مقالات

3.5: تحويل الوظائف


أهداف التعلم

  • وظائف الرسم البياني باستخدام التحولات الرأسية والأفقية.
  • وظائف الرسم البياني باستخدام انعكاسات حول المحور x والمحور y.
  • حدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية أم لا من الرسم البياني لها.
  • رسم وظائف باستخدام عمليات الضغط والتمدد.
  • اجمع بين التحولات.

نعلم جميعًا أن المرآة المسطحة تمكننا من رؤية صورة دقيقة لأنفسنا وما وراءنا. عندما نميل المرآة ، قد تتحرك الصور التي نراها أفقيًا أو رأسيًا. لكن ماذا يحدث عندما نثني مرآة مرنة؟ مثل مرآة الكرنفال ، تقدم لنا صورة مشوهة لأنفسنا ، ممتدة أو مضغوطة أفقياً أو رأسياً. بطريقة مماثلة ، يمكننا تشويه أو تحويل الوظائف الرياضية لتكييفها بشكل أفضل مع وصف الأشياء أو العمليات في العالم الحقيقي. في هذا القسم ، سوف نلقي نظرة على عدة أنواع من التحولات.

في كثير من الأحيان عند تقديم مشكلة ما ، نحاول نمذجة السيناريو باستخدام الرياضيات في شكل كلمات وجداول ورسوم بيانية ومعادلات. إحدى الطرق التي يمكننا استخدامها هي تكييف الرسوم البيانية الأساسية لوظائف مجموعة الأدوات لبناء نماذج جديدة لسيناريو معين. هناك طرق منهجية لتغيير الوظائف لبناء نماذج مناسبة للمشكلات التي نحاول حلها.

تحديد التحولات العمودية

نوع واحد بسيط من التحويل يتضمن إزاحة الرسم البياني الكامل لوظيفة لأعلى أو لأسفل أو لليمين أو لليسار. إن أبسط إزاحة هو إزاحة رأسية ، أي تحريك الرسم البياني لأعلى أو لأسفل ، لأن هذا التحول يتضمن إضافة ثابت موجب أو سالب إلى الدالة. بمعنى آخر ، نضيف نفس الثابت إلى قيمة مخرجات الوظيفة بغض النظر عن المدخلات. بالنسبة للوظيفة (g (x) = f (x) + k ) ، يتم إزاحة الوظيفة (f (x) ) رأسياً (k ) الوحدات. انظر الشكل ( PageIndex {2} ) للحصول على مثال.

لمساعدتك في تصور مفهوم التحول العمودي ، ضع في اعتبارك أن (y = f (x) ). لذلك ، (f (x) + k ) يساوي (y + k ). يتم استبدال كل وحدة من (y ) بـ (y + k ) ، وبالتالي فإن قيمة (y ) - تزيد أو تنقص اعتمادًا على قيمة (ك ). والنتيجة هي التحول لأعلى أو لأسفل.

التعريف: التحول الرأسي

إعطاء دالة (f (x) ) ، دالة جديدة (g (x) = f (x) + k ) ، حيث (k ) ثابت ، هو a التحول العمودي من الوظيفة (f (x) ). تتغير جميع قيم الإخراج بمقدار (ك ) وحدة. إذا كان (k ) موجبًا ، فسوف يتحول الرسم البياني لأعلى. إذا كانت قيمة (k ) سلبية ، فسوف يتحول الرسم البياني إلى أسفل.

مثال ( PageIndex {1} ): إضافة ثابت إلى دالة

لتنظيم درجة الحرارة في مبنى أخضر ، تفتح فتحات تدفق الهواء بالقرب من السقف وتغلق طوال اليوم. يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) مساحة الفتحات المفتوحة (V ) (بالقدم المربع) طوال اليوم في ساعات بعد منتصف الليل ، (t ). خلال فصل الصيف ، قرر مدير المرافق محاولة تنظيم درجة الحرارة بشكل أفضل عن طريق زيادة كمية الفتحات المفتوحة بمقدار 20 قدمًا مربعًا طوال النهار والليل. ارسم رسمًا بيانيًا لهذه الوظيفة الجديدة.

حل

يمكننا رسم رسم بياني لهذه الوظيفة الجديدة عن طريق إضافة 20 إلى كل من قيم مخرجات الوظيفة الأصلية. سيكون لهذا تأثير تحويل الرسم البياني رأسيًا لأعلى ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {4} ).

لاحظ أنه في الشكل ( PageIndex {4} ) ، لكل قيمة إدخال ، زادت قيمة المخرجات بمقدار 20 ، لذلك إذا استدعينا الوظيفة الجديدة (S (t) ) ، يمكننا كتابة

[S (t) = V (t) +20 ]

يخبرنا هذا الترميز أنه لأي قيمة من (t ) ، يمكن العثور على (S (t) ) من خلال تقييم الوظيفة (V ) في نفس الإدخال ثم إضافة 20 إلى النتيجة. هذا يعرّف (S ) كتحول للوظيفة (V ) ، في هذه الحالة تحول رأسي لأعلى 20 وحدة. لاحظ أنه مع التحول الرأسي ، تظل قيم الإدخال كما هي وتتغير قيم المخرجات فقط. راجع الجدول ( PageIndex {1} ).

جدول ( PageIndex {1} )

(ر )

0810171924

(الخامس (ر) )

0022022000

(شارع))

20202402402020

كيف...

بالنظر إلى دالة جدولة ، أنشئ صفًا جديدًا لتمثيل تحول رأسي.

  1. حدد صف أو عمود الإخراج.
  2. تحديد الحجم من التحول.
  3. أضف الإزاحة إلى القيمة في كل خلية إخراج. أضف قيمة موجبة لأعلى أو قيمة سالبة للأسفل.

مثال ( PageIndex {2} ): تحويل دالة جدولية عموديًا

يتم إعطاء دالة (f (x) ) في Table ( PageIndex {2} ). قم بإنشاء جدول للدالة (g (x) = f (x) −3 ).

جدول ( PageIndex {2} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

حل

تخبرنا الصيغة (g (x) = f (x) −3 ) أنه يمكننا إيجاد قيم إخراج (g ) بطرح 3 من قيم الإخراج (f ). على سبيل المثال:

[ start {align *} f (x) & = 1 & text {Given} [4pt] g (x) & = f (x) -3 & text {Given Transformation} [4pt] g (2) & = f (2) −3 & = 1-3 & = - 2 end {align *} ]

بطرح 3 من كل قيمة (f (x) ) ، يمكننا إكمال جدول قيم (g (x) ) كما هو موضح في الجدول ( PageIndex {3} ).

جدول ( PageIndex {3} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

(ز (س) )

-2048

تحليل

كما هو الحال مع التحول الرأسي السابق ، لاحظ أن قيم الإدخال تظل كما هي وتتغير قيم المخرجات فقط.

تمرين ( PageIndex {1} )

تعطي الوظيفة (h (t) = - 4.9t ^ 2 + 30t ) ارتفاع (h ) الكرة (بالأمتار) التي تم رميها لأعلى من الأرض بعد (t ) ثانية. لنفترض أن الكرة ألقيت بدلاً من ذلك من أعلى مبنى بطول 10 أمتار. اربط دالة الارتفاع الجديدة هذه (b (t) ) بـ (h (t) ) ، ثم ابحث عن صيغة لـ (b (t) ).

إجابه

(ب (ر) = ح (ر) + 10 = −4.9 طن ^ 2 + 30 طن + 10 )

تحديد التحولات الأفقية

لقد رأينا للتو أن التحول الرأسي هو تغيير في ناتج الوظيفة أو خارجها. سننظر الآن في كيفية تغيير التغييرات المدخلة ، داخل الوظيفة ، في الرسم البياني والمعنى. ينتج عن التحول إلى الإدخال حركة الرسم البياني للوظيفة يسارًا أو يمينًا فيما يعرف بـ a التحول الأفقي، الموضح في الشكل ( PageIndex {4} ).

على سبيل المثال ، إذا كانت (f (x) = x ^ 2 ) ، فإن (g (x) = (x − 2) ^ 2 ) هي وظيفة جديدة. يتم تقليل كل إدخال بمقدار 2 قبل تربيع الدالة. والنتيجة هي أن الرسم البياني قد تم إزاحته لوحدتين إلى اليمين ، لأننا سنحتاج إلى زيادة المدخلات السابقة بمقدار وحدتين للحصول على نفس قيمة المخرجات كما هو وارد في (f ).

التعريف: التحول الأفقي

إعطاء دالة (f ) ، دالة جديدة (g (x) = f (x − h) ) ، حيث (h ) ثابت ، هو a التحول الأفقي من الوظيفة (و ). إذا كانت (h ) موجبة ، فسوف يتحول الرسم البياني إلى اليمين. إذا كانت (h ) سلبية ، فسوف يتحول الرسم البياني إلى اليسار.

مثال ( PageIndex {4} ): إضافة ثابت إلى إدخال

بالعودة إلى مثال تدفق هواء المبنى من الشكل ( PageIndex {2} ) ، افترض أنه في الخريف قرر مدير المرافق أن خطة التنفيس الأصلية تبدأ بعد فوات الأوان ، ويريد بدء برنامج التنفيس بالكامل قبل ساعتين. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة الجديدة.

حل

يمكننا تعيين (V (t) ) ليكون البرنامج الأصلي و (F (t) ) ليكون البرنامج المعدل.

[V (t) = text {خطة التنفيس الأصلية} nonumber ]

[F (t) = text {البدء قبل ساعتين} nonumber ]

في الرسم البياني الجديد ، في كل مرة ، يكون تدفق الهواء هو نفسه الوظيفة الأصلية (V ) بعد ساعتين. على سبيل المثال ، في الوظيفة الأصلية (V ) ، يبدأ تدفق الهواء في التغير في الساعة 8 صباحًا ، بينما بالنسبة للوظيفة (F ) ، يبدأ تدفق الهواء في التغير عند الساعة 6 صباحًا. قيم الوظيفة المماثلة هي (V (8) ) = F (6) ). راجع الشكل ( PageIndex {5} ). لاحظ أيضًا أن الفتحات فتحت لأول مرة على (220 text {ft} ^ 2 ) في الساعة 10 صباحًا وفقًا للخطة الأصلية ، بينما في إطار الخطة الجديدة ، تصل الفتحات إلى (220 text {ft} ^ 2 ) الساعة 8 صباحا ، لذلك (V (10) = F (8) ).

في كلتا الحالتين ، نرى ذلك ، لأن (F (t) ) يبدأ قبل ساعتين ، (ح = −2 ). هذا يعني أنه يتم الوصول إلى نفس قيم الإخراج عندما (F (t) = V (t - (- 2)) = V (t + 2) ).

تحليل

لاحظ أن (V (t + 2) ) له تأثير تحويل الرسم البياني إلى اليسار.

تؤثر التغييرات الأفقية أو "التغييرات الداخلية" على مجال الوظيفة (الإدخال) بدلاً من النطاق وغالبًا ما تبدو غير منطقية. تستخدم الوظيفة الجديدة (F (t) ) نفس المخرجات مثل (V (t) ) ، ولكنها تطابق تلك المخرجات مع المدخلات قبل ساعتين من تلك الخاصة بـ (V (t) ). بطريقة أخرى ، يجب أن نضيف ساعتين إلى إدخال (V ) للعثور على الناتج المقابل لـ (F: F (t) = V (t + 2) ).

كيف...

بالنظر إلى دالة جدولة ، أنشئ صفًا جديدًا لتمثيل إزاحة أفقية.

  1. حدد صف أو عمود الإدخال.
  2. أوجد مقدار الإزاحة.
  3. أضف الإزاحة إلى القيمة في كل خلية إدخال.

مثال ( PageIndex {5} ): تحويل دالة جدولة أفقيًا

يتم إعطاء دالة (f (x) ) في Table ( PageIndex {4} ). قم بإنشاء جدول للدالة (g (x) = f (x − 3) ).

جدول ( PageIndex {4} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

حل

تخبرنا الصيغة (g (x) = f (x − 3) ) أن قيم إخراج (g ) هي نفسها قيمة الإخراج (f ) عندما تكون قيمة الإدخال أقل من 3 القيمة الأصلية. على سبيل المثال ، نعلم أن (f (2) = 1 ). للحصول على نفس الإخراج من الوظيفة (g ) ، سنحتاج إلى قيمة إدخال أكبر بثلاث مرات. نقوم بإدخال قيمة أكبر 3 لـ (g (x) ) لأن الدالة تأخذ 3 بعيدًا قبل تقييم الوظيفة (f ).

[ start {align *} g (5) & = f (5-3) & = f (2) & = 1 end {align *} ]

نتابع القيم الأخرى لإنشاء Table ( PageIndex {5} ).

جدول ( PageIndex {5} )

(س )

57911

(س -3 )

2468

(و (س) )

13711

(ز (س) )

13711

والنتيجة هي أن الوظيفة (g (x) ) قد تم إزاحتها إلى اليمين بمقدار 3. لاحظ أن قيم الإخراج لـ (g (x) ) تظل كما هي لقيم الإخراج لـ (f (x) ) ، ولكن قيم الإدخال المقابلة ، (x ) ، قد تحولت إلى اليمين بمقدار 3. على وجه التحديد ، تم إزاحة 2 إلى 5 ، وتحويل 4 إلى 7 ، وتحويل 6 إلى 9 ، وانتقال 8 إلى 11.

تحليل

يمثل الشكل ( PageIndex {6} ) كلتا الوظيفتين. يمكننا أن نرى الانزياح الأفقي في كل نقطة.

مثال ( PageIndex {6} ): تحديد التحول الأفقي لوظيفة مجموعة الأدوات

يمثل الشكل ( PageIndex {7} ) تحولا لوظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = x ^ 2 ). اربط هذه الوظيفة الجديدة (g (x) ) بـ (f (x) ) ، ثم ابحث عن صيغة لـ (g (x) ).

حل

لاحظ أن الرسم البياني متطابق في الشكل مع الوظيفة (f (x) = x ^ 2 ) ، لكن قيم (x ) - يتم إزاحتها إلى وحدتين يمين. اعتاد أن يكون الرأس عند ((0،0) ) ، لكن الرأس الآن يقع عند ((2،0) ). الرسم البياني هو دالة تربيعية أساسية مزاحة بوحدتين إلى اليمين ، لذلك

[g (x) = f (x − 2) nonumber ]

لاحظ كيف يجب علينا إدخال القيمة (x = 2 ) للحصول على قيمة الإخراج (y = 0 ) ؛ يجب أن تكون القيم (x ) أكبر بمقدار وحدتين بسبب التحول إلى اليمين بمقدار وحدتين. يمكننا بعد ذلك استخدام تعريف الدالة (f (x) ) لكتابة صيغة لـ (g (x) ) من خلال تقييم (f (x − 2) ).

[ start {align *} f (x) & = x ^ 2 g (x) & = f (x-2) g (x) & = f (x-2) = (x-2 ) ^ 2 end {align *} ]

تحليل

لتحديد ما إذا كان التحول هو (+ 2 ) أو (- 2 ) ، ضع في اعتبارك نقطة مرجعية واحدة على الرسم البياني. بالنسبة إلى المعادلة التربيعية ، يكون النظر إلى نقطة الرأس مناسبًا. في الوظيفة الأصلية ، (f (0) = 0 ). في وظيفتنا المتغيرة ، (ز (2) = 0 ). للحصول على قيمة الإخراج 0 من الوظيفة (f ) ، نحتاج إلى تحديد ما إذا كانت علامة زائد أو ناقص ستعمل على تلبية (g (2) = f (x − 2) = f (0) = 0 ). لكي ينجح هذا ، سنحتاج إلى طرح وحدتين من قيم الإدخال.

مثال ( PageIndex {7} ): تفسير التحولات الأفقية مقابل التحولات الرأسية

تعطي الوظيفة (G (م) ) عدد جالونات الغاز المطلوبة للقيادة (م ) ميل. يفسر (G (م) +10 ) و (G (م + 10) )

حل

(G (m) +10 ) يمكن تفسيره على أنه إضافة 10 جالون إلى الإخراج. هذا هو الغاز المطلوب للقيادة (م ) ميل ، بالإضافة إلى 10 جالونات أخرى من الغاز. قد يشير الرسم البياني إلى تحول رأسي.

(G (m + 10) ) يمكن تفسيره على أنه إضافة 10 إلى المدخلات ، الأميال. إذن هذا هو عدد جالونات الغاز المطلوبة للقيادة 10 أميال أكثر من (م ) ميل. قد يشير الرسم البياني إلى تحول أفقي.

تمرين ( PageIndex {7} )

بالنظر إلى الوظيفة (f (x) = sqrt {x} ) ، ارسم بيانيًا الوظيفة الأصلية (f (x) ) والتحول (g (x) = f (x + 2) ) على نفس المحاور. هل هذا تحول أفقي أم عمودي؟ بأي طريقة يتم إزاحة الرسم البياني وبكم عدد الوحدات؟

إجابه

الرسوم البيانية لـ (f (x) ) و (g (x) ) موضحة أدناه. التحول هو تحول أفقي. يتم إزاحة الوظيفة إلى اليسار بمقدار وحدتين.

الجمع بين التحولات الرأسية والأفقية

الآن بعد أن أصبح لدينا تحولين ، يمكننا جمعهما معًا. التحولات الرأسية هي تغييرات خارجية تؤثر على قيم محور الإخراج ((ص -) ) وتحول الوظيفة لأعلى أو لأسفل. التحولات الأفقية هي تغييرات داخلية تؤثر على قيم محور الإدخال ((س -) ) وتحويل الوظيفة إلى اليسار أو اليمين. سيؤدي الجمع بين نوعي التحولات إلى إزاحة الرسم البياني للدالة لأعلى أو لأسفل ولليمين أو لليسار.

كيف...

ارسم الرسم البياني عند إعطاء دالة وانزياح رأسي وأفقي معًا.

  1. حدد الإزاحات الرأسية والأفقية من الصيغة.
  2. ينتج التحول الرأسي من ثابت يضاف إلى الناتج. حرك الرسم البياني لأعلى للحصول على ثابت موجب ولأسفل للحصول على ثابت سالب.
  3. ينتج التحول الأفقي من ثابت يضاف إلى المدخلات. حرك الرسم البياني لليسار للحصول على ثابت موجب ولليمين للحصول على ثابت سالب.
  4. قم بتطبيق التحولات على الرسم البياني بأي من الترتيبين.

مثال ( PageIndex {8} ): دمج التحولات الرأسية والأفقية في الرسم البياني

بالنظر إلى (f (x) = | x | ) ، ارسم رسمًا بيانيًا لـ (h (x) = f (x + 1) −3 ).

حل

الوظيفة (f ) هي دالة القيمة المطلقة لمجموعة أدواتنا. نعلم أن هذا الرسم البياني له شكل V ، والنقطة عند نقطة الأصل. قام الرسم البياني لـ (ح ) بتحويل (و ) بطريقتين: (و (س + 1) ) هو تغيير داخل الوظيفة ، مما يعطي إزاحة أفقية لليسار بمقدار 1 ، والطرح بمقدار 3 بوصات (f (x + 1) −3 ) هو تغيير للخارج للدالة ، مما يعطي إزاحة رأسية لأسفل بمقدار 3. يوضح الشكل ( PageIndex {9} ).

دعونا نتبع نقطة واحدة من الرسم البياني لـ (f (x) = | x | ).

  • يتم تحويل النقطة ((0،0) ) أولاً عن طريق إزاحة وحدة واحدة يسارًا: ((0،0) rightarrow (−1،0) )
  • يتم تحويل النقطة ((- 1،0) ) بعد ذلك عن طريق إزاحة 3 وحدات لأسفل: ((- 1،0) rightarrow (−1، −3) )

يوضح الشكل ( PageIndex {10} ) الرسم البياني لـ (h ).

تمرين ( PageIndex {8} )

بالنظر إلى (f (x) = | x | ) ، ارسم رسمًا بيانيًا لـ (h (x) = f (x − 2) +4 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {9} ): تحديد التحولات الرأسية والأفقية المجمعة

اكتب صيغة للرسم البياني الموضح في الشكل ( PageIndex {12} ) ، وهو تحويل لدالة الجذر التربيعي لمجموعة الأدوات.

حل

يبدأ الرسم البياني لوظيفة مجموعة الأدوات من الأصل ، لذلك تم إزاحة هذا الرسم البياني من 1 إلى اليمين وإلى الأعلى 2. في تدوين الوظيفة ، يمكننا كتابة ذلك على النحو التالي

[h (x) = f (x − 1) +2 nonumber ]

باستخدام صيغة دالة الجذر التربيعي ، يمكننا الكتابة

[h (x) = sqrt {x − 1} +2 nonumber ]

تحليل

لاحظ أن هذا التحول قد غيّر مجال الوظيفة ونطاقها. يحتوي هذا الرسم البياني الجديد على المجال ( left [1، infty right) ) والنطاق ( left [2، infty right) ).

تمرين ( PageIndex {9} )

اكتب صيغة لتحويل الدالة المتبادلة لمجموعة الأدوات (f (x) = frac {1} {x} ) التي تنقل الرسم البياني للوظيفة بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين ووحدة واحدة لأعلى.

إجابه

[g (x) = dfrac {1} {x-1} +1 nonumber ]

وظائف الرسوم البيانية باستخدام تأملات حول المحاور

التحويل الآخر الذي يمكن تطبيقه على دالة هو الانعكاس على المحور السيني أو المحور الصادي. أ انعكاس عمودي يعكس رسمًا بيانيًا رأسيًا عبر المحور x ، بينما يعكس a انعكاس أفقي يعكس رسمًا بيانيًا أفقيًا عبر المحور ص. تظهر الانعكاسات في الشكل ( PageIndex {13} ).

.

لاحظ أن الانعكاس العمودي ينتج رسمًا بيانيًا جديدًا يمثل صورة معكوسة للرسم البياني الأساسي أو الرسم البياني الأصلي حول المحور x. ينتج الانعكاس الأفقي رسمًا بيانيًا جديدًا يمثل صورة معكوسة للرسم البياني الأساسي أو الرسم البياني الأصلي حول المحور ص.

التعاريف: تأملات

بالنظر إلى دالة (f (x) ) ، فإن الوظيفة الجديدة (g (x) = - f (x) ) هي a انعكاس عمودي للدالة (f (x) ) ، تسمى أحيانًا انعكاس حول (أو فوق ، أو من خلال) المحور x.

بالنظر إلى دالة (f (x) ) ، فإن الوظيفة الجديدة (g (x) = f (−x) ) هي a انعكاس أفقي للدالة (f (x) ) ، تسمى أحيانًا انعكاس حول المحور y.

كيف...

عند إعطاء وظيفة ، قم بعكس الرسم البياني رأسيًا وأفقيًا.

  1. اضرب كل النواتج في -1 للانعكاس الرأسي. يمثل الرسم البياني الجديد انعكاسًا للرسم البياني الأصلي حول المحور x.
  2. اضرب كل المدخلات في -1 للانعكاس الأفقي. يمثل الرسم البياني الجديد انعكاسًا للرسم البياني الأصلي حول المحور y.

مثال ( PageIndex {10} ): عكس رسم بياني أفقيًا وعموديًا

اعكس الرسم البياني لـ (s (t) = sqrt {t} ) (a) رأسياً و (ب) أفقيًا.

حل

أ. يعني عكس الرسم البياني عموديًا أن كل قيمة مخرجات ستنعكس على المحور t الأفقي كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {14} ).

نظرًا لأن كل قيمة ناتجة هي عكس قيمة المخرجات الأصلية ، فيمكننا الكتابة

[V (t) = - s (t) text {or} V (t) = - sqrt {t} nonumber ]

لاحظ أن هذا تغيير خارجي ، أو تحول رأسي ، يؤثر على قيم الإخراج (s (t) ) ، لذا فإن الإشارة السالبة تنتمي إلى خارج الوظيفة.

ب. يعني الانعكاس أفقيًا أن كل قيمة إدخال ستنعكس على المحور الرأسي كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {15} ).

نظرًا لأن كل قيمة إدخال هي عكس قيمة الإدخال الأصلية ، فيمكننا الكتابة

[H (t) = s (−t) text {أو} H (t) = sqrt {−t} nonumber ]

لاحظ أن هذا تغيير داخلي أو تغيير أفقي يؤثر على قيم الإدخال ، لذلك تكون الإشارة السالبة في داخل الوظيفة.

لاحظ أن هذه التحولات يمكن أن تؤثر على مجال ونطاق الوظائف. بينما تحتوي وظيفة الجذر التربيعي الأصلية على المجال ( left [0، infty right) ) والنطاق ( left [0، infty right) ) ، فإن الانعكاس العمودي يعطي (V (t) ) يعمل على النطاق ( left (- infty ، 0 right] ) ويعطي الانعكاس الأفقي الدالة (H (t) ) المجال ( left (- infty ، 0 right] ).

تمرين ( PageIndex {5} )

اعكس الرسم البياني (f (x) = | x − 1 | ) (أ) عموديًا و (ب) أفقيًا.

إجابه

أ.

ب.

مثال ( PageIndex {11} ): عكس دالة جدولة أفقيًا ورأسيًا

تُعطى الدالة (f (x) ) كـ Table ( PageIndex {6} ). قم بإنشاء جدول للوظائف أدناه.

أ. (ز (س) = - و (س) )
ب. (ح (س) = و (−x) )

جدول ( PageIndex {6} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

أ. بالنسبة إلى (g (x) ) ، تشير العلامة السالبة خارج الوظيفة إلى انعكاس رأسي ، لذلك تظل قيم x كما هي وستكون كل قيمة مخرجات معاكسة لقيمة الإخراج الأصلية. راجع الجدول ( PageIndex {7} ).

جدول ( PageIndex {7} )

(س )

2468

(ز (س) )

-1-3-7-11

ب. بالنسبة إلى (h (x) ) ، تشير العلامة السالبة داخل الوظيفة إلى انعكاس أفقي ، لذلك ستكون كل قيمة إدخال معاكسة لقيمة الإدخال الأصلية وتبقى قيم (h (x) ) كما هي (f (x) ) قيم. راجع الجدول ( PageIndex {8} ).

جدول ( PageIndex {8} )

(س )

-2-4-6-8

(ح (س) )

13711

تمرين ( PageIndex {6} )

يتم إعطاء الدالة (f (x) ) في صورة Table ( PageIndex {9} ). (ح (س) = و (−x) )

جدول ( PageIndex {9} )

(س )

-2024

(و (س) )

5101520
إجابه

أ. (ز (س) = - و (س) )

جدول ( PageIndex {10} )

(س )

-2024

(ز (س) )

-5-10-15-20

ب. (ح (س) = و (−x) )

جدول ( PageIndex {11} )

(س )

-202-4

(ح (س) )

1510520

مثال ( PageIndex {12} ): تطبيق معادلة نموذج تعليمي

النموذج الشائع للتعلم له معادلة مشابهة لـ (k (t) = - 2 ^ {- t} +1 ) ، حيث (k ) هي النسبة المئوية للإتقان التي يمكن تحقيقها بعد (t ) جلسات التدريب. هذا تحويل للدالة (f (t) = 2 ^ t ) الموضحة في الشكل ( PageIndex {18} ). ارسم رسمًا بيانيًا لـ (k (t) ).

حل

تجمع هذه المعادلة بين ثلاثة تحولات في معادلة واحدة.

  • انعكاس أفقي: (f (−t) = 2 ^ {- t} )
  • انعكاس عمودي: (- f (−t) = - 2 ^ {- t} )
  • التحول الرأسي: (- f (−t) + 1 = −2 ^ {- t} +1 )

يمكننا رسم رسم بياني بتطبيق هذه التحويلات واحدة تلو الأخرى على الوظيفة الأصلية. دعونا نتبع نقطتين خلال كل من التحولات الثلاثة. سنختار النقاط ((0 ، 1) ) و ((1 ، 2) ).

  • أولاً ، نطبق انعكاسًا أفقيًا: ((0 ، 1) ؛ (–1 ، 2) ).
  • ثم نطبق انعكاسًا رأسيًا: ((0 ، −1) ؛ (-1 ، –2) ).
  • أخيرًا ، نطبق تحولًا رأسيًا: ((0 ، 0) ؛ (-1 ، -1) ).

هذا يعني أن النقاط الأصلية ((0،1) ) و ((1،2) ) تصبح ((0،0) ) و ((- 1 ، -1) ) بعدنا. تطبيق التحولات.

في الشكل ( PageIndex {19} ) ، ينتج الرسم البياني الأول من انعكاس أفقي. النتيجة الثانية من انعكاس عمودي. النتيجة الثالثة من التحول الرأسي للأعلى بمقدار وحدة واحدة.

تحليل

كنموذج للتعلم ، ستقتصر هذه الوظيفة على مجال (t geq0 ) ، مع النطاق المقابل ( left [0،1 right) ).

تمرين ( PageIndex {7} )

بالنظر إلى وظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = x ^ 2 ) ، الرسم البياني (g (x) = - f (x) ) و (h (x) = f (−x) ). لاحظ أي سلوك مفاجئ لهذه الوظائف.

إجابه

ملاحظة: (g (x) = f (−x) ) يشبه (f (x) ).

تحديد الدوال الزوجية والفردية

تُظهر بعض الدوال التناظر بحيث ينتج عن الانعكاسات الرسم البياني الأصلي. على سبيل المثال ، سيؤدي عكس وظائف مجموعة الأدوات أفقيًا (f (x) = x ^ 2 ) أو (f (x) = | x | ) إلى الرسم البياني الأصلي. نقول أن هذه الأنواع من الرسوم البيانية متماثلة حول المحور ص. تسمى الدوال التي تكون رسومها البيانية متماثلة حول المحور ص حتى وظائف.

إذا انعكست الرسوم البيانية لـ (f (x) = x ^ 3 ) أو (f (x) = frac {1} {x} ) على كلا المحورين ، فستكون النتيجة الرسم البياني الأصلي ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {21} ).

نقول إن هذه الرسوم البيانية متماثلة حول الأصل. الوظيفة ذات الرسم البياني المتماثل حول الأصل تسمى an وظيفة غريبة.

ملاحظة: لا يمكن أن تكون الوظيفة فردية أو زوجية إذا لم تظهر أيًا من التناظر. على سبيل المثال ، (f (x) = 2 ^ x ) ليس زوجيًا ولا فرديًا. أيضًا ، الوظيفة الوحيدة الزوجية والفردية هي الوظيفة الثابتة (f (x) = 0 ).

التعريفات: وظائف زوجية وفردية

الوظيفة تسمى دالة زوجية إذا لكل مدخلات (x )

(و (س) = و (−x) )

التمثيل البياني للدالة الزوجية متماثل حول المحور y.

الوظيفة تسمى وظيفة غريبة إذا لكل مدخلات (x )

(و (س) = - و (−x) )

التمثيل البياني للدالة الفردية متماثل حول الأصل.

كيف...

بالنظر إلى صيغة الدالة ، حدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية أم لا.

  1. حدد ما إذا كانت الوظيفة تحقق (f (x) = f (−x) ). إذا كان الأمر كذلك ، فهو متساوٍ.
  2. حدد ما إذا كانت الوظيفة تحقق (f (x) = - f (−x) ). إذا كان الأمر كذلك ، فهو غريب.
  3. إذا كانت الوظيفة لا تفي بأي من القاعدتين ، فهي ليست زوجية ولا فردية.

مثال ( PageIndex {13} ): تحديد ما إذا كانت الوظيفة زوجية أم فردية أم لا

هل الدالة (f (x) = x ^ 3 + 2x ) زوجية أم فردية أم لا؟

حل

بدون النظر إلى الرسم البياني ، يمكننا تحديد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية من خلال إيجاد صيغ للانعكاسات وتحديد ما إذا كانت ستعيدنا إلى الوظيفة الأصلية. لنبدأ بقاعدة الوظائف الزوجية.

[f (−x) = (- x) ^ 3 + 2 (−x) = - x ^ 3−2x nonumber ]

هذا لا يعيدنا إلى الوظيفة الأصلية ، لذلك هذه الوظيفة ليست زوجية. يمكننا الآن اختبار قاعدة الدوال الفردية.

[- f (−x) = - (- x ^ 3−2x) = x ^ 3 + 2x nonumber ]

لأن (- f (−x) = f (x) ) ، هذه وظيفة فردية.

تحليل

ضع في اعتبارك الرسم البياني (f ) في الشكل ( PageIndex {22} ). لاحظ أن الرسم البياني متماثل حول الأصل. لكل نقطة ((x، y) ) على الرسم البياني ، فإن النقطة المقابلة ((- x، −y) ) موجودة أيضًا على الرسم البياني. على سبيل المثال ، ((1 ، 3) ) موجود على الرسم البياني (f ) ، والنقطة المقابلة ((- 1 ، −3) ) موجودة أيضًا على الرسم البياني.

تمرين ( PageIndex {8} )

هل الوظيفة (f (s) = s ^ 4 + 3s ^ 2 + 7 ) زوجية أم فردية أم لا؟

إجابه

حتى في

وظائف الرسوم البيانية باستخدام التمدد والضغط

أدت إضافة ثابت إلى مدخلات أو مخرجات دالة إلى تغيير موضع الرسم البياني فيما يتعلق بالمحاور ، لكنها لم تؤثر على شكل الرسم البياني. نستكشف الآن تأثيرات ضرب المدخلات أو المخرجات ببعض الكمية.

يمكننا تحويل الداخل (قيم الإدخال) لوظيفة ما أو يمكننا تحويل الخارج (قيم الإخراج) للدالة. كل تغيير له تأثير محدد يمكن رؤيته بيانياً.

التمدد والضغط الرأسي

عندما نضرب دالة في ثابت موجب ، نحصل على دالة يتم تمديد رسمها البياني أو ضغطها عموديًا بالنسبة إلى الرسم البياني للدالة الأصلية. إذا كان الثابت أكبر من 1 ، نحصل على a امتداد عمودي؛ إذا كان الثابت بين 0 و 1 ، نحصل على أ ضغط عمودي. يوضح الشكل ( PageIndex {23} ) دالة مضروبة في العوامل الثابتة 2 و 0.5 وما ينتج عن ذلك من تمدد وانضغاط رأسي.

التعريفات: عمليات التمدد والضغط الرأسية

إعطاء دالة (f (x) ) ، دالة جديدة (g (x) = af (x) ) ، حيث (a ) ثابت ، هو a امتداد عمودي أو ضغط عمودي من الوظيفة (f (x) ).

كيف...

بالنظر إلى دالة ، ارسم امتدادها الرأسي.

  1. حدد قيمة (أ ).
  2. اضرب كل قيم النطاق في (أ )
  3. إذا كان (أ> 1 ) ، يتم تمديد الرسم البياني بعامل (أ ).
  4. إذا كان (0
  5. إذا كان (a <0 ) ، يكون الرسم البياني إما ممتدًا أو مضغوطًا وينعكس أيضًا على المحور السيني.

مثال 1.5.14: رسم بياني لتمدد رأسي

دالة (P (t) ) تمثل تعداد ذباب الفاكهة. يظهر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {24} ).

يقارن أحد العلماء هذه المجموعة السكانية بمجموعة سكانية أخرى ، (س ) ، التي يتبع نموها نفس النمط ، ولكنها أكبر بمرتين. ارسم رسمًا بيانيًا لهذه المجموعة السكانية.

حل

نظرًا لأن عدد السكان دائمًا أكبر بمرتين ، فإن قيم مخرجات المجموعة الجديدة تكون دائمًا ضعف قيم مخرجات الوظيفة الأصلية. بيانياً ، يظهر هذا في الشكل ( PageIndex {25} ).

إذا اخترنا أربع نقاط مرجعية ، ((0 ، 1) ) ، ((3 ، 3) ) ، ((6 ، 2) ) و ((7 ، 0) ) سنضرب الكل من النواتج بمقدار 2.

يوضح ما يلي مكان النقاط الجديدة للرسم البياني الجديد.

[(0، 1) rightarrow (0، 2) ]

[(3، 3) rightarrow (3، 6) ]

[(6، 2) rightarrow (6، 4) ]

[(7، 0) rightarrow (7، 0) ]

رمزيا ، العلاقة مكتوبة كما

[Q (t) = 2P (t) nonumber ]

هذا يعني أنه لأي إدخال (t ) ، فإن قيمة الدالة (Q ) هي ضعف قيمة الدالة (P ). لاحظ أن التأثير على الرسم البياني هو امتداد رأسي للرسم البياني ، حيث تضاعف كل نقطة المسافة التي تفصلها عن المحور الأفقي. تظل قيم الإدخال ، (t ) ، كما هي بينما تكون قيم المخرجات أكبر بمرتين مما كانت عليه من قبل.

كيف...

بالنظر إلى وظيفة جدولية وبافتراض أن التحويل هو امتداد رأسي أو ضغط ، قم بإنشاء جدول للضغط العمودي.

  1. حدد قيمة (أ ).
  2. اضرب جميع قيم الإخراج في (أ ).

مثال ( PageIndex {15} ): البحث عن ضغط عمودي لدالة جدولة

يتم إعطاء دالة (f ) كـ Table ( PageIndex {12} ). أنشئ جدولاً للدالة (g (x) = frac {1} {2} f (x) ).

جدول ( PageIndex {12} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

حل

تخبرنا الصيغة (g (x) = frac {1} {2} f (x) ) أن قيم إخراج (g ) هي نصف قيم الإخراج لـ (f ) بنفس القيمة المدخلات. على سبيل المثال ، نعلم أن (f (4) = 3 ). ثم

[g (4) = frac {1} {2} f (4) = frac {1} {2} (3) = frac {3} {2} nonumber ]

نفعل الشيء نفسه مع القيم الأخرى لإنتاج Table ( PageIndex {13} ).

جدول ( PageIndex {13} )

(س )

2468

(ز (س) )

( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {3} {2} ) ( dfrac {7} {2} ) ( dfrac {11} {2} )

تحليل

والنتيجة هي أن الوظيفة (g (x) ) تم ضغطها عموديًا بواسطة ( frac {1} {2} ). كل قيمة ناتجة مقسمة إلى النصف ، وبالتالي فإن الرسم البياني هو نصف الارتفاع الأصلي.

تمرين ( PageIndex {9} )

يتم إعطاء دالة (f ) كـ Table ( PageIndex {14} ). أنشئ جدولاً للدالة (g (x) = frac {3} {4} f (x) ).

جدول ( PageIndex {14} )

(س )

2468

(و (س) )

1216200
إجابه
جدول ( PageIndex {15} )

(س )

2468

(ز (س) )

912150

مثال ( PageIndex {16} ): التعرف على امتداد عمودي

الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {26} ) هو تحويل لوظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = x ^ 3 ). اربط هذه الوظيفة الجديدة (g (x) ) بـ (f (x) ) ، ثم ابحث عن صيغة لـ (g (x) ).

عند محاولة تحديد تمدد أو إزاحة رأسية ، من المفيد البحث عن نقطة واضحة نسبيًا على الرسم البياني. في هذا الرسم البياني ، يبدو أن (g (2) = 2 ). مع الدالة التكعيبية الأساسية في نفس الإدخال ، (f (2) = 2 ^ 3 = 8 ). بناءً على ذلك ، يبدو أن مخرجات (g ) هي ( frac {1} {4} ) مخرجات الوظيفة (f ) لأن (g (2) = frac {1 } {4} و (2) ). من هذا يمكننا أن نستنتج بأمان أن (g (x) = frac {1} {4} f (x) ).

يمكننا كتابة صيغة لـ (g ) باستخدام تعريف الوظيفة (f ).

[g (x) = frac {1} {4} f (x) = frac {1} {4} x ^ 3. ]

تمرين ( PageIndex {1} )

اكتب صيغة الدالة التي نحصل عليها عندما نمد دالة مجموعة أدوات الهوية بمعامل 3 ، ثم نزاحها بمقدار وحدتين.

إجابه

(ز (س) = 3 س -2 )

التمدد والضغط الأفقي

الآن نأخذ في الاعتبار التغييرات داخل الدالة. عندما نضرب إدخال دالة في ثابت موجب ، نحصل على دالة يتم تمديد رسمها البياني أو ضغطها أفقيًا بالنسبة إلى الرسم البياني للدالة الأصلية. إذا كان الثابت بين 0 و 1 ، نحصل على a امتداد أفقي؛ إذا كان الثابت أكبر من 1 ، نحصل على أ ضغط أفقي من الوظيفة.

بالنظر إلى دالة (y = f (x) ) ، ينتج عن النموذج (y = f (bx) ) تمدد أو ضغط أفقي. ضع في اعتبارك الوظيفة (y = x ^ 2 ). لاحظ الشكل ( PageIndex {27} ). الرسم البياني لـ (y = (0.5x) ^ 2 ) هو امتداد أفقي للرسم البياني للدالة (y = x ^ 2 ) بمعامل من 2. الرسم البياني (y = (2x) ^ 2 ) هو ضغط أفقي للرسم البياني للدالة (y = x ^ 2 ) بمعامل 2.

التعاريف: التمدد والضغط الأفقي

إعطاء دالة (f (x) ) ، دالة جديدة (g (x) = f (bx) ) ، حيث (b ) ثابت ، هو a امتداد أفقي أو ضغط أفقي من الوظيفة (f (x) ).

  • إذا كان (b> 1 ) ، فسيتم ضغط الرسم البياني بواسطة ( frac {1} {b} ).
  • إذا كان (0
  • إذا كان (b <0 ) ، فسيكون هناك مزيج من التمدد الأفقي أو الانضغاط مع انعكاس أفقي.

كيف...

إعطاء وصف للدالة ، ارسم ضغطًا أفقيًا أو تمددًا.

  1. اكتب صيغة لتمثيل الوظيفة.
  2. اضبط (g (x) = f (bx) ) حيث (b> 1 ) للضغط أو (0

مثال ( PageIndex {17} ): رسم ضغط أفقي بالرسم البياني

لنفترض أن أحد العلماء يقارن مجموعة من ذباب الفاكهة بمجموعة تتقدم خلال عمرها الافتراضي ضعف سرعة السكان الأصليين. بعبارة أخرى ، سيتقدم هذا المجتمع الجديد ، (R ) ، في غضون ساعة واحدة بنفس المقدار الذي يتقدم به السكان الأصليون في غضون ساعتين ، وفي غضون ساعتين ، سوف يتقدمون بنفس المقدار الذي يتقدم به السكان الأصليون في غضون 4 ساعات. ارسم رسمًا بيانيًا لهذه المجموعة السكانية.

حل

رمزيًا ، يمكننا أن نكتب

( start {align} R (1) & = P (2)، R (2) & = P (4)، & text {وبشكل عام ،} R (t) & = P ( 2 ر). نهاية {محاذاة} )

راجع الشكل ( PageIndex {28} ) للحصول على مقارنة رسومية للسكان الأصليين والمجموعة المضغوطة.

تحليل

لاحظ أن التأثير على الرسم البياني هو ضغط أفقي حيث تكون جميع قيم الإدخال نصف المسافة الأصلية من المحور الرأسي.

مثال ( PageIndex {18} ): البحث عن امتداد أفقي لوظيفة جدولة

يتم إعطاء الدالة (f (x) ) في صورة Table ( PageIndex {16} ). أنشئ جدولاً للدالة (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ).

جدول ( PageIndex {16} )

(س )

2468

(و (س) )

13711

تخبرنا الصيغة (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ) أن قيم الإخراج لـ (g ) هي نفسها قيم الإخراج للدالة (f ) عند إدخال نصف الحجم. لاحظ أنه ليس لدينا معلومات كافية لتحديد (g (2) ) لأن (g (2) = f ( frac {1} {2} ⋅2) = f (1) ) ، ونحن نفعل ليس لها قيمة لـ (f (1) ) في جدولنا. يجب أن تكون قيم الإدخال إلى (g ) أكبر بمرتين للحصول على مدخلات لـ (f ) يمكننا تقييمها. على سبيل المثال ، يمكننا تحديد (g (4) ).

[g (4) = f ( dfrac {1} {2} ⋅4) = f (2) = 1 ]

نفعل الشيء نفسه مع القيم الأخرى لإنتاج Table ( PageIndex {17} ).

جدول ( PageIndex {17} )

(س )

481216

(ز (س) )

13711

يعرض الشكل ( PageIndex {29} ) الرسوم البيانية لكلتا مجموعتي النقاط هاتين.

تحليل

نظرًا لأنه تم مضاعفة كل قيمة إدخال ، فإن النتيجة هي أن الوظيفة (g (x) ) قد تم تمديدها أفقيًا بمعامل 2.

مثال ( PageIndex {19} ): التعرف على ضغط أفقي على رسم بياني

اربط الوظيفة (g (x) ) بـ (f (x) ) في الشكل ( PageIndex {30} ).

حل

يبدو الرسم البياني لـ (g (x) ) مثل الرسم البياني لـ (f (x) ) مضغوط أفقيًا. نظرًا لأن (f (x) ) ينتهي عند (6،4) وينتهي (g (x) ) عند (2،4) ، يمكننا أن نرى أن قيم x تم ضغطها بواسطة ( frac { 1} {3} ) ، لأن (6 ( frac {1} {3}) = 2 ). قد نلاحظ أيضًا أن (g (2) = f (6) ) و (g (1) = f (3) ). في كلتا الحالتين ، يمكننا وصف هذه العلاقة بأنها (g (x) = f (3x) ). هذا ضغط أفقي بواسطة ( frac {1} {3} ).

تحليل

لاحظ أن المعامل المطلوب للتمدد أو الانضغاط الأفقي هو معامل التمدد أو الانضغاط. لذا لتمديد الرسم البياني أفقيًا بمعامل قياس 4 ، نحتاج إلى معامل ( frac {1} {4} ) في وظيفتنا: (f ( frac {1} {4} x) ) . هذا يعني أن قيم الإدخال يجب أن تكون أكبر بأربع مرات للحصول على نفس النتيجة ، مما يتطلب أن يكون الإدخال أكبر ، مما يتسبب في التمدد الأفقي.

تمرين ( PageIndex {11} )

اكتب صيغة لوظيفة الجذر التربيعي لمجموعة الأدوات التي تمدد أفقيًا بمعامل 3.

إجابه

(g (x) = f ( frac {1} {3} x) ) ، لذا باستخدام دالة الجذر التربيعي نحصل على (g (x) = sqrt { frac {1} {3} x} )

إجراء تسلسل من التحولات

عند الجمع بين التحولات ، من المهم جدًا مراعاة ترتيب التحولات. على سبيل المثال ، لا يؤدي التحويل الرأسي بمقدار 3 ثم التمدد الرأسي بمقدار 2 إلى إنشاء نفس الرسم البياني مثل التمدد الرأسي بمقدار 2 ثم التحول عموديًا بمقدار 3 ، لأنه عندما ننتقل أولاً ، يتم تمديد كل من الوظيفة الأصلية والتحول ، في حين أن تتمدد الوظيفة الأصلية عندما نمتد أولاً.

عندما نرى تعبيرًا مثل (2f (x) +3 ) ، ما هو التحويل الذي يجب أن نبدأ به؟ الجواب هنا يتبع بشكل جيد ترتيب العمليات.نظرًا لقيمة الإخراج (f (x) ) ، فإننا نضرب أولاً في 2 ، مما يتسبب في التمدد الرأسي ، ثم نضيف 3 ، مما يتسبب في حدوث الانزياح العمودي. بمعنى آخر ، الضرب قبل الجمع.

التحولات الأفقية أصعب قليلاً للتفكير فيها. عندما نكتب (g (x) = f (2x + 3) ) ، على سبيل المثال ، علينا التفكير في كيفية ارتباط مدخلات الوظيفة (g ) بمدخلات الوظيفة (f ) . لنفترض أننا نعلم (f (7) = 12 ). ما المدخلات إلى (g ) من شأنها أن تنتج هذا الإخراج؟ بمعنى آخر ، ما قيمة (x ) التي ستسمح (g (x) = f (2x + 3) = 12؟ ) سنحتاج (2x + 3 = 7 ). لإيجاد قيمة (x ) ، سنطرح 3 أولاً ، مما ينتج عنه إزاحة أفقية ، ثم نقسم على 2 ، مما يتسبب في ضغط أفقي.

ينتهي العمل بهذا التنسيق بصعوبة بالغة ، لأنه عادةً ما يكون من الأسهل كثيرًا تمديد الرسم البياني أفقيًا قبل التبديل. يمكننا حل هذا عن طريق التحليل داخل الدالة.

[f (bx + p) = f (b (x + frac {p} {b})) nonumber ]

دعونا نعمل من خلال مثال.

[f (x) = (2x + 4) ^ 2 nonumber ]

يمكننا تحليل 2 إلى عوامل.

[f (x) = (2 (x + 2)) ^ 2 nonumber ]

يمكننا الآن أن نلاحظ بوضوح انزياح أفقي للوحدتين اليسرى والضغط الأفقي. يسمح لنا التحليل بهذه الطريقة بالتمدد أفقيًا أولاً ثم الانتقال أفقيًا.

الجمع بين التحولات

  • عند الجمع بين التحويلات الرأسية المكتوبة بالصيغة (af (x) + k ) ، قم أولاً بالتمدد عموديًا بمقدار (a ) ثم انقل عموديًا بمقدار (k ).
  • عند الجمع بين التحويلات الأفقية المكتوبة بالصيغة (f (bx + h) ) ، انقل أولاً أفقيًا بمقدار (h ) ثم التمدد أفقيًا بمقدار ( frac {1} {b} ).
  • عند الجمع بين التحويلات الأفقية المكتوبة بالصيغة (f (b (x + h)) ) ، قم أولاً بالتمدد أفقيًا بمقدار ( frac {1} {b} ) ثم انقل أفقيًا بمقدار (h ).
  • التحولات الأفقية والعمودية مستقلة. لا يهم ما إذا كان يتم إجراء التحويلات الأفقية أو الرأسية أولاً.

مثال ( PageIndex {20} ): البحث عن تحويل ثلاثي لوظيفة جدولة

إعطاء جدول ( PageIndex {18} ) للدالة (f (x) ) ، قم بإنشاء جدول قيم للدالة (g (x) = 2f (3x) +1 ).

جدول ( PageIndex {18} )

(س )

6121824

(و (س) )

10141517

حل

هناك ثلاث خطوات لهذا التحول ، وسنعمل من الداخل إلى الخارج. بدءًا من التحويلات الأفقية ، (f (3x) ) هو ضغط أفقي بواسطة ( frac {1} {3} ) ، مما يعني أننا نضرب كل (x ) - القيمة في ( frac { 1} {3} ). راجع الجدول ( PageIndex {19} ).

جدول ( PageIndex {19} )

(س )

2468

(و (3 س) )

10141517

بالنظر الآن إلى التحولات الرأسية ، نبدأ بالتمدد الرأسي ، والذي سيضاعف قيم المخرجات بمقدار 2. ونطبق هذا على التحويل السابق. راجع الجدول ( PageIndex {20} ).

جدول ( PageIndex {20} )

(س )

2468

(2f (3x) )

20283034

أخيرًا ، يمكننا تطبيق التحول الرأسي ، والذي سيضيف 1 إلى جميع قيم المخرجات. راجع الجدول ( PageIndex {21} ).

جدول ( PageIndex {21} )

(س )

2468

(ز (س) = 2 و (3 س) + 1 + 1 )

21293135

مثال ( PageIndex {21} ): البحث عن تحويل ثلاثي لرسم بياني

استخدم الرسم البياني (f (x) ) في الشكل ( PageIndex {31} ) لرسم رسم بياني لـ (k (x) = f Big ( frac {1} {2} x + 1 كبير) −3 ).

للتبسيط ، دعنا نبدأ باخراج ما بداخل الدالة من عوامل.

[f Big ( dfrac {1} {2} x + 1 Big) −3 = f Big ( dfrac {1} {2} (x + 2) Big) −3 ]

من خلال تحليل الداخل إلى عوامل ، يمكننا أولاً التمدد أفقيًا بمقدار 2 ، كما هو موضح بواسطة ( frac {1} {2} ) داخل الدالة. تذكر أن ضعف حجم 0 لا يزال 0 ، لذا فإن النقطة ((0،2) ) تظل عند ((0،2) ) بينما ستمتد النقطة ((2،0) ) إلى ((4،0) ). راجع الشكل ( PageIndex {32} ).

بعد ذلك ، ننتقل أفقيًا إلى اليسار بمقدار وحدتين ، كما هو موضح بـ (x + 2 ). راجع الشكل ( PageIndex {33} ).

أخيرًا ، ننتقل رأسيًا لأسفل بمقدار 3 لإكمال مخططنا ، كما يتضح من −3 على السطح الخارجي للدالة. انظر الشكل ( PageIndex {34} ).

المعادلات الرئيسية

المفاهيم الرئيسية

قائمة المصطلحات

دالة زوجية

دالة لا يتغير رسمها البياني بالانعكاس الأفقي ، (f (x) = f (−x) ) ، وهي متماثلة حول المحور y

ضغط أفقي
تحويل يضغط الرسم البياني للوظيفة أفقيًا ، بضرب الإدخال في ثابت b> 1

انعكاس أفقي
تحويل يعكس الرسم البياني للدالة عبر المحور الصادي بضرب الإدخال في −1

التحول الأفقي
تحويل يزيح الرسم البياني للدالة إلى اليسار أو اليمين عن طريق إضافة ثابت موجب أو سالب إلى الإدخال

امتداد أفقي
تحويل يمد الرسم البياني للوظيفة أفقيًا بضرب الإدخال في ثابت 0 <ب <1

وظيفة غريبة
دالة لم يتغير رسمها البياني عن طريق الانعكاس الأفقي والرأسي المدمج ، (f (x) = - f (−x) ) ، وهي متماثلة حول الأصل

ضغط عمودي
تحويل دالة يضغط الرسم البياني للوظيفة عموديًا بضرب الناتج في ثابت 0

انعكاس عمودي
تحويل يعكس الرسم البياني للدالة عبر المحور x بضرب الناتج في 1

التحول العمودي
تحويل يزيح الرسم البياني للدالة لأعلى أو لأسفل بإضافة ثابت موجب أو سالب إلى الناتج

امتداد عمودي
تحويل يمد الرسم البياني للوظيفة رأسيًا بضرب الناتج في ثابت a> 1


تحولات الوظائف

لاحظ أن الرسم البياني B قد تم إزاحته رأسيًا إلى أسفل بمقدار وحدة واحدة.

1. معادلة الرسم البياني (أ) هي: f (x) = __________
2. معادلة الرسم البياني B هي: g (x) = __________
3. اكتب الآن صيغة تتعلق بـ f (x) و g (x) في معادلة واحدة: __________________________

البحث عن التحولات العمودية في جدول البيانات

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
و (خ) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ز (س) -1 0 1 2 3 4 5 6 7

4. قارن النواتج ل المدخلات المقابلة ل وظائف f و g. ماذا تلاحظ؟

5. باستخدام تدوين الوظيفة مثل f (x) = _______ ، اكتب صيغة للدالة في الجدول أ.

6. باستخدام تدوين الوظيفة مثل g (x) = _______ ، اكتب صيغة للدالة في الجدول B.

7. اكتب الآن معادلة تربط بين f (x) و g (x) في معادلة واحدة: __________________________

8. هل يؤثر هذا التحول في المقام الأول على قيم المدخلات أو المخرجات؟


3.5: تحويل الوظائف

نحن الآن ننظر في كل حالة على حدة. سنرى بعد ذلك ما سيحدث عندما نجمع العديد من هذه التحولات.

  • أولا نحن نفعل. نرى أنه يمكننا الاستفادة من هذا التحول. هذا التحول من الشكل مع. لذلك ، يتم الحصول على الرسم البياني من خلال ترجمة الرسم البياني للوحدات إلى اليمين.
  • بعد ذلك ، نقوم بذلك. نحن نرى أنه يمكننا الحصول عليها من خلال التحول بعبارة أخرى. هذا التحول من الشكل مع. لذلك ، يتم الحصول على الرسم البياني من خلال ترجمة الرسم البياني للوحدات إلى اليسار.


يظهر الرسم البياني لـ باللون الأسود في الشكل 1 ، ويظهر باللون الأزرق ويظهر باللون الأحمر. بالنظر إلى هذه الرسوم البيانية ، يمكننا التحقق من أن الرسم البياني هو ترجمة للرسم البياني للوحدات إلى اليمين. وبالمثل ، يمكننا أن نرى أن التمثيل البياني لـ هو ترجمة للرسم البياني للوحدات إلى اليسار.

  • أولا ، نحن نفعل. إذا كتبنا المعادلة على هذا النحو ، فإننا نرى أنه يمكن الحصول عليها من خلال التحويل. هذا هو تحول النموذج مع. وبالتالي يمكن الحصول على الرسم البياني من خلال ترجمة الرسم البياني للوحدات لأعلى. يمكننا التحقق من أن هذا يعمل من خلال النظر في الشكل 2.
  • بعد ذلك ، نقوم بذلك. إذا كتبنا المعادلة كـ ، فإننا نرى أنه يمكن الحصول عليها من خلال التحويل أو. هذا هو تحول النموذج مع. وبالتالي يمكن الحصول على الرسم البياني عن طريق ترجمة الرسم البياني للوحدات لأسفل. يمكننا التحقق من أن هذا يعمل من خلال النظر في الشكل 2.

يظهر الرسم البياني لـ باللون الأسود في الشكل 2 ، ويظهر باللون الأحمر والأزرق.

  • أولاً ، سيبقى كل شيء على حاله دون تغيير. على طول ، سيظل الضرب في عدد ما يعطي
  • نتيجة التحول هي انكماش أو تمدد أفقي. لذلك ، فإن المسافة في الاتجاه الأفقي سوف تتقلص أو تمتد بمعامل. على سبيل المثال ، إذا كان التحويل كذلك ، فهو تقلص أفقي بمعامل. لذلك ، ستكون كل نقطة على الرسم البياني الجديد أقرب بثلاث مرات من الرسم البياني الأصلي.
  • أولا ، نحن نفعل. يمكن الحصول عليها من خلال التحول. لذلك ، يتم الحصول على الرسم البياني لـ من الرسم البياني عن طريق الانكماش الأفقي بمعامل. لن تتغير النقاط الموجودة على الرسم البياني أيضًا. ستكون كل نقطة أخرى أقرب مرتين من المحور ص. والنتيجة هي الرسم البياني الأزرق في الشكل 5. لمساعدتك في رسم الرسم البياني الجديد ، يمكنك رسم (أو تصوير) عدة خطوط أفقية. على طول كل خط أفقي ، قم بقياس المسافة بين الرسم البياني والرسم البياني ، ثم اقسم تلك المسافة على (أو بشكل عام) ، استدع هذه المسافة. ثم ، على كل خط أفقي ، ارسم وحدات نقطية من. سوف يمر الرسم البياني الجديد بالنقاط التي رسمتها للتو.
  • بعد ذلك ، نقوم بذلك. يمكن الحصول عليها من خلال التحول. لذلك ، يتم الحصول على الرسم البياني لـ من الرسم البياني عن طريق التمدد الأفقي بمعامل. هذا مشابه للحالة السابقة. هذه المرة ، ستكون النقاط على بعد ضعف المسافة من. والنتيجة هي الرسم البياني الأحمر في الشكل 5.
  • أولا ، نحن نفعل. إذا كتبناه على هذا النحو ، فإننا نرى أنه يمكن الحصول عليه من خلال التحويل. سينتج هذا التحول تمددًا رأسيًا بمعامل. لن تتحرك كل نقطة من الرسم البياني موجودة أيضًا. ستتحرك كل نقطة أخرى في الرسم البياني ثلاث مرات بعيدًا عن. والنتيجة هي الرسم البياني الأزرق في الشكل 6.
  • بعد ذلك ، نقوم بذلك. إذا كتبناه على هذا النحو ، فإننا نرى أنه يمكن الحصول عليه من خلال التحويل. سيؤدي هذا التحول إلى انكماش رأسي بمعامل. لن تتحرك كل نقطة من الرسم البياني موجودة أيضًا. ستتحرك كل نقطة أخرى في الرسم البياني بمقدار الضعف بالقرب من. والنتيجة هي الرسم البياني الأحمر في الشكل 6.
  1. ما الوظيفة التي نبدأ بها؟
  2. ما هي التحولات التي نطبقها عليها؟
  3. بأي ترتيب نطبق التحولات؟
  • أولاً ، من السهل أن نرى أننا سوف نتحول. الرسم البياني الخاص به هو الرسم البياني الأسود في الشكل 7 ، والسؤال هو أي التحولات ستتحول
    وبأي ترتيب؟
  • التقديم على الإنتاج. يتم الحصول على الرسم البياني من خلال ترجمة الرسم البياني للوحدات إلى اليمين. الرسم البياني الخاص به هو الرسم البياني الأزرق في الشكل 7.
  • بعد ذلك ، نطبق على. نحصل . يمثل الرسم البياني الخاص بها انكماشًا أفقيًا للرسم البياني لـ. ستكون كل نقطة على الرسم البياني أقرب بثلاث مرات من. التمثيل البياني الخاص بها هو الرسم البياني الأحمر في الشكل 7.
  • أخيرًا ، نطبق على. نحصل على أو. يتم الحصول عليها من الرسم البياني السابق عن طريق إجراء انكماش رأسي بمعامل. كل نقطة على الرسم البياني أقرب أربع مرات من. والنتيجة هي الرسم البياني الأخضر على الشكل 7.

كل دالة في النموذج ، عندما يكون عددًا صحيحًا زوجيًا ، ستكون وظائف زوجية. تتمثل إحدى خصائص الدوال الزوجية في أن التمثيل البياني الخاص بها متماثل بالنسبة إلى. وبالتالي ، لرسم دالة زوجية ، نحتاج فقط إلى رسم نصفها بيانيًا. نحصل على النصف الآخر من خلال عكسه حول.

يوضح لنا هذا المثال الأخير أن بعض الوظائف لا يمكن أن تكون فردية ولا زوجية. كل دالة في النموذج ، حيث يكون عددًا صحيحًا فرديًا ، هي وظائف فردية. تتمثل إحدى خصائص الدوال الفردية في أن الرسم البياني الخاص بها متماثل بالنسبة إلى الأصل. الرسوم البيانية باللونين الأزرق والأسود في الشكل 8 هي رسوم بيانية لوظائف زوجية. الرسم البياني الأحمر هو رسم بياني لدالة فردية.


القسم الفرعي 0.3.2 تكوين الوظائف

عندما يتم تطبيق تحويلات متعددة بالتسلسل ، كما في النشاط السابق ، فإن الوظيفة الناتجة هي في الواقع تكوين تحويلات الوظيفة. ومع ذلك ، فإن مفهوم التكوين يشمل أكثر من مجرد تحولات. إذا كانت (f (x) ) و (g (x) ) وظائف حيث يكون نطاق (g (x) ) هو مجموعة فرعية من مجال (f (x) ) يمكننا تشكيل دالة جديدة (h (x) = f (g (x)) text <.> ) هذا يعني حرفيًا أنك تستبدل (g (x) ) في كل مثيل للمتغير (x ) ) في (f (x) text <.> ) على سبيل المثال ، إذا (f (x) = x ^ 2 ) و (g (x) = sin (x) ) ثم (h (x) = f (g (x)) = left ( sin (x) right) ^ 2 ) و (k (x) = g (f (x)) = sin (x ^ 2) نص <.> )

مثال 0.3.5

إذا كان (f (x) = x ^ 2 ) و (g (x) = x-1 ) ، فابحث عن (f (g (3)) text <،> ) (g (f ( 3)) text <،> ) (f (g (x)) text <،> ) و (g (f (x)) text <.> )

لتقييم (f (g (3)) ) نعتبر أن (g (3) = 2 ) و (g (2) = 4 text <.> ) لذلك ، (f (g ( 3)) = 4 text <.> ) وبالمثل ، (g (f (3)) = g (9) = 8 text <.> ) تكوينات الوظيفة (f (g (x)) ) و (g (f (x)) ) هي (f (g (x)) = (x-1) ^ 2 ) و (g (f (x)) = x ^ 2-1 text <.> ) لاحظ الفرق بين هذه الوظائف الناتجة ، فالترتيب الذي يأخذ به التكوين مكان مهم!

النشاط 0.3.3

دع (f (x) = x ^ 2 ) و (g (x) = x + 8 ). ابحث عن ما يلي: start f (g (3)) = تسطير < hspace <1in>> ، quad g (f (3)) = تسطير < hspace <1in>> ، quad f (g (x)) = تسطير < hspace <1in>> ، النهاية يبدأ g (f (x)) = تسطير < hspace <1in>> ، quad f (x) g (x) = تسطير < hspace <1in>> end

الآن دع تعريف (f (x) ) و (g (x) ) كما هو موضح في الجدول أدناه. استخدم البيانات الموجودة في الجدول للعثور على التراكيب التالية.

(س ) −3 −2 −1 0 1 2 3
(و (س) ) 3 1 −1 −3 −1 1 3
(ز (س) ) −2 −1 0 1 0 1 2
يبدأ f (-3) = تسطير < hspace <1in>> ، quad g (3) = تسطير < hspace <1in>> ، end يبدأ f (g (-3)) = تسطير < hspace <1in>> ، quad f (g (f (-3))) = تسطير < hspace <1in>> end

الآن دعونا يتم تعريف (f (x) ) و (g (x) ) كما في المؤامرات أدناه. استخدم المؤامرات للعثور على التراكيب التالية. يبدأ f (1) = تسطير < hspace <1in>> ، quad g (2) = تسطير < hspace <1in>> ، quad g (f (1)) = تسطير < hspace <1in> > النهاية يبدأ f (g (1)) = تسطير < hspace <1in>> ، quad g (f (f (0))) = تسطير < hspace <1in>> end

ابدأ من الداخل واعمل على الخروج. ستكون أول إجابتين أرقامًا وستكون الإجابات الثلاث التالية وظائف.

الأرقام الموجودة داخل الجدول هي قيم (y ) للوظائف (f ) و (g ).

أنت تبحث عن قيم (y ) التي تأتي من هذه الوظائف.

بالنسبة إلى (f (x) = x ^ 2 ) و (g (x) = x + 8 ) start و (ز (3)) = و (11) = 121 ، رباعي ز (و (3)) = ز (9) = 17 ، النهاية يبدأ f (g (x)) = f (x + 8) = (x + 8) ^ 2، quad g (f (x)) = g (x ^ 2) = x ^ 2 + 8، end يبدأ f (x) g (x) = (x ^ 2) (x + 8) = x ^ 3 + 8x ^ 2 end

يبدأ f (-3) = 3 ، quad g (3) = 2 ، quad f (g (-3)) = f (-2) = 1 ، end يبدأ f (g (f (-3))) = f (g (3)) = f (2) = 1 end

يبدأ و (1) = 1 ، كواد ز (2) = 1 ، كواد ز (و (1)) = ز (1) = -1 نهاية يبدأ و (ز (1)) = و (-1) = -2 ، رباعي ز (و (و (0))) = ز (و (-2)) = ز (1) = 1 نهاية


5.4 تحديد الأعمدة مع select ()

ليس من غير المألوف الحصول على مجموعات بيانات تحتوي على مئات أو حتى آلاف المتغيرات. في هذه الحالة ، غالبًا ما يكون التحدي الأول هو تضييق نطاق المتغيرات التي تهتم بها بالفعل. يتيح لك select () تكبير مجموعة فرعية مفيدة بسرعة باستخدام عمليات تستند إلى أسماء المتغيرات.

select () ليس مفيدًا بشكل كبير مع بيانات الرحلات الجوية لأن لدينا 19 متغيرًا فقط ، ولكن لا يزال بإمكانك الحصول على الفكرة العامة:

هناك عدد من الوظائف المساعدة التي يمكنك استخدامها ضمن select ():

start_with ("abc"): تطابق الأسماء التي تبدأ بـ "abc".

end_with ("xyz"): تطابق الأسماء التي تنتهي بـ "xyz".

يحتوي على ("ijk"): يطابق الأسماء التي تحتوي على "ijk".

يطابق ("(.) 1"): تحديد المتغيرات التي تطابق التعبير العادي. يتطابق هذا مع أي متغيرات تحتوي على أحرف متكررة. ستتعلم المزيد حول التعبيرات العادية في السلاسل.

num_range ("x"، 1: 3): تطابق x1 و x2 و x3.

انظر؟ حدد لمزيد من التفاصيل.

يمكن استخدام select () لإعادة تسمية المتغيرات ، ولكنه نادرًا ما يكون مفيدًا لأنه يحذف جميع المتغيرات التي لم يتم ذكرها صراحةً. بدلاً من ذلك ، استخدم rename () ، وهو متغير لـ select () الذي يحتفظ بجميع المتغيرات التي لم يتم ذكرها صراحةً:

خيار آخر هو استخدام select () جنبًا إلى جنب مع كل شيء () المساعد. يكون هذا مفيدًا إذا كان لديك عدد قليل من المتغيرات التي ترغب في نقلها إلى بداية إطار البيانات.

5.4.1 تمارين

عصف ذهني بأكبر عدد ممكن من الطرق لتحديد dep_time و dep_delay و arr_time و arr_delay من الرحلات الجوية.

ماذا يحدث إذا قمت بتضمين اسم متغير عدة مرات في مكالمة select ()؟

ماذا تفعل وظيفة any_of ()؟ لماذا قد يكون مفيدًا بالتزامن مع هذا المتجه؟

هل تفاجئك نتيجة تشغيل الكود التالي؟ كيف يتعامل المساعدون المختارون مع الحالة بشكل افتراضي؟ كيف يمكنك تغيير هذا التقصير؟


مستمر في كل مكان ولكن لا يمكن تمييزه في أي مكان

أردت فقط منشورًا سريعًا لمشاركة المستندات التي أنشأتها لتدريس تحويلات الوظائف. جميع المستندات بتنسيق doc. لم تكن براقة ، لكنها جعلت الطلاب يفكرون في كل شيء حقًا. (هذا فصل عادي من الجبر II). لقد قاموا بتقييم التقييم النهائي ، ويقومون الآن بشكل مثير للدهشة بتحويلات الدوال الأسية. بعبارة أخرى ، أرى عملي على أنه نجاح.

التحولات الوظيفية 1 مقدمة أساسية (هنا): HW (هنا)
التحولات الوظيفية 2 فوق! تحت! غادر! حق! (هنا): HW1 (هنا) ، HW2 (هنا وأمبير هنا)
التحولات الوظيفية 3 التمدد العمودي (هنا): HW (هنا) / الحلول (هنا)
تحويلات الوظائف 3.5 ممارسة الأشياء خطوة بخطوة (هنا)
التحولات الوظيفية 4 التمدد الأفقي (هنا): HW (هنا) / الحل (هنا)

كما قمت بتسليم ورقة التدريب هذه لجميع الطلاب لممارسة وظائفهم الأساسية الثمانية (هنا).

فقط لكي تعلم ، أنا لا أقوم دائمًا بالتدريس عبر الصدقات. لكن مع كل هذه الرسوم البيانية ، قررت أنها منطقية.
& # 8217m سعيد إذا كنت تريد انتقادهم ، أو تقديم اقتراحات حول كيفية تحسينها.


التحولات الجبرية

أهداف

(1.) قائمة بوظائف صندوق الأدوات.

(2.) وصف مفهوم تحويل الوظائف.

(3.) وصف التحولات التي تم إجراؤها على وظيفة الأصل لإعطاء وظيفة الطفل.

(4.) احسب الإحداثي المحول لوظيفة أصلية على وظيفة الطفل.

(5.) مناقشة بعض تطبيقات تحولات الوظائف.

مجموعة الوظائف أو وظائف الوالدين أو وظائف صندوق الأدوات

مادة الاحياء: الآباء ينجبون الأطفال

الرياضيات: وظائف الوالدين "تلد" وظائف الطفل.
حسنًا ، في الواقع ، يتم تحويل وظائف الوالدين لإعطاء وظائف الطفل.
بمعنى آخر ، يؤدي تحويل وظائف الوالدين إلى وظائف الطفل.

مدرس: ماذا تفعل عادة لرسم أي وظيفة بالرسم البياني؟
طالب علم: ذلك يعتمد على الوظيفة.
يمكننا رسم وظائف خطية باستخدام جدول القيم.
يمكننا أيضًا رسم بياني للدوال الخطية باستخدام الاعتراضات - التقاطع $ x و $ y-intercept $
مدرس: أجبت بشكل جيد.
ماذا عن الدوال التربيعية؟
طالب علم: يمكننا رسم وظائف تربيعية باستخدام جدول القيم.
يمكننا أيضًا رسم بياني للوظائف التربيعية باستخدام Vertex و Intercepts ($ x-intercept $ و $ y-intercept $)
مدرس: إجابة جيدة جدا.
ماذا عن دوال التكعيب؟ وظائف القيمة المطلقة؟
طالب علم: يمكننا رسم الوظائف باستخدام جدول القيم.
مدرس: جيد جدا!
لماذا نتعلم هذا الموضوع؟

لماذا نتعلم تحويل الوظائف؟
ماذا يعني تحويل الوظائف؟

بدلاً من استخدام جدول القيم لرسم بياني لكل دالة فرعية ، يمكننا رسم بياني فقط للوظيفة الأصلية باستخدام جدول القيم.
بعد ذلك ، نقوم فقط بتحويل وظيفة الوالدين لإعطاء وظيفة الطفل.

مادة الاحياء: يقوم الزوج والزوجة بعدة أوضاع قبل أن "يسجل الرجل هدفًا / أهدافًا في المرأة". & # x263A & # x263A & # x263A
بعبارة أخرى ، يقوم الزوج والزوجة بالعديد من التحولات على الزوجة لتكون حاملاً وتلد طفلًا / أطفالًا.

الرياضيات: هناك العديد من التحولات التي أجريت على وظيفة الوالدين من أجل ولادة وظيفة الطفل.
يمكن أن تتحرك الوظيفة الرئيسية لأعلى ولأسفل - التحول الرأسي
يمكن أن تتحرك الوظيفة الأصل إلى اليسار واليمين - التحول الأفقي
يمكن أن تنقلب الوظيفة الرئيسية رأسياً - انعكاس رأسي - انعكاس عبر المحور x $
يمكن أن تنقلب الوظيفة الرئيسية أفقيًا - انعكاس أفقي - انعكاس عبر المحور $ y $
يمكن تمديد وظيفة الأصل عموديًا - تمدد عمودي
يمكن أن تمتد وظيفة الأصل أفقيًا - تمدد أفقي
يمكن ضغط الوظيفة الرئيسية رأسياً - ضغط عمودي
يمكن ضغط الوظيفة الأصل أفقيًا - ضغط أفقي

لذلك ، يمكننا فقط تحويل وظائف الوالدين لإعطاء وظائف الطفل.
يمكننا استخدام جدول القيم لرسم بياني لوظيفة الأصل.
بعد ذلك ، يمكننا استخدام أي من هذه التحولات على الوظيفة الأم لمنحنا وظيفة الطفل.
يمكننا أيضًا استخدام ملف مجموعة من التحولات (مجموعة التحويل) لإعطاء وظائف الطفل.

الغذاء والتغذية: (برجر كنج ، ماكدونالدز ، جاك ، وينديز): كومبو من تشيز برجر ، بطاطا مقلية ومشروب

الرياضيات: مجموعة (كومبو) من التحولات لإعطاء وظائف الطفل.
مزيج التحولات هو عندما نستخدم أكثر من تحويل للحصول على وظيفة الطفل.

مدرس: ماذا يحدث عندما يكون لدينا عدة عمليات في العمليات الحسابية أو الجبرية؟
طالب علم: نحن نستخدم ال ترتيب العمليات
مدرس: بهذا المعنى ، ماذا يحدث عندما يكون لدينا وظيفة الطفل التي تم الحصول عليها من عدة تحولات (أكثر من واحد)؟
طالب علم: أعتقد أنه يجب علينا استخدام ترتيب التحولات
مدرس: هذا صحيح.
طالب علم: إذن ، ما هو ترتيب التحولات عندما يكون لديك أكثر من تحول؟
مدرس: سنصل إلى ذلك.
ومع ذلك ، فقط اعرف هذا: التحولات الأفقية لها الأسبقية على التحولات الرأسية.
طالب علم: لماذا هذا؟
مدرس: ماذا تعتقد؟
أفقي هو داخل
عمودي هو في الخارج
هل تبدأ رحلتك من "الداخل" وتشق طريقك "من الخارج" أم تبدأ من "الخارج" وتعمل في طريقك "من الداخل"؟
طالب علم: تبدأ من "الداخل" إلى "الخارج".
مدرس: صيح!
هذا يذكرني بشعبية المثل الأفريقي
طالب علم: ما هذا؟
مدرس: إنها تنص على أن تبدأ الخيرية في المنزل
هل تريد سبب اخر؟
طالب علم: بالتأكيد.
عندما يكون الزوج والزوجة وحدهما ليلاً في الغرفة ، أيهما يتفوق - أفقي أم رأسي؟
طالب علم: انا لا اعلم
مدرس: حسنا. فقط اعلم أنه عندما يكون لديك أي وظيفة فرعية تتشكل نتيجة لمجموعة من التحولات ، يجب إجراء التحولات الأفقية قبل التحويلات الرأسية.

وظائف الوالدين

في الوقت الحالي ، سنركز على وظائف الوالدين هذه.
وظائف الوالدين هي:

(1.) دالة الهوية أو الدالة الخطية: $ y = x $

(2.) دالة تربيعية أو دالة تربيعية: $ y = x ^ 2 $

(3.) الدالة التكعيبية لوظيفة التكعيب: $ y = x ^ 3 $

(4.) دالة الجذر التربيعي الموجبة: $ y = sqrt$

(5.) دالة جذر المكعب: $ y = sqrt [3]$

(6.) دالة القيمة المطلقة: $ y = | x | $

(7.) دالة متبادلة: $ y = dfrac <1>$

لاحقًا ، سنناقش وظائف الوالدين هذه:

(9.) الدالة الأسية: $ y = a ^ x $ و $ y = e ^ x $

(10.) الوظيفة اللوغاريتمية: $ y = log_a$ و $ y = log_e$

(11.) الدالة المثلثية: $ y = sin x $ and $ y = cos x $

SAMDOM FOR PEACE Pneumonic لتحويل الوظائف

حوش - التحول الأفقي

حور - انعكاس أفقي

مضيف - تمدد أفقي

هوكو - ضغط أفقي

فيكو - ضغط عمودي

سترة - تمدد عمودي

VERE - انعكاس عمودي

VESH - التحول الرأسي

ملاحظات ملحوظة لتحويل الوظائف


مقدمة نشطة لحساب التفاضل والتكامل

ماذا نعني بكلمة "تحويلات" دالة معينة (f text <؟> ) كيف تكون الترجمات والامتدادات الرأسية لدالة أمثلة على التحولات؟

في تحضيرنا لحساب التفاضل والتكامل ، نطمح إلى فهم الوظائف من مجموعة واسعة من وجهات النظر والتعرف على مكتبة الوظائف الأساسية. حتى الآن ، هناك وظيفتان عائليتان أساسيتان نظرنا فيهما وهما الدوال الخطية والوظائف التربيعية ، أبسطها (L (x) = x ) و (Q (x) = x ^ 2 text <.> ) مع تقدمنا ​​أكثر ، سنسعى إلى فهم وظيفة "الوالدين" باعتبارها العضو الأساسي في عائلة الوظائف ، وكذلك كيف تكون الوظائف الأخرى المتشابهة ولكن الأكثر تعقيدًا نتيجة لتحويل الوظيفة الأم.

بشكل غير رسمي ، تحويل وظيفة معينة هو عملية جبرية نقوم من خلالها بتغيير الوظيفة إلى وظيفة ذات صلة لها نفس الشكل الأساسي ، ولكن يمكن تغييرها و / أو انعكاسها و / أو تمديدها بطريقة منهجية. على سبيل المثال ، من بين جميع الوظائف التربيعية ، أبسطها هي الوظيفة الأصلية (Q (x) = x ^ 2 text <،> ) ولكن أي دالة تربيعية أخرى مثل (g (x) = -3 (x- 5) ^ 2 + 4 ) يمكن فهمه أيضًا فيما يتعلق بوظيفة الأصل. نقول إن " (g ) هو تحويل (f text <.> )"

في معاينة النشاط 1.8.1 ، نتحرى تأثيرات الثوابت (a text <،> ) (b text <،> ) و (c ) في إنشاء الوظيفة (g (x) = af (xb) + c ) في سياق معرفة الوظيفة بالفعل (f text <.> )

معاينة النشاط 1.8.1.

افتح ملف ديسموس رسم بياني وحدد الوظيفة (f (x) = x ^ 2 text <.> ) اضبط النافذة بحيث يكون النطاق لـ (- 4 le x le 4 ) و (- 10 le ص لو 10 نص <.> )

في ديسموس، حدد الوظيفة (g (x) = f (x) + a text <.> ) (أي في ديسموس في السطر 2 ، أدخل g (x) = f (x) + a.) ستتم مطالبتك بإضافة شريط تمرير لـ (a text <.> ) افعل ذلك.

استكشف بتحريك شريط التمرير لـ (أ ) واكتب جملة واحدة على الأقل لوصف تأثير تغيير قيمة (أ ) على الرسم البياني (ز نص <.> )

بعد ذلك ، حدد الوظيفة (h (x) = f (x-b) text <.> ) (أي في ديسموس في السطر 4 ، أدخل h (x) = f (x-b) وأضف شريط التمرير لـ (b text <.> ))

حرك شريط التمرير لـ (ب ) واكتب جملة واحدة على الأقل لوصف تأثير تغيير قيمة (ب ) على الرسم البياني (ح نص <.> )

الآن حدد الوظيفة (p (x) = cf (x) text <.> ) (أي في ديسموس في السطر 6 ، أدخل p (x) = cf (x) وأضف شريط التمرير لـ (c text <.> ))

حرك شريط التمرير لـ (c ) واكتب جملة واحدة على الأقل لوصف تأثير تغيير قيمة (c ) على الرسم البياني لـ (p text <.> ) على وجه الخصوص ، عندما ( c = -1 text <،> ) كيف يرتبط الرسم البياني لـ (p ) بالرسم البياني (f text <؟> )

أخيرًا ، انقر فوق الرموز الموجودة بجوار (g text <،> ) (h text <،> ) و (p ) لإخفائها مؤقتًا ، والعودة إلى السطر 1 وتغيير الصيغة الخاصة بك لـ (f text <.> ) يمكنك عمل ما تريد ، ولكن جرب شيئًا مثل (f (x) = x ^ 2 + 2x + 3 ) أو (f (x) = x ^ 3 - 1 text <.> ) ثم تحقق باستخدام أشرطة التمرير (a text <،> ) (b text <،> ) و (c ) لرؤية التأثيرات على (g text <،> ) (h text <،> ) و (p ) (إظهارها بشكل مناسب). اكتب جملتين لوصف ملاحظاتك عن استكشافاتك.

القسم الفرعي 1.8.1 ترجمة الوظائف

نبدأ بتلخيص اثنين من النتائج التي توصلنا إليها في معاينة النشاط 1.8.1.

الترجمة العمودية لوظيفة.

إعطاء دالة (y = f (x) ) ورقم حقيقي (a text <،> ) فإن الوظيفة المحولة (y = g (x) = f (x) + a ) هي a الترجمة العمودية من الرسم البياني لـ (f text <.> ) أي أن كل نقطة ((x، f (x)) ) على الرسم البياني لـ (f ) يتم إزاحتها رأسياً إلى النقطة المقابلة (( x ، f (x) + a) ) على الرسم البياني لـ (g text <.> )

كما وجدنا في موقعنا ديسموس تعتبر الاستكشافات في نشاط المعاينة مفيدة بشكل خاص لمعرفة تأثيرات الترجمة الرأسية ديناميكيًا.

حرك شريط التمرير 1 بالنقر والسحب على النقطة الحمراء لترى كيف يؤثر تغيير (أ ) على الرسم البياني (y = f (x) + a text <،> ) الذي يظهر باللون الأزرق. سيظهر الرسم البياني لـ (y = f (x) ) باللون الرمادي ويظل ثابتًا.

في الترجمة العمودية ، يقع الرسم البياني لـ (g ) فوق الرسم البياني (f ) كلما (a gt 0 text <،> ) بينما يقع الرسم البياني (g ) أسفل الرسم البياني من (f ) كلما (a lt 0 text <.> ) في الشكل 1.8.2 ، نرى الوظيفة الأصلية الأصلية (f (x) = | x | ) جنبًا إلى جنب مع التحويل الناتج (ز (س) = و (س) -3 نص <،> ) وهو تحول رأسي لأسفل لـ (3 ) وحدات. لاحظ بشكل خاص أن كل نقطة على الرسم البياني الأصلي لـ (f ) يتم نقلها (3 ) وحدات لأسفل ، فإننا غالبًا ما نشير إلى ذلك بواسطة سهم ونضع علامة على نقطة رئيسية واحدة على الأقل على كل رسم بياني.

في الشكل 1.8.3 ، نرى ترجمة أفقية للوظيفة الأصلية (f ) التي تنقل وحدات الرسم البياني (2 ) إلى اليمين لتشكيل الوظيفة (h text <.> ) لاحظ أن (f ) ليست وظيفة أساسية مألوفة للتحولات التي يمكن تطبيقها على أي وظيفة أصلية نرغب فيها.

من وجهة نظر جبرية ، تعتبر الترجمات الأفقية أكثر تعقيدًا من الترجمات الرأسية. بالنظر إلى (y = f (x) text <،> ) إذا حددنا الوظيفة المحولة (y = h (x) = f (x-b) text <،> ) لاحظ ذلك

يوضح هذا أنه بالنسبة لإدخال (x + b ) في (h text <،> ) ، يكون إخراج (h ) هو نفسه إخراج (f ) الذي يتوافق مع إدخال ببساطة (x text <.> ) ومن ثم ، في الشكل 1.8.3 ، فإن صيغة (h ) بدلالة (f ) هي (h (x) = f (x-2) text <،> ) حيث أن إدخال (x + 2 ) في (h ) سينتج عنه نفس الإخراج مثل إدخال (x ) في (f text <.> ) على سبيل المثال ، (h (2) = f (0) text <،> ) الذي يتماشى مع الرسم البياني (h ) كونه تحول في الرسم البياني (f ) إلى اليمين بواسطة ( 2 ) وحدات.

مرة أخرى ، من المفيد رؤية تأثيرات الترجمة الأفقية ديناميكيًا.

حرك شريط التمرير بالنقر والسحب على النقطة الحمراء لترى كيف يؤثر التغيير (ب ) على الرسم البياني (y = f (x-b) text <،> ) الذي يظهر باللون الأزرق. سيظهر الرسم البياني لـ (y = f (x) ) باللون الرمادي ويظل ثابتًا.

بشكل عام ، لدينا المبدأ العام التالي.

الترجمة الأفقية لوظيفة.

إعطاء دالة (y = f (x) ) ورقم حقيقي (b text <،> ) فإن الوظيفة المحولة (y = h (x) = f (x-b) ) هي a ترجمة أفقية من الرسم البياني لـ (f text <.> ) أي أن كل نقطة ((x، f (x)) ) على الرسم البياني لـ (f ) يتم نقلها أفقيًا إلى النقطة المقابلة (( x + b، f (x)) ) على الرسم البياني لـ (g text <.> )

نؤكد أنه في الترجمة الأفقية (h (x) = f (xb) text <،> ) إذا كان (b gt 0 ) الرسم البياني (h ) يكمن (b ) من الوحدات إلى يمين (f text <،> ) بينما إذا (b lt 0 text <،> ) (h ) تقع (b ) الوحدات على يسار (f text < .> )

النشاط 1.8.2.

ضع في اعتبارك الوظائف (r ) و (s ) الواردة في الشكل 1.8.5 والشكل 1.8.6.

على نفس المحاور مثل قطعة الأرض (y = r (x) text <،> ) ارسم الرسوم البيانية التالية: (y = g (x) = r (x) + 2 text <،> ) (y = h (x) = r (x + 1) text <،> ) و (y = f (x) = r (x + 1) + 2 text <.> ) تأكد من ذلك قم بتسمية النقطة على كل من (g text <،> ) (h text <،> ) و (f ) التي تتوافق مع ((- 2 ، -1) ) على الرسم البياني الأصلي من (r text <.> ) بالإضافة إلى ذلك ، اكتب جملة واحدة لشرح التحولات الكلية التي أدت إلى (g text <،> ) (h text <،> ) و (f نص <.> )

على نفس المحاور مثل قطعة الأرض (y = s (x) text <،> ) ارسم الرسوم البيانية التالية: (y = k (x) = s (x) - 1 text <،> ) (y = j (x) = s (x-2) text <،> ) و (y = m (x) = s (x-2) - 1 text <.> ) تأكد من ذلك قم بتسمية النقطة على كل من (k text <،> ) (j text <،> ) و (m ) التي تتوافق مع ((- 2 ، -3) ) على الرسم البياني الأصلي من (r text <.> ) بالإضافة إلى ذلك ، اكتب جملة واحدة لشرح التحولات الكلية التي أدت إلى (k text <،> ) (j text <،> ) و (m نص <.> )

الآن ضع في اعتبارك الوظيفة (q (x) = x ^ 2 text <.> ) حدد صيغة للدالة المعطاة بواسطة (p (x) = q (x + 3) - 4 text <. > ) كيف يكون (ع ) تحول (ف نص <؟> )

القسم الفرعي 1.8.2 الامتدادات والانعكاسات الرأسية

حتى الآن ، رأينا التأثيرات المحتملة لإضافة قيمة ثابتة لوظيفة الإخراج - (f (x) + a ) - وإضافة قيمة ثابتة لإدخال الوظيفة - (f (x + b) text <. > ) ينتج عن كل إجراء من هذه الإجراءات ترجمة للرسم البياني للوظيفة (إما رأسيًا أو أفقيًا) ، ولكن بخلاف ذلك يترك الرسم البياني كما هو. بعد ذلك ، نتحرى آثار الضرب الناتج عن الدالة بثابت.

مثال 1.8.7.

بالنظر إلى الوظيفة الأصل (y = f (x) ) الموضحة في الشكل 1.8.8 ، ما هي تأثيرات التحويل (y = v (x) = cf (x) ) لقيم مختلفة لـ (c نص <؟> )

نتحرى أولاً في تأثيرات (c = 2 ) و (c = frac <1> <2> text <.> ) لـ (v (x) = 2f (x) text <،> ) التأثير الجبري لهذا التحويل هو أن كل ناتج من (f ) يتم ضربه (2 نص <.> ) وهذا يعني أن الناتج الوحيد الذي لم يتغير هو عندما (f (x) = 0 text <،> ) بينما أي نقطة أخرى على الرسم البياني للوظيفة الأصلية (f ) سيتم تمديدها عموديًا بعيدًا عن المحور (x ) - بمعامل (2 text <.> ) يمكننا أن نرى هذا في الشكل 1.8.8 حيث يتم تحويل كل نقطة على الرسم البياني الأصلي باللون الأزرق الداكن إلى نقطة مقابلة يكون إحداثيها (y ) - ضعف حجمها ، كما هو موضح جزئيًا بواسطة الأسهم الحمراء.

في المقابل ، يتم تمديد التحويل (u (x) = frac <1> <2> f (x) ) عموديًا بواسطة عامل ( frac <1> <2> text <،> ) والذي له تأثير ضغط الرسم البياني لـ (f ) باتجاه المحور (x ) - حيث يتم ضرب جميع مخرجات الدالة لـ (f ) بـ ( frac <1> <2> text < .> ) على سبيل المثال ، النقطة ((0 ، -2) ) على الرسم البياني (f ) تتحول إلى الرسم البياني ((0 ، -1) ) على الرسم البياني لـ ( u text <،> ) ويتم تحويل الآخرين كما هو مشار إليه بواسطة الأسهم الأرجواني.

للنظر في الموقف حيث (c lt 0 text <،> ) نعتبر أولاً أبسط حالة حيث (c = -1 ) في التحويل (z (x) = -f (x) text <.> ) هنا يكون تأثير التحويل هو مضاعفة كل ناتج للوظيفة الأم (f ) في (- 1 نص <> ) وهذا يأخذ أي نقطة في الشكل ((x، y) ) وتحويله إلى ((x، -y) text <،> ) مما يعني أننا نعكس كل نقطة على الرسم البياني للوظيفة الأصلية عبر المحور (x ) - لإنشاء الرسم البياني للوظيفة الناتجة. هذا موضح في الشكل 1.8.9 حيث (y = z (x) ) هو انعكاس (y = f (x) ) عبر (x ) - المحور.

أخيرًا ، نحقق أيضًا في الحالة حيث (c = -2 text <،> ) الذي يولد (y = w (x) = -2f (x) text <.> ) هنا يمكننا التفكير في (-2 ) كـ (- 2 = 2 (-1) نص <:> ) يعكس تأثير الضرب ب (- 1 ) أولاً الرسم البياني (f ) عبر (س ) ) - المحور (ينتج عنه (w )) ، ثم الضرب في (2 ) يمدد الرسم البياني (ض ) عموديًا لينتج عنه (w text <،> ) كما هو موضح في الشكل 1.8 .9.

كما هو الحال مع الترجمة الرأسية والأفقية ، من المفيد بشكل خاص رؤية تأثيرات القياس الرأسي بطريقة ديناميكية.

حرك شريط التمرير بالنقر والسحب على النقطة الحمراء لترى كيف يؤثر تغيير (c ) على الرسم البياني لـ (y = cf (x) text <،> ) الذي يظهر باللون الأزرق. سيظهر الرسم البياني لـ (y = f (x) ) باللون الرمادي ويظل ثابتًا.

نلخص ونعمم ملاحظاتنا من المثال 1.8.7 والشكل 1.8.10 على النحو التالي.

التحجيم الرأسي للدالة.

إعطاء دالة (y = f (x) ) ورقم حقيقي (c gt 0 text <،> ) الدالة المحولة (y = v (x) = cf (x) ) هي a امتداد عمودي من الرسم البياني لـ (f text <.> ) كل نقطة ((x، f (x)) ) على الرسم البياني لـ (f ) يتم تمديدها عموديًا إلى النقطة المقابلة ((x، cf (x)) ) على الرسم البياني لـ (v text <.> ) إذا كان (0 lt c lt 1 text <،> ) الرسم البياني لـ (v ) هو ضغط (f ) باتجاه (x ) - المحور إذا (c gt 1 text <،> ) الرسم البياني لـ (v ) هو امتداد (f ) بعيدًا عن (x )-محور. النقاط حيث (f (x) = 0 ) لم تتغير بالتحول.

إعطاء دالة (y = f (x) ) ورقم حقيقي (c lt 0 text <،> ) الدالة المحولة (y = v (x) = cf (x) ) هي a انعكاس الرسم البياني (f ) عبر المحور (x ) متبوعًا بامتداد عمودي بمعامل (| c | text <.> )

النشاط 1.8.3.

ضع في اعتبارك الوظائف (r ) و (s ) الواردة في الشكل 1.8.11 والشكل 1.8.12.

على نفس المحاور مثل قطعة الأرض (y = r (x) text <،> ) ارسم الرسوم البيانية التالية: (y = g (x) = 3r (x) ) و (y = h ( x) = frac <1> <3> r (x) text <.> ) تأكد من تسمية عدة نقاط على كل من (r text <،> ) (g text <،> ) و (ح ) بالسهام للإشارة إلى مراسلاتهم. بالإضافة إلى ذلك ، اكتب جملة واحدة لشرح التحولات الكلية التي نتجت عن (g ) و (ح ) من (r نص <.> )

على نفس المحاور مثل قطعة الأرض (y = s (x) text <،> ) ارسم الرسوم البيانية التالية: (y = k (x) = -s (x) ) و (y = j (x) = - frac <1> <2> s (x) text <.> ) تأكد من تسمية عدة نقاط على كل من (s text <،> ) (k text <، > ) و (ي ) بالسهام للإشارة إلى مراسلاتهم. بالإضافة إلى ذلك ، اكتب جملة واحدة لشرح التحولات الكلية التي نتجت عن (ك ) و (ي ) من (ق نص <.> )

في النسخ الإضافية من الشكلين أدناه ، قم برسم الرسوم البيانية للوظائف المحولة التالية: (y = m (x) = 2r (x + 1) -1 ) (على اليسار) و (y = n (x) ) = frac <1> <2> s (x-2) +2 text <.> ) كما هو مذكور أعلاه ، تأكد من تسمية عدة نقاط على كل رسم بياني والإشارة إلى تطابقها مع النقاط الموجودة على الوظيفة الأصلية.

صف في كلمات كيف أن الدالة (y = m (x) = 2r (x + 1) -1 ) هي نتيجة لثلاثة تحويلات أولية لـ (y = r (x) text <.> ) هل الترتيب الذي تحدث فيه هذه التحولات مهم؟ لما و لما لا؟

القسم الفرعي 1.8.3 الجمع بين التحولات والتمديدات: لماذا يكون الترتيب مهمًا في بعض الأحيان

في السؤال الأخير للنشاط 1.8.3 ، اعتبرنا التحول (y = m (x) = 2r (x + 1) -1 ) للوظيفة الأصلية (r text <.> ) هناك ثلاثة تتضمن التحولات الأساسية المختلفة: تحول رأسي (1 ) وحدة لأسفل ، وانحراف أفقي لـ (1 ) وحدة يسار ، وامتداد رأسي بمعامل (2 نص <.> ) لفهم بالترتيب الذي يتم فيه تطبيق هذه التحولات ، من الضروري أن نتذكر أن الوظيفة هي a عملية يحول المدخلات إلى مخرجات.

من خلال القاعدة الجبرية لـ (m text <،> ) (m (x) = 2r (x + 1) -1 text <.> ) في الكلمات ، هذا يعني أنه معطى الإدخال (x ) لـ (m text <،> ) نقوم بالعمليات التالية بهذا الترتيب المعين:

أضف (1 ) إلى (س ) ثم قم بتطبيق الوظيفة (r ) على الكمية (س + 1 نص <> )

اضرب ناتج (r (x + 1) ) في (2 text <> )

اطرح (1 ) من ناتج (2r (x + 1) text <.> )

تتوافق هذه الخطوات الثلاث مع ثلاثة تحولات أساسية: (1) انقل الرسم البياني (r ) إلى اليسار بمقدار (1 ) وحدة (2) قم بتمديد الرسم البياني الناتج عموديًا بواسطة عامل (2 نص <> ) (3) انقل الرسم البياني الناتج رأسيًا بمقدار (- 1 ) وحدة. يمكننا أن نرى التأثير البياني لهذه الخطوات الجبرية من خلال أخذها واحدة تلو الأخرى. في الشكل 1.8.14 ، نرى الوظيفة (p ) التي تنتج عن إزاحة (1 ) الوحدة اليسرى من الوظيفة الأصلية في الشكل 1.8.13. (في كل مرة نتخذ فيها خطوة إضافية ، سنقلل من التأكيد على الوظيفة السابقة بجعلها تظهر بلون أفتح ومتقطع.)

بالاستمرار ، نعتبر الآن الوظيفة (q (x) = 2p (x) = 2r (x + 1) text <،> ) التي ينتج عنها امتداد عمودي لـ (p ) بعيدًا عن (x ) - المحور بمعامل (2 نص <،> ) كما هو موضح في الشكل 1.8.15.

أخيرًا ، نصل إلى (y = m (x) = 2r (x + 1) - 1 ) عن طريق طرح (1 ) من (q (x) = 2r (x + 1) text <> ) هذا بالطبع هو تحول رأسي من (- 1 ) وحدة ، وينتج الرسم البياني لـ (م ) الموضح باللون الأحمر في الشكل 1.8.16. يمكننا أيضًا تتبع النقطة ((2 ، -1) ) في الوظيفة الأصلية الأصلية: يتحرك أولاً يسار (1 ) وحدة إلى ((1 ، -1) نص <،> ) ثم يتمدد عموديًا بواسطة عامل (2 ) بعيدًا عن (س ) - المحور إلى ((1 ، -2) نص <،> ) وأخيراً يتم إزاحته (1 ) لأسفل إلى النقطة ((1، -3) text <،> ) التي نراها في الرسم البياني (m text <.> )

في حين أن هناك بعض التحولات التي يمكن تنفيذها بأي من الترتيبين (مثل مزيج من الترجمة الأفقية والترجمة الرأسية ، كما هو موضح في الجزء (ب) من النشاط 1.8.2) ، في حالات أخرى يكون الترتيب مهمًا. على سبيل المثال ، في مناقشتنا السابقة ، علينا تطبيق الامتداد الرأسي قبل تطبيق التحول العمودي. جبريًا ، هذا بسبب

تضاعف الكمية (2r (x + 1) - 1 ) الدالة (r (x + 1) ) في (2 ) أولاً (الامتداد) ثم يتبع التحول الرأسي الكمية (2 [ r (x + 1) - 1] ) ينقل الدالة (r (x + 1) ) لأسفل (1 ) الوحدة أولاً ، ثم ينفذ امتدادًا رأسيًا بمعامل (2 text <. > ) في السيناريو الأخير ، يتم تحويل النقطة ((1 ، -1) ) الموجودة على (r (x + 1) ) أولاً إلى ((1 ، -2) ) ثم إلى ((1، -4) text <،> ) التي تختلف عن النقطة ((1، -3) ) التي تقع على (m (x) = 2r (x + 1) - 1 نص <.> )

النشاط 1.8.4.

ضع في اعتبارك الدالتين (f ) و (g ) الواردين في الشكل 1.8.17 والشكل 1.8.18.

ارسم رسمًا بيانيًا دقيقًا للتحول (y = p (x) = - frac <1> <2> f (x-1) +2 text <.> ) اكتب جملة واحدة على الأقل لشرح كيف تطورت الرسم البياني لـ (p text <،> ) وحدد النقطة الموجودة على (p ) التي تتوافق مع النقطة الأصلية ((- 2،2) ) على الرسم البياني لـ (f text <. > )

ارسم رسمًا بيانيًا دقيقًا للتحويل (y = q (x) = 2g (x + 0.5) -0.75 text <.> ) اكتب جملة واحدة على الأقل لشرح كيفية تطوير الرسم البياني لـ (p text < ،> ) وحدد النقطة الموجودة على (q ) التي تتوافق مع النقطة الأصلية ((1.5،1.5) ) على الرسم البياني لـ (g text <.> )

هل الوظيفة (y = r (x) = frac <1> <2> (-f (x-1) - 4) ) هي نفس وظيفة (p ) أم مختلفة؟ لماذا ا؟ اشرح بطريقتين مختلفتين: ناقش أوجه التشابه والاختلاف الجبرية بين (p ) و (r text <،> ) وناقش أيضًا كيف يمثل كل منهما تحويلًا لـ (f text <.> )

ابحث عن صيغة لدالة (y = s (x) ) (من حيث (g )) التي تمثل هذا التحول لـ (g text <:> ) تحول أفقي لـ (1.25 ) يسارًا ، متبوعًا بانعكاس عبر المحور (س ) - وامتداد رأسي بمعامل (2.5 ) وحدة ، متبوعًا بإزاحة رأسية بمقدار (1.75 ) وحدة. ارسم رسمًا بيانيًا دقيقًا معنونًا لـ (ق ) على المحاور التالية جنبًا إلى جنب مع الوظيفة الأصلية المحددة (g text <.> )

ملخص القسم الفرعي 1.8.4

الرسم البياني لـ (y = g (x) = af (x-b) + c ) مرتبط بالرسم البياني (y = f (x) ) بسلسلة من التحولات. أولاً ، يوجد إزاحة أفقية لوحدات (| b | ) إلى اليمين ( (b gt 0 )) أو اليسار ( (b lt 0 )). بعد ذلك ، يوجد امتداد رأسي بمعامل (| a | ) (جنبًا إلى جنب مع انعكاس عبر (y = 0 ) في الحالة حيث (a lt 0 )). أخيرًا ، هناك تحول رأسي لوحدات (ج ).

إن تحويل وظيفة معينة (f ) هو عملية يمكن من خلالها إزاحة الرسم البياني أو تمديده لتوليد وظيفة جديدة ذات صلة بنفس الشكل بشكل أساسي. في هذا القسم نظرنا في أربع طرق مختلفة يمكن أن يحدث ذلك: من خلال ترجمة أفقية (إزاحة) ، من خلال انعكاس عبر الخط (ص = 0 ) (المحور (س )) ، من خلال مقياس رأسي (امتداد ) الذي يضاعف كل ناتج لدالة ما بنفس الثابت ، ومن خلال ترجمة رأسية (إزاحة). كل من هذه العمليات الفردية هي في حد ذاتها تحول ، ويمكن دمجها بطرق مختلفة لخلق تحولات أكثر تعقيدًا.


3.5: تحويل الوظائف

بالعودة إلى حساب التفاضل والتكامل ، كان لدينا قاعدة التعويض التي أخبرتنا بذلك ،

من حيث الجوهر ، هذا هو أخذ جزء لا يتجزأ من حيث (س ) وتغييره إلى مصطلحات (ش ). نريد أن نفعل شيئًا مشابهًا للتكاملات المزدوجة والثلاثية. في الواقع لقد قمنا بهذا بالفعل إلى حد معين عندما قمنا بتحويل التكاملات المزدوجة إلى إحداثيات قطبية وعندما قمنا بتحويل التكاملات الثلاثية إلى إحداثيات أسطوانية أو كروية. الاختلاف الرئيسي هو أننا لم نراجع في الواقع تفاصيل من أين أتت الصيغ. إذا كنت تتذكر ، فقد علقنا في كل من هذه الحالات على أننا سنبرر الصيغ لـ (dA ) و (dV ) في النهاية. حان الوقت الآن للقيام بهذا التبرير.

بينما غالبًا ما يكون سبب تغيير المتغيرات هو جعلنا جزءًا لا يتجزأ من المتغيرات الجديدة ، إلا أن هناك سببًا آخر لتغيير المتغيرات وهو تحويل المنطقة إلى منطقة أفضل للعمل بها. عندما كنا نقوم بتحويل الإحداثيات القطبية أو الأسطوانية أو الكروية ، لم نقلق بشأن هذا التغيير لأنه كان من السهل تحديد الحدود الجديدة بناءً على المنطقة المحددة. هذا ليس هو الحال دائما مع ذلك. لذا ، قبل أن ننتقل إلى المتغيرات المتغيرة ذات التكاملات المتعددة ، نحتاج أولاً إلى معرفة كيف يمكن أن تتغير المنطقة مع تغيير المتغيرات.

أولاً ، نحتاج إلى القليل من المصطلحات / الرموز بعيدًا عن الطريق. نسمي المعادلات التي تحدد تغيير المتغيرات أ تحويل. أيضًا ، سنبدأ عادةً بمنطقة ، (R ) ، في (س ص ) - إحداثيات وتحويلها إلى منطقة في الإحداثيات.

  1. (R ) هو القطع الناقص ( + فارك <<>> <<36>> = 1 ) والتحول هو (x = frac<2> ) ، (y = 3v ).
  2. (R ) هي المنطقة التي يحدها (y = - x + 4 ) ، (y = x + 1 ) ، و ( displaystyle y = frac<3> - frac <4> <3> ) والتحول هو ( displaystyle x = frac <1> <2> left ( right))، (displaystyle y = frac <1> <2> left ( حق)).

ليس هناك الكثير لتفعله مع هذا بخلاف توصيل التحويل إلى معادلة القطع الناقص ومعرفة ما نحصل عليه.

لذلك ، بدأنا بقطع ناقص وبعد التحويل أصبح لدينا قرص نصف قطره 2.

كما هو الحال مع الجزء الأول ، سنحتاج إلى إدخال التحويل في المعادلة ، ومع ذلك ، في هذه الحالة ، سنحتاج إلى القيام بذلك ثلاث مرات ، مرة واحدة لكل معادلة. قبل أن نفعل ذلك ، دعنا نرسم الرسم البياني للمنطقة ونرى ما لدينا.

إذن ، لدينا مثلث. الآن ، دعنا نمر بالتحول. سنطبق التحويل على كل حافة في المثلث ونرى أين سنصل.

لنفعل (y = - x + 4 ) أولاً. توصيل التحول يعطي ،

[يبدأ فارك <1> <2> يسار ( right) & = - frac <1> <2> يسار ( right) + 4 u - v & = - u - v + 8 2u & = 8 u & = 4 end]

يتحول الحد الأول بشكل جيد للغاية إلى معادلة أبسط بكثير.

الآن دعونا نلقي نظرة على (y = x + 1 ) ،

[يبدأ فارك <1> <2> يسار ( right) & = frac <1> <2> اليسار ( يمين) + 1 u - v & = u + v + 2 - 2v & = 2 v & = - 1 end]

مرة أخرى ، معادلة أجمل بكثير من تلك التي بدأنا بها.

أخيرًا ، لنحول (y = frac <3> - فارك <4> <3> ).

[يبدأ فارك <1> <2> يسار ( right) & = frac <1> <3> left ( <2> left ( right)> right) - frac <4> <3> 3u - 3v & = u + v - 8 4v & = 2u + 8 v & = frac <2> + 2 النهاية]

لذا ، مرة أخرى ، حصلنا على معادلة أبسط نوعًا ما ، على الرغم من أنها ليست جميلة مثل المعادلتين الأوليين.

دعونا نلقي نظرة على المنطقة الجديدة التي نمر بها تحت التحول.

ما زلنا نحصل على مثلث ، لكنه أجمل بكثير.

لاحظ أنه لا يمكننا دائمًا توقع تحويل نوع معين من المنطقة (مثلث على سبيل المثال) إلى نفس النوع من المنطقة. من الممكن تمامًا تحويل المثلث إلى منطقة تكون فيها كل حواف منحنية ولا تشبه بأي حال من الأحوال مثلثًا.

لاحظ أنه في كل من الأمثلة المذكورة أعلاه ، أخذنا منطقة ثنائية الأبعاد كان من الصعب إلى حد ما دمجها وتحويلها إلى منطقة ستكون أفضل بكثير من حيث التكامل. كما لاحظنا في بداية هذه المجموعة من الأمثلة ، غالبًا ما تكون هذه إحدى النقاط الكامنة وراء التحول. بالإضافة إلى تحويل التكامل إلى شيء أبسط ، فإنه غالبًا ما يحول المنطقة أيضًا إلى منطقة يسهل التعامل معها.

قبل الشروع في الموضوع التالي ، دعونا نتناول نقطة أخرى. في بعض الأحيان ، سنحتاج أيضًا إلى معرفة نطاق (u ) و / أو (v ) لكل من المعادلات الجديدة التي نحصل عليها من التحويل. لم نكن بحاجة إلى ذلك في المثالين أعلاه ، وهو ليس شيئًا سنحتاجه كثيرًا. ومع ذلك ، يمكن أن يساعد في بعض الأحيان في تحديد المنطقة الجديدة.

لذا ، فلنعمل على مثال سريع لنرى كيف نفعل ذلك.

حسنًا ، نحن نعلم بالفعل كيف تبدو المنطقة الجديدة وما هي المعادلات الجديدة من المثال السابق. إذن ، إليك مراجعة سريعة لتحول كل من المعادلات الأصلية.

ها هي المنطقة الجديدة التي نمر بها تحت التحول.

لاحظ أنه في هذه الحالة ، يمكننا تحديد نطاق (u ) و (v ) لكل معادلة من المخطط أعلاه. ومع ذلك ، في الحالات التي قد نحتاج فيها فعليًا إلى النطاقات التي لا تكون عادةً خيارًا لأننا نحتاج غالبًا إلى نطاقات (u ) و / أو (v ) للحصول على رسم تخطيطي دقيق للمنطقة الجديدة.

لذا ، فلنبدأ الآن في حل المشكلة.

لنبدأ بالمعادلة (u = 4 ). أولاً ، لا نحتاج إلى "نطاق" من (u ) "هنا لأن المعادلة توضح تمامًا أن لدينا قيمة واحدة لـ (u ) ، وهي (u = 4 ). لذلك ، دعونا نحدد نطاق (v ) الذي يجب أن نحصل عليه.

لنبدأ بالتحويل (x ) وقم بتوصيل القيمة المعروفة لـ (u ) لهذه المعادلة. ذلك يعطي،

الآن ، نحن نعلم أن نطاق (x ) للمعادلة الأصلية ، (y = - x + 4 ) ، هو ( frac <3> <2> le x le 4 ) . نعلم أيضًا من فوق ما هو (x ) من حيث (v ) ، لذا قم بتوصيل ذلك في هذا النطاق وقم ببعض التلاعب على النحو التالي ،

[يبدأdisplaystyle frac <3> <2> le x le 4 displaystyle frac <3> <2> le frac <1> <2> left (<4 + v> right) لو 4 3 le 4 + v le 8 - 1 le v le 4 end]

لذلك ، يجب أن يكون نطاق (v ) لـ (u = 4 ) (- 1 le v le 4 ) ، والذي يتطابق تمامًا مع ما نتوقعه من الرسم البياني للمنطقة الجديدة .

لاحظ أنه يمكننا بسهولة استخدام نطاق (y ) التحويل و (y ) للمعادلة الأصلية والحصول على نفس النتيجة.

حسنًا ، دعنا ننتقل الآن إلى (v = - 1 ) ولن نقدم الكثير من الشرح لهذا الجزء.

أولاً ، لا نحتاج إلى نطاق من (v ) لهذا لأنه من الواضح أن لدينا قيمة واحدة فقط لـ (v ). لذلك ، للحصول على نطاق (u ) لنبدأ مرة أخرى بالتحول (x ) ، قم بتوصيل (v = - 1 ) في ذلك ثم استخدم نطاق (x ) من المعادلة الأصلية (ص = س + 1 ).

[يبدأdisplaystyle - frac <7> <2> le x le frac <3> <2> displaystyle - frac <7> <2> le frac <1> <2> left ( right) le frac <3> <2> - 7 le u - 1 le 3 - 6 le u le 4 end]

لذا ، فإن نطاق (u ) لـ (v = - 1 ) هو (- 6 le u le 4 ) والذي ، مرة أخرى ، يتطابق مع ما نراه على الرسم البياني. لاحظ أيضًا أنه مرة أخرى ، كان بإمكاننا استخدام نطاقات (y ) للقيام بهذا العمل.

أخيرًا ، دعنا نجد نطاق (u ) و (v ) لـ (v = frac <2> + 2 ). هذه المرة ، دعونا نستخدم التحويل (y ) حتى نتمكن من القول إننا استخدمنا ذلك في أحد هذه. لذلك ، سنبدأ بمدى (y ) 's للمعادلة الأصلية ، (y = frac <3> - frac <4> <3> ) ، قم بتوصيل تحويل (y ) ثم قم بالتوصيل لـ (v ). القيام بهذا يعطي ،

[يبدأ displaystyle - frac <5> <2> le y le 0 displaystyle - frac <5> <2> le frac <1> <2> left ( <2> + 2> right)> right) le 0 displaystyle - 5 le frac <2> - 2 le 0 displaystyle - 3 le frac <2> le 2 - 6 le u le 4 end]

لذا ، مرة أخرى نحصل على نطاق (u ) الذي نتوقع الحصول عليه من الرسم البياني. بمجرد أن نحصل على هذه ، يمكن العثور على النطاق المناسب لـ (v ) من المعادلة نفسها على النحو التالي ،

[يبدأ displaystyle - 6 le u le 4 - 3 le frac <2> le 2 displaystyle - 1 le frac <2> + 2 le 4 - 1 le v le 4 end]

بشكل أساسي ، ابدأ بمدى (u ) 's و "قم ببناء" معادلة الجانب ونحصل على نطاق (v ) لهذا الجانب.

لذلك ، نحن نعرف الآن كيفية الحصول على نطاقات (u ) و / أو (v ) للمعادلات الجديدة تحت التحويل. ومع ذلك ، هذا ليس شيئًا يتم إجراؤه كثيرًا ولكنه مهارة مفيدة في حالة ظهوره في مكان ما.

الآن وقد رأينا بعض الأمثلة على تحويل المناطق ، نحتاج الآن إلى التحدث عن كيفية قيامنا بالفعل بتغيير المتغيرات في التكامل. سنبدأ بتكاملات مزدوجة. لتغيير المتغيرات في تكامل مزدوج ، سنحتاج إلى يعقوبي من التحول. هنا تعريف اليعقوبي.

تعريف

ال يعقوبي من التحول (س = ز يسار ( يمين) ) (ص = ح يسار ( right) ) هو

يتم تعريف اليعقوبي كمحدد لمصفوفة 2 × 2 ، إذا لم تكن معتادًا على ذلك ، فلا بأس بذلك. إليك كيفية حساب المحدد.

لذلك ، هناك صيغة أخرى للمُحدد ،

الآن بعد أن أصبح لدينا اليعقوبي بعيدًا عن الطريقة ، يمكننا إعطاء صيغة تغيير المتغيرات للتكامل المزدوج.

تغيير المتغيرات للتكامل المزدوج

افترض أننا نريد دمج (f left ( يمين) ) فوق المنطقة (ص ). تحت التحول (س = ز يسار ( يمين) ) (ص = ح يسار ( right) ) تصبح المنطقة (S ) ويصبح التكامل ،

لاحظ أيضًا أننا نأخذ القيمة المطلقة ليعقوبي.

إذا نظرنا فقط إلى الفروق في الصيغة أعلاه ، فيمكننا أيضًا قول ذلك

إذن ، ما نفعله هنا هو تبرير الصيغة التي استخدمناها عندما كنا نتكامل فيما يتعلق بالإحداثيات القطبية. كل ما علينا فعله هو استخدام الصيغة أعلاه لـ (dA ).

التحول هنا هو صيغ التحويل القياسية ،

[x = r cos theta hspace <0.25in> hspace <0.25in> y = r sin theta ]

اليعقوبي لهذا التحول هو ،

إذن ، الصيغة التي استخدمناها في قسم التكاملات القطبية كانت صحيحة.

الآن ، لنقم ببعض التكاملات.

أولاً ، دعنا نرسم المنطقة (R ) ونحدد المعادلات لكل جانب.

تم إيجاد كل من المعادلات باستخدام حقيقة أننا نعرف نقطتين في كل سطر (بمعنى آخر. النقطتان اللتان تشكلان الحافة).

بينما يمكننا القيام بهذا التكامل من حيث (x ) و (y ) فإنه سيتضمن تكاملتين وكذلك بعض العمل.

دعونا نستخدم التحول ونرى ما نحصل عليه. سنفعل ذلك عن طريق إدخال التحويل في كل من المعادلات أعلاه.

لنبدأ العملية بـ (y = x ).

[يبدأ2u - 3v & = 2u + 3v 6v & = 0 v & = 0 end]

التحويل (y = - x ) مشابه.

[يبدأ2u - 3v & = - left (<2u + 3v> right) 4u & = 0 u & = 0 end]

بعد ذلك ، سنحول (y = - x + 5 ).

[يبدأ2u - 3v & = - left (<2u + 3v> right) + 5 4u & = 5 u & = frac <5> <4> end]

أخيرًا ، دعنا نحول (y = x - 5 ).

[يبدأ2u - 3v & = 2u + 3v - 5 - 6v & = - 5 v & = frac <5> <6> end]

المنطقة (S ) هي إذن مستطيل يتم إعطاء جوانبه بواسطة (u = 0 ) ، (v = 0 ) ، (u = frac <5> <4> ) و (v = frac <5> <6> ) وبالتالي فإن نطاقات (u ) و (v ) هي ،

[0 le u le frac <5> <4> hspace <0.25in> hspace <0.25in> 0 le v le frac <5> <6> ]

بعد ذلك ، نحتاج إلى اليعاقبة.

قبل أن نمضي قدما في هذه المشكلة. لنرسم رسمًا بيانيًا سريعًا لحدود المنطقة (R ). لقد زعمنا أنه قطع ناقص ، ولكن من الواضح أنه ليس في شكل "قياسي". هنا حدود (R ).

لذا ، فهو شكل بيضاوي ، مجرد شكل بزاوية بدلاً من متماثل حول المحور (س ) و (ص ) - كما اعتدنا على التعامل معه.

لاحظ أيضًا أننا استخدمنا " ( le 2 )" عند "تعريف" (R ) لتوضيح أننا نستخدم كلًا من القطع الناقص الفعلي نفسه وكذلك الجزء الداخلي من القطع الناقص لـ (R ).

حسنًا ، دعنا نتابع المشكلة.

أول شيء يجب فعله هو إدخال التحويل في معادلة القطع الناقص لمعرفة ما تتحول إليه المنطقة.

أو عند القسمة على 2 نرى أن المعادلة التي تصف (R ) تتحول إلى

أو دائرة الوحدة. مرة أخرى ، سيكون دمج هذا أسهل بكثير من التكامل مع المنطقة الأصلية.

لاحظ أيضًا أننا أظهرنا أن الوظيفة التي ندمجها هي

من حيث (u ) و (v ) لذلك لن نضطر إلى إعادة هذا العمل عندما يحين وقت إجراء التكامل.

أخيرًا ، علينا إيجاد اليعقوبي.

قبل الشروع في كلمة تحذير في محله. لا ترتكب خطأ استبدال ( - س ص + = 2 ) أو ( + = 1 ) في للتكامل. هذه المعادلات صالحة فقط على حدود المنطقة ونحن ننظر في جميع النقاط الداخلية للحدود أيضًا ولهذه النقاط لن تكون أي من هذه المعادلات صحيحة!

في هذه المرحلة سوف نلاحظ أن هذا التكامل سيكون أسهل بكثير من حيث الإحداثيات القطبية ، وبالتالي لإنهاء التكامل الخارجي سوف يتحول إلى إحداثيات قطبية.

دعنا الآن نلقي نظرة سريعة على التكاملات الثلاثية. في هذه الحالة ، سنبدأ مرة أخرى بمنطقة (R ) ونستخدم التحويل (س = ز يسار ( يمين) ) (ص = ح يسار ( يمين) ) و (ض = ك يسار ( يمين) ) لتحويل المنطقة إلى منطقة جديدة (S ). للقيام بالتكامل ، سنحتاج إلى Jacobian ، تمامًا كما فعلنا مع التكاملات المزدوجة. هنا تعريف اليعقوبي لهذا النوع من التحول.

في هذه الحالة ، يتم تعريف اليعقوبي من حيث محدد مصفوفة 3 × 3. رأينا كيفية تقييم هذه القيم عندما نظرنا إلى الضربات العرضية في حساب التفاضل والتكامل II. إذا كنت بحاجة إلى تجديد معلومات حول كيفية حسابها ، فيجب عليك الرجوع ومراجعة هذا القسم.

جزء لا يتجزأ من هذا التحول هو ،

كما هو الحال مع التكاملات المزدوجة ، استخدمنا (d overline) في (u ) / (v ) / (w ) أعلاه لتذكير أنفسنا بأننا سنحتاج إلى استخدام (du ) و (dv ) و (dw ) عندما التحويل إلى تكاملات فردية. مرة أخرى ، هذا مجرد تدوين وعادة ما يتم كتابته كـ (dV ) فقط.

يمكننا أن ننظر فقط إلى الفروق ونلاحظ أنه يجب أن يكون لدينا

لن نقوم بأي تكاملات هنا ، لكن دعنا نتحقق من صيغة (dV ) للإحداثيات الكروية.

هنا التحويل هو مجرد صيغ التحويل القياسية.

[x = rho sin varphi cos theta hspace <0.25in> y = rho sin varphi sin theta hspace <0.25in> z = rho cos varphi ]

[dV = يسار | <- < rho ^ 2> sin varphi> right | ، d rho ، d theta ، d varphi = < rho ^ 2> sin varphi ، d rho ، d ثيتا ، د فارفي ]

تذكر أننا قيدنا ( varphi ) بالنطاق (0 le varphi le pi ) للإحداثيات الكروية ولذا فنحن نعرف ذلك ( sin varphi ge 0 ) ولذا فنحن لا نفعل " ر بحاجة إلى أشرطة القيمة المطلقة على الجيب.

سنترك الأمر لك للتحقق من صيغة (dV ) للإحداثيات الأسطوانية إذا كنت ترغب في ذلك. إنها معادلة أسهل بكثير للتحقق منها.


§3.5 (x) صيغ التكعيب

يوفر الجدول 3.5.21 قواعد التكعيب ، بما في ذلك الأوزان w j للقرص D ، معطى من خلال x 2 + y 2 ≤ h 2:

والمربع S مُعطى بواسطة | x | ≤ ح ، | ذ | ≤ ح:

للحصول على هذه النتائج ومزيد من المعلومات حول صيغ التكعيب ، انظر Cools (2003).

للتكاملات ذات الأبعاد الأعلى ، طرق مونت كارلو هي البديل الآخر - غالبًا - البديل. تقوم طريقة مونت كارلو القياسية بأخذ عينات النقاط بشكل موحد من منطقة التكامل لتقدير التكامل وخطأه. في الأساليب الأكثر تقدمًا ، يتم أخذ عينات من النقاط من توزيع الاحتمالات ، بحيث تتركز في المناطق التي تقدم أكبر مساهمة في التكامل. مع قيم دالة N ، تهدف طريقة مونت كارلو إلى حدوث خطأ في الترتيب 1 / N ، بصرف النظر عن بُعد مجال التكامل. انظر ديفيس ورابينوفيتش (1984 ، ص 384-417) وشورير (2004).


شاهد الفيديو: Graad 10: Funksies (شهر اكتوبر 2021).