مقالات

2.6: التذبذبات والرنين القسري


دعونا نفكر في مثال الكتلة في الربيع. ندرس الآن حالة التذبذبات القسرية التي لم نتعامل معها بعد. وهذا يعني أننا نعتبر المعادلة

[mx '' + cx '+ kx = F (t) ]

لبعض غير صفري (F (t) ). الإعداد مرة أخرى: (م ) كتلة ، (ج ) احتكاك ، (ك ) هو ثابت الربيع ، و (F (t) ) هي قوة خارجية تعمل على الكتلة.

ما يهمنا هو التأثير الدوري ، مثل الأجزاء الدوارة غير المركزية ، أو ربما الأصوات العالية ، أو مصادر القوة الدورية الأخرى. بمجرد أن نتعرف على سلسلة فورييه في الفصل 4 ، سنرى أننا نغطي جميع الوظائف الدورية بمجرد النظر في (F (t) = F_0 cos ( omega t) ) (أو الجيب بدلاً من جيب التمام ، فإن الحسابات هي أساسًا نفس الشيء).

2.6.1 الحركة القسرية والرنين غير المخمدات

أولاً ، دعونا نفكر في حركة (c = 0 ) غير المخمد من أجل البساطة. لدينا المعادلة

[mx '' + kx = F_0 cos ( omega t) ]

هذه المعادلة لها الحل التكميلي (حل المعادلة المتجانسة المصاحبة)

[x_c = C_1 cos ( omega_0t) + C_2 sin ( omega_0t) ]

حيث ( omega_0 = sqrt { frac {k} {m}} ) هو تردد طبيعي (الزاوي) ، وهو التردد الذي "يريد النظام أن يتأرجح" دون تدخل خارجي.

لنفترض أن ( omega_0 neq omega ). نجرب الحل (x_p = A cos ( omega t) ) ونحل من أجل (A ). لاحظ أننا لسنا بحاجة إلى شرط في الحل التجريبي حيث أنه في الجانب الأيسر سنحصل على جيب التمام على أي حال. إذا قمت بتضمين شرط فلا بأس ؛ ستجد أن معاملها سيكون صفرًا.

نقوم بالحل باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة. نجد ذلك

[x_p = dfrac {F_0} {m ( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} cos ( omega t) ]

نتركه كتمرين للقيام بالجبر المطلوب.

الحل العام هو

[x = C_1 cos ( omega_0t) + C_2 sin ( omega_0t) + frac {F_0} {m ( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} cos ( omega t) ]

أو مكتوبة بطريقة أخرى

[x = C cos ( omega_0t - y) + frac {F_0} {m ( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} cos ( omega t) ]

ومن ثم فهو تراكب لموجتين لجيب التمام بترددات مختلفة.

مثال ( PageIndex {1} ):

يأخذ

[0.5 x '' + 8 x = 10 cos ( pi t)، ~~~ x (0) = 0، ~~~ x '(0) = 0 ]

دعونا نحسب. نقرأ أولاً المعلمات: ( omega = pi، omega_0 = sqrt { frac {8} {0.5}} = 4، F_0 = 10، m = 0.5 ). الحل العام هو

[x = C_1 cos (4t) + C_2 sin (4t) + frac {20} {16 - { pi} ^ 2} cos ( pi t) ]

حل من أجل (C_1 ) و (C_2 ) باستخدام الشروط الأولية. من السهل رؤية (C_1 = frac {-20} {16 - { pi} ^ 2} ) و (C_2 = 0 ). لذلك

[x = frac {20} {16 - { pi} ^ 2} ( cos ( pi t) - cos (4t)) ]

الشكل 2.5: رسم بياني لـ ( frac {20} {16 - { pi} ^ 2} ( cos ( pi t) - cos (4t)) ).

لاحظ سلوك "الضرب" في الشكل 2.5. استخدم أولًا المطابقة المثلثية

[2 sin ( frac {A - B} {2}) sin ( frac {A + B} {2}) = cos B - cos A ]

للحصول على ذلك

[x = frac {20} {16 - { pi} ^ 2} (2 sin ( frac {4 - pi} {2} t) sin ( frac {4 + pi} {2 } ر)) ]

لاحظ أن (x ) هي موجة عالية التردد تم تشكيلها بواسطة موجة منخفضة التردد.

افترض الآن أن ( omega_0 = omega ). من الواضح أنه لا يمكننا تجربة الحل (A cos ( omega t) ) ثم استخدام طريقة المعاملات غير المحددة. نلاحظ أن ( cos ( omega t) ) يحل المعادلة المتجانسة المرتبطة بها. لذلك ، نحتاج إلى محاولة (x_p = At ​​ cos ( omega t) + Bt sin ( omega t) ). هذه المرة نحتاج إلى شرط الجيب لأن المشتق الثاني لـ (t cos ( omega t) ) يحتوي على جيب. نكتب المعادلة

[x '' + omega ^ 2 x = frac {F_0} {m} cos ( omega t) ]

سنحصل على توصيل (x_p ) بالجانب الأيسر

[2B omega cos ( omega t) - 2A omega sin ( omega t) = frac {F_0} {m} cos ( omega t) ]

ومن هنا (A = 0 ) و (B = frac {F_0} {2m omega} ). الحل الخاص بنا هو ( frac {F_0} {2m omega} t sin ( omega t) ) والحل العام هو

[x = C_1 cos ( omega t) + C_2 sin ( omega t) + frac {F_0} {2m omega} t sin ( omega t) ]

الشكل 2.6: رسم بياني لـ ( frac {1} { pi} t sin ( pi t) ).

المصطلح المهم هو الأخير (الحل الخاص الذي وجدناه). يمكننا أن نرى أن هذا المصطلح ينمو بلا حدود كـ (t rightarrow infty ). في الواقع ، يتأرجح بين ( frac {F_0t} {2m omega} ) و ( frac {-F_0t} {2m omega} ). يتأرجح المصطلحان الأولين فقط بين ( pm sqrt {C ^ 2_1 + C ^ 2_2} ) ، والتي تصبح أصغر وأصغر بما يتناسب مع تذبذبات المصطلح الأخير عندما يصبح (t ) أكبر. في الشكل 2.6 نرى الرسم البياني بـ (C_1 = C_2 = 0 ، F_0 = 2 ، m = 1 ، omega = pi ).

من خلال إجبار النظام على التردد الصحيح فقط ، ننتج اهتزازات شديدة الوحشية. يسمى هذا النوع من السلوك بالرنين أو ربما الرنين الخالص. أحيانًا يكون الرنين مطلوبًا. على سبيل المثال ، تذكر عندما كنت طفلاً يمكنك البدء في التأرجح بمجرد التحرك ذهابًا وإيابًا على المقعد المتأرجح في "التردد الصحيح"؟ كنت تحاول تحقيق صدى. كانت قوة كل حركة من حركاتك صغيرة ، لكنها أحدثت تقلبات كبيرة بعد فترة.

من ناحية أخرى ، يمكن أن يكون الرنين مدمرًا. في حالة حدوث زلزال ، تنهار بعض المباني بينما قد يكون البعض الآخر غير متضرر نسبيًا. هذا يرجع إلى المباني المختلفة التي لها ترددات رنين مختلفة. لذا فإن معرفة تردد الرنين يمكن أن يكون مهمًا جدًا.

مثال شائع (ولكن خاطئ) للقوة المدمرة للرنين هو فشل جسر Tacoma Narrows. اتضح أن هناك ظاهرة مختلفة في اللعب1.

2.6.2 الحركة القسرية المخففة والرنين العملي

في الحياة الواقعية ، ليست الأشياء بهذه البساطة كما كانت أعلاه. هناك ، بالطبع ، بعض التخميد. تصبح معادلتنا

[mx '' + cx '+ kx = F_0 cos ( omega t)، ]

بالنسبة للبعض (ج> 0 ). لقد حللنا المشكلة المتجانسة من قبل. نحن نسمح

[p = frac {c} {2m} ~~~ omega_0 = sqrt { frac {k} {m}} ]

نستبدل المعادلة (2.6.15) بـ

[x '' + 2px '+ omega ^ 2_0x = frac {F_0} {m} cos ( omega t) ]

جذور المعادلة المميزة للمشكلة المتجانسة المصاحبة هي (r_1، r_2 = -p pm sqrt {p ^ 2 - omega_0 ^ 2} ). يعتمد شكل الحل العام للمعادلة المتجانسة المصاحبة على علامة (p ^ 2 - omega ^ 2_0 ) ، أو بشكل مكافئ على علامة (c ^ 2 - 4km ) ، كما رأينا من قبل . هذا هو،

[x_c = begin {cases} C_1e ^ {r_1t} + C_2e ^ {r_2t} & if c ^ 2> 4km، C_1e ^ {pt} + C_2te ^ {- pt} & if c ^ 2 = 4km، e ^ {- pt} (C_1 cos ( omega_1t) + C_2 sin ( omega_1t)) & if c ^ 2 <4km، end {cases} ]

حيث ( omega_1 = sqrt { omega ^ 2_0 - p ^ 2} ). على أي حال ، يمكننا أن نرى أن (x_c (t) rightarrow 0 ) كـ (t rightarrow infty ). علاوة على ذلك ، لا يمكن أن يكون هناك تعارض عند محاولة حل المعاملات غير المحددة بمحاولة (x_p = A cos ( omega t) + B sin ( omega t) ). دعونا نعوض ونحل من أجل (أ ) و (ب ). نحصل على (تُترك التفاصيل المملة للقارئ)

[(( omega ^ 2_0 - omega ^ 2) B - 2 omega pA) sin ( omega t) + (( omega ^ 2_0 - omega ^ 2) A + 2 omega pB) cos ( omega t) = frac {F_0} {m} cos ( omega t) ]

لقد حصلنا على ذلك

[A = frac {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2) F_0} {m {(2 omega p)} ^ 2 + m {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} ^ 2} ]

[B = frac {2 omega pF_0} {m {(2 omega p)} ^ 2 + m {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} ^ 2} ]

نحسب أيضًا (C = sqrt {A ^ 2 + B ^ 2} ) ليكون كذلك

[C = frac {F_0} {m sqrt {{(2 omega p)} ^ 2 + {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} ^ 2}} ]

وبالتالي فإن حلنا الخاص هو

[C = frac {F_0} {m sqrt {{(2 omega p)} ^ 2 + {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} ^ 2}} ]

[x_P = frac {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2) F_0} {m {(2 omega p)} ^ 2 + m {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} ^ 2} cos ( omega t) + frac {2 omega pF_0} {m {(2 omega p)} ^ 2 + m {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} ^ 2} sin ( أوميغا ر) ]

أو في الترميز البديل لدينا السعة (C ) وتحول الطور ( جاما ) حيث (if ( omega ne omega_0 ))

[ tan gamma = frac {B} {A} = frac {2 omega p} { omega ^ 2_0 - omega ^ 2} ]

ومن ثم لدينا

[x_p = frac {F_0} {m sqrt {{(2 omega p)} ^ 2 + {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)} ^ 2}} cos ( omega t - جاما) ]

إذا كان ( omega = omega_0 ) نرى ذلك (A = 0، B = C = frac {F_0} {2m omega p}، ~ rm {and} ~ gamma = frac { pi } {2} ).

الصيغة الدقيقة ليست مهمة مثل الفكرة. لا تحفظ الصيغة المذكورة أعلاه ، يجب عليك بدلاً من ذلك أن تتذكر الأفكار المعنية. لوظيفة التأثير المختلفة (F ) ، ستحصل على صيغة مختلفة لـ (x_p ). لذلك لا فائدة من حفظ هذه الصيغة المحددة. يمكنك دائمًا إعادة حسابها لاحقًا أو البحث عنها إذا كنت في حاجة إليها حقًا.

لأسباب سنشرحها في لحظة ، نسمي (x_c ) الحل العابر ونشير إليه بـ (x_ {tr} ). نسمي (x_p ) الذي وجدناه فوق الحل الدوري الثابت ونشير إليه بـ (x_ {sp} ) الحل العام لمشكلتنا هو

[x = x_c + x_p = x_ {tr} + x_ {sp} ]

الشكل 2.7: حلول بشروط أولية مختلفة للمعلمات (k = 1 ، m = 1 ، F_0 = 1 ، c = 0.7 ، ) و ( omega = 1.1. )

نلاحظ أن (x_c = x_ {tr} ) ينتقل إلى الصفر مثل (t rightarrow infty ) ، حيث تتضمن جميع المصطلحات أسيًا بأس سالب. ومن ثم بالنسبة إلى (t ) الكبيرة ، فإن تأثير (x_ {tr} ) ضئيل وسنرى فقط (x_ {sp} ). ومن هنا جاء الاسم عابر. لاحظ أن (x_ {sp} ) لا يتضمن ثوابت عشوائية ، وأن الشروط الأولية ستؤثر فقط على (x_ {tr} ). هذا يعني أن تأثير الشروط الأولية سيكون ضئيلًا بعد فترة زمنية معينة. بسبب هذا السلوك ، قد نركز أيضًا على الحل الدوري الثابت ونتجاهل الحل العابر. انظر الشكل 2.7 لرسم بياني للظروف الأولية المختلفة.

لاحظ أن السرعة التي يصل بها (x_ {tr} ) إلى الصفر تعتمد على (P ) (وبالتالي (c )). الأكبر (P ) هو (الأكبر (c ) هو) ، "الأسرع" (x_ {tr} ) يصبح مهملاً. لذا فكلما كان التخميد أصغر ، كانت "المنطقة المؤقتة" أطول. يتفق هذا مع الملاحظة أنه عندما (ج = 0 ) ، تؤثر الظروف الأولية على السلوك في كل الأوقات (أي "منطقة عابرة" غير محدودة).

دعونا نصف ما نعنيه بالرنين عند وجود التخميد. نظرًا لعدم وجود تعارضات عند الحل بمعامل غير محدد ، فلا يوجد مصطلح يذهب إلى اللانهاية. لكن ما سننظر إليه هو القيمة القصوى لسعة الحل الدوري الثابت. دع (C ) يكون سعة (x_ {sp} ). إذا رسمنا (C ) كدالة لـ ( omega ) (مع تثبيت جميع المعلمات الأخرى) يمكننا إيجاد الحد الأقصى لها. نسمي ( omega ) الذي يحقق هذا الحد الأقصى من تردد الرنين العملي. نسمي السعة القصوى (C ( omega) ) سعة الرنين العملية. وبالتالي عندما يكون التخميد موجودًا ، فإننا نتحدث عن رنين عملي بدلاً من رنين خالص. يرد في الشكل 2.8 مخطط عينة لثلاث قيم مختلفة لـ (ج ). كما ترون ، فإن سعة الرنين العملي تزداد كلما أصبح التخميد أصغر ، ويمكن أن يختفي أي صدى عملي عندما يكون التخميد كبيرًا.

الشكل 2.8: رسم بياني لـ (C ( omega) ) يظهر الرنين العملي مع المعلمات (ك = 1 ، م = 1 ، F_0 = 1 ). السطر العلوي هو (c = 0.4 ) ، والخط الأوسط (c = 0.8 ) ، والخط السفلي بـ (c = 1.6 ).

لإيجاد الحد الأقصى ، نحتاج إلى إيجاد المشتق (C '( omega) ). يظهر الحساب

[C '( omega) = frac {-4 omega (2p ^ 2 + omega ^ 2 - omega ^ 2_0) F_0} {m {({(2 omega p)} ^ 2 + {( omega ^ 2_0 - omega ^ 2)})} ^ {3/2}} ]

هذا هو الصفر إما عندما ( omega = 0 ) أو عندما (2p ^ 2 + omega ^ 2 - omega ^ 2_0 = 0 ). بمعنى آخر ، (C '( omega) = 0 ) متى

[ omega = sqrt { omega ^ 2_0 - 2p ^ 2} rm {~ أو ~} omega = 0 ]

يمكن إثبات أنه إذا كانت ( omega ^ 2_0 - 2p ^ 2 ) موجبة ، فإن ( sqrt { omega ^ 2_0 - 2p ^ 2} ) هو تردد الرنين العملي (هذه هي النقطة التي (C ( omega) ) هي الحد الأقصى ، لاحظ أنه في هذه الحالة (C '( omega)> 0 ) لـ small ( omega )). إذا كان ( omega = 0 ) هو الحد الأقصى ، فلا يوجد أي صدى عملي بشكل أساسي لأننا نفترض أن ( omega> 0 ) في نظامنا. في هذه الحالة ، يزداد السعة كلما قل تردد التأثير.

في حالة حدوث صدى عملي ، يكون التردد أصغر من ( omega_0 ). عندما يصبح التخميد (c ) (وبالتالي (P )) أصغر ، ينتقل تردد الرنين العملي إلى ( omega_0 ). لذلك عندما يكون التخميد صغيرًا جدًا ، يعد ( omega_0 ) تقديرًا جيدًا لتردد الرنين. يتفق هذا السلوك مع الملاحظة التي تشير إلى أنه عندما (c = 0 ) ، فإن ( omega_0 ) هو تردد الرنين.

يكون السلوك أكثر تعقيدًا إذا كانت دالة التأثير ليست موجة جيب تمام بالضبط ، ولكن على سبيل المثال موجة مربعة. سيكون من الجيد العودة إلى هذا القسم بمجرد أن نتعرف على سلسلة فورييه.

1ك.بلاه ور. سكانلان ، الرنين ، فشل تاكوما ناروز بريدج ، وكتب الفيزياء الجامعية ، المجلة الأمريكية للفيزياء ، 59 (2) ، 1991 ، 118-124 ، http://www.ketchum.org/billah/Billah- Scanlan.pdf


2.6: التذبذبات والرنين القسري

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • لاحظ رنين كرة مجداف على خيط.
  • راقب سعة المذبذب التوافقي المخمد.

الشكل 1. يمكنك أن تجعل أوتار البيانو تهتز ببساطة عن طريق إصدار موجات صوتية من صوتك. (الائتمان: مات بيلينجز ، فليكر)

اجلس أمام بيانو في وقت ما وقم بغناء نغمة صاخبة قصيرة عليه مع إزالة المخمدات من أوتارها. سوف تغني نفس النغمة لك مرة أخرى - الأوتار ، التي لها نفس ترددات صوتك ، يتردد صداها استجابة للقوى من الموجات الصوتية التي أرسلتها إليهم. يُعد صوتك وأوتار البيانو مثالاً جيدًا على حقيقة أن الأشياء - في هذه الحالة ، أوتار البيانو - يمكن إجبارها على التأرجح ولكن التذبذب أفضل بترددها الطبيعي. في هذا القسم ، سوف نستكشف بإيجاز تطبيق أ القوة الدافعة الدورية يعمل على مذبذب توافقي بسيط. القوة الدافعة تضع الطاقة في النظام بتردد معين ، وليس بالضرورة نفس التردد الطبيعي للنظام. ال تردد طبيعي هو التردد الذي يتأرجح عنده النظام إذا لم تكن هناك قوة دافعة ولا قوة تخميد.

لقد لعب معظمنا بألعاب تتضمن شيئًا مدعومًا على شريط مطاطي ، مثل كرة مجداف معلقة من إصبع في الشكل 2. تخيل أن الإصبع في الشكل هو إصبعك. في البداية ، تمسك إصبعك بثبات ، وترتد الكرة لأعلى ولأسفل بكمية صغيرة من التخميد. إذا حركت إصبعك لأعلى ولأسفل ببطء ، فستتبعك الكرة دون أن ترتد كثيرًا من تلقاء نفسها. كلما زادت التردد الذي تحرك به إصبعك لأعلى ولأسفل ، ستستجيب الكرة بالتذبذب مع زيادة السعة. عندما تدفع الكرة بترددها الطبيعي ، تزداد اهتزازات الكرة في الاتساع مع كل اهتزاز ما دمت تقودها. تسمى ظاهرة قيادة نظام بتردد يساوي تردده الطبيعي صدى. يقال إن النظام الذي يتم دفعه بتردده الطبيعي صدى. عندما يصبح تردد القيادة أعلى بشكل تدريجي من التردد الرنان أو الطبيعي ، يصبح اتساع الاهتزازات أصغر ، حتى تختفي الاهتزازات تقريبًا ويتحرك إصبعك ببساطة لأعلى ولأسفل مع تأثير ضئيل على الكرة.

الشكل 2. تتحرك كرة المضرب الموجودة على الشريط المطاطي استجابة للإصبع الذي يدعمها. إذا تحرك الإصبع بالتردد الطبيعي f0 للكرة على الشريط المطاطي ، فسيحدث صدى ، ويزداد اتساع اهتزازات الكرة بشكل كبير. في ترددات القيادة الأعلى والأدنى ، يتم نقل الطاقة إلى الكرة بشكل أقل كفاءة ، وتستجيب بتذبذبات ذات سعة أقل.

يوضح الشكل 3 رسمًا بيانيًا لسعة مذبذب توافقي مخفف كدالة لتردد القوة الدورية التي تحركه. هناك ثلاثة منحنيات على الرسم البياني ، يمثل كل منها مقدارًا مختلفًا من التخميد. تبلغ ذروتها جميع المنحنيات الثلاثة عند النقطة التي يكون فيها تردد القوة الدافعة مساويًا للتردد الطبيعي للمذبذب التوافقي. أعلى ذروة ، أو أكبر استجابة ، هي أقل كمية من التخميد ، لأنه يتم إزالة طاقة أقل بواسطة قوة التخميد.

الشكل 3. سعة المذبذب التوافقي كدالة لتردد القوة الدافعة. تمثل المنحنيات نفس المذبذب بنفس التردد الطبيعي ولكن بكميات مختلفة من التخميد. يحدث الرنين عندما يكون تردد القيادة مساويًا للتردد الطبيعي ، وتكون الاستجابة الأكبر هي أقل قدر من التخميد. أضيق استجابة هي أيضًا لأقل التخميد.

من المثير للاهتمام أن عروض منحنيات الرنين الموضحة في الشكل 3 تعتمد على التخميد: فكلما قل التخميد ، كان الرنين أضيق. الرسالة هي أنه إذا كنت تريد أن يصدر مذبذب مدفوع صدى بتردد محدد للغاية ، فأنت بحاجة إلى أقل قدر ممكن من التخميد. القليل من التخميد هو الحال بالنسبة لأوتار البيانو والعديد من الآلات الموسيقية الأخرى. على العكس من ذلك ، إذا كنت تريد تذبذبات ذات سعة صغيرة ، كما هو الحال في نظام تعليق السيارة ، فأنت تريد التخميد الشديد. يقلل التخميد الثقيل من السعة ، لكن المفاضلة هي أن النظام يستجيب عند ترددات أكثر.

تنطبق ميزات المذبذبات التوافقية المدفوعة على مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأنظمة. عندما تقوم بموالفة راديو ، على سبيل المثال ، فإنك تقوم بضبط تردد الرنين الخاص به بحيث يتأرجح فقط مع تردد بث المحطة (القيادة) المطلوب. كلما كان الراديو أكثر انتقائية في التمييز بين المحطات ، قل التخميد. التصوير بالرنين المغناطيسي (MRI) هو أداة تشخيص طبية مستخدمة على نطاق واسع حيث يتم تصنيع النوى الذرية (معظمها نوى الهيدروجين) لتتردد عن طريق موجات الراديو الواردة (بترتيب 100 ميجاهرتز). الطفل على أرجوحة يقودها أحد الوالدين على التردد الطبيعي للأرجوحة لتحقيق أقصى سعة. في كل هذه الحالات ، تكون كفاءة نقل الطاقة من القوة الدافعة إلى المذبذب هي الأفضل في الرنين.

الشكل 4. في عام 1940 ، انهار جسر تاكوما ناروز في ولاية واشنطن. دفعت الرياح المتقاطعة الشديدة الجسر إلى اهتزازات بترددها الرنان. انخفض التخميد عندما انفصلت كابلات الدعم وبدأت في الانزلاق فوق الأبراج ، مما سمح بسعة أكبر بشكل متزايد حتى فشل الهيكل (الائتمان: PRI & # 8217s Studio 360 ، عبر Flickr)

تثبت مطبات السرعة والطرق المرصوفة بالحصى أنه حتى نظام التعليق في السيارة ليس محصنًا من الرنين. على الرغم من ماصات الصدمات المصممة بدقة ، والتي عادةً ما تحول الطاقة الميكانيكية إلى طاقة حرارية بنفس السرعة التي تأتي بها ، إلا أن مطبات السرعة لا تزال تسبب تذبذبًا كبيرًا السعة. على الطرق المليئة بالحصى المموجة ، ربما لاحظت أنه إذا سافرت بسرعة "خاطئة" ، فإن المطبات تكون ملحوظة للغاية بينما في السرعات الأخرى قد لا تشعر بالمطبات على الإطلاق. يوضح الشكل 4 صورة لنموذج مشهور (جسر Tacoma Narrows Bridge) للتأثيرات المدمرة للتذبذب التوافقي المتحرك. تم إغلاق جسر الألفية في لندن لفترة قصيرة للسبب نفسه أثناء إجراء عمليات التفتيش.

في أجسامنا ، يعتبر تجويف الصدر مثالًا واضحًا على نظام الرنين. يدفع الحجاب الحاجز وجدار الصدر اهتزازات تجويف الصدر مما يؤدي إلى تضخم الرئتين وتفريغهما. النظام مثبط بشكل خطير ويتأرجح الحجاب الحاجز العضلي عند القيمة الرنانة للنظام ، مما يجعله عالي الكفاءة.

تأكد من فهمك

تتضمن الحيلة السحرية الشهيرة أن يغني المؤدي نغمة تجاه زجاج بلوري حتى يتحطم الزجاج. اشرح سبب نجاح الحيلة من حيث الرنين والتردد الطبيعي.

حل

يجب أن يغني المؤدي نوتة تتوافق مع التردد الطبيعي للزجاج. عندما يتم توجيه الموجة الصوتية نحو الزجاج ، يستجيب الزجاج بالرنين بنفس تردد الموجة الصوتية. مع إدخال طاقة كافية في النظام ، يبدأ الزجاج في الاهتزاز ويتحطم في النهاية.


ملخص

  • التردد الطبيعي للنظام و rsquos هو التردد الذي يتأرجح فيه النظام إذا لم يتأثر بالقيادة أو التخميد.
  • تنتج القوة الدورية التي تحرك المذبذب التوافقي بتردده الطبيعي صدى. يقال إن النظام له صدى.
  • كلما قل التخميد في النظام ، زادت سعة التذبذبات القسرية بالقرب من الرنين. كلما زاد التخميد الذي يتمتع به النظام ، كانت الاستجابة الأوسع نطاقًا له مع ترددات القيادة المتغيرة.

16.8 التذبذبات والرنين القسري

اجلس أمام بيانو في وقت ما وقم بغناء نغمة صاخبة قصيرة عليه مع إزالة المخمدات من أوتارها. سوف تغني نفس النغمة لك مرة أخرى - الأوتار ، التي لها نفس ترددات صوتك ، يتردد صداها استجابة للقوى من الموجات الصوتية التي أرسلتها إليهم. يُعد صوتك وأوتار البيانو مثالاً جيدًا على حقيقة أن الأشياء - في هذه الحالة ، أوتار البيانو - يمكن إجبارها على التأرجح ولكن التذبذب أفضل بترددها الطبيعي. في هذا القسم ، سوف نستكشف بإيجاز تطبيق أ القوة الدافعة الدورية يعمل على مذبذب توافقي بسيط. القوة الدافعة تضع الطاقة في النظام بتردد معين ، وليس بالضرورة نفس التردد الطبيعي للنظام. التردد الطبيعي هو التردد الذي يتأرجح عنده النظام إذا لم تكن هناك قوة دافعة ولا قوة تخميد.

لقد لعب معظمنا بألعاب تتضمن شيئًا مدعومًا على شريط مطاطي ، مثل كرة مجداف معلقة من إصبع في الشكل 16.26. تخيل أن الإصبع في الشكل هو إصبعك. في البداية ، تمسك إصبعك بثبات ، وترتد الكرة لأعلى ولأسفل بكمية صغيرة من التخميد. إذا حركت إصبعك لأعلى ولأسفل ببطء ، فستتبعك الكرة دون أن ترتد كثيرًا من تلقاء نفسها. كلما زادت التردد الذي تحرك به إصبعك لأعلى ولأسفل ، ستستجيب الكرة بالتذبذب مع زيادة السعة. عندما تدفع الكرة بترددها الطبيعي ، تزداد اهتزازات الكرة في الاتساع مع كل اهتزاز ما دمت تقودها. تسمى ظاهرة قيادة نظام بتردد مساوٍ لتردده الطبيعي بالرنين. يقال إن النظام الذي يتم تشغيله بتردده الطبيعي له صدى. عندما يصبح تردد القيادة أعلى بشكل تدريجي من التردد الرنان أو الطبيعي ، يصبح اتساع الاهتزازات أصغر ، حتى تختفي الاهتزازات تقريبًا ويتحرك إصبعك ببساطة لأعلى ولأسفل مع تأثير ضئيل على الكرة.

يوضح الشكل 16.27 رسمًا بيانيًا لسعة مذبذب توافقي مخمد كدالة لتردد القوة الدورية التي تحركه. هناك ثلاثة منحنيات على الرسم البياني ، يمثل كل منها مقدارًا مختلفًا من التخميد. تبلغ ذروتها جميع المنحنيات الثلاثة عند النقطة التي يكون فيها تردد القوة الدافعة مساويًا للتردد الطبيعي للمذبذب التوافقي. أعلى ذروة ، أو أكبر استجابة ، هي أقل كمية من التخميد ، لأنه يتم إزالة طاقة أقل بواسطة قوة التخميد.

من المثير للاهتمام أن عروض منحنيات الرنين الموضحة في الشكل 16.27 تعتمد على التخميد: فكلما قل التخميد ، كان الرنين أضيق. الرسالة هي أنه إذا كنت تريد أن يصدر مذبذب مدفوع صدى بتردد محدد للغاية ، فأنت بحاجة إلى أقل قدر ممكن من التخميد. القليل من التخميد هو الحال بالنسبة لأوتار البيانو والعديد من الآلات الموسيقية الأخرى. على العكس من ذلك ، إذا كنت تريد تذبذبات ذات سعة صغيرة ، كما هو الحال في نظام تعليق السيارة ، فأنت تريد التخميد الشديد. يقلل التخميد الثقيل من السعة ، لكن المفاضلة هي أن النظام يستجيب عند ترددات أكثر.

تنطبق ميزات المذبذبات التوافقية المدفوعة على مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأنظمة. عندما تقوم بموالفة راديو ، على سبيل المثال ، فإنك تقوم بضبط تردد الرنين الخاص به بحيث يتأرجح فقط مع تردد بث المحطة (القيادة) المطلوب. كلما كان الراديو أكثر انتقائية في التمييز بين المحطات ، قل التخميد. التصوير بالرنين المغناطيسي (MRI) هو أداة تشخيص طبية مستخدمة على نطاق واسع حيث يتم تصنيع النوى الذرية (معظمها نوى الهيدروجين) لتتردد عن طريق موجات الراديو الواردة (بترتيب 100 ميجاهرتز). الطفل على أرجوحة يقودها أحد الوالدين على التردد الطبيعي للأرجوحة لتحقيق أقصى سعة. في كل هذه الحالات ، تكون كفاءة نقل الطاقة من القوة الدافعة إلى المذبذب هي الأفضل في الرنين. تثبت مطبات السرعة والطرق المرصوفة بالحصى أنه حتى نظام التعليق في السيارة ليس محصنًا من الرنين. على الرغم من ماصات الصدمات المصممة بدقة ، والتي عادةً ما تحول الطاقة الميكانيكية إلى طاقة حرارية بنفس السرعة التي تأتي بها ، لا تزال مطبات السرعة تسبب تذبذبًا كبيرًا. على الطرق المليئة بالحصى المموجة ، ربما لاحظت أنه إذا سافرت بسرعة "خاطئة" ، فإن المطبات تكون ملحوظة للغاية بينما في السرعات الأخرى قد لا تشعر بالمطبات على الإطلاق. يوضح الشكل 16.28 صورة لنموذج مشهور (جسر Tacoma Narrows Bridge) للتأثيرات المدمرة للتذبذب التوافقي المتحرك. تم إغلاق جسر الألفية في لندن لفترة قصيرة للسبب نفسه أثناء إجراء عمليات التفتيش.

في أجسامنا ، يعتبر تجويف الصدر مثالًا واضحًا على نظام الرنين. يدفع الحجاب الحاجز وجدار الصدر اهتزازات تجويف الصدر مما يؤدي إلى تضخم الرئتين وتفريغهما. النظام مثبط بشكل خطير ويتأرجح الحجاب الحاجز العضلي عند القيمة الرنانة للنظام ، مما يجعله عالي الكفاءة.

تأكد من فهمك

تتضمن الحيلة السحرية الشهيرة أن يغني المؤدي نغمة تجاه زجاج بلوري حتى يتحطم الزجاج. اشرح سبب نجاح الحيلة من حيث الرنين والتردد الطبيعي.

حل

يجب أن يغني المؤدي نوتة تتوافق مع التردد الطبيعي للزجاج. عندما يتم توجيه الموجة الصوتية نحو الزجاج ، يستجيب الزجاج بالرنين بنفس تردد الموجة الصوتية. مع إدخال طاقة كافية في النظام ، يبدأ الزجاج في الاهتزاز ويتحطم في النهاية.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة اقتباس مثل هذه.
    • المؤلفون: Paul Peter Urone، Roger Hinrichs
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: College Physics
    • تاريخ النشر: 21 حزيران (يونيو) 2012
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/college-physics/pages/1-introduction-to-science-and-the-realm-of-physics-physical-quantities-and-units
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/college-physics/pages/16-8-forced-oscillations-and-resonance

    © 7 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    10.8 اختياري: التذبذبات والرنين القسري

    شكل 1. يمكنك أن تجعل أوتار البيانو تهتز ببساطة عن طريق إصدار موجات صوتية من صوتك. (الائتمان: مات بيلينجز ، فليكر)

    اجلس أمام بيانو في وقت ما وقم بغناء نغمة صاخبة قصيرة عليه مع إزالة المخمدات من أوتارها. سوف تغني نفس النغمة لك مرة أخرى - الأوتار ، التي لها نفس ترددات صوتك ، يتردد صداها استجابة للقوى من الموجات الصوتية التي أرسلتها إليهم. يُعد صوتك وأوتار البيانو مثالاً جيدًا على حقيقة أن الأشياء - في هذه الحالة ، أوتار البيانو - يمكن إجبارها على التأرجح ولكن التذبذب أفضل بترددها الطبيعي. في هذا القسم ، سوف نستكشف بإيجاز تطبيق أ القوة الدافعة الدورية يعمل على مذبذب توافقي بسيط. القوة الدافعة تضع الطاقة في النظام بتردد معين ، وليس بالضرورة نفس التردد الطبيعي للنظام. ال تردد طبيعي هو التردد الذي يتأرجح عنده النظام إذا لم تكن هناك قوة دافعة ولا قوة تخميد.

    لقد لعب معظمنا بألعاب تتضمن شيئًا مدعومًا على شريط مطاطي ، مثل كرة مجداف معلقة من إصبع في الشكل 2. تخيل أن الإصبع في الشكل هو إصبعك. في البداية ، تمسك إصبعك بثبات ، وترتد الكرة لأعلى ولأسفل بكمية صغيرة من التخميد. إذا حركت إصبعك لأعلى ولأسفل ببطء ، فستتبعك الكرة دون أن ترتد كثيرًا من تلقاء نفسها. كلما زادت التردد الذي تحرك به إصبعك لأعلى ولأسفل ، ستستجيب الكرة بالتذبذب مع زيادة السعة. عندما تدفع الكرة بترددها الطبيعي ، تزداد اهتزازات الكرة في الاتساع مع كل اهتزاز ما دمت تقودها. تسمى ظاهرة قيادة نظام بتردد يساوي تردده الطبيعي صدى. يقال إن النظام الذي يُقاد بتردده الطبيعي صدى. عندما يصبح تردد القيادة أعلى بشكل تدريجي من التردد الرنان أو الطبيعي ، يصبح اتساع الاهتزازات أصغر ، حتى تختفي الاهتزازات تقريبًا ويتحرك إصبعك ببساطة لأعلى ولأسفل مع تأثير ضئيل على الكرة.

    الشكل 2. تتحرك كرة المضرب الموجودة على الشريط المطاطي استجابة للإصبع الذي يدعمها. إذا تحرك الإصبع بالتردد الطبيعي F0 للكرة على الشريط المطاطي ، ثم يتم الحصول على صدى ، ويزداد اتساع اهتزازات الكرة بشكل كبير. في ترددات القيادة الأعلى والأدنى ، يتم نقل الطاقة إلى الكرة بشكل أقل كفاءة ، وتستجيب بتذبذبات ذات سعة أقل.

    يوضح الشكل 3 رسمًا بيانيًا لسعة مذبذب توافقي مخفف كدالة لتردد القوة الدورية التي تحركه. هناك ثلاثة منحنيات على الرسم البياني ، يمثل كل منها مقدارًا مختلفًا من التخميد. تبلغ ذروتها جميع المنحنيات الثلاثة عند النقطة التي يكون فيها تردد القوة الدافعة مساويًا للتردد الطبيعي للمذبذب التوافقي. أعلى ذروة ، أو أكبر استجابة ، هي أقل كمية من التخميد ، لأنه يتم إزالة طاقة أقل بواسطة قوة التخميد.

    الشكل 3. سعة المذبذب التوافقي كدالة لتردد القوة الدافعة. تمثل المنحنيات نفس المذبذب بنفس التردد الطبيعي ولكن بكميات مختلفة من التخميد. يحدث الرنين عندما يكون تردد القيادة مساويًا للتردد الطبيعي ، وتكون الاستجابة الأكبر هي أقل قدر من التخميد. أضيق استجابة هي أيضًا لأقل التخميد.

    من المثير للاهتمام أن عروض منحنيات الرنين الموضحة في الشكل 3 تعتمد على التخميد: فكلما قل التخميد ، كان الرنين أضيق. الرسالة هي أنه إذا كنت تريد أن يصدر مذبذب مدفوع صدى بتردد محدد للغاية ، فأنت بحاجة إلى أقل قدر ممكن من التخميد. القليل من التخميد هو الحال بالنسبة لأوتار البيانو والعديد من الآلات الموسيقية الأخرى. على العكس من ذلك ، إذا كنت تريد تذبذبات ذات سعة صغيرة ، كما هو الحال في نظام تعليق السيارة ، فأنت تريد التخميد الشديد. يقلل التخميد الثقيل من السعة ، ولكن المفاضلة هي أن النظام يستجيب عند ترددات أكثر.

    تنطبق ميزات المذبذبات التوافقية المدفوعة على مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأنظمة. عندما تقوم بموالفة راديو ، على سبيل المثال ، فإنك تقوم بضبط تردد الرنين الخاص به بحيث يتأرجح فقط مع تردد بث المحطة (القيادة) المطلوب. The more selective the radio is in discriminating between stations, the smaller its damping. Magnetic resonance imaging (MRI) is a widely used medical diagnostic tool in which atomic nuclei (mostly hydrogen nuclei) are made to resonate by incoming radio waves (on the order of 100 MHz). A child on a swing is driven by a parent at the swing’s natural frequency to achieve maximum amplitude. In all of these cases, the efficiency of energy transfer from the driving force into the oscillator is best at resonance. Speed bumps and gravel roads prove that even a car’s suspension system is not immune to resonance. In spite of finely engineered shock absorbers, which ordinarily convert mechanical energy to thermal energy almost as fast as it comes in, speed bumps still cause a large-amplitude oscillation. On gravel roads that are corrugated, you may have noticed that if you travel at the “wrong” speed, the bumps are very noticeable whereas at other speeds you may hardly feel the bumps at all. Figure 4 shows a photograph of a famous example (the Tacoma Narrows Bridge) of the destructive effects of a driven harmonic oscillation. The Millennium Bridge in London was closed for a short period of time for the same reason while inspections were carried out.

    In our bodies, the chest cavity is a clear example of a system at resonance. The diaphragm and chest wall drive the oscillations of the chest cavity which result in the lungs inflating and deflating. The system is critically damped and the muscular diaphragm oscillates at the resonant value for the system, making it highly efficient.

    Figure 4. In 1940, the Tacoma Narrows Bridge in Washington state collapsed. Heavy cross winds drove the bridge into oscillations at its resonant frequency. Damping decreased when support cables broke loose and started to slip over the towers, allowing increasingly greater amplitudes until the structure failed (credit: PRI’s Studio 360, via Flickr)

    Check Your Understanding

    1: A famous magic trick involves a performer singing a note toward a crystal glass until the glass shatters. Explain why the trick works in terms of resonance and natural frequency.


    123 16.8 Forced Oscillations and Resonance

    Figure 1. You can cause the strings in a piano to vibrate simply by producing sound waves from your voice. (credit: Matt Billings, Flickr)

    Sit in front of a piano sometime and sing a loud brief note at it with the dampers off its strings. It will sing the same note back at you—the strings, having the same frequencies as your voice, are resonating in response to the forces from the sound waves that you sent to them. Your voice and a piano’s strings is a good example of the fact that objects—in this case, piano strings—can be forced to oscillate but oscillate best at their natural frequency. In this section, we shall briefly explore applying a periodic driving force acting on a simple harmonic oscillator. The driving force puts energy into the system at a certain frequency, not necessarily the same as the natural frequency of the system. ال natural frequency is the frequency at which a system would oscillate if there were no driving and no damping force.

    Most of us have played with toys involving an object supported on an elastic band, something like the paddle ball suspended from a finger in Figure 2. Imagine the finger in the figure is your finger. At first you hold your finger steady, and the ball bounces up and down with a small amount of damping. If you move your finger up and down slowly, the ball will follow along without bouncing much on its own. As you increase the frequency at which you move your finger up and down, the ball will respond by oscillating with increasing amplitude. When you drive the ball at its natural frequency, the ball’s oscillations increase in amplitude with each oscillation for as long as you drive it. The phenomenon of driving a system with a frequency equal to its natural frequency is called resonance. A system being driven at its natural frequency is said to resonate. As the driving frequency gets progressively higher than the resonant or natural frequency, the amplitude of the oscillations becomes smaller, until the oscillations nearly disappear and your finger simply moves up and down with little effect on the ball.

    Figure 2. The paddle ball on its rubber band moves in response to the finger supporting it. If the finger moves with the natural frequency F0 of the ball on the rubber band, then a resonance is achieved, and the amplitude of the ball’s oscillations increases dramatically. At higher and lower driving frequencies, energy is transferred to the ball less efficiently, and it responds with lower-amplitude oscillations.

    Figure 3 shows a graph of the amplitude of a damped harmonic oscillator as a function of the frequency of the periodic force driving it. There are three curves on the graph, each representing a different amount of damping. All three curves peak at the point where the frequency of the driving force equals the natural frequency of the harmonic oscillator. The highest peak, or greatest response, is for the least amount of damping, because less energy is removed by the damping force.

    Figure 3. Amplitude of a harmonic oscillator as a function of the frequency of the driving force. The curves represent the same oscillator with the same natural frequency but with different amounts of damping. Resonance occurs when the driving frequency equals the natural frequency, and the greatest response is for the least amount of damping. The narrowest response is also for the least damping.

    It is interesting that the widths of the resonance curves shown in Figure 3 depend on damping: the less the damping, the narrower the resonance. The message is that if you want a driven oscillator to resonate at a very specific frequency, you need as little damping as possible. Little damping is the case for piano strings and many other musical instruments. Conversely, if you want small-amplitude oscillations, such as in a car’s suspension system, then you want heavy damping. Heavy damping reduces the amplitude, but the tradeoff is that the system responds at more frequencies.

    These features of driven harmonic oscillators apply to a huge variety of systems. When you tune a radio, for example, you are adjusting its resonant frequency so that it only oscillates to the desired station’s broadcast (driving) frequency. The more selective the radio is in discriminating between stations, the smaller its damping. Magnetic resonance imaging (MRI) is a widely used medical diagnostic tool in which atomic nuclei (mostly hydrogen nuclei) are made to resonate by incoming radio waves (on the order of 100 MHz). A child on a swing is driven by a parent at the swing’s natural frequency to achieve maximum amplitude. In all of these cases, the efficiency of energy transfer from the driving force into the oscillator is best at resonance. Speed bumps and gravel roads prove that even a car’s suspension system is not immune to resonance. In spite of finely engineered shock absorbers, which ordinarily convert mechanical energy to thermal energy almost as fast as it comes in, speed bumps still cause a large-amplitude oscillation. On gravel roads that are corrugated, you may have noticed that if you travel at the “wrong” speed, the bumps are very noticeable whereas at other speeds you may hardly feel the bumps at all. Figure 4 shows a photograph of a famous example (the Tacoma Narrows Bridge) of the destructive effects of a driven harmonic oscillation. The Millennium Bridge in London was closed for a short period of time for the same reason while inspections were carried out.

    In our bodies, the chest cavity is a clear example of a system at resonance. The diaphragm and chest wall drive the oscillations of the chest cavity which result in the lungs inflating and deflating. The system is critically damped and the muscular diaphragm oscillates at the resonant value for the system, making it highly efficient.

    Figure 4. In 1940, the Tacoma Narrows Bridge in Washington state collapsed. Heavy cross winds drove the bridge into oscillations at its resonant frequency. Damping decreased when support cables broke loose and started to slip over the towers, allowing increasingly greater amplitudes until the structure failed (credit: PRI’s Studio 360, via Flickr)

    Check Your Understanding

    1: A famous magic trick involves a performer singing a note toward a crystal glass until the glass shatters. Explain why the trick works in terms of resonance and natural frequency.


    16.8 Forced Oscillations and Resonance

    Figure 1. You can cause the strings in a piano to vibrate simply by producing sound waves from your voice. (credit: Matt Billings, Flickr)

    Sit in front of a piano sometime and sing a loud brief note at it with the dampers off its strings. It will sing the same note back at you—the strings, having the same frequencies as your voice, are resonating in response to the forces from the sound waves that you sent to them. Your voice and a piano’s strings is a good example of the fact that objects—in this case, piano strings—can be forced to oscillate but oscillate best at their natural frequency. In this section, we shall briefly explore applying a periodic driving force acting on a simple harmonic oscillator. The driving force puts energy into the system at a certain frequency, not necessarily the same as the natural frequency of the system. ال natural frequency is the frequency at which a system would oscillate if there were no driving and no damping force.

    Most of us have played with toys involving an object supported on an elastic band, something like the paddle ball suspended from a finger in Figure 2. Imagine the finger in the figure is your finger. At first you hold your finger steady, and the ball bounces up and down with a small amount of damping. If you move your finger up and down slowly, the ball will follow along without bouncing much on its own. As you increase the frequency at which you move your finger up and down, the ball will respond by oscillating with increasing amplitude. When you drive the ball at its natural frequency, the ball’s oscillations increase in amplitude with each oscillation for as long as you drive it. The phenomenon of driving a system with a frequency equal to its natural frequency is called resonance. A system being driven at its natural frequency is said to resonate. As the driving frequency gets progressively higher than the resonant or natural frequency, the amplitude of the oscillations becomes smaller, until the oscillations nearly disappear and your finger simply moves up and down with little effect on the ball.

    Figure 2. The paddle ball on its rubber band moves in response to the finger supporting it. If the finger moves with the natural frequency F0 of the ball on the rubber band, then a resonance is achieved, and the amplitude of the ball’s oscillations increases dramatically. At higher and lower driving frequencies, energy is transferred to the ball less efficiently, and it responds with lower-amplitude oscillations.

    Figure 3 shows a graph of the amplitude of a damped harmonic oscillator as a function of the frequency of the periodic force driving it. There are three curves on the graph, each representing a different amount of damping. All three curves peak at the point where the frequency of the driving force equals the natural frequency of the harmonic oscillator. The highest peak, or greatest response, is for the least amount of damping, because less energy is removed by the damping force.

    Figure 3. Amplitude of a harmonic oscillator as a function of the frequency of the driving force. The curves represent the same oscillator with the same natural frequency but with different amounts of damping. Resonance occurs when the driving frequency equals the natural frequency, and the greatest response is for the least amount of damping. The narrowest response is also for the least damping.

    It is interesting that the widths of the resonance curves shown in Figure 3 depend on damping: the less the damping, the narrower the resonance. The message is that if you want a driven oscillator to resonate at a very specific frequency, you need as little damping as possible. Little damping is the case for piano strings and many other musical instruments. Conversely, if you want small-amplitude oscillations, such as in a car’s suspension system, then you want heavy damping. Heavy damping reduces the amplitude, but the tradeoff is that the system responds at more frequencies.

    These features of driven harmonic oscillators apply to a huge variety of systems. When you tune a radio, for example, you are adjusting its resonant frequency so that it only oscillates to the desired station’s broadcast (driving) frequency. The more selective the radio is in discriminating between stations, the smaller its damping. Magnetic resonance imaging (MRI) is a widely used medical diagnostic tool in which atomic nuclei (mostly hydrogen nuclei) are made to resonate by incoming radio waves (on the order of 100 MHz). A child on a swing is driven by a parent at the swing’s natural frequency to achieve maximum amplitude. In all of these cases, the efficiency of energy transfer from the driving force into the oscillator is best at resonance. Speed bumps and gravel roads prove that even a car’s suspension system is not immune to resonance. In spite of finely engineered shock absorbers, which ordinarily convert mechanical energy to thermal energy almost as fast as it comes in, speed bumps still cause a large-amplitude oscillation. On gravel roads that are corrugated, you may have noticed that if you travel at the “wrong” speed, the bumps are very noticeable whereas at other speeds you may hardly feel the bumps at all. Figure 4 shows a photograph of a famous example (the Tacoma Narrows Bridge) of the destructive effects of a driven harmonic oscillation. The Millennium Bridge in London was closed for a short period of time for the same reason while inspections were carried out.

    In our bodies, the chest cavity is a clear example of a system at resonance. The diaphragm and chest wall drive the oscillations of the chest cavity which result in the lungs inflating and deflating. The system is critically damped and the muscular diaphragm oscillates at the resonant value for the system, making it highly efficient.

    Figure 4. In 1940, the Tacoma Narrows Bridge in Washington state collapsed. Heavy cross winds drove the bridge into oscillations at its resonant frequency. Damping decreased when support cables broke loose and started to slip over the towers, allowing increasingly greater amplitudes until the structure failed (credit: PRI’s Studio 360, via Flickr)

    Check Your Understanding

    1: A famous magic trick involves a performer singing a note toward a crystal glass until the glass shatters. Explain why the trick works in terms of resonance and natural frequency.


    1 Answer 1

    Absorb the superfluous parameter m into your r.h.s. driving term, an obvious square wave with an infinity of harmonics, $ ddot+gammadot+omega_0^2x= sum_^frac<4F_0>sinleft( nomega t ight),$ where I've defined $omegaequiv 2pi/T$ , not your Ansatz parameter.

    From the linearity of the equation, and the ultimate vanishing of the transient solution of the damped undriven component, you realize you only need solve one problem, e.g. the leading harmonic ω, replicate/adapt the solution for each one , and add all of them together (an infinity) to get the most general solution of the full problem.

    So you really only need solve the customary $ddot+gammadot+omega_0^2x= frac<4F_0>sinleft( omega t ight),$ which you started doing with an ansatz of frequency ω, except for the full driving term, which cannot work. The steady-state solution is, then, taking the t=0 limit into consideration, $ x= -frac<4F_0>left ( sin(omega t)frac<(omega^2-omega_0^2)^2+gamma^2omega^2>+ cos(omega t)frac <(omega^2-omega_0^2)^2+gamma^2omega^2> ight ) equiv frac<4F_0>>igl ( sin(omega t)cos phi + cos(omega t)sin phi igr ) = frac<4F_0>> sin(omega t + phi)

    The minimum of the square root denominator of the amplitude is at $ omega=sqrt

    , $ the resonant frequency of a single harmonic forcer. It is slightly below the natural frequency $omega_0$ for weak friction.

    Now repeat all this (in your mind) for a single forcing term of the form $ frac<4F_0>sinleft(n omega t ight)$ , and add all these solutions to the above, by linearity, to get the general steady-state solution (that is, ignore the transient). Note each n will have a characteristic, different phase, and a characteristic resonance frequency at 1/n of the above resonant frequency. Each term will be suppressed by 1/n. Because of the different phases, all near π/4 at resonance, there won't be any mode-locking making these lower resonant frequencies invisible. In practice, you see the fundamental harmonic resonance slightly below $omega_0$ , but also the next odd harmonic resonance at somewhat below $omega_0/3$ !

    I'm sure there are better graphics sites than this one, but I didn't want to bother looking for them. If all of the above is not self-evident, hit the reviews, Butikov (2004), "Square-wave excitation of a linear oscillator", American Journal of Physics 72 (4) 469-476.


    123 Forced Oscillations and Resonance

    Sit in front of a piano sometime and sing a loud brief note at it with the dampers off its strings. It will sing the same note back at you—the strings, having the same frequencies as your voice, are resonating in response to the forces from the sound waves that you sent to them. Your voice and a piano’s strings is a good example of the fact that objects—in this case, piano strings—can be forced to oscillate but oscillate best at their natural frequency. In this section, we shall briefly explore applying a periodic driving force acting on a simple harmonic oscillator. The driving force puts energy into the system at a certain frequency, not necessarily the same as the natural frequency of the system. The natural frequency is the frequency at which a system would oscillate if there were no driving and no damping force.

    Most of us have played with toys involving an object supported on an elastic band, something like the paddle ball suspended from a finger in (Figure). Imagine the finger in the figure is your finger. At first you hold your finger steady, and the ball bounces up and down with a small amount of damping. If you move your finger up and down slowly, the ball will follow along without bouncing much on its own. As you increase the frequency at which you move your finger up and down, the ball will respond by oscillating with increasing amplitude. When you drive the ball at its natural frequency, the ball’s oscillations increase in amplitude with each oscillation for as long as you drive it. The phenomenon of driving a system with a frequency equal to its natural frequency is called resonance . A system being driven at its natural frequency is said to resonate . As the driving frequency gets progressively higher than the resonant or natural frequency, the amplitude of the oscillations becomes smaller, until the oscillations nearly disappear and your finger simply moves up and down with little effect on the ball.

    The paddle ball on its rubber band moves in response to the finger supporting it. If the finger moves with the natural frequency of the ball on the rubber band, then a resonance is achieved, and the amplitude of the ball’s oscillations increases dramatically. At higher and lower driving frequencies, energy is transferred to the ball less efficiently, and it responds with lower-amplitude oscillations.

    (Figure) shows a graph of the amplitude of a damped harmonic oscillator as a function of the frequency of the periodic force driving it. There are three curves on the graph, each representing a different amount of damping. All three curves peak at the point where the frequency of the driving force equals the natural frequency of the harmonic oscillator. The highest peak, or greatest response, is for the least amount of damping, because less energy is removed by the damping force.

    It is interesting that the widths of the resonance curves shown in (Figure) depend on damping: the less the damping, the narrower the resonance. The message is that if you want a driven oscillator to resonate at a very specific frequency, you need as little damping as possible. Little damping is the case for piano strings and many other musical instruments. Conversely, if you want small-amplitude oscillations, such as in a car’s suspension system, then you want heavy damping. Heavy damping reduces the amplitude, but the tradeoff is that the system responds at more frequencies.

    These features of driven harmonic oscillators apply to a huge variety of systems. When you tune a radio, for example, you are adjusting its resonant frequency so that it only oscillates to the desired station’s broadcast (driving) frequency. The more selective the radio is in discriminating between stations, the smaller its damping. Magnetic resonance imaging (MRI) is a widely used medical diagnostic tool in which atomic nuclei (mostly hydrogen nuclei) are made to resonate by incoming radio waves (on the order of 100 MHz). A child on a swing is driven by a parent at the swing’s natural frequency to achieve maximum amplitude. In all of these cases, the efficiency of energy transfer from the driving force into the oscillator is best at resonance. Speed bumps and gravel roads prove that even a car’s suspension system is not immune to resonance. In spite of finely engineered shock absorbers, which ordinarily convert mechanical energy to thermal energy almost as fast as it comes in, speed bumps still cause a large-amplitude oscillation. On gravel roads that are corrugated, you may have noticed that if you travel at the “wrong” speed, the bumps are very noticeable whereas at other speeds you may hardly feel the bumps at all. (Figure) shows a photograph of a famous example (the Tacoma Narrows Bridge) of the destructive effects of a driven harmonic oscillation. The Millennium Bridge in London was closed for a short period of time for the same reason while inspections were carried out.

    In our bodies, the chest cavity is a clear example of a system at resonance. The diaphragm and chest wall drive the oscillations of the chest cavity which result in the lungs inflating and deflating. The system is critically damped and the muscular diaphragm oscillates at the resonant value for the system, making it highly efficient.

    A famous magic trick involves a performer singing a note toward a crystal glass until the glass shatters. Explain why the trick works in terms of resonance and natural frequency.

    The performer must be singing a note that corresponds to the natural frequency of the glass. As the sound wave is directed at the glass, the glass responds by resonating at the same frequency as the sound wave. With enough energy introduced into the system, the glass begins to vibrate and eventually shatters.

    Section Summary

    • A system’s natural frequency is the frequency at which the system will oscillate if not affected by driving or damping forces.
    • A periodic force driving a harmonic oscillator at its natural frequency produces resonance. The system is said to resonate.
    • The less damping a system has, the higher the amplitude of the forced oscillations near resonance. The more damping a system has, the broader response it has to varying driving frequencies.

    Conceptual Questions

    Why are soldiers in general ordered to “route step” (walk out of step) across a bridge?

    Problems & Exercises

    How much energy must the shock absorbers of a 1200-kg car dissipate in order to damp a bounce that initially has a velocity of 0.800 m/s at the equilibrium position? Assume the car returns to its original vertical position.

    If a car has a suspension system with a force constant of , how much energy must the car’s shocks remove to dampen an oscillation starting with a maximum displacement of 0.0750 m?

    (a) How much will a spring that has a force constant of 40.0 N/m be stretched by an object with a mass of 0.500 kg when hung motionless from the spring? (b) Calculate the decrease in gravitational potential energy of the 0.500-kg object when it descends this distance. (c) Part of this gravitational energy goes into the spring. Calculate the energy stored in the spring by this stretch, and compare it with the gravitational potential energy. Explain where the rest of the energy might go.

    (c). 0.300 J. The rest of the energy may go into heat caused by friction and other damping forces.

    Suppose you have a 0.750-kg object on a horizontal surface connected to a spring that has a force constant of 150 N/m. There is simple friction between the object and surface with a static coefficient of friction . (a) How far can the spring be stretched without moving the mass? (b) If the object is set into oscillation with an amplitude twice the distance found in part (a), and the kinetic coefficient of friction is , what total distance does it travel before stopping? Assume it starts at the maximum amplitude.

    Engineering Application: A suspension bridge oscillates with an effective force constant of . (a) How much energy is needed to make it oscillate with an amplitude of 0.100 m? (b) If soldiers march across the bridge with a cadence equal to the bridge’s natural frequency and impart of energy each second, how long does it take for the bridge’s oscillations to go from 0.100 m to 0.500 m amplitude?

    (a)

    (b) s


    123 16.8 Forced Oscillations and Resonance

    Figure 1. You can cause the strings in a piano to vibrate simply by producing sound waves from your voice. (credit: Matt Billings, Flickr)

    Sit in front of a piano sometime and sing a loud brief note at it with the dampers off its strings. It will sing the same note back at you—the strings, having the same frequencies as your voice, are resonating in response to the forces from the sound waves that you sent to them. Your voice and a piano’s strings is a good example of the fact that objects—in this case, piano strings—can be forced to oscillate but oscillate best at their natural frequency. In this section, we shall briefly explore applying a periodic driving force acting on a simple harmonic oscillator. The driving force puts energy into the system at a certain frequency, not necessarily the same as the natural frequency of the system. ال natural frequency is the frequency at which a system would oscillate if there were no driving and no damping force.

    Most of us have played with toys involving an object supported on an elastic band, something like the paddle ball suspended from a finger in Figure 2. Imagine the finger in the figure is your finger. At first you hold your finger steady, and the ball bounces up and down with a small amount of damping. If you move your finger up and down slowly, the ball will follow along without bouncing much on its own. As you increase the frequency at which you move your finger up and down, the ball will respond by oscillating with increasing amplitude. When you drive the ball at its natural frequency, the ball’s oscillations increase in amplitude with each oscillation for as long as you drive it. The phenomenon of driving a system with a frequency equal to its natural frequency is called resonance. A system being driven at its natural frequency is said to resonate. As the driving frequency gets progressively higher than the resonant or natural frequency, the amplitude of the oscillations becomes smaller, until the oscillations nearly disappear and your finger simply moves up and down with little effect on the ball.

    Figure 2. The paddle ball on its rubber band moves in response to the finger supporting it. If the finger moves with the natural frequency F0 of the ball on the rubber band, then a resonance is achieved, and the amplitude of the ball’s oscillations increases dramatically. At higher and lower driving frequencies, energy is transferred to the ball less efficiently, and it responds with lower-amplitude oscillations.

    Figure 3 shows a graph of the amplitude of a damped harmonic oscillator as a function of the frequency of the periodic force driving it. There are three curves on the graph, each representing a different amount of damping. All three curves peak at the point where the frequency of the driving force equals the natural frequency of the harmonic oscillator. The highest peak, or greatest response, is for the least amount of damping, because less energy is removed by the damping force.

    Figure 3. Amplitude of a harmonic oscillator as a function of the frequency of the driving force. The curves represent the same oscillator with the same natural frequency but with different amounts of damping. Resonance occurs when the driving frequency equals the natural frequency, and the greatest response is for the least amount of damping. The narrowest response is also for the least damping.

    It is interesting that the widths of the resonance curves shown in Figure 3 depend on damping: the less the damping, the narrower the resonance. The message is that if you want a driven oscillator to resonate at a very specific frequency, you need as little damping as possible. Little damping is the case for piano strings and many other musical instruments. Conversely, if you want small-amplitude oscillations, such as in a car’s suspension system, then you want heavy damping. Heavy damping reduces the amplitude, but the tradeoff is that the system responds at more frequencies.

    These features of driven harmonic oscillators apply to a huge variety of systems. When you tune a radio, for example, you are adjusting its resonant frequency so that it only oscillates to the desired station’s broadcast (driving) frequency. The more selective the radio is in discriminating between stations, the smaller its damping. Magnetic resonance imaging (MRI) is a widely used medical diagnostic tool in which atomic nuclei (mostly hydrogen nuclei) are made to resonate by incoming radio waves (on the order of 100 MHz). A child on a swing is driven by a parent at the swing’s natural frequency to achieve maximum amplitude. In all of these cases, the efficiency of energy transfer from the driving force into the oscillator is best at resonance. Speed bumps and gravel roads prove that even a car’s suspension system is not immune to resonance. In spite of finely engineered shock absorbers, which ordinarily convert mechanical energy to thermal energy almost as fast as it comes in, speed bumps still cause a large-amplitude oscillation. On gravel roads that are corrugated, you may have noticed that if you travel at the “wrong” speed, the bumps are very noticeable whereas at other speeds you may hardly feel the bumps at all. Figure 4 shows a photograph of a famous example (the Tacoma Narrows Bridge) of the destructive effects of a driven harmonic oscillation. The Millennium Bridge in London was closed for a short period of time for the same reason while inspections were carried out.

    In our bodies, the chest cavity is a clear example of a system at resonance. The diaphragm and chest wall drive the oscillations of the chest cavity which result in the lungs inflating and deflating. The system is critically damped and the muscular diaphragm oscillates at the resonant value for the system, making it highly efficient.

    Figure 4. In 1940, the Tacoma Narrows Bridge in Washington state collapsed. Heavy cross winds drove the bridge into oscillations at its resonant frequency. Damping decreased when support cables broke loose and started to slip over the towers, allowing increasingly greater amplitudes until the structure failed (credit: PRI’s Studio 360, via Flickr)

    Check Your Understanding

    1: A famous magic trick involves a performer singing a note toward a crystal glass until the glass shatters. Explain why the trick works in terms of resonance and natural frequency.


    شاهد الفيديو: Lesson 34 - Resonance - Forced Vibrations - Demonstrations in Physics (شهر اكتوبر 2021).