مقالات

3.2: المجال والمدى - الرياضيات


أهداف التعلم

  • أوجد مجال الدالة المحددة بواسطة المعادلة.
  • رسم بيانيًا للوظائف المُعرَّفة متعددة التعريف.

إذا كنت في حالة مزاجية لفيلم مخيف ، فقد ترغب في مشاهدة واحد من أشهر خمسة أفلام رعب على الإطلاق - أنا Legend و Hannibal و The Ring و The Grudge و The Conjuring. يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) المبلغ الذي تم تحقيقه بالدولار لكل فيلم من تلك الأفلام عند إصدارها بالإضافة إلى مبيعات تذاكر أفلام الرعب بشكل عام حسب السنة. لاحظ أنه يمكننا استخدام البيانات لإنشاء دالة للمبلغ الذي حصل عليه كل فيلم أو إجمالي مبيعات التذاكر لجميع أفلام الرعب حسب السنة. عند إنشاء وظائف مختلفة باستخدام البيانات ، يمكننا تحديد مختلف المتغيرات المستقلة والتابعة ، ويمكننا تحليل البيانات والوظائف لتحديد المجال والمدى. في هذا القسم ، سنبحث في طرق تحديد المجال ونطاق الوظائف مثل هذه.

إيجاد مجال دالة معرّفة بواسطة معادلة

في الدالات وترميز الوظيفة ، تعرفنا على مفاهيم المجال والمدى. في هذا القسم ، سنتدرب على تحديد المجالات والنطاقات لوظائف محددة. ضع في اعتبارك أنه عند تحديد المجالات والنطاقات ، نحتاج إلى النظر في ما هو ممكن ماديًا أو ذا مغزى في أمثلة العالم الحقيقي ، مثل مبيعات التذاكر والسنة في مثال فيلم الرعب أعلاه. نحتاج أيضًا إلى التفكير في ما هو مسموح به رياضيًا. على سبيل المثال ، لا يمكننا تضمين أي قيمة إدخال تقودنا إلى أخذ جذر زوجي لرقم سالب إذا كان المجال والنطاق يتكونان من أرقام حقيقية. أو في دالة يتم التعبير عنها كصيغة ، لا يمكننا تضمين أي قيمة إدخال في المجال من شأنها أن تقودنا إلى القسمة على 0.

يمكننا تصور المجال على أنه "منطقة احتجاز" تحتوي على "مواد خام" لـ "آلة وظيفية" والنطاق باعتباره "منطقة احتجاز" أخرى لمنتجات الجهاز (الشكل ( PageIndex {2} )).

يمكننا كتابة المجال والمدى في تدوين الفاصل، والذي يستخدم القيم الموجودة بين قوسين لوصف مجموعة من الأرقام. في تدوين الفاصل الزمني ، نستخدم قوسًا مربعًا [عندما تتضمن المجموعة نقطة النهاية وقوسًا (للإشارة إلى أن نقطة النهاية إما غير مضمنة أو أن الفاصل الزمني غير محدود. على سبيل المثال ، إذا كان لدى الشخص 100 دولار أمريكي لإنفاقها ، فسيقوم بحاجة إلى التعبير عن الفترة الزمنية التي تزيد عن 0 وأقل من أو تساوي 100 وكتابة ( left (0، 100 right] ). سنناقش تدوين الفاصل بمزيد من التفصيل لاحقًا.

دعنا نوجه انتباهنا إلى إيجاد مجال الوظيفة التي يتم توفير معادلتها. في كثير من الأحيان ، يتضمن العثور على مجال مثل هذه الوظائف تذكر ثلاثة أشكال مختلفة. أولًا ، إذا لم يكن للدالة مقام أو جذر زوجي ، فكر فيما إذا كان المجال يمكن أن يكون جميع الأعداد الحقيقية. ثانيًا ، إذا كان هناك مقام في معادلة الدالة ، فاستبعد القيم في المجال التي تجبر المقام على أن يكون صفراً. ثالثًا ، إذا كان هناك جذر زوجي ، ففكر في استبعاد القيم التي من شأنها أن تجعل الجذر سالبًا.

قبل أن نبدأ ، دعونا نراجع اصطلاحات تدوين الفاصل الزمني:

  • يتم كتابة أصغر حد من الفترة الزمنية أولاً.
  • يُكتب المصطلح الأكبر في الفترة الزمنية ثانيًا بعد الفاصلة.
  • يتم استخدام الأقواس ، (() أو () ) ، للإشارة إلى عدم تضمين نقطة النهاية ، تسمى حصرية.
  • تستخدم الأقواس ، ([) أو (] ) ، للإشارة إلى تضمين نقطة نهاية ، تسمى شاملة.

راجع الشكل ( PageIndex {3} ) للحصول على ملخص لتدوين الفاصل الزمني.

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن مجال الوظيفة كمجموعة من الأزواج المرتبة

ابحث عن مجال الوظيفة التالية: ( {(2 ، 10) ، (3 ، 10) ، (4 ، 20) ، (5 ، 30) ، (6 ، 40) } ).

حل

حدد أولاً قيم الإدخال. قيمة الإدخال هي الإحداثي الأول في زوج مرتب. لا توجد قيود ، حيث يتم سرد الأزواج المطلوبة ببساطة. المجال هو مجموعة الإحداثيات الأولى للأزواج المرتبة.

[ {2،3،4،5،6 } nonumber ]

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مجال الوظيفة:

[ {(- 5،4)، (0،0)، (5، −4)، (10، −8)، (15، −12) } nonumber ]

إجابه

({−5, 0, 5, 10, 15})

الكيفية: بالنظر إلى دالة مكتوبة في شكل معادلة ، ابحث عن المجال.

  1. حدد قيم الإدخال.
  2. حدد أي قيود على الإدخال واستبعد تلك القيم من المجال.
  3. اكتب المجال في شكل فاصل ، إن أمكن.

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن مجال الوظيفة

أوجد مجال الوظيفة (f (x) = x ^ 2−1 ).

حل

قيمة الإدخال ، التي يظهرها المتغير x في المعادلة ، تربيع ثم يتم تخفيض النتيجة بمقدار واحد. يمكن تربيع أي رقم حقيقي ثم خفضه بمقدار واحد ، لذلك لا توجد قيود على مجال هذه الوظيفة. المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

في شكل فاصل ، مجال f هو ((- infty ، infty) ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد مجال الوظيفة:

[f (x) = 5 x + x ^ 3 nonumber ]

إجابه

((- infty، infty) )

Howto: إعطاء دالة مكتوبة في صيغة معادلة تتضمن كسرًا ، أوجد المجال

  1. حدد قيم الإدخال.
  2. حدد أي قيود على الإدخال. إذا كان هناك مقام في صيغة الدالة ، فاضبط المقام بالصفر وحل من أجل x. إذا كانت صيغة الدالة تحتوي على جذر زوجي ، فاضبط الجذر وقيمة أكبر من أو تساوي 0 ، ثم حلها.
  3. اكتب المجال في شكل فاصل ، مع التأكد من استبعاد أي قيم مقيدة من المجال.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد مجال دالة تتضمن مقامًا

أوجد مجال الوظيفة (f (x) = dfrac {x + 1} {2 − x} ).

حل

عندما يكون هناك مقام ، نريد تضمين قيم المدخلات فقط التي لا تجبر المقام على أن يكون صفراً. إذن ، سنساوي المقام بـ 0 ونحل من أجل x.

[ start {align *} 2 − x = 0 [4pt] −x & = - 2 [4pt] x & = 2 end {align *} ]

الآن ، سوف نستبعد 2 من المجال. الإجابات كلها أرقام حقيقية حيث (x <2 ) أو (x> 2 ). يمكننا استخدام رمز يعرف بالاتحاد ، ( كوب ) ، لدمج المجموعتين. في تدوين الفاصل ، نكتب الحل: ((- infty، 2) ∪ (2، infty) ).

في شكل فاصل ، مجال f هو ((- infty ، 2) كوب (2 ، infty) ).

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد مجال الوظيفة:

[f (x) = dfrac {1 + 4x} {2x − 1} nonumber ]

إجابه

[(- infty، dfrac {1} {2}) كوب ( dfrac {1} {2}، infty) nonumber ]

الكيفية: بالنظر إلى دالة مكتوبة في شكل معادلة تتضمن جذرًا زوجيًا ، ابحث عن المجال.

  1. حدد قيم الإدخال.
  2. نظرًا لوجود جذر زوجي ، استبعد أي أعداد حقيقية ينتج عنها عدد سالب في الجذر. ضع الجذر على أو يساوي صفرًا وحل من أجل x.
  3. الحل (الحلول) هي مجال الوظيفة. إذا أمكن ، اكتب الإجابة في شكل فاصل.

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد مجال دالة ذات جذر زوجي

أوجد مجال الوظيفة:

[f (x) = sqrt {7-x} nonumber. ]

حل

عندما يكون هناك جذر زوجي في الصيغة ، فإننا نستبعد أي أعداد حقيقية ينتج عنها عدد سالب في الجذر.

ضع الجذر على أو يساوي صفرًا وحل من أجل x.

[ begin {align *} 7 − x & ≥0 [4pt] −x & ≥ − 7 [4pt] x & ≤7 end {align *} ]

الآن ، سوف نستبعد أي رقم أكبر من 7 من المجال. الإجابات كلها أرقام حقيقية أصغر من أو تساوي 7 ، أو ( يسار (- infty ، 7 يمين] ).

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد مجال الوظيفة

[f (x) = sqrt {5 + 2x}. لا يوجد رقم]

إجابه

[ يسار [−2.5، infty right) nonumber ]

سؤال وجواب: هل يمكن أن توجد دالات لا يتقاطع فيها المجال والنطاق على الإطلاق؟

نعم. على سبيل المثال ، الوظيفة (f (x) = - dfrac {1} { sqrt {x}} ) لديها مجموعة من جميع الأعداد الحقيقية الموجبة كمجال لها ولكن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية السلبية هي نطاقها. كمثال أكثر تطرفًا ، يمكن أن تكون مدخلات ومخرجات الوظيفة فئات مختلفة تمامًا (على سبيل المثال ، أسماء أيام الأسبوع كمدخلات وأرقام كمخرجات ، كما هو الحال في مخطط الحضور) ، في مثل هذه الحالات ، لا يوجد بين النطاق والنطاق عناصر مشتركة.

استخدام الترميز لتحديد المجال والمدى

في الأمثلة السابقة ، استخدمنا عدم المساواة والقوائم لوصف مجال الوظائف. يمكننا أيضًا استخدام عدم المساواة ، أو غيرها من العبارات التي قد تحدد مجموعات من القيم أو البيانات ، لوصف سلوك المتغير في تدوين منشئ المجموعات. على سبيل المثال ، يصف ( {x | 10≤x <30 } ) سلوك x في طريقة إنشاء المجموعة. تتم قراءة الأقواس ( {} ) على أنها "مجموعة من" ، ويقرأ الشريط العمودي (| ) على أنه "مثل ذلك" ، لذلك نقرأ ( {x | 10≤x < 30 } ) مثل "مجموعة قيم x مثل 10 أصغر من أو يساوي x ، و x أقل من 30."

يقارن الشكل ( PageIndex {4} ) تدوين عدم المساواة وترميز منشئ المجموعات وتدوين الفاصل الزمني.


لدمج فترتين باستخدام تدوين عدم المساواة أو تدوين مجموعة البناء ، نستخدم كلمة "أو." كما رأينا في الأمثلة السابقة ، نستخدم رمز الاتحاد ( كوب ) للجمع بين فترتين غير متصلين. على سبيل المثال ، اتحاد المجموعات ( {2،3،5 } ) و ( {4،6 } ) هو المجموعة ( {2،3،4،5،6 ) } ). إنها مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى واحدة أو أخرى (أو كليهما) من المجموعتين الأصليتين. بالنسبة للمجموعات التي تحتوي على عدد محدود من العناصر مثل هذه ، لا يلزم إدراج العناصر بترتيب تصاعدي للقيمة العددية. إذا كانت المجموعتان الأصليتان تشتركان في بعض العناصر ، فيجب إدراج هذه العناصر مرة واحدة فقط في المجموعة الموحدة. بالنسبة لمجموعات الأعداد الحقيقية على فترات ، هناك مثال آخر على الاتحاد

[ {x | | x | ≥3 } = left (- infty، −3 right] cup left [3، infty right) ]

تدوين Set-Builder وتدوين الفاصل الزمني

تعيين تدوين منشئ هي طريقة لتحديد مجموعة من العناصر التي تفي بشرط معين. يأخذ الشكل ( {x | text {بيان حول x} } ) والذي يُقرأ كـ "مجموعة كل x بحيث تكون العبارة المتعلقة بـ x صحيحة". على سبيل المثال،

[ {x | 4

تدوين الفترة هي طريقة لوصف المجموعات التي تتضمن جميع الأرقام الحقيقية الواقعة بين حد أدنى قد يتم تضمينه أو لا يتم تضمينه والحد الأعلى الذي قد يتم تضمينه أو لا يتم تضمينه. يتم سرد قيم نقطة النهاية بين قوسين أو أقواس. يشير القوس المربع إلى التضمين في المجموعة ، ويشير القوس إلى الاستبعاد من المجموعة. على سبيل المثال،

[ يسار (4،12 يمين] غير رقم ]

إعطاء رسم بياني خطي ، صِف مجموعة القيم باستخدام تدوين الفاصل الزمني.

  1. حدد الفواصل الزمنية التي سيتم تضمينها في المجموعة عن طريق تحديد مكان تراكب الخط الثقيل مع الخط الحقيقي.
  2. في الطرف الأيسر من كل فترة زمنية ، استخدم [مع كل قيمة نهائية يتم تضمينها في المجموعة (نقطة صلبة) أو (لكل قيمة نهاية مستبعدة (نقطة مفتوحة).
  3. في الطرف الأيمن من كل فترة زمنية ، استخدم] مع كل قيمة نهائية يتم تضمينها في المجموعة (نقطة مملوءة) أو) لكل قيمة نهاية مستبعدة (نقطة مفتوحة).
  4. استخدم رمز الاتحاد ( كوب ) لدمج كل الفترات في مجموعة واحدة.

مثال ( PageIndex {5} ): وصف المجموعات على سطر العدد الحقيقي

صِف فواصل القيم الموضحة في الشكل ( PageIndex {5} ) باستخدام تدوين عدم المساواة وترميز منشئ المجموعات وتدوين الفترة.

حل

لوصف القيم ، (س ) ، المضمنة في الفواصل الزمنية الموضحة ، يمكننا القول ، " (س ) هو رقم حقيقي أكبر من أو يساوي 1 وأقل من أو يساوي 3 ، أو رقم حقيقي أكبر من 5. "

عدم المساواة

[1≤x≤3 text {or} x> 5 nonumber ]

تعيين تدوين منشئ

[ {x | 1≤x≤3 text {or} x> 5 } nonumber ]

تدوين الفترة

[[1،3] كوب (5، infty) غير عدد ]

تذكر أنه عند كتابة أو قراءة تدوين الفاصل الزمني ، فإن استخدام قوس مربع يعني أن الحدود مضمنة في المجموعة. استخدام الأقواس يعني عدم تضمين الحدود في المجموعة.

تمرين ( PageIndex {5} )

بالنظر إلى الشكل ( PageIndex {6} ) ، حدد المجموعة الرسومية في

  1. كلمات
  2. تعيين تدوين منشئ
  3. تدوين الفاصل
الإجابة أ

القيم التي تكون أصغر من أو تساوي –2 ، أو القيم التي تكون أكبر من أو تساوي -1 وأقل من 3 ؛

الجواب ب

( {x | x≤ − 2 أو −1≤x <3 } )

الجواب ج

( يسار (−∞، −2 يمين] كوب يسار [1،3 يمين) )

البحث عن المجال والمدى من الرسوم البيانية

هناك طريقة أخرى لتحديد مجال ونطاق الوظائف وهي استخدام الرسوم البيانية. نظرًا لأن المجال يشير إلى مجموعة قيم الإدخال المحتملة ، فإن مجال الرسم البياني يتكون من جميع قيم الإدخال الموضحة على المحور x. النطاق هو مجموعة قيم الإخراج المحتملة ، والتي تظهر على المحور ص. ضع في اعتبارك أنه إذا استمر الرسم البياني بعد جزء الرسم البياني الذي يمكننا رؤيته ، فقد يكون النطاق والنطاق أكبر من القيم المرئية. راجع الشكل ( PageIndex {7} ).

يمكننا أن نلاحظ أن الرسم البياني يمتد أفقيًا من −5 إلى اليمين بدون حدود ، وبالتالي فإن المجال هو ( يسار [−5 ، ∞ يمين) ). المدى الرأسي للرسم البياني هو جميع قيم النطاق 5 وأدناه ، لذا يكون النطاق ( left (−∞، 5 right] ). لاحظ أن المجال والنطاق يكتبان دائمًا من القيم الأصغر إلى القيم الأكبر ، أو من من اليسار إلى اليمين للمجال ، ومن أسفل الرسم البياني إلى أعلى الرسم البياني للنطاق.

مثال ( PageIndex {6A} ): البحث عن المجال والمدى من رسم بياني

أوجد مجال ومدى الدالة f التي يظهر رسمها البياني في الشكل 1.2.8.

حل

يمكننا أن نلاحظ أن المدى الأفقي للرسم البياني هو –3 إلى 1 ، وبالتالي فإن مجال f هو ( left (−3،1 right] ).

المدى الرأسي للرسم البياني هو من 0 إلى –4 ، لذا فإن النطاق هو ( يسار [−4،0 يمين) ). راجع الشكل ( PageIndex {9} ).

مثال ( PageIndex {6B} ): إيجاد المجال والنطاق من رسم بياني لإنتاج النفط

أوجد مجال ومدى الدالة f التي يظهر رسمها البياني في الشكل ( PageIndex {10} ).

حل

كمية المدخلات على طول المحور الأفقي هي "سنوات" ، والتي نمثلها مع المتغير t للوقت. كمية الإنتاج هي "آلاف براميل النفط يوميًا" ، والتي نمثلها بالمتغير b للبرميل. قد يستمر الرسم البياني إلى اليسار وإلى اليمين إلى ما وراء ما يتم عرضه ، ولكن بناءً على جزء الرسم البياني المرئي ، يمكننا تحديد المجال كـ (1973≤t≤2008 ) والنطاق تقريبًا (180≤) ب≤2010 ).

في تدوين الفاصل ، يكون المجال ([1973 ، 2008] ) ، والنطاق حول ([180، 2010] ). بالنسبة للمجال والنطاق ، نقوم بتقريب القيم الأصغر والأكبر نظرًا لأنها لا تقع بالضبط على خطوط الشبكة.

تمرين ( PageIndex {6} )

بالنظر إلى الشكل ( PageIndex {11} ) ، حدد المجال والنطاق باستخدام تدوين الفاصل الزمني.

إجابه

المجال = ([1950،2002] )

النطاق = ([47،000،000،89،000،000] )

هل يمكن أن يكون مجال ونطاق الوظيفة متماثلين؟

نعم. على سبيل المثال ، المجال والمدى لوظيفة الجذر التكعيبي كلاهما مجموعة من جميع الأرقام الحقيقية.

البحث عن مجالات ونطاقات وظائف مجموعة الأدوات

سنعود الآن إلى مجموعة وظائف مجموعة الأدوات الخاصة بنا لتحديد مجال ونطاق كل منها.

بالنسبة إلى وظيفة ثابتة (f (x) = c ) ، يتكون المجال من جميع الأرقام الحقيقية ؛ لا توجد قيود على الإدخال. قيمة الإخراج الوحيدة هي الثابت (c ) ، وبالتالي فإن النطاق هو المجموعة ( {c } ) التي تحتوي على هذا العنصر الفردي. في تدوين الفترات ، تتم كتابة هذا كـ ([c، c] ) ، الفاصل الزمني الذي يبدأ وينتهي بـ (c ).


الشكل ( PageIndex {13} ): وظيفة الهوية f (x) = x.

بالنسبة إلى تطابق وظيفي (f (x) = x ) ، لا توجد قيود على (x ). كل من المجال والمدى هما مجموعة جميع الأرقام الحقيقية.

بالنسبة إلى دالة القيمة المطلقة (f (x) = | x | ) ، لا توجد قيود على (x ). ومع ذلك ، نظرًا لتعريف القيمة المطلقة على أنها مسافة من 0 ، يمكن أن يكون الناتج أكبر من أو يساوي 0 فقط.

بالنسبة إلى وظيفة من الدرجة الثانية (f (x) = x ^ 2 ) ، المجال هو جميع الأعداد الحقيقية لأن المدى الأفقي للرسم البياني هو خط الأعداد الحقيقي. نظرًا لأن الرسم البياني لا يتضمن أي قيم سالبة للنطاق ، فإن النطاق عبارة عن أرقام حقيقية غير سالبة فقط.

بالنسبة إلى دالة تكعيبية (f (x) = x ^ 3 ) ، المجال هو جميع الأعداد الحقيقية لأن المدى الأفقي للرسم البياني هو خط الأعداد الحقيقي. الأمر نفسه ينطبق على المدى الرأسي للرسم البياني ، وبالتالي فإن النطاق والمدى يشتملان على جميع الأرقام الحقيقية.

بالنسبة إلى دالة متبادلة (f (x) = dfrac {1} {x} ) ، لا يمكننا القسمة على 0 ، لذلك يجب استبعاد 0 من المجال. علاوة على ذلك ، 1 مقسومًا على أي قيمة لا يمكن أبدًا أن يكون 0 ، وبالتالي فإن النطاق أيضًا لن يشتمل على 0. في تدوين أداة إنشاء المجموعة ، يمكننا أيضًا كتابة ( {x | x ≠ 0 } ) ، مجموعة الكل الأرقام التي ليست صفرا.

بالنسبة إلى دالة تربيعية متبادلة (f (x) = dfrac {1} {x ^ 2} ) ، لا يمكننا القسمة على 0 ، لذا يجب استبعاد 0 من المجال. لا يوجد أيضًا x يمكن أن يعطي ناتجًا بقيمة 0 ، لذلك يتم استبعاد 0 من النطاق أيضًا. لاحظ أن ناتج هذه الوظيفة يكون دائمًا موجبًا بسبب المربع الموجود في المقام ، وبالتالي فإن النطاق يتضمن أرقامًا موجبة فقط.


الشكل ( PageIndex {19} ): دالة الجذر التربيعي (f (x) = sqrt {(x)} ).

بالنسبة إلى دالة الجذر التربيعي (f (x) = sqrt {x} ) ، لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد حقيقي سالب ، لذلك يجب أن يكون المجال 0 أو أكبر. يستبعد النطاق أيضًا الأرقام السالبة لأن الجذر التربيعي لعدد موجب (x ) مُعرَّف بأنه موجب ، على الرغم من أن مربع الرقم السالب (- sqrt {x} ) يعطينا أيضًا (x ) ).

بالنسبة إلى دالة الجذر التكعيبي (f (x) = sqrt [3] {x} ) ، يشتمل المجال والنطاق على جميع الأرقام الحقيقية. لاحظ أنه لا توجد مشكلة في أخذ جذر تكعيبي ، أو أي جذر عدد صحيح فردي ، لرقم سالب ، والمخرجات الناتجة سالبة (إنها دالة فردية).

بالنظر إلى صيغة الدالة ، حدد المجال والمدى.

  1. استبعد من المجال أي قيم إدخال ينتج عنها القسمة على صفر.
  2. استبعد من المجال أي قيم إدخال لها مخرجات رقمية غير حقيقية (أو غير محددة).
  3. استخدم قيم الإدخال الصالحة لتحديد نطاق قيم الإخراج.
  4. انظر إلى الرسم البياني للوظيفة وقيم الجدول لتأكيد سلوك الوظيفة الفعلي.

العثور على المجال والمدى باستخدام وظائف مجموعة الأدوات

أوجد مجال ومدى (f (x) = 2x ^ 3 − x ).

حل

لا توجد قيود على المجال ، حيث يمكن تكعيب أي رقم حقيقي ثم طرحه من النتيجة.

المجال هو ((- infty، infty) ) والنطاق هو أيضًا ((- infty، infty) ).

مثال ( PageIndex {7B} ): البحث عن المجال والنطاق

أوجد مجال ومدى (f (x) = frac {2} {x + 1} ).

حل

لا يمكننا إيجاد قيمة الدالة عند −1 لأن القسمة على صفر غير معرفة. المجال هو ((- infty، −1) كوب (−1، infty) ). نظرًا لأن الدالة ليست صفرًا أبدًا ، فإننا نستبعد 0 من النطاق. النطاق هو ((- infty، 0) كوب (0، infty) ).

مثال ( PageIndex {7C} ): البحث عن المجال والنطاق

أوجد مجال ومدى (f (x) = 2 sqrt {x + 4} ).

حل

لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب ، لذا يجب أن تكون القيمة داخل الجذر غير سالبة.

(x + 4≥0 ) عندما (x≥ − 4 )

مجال (f (x) ) هو ([- 4، infty) ).

ثم نوجد النطاق. نحن نعلم أن (f (−4) = 0 ) ، وتزيد قيمة الدالة كلما زاد (x ) دون أي حد أعلى. نستنتج أن نطاق f هو ( left [0، infty right) ).

تحليل

يمثل الشكل ( PageIndex {19} ) الوظيفة (f ).

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد مجال ومدى

(f (x) = sqrt {2 − x} ).

إجابه

المجال: ( يسار (- infty، -2 يمين] )

النطاق: ( left [0، infty right) )

رسم بياني دوال محددة التفصيل

في بعض الأحيان ، نواجه دالة تتطلب أكثر من صيغة واحدة للحصول على الناتج المحدد. على سبيل المثال ، في وظائف مجموعة الأدوات ، قدمنا ​​دالة القيمة المطلقة (f (x) = | x | ). مع مجال لجميع الأعداد الحقيقية ونطاق من القيم أكبر من أو تساوي 0 ، قيمه مطلقه يمكن تعريفها على أنها الحجم، أو معام، ذات قيمة رقمية حقيقية بغض النظر عن العلامة. إنها المسافة من 0 على خط الأعداد. تتطلب كل هذه التعريفات أن يكون الناتج أكبر من أو يساوي 0.

إذا أدخلنا 0 ، أو قيمة موجبة ، يكون الناتج هو نفسه الإدخال.

[f (x) = x ؛ text {if} ؛ س≥0

إذا أدخلنا قيمة سالبة ، يكون الناتج عكس المدخل.

[f (x) = -x ؛ text {if} ؛ س <0 عدد ]

نظرًا لأن هذا يتطلب عمليتين أو قطعتين مختلفتين ، فإن دالة القيمة المطلقة هي مثال على دالة متعددة التعريف. الدالة متعددة التعريف هي دالة يتم فيها استخدام أكثر من صيغة واحدة لتحديد الناتج عبر أجزاء مختلفة من المجال.

نحن نستخدم دوال متعددة التعريف لوصف المواقف التي تتغير فيها القاعدة أو العلاقة عندما تتجاوز قيمة الإدخال "حدودًا" معينة. على سبيل المثال ، غالبًا ما نواجه مواقف في مجال الأعمال يتم فيها خصم التكلفة لكل قطعة من عنصر معين بمجرد أن يتجاوز الرقم المطلوب قيمة معينة. الأقواس الضريبية هي مثال آخر في العالم الحقيقي للوظائف متعددة التعريف. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك نظامًا ضريبيًا بسيطًا يتم فيه فرض ضريبة على الدخل الذي يصل إلى 10000 دولار بنسبة 10٪ ، وأي دخل إضافي يتم فرض ضريبة عليه بنسبة 20٪. ستكون الضريبة على إجمالي الدخل S (0.1S ) إذا (S≤ $ 10،000 ) و ($ 1000 + 0.2 (S− $ 10،000) ) إذا (S> $ 10،000 ).

دالة متفرقة

الدالة متعددة التعريف هي دالة يتم فيها استخدام أكثر من صيغة واحدة لتحديد الناتج. كل صيغة لها مجالها الخاص ، ومجال الوظيفة هو اتحاد كل هذه المجالات الأصغر. نلاحظ هذه الفكرة على النحو التالي:

[f (x) = begin {cases} text {الصيغة 1} & text {إذا كان x في المجال 1} text {الصيغة 2} & text {إذا كان x في المجال 2} text {الصيغة 3} & text {إذا كان x في المجال 3} end {cases} nonumber ]

في التدوين متعدد التعريف ، تكون دالة القيمة المطلقة

[| x | = begin {cases} x & text {if $ x geq 0 $} -x & text {if $ x <0 $} end {cases} nonumber ]

بالنظر إلى دالة متعددة التعريف ، اكتب الصيغة وحدد المجال لكل فترة.

  1. حدد الفترات الزمنية التي تنطبق عليها القواعد المختلفة.
  2. حدد الصيغ التي تصف كيفية حساب الإخراج من الإدخال في كل فترة.
  3. استخدم الأقواس وعبارات if لكتابة الوظيفة.

مثال ( PageIndex {8A} ): كتابة دالة مفردة

يتقاضى المتحف 5 دولارات أمريكية لكل شخص مقابل جولة إرشادية مع مجموعة من 1 إلى 9 أشخاص أو رسوم ثابتة قدرها 50 دولارًا لمجموعة من 10 أشخاص أو أكثر. اكتب وظيفة ربط عدد الأشخاص (n ) بالتكلفة (ج ).

حل

ستكون هناك حاجة إلى صيغتين مختلفتين. بالنسبة إلى (n ) - القيم الأقل من 10 ، (C = 5n ). لقيم n التي تكون 10 أو أكبر ، (C = 50 ).

[C (n) = start {cases} 5n & text {if $ n <10 $} 50 & text {if $ n geq10 $} end {cases} nonumber ]

تحليل

يتم تمثيل الوظيفة في الشكل ( PageIndex {20} ). الرسم هو خط قطري من (n = 0 ) إلى (n = 10 ) وثابت بعد ذلك. في هذا المثال ، تتفق الصيغتان عند نقطة الالتقاء حيث (n = 10 ) ، ولكن لا تحتوي كل الدوال متعددة التعريف على هذه الخاصية.

مثال ( PageIndex {8B} ): العمل بدالة مفرغة

تستخدم إحدى شركات الهواتف المحمولة الوظيفة الموضحة أدناه لتحديد التكلفة C بالدولار للجيجابايت لنقل البيانات.

[C (g) = begin {cases} 25 & text {if $ 0

ابحث عن تكلفة استخدام 1.5 جيجا بايت من البيانات وتكلفة استخدام 4 جيجا بايت من البيانات.

Soltuion

للعثور على تكلفة استخدام 1.5 غيغابايت من البيانات ، (C (1.5) ) ، ننظر أولاً لمعرفة أي جزء من المجال يقع فيه المدخلات. نظرًا لأن 1.5 أقل من 2 ، نستخدم الصيغة الأولى.

[C (1.5) = 25 دولارًا بدون رقم ]

لإيجاد تكلفة استخدام 4 جيجا بايت من البيانات ، C (4) ، نرى أن إدخالنا 4 أكبر من 2 ، لذلك نستخدم الصيغة الثانية.

[C (4) = 25 + 10 (4−2) = 45 دولارًا بلا رقم ]

تحليل

يتم تمثيل الوظيفة في الشكل ( PageIndex {21} ). يمكننا أن نرى أين تتغير الوظيفة من ثابت إلى هوية متحولة وممتدة في (g = 2 ). نقوم برسم الرسوم البيانية للصيغ المختلفة على مجموعة مشتركة من المحاور ، مع التأكد من تطبيق كل صيغة على مجالها المناسب.

بالنظر إلى دالة متعددة التعريف ، ارسم مخططًا بيانيًا.

  1. حدد على المحور x الحدود المحددة بالفواصل الزمنية على كل قطعة من المجال.
  2. لكل جزء من المجال ، رسم بيانيًا على تلك الفترة باستخدام المعادلة المقابلة المتعلقة بتلك القطعة. لا تقم برسم وظيفتين في الرسم البياني خلال فترة زمنية واحدة لأن ذلك قد ينتهك معايير الدالة.

مثال ( PageIndex {8C} ): رسم دالة متقطعة

رسم على الرسم البياني للدالة.

[f (x) = begin {cases} x ^ 2 & text {if $ x leq 1 $} 3 & text {if $ 1 2 $} end {cases} nonumber ]

حل

كل وظيفة من وظائف المكون هي من مكتبة وظائف مجموعة الأدوات الخاصة بنا ، حتى نعرف أشكالها. يمكننا تخيل رسم بياني لكل دالة ثم قصر الرسم البياني على المجال المشار إليه. عند نقاط نهاية المجال ، نرسم دوائر مفتوحة للإشارة إلى مكان عدم تضمين نقطة النهاية بسبب عدم المساواة أقل من أو أكبر من ؛ نرسم دائرة مغلقة حيث يتم تضمين نقطة النهاية بسبب عدم المساواة أقل من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي.

يوضح الشكل ( PageIndex {20} ) المكونات الثلاثة للدالة متعددة التعريف مرسومة على أنظمة إحداثيات منفصلة.


الشكل ( PageIndex {20} ): رسم بياني لكل جزء من دالة القطعة f (x)

(أ) (و (س) = س ^ 2 ) إذا (س≤1 ) ؛ (ب) (f (x) = 3 ) إذا (1 2 )

الآن وقد قمنا برسم كل قطعة على حدة ، قمنا بدمجها في نفس المستوى الإحداثي. راجع الشكل ( PageIndex {21} ).

تحليل

لاحظ أن الرسم البياني يجتاز اختبار الخط العمودي حتى عند (x = 1 ) و (x = 2 ) لأن النقاط ((1،3) ) و ((2،2) ) هي ليس جزءًا من الرسم البياني للوظيفة ، على الرغم من ((1،1) ) و ((2 ، 3) ).

تمرين ( PageIndex {8} )

ارسم دالة متعددة التعريف التالية.

[f (x) = begin {cases} x ^ 3 & text {if $ x <-1 $} -2 & text {if $ -1 4 $} end {cases} nonumber ]

إجابه

هل يمكن تطبيق أكثر من صيغة واحدة من دالة متعددة التعريف على قيمة في المجال؟

لا. كل قيمة تقابل معادلة واحدة في صيغة متعددة التعريف.

المفاهيم الرئيسية

  • يشمل مجال الوظيفة جميع قيم الإدخال الحقيقية التي لا تجعلنا نحاول إجراء عملية رياضية غير محددة ، مثل القسمة على صفر أو أخذ الجذر التربيعي لرقم سالب.
  • يمكن تحديد مجال الوظيفة من خلال سرد قيم الإدخال لمجموعة من الأزواج المرتبة.
  • يمكن أيضًا تحديد مجال الوظيفة من خلال تحديد قيم الإدخال لدالة مكتوبة على شكل معادلة.
  • يمكن وصف قيم الفترات الممثلة على خط الأعداد باستخدام تدوين عدم المساواة ، وتدوين منشئ المجموعة ، وتدوين الفاصل الزمني.
  • بالنسبة للعديد من الوظائف ، يمكن تحديد المجال والنطاق من الرسم البياني.
  • يمكن استخدام فهم وظائف مجموعة الأدوات للعثور على المجال ونطاق الوظائف ذات الصلة.
  • يتم وصف الدالة متعددة التعريف بأكثر من صيغة واحدة.
  • يمكن رسم دالة متعددة التعريف باستخدام كل صيغة جبرية في النطاق الفرعي المخصص لها.

قائمة المصطلحات

تدوين الفاصل

طريقة لوصف مجموعة تتضمن جميع الأرقام بين الحد الأدنى والحد الأعلى ؛ يتم سرد القيم الدنيا والعليا بين قوسين أو أقواس ، وقوس مربع يشير إلى التضمين في المجموعة ، وقوس يشير إلى الاستبعاد

دالة متعددة التعريف

دالة يتم فيها استخدام أكثر من صيغة واحدة لتحديد الناتج

تعيين تدوين منشئ

طريقة لوصف مجموعة بقاعدة يلتزم بها جميع أعضائها ؛ يأخذ الشكل {x | بيان حول x}


الرياضيات - سريعة وسهلة

نوضح لك في هذا الفصل والفصول التالية كيفية تحديد خصائص دالة معينة كرسم بياني في نظام الإحداثيات الديكارتية.
الخصائص الأساسية هي:
- المجال والمدى (هذا الفصل)
- صفر دالة
- نقاط التقاطع مع المحاور
- رتابة (وظائف رتيبة ، ليست وظائف رتيبة)
- فترات قصوى من الرتابة
- القيم الموجبة والسالبة
- الحد الأدنى والحد الأقصى

في الفصل السابق ، يوجد مثال واحد فقط للدالة. مجالها عبارة عن مجموعة من الأرقام القليلة ، ولكن هناك العديد من الاحتمالات. يمكن أن يكون المجال مجموعة مصدر أو فاصل زمني ، وقد "يتألف" من أكثر من فاصل زمني واحد أو مجموعة.

وفقًا لأنواع مختلفة من المجالات ، تختلف الرسوم البيانية في نظام الإحداثيات الديكارتية.
دعنا نعرض لك أنواعًا مختلفة من الوظائف التي يحددها الرسم البياني في نظام الإحداثيات الديكارتية. سوف نوضح لك كيفية تحديد المجال والغضب من الدالة المعطاة كرسم بياني.


مجال ومدى العلاقة & # 8211 تعريف

العلاقة: إذا كانت هناك مجموعتان غير فارغتين أ ، ب ، فإن العلاقة ص يتم تعريفها على أنها مجموعة فرعية من المنتجات المتقاطعة أ × ب. هذه المجموعة الفرعية هي نتيجة العلاقة بين عناصر كلتا المجموعتين. R = <(أ ، ب): أ ∈ أ ، ب ∈ ب>.

المجال: تسمى مجموعة عناصر المجموعة الأولى التي تنتمي إلى العلاقة R مجال العلاقة.

مجال العلاقة من أ إلى ب هو مجموعة فرعية من أ.

المدى: تسمى مجموعة عناصر المجموعة الثانية التي تنتمي إلى العلاقة R نطاق العلاقة.

نطاق العلاقة من A إلى B هو مجموعة فرعية من B.

إذا كانت مجموعتان غير فارغتين هما P = <1 ، 3 ، 7 ، 6 ، 5> ، Q =

إذن R هي العلاقة & # 8220less من & # 8221 من المجموعة P لتعيين Q

لذلك ، المجال (R) = <1 ، 3 ، 5 ، 6 ، 7> ، النطاق (R) =

مخطط السهم لتمثيل مجال ومدى العلاقة هو

أمثلة وإجابات المجال والمدى

إذا كانت A = <3 ، 5 ، 7 ، 6> و B = <21 ، 30 ، 18 ، 35 ، 10> و R هي العلاقة & # 8216is عامل & # 8217 من A إلى B.

(ط) اكتب R في نموذج القائمة وابحث عن مجال ومدى العلاقة R.

(2) ارسم مخطط سهم لتمثيل العلاقة.

(ط) يحتوي R على عناصر a و b و a عامل B. حيث يكون a عنصر A و b هو عنصر B.

لذلك ، العلاقة R في شكل الجدول =

مجال العلاقة R هو مجموعة جميع المكونات الأولى لـ R.

نطاق العلاقة R هو مجموعة جميع المكونات الثانية لـ R.

(2) مخطط السهم لتمثيل R هو

أوجد مجال ومدى العلاقة R المحددة بواسطة R = <(x + 1، 2x + 3): x ∈ <1، 2، 3، 4، 5 >>

س = 1 ⇒ س + 1 = 1 + 1 = 2 و 2 س + 3 = 2 (1) + 3 = 2 + 3 = 5

س = 2 ⇒ س + 1 = 2 + 1 = 3 و 2 س + 3 = 2 (2) + 3 = 4 + 3 = 7

س = 3 ⇒ س + 1 = 3 + 1 = 4 و 2 س + 3 = 2 (3) + 3 = 6 + 3 = 9

س = 4 ⇒ س + 1 = 4 + 1 = 5 و 2 س + 3 = 2 (4) + 3 = 8 + 3 = 11

س = 5 ⇒ س + 1 = 5 + 1 = 6 و 2 س + 3 = 2 (5) + 3 = 10 + 3 = 13

مجال R = = مجموعة من المكونات الأولى لكل زوج مرتب ينتمي إلى R.

مدى R = = مجموعة من المكونات الثانية لجميع الأزواج المرتبة التي تنتمي إلى R.

يوضح مخطط السهم العلاقة (R) من المجموعة A للمجموعة B. اكتب هذه العلاقة في نموذج الجدول. ابحث أيضًا عن مجال ومدى العلاقة.

R هي العلاقة من A إلى B.

من مخطط السهم ، يمكننا كتابة العلاقة R =

مجموعة العلاقة R في نموذج الجدول =

مجال R = مجموعة من جميع المكونات الأولى للعلاقة =

مدى R = مجموعة من جميع المكونات الثانية للعلاقة =

إذا كانت X = <4 ، 5 ، 6 ، 8 ، 9 ، 10> حدد العلاقة R من X إلى X بواسطة R =

(ط) ارسم هذه العلاقة باستخدام مخطط سهم.

(2) اكتب المجال ونطاق R.

إذا كانت x = 4 ، فإن y = x + 1 = 4 + 1 = 5

إذا كانت x = 5 ، فإن y = x + 1 = 5 + 1 = 6

إذا كانت x = 6 ، فإن y = x + 1 = 6 + 1 = 7

إذا كانت x = 8 ، فإن y = x + 1 = 8 + 1 = 9

إذا كانت x = 9 ، فإن y = x + 1 = 9 + 1 = 10

إذا كانت x = 10 ، فإن y = x + 1 = 10 + 1 = 11

(ط) مخطط السهم للعلاقة هو

(2) مجال العلاقة = مجموعة المكونات الأولى لكل الزوج المرتب الذي ينتمي إلى R.

نطاق العلاقة = مجموعة من المكونات الثانية لكل الأزواج المرتبة التي تنتمي إلى R.

أسئلة وأجوبة حول مجال ونطاق العلاقة

1. كيف تحدد هذا المجال ونطاق العلاقة؟

مجال العلاقة ليس سوى مجموعة جميع المكونات الأولى لـ R ونطاق العلاقة هو مجموعة جميع المكونات الثانية لـ R.

2. ما هي قاعدة العلاقة؟

العلاقة مجموعة فرعية من المنتج الديكارتي لمجموعتين. وهي مجموعة من الأزواج المرتبة التي لها علاقة بين عنصر المجموعة الأول وعنصر المجموعة الثاني.

3. اكتب مثالاً للمجال والمدى؟

إذا كانت العلاقة R = <(1 ، 4) ، (2 ، 5) ، (3 ، 6) ، (4 ، 7)> ، فإن مجال العلاقة R هو <1 ، 2 ، 3 ، 4> ونطاق العلاقة R هي <4 ، 5 ، 6 ، 7>.


المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

الوظيفة هي عملية لتحويل قيم الإدخال إلى قيم مخرجات. من حين لآخر ، سيكون للوظيفة (f ) قيم إدخال تتعطل العملية من أجلها.

الشكل 11.2.1. درس فيديو بديل

القسم الفرعي 11.2.1 المجال

مثال 11.2.2.

لكن ماذا لو طلبنا إيجاد (P (1600) text <؟> ) لم يعد السؤال منطقيًا حقًا. عاشت قبيلة مولتنوماه في قرى بالمنطقة ، لكن مدينة بورتلاند لم يتم دمجها حتى عام 1851. نقول إن (P (1600) ) هو غير معرف.

مثال 11.2.3.

إذا كان (م ) كتلة الشخص بالكيلوجرام ، فليكن وزنه بالرطل. توجد صيغة تقريبية لـ (w text <:> )

من هذه الصيغة يمكننا أن نجد:

الذي يخبرنا أن (50 ) - كجم يزن الشخص 110 رطلاً ، و (80 ) - كجم يزن الشخص 176 رطلاً.

ماذا لو طلبنا (w (-100) text <؟> ) في سياق هذا المثال ، سنطلب وزن شخص كتلته -100 كجم. من الواضح أن هذا هراء. هذا يعني أن (w (-100) ) هو غير معرف. نلاحظ أن سياق الكلام من المثال يخبرنا أن (w (-100) ) غير محدد على الرغم من أن الصيغة وحدها قد تشير إلى أن (w (-100) = - 220 text <.> )

مثال 11.2.4.

بالنسبة لمعظم (x ) - القيم ، (g (x) ) قابلة للحساب تمامًا:

ولكن إذا حاولنا حساب (g (7) text <،> ) فإننا نواجه مشكلة حسابية.

التعبير ( frac <7> <0> ) هو غير معرف. لا يوجد رقم يمكن أن يساوي هذا.

نقطة تفتيش 11.2.5.

يجب أن تحفز هذه الأمثلة التعريف التالي.

التعريف 11.2.6. اختصاص.

دالة (f ) هي مجموعة كل قيم الإدخال الصالحة الخاصة بها.

مثال 11.2.7.

بالإشارة إلى الوظائف من الأمثلة 11.2.2 - 11.2.4

مجال (P ) هو كل السنوات ابتداء من عام 1851 وما بعده. سيكون من المعقول أيضًا أن نقول إن النطاق هو في الواقع جميع السنوات من 1851 حتى العام الحالي ، حيث لا يمكننا ضمان بقاء بورتلاند إلى الأبد.

مجال (w ) هو كل الأرقام الحقيقية الموجبة. من غير المنطقي أن يكون لديك شخص ذو كتلة سالبة أو حتى شخص ذو كتلة صفرية. في حين أن هناك حدًا أدنى لأصغر كتلة يمكن أن يمتلكها الشخص ، وكذلك حد أعلى لأكبر كتلة يمكن أن يمتلكها الشخص ، فإن هذه الحدود رمادية اللون. يمكننا أن نقول على وجه اليقين أنه لا يجب استخدام الأرقام غير الموجبة كمدخلات لـ (w text <.> )

مجال (g ) هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء (7 نص <.> ) هذا هو الرقم الوحيد الذي يتسبب في انهيار في صيغة (g ).

القسم الفرعي 11.2.2 الفاصل الزمني ، والمجموعة ، وترميز Set-Builder

يمكن أن يكون الاتصال بمجال الوظيفة ملطخًا. في الرياضيات ، يمكننا توصيل نفس المعلومات باستخدام تدوين موجز مقبول للاستخدام في كل مكان تقريبًا. يحتوي الجدول 11.2.8 على أمثلة للوظائف من هذا القسم ومجالاتها ، ويوضح تدوين الفاصل لهذه المجالات. يتم تناول تدوين الفاصل الزمني الأساسي في القسم 1.3 ، ولكن بعض الأمثلة لدينا هنا تتجاوز ما يغطيه هذا القسم.

كل سنة 1851 وما بعدها

كل الأعداد الحقيقية أكبر من (0 )

جميع الأعداد الحقيقية ماعدا (7 )

مرة أخرى ، تمت تغطية تدوين الفاصل الزمني الأساسي في القسم 1.3 ، ولكن يظهر شيء واحد في الجدول 11.2.8 لم يتم شرحه في ذلك القسم السابق: رمز ( كوب ) ، والذي نراه في مجال (ز نص) <.> )

من حين لآخر ، هناك حاجة للنظر في صور خط الأرقام مثل الشكل 11.2.9 ، حيث تظهر فاصلان أو أكثر.

تحاول هذه الصورة إخبارك بالتفكير في الأرقام الواقعة بين (- 5 ) و (1 نص <،> ) جنبًا إلى جنب مع الأرقام الواقعة بين (4 ) و (7 نص <.> ) هذه الكلمة "معًا" مرتبطة بكلمة "union" وفي الرياضيات ، يلتقط ( cup text <،> ) هذه الفكرة. يعني الجمع بين فكرتين معًا ، حتى لو كانتا أفكارًا منفصلة. فكر في الأمر على أنه وضع كل شيء من سلتين في سلة واحدة: سلة من البرتقال وسلة من التفاح مجتمعة في سلة واحدة كبيرة لا تزال تحتوي على البرتقال والتفاح ، ولكن الآن يمكن اعتبارها فكرة واحدة. لذلك يمكننا كتابة الأرقام في هذه الصورة على النحو

(الذي يستخدم تدوين الفاصل الزمني).

مع مجال (g ) في الجدول 11.2.8 ، تُظهر لنا صورة خط الأرقام "اتحادًا" آخر لفترتين. إنهما قريبان جدًا من بعضهما البعض ، ولكن لا تزال هناك فترتان منفصلتان في تلك الصورة: ((- infty، 7) ) و ((7، infty) text <.> ) يتم تمثيل اتحادهما بواسطة ((- infty، 7) cup (7، infty) text <.> )

نقطة تفتيش 11.2.10.
نقطة تفتيش 11.2.11.

في بعض الأحيان سننظر في مجموعات من قائمة قصيرة من الأرقام فقط. في تلك الحالات ، نستخدم (تم تقديمه لأول مرة في القسم أ .6). مع وضع التدوين ، لدينا قائمة من الأرقام في الاعتبار ، ونقوم ببساطة بإدراج كل هذه الأرقام. الأقواس المتعرجة هي المعيار المحيط بالقائمة. يوضح الجدول 11.2.12 مجموعة الرموز قيد الاستخدام.

نقطة تفتيش 11.2.13.

بينما يمكن وصف معظم مجموعات الأرقام التي سنواجهها باستخدام مجموعة من تدوين الفاصل الزمني وترميز المجموعة ، هناك تدوين آخر شائع الاستخدام مفيد جدًا في الجبر: والذي تم تقديمه في القسم 1.3. يستخدم تدوين Set-builder أيضًا الأقواس المجعدة. يوفر تدوين Set-builder نموذجًا لما قد يبدو عليه الرقم قيد الدراسة ، ثم يمنحك قيودًا على كيفية استخدام هذا القالب. أحد الأمثلة الأساسية على تدوين مجموعة البناء هو

شفهيًا ، هذه هي "مجموعة الكل (س ) بحيث يكون (س ) أكبر من أو يساوي (3 نص <.> )" يقدم الجدول 11.2.14 المزيد من الأمثلة على تدوين مجموعة البناء في الاستخدام.

نقطة تفتيش 11.2.15.
مثال 11.2.16.

ما هو مجال الوظيفة (A text <،> ) حيث (A (x) = frac <2x + 1> نص <؟> )

لاحظ أنه إذا أدخلت بعض القيم لـ (x text <،> ) فإن الشيء الوحيد الذي قد يحدث خطأ هو إذا كان المقام يساوي (0 text <.> ) إذن سيئ ستكون قيمة (x ) عندما

هنا ، استخدمنا أسلوب تحليل أساسي من القسم 10.3. للمتابعة ، سواء

هذه هي سيئ (x ) - القيم لأنها تؤدي إلى القسمة على (0 ) في صيغة (A text <.> ) إذن على خط الأعداد ، إذا أردنا تصوير مجال (A ) text <،> ) سنقوم بعمل رسم مثل:

إذن المجال هو اتحاد ثلاث فترات: ((- infty، -2) كوب (-2،4) كوب (4، infty) نص <.> )

مثال 11.2.17.

ما هو مجال الوظيفة (B text <،> ) حيث (B (x) = sqrt <7-x> +3 text <؟> )

لاحظ أنه إذا أدخلت بعض القيمة لـ (x text <،> ) فإن الشيء الوحيد الذي قد يحدث خطأ هو إذا كانت القيمة في الجذر سالبة. لذلك حسن ستكون قيم (x ) عندما

لذا على خط الأعداد ، إذا أردنا تصوير مجال (B text <،> ) فسنقوم بعمل رسم مثل:

إذن المجال هو الفاصل ((- infty، 7] text <.> )

هناك ثلاث خصائص رئيسية للوظائف التي تؤدي إلى استبعاد الأرقام من المجال ، والتي تم تلخيصها هنا.

قائمة 11.2.18. ملخص قيود المجال

القسمة على الصفر غير محددة. لذلك إذا احتوت الدالة على تعبير في المقام ، فسيتم تعريفها فقط عندما لا يكون هذا التعبير مساويًا للصفر.

الجذر التربيعي لعدد سالب غير معرّف. لذلك إذا كانت الدالة تحتوي على جذر تربيعي ، فلن يتم تعريفها إلا عندما يكون التعبير داخل هذا الجذر أكبر من أو يساوي صفرًا. (هذا صحيح بالفعل لأي (n ) جذري.)

بعض الأرقام لا معنى لها في سياقها. إذا كانت الوظيفة لها سياق حقيقي ، فقد يضيف ذلك قيودًا إضافية على قيم الإدخال.

نطاق القسم الفرعي 11.2.3

مجال الوظيفة هو مجموعة مدخلاتها الصالحة هناك فكرة مماثلة لها انتاج.

التعريف 11.2.19. نطاق.

دالة (f ) هي مجموعة كل قيم الإخراج الممكنة.

مثال 11.2.20.

لنفترض أن (f ) هي الوظيفة المحددة بواسطة الصيغة (f (x) = x ^ 2 text <.> ) العثور على (f ) 's نطاق واضح ومباشر. يمكن تربيع أي رقم في أي مكان لإنتاج ناتج ، لذلك (f ) له مجال ((- infty ، infty) نص <.> ) ما هو نطاق من (f text <؟> )

نود وصف مجموعة الأرقام المحتملة التي يمكن أن تعطيها (f ) كناتج. سوف نستخدم نهج رسومي. يعرض الشكل 11.2.21 رسمًا بيانيًا لـ (f text <،> ) والتصور الذي يكشف عن نطاق (f ).

قيم الإخراج هي (y ) - الإحداثيات في الرسم البياني. إذا "حركنا الحبر" إلى اليسار واليمين إلى المحور (y ) - للتأكيد على قيم (y ) - في الرسم البياني ، فلدينا (y ) - القيم التي تبدأ من ( 0 ) واستمر في الصعود إلى الأبد. لذلك يكون النطاق ([0، infty) text <.> )

مثال 11.2.22.

بالنظر إلى الوظيفة (g ) المرسومة في الشكل 11.2.23 ، ابحث عن المجال والنطاق (g text <.> )

للعثور على المجال ، يمكننا تصور جميع القيم (x ) - التي تعد مدخلات صالحة لهذه الوظيفة عن طريق "تحريك الحبر" لأسفل على المحور (x ) -. تشير الأسهم الموجودة في أقصى اليسار وأقصى يمين المنحنى إلى أن أي نمط نراه في الرسم البياني يستمر في الاتجاه إلى اليسار واليمين. هنا ، نرى أن أذرع الرسم البياني تبدو وكأنها تتناقص إلى محور (س ) وتمتد إلى اليسار واليمين إلى الأبد. يمكن استخدام كل (x ) - قيمة للحصول على ناتج للدالة ، وبالتالي يكون المجال ((- infty، infty) text <.> )

إذا تصورنا الممكن النواتج من خلال "تحريك الحبر" جانبًا على المحور (y ) - ، نجد أن المخرجات التي تصل إلى (3 ) ممكنة (بما في ذلك (3 ) نفسها). يبدو أن النواتج تقترب جدًا من (0 ) عندما يكون (x ) كبيرًا ، لكنها لا تساوي تمامًا (0 نص <.> ) إذن النطاق هو ((0،3 ] نص <.> )

نقطة تفتيش 11.2.26.

تضمنت أمثلة العثور على المجال والنطاق حتى الآن إما وصفًا لفظيًا لوظيفة أو صيغة لهذه الوظيفة أو رسمًا بيانيًا لتلك الوظيفة. تذكر أن هناك منظورًا رابعًا للوظائف: جدول. في حالة الجدول ، لدينا معلومات محدودة للغاية حول مدخلات ومخرجات الوظيفة. إذا كان الجدول هو كل ما لدينا ، فهناك عدد قليل من قيم الإدخال المدرجة في الجدول والتي نعرف مخرجاتها. لأي مدخلات أخرى ، الإخراج غير محدد.

مثال 11.2.27.

ضع في اعتبارك الوظيفة (k ) الواردة في الشكل 11.2.28. ما هو مجال ونطاق (k text <؟> )

(س ) (ك (س) )
(3) (4)
(8) (5)
(10) (5)
الشكل 11.2.28.

كل ما نعرفه عن (ك ) هو أن (ك (3) = 4 نص <،> ) (ك (8) = 5 نص <،> ) و (ك (10) = 5 text <.> ) بدون أي معلومات أخرى مثل صيغة لـ (k ) أو سياق لـ (k ) يخبرنا عن وصفه اللفظي ، يجب أن نفترض أن مجاله هو ( <3 ، 8،10 > text <> ) هذه هي المدخلات الصالحة الوحيدة لـ (k text <.> ) وبالمثل ، فإن نطاق (k ) هو ( <4،5 > ) نص <.> )

لاحظ أننا استخدمنا تدوين المجموعة ، وليس تدوين الفاصل ، لأن الإجابات هنا كانت القوائم من (x ) - القيم (للمجال) و (y ) - القيم (للنطاق). لاحظ أيضًا أنه يمكننا رسم بياني للمعلومات التي لدينا حول (k ) في الشكل 11.2.29 ، ولا يزال تصور "الحبر المنزلق" لتحديد المجال والنطاق يعمل.

تحذير 11.2.30. إيجاد المدى من صيغة.

في بعض الأحيان يكون من الممكن العثور على نطاق دالة باستخدام صيغتها دون رؤية الرسم البياني أو الجدول. ومع ذلك ، يتطلب هذا غالبًا تقنيات متقدمة يتم تعلمها في حساب التفاضل والتكامل. لذلك عندما يُطلب منك العثور على نطاق دالة بناءً على صيغتها وحدها ، يجب أن يكون نهجك هو فحص الرسم البياني.

أسئلة القراءة 11.2.4 أسئلة القراءة

استخدم جملة كاملة لوصف مجال الوظيفة.

عندما يكون لديك صيغة دالة ، ما هو الشيء الوحيد الذي قد يخبرك برقم مستبعد من المجال؟

للعثور على نطاق دالة ، يكون الحصول عليها أكثر فائدة من الحصول على صيغتها.

تمارين 11.2.5 تمارين

مراجعة والاحماء

بالنسبة للفاصل الزمني المعبر عنه في خط الأعداد ، اكتبه باستخدام تدوين منشئ المجموعة وتدوين الفاصل الزمني.

بالنسبة للفاصل الزمني المعبر عنه في خط الأعداد ، اكتبه باستخدام تدوين منشئ المجموعة وتدوين الفاصل الزمني.

بالنسبة للفاصل الزمني المعبر عنه في خط الأعداد ، اكتبه باستخدام تدوين مجموعة الباني وتدوين الفترة.

بالنسبة للفاصل الزمني المعبر عنه في خط الأعداد ، اكتبه باستخدام تدوين منشئ المجموعة وتدوين الفاصل الزمني.

حل هذه المتباينة المركبة واكتب إجابتك بها تدوين الفاصل.

حل هذه المتباينة المركبة واكتب إجابتك بها تدوين الفاصل.

حل هذه المتباينة المركبة واكتب إجابتك بها تدوين الفاصل.

حل هذه المتباينة المركبة واكتب إجابتك بها تدوين الفاصل.

المجال والمدى من رسم بياني

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

هذه الوظيفة لها المجال والنطاق.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

الوظيفة لها المجال والمدى.

مجال من صيغة

ابحث عن مجال (H ) حيث (H ! left (x right) = - 7x + 4 text <.> )

ابحث عن مجال (K ) حيث (K ! left (x right) = 7x-8 text <.> )

أوجد مجال (K ) حيث ( displaystyle<6>> x ^ <4> >> text <.> )

أوجد مجال (f ) حيث ( displaystyle<5>> x ^ <3> >> text <.> )

أوجد مجال (g ) حيث ( displaystyle rvert> text <.> )

أوجد مجال (h ) حيث ( displaystyle rvert> text <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle>> نص <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle>> نص <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle<><2x + 3 >>> text <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle<7x + 10 >>> text <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle-11 س + 30 >>> نص <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle-x-30 >>> نص <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle+ 9 س >>> نص <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle+ 3 س >>> نص <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle-49 >>> نص <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle-81 >>> نص <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle<16x ^ <2> -49 >>> text <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle<81x ^ <2> -4 >>> text <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle+3 >>> نص <.> )

أوجد مجال ( displaystyle) حيث ( displaystyle<>+10 >>> نص <.> )

أوجد مجال الوظيفة.

أوجد مجال الوظيفة.

أوجد مجال الوظيفة.

أوجد مجال الوظيفة.

أوجد مجال الوظيفة.

أوجد مجال الوظيفة.

أوجد مجال (A ) حيث ( displaystyle<>> نص <.> )

أوجد مجال (m ) حيث ( displaystyle<>> نص <.> )

أوجد مجال (b ) حيث ( displaystyle > نص <.> )

أوجد مجال (m ) حيث ( displaystyle > نص <.> )

أوجد مجال (r ) حيث ( displaystyle> <8 - س >> نص <.> )

أوجد مجال (B ) حيث ( displaystyle> <4 - س >> نص <.> )

المجال والمدى باستخدام السياق

اشترى ثانه سيارة مستعملة من أجل (< $ 7 <،> 800> text <.> ) تنخفض قيمة السيارة بمعدل ثابت كل عام. بعد (5 ) سنوات ، انخفضت القيمة إلى (< $ 6 <،> 300> text <.> )

استخدم دالة لنمذجة قيمة السيارة مع زيادة عدد السنوات. ابحث عن مجال هذه الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

اشترت كارمن سيارة مستعملة من أجل (< $ 8 <،> 400> text <.> ) تنخفض قيمة السيارة بمعدل ثابت كل عام. بعد (10 ​​) سنوات ، انخفضت القيمة إلى (< $ 5 <،> 400> text <.> )

استخدم دالة لنمذجة قيمة السيارة مع زيادة عدد السنوات. ابحث عن مجال هذه الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

افترض أن السيارة تستخدم الغاز بمعدل ثابت. بعد القيادة (25 ) ميلاً منذ شراء خزان وقود ممتلئ ، كان هناك (9 ) جالون من الغاز المتبقي بعد القيادة (65 ) ميلاً منذ شراء خزان وقود ممتلئ ، كان هناك (7.4) ) جالون من الغاز متبقي.

استخدم دالة لنمذجة كمية الغاز في الخزان (بالغالون). اجعل المتغير المستقل هو عدد الأميال المقطوعة منذ شراء خزان غاز ممتلئ. ابحث عن مجال هذه الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

افترض أن السيارة تستخدم الغاز بمعدل ثابت. بعد القيادة (30 ) ميلاً منذ شراء خزان وقود ممتلئ ، كان هناك (13.2 ) جالون من الغاز المتبقي بعد القيادة (60 ) ميلاً منذ شراء خزان وقود ممتلئ ، كان هناك (11.4) ) جالون من الغاز متبقي.

استخدم دالة لنمذجة كمية الغاز في الخزان (بالغالون). اجعل المتغير المستقل هو عدد الأميال المقطوعة منذ شراء خزان غاز ممتلئ. ابحث عن مجال هذه الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

ورث يوسف مجموعة من العملات وهو في سن (14 ) سنة. منذ ذلك الحين ، كان يضيف إلى المجموعة نفس العدد من العملات المعدنية كل عام. عندما كان عمره (20 ) سنة ، كان هناك (510 ) قطعة نقدية في المجموعة. عندما كان (30 ) سنة ، كان هناك (910 ) قطعة نقدية في المجموعة. في سن (51 text <،> ) تبرع يوسف بكل عملاته المعدنية للمتحف.

استخدم دالة لنمذجة عدد العملات في مجموعة جوزيف ، بدءًا من العام الذي ورث فيه المجموعة ، وانتهاءً بالسنة التي تم فيها التبرع بالمجموعة. ابحث عن مجال هذه الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

ورثت فيرجينيا مجموعة من العملات المعدنية عندما كان عمرها (15 ) سنة. منذ ذلك الحين ، كانت تضيف إلى المجموعة نفس العدد من العملات المعدنية كل عام. عندما كان عمرها (20 ) سنة ، كان هناك (330 ) قطعة نقدية في المجموعة. عندما كان عمرها (30 ) سنة ، كان هناك (530 ) قطعة نقدية في المجموعة. في سن (57 text <،> ) تبرعت فرجينيا بكل عملاتها المعدنية للمتحف.

استخدم وظيفة لنمذجة عدد العملات في مجموعة فيرجينيا ، بدءًا من العام الذي ورثت فيه المجموعة ، وانتهاءً بالسنة التي تم فيها التبرع بالمجموعة. ابحث عن مجال هذه الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

افترض أن شجرة تنمو بمعدل ثابت. عندما غُرِسَت الشجرة كان ارتفاعها (4 ) أقدام. بعد (8 ) سنوات ، نمت الشجرة إلى (10.4 ) أقدام.

استخدم دالة لنمذجة ارتفاع الشجرة بمرور السنين. لنفترض أن الشجرة يمكن أن تعيش (190 ) سنة ، ابحث عن مجال هذه الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

افترض أن شجرة تنمو بمعدل ثابت. عندما غُرِسَت الشجرة كان طولها (2.1 ) قدم بعد (10 ​​) سنوات نمت الشجرة ليبلغ طولها (8.1 ) قدم.

استخدم دالة لنمذجة ارتفاع الشجرة بمرور السنين. لنفترض أن الشجرة يمكن أن تعيش (170 ) سنة ، ابحث عن مجال هذه الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

تم إطلاق جسم في الهواء بسرعة عمودية أولية تبلغ (384 ) قدمًا في الثانية. يمكن نمذجة ارتفاعها مع مرور الوقت من خلال الدالة التربيعية (f text <،> ) حيث (f (t) = <- 16t ^ <2> + 384t> text <.> ) هنا ( t ) يمثل عدد الثواني منذ تحرير الكائن ، ويمثل (f (t) ) ارتفاع الكائن بالقدم.

ابحث عن مجال الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

تم إطلاق جسم في الهواء بسرعة عمودية أولية تبلغ (416 ) قدمًا في الثانية. يمكن نمذجة ارتفاعها مع مرور الوقت من خلال الدالة التربيعية (f text <،> ) حيث (f (t) = <- 16t ^ <2> + 416t> text <.> ) هنا ( t ) يمثل عدد الثواني منذ تحرير الكائن ، ويمثل (f (t) ) ارتفاع الكائن بالقدم.

ابحث عن مجال الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

من قمة منحدر فوق المحيط (<376.32 < rm m >> ) فوق مستوى سطح البحر ، تم إطلاق جسم مباشرة في الهواء بسرعة رأسية أولية (<110.74 < rm mathstrut s >>> text <.> ) في طريقه إلى أسفل ، أخطأ الجرف وسقط في المحيط ، حيث يطفو على السطح. يمكن نمذجة ارتفاعه (فوق مستوى سطح البحر) مع مرور الوقت بواسطة الدالة التربيعية (f text <،> ) حيث (f (t) = <- 4.9t ^ <2> + 110.74t + 376.32> نص <.> ) هنا (t ) يمثل عدد الثواني منذ تحرير الكائن ، و (f (t) ) يمثل ارتفاع الكائن (فوق مستوى سطح البحر) بالأمتار.

ابحث عن مجال الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

من قمة منحدر فوق المحيط (<324.87 < rm m >> ) فوق مستوى سطح البحر ، تم إطلاق جسم مباشرة في الهواء بسرعة رأسية أولية (<93.59 < rm mathstrut s >>> text <.> ) في طريقه إلى أسفل ، أخطأ الجرف وسقط في المحيط ، حيث يطفو على السطح. يمكن نمذجة ارتفاعه (فوق مستوى سطح البحر) مع مرور الوقت من خلال الدالة التربيعية (f text <،> ) حيث (f (t) = <- 4.9t ^ <2> + 93.59t + 324.87> ) نص <.> ) هنا (t ) يمثل عدد الثواني منذ تحرير الكائن ، و (f (t) ) يمثل ارتفاع الكائن (فوق مستوى سطح البحر) بالأمتار.

ابحث عن مجال الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

مجال الوظيفة في هذا السياق هو.

نطاق الوظيفة في هذا السياق هو.

ستقوم ببناء حظيرة غنم مستطيلة بجوار نهر. ليست هناك حاجة لبناء سياج على طول النهر ، لذلك ما عليك سوى بناء ثلاث جهات. لديك إجمالي (460 ) قدم من السياج لاستخدامه. ابحث عن أبعاد القلم بحيث يمكنك إحاطة أقصى مساحة.

استخدم دالة لنمذجة مساحة القلم المستطيل ، فيما يتعلق بطول العرض (الجانبان متعامدان على النهر). ابحث عن مجال الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

ستقوم ببناء حظيرة غنم مستطيلة بجوار نهر. ليست هناك حاجة لبناء سياج على طول النهر ، لذلك ما عليك سوى بناء ثلاث جهات. لديك إجمالي (480 ) قدم من السياج لاستخدامه. ابحث عن أبعاد القلم بحيث يمكنك إحاطة أقصى مساحة.

استخدم دالة لنمذجة مساحة القلم المستطيل ، فيما يتعلق بطول العرض (الجانبان متعامدان على النهر). ابحث عن مجال الوظيفة ونطاقها في هذا السياق.

الاسم الأول للطالب هو دالة لرقم تعريف الطالب.

  1. صف المجال لهذه الوظيفة في جملة. التفاصيل ليست هناك حاجة.
  2. صف نطاق هذه الوظيفة في جملة. التفاصيل ليست هناك حاجة.

السنة التي صنعت فيها السيارة هي دالة لـ VIN (رقم تعريف السيارة).

  1. صف المجال لهذه الوظيفة في جملة. التفاصيل ليست هناك حاجة.
  2. صف نطاق هذه الوظيفة في جملة. التفاصيل ليست هناك حاجة.
تحدي

لكل جزء ، ارسم الرسم البياني لوظيفة مع المجال والنطاق المحددين.


أوجد المجال والمدى للعلاقة المعرّفة بالمجموعة التالية من الأزواج المرتبة [(7،3) (-2، -2) (4،1) (4،1) (-9،0) (0،7 )] وتحديد ما إذا كانت العلاقة دالة

الخطوة 1 - ابحث عن مجال الأزواج المرتبة

في مجموعة الأزواج المرتبة <(7,3),(-2,-2),(4,1),(4,1),(-9,0),(0، 7)> ، المجال هو مجموعة الرقم الأول في كل زوج (تُعرف هذه أيضًا بالقيم المستقلة أو إحداثيات x للنقطة في الرسم البياني الديكارتي xy)اختصاص: .

الخطوة 1 - ابحث عن نطاق الأزواج المرتبة

في مجموعة الأزواج المرتبة <(7 ،3),(-2,-2),(4,1),(4,1),(-9,0),(0,7)> ، النطاق هو مجموعة الرقم الثاني لجميع الأزواج (تُعرف تلك أيضًا باسم المتغير التابع ويتم تمثيلها بإحداثيات y على الرسم البياني XY)نطاق: .

الخطوة 3 - تحديد العلاقة بين الرطوبة أو عدم وجودها هي دالة

لكي تكون العلاقة دالة يعني أنه لكل مدخل يوجد مخرج واحد فقط. بمعنى آخر ، يجب أن تحتوي كل قيمة X على قيمة Y واحدة بالضبط. التحقق من قائمة الأزواج المرتبة.

  • 7 يظهر 1 مرة في المجال
  • -2 يظهر مرة واحدة في المجال
  • 4 يظهر مرتين في المجال
  • -9 يظهر 1 مرة في المجال
  • 0 يظهر 1 مرة في المجال

نظرًا لأن لدينا عناصر متكررة في المجال ، فإننا نستنتج ذلك قائمة الأزواج المرتبة ليست دالة.


كيفية البحث عن المجال والمدى لوظيفة من الدرجة الثانية

مرحبًا ومرحبًا بكم في هذا الفيديو حول مجال ومجموعة الوظائف التربيعية! في هذا الفيديو ، سوف نستكشف كيف تحدد بنية الوظائف التربيعية مجالاتها ونطاقاتها وكيفية تحديد مجال ومدى الدالة التربيعية.

قبل أن نبدأ ، دعنا نعيد النظر بسرعة في مصطلحات النطاق والنطاق.

ال نطاق من وظيفة هي مجموعة من جميع المدخلات الممكنة ، بينما نطاق من وظيفة هي مجموعة من جميع النواتج الممكنة.

يحدد هيكل الوظيفة مجالها ونطاقها. تحتوي بعض الوظائف ، مثل الوظائف الخطية (على سبيل المثال ، (f (x) = 2x + 1 )) على مجالات ونطاقات لجميع الأرقام الحقيقية لأنه يمكن إدخال أي رقم ويمكن دائمًا إنتاج ناتج فريد. من ناحية أخرى ، قد تحتوي الوظائف ذات القيود مثل الكسور أو الجذور التربيعية على مجالات ونطاقات محدودة (على سبيل المثال ، (f (x) = frac <1> <2x> ) (x neq 0 ) لأن لا يمكن أن يكون مقام الكسر 0).

دعونا نرى كيف يحدد هيكل الوظائف التربيعية ويساعدنا في تحديد مجالاتها ونطاقاتها.

يمكن استدعاء الدوال التربيعية معًا أ الأسرة، وهذه الوظيفة الخاصة الأبوين، لأن هذه هي الوظيفة الأساسية من الدرجة الثانية (أي لم يتم تحويلها بأي شكل من الأشكال). يمكننا استخدام هذه الدالة لبدء تعميم مجالات ونطاقات الدوال التربيعية.

لتحديد مجال ونطاق أي دالة على الرسم البياني ، فإن الفكرة العامة هي افتراض أنهما رقمان حقيقيان ، ثم ابحث عن الأماكن التي لا توجد فيها قيم.

فلنتحدث عن المجال أولاً. نظرًا لأن المجال يتعلق بالمدخلات ، فنحن مهتمون فقط بالشكل الذي يبدو عليه الرسم البياني أفقيًا. لمشاهدة النطاق ، دعنا ننتقل من اليسار إلى اليمين على طول x-محور يبحث عن الأماكن التي لا يوجد فيها الرسم البياني.

كما ترى ، لا توجد أماكن لا يوجد فيها الرسم البياني أفقيًا. مجال هذه الوظيفة هو كل الأعداد الحقيقية. في الواقع ، مجال جميع الدوال التربيعية هو كل الأعداد الحقيقية!

الآن من أجل النطاق. سنستخدم نهجًا مشابهًا ، لكننا الآن مهتمون فقط بالشكل الذي يبدو عليه الرسم البياني عموديًا.

كما ترى ، المخرجات موجودة فقط لقيم (y ) - التي تكون أكبر من أو تساوي 0. بمعنى آخر ، لا توجد مخرجات أسفل المحور (x ) -. يمكننا القول إن النطاق هو كل الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي 0.

دعنا نعمم النتائج التي توصلنا إليها مع بعض الرسوم البيانية الأخرى

نطاق هذا الرسم البياني هو جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي 2.

النطاق هنا هو جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من أو تساوي 5.

نطاق هذا الرقم هو جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من أو تساوي -2.

ونطاق هذا الرسم البياني هو جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي -3.

كما ترى ، فإن نقطة التحول ، أو الرأس ، هي جزء مما يحدد النطاق. والآخر هو اتجاه فتح القطع المكافئ. إذا تم فتح دالة تربيعية ، فسيكون النطاق جميع الأرقام الحقيقية أكبر من أو يساوي (y ) - إحداثي النطاق. إذا تم فتح دالة تربيعية لأسفل ، فإن النطاق يكون جميع الأرقام الحقيقية أقل من أو يساوي (y ) - إحداثي النطاق.

يمكن أن تكون الرسوم البيانية مفيدة ، لكننا نحتاج غالبًا إلى الجبر لتحديد نطاق الدوال التربيعية. في بعض الأحيان ، يتم إعطاؤنا معادلة فقط وفي أحيان أخرى لا يكون الرسم البياني دقيقًا بما يكفي لقراءة النطاق بدقة.

لذلك دعونا نلقي نظرة على إيجاد المجال والمدى جبريًا. هناك ثلاثة أشكال رئيسية من المعادلات التربيعية. تتمثل أهدافنا هنا في تحديد الطريقة التي تفتح بها الوظيفة والعثور على (y ) - إحداثيات الرأس.

النموذج القياسي

عندما تكون الوظائف التربيعية في النموذج القياسي، تبدو بشكل عام كما يلي:

إذا كانت (a ) موجبة ، تفتح الوظيفة إذا كانت سالبة ، تفتح الوظيفة لأسفل. في هذا النموذج ، تم العثور على (y ) - إحداثيات الرأس من خلال تقييم (f ( frac <-b> <2a>) ). على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك هذه الوظيفة: (fx = -2x ^ 2 + 8x-3 )

بعد ذلك ، نعوض بهذا: (f (2) = - 2 (2) ^ <2> +8 (2) -3 = -8 + 16-3 = 5 )

(a ) سالب ، لذا فإن النطاق هو كل الأعداد الحقيقية أقل من أو تساوي 5.

شكل فيرتكس

عندما تكون المعادلات التربيعية في شكل قمة الرأس، تبدو بشكل عام كما يلي:

كما هو الحال مع النموذج القياسي ، إذا كانت (أ ) موجبة ، تفتح الوظيفة إذا كانت سالبة ، تفتح الوظيفة لأسفل. يُعطى الرأس بواسطة الإحداثيات ((h، k) ) ، لذلك كل ما نحتاج إلى مراعاته هو (k ). على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = 3 (x + 4) ^ 2-6 ). (a ) موجب والرأس عند ((- 4، -6) ) ، لذا فإن النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية أكبر من أو تساوي (- 6 ).

شكل عامل

في بعض الأحيان يتم تعريف الوظائف التربيعية باستخدام شكل عامل كوسيلة للتعرف بسهولة على جذورهم. على سبيل المثال:

كما هو الحال مع الأشكال الأخرى ، إذا كانت (أ ) موجبة ، تفتح الوظيفة إذا كانت سالبة ، تفتح الوظيفة لأسفل. تتمثل إحدى طرق استخدام هذه الصيغة في ضرب الحدود للحصول على معادلة في الصورة القياسية ، ثم تطبيق الطريقة الأولى التي رأيناها. يمكننا أيضًا تطبيق حقيقة أن الدوال التربيعية متماثلة لإيجاد الرأس. نحن نعرف الجذور ، وبالتالي مواقع تقاطعات (x ). أفقيًا ، يكون الرأس في منتصف المسافة بينهما. بمجرد أن نعرف موقع الرأس - الإحداثي (x ) - كل ما علينا فعله هو استبدال الدالة لإيجاد الإحداثي (y ) -. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = - 2 (x + 4) (x-2) ). تقع التقاطعات (x ) - عند (- 4 ) و (+ 2 ) ، وتقع الرأس عند ( frac <-4 + 2> <2> = -1 ) (ببساطة خذ "متوسط" (س ) - اعتراضات). وسنقوم بتعويض ذلك في معادلتنا الأصلية ، لذلك لدينا: (f (-1) = - 2 (-1 + 4) (- 1-2) = - 2 (3) (- 3) = 18 ). نظرًا لأن (أ ) سالب ، فإن نطاق جميع الأعداد الحقيقية أقل من أو يساوي 18.


3.2: المجال والمدى - الرياضيات

سؤال من جينيوس ، طالب:

اذكر المجال والمدى
ز (س) = س (س -1)

عند البحث عن مجال الدالة $ f (x) $ ، غالبًا ما يكون من الأسهل البحث عن قيم $ x $ التي ليست في مجال $ f (x). الأرقام الحقيقية التي تبحث عنها عن قيم $ x $ بحيث لا ينتج $ f (x) $ رقمًا حقيقيًا. وهكذا على سبيل المثال إذا كان $ f (x) = sqrtلا يمكن أن يكون $ ثم $ x $ سالبًا. لجميع القيم الأخرى لـ $ x ، f (x) $ هو رقم حقيقي لذا فإن المجال $ f (x) = sqrt$ هو كل الأعداد الحقيقية غير السالبة.

لوظيفتك $ g (x) = x (x-1) $ هل هناك أي أرقام حقيقية $ x $ بحيث لا ينتج $ g (x) $ رقمًا حقيقيًا؟

مرة أخرى بالنسبة لنطاق الدالة $ f (x) $ ، غالبًا ما يكون من الأسهل البحث عن الأرقام $ y $ التي لم تحصل عليها أبدًا كنتيجة للدالة $ f (x). = x ^ 2 $ فلن تحصل أبدًا على قيمة سالبة $ f (x) $ ولكن يمكنك الحصول على جميع الأرقام غير السالبة. ومن ثم فإن نطاق $ f (x) $ هو جميع الأرقام غير السالبة.

بالنسبة لمدى $ g (x) $ ، أفضل كتابة التعبير $ y = x (x - 1). $ سأوضح لك طريقتين للتعامل مع هذا ، أحدهما جبريًا لأنني أعتقد أن هذا هو ما هو متوقع وواحد بيانيًا لأنني أعتقد أنه أسهل ، خاصةً إذا كان لديك برنامج أو آلة حاسبة للرسوم البيانية التي سترسم الوظيفة.

ارسم الرسم البياني لـ $ y = x (x-1) $ هل يمكنك قراءة الرسم البياني لمدى هذا التعبير؟

أعد كتابة التعبير $ y = x (x-1) $ بالشكل $ x ^ 2 - x - y = 0 $ وحل من أجل $ x $ باستخدام المعادلة التربيعية العامة. ما قيم $ y $ حيث لا يوجد $ x $ بحيث يكون $ x ^ 2 - x - y = 0؟ $

أقترح عليك حل المشكلة باستخدام كلا الأسلوبين لمعرفة ما إذا كانت إجاباتك متوافقة.


الفرق بين المجال والمدى

المجال والمدى هما مصطلحان ينطبقان على الرياضيات ، خاصة فيما يتعلق بالعلوم الفيزيائية التي تتكون من وظائف. النطاق والمدى هما عاملان رئيسيان يحددان قابلية تطبيق الوظائف الرياضية.

تعني الوظيفة الرياضية الارتباط بين مجموعتين من المتغيرات. في هذه الحالة ، المجال هو المتغير المستقل والمدى هو المتغير التابع. بكلمات بسيطة ، المتغير على طول المحور X هو المجال والمتغير على طول المحور Y هو النطاق.

يمكن تعريف المجال أيضًا على أنه مجموعة من الأرقام التي تناسب متغيرًا مستقلاً. ويمكن تعريف النطاق على أنه مجموعة من الأرقام التي تناسب متغيرًا تابعًا.

سيوضح مثال من الطبيعة بوضوح الفرق بين المجال والمدى. تعد زاوية الشمس فوق الأفق أثناء النهار مثالًا مناسبًا لتصوير المجال والنطاق. المجال هو الوقت بين شروق الشمس وغروبها ، في حين أن النطاق هو المحور من 0 إلى أقصى ارتفاع للشمس في يوم معين على خط عرض معين.

يتم تعريف المجال أيضًا على أنه مجموعة من جميع قيم الإدخال المحتملة. هذا يعني أن قيمة الإخراج ستعتمد على كل عضو. من ناحية أخرى ، يتم تعريف النطاق على أنه مجموعة من جميع قيم الإخراج المحتملة. علاوة على ذلك ، لا يمكن حساب القيم الموجودة في النطاق إلا من خلال الحصول على قيمة المجال.

المجال هو ما يتم وضعه في دالة ، في حين أن النطاق هو نتيجة الدالة مع قيمة المجال.

1. المجال والمدى هما العاملان الأساسيان اللذان يقرران قابلية تطبيق الوظائف الرياضية.
2. المجال هو المتغير المستقل والمدى هو المتغير التابع.
3. المتغير على طول المحور X هو المجال والمتغير على طول المحور Y هو النطاق.
4. يتم تعريف المجال أيضًا على أنه مجموعة من جميع قيم الإدخال المحتملة. من ناحية أخرى ، يتم تعريف النطاق على أنه مجموعة من جميع قيم الإخراج المحتملة.
5. المجال هو ما يتم وضعه في دالة ، بينما النطاق هو نتيجة الدالة مع قيمة المجال.
6. تعد زاوية الشمس & # 8217 s فوق الأفق أثناء النهار مثالًا مناسبًا لتصوير المجال والنطاق. المجال هو الوقت بين شروق الشمس وغروبها ، في حين أن النطاق سيكون المحور من 0 إلى أقصى ارتفاع للشمس في يوم معين على خط عرض معين.


المجال والمدى - المفهوم

جزء مهم من فهم الوظائف هو فهم مجالها ونطاقها. المجال والمدى هي جميع قيم x المحتملة وقيم y للوظيفة ، ويمكن وصفها بسهولة غالبًا من خلال النظر إلى الرسم البياني. من أجل فهم المجال والنطاق ، يجب على الطلاب فهم كيفية تحديد ما إذا كانت العلاقة دالة وتفسير الرسوم البيانية.

أفكار المجال والمدى هي بعض من
أهم الأفكار الرياضية التي يجب رؤيتها
في فصول الرياضيات القادمة.

من المهم حقًا أن تبدأوا يا رفاق
التفكير في المجال كمجموعة من
كل قيم X الممكنة أو قيم الإدخال و
النطاق كمجموعة من كل ما هو ممكن
قيم Y أو قيم الإخراج.

وتريد أن تكون قادرًا على العثور على المجال
وتتراوح ليس فقط من مثل المجموعة
من النقاط ولكن أيضًا لتتمكن من العثور عليها
المجال والمدى من الرسم البياني
حيث قد يكون مثل القليل
تناثر النقاط.

يظهر المجال والنطاق في الكثير من الاختلاف
الأماكن وهذا هو سبب أهميتها
أن تحتفظ بهاتين الفكرتين
مباشرة في رأسك.


الحساب والجبر

ملخص

تحتوي فئة المحتوى الحسابي والجبر على حوالي 34 سؤالًا. تمثل هذه الأسئلة 62٪ من إجمالي الامتحان.

يمكن تقسيم فئة المحتوى هذه بدقة إلى 3 أقسام:

لذا ، فلنتحدث عن قسم الأرقام والعمليات أولاً.

الأرقام والعمليات

يختبر هذا القسم قدرتك على معالجة التعبيرات العددية ، وكذلك استخدام النسب والنسب.

دعنا نتحدث عن بعض المفاهيم التي من المحتمل أن تراها في الاختبار.

التحليل الأولي هو تقسيم عدد صحيح إلى عوامله الأولية.

يمكن تحليل 34 في صورة 2 17. نظرًا لأن كلا من 2 و 17 أعداد أولية (لا يمكن تحليلها إلى عوامل) ، فإن 2 (17) هي التحليل الأولي للعدد 34.

يمكن تحليل 180 في صورة 18 10. يمكن تحليل كلا العاملين معًا مرة أخرى. على سبيل المثال ، يمكن تحليل 18 إلى عوامل 9 2 ، و 10 يمكن تحليلها إلى عوامل 5 2:

الآن ، كل هذه العوامل أولية باستثناء 9 ، والتي يمكن تحليلها إلى عوامل 3 3. لذلك:

الآن ، دعنا نجمع العوامل المكررة:

2²3²5 هو التحليل الأولي لـ 180.

الخطأ المطلق والنسبي

الخطأ المطلق هو التناقض بين القيمة الفعلية والقياس الذي وجدته.

على سبيل المثال ، لديك 20.2 مل من الماء في قارورة. عندما تقيس حجم الماء ، تسجل الحجم على أنه 20.1 مل ، وبالتالي فإن الخطأ المطلق في القياس هو 0.1 مل.

ومع ذلك ، افترض أنك تقدر درجة الحرارة الداخلية للديك الرومي عند 170 درجة مئوية ، عندما تكون درجة الحرارة الفعلية 172 درجة مئوية. الخطأ المطلق في هذه الحالة هو 2 ℉.

الآن لدينا حالتان مختلفتان. في الخطأ الأول ، الخطأ المطلق هو 0.1 مل ، وفي الثاني ، الخطأ المطلق هو 2 ℉. كيف يمكننا مقارنة هذه الأخطاء لأنها في وحدات مختلفة؟

هذا هو المكان الذي يكون فيه الخطأ النسبي مفيدًا. الخطأ النسبي يساوي الخطأ المطلق مقسومًا على القياس.

في حالة قنينة الماء ، الخطأ النسبي = 0.1 / 20.1 ≈ 005. في حالة الديك الرومي ، الخطأ النسبي = 2/170 ≈ .0118.

الجبر

يختبر هذا القسم قدرتك على حل المعادلات الخطية وعدم المساواة ، وكذلك تمثيل الأنماط باستخدام المتتاليات.

إليك بعض المفاهيم التي يجب أن تعرفها.

المعادلات الخطية والمتباينات

ألق نظرة على هذه المعادلة الخطية في متغير واحد:

لحل هذه المعادلة ، علينا عزل المتغير x . يمكننا تحريك -9 إلى الجانب الآخر بإضافة 9 إلى كلا الجانبين:

يمكننا الآن نقل الرقم 5 إلى الجانب الآخر بقسمة كلا الجانبين على 5:

هذا هو حل المعادلة.

هنا متباينة خطية في متغير واحد:

لحل هذه المتباينة ، نحتاج مرة أخرى إلى عزل المتغير x . اطرح 10 من كلا الجانبين:

* ملاحظة: عندما تضرب أو تقسم متباينة على رقم سالب ، يجب أن تعكس المتباينة (اقلب العلامة). *

يمكننا تمثيل الحل x ≥ -3 على خط الأعداد. بما أن هذه المتباينة تستخدم الرمز "≥" ، فإن الحل يتضمن القيمة -3 وكل شيء أكبر من -3. لذلك نظلل إلى اليمين -3 على خط الأعداد.

المعادلات التربيعية هي معادلات حيث يكون للمتغير درجة 2.

لنحل المعادلة التربيعية:

يمكن حل بعض المعادلات التربيعية عن طريق التحليل ، ومع ذلك ، لا يمكن حل هذه المعادلة إلا جبريًا باستخدام الصيغة التربيعية أو عن طريق الرسم البياني. سنحل باستخدام الصيغة التربيعية.

لاستخدام هذه الطريقة ، ضع المعادلة أولاً في الصورة a x 2 + bx + c = 0. للقيام بذلك ، اطرح 2 على طرفي المعادلة:

الآن يمكننا أن نرى ذلك أ = 5, ب = 1 و ج = -2. سنعوض بهذه المعاملات في الصيغة التربيعية:

الوظائف والرسوم البيانية الخاصة بهم

يختبر هذا القسم معرفتك بالوظائف وتمثيلاتها المختلفة ، بما في ذلك التدوين. ستقوم بتقييم الوظائف ، والنمذجة مع الوظائف ، والعثور على خصائص مختلفة للوظائف.

دعونا نتحدث عن بعض المفاهيم.

مجال الوظيفة هو مجموعة المدخلات التي يمكن أن تأخذها الوظيفة والتي تنتج مخرجات رقمية حقيقية.

نطاق الوظيفة هو مجموعة المخرجات التي يمكن أن تقوم بها الوظيفة.

مثال 1: ضع في اعتبارك الوظيفة F ( x ) = √ (4 & # 8211 ײ). بالنسبة إلى x - القيم لتكون في مجال هذه الوظيفة ، لا يمكن أن يكون التعبير تحت الجذر التربيعي سالبًا ، أو ستأخذ الدالة قيمًا تخيلية. لذلك ، يجب أن نحل:

لذلك، x يجب أن يكون أقل من أو يساوي 2. يمكننا كتابة المجال على أنه الفترة من 2 إلى ما لا نهاية باستخدام الترميز [2 ، ∞).

مدى ال F ( x ) هي مجموعة القيم التي يمكن أن تتخذها الوظيفة. نظرًا لأن الإخراج لا يمكن أبدًا أن يكون سالبًا لهذه الوظيفة ، فإن النطاق هو مجموعة جميع الأرقام الحقيقية حيث x 0. يمكننا كتابة ذلك في مجموعة تدوين مثل [0، ∞).

مثال 2: ضع في اعتبارك الوظيفة ز ( x ) = (6x-2) / (3x + 12).

يمكن أن تأخذ هذه الوظيفة أي قيمة x وننتج ناتج رقم حقيقي ، ما لم يكن المقام صفرًا لذلك ، للعثور على القيمة التي ليست في المجال ، حل المعادلة 3 x + 12 = 0:

مجال ز ( x ) إذن هي جميع الأعداد الحقيقية حيث س ≠ -4. في مجموعة الرموز ، تتم كتابة هذا كـ (-∞ ، -4) U (-4 ، ∞).

مدى ال ز ( x ) في هذه الحالة كل الأعداد الحقيقية حيث ذ ≠ 2. يمكنك رؤية هذا من الرسم البياني للوظيفة:

سننظر في تقييم الوظائف لقيمة معينة باستخدام الطرق الجبرية والرسومية والجداولية.

مثال 1: ضع في اعتبارك الوظيفة F ( x ) = -4 س² + 2 س + 1. تجد F (2).

لإيجاد قيمة الدالة جبريًا ، استبدلها بكل بساطة x = 2 في المعادلة:

F (2) = -4(2)² + 2(2) + 1 = -16 + 4 + 1 = -11

مثال 2: ضع في اعتبارك الوظيفة التي يمثلها الرسم البياني أدناه. تجد F (-1).

لتقييم الدالة بيانياً عند -1 ، أوجد ذ -تنسيق النقطة على الرسم البياني الذي يتوافق مع x = -1.

من الرسم البياني ، يمكنك أن ترى أن ملف ذ -تنسيق الوظيفة في x = -1 تساوي -3.

مثال 3: ضع في اعتبارك الوظيفة التي يمثلها الجدول أدناه. تجد F (3).

لايجاد F (3) ، علينا إيجاد قيمة الدالة عند x = 3.

من خلال النظر إلى الجدول ، يمكننا رؤية ذلك F (3) = -2.

وهذه بعض المعلومات الأساسية حول فئة المحتوى في الحساب والجبر.


شاهد الفيديو: إيجاد الدومين والرينج من الرسم دالة القيمة المطلقة ورسمها example 1 (شهر اكتوبر 2021).