مقالات

3.3: معدلات التغيير وسلوك الرسوم البيانية


أهداف التعلم

  • أوجد متوسط ​​معدل تغير دالة.
  • استخدم رسمًا بيانيًا لتحديد موضع زيادة أو انخفاض أو ثبات دالة.
  • استخدم رسمًا بيانيًا لتحديد الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي.
  • استخدم الرسم البياني لتحديد الحد الأقصى المطلق والصغير المطلق.

شهدت تكاليف البنزين بعض التقلبات الشديدة على مدى العقود العديدة الماضية. يسرد الجدول ( PageIndex {1} ) متوسط ​​التكلفة بالدولار لغالون البنزين للأعوام 2005-2012. يمكن اعتبار تكلفة البنزين دالة في السنة.

جدول ( PageIndex {1} )
(ص )20052006200720082009201020112012
(ج (ص) )2.312.622.843.302.412.843.583.68

إذا كنا مهتمين فقط بكيفية تغير أسعار البنزين بين عامي 2005 و 2012 ، فيمكننا حساب أن تكلفة الجالون قد زادت من 2.31 دولار إلى 3.68 دولار ، بزيادة قدرها 1.37 دولار. في حين أن هذا مثير للاهتمام ، فقد يكون من المفيد أكثر أن ننظر إلى مقدار تغير السعر كل عام. في هذا القسم ، سنحقق في مثل هذه التغييرات.

إيجاد متوسط ​​معدل التغيير لدالة

تغير السعر في السنة هو أ معدل التغيير لأنه يصف كيفية تغير كمية المخرجات بالنسبة للتغير في كمية المدخلات. يمكننا أن نرى أن سعر البنزين في الجدول ( PageIndex {1} ) لم يتغير بنفس المقدار كل عام ، لذلك لم يكن معدل التغيير ثابتًا. إذا استخدمنا بيانات البداية والنهاية فقط ، فسنجد قيمة متوسط ​​معدل التغيير خلال الفترة الزمنية المحددة. للعثور على متوسط ​​معدل التغيير ، نقسم التغيير في قيمة المخرجات على التغيير في قيمة الإدخال.

[ start {align *} text {متوسط ​​معدل التغيير} & = dfrac { text {Change in output}} { text {Change in input}} [4pt] & = dfrac { Delta y} { Delta x} [4pt] & = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} [4pt] & = dfrac {f (x_2) -f (x_1)} {x_2-x_1 } end {align *} label {1.3.1} ]

يشير الحرف اليوناني ( Delta ) (دلتا) إلى التغيير في الكمية ؛ نقرأ النسبة على أنها "دلتا - (ص ) على دلتا - (س )" أو "التغيير في (ص ) مقسومًا على التغيير في (س )". من حين لآخر نكتب ( Delta f ) بدلاً من ( Delta y ) ، والتي لا تزال تمثل التغيير في قيمة مخرجات الوظيفة الناتجة عن التغيير في قيمة الإدخال الخاصة بها. هذا لا يعني أننا نغير الوظيفة إلى وظيفة أخرى.

في مثالنا ، ارتفع سعر البنزين بمقدار 1.37 دولارًا أمريكيًا في الفترة من 2005 إلى 2012. وعلى مدار 7 سنوات ، كان متوسط ​​معدل التغيير

[ dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {$ 1.37} {7 text {years}} almost text {0.196 دولارًا سنويًا.} label {1.3.2} ]

في المتوسط ​​، ارتفع سعر الغاز بنحو 19.6 سنت كل عام. تشمل الأمثلة الأخرى لمعدلات التغيير ما يلي:

  • يزداد عدد الفئران بنسبة 40 جرذًا في الأسبوع
  • سيارة تسافر 68 ميلاً في الساعة (تتغير المسافة المقطوعة بمقدار 68 ميلاً في الساعة مع مرور الوقت)
  • سيارة تسير 27 ميلاً للغالون الواحد (تتغير المسافة المقطوعة بمقدار 27 ميلاً للغالون الواحد)
  • يزداد التيار عبر دائرة كهربائية بمقدار 0.125 أمبير لكل فولت من الجهد المتزايد
  • يتناقص مبلغ المال في حساب الكلية بمقدار 4000 دولار لكل ربع سنة

التعريف: معدل التغيير

أ معدل التغيير يصف كيف تتغير كمية المخرجات بالنسبة للتغيير في كمية المدخلات. الوحدات على معدل التغيير هي "وحدات الإخراج لكل وحدة إدخال".

متوسط ​​معدل التغيير بين قيمتي إدخال هو التغيير الإجمالي لقيم الدالة (قيم المخرجات) مقسومًا على التغيير في قيم الإدخال.

[ dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {f (x_2) -f (x_1)} {x_2-x_1} ]

كيف...

بالنظر إلى قيمة دالة عند نقاط مختلفة ، احسب متوسط ​​معدل تغير دالة للفاصل الزمني بين قيمتين (x_1 ) و (x_2 ).

  1. احسب الفرق (y_2 − y_1 = Delta y ).
  2. احسب الفرق (x_2 − x_1 = Delta x ).
  3. أوجد النسبة ( dfrac { Delta y} { Delta x} ).

مثال ( PageIndex {1} ): حساب متوسط ​​معدل التغيير

باستخدام البيانات الموجودة في الجدول ( PageIndex {1} ) ، أوجد متوسط ​​معدل التغير في سعر البنزين بين عامي 2007 و 2009.

حل

في عام 2007 ، كان سعر البنزين 2.84 دولار. في عام 2009 ، كانت التكلفة 2.41 دولار. متوسط ​​معدل التغيير هو

[ begin {align *} dfrac { Delta y} { Delta x} & = dfrac {y_2 − y_1} {x_2 − x_1} [4pt] & = dfrac {$ 2.41− $ 2.84} {2009 −2007} [4pt] & = dfrac {- 0.43 دولارًا أمريكيًا {2 text {years}} [4pt] & = - 0.22 دولارًا أمريكيًا text {per year} end {align *} ]

تحليل

لاحظ أنه يتم التعبير عن الانخفاض من خلال تغيير سلبي أو "زيادة سلبية". يكون معدل التغيير سالبًا عندما ينخفض ​​الناتج مع زيادة المدخلات أو عندما يزداد الناتج مع انخفاض الإدخال.

تمرين ( PageIndex {1} )

باستخدام البيانات الموجودة في Table ( PageIndex {1} ) ، أوجد متوسط ​​معدل التغيير بين 2005 و 2010.

حل

( dfrac {$ 2.84− $ 2.315} {5 text {years}} = dfrac {$ 0.535} {5 text {years}} = $ 0.106 text {per year.} )

مثال ( PageIndex {2} ): حساب متوسط ​​معدل التغيير من رسم بياني

بالنظر إلى الوظيفة (g (t) ) الموضحة في الشكل ( PageIndex {1} ) ، أوجد متوسط ​​معدل التغيير في الفترة ([- 1،2] ).

حل

في (t = −1 ) ، يظهر الشكل ( PageIndex {2} ) (g (−1) = 4 ). في (t = 2 ) ، يظهر الرسم البياني (g (2) = 1 ).

يظهر التغيير الأفقي ( Delta t = 3 ) بواسطة السهم الأحمر ، ويظهر التغيير الرأسي ( Delta g (t) = - 3 ) بواسطة السهم الفيروزي. يتغير الناتج بمقدار -3 بينما يتغير الإدخال بمقدار 3 ، مما يعطي متوسط ​​معدل التغيير

[ dfrac {1−4} {2 - (- 1)} = dfrac {−3} {3} = - 1 ]

تحليل

لاحظ أن الترتيب الذي نختاره مهم جدًا. إذا استخدمنا ، على سبيل المثال ، ( dfrac {y_2 − y_1} {x_1 − x_2} ) ، فلن نحصل على الإجابة الصحيحة. حدد النقطة التي ستكون 1 وأي نقطة ستكون 2 ، واحتفظ بالإحداثيات ثابتة كـ ((x_1، y_1) ) و ((x_2، y_2) ).

مثال ( PageIndex {3} ): حساب متوسط ​​معدل التغيير من جدول

بعد التقاط صديق يعيش على بعد 10 أميال ، تسجل آنا المسافة التي تفصلها عن المنزل بمرور الوقت. القيم موضحة في Table ( PageIndex {2} ). ابحث عن سرعتها المتوسطة خلال أول 6 ساعات.

جدول ( PageIndex {2} )

ر (ساعات)

01234567
D (t) (أميال)105590153214240282300

حل

هنا ، متوسط ​​السرعة هو متوسط ​​معدل التغيير. قطعت مسافة 282 ميلاً في 6 ساعات بمتوسط ​​سرعة

[ begin {align *} dfrac {282−10} {6−0} & = dfrac {272} {6} [4pt] & almost 45.3 end {align *} ]

متوسط ​​السرعة حوالي 45.3 ميلا في الساعة.

تحليل

نظرًا لأن السرعة ليست ثابتة ، فإن متوسط ​​السرعة يعتمد على الفاصل الزمني المختار. بالنسبة للفاصل ([2،3] ) ، يبلغ متوسط ​​السرعة 63 ميلاً في الساعة.

مثال ( PageIndex {4} ): حساب متوسط ​​معدل التغيير لدالة معبر عنها في صيغة صيغة

احسب متوسط ​​معدل التغيير (f (x) = x ^ 2− frac {1} {x} ) على الفاصل ([2، 4] ).

حل

يمكننا أن نبدأ بحساب قيم الدالة عند كل نقطة نهاية للفاصل الزمني.

[ start {align *} f (2) & = 2 ^ 2− frac {1} {2} f (4) & = 4 ^ 2− frac {1} {4} [4pt] & = 4− frac {1} {2} & = 16− frac {1} {4} [4pt] & = 72 & = frac {63} {4} end {align *} ]

الآن نحسب متوسط ​​معدل التغيير.

[ start {align *} text {متوسط ​​معدل التغيير} & = dfrac {f (4) −f (2)} {4−2} [4pt] & = dfrac { frac {63 } {4} - frac {7} {2}} {4-2} [4pt] & = dfrac { frac {49} {4}} {2} [4pt] & = dfrac {49} {8} end {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد متوسط ​​معدل تغير (f (x) = x − 2 sqrt {x} ) في الفترة ([1، 9] ).

حل

( فارك {1} {2} )

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد متوسط ​​معدل تغيير القوة

يمكن أن ترتبط القوة الكهروستاتيكية (F ) ، المقاسة بالنيوتن ، بين جسيمين مشحونين بالمسافة بين الجسيمات (د ) ، بالسنتيمتر ، بالصيغة (F (d) = frac {2} {د ^ 2} ). أوجد متوسط ​​معدل تغير القوة إذا زادت المسافة بين الجسيمين من 2 سم إلى 6 سم.

حل

نحن نحسب متوسط ​​معدل التغيير (F (d) = dfrac {2} {d ^ 2} ) على الفاصل ([2،6] ).

[ start {align *} text {متوسط ​​معدل التغيير} & = dfrac {F (6) −F (2)} {6−2} [4pt] & = dfrac { frac {2 } {6 ^ 2} - frac {2} {2 ^ 2}} {6-2} & text {Simplify} [4pt] & = dfrac { frac {2} {36} - frac {2} {4}} {4} [4pt] & = dfrac {- frac {16} {36}} {4} & text {دمج مصطلحات البسط.} [4pt] & = - dfrac {1} {9} & text {Simplify} end {align *} ]

متوسط ​​معدل التغيير هو (- frac {1} {9} ) نيوتن لكل سنتيمتر.

مثال ( PageIndex {6} ): إيجاد متوسط ​​معدل التغيير كتعبير

أوجد متوسط ​​معدل التغيير (g (t) = t ^ 2 + 3t + 1 ) على الفاصل ([0، a] ). ستكون الإجابة عبارة تتضمن (أ ).

حل

نستخدم صيغة متوسط ​​معدل التغيير.

( start {align *} text {متوسط ​​معدل التغيير} & = dfrac {g (a) −g (0)} {a − 0} & text {Evaluate.} [4pt] & = dfrac {(a ^ 2 + 3a + 1) - (0 ^ 2 + 3 (0) +1)} {a − 0} & text {Simplify.} [4pt] & = dfrac {a ^ 2 + 3a + 1−1} {a} & text {تبسيط وعامل.} [4pt] & = dfrac {a (a + 3)} {a} & text {قسّم على العامل المشترك a .} [4pt] & = a + 3 end {align *} )

تخبرنا هذه النتيجة بمتوسط ​​معدل التغيير من حيث a بين (t = 0 ) وأي نقطة أخرى (t = a ). على سبيل المثال ، في الفاصل الزمني ([0،5] ) ، يكون متوسط ​​معدل التغيير (5 + 3 = 8 ).

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد متوسط ​​معدل التغير لـ (f (x) = x ^ 2 + 2x − 8 ) في الفترة ([5، a] ).

حل

(أ + 7 )

استخدام رسم بياني لتحديد موضع زيادة أو انخفاض أو ثبات الدالة

كجزء من استكشاف كيفية تغير الوظائف ، يمكننا تحديد الفترات التي تتغير فيها الوظيفة بطرق معينة. نقول أن الوظيفة تتزايد في فترة زمنية إذا زادت قيم الوظيفة مع زيادة قيم الإدخال خلال تلك الفترة. وبالمثل ، تتناقص إحدى الوظائف على فاصل زمني إذا انخفضت قيم الدالة مع زيادة قيم الإدخال خلال تلك الفترة. يكون متوسط ​​معدل تغير دالة متزايدة موجبًا ، ويكون متوسط ​​معدل تغير دالة متناقصة سالبًا. يعرض الشكل ( PageIndex {3} ) أمثلة لزيادة وتقليل الفواصل الزمنية على دالة.

في حين أن بعض الوظائف تتزايد (أو تتناقص) على نطاقها بالكامل ، فإن العديد من الوظائف الأخرى ليست كذلك. تسمى قيمة المدخلات التي تتغير فيها الوظيفة من الزيادة إلى النقصان (عندما ننتقل من اليسار إلى اليمين ، أي مع زيادة متغير الإدخال) بـ الحد الأقصى المحلي. إذا كان للدالة أكثر من واحد ، فإننا نقول إن لها قيمة قصوى محلية. وبالمثل ، فإن قيمة المدخلات التي تتغير فيها الوظيفة من التناقص إلى الزيادة مع زيادة متغير الإدخال تسمى a الحد الأدنى المحلي. صيغة الجمع هي "الحدود الدنيا المحلية". معًا ، يتم استدعاء الحدود القصوى المحلية والحد الأدنى الحد الأقصى المحلي، أو القيم المتطرفة المحلية ، للدالة. (صيغة المفرد هي "أقصى".) في كثير من الأحيان ، يتم استبدال المصطلح المحلي بمصطلح قريب. في هذا النص ، سوف نستخدم مصطلح محلي.

من الواضح أن الدالة لا تتزايد ولا تتناقص في فترة تكون فيها ثابتة. الوظيفة أيضًا لا تتزايد ولا تتناقص عند الحد الأقصى. لاحظ أنه يتعين علينا التحدث عن القيم القصوى المحلية ، لأن أي حد أقصى محلي محدد كما هو محدد هنا ليس بالضرورة أعلى قيمة قصوى أو أدنى حد أدنى في نطاق الوظيفة بالكامل.

بالنسبة للدالة التي يظهر رسمها البياني في الشكل ( PageIndex {4} ) ، فإن الحد الأقصى المحلي هو 16 ، ويحدث عند (x = −2 ). الحد الأدنى المحلي هو 16 ويحدث عند (x = 2 ).

لتحديد موقع القيم العظمى والصغرى المحلية من الرسم البياني ، نحتاج إلى ملاحظة الرسم البياني لتحديد مكان وصول الرسم البياني إلى أعلى وأدنى نقطتين ، على التوالي ، في فترة مفتوحة. مثل قمة الأفعوانية ، يكون الرسم البياني للدالة أعلى عند الحد الأقصى المحلي منه في النقاط القريبة على كلا الجانبين. سيكون الرسم البياني أيضًا أقل عند الحد الأدنى المحلي منه في النقاط المجاورة. يوضح الشكل ( PageIndex {5} ) هذه الأفكار بحد أقصى محلي.

تقودنا هذه الملاحظات إلى تعريف رسمي للقيمة القصوى المحلية.

الحد الأدنى المحلي والحد الأقصى المحلي

  • الدالة (f ) هي ملف زيادة وظيفة في فاصل زمني مفتوح إذا (f (b)> f (a) ) لكل (a ) ، (b ) حيث (b> a ).
  • الوظيفة (f ) هي أ تناقص وظيفة في فاصل زمني مفتوح إذا (f (b) a ).

دالة (f ) لها حد أقصى محلي عند نقطة (ب ) في فاصل مفتوح ((أ ، ج) ) إذا كان (f (ب) ) أكبر من أو يساوي (f (x) ) لكل نقطة (x ) ( (x ) لا يساوي (b )) في الفاصل الزمني. وبالمثل ، يحتوي (f ) على حد أدنى محلي عند نقطة (ب ) في ((أ ، ج) ) إذا كان (f (ب) ) أقل من أو يساوي (و (س) ) لكل (س ) ( (س ) لا يساوي (ب )) في الفاصل الزمني.

مثال ( PageIndex {7} ) البحث عن فترات الزيادة والنقصان في الرسم البياني

بالنظر إلى الوظيفة (p (t) ) في الشكل ( PageIndex {6} ) ، حدد الفواصل الزمنية التي يبدو أن الوظيفة تتزايد فيها.

حل

نرى أن الدالة ليست ثابتة في أي فترة. تتزايد الدالة حيث تميل لأعلى بينما ننتقل إلى اليمين وتتناقص حيث تميل للأسفل بينما ننتقل إلى اليمين. يبدو أن الوظيفة تتزايد من (t = 1 ) إلى (t = 3 ) ومن (t = 4 ) في.

في تدوين الفاصل الزمني ، يمكننا أن نقول أن الدالة تبدو متزايدة في الفاصل ((1،3) ) والفاصل ((4، infty) ).

تحليل

لاحظ في هذا المثال أننا استخدمنا فترات زمنية مفتوحة (فترات لا تتضمن نقاط النهاية) ، لأن الوظيفة لا تزيد ولا تتناقص عند (t = 1 ) ، (t = 3 ) ، و (t = 4) ). هذه النقاط هي القيمة القصوى المحلية (حد أدنى وحد أقصى).

مثال ( PageIndex {8} ): البحث عن Extrema المحلي من رسم بياني

ارسم الدالة (f (x) = frac {2} {x} + frac {x} {3} ). ثم استخدم الرسم البياني لتقدير القيمة القصوى المحلية للدالة ولتحديد الفترات التي تتزايد فيها الدالة.

حل

باستخدام التكنولوجيا ، نجد أن الرسم البياني للدالة يبدو مثل ذلك في الشكل ( PageIndex {7} ). يبدو أن هناك نقطة منخفضة ، أو حد أدنى محلي ، بين (x = 2 ) و (x = 3 ) ، ونقطة عالية لصورة معكوسة ، أو الحد الأقصى المحلي ، في مكان ما بين (x = −3 ) ) و (س = -2 )

.

تحليل

يمكن لمعظم حاسبات الرسوم البيانية وأدوات الرسم البياني تقدير موقع الحدود القصوى والدنيا. يوفر الشكل ( PageIndex {8} ) صورًا للشاشة من تقنيتين مختلفتين ، مع عرض تقدير الحد الأقصى والحد الأدنى المحلي.

بناءً على هذه التقديرات ، تتزايد الدالة على الفاصل ((- infty، −2.449) ) و ((2.449، infty) ). لاحظ أنه بينما نتوقع أن تكون القيم القصوى متماثلة ، فإن التقنيتين المختلفتين تتفقان فقط على أربعة أرقام عشرية بسبب خوارزميات التقريب المختلفة المستخدمة من قبل كل منهما. (الموقع الدقيق للقيمة القصوى هو ( pm sqrt {6} ) ، لكن تحديد ذلك يتطلب حساب التفاضل والتكامل.)

تمرين ( PageIndex {8} )

ارسم الدالة (f (x) = x ^ 3−6x ^ 2−15x + 20 ) لتقدير القيمة القصوى المحلية للدالة. استخدم هذه لتحديد الفواصل الزمنية التي تتزايد فيها الدالة وتتناقص فيها.

حل

يبدو أن الحد الأقصى المحلي يحدث عند ((- 1،28) ) ، والحد الأدنى المحلي يحدث عند ((5 ، −80) ). تتزايد الوظيفة في ((- infty ، −1) كوب (5 ، infty) ) وتتناقص في ((- 1،5) ).

رسم بياني لكثير الحدود بحد أقصى محلي عند (-1 ، 28) وصغير محلي عند (5 ، -80).

مثال ( PageIndex {9} ): البحث عن القيم القصوى المحلية والحد الأدنى من الرسم البياني

بالنسبة للدالة f التي يظهر رسمها البياني في الشكل ( PageIndex {9} ) ، أوجد جميع القيم العظمى والصغرى المحلية.

حل

لاحظ الرسم البياني لـ (f ). يصل الرسم البياني إلى الحد الأقصى المحلي عند (x = 1 ) لأنه أعلى نقطة في فاصل مفتوح حول (x = 1 ). الحد الأقصى المحلي هو إحداثي y عند (x = 1 ) ، وهو 2.

يصل الرسم البياني إلى حد أدنى محلي عند (x = −1 ) لأنه أدنى نقطة في فاصل مفتوح حول (x = −1 ). الحد الأدنى المحلي هو إحداثي y عند (x = −1 ) ، وهو −2.

سنعود الآن إلى وظائف مجموعة الأدوات الخاصة بنا ونناقش سلوكها الرسومي في الشكل ( PageIndex {10} ) والشكل ( PageIndex {11} ) والشكل ( PageIndex {12} ).

.


الشكل ( PageIndex {12} )

استخدم رسمًا بيانيًا لتحديد الحد الأقصى المطلق والحد الأدنى المطلق

هناك فرق بين تحديد أعلى وأدنى نقطة على الرسم البياني في منطقة حول فاصل زمني مفتوح (محليًا) وتحديد أعلى وأدنى نقطة على الرسم البياني للمجال بأكمله. يُطلق على إحداثيات y (الإخراج) عند أعلى وأقل نقطة اسم الحد الأقصى المطلق و الحد الأدنى المطلق، على التوالى. لتحديد موقع القيم القصوى والدنيا المطلقة من الرسم البياني ، نحتاج إلى مراقبة الرسم البياني لتحديد مكان وصول الرسم البياني إلى أعلى وأدنى نقطة في مجال الوظيفة (الشكل ( PageIndex {13} )).

ليست كل دالة لها قيمة قصوى أو أدنى قيمة مطلقة. تعد وظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = x ^ 3 ) إحدى هذه الوظائف.

الحد الأقصى والحد الأدنى المطلق

  • ال الحد الأقصى المطلق من (f ) في (x = c ) هو (f (c) ) حيث (f (c) ≥f (x) ) للجميع (x ) في مجال ( F).
  • ال الحد الأدنى المطلق من (f ) في (x = d ) هو (f (d) ) حيث (f (d) ≤f (x) ) للجميع (x ) في مجال ( F).

مثال ( PageIndex {10} ): إيجاد القيمة القصوى والصغرى المطلقة من رسم بياني

بالنسبة للدالة f الموضحة في الشكل ( PageIndex {14} ) ، أوجد جميع القيم القصوى والدنيا المطلقة.

حل

لاحظ الرسم البياني لـ (f ). يبلغ الرسم البياني الحد الأقصى المطلق في موقعين ، (x = −2 ) و (x = 2 ) ، لأنه في هذه المواقع ، يصل الرسم البياني إلى أعلى نقطة له في مجال الوظيفة. الحد الأقصى المطلق هو إحداثي y عند (x = −2 ) و (x = 2 ) ، وهو 16.

يبلغ الرسم البياني حدًا أدنى مطلقًا عند x = 3 ، لأنها أدنى نقطة في مجال الرسم البياني للوظيفة. الحد الأدنى المطلق هو إحداثي y عند x = 3 ، وهو 10.

المعادلات الرئيسية

  • متوسط ​​معدل التغيير: ( dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {f (x_2) -f (x_1)} {x_2-x_1} )

المفاهيم الرئيسية

  • يرتبط معدل التغيير بالتغيير في كمية المخرجات بالتغير في كمية المدخلات. يتم تحديد متوسط ​​معدل التغيير باستخدام بيانات البداية والنهاية فقط. انظر المثال.
  • يمكن استخدام تحديد النقاط التي تحدد الفاصل الزمني على الرسم البياني للعثور على متوسط ​​معدل التغيير. انظر المثال.
  • يمكن أيضًا استخدام المقارنة بين أزواج قيم المدخلات والمخرجات في جدول للعثور على متوسط ​​معدل التغيير. انظر المثال.
  • يمكن أيضًا حساب متوسط ​​معدل التغيير عن طريق تحديد قيم الدالة عند نقاط نهاية الفاصل الزمني الموصوف بواسطة الصيغة. انظر المثال والمثال.
  • يمكن أحيانًا تحديد متوسط ​​معدل التغيير كتعبير. انظر المثال.
  • تتزايد الدالة حيث يكون معدل تغيرها موجبًا ويتناقص حيث يكون معدل تغيرها سالبًا. انظر المثال.
  • الحد الأقصى المحلي هو المكان الذي تتغير فيه الوظيفة من الزيادة إلى النقصان ولها قيمة مخرجات أكبر (أكثر إيجابية أو أقل سالبة) من قيم المخرجات في قيم الإدخال المجاورة.
  • الحد الأدنى المحلي هو المكان الذي تتغير فيه الوظيفة من التناقص إلى الزيادة (مع زيادة المدخلات) ولها قيمة إخراج أصغر (أكثر سلبية أو أقل إيجابية) من قيم المخرجات عند قيم الإدخال المجاورة.
  • وتسمى أيضًا الحدود الدنيا والحد الأقصى للقيمة القصوى.
  • يمكننا إيجاد القيم القصوى المحلية من الرسم البياني. انظر المثال والمثال.
  • تشير أعلى وأدنى نقطة على الرسم البياني إلى القيم العظمى والصغرى. انظر المثال.

كجزء من استكشاف كيفية تغير الوظائف ، يمكننا تحديد الفترات التي تتغير فيها الوظيفة بطرق معينة. نقول أن الوظيفة تتزايد في فترة زمنية إذا زادت قيم الوظيفة مع زيادة قيم الإدخال خلال تلك الفترة. وبالمثل ، تتناقص إحدى الوظائف على فاصل زمني إذا انخفضت قيم الدالة مع زيادة قيم الإدخال خلال تلك الفترة. يكون متوسط ​​معدل تغير دالة متزايدة موجبًا ، ويكون متوسط ​​معدل تغير دالة متناقصة سالبًا. يعرض [رابط] أمثلة على زيادة وتقليل الفترات الزمنية على دالة.

الدالة & thinsp f (x) = x 3 & minus 12 x & thinsp تتزايد على & thinsp (& minus & infin & & thinsp & minus 2) & cup (2 & thinsp & infin) & thinsp ويتناقص على & thinsp (& سالب 2 ، & thinsp 2).

في حين أن بعض الوظائف تتزايد (أو تتناقص) على نطاقها بالكامل ، فإن العديد من الوظائف الأخرى ليست كذلك. تسمى قيمة المدخلات التي تتغير فيها الوظيفة من الزيادة إلى النقصان (عندما ننتقل من اليسار إلى اليمين ، أي مع زيادة متغير الإدخال) بحد أقصى محلي. إذا كان للدالة أكثر من واحد ، فإننا نقول إن لها قيمة قصوى محلية. وبالمثل ، فإن قيمة المدخلات التي تتغير فيها الوظيفة من التناقص إلى الزيادة مع زيادة متغير الإدخال تسمى الحد الأدنى المحلي. صيغة الجمع هي & ldquolocal minima. & rdquo معًا ، تسمى القيم العظمى والصغرى المحلية القيم القصوى المحلية ، أو القيم المتطرفة المحلية ، للدالة. (صيغة المفرد هي & ldquoextremum. & rdquo) في كثير من الأحيان ، المصطلح محلي بالمصطلح نسبيا . في هذا النص ، سوف نستخدم المصطلح محلي .

من الواضح أن الدالة لا تتزايد ولا تتناقص في فترة تكون فيها ثابتة. الوظيفة أيضًا لا تتزايد ولا تتناقص عند الحد الأقصى. لاحظ أنه يتعين علينا التحدث عن محلي القيم القصوى ، لأن أي حد أقصى محلي محدد كما هو محدد هنا ليس بالضرورة أعلى قيمة قصوى أو أدنى حد أدنى في الدالة & rsquos المجال بأكمله.

بالنسبة للدالة التي يظهر الرسم البياني لها في [link] ، فإن الحد الأقصى المحلي هو 16 ، ويحدث عند & thinsp x = & minus2. & thinsp الحد الأدنى المحلي هو & thinsp & minus16 & thinsp ويحدث عند & thinsp x = 2.

لتحديد موقع القيم العظمى والصغرى المحلية من الرسم البياني ، نحتاج إلى ملاحظة الرسم البياني لتحديد مكان وصول الرسم البياني إلى أعلى وأدنى نقطتين ، على التوالي ، في فترة مفتوحة. مثل قمة الأفعوانية ، يكون الرسم البياني للدالة أعلى عند الحد الأقصى المحلي منه في النقاط القريبة على كلا الجانبين. سيكون الرسم البياني أيضًا أقل عند الحد الأدنى المحلي منه في النقاط المجاورة. [رابط] يوضح هذه الأفكار بحد أقصى محلي.

تعريف الحد الأقصى المحلي

تقودنا هذه الملاحظات إلى تعريف رسمي للقيمة القصوى المحلية.


معادلة

ينص قانون تناقص المنفعة الحدية على أن المنفعة الحدية ، أي المنفعة الإضافية لكل وحدة جديدة من سلعة ما ، أقل من المنفعة الحدية للوحدة التي تسبقها ، أي أن الوحدة الأولى من السلعة لها أعلى منفعة ، بينما الوحدة الثانية لها ثاني أعلى فائدة وما إلى ذلك وهلم جرا. الآن ، إذا استبدل المستهلك سلعة واحدة ، على سبيل المثال X ، بسلعة أخرى ، لنقل Y ، فيجب تعويضه بأعلى وحدات Y للوحدة الأولى من X ، وثاني أعلى وحدات من Y للوحدة الثانية من X وما إلى ذلك. .

إنه يوضح أن المعدل الهامشي للإحلال يتغير باستمرار بينما نتحرك على طول منحنى اللامبالاة. بالنسبة للتغييرات الصغيرة جدًا في سلعة واحدة ، يقترب معدل الاستبدال الهامشي من ميل منحنى اللامبالاة الذي يساوي التغير في Y مقسومًا على التغيير X. والمعدل الهامشي لاستبدال X (أي الأفلام) بـ Y (أي تناول الطعام) هو المعرفة على النحو التالي:

السيدةس ص والسيدةyx ليسوا متشابهين ، في الواقع هم متبادلون لبعضهم البعض أي

يعتمد معدل الاستبدال الهامشي على التفضيلات النسبية للمستهلك ، أي المرافق الهامشية النسبية ونقاط البداية. يمكن إظهار أن المعدل الهامشي لإحلال y لـ x يساوي سعر x مقسومًا على y والذي بدوره يساوي المنفعة الحدية لـ x مقسومة على المنفعة الحدية لـ y أي

تصبح منحنيات اللامبالاة أكثر انبساطًا عندما ننتقل من المحور ص إلى المحور السيني. لأنه عندما تصبح y نادرة ويصبح س وفيرًا ، فإن المعدل الهامشي للتعويض عن x مع y ينخفض. وهذا ما يسمى انخفاض معدل الاستبدال الهامشي.


تعليق

لجعل أهداف التعلم ذات مغزى ، هناك مرحلة أولية ممتدة ، مع عرض سلبي ولكن أيضًا مع مناقشة حيث يساهم الجميع.

بعد مطابقة الرسوم البيانية ، يتم منح الطلاب العديد من الفرص لمراجعة أفكارهم وتنظيم معارفهم.

من خلال التعليقات المكتوبة ، يتم مساعدة الطلاب حتى يتمكنوا من التعرف على ما يحتاجون إلى القيام به ، للتعامل مع أي أوجه قصور في فهمهم لكيفية تمثيل هذه الرسوم البيانية للتغييرات.


لماذا من المهم استخدام الرسم البياني؟

بمجرد جمع البيانات من جلسات المراقبة ، من المهم تنظيم المعلومات بطريقة يسهل تفسيرها. قد يكون من الصعب رؤية الأنماط بمجرد النظر إلى قوائم طويلة من الأرقام أو قراءة أوراق جمع البيانات عبر أيام مختلفة. يمكن أن توفر الرسوم البيانية ملخصات مرئية سريعة وسهلة تسمح للمعلمين بتحديد أنماط السلوك وتقييم نتائج استراتيجيات التدريس الجديدة وتحديد ما إذا كانت التدخلات لها التأثيرات المرغوبة أم لا. يمكن بعد ذلك استخدام هذه المعلومات لتزويد الطلاب بملاحظات حول أدائهم.

ما نوع الرسم البياني الذي يجب استخدامه؟

هناك عدة أنواع مختلفة من الرسوم البيانية التي يمكن استخدامها لتمثيل البيانات بما في ذلك الرسوم البيانية الخطية أو الرسوم البيانية الشريطية أو المخططات الدائرية أو المخططات المبعثرة. يعتبر الرسم البياني الخطي أكثر أنواع الرسوم البيانية شيوعًا المستخدمة لتقييم البيانات السلوكية. يُظهر الرسم البياني الخطي نقاط بيانات فردية متصلة بواسطة خط ، مما يؤدي إلى إنشاء مسار. بمرور الوقت ، يمكن أن يُظهر هذا المسار نمطًا مرئيًا يساعدك في تقييم الاتجاهات العامة للسلوك.

يشار إلى الرسم البياني الشائع الآخر بالرسم البياني الشريطي. غالبًا ما يتم استخدام الرسم البياني الشريطي عندما يتم تمثيل أجزاء من الكل أو عند الإبلاغ عن نسبة مئوية. يركز الرسم البياني الشريطي على ارتفاع البيانات بدلاً من الاتجاه في البيانات ، وغالبًا ما يتم استخدامه عند تقييم نقاط البيانات غير المتتالية. هذه طريقة مفيدة بشكل خاص عند مقارنة المعلومات عبر الأفراد أو الإعدادات أو المواقف.

قد تكون المخططات الدائرية مفيدة عند تمثيل أجزاء من الكل. على سبيل المثال ، قد يكون من المفيد إنشاء مخطط دائري يوضح مقدار الوقت الذي يقضيه الطالب في المشاركة بنشاط في الأنشطة.

أخيرًا ، تُستخدم مخططات التشتت عند اتخاذ مجموعة متنوعة من الملاحظات أو التدابير التي لا يتم جمعها بالضرورة على التوالي. على سبيل المثال ، يمكن استخدام مخطط التشتت لتمثيل الدرجات التي حصل عليها الفصل في اختبار الإنجاز القياسي. في هذا النوع من الرسم البياني ، تكون كل نقطة بيانات مستقلة. ومع ذلك ، فإن تصوير البيانات بهذه الطريقة قد يسمح للشخص برؤية أداء كل شخص مقارنة ببقية المجموعة.

مثال على مخطط مبعثر يوضح درجات صف السيدة جونز في اختبار تحصيل أكاديمي موحد:

ما هي العناصر المهمة للرسم البياني الخطي؟

من المهم معرفة العناصر الأساسية للرسم البياني الخطي لأنه أكثر أنواع الرسوم البيانية شيوعًا المستخدمة لتقييم البيانات السلوكية.

المحور الأفقي (المحور السيني) والمحور الرأسي (المحور الصادي)

يتم تقديم البيانات في رسم بياني داخل حد يحتوي على خط أفقي وخط عمودي يشار إليه بالمحاور. يسمى المحور الأفقي المحور السيني ، ويشار إلى المحور الرأسي بالمحور الصادي. يلتقي هذان المحوران في أسفل الجانب الأيسر من الصفحة. يمثل المحور الأفقي مرور الوقت. يمثل المحور الرأسي الخاصية العددية للسلوك الذي يتم قياسه. يتم عادةً تقسيم الأرقام الموجودة على كلا المحورين إلى فواصل زمنية متساوية. يمكن أن يكون مقياس المحور ص متغيرًا مهمًا عند تفسير الرسوم البيانية. إذا تم تعيين المقياس على مستوى عالٍ جدًا أو منخفض جدًا ، فستبدو التغييرات في السلوك أكبر أو أصغر بكثير في المظهر ، وقد يكون هذا مضللًا. في معظم الرسوم البيانية ، يكون المحور السيني (الذي يمثل الوقت) أطول من المحور الصادي ، خاصةً إذا تم إجراء ملاحظات متكررة للسلوك.

عادةً ما يتم رسم النقاط على الرسم البياني عن طريق وضع علامة حيث تتقاطع خطوط السلوك & # 39 قيمة (المحور ص) وتلك الخاصة بحدوث السلوك (المحور السيني). في كل مرة يتم إجراء ملاحظة ، يمكن رسم نقطة على الرسم البياني. غالبًا ما ترتبط النقاط ببعضها البعض عن طريق الخطوط.

في كل مرة يكون هناك تغيير قد يكون له تأثير على السلوك ، يتم رسم خط عمودي يبدأ من المحور السيني ، ويمر بين نقاط البيانات الممثلة في الرسم البياني. نقاط البيانات على جانبي خط الشرط غير متصلة ببعضها البعض. يمكن أن يشير خط تغيير الشرط إلى الانتقال من خط الأساس إلى التدخل أو من تدخل إلى آخر. يمكن أيضًا استخدام خطوط الشرط للإشارة إلى التغييرات الأخرى التي قد تؤثر على السلوك (على سبيل المثال ، المرض ، أو تغيير في الفصل ، أو تغيير في المعلم أو المشرف). ومع ذلك ، إذا كانت التغييرات مؤقتة (على سبيل المثال ، وجود مدرس بديل ، أو المرض ، أو ذهب الأب في رحلة) ، فيمكن استخدام الأسهم بدلاً من خطوط الحالة ، لتمييز بداية ونهاية هذه العوامل المؤقتة.

يجب تسمية كل شرط في الرسم البياني بعبارة أو كلمة وصفية قصيرة موضوعة أعلى الرسم البياني أعلى البيانات. تمثل هذه المرحلة أو الكلمة الوصفية شرطًا (على سبيل المثال ، خط الأساس أو التدخل) يتم تنفيذه خلال الفترة الزمنية الممثلة في الرسم البياني.

كيف تستخدم الرسم البياني لفحص البيانات التي تم جمعها؟

يساعد التحليل المرئي للبيانات في الرسم البياني الخطي في الإجابة على نوعين من الأسئلة:

  • هل هناك تغييرات ذات مغزى في السلوك بمرور الوقت؟
  • إلى أي مدى يمكن أن يُعزى هذا التغيير في السلوك إلى استراتيجية التدريس أو التدخل السلوكي الذي تم تقديمه؟

على الرغم من عدم وجود قواعد رسمية للتحليل المرئي للرسوم البيانية ، إلا أن هناك خصائص معينة مشتركة بين جميع البيانات السلوكية. تتضمن الخصائص داخل وعبر الشروط التي تم فحصها بصريًا التباين والمستوى والاتجاهات في البيانات.

التباين هو المدى الذي يتغير فيه السلوك من نقطة بيانات إلى أخرى. إذا لم يُظهر السلوك قدرًا كبيرًا من التباين ، فقد لا يكون من الضروري جمع أكبر قدر من البيانات نظرًا لأن السلوك يعتبر أكثر استقرارًا ومن المحتمل أن يظل السلوك عند هذا المستوى مرتفعًا. من ناحية أخرى ، إذا أظهر السلوك الكثير من التباين ، فيجب جمع بيانات إضافية قبل إجراء أي تغييرات. سيسمح هذا للفرد بتحديد ما إذا كانت التغييرات في السلوك ناتجة عن التدخل أم لا.

مستوى السلوك هو الزيادة أو النقصان في السلوك من بداية الحالة إلى نهايتها. كلما زاد مستوى التغيير ، زاد تأثير التدخل قوة. على سبيل المثال ، كلما زاد حجم واتجاه التغيير الذي حدث من خط الأساس إلى التدخل ، زاد احتمال فعالية التدخل. في بعض الأحيان ، يتم رسم خط يمثل متوسط ​​نقاط البيانات ضمن شرط ما على الرسم البياني للمساعدة في إظهار التغيير في المستوى. هذا يعني أن الخط يمكن أن يكون مفيدًا عندما تكون البيانات متغيرة إلى حد ما. في الشكل أدناه ، يوضح خط المستوى المتوسط ​​لمدة نوبات الغضب أنه لا يوجد فرق كبير بين خط الأساس والعلاج ، مما يشير إلى أن العلاج قد لا يكون فعالاً للغاية.

يشير الاتجاه إلى الاتجاه الذي تتجه إليه نقاط البيانات على الرسم البياني. يُظهر الانحدار الحاد لأعلى اتجاهًا متزايدًا قويًا بينما يشير الاتجاه الهبوطي المائل إلى انخفاض السلوك. يمكن أن يساعدك النظر إلى شدة واتجاه نقاط البيانات أيضًا في اتخاذ قرارات بشأن فعالية التدخل. قبل الانتقال إلى حالة جديدة ، يتم تقييم الاتجاه في كل مرحلة. من المهم التأكد من أن الاتجاه مستقر قبل الانتقال من خط الأساس إلى التدخل أو من التدخل إلى تدخل جديد. على سبيل المثال ، إذا كان الاتجاه الأساسي يتناقص أو يتزايد باطراد ، فإنه يعتبر في طور التغيير. إذا بدأ التدخل خلال اتجاه متزايد أو تنازلي ، فمن الصعب معرفة ما إذا كان التغيير في السلوك ناتجًا عن التدخل لأن السلوك كان في طور التغيير قبل التدخل.


قابل للتعديل معدل الرهون العقارية

قارن بسرعة مدفوعات الرهن العقاري الشهرية لمختلف سيناريوهات القروض

سنة واحدة من الأسلحة التقليدية ARM

يُطلق على قرض الرهن العقاري الذي يتغير فيه سعر الفائدة بناءً على جدول محدد بعد "فترة محددة" في بداية القرض ، الرهن العقاري القابل للتعديل أو ARM. يعتبر هذا النوع من القروض أكثر خطورة لأن السداد يمكن أن يتغير بشكل كبير. في مقابل المخاطر المرتبطة بـ ARM ، يكافأ صاحب المنزل بسعر فائدة أقل من سعر فائدة ثابت لمدة 30 عامًا. When the homeowner acquires a one year adjustable rate mortgage, what they have is a 30 year loan in which the rates change every year on the anniversary of the loan.

However, obtaining a one-year adjustable rate mortgage can allow the customer to qualify for a loan amount that is higher and therefore acquire a more valuable home. Many homeowners with extremely large mortgages can get the one year adjustable rate mortgages and refinance them each year. The low rate lets them buy a more expensive home, and they pay a lower mortgage payment so long as interest rates do not rise.

Can You Handle Interest Rates Moving Higher?

The traditional ARM loan which resets every year is considered to be rather risky because the payment can change from year to year in significant amounts. Unless the buyer plans to quickly flip the property or has plenty of other assets and is using an interest-only loan as a tax write off, almost anyone taking adjustable rates should try to pay extra in order to build up equity in case the market turns south.

10/1 Hybrid ARMs

The 10/1 ARM has an initial interest rate that is fixed for the first ten years of the loan. After the 10 years is up, the rate then adjusts each year for the remainder of the loan. The loan has a life of 30 years, so the homeowner will experience the initial stability of a 30 year mortgage at a cost that is lower than a fixed rate mortgage of the same term. However, the ARM may not be the best choice for those planning on owning the same home for over 10 years unless they regularly make extra payments & plan on paying off their loan early.

7/1 Hybrid ARMs

The 7/1 ARM has an initial interest rate that is fixed for the first seven years of the loan. After the 7 years is up, the rate then adjusts each year for the remainder of the loan. The loan has a life of 30 years, so the homeowner will experience the initial stability of a 30 year mortgage at a cost that is lower than a fixed rate mortgage of the same term. However, the ARM may not be the best choice for those planning on owning the same home for over 7 years unless they regularly make extra payments & plan on paying off their loan early.

2-Step Mortgages

An adjustable rate mortgage that has the same interest rate for part of the mortgage and a different rate for the rest of the mortgage is called a 2-step mortgage. The interest rate changes or adjusts in accordance to the rates of the current market. The borrower, on the other hand, might have the option of making the choice between a variable interest rate or a fixed interest rate at the adjustment date.

Those borrowers who make the decision to take a two-step mortgage are taking the risk of the interest rate of the mortgage adjusting upward after the expiration of the fixed-interest rate period. Many borrowers who take the two-step mortgage have plans of refinancing or moving out of the home before the period ends.

5/5 and 5/1 Hybrid ARMs

The 5/5 and the 5/1 adjustable rate mortgages are amongst the other types of ARMs in which the monthly payment and the interest rate does not change for 5 years. The beginning of the 6th year is when every 5 years the interest rate is adjusted. That’s every year for the 5/1 ARM and every 5 years for the 5/5. These particular ARMs are best if the homeowner plans on living in the home for a period greater than 5 years and can accept the changes later on.

5/25 Mortgages

The 5/25 mortgage is also called a “30 due in 5” mortgage and is where the monthly payment and interest rate do not change for 5 years. At the beginning of the 6 th year, the interest rate is adjusted in accordance to the current interest rate. This means the payment will not change for the remainder of the loan. This is a good loan if the homeowner can tolerate a single change of payment during the loan period.

3/3 and 3/1 Hybrid ARMs

Mortgages where the monthly payment and interest rate remains the same for 3 years are called 3/3 and 3/1 ARMs. At the beginning of the 4th year, the interest rate is changed every three years. That is 3 years for the 3/3 ARM and each year for the 3/1 ARM. This is the type of mortgage that is good for those considering an adjustable rate at the three-year mark.


What is differential learning?

It is a method where you set different learning rates to different layers in the network during training. This is in contrast to how people normally configure the learning rate, which is to use the same rate throughout the network during training.

While writing this post, Jeremy published a paper with Sebastian Ruder [9] which dives deeper into this topic. So I guess differential learning rates has a new name now — discriminative fine tuning. :)

To illustrate the concept a bit clearer, we can refer to the below diagram, where a pretrained model is split into 3 groups, where each group would be configured with an increasing learning rate value.

The intuition behind this method of configuration is that the first few layers would typically contain very granular details of the data, such as the lines and the edges — of which we normally wouldn’t want to change much and like to retain it’s information. As such, there’s not much need to change their weights by a big amount.

In contrast, in later layers such as the ones in green above — where we get detailed features of the data such as eyeballs or mouth or nose we might not necessarily need to keep them.


Volume Trend Indicator

The volume rate of change is the indicator that shows whether or not a volume trend is developing in either an up or down direction. You may be familiar with price rate of change (discussed here), which shows an investor the rate of change measured by the issue's closing price.

To calculate this, you need to divide the volume change over the last n-periods (days, weeks or months) by the volume n-periods ago. The answer is a percentage change of the volume over the last n-periods. Now, what does this mean? If the volume today is higher than n-days (or weeks or months) ago, the rate of change will be a plus number. If volume is lower, the ROC will be minus number. This allows us to look at the speed at which the volume is changing.

One of the problems that analysts have with the V-ROC is determining the period of time to measure the rate of change. A shorter period of 10 to 15 days, for example, would show us the peaks created by a sudden change, and, for the most part, trendlines could be drawn.

For a more realistic look, I would suggest using a 25- to 30-day period this length of time makes the chart look more rounded and smooth. Shorter periods tend to produce a chart that is more jagged and difficult to analyze.

In the chart of the Nasdaq Composite Index, you can see a classic sell-off with the V-ROC reaching a high of 249.00 on December 13, 2001 (based on a 14-day period).

In fact, if you study the chart closely, you can see that the ROC becomes positive for the first time on Dec 12, 2001, with a measurement of 19.61. On the next day the measurement jumps to 249.00 on the closing. The Nasdaq, however, had a high of 2065.69 on December 6 (ROC, +8.52) and then fell to negative numbers until December 12. By using a 14-day period, we cannot recognize this slide until the Index loses 119.18 points (approx. 6.5%) to the level of 1946.51. This would confuse most, were it not for the ability to change our period of time, in this case, to a 30-day period, shown below.

In the second chart of the Nasdaq Composite Index, which uses a 30-day period, you can clearly see that in and around December 12 and 13, 2001, the ROC barely shows a positive number, and it is not until January 3, 2002 that a positive number appears, as the price action rises substantially from 1987.06 to 2098.88. On the ninth of the month, there is a move to the upside of 111.82 points. This positive value means there is enough market support to continue to drive price activity in the direction of the current trend. A negative value suggests there is a lack of support, and prices may begin to become stagnant or reverse.

We can see that even with a 14-day period, the V-ROC over the year shown on this chart, for the most part, moves quietly above and below the zero line. This indicates that there is no real conviction for there to be a trending market. The only real jump in price action that most investors missed is the move in late July, occurring over a period of five trading days, which, as you can see in the chart, has given almost everything back.

Another interesting point is the lack of volume behind the price action as it moves upward. This is evident in the period from August 5, 2002, when the Nasdaq closed at 1206.01, to Aug 22, 2002, when the index closed at 1422.95. During this time, the V-ROC remained negative, indicating to all technical analysts that the increasing price in the index would not hold.


Mortgage interest rates forecast next 90 days

We expect mortgage rates to continue to hover near 3% for the next few weeks. Over the next 90 days, a modest overall increase seems likely.

Based on expert mortgage rate predictions and forecasts from housing authorities, 30-year mortgage rates could go as high as 3.20% within the next 90 days.

Keep an eye out for strong jobs reports and news of bond purchase ‘tapering’ from the Fed if you want to know when rates will rise. (More on this below.)

Keeping an eye on the Federal Reserve

Currently, the Federal Reserve is purchasing $40 billion per month in mortgage-backed securities (MBS) as part of its COVID stimulus program.

This is one of the single biggest factors keeping mortgage rates as low as they are.

When the Fed slows its purchasing of MBS — known as ‘tapering’ — mortgage rates are almost certain to increase by a wider margin than we’ve seen this year.

As of its most recent meeting in June, the Fed is only thinking about thinking about tapering its bond-buying program. The more serious these discussions get, the more likely we are to see a meaningful increase in mortgage interest rates.

It seems more likely we’ll see these effects after one of the FOMC meetings in September-December than in July.

But there’s no guarantee that will be the case, and the Fed meeting on July 27-28 could end up being a market mover. So cautious borrowers might prefer to lock in a rate before then.


Be Sure to Look at the Big (Payment) Picture

  • Most advertised mortgage payments only include principal and interest
  • There is a lot more that goes into a monthly housing payment
  • Including property taxes, homeowners insurance, HOA dues, PMI, and so on
  • Don’t buy more than you can afford without considering all of these items

Lastly, note that my mortgage payment graphs only list the principal and interest portion of the loan payment.

You may also be subject to paying mortgage insurance and/or impounds each month. Property taxes and homeowner’s insurance are also NOT included.

You’ll probably look at this chart and say, “Hey, I can get a much bigger mortgage than I thought.” But beware, once all the other costs are factored in, your DTI ratio will probably come under attack, so tread cautiously.

And don’t forget all the maintenance and utilities that go into homeownership. Once you hire a gardener, pool guy, and run your A/C and/or heater nonstop, the costs might spiral out of control.

I referenced this problem in another post that focused on if mortgage calculators were accurate, in which I found that housing payments are often greatly underestimated.

So you might want to drop your loan amount by $100,000 if you think you can just get by, as those other costs will certainly play a role.

Oh, and if you want to nerd out a little bit (a lot), learn how mortgages are calculated using real math, not some fancy calculator that does it all for you.

Or just use my mortgage payment calculator and enjoy the simplicity of it all. The choice is yours.


شاهد الفيديو: اسهل طريقة لرسم المنحنى البياني في مادة الجغرافيا للاستاذ حجاج (شهر اكتوبر 2021).