مقالات

2.6: حدود لانهائية


حدود لانهائية

يساعدنا تقييم حد دالة عند نقطة ما أو تقييم حد دالة من اليمين واليسار عند نقطة ما على توصيف سلوك دالة حول قيمة معينة. كما سنرى ، يمكننا أيضًا وصف سلوك الوظائف التي ليس لها حدود محدودة.

نوجه انتباهنا الآن إلى (h (x) = 1 / (x − 2) ^ 2 ) ، الوظيفة الثالثة والأخيرة المقدمة في بداية هذا القسم (انظر الشكل (ج)). من الرسم البياني ، نرى أنه مع اقتراب قيم x من 2 ، تصبح قيم (h (x) = 1 / (x − 2) ^ 2 ) أكبر وأكبر ، وفي الواقع ، تصبح غير محدودة. رياضياً ، نقول إن حد (h (x) ) عندما تقترب x من 2 هو ما لا نهاية موجب. من الناحية الرمزية ، نعبر عن هذه الفكرة كـ

[ lim_ {x to 2} h (x) = + ∞. ]

بشكل عام ، نحن نحدد حدود لانهائية كما يلي:

التعاريف: حدود لانهائية

نحدد ثلاثة أنواع من حدود لانهائية.

حدود لا نهائية من اليسار: لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فاصل زمني مفتوح من النموذج ((b، a) ).

أنا. إذا كانت قيم (f (x) ) تزداد بلا حدود حيث تقترب قيم x (حيث (x

ثانيا. إذا كانت قيم (f (x) ) تنخفض بلا حدود حيث تقترب قيم x (حيث (x

حدود لا نهائية من اليمين: لنفترض أن (f (x) ) دالة محددة في جميع القيم في فاصل زمني مفتوح من النموذج ((a، c) ).

أنا. إذا كانت قيم (f (x) ) تزداد بلا حدود حيث تقترب قيم x (حيث (x> a )) من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد عندما يقترب x من a من اليسار هو ما لا نهاية موجب ونكتب [ lim_ {x إلى a +} f (x) = + ∞. ]

ثانيا. إذا كانت قيم (f (x) ) تتناقص بلا حدود حيث تقترب قيم x (حيث (x> a )) من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد عندما يقترب x من a من اليسار هو ما لا نهاية سالب ونكتب [ lim_ {x إلى a +} f (x) = - ∞. ]

حد لانهائي على الوجهين: دع (f (x) ) يتم تعريفه لجميع (x ≠ a ) في فاصل مفتوح يحتوي على (a )

أنا. إذا كانت قيم (f (x) ) تزداد بلا حدود لأن قيم x (حيث (x x a )) تقترب من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد عندما يقترب x من a هو اللانهاية الموجبة ونكتب [ lim_ {x إلى a} f (x) = + ∞. ]

ثانيا. إذا كانت قيم (f (x) ) تتناقص بلا حدود لأن قيم x (حيث (x x a )) تقترب من الرقم (a ) ، فإننا نقول أن الحد عندما يقترب x من a هو اللانهاية السالبة ونكتب [ lim_ {x إلى a} f (x) = - ∞. ]

من المهم أن نفهم أنه عندما نكتب عبارات مثل ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) أو ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = −∞ ) نحن نصف سلوك الوظيفة كما حددناها للتو. نحن لا نؤكد وجود حد. لكي تتواجد حد الدالة f (x) عند a ، يجب أن تقترب من العدد الحقيقي L عندما تقترب x من a. ومع ذلك ، إذا كان ، على سبيل المثال ، ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) ، نكتب دائمًا ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) بدلاً من ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) ) DNE.

مثال ( PageIndex {5} ): التعرف على حد لانهائي

قم بتقييم كل من الحدود التالية ، إن أمكن. استخدم جدول القيم الوظيفية والرسم البياني (f (x) = 1 / x ) لتأكيد استنتاجك.

  1. ( displaystyle lim_ {x to 0−} frac {1} {x} )
  2. ( displaystyle lim_ {x to 0+} frac {1} {x} )
  3. ( displaystyle lim_ {x to 0} frac {1} {x} )

حل

ابدأ ببناء جدول القيم الوظيفية.

(س ) ( فارك {1} {س} ) (س ) ( فارك {1} {س} )
-0.1-100.110
-0.01-1000.01100
-0.001-10000.0011000
-0.0001-10,0000.000110,000
-0.00001-100,0000.00001100,000
-0.000001-1,000,0000.0000011,000,000

أ. تنقص قيم (1 / x ) بلا حدود حيث تقترب (x ) من 0 من اليسار. نستنتج أن

[ lim_ {x to 0 -} frac {1} {x} = - ∞. nonumber ]

ب. تزداد قيم (1 / x ) بلا حدود لأن (x ) يقترب من 0 من اليمين. نستنتج أن

[ lim_ {x to 0 +} frac {1} {x} = + ∞. لا يوجد رقم]

ج. بما أن ( displaystyle lim_ {x to 0 -} frac {1} {x} = - ∞ ) و ( displaystyle lim_ {x to 0 +} frac {1} {x} = + ∞ ) لها قيم مختلفة ، نستنتج ذلك

[ lim_ {x to 0} frac {1} {x} DNE. لا يوجد رقم]

يؤكد الرسم البياني (f (x) = 1 / x ) في الشكل ( PageIndex {8} ) هذه الاستنتاجات.

الشكل ( PageIndex {8} ): يؤكد الرسم البياني (f (x) = 1 / x ) أن النهاية عندما تقترب x من 0 غير موجودة.

تمرين ( PageIndex {5} )

قم بتقييم كل من الحدود التالية ، إن أمكن. استخدم جدول القيم الوظيفية والرسم البياني (f (x) = 1 / x ^ 2 ) لتأكيد استنتاجك.

  1. ( displaystyle lim_ {x to 0 -} frac {1} {x ^ 2} )
  2. ( displaystyle lim_ {x to 0 +} frac {1} {x ^ 2} )
  3. ( displaystyle lim_ {x to 0} frac {1} {x ^ 2} )

2.6: حدود لانهائية

7. أوجد جميع الخطوط المقاربة العمودية لـ ( displaystyle f left (x right) = frac <<7x>> <<<< left (<10 - 3x> right)> ^ 4 >>> ).

تذكر أن الخطوط المقاربة العمودية ستحدث عند (س = أ ) إذا كان أي من الحدود (من جانب واحد أو الحد الكلي) عند (س = أ ) زائد أو ناقص اللانهاية.

من الأمثلة السابقة يمكننا أن نرى أنه بالنسبة للتعبيرات المنطقية ، ستحدث الخطوط المقاربة الرأسية حيث يوجد قسمة على صفر. لذلك ، يبدو أن الخط المقارب العمودي الوحيد الممكن سيكون عند (x = < textstyle <<10> over 3 >> ).

دعنا الآن نتحقق من أن هذا هو في الواقع خط مقارب رأسي من خلال تقييم الحدين من جانب واحد ،

في كلتا الحالتين مثل (x to < textstyle <<10> over 3 >> ) (من اليسار واليمين) ينتقل البسط إلى ( over 3 >>) .

بالنسبة للحدود أحادية الجانب ، لدينا المعلومات التالية ،

الآن ، بسبب الأس الموجود في المقام ، يمكننا أن نرى أنه بالنسبة لأي من النهايتين الأحادية الجانب لدينا ،

لذلك ، في كلتا الحالتين ، في النهاية ، يقترب البسط من رقم موجب ثابت والمقام موجب ويصغر بشكل متزايد. لذلك سيكون لدينا ،

يشير أي من هذه الحدود إلى وجود خط مقارب عمودي عند (x = over 3 >>).


إلى application.conf. يتم استخدام البادئة play.server فقط لمجموعة فرعية صغيرة من الميزات الملائمة لدمج Akka-HTTP في Playframework ، على سبيل المثال play.server.akka.request مهلة. تم توثيق ذلك في توثيق تكوين الواجهة الخلفية لخادم Akka HTTP.

كنت أتلقى خطأ بسبب تجاوز طول الرأس الافتراضي 8 كيلوبايت (8192). تمت إضافة ما يلي إلى build.sbt وعمل لي: د

يمكنك تجربة طريقة مماثلة لطول uri إذا لم تنجح الخيارات الأخرى

استغرق هذا الطريق طويلا لاكتشاف. بطريقة ما ليس يمكن العثور عليها في الوثائق.

إليك مقتطف (تم تأكيد العمل مع play 2.8) لوضعه في application.conf الخاص بك والذي يمكن تكوينه أيضًا عبر متغير بيئة ويعمل من أجل على حد سواء وضع dev و prod:

يمكنك بعد ذلك تحرير التكوين أو باستخدام تطبيق تم نشره بالفعل ، فقط قم بتعيين PLAY_MAX_URI_LENGTH وهو قابل للتكوين ديناميكيًا دون الحاجة إلى تعديل وسيطات سطر الأوامر.


حدود السباق 4+

Racing Limits هي لعبة سباق متعددة اللاعبين من التجاوز والسباق في حركة المرور المعتادة. تحدد هذه اللعبة معايير الجوال لألعاب سباقات الممرات اللانهائية.

تحدد حدود السباق المعايير المتنقلة لألعاب سباقات الممرات اللانهائية. استنادًا إلى السباق والمركبات التي تتجاوز المركبات في كل من حركة المرور في المدينة والطرق السريعة ، تتميز هذه اللعبة بخمسة أوضاع ممتعة للسباق: وضع الناقل ، الوضع اللانهائي ، الوضع المعاكس للوقت ، الوضع الحر ووضع متعدد اللاعبين. يمكنك الاختيار بين حركة مرور أحادية الاتجاه وذات اتجاهين والاختيار من بين ثلاث مرات من فترات اليوم ، وهي "الصباح" و "الغروب" و "الليل".

لا توجد حدود في Racing Limits ولكن فقط مهاراتك في السباق! لذا قم بالقيادة بأسرع ما يمكنك ، وقم بتجاوزات حادة ، وافعل ما لا يمكنك فعله في الحياة الواقعية ، وأخيراً تسابق إلى حدودك

- REALTIME MULTIPLAYER: يمكنك التنافس مع أصدقائك أو مع متسابقين آخرين من جميع أنحاء العالم في وضع متعدد اللاعبين. تنفذ هذه اللعبة أفضل سباقات متعددة اللاعبين في الوقت الفعلي على الأجهزة المحمولة.

- زوايا الكاميرا المتعددة: هناك 4 زوايا للكاميرا. طائرات الهليكوبتر والظهر وغطاء المحرك وقمرة القيادة. جميع المركبات التي يمكنك اختيار قيادتها تأتي أيضًا بتصميمات داخلية عالية الجودة لتقديم أفضل تجربة ممكنة لكاميرا قمرة القيادة.

- ضوابط حساسة وسهلة للغاية: حدود السباق لديها أدوات تحكم سهلة وحساسة للغاية في اللعبة لتستمتع بها كثيرًا.

- فيزياء القيادة: تتمتع جميع السيارات في حدود السباق بقوة وعزم دوران ونسب تروس واقعية. تعتمد عملية التسريع والسرعات القصوى على محاكاة كاملة. يتم أخذ وزن جسم السيارة ونسب التروس وقوة المحرك ونسب عزم الدوران في الاعتبار.

- الكثير من المركبات ذات التفاصيل العالية جدًا: تنتظرك الكثير من المركبات ذات المستويات العالية من التفاصيل الرسومية لقيادتها! التفاصيل الرسومية للسيارات الموجودة في Racing Limits هي الأفضل في فئتها.

- الضبط والترقيات: يمكنك تخصيص سيارتك عن طريق تغيير نسب التروس وارتفاعات الركوب وزوايا الحدبة ذات العجلات. يمكنك ترقية المحرك والمكابح والتحكم للحصول على أداء أفضل. تتوفر أيضًا العديد من ألوان الهيكل والحافة لتختار منها.

- الرسومات الواقعية: تتميز حدود السباق بالكثير من التحسينات على تفاصيل عالية جدًا ورسومات واقعية.

- الكثير من أحداث السباق: لن تشعر بالملل أبدًا أثناء لعب Racing Limits. لديها الكثير من مستويات وضع الناقل ، 3 مسارات سباق ، 3 فترات من اليوم و 5 أوضاع لعب مختلفة.

- اللغات: ست لغات مدعومة حاليًا في Racing Limits والكثير من اللغات الأخرى لم تظهر بعد في الإصدارات المستقبلية.


2.6: حدود لانهائية

(البسط دائمًا 100 ويقترب المقام عندما يقترب x ، بحيث يقترب الكسر الناتج من 0.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(البسط دائمًا 7 ويقترب المقام عندما يقترب x ، بحيث يقترب الكسر الناتج من 0.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(هذا لا يساوي 0. إنه شكل غير محدد. يمكن التحايل عليه عن طريق التحليل إلى عوامل.)

(مع اقتراب x ، يقترب كل من التعبيرين و 3 x - 1000.)

(هذه ليست صيغة غير محددة. لها معنى.)

(وبالتالي ، فإن النهاية غير موجودة. لاحظ أن الحل البديل يتبعه أولاً ، أعلى قوة لـ x. جربها.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(مع اقتراب x ، كل من التعبيرين والنهج.)

(هذه ليست صيغة غير محددة. لها معنى.)

(وبالتالي ، فإن النهاية غير موجودة. لاحظ أن الحل البديل يتبعه أولاً ، أعلى قوة لـ x. جربها.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(لاحظ أن التعبير يؤدي إلى الشكل غير المحدد. تحايل على هذا عن طريق التحليل المناسب.)

(مع اقتراب x ، يقترب كل تعبير من التعبيرات الثلاثة ، و x - 10.)

(وبالتالي ، فإن النهاية غير موجودة. لاحظ أن الحل البديل يتبعه أولاً ، أعلى قوة لـ x. جربها.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(هذه صيغة غير محددة. تحايل عليها بقسمة كل حد على x.)

(مع اقتراب x ، يقترب كل من التعبيرين من 0.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(لاحظ أن التعبير يؤدي إلى الصيغة غير المحددة مع اقتراب x. تحايل على هذا بقسمة كل حد في المشكلة الأصلية على.)

(كل من التعبيرات الثلاثة ، ويقترب من الصفر عندما تقترب x.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(لاحظ أن التعبير يؤدي إلى الصيغة غير المحددة مع اقتراب x. تحايل على هذا بقسمة كل مصطلح في المشكلة الأصلية على أعلى قوة لـ x في المشكلة. هذه ليست الخطوة الوحيدة التي ستنجح هنا. القسمة على ، أعلى قوة لـ x في البسط ، تؤدي أيضًا إلى الإجابة الصحيحة. قد ترغب في تجربة كلا الطريقتين لإقناع نفسك بذلك.)

(كل من التعبيرات الخمسة ، ، ، ، ويقترب من الصفر عندما تقترب x.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(لاحظ أن التعبير يؤدي إلى الصيغة غير المحددة مع اقتراب x. تحايل على ذلك بقسمة كل مصطلح في المشكلة الأصلية على أعلى قوة لـ x في المشكلة. هذه ليست الخطوة الوحيدة التي ستنجح هنا. القسمة بواسطة x ، أعلى قوة لـ x في المقام ، تؤدي في الواقع بسهولة أكبر إلى الإجابة الصحيحة. قد ترغب في تجربة كلتا الطريقتين لإقناع نفسك بذلك.)

(كل من التعبيرات الثلاثة ، ويقترب من الصفر عندما تقترب x.)

(هذه ليست صيغة غير محددة. لها معنى. ومع ذلك ، لتحديد معناها الدقيق يتطلب المزيد من التحليل لأصل الصفر في المقام. لاحظ أن =. ويترتب على ذلك أنه إذا كان x رقمًا سالبًا ، فإن كلاهما التعبيرات وسالب بحيث يكون موجبًا. وبالتالي ، بالنسبة للتعبير ، يقترب البسط من 7 ويكون المقام عبارة عن كمية موجبة تقترب من 0 مع اقتراب x. الحد الناتج هو.)

(وبالتالي ، فإن الحد غير موجود.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(ستتعلم لاحقًا أن الخطوة السابقة صالحة بسبب استمرارية دالة الجذر التربيعي.)

(يوجد داخل علامة الجذر التربيعي شكل غير محدد. يمكنك الالتفاف حوله بقسمة كل حد على ، أعلى قوة لـ x داخل علامة الجذر التربيعي.)

(يقترب كل من التعبيرين من الصفر عندما تقترب x.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

(تحايل على هذا الشكل غير المحدد باستخدام مرافق التعبير بطريقة مناسبة.)


مساعدة في حدود في حساب التفاضل والتكامل

كل حساب التفاضل والتكامل يعتمد
على أساس أنه يمكننا دائمًا استخدام تقديرات تقريبية لزيادة الدقة لـ
ابحث عن الإجابة الدقيقة ، مثل تقريب منحنى بسلسلة من الخطوط المستقيمة
في حساب التفاضل (الخطوط الأقصر والمسافة بين النقاط
اقتراب 0 ، كلما اقتربت من تشابه المنحنى) أو تقريبية
مادة صلبة كروية بواسطة سلسلة من المكعبات في حساب التفاضل والتكامل المتكامل (بحجم
تصبح المكعبات أصغر ويقترب عدد المكعبات من اللانهاية داخل الكرة ،
تصبح النتيجة النهائية أقرب إلى المساحة الفعلية للكرة).

بمساعدة التكنولوجيا الحديثة ، غالبًا ما يكون من السهل إنتاج الرسوم البيانية للوظائف.
ينصب التركيز الرئيسي بين المعلومات الهندسية والتحليلية وعلى الاستخدام
حساب التفاضل والتكامل للتنبؤ بالسلوك المحلي وطويل المدى المرصود وتفسيره
من وظيفة. في فصول التفاضل والتكامل ، عادةً ما تكون الحدود هي الموضوع الأول الذي يتم تقديمه.

نحتاج إلى فهم طريقة عمل التفاضل والتكامل
لفهم مفهوم الحد. تستخدم الحدود في التفاضل عند البحث
التقريب ل
منحدر خط عند نقطة معينة ، وكذلك التكامل عند إيجاد
منطقة تحت منحنى. في حساب التفاضل والتكامل ، تقدم الحدود مكون ما لا نهاية.
يمكننا أن نسأل أنفسنا ، ما الذي يحدث لقيمة الدالة كمستقل
متغير يقترب بشكل لا نهائي من قيمة معينة؟

يوضح الرسم البياني إيجاد نهاية المتغير التابع و (خ) مثل
x اقتراب ج. هناك طريقة لإيجاد ذلك وهي التعويض بالقيم التي تحصل عليها
قريبة من c من اليسار والقيم قريبة من c من اليمين.

لتوضيح مفهوم الحد بشكل أكبر ، ضع في اعتبارك تسلسل أرقام
س:

هذه القيم تقترب أكثر فأكثر من 2 (أي أنها تقترب من 2 مثل
حدهم). يمكننا القول أنه بغض النظر عن القيمة التي نعتبرها ، 2 هي الأصغر
قيمة أكبر من كل ناتج و (خ) في التسلسل. كما نأخذ
الاختلافات في هذه الأرقام ، سوف تصبح أصغر وأصغر. في حساب التفاضل والتكامل ، الفرق بين شروط
يمكن جعل التسلسل وحدهما صغيرين إلى ما لا نهاية.

في بعض الأحيان ، فإن إيجاد القيمة المحددة للتعبير يعني ببساطة الاستبدال
رقم.

(1) أوجد الحد كـ ر يقترب من 10 من التعبير

نكتب هذا باستخدام ترميز النهايات

في هذا المثال ، نعوض ببساطة ونكتب

لا يوجد أي تعقيد بسبب م = 3 طن + 7 هي وظيفة مستمرة ، ولكن
هناك حالات لا يمكننا فيها ببساطة استبدال مثل هذا.

(2) أوجد النهاية عندما تقترب x من 0 من

لاحظ أنه لا يمكننا ببساطة استبدال 0 لأن الخطيئة (0) و frasl0
غير معرّف ، وبالتالي فهو ليس مستمرًا. لا توجد عملية جبرية
للعثور على هذا الحد. إذا أدخلنا 0 من أجل x، سوف نحصل على 0 و frasl0,
وهو غير محدد. ومع ذلك ، هناك طريقة باستخدام التفاضل (انظر قاعدة L & # 8217Hopital & # 8217s). في وسعنا
أوجد الحد دون استخدام التفاضل بالنظر إلى سلوك الدالة & # 8217
من يسار ويمين x = 0. يمكننا التعويض بالقيم التي تقترب أكثر فأكثر
إلى 0 من اليسار والجانب الأيمن لاستنتاج ذلك

هناك طريقة للتحقق من ذلك وهي رسمها بيانيًا ورؤية أن الحد كـ x يحصل أقرب
إلى 0 هو 1.

& # 8217s ننظر إلى عرض مصغر لهذه الصورة وننظر إلى سلوكها على أنه x
تصبح كبيرة بلا حدود وصغيرة بشكل لا نهائي.

هل هذه الصورة تبدو مألوفة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فهذا & # 8217s لأنه مشابه للوظيفة
من الموجة الصوتية ، حيث x المحور هو الوقت و ذ المحور هو المبلغ
ديسيبل (الحجم). لاحظ أن الموجة تنحرف في أي اتجاه
تقترب من 0 ولكنها لا تستقر أبدًا. من المثير للاهتمام التفكير في أن كل صوت
لا تزال الموجة التي تم إنشاؤها على الإطلاق موجودة وتتأرجح عند مستوى صغير جدًا!

(3) النظر في الحد مثل x يقترب من لانهاية الوظيفة و (خ)
= 5 وفراسلx

يمكننا إيجاد ذلك إذا أخذنا قيمًا أكبر وأكبر لـ x، قيمة
تصبح الكسور أصغر وأصغر حتى تقترب جدًا من الصفر. نقول ذلك
حد 5 وفراسلx مثل x يقترب من اللانهاية
هو 0:

(4) أوجد نهاية هذه الدالة كـ x يقترب من اللانهاية.

بالنسبة لهذه الوظيفة ، ليس من الواضح ما هي النهاية. يمكننا أن نستبدل
أكبر وأكبر من x حتى نرى ما يحدث (جرب 100 ، إذن
1000 ، ثم 10000 ، وهكذا). يمكننا أيضًا إعادة ترتيب التعبير واستخدام
حقيقة أن الحد ك x يقترب من اللانهاية 1 وفراسلx
هي 0 للعثور على القيمة المحددة.

نحن نقسم من خلال x للحصول على التعبير في شكل يمكننا إيجاد قيمته
هو - هي.

لاحظ أنه لا يمكننا تعويض اللانهاية في الكسر لأن ذلك لا يحدث
له معنى رياضي (اللانهاية ليست رقمًا). ال 5 وفراسلx
و ال 1 وفراسلx انتقل إلى 0 مثل x تقترب من اللانهاية ،
حتى تصبح هذه القيم 0. نقوم بتقييم الحد كـ -1 & frasl2.

(5) قد توجد الحدود أيضًا عند نقطة على الرسم البياني حيث يكون الناتج و (خ)
هي قيمة مختلفة.

يمكننا أن نرى أنه على الرغم من أن الرسم البياني غير متصل مثل x= 2 ، نعرف هناك
يوجد حد لأن الرسم البياني يقترب من 2 من اليسار واليمين.

(6) دع & # 8217s تنظر في الوظيفة و (س) = 1 وفراسلx:

ما هو سلوك هذه الوظيفة باسم x القيمة تكبر؟ في وسعنا
نرى أن الرسم البياني يقترب من x المحور الذي يبلغ ارتفاعه 0. إذا
نتذكر في علم التفاضل والتكامل والجبر ، سيكون لهذه الوظيفة خط مقارب عند ذ
= 0
. يمكننا أن نقول ذلك x تقترب من اللانهاية ، و (خ) يقترب
0.

وبالمثل ، يمكننا أن نقول ذلك كـ x تقترب من اللانهاية السلبية ، تقترب
0 كذلك.

يمكننا أن نستنتج أن واحدًا على ما لا نهاية وواحدًا على سالب ما لا نهاية متساويان
0.

في الواقع ، أي رقم فوق اللانهاية الموجبة أو السالبة سوف يتقارب مع 0 & # 8211 إلا إذا
كل من البسط والمقام اللانهاية موجب أو سالب ، ثم هما
سوف تتقارب مع 1.

ضع في اعتبارك أن اللانهاية الموجبة والسالبة هي فقط الأفكار. هذا هو
لماذا نستخدم الحدود في التدوين الرياضي لإثبات أن الرقم يكبر بشكل غير محدود
أو صغيرًا ، يتقارب إلى رقم أو لا يتقارب على الإطلاق!

ماذا عن متى x تقترب من 0؟ يمكننا أن نرى أنه يقترب من ذ
المحور (س = 0) من اليمين يصبح كبيرًا حقًا ، وعندما يقترب من ذ
من اليسار يصبح صغيرًا جدًا. يمكننا أن نستنتج ذلك

هذا غير ممكن! بما أن الحد يختلف عن اليسار واليمين ،
لا وجود لها. هذا هو السبب في أن القسمة على 0 غير معرفة & # 8211 تساوي كلاهما موجب
واللانهاية السلبية!

(7) هذا مثال هندسي للنهاية. & # 8217s ننظر إلى مضلع محفور
في دائرة. إذا قمنا بزيادة عدد أضلاع المضلع ، فماذا يمكننا أن نقول
حول المضلع بالنسبة للدائرة؟

كلما زاد عدد جوانب المضلع ، يقترب المضلع أكثر فأكثر
لتصبح الدائرة. إذا قمنا بتعميم المضلع باعتباره n-gon ، فأين
ن هو عدد الجوانب ، يمكننا تقديم بعض العبارات الرياضية عنها
المضلع:

  • مثل ن يصبح أكبر حجمًا ن-غون يقترب من كونه الدائرة.
  • مثل ن يقترب من اللانهاية ن-غون يقترب من الدائرة.
  • حد ن-غون مثل ن يذهب إلى اللانهاية هي الدائرة.

يمكننا أيضًا استخدام الاشتقاق لحل حدود أكثر تعقيدًا ، مثل غير محدد
حدود
. هذه حدود حيث كل من البسط والمقام نهج
0 أو ما لا نهاية موجب أو سالب ، مثل

في الحد على اليسار ، متى x النهج 3 ، حاصل القسمة يقترب
0/0. ليس من الواضح ما الذي يفعله الحد x = 3. في الحد الأقصى
على حق x يقترب من اللانهاية ، سيصبح الحاصل & infin & frasl& ما لا نهاية.
مرة أخرى ، ليس من الواضح تمامًا ما ستكون النهاية عندما تقترب x من اللانهاية. لذلك،
يعتبر هذان الحدين غير محددين.


إذا كان الأثير لانهائيًا ، فهل & # x27t يحدها & # x27s؟

يندفع الناس للحصول على الأثير ، ولكن ليس من المنطقي بالنسبة لي سبب ذلك. القيمة على أساس الندرة صحيح؟ الندرة بسبب وجود كمية محدودة من المورد الصحيح؟ وفقًا لمعرفتي ، سيتم استخدام الأثير كوقود لجميع dApps (التطبيقات) على المنصة. لذلك مع كون كل شيء يتم تداوله على أساس الرسوم ، يتم دائمًا تداول الأثير ، بينما يتم تعدينه في وقت واحد ، وبالتالي سيكون هناك وفرة منه في مرحلة ما. نتيجة لهذا التعدين والتداول الذي لا ينتهي أبدًا والكمية اللانهائية منه ، ستصبح الأثير عديمة القيمة في النهاية. هل انا غير صحيح؟

يمكن للمرء أن يقول أنه يمكن استبدال إيثر بعملة أخرى ، ولكن لماذا قد يرغب أي شخص في استبدال عملة ذات قيمة مقابل إيثر ، وهو أمر لا نهائي؟

نعم ، سيكون هناك gzillion ethers في مليارات السنين ، لكن معظم البشر ، كونهم بشر ، لديهم فقط أفق زمني لبضعة عقود ، وفي تلك النافذة الزمنية سيكون عدد الإيثرات الموجودة قليلًا.

هذا هو التفسير الوحيد المعقول ، لكنه في الحقيقة ليس شيئًا من شأنه أن يجعلني أرغب في الاحتفاظ بالأثير. إذا كنت بحاجة إلى استخدامه ، فأنا & # x27d فقط أشتري ما أحتاجه من مخزوني من العملات من نظام غير تضخمي. لدي قدر لا بأس به من الثقة في أن المبالغ الصغيرة اللازمة للمشاركة في النظام البيئي لن تكون باهظة الثمن. لكن من يدري ربما أكون مخطئًا.

ذات صلة بسؤال OP & # x27s: للتدفق النقدي الأبدي ، القيمة الحالية هي x / d ، حيث x هو التدفق النقدي السنوي ، d هو معدل الخصم السنوي. إذن ، 1 دولار سنويا له قيمة حالية قدرها 20 دولارًا. على الرغم من أن مجموع كل التدفقات النقدية لا متناهية.

لكن هذا في الواقع لا علاقة له بالفناء. إن التفضيل الذي يمنحه الأفراد للفوائد (مثل الاستهلاك) هو عاجلاً وليس آجلاً. هذا مهم لأن السوق يتصرف بشكل فعال كفرد خالد. على سبيل المثال ، سيتم تقييم الأداة (القابلة للتحويل) التي تحمل تدفقًا نقديًا إلى الأبد من قبل السوق لعائداتها غير المحدودة ، وليس فقط للعوائد التي يتوقعها حاملها الحالي قبل وفاته.

الأثير ليس عملة ، الأثير هو الغاز. يبدو الأمر وكأنك تشتري الغاز اليوم وتضعه في الصوامع. إذا كنت بحاجة إليها لسيارتك ، يمكنك استخدامها ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، يمكنك بيعها لشخص آخر أو الاحتفاظ بها. يتقلب سعر الغاز تمامًا مثل المال أو أي شيء آخر ، ولكن النقطة الأساسية هي أنه يتقلب بسبب الاستخدام وليس بسبب الندرة فقط. TLDR إذا كان الناس سيخلقون ويستخدمون dapps ، فإن قيمة الغاز سترتفع ، وإلا فسوف تنخفض. أو يمكنك الانتظار للحصول على عملة رقمية تعتمد على الإيثريوم ، لكنها & # x27s ليست الأثير.

هذا مضلل للغاية.

يهدف إيثر إلى العمل كمخزن للقيمة أيضًا ، ومن ثم فهو & # x27s في منافسة مباشرة مع عملة البيتكوين.

حسنًا ، الدولار تضخمي أيضًا ، أليس كذلك؟

أيضًا ، ضع في اعتبارك أنه في حين أن نسبة كل الأثير الموجود التي تتكون منها كمية معينة من الأثير ، فإنها تذهب إلى الصفر مع مرور الوقت إلى ما لا نهاية ، والمعدل الذي تتجه فيه النسبة إلى الصفر ، يذهب أيضًا إلى الصفر.

لذلك ، إذا كان لدى المرء دخل في الأثير وهو أي معدل ثابت ، فإن نسبة إجمالي الأثير الواحد ، مقسومة على إجمالي الأثير الموجود ، تذهب إلى رقم موجب مع مرور الوقت إلى اللانهاية.

الدولار الأمريكي هو أيضا تضخم ، أليس كذلك

من الناحية النظرية ، هناك عدد لا حصر له من الأفكار الجيدة وما زال البعض يقول إنها تستحق الذهب.

المنطق الوحيد لدي هو أن الناس سيحتاجون أكثر لأن هناك المزيد من dapps ، لكن تعليقي غبي

عادة نعم. ولكن مع ظهور "إثبات الحصة" في الأفق ، أعتقد أنه مصدر قلق أقل.

عليك أن توازن بين إمداد الأثير ونمو النظام البيئي ÐApp. إذا أصبح إيثر فجأة 280 دولارًا أمريكيًا / إيثريوم بسبب الندرة ، فسيؤدي ذلك إلى إعاقة معدل اعتماد ÐApps. التضخم هو وسيلة لتشجيع الناس على استخدام ÐApps.

ولهذا السبب أيضًا يتحدث الاقتصاديون مثل جيانيس فاروفاكيس ضد البيتكوين كشيء يمكن أن يحل محل العملة الورقية لاقتصاد أمة بأكمله. إن عملة البيتكوين هي حالة انكماشية ، مشكلة الانكماش هي أن الناس يحتفظون بأموالهم ويؤخرون النفقات ، لأنها ستكون أرخص في المستقبل. لا أحد يستثمر - ويذهب الاقتصاد العام إلى هراء.

قد يقترب معدل التضخم من الصفر عندما يتم تحويل الإيثيريوم إلى PoS. لذلك قد لا يكون هناك أبدًا أكثر من 100M-150M ETH (بعيدًا عن اللانهائية).

تحرير: كنت أقرأ للتو مشاركة مدونة جديدة لـ Vlad & # x27s وقد قال ذلك بالضبط: من المحتمل أن يحصل المدققون على رسوم المعاملات فقط (هذا يعني أن معدل التضخم صفر)

لن يكون هناك وقت تعيش فيه كمية لا نهائية من الأثير. ومن ثم سيكون دائما نادرا.

سؤال عام: يتم استخدام الأثير المستخدم كغاز لتشغيل الخطوات الحسابية في عقد ذكي ويخرج من الاقتصاد (مثل محرك يحرق البنزين إلى حرارة وثاني أكسيد الكربون والطاقة الحركية) أم يتم نقله إلى عمال المناجم؟

تم نقلها إلى عمال المناجم. هذا هو مكافأتهم على تشغيل أجهزة الكمبيوتر الخاصة بهم. كلما زاد عدد العمليات الحسابية ، زادت تكلفة تشغيل الكمبيوتر ، لذلك يحتاج عمال المناجم إلى حافز لإجراء العمليات الحسابية بالفعل. إذا لم يحصلوا على مكافأة الغاز هذه ، فيمكنهم فقط اختيار تشغيل عقود رخيصة وتوفير فواتير الكهرباء. يتم تكبير هذا حيث يتعين على كل كمبيوتر في الشبكة تشغيل كل عملية حسابية للتحقق منها.

أنت & # x27re سوء الفهم. خلال فترة زمنية معتدلة ، فاز العرض بمقدار & # x27t يتغير بهذا القدر.

وأنت & # x27re تفتقد تمامًا نقطة أساسية. يتم تطبيق الوسيطة & quotinficary مقابل الانكماش & quot على العملات فقط بعد لقد وصلوا إلى توازن أسعارهم. لم يتم تداول إيثر حتى الآن في إحدى البورصات ، لذلك يمكن أن يكون لها اتجاه صعودي هائل.

ربما سيكون من الأفضل في 5 سنوات تخزين قيمة طويلة الأجل في BTC بدلاً من الأثير ، ولكن ليس بعد. أنت & # x27 تركز على جانب العرض في المعادلة ، وتهمل جانب الطلب. إذا زاد العرض بنسبة 50٪ وزاد الطلب بنسبة 5000٪ فماذا تعتقد سيحدث؟

ماذا لو زاد عرض الأثير بمقدار 1 إيثر في العقد؟ ألن تقتبس & quot؛ اللانهاية & quot؛؟ في النهاية؟ لكن هل من المنطقي أن نقول إنها لا قيمة لها الآن؟ فقط لا تشتري سندات بقيمة 10 مليارات سنة من الأثير وستكون بخير.


بات

الأسبوع الأول من حساب التفاضل والتكامل ، والحديث هو كل شيء عن الحدود واللانهاية.

يقولون أن أحد أوائل استكشافات Leibniz في الحدود والمتسلسلة اللانهائية كان في العثور على مجموع مقلوب الأرقام المثلثية ، أو $ sum_ <1> ^ < infty> frac <2> <(n) (n + 1)> $

الأرقام المثلثية هي الأرقام التي يمكن إجراؤها عن طريق جمع الأعداد الصحيحة

1 ، 1 + 2 = 3 ، 1 + 2 + 3 = 6 ، إلخ .. تظهر أيضًا على أنها الرقم الثالث في كل صف من صف مثلث باسكال الحسابي ، لذا فهي عبارة عن مجموعة من n أشياء مأخوذة اثنين في كل مرة. إذن ، الرقم الثلاثي n هو $ dbinom<2> $ = $ frac <(n) (n + 1)> <2> $

سيكون تسلسل التبادلات عندئذٍ $ frac <1> <1> + frac <1> <3> + frac <1> <6> +. + frac <2> <(n) (n + 1)> $

ولكن إذا كتبناها باستخدام $ frac <2> <(n) (n + 1)> $ = $ frac <2>> $ - $ frac <2>$ model لكل مصطلح ، ثم يحدث شيء مثير للاهتمام.

كتابة 1 كـ $ frac <2> <1> - frac <2> <2> $ قد يبدو سخيفًا في البداية ، لكن إذا اتبعت ذلك بـ 1/3 = $ frac <2> <2> - frac <2> <3> $ أنت تدرك أنه عند جمعهما معًا ، فإن المصطلحات البديلة تلغي بعضها البعض ومجموع أول حدين هو 2/1 - 2/3 أو 1 1 /3. حسنًا ، أبطأ طريقة في العالم لإضافة واحد إلى ثلث .. ولكن الآن دعنا نضيف القيم القليلة التالية 2/1 -2/2 + 2 / 2-2 / 3 + 2 / 3-2 / 4 + 2/4 -2/5 + 2/5 - 2/6 نرى أن جميع العناصر التي تحتها خط تختفي ويتبقى لنا المصطلح الأول ، 2 ، مطروحًا منه الحد الأخير ، وهو 2 / (ن + 1) لأي رقم مصطلح نحن فيه .. لذا فإن مجموع المصطلحات الخمس الأولى ، 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 = 2-2 / 6 أو 1 2 /3.

وإذا أردنا أول 20 حدًا ، فيمكننا فقط 2 - 2/21 أو 1 19 /21. وإذا أضفناها إلى الأبد. حسناً ماذا يحدث لـ 2 /(ن + 1) كلما زاد حجم n وأكبر. . لذا فإن المجموع اللانهائي سيقترب من النهاية اثنين.

بعد أن فعلت هذا في الفصل مؤخرًا ، وجدت هذا العرض الرسومي الجميل في صفحة عروض ولفرام. حجة بلا كلام.

"كانت هذه المشكلة مهمة تاريخيًا لأنها كانت مصدر إلهام لـ Leibniz لاستكشاف المزيد من المسلسلات اللانهائية. نظرًا لأنه نجح في حل هذه المشكلة ، خلص إلى أنه يمكن العثور على مبلغ لأي سلسلة لا نهائية تقريبًا. (Boyer، 446-447)" (معهد ورسستر بوليتكنيك)


نص العرض التقديمي

الخطوط المقاربة العمودية والحدود عندما درسنا الحدود اللانهائية والخطوط المقاربة العمودية ، سمحنا لـ x بالاقتراب من رقم. كانت النتيجة أن قيم y أصبحت كبيرة بشكل تعسفي (موجبة أو سلبية).

تحدي السبورة البيضاء ابحث بشكل تحليلي عن الخطوط المقاربة العمودية لـ:

الخطوط المقاربة الأفقية والحدود عندما نتحرى عن الحدود اللانهائية والخطوط المقاربة الأفقية ، سنترك x يصبح كبيرًا بشكل عشوائي (موجب أو سالب) ونرى ما سيحدث لـ y. سيشار إلى هذا باسم السلوك النهائي.

سلوك النهاية دع f تكون دالة محددة في بعض الفترات (أ ، ∞). يعني ذلك أن قيم f (x) تقترب من L مع زيادة x.

سلوك النهاية لنفترض أن f دالة محددة في بعض الفترات (-، أ). يعني ذلك أن قيم f (x) تقترب من L مع تناقص x.

سلوك النهاية دع f تكون دالة محددة في بعض الفترات (أ ، ∞). يعني ذلك أن قيم f (x) تصبح كبيرة (موجبة أو سالبة) مع زيادة x.

سلوك النهاية لنفترض أن f دالة محددة في بعض الفترات (-، أ). يعني ذلك أن قيم f (x) تصبح كبيرة (موجبة أو سالبة) مع تناقص x.

تحدي السبورة البيضاء ارسم رسمًا بيانيًا لوظيفة بالخصائص التالية: الوظيفة مستمرة لجميع القيم الحقيقية باستثناء 5.

حساب الحدود في ما لا نهاية يركز كتابنا على ثلاث طرق: • النهج العددي - إنشاء جدول للقيم • نهج رسومي - رسم رسم بياني • نهج تحليلي - استخدام الجبر أو حساب التفاضل والتكامل أول ثانية

مثال 1 استخدم الرسم البياني وأكمل الجدول للعثور على الحد (إن وجد). 0.999998 -1 0 0.923 0.980 0.9992 0.9998 مع زيادة x ، تقترب قيمة الدالة من 1.

مثال 2 استخدم الرسم البياني وأكمل الجدول للعثور على الحد (إن وجد). -3003 -303 -153 -32.778 -17.5 UND -5 مع انخفاض x ، تنخفض قيمة الدالة.

مثال 3 استخدم الرسم البياني وأكمل الجدول للعثور على الحد (إن وجد). 0.000005 0.000000005 UND 5 0.04 0.005 0.00004 مع زيادة x ، تقترب قيمة الدالة من 0.

مثال 4 استخدم الرسم البياني وأكمل الجدول للعثور على الحد (إن وجد). 0.001 0.002 0.01 0.1 1 10 UND مع انخفاض x ، تقترب قيمة الدالة من 0.

"خاصية خاصة" بحدود اللانهاية إذا كان A هو أي رقم حقيقي و r هو رقم منطقي موجب ، علاوة على ذلك ، إذا كانت r هكذا يتم تعريف xr لـ x & lt 0 ، إذن

تحدي السبورة البيضاء استخدم جدولًا أو رسمًا بيانيًا للعثور على الحد:

إجراءان لتحديد الحدود اللانهائية تحليليًا If the function is a rational function or a radical/rational function: • Divide each term in the numerator and denominator by the highest power of x that occurs in the denominator. • Use basic limit laws and the “Special Property” of Infinite Limits to evaluate the limit. OR Use L’Hôpital’s Rule to evaluate the limit (Only if L’Hôpital’s Rule applies.)

Example 1 (Procedure 1) Analytically evaluate . In order to use previous results, divide both the numerator and denominator by the highest power of x appearing in the fraction Use “Direct Substitution” and previous results.

***Aside*** Analytically evaluate . For this example, the limit’s value does not change if x approaches negative infinity.

Example 1 (Procedure 2) Analytically evaluate L’Hôpital’s Rule applies since this is an indeterminate form. In order to use L’Hôpital’s Rule direct substitution must result in 0/0 or ∞/∞. Differentiate the numerator and the denominator. Find the limit of the quotient of the derivatives. This is still an indeterminate form, apply L’Hôpital’s Rule again to the new limit. Differentiate the new numerator and the denominator. Find the limit of the quotient of the second derivatives. Since the result is finite or infinite, the result is valid.

Example 2 (Procedure 1) Analytically evaluate . In order to use previous results, divide both the numerator and denominator by the highest power of x appearing in the fraction Use “Direct Substitution” and previous results.

***Aside*** Analytically evaluate . For this example, the limit’s value does not change if x approaches negative infinity.

Example 2 (Procedure 2) L’Hôpital’s Rule applies since this is an indeterminate form. Analytically evaluate . In order to use L’Hôpital’s Rule direct substitution must result in 0/0 or ∞/∞. Differentiate the numerator and the denominator. Find the limit of the quotient of the derivatives. This is still an indeterminate form, apply L’Hôpital’s Rule again to the new limit. Differentiate the new numerator and the denominator. Find the limit of the quotient of the second derivatives. This is still an indeterminate form, apply L’Hôpital’s Rule again to the new limit. Differentiate the new numerator and the denominator. Find the limit of the quotient of the third derivatives. Since the result is finite or infinite, the result is valid.

Example 3 (Procedure 1) In order to use the previous result, divide both the numerator and denominator by the highest power of x appearing in the fraction Analytically evaluate . But, in order to simplify the numerator, you must rewrite 1/x Use “Direct Substitution” and previous results

***Aside*** Analytically evaluate . For this example, the limit’s value does change if x approaches positive infinity.

Example 3 (Procedure 2) Analytically evaluate . L’Hôpital’s Rule applies since this is an indeterminate form. In order to use L’Hôpital’s Rule direct substitution must result in 0/0 or ∞/∞. L’Hôpital’s Rule has failed to find a limit. This final result is almost identical to the original. The first procedure is more applicable. Differentiate the numerator and the denominator. Find the limit of the quotient of the derivatives. This is still an indeterminate form, apply L’Hôpital’s Rule again to the new limit. Differentiate the new numerator and the denominator. Find the limit of the quotient of the second derivatives.

Example 4 (Procedure 1) Strategy: Rewrite one factor so its numerator is 1. Analytically evaluate the following limit: Rewrite the expression as a ratio in order to use the first procedure. Now evaluate the limit: Since the denominator is not a polynomial, we can not use the first procedure. We need to try something new.

Example 4 (Procedure 1) Strategy: Rewrite one factor so its numerator is 1. Analytically evaluate the following limit: Rewrite the expression as a ratio in order to use L’Hôpital’s Rule. L’Hôpital’s Rule applies since this is an indeterminate form. In order to use L’Hôpital’s Rule direct substitution must result in 0/0 or ∞/∞. Differentiate the numerator and the denominator. Since the result is finite or infinite, the result is valid. Find the limit of the quotient of the derivatives.

***Aside*** Analytically evaluate the following limit: For this example, the limit’s value does not change if x approaches negative infinity.

Day 45: November 10th Objective: Determine (finite) limits at infinity, horizontal asymptotes of a graph if they exist, and infinite limits at infinity Homework Questions Notes: Section 3.5 Conclusion Homework: Read pgs. 198-204 and complete 3.5

White Board Challenge Analytically evaluate each limit below:

Horizontal Asymptotes and Limits The line y = L is called a horizontal asymptote of the curve y = f(x) if Lis finite and either Since: Then y = 1 is a horizontal asymptote.

Procedure for Finding Horizontal Asymptotes For a function f : • Find the limit of the function as x goes to positive infinity. • Find the limit of the function as x goes to negative infinity. • If either of the above limits is finite, then they represent a horizontal asymptote(s) (remember to write the result as y =)

Examples Continued For our previous examples:

Whiteboard Challenge On a calculator, graph What is a characteristic of this graph that we have not discussed?

Whiteboard Challenge Slant/Oblique Asymptotes.

Oblique/Slant Asymptote For rational functions, slant asymptotes occur when the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator. In such a case the equation of the slant asymptote can be found by long division. Degree = 2 Degree = 1

Procedure for Finding Oblique/Slant Asymptotes of a Rational Function In a rational function f , if the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator: • Perform Polynomial division. • Ignoring the remainder, the result is the oblique/slant asymptote. (remember to write the result as y =)

مثال Analytically find the slant asymptote of x 2 Rm Perform Polynomial Division. x x2 2x 4 - 3 -3x -6 x2 – x – 2 Ignore the remainder Thus: This means y = x + 2 is a slant asymptote because:

Asymptotes Summary The following asymptotes exists if… Vertical: When there is a non-removable discontinuity (a value for x that makes the denominator 0 and the numerator non-zero) Horizontal: When the limit as x approaches infinity (positive or negative), the value for y approaches a real number. Slant: For a rational function, the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator.


شاهد الفيديو: Epsilon delta limit Example 3: Infinite limit at a point (شهر اكتوبر 2021).