مقالات

2.1.1E: تمارين للناقلات في المستوى - الرياضيات


للتمارين من 1 إلى 10 ، ضع في اعتبارك النقاط (P (−1،3) و Q (1،5) و ) و (R (−3،7) ). تحديد النواقل المطلوبة والتعبير عن كل منها

(أ ) في شكل مكون و

(ب ) باستخدام متجهات الوحدة القياسية.

1) ( vecd {PQ} )

إجابه:
أ. ( vecd {PQ} = ⟨2،2⟩ )
ب. ( vecd {PQ} = 2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

2) ( vecd {PR} )

3) ( vecd {QP} )

إجابه:
أ. ( vecd {QP} = ⟨− 2، −2⟩ )
ب. ( vecd {QP} = - 2 hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )

4) ( vecd {RP} )

5) ( vecd {PQ} + vecd {PR} )

إجابه:
أ. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = ⟨0،6⟩ )
ب. ( vecd {PQ} + vecd {PR} = 6 hat { mathbf j} )

6) ( vecd {PQ} - vecd {PR} )

7) (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} )

إجابه:
أ. (2 vecd {PQ} → −2 vecd {PR} = ⟨8، −4⟩ )
ب. (2 vecd {PQ} −2 vecd {PR} = 8 hat { mathbf i} −4 hat { mathbf j} )

8) (2 vecd {PQ} + frac {1} {2} vecd {PR} )

9) متجه الوحدة في اتجاه ( vecd {PQ} )

إجابه:
أ. ( left langle frac { sqrt {2}} {2} ، frac { sqrt {2}} {2} right rangle )
ب. ( frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf i} + frac { sqrt {2}} {2} hat { mathbf j} )

10) متجه الوحدة في اتجاه ( vecd {PR} )

11) المتجه ({ overet { scriptstyle rightharpoonup} { mathbf v}} ) له نقطة أولية ((- 1، −3) ) ونقطة طرفية ((2،1) ). ابحث عن متجه الوحدة في اتجاه ( vecs v ). عبر عن الإجابة في شكل مكون.

إجابه:
(⟨ frac {3} {5}، frac {4} {5}⟩ )

12) يحتوي المتجه ( vecs v ) على نقطة أولية ((- 2،5) ) ونقطة طرفية ((3، −1) ). ابحث عن متجه الوحدة في اتجاه ( vecs v ). عبر عن الإجابة في شكل مكون.

13) يحتوي المتجه ( vecs v ) على نقطة أولية (P (1،0) ) ونقطة طرفية (Q ) الموجودة على (y ) - المحور وفوق النقطة الأولية. ابحث عن إحداثيات النقطة الطرفية (Q ) بحيث يكون حجم المتجه ( vecs v ) هو ( sqrt {5} ).

إجابه:
(س (0،2) )

14) يحتوي المتجه ( vecs v ) على نقطة أولية (P (1،1) ) ونقطة طرفية (Q ) على محور (x ) ويسار النقطة الأولية. ابحث عن إحداثيات النقطة الطرفية (Q ) بحيث يكون حجم المتجه ( vecs v ) هو ( sqrt {10} ).

للتمرينين 15 و 16 ، استخدم المتجهين المعينين ( vecs a ) و ( vecs b ).

أ. حدد مجموع المتجه ( vecs a + vecs b ) وقم بالتعبير عنها في كل من صيغة المكون وباستخدام متجهات الوحدة القياسية.

ب. ابحث عن فرق المتجه ( vecs a - vecs b ) وقم بالتعبير عنه في شكل المكون وباستخدام متجهات الوحدة القياسية.

ج. تحقق من أن المتجهات ( vecs a، ، vecs b، ) و ( vecs a + vecs b ) ، وعلى التوالي ، ( vecs a ، ، vecs b ) ، و ( vecs a− vecs b ) تحقق متباينة المثلث.

د. حدد المتجهات (2 vecs a ، - vecs b ، ) و (2 vecs a− vecs b. ) عبر عن المتجهات في كل من شكل المكون وباستخدام متجهات الوحدة القياسية.

15) ( vecs a = 2 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}، vecs b = hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} )

إجابه:
(a. ، vecs a + vecs b = ⟨3،4⟩، quad vecs a + vecs b = 3 hat { mathbf i} +4 hat { mathbf j} )
(b. ، vecs a− vecs b = ⟨1، −2⟩، quad vecs a− vecs b = hat { mathbf i} −2 hat { mathbf j} )
(ج. ) سوف تختلف الإجابات
(d. ، 2 vecs a = ⟨4،2⟩، quad 2 vecs a = 4 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j}، quad - vecs b = ⟨ −1، −3⟩، quad - vecs b = - hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j}، quad 2 vecs a− vecs b = ⟨3، −1⟩، quad 2 vecs a− vecs b = 3 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

16) ( vecs a = 2 hat { mathbf i}، vecs b = −2 hat { mathbf i} +2 hat { mathbf j} )

17) لنكن ( vecs a ) متجهًا ذو موضع قياسي بنقطة طرفية ((- 2 ، −4) ). لنكن ( vecs b ) متجهًا بنقطة أولية ((1،2) ) ونقطة طرفية ((- 1،4) ). أوجد حجم المتجه (- 3 vecs a + vecs b − 4 hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. )

إجابه:
(15)

18) لنكن ( vecs a ) متجهًا معياريًا مع نقطة طرفية عند ((2،5) ). دع ( vecs b ) متجهًا بنقطة أولية ((- 1،3) ) ونقطة طرفية ((1،0) ) أوجد حجم المتجه ( vecs a − 3 vecs b + 14 hat { mathbf i} −14 hat { mathbf j}. )

19) لنكن ( vecs u ) و ( vecs v ) متجهين غير صفريين غير متكافئين. ضع في اعتبارك المتجهات ( vecs a = 4 vecs u + 5 vecs v ) و ( vecs b = vecs u + 2 vecs v ) المحددة من حيث ( vecs u ) و ( vecs v ). ابحث عن الحجم (λ ) بحيث تكون المتجهات ( vecs a + λ vecs b ) و ( vecs u− vecs v ) متكافئة.

إجابه:
(λ = -3 )

20) لنكن ( vecs u ) و ( vecs v ) متجهين غير صفريين غير متكافئين. ضع في اعتبارك المتجهات ( vecs a = 2 vecs u − 4 vecs v ) و ( vecs b = 3 vecs u − 7 vecs v ) المحددة من حيث ( vecs u ) و ( vecs v ). ابحث عن المقاييس (α ) و (β ) بحيث تكون المتجهات (α vecs a + β vecs b ) و ( vecs u− vecs v ) متكافئة.

21) ضع في اعتبارك المتجه ( vecs a (t) = ⟨ cos t، sin t⟩ ) بمكونات تعتمد على رقم حقيقي (t ). نظرًا لاختلاف الرقم (t ) ، تتغير مكونات ( vecs a (t) ) أيضًا ، اعتمادًا على الوظائف التي تحددها.

أ. اكتب المتجهات ( vecs a (0) ) و ( vecs a (π) ) في شكل مكون.

ب. أظهر أن المقدار (∥ vecs a (t) ∥ ) المتجه ( vecs a (t) ) يظل ثابتًا لأي رقم حقيقي (t ).

ج. نظرًا لتباين (t ) ، أظهر أن النقطة النهائية للمتجه ( vecs a (t) ) تصف دائرة متمركزة في أصل نصف القطر (1 ).

إجابه:
(a. ، vecs a (0) = ⟨1،0⟩، quad vecs a (π) = ⟨− 1،0⟩ )
(ب. ) قد تختلف الإجابات
(ج. ) قد تختلف الإجابات

22) ضع في اعتبارك المتجه ( vecs a (x) = ⟨x، sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) بمكونات تعتمد على رقم حقيقي (x∈ [−1،1] ). نظرًا لاختلاف الرقم (x ) ، تتغير مكونات ( vecs a (x) ) أيضًا ، اعتمادًا على الوظائف التي تحددها.

أ. اكتب المتجهات ( vecs a (0) ) و ( vecs a (1) ) في شكل مكون.

ب. أظهر أن المقدار (∥ vecs a (x) ∥ ) للمتجه ( vecs a (x) ) يظل ثابتًا لأي رقم حقيقي (x ).

ج. مع اختلاف (x ) ، أظهر أن النقطة النهائية للمتجه ( vecs a (x) ) تصف دائرة متمركزة في أصل نصف القطر (1 ).

23) أظهر أن المتجهات ( vecs a (t) = ⟨ cos t، sin t⟩ ) و ( vecs a (x) = x، sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) مكافئة لـ (x = 1 ) و (t = 2kπ ) ، حيث (k ) عدد صحيح.

إجابه: قد تتعدد الاجابات

24) أظهر أن المتجهات ( vecs a (t) = ⟨ cos t، sin t⟩ ) و ( vecs a (x) = ⟨x، sqrt {1 − x ^ 2}⟩ ) المقابل لـ (x = 1 ) و (t = π + 2kπ ) ، حيث (k ) عدد صحيح.

للتمارين 25-28 ، ابحث عن المتجه ( vecs v ) بالقدر المحدد وفي نفس اتجاه المتجه ( vecs u ).

25) ( | vecs v | = 7 ، quad vecs u = ⟨3،4⟩ )

إجابه:
( vecs v = ⟨ frac {21} {5} ، frac {28} {5}⟩ )

26) (‖ vecs v‖ = 3 ، quad vecs u = ⟨− 2،5 )

27) (‖ vecs v‖ = 7 ، quad vecs u = ⟨3 ، −5⟩ )

إجابه:
( vecs v = ⟨ frac {21 sqrt {34}} {34}، - frac {35 sqrt {34}} {34}⟩ )

28) (‖ vecs v‖ = 10، quad vecs u = ⟨2، −1⟩ )

للتمرينات 29-34 ، ابحث عن شكل مكون المتجه ( vecs u ) ، بالنظر إلى حجمه والزاوية التي يصنعها المتجه مع المحور (x ) - الموجب. أعط إجابات دقيقة عندما يكون ذلك ممكنا.

29) (‖ vecs u‖ = 2 ، θ = 30 درجة )

إجابه:
( vecs u = ⟨ sqrt {3} ، 1⟩ )

30) (‖ vecs u‖ = 6 ، θ = 60 درجة )

31) (‖ vecs u‖ = 5، θ = فارك {π} {2} )

إجابه:
( vecs u = ⟨0،5⟩ )

32) (‖ vecs u‖ = 8 ، θ = π )

33) (‖ vecs u‖ = 10، θ = فارك {5π} {6} )

إجابه:
( vecs u = ⟨− 5 sqrt {3}، 5⟩ )

34) (‖ vecs u‖ = 50، θ = فارك {3π} {4} )

للتمرينين 35 و 36 ، يتم إعطاء المتجه ( vecs u ). أوجد الزاوية (θ∈ [0،2π) ) التي يصنعها المتجه ( vecs u ) بالاتجاه الإيجابي للمحور (x ) - في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

35) ( vecs u = 5 sqrt {2} hat { mathbf i} −5 sqrt {2} hat { mathbf j} )

إجابه:
(θ = فارك {7π} {4} )

36) ( vecs u = - sqrt {3} hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) لنفترض أن ( vecs a = ⟨a_1 و a_2⟩ و vecs b = ⟨b_1 و b_2⟩ ) و ( vecs c = ⟨c_1، c_2⟩ ) ثلاثة نواقل غير صفرية. إذا كان (a_1b_2 − a_2b_1 ≠ 0 ) ، فقم بإظهار وجود عددين ، (α ) و (β ) ، مثل ( vecs c = α vecs a + β vecs b. )

إجابه: قد تتعدد الاجابات

38) ضع في اعتبارك المتجهات ( vecs a = ⟨2 ، −4⟩ ، vecs b = ⟨− 1،2⟩ ، ) و ( vecs c = vecs 0 ) تحديد الحجميات (α ) و (β ) مثل ( vecs c = α vecs a + β vecs b ).

39) دع (P (x_0، f (x_0)) ) نقطة ثابتة على الرسم البياني للدالة القابلة للتفاضل (f ) مع مجال يمثل مجموعة الأرقام الحقيقية.

أ. حدد الرقم الحقيقي (z_0 ) مثل تلك النقطة (Q (x_0 + 1، z_0) ) الموجودة على خط المماس للرسم البياني (f ) عند النقطة (P ).

ب. حدد متجه الوحدة ( vecs u ) بالنقطة الأولية (P ) والنقطة النهائية (Q ).

إجابه:
(a. quad z_0 = f (x_0) + f ′ (x_0)؛ quad b. quad vecs u = frac {1} { sqrt {1+ [f ′ (x_0)] ^ 2} } ⟨1 ، و ′ (x_0)⟩ )

40) ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 4، ) حيث (x∈R ).

أ. حدد الرقم الحقيقي (z_0 ) مثل تلك النقطة (Q (2، z_0) ) s الموجودة على الخط المماس للرسم البياني (f ) عند النقطة (P (1،1) ).

ب. حدد متجه الوحدة ( vecs u ) بالنقطة الأولية (P ) والنقطة النهائية (Q ).

41) ضع في اعتبارك (f ) و (g ) وظيفتين معرفتين على نفس مجموعة الأرقام الحقيقية (D ). لنفترض أن ( vecs a = ⟨x، f (x)⟩ ) و ( vecs b = x، g (x)⟩ ) هما متجهان يصفان الرسوم البيانية للوظائف ، حيث (x∈ د). أظهر أنه إذا كانت الرسوم البيانية للوظائف (f ) و (g ) لا تتقاطع ، فإن المتجهات ( vecs a ) و ( vecs b ) ليست متكافئة.

42) ابحث عن (x∈R ) بحيث تكون المتجهات ( vecs a = ⟨x، sin x⟩ ) و ( vecs b = ⟨x، cos x⟩ ) متكافئة.

43) احسب إحداثيات النقطة (D ) بحيث يكون (ABCD ) متوازي أضلاع مع (A (1،1) و B (2،4) ) و (C (7،4) ) ).

إجابه:
(د (6،1) )

44) ضع في اعتبارك النقاط (A (2،1) و B (10،6) و C (13،4) ) و (D (16، −2) ). حدد شكل مكون المتجه ( vecd {AD} ).

45) إن سرعة لجسم ما هو مقدار متجه السرعة المرتبط به. كرة قدم يقذفها لاعب الوسط تبلغ سرعتها الأولية (70 ) ميل في الساعة وزاوية ارتفاع (30 درجة ). أوجد متجه السرعة في mph وعبر عنه في صورة مكونة. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
(⟨60.62,35⟩)

46) يرمي لاعب بيسبول كرة بيسبول بزاوية (30 درجة ) مع الأفقي. إذا كانت السرعة الأولية للكرة (100 ) ميل في الساعة ، فأوجد المكونين الأفقي والعمودي لمتجه السرعة الابتدائية للبيسبول. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

47) تطلق رصاصة بسرعة ابتدائية (1500 ) قدم / ثانية بزاوية (60 درجة ) مع الأفقي. أوجد المكوّنين الأفقي والرأسي لمتجه السرعة للرصاصة. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
المكونات الأفقية والعمودية هي (750 ) قدم / ثانية و (1299.04 ) قدم / ثانية ، على التوالي.

48) [T] عداء يبلغ وزنه 65 كجم يبذل قوة مقدارها (798 ) N بزاوية (19 درجة ) بالنسبة إلى الأرض على كتلة البداية في اللحظة التي يبدأ فيها السباق. أوجد المركب الأفقي للقوة. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

49) [T] قوتان ، قوة أفقية مقدارها (45 ) lb وأخرى بمقدار (52 ) lb ، تعملان على نفس الجسم. الزاوية بين هذه القوى هي (25 درجة ). أوجد المقدار وزاوية الاتجاه من المحور الموجب للقوة المحصلة المؤثرة على الجسم. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
حجم القوة المحصلة هو (94.71 ) رطل ؛ زاوية الاتجاه (13.42 درجة ).

50) [T] قوتان ، قوة رأسية مقدارها (26 ) رطل وأخرى بمقدار (45 ) رطل ، تعملان على نفس الجسم. الزاوية بين هذه القوى هي (55 درجة ). (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

51) [T] ثلاث قوى تعمل على الجسم. اثنتان من القوى لها المقدار (58 ) N و (27 ) N ، وتصنعان زوايا (53 درجة ) و (152 درجة ) ، على التوالي ، مع المحور الموجب (س ) - . أوجد المقدار وزاوية الاتجاه من المحور الموجب (x ) - للقوة الثالثة بحيث تكون القوة المحصلة المؤثرة على الجسم صفرًا. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
حجم المتجه الثالث هو (60.03 ) N ؛ زاوية الاتجاه هي (259.38 درجة ).

52) ثلاث قوى ذات مقادير 80 رطل، 120 رطل و 60 lb يعمل على كائن بزاوية (45 درجة ، 60 درجة ) و (30 درجة ) ، على التوالي ، مع المحور الموجب (س ). أوجد المقدار وزاوية الاتجاه من المحور الموجب للقوة المحصلة. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

53) [T] طائرة تحلق في اتجاه (43 درجة ) شرق الشمال (يُشار إليها أيضًا باسم (N43E ) بسرعة (550 ) ميل في الساعة. رياح بسرعة (25 ) ) mph تأتي من الجنوب الغربي بمحمل (N15E ) ما هي السرعة الأرضية والاتجاه الجديد للطائرة؟

إجابه:
السرعة الأرضية الجديدة للطائرة هي (572.19 ) ميل في الساعة ؛ الاتجاه الجديد هو (N41.82E. )

54) [T] قارب يسير في الماء بسرعة (30 ) ميل في الساعة في اتجاه (N20E ) (أي (20 درجة ) شرق الشمال). يتحرك تيار قوي بسرعة (15 ) ميل في الساعة في اتجاه (N45E ). ما هي السرعة والاتجاه الجديدان للقارب؟

55) [T] يتم تعليق الوزن البالغ 50 رطلاً بواسطة كابل بحيث يصنع جزأا الكابل زاويتين (40 درجة ) و (53 درجة ) ، على التوالي ، مع الأفقي. أوجد مقدار قوى التوتر ( vecs T_1 ) و ( vecs T_2 ) في الكابلات إذا كانت القوة المحصلة المؤثرة على الجسم تساوي صفرًا. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

إجابه:
( | vecs T_1 | = 30.13 ، lb، quad | vecs T_2 | = 38.35 ، lb )

56) [T] يتدلى وزن 62 رطلاً من حبل يجعل زاويتي (29 درجة ) و (61 درجة ) ، على التوالي ، مع الأفقي. (تقريب لأقرب منزلتين عشريتين.)

57) [T] قارب 1500 رطل يقف على منحدر يصنع زاوية (30 درجة ) مع الأفقي. يشير متجه وزن القارب إلى الأسفل وهو مجموع متجهين: متجه أفقي ( vecs v_1 ) الذي يوازي المنحدر والمتجه العمودي ( vecs v_2 ) المتعامد مع السطح المائل. إن مقادير المتجهات ( vecs v_1 ) و ( vecs v_2 ) هي المكون الأفقي والعمودي ، على التوالي ، لمتجه وزن القارب. أوجد مقدار ( vecs v_1 ) و ( vecs v_2 ). (التقريب إلى أقرب عدد صحيح.)

إجابه:
( | vecs v_1 | = 750 ، lb، quad | vecs v_2 | = 1299 ، lb )

58) [T] صندوق 85 رطلاً في وضع السكون على (26 درجة ) منحدر. أوجد مقدار القوة الموازية للميل اللازم لمنع انزلاق الصندوق. (التقريب إلى أقرب عدد صحيح.)

59) يدعم سلك الشد عمودًا بارتفاع (75 قدمًا). يتم توصيل أحد طرفي السلك بأعلى العمود والطرف الآخر مثبت على الأرض (50 ) قدمًا من قاعدة العمود. حدد المكونين الأفقي والرأسي لقوة الشد في السلك إذا كان حجمه (50 ) lb. (تقريب لأقرب عدد صحيح.)

إجابه:
المكونان الأفقي والرأسي لقوة التوتر هما (28 ) رطل و (42 ) رطل على التوالي.

60) سلك تثبيت عمود الهاتف له زاوية ارتفاع (35 درجة ) بالنسبة إلى الأرض. قوة الشد في سلك الشد هي (120 ) رطل. أوجد المكونات الأفقية والعمودية لقوة الشد. (التقريب إلى أقرب عدد صحيح.)

المساهمون

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


2.1.1E: تمارين للناقلات في المستوى - الرياضيات

هذا فصل قصير إلى حد ما. سنلقي نظرة سريعة على النواقل وبعض خصائصها. سنحتاج إلى بعض من هذه المواد في الفصل التالي ، وستستخدم تلك التي تتجه نحو حساب التفاضل والتكامل III قدرًا لا بأس به من هذا هناك أيضًا.

فيما يلي قائمة بالموضوعات في هذا الفصل.

المفاهيم الأساسية - في هذا القسم سوف نقدم بعض الرموز الشائعة للمتجهات بالإضافة إلى بعض المفاهيم الأساسية حول المتجهات مثل حجم المتجه ومتجهات الوحدة. نوضح أيضًا كيفية العثور على متجه من نقطتي البداية والنهاية.

حساب المتجهات - في هذا القسم سنناقش التفسير الرياضي والهندسي لمجموع المتجهين واختلافهما. نقوم أيضًا بتعريف وإعطاء تفسير هندسي للضرب القياسي. نقدم أيضًا بعض الخصائص الأساسية لحساب المتجهات ونقدم التدوين المشترك (i ) ، (j ) ، (k ) للمتجهات.

المنتج النقطي - في هذا القسم سوف نحدد حاصل الضرب النقطي لمتجهين. نعطي بعض الخصائص الأساسية للمنتجات النقطية ونحدد المتجهات المتعامدة ونوضح كيفية استخدام المنتج النقطي لتحديد ما إذا كان المتجهان متعامدين. نناقش أيضًا العثور على إسقاطات المتجهات وجيب التمام في هذا القسم.

Cross Product - في هذا القسم نحدد الضرب التبادلي لمتجهين ونعطي بعض الحقائق والخصائص الأساسية للمنتجات المتقاطعة.


إحصائيات متعددة المتغيرات

سيكون من المفيد التحدث عنها مساحات ناقلات. هذه مجموعات من المتجهات التي يمكن جمعها معًا ، أو ضربها في عدد قياسي. يجب أن تكون على دراية بهذه من شهادتك الجامعية. لا نقدم تعريفًا رسميًا هنا ، ولكن يمكنك التفكير في مساحة متجه حقيقية (V ) كمجموعة من المتجهات مثل أي ( mathbf v_1 ، mathbf v_2 in V ) و ( alpha_1، alpha_2 in mathbb) ، لدينا [ alpha_1 mathbf v_1 + alpha_2 mathbf v_2 in V ] على سبيل المثال ، يتم إغلاق المساحات المتجهة تحت عمليات الجمع والضرب القياسي.


المجموعة الفرعية (U مجموعة فرعية V ) لمساحة متجه (V ) تسمى متجه الفضاء الجزئي إذا كان (U ) أيضًا مساحة متجهية.

2.2.1 الاستقلال الخطي

2.2.2 مسافات الصفوف والأعمدة

يمكننا التفكير في مضاعفة متجه المصفوفة ( mathbf A mathbf x ) بطريقتين. الطريقة المعتادة هي كناتج داخلي بين صفوف (أ ) و (س ).

لكن أفضل طريقة للتفكير في ( mathbf A mathbf x ) هي كمجموعة خطية من أعمدة (A ).

بالنسبة إلى [A = left ( begin 1 & amp 2 3 & amp4 5 & amp6 النهاية right) ] يمكننا أن نرى أن مساحة العمود هي مستوى ثنائي الأبعاد في ( mathbb^ 3 ). المصفوفة ( mathbf B ) لها نفس مساحة العمود مثل ( mathbf A ) [ mathbf B = left ( start 1 و amp 2 و amp3 و amp4 3 و amp4 و amp7 و amp10 5 و amp6 و amp11 و amp16 endحق) ]

عدد الأعمدة المستقلة خطيًا لـ ( mathbf A ) يسمى رتبة العمود من ( mathbf A ) ، ويساوي أبعاد مساحة العمود ( mathcal( mathbf أ) ). ال رتبة العمود من ( mathbf A ) و ( mathbf B ) تساوي 2.

ال مساحة الصف تم تعريف ( mathbf A ) ليكون مساحة العمود ( mathbf A ^ top ) ، و رتبة الصف هو عدد الصفوف المستقلة خطيًا لـ ( mathbf A ).

وبالتالي يمكننا ببساطة الرجوع إلى رتبة من المصفوفة.

2.2.3 التحولات الخطية

يمكننا عرض (n times p ) مصفوفة ( mathbf A ) كخريطة خطية بين مسافتين متجهتين: [ start mathbf أ: mathbb^ p & amp rightarrow mathbb^ n mathbf x & amp mapsto mathbf A mathbf x end]

ال صورة of ( mathbf A ) هي بالضبط مساحة العمود ( mathbf A ): [ operatorname( mathbf A) = < mathbf A mathbf x: mathbf x in mathbb^ p > = mathcal( mathbf A) مجموعة فرعية mathbb^ n ]

ال نواة of (A ) هي مجموعة المتجهات المعينة للصفر: [ اسم التشغيل( mathbf A) = < mathbf x: mathbf A mathbf x = boldsymbol 0 > مجموعة فرعية mathbb^ p ] ويطلق عليه أحيانًا اسم مساحة فارغة من ( mathbf A ) ويشار إليها ( mathcal( mathbf أ) ).

إذا كنا نفكر في المصفوفات ، إذن ( dim mathcal( mathbf A) + dim mathcal( mathbf A) = p ) أو ما يعادل ذلك
(اسم المشغل( mathbf A) + dim mathcal( mathbf أ) = ع ).

قلنا بالفعل أن مساحة صف ( mathbf A ) هي ( mathcal( mathbf A ^ top) ). المسافة الفارغة اليسرى هي ( < mathbf x in mathbb^ n: mathbf x ^ top mathbf A = 0 > ) أو ما يعادلها (^ n: mathbf A ^ top mathbf x = 0 > = mathcal( mathbf A ^ top) ). وبالتالي ، من خلال نظرية الرتبة الصفرية ، يجب أن يكون لدينا [n = dim mathcal( mathbf A ^ top) + dim mathcal( mathbf A ^ top) = operatorname( mathbf A) + dim operatorname( mathbf A ^ top). ]

المثال 2.10 لننظر مرة أخرى في المصفوفة (D: mathbb^ 3 rightarrow mathbb^ 2 ) [D = left ( begin 1 و amp 2 و amp3 2 و amp4 و amp6 النهاية يمين) = يسار ( ابدأ 1 2 نهاية يمين) يسار ( ابدأ1 و amp2 و amp3 end right) ] لقد رأينا بالفعل أن [ mathcal(د) = اسم العملية يسار < يسار ( يبدأ1 2 نهاية right) right > ] وهكذا ( dim mathcal(د) = اسم العملية(د) = 1 ). النواة ، أو المسافة الخالية ، لـ ( mathbf D ) هي مجموعة المتجهات التي ( mathbf D mathbf x = boldsymbol 0 ) ، أي [x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 ] هذه معادلة واحدة بها ثلاثة مجاهيل ، ولذا يجب أن يكون هناك مستوى من الحلول. نحتاج إلى متجهين مستقلين خطيًا في هذا المستوى لوصفهما. أقنع نفسك بأن [ mathcal(د) = اسم العملية يسار < يسار ( يبدأ0 3 - 2 نهاية يمين) يسار ( يبدأ2 - 1 0 نهاية right) right > ] لذا لدينا [ dim mathcal(د) + خافت رياضيات(د) = 1 + 2 = 3 ] كما هو مطلوب في نظرية باطل الرتبة.

إذا أخذنا في الاعتبار (D ^ top ) ، فإننا نعرف بالفعل ( dim mathcal(D ^ top) = 1 ) (كرتبة صف = رتبة عمود) ، وتخبرنا نظرية الرتبة الصفرية أن أبعاد الفضاء الفارغ لـ (D ^ top ) يجب أن يكون (2- 1 = 1 ). من السهل تأكيد ذلك لأن (D ^ top x = 0 ) يشير إلى [x_1 + 2x_2 = 0 ] وهو سطر في ( mathbb^ 2 ) [ رياضيات(D ^ top) = operatorname يسار < يسار ( يبدأ-2 1 نهاية يمين) يمين > ]

سؤال: متى يكون للمصفوفة المربعة ( mathbf A ) معكوس؟

  • على وجه التحديد عندما تحتوي نواة ( mathbf A ) على متجه صفري فقط ، أي لها بعد 0. في هذه الحالة ، تكون مساحة العمود ( mathbf A ) هي المساحة الأصلية ، و ( mathbf A ) تخميني ولذا يجب أن يكون لها معكوس. هناك طريقة أبسط لتحديد ما إذا كان ( mathbf A ) لها معكوس أم لا ، وهي مراعاة المحددات.

سؤال: لنفترض أننا حصلنا على (n times p ) matrix ( mathbf A ) ، و n-vector ( mathbf y ). متى يكون لدى [ mathbf A mathbf x = mathbf y ] حل؟


2.1.1E: تمارين للناقلات في المستوى - الرياضيات

تظهر المصفوفات والمحددات في سياقين مهمين آخرين ، أحدهما في حل المعادلات الخطية المتزامنة في عدة متغيرات. الآخر في تمثيل التحولات الخطية للناقلات. تمت مناقشة أولها بالتفصيل في الفصل 32 .

في السياق الأخير تمثل المصفوفة التحويل الذي يأخذ متجهات أساس العمود إلى المتجهات التي تمثل الأعمدة المقابلة للمصفوفة.

يتم تحويل مجاميع نواقل الأساس الأصلية إلى نفس مجاميع الأعمدة المقابلة. تحدد هذه الحقيقة التحول على جميع النواقل.

عندما يكون محدد المصفوفة صفرًا ، يكون حجم المنطقة ذات الأضلاع المعطاة من خلال أعمدتها أو صفوفها صفرًا ، مما يعني أن المصفوفة التي تعتبر بمثابة تحويل تأخذ المتجهات الأساسية إلى متجهات تعتمد خطيًا وتحدد حجم 0.

هذا يحدث، المحدد هو صفر ، عندما تكون الأعمدة (والصفوف) في المصفوفة مرتبطة خطيًا.

4.2 ما هي مصفوفة التحويل التي تأخذ متجه الوحدة في اتجاه المحور x إلى واحد في اتجاه المحور y ، وبالمثل واحد على طول المحور y في واحد على طول المحور z ، والآخر على طول المحور z في واحد على طول المحور س؟

4.3 ما هي المصفوفة التي تصف التحويل الذي يضاعف مكون المتجهات في الاتجاه x ، ويقسم المكونات إلى النصف في الاتجاه y ، ويترك المكونات في الاتجاه z وحدها.

4.4 ما هي المصفوفة التي تصف التحول في ثلاثة أبعاد والتي تقدم المتجهات في المستوى (س ، ص)؟ على المحور س؟ على القطر في المستوى (س ، ص)؟


من قسم متحد المستوى أعلاه ،
ج =λأ +μب

عندما يتم استخدام ناقلات الموقع ،

ص =(1 - & # 955-ش)أ+ λب +μج هل معادلة ناقلات الطائرة.

نظرًا لأن & # 955 و b متغيران ، فسيكون هناك العديد من المعادلات الممكنة للمستوى.

أوجد معادلة متجه للمستوى من خلال النقاط
أ (-1 ، -2 ، -3) ، ب (-2،0،1) وج (-4 ، -1 ، -1)

عندما تكون A نقطة معروفة على المستوى ،
R هي أي نقطة قديمة على الطائرة و ب و ج هي ناقلات
بالتوازي مع الطائرة ،

ال معادلة ناقلات الطائرة هو
ص = أ +λب +μج


المتجه له مقدار واتجاه.

يمكن استخدام المتجهات لتمثيل العديد من الكميات الفيزيائية التي لها حجم واتجاه ، مثل القوى.

يمكن تمثيل المتجهات على شكل أسهم حيث يشير طول السهم إلى المقدار ويشير رأس السهم إلى اتجاه المتجه.

يمكن رسم المتجهات ذات البعدين على المستوى الديكارتي.

يمكن إضافة المتجهات بيانياً باستخدام طريقة الرأس إلى الذيل أو طريقة الذيل إلى الذيل.

الرسم البياني المتجه المغلق عبارة عن مجموعة من المتجهات المرسومة على الديكارتي باستخدام طريقة الذيل إلى الرأس والتي ينتج عنها مقدار صفر.

يمكن إضافة المتجهات جبريًا باستخدام نظرية فيثاغورس أو باستخدام المكونات.

يمكن إيجاد اتجاه المتجه باستخدام حسابات مثلثية بسيطة.

مكونات المتجه هي سلسلة من المتجهات التي ، عند دمجها ، تعطي المتجه الأصلي كنتيجة لها.

عادة ما يتم إنشاء المكونات التي تتماشى مع محاور الإحداثيات الديكارتية. بالنسبة إلى المتجه ( vec) التي تجعل زاوية ( ثيتا ) مع الموجب (س ) - المحور (س ) - المكون هو ( فيك_x = R cos ( theta) ) والمكون (y ) - هو ( vec_y = R sin ( theta) ).


المتجهات & # 8211 أسئلة مراجعة IGCSE العام 11


معاينة مجانية:

محتوى متميز:

يمكن فقط للعملاء المدفوعين عرض هذا ، يمكنك شراء هذا هنا
إذا كنت قد دفعت مقابل هذه الدورة ، يرجى تسجيل الدخول.
للمزيد من المعلومات، يرجى الاتصال بنا.

الدورات

دورة الإحصاء الاكتواري (CS1) في الفيديو الإلكتروني الجديد

IBSL مع التحليل والأساليب الجديدة

IGCSE إضافة الرياضيات (0606) السنة 10 مقدمة خاصة دورة جديدة

STEP Maths Exam Solutions جديد

القائمة الكاملة لحلول الدورات والامتحانات هنا

قريبا & # 8230

  • دورة الرياضيات الاكتوارية (CM1) في الفيديو الإلكتروني قيد التقدم
  • طوارئ CT5 (الرياضيات الاكتوارية) قيد التقدم
  • Cambridge International AS & amp A Level Accounting قيد التقدم
  • حلول امتحان AS Level Physics 9702 حسب الموضوعات قيد التقدم
  • فيزياء المستوى A2 9702 هـ - دورة فيديوهات قيد التقدم
  • IBSL مع التطبيقات والتفسيرات قيد التقدم

مدرسك

السيد Ravee Menon ، هو العضو المنتدب ومؤسس مركزه التعليمي في سوبانج جايا ، ماليزيا لمدة أربعة عشر عامًا. شارك في محاضرات في الدورات الرياضية والإحصائية لأكثر من عشرين عامًا على مستوى البكالوريوس والماجستير. أكثر

الجبر الخطي وتطبيقاته ، تمرين 3.4.24

تمرين 3.4.24. كما تمت مناقشته في الصفحة 178 ، فإن أول ثلاث كثيرات حدود لـ Legendre هي 1 و و. ابحث عن متعدد حدود Legendre التالي ، فسيكون متعدد الحدود مكعب معرّفًا له وسيكون متعامدًا مع أول ثلاث كثيرات حدود لـ Legendre.

الجواب: إن عملية العثور على الصيغة المتعددة الأسطورية الرابعة هي في الأساس تطبيق لتقويم غرام-شميدت. أول ثلاث كثيرات حدود هي

يمكننا إيجاد كثير حدود Legendre الرابع بالبدء بالطرح من الإسقاطات في كثيرات الحدود الثلاثة الأولى:

في الفصل الدراسي الأول لدينا

بحيث لا يظهر المصطلح الأول في التعبير عن.

يسقط الحد الثالث للسبب نفسه: بسطه هو

هذا يترك الحد الثاني مع بسط

ملاحظة: هذا استمرار لسلسلة من المنشورات التي تحتوي على تمارين تم إجراؤها من كتاب (نفدت طباعته) كتاب الجبر الخطي وتطبيقاته ، الطبعة الثالثة لجيلبرت سترانج.

إذا وجدت هذه المنشورات مفيدة ، فأنا أشجعك على التحقق من الجبر الخطي وتطبيقاته الأكثر حداثة ، الإصدار الرابع ، كتاب Dr Strang & # 8217s التمهيدي مقدمة في الجبر الخطي ، الإصدار الخامس والدورة التدريبية المجانية المصاحبة لها ، و Dr Strang & # 8217s كتب اخرى.


تمرين 3.4.24. كما تمت مناقشته في الصفحة 178 ، فإن أول ثلاث كثيرات حدود لـ Legendre هي 1 و و. ابحث عن متعدد حدود Legendre التالي ، فسيكون متعدد الحدود مكعب معرّفًا له وسيكون متعامدًا مع أول ثلاث كثيرات حدود لـ Legendre. & hellip مواصلة القراءة & rarr

تمرين 3.4.23. بالنظر إلى دالة الخطوة مع for و for ، أوجد معاملات فورييه التالية: الإجابة: بالنسبة إلى البسط هو والمقام هكذا. بالنسبة للبسط هو ذلك. للبسط هو & hellip مواصلة القراءة & rarr


القسم الفرعي 2.2.2 يمتد

سيكون من المهم معرفة ما هو الكل مجموعات خطية لمجموعة من النواقل

بمعنى آخر ، نود أن نفهم مجموعة جميع النواقل

بحيث تكون معادلة المتجه (في المجهول

لديه حل (أي متسق).

تعريف

هي مجموعة من جميع التوليفات الخطية من

هي المجموعة الفرعية امتدت من قبل أو تم إنشاؤها بواسطة النواقل

التعريف أعلاه هو الأول من عدة التعريفات الأساسية التي سنراها في هذا الكتاب المدرسي. إنها ضرورية لأنها تشكل جوهر موضوع الجبر الخطي: تعلم الجبر الخطي يعني (جزئيًا) تعلم هذه التعريفات. جميع التعريفات مهمة ، ولكن من الضروري أن تتعلم وتفهم التعريفات المميزة على هذا النحو.

تعيين تدوين منشئ

يقرأ على النحو التالي: "مجموعة كل الأشياء من النموذج

"الخط الرأسي هو" بحيث "كل شيء على يساره هو" مجموعة كل الأشياء من هذا النموذج "، وكل شيء على اليمين هو الشرط الذي يجب أن ترضيه هذه الأشياء لتكون في المجموعة. يسمى تحديد مجموعة بهذه الطريقة تعيين تدوين منشئ.

كل التدوين الرياضي هو اختصار فقط: أي سلسلة من الرموز يجب أن تترجم إلى جملة عادية.


شاهد الفيديو: فضيحة وله تسوي حركة حرام وعيب باصابعها! الله يهديها (شهر اكتوبر 2021).