مقالات

6.1: مقدمة لنظم المعادلات وعدم المساواة


بحلول عام 1943 ، كان من الواضح للنظام النازي أن الهزيمة كانت وشيكة ما لم يتمكن من بناء سلاح بقوة تدميرية غير محدودة ، سلاح لم يسبق له مثيل في تاريخ العالم. في سبتمبر ، أمر أدولف هتلر العلماء الألمان بالبدء في بناء قنبلة ذرية. بدأت الشائعات والهمسات تنتشر عبر المحيط. تحدث لاجئون ودبلوماسيون عن التجارب الجارية في النرويج. ومع ذلك ، لم يتم بيع فرانكلين دي روزفلت ، بل إنه شكك في تحذير رئيس الوزراء البريطاني ونستون تشرشل. أراد روزفلت دليلاً لا يمكن إنكاره. لحسن الحظ ، سرعان ما تلقى الدليل الذي أراده عندما قامت مجموعة من علماء الرياضيات بفك شفرة "إنجما" ، مما يثبت بما لا يدع مجالاً للشك أن هتلر كان يصنع قنبلة ذرية. في اليوم التالي ، أعطى روزفلت الأمر بأن تبدأ الولايات المتحدة العمل على نفس الشيء.

ربما يكون Enigma أشهر جهاز تشفير معروف على الإطلاق. إنه يمثل مثالًا على الدور المحوري الذي لعبه التشفير في المجتمع. الآن ، نقلت التكنولوجيا تحليل الشفرات إلى العالم الرقمي.

تم تصميم العديد من الأصفار باستخدام المصفوفات العكسية كطريقة لنقل الرسائل ، حيث أن إيجاد معكوس المصفوفة هو بشكل عام جزء من عملية فك التشفير. بالإضافة إلى معرفة المصفوفة وعكسها ، يجب أن يعرف المتلقي أيضًا المفتاح الذي ، عند استخدامه مع معكوس المصفوفة ، سيسمح بقراءة الرسالة.

في هذا الفصل ، سوف نتحرى عن المصفوفات وعكساتها ، والطرق المختلفة لاستخدام المصفوفات لحل أنظمة المعادلات. أولاً ، سوف ندرس أنظمة المعادلات من تلقاء نفسها: الخطية وغير الخطية ، ثم الكسور الجزئية. لن نكسر أي رموز سرية هنا ، لكننا سنضع الأساس للدورات المستقبلية.


6.1: مقدمة لنظم المعادلات وعدم المساواة

تذكر من الوحدة الخاصة بالرسم البياني أن الرسم البياني لمتباينة خطية واحدة يقسم خطة تنسيق إلى منطقتين. على جانب واحد تكمن جميع الحلول لعدم المساواة. على الجانب الآخر ، لا توجد حلول. النظر في الرسم البياني لعدم المساواة [اللاتكس] y & lt2x + 5 [/ اللاتكس].

الخط المتقطع هو [اللاتكس] y = 2x + 5 [/ latex]. كل زوج مرتب في المنطقة المظللة أسفل الخط هو حل لـ [لاتكس] y & lt2x + 5 [/ لاتكس] ، حيث ستجعل كل النقاط الموجودة أسفل الخط عدم المساواة صحيحة. إذا كنت تشك في ذلك ، فحاول استبدال x و ذ إحداثيات النقطتين A و B في المتباينة سترى أنها تعمل. إذن ، المنطقة المظللة توضح جميع حلول هذه المتباينة.

يقسم خط الحدود المستوى الإحداثي إلى النصف. في هذه الحالة ، يظهر كخط متقطع لأن النقاط على الخط لا تحقق المتباينة. إذا كانت المتباينة هي [اللاتكس] y leq2x + 5 [/ latex] ، فإن خط الحدود سيكون صلبًا.

الآن قم برسم متباينة أخرى: [اللاتكس] y & gt − x [/ latex]. يمكنك التحقق من نقطتين لتحديد أي جانب من خط الحدود يجب تظليله. فحص النقاط M و N يعطي بيانات صحيحة. لذلك ، نقوم بتظليل المنطقة فوق الخط. الخط متقطع لأن النقاط الموجودة على الخط غير صحيحة.

لإنشاء نظام من المتباينات ، تحتاج إلى رسم بياني اثنين أو أكثر من المتباينات معًا. دعنا نستخدم [اللاتكس] y & lt2x + 5 [/ latex] و [اللاتكس] y & gt − x [/ latex] نظرًا لأننا قمنا بالفعل برسم بياني لكل منهما.

تُظهر المنطقة الأرجوانية مكان تداخل حلول المتباينتين. هذه المنطقة هي الحل لنظام عدم المساواة. أي نقطة داخل هذه المنطقة الأرجواني ستكون صحيحة لكل من [اللاتكس] y & gt − x [/ latex] و [اللاتكس] y & lt2x + 5 [/ latex].

في أمثلة الفيديو التالية ، نعرض كيفية رسم نظام من المتباينات الخطية وتحديد منطقة الحل.

في القسم التالي ، سنرى أن النقاط يمكن أن تكون حلولاً لأنظمة المعادلات والمتباينات. سوف نتحقق جبريًا مما إذا كانت النقطة هي حل لمعادلة خطية أو عدم مساواة.


رسم المعادلات الخطية

الأهداف

  1. أوجد عدة أزواج مرتبة تجعل معادلة خطية معينة صحيحة.
  2. حدد موقع هذه النقاط على نظام الإحداثيات الديكارتية.
  3. ارسم خطًا مستقيمًا من خلال تلك النقاط التي تمثل الرسم البياني لهذه المعادلة.

الرسم البياني هو تمثيل تصويري للحقائق المرقمة. هناك العديد من أنواع الرسوم البيانية ، مثل الرسوم البيانية الشريطية والرسوم البيانية الدائرية والرسومات الخطية وما إلى ذلك. يمكنك عادة العثور على أمثلة على هذه الرسوم البيانية في القسم المالي لإحدى الصحف. تُستخدم الرسوم البيانية لأن الصورة عادةً ما تجعل الحقائق العددية أكثر سهولة في الفهم.

سنناقش في هذا القسم طريقة رسم المعادلة في متغيرين. بمعنى آخر ، سنقوم برسم صورة لمعادلة في متغيرين.
ضع في اعتبارك المعادلة x + y - 7 ولاحظ أنه يمكننا بسهولة إيجاد العديد من الحلول. على سبيل المثال ، إذا كانت x = 5 ثم y - 2 ، نظرًا لأن 5 + 2 = 7. وأيضًا ، إذا كانت x = 3 ثم y = 4 ، نظرًا لأن 3 + 4 = 7. إذا قمنا بتمثيل هذه الإجابات على أنها أزواج مرتبة (x ، y) ، ثم لدينا (5،2) و (3،4) كنقطتين على المستوى يمثلان إجابات المعادلة س + ص = 7.

ستعطينا جميع الإجابات الممكنة لهذه المعادلة ، والموجودة كنقاط على المستوى ، الرسم البياني (أو الصورة) للمعادلة.

بالطبع لا يمكننا أبدًا العثور على جميع الأرقام x و y بحيث تكون x + y = 7 ، لذلك يجب أن نكتفي برسم تخطيطي للرسم البياني. يمكن وصف الرسم بأنه "منحنى الأنسب". بمعنى آخر ، من الضروري تحديد نقاط كافية لإعطاء صورة دقيقة بشكل معقول للمعادلة.

تذكر أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأزواج المرتبة التي تفي بالمعادلة.

مثال 1 ارسم الرسم البياني 2x + y = 3.

حل نرغب في إيجاد عدة أزواج من الأرقام التي تجعل هذه المعادلة صحيحة. سنحقق ذلك باختيار رقم لـ x ثم إيجاد القيمة المقابلة لـ y. يتم استخدام جدول القيم لتسجيل البيانات.

في السطر العلوي (x) سنضع الأعداد التي اخترناها لـ x. ثم في المحصلة النهائية (y) سنضع القيمة المقابلة لـ y المشتقة من المعادلة.

بالطبع ، يمكننا أيضًا البدء باختيار قيم y ثم إيجاد القيم المقابلة لـ x.

في هذا المثال ، سنسمح لـ x بأخذ القيم -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3.

هذه القيم اعتباطية. يمكننا اختيار أي قيم على الإطلاق.

لاحظ أنه بمجرد اختيار قيمة لـ x ، يتم تحديد قيمة y باستخدام المعادلة.

تعطي قيم x هذه أعدادًا صحيحة لقيم y. وبالتالي فهي اختيارات جيدة. افترض أننا اخترنا

تعطينا هذه الحقائق جدول القيم التالي:

نحدد الآن الأزواج المرتبة (-3،9) ، (-2،7) ، (-1،5) ، (0،3) ، (1،1) ، (2 ، -1) ، (3 ، - 3) على مستوى الإحداثيات وربطها بخط.

لدينا الآن التمثيل البياني 2x + y = 3.

يشير السطر إلى أن جميع النقاط الموجودة على السطر تفي بالمعادلة ، وكذلك النقاط من الجدول. تشير الأسهم إلى استمرار الخط إلى أجل غير مسمى.

ستكون الرسوم البيانية لجميع معادلات الدرجة الأولى في متغيرين عبارة عن خطوط مستقيمة. سيتم استخدام هذه الحقيقة هنا على الرغم من أنها ستتأخر كثيرًا في الرياضيات قبل أن تتمكن من إثبات هذا البيان. تسمى معادلات الدرجة الأولى هذه المعادلات الخطية.

وبالتالي ، فإن أي معادلة على شكل ax + by - c حيث a و b و c أرقام حقيقية هي معادلة خطية.

المعادلات ذات المجهولين الأعلى تعطي الرسوم البيانية التي هي منحنيات من أنواع مختلفة. سوف تدرس هذه في دورات الجبر المستقبلية.

نظرًا لأن الرسم البياني لمعادلة من الدرجة الأولى في متغيرين هو خط مستقيم ، فمن الضروري فقط وجود نقطتين. ومع ذلك ، سيكون عملك أكثر دقة باستمرار إذا وجدت ثلاث نقاط على الأقل. يمكن تحديد الأخطاء وتصحيحها عندما لا تكون النقاط الموجودة على خط. لذلك نشير إلى النقطة الثالثة على أنها "نقطة تفتيش".

هذا مهم. لا تحاول تقصير عملك من خلال إيجاد نقطتين فقط. ستندهش من عدد المرات التي ستجد فيها خطأ من خلال تحديد النقاط الثلاث.

مثال 2 ارسم التمثيل البياني 3x - 2y - 7.

حل قم أولاً بعمل جدول قيم وحدد ثلاثة أرقام للتعويض عن x. سنحاول 0 ، 1،2.

مرة أخرى ، يمكنك أيضًا أن تبدأ بقيم عشوائية لـ y.

الاجابة ليس من السهل تحديد موقعه على الرسم البياني مثل العدد الصحيح. لذا يبدو أن x = 0 لم يكن اختيارًا جيدًا للغاية. في بعض الأحيان يكون من الممكن النظر إلى الأمام واتخاذ خيارات أفضل لـ x.

نظرًا لأن كلا من x و y عدد صحيح ، فإن x = 1 كان اختيارًا جيدًا.

سيكون تحديد النقطة (1 ، -2) أسهل. إذا كانت x = 2 ، فسيكون لدينا كسر آخر.

سيكون من السهل تحديد النقطة (3،1).

كانت x = 3 خيارًا جيدًا آخر.

سنعيد ضبط جدول القيم ونستخدم النقاط التي أعطت الأعداد الصحيحة. قد لا يكون هذا ممكنًا دائمًا ، ولكن محاولة القيم التكاملية ستعطي رسمًا أكثر دقة. لدينا الآن جدول 3x - 2y = 7.

يمكننا القيام بذلك لأن اختيارات x كانت عشوائية.

تحديد النقاط (1 ، -2) ، (3 ، 1) ، (- 1 ، -5) يعطي الرسم البياني 3 س - 2 ص = 7.

كم عدد الأزواج المرتبة التي تفي بهذه المعادلة؟


النقطة (2 ، 1) ليست حلاً للنظام

بما أن (2 ، 1) هي ليس حل إحدى المتباينات ، فهو ليس حلاً للنظام.

هنا رسم بياني لهذا النظام. لاحظ أن (2 ، 1) ليست في المنطقة الأرجواني ، وهي المنطقة المتداخلة ، إنها حل لمتباينة واحدة (المنطقة الحمراء) ، لكنها ليست حلاً للمتباينة الثانية (المنطقة الزرقاء).

أي من النقاط المدرجة أدناه هي حلول للنظام؟

غير صحيح. (−5 ، 9) هو حل لهذا النظام ، لكن (1 ، 1) ليس كذلك ، لأنه ليس حلاً للمتباينة الأولى. الإجابة الصحيحة هي B ، (5 ، 9) و (0 ، 7) حلول للنظام.

صيح. النقطتان (−5، 9) و (0، 7) كلاهما حلان لكلا التفاوتات في النظام.

غير صحيح. (1، 1) هو حل صالح للمتباينة x - 2 & lt 0 ، لكنه ليس حلاً ل ذ & GT x وبالتالي فهو ليس حلاً للنظام. الإجابة الصحيحة هي B ، (5 ، 9) و (0 ، 7) حلول للنظام.

غير صحيح. (−5، 9) هو حل صالح للنظام ولكنه كذلك (0، 7). الإجابة الصحيحة هي B ، (5 ، 9) و (0 ، 7) حلول للنظام.

حل أنظمة المتباينات عن طريق الرسوم البيانية

كما هو موضح أعلاه ، يمكن إيجاد حلول لنظام من عدم المساواة من خلال رسم بياني لكل متباينة وتحديد المنطقة التي يتشاركونها.

ابحث عن الحل للنظام x + ذ ≥ 1 و ذx ≥ 5.

ارسم متباينة واحدة. قم أولاً برسم خط الحدود باستخدام جدول القيم أو نقاط التقاطع أو أي طريقة أخرى تفضلها. خط الحدود لـ x + ذ ≥ 1 هو x + ذ = 1 أو ذ = − x + 1. بما أن علامة المساواة مضمنة مع علامة أكبر من ، فإن خط الحدود متصل.

ابحث عن زوج مرتب على جانبي خط الحدود. أدخل ال x- و ذ- القيم في عدم المساواة x + ذ ≥ 1 ومعرفة أي زوج مرتب ينتج بيانًا صحيحًا.

نظرًا لأن (4 ، 1) ينتج عنه بيان صحيح ، يجب أن تكون المنطقة التي تتضمن (4 ، 1) مظللة.

افعل الشيء نفسه مع المتباينة الثانية. ارسم خط الحدود ، ثم اختبر النقاط لمعرفة المنطقة التي تمثل حل المتباينة. في هذه الحالة ، خط الحدود هو ذx = 5 (أو ذ = x + 5) وهو صلب. نقطة الاختبار (- 3 ، 0) ليست حلاً لـ ذx ≥ 5 ، ونقطة الاختبار (0 ، 6) هي حل.

توضح المنطقة الأرجوانية في هذا الرسم البياني مجموعة كل حلول النظام.

أوجد الحل للنظام 3x + 2ذ & اللفتنانت 12 و 1 ≤ ذ ≤ 5.

ارسم متباينة واحدة. قم أولاً برسم خط الحدود ، ثم اختبر النقاط.

تذكر ، لأن المتباينة 3x + 2ذ & lt 12 لا يتضمن علامة المساواة ، ارسم خط حد متقطع.

اختبار نقطة (مثل (0 ، 0) سيظهر أن المنطقة الواقعة تحت الخط هي الحل لهذه المتباينة.

المتباينة - 1 ≤ ذ ≤ 5 عبارة عن متباينتين: - 1 ≤ ذ، و ذ ≤ 5. طريقة أخرى للتفكير في هذا هي ذ يجب أن تكون بين - 1 و 5. خطوط الحدود لكليهما أفقية. المنطقة الواقعة بين هذين الخطين تحتوي على حلول - 1 ≤ ذ ≤ 5. نجعل الخطوط صلبة لأننا نريد أيضًا تضمينها ذ = - 1 و ذ = 5.

ارسم هذه المنطقة على نفس المحاور مثل المتباينة الأخرى.

توضح المنطقة الأرجوانية في هذا الرسم البياني مجموعة كل حلول النظام.

في أي مما يلي تعتبر المنطقة الأرجواني الحل للنظام؟


مشاكل الكلمات

ورقة عمل مشاكل الكلمات 1 & # 8211 ستساعدك ورقة العمل هذه المكونة من 6 مسائل في الجبر على التدرب على إنشاء أنظمة المعادلات وحلها لتمثيل مواقف من الحياة الواقعية. ستستخدم & # 8220إزالة& # 8221 لإزالة المتغيرات من النموذج القياسي المعادلات.
ورقة عمل مشاكل الكلمات 1 RTF
ورقة عمل مشاكل الكلمات 1 PDF
عرض الإجابات

ورقة عمل مشاكل الكلمات 2 & # 8211 ستساعدك ورقة العمل هذه المكونة من 6 مسائل في الجبر على التدرب على إنشاء أنظمة المعادلات وحلها لتمثيل مواقف من الحياة الواقعية. ستستخدم & # 8220إزالة& # 8221 لإزالة المتغيرات من النموذج القياسي المعادلات.
ورقة عمل مشاكل الكلمات 2 RTF
ورقة عمل مشاكل الكلمات 2 PDF
عرض الإجابات

ورقة عمل مشاكل الكلمات 3 & # 8211 ستساعدك ورقة العمل هذه المكونة من 6 مسائل في الجبر على التدرب على إنشاء أنظمة المعادلات وحلها لتمثيل مواقف من الحياة الواقعية. تتضمن معظم المشكلات المال ، لذا تأكد من استعدادك & # 8217re لبعض الكسور العشرية.
ورقة عمل مشاكل الكلمات 3 RTF
ورقة عمل مشاكل الكلمات 3 PDF
عرض الإجابات

ورقة عمل مشاكل الكلمات 4 & # 8211 ستساعدك ورقة العمل هذه المكونة من 6 مسائل في الجبر على التدرب على إنشاء أنظمة المعادلات وحلها لتمثيل مواقف من الحياة الواقعية. معظم المشاكل تنطوي على المال ، ويتم تقديم القليل من المشتتات.
ورقة عمل مشاكل الكلمات 4 RTF
ورقة عمل مشاكل الكلمات 4 PDF
عرض الإجابات

ورقة عمل مشاكل الكلمات 5 & # 8211 تحتوي ورقة عمل الجبر المكونة من 8 مشكلات على المزيد من مشكلات الكلمات المجردة مثل & # 8220مجموع x و y هو 42. الفرق بين x و y هو 13. أوجد x و y. & # 8221 هناك عدد قليل من الأعداد الصحيحة السالبة ، لذا كن حذرًا!
ورقة عمل مشاكل الكلمات 5 RTF
ورقة عمل مشاكل الكلمات 5 PDF
عرض الإجابات

ورقة عمل مشاكل الكلمات 6 & # 8211 تحتوي ورقة عمل الجبر المكونة من 8 مشكلات على المزيد من مشكلات الكلمات المجردة مثل & # 8220مجموع ضعف العدد x ومرتين الرقم الآخر y يساوي 118. قيمة y هي أقل من ضعف قيمة x بمقدار واحد. أوجد x و y.& # 8221 واحدة من المشاكل لديها حتى عدد لا حصر له من الحلول!
ورقة عمل مشاكل الكلمات 6 RTF
ورقة عمل مشاكل الكلمات 6 PDF
عرض الإجابات

هذه مجانية أنظمة المعادلات أوراق عمل سيساعدك على التدرب على حل أنظمة المعادلات الواقعية باستخدام & # 8220إزالة& # 8221 الطريقة. ستحتاج إلى إنشاء وحل نظام معادلات لتمثيل كل موقف. يمكن أيضًا حل التمارين باستخدام طرق جبرية أخرى إذا اخترت ذلك.

هذه سلسلة تقدمية تبدأ بشكل بسيط بالمشكلات التي تتضمن شراء تذاكر السينما وجمع التبرعات لجمع التبرعات. في النهاية أرقام سالبة, الكسور العشرية، ال خاصية التوزيع و & # 8220عكس x& # 8221 تدخل حيز اللعب.

ستساعد كل ورقة عمل الطلاب على إتقان المهارات الأساسية المشتركة في خيط الجبر. إنها رائعة للطلاب الطموحين في فصول ما قبل الجبر أو الجبر.

هذه مجانية elmination أوراق العمل قابلة للطباعة ومتوفرة بتنسيقات متنوعة. تتضمن كل ورقة مثالاً لمساعدتك على البدء. بالطبع ، يتم توفير مفاتيح الإجابة أيضًا.


الخوارزميات

عندما تستخدم IgnoreAnalyticConstraints ، فإن المحلل يطبق هذه القواعد على التعبيرات الموجودة على جانبي المعادلة.

سجل(أ) + تسجيل (ب) = تسجيل الدخول (أ·ب) لجميع قيم أ و ب. على وجه الخصوص ، المساواة التالية صالحة لجميع قيم أ, ب، و ج:

سجل(أ ب ) = ب·سجل(أ) لجميع قيم أ و ب. على وجه الخصوص ، المساواة التالية صالحة لجميع قيم أ, ب، و ج:

إذا F و ز هي وظائف رياضية قياسية و F(ز(x)) = x لجميع الأرقام الموجبة الصغيرة ، F(ز(x)) = x من المفترض أن تكون صالحة لجميع القيم المعقدة x. خاصه:

يمكن للحل أن يضرب طرفي المعادلة بأي تعبير باستثناء 0.


كتابة المعادلات الخطية باستخدام صيغة الميل والمقطع

حيث m هو ميل الخط المستقيم و b هو الجزء المقطوع من المحور y. يمكنك استخدام هذه المعادلة لكتابة معادلة إذا كنت تعرف الميل والجزء المقطوع من المحور y.

أوجد معادلة الخط المستقيم

اختر نقطتين على الخط

احسب الميل بين النقطتين

يمكننا إيجاد قيمة b ، الجزء المقطوع من المحور y ، بالنظر إلى التمثيل البياني

لدينا قيمة لـ m وقيمة b. هذا يعطينا الدالة الخطية

في كثير من الحالات لا يمكن قراءة قيمة b بسهولة. في هذه الحالات ، أو إذا لم تكن متأكدًا مما إذا كان الخط يتقاطع بالفعل مع المحور y في هذه النقطة بالذات ، يمكنك حساب b عن طريق حل معادلة b ثم استبدال x و y بإحدى النقطتين.

يمكننا استخدام المثال أعلاه لتوضيح ذلك. لدينا النقطتان (-3 ، 3) و (3 ، -1). من هاتين النقطتين ، حسبنا الميل

هذا يعطينا المعادلة

من هذا يمكننا حل معادلة ب

وإذا وضعنا القيم من النقطة الأولى (-3 ، 3) نحصل عليها

$ b = 3 + frac <2> <3> cdot left (-3 right) = 3 + left (-2 right) = 1 $

إذا وضعنا هذه القيمة لـ b في المعادلة نحصل عليها

وهي نفس المعادلة التي حصلنا عليها عندما قرأنا الجزء المقطوع من المحور y من الرسم البياني.

لتلخيص كيفية كتابة معادلة خطية باستخدام صيغة تقاطع الميل

  1. تحديد المنحدر م. يمكن القيام بذلك عن طريق حساب الميل بين نقطتين معروفتين على الخط باستخدام صيغة الميل.
  2. أوجد تقاطع y. يمكن القيام بذلك عن طريق استبدال ميل وإحداثيات نقطة (س ، ص) على الخط في صيغة تقاطع الميل ثم إيجاد ب.

بمجرد حصولك على كل من m و b ، يمكنك فقط وضعها في المعادلة في موقع كل منهما.


ارسم نظام المعادلات وأوجد الحل.

حل

الآن سنلقي نظرة على مثال لا يوجد فيه حل لنظام المعادلات. قم بتدوين شكل الرسم البياني ولماذا قد لا يكون هناك حل.


انقر أو اضغط على مشكلة لرؤية الحل.

مثال 1

مثال 2

مثال 3

مثال 4

مثال 5

مثال 6

مثال 7

المثال 8

المثال 9

المثال 10

المثال 11

المثال 12

مثال 1.

ضع في اعتبارك الوظيفة (f left (x right) = sqrt <1 + x> & # 8211 < large frac <2> normalsize> & # 8211 1 ) وابحث عن مشتقها:

نأخذ في الاعتبار أن (f left (0 right) = 1 & # 8211 0 & # 8211 1 = 0 ). لذلك ، (f left (x right) le 0 ) لـ (x & gt 0 ). ثم

مثال 2.

ضع في اعتبارك الوظيفة (f left (x right) = < large frac << ln x >> normalsize> ) وحساب مشتقها:

كما يمكن رؤيته ، فإن المشتق سلبي بشرط (x gt e. ) ثم بالنسبة لـ (x gt e ، ) فإن الوظيفة (f (x) ) تتناقص ، وبالتالي العلاقة ( large frac << ln 100 >> <<100>> gt frac << ln 101 >> <<101>> ) صحيح. ويترتب على ذلك من هنا

مثال 3.

نقطة واحدة فقط (x = 1 ) تفي بالشرط (x & gt 0. ) بما أن تغيير المشتق يوقع من سالب إلى زائد عند المرور عبر هذه النقطة (من اليسار إلى اليمين) ، فإن النقطة (x = 1 ) هو الحد الأدنى.

قيمة الوظيفة في هذه المرحلة تساوي (f left (1 right) = 1 + <1> normalsize> = 2 ). بالتالي،

مثال 4.

نقدم الوظيفة (f left (x right) = & # 8211 2 ln x & # 8211 1 ). ابحث عن النقاط الحرجة:

من بين النقاط الحرجة الثلاث (س = -1 ) ، (س = 0 ) ، (س = 1 ، ) فقط النقطة الأخيرة (س = 1 ) تفي بالشرط (س جي تي 0) . ) المشتق سالب على يسار هذه النقطة وموجب على اليمين. ومن ثم ، فإن الوظيفة لها حد أدنى متساوٍ في هذه المرحلة

[f left (1 right) = 1 & # 8211 2 ln 1 & # 8211 1 = 0. ]

وبالتالي ، (f (x) ge 0 ) لـ (x & gt 0 ) (وهي صفر عند (x = 1 )). في هذه الحالة


تمارين 12.6

مثال 12.6.1 حول النقاط التالية في إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات أسطوانية وكروية:

المثال 12.6.2 أوجد معادلة للكرة $ ds x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $ في الإحداثيات الأسطوانية. (إجابه)

مثال 12.6.3 أوجد معادلة لمستوى $ y $ - $ z $ بإحداثيات أسطوانية. (إجابه)

مثال 12.6.4 أوجد معادلة تعادل $ ds x ^ 2 + y ^ 2 + 2z ^ 2 + 2z-5 = 0 $ في الإحداثيات الأسطوانية. (إجابه)

مثال 12.6.5 افترض أن المنحنى $ ds ds z = e ^ <- x ^ 2> $ في المستوى $ x $ - $ z $ تم تدويره حول محور $ z $. أوجد معادلة للسطح الناتج في إحداثيات أسطوانية. (إجابه)

مثال 12.6.6 لنفترض أن المنحنى $ ds z = x $ في المستوى $ x $ - $ z $ تم تدويره حول المحور $ z $. أوجد معادلة للسطح الناتج في إحداثيات أسطوانية. (إجابه)

مثال 12.6.7 أوجد معادلة المستوى $ y = 0 $ في الإحداثيات الكروية. (إجابه)

مثال 12.6.8 أوجد معادلة المستوى $ z = 1 $ بالإحداثيات الكروية. (إجابه)

المثال 12.6.9 ابحث عن معادلة للكرة ذات نصف القطر 1 والمركز عند $ (0،1،0) $ في إحداثيات كروية. (إجابه)

مثال 12.6.10 أوجد معادلة للأسطوانة $ ds x ^ 2 + y ^ 2 = 9 $ في الإحداثيات الكروية. (إجابه)

مثال 12.6.11 لنفترض أن المنحنى $ ds z = x $ في المستوى $ x $ - $ z $ تم تدويره حول المحور $ z $. أوجد معادلة للسطح الناتج في إحداثيات كروية. (إجابه)

المثال 12.6.12 ارسم المعادلات القطبية $ r = sin ( theta) $ and $ r = cos ( theta) $ وقم بالتعليق على أوجه التشابه بينهما. (إذا تعثرت في كيفية رسمها ، فيمكنك ضرب كلا طرفي كل معادلة في $ r $ والتحويل مرة أخرى إلى إحداثيات مستطيلة).

مثال 12.6.13 قم بتمديد التمرينين 6 و 11 عن طريق تدوير المنحنى $ z = mx $ حول المحور $ z $ والتحويل إلى إحداثيات أسطوانية وكروية. (إجابه)

المثال 12.6.14 قم بتحويل الصيغة الكروية $ rho = sin theta sin phi $ إلى إحداثيات مستطيلة ووصف السطح المحدد بواسطة الصيغة (تلميح: اضرب كلا الجانبين في $ rho $.) (إجابة)

مثال 12.6.15 يمكننا وصف النقاط في الثماني الأول بمقدار $ x> 0 $ و $ y> 0 $ و $ z> 0 $. أعط متباينات متشابهة لأول رقم ثماني في الإحداثيات الأسطوانية والكروية. (إجابه)


شاهد الفيديو: جبر المصفوفات - عدد حلول النظام الخطي المتجانس (شهر اكتوبر 2021).