مقالات

14.3: تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية


لقد استخدمنا التكاملات المتكررة لتقييم التكاملات المزدوجة ، والتي تعطي الحجم الموقّع تحت السطح ، (z = f (x ، y) ) ، فوق منطقة (R ) من (xy ) - المستوى. المُتكامل هو ببساطة (f (x، y) ) ، ويتم تحديد حدود التكاملات بواسطة المنطقة (R ).

من السهل وصف بعض المناطق (R ) باستخدام إحداثيات مستطيلة - أي مع المعادلات على شكل (y = f (x) ) ، (x = a ) ، وما إلى ذلك ، ومع ذلك ، فإن بعض المناطق هي أسهل في التعامل معها إذا قمنا بتمثيل حدودها باستخدام المعادلات القطبية بالصيغة (r = f ( theta) ) ، ( theta = alpha ) ، إلخ.

الشكل الأساسي للتكامل المزدوج هو ( displaystyle iint_R f (x، y) dA ). نفسر هذا التكامل على النحو التالي: على المنطقة (R ) ، لخص الكثير من منتجات الارتفاعات (معطاة من خلال (f (x_i ، y_i) )) والمساحات (المعطاة بواسطة ( Delta A_i )) . وهذا يعني أن (dA ) يمثل "مساحة صغيرة". في الإحداثيات المستطيلة ، يمكننا وصف مستطيل صغير بأنه يحتوي على منطقة (dx dy ) أو (dy ، dx ) - مساحة المستطيل هي ببساطة الطول ( مرات ) العرض - تغيير طفيف في (س ) مرات تغيير طفيف في (ص ). وهكذا نستبدل (دأ ) في التكامل المزدوج بـ (dx ، dy ) أو (dy ، dx ).

الشكل ( PageIndex {1} label {double_pol_intro} )

فكر الآن في تمثيل منطقة بإحداثيات قطبية. ضع في اعتبارك الشكل ( PageIndex {1} ) (أ). لنفترض أن (R ) هي المنطقة في الربع الأول الذي يحده المنحنى. يمكننا تقريب هذه المنطقة باستخدام الشكل الطبيعي للإحداثيات القطبية: أجزاء من قطاعات الدوائر. في الشكل ، إحدى هذه المناطق مظللة ، كما هو موضح مرة أخرى في الجزء (ب) من الشكل.

نظرًا لأن مساحة قطاع دائرة نصف قطرها (r ) ، يقابلها زاوية ( theta ) ، هي (A = frac12r ^ 2 theta ) ، يمكننا إيجاد مساحة المظللة منطقة. يحتوي القطاع بأكمله على مساحة ( frac12r_2 ^ 2 Delta theta ) ، بينما يحتوي القطاع الأصغر غير المظلل على مساحة ( frac12r_1 ^ 2 Delta theta ). مساحة المنطقة المظللة هي الفرق بين هذه المناطق:
$$ Delta A_i = frac12r_2 ^ 2 Delta theta- frac12r_1 ^ 2 Delta theta = frac12 big (r_2 ^ 2-r_1 ^ 2 big) big ( Delta theta big) = frac {r_2 + r_1} {2} big (r_2-r_1 big) Delta theta. $$

لاحظ أن ((r_2 + r_1) / 2 ) هو فقط متوسط ​​نصف القطر.

لتقريب المنطقة (R ) ، نستخدم العديد من هذه المناطق الفرعية ؛ يؤدي القيام بذلك إلى تقليص الفرق (r_2-r_1 ) بين نصف القطر إلى 0 وتقليص التغيير في الزاوية ( Delta theta ) أيضًا إلى 0. نحن نمثل هذه التغييرات اللامتناهية في نصف القطر والزاوية كـ (dr ) و (د ثيتا ) ، على التوالي. أخيرًا ، نظرًا لأن (د ) صغير (r_2 تقريبًا r_1 ) ، وهكذا ((r_2 + r_1) / 2 تقريبًا r_1 ). وهكذا ، عندما يكون (د ) و (د ثيتا ) صغيرين ،
$$ Delta A_i almost r_i ، dr ، d theta. $$

بأخذ حد ، حيث يذهب عدد المناطق الفرعية إلى ما لا نهاية ويذهب كل من (r_2-r_1 ) و ( Delta theta ) إلى 0 ، نحصل على [dA = r ، dr ، d ثيتا. ]

لذلك لتقييم ( displaystyle iint_Rf (x، y) dA ) ، استبدل (dA ) بـ (r ، dr ، d theta ). قم بتحويل الوظيفة (z = f (x، y) ) إلى دالة ذات إحداثيات قطبية مع الاستبدالات (x = r cos theta ) ، (y = r sin theta ). أخيرًا ، ابحث عن الحدود (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ) و ( alpha leq theta leq beta ) التي تصف (R ). هذا هو المبدأ الأساسي لهذا القسم ، لذلك نعيد ذكره هنا كفكرة أساسية.

الفكرة الرئيسية: تقييم التكامل المزدوج مع الإحداثيات القطبية

لنفترض أن (R ) منطقة مستوية تحدها المعادلات القطبية ( alpha leq theta leq beta ) و (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ). ثم
$$ iint_Rf (x، y) dA = int_ alpha ^ beta int_ {g_1 ( theta)} ^ {g_2 ( theta)} f big (r cos theta، r sin ثيتا كبيرة) ، ص ، د ، د ثيتا. $$

ستساعدنا الأمثلة على فهم هذه الفكرة الرئيسية.

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

أوجد الحجم الموقّع أسفل المستوى (z = 4-x-2y ) فوق الدائرة بالمعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

المحلول

يتم تحديد حدود التكامل فقط من خلال المنطقة (R ) التي نتكامل معها. في هذه الحالة ، تكون دائرة بالمعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). علينا إيجاد الحدود القطبية لهذه المنطقة. قد يكون من المفيد مراجعة القسم ref {sec: polar}؛ حدود هذه الدائرة هي (0 leq r leq 1 ) و (0 leq theta leq 2 pi ).

نستبدل (f (x، y) ) بـ (f (r cos theta، r sin theta) ). هذا يعني أننا نجري البدائل التالية:

$$ 4-x-2y quad Rightarrow quad 4-r cos theta-2r sin theta. $$

أخيرًا ، نستبدل (dA ) في التكامل المزدوج بـ (r ، dr ، d theta ). هذا يعطي التكامل النهائي المتكرر ، والذي نقوم بتقييمه:

[ ابدأ {محاذاة *}
iint_Rf (x، y) dA & = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 big (4-r cos theta-2r sin theta big) r ، dr ، d ثيتا
& = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 big (4r-r ^ 2 ( cos theta-2 sin theta) big) dr ، d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left. left (2r ^ 2- frac13r ^ 3 ( cos theta-2 sin theta) right) right | _0 ^ 1d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left (2- frac13 big ( cos theta-2 sin theta big) right) d theta
& = left. left (2 theta - frac13 big ( sin theta + 2 cos theta big) right) right | _0 ^ {2 pi}
& = 4 pi حوالي 12.566.000
النهاية {محاذاة *} ]

الشكل ( PageIndex {2} )

يظهر السطح والمنطقة (R ) في الشكل ( PageIndex {2} ).

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

ابحث عن الحجم أسفل المكافئ (z = 4- (x-2) ^ 2-y ^ 2 ) فوق المنطقة التي تحدها الدوائر ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) و ((س -2) ^ 2 + ص ^ 2 = 4 ).

المحلول

للوهلة الأولى ، يبدو هذا وكأنه حجم يصعب حسابه لأن المنطقة (R ) (كما هو موضح في الشكل المرجع {الشكل: doublepol2} (أ)) بها ثقب ، مما يؤدي إلى قطع جزء غريب من السطح ، كما هو موضح في الجزء (ب) من الشكل. ومع ذلك ، من خلال وصف (R ) من حيث المعادلات القطبية ، ليس من الصعب جدًا حساب الحجم.

الشكل ( PageIndex {3} )

من السهل توضيح أن الدائرة ((x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) لها معادلة قطبية (r = 2 cos theta ) ، وأن الدائرة ((x-2 ) ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) لها معادلة قطبية (r = 4 cos theta ). يتم تتبع كل دائرة من هذه الدوائر في الفاصل الزمني (0 leq theta leq pi ). الحدود على (r ) هي (2 cos theta leq r leq 4 cos theta. )

استبدال (x ) بـ (r cos theta ) في التكامل ، مع استبدال (y ) بـ (r sin theta ) ، يجهزنا لتقييم التكامل المزدوج ( displaystyle iint_Rf (س ، ص) dA ):

[ ابدأ {محاذاة *}
iint_Rf (x، y) dA & = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} Big (4- big (r cos theta-2 كبير) ^ 2- كبير (r الخطيئة ثيتا كبير) ^ 2 كبير) r ، دكتور ، د ثيتا
٪ & = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} big (r ^ 3 cos ^ 2 theta + r ^ 3 sin ^ 2 theta - 4 ص ^ 2 كوس ثيتا + 4 ص كبير) د ، د ثيتا
& = int_0 ^ { pi} int_ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} big (-r ^ 3 + 4r ^ 2 cos theta big) dr ، d theta
& = int_0 ^ pi left. left (- frac14r ^ 4 + frac43r ^ 3 cos theta right) right | _ {2 cos theta} ^ {4 cos theta} د ثيتا
& = int_0 ^ pi left ( left [- frac14 (256 cos ^ 4 theta) + frac43 (64 cos ^ 4 theta) right] - right.
& اليسار. اليسار [- frac14 (16 cos ^ 4 theta) + frac43 (8 cos ^ 4 theta) right] right) d theta
& = int_0 ^ pi frac {44} 3 cos ^ 4 theta ، d theta. النهاية {محاذاة *} ]

لدمج ( cos ^ 4 theta ) ، أعد كتابته كـ ( cos ^ 2 theta cos ^ 2 theta ) واستخدم صيغة تقليل الطاقة مرتين:

[ start {align *} cos ^ 4 theta & = cos ^ 2 theta cos ^ 2 theta
& = frac12 big (1+ cos (2 theta) big) frac12 big (1+ cos (2 theta) big)
& = frac14 كبير (1 + 2 cos (2 ثيتا) + cos ^ 2 (2 ثيتا) كبير)
& = frac14 Big (1 + 2 cos (2 theta) + frac12 big (1+ cos (4 theta) big) Big)
& = frac38 + frac12 cos (2 theta) + frac18 cos (4 theta). end {align *} ]

ننتقل من حيث توقفنا أعلاه ، لدينا

[ begin {align *} & = int_0 ^ pi frac {44} 3 cos ^ 4 theta ، d theta
& = int_0 ^ pi frac {44} 3 left ( frac38 + frac12 cos (2 theta) + frac18 cos (4 theta) right) d theta
& = left. frac {44} 3 left ( frac {3} 8 theta + frac14 sin (2 theta) + frac {1} {32} sin (4 theta) right) الحق | _0 ^ pi
& = frac {11} 2 pi حوالي 17.279.
النهاية {محاذاة *} ]

في حين أن هذا المثال لم يكن تافهاً ، إلا أن التكامل المزدوج كان كثير أصعب في التقييم لو استخدمنا إحداثيات مستطيلة.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

ابحث عن الحجم الموجود أسفل السطح (f (x، y) = dfrac1 {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} ) فوق قطاع الدائرة مع نصف قطر (a ) في نقطة الأصل في الأول الربع ، كما هو مبين في الشكل المرجع {fig: doublepol5}.

الشكل ( PageIndex {4} )

المحلول

المنطقة (R ) التي نقوم بدمجها هي دائرة نصف قطرها (أ ) ، مقيدًا بالربع الأول. وبالتالي ، في Polar ، فإن الحدود على (R ) هي (0 leq r leq a ) ، (0 leq theta leq pi / 2 ). تمت إعادة كتابة أداة التكامل بالقطبية كـ

$$ frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} Rightarrow frac {1} {r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta + 1} = frac1 {r ^ 2 + 1}. $$

نجد الحجم على النحو التالي:

[ ابدأ {محاذاة *}
iint_Rf (x، y) dA & = int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ a frac {r} {r ^ 2 + 1} dr ، d theta
& = int_0 ^ { pi / 2} frac12 big ( ln | r ^ 2 + 1 | big) Big | _0 ^ a ، d theta
& = int_0 ^ { pi / 2} frac12 ln (a ^ 2 + 1) d theta
& = left. left ( frac12 ln (a ^ 2 + 1) theta right) right | _0 ^ { pi / 2}
& = frac { pi} {4} ln (a ^ 2 + 1).
النهاية {محاذاة *} ]

يوضح الشكل المرجع {fig: doublepol5} أن (f ) يتقلص إلى ما يقرب من الصفر بسرعة كبيرة. بغض النظر ، كما ينمو (أ ) ، يزداد الحجم أيضًا بلا حدود.

ملحوظة: أظهر العمل السابق أن هناك حدودا منطقة تحت ( frac {1} {x ^ 2 + 1} ) على المحور (x ) بالكامل. ومع ذلك ، المثال المرجع {ex_doublepol5} يوضح أن هناك عددًا لا نهائيًا أربعة حجمالخامس تحت ( frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1} ) على مستوى (xy ) بالكامل.

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد حجم الكرة

أوجد حجم كرة نصف قطرها (أ ).

المحلول
كرة نصف القطر (a ) ، المتمركزة في الأصل ، لها معادلة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 ) ؛ لحل (z ) ، لدينا (z = sqrt {a ^ 2-x ^ 2-y ^ 2} ). هذا يعطي النصف العلوي من الكرة. نريد إيجاد الحجم تحت هذا النصف العلوي ، ثم ضاعفه لإيجاد الحجم الكلي.

المنطقة التي نحتاج إلى التكامل عليها هي دائرة نصف القطر (أ ) ، المتمركزة عند نقطة الأصل. الحدود القطبية لهذه المعادلة هي (0 leq r leq a ) ، (0 leq theta leq2 pi ).

معًا ، حجم الكرة ذات نصف القطر (أ ) هو:

[2 iint_R sqrt {a ^ 2-x ^ 2-y ^ 2} dA = 2 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ a sqrt {a ^ 2- (r cos theta) ^ 2- (r sin theta) ^ 2} ، r ، dr ، d theta
= 2 int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ ar sqrt {a ^ 2-r ^ 2} ، dr ، d theta. ]

يمكننا إيجاد التكامل الداخلي بالتعويض. مع (u = a ^ 2-r ^ 2 ) ، (du = -2r ، dr ). حدود التكامل الجديدة هي (u (0) = a ^ 2 ) to (u (a) = 0 ). وهكذا لدينا:

[ begin {align *} & = int_0 ^ {2 pi} int_ {a ^ 2} ^ 0 big (-u ^ {1/2} big) du ، d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left. left (- frac23u ^ {3/2} right) right | _ {a ^ 2} ^ 0 ، d theta
& = int_0 ^ {2 pi} left ( frac23a ^ 3 right) d theta
& = left. left ( frac23a ^ 3 theta right) right | _0 ^ {2 pi}
& = frac43 pi a ^ 3.
النهاية {محاذاة *} ]

بشكل عام ، تُعطى صيغة حجم الكرة بنصف قطر (r ) كـ (4/3 pi r ^ 3 ) ؛ لقد بررنا هذه الصيغة بحساباتنا.

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد حجم مادة صلبة

يريد النحات أن يصنع قالبًا صلبًا من البرونز من المصمت الموضح في الشكل المرجع {الشكل: doublepol4} ، حيث يكون لقاعدة المادة الصلبة حدود ، بالإحداثيات القطبية ، (r = cos (3 theta) ) ، ويتم تحديد القمة من خلال المستوى (ض = 1-س + 0.1 ص ). العثور على حجم الصلبة.

الشكل ( PageIndex {5} )

المحلول
منذ البداية ، يجب أن ندرك تلك المعرفة كيفيه التنصيب ربما تكون هذه المشكلة أكثر أهمية من المعرفة كيفية حساب التكاملات. التكامل المتكرر الذي سيأتي ليس "صعبًا" في التقييم ، على الرغم من طوله ، ويتطلب الكثير من الجبر. بمجرد تحديد التكامل المتكرر المناسب ، يمكن للمرء استخدام التكنولوجيا المتاحة بسهولة للمساعدة في حساب الإجابة النهائية.

المنطقة (R ) التي نقوم بدمجها مرتبطة بـ (0 leq r leq cos (3 theta) ) ، لـ (0 leq theta leq pi ) (لاحظ ذلك تم تتبع منحنى الوردة هذا على الفاصل الزمني ([0، pi] ) ، وليس ([0،2 pi] )). هذا يعطينا حدود التكامل. المُدمج هو (z = 1-x + 0.1y ) ؛ التحويل إلى القطب ، لدينا أن الحجم (V ) هو:

$$ V = iint_R f (x، y) dA = int_0 ^ pi int_0 ^ { cos (3 theta)} big (1-r cos theta + 0.1r sin theta كبير) ص ، د ، د ثيتا. $$

توزيع (r ) التكامل الداخلي سهل التقييم ، مما يؤدي إلى

$$ int_0 ^ pi left ( frac12 cos ^ 2 (3 theta) - frac13 cos ^ 3 (3 theta) cos theta + frac {0.1} 3 cos ^ 3 (3 ثيتا) الخطيئة ثيتا الحق) د ثيتا. $$

هذا التكامل يستغرق وقتًا لحسابه يدويًا ؛ إنه طويل إلى حد ما ومرهق. يجب تقليل قوى جيب التمام ، ويجب تحويل المنتجات مثل ( cos (3 theta) cos theta ) إلى مبالغ باستخدام صيغ Product To Sum في الغلاف الخلفي لهذا النص.

نعيد كتابة ( frac12 cos ^ 2 (3 theta) ) كـ ( frac14 (1+ cos (6 theta)) ). يمكننا أيضًا إعادة كتابة ( frac13 cos ^ 3 (3 theta) cos theta ) على النحو التالي:

$$ frac13 cos ^ 3 (3 ثيتا) cos theta = frac13 cos ^ 2 (3 theta) cos (3 theta) cos theta = frac13 frac {1+ cos (6 ثيتا)} 2 كبير ( كوس (4 ثيتا) + كوس (2 ثيتا) كبير). $$

لا يزال هذا التعبير الأخير بحاجة إلى التبسيط ، ولكن في النهاية يمكن اختزال جميع المصطلحات إلى الشكل (a cos (m theta) ) أو (a sin (m theta) ) لقيم مختلفة لـ (a ) و (م ).

نتخلى عن الجبر وننصح القارئ بتوظيف التكنولوجيا ، مثل WolframAlpha ، لحساب الإجابة الرقمية. هذه التكنولوجيا تعطي:

$$ int_0 ^ pi int_0 ^ { cos (3 theta)} big (1-r cos theta + 0.1r sin theta big) r dr d theta = frac { pi } {4} حوالي 0.785u ^ 3. $$

نظرًا لعدم تحديد الوحدات ، نترك النتيجة تقريبًا (0.8 ) وحدات مكعبة (متر ، قدم ، إلخ) إذا أراد الفنان قياس القطعة بشكل موحد ، بحيث يكون طول كل بتلة وردة غير 1 ، يجب أن تضع في اعتبارك أن القياس بمعامل (ك ) يقيس الحجم بمعامل (ك ^ 3 ).

لقد استخدمنا التكاملات المتكررة لإيجاد مناطق مناطق وأحجام تحت الأسطح. تمامًا كما يمكن استخدام التكامل الفردي لحساب أكثر بكثير من "المنطقة الواقعة تحت المنحنى" ، يمكن استخدام التكاملات المتكررة لحساب أكثر بكثير مما رأيناه حتى الآن. يُظهر القسمان التاليان اثنان ، من بين العديد ، تطبيقات متكررة التكاملات.


لا أصدق أنني لم أدرك أنني غبي. شكرا لكما.

ربما أكون مخطئًا ، لكن لن [itex] theta = 3 pi / 2 [/ itex] يشير إلى المحور y السالب ، لأنه النصف الأيسر من الدائرة؟

لذلك جربت واحدة أخرى ، لكن الكتاب يقول إنني مخطئ:

[tex] 1/2 int ^ < pi / 2> _ <0> sin vartheta - cos vartheta d vartheta [/ tex]

عندما أقوم بتغيير حد الإحداثيات x إلى الإحداثيات القطبية ، هل ستنتقل من 0-1 أم 0 - rcos؟

حدودك على أول اثنين من التكاملات المتكررة خاطئة. واحدة من النقاط الرئيسية في التحول من الديكارتي إلى القطبية هي الفهم الدقيق للمنطقة التي يحدث فيها التكامل.

بالنسبة للمتكامل الأول ، يبدو أنك نسخت ترتيب التكامل بشكل غير صحيح ، ويجب أن يكون حسب dy ، ثم dx ، وليس العكس.

هل يمكنك وصف المنطقة التي يتم فيها التكامل في أول جزء؟ إنه كائن هندسي بسيط للغاية. عندما تحدد ذلك ، يجب أن تكون قادرًا على الحصول على الحدود الصحيحة للتكامل القطبي.

إنها الطريقة في كتابي ، ما لم أضطر إلى تغييرها.

بالنسبة للتكامل الأول ، يتم تقييد y بين 0-1 ، بينما يتم تقييد x على المحور x الموجب (نظرًا لأنه من 0 - x).

dx dy = r dr d (ثيتا) أم أنها dy dx = r dr d (ثيتا)؟

إنها الطريقة في كتابي ، ما لم أضطر إلى تغييرها.

بالنسبة للتكامل الأول ، يتم تقييد y بين 0-1 ، بينما يتم تقييد x على المحور x الموجب (نظرًا لأنه من 0 - x).

هذا خطأ مطبعي في كتابك. إذا كانت كما تفسرها لكانت المنطقة كبيرة بشكل لا نهائي. x يحدها ما ، x؟
هذا مماثل لما نقول إن منطقة التكامل الداخلي تبدأ من x = 0 إلى x = x ، وبالنسبة للتكامل الخارجي ، y = 0 إلى y = 1.

أنا متأكد من أن هذا ما قصدوه:
[تكس] int_^ 1 int_^ x & ltyour f (x، y) & gt dy dx [/ tex]
وحصلت على الفوارق بترتيب خاطئ.

لذا فإن y يحدها بين 0 و x ، بينما x يحدها 0 و 1. وهذا أمر منطقي أكثر. يبدو أنه في الربع الأول. لذا تغييره إلى الإحداثيات القطبية:

شكرا لمساعدتك. لدي سؤال واحد فقط. أتساءل عما إذا كانت الطريقة الصحيحة لتغيير الحدود من إحداثيات مستطيلة إلى إحداثيات قطبية هي الطريقة الصحيحة ، ولم أحصل على الإجابة الصحيحة من خلال بعض الحظ.

لقد فعلت هذا: y = x = & gt rsin = rcos = & gt sin = cos (ويمكن أن يكون هذا صحيحًا فقط عندما تكون الزاوية (pi / 4)

تركت [tex] y = sqrt <9 - x ^ 2> Rightarrow rsin = sqrt <9 - r ^ 2 cos ^ 2> [/ tex] الذي أعطاني في النهاية r = +/- 3.

آسف لكونك مزعج جدا.

عند التفكير في الأمر أكثر ، يجب أن يكون الحد الأعلى للتكامل هو r = 1 / cos (ثيتا). تمثل حدود التكامل x = 0 إلى x = 1 و y = 0 إلى y = x مثلثًا قائمًا برؤوس عند (0،0) و (1، 0) و (1، 1). إنه متساوي الساقين بزوايا 45 درجة ، حيث sin (ثيتا) = cos (ثيتا) أو تان (ثيتا) = 1. في التكامل القطبي r يتراوح من 0 إلى الخط x = 1 ، أو rcos (ثيتا) = 1 ، أو r = 1 / cos (ثيتا).

بالنسبة للآخر (في الواقع أول جزء في هذا الخيط) ، فإن المنطقة هي النصف الأيسر من دائرة نصف قطرها 3 ويتراوح ثيتا بين pi / 2 و 3pi / 2 (تمت مناقشته بالفعل).

عند التحويل من نوع واحد من التكامل المتكرر إلى آخر ، حدود التكامل تعتمد كليا على المنطقة، لذلك إذا لم تفهم كيف تبدو المنطقة ، فلن تحصل عليها بشكل صحيح في التكامل الجديد.

إذا اختلفت r من 0 إلى 1 وتباينت ثيتا من 0 إلى pi / 4 ، سيكون لديك منطقة تمثل قطاع الدائرة. سيكون لها انحناء لأن r ستشمل جميع القيم بين 0 و 1 في هذا الثامنة من الدائرة.

من ناحية أخرى ، منطقتك هي مثلث قائم الزاوية. هل ترى الفرق؟


الإحداثيات الكروية

الإحداثيات الكروية ، وتسمى أيضًا الإحداثيات القطبية الكروية (Walton 1967 ، Arfken 1985) ، هي نظام من الإحداثيات المنحنية التي تعتبر طبيعية لوصف المواضع على كرة أو كروية. حدد على أنه الزاوية السمتي في الطائرة من x-المحور مع (يُشار إليه عند الإشارة إليه بخط الطول) ، ليكون الزاوية القطبية (تُعرف أيضًا بزاوية ذروة وخط الطول ، حيث يوجد خط العرض) من الموجب ض-المحور مع ، ويكون المسافة (نصف القطر) من نقطة إلى نقطة الأصل. هذا هو العرف الشائع في الرياضيات.

في هذا العمل ، وفقًا لاتفاقية الرياضيات ، يتم أخذ رموز إحداثيات الزاوية الشعاعية والسمت والزاوية على النحو التالي ، و ، على التوالي. لاحظ أن هذا التعريف يوفر امتدادًا منطقيًا لتدوين الإحداثيات القطبية المعتاد ، مع بقاء الزاوية في المستوى وتصبح الزاوية خارج ذلك المستوى. الاستثناء الوحيد لهذه الاتفاقية في هذا العمل هو التوافقيات الكروية ، حيث يتم الاحتفاظ بالاتفاقية المستخدمة في أدبيات الفيزياء (مما يؤدي ، كما نأمل ، إلى ارتباك أقل قليلاً مما قد يولده تناسق صارم أحمق).

لسوء الحظ ، يتم أيضًا استخدام الاتفاقية التي يتم فيها عكس الرموز (سواء من حيث المعنى والترتيب) ، خاصة في الفيزياء. هذا محير بشكل خاص لأن الترميز المتطابق يعني عادة (شعاعي ، سمتي ، قطبي) لعالم رياضيات ولكن (شعاعي ، قطبي ، سمتي) للفيزيائي. يستخدم الرمز أحيانًا أيضًا بدلاً من وبدلاً من. يلخص الجدول التالي عددًا من الاصطلاحات التي استخدمها مؤلفون مختلفون. لذلك يجب توخي الحذر الشديد عند الرجوع إلى الأدبيات.

ترتيبالرموزالمرجعي
(شعاعي ، سمتي ، قطبي) هذا العمل
(شعاعي ، سمتي ، قطبي) Apostol (1969، p. 95)، Anton (1984، p.859)، Beyer (1987، p. 212)
(شعاعي ، قطبي ، سمتي) ISO 31-11 ، ميسنر وآخرون. (1973 ، ص .205).
(شعاعي ، قطبي ، سمتي) Arfken (1985 ، ص .102)
(شعاعي ، قطبي ، سمتي) مون وسبنسر (1988 ، ص 24)
(شعاعي ، قطبي ، سمتي) كورن وكورن (1968 ، ص 60) ، برونشتاين وآخرون. (2004 ، ص 209 - 210)
(شعاعي ، قطبي ، سمتي) زويلينجر (1996 ، ص 297-299)

ترتبط الإحداثيات الكروية بالإحداثيات الديكارتية بواسطة

حيث يجب أن يتم تعريف حيث ، و ، والماس العكسي بشكل مناسب لأخذ الربع الصحيح في الاعتبار.


ضعف التكامل مع pdf

تتدرب التكاملات المزدوجة على المسائل من خلال قيادة الدرس. خصائص التكاملات المزدوجة تحدد الفترتان منطقة التكامل r على التكامل المتكرر. قيمة gyi هي مساحة المقطع العرضي لـ. تعتبر الكثافة والكتلة صفيحة رفيعة تحتل منطقة في المستوى xy. لنفترض أن d تشير إلى المنطقة الواقعة بين الرسوم البيانية لـ x y 2 و y x 2 ، أي المنطقة المظللة في الشكل أعلاه. ومع ذلك ، قبل أن نصف كيفية إجراء هذا التغيير ، نحتاج إلى إنشاء مفهوم التكامل المزدوج في منطقة مستطيلة قطبية. قد أواصل العمل على هذا المستند مع استمرار الدورة ، لذلك لن تكون هذه الملاحظات كاملة. فيما يلي مجموعة من مشكلات التدريب لمرافقة التكاملات المزدوجة على قسم المناطق العامة من فصل التكاملات المتعددة من الملاحظات الخاصة بدورة Paul Dawkins calculus III في جامعة لامار. يعطينا التكامل المزدوج الحجم تحت السطح z fx، y ، تمامًا كما يعطي التكامل الفردي المساحة الواقعة أسفل المنحنى. تكاملات مزدوجة في الإحداثيات القطبية 3b1 a في الإحداثيات القطبية ، الخط x. التكاملات ذات الدوال المثلثية z sinaxdx 1 a cosax 63 z sin2 axdx x 2 sin2ax 4a 64 z sinn axdx 1 a cosax 2f 1 1 2. التكاملات المزدوجة مفيدة جدًا في إيجاد مساحة منطقة محددة بمنحنيات وظائف. لحساب تكامل hx ، y على d ، نمد h إلى الدالة h المحددة بواسطة.

باستخدام هذا الموقع ، فإنك توافق على سياسة ملفات تعريف الارتباط الخاصة بنا. مقدمة تهدف هذه الملاحظات إلى أن تكون ملخصًا للأفكار الرئيسية في مادة الرياضيات 2142. افترض أن اللوح يحتوي على وحدة كثافة متغيرة مستمرة للكتلة لكل وحدة مساحة. يوضح هذا الفصل كيفية تكامل وظائف متغيرين أو أكثر. يمكن أن يمتد التكامل المحدد إلى وظائف أكثر من متغير واحد. اتبع 642 مشاهدة آخر 30 يومًا mikayel في 22 أغسطس 20. بمجرد أن نحصل على هذه الدالة الموجهة للتكامل الداخلي ، يمكننا تمرير ذلك للتكامل للحصول على الإجابة.

التكامل المزدوج للدالة fx ، y يُشار إليه بالرمز. لنفترض أن لدي السطح ، z ، ودالة x و y. ندرس الآن تكامل المنطقة المحددة أعلاه بـ x y 2 وأدناه بـ y x 2 ، انظر الشكل التالي ، وهو. 01 حزيران (يونيو) 2010 باوربوينت متكامل مزدوج 14،140 مشاهدة. اختر حدود التكامل حتى تتراجع عن المنطقة. تقييم التكاملات المزدوجة عن طريق تغيير الإحداثيات الديكارتية إلى إحداثيات قطبية بمدة مختلفة. يمكن تعريف التكاملات المزدوجة بطريقة مشابهة لكيفية تعريف التكامل باستخدام مجموع riemann لمتغيرين. التكاملات المزدوجة في حساب متغير واحد رأينا أن تكامل دالة غير سالبة هي المساحة الواقعة أسفل الرسم البياني. الفصل 14 من كتاب التفاضل والتكامل عبر الإنترنت. سيكون التفسير الرسومي للتكامل المزدوج هو أنه حجم جزء من الفضاء تحت السقف. تنزيل نسخة pdf باللغة الإنجليزية ، يتم توفير المحتوى التالي بموجب ترخيص المشاع الإبداعي. يعطينا التكامل المزدوج الحجم تحت السطح z fx، y ، تمامًا كما يعطي التكامل الفردي المساحة تحت a. في تجربتي ، هذا افتراض شائع إلى حد ما خارج نصوص التفاضل والتكامل. 09 أبريل 2019 في حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد ، التكامل المحدد لـ fx0 هو المنطقة الواقعة أسفل المنحنى fx من xa إلى xb.

كيف يمكنني حسابه بالتحويل إلى تكاملات مزدوجة. في حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد ، التكامل المحدد لـ fx0 هو المساحة الواقعة أسفل المنحنى fx من xa إلى xb. أولاً ، يتم تعريف التكامل المزدوج على أنه حد المجموع. سننظر في المجال المعرف بـ a x b و c y d. سنركز في هذا الدرس على تطبيق التكامل المزدوج. تعطي دوال دلتا في العود مشتق الموجة المربعة.

تطبيقات النصوص الكتابية للرياضيات للتكاملات المزدوجة. لنفترض أن حدود المنطقة معطاة الآن بالصيغة r f أو hr ، أو أن الوظيفة التي يتم دمجها تكون أبسط بكثير إذا تم استخدام الإحداثيات القطبية. التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية mit opencourseware. حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات 147 مسائل تمارس مسائل. سيساعد دعمك برنامج MIT المفتوح على الاستمرار في تقديم موارد تعليمية عالية الجودة مجانًا. في الجزء أ ، سنتعرف على التكامل المزدوج على مناطق في المستوى. في التكاملات المزدوجة على مناطق مستطيلة ، ناقشنا التكامل المزدوج للدالة fx ، y لمتغيرين على منطقة مستطيلة في المستوى. منحدر سن المنشار rr هو جزء لا يتجزأ من الموجة المربعة. طريقة عددية لحل المعادلات المزدوجة التكامل.

استخدم تكاملًا مزدوجًا لتحديد حجم المنطقة التي يحدها z 6. لتقديم تبرع أو لعرض مواد إضافية من مئات دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، قم بزيارة موقع mit opencourseware في ocw. جامعة ولاية سان خوسيه sjsu scholarworks ماجستير أطروحات الماجستير وأبحاث الدراسات العليا 2005 طريقة عددية لحل التكامل المزدوج. في التكامل الثلاثي ، 0 if ، 1 فإن هذا التكامل الثلاثي هو نفسه ، وهو ببساطة الحجم الموجود أسفل السطح الذي يمثله zx ، y. افترض أن لدينا منطقة في المستوى r والدالة fx ، y. لنفترض أن حدود المنطقة معطاة الآن بالصيغة r f أو hr ، أو أن الوظيفة التي يتم دمجها تكون أبسط بكثير إذا كانت الإحداثيات القطبية. يمكننا حساب r fda على منطقة r بالطريقة التالية. التكاملات الثلاثية في التكاملات المزدوجة على مناطق مستطيلة ، ناقشنا التكامل المزدوج للدالة fx ، y لمتغيرين على منطقة مستطيلة في المستوى. بالإضافة إلى ذلك ، تحقق من حلول لغز الرسائل الإخبارية هذا. في هذا القسم ، ننظر في تطبيقات التكاملات المزدوجة في الفيزياء. التكامل المتعدد هو تكامل محدد لدالة لأكثر من متغير حقيقي واحد ، على سبيل المثال ، fx ، y أو fx ، y ، z. حساب التفاضل والتكامل الثالث التكاملات المزدوجة على المناطق العامة. تكاملات دالة ذات متغيرين على منطقة في r 2 تسمى التكاملات المزدوجة ، وتسمى تكاملات دالة من ثلاثة متغيرات على منطقة r 3 التكاملات الثلاثية.

من خلال وضع تحويلات الشباب في الفئة k3 ، فإننا نقوم بأكثر من مجرد إنشاء الصيغة 1 من 1. يحسب المثال التالي حجم n2 أعمدة بارتفاع z وقاعدة مربعة. لنقم بتقييم التكاملات المزدوجة مع yx2 كأحد الحدود. حدود التكامل المزدوج لمناطق فيديو تلاوة pdf للتكامل. في هذا القسم ، نحدد التكامل الثلاثي للدالة fx ، y ، z لثلاثة متغيرات على مربع صلب مستطيل في الفضاء ، r. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، دالة ذات متغيرين z fx ، y. التكامل المزدوج هو شيء على شكل zz r fx ، ydxdy حيث تسمى r منطقة التكامل وهي منطقة في المستوى x و y. الفكرة الأساسية هي استبدال تكامل مزدوج باثنين من التكاملات الفردية العادية. يستخدم هذا الموقع ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة. الفصل 17 التكامل المتعدد 256 ب للعام f ، التكامل المزدوج 17. هذا الشكل البسيط من التكامل الأول يعمل فقط لقيمة واحدة في كل مرة. كيف يمكنني تحويل تكامل واحد إلى تكامل مزدوج. لنفترض rbe المنطقة في المستوى التي يحدها الخطوط y 0 و x 1 و y 2x.

أوجد حجم المنطقة فوق المستوى x وأسفل التمثيل البياني لـ z 1 x2 y2. معهد ساياباما للعلوم والتكنولوجيا 17،835 مشاهدة 24. يمكن أيضًا استخدام التكاملات الثلاثية لتمثيل الحجم ، بنفس الطريقة التي يمكن بها استخدام التكامل المزدوج لتمثيل منطقة. هذا هو السبب في أننا نحتاج إلى sapply حتى نتمكن من تمرير قائمة القيم واستعادة قائمة القيم أول تكامل محدد. بالنسبة إلى fx العام ، يكون التكامل المحدد مساويًا للمنطقة الواقعة فوق المحور x ناقص المنطقة الواقعة أسفل المحور x. فيما يلي مجموعة من مشكلات التدريب لمرافقة قسم التكاملات المزدوجة من فصل التكاملات المتعددة من ملاحظات دورة Paul Dawkins calculus III في جامعة لامار.

لذلك ، في الأسابيع القليلة الماضية ، قمنا بعمل المشتقات. كيف يمكن للمرء أن يستخدم متكامل 2 مزدوج التكامل رمزيا. نصف هذا الموقف بمزيد من التفصيل في القسم التالي. ومع ذلك ، إذا كانت المنطقة مستطيلة الشكل ، فيمكننا إيجاد مساحتها من خلال دمج الدالة الثابتة fx ، y 1 فوق المنطقة r .

لتوضيح حساب التكاملات المزدوجة كتكاملات متكررة ، نبدأ بأبسط مثال على تكامل مزدوج فوق مستطيل ثم ننتقل إلى تكامل فوق مثلث. قسّم المنطقة حسب المناطق الفرعية المختارة عشوائيًا. نأمل أن يكون لديك حدس بسيط الآن حول ماهية التكامل المزدوج أو كيف نبدأ في معرفة الحجم تحت السطح. الآن لحساب cdf المشترك بشكل رمزي قمت بتعريف x و y كرموز وحاولت القيام به.


شاهد الفيديو: التكامل ثنائي-تكامل باستخدام الاحداثيات القطبية- وباستخدام تغير المتغيرات (شهر اكتوبر 2021).