مقالات

13.1E: وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين)


13.1: وظائف المتغيرات المتعددة

بالنسبة للتمارين التالية ، قم بتقييم كل دالة بالقيم المشار إليها.

1) (W (x، y) = 4x ^ 2 + y ^ 2. ) أوجد (W (2، −1)، W (−3،6) ).

إجابه:
(W (2، −1) = 17، quad W (−3،6) = 72 )

2) (ث (س ، ص) = 4x ^ 2 + ص ^ 2 ). أوجد (W (2 + h، 3 + h). )

3) يتم حساب حجم الأسطوانة الدائرية اليمنى بدالة من متغيرين ، (V (x، y) = πx ^ 2y، ) حيث (x ) هو نصف قطر الاسطوانة الدائرية اليمنى و ( y ) يمثل ارتفاع الاسطوانة. قم بتقييم (V (2،5) ) واشرح معنى ذلك.

إجابه:
(V (2،5) = 20π ، text {Units} ^ 3 ) هذا هو الحجم عندما يكون نصف القطر (2 ) والارتفاع (5 ).

4) يتكون خزان الأكسجين من أسطوانة يمنى بارتفاع (ص ) ونصف قطر (س ) مع نصفي كرة نصف قطر (س ) مثبتين على الجزء العلوي والسفلي من الأسطوانة. عبر عن حجم الأسطوانة كدالة لمتغيرين ، (x ) و (y ) ، أوجد (V (10،2) ) ، واشرح معنى ذلك.

للتمارين من 5 إلى 10 ، أوجد مجال ومدى الدالة المعينة. حدد المجال في تدوين Set-builder والنطاق في تدوين الفاصل الزمني.

5) (V (x، y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x in rm I ! R، y in rm I ! R } ) أي جميع النقاط في (xy ) - الطائرة
النطاق: ([0، infty) )

6) (f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2−4} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x ^ 2 + y ^ 2 ge 4 } )
النطاق: ([0، infty) )

7) (f (x، y) = 4 ln (y ^ 2 − x) )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x النطاق: ((- infty، infty) )

8) (g (x، y) = sqrt {164x ^ 2 − y ^ 2} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {16} le 1 } )
النطاق: ([0، 4] )

9) (ض = أركوس (ص − س) )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x - 1 le y le x + 1 } ) أي جميع النقاط بين الرسوم البيانية (y = x -1 ) و (y = × +1 ).
النطاق: ([0، pi] )

10) (f (x، y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | x neq 0 } )
النطاق: ((- infty، infty) )

ابحث عن نطاق الوظائف.

11) (g (x، y) = sqrt {164x ^ 2 − y ^ 2} )

إجابه:
( {z | 0≤z≤4 } )

12) (V (x، y) = 4x ^ 2 + y ^ 2 )

13) (ض = ص ^ 2 − س ^ 2 )

إجابه:
المجموعة ( rm I ! R )

في التدريبات من 14 إلى 29 ، ابحث عن منحنيات المستوى لكل دالة عند القيم المشار إليها لـ (ج ) لتصور الوظيفة المحددة. ارسم مخططًا محيطيًا لتلك التمارين حيث يُطلب منك أكثر من 3 قيم (ج ).

14) (ض (س ، ص) = ص ^ 2 − س ^ 2 ، رباعي ج = 1 )

15) (ض (س ، ص) = ص ^ 2 − س ^ 2 ، رباعي ج = 4 )

إجابه:
(y ^ 2 − x ^ 2 = 4، ) قطع زائد

16) (ز (س ، ص) = س ^ 2 + ص ^ 2 ؛ رباعي ج = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 9 )

17) (ز (س ، ص) = 4 − س − ص ؛ رباعي ج = 0،1 ، 2 ، 3 ، 4 )

إجابه:
منحنيات المستوى عبارة عن خطوط بها (y = -x + (4 - c) ).
لكل قيمة من (ج ) هذه هي:
(ج = 0: ، ص = -س + 4 ) ،
(ج = 1: ، ص = -س + 3 ) ،
(ج = 2: ، ص = -س + 2 ) ،
(ج = 3: ، ص = -س + 1 ) ،
(ج = 4: ، ص = -س ).
يتكون مخطط الكنتور من سلسلة من الخطوط المتوازية.

18) (و (س ، ص) = س ص ؛ ج = 1 ؛ رباعي ج = −1 )

19) (ح (س ، ص) = 2 س − ص ؛ رباعي ج = -2،0،2 )

إجابه:
(2x − y = 0،2x − y = −2،2x − y = 2؛ ) ثلاثة أسطر

20) (و (س ، ص) = س ^ 2 − ص ؛ رباعي ج = 1،2 )

21) (g (x، y) = dfrac {x} {x + y}؛ c = −1،0،1،2 )

إجابه:
منحنيات المستوى هي خطوط بالشكل (y = x left ( frac {1-c} {c} right) ). عند (c = 0 ) ، نحلها مباشرةً من المعادلة ( dfrac {x} {x + y} = 0 ) لنحصل على (x = 0 ).
لكل قيمة من (ج ) هذه هي:
(ج = -1: ، ص = -2 س ) ،
(c = 0: ، x = 0، text {with} y ne 0 )،
(c = 1: ، y = 0، text {with} x ne 0 )،
(c = 2: ، y = - frac {1} {2} x ).

22) (g (x، y) = x ^ 3 − y؛ quad c = −1،0،2 )

23) (g (x، y) = e ^ {xy}؛ quad c = frac {1} {2}، 3 )

إجابه:
منحنيات المستوى لها الشكل ، (y = frac { ln c} {x} ).
لكل قيمة من (ج ) هذه هي:
(c = frac {1} {2}: ، y = frac { ln frac {1} {2}} {x} ) التي يمكن إعادة كتابتها كـ ، (y = - frac { ln 2} {x} )
(c = 3: ، y = frac { ln 3} {x} ).

24) (و (س ، ص) = س ^ 2 ؛ رباعي ج = 4،9 )

25) (f (x، y) = xy − x؛ quad c = −2،0،2 )

إجابه:
منحنيات المستوى لها الشكل: (y = frac {c} {x} + 1 ).
هنا (y = frac {-2} {x} + 1، quad y = 1، quad y = frac {2} {x} + 1 ) أو (xy − x = −2، ، س ص − س = 0 ، ، س ص − س = 2 )

26) (ح (س ، ص) = ln (س ^ 2 + ص ^ 2) ؛ رباعي ج = −1،0،1 )

27) (g (x، y) = ln ( frac {y} {x ^ 2})؛ quad c = −2،0،2 )

إجابه:
منحنيات المستوى لها الشكل ، (y = e ^ c x ^ 2 ).
لكل قيمة من (ج ) هذه هي:
(c = -2: ، y = e ^ {- 2} x ^ 2 ) ،
(ج = 0: ، ص = س ^ 2 ) ،
(c = 2: ، y = e ^ {2} x ^ 2 ).

28) (z = f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}، quad c = 3 )

29) (f (x، y) = dfrac {y + 2} {x ^ 2}، quad c = ) أي ثابت

إجابه:
منحنيات المستوى هي قطع مكافئة من الشكل (y = cx ^ 2−2، text {with} x ne 0 ).

في التدريبات 30-32 ، ابحث عن الآثار الرأسية للوظائف عند القيم المشار إليها لـ (س ) و (ص ) ، وقم برسم الآثار.

30) (ض = 4 − س − ص ، رباعي س = 2 )

31) (و (س ، ص) = 3 س + ص ^ 3 ، رباعي س = 1 )

إجابه:

(z = 3 + y ^ 3، ) منحنى في (زي ) - الطائرة بأحكام موازية لمحور (س )

32) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ، quad x = 1 )

في التدريبات 33 - 38 ، أوجد مجال ومدى كل دالة.

33) (z = sqrt {100−4x ^ 2−25y ^ 2} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y) | frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {4} ≤1 } )
النطاق: ([0، 10] )

34) (ض = ln (س − ص ^ 2) )

35) (f (x، y، z) = dfrac {1} { sqrt {36−4x ^ 2−9y ^ 2 − z ^ 2}} )

إجابه:
المجال: ( {(x، y، z) | frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} {4} + frac {z ^ 2} {36} <1 } )
النطاق: ([ frac {1} {6}، infty) )

36) (f (x، y، z) = sqrt {49 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

37) (f (x، y، z) = sqrt [3] {16 − x ^ 2 − y ^ 2 − z ^ 2} )

إجابه:
المجال: جميع النقاط في (xyz ) - مسافة
النطاق: ( big (- infty، sqrt [3] {16} big] )

38) (f (x، y) = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

في التدريبات 39-40 ، ارسم مخططًا للدالة.

39) (z = f (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:

40) (ض = س ^ 2 + ص ^ 2 )

41) استخدم التكنولوجيا لرسم (z = x ^ 2y. )

إجابه:

في التدريبات 42-46 ، ارسم الدالة عن طريق إيجاد منحنيات مستواها. تحقق من الرسم البياني باستخدام تقنية ، مثل CalcPlot3D.

42) (f (x، y) = sqrt {4 − x ^ 2 − y ^ 2} )

43) (f (x، y) = 2− sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:

44) (z = 1 + e ^ {- x ^ 2 − y ^ 2} )

45) (z = cos sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

إجابه:

46) (ض = ص ^ 2 − س ^ 2 )

47) صف خطوط الكنتور لعدة قيم من (c ) لـ (z = x ^ 2 + y ^ 2−2x − 2y. )

إجابه:
خطوط الكنتور عبارة عن دوائر متحدة المركز تتمحور حول النقطة ، ((1 ، 1) ).
يمكنك رؤية ذلك من خلال إكمال المربع بعد ضبط هذه الوظيفة على (c ).
أي أننا نكتب (x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2−2y + 1 = c + 2 ) والتي يمكن إعادة كتابتها كـ ، ((x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 = ج + 2 ).
هذا يعطينا الدوائر المتمركزة عند النقطة ، ((1، 1) ) ، كل منها بنصف قطر ( sqrt {c + 2} ).

في التمارين 48 - 52 ، ابحث عن سطح المستوى للقيمة المعطاة لـ (c ) لكل دالة من ثلاثة متغيرات وصفها.

48) (ث (س ، ص ، ض) = س − 2 ص + ض ، رباعي ج = 4 )

49) (ث (س ، ص ، ض) = س ^ 2 + ص ^ 2 + ض ^ 2 ، رباعي ج = 9 )

إجابه:
(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ) كرة نصف قطرها (3 )

50) (ث (س ، ص ، ض) = س ^ 2 + ص ^ 2 − ض ^ 2 ، رباعي ج = −4 )

51) (ث (س ، ص ، ض) = س ^ 2 + ص ^ 2 − ض ^ 2 ، كواد ج = 4 )

إجابه:
(x ^ 2 + y ^ 2 − z ^ 2 = 4، ) شكل زائد من ورقة واحدة

52) (ث (س ، ص ، ض) = 9 س ^ 2−4 ص ^ 2 + 36 ع ^ 2 ، رباعي ج = 0 )

في التمارين 53-55 ، ابحث عن معادلة لمنحنى المستوى (f ) الذي يحتوي على النقطة (P ).

53) (f (x، y) = 1−4x ^ 2 − y ^ 2، quad P (0،1) )

إجابه:
(4x ^ 2 + y ^ 2 = 1، )

54) (ز (س ، ص) = ص ^ 2 أركتان س ، كواد ف (1،2) )

55) (g (x، y) = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2)، quad P (1،0) )

إجابه:
(1 = e ^ {xy} (x ^ 2 + y ^ 2) )

56) تُعطى قوة (E ) المجال الكهربائي عند النقطة ((x، y، z) ) الناتجة عن سلك مشحون طويل بلا حدود يقع على طول المحور (y ) - بواسطة (E ( x، y، z) = k / sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، حيث (k ) ثابت موجب. للتبسيط ، دع (ك = 1 ) وابحث عن معادلات الأسطح المستوية لـ (E = 10 ) و (E = 100. )

57) توجد صفيحة رقيقة مصنوعة من الحديد في المستوى (س ص ) - درجة الحرارة (T ) بالدرجات المئوية عند نقطة (P (س ، ص) ) تتناسب عكسياً مع مربعها. المسافة من الأصل. التعبير عن (T ) كدالة لـ (س ) و (ص ).

إجابه:
(T (x، y) = frac {k} {x ^ 2 + y ^ 2} )

58) الرجوع إلى المشكلة السابقة. باستخدام دالة درجة الحرارة الموجودة هناك ، حدد ثابت التناسب إذا كانت درجة الحرارة عند النقطة (P (1،2) ) هي (50 درجة مئوية. ) استخدم هذا الثابت لتحديد درجة الحرارة عند النقطة (Q (3، 4). )

59) الرجوع إلى المشكلة السابقة. ابحث عن منحنيات المستوى (T = 40 ° C ) و (T = 100 ° C ، ) وقم بوصف ما تمثله منحنيات المستوى.

إجابه:
(x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {40}، quad x ^ 2 + y ^ 2 = frac {k} {100} ). تمثل منحنيات المستوى دوائر نصف قطر ( sqrt {10k} / 20 ) و ( sqrt {k} / 10 )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • قام Paul Seeburger (كلية مجتمع Monroe) بتحرير LaTeX وأضاف المخططات الكنتورية لإجابات المشكلات 17 و 21 و 29.

  1. من خلال رسم المخططات (أو عن طريق عمل حجج جبرية دقيقة) ، حدد أيًا من المجموعات التالية محدب.
    1. <(x, ذ): ذ = هx >.
    2. <(x, ذ): ذهx >.
    3. <(x, ذ): xذ ≥ 1, x & GT 0، ذ & GT 0>.
    1. غير محدب ، لأن ه λx+(1−λ)ش ≠ λهx + (1 − λ)هش ، كما هو موضح في الشكل التالي.

    على وجه التحديد، ه 0 = 1 و ه 1 = ه، لكن ه 1/2 & # 8776 1.649 و (1/2) 1 + (1/2)ه ≈ 1.859.

    الوظيفة ه x هو مشتق ، ومشتقه الثاني هو ه x & gt 0 ، بحيث يكون محدبًا (بدقة). ومن ثم من خلال نتيجة في النص مجموعة النقاط فوق الرسم البياني الخاص به ، <(x, ذ): ذه x > محدب.

    لإظهار النتيجة جبريًا ، دعنا xذ & # 8805 1 و شالخامس & # 8805 1. نحن بحاجة لإثبات أن & # 8805 1. لدينا

    x + (1 − λ)ش)(λذ + (1 − λ)الخامس) = λ 2 xذ + λ(1 − λ)(شذ + xالخامس) + (1 − λ) 2 شالخامس.
    λ 2 xذ + λ(1 − λ)(شذ + xالخامس) + (1 − λ) 2 شالخامس λ 2 + 2λ(1 − λ) + (1 − λ) 2
    = (λ + (1 − λ)) 2
    = 1.
    ح((1−λ)x + λx') = أF((1−λ)x + λx') + بز((1−λ)x + λx')
    أ(1−λ)F(x) + أλF(x') + ب(1−λ)ز(x) + بλز(x')
    = (1−λ)ح(x) + λح(x'),
    1. F(x, ذ) = x + ذ.
    2. F(x, ذ) = x 2. [ملحوظة: F هي دالة لمتغيرين.]
    3. F(x, ذ) = x + ذهxهx+ذ .
    4. F(x, ذ, ض) = x 2 + ذ 2 + 3ض 2 − xذ + 2xض + ذض.
    1. F((1−λ)x + λx',(1−λ)ذ + λذ') = (1−λ)x + λx' + (1−λ)ذ + λذ' = (1−λ)F(x,ذ) + λF(x',ذ') ، لذا فإن الوظيفة مقعرة ومحدبة ، ولكنها ليست مقعرة تمامًا أو محدبة تمامًا. أو يمكنك حساب Hessian ، والتي يمكنك من خلالها استنتاج أن الوظيفة مقعرة ومحدبة ، ثم تجادل على النحو الوارد أعلاه بأن الوظيفة ليست مقعرة تمامًا أو محدبة تمامًا. [ملاحظة: لا تعني حقيقة أن بعض القاصرين صفرًا أن الوظيفة ليست مقعرة تمامًا أو محدبة تمامًا ، على الرغم من أنها ليست كذلك في الواقع.] أو يمكنك الاستناد إلى حقيقة أن الوظيفة خطية لتستنتج أنها مقعر ومحدب.
    2. يظهر Hessian أن الوظيفة محدبة (جميع القاصرين الأساسيين غير سالبين). لا يفي Hessian بشرط كافٍ للتحدب الصارم ، لكن هذا لا يعني أن الوظيفة ليست محدبة تمامًا في الواقع. ومع ذلك ، منذ ذلك الحين ، على سبيل المثال ، F(1, 1) = F(1, 2) = F(1 ، 3) ، الوظيفة في الواقع ليست محدبة بدقة. (بشكل عام ، للجميع x, ذ، و ذ' نحن لدينا F((1−λ)(x,ذ) + λ(x,ذ')) = F(x,(1−λ)ذ + λذ') = x 2 = (1−λ)F(x,ذ) + λF(x,ذ').)
    3. الهسه
    ح((1−λ)x + λذ) = أF((1−λ)x + λذ) − بز((1−λ)x + λذ)
    أ(1 − λ)F(x) + أλF(ذ) − ب(1 − λ)ز(x) − بλز(ذ).

    الوظيفة ح ليس بالضرورة مقعرًا: إذا ، على سبيل المثال ، F(x) = x و ز(ض) = ض (وكلاهما مقعر) ، إذن ح(x) = xوهو مقعر.


    الأساليب الرياضية للنظرية الاقتصادية

    تعريفات

    وظيفة ليست كذلك

    الجزء الخطي الموضح يكمن

    النقاط وتحتها عند الآخرين

    هنا تعريف دقيق.

    • مقعر إذا لم يكن كل مقطع خطي يصل نقطتين على الرسم البياني أعلى الرسم البياني أبدًا
    • محدب إذا كان كل مقطع خطي يصل نقطتين على الرسم البياني الخاص به لا يكون أبدًا أسفل الرسم البياني

    تشير إلى ارتفاع المقطع المستقيم من (أ, F(أ)) ل (ب, F(ب)) عند النقطة x بواسطة حأ,ب(x). ثم حسب التعريف ، الوظيفة F مقعر إذا وفقط إذا كان لكل زوج من الأرقام أ و ب مع x1أx2 و x1بx2 نحن لدينا

    حأ,ب((1 − λ)أ + λب) = (1 − λ)حأ,ب(أ) + λحأ,ب(ب)

    لاحظ أن الوظيفة قد تكون على حد سواء مقعر ومحدب. يترك F أن تكون مثل هذه الوظيفة. ثم لجميع قيم أ و ب نحن لدينا

    غالبًا ما يفترض الاقتصاديون أن وظيفة إنتاج الشركة تتزايد ومقعرة. يوضح الشكلان التاليان أمثلة على مثل هذه الوظيفة لشركة تستخدم مدخلاً منفردًا. حقيقة أن دالة الإنتاج هذه تتزايد تعني أن المزيد من المدخلات يولد المزيد من المخرجات. حقيقة أنها مقعرة تعني أن الزيادة في المخرجات الناتجة عن كل زيادة وحدة واحدة في المدخلات لا تزيد مع استخدام المزيد من المدخلات. في المصطلحات الاقتصادية ، هناك & ldquoninincreasing العائد & rdquo إلى المدخلات ، أو ، بالنظر إلى أن الشركة تستخدم مدخلاً واحدًا ، & ldquoninincreasing العائد إلى الحجم & rdquo. في المثال الأول من الشكلين التاليين ، لا تزيد الزيادة في المخرجات الناتجة عن كل زيادة وحدة واحدة في المدخلات مع استخدام المزيد من المدخلات فحسب ، بل تتناقص في الواقع ، لذلك في المصطلحات الاقتصادية هناك هي & ldquodiminishing المرتجعات & rdquo ، وليس مجرد & ldquonincreasing المرتجعات & rdquo ، إلى المدخلات.

    وظيفة إنتاج مقعرة

    وظيفة إنتاج مقعرة

    تعتبر مفاهيم التقعر والتحدب مهمة في نظرية التحسين لأنه ، كما سنرى ، الشرط البسيط كافٍ (وكذلك ضروري) لتعظيم وظيفة مقعرة قابلة للتفاضل وللتصغير لوظيفة محدبة قابلة للتفاضل. (على وجه التحديد ، كل نقطة يكون عندها مشتق دالة قابلة للتفاضل مقعرة تساوي صفرًا هي معزز للوظيفة ، وكل نقطة يكون عندها مشتق دالة محدبة قابلة للتفاضل صفرًا هو الحد الأدنى للدالة.)

    تظهر النتيجة التالية أن التحويل المقعر غير المتناقص لوظيفة مقعرة يكون مقعرًا.

    بتعريف F نحن لدينا

    عدم مساواة جنسن: توصيف آخر للوظائف المقعرة والمحدبة

    الوظيفة F من متغير واحد محدد في الفاصل الزمني I يكون محدبًا فقط إذا كان متاحًا للجميع ن ≥ 2

    وظائف قابلة للتفاضل

    حقيقة أن التمثيل البياني للدالة يقع أسفل هذا المماس يكافئ

    توضح النتيجة التالية هذه الملاحظة ، والنتيجة المماثلة للوظائف المحدبة ، على وجه التحديد. يتم استخدامه لإظهار النتيجة المهمة لوظيفة مقعرة قابلة للتفاضل F كل هدف x لأي منهم F'(x) = 0 هو مكبر عالمي ، ولوظيفة محدبة قابلة للتفاضل كل هذه النقطة هي أداة تصغير عالمية.

    أظهر الآن أنه إذا كانت المتباينة الأولى في النتيجة صحيحة F مقعر. يترك x* & # 8712 أنا و x & # 8712 أنا ، وأعرف x' = (1 − λ)x* + λx. ثم x'& # 8712 أنا ومن خلال عدم المساواة ، الذي ينطبق على جميع قيم x و x* في I ، لدينا كلاهما

    تنطبق الوسيطات المتماثلة على دالة محدبة.

    وظائف قابلة للتفاضل مرتين

      إذا وفقط إذا F"(x) & # 8804 0 للجميع x في داخل أنا إذا وفقط إذا F"(x) & # 8805 0 للجميع x في داخل أنا.
    • إما F"(x) & gt 0 إذا أ & lt x & lt ج و F"(x) & lt 0 إذا ج & lt x & lt ب
    • أو F"(x) & lt 0 إذا أ & lt x & lt ج و F"(x) & gt 0 إذا ج & lt x & lt ب.

    وظيفة إنتاج مقعرة

    لاحظ أن بعض المؤلفين ، بما في ذلك Syds & aeligter and Hammond (1995) (p.308) ، يقدمون تعريفًا مختلفًا قليلاً ، حيث الشروط F"(x) & gt 0 و F"(x) & lt 0 يتم استبدالها بـ F"(x) & # 8805 0 و F"(x) & # 8804 0. وفقًا لهذا التعريف البديل ، F"ليس من الضروري تغيير تسجيل الدخول ج. على سبيل المثال ، لوظيفة خطية ، كل نقطة تفي بالتعريف البديل.

    التحدب الشديد والتقعر

    دالة مقعرة

    وظيفة مقعرة لها لا ويقال أن تكون الأجزاء الخطية مقعر بدقة.


    13.1E: وظائف المتغيرات المتعددة (تمارين)

    تعتمد هذه التمارين على تمارين المتغيرات ، لذا يمكنك البدء منها (حلولك أو حلولنا) أو البدء من نقطة الصفر.

    العراف

    لماذا تدفع عرافًا بينما يمكنك فقط برمجة ثروتك بنفسك؟

    • اكتب دالة باسم tellFortune:
      • يأخذ 4 حجج: عدد الأطفال ، اسم الشريك ، الموقع الجغرافي ، المسمى الوظيفي.
      • يخرج ثروتك على الشاشة مثل: "ستكون X في Y ، وستكون متزوجًا من Z مع N من الأطفال."

      الجرو العمر حاسبة

      أنت تعرف كم عمر كلبك في سنوات الإنسان ، لكن ماذا عن سنوات الكلاب؟ احسبها!

      • اكتب دالة باسم calculateDogAge التي:
        • يأخذ حجة واحدة: عمر جرو الخاص بك.
        • يحسب عمر الكلب بناءً على معدل التحويل من سنة بشرية واحدة إلى 7 سنوات كلب.
        • لإخراج النتيجة إلى الشاشة مثل: "كلبك يبلغ من العمر NN عامًا في سنوات الكلاب!"

        حاسبة العرض مدى الحياة

        هل تساءلت يومًا عن مقدار "العرض مدى الحياة" من وجبتك الخفيفة المفضلة؟ أتساءل لا أكثر!

        • اكتب دالة باسم احسب
          • تأخذ حجتين: العمر ، المبلغ في اليوم.
          • بحساب الكمية المستهلكة لبقية الحياة (بناءً على حد أقصى ثابت للعمر).
          • لإخراج النتيجة إلى الشاشة كما يلي: "ستحتاج إلى NN لتستمر معك حتى سن الشيخوخة البالغة X"

          الهندسي

          أنشئ دالتين تحسبان خصائص الدائرة باستخدام التعريفات الواردة هنا.


          3.4 المشاكل الشائعة

          تمرين 3.5.1

          ماذا يحدث إذا واجهت متغيرًا مستمرًا؟

          يتم تحويل المتغير المستمر إلى متغير فئوي ، وتحتوي المؤامرة على واجهة لكل قيمة مميزة.

          تمرين 3.5.2

          ماذا تفعل الخلايا الفارغة في المؤامرة مع facet_grid (drv

          سيل) يعني؟ كيف يرتبطون بهذه المؤامرة؟

          الخلايا الفارغة (الأوجه) في هذه المؤامرة عبارة عن مجموعات من drv و cyl التي ليس لها ملاحظات. هذه هي نفس المواقع في مخطط تشتت drv والأسطوانة التي ليس لها نقاط.

          تمرين 3.5.3

          ما هي المؤامرات التي يصنعها الكود التالي؟ ماذا فعلت . فعل؟

          الرمز . يتجاهل هذا البعد عندما يواجه. على سبيل المثال ، drv

          . وجه بقيم drv على المحور ص.

          ستواجه الأسطوانة بقيم الأسطوانات على المحور السيني.

          تمرين 3.5.4

          خذ المؤامرة الأولى ذات الأوجه في هذا القسم:

          ما هي مزايا استخدام الوجه بدلاً من اللون الجمالي؟ ما هي العيوب؟ كيف يمكن أن يتغير الرصيد إذا كان لديك مجموعة بيانات أكبر؟

          في الرسم التالي ، تم تعيين متغير الفئة للون.

          تتضمن مزايا ترميز الفئة بواجهات بدلاً من اللون القدرة على ترميز فئات أكثر تميزًا. بالنسبة لي ، من الصعب التمييز بين ألوان "الميني فان" و "متوسطة الحجم".

          بالنظر إلى الإدراك البصري البشري ، فإن الحد الأقصى لعدد الألوان التي يجب استخدامها عند ترميز البيانات الفئوية (النوعية) غير المرتبة هو تسعة ، وفي الممارسة العملية ، غالبًا ما يكون أقل من ذلك بكثير. يؤدي عرض الملاحظات من فئات مختلفة على مستويات مختلفة إلى صعوبة المقارنة المباشرة لقيم الملاحظات عبر الفئات. ومع ذلك ، يمكن أن يسهل مقارنة شكل العلاقة بين متغيري x و y عبر الفئات.

          تشمل عيوب ترميز متغير الصنف بالوجهات بدلاً من اللون الجمالي صعوبة مقارنة قيم الملاحظات بين الفئات لأن الملاحظات لكل فئة على قطع مختلفة. إن استخدام نفس مقاييس x و y لجميع الأوجه يجعل من السهل مقارنة قيم الملاحظات عبر الفئات ، ولكن لا يزال الأمر أكثر صعوبة مما لو تم عرضها على نفس المؤامرة. نظرًا لأن فئة الترميز داخل اللون تضع أيضًا جميع النقاط على نفس المؤامرة ، فإنها تصور العلاقة غير المشروطة بين متغيري x و y مع الأوجه ، لم تعد العلاقة غير المشروطة تصورًا لأن النقاط تنتشر عبر مخططات متعددة.

          فائدة ترميز متغير مع الواجهة على ترميزه مع زيادة اللون في كل من عدد النقاط وعدد الفئات. مع وجود عدد كبير من النقاط ، غالبًا ما يكون هناك تداخل. من الصعب التعامل مع النقاط المتداخلة بألوان مختلفة. سيظل النرفزة تعمل مع اللون. لكن النرفزة لن تعمل بشكل جيد إلا إذا كانت هناك نقاط قليلة ولا تتداخل الفئات كثيرًا ، وإلا فلن تكون ألوان المناطق مميزة ، وسيكون من الصعب تحديد أنماط الفئات المختلفة بصريًا. الشفافية (ألفا) لا تعمل بشكل جيد مع الألوان لأن خلط الألوان الشفافة المتداخلة لن يمثل ألوان الفئات بعد الآن. تستخدم أساليب Binning اللون بالفعل لترميز كثافة النقاط في الحاوية ، لذلك لا يمكن استخدام اللون لتشفير الفئات.

          كلما زاد عدد الفئات ، يتناقص الفرق بين الألوان ، لدرجة أن لون الفئات لم يعد مميزًا بصريًا.

          تمرين 3.5.5

          قراءة؟ ماذا تفعل nrow؟ ماذا تفعل ncol؟ ما هي الخيارات الأخرى التي تتحكم في تخطيط اللوحات الفردية؟ لماذا لا يحتوي facet_grid () على متغيرين nrow و ncol؟

          تحدد الوسيطات nrow (ncol) عدد الصفوف (الأعمدة) التي يجب استخدامها عند تخطيط الواجهات. إنه ضروري لأن facet_wrap () أوجه فقط في متغير واحد.

          الوسيطات nrow و ncol غير ضرورية لـ facet_grid () لأن عدد القيم الفريدة للمتغيرات المحددة في الوظيفة يحدد عدد الصفوف والأعمدة.

          تمرين 3.5.6

          عند استخدام facet_grid () ، يجب أن تضع المتغير بمستويات فريدة أكثر في الأعمدة. لماذا ا؟

          سيكون هناك مساحة أكبر للأعمدة إذا تم تخطيط قطعة الأرض أفقيًا (أفقي).


          تم تقديم تنسيق () في بيثون 3. إنه النمط الجديد لتنسيق السلاسل. لا يوجد اعتماد على عامل التشغيل "٪" عند استخدام هذه الوظيفة.

          التنسيق أعلاه ليس مرنًا إذا كنت تريد إعادة ترتيب القيم ، لنفترض أنك تريد طباعة اللون قبل الفاكهة أو استخدام قيمة واحدة عدة مرات في السلسلة دون تغيير تسلسل قيمة المجموعة. على سبيل المثال،

          أو إذا كنت تريد طباعة اللون الأحمر عدة مرات مثل:

          لحل مثل هذه المشكلات ، يمكنك تمرير الأرقام التي تشير إلى موضع الوسيطة دون تغيير تسلسل قيم الصف كما يلي:

          خيار آخر هو تمرير الفهارس المسماة. على سبيل المثال،

          ملاحظة: لن تعمل وظائف format () في Python 2.x. ولكن يمكنك استيراد "print_function" من مكتبة "__future__".


          وظائف المتغير المركب

          هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

          معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

          لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

          المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

          صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


          ضوء اتجاهي

          نريد تحديد وظيفة في تظليل الأجزاء التي تحسب مساهمة الضوء الاتجاهي في الجزء المقابل: وظيفة تأخذ بعض المعلمات وتعيد لون الإضاءة الاتجاهي المحسوب.

          نحتاج أولاً إلى تعيين المتغيرات المطلوبة التي نحتاجها إلى الحد الأدنى لمصدر ضوء اتجاهي. يمكننا تخزين المتغيرات في بنية تسمى DirLight وتعريفها على أنها موحدة. يجب أن تكون متغيرات الهيكل مألوفة من الفصل السابق:

          يمكننا بعد ذلك تمرير زي dirLight إلى دالة بالنموذج الأولي التالي:

          تمامًا مثل C و C ++ ، عندما نريد استدعاء دالة (في هذه الحالة داخل الوظيفة الرئيسية) ، يجب تحديد الوظيفة في مكان ما قبل رقم سطر المتصل. في هذه الحالة ، نفضل تحديد الوظائف الموجودة أسفل الوظيفة الرئيسية حتى لا يصح هذا المطلب. لذلك نعلن عن النماذج الأولية للوظيفة في مكان ما فوق الوظيفة الرئيسية ، تمامًا كما نفعل في C.

          يمكنك أن ترى أن الوظيفة تتطلب بنية DirLight ومتجهين آخرين مطلوبين لحسابها. إذا أكملت الفصل السابق بنجاح ، فلن يكون محتوى هذه الوظيفة مفاجئًا:

          قمنا بشكل أساسي بنسخ الكود من الفصل السابق واستخدمنا المتجهات المعطاة كوسيطات دالة لحساب متجه مساهمة الضوء الاتجاهي. ثم يتم إرجاع المساهمات المحيطة والمنتشرة والمنعكسة الناتجة كمتجه لوني واحد.


          وصف:

          اكتب برنامج PHP لحساب مساحة المستطيل باستخدام دالة PHP.

          شرط

          عرض الحل / البرنامج.

          مساحة المستطيل بطول 2 & # 038 عرض 4 هو 8.

          • فئات تمارين PHP
          • PHP جميع التمارين وواجبات أمبير
          • سلسلة PHP
          • تمارين PHP الأعلى
          • حلقات PHP
          • متغيرات PHP
          • صنع القرار PHP
          • وظائف PHP
          • بناء جملة PHP
          • صفيف PHP
          • مشغلي PHP
          • جميع البرامج التعليمية
          • دروس PHP
          • دروس HTML
          • دروس تحسين محركات البحث
          • C البرنامج التعليمي
          • دروس CSS
          • دروس ووردبريس
          • دروس بايثون
          • واجهة برمجة تطبيقات PHP REST
          • برنامج jQuery التعليمي
          • دروس جافا سكريبت
          • البرنامج التعليمي Bootstrap

          شريك تدريب

          حول فئة الدروس

          دروس الدروس (TutorialsClass.com) هي بوابة واحدة للتعلم عبر الإنترنت حول تقنيات الويب المختلفة ، والتحضير للمقابلة وتعزيز مهاراتك الفنية.

          نحن نقدم دروسًا تعليمية مجانية عبر الإنترنت حول أحدث تقنيات الويب. هذه الدروس منظمة بشكل جيد وسهلة الاستخدام للمبتدئين. مع كل برنامج تعليمي ، قد تجد قائمة من التمارين والواجبات والرموز والمقالات وأسئلة المقابلة ذات الصلة.

          يوفر موقع الويب هذا دروسًا حول PHP و HTML و CSS و SEO و C و C ++ و JavaScript و WordPress والتسويق الرقمي للمبتدئين. ابدأ التعلم الآن.


          الشروع في الانحدار متعدد المتغيرات

          الانحدار المتعدد المتغيرات هو طريقة لنمذجة استجابات متعددة ، أو متغيرات تابعة ، مع مجموعة واحدة من متغيرات التوقع. على سبيل المثال ، قد نرغب في وضع نموذج لكل من الرياضيات وقراءة درجات SAT كدالة للجنس والعرق ودخل الوالدين وما إلى ذلك. هذا يسمح لنا بتقييم العلاقة ، على سبيل المثال ، بين الجنسين مع كل درجة. قد تفكر ، & # 8220 لماذا لا تقوم فقط بتشغيل انحدارات منفصلة لكل متغير تابع؟ & # 8221 هذه & # 8217s في الواقع فكرة جيدة! وفي الحقيقة أن & # 8217s إلى حد كبير ما يفعله الانحدار المتعدد المتغيرات. يتراجع كل متغير تابع بشكل منفصل على المتنبئين. ومع ذلك ، نظرًا لأن لدينا استجابات متعددة ، يتعين علينا تعديل اختبارات الفرضيات الخاصة بنا لمعلمات الانحدار وفترات الثقة الخاصة بنا للتنبؤات.

          للبدء ، دع & # 8217s نقرأ بعض البيانات من الكتاب التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات التطبيقي (الطبعة السادسة) بقلم ريتشارد جونسون ودين ويتشرن. تأتي هذه البيانات من التمرين 7.25 وتتضمن 17 جرعة زائدة من عقار أميتريبتيلين (Rudorfer ، 1982). هناك نوعان من الاستجابات التي نرغب في تصميمها: TOT و AMI. TOT هو إجمالي مستوى البلازما TCAD و AMI هي كمية الأميتريبتيلين الموجودة في مستوى البلازما TCAD. المتنبئون هم كما يلي:

          GEN ، الجنس (ذكر = 0 ، أنثى = 1)
          AMT ، كمية الدواء التي يتم تناولها في وقت الجرعة الزائدة
          قياس موجة العلاقات العامة والعلاقات العامة
          DIAP ، ضغط الدم الانبساطي
          قياس موجة QRS و QRS

          سوف نستخدم بيئة الحوسبة الإحصائية R لإثبات الانحدار المتعدد المتغيرات. يقرأ الكود التالي البيانات في R ويسمي الأعمدة.

          قبل المضي قدمًا ، قد ترغب في استكشاف البيانات باستخدام وظائف الملخص والأزواج.

          يتطلب إجراء انحدار متعدد المتغيرات في R التفاف الاستجابات المتعددة في دالة cbind (). يأخذ cbind () متجهين أو عمودين ، ويربطهما & # 8220 & # 8221 معًا في عمودين من البيانات. نقوم بإدخال ذلك على الجانب الأيسر من المعامل:

          . على الجانب الآخر نضيف المتنبئين. لا تعني علامات + الإضافة بحد ذاتها بل تعني التضمين. مجتمعة الصيغة & # 8220cbind (TOT ، AMI)

          يُترجم GEN + AMT + PR + DIAP + QRS & # 8221 إلى & # 8220model TOT و AMI كدالة لـ GEN و AMT و PR و DIAP و QRS. & # 8221 لملاءمة هذا النموذج ، نستخدم وظيفة workhorse lm () وحفظها إلى كائن سميناه & # 8220mlm1 & # 8221. أخيرًا نعرض النتائج بملخص ().

          لاحظ أن الملخص يظهر نتائج اثنين من الانحدار: واحد للمدربين والآخر ل AMI. هذه هي بالضبط نفس النتائج التي سنحصل عليها إذا تم تصميم كل منها على حدة. يمكنك التحقق من ذلك بنفسك عن طريق تشغيل الكود التالي ومقارنة الملخصات بما حصلنا عليه أعلاه. هم & # 8217re متطابقة.

          يجب أيضًا فحص نفس التشخيصات التي نتحقق منها بحثًا عن النماذج باستخدام متنبئ واحد. لمراجعة بعض التشخيصات الأساسية والأساسية ، راجع منشورنا "فهم المخططات التشخيصية لتحليل الانحدار الخطي".

          يمكننا استخدام وظائف المستخرج R & # 8217s مع كائن mlm1 الخاص بنا ، باستثناء أننا & # 8217ll نحصل على ضعف الإخراج. على سبيل المثال ، بدلاً من مجموعة واحدة من القيم المتبقية ، نحصل على اثنين:

          بدلاً من مجموعة واحدة من القيم الملائمة ، نحصل على اثنين:

          بدلاً من مجموعة واحدة من المعاملات ، نحصل على اثنين:

          بدلاً من خطأ معياري واحد متبقي ، نحصل على خطأين:

          مرة أخرى ، هذه كلها متطابقة مع ما نحصل عليه من خلال تشغيل نماذج منفصلة لكل استجابة. ينتهي التشابه ، مع ذلك ، بمصفوفة التباين - التغاير لمعاملات النموذج. نحن لا نعيد إنتاج الإخراج هنا بسبب الحجم ، لكننا نشجعك على مشاهدته بنفسك:

          الوجبات الرئيسية هي أن المعاملات من كلا النموذجين covary. يجب أن يؤخذ هذا التباين في الاعتبار عند تحديد ما إذا كان المتنبئ يساهم بشكل مشترك في كلا النموذجين. على سبيل المثال ، تبدو تأثيرات العلاقات العامة و DIAP حدًا. تبدو مهمة بالنسبة إلى تدريب المدربين ولكنها أقل أهمية بالنسبة لـ AMI. ولكن لا يكفي أن نعاين النتائج من الانحدارين المنفصلين! نحن بحاجة إلى اختبار رسمي لإدراجها. وهذا الاختبار يتضمن التباينات بين المعامِلات في كلا النموذجين.

          يتطلب تحديد ما إذا كان سيتم تضمين المتنبئين في الانحدار متعدد المتغيرات استخدام إحصائيات اختبار متعددة المتغيرات. غالبًا ما يتم تدريسها في سياق MANOVA ، أو تحليل التباين متعدد المتغيرات. مرة أخرى ، يشير المصطلح & # 8220multivariate & # 8221 هنا إلى استجابات متعددة أو متغيرات تابعة. هذا يعني أننا نستخدم اختبارات فرضية معدلة لتحديد ما إذا كان المتنبئ يساهم في نموذج ما.

          أسهل طريقة للقيام بذلك هي استخدام وظائف Anova () أو Manova () في حزمة السيارة (Fox and Weisberg ، 2011) ، مثل:

          النتائج بعنوان & # 8220Type II MANOVA Tests & # 8221. تكتشف وظيفة Anova () تلقائيًا أن mlm1 هو كائن انحدار متعدد المتغيرات. & # 8220Type II & # 8221 يشير إلى نوع مجموع المربعات. يشير هذا بشكل أساسي إلى أنه يتم اختبار المتنبئين على افتراض أن جميع المتنبئين الآخرين موجودون بالفعل في النموذج. هذا عادة ما نريده. لاحظ أن العلاقات العامة و DIAP يبدو أنهما غير مهمين بشكل مشترك للنموذجين على الرغم مما دفعنا إلى الاعتقاد بفحص كل نموذج على حدة.

          بناءً على هذه النتائج ، قد نرغب في معرفة ما إذا كان النموذج الذي يحتوي على GEN و AMT فقط مناسبًا بالإضافة إلى نموذج به جميع المتنبئين الخمسة. إحدى الطرق التي يمكننا بها القيام بذلك هي ملاءمة نموذج أصغر ثم مقارنة النموذج الأصغر بالنموذج الأكبر باستخدام وظيفة anova () ، (لاحظ القليل & # 8220a & # 8221 هذا يختلف عن وظيفة Anova () في السيارة رزمة). على سبيل المثال ، نقوم بإنشاء نموذج جديد باستخدام وظيفة update () التي تتضمن فقط GEN و AMT. التعبير & # 8220.

          . & # 8211 PR & # 8211 DIAP & # 8211 QRS & # 8221 يقول & # 8220 احتفظ بنفس الردود والمتنبئين باستثناء PR و DIAP و QRS. & # 8221

          توفر القيمة p الكبيرة دليلًا جيدًا على أن النموذج الذي يحتوي على اثنين من المتنبئين يتناسب مع النموذج الذي يحتوي على خمسة تنبؤات. لاحظ أن إحصائية الاختبار هي & # 8220Pillai & # 8221 ، وهي واحدة من أربع إحصائيات شائعة للاختبار متعدد المتغيرات.

          توفر حزمة السيارة طريقة أخرى لإجراء نفس الاختبار باستخدام الدالة linearHypothesis (). يكمن جمال هذه الوظيفة في أنها تتيح لنا إجراء الاختبار دون تركيب نموذج منفصل. تقوم أيضًا بإرجاع جميع إحصائيات الاختبار متعدد المتغيرات الأربعة. الوسيطة الأولى للدالة هي نموذجنا. الحجة الثانية هي فرضيتنا الصفرية. تسمح لنا الوظيفة الخطية () بشكل ملائم بإدخال هذه الفرضية كعبارات شخصية. القيمة الفارغة التي تم إدخالها أدناه هي أن معاملات PR و DIAP و QRS كلها 0.

          نتيجة Pillai هي نفسها التي حصلنا عليها باستخدام دالة anova () أعلاه. نتائج Wilks و Hotelling-Lawley و Roy هي إصدارات مختلفة من نفس الاختبار. الإجماع هو أن معاملات PR و DIAP و QRS لا تبدو مختلفة إحصائيًا عن 0. هناك بعض التناقض في نتائج الاختبار. يعد اختبار روي مهمًا على وجه الخصوص ، ولكن من المحتمل أن يكون ذلك بسبب صغر حجم العينة (ن = 17).

          يوجد أيضًا في الإخراج مجموعان من المربعات ومصفوفات المنتجات ، أحدهما للفرضية والآخر للخطأ. تُستخدم هذه المصفوفات لحساب إحصائيات الاختبار الأربعة. يتم تخزين هذه المصفوفات في الكائن lh.out مثل SSPH (فرضية) و SSPE (خطأ). يمكننا استخدام هذه لحساب إحصائيات الاختبار يدويًا. على سبيل المثال ، دع SSPH = H و SSPE = E. معادلة إحصاء اختبار Wilks هي

          في R يمكننا حساب ذلك على النحو التالي:

          وبالمثل فإن صيغة بيلاي هي

          tr تعني التتبع. هذا & # 8217s مجموع العناصر القطرية لمصفوفة. في R يمكننا الحساب على النحو التالي: