مقالات

14: الهندسة التقريبية - الرياضيات


14: الهندسة التقريبية - الرياضيات

14: الهندسة التقريبية - الرياضيات

الهندسة الحديثة - ربيع 2008
البروفيسور روبرت شاربلي
يلتقي: TuTh 2: 00-3: 15 في LeConte College 405

معلومات المعلم
المكتب: LeConte 313 D.
ساعات العمل: 1: 00-2: 00 مساء الثلاثاء ، الخميس

  1. ملاحظات محاضرة جيلبرت (230 صفحة ، 1.3 ميغابايت)
  2. دورة في الهندسة الحديثة بقلم جوديث ن. سيدربيرج ، نصوص سبرينغر الجامعية في الرياضيات ، 2005. [ISBN-0387-98972-2].
  3. أركان الهندسة الأربعة بقلم جون ستيلويل ، نصوص سبرينغر الجامعية في الرياضيات ، 2005. [ISBN 13: 978-0387-25530-9].

الواجب المنزلي المعين (10٪) ، ثلاثة اختبارات (20٪ لكل منها) والاختبار النهائي (30٪).

سيُطلب من طلاب الدراسات العليا كتابة ورقة مصطلح حول موضوع تم التفاوض عليه مع المعلم ، وسيتم تصنيف أعمالهم الدراسية بشكل أكثر صرامة.

    14 يناير (الاثنين)
    18 يناير (الجمعة)
    14 فبراير (الخميس)
    25 فبراير (الاثنين)
    9-16 مارس (الأحد - الأحد.)
    25 مارس (الثلاثاء)
    17 أبريل (الخميس)
    28 أبريل (الاثنين)
    تبدأ الدروس
    آخر يوم لسحب بدون عقوبة
    اختبار 1
    آخر يوم للانسحاب بدون درجة WF
    عطلة الربيع - لا توجد فصول دراسية
    اختبار 2
    اختبار 3
    نهاية الفصول
    29 أبريل (الثلاثاء)

الواجبات المنزلية ومواد الدورة الأخرى

افحص هذا حلقة الوصل لواجبات الواجبات المنزلية ومواد الدورة الأخرى.


6 إجابات 6

يعمل هذا جيدًا طالما كان لديك شبه منحرف ، وحوافه المتوازية محاذاة مع أحد المحاور المحلية. أوصي باللعب مع حزمة الوحدة الخاصة بي.

تمكنت مؤخرًا من التوصل إلى حل عام لهذه المشكلة لأي نوع من الأشكال الرباعية. ربما تساعد الحسابات و GLSL. هناك عرض توضيحي عملي في Java (يعمل على Android) ، ولكنه مضغوط وقابل للقراءة ويجب أن يكون سهل النقل إلى الوحدة أو iOS: http://www.bitlush.com/posts/arbitrary-quadrilaterals-in-opengl-es- 2-0

إذا كان أي شخص لا يزال مهتمًا ، فإليك تطبيق C # الذي يأخذ رباعيًا محددًا بواسطة verts للشاشة في اتجاه عقارب الساعة (x0 ، y0) (x1 ، y1). (x3، y3)، بكسل عشوائي عند (x، y) ويحسب u و v لذلك البكسل. لقد تمت كتابته في الأصل لتقديم وحدة المعالجة المركزية رباعيًا عشوائيًا إلى نسيج ، ولكن من السهل بما يكفي تقسيم الخوارزمية عبر وحدة المعالجة المركزية (CPU) و Vertex و Pixel shaders التي علقت عليها وفقًا لذلك في الكود.

التغطية بالفسيفساء تحل هذه المشكلة. يضيف تقسيم رأس رباعي فرعي تلميحات لإقحام البكسل.

كان لدي سؤال مشابه (https://gamedev.stackexchange.com/questions/174857/mapping-a-texture-to-a-2d-quadrside/174871) ، وفي gamedev اقترحوا استخدام تنسيق Z وهمي ، والذي أحسبه باستخدام كود C التالي ، والذي يبدو أنه يعمل بشكل عام (ليس فقط شبه المنحرف):

أفعل ذلك في برنامج لتوسيع نطاق العفاريت ثنائية الأبعاد وتدويرها ، وبالنسبة لتطبيق OpenGL ثلاثي الأبعاد ، ستحتاج إلى القيام بذلك في تظليل بكسل / جزء ، ما لم تكن قادرًا على تعيين هذه الصور الخيالية من az ، و bz ، و cz ، و dz مساحة ثلاثية الأبعاد واستخدام خط الأنابيب المعتاد. أعطى DMGregory رمزًا دقيقًا لتظليل OpenGL: https://gamedev.stackexchange.com/questions/148082/how-can-i-fix-zig-zagging-uv-mapping-artifacts-on-a-generated-mesh-that- التناقص التدريجي

شكرًا على الإجابات ، لكن بعد التجربة وجدت حلاً.

هناك مثلثين على اليسار بهما uv (strq) وفقًا لهذا ومثلثين على اليمين هما نسخة معدلة من تصحيح المنظور هذا.

يتم عرض المثلثات اليمنى فقط باستخدام تظليل glsl (يوجد على اليسار خط أنابيب ثابت):


14: الهندسة التقريبية - الرياضيات

الاهتمامات البحثية

اهتماماتي البحثية تتعلق بنظرية التمثيل (على وجه الخصوص ، في جبر Cherednik ، والجبر الكمي الأفيني والجبر الحلقي ، والجبر العشوائي ، والجبر الأفيني الكمي المتحرك) وعلاقته بالهندسة الجبرية (عبر مساحات Laumon ، وأصناف ناكاجيما ، وفروع كولوم)

تم دعم بحثي بواسطة NSF Grants No. DMS-1502497 (تم تغييره إلى DMS-1821185) و DMS-2001247 (تم تغييره إلى DMS-2037602)

السيرة الذاتية: هنا

التوظيف والتعليم

أستاذ مساعد ، جامعة بوردو ، 2020 & # 8210 الحاضر
أستاذ مساعد جيبس ​​، جامعة ييل ، 2017 & # 82102020
أستاذ مساعد باحث ، مركز سيمونز للهندسة والفيزياء ، 2014 & # 82102017
دكتوراه في الرياضيات ، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، 2014
ماجستير في الرياضيات ، جامعة موسكو الحكومية ، 2009
ماجستير في الرياضيات ، جامعة موسكو المستقلة ، 2009

المنشورات (arXiv)

  • المصفوفات المتراخية من اليانجيانز المتحولة بشكل متناقض والجبر الأفيني الكمي (مع R. Frassek و V. Pestun)
    تم إرسال ما قبل الطباعة arXiv: 2001.04929 (54pp ، آخر تحديث بتاريخ 14/1/2020) (arXiv)
  • المراوغة في علم الجبر من النوع A Super Yangians والجبر الفائق الكمي لجميع بيانات Cartan
    رسائل في الفيزياء الرياضية (2020) ، DOI: 10.1007 / s11005-020-01287-9 ، 29pp (مجلة) (arXiv)
  • ازدواجية أشكال Lusztig و RTT المتكاملة لـ $ U_v (L mathfrak_n) $
    Journal of Pure and Applied Algebra (2020)، DOI: 10.1016 / j.jpaa.2020.106469، 14pp (Journal) (arXiv)
  • تحويل الجبر الكمي الأفيني: أشكال متكاملة في النوع أ (مع ملاحق M. Finkelberg مشتركة مع A. Weekes)
    مجلة أرنولد الرياضية 5 (2019) ، لا. 2، 197 & # 8210283 (مجلة) (arXiv)
  • قواعد PBWD وتسجيلات الجبر العشوائية لـ $ U_v (L mathfrak_n) ، U_(لام mathfrak_n) ، U_v (L mathfrak(m | n)) $ وأشكالها المتكاملة
    المطبوع المسبق المقدم في arXiv: 1808.09536 (31 صفحة ، آخر تحديث بتاريخ 05/20/2019) (arXiv)
  • في بناء سيفوستيانوف للاختلاف الكمومي ، مشابك تودا (مع ر.جونين)
    إشعارات أبحاث الرياضيات الدولية (2019) ، DOI: 10.1093 / imrn / rnz083 ، 61pp (مجلة) (arXiv)
  • شرائح مضاعفة ، نسبية تودا وجبر أفيني كمي متحرك (مع م. فينكلبيرج)
    التمثيلات والمدارات غير الفعالة للأنظمة الجبرية الكاذبة (مجلد خاص تكريمًا لميلاد توني جوزيف الخامس والسبعين) ، التقدم في الرياضيات 330 (2019) ، 133 & # 8210304 (مجلة) (arXiv)
  • تشابهات الأشكال بين الجبر اليانجيان الكمومي والحلقي المختلف (مع M. Bershtein)
    مجلة الجبر البحتة والتطبيقية 223 (2019) ، العدد. 2، 867 & # 8210899 (مجلة) (arXiv)
  • العديد من الإدراكات لوحدات Fock للوحدات الحلقية دولار نقطة_( mathfrak_n) $
    الجبر ونظرية التمثيل 22 (2019) ، لا. 1، 177 & # 8210209 (مجلة) (arXiv)
  • الحدود الكلاسيكية للجبر الحلقي الكمومي والجبر اليانغاني
    مجلة الجبر البحتة والتطبيقية 221 (2017) ، العدد. 10، 2633 & # 82102646 (مجلة) (arXiv)
  • يانجيان أفيني $ mathfrak_1$ إعادة النظر
    التقدم في الرياضيات 304 (2017) ، 583 & # 8210645 (مجلة) (arXiv)
  • Bethe subalgebras من $ U_q ( widehat < mathfrak> _n) $ عن طريق خلط الجبر (مع B. Feigin)
    Selecta Mathematica (سلسلة جديدة) 22 (2016) ، لا. 2، 979 & # 82101011 (مجلة) (arXiv)
  • متناهية الصغر Hecke الجبر $ mathfrak_N دولار
    مجلة الجبر البحتة والتطبيقية 219 (2015) ، العدد. 6، 2046 & # 82102061 (مجلة) (arXiv)
  • جبر Cherednik متناهي الصغر مثل W-algebras (مع آي لوسيف)
    مجموعات التحول 19 (2014) ، لا. 2، 495 & # 8210526 (مجلة) (arXiv)
  • تمثيلات جبر Cherednik متناهية الصغر (مع F. Ding)
    نظرية التمثيل (إلكتروني) 17 (2013) ، 557 & # 8210583 (مجلة) (arXiv)
  • نظرية K المتكافئة لمخططات هيلبرت عن طريق الجبر العشوائي (مع B. Feigin)
    مجلة كيوتو للرياضيات 51 (2011) ، لا. 4، 831 & # 8210854 (مجلة) (arXiv) (محدث)
  • قواعد جلفاند-تسيتلين الكمومية والجبر الحلقي الكمومي عبر نظرية K للمساحات الأفينية Laumon
    Selecta Mathematica (سلسلة جديدة) 16 (2010) ، لا. 2، 173 & # 8210200 (جريدة) (Errata) (arXiv) (محدث)

خبرة في التدريس

  • خريف 2019: محاضر لماث 120 (حساب وظائف عدة متغيرات) في صفحة الويب بجامعة ييل
  • ربيع 2019: محاضر لماث 754 (كذبة الجبر اللانهائية الأبعاد وتطبيقاتها) في صفحة الويب بجامعة ييل
  • خريف 2018: محاضر في الرياضيات 353 (مقدمة لنظرية التمثيل) في صفحة الويب بجامعة ييل
  • خريف 2018: محاضر لماث 120 (حساب وظائف عدة متغيرات) في صفحة الويب بجامعة ييل
  • ربيع 2018: محاضر في الرياضيات 667 (موضوعات في مجموعات الكم ونظرية التمثيل) في صفحة الويب بجامعة ييل
  • خريف 2017: محاضر لماث 120 (حساب وظائف عدة متغيرات) في صفحة الويب بجامعة ييل
  • خريف 2016: مدرس رئيسي لمادة MAT 118 (التفكير الرياضي) في صفحة الويب الخاصة بجامعة SBU
  • خريف 2015: محاضر في MAT 126 (حساب التفاضل والتكامل B) في SBU
  • خريف 2014: قائد قسم لـ MAT 303 (حساب التفاضل والتكامل IV مع التطبيقات) في SBU
  • ربيع 2014: مدرس مساعد لمادة الرياضيات 18.100 ب (تحليل حقيقي) في صفحة ويب معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا
  • شتاء 2014: معلم في صفحة الويب لبرنامج القراءة الموجهة بمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (نظرية التمثيل)
  • خريف 2012: قائد قسم الرياضيات 18.02 (حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات) على صفحة الويب الخاصة بمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا
  • 2011 & # 82102013: مصحح درجات لدورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا 18.100B (تحليل حقيقي) و 18.125 (تحليل حقيقي ووظيفي) و 18.01 (حساب التفاضل والتكامل) و 18.782 (مقدمة في الهندسة الحسابية) و 18.705 (الجبر التبادلي) و 18.737 (المجموعات الجبرية)

التوجيه في برنامج MIT PRIMES

لقد قمت بتوجيه Fengning Ding خلال 2011 & # 82102013 في برنامج MIT PRIMES. من خلال مشروعنا ، فازت Fengning بالجائزة الرابعة في مسابقة Intel STS الوطنية الأمريكية لعام 2012 (جائزة 40.000 دولار) وأصبحت الحائزة على زمالة Davidson لعام 2012 (جائزة 50000 دولار).

MIT PRIMES هو برنامج بحث مجاني لمدة عام بعد المدرسة لطلاب المدارس الثانوية من منطقة بوسطن. يعمل المشاركون في البرنامج مع باحثي معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا على مشاكل مثيرة لم يتم حلها في الرياضيات وعلوم الكمبيوتر والبيولوجيا الحاسوبية.


المتطلبات الأساسية

لمتابعة هذا الفصل ، ستحتاج إلى أسس جيدة في الجبر التبادلي ، أي ما يعادل الرياضيات 250 أ وأجزاء من 250 ب. ومع ذلك ، سأقوم بمراجعة النتائج المختلفة من الجبر التبادلي كما نحتاج إليها.

من المفيد أيضًا أن يكون لديك بعض الإلمام بأساسيات الطوبولوجيا الجبرية والهندسة التفاضلية كمصدر للمنظور حول الموضوع. تحتوي الأصناف الجبرية المعقدة الكلاسيكية على طوبولوجيا تحليلية بالإضافة إلى طوبولوجيا زاريسكي ، وهي أيضًا أصناف تحليلية معقدة أو متشعبة في الحالة السلسة. كان أحد المبادئ المحفزة الهامة في الهندسة الجبرية الحديثة هو محاولة بناء نظائر لهذه الميزات الإضافية للأصناف الكلاسيكية باستخدام تقنيات جبرية بحتة ، والتي يمكن بعد ذلك تطبيقها في سياقات أخرى ، مثل الأنواع الموجودة في مجال من الخصائص ص.


مشروع ستاكس

في هذا القسم نناقش متى يكون التشكل شبه المضغوط (ولكن ليس بالضرورة منفصلًا) مغلقًا عالميًا. نثبت أولاً وجود lemma والذي سيسمح لنا بالتحقق من الانغلاق الشامل بعد تغيير أساسي يكون محليًا من العرض المحدود.

Lemma 32.14.1. لنفترض أن $ f: X to S $ يكون شكلًا شبه مضغوط من المخططات. دع $ g: T to S $ هو شكل من أشكال المخططات. لنفترض أن $ t in T $ تكون نقطة و $ Z المجموعة الفرعية X_ T $ تكون عنصرًا فرعيًا مغلقًا مثل $ Z cap X_ t = emptyset $. ثم يوجد حي مفتوح $ V مجموعة فرعية T $ من $ t $ ، مخطط تبادلي

ومخطط فرعي مغلق $ Z ' مجموعة فرعية X_$ مثل هذا

التشكل $ b: T ' to S $ محليًا من العرض المحدود ،

مع $ t '= a (t) $ لدينا $ Z' cap X_ = emptyset $ و

خرائط $ Z cap X_ V $ إلى $ Z '$ عبر التشكل $ X_ V to X_$.

علاوة على ذلك ، قد نفترض أن $ V $ و $ T '$ هما شائعان.

دليل. دع $ s = g (t) $. أثناء الإثبات ، قد نستبدل دائمًا $ T $ بمنطقة مفتوحة بقيمة $ t $. ومن ثم يمكننا أيضًا استبدال $ S $ بمنطقة مفتوحة بقيمة $ s $. وبالتالي قد نفترض أن $ T $ و $ S $ أفيني. قل $ S = mathop < mathrm> (أ) $ ، $ T = mathop < mathrm> (B) $، $ g $ تُعطى من خلال خريطة الحلقة $ A to B $ ، و $ t $ تتوافق مع النموذج الأساسي $ mathfrak q المجموعة الفرعية B $.

نظرًا لأن $ X to S $ شبه مضغوط و $ S $ هو أفيني ، فقد نكتب $ X = bigcup _ يفتح U_ i $ كاتحاد محدود من الأفيني. اكتب $ U_ i = mathop < mathrm> (C_ i) $. على وجه الخصوص لدينا $ X_ T = bigcup _ ش = بيج كوب _ mathop < mathrm> (C_ i otimes _ A B) $. دع $ I_ i المجموعة الفرعية C_ i otimes _ A B $ هي المثالية المقابلة للمخطط الفرعي المغلق $ Z cap U_$. الشرط المتمثل في أن $ Z cap X_ t = emptyset $ يدل على أن $ I_ i $ يولد الوحدة المثالية في الحلقة

منذ $ I_ i (B setminus mathfrak q) ^ <-1> (C_ i otimes _ AB) = (B setminus mathfrak q) ^ <-1> I_ i $ هذا يعني أن $ 1 = x_ i / g_ i $ لبعض $ x_ i في I_ i $ و $ g_ i in B $ ، $ g_ i not in mathfrak q $. وبالتالي ، عند إزالة القواسم يمكننا إيجاد علاقة للصيغة

مع $ x_ i في I_ i $ ، $ f_ في mathfrak q $ ، $ c_ في C_ i otimes _ A B $ و $ g_ i in B $ و $ g_ i not in mathfrak q $. بعد استبدال $ B $ بـ $ B_$ ، على سبيل المثال ، بعد استبدال $ T $ بمنطقة أفينية أصغر بقيمة $ t $ ، قد نفترض أن المعادلات قد تمت قراءتها

مع $ x_ i في I_ i $ ، $ f_ في mathfrak q $ ، $ c_ في C_ i otimes _ A B $.

لإنهاء الوسيطة ، اكتب $ B $ كعمود من $ A $ -algebras $ B_ lambda $ على مجموعة موجّهة $ Lambda $. لكل $ lambda $ مجموعة $ mathfrak q_ lambda = (B_ lambda to B) ^ <-1> ( mathfrak q) $. يمكننا العثور على $ lambda in Lambda $ بما يكفي

عنصر $ x_ في C_ i otimes _ A B_ lambda $ الذي يعين $ x_ i $ ،

العناصر $ f_ في mathfrak q_تعيين $ f_$ و و

العناصر $ c_ في C_ i otimes _ A B_ تعيين lambda $ إلى $ c_$.

بعد زيادة $ lambda $ أكثر قليلاً المعادلة

سوف يعقد. إصلاح مثل هذا $ lambda $ وتعيين $ T '= mathop < mathrm> (ب_ لامدا) $. ثم $ t ' in T' $ هي النقطة المقابلة لـ $ mathfrak q_ lambda $. أخيرًا ، دع $ Z ' مجموعة فرعية X_$ يكون المخطط النظري للصورة من $ Z to X_ T to X_$. كما $ X_ T إلى X_$ هو Affine ، يمكننا حساب $ Z '$ على القطع الأفينية المفتوحة $ U_$ كمخطط فرعي مغلق مرتبط بـ $ mathop < mathrm> (C_ i otimes _ A B_ lambda to C_ i otimes _ A B / I_ i) $ ، انظر التشققات ، مثال 29.6.4. ومن ثم $ x_$ في الوضع المثالي الذي يحدد $ Z '$. وهكذا تظهر آخر معادلة معروضة أن $ Z ' cap X_$ فارغ. $ مربع $

Lemma 32.14.2. لنفترض أن $ f: X to S $ يكون شكلًا شبه مضغوط من المخططات. ما يلي متكافئ

لكل شكل من $ S ' to S $ والذي يكون محليًا للعرض التقديمي المحدود ، يتغير الأساس $ X_ إلى S '$ مغلق ، و

دليل. من الواضح أن (1) تعني (2). دعنا نثبت أن (2) تعني (1). افترض أن التغيير الأساسي $ X_ T إلى T $ لم يتم إغلاقه لبعض المخططات $ T $ على $ S $. حسب المخططات ، Lemma 26.19.8 هذا يعني أن هناك بعض التخصص $ t_1 leadsto t $ في $ T $ ونقطة $ xi في X_ T $ تعيين إلى $ t_1 $ بحيث لا يتخصص $ xi $ في نقطة في الألياف فوق $ t $. عيّن $ Z = overline < < xi >> مجموعة فرعية X_ T $. ثم $ Z cap X_ t = emptyset $. قم بتطبيق Lemma 32.14.1. نجد حيًا مفتوحًا $ V مجموعة فرعية T $ من $ t $ ، مخطط تبادلي

ومخطط فرعي مغلق $ Z ' مجموعة فرعية X_$ مثل هذا

التشكل $ b: T ' to S $ محليًا من العرض المحدود ،

مع $ t '= a (t) $ لدينا $ Z' cap X_ = emptyset $ و

خرائط $ Z cap X_ V $ إلى $ Z '$ عبر التشكل $ X_ V to X_$.

من الواضح أن هذا يعني أن $ X_ to T '$ يعين المجموعة الفرعية المغلقة $ Z' $ لمجموعة فرعية من $ T '$ والتي تحتوي على $ a (t_1) $ ولكن ليس $ t' = a (t) $. منذ $ a (t_1) leadsto (t) = t '$ نستنتج أن $ X_ to T '$ غير مغلق. ومن ثم فقد أظهرنا أن $ X إلى S $ غير مغلق عالميًا يعني أن $ X_ to T '$ غير مغلق لبعض $ T' إلى S $ وهو محلي للعرض التقديمي المحدود. بالترتيب الكلمات (2) تعني (1).

من المخططات حيث تكون الأسهم الأفقية غاطسة مغلقة محليًا. ومن ثم يمكن كتابة أي مجموعة فرعية مغلقة $ Z مجموعة فرعية X_ T $ كـ $ X_ T cap Z '$ لبعض المجموعات الفرعية المغلقة $ Z' مجموعة فرعية mathbf ^ n مرات X $. ثم $ f_ T (Z) = T cap f_ n (Z ') $ ونرى أنه إذا تم إغلاق $ f_ n $ ، فسيتم إغلاق $ f_ T $ أيضًا. $ مربع $

Lemma 32.14.3. دع $ S $ يكون مخططًا. لنفترض أن $ f: X to S $ يكون شكلًا منفصلاً لنوع محدود. ما يلي متكافئ:

بالنسبة لأي شكل من أشكال التحويل من $ S ' إلى S $ والذي يكون محليًا من النوع المحدود ، قم بتغيير القاعدة $ X_ إلى S '$ مغلق.

أول دليل. في ضوء حقيقة أن التشكل المناسب هو نفس الشيء مثل النوع المنفصل والمحدود والتشكيل المغلق عالميًا ، فإن هذه اللمة هي حالة خاصة من Lemma 32.14.2. $ مربع $

الدليل الثاني. من الواضح أن (1) يعني (2) ، و (2) يعني (3) ، لذلك نحتاج فقط إلى إظهار (3) ضمنيًا (1). أولاً ، نختزل الحالة عندما يكون $ S $ مناسبًا. افترض أن (3) تعني (1) عندما تكون القاعدة أفيني. الآن دع $ f: X to S $ يكون شكلًا منفصلاً لنوع محدود. أن تكون لائقًا محليًا على القاعدة (انظر Morphisms، Lemma 29.41.3) ، لذلك إذا كان $ S = bigcup _ alpha S_ alpha $ غلاف أفيني مفتوح ، وإذا أشرنا إلى $ X_ alpha: = f ^ < -1> (S_ alpha) $ ، يكفي إظهار أن $ f | _: X_ alpha to S_ alpha $ مناسب لجميع $ alpha $. بما أن $ S_ alpha $ هو أفيني ، إذا كانت الخريطة $ f | _يرضي $ (3) ، ثم يرضي (1) من خلال الافتراض ، وسيكون مناسبًا. لإنهاء الاختزال إلى الحالة ، يجب أن نبين أنه إذا كان $ f: X to S $ مفصولًا من النوع المحدود المرضي (3) ، فإن $ f | _ : X_ alpha to S_ alpha $ مفصولة من النوع المحدود المرضي (3). الفصل والنوع المحدود واضحان. لمشاهدة (3) ، لاحظ أن $ mathbf ^ n times X_ alpha $ هي الصورة الأولية المفتوحة لـ $ mathbf ^ n times S_ alpha $ أسفل الخريطة $ 1 times f $. إصلاح مجموعة مغلقة $ Z مجموعة فرعية mathbf A ^ n مرات X_ alpha $. لنفترض أن $ bar Z $ يشير إلى إغلاق $ Z $ بالدولار mathbf ^ n مرات X $. ثم لأسباب طوبولوجية ،

ومن ثم تم إغلاق $ 1 times f (Z) $ ، وقمنا بتقليل إثبات (3) $ Rightarrow $ (1) إلى الحالة الأفينية.

افترض $ S $ Affine ، و $ f: X to S $ مفصول من النوع المحدود. يمكننا تطبيق Chow's Lemma 32.12.1 للحصول على $ pi: X ' to X $ surjective المناسب و $ X' to mathbf

^ n_ S $ غمر. إذا كان $ X $ مناسبًا على $ S $ ، فإن $ X ' to S $ مناسب (Morphisms، Lemma 29.41.4). منذ $ mathbf

^ n_ S to S $ مفصول ، نستنتج أن $ X 'to mathbf

^ n_ S $ مناسب (Morphisms، Lemma 29.41.7) وبالتالي غمر مغلق (مخططات ، Lemma 26.10.4). بالمقابل ، افترض أن $ X 'to mathbf

^ n_ S $ غمر مغلق. ضع في اعتبارك الرسم التخطيطي:

جميع الخرائط مناسبة مسبقًا باستثناء $ X إلى S $. ومن ثم نستنتج أن $ X to S $ مناسب من قبل Morphisms ، Lemma 29.41.9. لذلك ، أظهرنا أن $ X to S $ مناسب إذا وفقط إذا كان $ X to mathbf

^ n_ S $ غمر مغلق.

افترض أن $ S $ قريب و (3) معلق ، واجعل $ n، X '، pi $ على النحو الوارد أعلاه. نظرًا لأن التشكل المغلق محلي على القاعدة ، فإن الخريطة $ X times mathbf

^ n إلى S مرات mathbf

^ n $ مغلق منذ (3) $ X times mathbf ^ n to S times mathbf ^ n $ مغلق وبما أن مساحة الإسقاط مغطاة بنسخ من Affine $ n $ -space ، راجع الإنشاءات ، Lemma 27.13.3. بواسطة Morphisms، Lemma 29.41.5 التشكل

مناسب. منذ $ mathbf

^ n $ مفصول ، الإسقاط

سيتم فصله لأنه مجرد تغيير أساسي للتشكيل المنفصل. لذلك ، فإن الخريطة $ X ' to X' times _ S mathbf

^ n_ S $ مناسب ، لأنه قسم لخريطة منفصلة (انظر المخططات ، Lemma 26.21.11). يؤلف هذه الأشكال

[X ' إلى X' مرات _ S mathbf

^ n_ S إلى X times _ S mathbf

^ n_ S = X times mathbf

^ n إلى S مرات mathbf

^ n = mathbf

^ n_ S ]

نجد أن الغمر $ X 'to mathbf

^ n_ S $ مغلق ، وبالتالي غمر مغلق. $ مربع $


تعيينات

مجموعة المشاكل 1: pdf ، ملف tex ، تاريخ التسليم 5 فبراير
مجموعة المشاكل 2: pdf ، ملف tex ، تاريخ التسليم 12 فبراير
مجموعة المشاكل 3: pdf ، ملف tex ، تاريخ التسليم 19 فبراير
مجموعة المشاكل 4: pdf ، ملف tex ، تاريخ التسليم 26 فبراير
مجموعة المشاكل 5: pdf ، ملف tex ، تاريخ التسليم 4 مارس
مجموعة المشاكل 6: pdf ، ملف tex ، تاريخ التسليم 11 مارس
مجموعة المشاكل 7: pdf ، ملف tex ، يوم الجمعة 27 مارس
مجموعة المشاكل 8: pdf ، ملف tex ، يوم الجمعة 3 أبريل
مجموعة المشاكل 9: pdf ، ملف tex ، يوم الجمعة 10 أبريل
مجموعة المشاكل 10: pdf ، ملف tex ، يوم الجمعة 17 أبريل
مجموعة المشاكل 11: pdf ، ملف tex ، يوم الأربعاء 29 أبريل


14: الهندسة التقريبية - الرياضيات

البريد الإلكتروني: [email protected]

الضمائر: هو / هو / له

حرم الجامعة موقع هاتف ساعات
متصل تكبير بالميعاد
مانهاتن قاعة وارين ويفر 522 +1 212 998 3185
بروكلين 2 ميتروتك 864 +1 718 997 3540

تعليم
  • ربيع 2021
    • MATH-UA 377 الهندسة التفاضلية
    • MATH-UA 123 القسم 7 حساب التفاضل والتكامل III
    • MATH-UA 377 الهندسة التفاضلية
    • MATH-UA 123 القسم 2 حساب التفاضل والتكامل III
    • MATH-UA 224 تحليل المتجهات
    • MATH-UA 123 حساب التفاضل والتكامل III
    • MATH-GA 2360 الهندسة التفاضلية II
    • ماجستير - UY 1002 فن الرياضيات
    • حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات MA-UY 2114
    بحث

    أعمل مع Erwin Lutwak و Gaoyong Zhang على التفاوتات التحليلية والهندسية غير المتغيرة الخطي. في الماضي ، عملت على أنظمة مفرطة التحديد لـ PDE ونظريات التقارب والانهيار لمشعبات Riemannian.

    ملامح أكاديمية

    Mathscinet (يتطلب اشتراك جامعي أو فردي)

    التاريخ المهني
    • 2017 و mdashpresent: أستاذ الرياضيات معهد جامعة نيويورك Courant للعلوم الرياضية
    • 2015 و [مدش 2017: أستاذ الرياضيات كلية تاندون للهندسة بجامعة نيويورك
    • 2014 و [مدش] 2015: أستاذ الرياضيات كلية الفنون التطبيقية بجامعة نيويورك
    • 2008 و [مدش 2014]: أستاذ الرياضيات معهد البوليتكنيك بجامعة نيويورك
    • 1993 و [مدش] 2008: أستاذ الرياضيات جامعة العلوم التطبيقية
    • 1996 و [مدش] 1997: وكيل الكلية للتطوير الأكاديمي ، جامعة العلوم التطبيقية
    • 1993 و [مدش] 1995: رئيس قسم الرياضيات جامعة العلوم التطبيقية
    • 1991 و [مدش] 1993: استاذ مساعد، جامعة العلوم التطبيقية
    • 1989 و [مدش] 1991: أستاذ مشارك زائر ، جامعة كولومبيا
    • 1988 و [مدش] 1990: استاذ مساعد، جامعة رايس
    • 1985 و [مدش] 1988: استاذ مساعد، جامعة رايس
    • 1983 و [مدش] 1984: NSF ما بعد الدكتوراه زميل ، معهد جامعة نيويورك Courant للعلوم الرياضية
    • 1983: دكتوراه في الرياضيات جامعة هارفرد
    • 1979: بكالوريوس في الرياضيات والفيزياء ، جامعة بنسلفانيا
    أوراق المسح
    • يانغ ، الهندسة شبه المتكاملة من وجهة نظر مختلفة ،دليل التحليل الهندسي المجلد. الثاني ، الصحافة الدولية ، 2010.
    • J. Loftin، X.J Wang، D. Yang، عمل Cheng و Yau على معادلة Monge-Amp & egravere والهندسة الأفينية ،الهندسة والتحليل (المجلد الأول) ، مطبعة التعليم العالي والصحافة الدولية ، 2010.
    • يانغ ، على عمل فيلهلم بلاشك الرياضي وتأثيره على S. S. Chern (النسخة الصينية).
    مقالات صحفية محكمة مختارة

    ملاحظة حول قضايا حقوق التأليف والنشر: يتم تقديم هذه المواد لضمان نشر العمل الأكاديمي والتقني في الوقت المناسب. يحتفظ المؤلفون أو أصحاب حقوق الطبع والنشر الآخرون بحقوق النشر وجميع الحقوق الواردة فيه. من المتوقع أن يلتزم جميع الأشخاص الذين ينسخون هذه المعلومات بالشروط والقيود التي يستدعيها حقوق التأليف والنشر الخاصة بكل مؤلف. في معظم الحالات ، لا يجوز إعادة نشر هذه الأعمال دون إذن صريح من أصحاب حقوق النشر.


    يمكن العثور على التدريبات على الموقع http://invpy.com/hackingpractice14C .

    في تشفير قيصر ، تضمن تشفير وفك تشفير الرموز تحويلها إلى أرقام ، وإضافة أو طرح المفتاح ، ثم تحويل الرقم الجديد مرة أخرى إلى رمز.

    ماذا لو استخدمنا الضرب بدلاً من إضافة المفتاح لإجراء التشفير؟ ستكون هناك مشكلة "التفافية" ، لكن مشغل التعديل سيحلها. على سبيل المثال ، دعنا نستخدم مجموعة الرموز المكونة من الأحرف الكبيرة فقط والمفتاح 7. فيما يلي قائمة بالأحرف وأرقامها:

    للعثور على ما يشفره الرمز F بالمفتاح 7 ، اضرب رقمه (5) في 7 و mod في 26 (للتعامل مع "الالتفاف" بمجموعة الرموز 26 الخاصة بنا). ثم استخدم رمز هذا الرقم. (5 × 7) mod 26 = 9 ، و 9 هو رقم الرمز J. لذا يقوم F بتشفير J في التشفير المضاعف بالمفتاح 7. افعل الشيء نفسه مع جميع الأحرف:

    الجدول 14-1. تشفير كل حرف بالتشفير المضاعف بالمفتاح 7.

    ستنتهي بهذا التعيين للمفتاح 7: لتشفيرك ، استبدل الحرف العلوي بالحرف الموجود تحته ، والعكس بالعكس لفك تشفير:

    لن يستغرق الأمر وقتًا طويلاً للمهاجم لاستخدام القوة الغاشمة من خلال المفاتيح السبعة الأولى. لكن الشيء الجيد في التشفير المضاعف هو أنه يمكن أن يعمل مع مفاتيح كبيرة جدًا ، مثل 8،953،851 (التي تحتوي على أحرف الخريطة الأبجدية للأحرف AXUROLIFCZWTQNKHEBYVSPMJGD). سيستغرق الكمبيوتر بعض الوقت للتغلب على ما يقرب من تسعة ملايين مفتاح.


    14: الهندسة التقريبية - الرياضيات

    كمثال ، لنفترض أننا نرغب في تشفير رسالة النص العادي "HELLO" بالدالة $ f (x) = 3x + 7 $.

    1. سيتم تحويل "HELLO" أولاً إلى تسلسل الأرقام 7 ، 4 ، 11 ، 11 ، 14.
    2. سيتم إدخال هذه الأرقام في $ f (x) $ واحدًا في كل مرة لإنتاج التسلسل 2 ، 19 ، 14 ، 14 ، 23.
    3. أخيرًا ، نفسر الأرقام الناتجة مرة أخرى كأحرف لإنتاج النص المشفر "CTOOX".

    الآن ، لنفترض أنك اعترضت هذه الرسالة النصية المشفرة "CTOOX" ، ولم تكن تعرف ما هي الرسالة الأصلية ، ولكنك ترغب في اكتشافها.

    افترض أنك تخمن f ('L') = 'O' و f ('E') = 'T'. يمكن أن تأتي هذه التخمينات من مجموعة متنوعة من المصادر ، مثل تحليل تكرار أحرف معينة أو أزواج من الحروف أو من جزء معروف أو مُخمن من الرسالة الأصلية (وهو ما يسمى سرير).

    متابعة مع المثال ، إذا قمنا بترجمة تخميناتنا التي تتضمن "L" و "O" و "E" و "T" إلى أعداد صحيحة مرة أخرى باستخدام A = 0 ، B = 1 ،. Z = 25 ، إذن لدينا
    $ f (11) = 14 $ و $ f (4) = 19 $. هذا يخبرك:
    $ تبدأ
    11a + b & amp equiv & amp 14 pmod <26>
    4a + b & amp equiv & amp 19 pmod <26>
    نهاية$

    بمعالجة التطابقات لا تختلف عن معادلتين في مجهولين ، يمكننا حذف المتغير $ b $ بطرح التطابق الثاني من المعادلة الأولى. هذه العوائد:

    في هذا المثال بالذات ، يمكننا إيجاد قيمة $ a $ بقسمة كلا الجانبين على $ 7 $ نظرًا لأنه أساسي نسبيًا إلى $ 26 $ و $ 7 mid 21 $.

    لاحظ أنه إذا لم يتم تقسيم المعامل على $ a $ 21 بالتساوي ، فلا يزال بإمكاننا إيجاد حل لها أ بإيجاد المعكوس الضربي أولاً ، x، من 7 (تعديل 26) عن طريق حل
    $ 7x equiv 1 pmod <26> $

    إذا لزم الأمر ، يمكننا استخدام الخوارزمية الإقليدية لهذه الغاية.

    ثم إذا ضربنا طرفي التطابق الذي يتضمن $ a $ في معكوس الضرب هذا ، فإننا نكشف مرة أخرى عن قيمة $ a $.

    بالعودة إلى المثال المعروض علينا ، قسمة كلا الجانبين على 7 أ $ equiv 21 pmod <26> $ على 7 $ عوائد

    الآن بعد أن أصبحت لدينا قيمة $ a $ ، فإن إيجاد قيمة $ b $ أمر بسيط. نقوم ببساطة بتعويض $ a = 3 $ مرة أخرى في إحدى التطابقات التي تتضمن $ b $. على سبيل المثال ، باستخدام $ 11a + b equiv 14 pmod <26> $ ، نجد


    شاهد الفيديو: رياضيات: الهندسة الفراغية (شهر اكتوبر 2021).