hits the ground, the height is 0. Substitute 0 for ح.

This equation is difficult to solve by factoring or by completing the square, so solve it by applying the Quadratic Formula, . In this case, the variable is ر rather than x. أ = −16, ب = −10, and ج = 200.

Simplify. Be very careful with the signs.

ر is approximately −3.86 or 3.24.

Use a calculator to find both roots.

Consider the roots logically. One solution, −3.86, cannot be the time because it is a negative number. The other solution, 3.24 seconds, must be when the ball hits the ground.

The ball hits the ground approximately 3.24 seconds after being thrown.

The area problem below does not look like it includes a Quadratic Formula of any type, and the problem seems to be something you have solved many times before by simply multiplying. But in order to solve it, you will need to use a quadratic equation.

Bob made a quilt that is 4 ft x 5 ft. He has 10 sq. ft. of fabric he can use to add a border around the quilt. How wide should he make the border to use all the fabric? (The border must be the same width on all four sides.)

Sketch the problem. Since you don’t know the width of the border, you will let the variable x represent the width.

In the diagram, the original quilt is indicated by the red rectangle. The border is the area between the red and blue lines.

Since each side of the original 4 by 5 quilt has the border of width x added, the length of the quilt with the border will be 5 + 2x, and the width will be 4 + 2x.

(Both dimensions are written in terms of the same variable, and you will multiply them to get an area! This is where you might start to think that a quadratic equation might be used to solve this problem.)

Area of border = Area of the blue rectangle minus the area of the red rectangle

Area of border = (4 + 2x)(5 + 2x) – (4)(5)

You are only interested in the area of the border strips. Write an expression for the area of the border.

10 = (4 + 2x)(5 + 2x) – 20

There are 10 sq ft of fabric for the border, so set the area of border to be 10.

10 = 20 + 8x + 10x + 4x 2 – 20

Multiply (4 + 2x)(5 + 2x).

10 = 18x + 4x 2

0 = 18x + 4x 2 – 10

4x 2 + 18x – 10 = 0

2(2x 2 + 9x – 5) = 0

Subtract 10 from both sides so that you have a quadratic equation in standard form and can apply the Quadratic Formula to find the roots of the equation.

Factor out the greatest common factor, 2, so that you can work with the simpler equivalent equation, 2x 2 + 9x – 5 = 0.

Use the Quadratic Formula. In this case, a = 2, b = 9, and c = −5.

Find the solutions, making sure that the ± is evaluated for both values.

The width of the border should be 0.5 ft.

Ignore the solution x = −5, since the width could not be negative.

A ball is launched upward at 48 feet/second from a platform that is 100 feet high. The equation giving its height ر seconds after launch is ح = −16ر 2 + 48ر + 100. The ball will shoot up to 136 feet high, then begin to come back down. About how long will the ball take to get to that maximum height?

D) This problem cannot be solved.

صيح. When the height is 136 feet, the equation becomes 136 = −16ر 2 + 48ر + 100. Subtracting 136 from both sides gives 0 = −16ر 2 + 48ر – 36. Factoring out −4 results in the simpler equation 0 = 4ر 2 ‒ 12ر + 9. Using the Quadratic Formula gives . This simplifies to . (Since the discriminant is 0, there is only one solution.) The ball will reach its maximum height in 1.5 seconds.

غير صحيح. You probably set up the equation correctly, 136 = −16ر 2 + 48ر + 100. However, you probably either forgot a negative sign for the values of أ أو ج, or you incorrectly evaluated −4أ in the discriminant. Subtracting 136 from both sides of the equation gives 0 = −16ر 2 + 48ر – 36. Factoring out −4 results in the simpler equation

0 = 4ر 2 ‒ 12ر + 9, so أ = 4 , ب = −12, and ج = 9 . Using the Quadratic Formula gives . This simplifies to . (Since the discriminant is 0, there is only one solution.) The correct answer is 1.5 seconds.

غير صحيح. You probably correctly solved the equation 0 = −16ر 2 + 48ر + 100, but you are looking for the time when the height is 136, not 0. The equation to solve is 136 = -16ر 2 + 48ر + 100. Subtracting 136 from both sides gives 0 = -16ر 2 + 48ر – 36. Factoring out -4 results in the simpler equation 0 = 4ر 2 -12ر +9. Using the Quadratic Formula gives . This simplifies to . (Since the discriminant is 0, there is only one solution.) The correct answer is 1.5 seconds.

D) This problem cannot be solved.

غير صحيح. This problem can be solved if you substitute 136 in for ح in the original equation. This gives you: 136 = −16ر 2 + 48ر + 100. Subtracting 136 from both sides gives
0 = −16ر 2 + 48ر – 36. Factoring out -4 results in the simpler equation 0 = 4ر 2 ‒ 12ر + 9. Using the Quadratic Formula gives . This simplifies to . (Since the discriminant is 0, there is only one solution.) The correct answer is 1.5 seconds.

Quadratic equations can appear in different applications. The Quadratic Formula is a useful way to solve these equations, or any other quadratic equation! The Quadratic Formula, , is found by completing the square of the quadratic equation .

The discriminant of the Quadratic Formula is the quantity under the radical, . It determines the number and the type of solutions that a quadratic equation has. If the discriminant is positive, there are 2 real solutions. If it is 0, there is 1 real solution. If the discriminant is negative, there are 2 complex solutions (but no real solutions).


Solving Quadratic Equations Using Square Roots

for some new constant d , and taking the square root of both sides. (Both positive and negative square roots count. because we want الكل of the numbers that solve the equation.) Again, this easy method of solution only works in the special case when b = 0 .

Put the equation into the form x 2 = d . Start by subtracting 4 from both sides.

خذ الجذور التربيعية لكلا الجانبين.

There are two solutions to the equation.

Download our free learning tools apps and test prep books

Names of standardized tests are owned by the trademark holders and are not affiliated with Varsity Tutors LLC.

4.9/5.0 Satisfaction Rating over the last 100,000 sessions. As of 4/27/18.

Media outlet trademarks are owned by the respective media outlets and are not affiliated with Varsity Tutors.

Award-Winning claim based on CBS Local and Houston Press awards.

Varsity Tutors does not have affiliation with universities mentioned on its website.

Varsity Tutors connects learners with experts. Instructors are independent contractors who tailor their services to each client, using their own style, methods and materials.


MathHelp.com

When I'm solving an equation, I know that I can do whatever I like to that equation as long as I do the exact same thing to both sides of that equation. On the left-hand side of this particular equation, I have an x 2 , and I want a plain old x . To turn the x 2 into an x , I can take the square root of each side of the equation, like this:

Then the solution is x = ±2 , just like it was when I solved by factoring the difference of squares.

Why did I need the " ± " (that is, the "plus-minus") sign on the 2 when I took the square root of the 4 ? Because I'm trying to find الكل values of the variable which make the original statement true, and it could have been either a positive 2 or a negative 2 that was squared to get that 4 in the original equation.

This duality is similar to how I'd had two factors, one "plus" and one "minus", when I used the difference-of-squares formula to solve this same equation on the previous page.

"Finding the solution to an equation" is a جدا different process from "evaluating the square root of a number". When finding "the" square root of a number, we're dealing exclusively with a positive value. لماذا ا؟ Because that is how the square root of a number is defined. The value of the square root of a number can only be positive, because that's how "the square root of a number" is defined.

Solving an equation, on the other hand &mdash that is, finding all of the possible values of the variable that could work in an equation &mdash is different from simply evaluating an expression that is already defined as having only one value.

Keep these two straight! A square-rooted number has only one value, but a square-rooted معادلة has two, because of the variable.

In mathematics, we need to be able to get the same answer, no matter which valid method we happen to have used in order to arrive at that answer. So, comparing the answer I got above with the answer I got one the previous page confirms that we must use the " ± " when taking square roots to solve.

(You may be doubting my work above in the step where I took the square root of either side, because I put a " ± " sign on only one side of the equation. Shouldn't I add this character to على حد سواء sides of the equation? Kind of, yes. But if I'd put it on both sides of the equation, would anything really have changed? No. Try all the cases, if you're not sure.)

A benefit of this square-rooting process is that it allows us to solve some quadratics that we could not have solved before when using only factoring. على سبيل المثال:

Solve x 2 &ndash 50 = 0 .

This quadratic has a squared part and a numerical part. I'll start by adding the numerical term to the other side of the equaion (so the squared part is by itself), and then I'll square-root both sides. I'll need to remember to simplify the square root:


شاهد الفيديو: رياضيات - الثالث متوسط حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي (شهر اكتوبر 2021).