مقالات

3.4: (و 3.4) قواعد التمايز - الرياضيات


يمكن أن يكون العثور على مشتقات الوظائف باستخدام تعريف المشتق عملية طويلة ، وبالنسبة لبعض الوظائف ، عملية صعبة إلى حد ما. على سبيل المثال ، وجدنا ذلك سابقًا

[ dfrac {d} {dx} ( sqrt {x}) = dfrac {1} {2 sqrt {x}} ]

باستخدام عملية تتضمن ضرب تعبير في مرافق قبل تقييم النهاية. العملية التي يمكننا استخدامها للتقييم

[ dfrac {d} {dx} ( sqrt [3] {x}) ]

استخدام التعريف ، رغم تشابهه ، إلا أنه أكثر تعقيدًا. في هذا القسم ، نطور قواعد لإيجاد المشتقات التي تسمح لنا بتجاوز هذه العملية. نبدأ بالأساسيات.

القواعد الأساسية

الدالات (f (x) = c ) و (g (x) = x ^ n ) حيث (n ) هو عدد صحيح موجب هي اللبنات الأساسية التي يتم من خلالها إنشاء جميع كثيرات الحدود والوظائف المنطقية. لإيجاد مشتقات كثيرات الحدود والوظائف المنطقية بكفاءة دون اللجوء إلى التعريف المحدود للمشتق ، يجب علينا أولاً تطوير صيغ للتمييز بين هذه الوظائف الأساسية.

القاعدة الثابتة

نطبق أولاً تعريف الحد للمشتق لإيجاد مشتق الدالة الثابتة ، (f (x) = c ). بالنسبة لهذه الوظيفة ، كل من (f (x) = c ) و (f (x + h) = c ) ، لذلك نحصل على النتيجة التالية:

[ start {align} f ′ (x) & = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) −f (x)} {h} & = lim_ {h → 0} dfrac {c − c} {h} & = lim_ {h → 0} dfrac {0} {h} & = lim_ {h → 0} 0 = 0. نهاية {محاذاة} ]

تسمى قاعدة التفريق بين الوظائف الثابتة حكم ثابت. تنص على أن مشتق دالة ثابتة هو صفر ؛ أي بما أن الوظيفة الثابتة هي خط أفقي ، فإن الميل أو معدل التغيير لدالة ثابتة هو (0 ). نعيد صياغة هذه القاعدة في النظرية التالية.

القاعدة الثابتة

دع (ج ) يكون ثابتًا. إذا (f (x) = c ) ، إذن (f ′ (c) = 0. )

بدلاً من ذلك ، قد نعبر عن هذه القاعدة على أنها

[ dfrac {d} {dx} (ج) = 0. ]

مثال ( PageIndex {1} ): تطبيق قاعدة الثابت

أوجد مشتق (f (x) = 8. )

حل

هذا مجرد تطبيق من خطوة واحدة للقاعدة:

[f ′ (8) = 0. ]

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد مشتق (g (x) = - 3 ).

تلميح

استخدم المثال السابق كدليل

إجابه

0

قاعدة القوة

لقد أظهرنا ذلك

[ dfrac {d} {dx} (x ^ 2) = 2x mbox {and} dfrac {d} {dx} (x ^ {1/2}) = dfrac {1} {2} x ^ {−1/2}. ]

في هذه المرحلة ، قد ترى نمطًا يبدأ في التطور لمشتقات من النموذج ( dfrac {d} {dx} (x ^ n). ) نواصل فحص الصيغ المشتقة عن طريق التفريق بين دوال القدرة في النموذج (f (x) = x ^ n ) حيث (n ) عدد صحيح موجب. نقوم بتطوير صيغ لمشتقات هذا النوع من الوظائف على مراحل ، بدءًا من القوى الصحيحة الموجبة. قبل توضيح وإثبات القاعدة العامة لمشتقات الدوال في هذا النموذج ، نلقي نظرة على حالة معينة ، ( dfrac {d} {dx} (x ^ 3) ). بينما نمر في هذا الاشتقاق ، نولي اهتمامًا خاصًا لجزء التعبير بخط غامق ، حيث أن التقنية المستخدمة في هذه الحالة هي في الأساس نفس التقنية المستخدمة لإثبات الحالة العامة.

مثال ( PageIndex {2} ): التمييز (x ^ 3 )

ابحث عن ( dfrac {d} {dx} (x ^ 3) ).

حل:

( dfrac {d} {dx} (x ^ 3) = displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {(x + h) ^ 3 − x ^ 3} {h} )
(= displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 − x ^ 3} {h} )لاحظ أن المصطلح الأول في توسيع ((x + h) ^ 3 ) هو (x ^ 3 ) والمصطلح الثاني (3x ^ 2h ). تحتوي المصطلحات الأخرى على صلاحيات (h ) ) اثنان أو أكبر
(= displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3} {h} )في هذه الخطوة ، تم إلغاء المصطلحات (x ^ 3 ) ، ولم يتبق سوى المصطلحات التي تحتوي على (h ).
(= displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {h (3x ^ 2 + 3xh + h ^ 2)} {h} )أخرج العامل المشترك من (h ).
(= displaystyle lim_ {h → 0} (3x ^ 2 + 3xh + h ^ 2))بعد إلغاء العامل المشترك (h ) ، فإن المصطلح الوحيد الذي لا يحتوي على (h ) هو (3x ^ 2 ).
(= 3 س ^ 2 )دع (ح ) انتقل إلى (0 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

ابحث عن [ dfrac {d} {dx} (x ^ 4). ]

تلميح

استخدم ((x + h) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3h + 6x ^ 2h ^ 2 + 4xh ^ 3 + h ^ 4 ) واتبع الإجراء الموضح في المثال السابق.

إجابه

(4x ^ 3 )

كما سنرى ، فإن الإجراء الخاص بإيجاد مشتق الشكل العام (f (x) = x ^ n ) مشابه جدًا. على الرغم من أنه غالبًا ما يكون من غير الحكمة استخلاص استنتاجات عامة من أمثلة محددة ، إلا أننا نلاحظ أنه عندما نفرق (f (x) = x ^ 3 ) ، تصبح القوة على (x ) هي معامل (x ^ 2 ) ) في المشتق وتقل القوة على (x ) في المشتق بمقدار 1. تنص النظرية التالية على أن حكم القوة يحمل جميع القوى الصحيحة الموجبة لـ (س ). سنقوم في النهاية بتمديد هذه النتيجة إلى قوى عدد صحيح سالب. لاحقًا ، سنرى أن هذه القاعدة قد تمتد أيضًا أولاً إلى القوى المنطقية لـ (x ) ثم إلى القوى التعسفية لـ (x ). كن على علم ، مع ذلك ، أن هذه القاعدة لا تنطبق على الوظائف التي يتم فيها رفع ثابت إلى قوة متغيرة ، مثل (f (x) = 3 ^ x ).

قاعدة القوة

دعونا ن يكون عدد صحيح موجب. إذا (f (x) = x ^ n ) ، إذن

[f ′ (x) = nx ^ {n − 1}. ]

بدلاً من ذلك ، قد نعبر عن هذه القاعدة على أنها

[ dfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n − 1.} ]

دليل

بالنسبة إلى (f (x) = x ^ n ) حيث (n ) عدد صحيح موجب ، لدينا

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} dfrac {(x + h) ^ n − x ^ n} {h}).

منذ ((x + h) ^ n = x ^ n + nx ^ {n − 1} h + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h ^ 2 + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 3 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n ، )

نحن نرى ذلك

((x + h) ^ n − x ^ n = nx ^ {n − 1} h + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h ^ 2 + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 3 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n. )

بعد ذلك ، قسّم كلا الجانبين على h:

( dfrac {(x + h) ^ n − x ^ n} {h} = dfrac {nx ^ {n − 1} h + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h ^ 2 + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 3 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n} {h}. )

هكذا،

( dfrac {(x + h) ^ n − x ^ n} {h} = nx ^ {n − 1} + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 2 +… + nxh ^ {n − 2} + h ^ {n − 1}. )

أخيرا،

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} (nx ^ {n − 1} + binom {n} {2} x ^ {n − 2} h + binom {n} {3} x ^ {n − 3} h ^ 2 +… + nxh ^ {n − 1} + h ^ n) )

(= nx ^ {n − 1}. )

مثال ( PageIndex {3} ): تطبيق قاعدة الطاقة

أوجد مشتق الدالة (f (x) = x ^ {10} بتطبيق قاعدة الأس.

حل

باستخدام قاعدة الأس مع (n = 10 ) نحصل عليها

[f '(x) = 10x ^ {10−1} = 10x ^ 9. ]

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد مشتق (f (x) = x ^ 7 ).

تلميح

استخدم قاعدة القوة مع (n = 7. )

إجابه

[f ′ (x) = 7x ^ 6 ]

الجمع والفرق والقواعد المتعددة الثابتة

نجد قواعد الاشتقاق التالية بالنظر إلى مشتقات المجاميع والاختلافات ومضاعفات الدوال الثابتة. مثلما عند التعامل مع الدوال ، توجد قواعد تسهل العثور على مشتقات الدوال التي نجمعها أو نطرحها أو نضربها في ثابت. يتم تلخيص هذه القواعد في النظرية التالية.

الجمع والفرق والقواعد المتعددة الثابتة

لنفترض أن (f (x) ) و (g (x) ) من الوظائف القابلة للتفاضل و (k ) يكون ثابتًا. ثم تصمد كل من المعادلات التالية.

حكم المجموع. مشتق مجموع الدالة (f ) والدالة (g ) هو نفس مجموع مشتق (f ) ومشتق (g ).

[ dfrac {d} {dx} (f (x) + g (x)) = dfrac {d} {dx} (f (x)) + dfrac {d} {dx} (g (x) ) ؛ ]

هذا هو،

[لـ mbox {} j (x) = f (x) + g (x)، j ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x). ]

حكم الفرق. مشتق فرق الدالة f والدالة g هو نفس الاختلاف في مشتق f ومشتق (g ):

[ dfrac {d} {dx} (f (x) −g (x)) = dfrac {d} {dx} (f (x)) - dfrac {d} {dx} (g (x) ) ؛ ]

هذا هو،

[من أجل mbox {} j (x) = f (x) −g (x) ، j ′ (x) = f ′ (x) −g ′ (x). ]

قاعدة متعددة ثابتة. مشتق ثابت c مضروبًا في دالة f هو نفسه مضروبًا في الثابت في المشتق:

[ dfrac {d} {dx} (kf (x)) = k dfrac {d} {dx} (f (x))؛ ]

هذا هو،

[من أجل mbox {} j (x) = kf (x) ، j ′ (x) = kf ′ (x). ]

دليل

نحن نقدم فقط دليل على قاعدة المجموع هنا. يتبع الباقي بطريقة مماثلة.

بالنسبة للوظائف القابلة للتفاضل (f (x) ) و (g (x) ) ، قمنا بتعيين (j (x) = f (x) + g (x) ). باستخدام تعريف النهاية للمشتق الذي لدينا

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {j (x + h) −j (x)} {h}. ]

بالتعويض (j (x + h) = f (x + h) + g (x + h) ) و (j (x) = f (x) + g (x)، ) نحصل عليها

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) + g (x + h)) - (f (x) + g (x))} {h}. ]

لقد قمنا بإعادة ترتيب المصطلحات وإعادة تجميعها

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) −f (x)} {h} + dfrac {g (x + h) −g (x)} {ح}). ]

نطبق الآن قانون الجمع للنهايات وتعريف المشتق للحصول عليه

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) −f (x)} {h}) + lim_ {h → 0} dfrac {(g (x + h) −g (x)} {h}) = f ′ (x) + g ′ (x). ]

مثال ( PageIndex {4} ): تطبيق قاعدة المضاعفة الثابتة

أوجد مشتق (g (x) = 3x ^ 2 ) وقارنه بمشتق (f (x) = x ^ 2. )

حل

نستخدم قاعدة القوة مباشرة:

[g ′ (x) = dfrac {d} {dx} (3x ^ 2) = 3 dfrac {d} {dx} (x ^ 2) = 3 (2x) = 6x. ]

بما أن (f (x) = x ^ 2 ) له مشتق (f ′ (x) = 2x ) ، نرى أن مشتق (g (x) ) يساوي 3 أضعاف مشتق (f (خ) ). هذه العلاقة موضحة في الشكل.

الشكل ( PageIndex {1} ): مشتق (g (x) ) يساوي 3 أضعاف مشتق (f (x) ).

مثال ( PageIndex {5} ): تطبيق قواعد مشتقة أساسية

أوجد مشتق [f (x) = 2x ^ 5 + 7. ]

حل

نبدأ بتطبيق قاعدة اشتقاق مجموع دالتين ، متبوعًا بقواعد اشتقاق مضاعفات الدوال الثابتة وقاعدة اشتقاق القوى. لفهم التسلسل الذي يتم فيه تطبيق قواعد التفاضل بشكل أفضل ، نستخدم تدوين Leibniz في الحل:

(f ′ (x) = dfrac {d} {dx} (2x ^ 5 + 7) )

(= dfrac {d} {dx} (2x ^ 5) + dfrac {d} {dx} (7) ) طبق قاعدة الجمع.

(= 2 dfrac {d} {dx} (x ^ 5) + dfrac {d} {dx} (7) ) طبق قاعدة المضاعفات الثابتة.

(= 2 (5x ^ 4) +0 ) طبق قاعدة الأس والقاعدة الثابتة.

(= 10x ^ 4 ) بسّط.

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد مشتق [f (x) = 2x ^ 3−6x ^ 2 + 3. ]

تلميح

استخدم المثال السابق كدليل.

إجابه

(f ′ (x) = 6x ^ 2−12x. )

مثال ( PageIndex {6} ): إيجاد معادلة خط الظل

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ [f (x) = x ^ 2−4x + 6 ] عند (x = 1 )

حل

لإيجاد معادلة خط المماس ، نحتاج إلى نقطة وميل. للعثور على النقطة ، احسب

[f (1) = 1 ^ 2−4 (1) + 6 = 3. ]

هذا يعطينا النقطة ((1،3) ). نظرًا لأن ميل خط الظل عند 1 هو (f ′ (1) ) ، يجب علينا أولاً إيجاد (f ′ (x) ). باستخدام تعريف المشتق ، لدينا

[f ′ (x) = 2x − 4 ]

لذا فإن ميل خط الظل هو (f ′ (1) = - 2 ). باستخدام صيغة الميل والنقطة ، نرى أن معادلة خط المماس هي

[y − 3 = −2 (x − 1). ]

بوضع معادلة الخط في صيغة الميل والمقطع ، نحصل عليها

[y = −2x + 5. ]

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (f (x) = 3x ^ 2−11 ) عند (x = 2 ). استخدم صيغة نقطة الميل.

تلميح

استخدم المثال السابق كدليل.

إجابه

(ص = 12 س − 23 )

المشتقات ذات الترتيب الأعلى

مشتقة الدالة هي نفسها دالة ، لذا يمكننا إيجاد مشتقها. على سبيل المثال ، مشتق دالة المركز هو معدل التغير في الموضع ، أو السرعة. مشتق السرعة هو معدل تغير السرعة ، وهو التسارع. الوظيفة الجديدة التي تم الحصول عليها عن طريق التفريق بين المشتق تسمى المشتق الثاني. علاوة على ذلك ، يمكننا الاستمرار في أخذ المشتقات للحصول على المشتق الثالث ، والمشتق الرابع ، وهكذا. بشكل جماعي ، يشار إلى هذه باسم المشتقات عالية المستوى. يمكن التعبير عن تدوين مشتقات الرتبة الأعلى لـ (y = f (x) ) بأي من الأشكال التالية:

[f '' (x)، f '' '(x)، f ^ {(4)} (x)، ...، f ^ {(n)} (x) nonumber ]

[y '' (x)، y '' '(x)، y ^ {(4)} (x)، ...، y ^ {(n)} (x) nonumber ]

[ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}، frac {d ^ 3y} {dx ^ 3}، frac {d ^ 4y} {dx ^ 4}،…، frac {d ^ ny} {dx ^ n}. ]

من المثير للاهتمام ملاحظة أن تدوين ( frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} ) يمكن اعتباره محاولة للتعبير عن ( frac {d} {dx} ( frac {dy} { dx}) ) بشكل أكثر إحكاما. بالمثل ، ( frac {d} {dx} ( frac {d} {dx} ( frac {dy} {dx})) = frac {d} {dx} ( frac {d ^ 2y} { dx ^ 2}) = frac {d ^ 3y} {dx ^ 3} ).

مثال ( PageIndex {5} ): البحث عن مشتق ثاني

بالنسبة إلى (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 ) ، ابحث عن (f '' (x) ).

حل

ابحث أولاً عن (f ′ (x) ).

(f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {(2 (x + h) ^ 2−3 (x + h) +1) - (2x ^ 2−3x + 1)} {ح} )عوض (f (x) = 2x ^ 2−3x + 1 ) و (f (x + h) = 2 (x + h) ^ 2−3 (x + h) +1 ) في (f ′ (س) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h}.)
(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {4xh + h ^ 2−3h} {h} )بسّط البسط.
(= displaystyle lim_ {h → 0} (4x + h − 3))أخرج (h ) في البسط وقم بإلغاء الأمر مع (h ) في المقام.
(= 4x − 3 )خذ الحد.

بعد ذلك ، أوجد (f '' (x) ) بأخذ مشتق (f ′ (x) = 4x − 3. )

(f '(x) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f ′ (x + h) −f ′ (x)} {h} )استخدم (f ′ (x) = displaystyle lim_ {h → 0} frac {f (x + h) −f (x)} {h} ) مع (f ′ (x) ) في المكان من (و (س). )
(= displaystyle lim_ {h → 0} frac {(4 (x + h) −3) - (4x − 3)} {h} )عوض (f ′ (x + h) = 4 (x + h) −3 ) و (f ′ (x) = 4x − 3. )
(= displaystyle lim_ {h → 0} 4 )تبسيط.
(=4)خذ الحد.

تمرين ( PageIndex {4} )

ابحث عن (f '' (x) ) من أجل (f (x) = x ^ 2 ).

تلميح

وجدنا (f ′ (x) = 2x ) في نقطة تفتيش سابقة. استخدم المعادلة لإيجاد مشتق (f ′ (x) )

إجابه

(و '(س) = 2 )

قاعدة المنتج

الآن بعد أن درسنا القواعد الأساسية ، يمكننا البدء في النظر في بعض القواعد الأكثر تقدمًا. الأول يفحص مشتق حاصل ضرب وظيفتين. على الرغم من أنه قد يكون من المغري افتراض أن مشتق المنتج هو ناتج المشتقات ، على غرار قواعد الجمع والفرق ، فإن سيادة المنتج لا يتبع هذا النمط. لمعرفة سبب عدم قدرتنا على استخدام هذا النمط ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = x ^ 2 ) ، مشتقها (f ′ (x) = 2x ) وليس ( dfrac {d} {dx } (x) ⋅ dfrac {d} {dx} (x) = 1⋅1 = 1. )

سيادة المنتج

دع (f (x) ) و (g (x) ) من الوظائف القابلة للتفاضل. ثم

[ dfrac {d} {dx} (f (x) g (x)) = dfrac {d} {dx} (f (x)) ⋅g (x) + dfrac {d} {dx} ( ز (خ)) ⋅ و (خ). ]

هذا هو،

[إذا كان j (x) = f (x) g (x) ، إذن j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x). ]

هذا يعني أن مشتق منتج لوظيفتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية زائد مشتق الدالة الثانية في الدالة الأولى.

دليل

نبدأ بافتراض أن (f (x) ) و (g (x) ) وظائف قابلة للتفاضل. في نقطة رئيسية في هذا الدليل ، نحتاج إلى استخدام حقيقة أنه نظرًا لأن (g (x) ) قابل للاشتقاق ، فهو أيضًا مستمر. على وجه الخصوص ، نستخدم حقيقة أنه بما أن (g (x) ) مستمر ، ( displaystyle lim_ {h → 0} g (x + h) = g (x). )

من خلال تطبيق تعريف الحد للمشتق على ((x) = f (x) g (x)، ) نحصل على

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) g (x + h) −f (x) g (x)} {h}. ]

بجمع وطرح (f (x) g (x + h) ) في البسط ، لدينا

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {f (x + h) g (x + h) −f (x) g (x + h) + f (x) g (x + ح) − f (x) g (x)} {h}. ]

بعد تقسيم حاصل القسمة هذا وتطبيق قانون الجمع للنهايات ، يصبح المشتق

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) g (x + h) −f (x) g (x + h)} {h}) + lim_ {h → 0} dfrac {(f (x) g (x + h) −f (x) g (x)} {h}. ]

إعادة الترتيب ، نحصل عليها

[j ′ (x) = lim_ {h → 0} dfrac {(f (x + h) −f (x)} {h} ⋅g (x + h)) + lim_ {h → 0} ( dfrac {g (x + h) −g (x)} {h} ⋅f (x)). ]

باستخدام استمرارية (g (x) ) ، تعريف مشتقات (f (x) ) و (g (x) ) ، وتطبيق قوانين الحد ، نصل إلى قاعدة المنتج و

[j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x). ]

مثال ( PageIndex {7} ): تطبيق قاعدة المنتج على الدوال الثابتة

بالنسبة إلى (j (x) = f (x) g (x) ) ، استخدم قاعدة المنتج لإيجاد (j ′ (2) ) إذا (f (2) = 3 ، f ′ (2) = −4 و g (2) = 1 ) و (g ′ (2) = 6 ).

حل

بما أن (j (x) = f (x) g (x)، j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x)، ) وبالتالي

[j ′ (2) = f ′ (2) g (2) + g ′ (2) f (2) = (- 4) (1) + (6) (3) = 14. ]

مثال ( PageIndex {8} ): تطبيق قاعدة المنتج على القيم ذات الحدين

بالنسبة إلى (j (x) = (x ^ 2 + 2) (3x ^ 3−5x) ، ) ابحث عن (j ′ (x) ) بتطبيق قاعدة المنتج. تحقق من النتيجة عن طريق إيجاد المنتج أولاً ثم التفرقة.

حل

إذا قمنا بتعيين (f (x) = x ^ 2 + 2 ) و (g (x) = 3x ^ 3−5x ) ، إذن (f ′ (x) = 2x ) و (g ′ (x) = 9x ^ 2−5 ). هكذا،

(j ′ (x) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x) = (2x) (3x ^ 3−5x) + (9x ^ 2−5) (x ^ 2 +2). )

التبسيط ، لدينا

[j ′ (x) = 15x ^ 4 + 3x ^ 2−10. ]

للتحقق ، نرى أن (j (x) = 3x ^ 5 + x ^ 3−10x ) وبالتالي ، (j ′ (x) = 15x ^ 4 + 3x ^ 2−10. )

تمرين ( PageIndex {6} )

استخدم قاعدة الضرب القياسي للحصول على مشتق [j (x) = 2x ^ 5 (4x ^ 2 + x). ]

تلميح

اضبط (f (x) = 2x ^ 5 ) و (g (x) = 4x ^ 2 + x ) واستخدم المثال السابق كدليل.

إجابه

[j ′ (x) = 10x ^ 4 (4x ^ 2 + x) + (8x + 1) (2x ^ 5) = 56x ^ 6 + 12x ^ 5. ]

قاعدة الحاصل

بعد تطوير قاعدة المنتج وممارستها ، نفكر الآن في تمييز حاصل الدوال. كما نرى في النظرية التالية ، مشتق حاصل القسمة ليس حاصل قسمة المشتقات ؛ بل هي مشتقة الدالة في البسط مضروبة في الدالة في المقام مطروحًا منها مشتقة الدالة في المقام مضروبًا في الدالة في البسط ، وكلها مقسومة على مربع الدالة في المقام. من أجل فهم أفضل لسبب عدم قدرتنا على أخذ حاصل قسمة المشتقات ، ضع في اعتبارك ذلك

[ dfrac {d} {dx} (x ^ 2) = 2x، not dfrac { dfrac {d} {dx} (x ^ 3)} { dfrac {d} {dx} (x)} = dfrac {3x ^ 2} {1} = 3x ^ 2. ]

قاعدة الحاصل

دع (f (x) ) و (g (x) ) من الوظائف القابلة للتفاضل. ثم

[ dfrac {d} {dx} ( dfrac {f (x)} {g (x)}) = dfrac { dfrac {d} {dx} (f (x)) ⋅g (x) - dfrac {d} {dx} (g (x)) ⋅f (x)} {(g (x)) ^ 2}. ]

هذا هو ، إذا

[j (x) = dfrac {f (x)} {g (x)} ]

ومن بعد

[j ′ (x) = dfrac {f ′ (x) g (x) −g ′ (x) f (x)} {(g (x)) ^ 2}. ]

إن إثبات قاعدة حاصل القسمة مشابه جدًا لإثبات قاعدة المنتج ، لذلك تم حذفه هنا. بدلاً من ذلك ، نطبق هذه القاعدة الجديدة لإيجاد المشتقات في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {9} ): تطبيق قاعدة الحاصل

استخدم قاعدة خارج القسمة لإيجاد مشتق [k (x) = dfrac {5x ^ 2} {4x + 3}. ]

حل

دع (f (x) = 5x ^ 2 ) و (g (x) = 4x + 3 ). وهكذا ، (f ′ (x) = 10x ) و (g ′ (x) = 4 ). بالتعويض في قاعدة خارج القسمة ، لدينا

[k ′ (x) = dfrac {f ′ (x) g (x) −g ′ (x) f (x)} {(g (x)) ^ 2} = dfrac {10x (4x + 3 ) −4 (5x ^ 2)} {(4x + 3) ^ 2}. ]

التبسيط ، نحصل عليه

[k ′ (x) = dfrac {20x ^ 2 + 30x} {(4x + 3) ^ 2} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

أوجد مشتق (h (x) = dfrac {3x + 1} {4x − 3} ).

إجابه

طبق قاعدة خارج القسمة مع (f (x) = 3x + 1 ) و (g (x) = 4x − 3 ).

إجابه

[k ′ (x) = - dfrac {13} {(4x − 3) ^ 2}. ]

أصبح من الممكن الآن استخدام قاعدة خارج القسمة لتوسيع قاعدة الأس لإيجاد مشتقات الدوال بالصيغة (x ^ k ) حيث (k ) عدد صحيح سالب.

تمديد قاعدة الطاقة

إذا كان (ك ) عددًا صحيحًا سالبًا ، إذن

[ dfrac {d} {dx} (x ^ k) = kx ^ {k − 1}. ]

دليل

إذا كان (k ) عددًا صحيحًا سالبًا ، فيمكننا تعيين (n = −k ) ، بحيث يكون n عددًا صحيحًا موجبًا مع (k = −n ). نظرًا لأن كل عدد صحيح موجب (n ) ، (x ^ {- n} = dfrac {1} {x ^ n} ) ، يمكننا الآن تطبيق قاعدة خارج القسمة عن طريق تعيين (f (x) = 1 ) و (g (x) = x ^ n ). في هذه الحالة ، (f ′ (x) = 0 ) و (g ′ (x) = nx ^ {n − 1} ). هكذا،

[ dfrac {d} {d} (x ^ {- n}) = dfrac {0 (x ^ n) −1 (nx ^ {n − 1})} {(x ^ n) ^ 2}. ]

التبسيط ، نرى ذلك

[ dfrac {d} {d} (x ^ {- n}) = dfrac {−nx ^ {n − 1}} {x ^ {2n}} = - nx ^ {(n − 1) −2n } = - nx ^ {- n − 1}. ]

أخيرًا ، لاحظ أنه منذ (k = −n ) ، بالتعويض لدينا

[ dfrac {d} {dx} (x ^ k) = kx ^ {k − 1}. ]

مثال ( PageIndex {10} ): استخدام قاعدة الطاقة الموسعة

ابحث عن ( dfrac {d} {dx} (x ^ {- 4}) ).

حل

من خلال تطبيق قاعدة القوة الموسعة مع (k = −4 ) ، نحصل على

[ dfrac {d} {dx} (x ^ {- 4}) = - 4x ^ {- 4−1} = - 4x ^ {- 5}. ]

مثال ( PageIndex {11} ): استخدام قاعدة القوة الموسعة وقاعدة المضاعفة الثابتة

استخدم قاعدة الأس الممتدة وقاعدة المضاعفات الثابتة لإيجاد (f (x) = dfrac {6} {x ^ 2} ).

حل

قد يبدو من المغري استخدام قاعدة خارج القسمة للعثور على هذا المشتق ، وبالتأكيد لن يكون من الخطأ فعل ذلك. ومع ذلك ، فمن الأسهل بكثير التفريق بين هذه الدالة من خلال إعادة كتابتها أولاً كـ (f (x) = 6x ^ {- 2} ).

(f ′ (x) = dfrac {d} {dx} ( dfrac {6} {x ^ 2}) = dfrac {d} {dx} (6x ^ {- 2}) ) أعد الكتابة ( dfrac {6} {x ^ 2} ) كـ (6x ^ {- 2} ).

(= 6 dfrac {d} {dx} (x ^ {- 2}) ) طبق قاعدة المضاعفة الثابتة.

(= 6 (−2x ^ {- 3}) ) استخدم قاعدة القوة الموسعة للاشتقاق (x ^ {- 2} ).

(= - 12x ^ {- 3} ) بسّط.

تمرين ( PageIndex {8} )

أوجد مشتق (g (x) = dfrac {1} {x ^ 7} ) باستخدام قاعدة القوة الموسعة.

تلميح

أعد كتابة (g (x) = dfrac {1} {x ^ 7} = x ^ {- 7} ). استخدم قاعدة القوة الموسعة مع (ك = −7 ).

إجابه

(ز ′ (س) = - 7 س ^ {- 8} ).

الجمع بين قواعد التمايز

كما رأينا في الأمثلة في هذا القسم ، نادرًا ما يتم استدعاؤنا لتطبيق قاعدة اشتقاق واحدة فقط لإيجاد مشتقة دالة معينة. في هذه المرحلة ، بدمج قواعد الاشتقاق ، قد نجد مشتقات أي دالة كثيرة الحدود أو دالة كسرية. سنواجه لاحقًا مجموعات أكثر تعقيدًا من قواعد التفاضل. من القواعد الأساسية الجيدة التي يجب استخدامها عند تطبيق عدة قواعد تطبيق القواعد بعكس الترتيب الذي سنقيم به الوظيفة.

مثال ( PageIndex {12} ): دمج قواعد التمايز

بالنسبة إلى (k (x) = 3h (x) + x ^ 2g (x) ) ، ابحث عن (k ′ (x) ).

الحل: يتطلب إيجاد هذا المشتق قاعدة الجمع وقاعدة المضاعفات الثابتة وقاعدة الضرب.

(k ′ (x) = dfrac {d} {dx} (3h (x) + x ^ 2g (x)) = dfrac {d} {dx} (3h (x)) + dfrac {d} {dx} (x ^ 2g (x)) )طبق قاعدة المجموع.
(= 3 dfrac {d} {dx} (h (x)) + ( dfrac {d} {dx} (x ^ 2) g (x) + dfrac {d} {dx} (g (x )) × ^ 2) )طبق قاعدة العدد الثابت للثابت لتمييز (3h (x) ) وقاعدة الضرب للاشتقاق (x ^ 2g (x) ).
(= 3 س ′ (س) + 2 س ج (س) + ج ′ (س) س ^ 2 )

مثال ( PageIndex {13} ): توسيع قاعدة المنتج

بالنسبة إلى (k (x) = f (x) g (x) h (x) ) ، عبر عن (k ′ (x) ) بدلالة (f (x) ، g (x) ، h ( خ) ) ومشتقاتها.

حل

يمكننا التفكير في الوظيفة (k (x) ) على أنها ناتج الدالة (f (x) g (x) ) والدالة (h (x) ). أي ، (ك (س) = (و (س) ز ​​(س)) ⋅ ح (س) ). هكذا،

(k ′ (x) = dfrac {d} {dx} (f (x) g (x)) ⋅h (x) + dfrac {d} {dx} (h (x)) ⋅ (f ( x) g (x)). ) طبق قاعدة المنتج على productoff (x) g (x) andh (x).

(= (f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x) h) (x) + h ′ (x) f (x) g (x) ) طبق قاعدة الضرب على (و (س) ز ​​(خ) ) )

(= f ′ (x) g (x) h (x) + f (x) g ′ (x) h (x) + f (x) g (x) h ′ (x). ) بسّط.

مثال ( PageIndex {14} ): الجمع بين قاعدة الحاصل وقاعدة المنتج

بالنسبة إلى (h (x) = dfrac {2x3k (x)} {3x + 2} ) ، ابحث عن (h ′ (x) ).

حل

هذا الإجراء نموذجي لإيجاد مشتقة دالة كسرية.

(h ′ (x) = dfrac { dfrac {d} {dx} (2x ^ 3k (x)) ⋅ (3x + 2) - dfrac {d} {dx} (3x + 2) ⋅ (2x ^ 3k (x))} {(3x + 2) ^ 2} ) طبق قاعدة خارج القسمة

(= dfrac {(6x ^ 2k (x) + k ′ (x) ⋅2x ^ 3) (3x + 2) −3 (2x ^ 3k (x))} {(3x + 2) ^ 2} ) طبق قاعدة المنتج لإيجاد ( dfrac {d} {dx} (2x ^ 3k (x)) ). استخدم ( dfrac {d} {dx} (3x + 2) = 3 ).

(= dfrac {−6x ^ 3k (x) + 18x ^ 3k (x) + 12x ^ 2k (x) + 6x ^ 4k ′ (x) + 4x ^ 3k ′ (x)} {(3x + 2) ^ 2} ) بسّط

تمرين ( PageIndex {9} )

أوجد ( dfrac {d} {dx} (3f (x) −2g (x)). )

تلميح

طبق قاعدة الفرق وقاعدة المضاعفات الثابتة.

إجابه

(3f ′ (x) −2g ′ (x). )

مثال ( PageIndex {15} ): تحديد مكان وجود ظل أفقي للدالة

حدد قيم (x ) التي لها (f (x) = x ^ 3−7x ^ 2 + 8x + 1 ) خط مماس أفقي.

حل

لإيجاد قيم (x ) التي لها (f (x) ) خط مماس أفقي ، يجب علينا حل (f ′ (x) = 0 ).

حيث

[f ′ (x) = 3x ^ 2−14x + 8 = (3x − 2) (x − 4)، ]

يجب أن نحل ((3x − 2) (x − 4) = 0 ). وهكذا نرى أن للدالة خطوط ظل أفقية عند (x = dfrac {2} {3} ) و (x = 4 ) كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

الشكل ( PageIndex {2} ): تحتوي هذه الوظيفة على خطوط ظل أفقية عند (س = 2/3 ) و (س = 4 ).

مثال ( PageIndex {16} ): البحث عن السرعة

يتم تحديد موضع كائن على محور إحداثيات في الوقت (t ) من خلال (s (t) = dfrac {t} {t ^ 2 + 1}. ) ما السرعة الابتدائية للجسم؟

حل

نظرًا لأن السرعة الابتدائية هي (v (0) = s ′ (0) ، ) ابدأ بإيجاد (s ′ (t) ) بتطبيق قاعدة خارج القسمة:

(s ′ (t) = dfrac {1 (t2 + 1) −2t (t)} {(t ^ 2 + 1) ^ 2} = dfrac {1 − t ^ 2} {(^ t2 + 1 ) ^ 2} ).

بعد التقييم ، نرى أن (v (0) = 1. )

تمرين ( PageIndex {10} )

أوجد قيم x التي يكون فيها خط المماس للرسم البياني (f (x) = 4x ^ 2−3x + 2 ) له خط مماس موازٍ للخط (y = 2x + 3. )

تلميح

حل (f ′ (x) = 2 ).

إجابه

( dfrac {5} {8} )

مدرجات فورمولا 1

يمكن أن تكون سباقات سيارات Formula One مثيرة للغاية لمشاهدة وجذب الكثير من المتفرجين. يتعين على مصممي حلبات الفورمولا 1 التأكد من توفر مساحة كافية للمدرج حول المسار لاستيعاب هؤلاء المشاهدين. ومع ذلك ، يمكن أن يكون سباق السيارات خطيرًا ، ولاعتبارات السلامة لها أهمية قصوى. يجب وضع المدرجات حيث لن يكون المتفرجون في خطر إذا فقد السائق السيطرة على السيارة (الشكل).

الشكل ( PageIndex {3} ): المدرج بجوار مضمار السباق Circuit de Barcelona-Catalunya مباشرة ، حيث لا يكون المتفرجون في خطر.

السلامة هي مصدر قلق بشكل خاص عند المنعطفات. إذا لم يبطئ السائق بشكل كافٍ قبل الدخول في المنعطف ، فقد تنزلق السيارة عن مضمار السباق. عادة ، ينتج عن هذا فقط انعطاف أوسع ، مما يؤدي إلى إبطاء السائق. ولكن إذا فقد السائق السيطرة تمامًا ، فقد تطير السيارة بعيدًا عن المسار تمامًا ، على مسار مماس لمنحنى مضمار السباق.

لنفترض أنك تصمم مسارًا جديدًا للفورمولا 1. يمكن نمذجة قسم واحد من المسار بواسطة الوظيفة (f (x) = x ^ 3 + 3x + x ) (الشكل). تدعو الخطة الحالية إلى بناء المدرجات على طول المسار الأول مباشرة وحول جزء من المنحنى الأول. تتطلب الخطط وضع الركن الأمامي للمدرج عند النقطة ( (- 1.9،2.8 )). نريد تحديد ما إذا كان هذا الموقع يعرض المتفرجين للخطر إذا فقد السائق السيطرة على السيارة.

الشكل ( PageIndex {4} ): (أ) يمكن نمذجة قسم واحد من مضمار السباق من خلال الوظيفة (f (x) = x ^ 3 + 3x + x ). (ب) يقع الركن الأمامي للمدرج في ( (- 1.9،2.8 )).

  1. لقد قرر الفيزيائيون أن السائقين من المرجح أن يفقدوا السيطرة على سياراتهم لأنها تقترب من منعطف ، عند النقطة التي يكون فيها ميل خط الظل هو 1. ابحث عن ((x ، y) ) إحداثيات هذه النقطة بالقرب من المنعطف.
  2. أوجد معادلة خط المماس للمنحنى عند هذه النقطة.
  3. لتحديد ما إذا كان المتفرجون في خطر في هذا السيناريو ، ابحث عن إحداثي x للنقطة التي يتقاطع فيها خط الظل مع الخط (y = 2.8 ). هل هذه النقطة بأمان على يمين المدرج؟ أم المتفرجون في خطر؟
  4. ماذا لو فقد السائق السيطرة قبل مشروع الفيزيائيين؟ لنفترض أن السائق فقد السيطرة عند النقطة ( (- 2.5،0.625 )). ما هو ميل خط المماس عند هذه النقطة؟
  5. إذا فقد السائق السيطرة كما هو موضح في الجزء 4 ، فهل المتفرجون في أمان؟
  6. هل يجب المضي قدمًا في التصميم الحالي للمدرج ، أم يجب نقل المدرجات؟

المفاهيم الرئيسية

  • مشتق دالة ثابتة هو صفر.
  • مشتق دالة الطاقة هو دالة تصبح فيها القوة على (س ) معامل المصطلح وتقل القوة على (س ) في المشتق بمقدار 1.
  • مشتق ثابت c مضروبًا في دالة f هو نفسه مضروبًا في الثابت في المشتق.
  • مشتق مجموع الدالة f والدالة g هو نفس مجموع مشتق f ومشتق g.
  • مشتق فرق الدالتين f والدالة g هو نفس الاختلاف بين مشتق f ومشتق g.
  • مشتق من دالتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية زائد مشتق الدالة الثانية في الدالة الأولى.
  • مشتق خارج قسمة وظيفتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية مطروحًا منه مشتق الدالة الثانية في الدالة الأولى ، وكل ذلك مقسومًا على مربع الدالة الثانية.
  • استخدمنا التعريف المحدود للمشتق لتطوير الصيغ التي تسمح لنا بإيجاد المشتقات دون اللجوء إلى تعريف المشتق. يمكن استخدام هذه الصيغ منفردة أو مع بعضها البعض.

قائمة المصطلحات

قاعدة متعددة ثابتة
مشتق ثابت c مضروبًا في دالة f هو نفسه مضروبًا في الثابت: ( dfrac {d} {dx} (cf (x)) = cf ′ (x) )
حكم ثابت
مشتق دالة ثابتة هو صفر: ( dfrac {d} {dx} (c) = 0 ) ، حيث c هو ثابت
حكم الاختلاف
مشتق فرق الدالة f والدالة g هو نفس الاختلاف بين مشتق f ومشتق g: ( dfrac {d} {dx} (f (x) −g (x) ) = f ′ (x) −g ′ (x) )
حكم القوة
مشتق دالة الطاقة هي دالة تصبح فيها القوة الموجودة على (س ) هي معامل المصطلح وتقل القدرة على (س ) في المشتق بمقدار 1: إذا كان (n ) عددًا صحيحًا ، ثم ( dfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n − 1} )
سيادة المنتج
مشتق منتج لوظيفتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية بالإضافة إلى مشتق الدالة الثانية في الدالة الأولى: ( dfrac {d} {dx} (f (x) g (x) ) = f ′ (x) g (x) + g ′ (x) f (x) )
حكم حاصل القسمة
مشتق خارج قسمة وظيفتين هو مشتق الدالة الأولى في الدالة الثانية مطروحًا منه مشتق الدالة الثانية مضروبًا في الدالة الأولى ، وكلها مقسومة على مربع الدالة الثانية: ( dfrac {d} {dx } ( dfrac {f (x)} {g (x))} = dfrac {f ′ (x) g (x) −g ′ (x) f (x)} {(g (x)) ^ 2 } )
حكم المجموع
مشتق مجموع الدالة f والدالة g هو نفس مجموع مشتق f ومشتق g: ( dfrac {d} {dx} (f (x) + g (x) ) = f ′ (x) + g ′ (x) )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


3.4: (و 3.4) قواعد التمايز - الرياضيات

قاعدة الضرب هي القاعدة الرسمية لتمييز المسائل حيث يتم ضرب دالة بأخرى.

اشتق (x 2 + 7x + 2) (x 3 -log x)

v & # xa0 = & # xa0 x 3 - تسجيل x و v '= 3x 2 - (1 / x) & # xa0

اشتق (x 2 -1) (x 2 +2)

= & # xa0 x 2 (x 2) + 2x 2-1 (x 2) - 1 (2)

أوجد قيمة & # xa0 (fg) ′ (2).

افترض أن الدالتين f و & # xa0g & # xa0are قابلة للتفاضل عند & # xa0x = 1 و & # xa0 التي & # xa0

g '(x) & # xa0 = & # xa0 f (x) d (sinx) + & # xa0 sinx f '(x)

g '(x) & # xa0 = & # xa0 f (x) cosx + & # xa0 sinx f '(x)

ز '( / 4 ) & # xa0 = & # xa0 f ( / 4 ) كوس / 4 & # xa0 + & # xa0 الخطيئة / 4 & # xa0f '( / 4 )

= & # xa0 -4 (1 / √2) + (1/ √2)2

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


صفحات موصي بها

نظرة عامة على الخصوصية

تعد ملفات تعريف الارتباط الضرورية ضرورية للغاية لكي يعمل موقع الويب بشكل صحيح. تتضمن هذه الفئة فقط ملفات تعريف الارتباط التي تضمن الوظائف الأساسية وميزات الأمان لموقع الويب. لا تخزن ملفات تعريف الارتباط هذه أي معلومات شخصية.

أي ملفات تعريف ارتباط قد لا تكون ضرورية بشكل خاص لكي يعمل موقع الويب ويتم استخدامها خصيصًا لجمع بيانات المستخدم الشخصية عبر التحليلات والإعلانات والمحتويات الأخرى المضمنة تسمى ملفات تعريف ارتباط غير ضرورية. من الضروري الحصول على موافقة المستخدم قبل تشغيل ملفات تعريف الارتباط هذه على موقع الويب الخاص بك.


3.4: (و 3.4) قواعد التمايز - الرياضيات

وصف الدورة التدريبية: مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية تركز على المعادلات في متغيرين. تشمل الموضوعات معادلة الحرارة والموجة على فاصل زمني ، ومعادلة لابلاس في المجالات المستطيلة والدائرية ، وفصل المتغيرات ، والظروف الحدودية والوظائف الذاتية ، ومقدمة لسلسلة فورييه ،

ساعات العمل: M: 4: 30-5: 30 ، W: 3: 30-4: 30 يرجى الحضور قبل 15 دقيقة على الأقل من نهاية ساعة المكتب. قد يكون لديّ مكتب آخر بعد ساعة معينة ، أو قد أضطر للذهاب إلى مكان آخر.

المنهج نخطط لاستعراض معظم مواد الأقسام الأربعة الأولى من الكتاب. إذا سمح الوقت ، فسوف نغطي أيضًا بعض الموضوعات من الفصول اللاحقة.

مساعد تدريس: Andres Rodriguez Rey ، البريد الإلكتروني: [email protected] الموقع الإلكتروني لأقسام المناقشة: TA website

حساب الدرجة: يتم احتساب الدرجة من درجاتك في الواجبات المنزلية (25٪) فصلين نصفيين (25٪ لكل منهما) والجزء الأخير من الجزء أ والجزء ب (25٪ لكل جزء). سيلاحظ القارئ الشغوف أن هذا يضيف ما يصل إلى 125٪: سنختار أفضل ثلاث درجات من نصف المدة والنهائيات الجزء أ و ب.

مواعيد الامتحانات: لا توجد اختبارات مكياج!

منتصف المدة: 4 نوفمبر و 25 نوفمبر

الواجبات المنزلية يتم تسليم الواجبات المنزلية عبر gradescope Grade Scope لـ HW هذا الربع. ستتلقى رسالة مطالبة بالبريد الإلكتروني في وقت ما خلال الأسبوع الثاني لإعلامك بالتسجيل في gradescope وتوفير ارتباط لإعداد حسابك الشخصي.

يمكنك مشاهدة هذا الفيديو الذي يشرح كيفية مسح وإرسال المخلفات الخطرة عبر الإنترنت.

  • دراسة: 1.2.4 (ب) (قراءة النص في الصفحة 9) 1.2.5 ، 1.4.2 (K_0 ثابت هنا ، ويمكن أن تفترض أن c = rho = 1) ، 1.4.5 ، 1.4.6 ، 1.4.7
  • تحول: 1.2.9, 1.4.1a), 1.4.1d, 1.4.1h), 1.4.4, 1.4.12 (see Eq (1.2.11) for the statement of the conservation law and Eq (1.2.13) for Fick's Law)
  • Study: 2.3.1, 2.3.3, 2.3.5, 2.3.7
  • Hand in: 2.3.2d), 2.3.2e), 2.3.2g), 2.3.4, 2.3.8 (hint for (b): Let w(x,t) be the solution if alpha = 0 (we did this in class). Now consider the function u(x,t)=v(t)w(x,t). Plug this into the PDE to find a differential equation for v(t) and solve it).
  • Study: 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4, 2.5.1b), 2.5.1d), 2.5.1f), 2.5.1h), 2.5.16
  • Hand in: 2.4.1a), 2.4.1b), 2.4.6, 2.5.1a), 2.5.1c), 2.5.1g), 2.5.2 (Hint: Laplace's equation corresponds to the equilibrium of the heat equation in two dimesnsions. Recall the two different ways how to calculate the change of heat energy, see Section 1.5 for the two-dimensional case )
  • Study: 3.2.1, 3.2.3, 3.3.1, 3.3.3, 3.3.4, 3.3.6, 3.3.10, 3.3.15, 3.3.16, 3.3.18
  • Hand in: 3.2.2a), 3.2.2c), 3.2.2g), 3.2.4, 3.3.2b), 3.3.7, 3.3.13 (you do not have to provide sketches for 3.2.2 and 3.3)
  • Study: 4.4.2(b),(c), 4.4.3(b) (if stuck, have a look at the last page of the notes for Lecture 20 below), 4.4.5
  • Study: 7.7.1, 7.7.3, 7.7.8, 7.7.12, 7.8.6, 7.8.9, 7.8.10
  • Hand in: 7.7.2a), 7.7.2b), 7.7.6(b),(c)(you may use general properties of Sturm Liouville eigenvalue problems as stated in Section 5.3.2 on page 157) , 7.7.7, 7.7.16, 7.8.7, 7.8.8

Syllabus and Schedule of lectures.

Information about first midterm

CONTENT: The midterm will be a 50-minute exam, similar in nature to the practice exams, see below. You will have an additional 15 minutes to scan and upload the exam (see details below). It will cover everything up to and including HW 3: in terms of the book, this means sections 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 (without 2.5.3). I will not ask specific questions about Fourier series covered in Section 3 yet, but you have to know about it what we did in Chapters 1 and 2.

RULES: It will be an open book exam: you will be allowed to consult the textbook, your own notes or previous homework, and the notes posted on Canvas or my webpage by me or by the TAs, but no other resources may be used. In particular, you may not use any online resources, any other printed material (such as solution manuals), or any form of calculator (all arithmetic on the exam will be easy!) and you must not communicate in any way with anyone else during the exam. You will be required to write, sign and submit with your work a statement certifying that you have followed the regulations. Breaches of the rules will be reported to the Academic Integrity office.

TECHNICAL INFORMATION: The exam will be presented through Gradescope in a form similar to a homework assignment, except that it will be timed. When you log in to Gradescope you will be able to see (and/or download) a pdf copy of the exam paper. You should write your answers on your own paper, scan and upload them to Gradescope within 65 minutes - that's 50 minutes official exam time, plus 15 minutes allowance for upload time. (Please assign the pages corresponding to the questions, just as you do for homework.)

DATE AND TIME: The exam will take place during normal class time: 2-2.50pm PT (There is a time change in the US over the weekend!) Wednesday November 4. Students who currently live in different time zones for whom the time would be very inconvenient should contact me about the possibility of taking the exam at another time by Monday, November 2 . If you do so, please state where you currently live! Only students who have been approved before the exam can take it at a different time.

Practice Exam These are problems taken from another professor. There may be slightly different notations and priorities. See also the study problems posted above.

Here is a practice exam for midterm 2 from another professor. Some notations may be slightly different from this class. Ask if you are confused. See also the study problems above.

Here is a practice final. Please observe that it uses the Greek letter Delta for the Laplace operator, which we had denoted by nabla^2 (nabla = Delta upside down)


Pros and cons of differentiated instruction

The benefits of differentiation in the classroom are often accompanied by the drawback of an ever-increasing workload. Here are a few factors to keep in mind:

  • Research shows differentiated instruction is effective for high-ability students as well as students with mild to severe disabilities.
  • When students are given more options on how they can learn material, they take on more responsibility for their own learning.
  • Students appear to be more engaged in learning, and there are reportedly fewer discipline problems in classrooms where teachers provide differentiated lessons.
  • Differentiated instruction requires more work during lesson planning, and many teachers struggle to find the extra time in their schedule.
  • The learning curve can be steep and some schools lack professional development resources.
  • Critics argue there isn’t enough research to support the benefits of differentiated instruction outweighing the added prep time.

Non-polynomial Functions with Multiple Roots

When using a computer to find roots of more complicated functions it's best to understand what is going on and give the computer a guess close to your desired answer.

مثال 2

[Certain math software is not able to find the solution directly for us. We need to know how to properly use the tool to get the solution, either with graphs or setting up Newton's Method. This could involve giving an initial estimate for the root.]

There appear to be 2 roots, one near ر = &minus1 and the other near ر = 3 . However, if we look more carefully in the region near ر = 3 (by zooming in), we see that there is more than one root there.

By simple substitution, we can see that one of the roots is exactly ر = 3 :

Now for the root near ر = 3.4 .

We will use Newton's Method to approximate the root. We need to differentiate ذ = 1&minus ر 2 + 2 ر . Since we have ر as an exponent in our expression, we need to use logarithms when differentiating. [See how to differentiate logarithms in Derivative of the Logarithmic Function].

Let's differentiate 2 ر by itself first.

Take natural log of both sides:

So for Newton's Method in this example, we would have:

We can write this more conveniently (for later steps) showing the substitution as:

Now, doing another step of Newton's Method:

We can conclude that correct to 7 decimal places, ر = 3.4074505 .

Using Graphs Instead

Using a computer algebra system, we can zoom into the root and we can see (from where the graph cuts the ذ-axis) that ر is indeed close to `3.40745`.

Now for the negative case. يترك ر0 = &minus1 be our initial guess.

`t_2` `=-1.213076633-` `[(1-t^2+2^t)/(-2t+2^t ln 2)]_(t=-1.213076633)` `=-1.198322474`

`t_3` `=-1.198322474-` `[(1-t^2+2^t)/(-2t+2^t ln 2)]_(t=-1.198322474)` `=-1.198250199`

We could continue until we obtained the required accuracy.

Comparing this to the zoomed in graph, we can see that the solution is t = &minus1.198250197 , correct to 9 decimal places.

So the solutions for 1&minus ر 2 + 2 ر = 0 are

correct to 5 decimal places.


Chain Rule — A Review

Given a function $g$ defined on $I$, and another function $f$ defined on $g(I)$, we can defined a composite function $f circ g$ (i.e., $f$ compose $g$) as follows:

egin [f circ g ](x) & stackrel <=>f[g(x)] qquad (forall x in I) end

In which case, we can refer to $f$ as the outer function, and $g$ as the inner function. Under this setup, the function $f circ g$ maps $I$ first to $g(I)$, and then to $f[g(I)]$.

In addition, if $c$ is a point on $I$ such that:

  • The inner function $g$ is differentiable at $c$ (with the derivative denoted by $g'(c)$).
  • The outer function $f$ is differentiable at $g(c)$ (with the derivative denoted by $f'[g(c)]$).

then it would transpire that the function $f circ g$ is also differentiable at $c$, where:

giving rise to the famous derivative formula commonly known as the Chain Rule.

Theorem 1 — The Chain Rule for Derivative

Given an inner function $g$ defined on $I$ and an outer function $f$ defined on $g(I)$, if $c$ is a point on $I$ such that $g$ is differentiable at $c$ and $f$ differentiable at $g(c)$ (i.e., the image of $c$), then we have that:

as if we’re going from $f$ to $g$ to $x$.

In English, the Chain Rule reads:

The derivative of a composite function at a point, is equal to the derivative of the inner function at that point, times the derivative of the outer function at its image.

As simple as it might be, the fact that the derivative of a composite function can be evaluated in terms of that of its constituent functions was hailed as a tremendous breakthrough back in the old days, since it allows for the differentiation of a wide variety of elementary functions — ranging from $displaystyle (x^2+2x+3)^4$ and $displaystyle e^$ to $ln left(frac<3+x> <2^x> ight)$ and $operatorname (2^x)$.

More importantly, for a composite function involving ثلاثة functions (say, $f$, $g$ and $h$), applying the Chain Rule twice yields that:

(assuming that $h$ is differentiable at $c$, $g$ differentiable at $h(c)$, and $f$ at $g[h(c)]$ of course!)

In fact, extending this same reasoning to a $n$-layer composite function of the form $f_1 circ (f_2 circ cdots (f_ circ f_n) )$ gives rise to the so-called Generalized Chain Rule:

thereby showing that any composite function involving أي number of functions — if differentiable — can have its derivative evaluated in terms of the derivatives of its constituent functions في chain-like manner. ومن ثم Chain Rule.


3.4 Derivatives as Rates of Change

In this section we look at some applications of the derivative by focusing on the interpretation of the derivative as the rate of change of a function. These applications include acceleration and velocity in physics, population growth rates in biology, and marginal functions in economics.

Amount of Change Formula

One application for derivatives is to estimate an unknown value of a function at a point by using a known value of a function at some given point together with its rate of change at the given point. If f ( x ) f ( x ) is a function defined on an interval [ a , a + h ] , [ a , a + h ] , then the amount of change of f ( x ) f ( x ) over the interval is the change in the y y values of the function over that interval and is given by

As we already know, the instantaneous rate of change of f ( x ) f ( x ) at a a is its derivative

وسائط

Here is an interesting demonstration of rate of change.

Example 3.33

Estimating the Value of a Function

حل

Motion along a Line

Another use for the derivative is to analyze motion along a line. We have described velocity as the rate of change of position. If we take the derivative of the velocity, we can find the acceleration, or the rate of change of velocity. It is also important to introduce the idea of speed , which is the magnitude of velocity. Thus, we can state the following mathematical definitions.

تعريف

The velocity of the object at time t t is given by v ( t ) = s ′ ( t ) . v ( t ) = s ′ ( t ) .

The speed of the object at time t t is given by | v ( t ) | . | v ( t ) | .

Example 3.34

Comparing Instantaneous Velocity and Average Velocity

A ball is dropped from a height of 64 feet. Its height above ground (in feet) t t seconds later is given by s ( t ) = −16 t 2 + 64 . s ( t ) = −16 t 2 + 64 .

  1. What is the instantaneous velocity of the ball when it hits the ground?
  2. What is the average velocity during its fall?

حل

The first thing to do is determine how long it takes the ball to reach the ground. To do this, set s ( t ) = 0 . s ( t ) = 0 . Solving −16 t 2 + 64 = 0 , −16 t 2 + 64 = 0 , we get t = 2 , t = 2 , so it take 2 seconds for the ball to reach the ground.

Example 3.35

Interpreting the Relationship between v ( t ) v ( t ) and a ( t ) a ( t )

A particle moves along a coordinate axis in the positive direction to the right. Its position at time t t is given by s ( t ) = t 3 − 4 t + 2 . s ( t ) = t 3 − 4 t + 2 . Find v ( 1 ) v ( 1 ) and a ( 1 ) a ( 1 ) and use these values to answer the following questions.

حل

Example 3.36

Position and Velocity

The position of a particle moving along a coordinate axis is given by s ( t ) = t 3 − 9 t 2 + 24 t + 4 , t ≥ 0 . s ( t ) = t 3 − 9 t 2 + 24 t + 4 , t ≥ 0 .

حل

Population Change

In addition to analyzing velocity, speed, acceleration, and position, we can use derivatives to analyze various types of populations, including those as diverse as bacteria colonies and cities. We can use a current population, together with a growth rate, to estimate the size of a population in the future. The population growth rate is the rate of change of a population and consequently can be represented by the derivative of the size of the population.

تعريف

Example 3.37

Estimating a Population

The population of a city is tripling every 5 years. If its current population is 10,000, what will be its approximate population 2 years from now?

حل

thus, in 2 years the population will be 18,000.

Changes in Cost and Revenue

In addition to analyzing motion along a line and population growth, derivatives are useful in analyzing changes in cost, revenue, and profit. The concept of a marginal function is common in the fields of business and economics and implies the use of derivatives. The marginal cost is the derivative of the cost function. The marginal revenue is the derivative of the revenue function. The marginal profit is the derivative of the profit function, which is based on the cost function and the revenue function.

تعريف

We can roughly approximate

Example 3.38

Applying Marginal Revenue

In this case, the revenue in dollars obtained by selling x x barbeque dinners is given by

Use the marginal revenue function to estimate the revenue obtained from selling the 101st barbeque dinner. Compare this to the actual revenue obtained from the sale of this dinner.

حل

First, find the marginal revenue function: M R ( x ) = R ′ ( x ) = −0.06 x + 9 . M R ( x ) = R ′ ( x ) = −0.06 x + 9 .

The actual revenue obtained from the sale of the 101st dinner is

The marginal revenue is a fairly good estimate in this case and has the advantage of being easy to compute.

Section 3.4 Exercises

For the following exercises, the given functions represent the position of a particle traveling along a horizontal line.

  1. Find the velocity and acceleration functions.
  2. Determine the time intervals when the object is slowing down or speeding up.

s ( t ) = 2 t 3 − 3 t 2 − 12 t + 8 s ( t ) = 2 t 3 − 3 t 2 − 12 t + 8

s ( t ) = 2 t 3 − 15 t 2 + 36 t − 10 s ( t ) = 2 t 3 − 15 t 2 + 36 t − 10

  1. Find the velocity of the rocket 3 seconds after being fired.
  2. Find the acceleration of the rocket 3 seconds after being fired.

A ball is thrown downward with a speed of 8 ft/s from the top of a 64-foot-tall building. After ر seconds, its height above the ground is given by s ( t ) = −16 t 2 − 8 t + 64 . s ( t ) = −16 t 2 − 8 t + 64 .

  1. Determine how long it takes for the ball to hit the ground.
  2. Determine the velocity of the ball when it hits the ground.

The position of a hummingbird flying along a straight line in t t seconds is given by s ( t ) = 3 t 3 − 7 t s ( t ) = 3 t 3 − 7 t meters.

A potato is launched vertically upward with an initial velocity of 100 ft/s from a potato gun at the top of an 85-foot-tall building. The distance in feet that the potato travels from the ground after t t seconds is given by s ( t ) = −16 t 2 + 100 t + 85 . s ( t ) = −16 t 2 + 100 t + 85 .

The following graph shows the position y = s ( t ) y = s ( t ) of an object moving along a straight line.

  1. Use the graph of the position function to determine the time intervals when the velocity is positive, negative, or zero.
  2. Sketch the graph of the velocity function.
  3. Use the graph of the velocity function to determine the time intervals when the acceleration is positive, negative, or zero.
  4. Determine the time intervals when the object is speeding up or slowing down.

The cost function, in dollars, of a company that manufactures food processors is given by C ( x ) = 200 + 7 x + x 2 7 , C ( x ) = 200 + 7 x + x 2 7 , where x x is the number of food processors manufactured.

  1. Find the marginal cost function.
  2. Use the marginal cost function to estimate the cost of manufacturing the thirteenth food processor.
  3. Find the actual cost of manufacturing the thirteenth food processor.

[T] A profit is earned when revenue exceeds cost. Suppose the profit function for a skateboard manufacturer is given by P ( x ) = 30 x − 0.3 x 2 − 250 , P ( x ) = 30 x − 0.3 x 2 − 250 , where x x is the number of skateboards sold.

  1. Find the exact profit from the sale of the thirtieth skateboard.
  2. Find the marginal profit function and use it to estimate the profit from the sale of the thirtieth skateboard.

[T] In general, the profit function is the difference between the revenue and cost functions: P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) . P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) .

  1. Find the marginal cost function.
  2. Find the revenue and marginal revenue functions.
  3. Find R ′ ( 1000 ) R ′ ( 1000 ) and R ′ ( 4000 ) . R ′ ( 4000 ) . Interpret the results.
  4. Find the profit and marginal profit functions.
  5. Find P ′ ( 1000 ) P ′ ( 1000 ) and P ′ ( 4000 ) . P ′ ( 4000 ) . Interpret the results.

A small town in Ohio commissioned an actuarial firm to conduct a study that modeled the rate of change of the town’s population. The study found that the town’s population (measured in thousands of people) can be modeled by the function P ( t ) = − 1 3 t 3 + 64 t + 3000 , P ( t ) = − 1 3 t 3 + 64 t + 3000 , where t t is measured in years.

[T] A culture of bacteria grows in number according to the function N ( t ) = 3000 ( 1 + 4 t t 2 + 100 ) , N ( t ) = 3000 ( 1 + 4 t t 2 + 100 ) , where t t is measured in hours.

  1. Find the rate of change of centripetal force with respect to the distance from the center of rotation.
  2. Find the rate of change of centripetal force of an object with mass 1000 kilograms, velocity of 13.89 m/s, and a distance from the center of rotation of 200 meters.

The following questions concern the population (in millions) of London by decade in the 19th century, which is listed in the following table.

Years since 1800 Population (millions)
1 0.8795
11 1.040
21 1.264
31 1.516
41 1.661
51 2.000
61 2.634
71 3.272
81 3.911
91 4.422
  1. Using a calculator or a computer program, find the best-fit linear function to measure the population.
  2. Find the derivative of the equation in a. and explain its physical meaning.
  3. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.
  1. Using a calculator or a computer program, find the best-fit quadratic curve through the data.
  2. Find the derivative of the equation and explain its physical meaning.
  3. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

For the following exercises, consider an astronaut on a large planet in another galaxy. To learn more about the composition of this planet, the astronaut drops an electronic sensor into a deep trench. The sensor transmits its vertical position every second in relation to the astronaut’s position. The summary of the falling sensor data is displayed in the following table.

  1. Using a calculator or computer program, find the best-fit quadratic curve to the data.
  2. Find the derivative of the position function and explain its physical meaning.
  3. Find the second derivative of the position function and explain its physical meaning.
  1. Using a calculator or computer program, find the best-fit cubic curve to the data.
  2. Find the derivative of the position function and explain its physical meaning.
  3. Find the second derivative of the position function and explain its physical meaning.
  4. Using the result from c. explain why a cubic function is not a good choice for this problem.

The following problems deal with the Holling type I, II, and III equations. These equations describe the ecological event of growth of a predator population given the amount of prey available for consumption.

[T] The populations of the snowshoe hare (in thousands) and the lynx (in hundreds) collected over 7 years from 1937 to 1943 are shown in the following table. The snowshoe hare is the primary prey of the lynx.

  1. Graph the data points and determine which Holling-type function fits the data best.
  2. Using the meanings of the parameters a a and n , n , determine values for those parameters by examining a graph of the data. Recall that n n measures what prey value results in the half-maximum of the predator value.
  3. Plot the resulting Holling-type I, II, and III functions on top of the data. Was the result from part a. correct?

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ This book is Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 and you must attribute OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • Authors: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • Book title: Calculus Volume 1
    • Publication date: Mar 30, 2016
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • Book URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change

    © Jan 7, 2021 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 license. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    Differentiate the following with respect to (t):

    Expand the expression and apply the rules of differentiation

    We have not learnt a rule for differentiating a product, therefore we must expand the brackets and simplify before we can determine the derivative:

    egin g(t) &= 4left( t + 1 ight)^ <2>left( t - 3 ight) &= 4left( t^ <2>+ 2t + 1 ight) left( t - 3 ight) &= 4left( t^ <3>+ 2t^ <2>+ t - 3t^ <2>- 6t - 3 ight) &= 4left( t^ <3>- t^ <2>- 5t - 3 ight) &= 4t^ <3>- 4t^ <2>- 20t - 12 & herefore g'(t) &= 4 left( 3t^ <2> ight) - 4left( 2t ight) - 20 - 0 &= 12t^ <2>- 8t - 20 end

    Expand the expression and apply the rules of differentiation

    We have not learnt a rule for differentiating a quotient, therefore we must first simplify the expression and then we can differentiate:

    Important: always write the final answer with positive exponents.

    When to use the rules for differentiation:

    • If the question does not specify how we must determine the derivative, then we use the rules for differentiation.

    When to differentiate using first principles:

    • If the question specifically states to use first principles.
    • If we are required to differentiate using the definition of a derivative, then we use first principles.


    شاهد الفيديو: Rules of differentiation (شهر اكتوبر 2021).