مقالات

3.6: حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. اكتب كمتباينة: x 30 على الأقل.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.7.34.
  2. حل (8−3y <41 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.7.22.

حل التطبيقات ذات المتباينات الخطية

تتطلب منا العديد من مواقف الحياة الواقعية أن نحل عدم المساواة. على سبيل المثال ، كم جالونًا من الغاز يمكن وضعه في السيارة مقابل 20 دولارًا؟ هل إيجار الشقة ميسور التكلفة؟ هل هناك وقت كاف قبل الحصة للذهاب لتناول الغداء وتناوله والعودة؟ ما المبلغ الذي يجب أن تتكلفه هدية العيد لكل فرد من أفراد الأسرة دون تجاوز الميزانية؟

الطريقة التي سنستخدمها لحل التطبيقات ذات المتباينات الخطية تشبه إلى حد كبير الطريقة التي استخدمناها عندما حللنا التطبيقات بالمعادلات. سنقرأ المشكلة ونتأكد من فهم كل الكلمات. بعد ذلك ، سوف نحدد ما نبحث عنه ونخصص متغيرًا لتمثيله. سنعيد صياغة المشكلة في جملة واحدة لنجعل من السهل ترجمتها إلى متباينة. ثم نحل المتباينة.

تمرين ( PageIndex {1} )

حصلت إيما على وظيفة جديدة وسيتعين عليها الانتقال. سيكون دخلها الشهري 5265 دولارًا. للتأهل لاستئجار شقة ، يجب أن يكون الدخل الشهري لـ Emma على الأقل ثلاثة أضعاف الإيجار. ما هو أعلى إيجار ستتأهل له إيما؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة 1. اقرأ} text {the problem.}} & {} { textbf {الخطوة الثانية. حدد} text {ما نبحث عنه. }} & { text {أعلى إيجار تتأهل إيما لـ}} { textbf {الخطوة 3. الاسم} النص {ما نبحث عنه.}} & {} {} & { text { دع r = rent}} { text {اختر متغيرًا لتمثيل هذه الكمية.}} & {} { textbf {الخطوة 4. ترجم} text {إلى متباينة.}} & {} {} & { text {يجب أن يكون الدخل الشهري لـ Emma على الأقل}} { text {اكتب أولاً جملة تعطي المعلومات}} & { text {ثلاثة أضعاف الإيجار.}} { text { للعثور عليه.}} & {} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {5265 geq 3r} { text {Remember،} a> x النص {له نفس المعنى}} & {1755 geq r} { text {as} x

تمرين ( PageIndex {2} )

يقوم آلان بتحميل منصة نقالة بصناديق تزن كل منها 45 رطلاً. يمكن أن تحمل البليت بأمان ما لا يزيد عن 900 رطل. كم عدد الصناديق التي يمكنه تحميلها بأمان على البليت؟

إجابه

لا يمكن أن يكون هناك أكثر من 20 صندوقًا.

تمرين ( PageIndex {3} )

يوجد في المصعد في مبنى شقق يهير لافتة تشير إلى أن الحد الأقصى للوزن هو 2100 رطل. إذا كان متوسط ​​وزن شخص واحد 150 رطلاً ، فكم عدد الأشخاص الذين يمكنهم ركوب المصعد بأمان؟

إجابه

يمكن لـ 14 شخصًا كحد أقصى الركوب بأمان في المصعد.

يتطلب التطبيق أحيانًا أن يكون الحل عددًا صحيحًا ، لكن الحل الجبري للمتباينة ليس عددًا صحيحًا. في هذه الحالة ، يجب تقريب الحل الجبري إلى عدد صحيح. سيحدد سياق التطبيق ما إذا كنا نقرب لأعلى أو لأسفل. للتحقق من تطبيقات مثل هذه ، سنقرب إجابتنا إلى رقم يسهل حسابه ونتأكد من أن هذا الرقم يجعل المتباينة صحيحة.

تمرين ( PageIndex {4} )

فازت Dawn بمنحة صغيرة قدرها 4000 دولار لشراء أجهزة كمبيوتر لوحي لفصلها الدراسي. تبلغ تكلفة الأجهزة اللوحية التي ترغب في شرائها 254.12 دولارًا لكل منها ، بما في ذلك الضرائب والتسليم. ما هو الحد الأقصى لعدد الأجهزة اللوحية التي يمكن أن تشتريها Dawn؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة 1. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {الحد الأقصى لعدد الأجهزة اللوحية يمكن لـ Dawn buy}} { textbf {الخطوة 3. الاسم} text {ما نبحث عنه.}} & {} {} & { text {Let n = عدد الأجهزة اللوحية.}} { text {اختر متغيرًا لتمثيله تلك الكمية.}} & {} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {كتابة جملة}} & {} { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & {254.12 دولار text {مرات عدد الأجهزة اللوحية لا}} {} & { text {أكثر من $ 4000.}} { text {ترجم إلى عدم المساواة.}} & {254.12n leq 4000} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {n leq 15.74} { text {لكن n يجب أن يكون عددًا صحيحًا من الأجهزة اللوحية ،}} & {} { أرسل {so round to 15.}} & {n leq 15} { textbf {الخطوة 6. تحقق} text {the answer in the problem}} & {} { text {and make تأكد من أنه منطقي.}} & {} { text {تقريب السعر إلى $ 250،}} & {} { text {15 tablet $ 3750، while}} & {} { text {16 tablet سيكون $ 4000. لذا a}} & {} { text {بحد أقصى 15 جهازًا لوحيًا في $ 254.12}} & {} { text {يبدو معقولًا.}} & {} { textbf {الخطوة 7. الإجابة} text {the answer in the problem} } & { text {the question with a}} { text {complete wholesale.}} & { text {Dawn can buy بحد أقصى 15 جهازًا لوحيًا.}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {5} )

إنجي لديها 20 دولارًا لتنفقها على علب العصير في نزهة ابنها في مرحلة ما قبل المدرسة. كل علبة من علب العصير تكلف 2.63 دولار. ما هو الحد الأقصى لعدد الحزم التي يمكن أن تشتريها؟

إجابه

سبع علب

تمرين ( PageIndex {6} )

يريد دانيال مفاجأة صديقته بحفلة عيد ميلاد في مطعمها المفضل. سيكلف 42.75 دولارًا للشخص الواحد لتناول العشاء ، بما في ذلك الإكرامية والضرائب. ميزانيته للحزب 500 دولار. ما هو الحد الأقصى لعدد الأشخاص الذين يمكن أن يستضيفهم دانيال في الحفلة؟

إجابه

11 شخصا

تمرين ( PageIndex {7} )

بيت يعمل في متجر كمبيوتر. سيكون أجره الأسبوعي إما مبلغًا ثابتًا ، 925 دولارًا ، أو 500 دولارًا بالإضافة إلى 12٪ من إجمالي مبيعاته. كم يجب أن يكون إجمالي مبيعاته لخيار الدفع المتغير الخاص به لتتجاوز المبلغ الثابت البالغ 925 دولارًا؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة الأولى. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {إجمالي المبيعات المطلوبة لدفعه المتغير}} {} & { text {خيار يتجاوز المبلغ الثابت $ 925}} { textbf {الخطوة 3. الاسم} النص {ما نبحث عنه.}} & {} {} & { text {دعنا s = إجمالي المبيعات.}} { text {اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.}} & {} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {اكتب جملة}} & { } { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & {$ 500 text {بالإضافة إلى 12٪ من إجمالي المبيعات أكثر من $ 925.}} { text {ترجم إلى عدم مساواة. تذكر أن} } & {500 + 0.12s> 925} { text {تحويل النسبة المئوية إلى رقم عشري.}} & {} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {0.12s> 425} {} & {s> 3541. overline {66}} { textbf {الخطوة 6. تحقق من} text {the answer in the problem}} & {} { text {وتأكد من أنه منطقي.}} & {} { text {تقريب السعر إلى $ 250،}} & {} { text {15 الأجهزة اللوحية سيكلف 3750 دولارًا ، while}} & {} { text {إذا قمنا بالتقريب e إجمالي المبيعات حتى}} & {} { text { 4000 دولار ، نرى ذلك}} & {} { text {500 + 0.12 (4000) = 980 ، وهو أكثر}} & {} { text {than $ 925.}} & {} { textbf {الخطوة 7. الإجابة} text {السؤال بجملة كاملة.}} & { text {يجب أن يكون إجمالي المبيعات أكثر من $ 3541.67}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {8} )

تخرجت تيفاني للتو من الكلية وستدفع لها وظيفتها الجديدة 20000 دولار سنويًا بالإضافة إلى 2٪ من إجمالي المبيعات. إنها تريد أن تكسب ما لا يقل عن 100000 دولار في السنة. ما إجمالي المبيعات التي ستتمكن من تحقيق هدفها؟

إجابه

ما لا يقل عن 4000000 دولار

تمرين ( PageIndex {9} )

عُرض على كريستيان وظيفة جديدة تدفع 24000 دولار سنويًا بالإضافة إلى 3٪ من المبيعات. ما إجمالي المبيعات التي ستدفعها هذه الوظيفة الجديدة أكثر من وظيفته الحالية التي تدفع 60000 دولار؟

إجابه

1200000 دولار على الأقل

تمرين ( PageIndex {10} )

لدى سيرجيو وليزيث ميزانية إجازة ضيقة للغاية. يخططون لاستئجار سيارة من شركة تتقاضى 75 دولارًا في الأسبوع بالإضافة إلى 0.25 دولار للميل. كم عدد الأميال التي يمكنهم السفر إليها وما زالوا يحتفظون بها في حدود ميزانيتهم ​​البالغة 200 دولار؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة الأولى. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {عدد الأميال التي يمكن أن يسافر بها سيرجيو وليزيث}} { textbf {الخطوة 3. الاسم} text {ما نبحث عنه.}} & {} {} & { text {Let m = عدد الأميال.}} { text {اختر متغيرًا لـ تمثل هذه الكمية.}} & {} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {اكتب جملة that}} & { text { $ 75 بالإضافة إلى 0.25 ضعف عدد الأميال}} { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & { text {أقل من أو يساوي $ 200.}} { text {ترجم إلى متباينة.}} & {75 + 25m leq 200} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {0.25m leq 125} {} & {m leq 500 text {miles}} { textbf {الخطوة 6. تحقق من} text {الإجابة في المشكلة}} & {} { text {وتأكد من أنه منطقي.}} & {} { text {نعم ، 75 + 0.25 (500) = 200.}} & {} { textbf {الخطوة 7. الإجابة} text {السؤال بجملة كاملة.}} & { text {يمكن لسيرجيو وليزيث السفر 500 ميل}} {} & { text {ولا تزال قائمة على الميزانية.}} نهاية {مجموعة} )

تمرين ( PageIndex {11} )

تكلف خطة هاتف طليشا 28.80 دولارًا شهريًا بالإضافة إلى 0.20 دولارًا لكل رسالة نصية. كم عدد الرسائل النصية التي يمكنها استخدامها والاحتفاظ بفاتورة هاتفها الشهرية لا تزيد عن 50 دولارًا؟

إجابه

ما لا يزيد عن 106 رسائل نصية

تمرين ( PageIndex {12} )

تبلغ فاتورة التدفئة الخاصة برامين 5.42 دولار شهريًا بالإضافة إلى 1.08 دولار لكل حرارة. كم حراري يمكن لرامين أن يستخدمه إذا أراد أن تكون فاتورة التدفئة بحد أقصى 87.50 دولار؟

إجابه

ما لا يزيد عن 76 درجة حرارة

الهدف المشترك لمعظم الشركات هو تحقيق ربح. ربح هو المال المتبقي عند طرح المصروفات من الأموال المكتسبة. في المثال التالي ، سنجد عدد الوظائف التي يتعين على رجل الأعمال الصغير القيام بها كل شهر من أجل تحقيق قدر معين من ربح.

تمرين ( PageIndex {13} )

إليوت لديها أعمال صيانة المناظر الطبيعية. نفقاته الشهرية هي 1100 دولار. إذا كان يتقاضى 60 دولارًا لكل وظيفة ، فكم عدد الوظائف التي يجب أن يقوم بها لكسب ربح لا يقل عن 4000 دولار شهريًا؟

إجابه

( start {array} {ll} { textbf {الخطوة الأولى. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {عدد الوظائف التي يحتاجها إليوت}} { textbf {الخطوة 3. Name} text {ما نبحث عنه.}} & {} { text {اختر متغيرًا لتمثيله}} & { text {Let j = عدد الوظائف.}} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {اكتب جملة that}} & { text { $ 60 ضعف عدد الوظائف ناقص $ 1،100 على الأقل $ 4،000.}} { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & { text {أقل من أو يساوي $ 200.}} { text {ترجم إلى متباينة.}} & {60j - 1100 geq 4000} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {60j geq 5100} {} & {j geq 85 text {jobs}} { textbf {الخطوة 6. تحقق} text {the answer in the problem}} & {} { text {وتأكد من أنها منطقية.}} & {} { text {إذا كان إليوت قد أدى 90 وظيفة ، فسيكون ربحه}} & {} { text {60 (90) −1100 ، أو 4،300 دولار. هذا هو}} & {} { text {more than $ 4،000.}} & {} { textbf {الخطوة 7 . الإجابة} text {السؤال بجملة كاملة.}} & { text {يجب أن يعمل إليوت 85 مهمة على الأقل.}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {14} )

كاليب لديه عمل رعاية الحيوانات الأليفة. يتقاضى 32 دولارًا في الساعة. مصاريفه الشهرية 2272 دولار. كم عدد الساعات التي يجب أن يعمل بها حتى يربح 800 دولار على الأقل شهريًا؟

إجابه

96 ساعة على الأقل

تمرين ( PageIndex {15} )

تعمل فيليسيتي في فن الخط. تتقاضى 2.50 دولارًا لكل دعوة زفاف. مصاريفها الشهرية 650 دولار. كم عدد الدعوات التي يجب أن تكتبها لكسب ربح لا يقل عن 2800 دولار شهريًا؟

إجابه

1380 دعوة على الأقل

في بعض الأحيان تصبح الحياة معقدة! هناك العديد من المواقف التي تساهم فيها كميات متعددة في إجمالي المصروفات. يجب أن نتأكد من حساب جميع النفقات الفردية عندما نحل مشاكل مثل هذه.

تمرين ( PageIndex {16} )

أفضل صديق لبريندا هو إقامة حفل زفاف في وجهة وسيستمر الحدث لمدة 3 أيام. تمتلك بريندا 500 دولار في المدخرات ويمكنها أن تكسب 15 دولارًا في الساعة مجالسة الأطفال. وتتوقع أن تدفع 350 دولارًا للسفر جواً ، و 375 دولارًا للطعام والترفيه ، و 60 دولارًا في الليلة لنصيبها في غرفة الفندق. كم عدد الساعات التي يجب عليها مجالسة الأطفال للحصول على ما يكفي من المال لدفع تكاليف الرحلة؟

إجابه

( begin {array} {ll} { textbf {الخطوة الأولى. حدد} text {ما نبحث عنه.}} & { text {عدد الساعات التي يجب على بريندا أن تحضنها} { textbf { الخطوة الثالثة. الاسم} text {ما نبحث عنه.}} & {} { text {اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.}} & { text {Let h = عدد الساعات.}} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.} text {كتابة جملة}} & {} { text {يعطي المعلومات للعثور عليه.}} & {} {} & { text {يجب أن تكون النفقات أقل من أو تساوي}} {} & { text {الدخل. تكلفة السفر بالطائرة بالإضافة إلى} {} & { text {تكلفة الطعام والترفيه و the}} {} & { text {يجب أن تكون فاتورة الفندق أقل من أو تساوي المدخرات}} {} & { text {بالإضافة إلى المبلغ المكتسب مجالسة الأطفال.}} { text {الترجمة إلى عدم المساواة. }} & { $ 350 + $ 375 + $ 60 (3) leq $ 500 + $ 15h} { textbf {الخطوة 5. حل} text {عدم المساواة.}} & {905 leq 500 + 15 ساعة} {} & {405 leq 15h} {} & {27 leq h} {} & {h geq 27} { textbf {الخطوة 6. تحقق} text {the answer in the problem}} & {} { tex t {وتأكد من أنه منطقي.}} & {} { text {استبدلنا 27 في عدم المساواة.}} & {} {905 leq 500 + 15h} & {} {905 leq 500 + 15 (27)} & {} {905 leq 905} & {} { textbf {الخطوة 7. الإجابة} text {السؤال بجملة كاملة.}} & { text {يجب على بريندا أن ترعى 27 ساعة على الأقل.}} end {array} )

تمرين ( PageIndex {17} )

يخطط مالك لرحلة إجازة الصيف لمدة 6 أيام. لديه مدخرات تبلغ 840 دولارًا ، ويكسب 45 دولارًا في الساعة للدروس الخصوصية. ستكلفه الرحلة 525 دولارًا للسفر جواً ، و 780 دولارًا للطعام ومشاهدة المعالم السياحية ، و 95 دولارًا في الليلة للفندق. كم عدد الساعات التي يجب أن يقوم بتدريسها للحصول على ما يكفي من المال لدفع تكاليف الرحلة؟

إجابه

23 ساعة على الأقل

تمرين ( PageIndex {18} )

يريد Josue الذهاب في رحلة برية لمدة 10 أيام في الربيع المقبل. سيكلفه 180 دولارًا للغاز و 450 دولارًا للطعام و 49 دولارًا في الليلة للفندق. لديه مدخرات تبلغ 520 دولارًا ويمكنه كسب 30 دولارًا لكل ممر تجريف الثلج. كم عدد الممرات التي يجب أن يجرفها ليحصل على نقود كافية لدفع تكاليف الرحلة؟

إجابه

20 ممرًا على الأقل

المفاهيم الرئيسية

  • حل عدم المساواة
    1. يقرأ المشكلة.
    2. تحديد ما نبحث عنه.
    3. اسم ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
    4. يترجم. اكتب جملة تعطي المعلومات لإيجادها. ترجم إلى عدم المساواة.
    5. يحل عدم المساواة.
    6. الشيك الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    7. إجابه السؤال بجملة كاملة.


شاهد الفيديو: Gr 10 Wiskunde: Lineêre Ongelykhede (شهر اكتوبر 2021).