مقالات

8.9.E: مشاكل في تكامل ريمان وشتيلتجيس


تمرين ( PageIndex {1} )

استبدال " ( mathcal {M} )" بـ " ( mathcal {C}، )" و "الابتدائية والتكامل" أو "الابتدائية وغير السالبة" بـ " ( mathcal {C} ) - بسيط ، "السعر الطبيعي 1 (ii) (iv) (vii) والنظريات 1 (i) و 2 (ii) ، كلها في §4 ، وقم بالمشكلات 5-7 في §4 ، للتكاملات R.

تمرين ( PageIndex {2} )

تحقق من الملاحظة 1.

تمرين ( PageIndex {2 '} )

حل مسائل (5-7 ) في §5 لتكاملات R.

تمرين ( PageIndex {3} )

قم بما يلي مع تكاملات R.
(i) إثبات النظريات (1 ( mathrm {a}) - ( mathrm {g}) ) و (2، ) كلاهما في (§5 ( mathcal {C} text {-partitions only }) ).
(2) إثبات النظرية 1 والنتيجة الطبيعية 1 و 2 ، كلها في §6.
(3) أظهر أن التعريف (ب) يمكن استبداله بصيغ مماثلة للصيغ ( left (1 ^ { prime} right) ، left (1 ^ { prime prime} right) ، ) و (1) من التعريف 1 في الفقرة 5.
[تلميح: استخدام المشكلات ( left.1 text {and} 2 ^ { prime}. right] )

تمرين ( PageIndex {4} )

املأ جميع التفاصيل في إثبات النظرية (1 ، ) Lemmas 3 و (4 ، ) والنتيجة الطبيعية (4. )

تمرين ( PageIndex {5} )

بالنسبة إلى (f، g: E ^ {n} rightarrow E ^ {s} left (C ^ {s} right) ، ) عبر المكونات ، أثبت ما يلي.
(ط) النظريات (1-3 ) و
(2) الإضافية والخطية لتكاملات R.
حل مشكلة 13 في الفقرة 7 لتكاملات R.

تمرين ( PageIndex {6} )

أثبت أنه إذا كان (f: A rightarrow E ^ {s} left (C ^ {s} right) ) مقيدًا و a.e. مستمر على (ا ، ) ثم
[
R int_ {A} | f | geq left | R int_ {A} f right | .
]
بالنسبة إلى (m = ) مقياس Lebesgue ، افعل ذلك بافتراض إمكانية تكامل R فقط.

تمرين ( PageIndex {7} )

أثبت أنه إذا كان (f، g: A rightarrow E ^ {1} ) قابل للتكامل R ، إذن
(i) كذلك (f ^ {2}، ) و
(2) كذلك (و ز ).
[تلميحات: (i) استخدم Lemma 1. اسمح (h = | f | leq K < infty ) في A. تحقق من ذلك
[
left ( inf h left [A_ {i} right] right) ^ {2} = inf f ^ {2} left [A_ {i} right] text {and} left ( sup h left [A_ {i} right] right) ^ {2} = sup f ^ {2} left [A_ {i} right] ؛
]
وبالتالي
[
start {align} sup f ^ {2} left [A_ {i} right] - inf f ^ {2} left [A_ {i} right] & = left ( sup h left [A_ {i} right] + inf h left [A_ {i} right] right) left ( sup h left [A_ {i} right] - inf h left [A_ { i} right] right) & leq left ( sup h left [A_ {i} right] - inf h left [A_ {i} right] right) 2 ك. نهاية {محاذاة}
]
(2) الاستخدام
[
f g = frac {1} {4} left [(f + g) ^ {2} - (f-g) ^ {2} right].
]
(iii) بالنسبة إلى (m = ) مقياس Lebesgue ، قم بذلك باستخدام Theorem 3.]

تمرين ( PageIndex {8} )

أثبت أنه إذا (m = ) وظيفة الصوت (v ) (أو دالة LS (s _ { alpha} ) من أجل ( alpha )) ، ثم في الصيغ (1) و ( (2) ، ) يمكن استبدال (A_ {i} ) بـ ( overline {A} _ {i} ) (إغلاق ( left.A_ {i} right). )
[تلميح: أظهر ذلك هنا (m A = m overline {A} ) ،
[
R int_ {A} f = R int _ { overline {A}} و ،
]
والإضافة تعمل حتى لو كان (A_ {i} ) لديه بعض "الوجوه" المشتركة (فقط الأجزاء الداخلية تكون مفككة).]

تمرين ( PageIndex {9} )

(مجموع ريمان.) بدلاً من ( تسطير {S} ) و ( شريط {S} ) ، استخدم ريمان المبالغ
[
S (f، mathcal {P}) = sum_ {i} f left (x_ {i} right) d m A_ {i} ،
]
حيث يتم اختيار (m = v text {(راجع المشكلة} 8) ) و (x_ {i} ) بشكل تعسفي من ( overline {A_ {i}} ).
لحد (و ، ) إثبات ذلك
[
r = R int_ {A} f d m
]
موجود في (A = [a، b] ) iff لكل ( varepsilon> 0، ) يوجد ( mathcal {P} _ { varepsilon} ) بحيث
[
| S (f، mathcal {P}) - r | < varepsilon
]
لكل صقل
[
mathcal {P} = left {A_ {i} right }
]
من ( mathcal {P} _ { varepsilon} ) وأي اختيار لـ (x_ {i} in overline {A_ {i}} ).
[تلميح: أظهر أنه بالمشكلة (8 ، ) هذا يكافئ الصيغة (3).]

تمرين ( PageIndex {10} )

استبدال (m ) بـ ( sigma _ { alpha} ) في المشكلة 9 من الفصل 7 ، §4 ، اكتب (S (f، mathcal {P}، alpha) ) من أجل (S (f، mathcal {P}) ) في المشكلة (9، ) التعامل مع المشكلة 9 كتعريف لتكامل Stieltjes ،
[
S int_ {a} ^ {b} f d alpha quad left ( text {or} S int_ {a} ^ {b} f d sigma _ { alpha} right).
]
هنا (f، alpha: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) (رتيب أم لا ؛ حتى (f، alpha: E ^ {1} rightarrow C ) سيفعل).
أثبت أنه إذا كان ( alpha: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) مستمرًا و ( alpha uparrow، ) إذن
[
S int_ {a} ^ {b} f d alpha = R int_ {a} ^ {b} f d alpha،
]
(R S ) - جزء لا يتجزأ.

تمرين ( PageIndex {11} )

(التكامل بالأجزاء.) المشكلة المستمرة (10 ​​، ) تثبت ذلك
[
S int_ {a} ^ {b} f d alpha
]
موجود iff
[
S int_ {a} ^ {b} alpha d f
]
يفعل ، وبعد ذلك
[
S int_ {a} ^ {b} f d alpha + S int_ {a} ^ {b} alpha d f = K ،
]
أين
[
K = f (b) alpha (b) -f (a) alpha (a).
]
[تلميحات: خذ أي ( mathcal {C} ) - partition ( mathcal {P} = left {A_ {i} right } ) من ([a، b]، ) مع
[
overline {A_ {i}} = left [y_ {i-1} ، y_ {i} right] ،
]
قل. لأي (x_ {i} in overline {A} _ {i}، ) تحقق من ذلك
[
S (f، mathcal {P}، alpha) = sum f left (x_ {i} right) left [ alpha left (y_ {i} right) - alpha left (y_ { i-1} right) right] = sum f left (x_ {i} right) alpha left (y_ {i} right) - sum f left (x_ {i} right) alpha left (y_ {i-1} right)
]
و
[
K = sum f left (x_ {i} right) alpha left (y_ {i} right) - sum f left (x_ {i-1} right) alpha left (y_ { i-1} right).
]
استنتج ذلك
[
KS (f، mathcal {P}، alpha) = S left ( alpha، mathcal {P} ^ { prime}، f right) = sum alpha left (x_ {i} right ) left [f left (x_ {i} right) -f left (y_ {i} right) right] - sum alpha left (x_ {i-1} right) left [ f left (y_ {i} right) -f left (x_ {i-1} right) right] ؛
]
هنا نتائج ( mathcal {P} ^ { prime} ) من خلال دمج نقاط التقسيم (x_ {i} ) و (y_ {i} ، ) بحيث يتم تحسين ( mathcal {P} ).
الآن ، إذا كان (S int_ {a} ^ {b} alpha d f ) موجودًا ، أصلح ( mathcal {P} _ { varepsilon} ) كما في المشكلة 9 وأظهر ذلك
[
left | K-S (f، mathcal {P}، alpha) -S int_ {a} ^ {b} alpha d f right | < varepsilon
]
كلما ( left. mathcal {P} text {refines} mathcal {P} _ { varepsilon}. right] )

تمرين ( PageIndex {12} )

إذا كان ( alpha: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) من الفئة (C D ^ {1} ) في ([a، b] ) وإذا
[
S int_ {a} ^ {b} f d alpha
]
موجود (انظر المشكلة (10) ، ) إنها تساوي
[
R int_ {a} ^ {b} f (x) alpha ^ { prime} (x) d x.
]
[تلميحات: Set ( phi = f alpha ^ { prime}، mathcal {P} = left {A_ {i} right }، overline {A_ {i}} = left [a_ {i-1}، a_ {i} right] ). ثم
[
S ( phi، mathcal {P}) = sum f left (x_ {i} right) alpha ^ { prime} left (x_ {i} right) left (a_ {i} - a_ {i-1} right) ، quad x_ {i} in overline {A_ {i}}
]
و (النتيجة الطبيعية 3 في الفصل 5 ، §2)
[
S (f، mathcal {P}، alpha) = sum f left (x_ {i} right) left [ alpha left (a_ {i} right) - alpha left (a_ { i-1} right) right] = sum f left (x_ {i} right) alpha ^ { prime} left (q_ {i} right) ، quad q_ {i} in أ_ {i}.
]
نظرًا لأن (f ) مقيد و ( alpha ^ { prime} ) مستمر بشكل موحد على ([a، b] ) (لماذا؟) ، استنتج ذلك
[
start {align} ( forall varepsilon> 0) left ( موجود mathcal {P} _ { varepsilon} right) left ( forall mathcal {P} _ { varepsilon} right) ( forall mathcal {P} & text {refining} left. mathcal {P} _ { varepsilon} right) & | S ( phi، mathcal {P}) - S (f، mathcal {P}، alpha) | < frac {1} {2} varepsilon text {and} left | S (f، mathcal {P}، alpha) -S int_ {a} ^ { ب} fd alpha right | < frac {1} {2} varepsilon. نهاية {محاذاة}
]
تقدم. استخدم المشكلة 9.]

تمرين ( PageIndex {13} )

(قوانين الوسط.) دعونا (f، g، alpha: E ^ {1} rightarrow E ^ {1}؛ p leq f leq q ) on (A = [a، b]؛ ) (p، q in E ^ {1}. ) برهن التالي.
(ط) إذا ( alpha uparrow ) وإذا كان
[
s int_ {a} ^ {b} f d alpha
]
موجود ، إذن (( موجود ج في [ع ، ف]) ) هكذا
[
S int_ {a} ^ {b} f d alpha = c [ alpha (b) - alpha (a)].
]
وبالمثل ، إذا
[
R int_ {a} ^ {b} f d alpha
]
موجود ، إذن (( موجود ج في [ع ، ف]) ) هكذا
[
R int_ {a} ^ {b} f d alpha = c [ alpha (b +) - alpha (a-)].
]
(i ') إذا كان (f ) يحتوي أيضًا على خاصية Darboux على (A، ) ثم (c = f left (x_ {0} right) ) للبعض (x_ {0} in أ .)
(ii) إذا كان ( alpha ) مستمرًا ، و (f uparrow ) في (A، ) ثم
[
S int_ {a} ^ {b} f d alpha = [f (b) alpha (b) -f (a) alpha (a)] - S int_ {a} ^ {b} alpha d f
]
موجود ، و (( موجود ض في أ) ) مثل ذلك
[
start {align} S int_ {a} ^ {b} fd alpha & = f (a) S int_ {a} ^ {z} d alpha + f (b) S int_ {z} ^ { ب} د alpha & = f (a) [ alpha (z) - alpha (a)] + f (b) [ alpha (b) - alpha (z)]. نهاية {محاذاة}
]
(ii ') إذا كان (g ) مستمرًا و (f uparrow ) على (A، ) ثم (( موجود z في A) )
[
R int_ {a} ^ {b} f (x) g (x) dx = p cdot R int_ {a} ^ {z} g (x) d x + q cdot R int_ {z} ^ {ب} ز (س) دكس.
]
إذا (f downarrow ، ) استبدل (f ) بـ (- f. ) (انظر أيضًا النتيجة 5 في الفصل (9، ) §1.)
[تلميحات: (i) As ( alpha uparrow، ) نحصل عليها
[
p [ alpha (b) - alpha (a)] leq S int_ {a} ^ {b} f d alpha leq q [ alpha (b) - alpha (a)].
]
(لماذا؟) جادل الآن كما في الفقرة 6 ، النظرية 3 والمسألة 2.
(2) استخدم المشكلة (11، ) وقم بتطبيق (1) على ( int alpha d f ).
(ii ') حسب النظرية 2 من الفصل (5، $ 10، g ) يحتوي على ( beta in CD ^ {1}. ) تطبيق المشكلة 12 على ( left.S int_ { أ} ^ {b} fd beta. right] )


تقليديا ، يتم تعريف تكامل بعض الوظائف $ f (x) $ خلال فترة زمنية $ [a، b] $ على أنها المنطقة الموقعة من $ f (x) $ فوق المنحنى:

وريمان تكامل هي إحدى الطرق لتعريفها بدقة. على وجه الخصوص ، نعرّفها على أنها مجموع مناطق المستطيلات الصغيرة:

حيث يتم أخذ عينات $ xi_k $ في $ [x_، x_k] $ والتسلسل المتزايد $يسمى $ قسم من الفاصل $ [a، b] $:

[a = x_0 le x_1 le x_2 le cdots le x_N = b ]

لإضفاء الطابع الرسمي على تكامل Riemann ، دعنا نحدد $ operatorname$ بطول الحد الأقصى للفترة الزمنية في القسم $$:

ثم نقول أن بعض الوظائف $ f (x) $ هي ريمان تكامل إذا كان لكل $ varepsilon & gt0 $ ، يوجد $ delta & gt0 $ مثل $ operatorname le delta $ لدينا دائما

[ يسار فير sum_^ Nf ( xi_k) (x_k-x_) - int_a ^ bf (x) mathrm dx right vert & lt varepsilon ]

بدلاً من ذلك ، إذا كانت إحدى الوظائف $ f (x) $ هي Riemann- تكامل على $ [a، b] $ ، فإن الحد

موجود ويتقارب إلى $ int_a ^ bf (x) mathrm dx $.


نظرية فضاءات حصان

نظرية 3.8 (F. and M. Riesz)

يترك ميكرومتر(ر) تكون دالة ذات قيمة معقدة طبيعية للتغير المحدود في [0 ، 2π] ، مع الممتلكات

ثم ميكرومتر(ر) مستمر تمامًا.

من خلال النظرية 3.7 ، تشير الفرضية إلى تكامل بواسون - ستيلتجيس المقابل F(ض) تحليلي في |ض| & lt 1 وبالتالي و ∈ ح 1. لكن وفقًا للنظرية 3.1 ، كل ح يمكن تمثيل وظيفة واحدة في النموذج

نظرًا لأن تمثيل Poisson فريد (القسم 1.2) ، د(ر) = F(ه ذلك ) د.

كانت الخطوة الأساسية في الإثبات هي استخدام النظرية 3.1 ، تمثيل ح 1 وظائف بواسطة تكاملات بواسون. في الواقع ، هذه النتيجة إلى حد ما ما يعادل لنظرية F. و M. Riesz. يوجد أدناه متغير آخر مفيد في بعض الأحيان. ترك برهان باعتبارها ممارسة.


Riemann-Stieltjes والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل الجزء الأول

مرحبا بالجميع. أنا هنا مع منشور آخر حول تكامل Riemann-Stieltjes. على وجه الخصوص ، أعلق على النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل ومدى تعاونها (لعدم وجود كلمة أفضل) مع تكامل ريمان-ستيلتج. في هذا المنشور على وجه الخصوص ، سأناقش نظرية 6.21 ونظرية 6.22 من رودين.

عندما رأيت وتتبعت البراهين على هذه النظريات لأول مرة ، اعتقدت أنه من الغريب أن يختار رودين إثبات نظريات وظائف ريمان القابلة للتكامل فقط. لذلك وضعتها كجزء من مشاكل التمرين لإثبات هذه النظريات لوظائف Riemann-Stieltjes القابلة للتكامل. وسرعان ما رأيت أنني لا أستطيع نسخ الإثبات حرفيًا دون أن أواجه بعض المشكلات. ثم قررت أنه يجب علي إضافة الحد الأدنى من الفرضيات اللازمة لتطبيق البراهين على تكامل Riemann-Stieltjes.

سأبدأ بذكر النظرية كما تظهر في Rudin متبوعة بالنسخة المعدلة التي قمت بإنشائها. نظرًا لأن هذا المنشور يعد نوعًا من استمرار المنشور السابق ، فإن التعريفات أو النتائج السابقة من هذا المنشور هي لعبة عادلة.

النظرية 1 (6.21 في Rudin) في حالة تشغيل وإذا كانت هناك وظيفة قابلة للتفاضل في ذلك الحين

النظرية 2 (تعديل Riemann-Stieltjes) لنفترض أن هناك وظيفة رتيبة ومستمرة ومتكررة ، مثل هذا و. يترك . إذا كانت هناك وظيفة قابلة للتفاضل على ذلك ، إذن

يجب أن يكون واضحًا أنني قد وضعت بعض القيود على ما يمكن أن يكون. كان من الممكن افتراض الحاجة إلى زيادة رتيبة دون الحاجة إلى ذكر ذلك. تأتي القيود الحقيقية منّي والتي تتطلب أن تكون مستمرة ، وجذابة ، وتعمل كهوية على نقاط نهاية الفترة ، وأن يكون مجالها. سيحد هذا بشدة من أنواع الوظائف التي يمكن أن تكون. على سبيل المثال ، يمكن & # 8217t أن تكون أي نوع من وظيفة الخطوة حيث ستفشل حينها في أن تكون مستمرة. الآن لتكييف البرهان لنسختي من النظرية حتى يتمكن المرء من معرفة سبب الحاجة إلى كل الافتراضات.

دليل: دعنا نعطي. اختر قسمًا لذلك. نظرية القيمة المتوسطة تخلق نقاطًا من هذا القبيل

ل . نفس المعنى. الآن نستخدم خصوصية ادعاء ذلك للجميع. لذلك، . لذلك ، حصلنا على ذلك

الآن إذا أخذنا مجموعًا فسنحصل عليه

لاحظ أن المساواة الأخيرة تم الحصول عليها من طلب هذا العمل كهوية على نقاط نهاية الفترة. الآن النظرية 6.7 (ج) في Rudin (انظر نهاية المنشور) تقول ذلك

بما أن هذا صحيح بالنسبة لأي شخص نستنتج ذلك في الواقع

بمجرد إثبات النظرية 2 ، يمكننا تحديد وإثبات وجود نظير لـ Theorem 6.22 لتكامل Riemann-Stieltjes.

النظرية 3 (6.22 في Rudin) افترض أن هناك دالات قابلة للتفاضل في ، ، ، ، ،. ثم

النظرية 4 (تعديل Riemann-Stieljes) لنفترض أن هناك وظيفة رتيبة ومستمرة ومتكررة ، مثل هذا و. افترض أن هناك دالات قابلة للتفاضل في ، ، ، ، ،. ثم

يمكن نقل الدليل على هذه النظرية حرفيا من الكتاب. لذلك سأفعل ذلك ، لكنني سأضيف بعض التفاصيل المفقودة في الكتاب لتوضيح بعض الأشياء.

دليل: اضبط ، إذن. الآن ، نظرًا لأنها قابلة للتفاضل ، فستكون مستمرة على وبالتالي. لذلك . كل ما علينا فعله الآن هو تطبيق النظرية 2 على. سوف نحصل على ذلك

باستخدام خطية التكاملات نحصل على النتيجة.

أعتقد أنني & # 8217m سأنهي المنشور هنا لأنني متعب وقضيت وقتًا طويلاً جدًا الليلة الماضية في التدوين. حتى المرة القادمة.

النظرية 5 (6.7 (c) في Rudin) إذا كان لبعض التقسيم ونفترض أن هناك نقاط اعتباطية في ذلك الحين


1 المقدمة

مفهوم تكامل ريمان-ستيلتجيس ∫ أ ب و (ر) د ش (ر) أين F يسمى التكاملاند, ش يسمى المُتكامل، يلعب دورًا مهمًا في الرياضيات ، على سبيل المثال في تعريف التكامل المعقد ، تمثيل الوظائف الخطية المحدودة على فضاء باناخ لجميع الوظائف المستمرة على فترة [أ ، ب] ، في التمثيل الطيفي لمشغلي الربط الذاتي على هيلبرت المعقد المساحات وفئات المشغلين الأخرى مثل المشغلين الوحدويين ، إلخ.

ومع ذلك ، فإن التحليل العددي لهذا التكامل ضعيف تمامًا كما أشارت الورقة البحثية التي كتبها مايكل تورتوريلا من عام 1990 [1]. النتائج السابقة في هذا الاتجاه ، مع ذلك ، قدمها دوبوك وتودور في أوراقهما 1984 و 1987 [2 ، 3] و [4] ، على التوالي. للحصول على النتائج الأخيرة المتعلقة بتقريب تكامل Riemann-Stieltjes ، انظر عمل Diethelm [5] ، Liu [6] ، Mercer [7] ، Munteanu [8] ، Mozyrska وآخرون. [9] والمراجع فيه. للحصول على نتائج حديثة أخرى تم الحصول عليها في نفس الاتجاه من قبل المؤلف الأول وزملائه من RGMIA ، انظر [10-16] و [17]. يمكن العثور على قائمة شاملة من المطبوعات المسبقة المتعلقة بهذا الموضوع على http://rgmia.org.

لتقريب تكامل Riemann-Stieltjes ∫ abp (t) dv (t) ، حيث p ، v: [a، b] → R هي وظائف يوجد من أجلها التكامل أعلاه ، أنشأ Dragomir في [18] الهوية المتكاملة التالية :

بشرط وجود التكاملات المعنية. في الحالة الخاصة عندما u (t) = t، t ∈ [a، b] ، تقل الهوية المذكورة أعلاه إلى العنصر المشهور هوية مونتغمري (انظر [[19] ، ص 565]) التي تم استخدامها على نطاق واسع من قبل العديد من المؤلفين في الحصول على مختلف عدم المساواة من نوع Ostrowski. للحصول على مجموعة شاملة حديثة من الأعمال المتعلقة بعدم مساواة أوستروفسكي ، راجع الكتاب [20] ، الأوراق [10-12 ، 21-32] و [33]. للحصول على نتائج أخرى تتعلق بحدود الخطأ لقواعد التربيع المتعلقة بقواعد نقطة المنتصف وشبه المنحرف ، راجع [34-45] والمراجع الواردة فيه.

بدافع من النتائج الأخيرة من [18 ، 46 ، 47] (انظر أيضًا [11 ، 27] و [13]) في هذه الورقة ، نحقق في مشكلة تقريب تكامل ريمان-ستيلتج ∫ abf (λ) du (λ) في الحالة التي يكون فيها عنصر التكامل F هو ن- مرات قابلة للتفاضل والمشتق f (n) إما من التباين المحدود محليًا ، أو Lipschitzian على فترة تتضمن [a ، b]. بداهة حدود الخطأ لفئات متعددة من الدمجين ش والتطبيقات في تقريب تحويل لابلاس-ستيلجيس المحدود وتحويلات فورييه-ستيلتجيس الجيبية وجيب التمام متوفرة كذلك.


1 المقدمة

قدم هيلجر [1] مفهوم المقاييس الزمنية من أجل توحيد نظرية حساب التفاضل والتكامل المستمر والمنفصل. يحتوي مجال المعادلات الديناميكية على المقاييس الزمنية ويربط ويوسع النظرية الكلاسيكية لمعادلات التفاضل والفرق ، إلى جانب العديد من المعادلات الأخرى. هناك مقاييس زمنية أكثر من مجرد ℝ (المقابلة للحالة المستمرة) و (المقابلة للحالة المنفصلة) وبالتالي العديد من فئات المعادلات الديناميكية. تم إنتاج مورد ممتاز مع ببليوغرافيا شاملة على نطاقات زمنية بواسطة Bohner and Peterson [2 ، 3].

في الآونة الأخيرة ، جذبت نظرية الوجود للحلول الإيجابية لمشاكل القيمة الحدية (BVPs) على المقاييس الزمنية انتباه العديد من المؤلفين ، يشار إلى القراء ، على سبيل المثال ، [4–11] والمراجع الواردة فيها لنظرية الوجود لبعض نقطتين BVPs و [12–17] لثلاث نقاط BVP على المقاييس الزمنية. لوجود حلول م- نقطة BVPs على جداول زمنية ، نحيل القارئ إلى [18-20].

في الوقت نفسه ، نلاحظ أن فئة من مشاكل القيمة الحدية مع شروط الحدود المتكاملة لها تطبيقات مختلفة في الهندسة الكيميائية ، والمرونة الحرارية ، وديناميات السكان ، والتوصيل الحراري ، والهندسة الكيميائية ، وتدفق المياه الجوفية ، والمرونة الحرارية ، وفيزياء البلازما. من ناحية أخرى ، تشكل مشاكل القيمة الحدية مع شروط الحدود المتكاملة فئة مهمة ومثيرة للاهتمام للغاية من المشاكل. وهي تشمل مسائل ذات نقطتين وثلاث نقاط ومتعددة النقاط وغير محلية ذات قيمة حدية كحالات خاصة [[21-24] والمراجع الواردة فيها]. ومع ذلك ، فقد تم إنجاز القليل من العمل لوجود حلول لمشاكل القيمة الحدية بشروط حدية متكاملة على نطاقات زمنية.

بدافع من البيانات أعلاه ، في هذه الورقة ، نحن مهتمون بمشكلة القيمة الحدية التالية مع شروط الحدود المتكاملة

حيث f: [0، T] T × ℝ × ℝ → ℝ و e: [0، T] T → ℝ هي وظائف مستمرة ، g: [0، T] T → ℝ هي دالة متزايدة مع ∫ 0 T Δ g (ق) = 1 ، والتكامل في (1.1) هو Riemann-Stieltjes على المقاييس الزمنية ، والذي تم تقديمه في القسم 2 من هذه الورقة.

وفقًا لنظرية حساب التفاضل والتكامل في المقاييس الزمنية ، يمكننا توضيح أن مشاكل القيمة الحدية مع شروط الحدود المتكاملة على المقاييس الزمنية تغطي أيضًا نقطتين وثلاث نقاط. نمشاكل الحدود ذات النقاط كما تفعل مشاكل القيمة غير المحلية في الحالة المستمرة. على سبيل المثال ، في BVPs (1.1) ، دعونا

أين ك ≥ 1 عدد صحيح ، أ أنا ∈ [0, ∞), أنا = 1, . ك، i = 1 k هو تسلسل متزايد محدود من النقاط المميزة في [0 ، T] T ، و χ(س) هي الوظيفة المميزة ، أي

ثم تقل الحالة غير المحلية في BVPs (1.1) إلى كشرط حد نقطة

أين ر أنا , أنا = 1, 2, . ك يمكن تحديده (انظر Lemma 2.5 في القسم 2).

تأثير الرنين في المعادلة الميكانيكية مهم جدًا للعلماء. ستظهر كل معادلة ميكانيكية تقريبًا بعض الرنين ويمكن ، باستخدام قوة نبضية خارجية صغيرة جدًا ، تحفيزها للقيام بذلك. عادة ما يعمل العلماء بجد لإزالة الرنين من المعادلة الميكانيكية ، حيث يرون أنها تأتي بنتائج عكسية. في الواقع ، من المستحيل منع كل صدى. قدم علماء الرياضيات المزيد من نظرية الرنين من المعادلات. بالنسبة للحالة التي تكون فيها المعادلة التفاضلية العادية رنينًا ، تميل معظم الدراسات إلى المعادلة x″(ر) = F (ر, x(ر), x'(ر)) + ه(ر). على سبيل المثال ، درس Feng and Webb [25] مشكلة القيمة الحدية التالية

متي αξ = 1(ξ ∈ (0 ، 1)) رنين.

من السهل رؤية ذلك x 1(ر) ≡ ج(ج ∈ ℝ) و x 2(ر) = نقطة(ص ∈ ℝ) هي مجموعة أساسية من الحلول لرسم الخرائط الخطية Lx(ر) = x ΔΔ (ر) = 0. دع يو 1(x) = x Δ (0) و U 2 (x) = x (T) - ∫ 0 T x σ (s) Δ g (s). بما أن ∫ 0 T Δ g (s) = 1 ، فلدينا ذلك

وهكذا ، س(x) = 0 ، مما يعني أن BVPs (1.1) لها صدى. من خلال تطبيق نظرية درجة المصادفة لـ Mawhin على مشاكل القيمة الحدية المتكاملة على المقاييس الزمنية عند الرنين ، ستؤسس هذه الورقة بعض الشروط الكافية لوجود حل واحد على الأقل لـ BVPs (1.1).

يتم تنظيم باقي هذه الورقة على النحو التالي. يقدم القسم 2 تكامل Riemann-Stieltjes على المقاييس الزمنية. تم وضع بعض معايير ومعايير وجود حل واحد على الأقل لـ BVPs (1.1) في القسم 3 ، وتم تقديم أمثلة لتوضيح نتائجنا الرئيسية في القسم 4.


مقدمة

الهدف الأول من هذه الورقة هو تعميم نتائج [1] و [2] على الوظائف التي تحقق قيمها ليس فقط في ( mathbb) ولكن في مساحات أكثر عمومية. بعد ذلك ، للحصول على نتائج أكثر دقة ، لأي (p ge1 ) ، نقدم space ( mathcal^

([a، b]، W) ) الوظائف / الإشارات المنظمة (f: [a، b] rightarrow W ) ( (a & lt b ) هي أرقام حقيقية ، و دبليو هي مساحة Banach) التي يمكن تقريبها بشكل موحد بدقة ( delta & gt0 ) من خلال الوظائف التي يكون تباينها الإجمالي من الترتيب ( delta ^ <1-p> ) مثل ( delta rightarrow 0+ ). بهذه الطريقة سنحصل على نتيجة حول وجود حد مبالغ Riemann-Stieltjes ، والتي سنشير إليها بواسطة ( int_ ^ f ، mathrmg ) ، للوظائف من ( mathcal^

([a، b]) ) و ( mathcal^ ([a، b]) ) متى (p، q & gt1 )، (p ^ <-1> + q ^ <-1> & gt1 ). تم الحصول على نتائج من هذا النوع مسبقًا بواسطة Young [3، 4] و D’yačkov [5] (للحصول على سرد تفصيلي للغاية ، راجع [6 ، الفصل 3]) ، ولكن تم التعبير عنها من حيث ص- أو (أكثر عمومية) ϕ- الاختلافات. التكامل الذي تم الحصول عليه كحد لمجموع Riemann-Stieltjes في هذه الحالة غالبًا ما يسمى التكامل الصغير. من الجدير بالذكر أنه توجد في الوقت الحاضر أدبيات غنية إلى حد ما حول التكامل فيما يتعلق بالتكامل غير المنتظم حيث لا يتم بالضرورة الحصول على الكائن المحدد على أنه جزء لا يتجزأ من حدود مبالغ Riemann-Stieltjes. في [7] تم تطوير نهج مثير للاهتمام يعتمد على حساب التفاضل والتكامل الكسري. في النظرية الحديثة للمسارات الخشنة التي طورها تيري ليونز ، كان وجود تكاملات الشكل ( int_ <0> ^ و (ص_) cdot mathrmx_) و ذ مرضي (y (t) = y (0) + int_ <0> ^ و (ص_) cdot mathrmx_) تم إثباته ، حتى في حالة عدم انتظامه الشديد x، طالما F منتظم بدرجة كافية ويتم تزويد أحدها بقيم التكاملات المتكررة ( int_& lt s & lt t_ <2>> mathrmx_^)، ( int_& lt s & lt t & lt t_ <2>> mathrmx_^، mathrm x_^)، ( int _& lt s & lt t & ltu & lt t_ <2>> mathrmx_^ ، mathrmx_^، mathrmx_^) , إلخ. انظر [8 ، 9]. كلا النهجين المذكورين يوفران أدوات للتعامل أيضًا مع الحالة التي يكشف فيها المُتكامل والمتكامل عن نفس المخالفة مثل الحركة البراونية القياسية أو المقاييس شبه العامة (على الرغم من فشل التكامل الصغير في مثل هذه الحالة ، وقد كان ، تاريخيًا ، أحد الأسباب الرئيسية لتطوير التكامل العشوائي). للتعامل مع التكاملات التي تحركها الحركة البراونية الكسرية ، والتي تفشل في أن تكون شبه جزئية باستثناء الحالة الخاصة عندما تكون معلمة هيرست (1/2 ) ، يستخدم المرء تكاملات مختلفة: تكامل يونغ ، التكامل الجزئي أو رؤية Skorohod المتكاملة [10 ، 11].

للحصول على تقارب مجاميع Riemann-Stieltjes ، سنستخدم حلًا جزئيًا لمشكلة تباينية مشابهة لتلك التي تم تناولها في [1]. في [1] تم النظر في المشكلة التالية: نظرًا لقيمة (a & lt b ) ، (c & gt0 ) ، وظيفة / إشارة منظمة (f: [a، b] rightarrow mathbb) (للاطلاع على تعريف الوظيفة المنظمة ، انظر القسم التالي) و (x في [f (a) -c / 2، f (a) + c / 2] ) ، ابحث عن عدد الاختلافات الإجمالية لـ جميع الوظائف (f ^: [a، b] rightarrow mathbb) هذا تقريبي بشكل موحد F بدقة (ج / 2 ) ،

ويبدأ من (f ^ (أ) = س ). تذكر أن الاختلاف الكلي لـ (g: [a، b] rightarrow mathbb) يعرف ب

يتم تقريب هذه المعلومات بشكل جيد بواسطة الاختلاف المقطوع من F، معرف ك

وتبقى الحدود التالية:

حيث (B (f، c / 2): = le c / 2 > ) (انظر [1، Thm. 4 و ريم. 15]). علاوة على ذلك ، لدينا

لسوء الحظ ، لم تعد هذه النتيجة صالحة للوظائف التي تحقق قيمها في المساحات المترية العامة.

ملاحظة 1

ليس من الصعب أن نرى أن (2) لا تصمد حتى ل F تحقيق قيمها في ( mathbb^ <2> ) مع (| cdot | ) يُفهم على أنه المعيار الإقليدي في ( mathbb^ <2> ). في الواقع ، دعنا (f: [0،2] rightarrow mathbbيتم تعريف ^ <2> ) بواسطة (f (t) = ( cos (2 pi lfloor t rfloor / 3) ، sin (2 pi lfloor t rfloor / 3)) ). لدينا ( operatorname^ < sqrt <3>> (f، [0،2]) = 0 ) ، لكن لا يوجد تسلسل للوظائف (f_: [0،2] rightarrow mathbb^ <2> ) ، (n = 1،2 ، ldots ) ​​، بحيث ( Vert f-f_ Vert _ <[0،2]، infty> le sqrt <3> / 2 ) و ( lim_ اسم المشغل(F_، [0،2]) = 0 ). وهكذا بالنسبة لـ (c = sqrt <3> ) ، ( inf_<> in B (f، c / 2)> اسم مشغل(و ^، [a، b]) & gt operatorname^(و ، [أ ، ب]) ).

يجيب الملاحظة 1 (سلبًا) على السؤال الذي طرحه Krzysztof Oleszkiewicz منذ بضع سنوات إذا كان الاختلاف المقطوع هو الحد الأدنى الأكبر للتغير الكلي للوظائف من (B (f ، c / 2) ) تحقيق القيم في ( mathbb^) ، (د = 2،3 ، ldots ) ​​، أو في مسافات أخرى غير ( mathbb). لحسن الحظ ، من الممكن تحديد تقدير سهل للجانب الأيسر من (2) من حيث الاختلاف المقطوع لـ F، ل F تحقيق القيم في أي مساحة متريّة (لتحديد الاختلاف الإجمالي والاختلاف المقتطع لـ F تحقيق قيمها في المساحة المترية ((E، d) ) ، نحن فقط نستبدل (| f (t_) ) -f (t_ ) | ) بالمسافة (d (f (t_ ) ، و (t_ )) )) انظر النظرية 1.

سيكون أحد تطبيقات النظرية 1 هو تعميم نتائج [2] حول وجود تكامل Riemann-Stieltjes. سننظر في الحالة التي يحقق فيها المُتكامل والمتكامل قيمهما في مساحات Banach. ينبع التقييد على مسافات Banach من حقيقة أن طريقة إثباتنا تتطلب تطبيقًا متعددًا للتجميع بالأجزاء والمضي قدمًا إلى حد تسلسل Cauchy ، والذي يمكن القيام به بطريقة مباشرة في أي مساحة Banach. بهذه الطريقة سنحصل على نظرية عامة حول وجود تكامل Riemann-Stieltjes على طول مسار في بعض فضاء Banach ((E، Vert cdot Vert _ ) ) (مع التكامل وكونه مسارًا في الفضاء (L (E ، V) ) من التعيينات الخطية المستمرة (F: E rightarrow V ) ، حيث الخامس هي مساحة أخرى في Banach) ونسخة محسّنة من عدم مساواة Loéve-Young للتكاملات المدفوعة بمسارات غير منتظمة في هذا الفضاء.

يمكن ذكر عدم المساواة الشهير Loéve-Young على النحو التالي. إذا كان (f: [a، b] rightarrow L (E، V) ) و (g: [a، b] rightarrow E ) وظيفتان منظمتان مع عدم وجود نقاط مشتركة للانقطاع و F و ز محدودة ص- و ف- الاختلافات ، على التوالي ، حيث (p & gt 1 ) ، (q & gt 1 ) و (p ^ <-1> + q ^ <-1> & gt1 ) ، ثم تكامل Riemann-Stieltjes ( int_ ^f ، mathrmg ) موجود ولدينا التقدير التالي:

الخامس ^

bigl (f، [a، b] bigr): = sup_رشفة _& lt t_ <1> & lt cdots & lt t_ le b> sum_^ bigl Vert f (t_ ) -f (t_ ) بيبر فير _^

$

للدلالة على ص- و ف- الاختلافات في F و ز، على التوالي (تسمى أحيانًا ملف قوي الاختلافات). تقدير Loéve-Young الأصلي مع الثابت ( tilde _= 1 + زيتا (1 / ع + 1 / ف) ) أين ζ هي دالة زيتا ريمان الشهيرة ، تمت صياغتها لوظائف حقيقية في [3]. النظير لهذه المتباينة لدوال Banach ذات القيمة الفضائية الأكثر عمومية ، مع الثابت ( tilde_= 4 ^ <1 / p + 1 / q> zeta (1 / p + 1 / q) ) ، تمت صياغته في إثبات [12، Theorem 1.16]. نسختنا المحسنة من (3) هي كما يلي:

حيث ( Vert f Vert _ < text، [أ، ب]>: = sup_ Vert f (s) -f (t) Vert _) و (C_) هو ثابت عالمي يعتمد على ص و ف فقط. لاحظ ذلك دائمًا

دعونا نعلق بعد قليل على البراهين (3) والنتائج ذات الصلة التي ظهرت حتى الآن. دليل يونغ الأصلي على (3) حجة الاستقراء الأولية ولكن الذكية للتسلسلات المحدودة. منذ ذلك الحين ، ظهرت عدة تعميمات لـ (3) ، على سبيل المثال ، بناءً على وظائف التحكم ، انظر [8 ، القسم 3.3] أو [12 ، القسم 1.3]. يمكن العثور على دليل آخر يعتمد على وظائف التحكم ولكن مع ثابت مختلف في [13 ، الفصل 6]. نسخة مجردة من عدم المساواة ثبت في [13] ، ودعا خياطة ليما، تم إثباته في [14]. كل هذه الأساليب تعطي عدم المساواة حيث فقط ص- و ف- تظهر قواعد التباين (أو Hölder) ، في حين أن نهجنا يعطي تقديرًا لمكان ص- قاعدة الاختلاف F، وهذا هو ، ((V ^

(f، [a، b])) ^ <1 / p> ) ، يتم استبداله بالعامل ((V ^

(f، [a، b])) ^ <1-1 / q> Vert f Vert _ < text، [a، b]> ^ <1 + p / q-p> ) ، والتي قد تكون أصغر بعدة مرات من هذه القاعدة. نصوغ نسخة محسّنة أكثر من عدم مساواة Loéve-Young في الملاحظة 2. عدم المساواة المصاغ في الملاحظة 2 ، جنبًا إلى جنب مع العلاقة (18) ، ينتج (4) ، وهذا ، جنبًا إلى جنب مع (5) ، ينتج (3) ، لكن التفكير في الاتجاه المعاكس (اشتقاق (4) أو عدم المساواة المذكورة في الملاحظة 2 من (3)) يبدو غير ممكن.

يمكن تطبيق هذه النتائج ، على سبيل المثال ، متى F و ز هي مسارات α-عمليات مستقرة (X ^ <1> ) ، (X ^ <2> ) مع ( alpha in (1،2) ). ومع ذلك ، نظرًا لأن النتائج التي تم الحصول عليها تمت صياغتها من حيث الوظائف المستقلة عن المعدل ، مثل الاختلاف المقتطع أو ص-التباين ، تظل صالحة عندما (f (t) = F (X ^ <1> (A (t))) ) و (g (t) = G (X ^ <2> (B (t) )) ) (مع الافتراض الفني أن يقفز من F و ز لا تحدث في نفس الوقت) ، حيث (A، B: [0، + infty) rightarrow [0، + infty) ) هي تغيرات رتيبة ومتقطعة ، وربما عشوائية ، وتغيرات زمنية (أي. يوجد (0 = T_ <0> & lt T_ <1> & lt cdots ) ​​مثل هذا (T_ rightarrow + infty ) بشكل شبه مؤكد مثل (n rightarrow + infty ) ، و أ و ب تكون رتيبة في كل فترة ((T_، T_ ) ) ، (i = 1،2 ، ldots )) ، و (F ، G: mathbb rightarrow mathbb) محليًا Lipschitz.

كما ذكرنا سابقًا ، يبدو أنه من الممكن استنباط ظروف أضعف لا تزال قائمة في ظلها عدم مساواة Loéve-Young المحسّنة ، وسنثبت أنها لا تزال قائمة (وتكامل Riemann-Stieltjes ( int _ ^f ، mathrmg ) موجود) للوظائف F و ز مع عدم وجود نقاط مشتركة للانقطاع ، مرضية

من العمل المبكر لليونس [15] من المعروف أنه في أي وقت F و ز محدودة ص- و ف- المتغيرات ، على التوالي ، (p & gt 1 ) ، (q & gt 1 ) و (p ^ <-1> + q ^ <-1> & gt1 ) ، ثم التكامل غير المحدد (I ( cdot ) ) منتهية ف-الاختلاف. ومع ذلك ، فمن المعروف أيضًا أن المتماثل αعملية مستقرة X مع ( alpha in [1،2] ) منتهي ص- الاختلاف عن أي (p & gt alpha ) في حين أنه α- التباين لانهائي (في أي فاصل زمني مضغوط مناسب لـ ([0، + infty) )) انظر ، على سبيل المثال ، [16، Thm. 4.1]. وبالتالي ، على سبيل المثال ، إذا كان (f (t) = F (X ^ <1> (A (t))) ) و (g (t) = G (X ^ <2> (B (t) )) ) كما في الفقرة السابقة ، فيمكننا القول إن (I ( cdot) ) محدود ص- التباين في أي فترة فرعية مضغوطة لـ ([0، + infty) ) لأي (p & gt alpha ) ولكن لا يمكن قول المزيد. من نتائجنا سيتبع ذلك (I ( cdot) in mathcal ^ < alpha> ([0، t]، mathbb)) لأي () علاوة على ذلك ، سوف نحصل على تقديرات لـ أنا أقوى من تلك المعروفة بالفعل انظر نظرية 3. وبالتالي ، فإن إدخال المساحات الجديدة وعدم المساواة له تطبيقان على الأقل: (1) نحدد عائلة الوظائف ذات الدوال المحدودة ص-التباين كمجموعة فرعية مناسبة من ( mathcal^

) ، أي مجموعة الوظائف التي يمكن تقريبها بشكل موحد بدقة δ من خلال الدوال البسيطة التي يكون تباينها الإجمالي من الترتيب ( delta ^ <1-p> ) كـ ( delta rightarrow 0+ ) ، (2) نحصل على تقديرات أفضل للتكاملات التي تحركها المسارات غير المنتظمة ، والتي قد تستخدم لتقوية بعض النتائج حول وجود حلول للمعادلات التفاضلية مدفوعة بمسارات غير منتظمة ، انظر [2 ، القسم 3] والقسم 4.3.

دعونا نعلق على تنظيم الصحيفة. في القسم التالي نثبت وجود تقديرات عامة جدًا لـ ( inf_ اسم المشغل(g، [a، b]) ) للتنظيم (f: [a، b] rightarrow E ) ، حيث ه هي أي مساحة مترية ، من حيث الاختلاف المقتطع لـ F. Next, in Section 3, we use the obtained estimates to prove a new theorem on the existence of the Riemann-Stieltjes integral driven by irregular paths in Banach spaces. In the proofs we closely follow [2]. In Section 4, we introduce the Banach spaces (mathcal^

([a,b],W)) , (pge1) (Section 4.1) and in Section 4.2 obtain more exact estimates of the rate-independent irregularity of functions from these spaces (in terms of ϕ-variation). In the last subsection we deal with the irregularity of the integrals driven by signals from the spaces (mathcal^

([a,b],W)) , (pge1) .


5 إجابات 5

It's fairly easy to visualize the Riemann–Stieltjes integral $int_a^b f(t),dg(t)$ [I changed the name of the integration variable for convenience below] if $fge0$ and $g$ is nondecreasing. Just draw the graph of the curve $(x,y)=(g(t),f(t))$. The integral is just the area below the curve. (Whenever $g$ makes a jump at some $t_0$, fill in the gap by setting $y=f(t_0)$ there.) The Riemann–Stieltjes sums are now easy to visualize as sums of areas of rectangles (details left as an exercise).

Well the amusing example is fundamental to analytic number theory, because any sum of a smooth function can be written as a stieltjes integral. Here is a typical use: Say we want to estimate the $sum_

f(p)$ where $f$ is a nice smooth, positive, decreasing function (say faster than $1/x$), and the summation is taken over the primes. Then by Stieltjes non-sense (this is essentially Ilya's example but slightly more elaborate): $sum_

= int_<3/2>^ f(t) extpi(t)$ where $pi(t)$ is the prime counting function. By using "integration by parts for Stieltjes integrals" the previous integral is equal to $f(x) pi(x) - int_<3/2>^ pi(t) extf(t)$. When $f$ is a nice differentiable function we have that $ extf(t) = f'(t) extt$. Thus the previous integral simply equals to $f(x) pi(x) - int_<3/2>^ pi(t) f'(t) extt$. Now we know that $pi(x) sim frac$ so putting this inside the integral and assuming that $f$ is not too bad (i.e let's say $f$ decreasing and in size about $1/x$, but not as small as to make our integral constant) we get that $sum_

f(p) sim - int_<3/2>^ frac extt$ (the minus sign is there because we assume $f$ to be decreasing in the increasing case the procedure described above doesn't work so well because the term $f(x)pi(x)$ and the integral $int_<3/2>^ pi(t)f'(t) extt$ give a contribution of roughly equal size, so when we approximate $pi(t)$ we are (usually) left only with the error term). If you take $f(x) = 1/x$ then a simple consequence of the above result is that $sum_

frac<1>

sim loglog(x)$. I hope this example was worthwhile. (I know you asked for visualization but I think this is a good example of actual use, maybe it will be helpful)

First of all, you can think of this integral using almost the same picture. The only difference is that instead of summing just the المناطق of the rectangles, you first multiply each area by $g(x_)-g(x_i)$ and then add.

The idea is that we no longer consider the real line as having the same "weight" everywhere some parts are now "more important" than others. When we did usual integration, we assigned the the piece of the line between $x_i$ and $x_$ the weight $x_-x_i$, exactly proportional to its length. Now, instead, this same piece is given weight $g(x_)-g(x_i)$.

In particular, if we picked ز so that $g(x)=x$ for all x, we would get the regular integral back. إذا ز were constant, all integrals would become zero no part of the real line would matter at all.

Final amusing example if g(x)=0 for $x leq 0$ and g(x)=1 for $x > 0$, then no part of the line matters except the origin. For simplicity, suppose some $x_i=0$. Then, our Riemann-Stjeltes sum will be: $sum_^n f(x_i)cdot underbrace<(g(x_)-g(x_i))>_< extx_i=0> = f(0)$no matter what our step is. So, the integral of any function F سوف يكون f(0). (The function will need to be continuous for integrals to be well-defined, as always)

But, I think what you are really missing is the concept of a measure, at least an intuitive one. It takes a bit of work to learn, but makes understanding all kinds of integration much easier. My favorite source for this is the dirt-cheap book by Kolmogorov-Fomin (you'd need to look at the last couple of chapters, and to reference the first chapters episodically), but it would certainly require some time and might be more than you need. Ideally, just take a graduate-level (or similar) analysis course.


مراجع

Tariboon, J, Sitthiwirattham, T: Positive solutions of a nonlinear three-point integral boundary value problem. Bound. Value Probl. 2010, Article ID 519210 (2010)

Kong, LJ: Second order singular boundary value problems with integral boundary conditions. Nonlinear Anal. 72(5), 2628-2638 (2010)

Webb, JRL, Infante, G: Non-local boundary value problems of arbitrary order. J. Lond. رياضيات. شركة 79(2), 238-258 (2009)

Webb, JRL, Infante, G: Positive solutions of nonlocal boundary value problems: a unified approach. J. Lond. رياضيات. شركة 74(2), 673-693 (2006)

Agarwal, RP: The numerical solution of multipoint boundary value problems. J. Comput. تطبيق رياضيات. 5, 17-24 (1979)

Kwong, MK: The shooting method and multiple solutions of two/multi-point BVPS of second-order ODE. إلكترون. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2006, 6 (2006)

Kwong, MK, Wong, JSW: The shooting method and nonhomogeneous multipoint BVPs of second-order ODE. Bound. Value Probl. 2007, Article ID 64012 (2007)

Ma, RY: Positive solutions of a nonlinear م-point boundary value problem. Comput. رياضيات. تطبيق 42, 755-765 (2001)

Wang, HL, Ouyang, ZG, Wang, LG: Application of the shooting method to second-order multi-point integral boundary-value problems. Bound. Value Probl. 2013, Article ID 205 (2013)


8.9.E: Problems on Riemann and Stieltjes Integrals

Tuesday and Thursdays, 11-12:30 in Room 4-153.

Note that the text, [1], is Rudin's ``Principles of Mathematical Analysis''. The problems are from the 3rd edition.

There are two sections of 18.100B, plus a section of 18.100A. This web page is only for my section. The lecturer for the other section of 18.100B is Professor S. Helgason.

The timetable here should not be completely relied upon! As set out below it will mean that we move at a quite brisk pace. Probably I will have to modify it a bit as I go along. The dates of the tests and on which homework is due will not change but it is possible that the material they cover will change a little.

Lecture 1: February 3. Where do we start?

Reading:- Rudin Pages 1 - 11.

Problems:- Rudin Chapter 1, Problems 1,3,5.

NOTE: There is a homework due tomorrow. You can in fact get full marks by handing in a page with your name on it. However, try the first three questions so that I can help you with setting out proofs. Our grader has not yet been selected.

First `Proof' - that there is no rational with square 2.

Naive set theory, union and intersection, Cartesian product.

Lecture 2: February 5. The real numbers.

Problems:- Rudin Chapter 1, Problems 8,9,10.

Least upper bound property.

Archimedean property of real numbers.

Lecture 3: February 10. Countability.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 2,3,4.

Maps, surjectivity, injectivity, bijectivity.

Finite, countable, uncountable, at-most-countable and infinite sets.

Countability of the integers (duh).

A countable union of countable sets is countable.

Cartesian product of two countable sets is countable.

Countability of the rationals.

The uncountability of the set of sequences with values in

Amusement for the over-prepared. Prove Sylvester's theorem. Suppose and are non-negative integers. Show that every integer larger than can be expressed as a linear combination with and non-negative integres.

Lecture 4: February 12. Metric spaces, open sets.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 9a, 9b, 9c, 11,

Euclidean metric, discrete metric and supremum metric.

Open balls in a metric space.

Open subsets of a metric space.

Unions and finite intersections of open sets are open.

Limit points and closed sets.

Lecture 5: February 19 (Monday schedule on February 17). Closed sets.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 10, 22, 23.

Complements of closed sets are open and vice versa.

Lecture 6: February 24. Compact sets.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 12, 16, 25.

Countable intersection property

Infinite subsets of compact sets have limit points

Lecture 7: February 26. Compact subsets of Euclidean space

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 24, 26, 29.

Compactness of the unit cube.

Lecture 8: March 2. Completeness.

Reading:- Rudin Pages 42-43, 47-55.

Problems:- Rudin Chapter 2, Problems 19, 20, 21.

Completeness of Euclidean spaces.

Lecture 9: March 4. Sequences and series.

Reading:- Rudin Pages 55-69, 71-75.

Problems:- Rudin Chapter 3, Problems 2, 7, 12, 16.

Completeness of compact spaces.

Did not do series, root, ratio tests, absolute convergence.

Lecture 10: March 9. Continuity.

Problems:- Rudin Chapter 4, Problems 1, 4, 15.

Limits of functions at a point.

Continuity of functions at a point.

Lecture 11: March 11. Continuity and sets.

Problems:- Rudin Chapter 4, Problems 1, 4, 15.

Continuity and closes sets.

Continutiy and components.

Lecture 12: March 16. Continuity and compactness.

Continuity and compactness.

A continuous function on a compact set has a maximum

Continuity and connectedness.

A continuous function on an interval takes intermediate values.

Lecture 13: March 18. First in-class test. Covers all material in Lectures 1-10.

Lecture 14: March 30. Differentiability.

Reading:- Rudin pages 103-107.

Differentiability and the derivative.

Differentiability implies continuity.

Lecture 15: April 1. (Professor Helgason will lectures, since I will be away.) Mean value theorem.

Reading:- Rudin pages 107-110.

Increasing and decreasing functions

Lecture 16: April 6. Riemann-Stieltjes integral defined.

Reading:- Rudin pages 120-124.

Upper and lower integrals.

Lecture 17: April 8. Integrability of a continuous function.

Reading:- Rudin pages 124-127.

Continuous functions are Riemann-Stieltjes integrable.

Monotonic functions are R-S integrable w.r.t. continuous length functions.

Continuous function of R-S integrable function is R-S integrable.

Lecture 18: April 13. Riemann-Stieltjes integral.

Reading:- Rudin pages 128-133.

Properties of the integral

Lecture 19: April 15. Fundamental theorem of calculus.

Reading:- Rudin pages 133-136.

Lecture 20: April 22 (April 20 is a holiday). Sequences of functions.

Reading:- Rudin pages 143-151

Pointwise convergence of sequences of functions

Uniform convergence and continuity

Lecture 21: April 27. Second in-class test Lecture 22:

April 29. Uniform convergence.

Reading:- Rudin pages 150-154.

The metric space of bounded continuous functions on a metric space.

Uniform convergence and integration.

Uniform convergence and differentiation.

Lecture 23: May 4. Equicontinuity

Reading:- Rudin pages 154-161.

Equicontinuity and compactness.

Lecture 24: May 6. Power series

Reading:- Rudin pages 172-180

Lecture 25: May 11. Fundamental theorem of algebra.

Reading:- Rudin pages 180-185.

Exponential, logarithm and trigonometric functions.

Fundamental theorem of algebra.

Final review, with some indications of what more we could have done with a little time. I will give you some idea of the structure of the final examination. Also I will try to give you an idea of the relationship of the material in this course to other mathematics courses.


شاهد الفيديو: التحليل الرياضي. تكامل ريمان. المحاضره السادسه (شهر اكتوبر 2021).