مقالات

5.13: تبسيط واستخدام الجذور التربيعية (الجزء الثاني)


الجذور التربيعية التقريبية مع آلة حاسبة

توجد طرق رياضية لتقريب الجذور التربيعية ، ولكن من الأنسب استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الجذور التربيعية. ابحث عن مفتاح ( sqrt { text {}} ) أو ( sqrt {x} ) في الآلة الحاسبة. سوف تستخدم هذا المفتاح لتقريب الجذور التربيعية. عندما تستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد الجذر التربيعي لعدد ليس مربعًا كاملًا ، فإن الإجابة التي تراها ليست الرقم الدقيق. إنه تقدير تقريبي لعدد الأرقام المعروضة على شاشة الآلة الحاسبة. رمز التقريب هو ≈ ويتم قراءته تقريبا.

افترض أن الآلة الحاسبة الخاصة بك تحتوي على شاشة مكونة من 10 أرقام. باستخدامه لإيجاد الجذر التربيعي للرقم 5 ، نحصل على 2.236067977. هذا هو الجذر التربيعي التقريبي للرقم 5. عندما نقوم بالإبلاغ عن الإجابة ، يجب أن نستخدم علامة "يساوي تقريبًا" بدلاً من علامة التساوي.

[ sqrt {5} حوالي 2.236067978 ]

نادرًا ما ستستخدم هذه الأرقام العديدة للتطبيقات في الجبر. لذا ، إذا أردت تقريب ( sqrt {5} ) إلى منزلتين عشريتين ، فستكتب

[ sqrt {5} حوالي 2.24 ]

كيف نعرف أن هذه القيم تقريبية وليست قيمًا دقيقة؟ انظر إلى ما يحدث عندما نربعهم.

[ begin {split} 2.236067978 ^ {2} & = 5.000000002 2.24 ^ {2} & = 5.0176 end {split} ]

المربعات قريبة من 5 ، ولكنها لا تساوي تمامًا.

مثال ( PageIndex {6} ):

قرّب ( sqrt {17} ) لأقرب منزلتين عشريتين باستخدام الآلة الحاسبة.

حل

استخدم مفتاح الجذر التربيعي للحاسبة.4.123105626
قرّب لأقرب منزلتين عشريتين.4.12
$$ sqrt {17} حوالي 4.12 $$

التمرين ( PageIndex {11} ):

قرّب ( sqrt {11} ) لأقرب منزلتين عشريتين.

إجابه

( تقريبا 3.32 )

التمرين ( PageIndex {12} ):

قرّب ( sqrt {13} ) لأقرب منزلتين عشريتين

إجابه

( حوالي 3.61 )

تبسيط التعبيرات المتغيرة ذات الجذور التربيعية

لم يكن للتعبيرات ذات الجذر التربيعي التي نظرنا إليها حتى الآن أي متغيرات. ماذا يحدث عندما يتعين علينا إيجاد جذر تربيعي لتعبير متغير؟

ضع في اعتبارك ( sqrt {9x ^ {2}} ) ، حيث x ≥ 0. هل يمكنك التفكير في تعبير مربعه 9x2?

[ begin {split} (؟) ^ {2} & = 9x ^ {2} (3x) ^ {2} & = 9x ^ {2} so ؛ sqrt {9x ^ {2}} & = 3x end {split} ]

عندما نستخدم متغيرًا في تعبير الجذر التربيعي ، في عملنا ، سنفترض أن المتغير يمثل عددًا غير سالب. في كل مثال وتمرين يليه ، يكون كل متغير في تعبير الجذر التربيعي أكبر من أو يساوي الصفر.

مثال ( PageIndex {7} ):

بسّط: x2.

حل

فكر فيما علينا تربيعه لنحصل على x2. جبريًا ، (؟)2 = س2

التمرين ( PageIndex {13} ):

بسّط: ( sqrt {y ^ {2}} ).

إجابه

(ص )

التمرين ( PageIndex {14} ):

بسّط: ( sqrt {m ^ {2}} ).

إجابه

(م )

مثال ( PageIndex {8} ):

بسّط: ( sqrt {16x ^ {2}} ).

حل

التمرين ( PageIndex {15} ):

بسّط: ( sqrt {64x ^ {2}} ).

إجابه

(8x )

التمرين ( PageIndex {16} ):

بسّط: ( sqrt {169y ^ {2}} ).

إجابه

(13 س )

مثال ( PageIndex {9} ):

بسّط: (- sqrt {81y ^ {2}} ).

حل

التمرين ( PageIndex {17} ):

بسّط: (- sqrt {121y ^ {2}} ).

إجابه

(- 11 سنة )

التمرين ( PageIndex {18} ):

بسّط: (- sqrt {100p ^ {2}} ).

إجابه

(- 10 ف /)

مثال ( PageIndex {10} ):

بسّط: ( sqrt {36x ^ {2} y ^ {2}} ).

حل

منذ (6xy)2 = 36x2 ذ26xy

التمرين ( PageIndex {19} ):

بسّط: ( sqrt {100a ^ {2} b ^ {2}} ).

إجابه

(10 ​​أب )

التمرين ( PageIndex {20} ):

بسّط: ( sqrt {225m ^ {2} n ^ {2}} ).

إجابه

(10 ​​مليون )

استخدم الجذور التربيعية في التطبيقات

أثناء تقدمك في دورات الكلية ، ستواجه العديد من تطبيقات الجذور التربيعية. مرة أخرى ، إذا استخدمنا استراتيجيتنا للتطبيقات ، فسوف تعطينا خطة للعثور على الإجابة!

كيفية: استخدام إستراتيجية للتطبيقات ذات الجذور المربعة

الخطوة الأولى. حدد ما يُطلب منك البحث عنه.

الخطوة 2. اكتب عبارة تعطي المعلومات للعثور عليها.

الخطوة 3. ترجمة العبارة إلى تعبير.

الخطوة 4. بسّط التعبير.

الخطوة 5. اكتب جملة كاملة تجيب على السؤال.

الجذور التربيعية والمساحة

لقد قمنا بحل التطبيقات مع المنطقة من قبل. إذا عرفنا طول أضلاع المربع ، فيمكننا إيجاد مساحته عن طريق تربيع أطوال أضلاعه. يمكننا الآن إيجاد طول أضلاع المربع إذا كانت المساحة متوفرة لدينا ، وذلك بإيجاد الجذر التربيعي للمنطقة.

إذا كانت مساحة المربع تساوي A وحدة مربعة ، فإن طول الضلع يساوي A من الوحدات. راجع الجدول ( PageIndex {1} ).

جدول ( PageIndex {1} )
المساحة (الوحدات المربعة)طول الجانب (وحدات)
9$$ sqrt {9} = 3 $$
144$$ sqrt {144} = 12 $$
أ$$ sqrt {A} $$

مثال ( PageIndex {11} ):

يريد مايك وليشيل إنشاء فناء مربع. لديهم ما يكفي من الخرسانة لمساحة 200 قدم مربع. إلى أقرب عُشر قدم ، ما طول ضلع من ضلع الفناء المربع؟

حل

نعلم أن مساحة المربع تساوي 200 قدم مربع ونريد إيجاد طول الضلع. إذا كانت مساحة المربع هي A وحدة مربعة ، فإن طول الضلع هو ( sqrt {A} ) وحدة.

ماذا يطلب منك أن تجد؟طول كل جانب من فناء مربع
اكتب عبارة.طول الضلع
ترجم إلى تعبير.$$ sqrt {A} $$
أوجد قيمة ( sqrt {A} ) عندما تكون A = 200.$$ sqrt {200} $$
استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بك.14.142135...
التقريب لأقرب منزلة عشرية.14.1 قدم
أكتب جملة.يجب أن يبلغ طول كل جانب من جوانب الفناء 14.1 قدمًا.

التمرين ( PageIndex {21} ):

كاتي تريد أن تزرع حديقة مربعة في فناء منزلها الأمامي. لديها ما يكفي من العشب لتغطية مساحة 370 قدم مربع. إلى أقرب جزء من عُشر قدم ، ما طول ضلع من حديقتها المربعة؟

إجابه

19.2 قدم

التمرين ( PageIndex {22} ):

يريد سيرجيو صنع فسيفساء مربعة كترصيع لطاولة يقوم ببنائها. لديه ما يكفي من البلاط لتغطية مساحة 2704 سم مربع. إلى متى يمكن أن يكون جانب من فسيفساءه؟

إجابه

52 سم

الجذور التربيعية والجاذبية

تطبيق آخر للجذور التربيعية يتضمن الجاذبية. على الأرض ، إذا تم إسقاط كائن من ارتفاع h قدم ، يتم العثور على الوقت بالثواني الذي يستغرقه الوصول إلى الأرض من خلال تقييم التعبير ( dfrac { sqrt {h}} {4} ). على سبيل المثال ، إذا سقط كائن من ارتفاع 64 قدمًا ، فيمكننا إيجاد الوقت المستغرق للوصول إلى الأرض من خلال تقييم ( dfrac { sqrt {64}} {4} ).

خذ الجذر التربيعي لـ 64.$$ dfrac {8} {4} $$
بسّط الكسر.2

يستغرق سقوط جسم من ارتفاع 64 قدمًا إلى الأرض ثانيتين.

مثال ( PageIndex {12} ):

أسقطت كريستي نظارتها الشمسية من جسر على ارتفاع 400 قدم فوق نهر. كم ثانية يستغرق وصول النظارات الشمسية إلى النهر؟

حل

ماذا يطلب منك أن تجد؟عدد الثواني التي تستغرقها النظارات الشمسية للوصول إلى النهر
اكتب عبارة.الوقت المستغرق للوصول إلى النهر
ترجم إلى تعبير.$$ dfrac { sqrt {h}} {4} $$
أوجد قيمة ( dfrac { sqrt {h}} {4} ) عندما تكون h = 400.$$ dfrac { sqrt {400}} {4} $$
أوجد الجذر التربيعي لـ 400.14.142135...
تبسيط.14.1 قدم
أكتب جملة.يجب أن يبلغ طول كل جانب من جوانب الفناء 14.1 قدمًا.

التمرين ( PageIndex {23} ):

طائرة هليكوبتر تسقط حزمة إنقاذ من ارتفاع 1296 قدمًا. كم ثانية يستغرق وصول الحزمة إلى الأرض؟

إجابه

9 ثوان

التمرين ( PageIndex {24} ):

تقوم آلة غسل النوافذ بإسقاط ممسحة من منصة على ارتفاع 196 قدمًا فوق الرصيف. كم ثانية تستغرق الممسحة للوصول إلى الرصيف؟

إجابه

3.5 ثانية

الجذور التربيعية والتحقيقات في الحوادث

يقوم ضباط الشرطة الذين يحققون في حوادث السيارات بقياس طول علامات الانزلاق على الرصيف. ثم استخدموا الجذور التربيعية لتحديد السرعة ، بالأميال في الساعة ، كانت السيارة تسير قبل استخدام الفرامل. وفقًا لبعض الصيغ ، إذا كان طول علامات الانزلاق d أقدام ، فيمكن معرفة سرعة السيارة من خلال تقييم ( sqrt {24d} ).

مثال ( PageIndex {13} ):

بعد وقوع حادث سيارة ، بلغ قياس علامات الانزلاق لسيارة واحدة 190 قدماً. لأقرب جزء من عشرة ، كم كانت سرعة السيارة (ميل في الساعة) قبل الضغط على الفرامل؟

حل

ماذا يطلب منك أن تجد؟سرعة السيارة قبل استخدام المكابح
اكتب عبارة.سرعة السيارة
ترجم إلى تعبير.$$ sqrt {24d} $$
أوجد قيمة ( sqrt {24d} ) عندما تكون d = 190.$$ sqrt {24 cdot 190} $$
تتضاعف.$$ sqrt {4،560} $$
استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بك.67.527772...
قرّب لأعشار.67.5
أكتب جملة.كانت سرعة السيارة حوالي 67.5 ميلاً في الساعة.

التمرين ( PageIndex {25} ):

قام محقق حادث بقياس علامات انزلاق السيارة ووجد أن طولها كان 76 قدمًا. لأقرب جزء من عشرة ، كم كانت سرعة السيارة قبل استخدام المكابح؟

إجابه

42.7 ميل في الساعة

التمرين ( PageIndex {26} ):

كانت علامات الانزلاق لمركبة متورطة في حادث بطول 122 قدمًا. إلى أقرب جزء من عشرة ، ما السرعة التي كانت تسير بها السيارة قبل الضغط على المكابح؟

إجابه

54.1 ميل في الساعة

مع التدريب يأتي الإتقان

تبسيط التعبيرات باستخدام الجذور التربيعية

في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط.

  1. ( الجذر التربيعي {36} )
  2. ( sqrt {4} )
  3. ( sqrt {64} )
  4. ( sqrt {144} )
  5. (- sqrt {4} )
  6. (- sqrt {100} )
  7. (- sqrt {1} )
  8. (- sqrt {121} )
  9. ( sqrt {-121} )
  10. ( sqrt {-36} )
  11. ( sqrt {-9} )
  12. ( sqrt {-49} )
  13. ( الجذر التربيعي {9 + 16} )
  14. ( sqrt {25 + 144} )
  15. ( sqrt {9} + sqrt {16} )
  16. ( sqrt {25} + sqrt {144} )

تقدير الجذور التربيعية

في التمارين التالية ، قدر كل جذر تربيعي بين عددين صحيحين متتاليين.

  1. ( sqrt {70} )
  2. ( sqrt {5} )
  3. ( sqrt {200} )
  4. ( sqrt {172} )

الجذور التربيعية التقريبية مع آلة حاسبة

في التدريبات التالية ، استخدم الآلة الحاسبة لتقريب كل جذر تربيعي والتقريب لأقرب منزلتين عشريتين.

  1. ( sqrt {19} )
  2. ( sqrt {21} )
  3. ( sqrt {53} )
  4. ( sqrt {47} )

تبسيط التعبيرات المتغيرة ذات الجذور التربيعية

في التدريبات التالية ، قم بالتبسيط. (افترض أن جميع المتغيرات أكبر من أو تساوي الصفر).

  1. ( sqrt {y ^ {2}} )
  2. ( sqrt {b ^ {2}} )
  3. ( sqrt {49x ^ {2}} )
  4. ( sqrt {100y ^ {2}} )
  5. (- sqrt {64a ^ {2}} )
  6. (- sqrt {25x ^ {2}} )
  7. ( sqrt {144x ^ {2} y ^ {2}} )
  8. ( sqrt {196a ^ {2} b ^ {2}} )

استخدم الجذور التربيعية في التطبيقات

في التدريبات التالية ، حل. التقريب لأقرب منزلة عشرية.

  1. تنسيق حدائق يريد ريد الحصول على قطعة أرض في حديقة مربعة في الفناء الخلفي لمنزله. لديه سماد كافٍ لتغطية مساحة 75 قدمًا مربعة. إلى متى يمكن أن يكون جانب من حديقته؟
  2. تنسيق حدائق يريد فينس عمل فناء مربع في فناء منزله. لديه ما يكفي من الخرسانة لرصف مساحة 130 قدم مربع. إلى متى يمكن أن يكون جانب من فناءه؟
  3. الجاذبية أسقطت طائرة شعلة من ارتفاع 1،024 قدمًا فوق بحيرة. كم ثانية استغرقت وصول الشعلة إلى الماء؟
  4. الجاذبية أسقطت طائرة شراعية معلقة هاتفه الخلوي من ارتفاع 350 قدمًا. كم ثانية استغرقت وصول الهاتف الخلوي إلى الأرض؟
  5. الجاذبية أسقط عامل بناء مطرقة أثناء بناء ممشى جراند كانيون ، على ارتفاع 4000 قدم فوق نهر كولورادو. كم ثانية استغرقت وصول المطرقة إلى النهر؟
  6. تحقيق الحادث قياس علامات الانزلاق من سيارة متورطة في حادث يبلغ 54 قدماً. كم كانت سرعة السيارة قبل الضغط على المكابح؟
  7. تحقيق الحادث بلغ قياس علامات الانزلاق من سيارة متورطة في حادث 216 قدمًا. كم كانت سرعة السيارة قبل الضغط على المكابح؟
  8. تحقيق الحادث قام محقق الحادث بقياس علامات الانزلاق لإحدى المركبات المتورطة في حادث. كان طول علامات الانزلاق 175 قدمًا. كم كانت سرعة السيارة قبل الضغط على المكابح؟
  9. تحقيق الحادث قام محقق الحادث بقياس علامات الانزلاق لإحدى المركبات المتورطة في حادث. كان طول علامات الانزلاق 117 قدمًا. كم كانت سرعة السيارة قبل الضغط على المكابح؟

الرياضيات اليومية

  1. تزيين تريد دينيس تثبيت لهجة مربعة من البلاط المصمم في الدش الجديد. يمكنها شراء 625 سم مربع من البلاط المصمم. كم من الوقت يمكن أن يكون جانب من اللهجة؟
  2. تزيين يريد موريس الحصول على فسيفساء مربعة مطعمة في فنائه الجديد. ميزانيته تسمح لـ2025 بلاطة. كل بلاطة مربعة بمساحة بوصة مربعة واحدة. إلى متى يمكن أن يكون جانب من الفسيفساء؟

تمارين الكتابة

  1. لماذا لا يوجد عدد حقيقي يساوي ( sqrt {−64} )؟
  2. ما هو الفرق بين 92 و ( sqrt {9} )؟

الاختيار الذاتي

(أ) بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

(ب) بشكل عام ، بعد الاطلاع على قائمة المراجعة ، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للفصل التالي؟ لما و لما لا؟


حلول الجذر التربيعي (الجزء 2 من 2)

2. اسمح للطلاب باستخدام الآلة الحاسبة وامنحهم بضع دقائق للإجابة على الأسئلة. سيجد الطلاب أن التعبيرات في السؤالين 1 و 2 متكافئة وأن التعبيرين الجذريين عند ضربهما في الجذر.

3. اطلب من الطلاب تجربة جذور تربيعية أخرى ، وضربها حتى يتمكنوا من رؤية أن التربيع والجذور التربيعية هي عمليات عكسية.

4. اطلب من الفصل وضع قاعدة لجميع الحالات. عادة ما يختتم الطلاب بقاعدة (√x) (√x) = x

5. اكتب على السبورة: (√ ب) 2 = ب و (√ ب 2) = ب وقدم بعض الأمثلة باستخدام المربعات الكاملة حتى يتمكن الطلاب من رؤية النمط بوضوح دون الحاجة إلى استخدام الآلة الحاسبة.

السابق: (√4) 2 = (2) 2 = 4

(√9) 2 = (3) 2 = 9


معلومات جديدة

يجب أن يتعرف الطلاب على أن 4 ∙ √5 = 20. كما ينبغي أن يكونوا قادرين على التبسيط بشكل أكبر إلى √5 باستخدام خاصية الجذور التربيعية المستفادة في الدروس السابقة.

أخبر الطلاب أنه مثلما يمكنك ضرب الجذور التربيعية باستخدام منتج خاصية الجذور التربيعية ، ،a ∙ √ b = √ab ، يمكنك إعادة كتابة الجذر التربيعي كمنتج عن طريق تحليل الجذر التربيعي.

اكتب هذا المثال على السبورة: √40 = √4 ∙ √10 الذي يبسط إلى 2√10

المفتاح هنا هو العثور على ملف عامل مربع كامل من الجذر.

اطلب من أزواج الطلاب تبسيط التعبيرين التاليين. اكتب هذه على السبورة.

سيقوم معظم الطلاب بتبسيطها بنجاح. اكتب الآن √48. اطلب منهم تبسيط هذا التعبير.

قم بدعوة أحد المتطوعين لكتابة عمله على السبورة. من المحتمل أن يعيد الطالب كتابة هذا التعبير بإحدى طريقتين:

√4 ∙ √12 أو √6 ∙ √8

من المهم أن تسأل عما إذا كان أي شخص في الفصل قام بذلك بشكل مختلف.

تأكد من وجود ثلاثة مسارات على الأقل على السبورة بما في ذلك المسار الأكثر كفاءة (باستخدام 16 و 3). قل للفصل:

"جميع الطرق الثلاثة صحيحة ولكن واحدة فقط من هذه هي أفضل إجابة ، هل يمكن لأي شخص أن يخبرني بأي منها ولماذا؟ ناقشوا هذا لمدة دقيقة بينكم. "

امنح وقتًا للمناقشة دون دعوة أي شخص يرفع يده لمحاولة إعطاء إجابة. بعد ذلك ، اتصل بمتطوع.

من المهم جدًا أن تطلب من الطلاب إثبات أن المسارين الآخرين على السبورة يؤديان إلى نفس الإجابة. اطلب من الطلاب الاستمرار في تبسيطها حتى يتم تبسيطها تمامًا.

اكتب ما يلي على السبورة بعد الانتهاء من ذلك.

يتم تبسيط التعبير الجذري تمامًا عندما لا تحتوي القيمة الواقعة تحت علامة الجذر (radicand) على عوامل تربيع كاملة بخلاف 1.


كيفية إدراج رمز الجذر التربيعي في Word

سأوضح لك اليوم جميع الطرق السهلة لإدخال ملف رمز الجذر التربيعي (√) في Word.

ملاحظة: على الرغم من أنني أظهر استخدام رمز الجذر التربيعي (√) ، يمكن استخدام نفس الطرق لإدراج أي رمز آخر في Word.

فيما يلي الطرق المختلفة لإدخال ملف رمز الجذر التربيعي.

الخيار 1: استخدام إدراج المعادلة

جعل Microsoft Word كتابة الرموز الرياضية أمرًا سهلاً للغاية من خلال ميزة إدراج المعادلة.

باستخدام هذا الخيار ، يمكنك بسهولة إدراج أي رمز رياضي تقريبًا في مستند كلمتك.

فيما يلي الخطوات لمساعدتك:

  • ضع مؤشر الإدراج حيث تريد إدراج رمز الجذر التربيعي.
  • صحافة بديل+ = على لوحة المفاتيح لإظهار حقل المعادلة.

بمجرد الضغط على شريط المسافة بعد الكتابة مربع، سيقوم Word بإدراج رمز الجذر التربيعي في مستند Word الخاص بك.

الخيار 2: استخدام كود البديل اختصار على لوحة المفاتيح

كل حرف أو رمز في Word له رمز حرف. باستخدام رمز الحرف هذا ، يمكنك إدراج أي رمز بما في ذلك رمز الجذر التربيعي باستخدام لوحة المفاتيح. ومن المعروف شعبيا باسم Alt code.

اختصار رمز Alt لملف رمز الجذر التربيعي هو Alt + 251 أو 221 أ, Alt + X.

لإدراج هذا الرمز (باستخدام رمز Alt) ، اتبع هذه الخطوات الثلاث البسيطة:

  • ضع مؤشر الإدراج في المكان الذي تريد إدراج الرمز فيه.
  • اضغط باستمرار على مفتاح Alt واكتب 251 على لوحة المفاتيح الرقمية وحرر مفتاح Alt.
  • اكتب رمز Alt - 221 أ
  • ثم اضغط Alt + X لتحويل الرمز إلى رمز الجذر التربيعي

بمجرد تحرير رمز Alt ، فإن الرمز () في المستند الخاص بك.

الخيار 3: انسخ والصق رمز الجذر التربيعي

يمكن أن يكون خيار النسخ واللصق هو الخيار الأسهل لإدراج هذا الخيار رمز في MS Word.

بغض النظر عن البرنامج الذي تستخدمه ، يمكنك دائمًا نسخ ولصق أي رمز في عملك.

أدناه هو رمز الجذر التربيعي إذا كنت تريد نسخها ولصقها في عملك:

الخيار 4: استخدام مربع حوار "إدراج رمز"

هذه الطريقة والطريقة التالية لا تتضمن استخدام لوحة المفاتيح. لذلك ، يمكن استخدامه فقط في التطبيقات التي تحتوي على وظيفة إدراج الرمز مثل Office Word أو Excel أو PowerPoint أو Access.

فيما يلي خطوات إدراج رمز الجذر التربيعي باستخدام مربع الحوار "إدراج رمز".

  • على ال إدراج علامة التبويب ، انقر فوق رمز زر وانقر المزيد من الرموز ...

ال حرف او رمز سيظهر مربع الحوار. حان الوقت الآن للبحث عن الرمز الذي تريد إدراجه (ملف رمز الجذر التربيعي).

في معرض الرموز ، ابحث عن رمز الجذر التربيعي عن طريق التمرير لأعلى أو لأسفل باستخدام شريط التمرير.

إذا لم تتمكن من العثور على الرمز ، في الجزء السفلي الأيمن من مربع الحوار ، حدد يونيكود (ست عشري) في ال من عنداسقاط. مرة أخرى ، في الجزء العلوي الأيمن من مربع الحوار ، حدد العوامل الرياضية في ال مجموعة فرعية اسقاط.

بهذه الطريقة ، فقط العوامل الرياضية بما في ذلك رمز الجذر التربيعي سيظهر في المنطقة المرئية من مربع حوار الرموز.

بدلاً من ذلك ، اكتب 221A فقط في حقل رمز الحرف ، وسيظهر الرمز وقد تم تحديده بالفعل لك.

  • انقر لتحديد الرمز ، ثم انقر فوق نعم إدراج. بدلاً من ذلك ، يمكنك فقط النقر نقرًا مزدوجًا فوق رمز الجذر التربيعي لإدراجه في المستند ، ثم إغلاق مربع الحوار.

هذه هي الطريقة التي يمكنك إدخال رمز الجذر التربيعي في Word / Excel / PowerPoint / Access باستخدام مربع حوار إدراج الرمز.

الخيار 5: استخدام التصحيح التلقائي اختصار لوحة المفاتيح

طريقة أخرى للحصول على رمز الجذر التربيعي من خلال استخدام ميزة التصحيح التلقائي.

إنها وسيلة مصممة لتصحيح الأخطاء الإملائية. على سبيل المثال ، إذا قمت بكتابة ثسي سيقوم Word بتصحيحه إلى هذا.

باستخدام هذه الميزة ، يمكنك تعيين نص التصحيح التلقائي للرمز (مثل SQRT).

بهذه الطريقة ، كلما قمت بكتابة النص SQRT باستخدام لوحة المفاتيح ، سيعتقد Word أنك تريد بالفعل كتابة ملف رمز الجذر التربيعي (√) وسيتم تحويلها لك تلقائيًا.

هذا الأسلوب مفيد بشكل خاص عندما تحتاج إلى إدخال الرمز بشكل متكرر في عملك.

بدون مزيد من اللغط ، فيما يلي الخطوات التي يمكنك استخدامها لتعيين نص التصحيح التلقائي للرموز.

ال رمز يظهر مربع الحوار.

  • حدد موقع الرمز ، ثم انقر لتحديده.
  • اضغط على تصحيح تلقائي ... زر لعرض مربع حوار التصحيح التلقائي.

في مربع الحوار تصحيح تلقائي ، أدخل ما يلي:

سيقوم Word تلقائيًا بإدراج ملف رمز في المستند الخاص بك كلما كتبت SQRT.

فيما يلي بعض الأشياء القليلة التي يجب ملاحظتها عند استخدام أسلوب التصحيح التلقائي.

  • التصحيح التلقائي حساس لحالة الأحرف. المعنى إذا كنت تكتب الجذر التربيعي (بأحرف صغيرة) ، لن يقوم Word بتحويله إلى تنسيق رمز الجذر التربيعي ما لم تكتب SQRT (بأحرف كبيرة).
  • إذا كان هناك أي نص قبل أو بعد نص التصحيح التلقائي ، فسيعتبر Word نص التصحيح التلقائي كجزء من النص وبالتالي لن يتم التحويل. على سبيل المثال، XSQRT لن يتم تحويلها ، ولكن X SQRT سيتم تحويلها إلى X √.

المشاركات الاخيرة

Google Drive هي خدمة تخزين سحابية مستخدمة على نطاق واسع. على الرغم من استخدامه على نطاق واسع ، يواجه العديد من الوافدين الجدد صعوبة في العثور على ملفاتهم وتخزينها في Google Drive. نتيجة لذلك ، كثيرا ما يستفسرون.

الهامش في محرر مستندات Google هو أداة تخطيط الصفحة التي تساعد في تأطير وتعريف منطقة الكتابة عن طريق فصل المحتوى الأساسي عن حافة الصفحة. قبل أن أتمكن من إنشاء هذا الدليل ، كان علي أن أفتح.


ساعدنى من فضلك! 1. ما هي الحلول الحقيقية أو التخيلية للمعادلة متعددة الحدود؟ x ^ 4-52x ^ 2 + 576 = 0 A) 4، -4 B) 4، -6 C) 4، -4،6، -6 D) لا توجد حلول 2. ما هي الحلول الحقيقية أو التخيلية لكثير الحدود معادلة؟ x ^ 3 = 216 A) -6،3 + 3i (الجذر التربيعي لـ 7) و

أوجد الدوال أ) f o g ، b) g o f ، c) f o f ، d) g o g ومجالاتها. f (x) = الجذر التربيعي لـ x ، g (x) = الجذر التكعيبي للعدد 1-x هذه هي إجاباتي ، لكني لست متأكدًا منها وقد اكتشفت مجالًا واحدًا فقط. هذا هو الجزء الذي يحيرني حقًا.


تقدير الجذور

تتمثل إحدى طرق التعامل مع الجذور غير المثالية (المربعات والمكعبات وما إلى ذلك) في تقريبها من خلال مقارنة القيم بالمربعات الكاملة أو المكعبات أو الجذور النونية. لنفترض أنك تريد معرفة الجذر التربيعي لـ 17. فلنلقِ نظرة على كيفية تقريبه.

مثال

حدد ما إذا كان ( sqrt <17> ) أقرب إلى 4 أو إلى 5 وقم بعمل تقدير آخر.

نظرًا لأن 17 أقرب إلى 16 من 25 ، فمن المحتمل أن يكون ( sqrt <17> ) حوالي 4.1 أو 4.2.

استخدم التجربة والخطأ للحصول على تقدير أفضل لـ ( sqrt <17> ). جرب تربيع أعداد أكبر تدريجيًا ، بدءًا من 4.1 ، لإيجاد تقريب جيد لـ ( sqrt <17> ).

( left (4.1 right) ^ <2> ) يعطي تقديرًا أقرب من ((4.2) ^ <2> ).

استمر في استخدام التجربة والخطأ للحصول على تقدير أفضل.

إجابه

هذا التقريب قريب جدا. إذا واصلت استخدام استراتيجية التجربة والخطأ هذه ، يمكنك الاستمرار في العثور على الجذر التربيعي لأجزاء من الألف ، وعشرة آلاف ، ومئات من الألف ، ولكن في النهاية سيصبح الأمر مملاً للغاية.

لهذا السبب ، عندما تحتاج إلى إيجاد تقريب أكثر دقة للجذر التربيعي ، يجب أن تستخدم الآلة الحاسبة. تحتوي معظم الآلات الحاسبة على مفتاح جذر تربيعي (( sqrt << >>) ) يمنحك تقريب الجذر التربيعي بسرعة. في آلة حاسبة بسيطة مكونة من 4 وظائف ، من المحتمل أن تدخل الرقم الذي تريد أن تأخذ الجذر التربيعي له ثم تضغط على مفتاح الجذر التربيعي.

حاول إيجاد ( sqrt <17> ) باستخدام الآلة الحاسبة. لاحظ أنك لن تكون قادرًا على الحصول على إجابة "دقيقة" لأن ( sqrt <17> ) هو رقم غير نسبي ، وهو رقم لا يمكن التعبير عنه في صورة كسر ، والعلامة العشرية لا تنتهي أبدًا أو تتكرر. لالتقاط قيمة ( sqrt <17> ) بدقة ، ستحتاج لانهائي الاحكام. إلى تسعة مواضع عشرية ، يتم تقريب ( sqrt <17> ) كـ 4.123105626. يمكن أن توفر الآلة الحاسبة الكثير من الوقت وتنتج جذرًا تربيعيًا أكثر دقة عندما تتعامل مع أرقام ليست مربعات كاملة.

مثال

تقريبي ( sqrt [3] <30> ) وأيضًا أوجد قيمتها باستخدام الآلة الحاسبة.

يقع 30 بين المكعبين الكاملتين 27 و 81.

( sqrt [3] <27> = 3 ) و ( sqrt [3] <81> = 4 ) ، لذلك ( sqrt [3] <30> ) بين 3 و 4.
استخدم الآلة الحاسبة.

إجابه

بالتقريب: (3 ge sqrt [3] <30> le4 )

باستخدام الآلة الحاسبة: ( sqrt [3] <30> almost3.10723 )

يُظهر الفيديو التالي مثالاً آخر على كيفية تقدير الجذر التربيعي.


كيف تستخدم خاصية الجذر التربيعي؟

ل يحل ا معادلة بواسطة استخدام ال خاصية الجذر التربيعي، ستقوم أولاً بعزل المصطلح الذي يحتوي على المتغير التربيعي. يمكنك بعد ذلك أن تأخذ ملف الجذر التربيعي من كلا الجانبين و يحل للمتغير. تأكد من كتابة الإجابة النهائية بشكل مبسط.

بالإضافة إلى ذلك ، ما المقصود بالمربع الكامل؟ في الرياضيات ، أ ميدان رقم أو مربع ممتاز هو عدد صحيح وهذا هو ميدان من عدد صحيح بعبارة أخرى ، هو نتاج عدد صحيح مع نفسه. على سبيل المثال ، 9 هو أ ميدان رقم ، حيث يمكن كتابته على شكل 3 مرات و 3 مرات.

وبالمثل ، يُسأل ، ما هي طريقة الجذر التربيعي؟

ال طريقة الجذر التربيعي يمكن استخدامها لحل المعادلات التربيعية بالصيغة "x & sup2 = b." هذا طريقة يمكن أن تسفر عن إجابتين ، مثل الجذر التربيعي من رقم يمكن أن يكون رقمًا سالبًا أو موجبًا. إذا كان من الممكن التعبير عن معادلة بهذه الصيغة ، فيمكن حلها بإيجاد الجذور التربيعية من x.

ماذا تعني علامة الجذر التربيعي الجذرية؟

أ الجذر التربيعي مكتوب ب رمز جذري & radic والرقم أو التعبير داخل رمز جذري، أدناه المشار إليه أ ، يسمى الجذر. ال الجذور التربيعية من الأرقام التي ليست كاملة ميدان هم أعضاء في الأعداد غير المنطقية. هذا يعني أنه لا يمكن كتابتها على أنها حاصل قسمة عددين صحيحين.


5.13: تبسيط واستخدام الجذور التربيعية (الجزء الثاني)

خطوة بخطوة ، جعل الجبر الجبر سهلاً مثل حفظ جداول الضرب! من المستحيل أن أكون جيدًا أكاديميًا ، وأشعر بثقة كبيرة بنفسي ، لولا هذا البرنامج! غيرت حياتي!
مارجريت توماس ، نيويورك

لم أفهم الجبر أبدًا ، مما جعلني أكافح ، وانتهى بي الأمر بجعلي أكره الرياضيات. الآن بعد أن أصبح لدي الجبر ، لم تعد الرياضيات تبدو لي كلغة أجنبية. أنا أستمتع بحضور فصل الرياضيات الآن!
جينيفر ، أوهايو.

انتم رائعون يا شباب!! لقد مرت 20 عامًا منذ أن فكرت في علم الجبر ، والآن أريد أن أكون قادرًا على مساعدتها مع ابنتي. النهج التدريجي رائع.
باميلا نيلسون ، MT

مجد للجبر! كانت ابنتي سارة تحصل على درجة A مباشرة في بطاقة التقرير الخاصة بها بفضل هذا البرنامج المتميز. لم تعد تواجه صعوبة في أداء واجباتها المدرسية في الجبر. بعد استخدام البرنامج لبضعة أسابيع ، قلنا وداعًا لمدرسها المتطلب. شكرا لك!
جوين فيربير ، تينيسي


5.13: تبسيط واستخدام الجذور التربيعية (الجزء الثاني)

مثال 1: حل x 2 + 4 = 4x

أولاً ، ضع المعادلة في الصورة القياسية حتى نتمكن من محاولة حلها عن طريق التحليل:

إذن ، حل هذه المعادلة ، الذي يمكن إيجاده بالتحليل ، هو x = 2.

المثال 2: حل (2x - 2) 2 = -4

جانب المعادلة الذي يحتوي على المتغير (الجانب الأيسر) هو مربع كامل ، لذلك سنأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين لحل المعادلة.

لاحظ أنه تم إدخال علامة & plusmn في المعادلة عند النقطة التي تم فيها أخذ الجذر التربيعي.

المثال 3: حل x 2 + 6x - 11 = 0

هذه المعادلة غير قابلة للتحليل ، والضلع الذي يحتوي على المتغير ليس مربعًا كاملًا. ولكن بما أن معامل x 2 هو 1 ومعامل x متساوٍ ، فإن إكمال المربع سيكون طريقة مناسبة. لإيجاد الرقم المراد إضافته إلى طرفي المعادلة لإكمال المربع ، خذ معامل الحد x ، وقسمه على 2 ، ثم قم بتربيع هذا الرقم. في هذه المسألة ، 6 & cedil 2 هي 3 ، و 3 2 هي 9 ، لذلك سنضيف 9 إلى كلا طرفي المعادلة بمجرد عزل الحدود المتغيرة.

المثال 4: حل ٢ س ٢ - س + ٥ = ٠

هذه المعادلة غير قابلة للتحليل ، والجانب الأيسر ليس مربعًا كاملًا ، ومعاملات حدي x 2 و x لن تجعل إكمال المربع مناسبًا. هذا يجعل الصيغة التربيعية هي أفضل طريقة لحل هذه المعادلة. سنستخدم أ = 2 ، ب = -1 ، ج = 5.


حل المعادلات التربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي

. تختلف المعادلات التربيعية عن المعادلات الخطية عن طريق تضمين مصطلح تربيعي مع رفع المتغير إلى القوة الثانية للصيغة فأس 2. نستخدم طرقًا مختلفة لحل المعادلات التربيعية عن المعادلات الخطية ، لأن مجرد إضافة المصطلحات وطرحها وضربها وقسمتها لن يعزل المتغير.

لقد رأينا أنه يمكن حل بعض المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل. في هذا الفصل ، سنتعلم ثلاث طرق أخرى لاستخدامها في حالة عدم إمكانية تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل.

حل المعادلات التربيعية بالصيغة a x 2 = k

باستخدام خاصية الجذر التربيعي

لقد حللنا بالفعل بعض المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل. دعنا نراجع كيف استخدمنا التحليل لحل المعادلة التربيعية x 2 = 9.

ضع المعادلة في الشكل القياسي. حلل فرق المربعات إلى عوامل. x 2 = 9 x 2 - 9 = 0 (x - 3) (x + 3) = 0 استخدم خاصية المنتج الصفري. حل كل معادلة. س - 3 = 0 س - 3 = 0 س = 3 س = −3

يمكننا بسهولة استخدام التحليل لإيجاد حلول معادلات مماثلة ، مثل x 2 = 16 و x 2 = 25 ، لأن 16 و 25 مربعان كاملان. في كلتا الحالتين ، سنحصل على حلين ، x = 4 ، x = −4

لكن ماذا يحدث عندما يكون لدينا معادلة مثل x 2 = 7؟ بما أن 7 ليس مربعًا كاملًا ، فلا يمكننا حل المعادلة بالتحليل إلى عوامل.

علمنا سابقًا أنه نظرًا لأن 169 هو مربع 13 ، فيمكننا أيضًا أن نقول أن 13 هو أ الجذر التربيعي من 169. أيضًا ، (13) 2 = 169 ، لذا فإن 13 هي أيضًا جذر تربيعي لـ 169. لذلك ، فإن كلا من 13 و 13 هما جذور تربيعية لـ 169. لذلك ، كل رقم موجب له جذرين تربيعيين - أحدهما موجب و واحد سلبي. لقد حددنا سابقًا الجذر التربيعي لرقم بهذه الطريقة:

لأن هذه المعادلات كلها من الشكل x 2 = ك، يخبرنا تعريف الجذر التربيعي أن الحلول هي الجذور التربيعية لـ ك. هذا يؤدي إلى خاصية الجذر التربيعي.

لاحظ أن خاصية الجذر التربيعي تعطي حلين لمعادلة النموذج x 2 = ك، الجذر التربيعي الأساسي لـ k

ونقيضه. يمكننا أيضًا كتابة الحل بالصيغة x = ± k.

نقرأ هذا كـ x يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي ل ك.

الآن سنحل المعادلة x 2 = 9 مرة أخرى ، هذه المرة باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

استخدم خاصية الجذر التربيعي. س 2 = 9 س = ± 9 س = ± 3 إذن س = 3 أو س = −3.

ماذا يحدث عندما لا يكون الثابت مربعًا كاملاً؟ دعونا نستخدم خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة x 2 = 7.

x 2 = 7 استخدم خاصية الجذر التربيعي. س = 7 ، س = - 7

، لذلك نترك الإجابة جذرية.

الخطوات التي يجب اتخاذها لاستخدام خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة التربيعية المدرجة هنا.

  1. افصل المصطلح التربيعي واجعل معامله واحدًا.
  2. استخدم خاصية الجذر التربيعي.
  3. بسّط الجذر.
  4. تحقق من الحلول.

من أجل استخدام خاصية الجذر التربيعي ، يجب أن يساوي معامل المصطلح المتغير واحدًا. في المثال التالي ، يجب أن نقسم طرفي المعادلة على المعامل 3 قبل استخدام خاصية الجذر التربيعي.

3 ض 2 = 108
المصطلح التربيعي معزول. اقسم على 3 لتحصل على معاملها 1. 3 ض 2 3 = 108 3
تبسيط. ض 2 = 36
استخدم خاصية الجذر التربيعي. ض = ± 36
بسّط الجذر. ض = ± 6
أعد الكتابة لإظهار حلين. ض = 6 ، ض = −6
تحقق من الحلول:

تنص خاصية الجذر التربيعي على "If x 2 = k

سيكون هذا هو الحال في المثال التالي.

س 2 + 72 = 0
افصل المصطلح التربيعي. س 2 = −72
استخدم خاصية الجذر التربيعي. س = ± −72
بسّط باستخدام الأعداد المركبة. س = ± 72 ط
بسّط الجذر. س = ± 6 2 ط
أعد الكتابة لإظهار حلين. س = 6 2 ط ، س = 6 2 ط
تحقق من الحلول:

تعمل طريقتنا أيضًا عندما تحدث الكسور في المعادلة ، ونحلها كأي معادلة بها كسور. في المثال التالي ، نعزل الحد التربيعي أولاً ، ثم نجعل المعامل يساوي واحدًا.

2 3 u 2 + 5 = 17
افصل المصطلح التربيعي.
اضرب ب 3 2 لتحصل على المعامل 1.
تبسيط.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
بسّط الجذر.
تبسيط.
أعد الكتابة لإظهار حلين.
الشيك:

قد تحتوي حلول بعض المعادلات على كسور داخل الجذور. عندما يحدث هذا ، يجب علينا عقلنة المقام.

افصل المصطلح التربيعي.
اقسم على 2 لتحصل على المعامل 1.
تبسيط.
استخدم خاصية الجذر التربيعي.
أعد كتابة الجذر في صورة كسر من الجذور التربيعية.
برر المقام.
تبسيط.
أعد الكتابة لإظهار حلين.
تحقق: نترك الشيك لك.

حل المعادلات التربيعية للصيغة أ(x − ح) 2 = ك استخدام خاصية الجذر التربيعي

يمكننا استخدام خاصية الجذر التربيعي لحل معادلة النموذج أ(xح) 2 = ك كذلك. لاحظ أن المصطلح التربيعي ، x، بالشكل الأصلي فأس 2 = ك تم استبداله بـ (xح).

الخطوة الأولى ، كما في السابق ، هي عزل المصطلح الذي يحتوي على المتغير تربيعًا. في هذه الحالة ، يتم تربيع ذات الحدين. بمجرد عزل ذات الحدين ، عن طريق قسمة كل جانب على معامل أ، ثم يمكن استخدام خاصية الجذر التربيعي على (xح) 2 .

4 (ص - 7) 2 = 48
اقسم كلا الجانبين على المعامل 4. (ص - 7) 2 = 12
استخدم خاصية الجذر التربيعي في ذات الحدين ص - 7 = ± 12
بسّط الجذر. ص - 7 = ± 2 3
حل من أجل y. ص = 7 ± 2 3
أعد الكتابة لإظهار حلين. ص = 7 + 2 3 ، ص = 7-2 3
الشيك:

تذكر أنه عندما نأخذ الجذر التربيعي لكسر ، يمكننا أخذ الجذر التربيعي للبسط والمقام بشكل منفصل.

سنبدأ الحل للمثال التالي بعزل المصطلح ذي الحدين.

في بعض الأحيان تكون الحلول عبارة عن أرقام معقدة.

لا يبدو أن الجانبين الأيسر من المعادلات في المثالين التاليين يكونان من الشكل أ(xح) 2. لكنها عبارة عن قيم ثلاثية الحدود مربعة كاملة ، لذا سنعمل على وضعها بالشكل الذي نحتاجه.

نلاحظ أن الجانب الأيسر من المعادلة عبارة عن مربع كامل ثلاثي الحدود. سوف نتعامل معها أولا.

4 ن 2 + 4 ن + 1 = 16
حلل ثلاثي حدود المربع الكامل إلى عوامل. (2 ن + 1) 2 = 16
استخدم خاصية الجذر التربيعي. 2 ن + 1 = ± 16
بسّط الجذر. 2 ن + 1 = ± 4
حل من أجل n. 2 ن = -1 ± 4
قسّم كل جانب على 2. 2 ن 2 = 1 ± 4 2 ن = −1 ± 4 2
أعد الكتابة لإظهار حلين. ن = −1 + 4 2 ، ن = 1-4 2
بسّط كل معادلة. ن = 3 2 ، ن = - 5 2
الشيك:

حل: 16 ن 2 + 40 ن + 25 = 4.

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية باستخدام خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلات التربيعية.

المفاهيم الرئيسية

كيفية حل معادلة تربيعية باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

  1. افصل المصطلح التربيعي واجعل معامله واحدًا.
  2. استخدم خاصية الجذر التربيعي.
  3. بسّط الجذر.
  4. تحقق من الحلول.

مع التدريب يأتي الإتقان

حل المعادلات التربيعية للصيغة فأس 2 = ك استخدام خاصية الجذر التربيعي

في التمارين التالية ، حل كل معادلة.

حل المعادلات التربيعية للصيغة أ(xح) 2 = ك استخدام خاصية الجذر التربيعي

في التمارين التالية ، حل كل معادلة.

الممارسة المختلطة

في التدريبات التالية ، قم بحل باستخدام خاصية الجذر التربيعي.

تمارين الكتابة

بكلماتك الخاصة ، اشرح خاصية الجذر التربيعي.

بكلماتك الخاصة ، اشرح كيفية استخدام خاصية الجذر التربيعي لحل المعادلة التربيعية (س + 2) 2 = 16

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

اختر كيف سترد على العبارة "يمكنني حل المعادلات التربيعية للصيغة a في مربع x ناقص h يساوي k باستخدام خاصية الجذر التربيعي." "بكل ثقة" ، "مع بعض المساعدة" ، أو "لا ، لم أفهم".

ⓑ إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات ، كل موضوع يعتمد على عمل سابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من يمكنك طلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لم أفهم! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك في أقرب وقت ممكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.

/>
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.


Functions, Formulas, and Square Roots

Students will simplify expressions that include squares and square roots. They will use them as inverse operations to manipulate equations, and learn to approximate rational numbers.

Quick links to lesson materials:

Teach This Lesson

أهداف

  • Find perfect squares of numbers and use square notation
  • Solve for a variable in an equation that includes the square of that variable
  • Define rational and irrational
  • Approximate irrational numbers
  • Use squares and square roots as inverse operations
  • Use square root symbols to express numbers or solve equations

مواد

  • Square tiles, about 50 per pair of students
  • Solving the Unknown Worksheet: The Case of the Screeching Tires printable
  • Solving the Unknown Bonus Worksheet: The Case of the Tardy Transportation printable
  • Solving the Unknown Take-Home Activity: The Case of the Kid Bargain Hunter printable
  • Answer Key: Solving the Unknown printable
  • Optional: Solving the Unknown With Algebra Classroom Poster printable
  • Optional: Student calculators

Set Up

  1. Make class sets of the Solving the Unknown Worksheet: The Case of the Screeching Tires printable, the Solving the Unknown Bonus Worksheet: The Case of the Tardy Transportation printable, and the Solving the Unknown Take-Home Activity: The Case of the Kid Bargain Hunter printable.
  2. Print a copy of the Answer Key: Solving the Unknown printable for your use.
  3. Optional: Hang a copy of the Solving the Unknown With Algebra Classroom Poster printable in your classroom.

Lesson Directions

Introduction To New Material

الخطوة 1: Ask the class to define a square. Students should mention that a square has four equal sides and four right angles.

الخطوة 2: Distribute square tiles to students. Tell them to use the tiles to make a 6-by-6 square (filled in). Ask students: How many tiles did you use to make the square? 36.

Tell students to also make a 3-by-3 square (filled in) with the tiles. Ask:

  • How many tiles did this square require? 9.
  • Do you notice anything about the side lengths and the area of (the number of tiles required to model) the square? 6 x 6 = 36 and 3 x 3 = 9

الخطوه 3: Continue to bring students from concrete to abstract by displaying a drawing of a square. Label one of the sides “4 feet.” Ask students: How can you find the area of the square? By multiplying 4 • 4. Remind students that they can use superscript numbers to reflect exponents. Is there a way you can rewrite this using exponents? 4 2 . Ensure that students are able to write this notation as well as express it in words as “four squared” and “four to the second power.” (If students need additional practice on how to rewrite expanded expressions using exponents, this might be a good time.)

Tell students that the generic formula for the area of a square is أ = س 2 where أ represents area and س represents the length of a side.

Step 4: Have students make a square with 25 tiles. Ask: What is the length of each side? 5. Have students make a square with 16 tiles. Ask: What is the length of each side? 4.

Then ask students if they can determine the length of a side of a square with an area of 49 without using tiles. Depending on the level of class support needed, provide them with the hint that this problem can be solved by finding out what number times itself equals 49. (The length of the square's side is 7.)

الخطوة الخامسة: Introduce the radical sign (square root) notation: √, e.g., 5 = √25. For a quick check of understanding, display the following, and ask students to simplify: √16 √9 √36 √49 √100.

Step 6: Revisit the formula for area, أ = س 2. Then write 25 = س 2. Ask: How can you find out what س is? Demonstrate that you can take the square root of both sides, which will isolate س, since squares and square roots are inverse operations: √25 = √س 2 5 = س. Remind students that what they do to one side of an equation, they must do to the other side. Provide other examples as needed using perfect squares.

Step 7: To more explicitly show how squares are inverse operations of square roots, ask what √9 2 is equal to. Break down the problem for students as needed, showing step-by-step how 9 2 = 81 and √81 = 9. To generalize, this means that √x 2 =x. Provide other examples with perfect squares as needed.

Step 8: Introduce an example where the area is not a perfect square — for example, أ = 29. Ask students to arrange 29 tiles in the shape of a filled-in square. (They will not be able to complete this task.) Using a calculator, show that √29 is approximately equal to 5.385. Have students look at the decimal expansion of √29 on their calculators (0.385164807134504). Ask: Do you see any repeating digit(s) within the decimal expansion? لا.

Tell students that there are no repeating digits in the decimal expansion because √29 is an irrational number. Display the following definitions:

  • rational number: a number expressible in the form أ / ب أو –a/b for some fraction a/b. The rational numbers include the integers.
  • irrational number: a number that cannot be expressed in the form أ / ب أو –a/b (a number that is not rational).

Step 9: Have students estimate the value of √54. Ask: Which two integers must √54 be between? لماذا ا؟ 7 and 8 because 7 2 is 49 and 8 2 is 64. 54 is between 49 and 64.

Tell students to find the exact value of √54 using their calculators. (7.34846922834953…). Tell students to round √54 to the nearest tenth (to 7.3). Ask students:

  • Which two tenths on the number line is √54 between? 7.3 and 7.4
  • How might you approximate √54 even more precisely? Provide a rounded number with more decimal places.

Round √54 to the nearest hundredth (7.35). Round √54 to the nearest thousandth (7.348). Ask students:

  • So far, which of these approximations is the most precise? 7.348
  • Which two thousandths on the number line is √54 between? 7.348 and 7.349. Show that 7.348 is a rational number. (You can write 7.348 as 7348/1000.)

Step 10: Finally, provide an example of an equation involving taking the square root of each side of an equation. Display the equation x 2 + 6 = 15. Ask students to solve the equation and explain their solution strategy. Show the solution, first by subtracting 6 from each side, leaving x 2 = 9. Indicate that the equation is still in balance and that it will stay in balance if you take the square root of each side, leaving x = 3. Remind students that whatever is done to one side of an equation must be done to the other side. After demonstrating how to solve for a variable, use substitution to verify that the solution is accurate: 3 2 + 6 = 15 9 + 6 = 15 15 = 15.

Guided Practice

Step 11: In pairs, have students solve for the following variables. After pairs are done, have volunteers present solution strategies to the class.

  1. ح 2 – 18 = 103
  2. 4 + م 2 = 68
  3. (ك + 2) 2 = 100
  4. ز + 27 = 12 2
  5. 15 2 – F = 169

Independent Practice

Step 12: Distribute Solving the Unknown Worksheet: The Case of the Screeching Tires printable and calculators. Read the introduction together and review the key facts. Depending upon student support needed, it might be necessary to compute the first vehicle's speed as a class and/or review the calculator's square root function.

Step 13: Ask students to complete the Solving the Unknown Worksheet: The Case of the Screeching Tires printable. Use your copy of the Answer Key: Solving the Unknown printable to review the answers as a class.

Step 14: Students will further develop skills for working with equations as they complete the Solving the Unknown Bonus Worksheet: The Case of the Tardy Transportation printable and the Solving the Unknown Take-Home Activity: The Case of the Kid Bargain Hunter printable. If students require additional support, use the Answer Key: Solving the Unknown printable to review the worksheets as a class.


شاهد الفيديو: الجذر التربيعي لعدد موجب (شهر اكتوبر 2021).