مقالات

2.4: المتباينات ذات القيمة المطلقة والدوال التربيعية - الرياضيات


في هذا القسم ، لا نطور تقنيات لحل فئات مختلفة من عدم المساواة تحليليًا فحسب ، بل ننظر إليها أيضًا بيانياً. المثال الأول يحفز الأفكار الأساسية.

مثال ( PageIndex {1} ):

دع (f (x) = 2x-1 ) و (g (x) = 5 ).

  1. حل (f (x) = g (x) ).
  2. حل (f (x)
  3. حل (f (x)> g (x) ).
  4. رسم بياني (y = f (x) ) و (y = g (x) ) على نفس مجموعة المحاور وفسر حلولك للأجزاء من 1 إلى 3 أعلاه.

حل

  1. لحل (f (x) = g (x) ) ، نستبدل (f (x) ) بـ (2x-1 ) و (g (x) ) بـ (5 ) إلى الحصول على (2x-1 = 5 ). بالحل من أجل (س ) ، نحصل على (س = 3 ).
  2. المتباينة (f (x)
  3. لإيجاد مكان (f (x)> g (x) ) ، نحل (2x-1> 5 ). نحصل على (x> 3 ) أو ((3، infty) ).
  4. لرسم بياني (y = f (x) ) ، نقوم بالرسم البياني (y = 2x-1 ) ، وهو خط به (y ) - تقاطع ((0 ، -1) ) و منحدر (2 ). الرسم البياني لـ (y = g (x) ) هو (y = 5 ) وهو خط أفقي يمر عبر ((0،5) ).

لمعرفة العلاقة بين الرسم البياني والجبر ، نتذكر مبدأ الرسم البياني الأساسي للوظائف في القسم 1.6: النقطة ((أ ، ب) ) موجودة على الرسم البياني (f ) إذا وفقط إذا ( و (أ) = ب ). بمعنى آخر ، النقطة العامة على الرسم البياني (y = f (x) ) هي ((x، f (x)) ) ونقطة عامة على الرسم البياني (y = g (x) ) ) هو ((x، g (x)) ). عندما نبحث عن حلول لـ (f (x) = g (x) ) ، فإننا نبحث عن قيم (x ) قيمها (y ) على الرسوم البيانية (f ) و (g ) ) هي نفسها. في الجزء الأول ، وجدنا أن (x = 3 ) هو الحل لـ (f (x) = g (x) ). بالتأكيد ، (f (3) = 5 ) و (g (3) = 5 ) بحيث تكون النقطة ((3،5) ) على كلا الرسمين البيانيين. بمعنى آخر ، الرسوم البيانية لـ (f ) و (ز ) تتقاطع في ((3،5) ). في الجزء 2 ، حددنا (f (x) أدناه ((x، g (x)) ) نظرًا لأن قيم (y ) على الرسم البياني لـ (f ) أقل من قيم (y ) على الرسم البياني لـ (g ) هناك. بشكل مماثل ، في الجزء 3 ، قمنا بحل (f (x)> g (x) ) ووجدنا (x> 3 ). بالنسبة إلى (x> 3 ) ، لاحظ أن الرسم البياني لـ (f ) هو في الاعلى الرسم البياني لـ (g ) ، نظرًا لأن قيم (y ) على الرسم البياني (f ) أكبر من (y ) قيم على الرسم البياني (g ) لتلك القيم من (x ).

يوضح المثال السابق ما يلي ، والذي هو نتيجة لمبدأ الرسوم البيانية الأساسي للوظائف.

التفسير الرسومي للمعادلات والمتباينات

افترض أن (f ) و (g ) وظائف.

  • حلول ​​(f (x) = g (x) ) هي قيم (x ) حيث تتقاطع الرسوم البيانية لـ (y = f (x) ) و (y = g (x) ) .
  • حل (f (x)
  • حل (f (x)> g (x) ) هو مجموعة قيم (x ) حيث يكون الرسم البياني لـ (y = f (x) ) textit {أعلاه} الرسم البياني لـ ( ص = ز (س) ).

يقلب المثال التالي الجداول ويقدم الرسوم البيانية لدالتين ويطلب حلولًا للمعادلات والمتباينات.

مثال ( PageIndex {2} ):

الرسوم البيانية لـ (f ) و (g ) أدناه. (الرسم البياني (y = g (x) ) مكتوب بالخط العريض.) استخدم هذه الرسوم البيانية للإجابة على الأسئلة التالية.

  1. حل (f (x) = g (x) ).
  2. حل (f (x)
  3. حل (f (x) geq g (x) ).

حل

  1. لحل (f (x) = g (x) ) ، نبحث عن مكان تقاطع الرسوم البيانية لـ (f ) و (g ). يبدو أن هذه النقاط ((- 1،2) ) و ((1،2) ) ، لذا فإن حلولنا لـ (f (x) = g (x) ) هي (x = -1 ) و (س = 1 ).
  2. لحل (f (x)
  3. لحل (f (x) geq g (x) ) ، نبحث عن حلول لـ (f (x) = g (x) ) وكذلك (f (x)> g (x) ) ). لقد حللنا المعادلة السابقة ووجدنا (x = pm 1 ). لحل (f (x)> g (x) ) ، نبحث عن مكان الرسم البياني (f ) أعلى الرسم البياني (g ). يبدو أن هذا يحدث بين (x = -1 ) و (x = 1 ) ، على الفاصل ((- 1،1) ). ومن ثم ، فإن حلنا لـ (f (x) geq g (x) ) هو ([- 1،1] ).

نوجه انتباهنا الآن إلى حل المتباينات التي تنطوي على القيمة المطلقة. لدينا النظرية التالية من الجبر المتوسط ​​لمساعدتنا.

نظرية 2.4: المتباينات التي تنطوي على القيمة المطلقة

لنكن (ج ) رقمًا حقيقيًا. الفهرس {عدم المساواة! القيمة المطلقة} الفهرس {القيمة المطلقة! عدم المساواة}

  • بالنسبة إلى (c> 0 ) ، (| x |
  • بالنسبة إلى (c> 0 ) ، (| x | leq c ) يعادل (- c leq x leq c ).
  • بالنسبة إلى (c leq 0 ) ، لا يوجد حل (| x |
  • بالنسبة إلى (c geq 0 ) ، (| x |> c ) يعادل (x <-c ) أو (x> c ).
  • بالنسبة إلى (c geq 0 ) ، (| x | geq c ) يعادل (x leq -c ) أو (x geq c ).
  • بالنسبة إلى (c <0 ) ، (| x |> c ) و (| x | geq c ) صحيحة لجميع الأرقام الحقيقية.

كما هو الحال مع النظرية 2.1 في القسم 2.2 ، يمكننا مناقشة نظرية 2.4 باستخدام الحالات. ومع ذلك ، في ضوء ما قمنا بتطويره في هذا القسم ، يمكننا فهم هذه العبارات بيانياً. على سبيل المثال ، إذا كان (c> 0 ) ، فإن الرسم البياني (y = c ) هو خط أفقي يقع فوق (x ) - المحور من خلال ((0 ، ج) ). لحل (| x |

نرى أن الرسم البياني لـ (y = | x | ) أدناه (y = c ) لـ (x ) بين (- c ) و (c ) ، وبالتالي نحصل على ( | x |

مثال ( PageIndex {3} ):

حل المتباينات التالية تحليليًا ؛ تحقق من إجاباتك بيانيا.

  1. (| x-1 | geq 3 )
  2. (4 - 3 | 2 س + 1 |> -2 )
  3. (2 <| x-1 | leq 5 )
  4. (| x + 1 | geq dfrac {x + 4} {2} )

حل

  1. من النظرية 2.4 ، (| x-1 | geq3 ) يكافئ (x-1 leq -3 ) أو (x-1 geq 3 ). عند الحل ، نحصل على (x leq -2 ) أو (x geq 4 ) ، وهو ((- infty ، -2] كوب [4 ، infty) ). بيانيا ، لدينا

نرى أن الرسم البياني لـ (y = | x-1 | ) أعلى من الخط الأفقي (y = 3 ) لـ (x <-2 ) و (x> 4 ) ومن ثم هذا هو المكان (| x-1 |> 3 ). يتقاطع الرسمان البيانيان عند (x = -2 ) و (x = 4 ) ، لذلك لدينا تأكيد رسومي لحلنا التحليلي.

2. لحل (4 - 3 | 2x + 1 |> -2 ) بشكل تحليلي ، نقوم أولاً بعزل القيمة المطلقة قبل تطبيق النظرية 2.4. لتحقيق هذه الغاية ، نحصل على (- 3 | 2x + 1 |> -6 ) أو (| 2x + 1 | <2 ). إعادة الكتابة ، لدينا الآن (- 2 <2x + 1 <2 ) بحيث (- frac {3} {2}

3. إعادة كتابة المتباينة المركبة (2 <| x-1 | leq 5 ) كـ `) 2 <| x-1 | ) و (| x-1 | leq 5 ) 'يسمح لنا حل كل قطعة باستخدام نظرية 2.4. يمكن إعادة كتابة المتباينة الأولى (2 <| x-1 | ) كـ (| x-1 |> 2 ) لذا (x-1 <-2 ) أو (x-1> 2 ). نحصل على (x <-1 ) أو (x> 3 ). إذن ، حل المتباينة الأولى هو ((- infty، -1) كوب (3، infty) ). بالنسبة إلى (| x-1 | leq 5 ) ، نجمع النتائج في النظريات 2.1 و 2.4 للحصول على (- 5 leq x-1 leq 5 ) بحيث (- 4 leq x leq 6 ) أو ([- 4،6] ). يتكون حلنا لـ (2 <| x-1 | leq 5 ) من قيم (x ) التي ترضي كلا الجزأين من عدم المساواة ، لذلك نأخذ التقاطع الحاشية السفلية {انظر التعريف 1.2 في القسم 1.1 من ((- infty، -1) كوب (3، infty) ) و ([- 4،6] ) للحصول على ([- 4، -1) كوب (3،6] ) . بيانياً ، نرى أن الرسم البياني لـ (y = | x-1 | ) هو `` بين 'الخطوط الأفقية (y = 2 ) و (y = 5 ) لقيم (x ) بين (-4 ) و (- 1 ) وكذلك بين (3 ) و (6 ). بما في ذلك قيم (x ) حيث تتقاطع (y = | x-1 | ) و (y = 5 ) ، نحصل على

4. نحتاج إلى توخي بعض الحذر عند حل (| x + 1 | geq frac {x + 4} {2} ). كما رأينا في المثال 2.2.1 في القسم 2.2 ، عندما تكون المتغيرات داخل وخارج القيمة المطلقة ، فمن الأفضل عادةً الإشارة إلى تعريف القيمة المطلقة ، التعريف 2.4 ، لإزالة القيم المطلقة والمضي قدمًا من هناك. لتحقيق هذه الغاية ، لدينا (| x + 1 | = - (x + 1) ) إذا (x <-1 ) و (| x + 1 | = x + 1 ) إذا (x ) geq -1 ). نقسم المتباينة إلى حالات ، الحالة الأولى عندما (x <-1 ). بالنسبة لقيم (x ) هذه ، تصبح المتباينة (- (x + 1) geq frac {x + 4} {2} ). عند الحل ، نحصل على (- 2x-2 geq x + 4 ) ، بحيث (- 3x geq 6 ) ، وهو ما يعني (x leq -2 ). نظرًا لأن كل هذه الحلول تقع ضمن الفئة (x <-1 ) ، فإننا نحتفظ بها جميعًا. في الحالة الثانية ، نفترض (x geq -1 ). تصبح المتباينة (x + 1 geq frac {x + 4} {2} ) ، ما يعطي (2x + 2 geq x + 4 ) أو (x geq 2 ). نظرًا لأن كل قيم (x ) أكبر من أو تساوي (- 1 ) ، فإننا نقبل كل هذه الحلول أيضًا. إجابتنا النهائية هي ((- infty، -2] cup [2، infty) ).

نوجه انتباهنا الآن إلى عدم المساواة التربيعية. في المثال الأخير للقسم 2.3 ، احتجنا إلى تحديد الحل لـ (x ^ 2 - x -6 <0 ). سنقوم الآن بإعادة زيارة هذه المشكلة باستخدام بعض الأساليب التي تم تطويرها في هذا القسم ليس فقط لتعزيز حلنا في القسم 2.3 ، ولكن أيضًا للمساعدة في صياغة إجراء تحليلي عام لحل جميع التفاوتات التربيعية. إذا أخذنا في الاعتبار (f (x) = x ^ 2-x-6 ) و (g (x) = 0 ) ، فإن حل (x ^ 2 - x -6 <0 ) يتوافق بيانياً مع إيجاد قيم (x ) التي يكون الرسم البياني لـ (y = f (x) = x ^ 2-x-6 ) (القطع المكافئ) أقل من الرسم البياني (y = g (x) = 0 ) (المحور (س )). لقد قدمنا ​​الرسم البياني مرة أخرى كمرجع.

يمكننا أن نرى أن الرسم البياني (f ) ينخفض ​​أسفل (x ) - المحور بين تقاطعي (x ) -. أصفار (f ) هي (x = -2 ) و (x = 3 ) في هذه الحالة ويقسمون المجال (المحور (x )) إلى ثلاث فترات: (( - infty ، -2) ) ، ((- 2،3) ) و ((3 ، infty) ). لكل رقم في ((- infty ، -2) ) ، يكون الرسم البياني (f ) أعلى (س ) - المحور ؛ بعبارة أخرى ، (f (x)> 0 ) لكل (x ) في ((- infty، -2) ). وبالمثل ، (f (x) <0 ) لجميع (x ) في ((- 2،3) ) ، و (f (x)> 0 ) لجميع (x ) في ((3 ، infty) ). يمكننا تمثيل هذا بشكل تخطيطي باستخدام ({ bf sign diagram} ) أدناه.

هنا ، يشير ((+) ) الموجود أعلى جزء من خط الأرقام إلى (f (x)> 0 ) لقيم (x ) ؛ يشير ((-) ) إلى (f (x) <0 ) هناك. الأرقام المسماة على خط الأعداد هي أصفار (f ) ، لذلك نضع (0 ) فوقها. نرى على الفور أن حل (f (x) <0 ) هو ((- 2،3) ).

هدفنا التالي هو إنشاء إجراء يمكننا من خلاله إنشاء مخطط الإشارة دون رسم الوظيفة. من الخصائص المهمة الحاشية السفلية {سنمنح هذه الخاصية اسمًا في الفصل 3 ونعيد النظر في هذا المفهوم بعد ذلك.} للوظائف التربيعية هي أنه إذا كانت الوظيفة موجبة عند نقطة واحدة وسالبة عند نقطة أخرى ، فيجب أن تحتوي الوظيفة على صفر واحد على الأقل في ما بين. بيانياً ، هذا يعني أن القطع المكافئ لا يمكن أن يكون أعلى من (س ) - المحور عند نقطة واحدة وتحت المحور (س ) - عند نقطة أخرى دون عبور المحور (س ) -. هذا يسمح لنا بتحديد علامة الكل من قيم الدالة في فترة زمنية معينة عن طريق اختبار الدالة على الفور واحد القيمة في الفاصل الزمني. هذا يعطينا التالي.

خطوات حل المتباينة التربيعية

  1. أعد كتابة المتباينة ، إذا لزم الأمر ، كدالة تربيعية (f (x) ) على أحد جانبي المتباينة و (0 ) على الجانب الآخر.
  2. ابحث عن أصفار (f ) وضعهم على خط الأعداد مع الرقم (0 ) فوقهم.
  3. اختر رقمًا حقيقيًا ، يسمى textbf {قيمة الاختبار} ، في كل فترة زمنية محددة في الخطوة 2.
  4. حدد علامة (f (x) ) لكل قيمة اختبار في الخطوة 3 ، واكتب تلك الإشارة فوق الفاصل الزمني المقابل.
  5. اختر الفترات التي تتوافق مع الإشارة الصحيحة لحل المتباينة.

مثال ( PageIndex {4} ):

حل المتباينات التالية تحليليًا باستخدام مخططات الإشارة. تحقق من إجابتك بيانيا.

  1. (2x ^ 2 leq 3-x )
  2. (س ^ 2 - 2 س> 1 )
  3. (س ^ 2 + 1 leq 2x )
  4. (2x-x ^ 2 geq | x-1 | -1 )

حل

  1. لحل (2x ^ 2 leq 3-x ) ، نحصل أولاً على (0 ) على جانب واحد من المتباينة التي ينتج عنها (2x ^ 2 + x-3 leq 0 ). نجد أصفار (f (x) = 2x ^ 2 + x - 3 ) عن طريق حل (2x ^ 2 + x - 3 = 0 ) لـ (x ). يعطي التحليل ((2x + 3) (x-1) = 0 ) ، لذلك (x = - frac {3} {2} ) أو (x = 1 ). نضع هذه القيم على خط الأعداد مع (0 ) فوقها ونختار قيم الاختبار في الفواصل الزمنية ( left (- infty، - frac {3} {2} right) )، ( يسار (- frac {3} {2}، 1 right) ) و ((1، infty) ). بالنسبة للفاصل ( left (- infty، - frac {3} {2} right) ) ، نختار حاشية سفلية {علينا أن نختار ( underline {something} ) في كل فترة. إذا لم تعجبك خياراتنا ، فلا تتردد في اختيار أرقام مختلفة. ستحصل على نفس مخطط الإشارة.} (x = -2 )؛ بالنسبة إلى ( left (- frac {3} {2}، 1 right) ) ، نختار (x = 0 ) ؛ و ((1 ، infty) ) ، (س = 2 ). يعطينا تقييم الوظيفة عند قيم الاختبار الثلاث (f (-2) = 3> 0 ) ، لذلك نضع ((+) ) فوق ( left (- infty ، - frac {3} {2} right) ) ؛ (f (0) = - 3 <0 ) ، لذلك ((-) ) يتجاوز الفاصل ( left (- frac {3} {2} ، 1 right) ) ؛ و ، (f (2) = 7 ) ، مما يعني أن ((+) ) يوضع فوق ((1 ، infty) ). نظرًا لأننا نحل (2x ^ 2 + x-3 leq 0 ) ، فإننا نبحث عن حلول لـ (2x ^ 2 + x-3 <0 ) بالإضافة إلى حلول لـ (2x ^ 2 + x- 3 = 0 ). بالنسبة إلى (2x ^ 2 + x-3 <0 ) ، نحتاج إلى الفواصل الزمنية التي لدينا ((-) ). عند التحقق من مخطط الإشارة ، نرى أن هذا هو ( left (- frac {3} {2}، 1 right) ). نعلم (2x ^ 2 + x-3 = 0 ) متى (x = - frac {3} {2} ) و (x = 1 ) ، لذا فإن إجابتنا النهائية هي ( left [ - frac {3} {2} ، 1 right] ).

للتحقق من الحل بيانياً ، نشير إلى المتباينة الأصلية ، (2x ^ 2 leq 3-x ). ندع (g (x) = 2x ^ 2 ) و (h (x) = 3-x ). نحن نبحث عن قيم (x ) حيث يكون الرسم البياني لـ (g ) أقل من (h ) (الحل لـ (g (x)

2. مرة أخرى ، نعيد كتابة (x ^ 2-2x> 1 ) كـ (x ^ 2-2x-1> 0 ) ونحدد (f (x) = x ^ 2-2x- 1 ). عندما نذهب لإيجاد أصفار (f ) ، نجد ، مما يثير استياءنا ، أن التربيعي (x ^ 2-2x-1 ) لا يعمل بشكل جيد. ومن ثم ، نلجأ إلى الصيغة التربيعية لحل (x ^ 2-2x-1 = 0 ) ، والوصول إلى (x = 1 pm sqrt {2} ). كما في السابق ، تقسم هذه الأصفار خط الأعداد إلى ثلاث قطع. لمساعدتنا في تحديد قيم الاختبار ، نقوم بتقريب (1 - sqrt {2} almost -0.4 ) و (1 + sqrt {2} almost 2.4 ). نختار (x = -1 ) ، (x = 0 ) و (x = 3 ) كقيم اختبار لدينا ونجد (f (-1) = 2 ) ، وهو ((+ ) ) ؛ (و (0) = - 1 ) وهو ((-) ) ؛ و (f (3) = 2 ) وهو ((+) ) مرة أخرى. حلنا لـ (x ^ 2-2x-1> 0 ) هو المكان الذي لدينا ((+) ) ، لذلك ، في تدوين الفاصل ( left (- infty ، 1- sqrt {2} يمين) كوب يسار (1+ sqrt {2} ، infty right) ). للتحقق من عدم المساواة (x ^ 2 - 2x> 1 ) بيانياً ، قمنا بتعيين (g (x) = x ^ 2-2x ) و (h (x) = 1 ). نحن نبحث عن قيم (x ) حيث يكون الرسم البياني لـ (g ) أعلى الرسم البياني لـ (ح ). كما كان من قبل ، نقدم الرسوم البيانية على اليمين ومخطط الإشارة على اليسار.

3. لحل (x ^ 2 + 1 leq 2x ) ، كما في السابق ، نقوم بحل (x ^ 2-2x + 1 leq 0 ). ضبط (f (x) = x ^ 2-2x + 1 = 0 ) ، نجد صفرًا واحدًا فقط من (f ) ، (x = 1 ). هذه القيمة (x ) تقسم خط الأرقام إلى فترتين ، نختار منهما (x = 0 ) و (x = 2 ) كقيم اختبار. نجد (f (0) = 1> 0 ) و (f (2) = 1> 0 ). نظرًا لأننا نبحث عن حلول لـ (x ^ 2-2x + 1 leq 0 ) ، فإننا نبحث عن قيم (x ) حيث (x ^ 2-2x + 1 <0 ) وكذلك أين (س ^ 2-2 س + 1 = 0 ). بالنظر إلى مخطط الإشارة الخاص بنا ، لا توجد أماكن حيث (x ^ 2-2x + 1 <0 ) (لا يوجد ((-) )) ، لذا فإن حلنا هو فقط (x = 1 ) ( حيث (x ^ 2-2x + 1 = 0 )). نكتب هذا كـ ( left {1 right } ). بيانياً ، نحل (x ^ 2 + 1 leq 2x ) من خلال رسم بياني (g (x) = x ^ 2 + 1 ) و (h (x) = 2x ).نحن نبحث عن قيم (x ) حيث يكون الرسم البياني لـ (g ) أسفل الرسم البياني لـ (h ) (لـ (x ^ 2 + 1 <2x )) وحيث يتقاطع الرسمان البيانيان () x ^ 2 + 1 = 2x )). لاحظ أن الخط والقطع المكافئ يتلامسان عند ( left (1، 2 right) ) ، لكن القطع المكافئ دائمًا ما يكون فوق الخط بخلاف ذلك. الحاشية السفلية {في هذه الحالة ، نقول السطر (y = 2x ) هو ( textbf {tangent} ) إلى (y = x ^ 2 + 1 ) في ( left (1، 2 right) ). إن إيجاد خطوط مماسة للدوال العشوائية هو مشكلة أساسية يتم حلها بشكل عام باستخدام حساب التفاضل والتكامل.}

4. لحل المتباينة الأخيرة ، (2x-x ^ 2 geq | x-1 | -1 ) ، نعيد كتابة القيمة المطلقة باستخدام الحالات. بالنسبة إلى (x <1 ) ، (| x-1 | = - (x-1) = 1-x ) ، لذلك نحصل على (2x-x ^ 2 geq 1-x-1 ) ، أو (x ^ 2-3x leq 0 ). بإيجاد أصفار (f (x) = x ^ 2-3x ) ، نحصل على (x = 0 ) و (x = 3 ). ومع ذلك ، نحن معنيون فقط بجزء خط الأعداد حيث (x <1 ) ، لذا فإن الصفر الوحيد الذي نهتم به هو (x = 0 ). هذا يقسم الفاصل (x <1 ) إلى فترتين: ((- infty ، 0) ) و ((0،1) ). نختار (x = -1 ) و (x = frac {1} {2} ) كقيم اختبارية. نجد (f (-1) = 4 ) و (f left ( frac {1} {2} right) = - frac {5} {4} ). ومن ثم ، فإن حلنا لـ (x ^ 2-3x leq 0 ) لـ (x <1 ) هو ([0،1) ). بعد ذلك ، نوجه انتباهنا إلى الحالة (x geq 1 ). هنا ، (| x-1 | = x-1 ) ، لذلك تصبح المتباينة الأصلية (2x-x ^ 2 geq x-1-1 ) أو (x ^ 2-x-2 leq 0 ). ضبط (g (x) = x ^ 2-x-2 ) ، نجد أصفار (g ) لتكون (x = -1 ) و (x = 2 ). من بين هؤلاء ، تقع فقط (x = 2 ) في المنطقة (x geq 1 ) ، لذلك نتجاهل (x = -1 ). فترات الاختبار لدينا الآن هي ([1،2) ) و ((2 ، infty) ). نختار (x = 1 ) و (x = 3 ) كقيم اختبار لدينا ونجد (g (1) = -2 ) و (g (3) = 4 ). ومن ثم ، فإن حلنا لـ (g (x) = x ^ 2-x-2 leq 0 ) ، في هذه المنطقة هو ([1،2) ).

بدمج هذه العناصر في مخطط إشارة واحد ، يكون الحل هو ([0،2] ). بيانياً ، للتحقق من (2x-x ^ 2 geq | x-1 | -1 ) ، قمنا بتعيين (h (x) = 2x-x ^ 2 ) و (i (x) = | x- 1 | -1 ) وابحث عن قيم (x ) حيث يكون الرسم البياني لـ (h ) أعلى الرسم البياني (i ) (حل (h (x)> i (x ) )) وكذلك (س ) - إحداثيات نقاط التقاطع لكلا الرسمين البيانيين (حيث (ح (س) = أنا (س) )). يوجد مخطط اللافتة المدمجة على اليسار والرسوم البيانية على اليمين.

أحد التطبيقات الكلاسيكية لعدم المساواة هو مفهوم التسامح. حاشية سفلية {يمكن صياغة المفهوم الأساسي لحساب التفاضل والتكامل من حيث التفاوتات ، لذا فإن هذا يستحق اهتمامك.} تذكر ذلك للأرقام الحقيقية (س ) و (c ) ، يمكن تفسير الكمية (| xc | ) على أنها المسافة من (x ) إلى (c ). يمكن بعد ذلك تفسير حل عدم المساواة من النموذج (| xc | leq d ) لـ (d geq 0 ) على أنه إيجاد جميع الأرقام (x ) التي تقع داخل (d ) وحدات (c) ). يمكننا التفكير في الرقم (د ) على أنه "تفاوت" وحلولنا (س ) ضمن التسامح المقبول لـ (ج ). نستخدم هذا المبدأ في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {5} ):

المساحة (A ) (بالبوصة المربعة) للقطعة المربعة من لوح الجسيمات التي تقيس (x ) بوصة على كل جانب هي (A (x) = x ^ 2 ). لنفترض أن الشركة المصنعة تحتاج إلى إنتاج قطعة مربعة من لوح حبيبي مقاس 24 بوصة × 24 بوصة كجزء من مجموعة مكتب منزلي. إلى أي مدى يجب قطع جانب قطعة لوح الجسيمات إلى (24 ) بوصة لضمان أن تكون مساحة القطعة ضمن تفاوت (0.25 ) بوصة مربعة من المنطقة المستهدفة (576) ) بوصة مربعة؟

حل

رياضياً ، نعبر عن الرغبة في أن تكون المساحة (A (x) ) ضمن (0.25 ) بوصة مربعة من (576 ) كـ (| A - 576 | leq 0.25 ). بما أن (A (x) = x ^ 2 ) ، نحصل على (| x ^ 2 - 576 | leq 0.25 ) ، وهو ما يعادل (- 0.25 leq x ^ 2 - 576 leq 0.25 ) ). إحدى الطرق للمضي قدمًا في هذه المرحلة هي حل المتباينتين (- 0.25 leq x ^ 2 - 576 ) و (x ^ 2 - 576 leq 0.25 ) بشكل فردي باستخدام مخططات الإشارة ثم أخذ تقاطع مجموعات الحلول. بينما ستؤدي هذه الطريقة (في النهاية) إلى الإجابة الصحيحة ، فإننا ننتهز هذه الفرصة لعرض الخاصية المتزايدة للجذر التربيعي: if (0 leq a leq b ) ، ثم ( sqrt {a} leq sqrt {b} ). لاستخدام هذه الخاصية ، نتابع على النحو التالي

[ start {array} {rclr} -0.25 leq & x ^ 2 - 576 & leq 0.25 & 575.75 leq & x ^ 2 & leq 576.25 & text {(add (576 ) عبر عدم المساواة.)} sqrt {575.75} leq & sqrt {x ^ 2} & leq sqrt {576.25} & text {(خذ جذورًا تربيعية.)} sqrt {575.75} leq & | x | & leq sqrt {576.25} & text {() sqrt {x ^ 2} = | x | ))} end {array} ]

من خلال النظرية 2.4 ، نجد الحل لـ ( sqrt {575.75} leq | x | ) ليكون ( left (- infty، - sqrt {575.75} ، right] cup left [ sqrt {575.75}، infty right) ) والحل لـ (| x | leq sqrt {576.25} ) ليكون ( left [- sqrt {576.25}، sqrt {576.25} ، حق]). لحل ( sqrt {575.75} leq | x | leq sqrt {576.25} ) ، نتقاطع بين هاتين المجموعتين للحصول على ([- sqrt {576.25}، - sqrt {575.75}] كوب [ sqrt {575.75}، sqrt {576.25}] ). نظرًا لأن (x ) يمثل طولًا ، فإننا نتجاهل الإجابات السلبية ونحصل على ([ sqrt {575.75}، sqrt {576.25}] ). هذا يعني أنه يجب قطع جانب قطعة لوح الجسيمات بين ( sqrt {575.75} حوالي 23.995 ) و ( sqrt {576.25} حوالي 24.005 ) بوصة ، بتفاوت قدره (تقريبًا) ( 0.005 ) بوصة من الطول المستهدف (24 ) بوصة.

يوضح مثالنا الأخير في القسم كيف يمكن استخدام عدم المساواة لوصف مناطق في المستوى ، كما رأينا سابقًا في القسم 1.2.

مثال ( PageIndex {6} ):

ارسم العلاقات التالية.

  1. (R = {(x، y): y> | x | } )
  2. (S = {(x، y): y leq 2-x ^ 2 } )
  3. (T = {(x، y): | x |

حل

  1. تتكون العلاقة (R ) من جميع النقاط ((x، y) ) التي يكون إحداثياتها (y ) - أكبر من (| x | ). إذا رسمنا (y = | x | ) ، فإننا نريد كل النقاط في المستوى في الاعلى النقاط على الرسم البياني. وضع تنقيط على الرسم البياني لـ (y = | x | ) كما فعلنا من قبل للإشارة إلى أن النقاط الموجودة على الرسم البياني نفسه ليست ذات علاقة ، نحصل على المنطقة المظللة أدناه على اليسار.
  2. لكي تكون النقطة في (S ) ، يجب أن يكون الإحداثي (y ) - أقل من أو يساوي (y ) - تنسيق على القطع المكافئ (y = 2-x ^ 2 ). هذه هي مجموعة كل النقاط أدناه أو على القطع المكافئ (ص = 2-س ^ 2 ).

3. أخيرًا ، تأخذ العلاقة (T ) النقاط التي تفي إحداثياتها (ص ) - بالشروط الواردة في (ص ) وتلك الخاصة بـ (س ). وهكذا نقوم بتظليل المنطقة بين (y = | x | ) و (y = 2-x ^ 2 ) ، مع الاحتفاظ بهذه النقاط على القطع المكافئ ، ولكن ليس النقاط الموجودة على (y = | x | ). للحصول على رسم بياني دقيق ، نحتاج إلى إيجاد مكان تقاطع هذين الرسمين البيانيين ، لذلك قمنا بتعيين (| x | = 2-x ^ 2 ). بالمضي قدمًا ، وكسر هذه المعادلة إلى حالات ، نحصل على (x = -1،1 ). عوائد الرسوم البيانية



موارد ORCCA المفتوحة لكلية المجتمع الجبر

سواء كانت غسالة أو صامولة أو مسمار تثبيت أو ترس ، عند صنع جزء من الآلة ، يجب أن يتم تصنيعه ليتناسب مع جميع أجزاء النظام الأخرى. نظرًا لعدم وجود عملية تصنيع مثالية ، فهناك انحرافات صغيرة عن القاعدة عند تصنيع كل قطعة. في الواقع ، لدى الشركات المصنعة ملف نطاق من القيم المقبولة لكل قياس لكل برغي أو برغي أو ما إلى ذلك.

لنفترض أننا كنا نفحص بعض المسامير الجديدة التي خرجت للتو من المصنع. تحدد الشركة المصنعة أن كل مسمار يجب أن يكون داخل نطاق تفاوت بقطر 0.04 مم إلى 10 مم. لذا فإن أقل قطر يمكن أن يكون عليه البرغي من خلال ضمان الجودة هو 0.04 ملم أصغر من 10 ملم ، وهو 9.96 ملم. وبالمثل ، فإن أكبر قطر يمكن أن يكون فيه البرغي هو 0.04 ملم أكبر من 10 ملم ، وهو 10.04 ملم.

بإيجاز ، نريد أن يكون الفرق بين القطر الفعلي والمواصفات أقل من أو يساوي 0.04 مم. نظرًا لاستخدام القيم المطلقة لوصف المسافات ، يمكننا تلخيص أفكارنا رياضيًا كـ ( abs le 0.04 text <،> ) حيث يمثل (x ) قطر الترباس ذي الحجم المقبول بالمليمترات. نظرًا لأن الحد الأدنى للقيمة هو 9.96 مم والحد الأقصى هو 10.04 مم ، يجب أن يكون نطاق القيم المقبولة لدينا (9.96 le x le 10.04 text <.> )

في هذا القسم سوف ندرس مجموعة متنوعة من المشاكل والتطبيقات التي تتعلق بهذا النوع من الرياضيات بقيم مطلقة.

شكل 11.3.1 درس فيديو بديل

القسم الفرعي 11.3.1 حل معادلات القيمة المطلقة

تذكر في القسم 11.1 أننا تعلمنا أن الرسوم البيانية لوظيفة القيمة المطلقة تتشكل بشكل عام مثل "V" s. يمكننا الآن حل بعض معادلات القيمة المطلقة بيانيًا.

مثال 11.3.2

حل المعادلات بيانياً باستخدام الرسوم البيانية المتوفرة.

لحل المعادلات بيانيًا ، علينا أولًا أن نرسم الجوانب اليمنى من المعادلات بيانيًا أيضًا.

منذ الرسم البياني لـ (y = abs) يتخطى (y = 3 ) عند (x ) - القيم (- 3 ) و (3 text <،> ) مجموعة الحل للمعادلة ( القيمة المطلقة= 3 ) يجب أن يكون ( <- 3،3 > نص <.> )

بما أن الرسم البياني لـ (y = abs <2x + 3> ) يتقاطع (y = 5 ) عند (x ) - القيم (- 4 ) و (1 text <،> ) الحل المعين للمعادلة ( abs <2x + 3> = 5 ) يجب أن يكون ( <- 4،1 > نص <.> )

ملاحظة 11.3.7

في هذه المرحلة ، يرجى ملاحظة أن هناك فرقًا كبيرًا بين التعبير ( abs <3> ) والمعادلة ( القيمة المطلقة= 3 نص <.> )

يصف التعبير ( abs <3> ) المسافة من (0 ) إلى الرقم (3 نص <.> ) المسافة هي فقط (3 نص <.> ) لذا ( abs <3> = 3 نص <.> )

المعادلة ( abs= 3 ) يطلب منك العثور على الأرقام على مسافة (3 ) من (0 نص <.> ) رأينا في الشكل 11.3.5 أن هذين الرقمين هما (3 ) و (- 3 نص <.> )

مثال 11.3.8

تحقق من أن القيمة (4 ) هي حل لمعادلة القيمة المطلقة ( abs <2x-3> = 5 نص <.> )

تحقق من أن القيمة ( frac <3> <2> ) هي حل لمعادلة القيمة المطلقة ( abs < frac <1> <6> x- frac <1> <2>> = frac <1> <4> text <.> )

سنقوم باستبدال القيمة ( البديل <4> ) في معادلة القيمة المطلقة ( abs <2x-3> = 5 نص <.> ) نحصل على:

سنقوم باستبدال القيمة ( البديل < frac <3> <2>> ) في معادلة القيمة المطلقة ( abs < frac <1> <6> x- frac <1> <2>> = فارك <1> <4> نص <.> ) نحصل على:

الآن سوف نتعلم حل معادلات القيمة المطلقة جبريًا. لتحفيز ذلك ، سنفكر في ما تعنيه معادلة القيمة المطلقة من حيث تعريف "المسافة من الصفر" للقيمة المطلقة. إذا

حيث (n ge0 text <،> ) فهذا يعني أننا نريد جميع الأرقام ، (X text <،> ) التي تكون مسافة (n ) من (0 text < .> ) نظرًا لأنه لا يمكننا الانتقال إلى اليسار أو اليمين إلا على طول خط الأعداد ، فإن هذا يصف كلاً من (X = n ) وكذلك (X = -n text <.> )

الشكل 11.3.9 خط رقمي بنقاط على مسافة (n ) من (0 )

دعونا نلخص هذا بحقيقة.

حقيقة 11.3.10 المعادلات بتعبير القيمة المطلقة

لنفترض (n ) أن يكون عددًا غير سالب و (X ) تعبيرًا رياضيًا. ثم المعادلة

لها نفس الحلول مثل

مثال 11.3.11

حل معادلات القيمة المطلقة باستخدام حقيقة 11.3.10. اكتب الحلول في مجموعة الحلول.


2.4: المتباينات ذات القيمة المطلقة والدوال التربيعية - الرياضيات

حل المعادلات باستخدام الصيغة التربيعية

ربما يكون هذا الدرس هنا هو أكثر ما يخشاه طلاب الجبر! تبدو الصيغة التربيعية كتعبير هائل ومخيف ، لكنها في الحقيقة ليست بهذا السوء.

ال الصيغة التربيعية يستخدم لإيجاد جذور المعادلة التربيعية. استخدمنا المميز لمعرفة ذلك كيف كانت هناك عدة جذور ، لكن المعادلة التربيعية ستخبرنا بالفعل ماذا او ما هم انهم. الجذور هي النقاط التي تساوي فيها المعادلة صفرًا ، وهي نفس النقاط التي يصل فيها الرسم البياني إلى المحور x. تذكر أنه يمكن أن يكون هناك جذران حقيقيان ، أو جذر حقيقي واحد ، أو لا جذور حقيقية.

هل انت جاهز؟ لنجرب واحدًا:

سنحتاج إلى إيجاد a و b و c ، مما يعني أننا نحتاج إلى أن تساوي المعادلة صفرًا. لذلك دعونا نضيف 1 لكل جانب.

تذكر أن النموذج القياسي هو (ax ^ 2 + bx + c ) لذلك لدينا:

الآن ، ها هي الصيغة التربيعية. إنه كثير من التوصيل والتبسيط باستخدام أ ، ب ، ج.

الصيغة التربيعية

رمز " ( pm )" يعني "زائد أو ناقص" مما يعني أن هذه الصيغة هي في الواقع اثنان في واحد! سيتعين علينا تقسيمها لاحقًا. فلنبدأ في إدخال أرقامنا.

في بعض الأحيان ، يُسمح لك بالاحتفاظ بإجابتك في هذا النموذج. إذا تم طلب نموذج عشري ، فسنضطر إلى تقسيم " ( pm )" وتقدير ( sqrt <21> ).

(x = كبير فارك <-5 + sqrt <21>> <2> ) ( leftarrow SPLIT rightarrow ) (x = كبير فارك <-5 + sqrt <21>> <2> )
(س = كبير فارك <-5 + 4.58> <2> ) (س = كبير فارك <-5 - 4.58> <2> )
(س = كبير فارك <-0.42> <2> ) (س = كبير فارك <-9.58> <2> )
(س = -0.21 ) (س = -4.79 )

يا للعجب! لذلك ، لم يكن ذلك صعبًا للغاية ولكنه بالتأكيد يتطلب الكثير من العمل! دعونا نتدرب ونجرب واحدة أخرى:

نريد أن يساوي الصفر ، لذا اطرح 8 وأضف (p ^ 2 ) لكلا الطرفين.

"ب" مفقود! هذا يعني أنه يساوي صفرًا.

وإذا كانت بحاجة إلى تقدير ، فقم بتقسيمها!

(p = كبير فارك <+ sqrt <32>> <-2> ) ( leftarrow SPLIT rightarrow ) (p = كبير فارك <- sqrt <32>> <-2> )
(ف = كبير فارك <5.66> <-2> ) (ف = كبير فارك <-5.66> <-2> )
(ع = -2.83 ) (ع = 2.83 )

منجز! اقتراحي لهذه المشاكل هو أن تأخذ وقتك وتحافظ على تنظيم عملك. إنها مشاكل طويلة وخطأ واحد صغير يمكن أن يسبب فوضى كبيرة! لذا تحقق جيدًا من كل شيء ولن تبدو الصيغة التربيعية سيئة للغاية بعد كل شيء.

خوار يمكنك تحميل بعض مجانا أوراق عمل وممارسة الرياضيات.


صف الرياضيات للسيد كامير

رابط رائع يعرض لك مثالاً ، ثم يمكنك النقر فوق مقطع فيديو ، وإذا أردت ، يمكنك التدرب ، وسيخبرك إذا كنت على صواب أو خطأ.

8-3: ضرب كثيرات الحدود:

ورقة العمل هنا. تأكد من أنه يمكنك القيام بالأمور الصعبة في النهاية أيضًا.

8-5: استخدام خاصية التوزيع (لعامل):

8-6: تحليل ثلاثي الحدود التربيعي:

8-7: العوملة للمنتجات الخاصة:

الفصل السادس: أنظمة المعادلات الخطية والمتباينات

6-1: نظم الرسوم البيانية للمعادلات

6-2: حل الأنظمة باستخدام التعويض

موقع صغير لطيف يشرح الأشياء هنا

6-3 و6-4: حل الأنظمة باستخدام الإزالة

6-5: تطبيق أنظمة المعادلات

6-6: أنظمة عدم المساواة

الفصل الخامس: المتباينات الخطية

5-1: حل المتباينات عن طريق الجمع والطرح

5-2: حل المتباينات بالضرب والقسمة

5-3: حل عدم المساواة متعدد الخطوات

5-4: حل عدم المساواة المركبة

5-5: حل المتباينات ذات القيمة المطلقة

5-6: رسم المتباينات في متغيرين

الفصل 4: المنحدر والمعادلات

4-1: كتابة المعادلات بصيغة الميل والمقطع:

4-2: كتابة المعادلات بشكل قياسي وصيغة المنحدر:

ورقة العمل هنا لنقطة المنحدر.

4-3: المستقيمات المتوازية والعمودية:

4-4: المخططات المبعثرة وخطوط الملاءمة:

4-7: انعكاسات الوظائف الخطية:

الفصل 3: وظائف خطية

3-1: رسم الدوال الخطية بالرسوم البيانية:

3-2: أصفار وظائف خطية:

3-3: معدل التغيير والانحدار:

3-8: وظائف القيمة المطلقة:

الفصل 2: ​​حل المعادلات الخطية:

2-2: حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة

2-3: حل المعادلات متعددة الخطوات

2-4: حل المعادلات مع المتغير على كل جانب

2-5: حل المعادلات التي تتضمن قيمة مطلقة

2-6: النسب والنسب

2-7: إيجاد متغير

1-1: المتغيرات والعبارات

الدرس 1: الجمع بين الشروط المتشابهة

الدرس الثاني: العمليات باستخدام الأعداد الصحيحة ص. ص 11

ورقة العمل هنا (جمع وطرح) وهنا (الضرب والقسمة)


Microsoft Math Solver

من خلال نظرية الجذر العقلاني ، تكون جميع الجذور المنطقية لكثير الحدود بالصيغة frac

، حيث p يقسم الحد الثابت 4 ويقسم q المعامل الرئيسي 1. اكتب قائمة بجميع العناصر المرشحة frac

.

من خلال نظرية الجذر العقلاني ، تكون جميع الجذور المنطقية لكثير الحدود بالصيغة frac

، حيث p يقسم الحد الثابت -4 ويقسم q المعامل الرئيسي 1. اكتب قائمة بجميع العناصر المرشحة frac

.

. عوّض بـ 1 عن a و 0 عن b و- 4 عن c في الصيغة التربيعية.


2.4: المتباينات ذات القيمة المطلقة والدوال التربيعية - الرياضيات


دعم عند الطلب

800-863-3496 ، opt. 1 ، اختيار. 1
من الإثنين إلى الجمعة ، من 6 صباحًا حتى 10 مساءً
أو راسلنا عبر البريد الإلكتروني: [email protected]

موارد

معلومات إضافية


الخدمات التقنية

مكتب الأمن UEN
801-585-9888

مركز دعم الخدمات الفنية (TSSC)
800-863-3496
دليل الموظفين

المشاريع

مجموعات الشبكة

أدوات الشبكة

معلومة

مركز البث اكليس
101 واساتش درايف
سولت ليك سيتي ، يوتا 84112

(800) 866-5852
(801) 585-6105 (فاكس)

حوكمة UEN

الادارة
(801) 585-6013
المخطط الهيكلي

الخدمات التعليمية
(800) 866-5852
المخطط الهيكلي

خدمات تقنية
(800) 863-3496
المخطط الهيكلي

ينصب تركيز الرياضيات الثانوية الثانية على التعبيرات التربيعية والمعادلات والوظائف وعلى مقارنة خصائصها وسلوكها بتلك العلاقات الخطية والأسية من الرياضيات الثانوية الأولى كما تم تنظيمها في ستة مجالات أو وحدات حرجة. تظهر الحاجة إلى تمديد مجموعة الأعداد المنطقية ، ويتم تقديم الأعداد الحقيقية والمركبة بحيث يمكن حل جميع المعادلات التربيعية. يتم استكشاف العلاقة بين الاحتمالية والبيانات من خلال الاحتمال الشرطي وطرق العد ، بما في ذلك استخدامها في اتخاذ القرارات وتقييمها. تؤدي دراسة التشابه إلى فهم حساب المثلثات القائم الزاوية وتتصل بالمبادئ التربيعية من خلال علاقات فيثاغورس. الدوائر ، بتمثيلاتها الجبرية التربيعية ، تدور حول الدورة. تنطبق معايير الممارسة الرياضية في كل دورة تدريبية ، وتنص ، جنبًا إلى جنب مع معايير المحتوى ، على أن يختبر الطلاب الرياضيات كموضوع متماسك ومفيد ومنطقي يستفيد من قدرتهم على فهم مواقف المشكلات.

المجال الحرج 1: يقوم الطلاب بتوسيع قوانين الأسس لتشمل الأسس المنطقية واستكشاف الفروق بين الأعداد المنطقية وغير المنطقية من خلال النظر في تمثيلاتها العشرية. يتعلم الطلاب أنه عندما لا تحتوي المعادلات التربيعية على حلول حقيقية ، يجب تمديد نظام الأرقام بحيث توجد حلول ، مماثلة للطريقة التي يسمح بها تمديد الأعداد الكاملة للأرقام السالبة لـ x + 1 = 0 بالحصول على حل. يستكشف الطلاب العلاقات بين أنظمة الأعداد: الأعداد الصحيحة ، والأعداد الصحيحة ، والأعداد المنطقية ، والأرقام الحقيقية ، والأرقام المركبة. المبدأ التوجيهي هو أن المعادلات التي ليس لها حلول في نظام رقم واحد قد يكون لها حلول في نظام رقم أكبر.

المجال الحرج 2: يفكر الطلاب في الوظائف التربيعية ، ويقارنون الخصائص الرئيسية للوظائف التربيعية بتلك الخاصة بالدوال الخطية والأسية. يختارون من بين هذه الوظائف لنمذجة الظواهر. يتعلم الطلاب توقع الرسم البياني لوظيفة تربيعية من خلال تفسير أشكال مختلفة من التعبيرات التربيعية. على وجه الخصوص ، يحددون الحلول الحقيقية للمعادلة التربيعية كأصفار دالة تربيعية ذات صلة. عندما لا تحتوي المعادلات التربيعية على حلول حقيقية ، يتعلم الطلاب أن الرسم البياني للدالة التربيعية ذات الصلة لا يتقاطع مع المحور الأفقي. إنهم يوسعون خبرتهم مع الدوال لتشمل دوال أكثر تخصصًا - القيمة المطلقة والخطوة وتلك التي تكون متعددة التعريف.

المجال الحرج 3: يبدأ الطلاب هذه الوحدة بالتركيز على بنية التعبيرات وإعادة كتابة التعبيرات لتوضيح وكشف جوانب العلاقة التي تمثلها. يُنشئ ويحل المعادلات والمتباينات وأنظمة المعادلات التي تتضمن تعبيرات أسية وتربيعية.

المجال الحرج 4: بناءً على مفاهيم الاحتمالات التي بدأت في الصفوف المتوسطة ، يستخدم الطلاب لغات نظرية المجموعات لتوسيع قدرتهم على حساب وتفسير الاحتمالات النظرية والتجريبية للأحداث المركبة ، وحضور الأحداث الحصرية المتبادلة ، والأحداث المستقلة ، والاحتمال الشرطي . يجب على الطلاب الاستفادة من نماذج الاحتمالات الهندسية حيثما أمكن ذلك. يستخدمون الاحتمال لاتخاذ قرارات مستنيرة.

المجال الحرج 5: يطبق الطلاب خبراتهم السابقة مع التوسعات والتفكير النسبي لبناء فهم رسمي للتشابه. يحدد معايير تشابه المثلثات ، ويستخدم التشابه لحل المشاكل ، ويطبق التشابه في المثلثات القائمة لفهم حساب المثلثات القائم الزاوية ، مع إيلاء اهتمام خاص للمثلثات القائمة الزاوية ونظرية فيثاغورس. في هذه الوحدة يطور الطلاب مرفقًا بإثبات هندسي. يستخدمون ما يعرفونه عن التطابق والتشابه لإثبات النظريات التي تتضمن الخطوط والزوايا والمثلثات والمضلعات الأخرى. يستكشفون مجموعة متنوعة من التنسيقات لكتابة البراهين.

المجال الحرج 6: يثبت الطلاب النظريات الأساسية حول الدوائر ، مثل الخط المماس عمودي على نصف القطر ، نظرية الزاوية المحيطية ، ونظريات حول الأوتار والقطع والظل التي تتعامل مع أطوال القطع وقياسات الزوايا. في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يستخدم الطلاب معادلة المسافة لكتابة معادلة الدائرة عند إعطاء نصف القطر وإحداثيات مركزها ، ومعادلة القطع المكافئ مع المحور الرأسي عند إعطاء معادلة دليلها وإحداثياتها التركيز. بالنظر إلى معادلة الدائرة ، فإنهم يرسمون الرسم البياني في مستوى الإحداثيات ، ويطبقون تقنيات لحل المعادلات التربيعية لتحديد التقاطعات بين الخطوط والدوائر أو القطع المكافئ وبين دائرتين. يطور الطلاب حججًا غير رسمية تبرر الصيغ الشائعة لمحيط ومساحة وحجم الكائنات الهندسية ، خاصة تلك المتعلقة بالدوائر.

المعايير الأساسية للدورة

العنصر: الممارسات الرياضية (MP)
تصف معايير الممارسة الرياضية في الرياضيات الثانوية الثانية العادات الرياضية للعقل التي يجب على المعلمين السعي إلى تطويرها في طلابهم. يصبح الطلاب بارعين رياضيًا في التعامل مع المحتوى والمفاهيم الرياضية أثناء تعلمهم وتجربتهم وتطبيق هذه المهارات والمواقف (المعايير MP.1.8).

معيار SII.MP.1
فهم المشاكل والمثابرة في حلها. اشرح معنى المشكلة وابحث عن نقاط الدخول إلى حلها. تحليل المعطيات والقيود والعلاقات والأهداف. قم بعمل تخمينات حول شكل ومعنى الحل ، وخطط لمسار الحل ، وراقب التقدم باستمرار متسائلاً ، "هل هذا منطقي؟" ضع في اعتبارك المسائل المماثلة ، وقم بإجراء اتصالات بين تمثيلات متعددة ، وحدد التوافق بين الأساليب المختلفة ، وابحث عن الاتجاهات ، وقم بتحويل التعبيرات الجبرية لإبراز الرياضيات ذات المعنى. تحقق من إجابات المشاكل باستخدام طريقة مختلفة.

معيار SII.MP.2
العقل بشكل تجريدي وكمي. فهم الكميات وعلاقاتها في مواقف المشاكل. ترجم بين السياق والتمثيلات الجبرية من خلال وضع العلاقات الكمية في سياقها وإزالة سياقها. يتضمن ذلك القدرة على إزالة سياق موقف معين ، وتمثيله جبريًا والتلاعب بالرموز بطلاقة بالإضافة إلى القدرة على وضع التمثيلات الجبرية في سياقها لفهم المشكلة.

معيار SII.MP.3
بناء حجج قابلة للتطبيق ونقد منطق الآخرين. فهم واستخدام الافتراضات والتعاريف والنتائج المحددة مسبقًا في بناء الحجج. قم بعمل تخمينات وقم ببناء تسلسل منطقي للعبارات لاستكشاف حقيقة تخميناتها. تبرير الاستنتاجات ونقلها للآخرين. الرد على حجج الآخرين من خلال الاستماع وطرح الأسئلة التوضيحية وانتقاد تفكير الآخرين.

معيار SII.MP.4
نموذج مع الرياضيات. تطبيق الرياضيات لحل المشكلات التي تنشأ في الحياة اليومية والمجتمع ومكان العمل. قم بعمل افتراضات وتقديرات ، وحدد الكميات المهمة لبناء نموذج رياضي. تفسير النتائج الرياضية بشكل روتيني في سياق الموقف والتفكير فيما إذا كانت النتائج منطقية ، وربما تحسين النموذج إذا لم يخدم الغرض منه.

معيار SII.MP.5
استخدم الأدوات المناسبة بشكل استراتيجي. ضع في اعتبارك الأدوات المتاحة وكن على دراية كافية بها لاتخاذ قرارات سليمة بشأن الوقت الذي قد تكون فيه كل أداة مفيدة ، مع التعرف على كل من البصيرة التي يجب اكتسابها وكذلك القيود. حدد الموارد الرياضية الخارجية ذات الصلة واستخدمها لطرح المشكلات أو حلها. استخدم الأدوات لاستكشاف وتعميق فهمهم للمفاهيم.

معيار SII.MP.6
الاهتمام بالدقة. تواصل بدقة مع الآخرين. استخدم تعريفات صريحة في المناقشة مع الآخرين وفي تفكيرهم الخاص. يذكرون معنى الرموز التي يختارونها. حدد وحدات القياس ومحاور التسمية لتوضيح التطابق مع الكميات في مشكلة. احسب بدقة وكفاءة ، وعبر عن الإجابات العددية بدرجة من الدقة المناسبة لسياق المشكلة.

معيار SII.MP.7
ابحث عن الهيكل واستفد منه. انظر عن كثب إلى العلاقات الرياضية لتحديد الهيكل الأساسي من خلال التعرف على بنية بسيطة داخل هيكل أكثر تعقيدًا. انظر إلى الأشياء المعقدة ، مثل بعض التعبيرات الجبرية ، كأشياء مفردة أو على أنها مكونة من عدة كائنات. على سبيل المثال ، انظر 5 × 3 (س ص) 2 مثل 5 ناقص عدد موجب مضروبًا في مربع واستخدم ذلك لإدراك أن قيمته لا يمكن أن تكون أكثر من 5 لأي عدد حقيقي س وص.

معيار SII.MP.8
ابحث عن الانتظام والتعبير عنه في الاستدلال المتكرر. لاحظ ما إذا كان المنطق متكررًا ، وابحث عن كل من التعميمات والاختصارات. تقييم مدى معقولية النتائج الوسيطة من خلال الحفاظ على الإشراف على العملية أثناء الاهتمام بالتفاصيل.

العنصر: العدد والكمية - نظام الأرقام الحقيقية (N.RN)
قم بتوسيع خصائص الأسس إلى الأسس المنطقية (المعايير NRN.1 2). استخدم خصائص الأعداد المنطقية وغير المنطقية (المعيار رقم 3).

معيار N.RN.1
اشرح كيف يتبع تعريف معنى الأسس المنطقي من توسيع خصائص الأسس الصحيحة إلى تلك القيم ، مما يسمح بتدوين الجذور من حيث الأسس المنطقية. على سبيل المثال ، نحدد 5 1/3 على أنها الجذر التكعيبي لـ 5 لأننا نريد (5 1/3) 3 = 5 (1/3) 3 ، لذلك (5 1/3) 3 يجب أن يساوي 5.

معيار N.RN.2
أعد كتابة التعبيرات التي تتضمن جذورًا وأسسًا منطقية باستخدام خواص الأسس.

معيار N.RN.3
اشرح سبب كون مجاميع ومنتجات الأعداد المنطقية منطقية ، وأن مجموع عدد منطقي وعدد غير نسبي غير منطقي ، وأن حاصل ضرب عدد نسبي غير صفري وعدد غير نسبي غير منطقي. تواصل مع المواقف المادية (على سبيل المثال ، إيجاد محيط مربع المنطقة 2).

العنصر: العدد والكمية - نظام الأرقام المركب (N.CN)
قم بإجراء عمليات حسابية بأرقام مركبة (المعايير NCN.1 2). استخدم الأعداد المركبة في الهويات والمعادلات متعددة الحدود (المعايير N.CN.7.9).

معيار N.CN.1
اعلم أن هناك عددًا مركبًا أنا مثل ذلك أنا 2 = & ndash1 ، وكل رقم مركب له الشكل أ + ثنائي مع أ و ب حقيقة.

معيار NCN.2
استخدم العلاقة أنا 2 = & ndash1 والخصائص التبادلية والرابطية والتوزيعية لجمع وطرح وضرب الأعداد المركبة. يقتصر على المضاعفات التي تنطوي على أنا 2 كأعلى قوة أنا.

معيار N.CN.7
حل المعادلات التربيعية ذات المعاملات الحقيقية التي لها حلول معقدة.

معيار N.CN.8
تمديد المتطابقات كثيرة الحدود إلى الأعداد المركبة. يقتصر على التربيعية ذات المعاملات الحقيقية. على سبيل المثال ، أعد كتابة x 2 + 4 كـ (x + 2i) (x & ndash 2i).

معيار N.CN.9
تعرف على النظرية الأساسية للجبر تبين أنها صحيحة بالنسبة لكثيرات الحدود التربيعية.

العنصر: الجبر - رؤية البنية في التعبير (A.SSE)
تفسير هيكل التعابير (المعايير A.SSE.1 12). اكتب التعبيرات بأشكال مكافئة لحل المشكلات ، وتحقيق التوازن بين الفهم المفاهيمي والطلاقة الإجرائية في العمل مع التعبيرات المكافئة (المعيار A.SSE.3).

  1. تفسير أجزاء من التعبير ، مثل المصطلحات والعوامل والمعاملات.
  2. قم بتفسير التعبيرات الأكثر تعقيدًا من خلال عرض جزء أو أكثر من أجزائها ككيان واحد. تمتد الأسس من الأس الصحيح إلى الأسس المنطقية التي تركز على تلك التي تمثل الجذور التربيعية أو التكعيبية.
  1. حلل تعبيرًا تربيعيًا إلى عوامل للكشف عن أصفار الدالة التي يحددها.
  2. أكمل المربع في تعبير تربيعي لكشف الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة الدالة التي يحددها.
  3. استخدم خصائص الأس لتحويل التعبيرات للوظائف الأسية. على سبيل المثال ، يمكن إعادة كتابة التعبير 1.15 t كـ (1.15 1/12) 12t & asymp 1.012 12t للكشف عن معدل الفائدة الشهري المكافئ التقريبي إذا كان المعدل السنوي هو 15٪.

العنصر: الجبر - الحساب مع كثيرات الحدود والتعبيرات المنطقية (A.APR)
قم بإجراء عمليات حسابية على كثيرات الحدود. ركز على التعبيرات متعددة الحدود التي تبسط إلى الصيغ الخطية أو التربيعية في قوة عدد صحيح موجب من x (المعيار A.APR.1).

المعيار A.APR.1
افهم أن كثيرات الحدود تشكل نظامًا مشابهًا للأعداد الصحيحة ، أي أنها مغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب والجمع والطرح وضرب كثيرات الحدود.

العنصر: الجبر - إنشاء المعادلات (A.CED)
أنشئ معادلات تصف الأرقام أو العلاقات. توسيع العمل على المعادلات الخطية والأسية إلى المعادلات التربيعية (المعايير A.CED.1.12 ، 4).

المعيار A.CED.1
أنشئ معادلات ومتباينات في متغير واحد واستخدمها لحل المسائل. قم بتضمين المعادلات الناشئة عن الدوال الخطية والتربيعية ، والدوال المنطقية والأسية البسيطة.

المعيار A.CED.2
أنشئ معادلات في متغيرين أو أكثر لتمثيل العلاقات بين معادلات الرسم البياني للكميات على محاور الإحداثيات مع التسميات والمقاييس.

المعيار A.CED.4
إعادة ترتيب الصيغ لإبراز كمية من الفائدة ، باستخدام نفس المنطق كما في حل المعادلات تمتد إلى الصيغ التي تتضمن متغيرات تربيعية.على سبيل المثال ، أعد ترتيب صيغة حجم الأسطوانة V = & # 960 ص 2 ح.

العنصر: الجبر - التفكير باستخدام المعادلات وعدم المساواة (A.REI)
حل المعادلات والمتباينات في متغير واحد (المعيار A.REI.4). حل أنظمة المعادلات. توسيع عمل الأنظمة ليشمل أنظمة حل تتكون من معادلة خطية واحدة ومعادلة غير خطية (المعيار A.REI.7).

  1. استخدم طريقة إكمال المربع لتحويل أي معادلة من الدرجة الثانية إلى x في معادلة النموذج (س ع) 2 = ف التي لها نفس الحلول. اشتق الصيغة التربيعية من هذه الصيغة.
  2. حل المعادلات التربيعية عن طريق الاستقصاء (على سبيل المثال ، لـ x 2 = 49) ، مع أخذ الجذور التربيعية وإكمال المربع والصيغة التربيعية والتحليل ، بما يتناسب مع الشكل الأولي للمعادلة. اعرف متى تعطي الصيغة التربيعية حلولاً معقدة واكتبها بصيغة أ & plusmn ثنائية للأرقام الحقيقية أ و ب.

العنصر: الوظائف - وظائف التفسير (F.IF)
تفسير الوظائف التربيعية التي تنشأ في التطبيقات من حيث السياق (المعايير FIF.4.6 6). تحليل الدوال باستخدام تمثيلات مختلفة (المعايير FIF.7 9.9).

  1. رسم بيانيًا للدوال الخطية والتربيعية وإظهار نقاط التقاطع والحد الأقصى والحد الأدنى.
  2. رسم بيانيًا للوظائف المعرفة متعددة التعريف ودوال القيمة المطلقة. قارن وقارن بين القيمة المطلقة والدوال المعرفة متعددة التعريف والدوال الخطية والتربيعية والأسية. قم بتمييز قضايا المجال والنطاق والفائدة عند فحص وظائف محددة التعريف.
  1. استخدم عملية تحليل وإكمال المربع في دالة تربيعية لإظهار الأصفار والقيم القصوى وتماثل الرسم البياني ، وتفسيرها من حيث السياق.
  2. استخدم خصائص الأس لتفسير التعبيرات الخاصة بالدوال الأسية. على سبيل المثال ، حدد معدل التغير في الوظائف مثل y = (1.02) t ، y = (0.97) t ، y = (1.01) 12t ، y = (1.2) t / 10 ، وصنفها على أنها تمثل النمو الأسي أو تسوس.

العنصر: الوظائف - وظائف البناء (F.BF)
قم ببناء دالة تشكل علاقة بين كميتين (المعيار F.BF.1). بناء وظائف جديدة من الوظائف الحالية (المعيار F.BF.3).

  1. حدد تعبيرًا صريحًا أو عملية تكرارية أو خطوات الحساب من سياق.
  2. اجمع بين أنواع الوظائف القياسية باستخدام العمليات الحسابية. على سبيل المثال ، قم ببناء دالة تقوم بنمذجة درجة حرارة جسم التبريد عن طريق إضافة دالة ثابتة إلى أسي متحلل ، وربط هذه الوظائف بالنموذج.

العنصر: الوظائف - النماذج الخطية والتربيعية والأسية (F.LE)
بناء ومقارنة النماذج الخطية والتربيعية والأسية وحل المشكلات (المعيار F.LE.3).

المعيار F.LE.3
لاحظ باستخدام الرسوم البيانية والجداول أن الكمية المتزايدة بشكل أسي تتجاوز في النهاية كمية متزايدة خطيًا أو تربيعيًا أو (بشكل عام) كدالة متعددة الحدود.

العنصر: الوظائف - الدوال المثلثية (F.TF)
إثبات الهويات المثلثية وتطبيقها. حدد & # 952 للزوايا بين 0 و 90 درجة. تواصل مع نظرية فيثاغورس وصيغة المسافة (المعيار F.TF.8).

معيار F.TF.8
اثبت هوية فيثاغورس sin 2 (& theta) + cos 2 (& theta) = 1 واستخدمها للعثور على sin (& theta) أو cos (& theta) أو tan (& theta) معطى sin (& theta) أو cos (& theta) أو تان (& ثيتا) وربع الزاوية.

العنصر: الهندسة - التطابق (G.CO)
إثبات النظريات الهندسية. شجع طرقًا متعددة لكتابة البراهين ، مثل الفقرات السردية والمخططات الانسيابية وتنسيق العمودين والمخططات بدون كلمات. ركز على صحة الاستدلال الأساسي أثناء استكشاف مجموعة متنوعة من الأشكال للتعبير عن هذا المنطق (المعايير G.CO.9 11).

معيار G.CO.9
إثبات النظريات حول الخطوط والزوايا. تتضمن النظريات: الزوايا الرأسية متطابقة عندما يتقاطع المستعرض مع خطوط متوازية ، وتكون الزوايا الداخلية البديلة متطابقة والزوايا المقابلة هي نقاط متطابقة على منصف عمودي لقطعة خطية هي بالضبط تلك المتساوية البُعد عن القطعة ونقاط النهاية rsquos.

معيار G.CO.10
إثبات النظريات حول المثلثات. تشمل النظريات: قياسات الزوايا الداخلية لمثلث يصل إلى 180 درجة وزوايا قاعدية للمثلثات متساوية الساقين متطابقة مع الجزء الذي ينضم إلى نقاط المنتصف في ضلعي المثلث موازٍ للضلع الثالث ونصف الطول يلتقي متوسطات المثلث عند نقطة.

معيار G.CO.11
إثبات النظريات حول متوازي الأضلاع. تتضمن النظريات: الأضلاع المتقابلة متطابقة ، والزوايا المتقابلة متطابقة ، والأقطار في متوازي الأضلاع تنقسم إلى بعضها البعض ، والعكس صحيح ، المستطيلات عبارة عن متوازي أضلاع بأقطار متطابقة.

العنصر: الهندسة - التشابه ، المثلثات القائمة ، وعلم المثلثات (G.SRT)
فهم التشابه من حيث تحولات التشابه (المعايير G.SRT.1 3). إثبات النظريات التي تتضمن التشابه (المعايير G.SRT.4.5). حدد النسب المثلثية وحل المشكلات التي تتضمن مثلثات قائمة الزاوية (المعايير G.SRT.6-8).

  1. يأخذ التمدد خطًا لا يمر عبر مركز التمدد إلى خط موازٍ ، ويترك خطًا يمر عبر المركز دون تغيير.
  2. يكون تمدد المقطع المستقيم أطول أو أقصر في النسبة التي يحددها عامل القياس.

العنصر: الهندسة - الدوائر (GC)
فهم وتطبيق النظريات حول الدوائر (معيار G.C.1 4). أوجد أطوال الأقواس ومساحات قطاعات الدوائر. استخدم هذا كأساس لإدخال الراديان كوحدة قياس. وليس المقصود أن يتم تطبيقه على تطوير علم المثلثات الدائري في هذا المقرر (المعيار GC.5).

معيار GC.1
إثبات أن جميع الدوائر متشابهة.

معيار GC.2
تحديد ووصف العلاقات بين الزوايا المنقوشة وأنصاف الأقطار والأوتار. تتضمن العلاقات العلاقة بين الزوايا المركزية والمنقوشة والمحدودة الزوايا المحفورة على القطر وهي الزوايا القائمة ونصف قطر الدائرة متعامد مع المماس حيث يتقاطع نصف القطر مع الدائرة.

معيار GC.3
قم ببناء دوائر المثلث المنقوشة والمحدودة ، واثبِت خصائص الزوايا لشكل رباعي محفور في دائرة.

معيار GC.4
أنشئ خطًا مماسًا من نقطة خارج دائرة معينة إلى الدائرة.

معيار GC.5
اشتق باستخدام التشابه حقيقة أن طول القوس المعترض بزاوية يتناسب مع نصف القطر ، وحدد قياس الراديان للزاوية على أنه ثابت التناسب اشتق معادلة مساحة القطاع.

العنصر: الهندسة - التعبير عن الخصائص الهندسية بالمعادلات (G.GPE)
ترجم بين الوصف الهندسي ومعادلة المقطع المخروطي (المعيار G.GPE.1). استخدم الإحداثيات لإثبات النظريات الهندسية البسيطة جبريًا. قم بتضمين البراهين البسيطة التي تتضمن الدوائر (معيار G.GPE.4). استخدم الإحداثيات لإثبات النظريات الهندسية البسيطة جبريًا (معيار G.GPE.6).

معيار G.GPE.1
قم باشتقاق معادلة دائرة ذات مركز ونصف قطر معينين باستخدام نظرية فيثاغورس لإكمال المربع لإيجاد مركز دائرة ونصف قطرها بواسطة المعادلة.

معيار G.GPE.4
استخدم الإحداثيات لإثبات النظريات الهندسية البسيطة جبريًا. على سبيل المثال ، أثبت أو دحض أن الشكل المحدد بأربع نقاط معينة في مستوى الإحداثيات هو مستطيل يثبت أو يدحض أن النقطة (1 ، & Radic3) تقع على الدائرة المتمركزة في الأصل وتحتوي على النقطة (0 ، 2).

معيار G.GPE.6
أوجد النقطة الموجودة على قطعة مستقيمة موجهة بين نقطتين معينتين تقسم المقطع بنسبة معينة.

عنصر: هندسة - القياس الهندسي والأبعاد (G.GMD)
اشرح صيغ الحجم واستخدمها لحل المشكلات (المعايير G.GMD.1 ، 3).

معيار G.GMD.1
اكتب حجة غير رسمية لصيغ محيط الدائرة ، ومساحة الدائرة ، وحجم الأسطوانة ، والهرم ، والمخروط. يمكن للحجج غير الرسمية لصيغ المنطقة الاستفادة من الطريقة التي يتم بها مقياس المنطقة في ظل تحولات التشابه: عندما ينتج أحد الأشكال في المستوى عن آخر من خلال تطبيق تحويل تشابه مع عامل القياس ك، منطقتها ك 2 مرات مساحة الأول. استخدم حجج التشريح ومبدأ كافالييري وحجج الحد غير الرسمية.

معيار G.GMD.3
استخدم معادلات الحجم للأسطوانات والأهرامات والأقماع والمجالات لحل المشكلات. يمكن للحجج غير الرسمية لصيغ الحجم أن تستفيد من الطريقة التي يتم بها مقياس الحجم في ظل تحولات التشابه: عندما ينتج رقم واحد عن آخر من خلال تطبيق تحويل التشابه ، فإن أحجام الأرقام الصلبة تتسع بمقدار ك 3 في ظل تشابه التحول مع عامل القياس ك. ★

العنصر: الإحصاء - تفسير البيانات الفئوية والكمية (S.ID)
تلخيص وتمثيل وتفسير البيانات المتعلقة بمتغيرين فئيين أو كميين (المعيار S.ID.5).

معيار S.ID.5
تلخيص البيانات الفئوية لفئتين في جداول التردد ثنائية الاتجاه. تفسير الترددات النسبية في سياق البيانات (بما في ذلك الترددات المشتركة والهامشية والشرطية النسبية). التعرف على الجمعيات والاتجاهات المحتملة في التاريخ.

العنصر: الإحصاء - الاحتمال الشرطي وقواعد الاحتمال (S.CP)
افهم الاستقلالية والاحتمال الشرطي واستخدمهما لتفسير البيانات (المعايير S.CP.1، 4 5). استخدم قواعد الاحتمال لحساب احتمالات الأحداث المركبة في نموذج احتمالي موحد (المعيار S.CP.6).

معيار S.CP.1
وصف الأحداث كمجموعات فرعية من مساحة العينة (مجموعة النتائج) باستخدام خصائص (أو فئات) النتائج ، أو كنقابات ، أو تقاطعات ، أو مكملات لأحداث أخرى (& ldquoor ، & rdquo & ldquoand ، & rdquo & ldquonot & rdquo).

معيار S.CP.4
بناء وتفسير جداول تكرارية ثنائية الاتجاه للبيانات عندما ترتبط فئتان بكل عنصر يتم تصنيفها. استخدم الجدول ثنائي الاتجاه كمساحة نموذجية لتقرير ما إذا كانت الأحداث مستقلة ولتقريب الاحتمالات الشرطية. على سبيل المثال ، اجمع البيانات من عينة عشوائية من الطلاب في مدرستك حول مادتهم المفضلة بين الرياضيات والعلوم واللغة الإنجليزية. قدر احتمالية تفضيل طالب تم اختياره عشوائيًا من مدرستك للعلوم نظرًا لأن الطالب في الصف العاشر. افعل الشيء نفسه بالنسبة للمواضيع الأخرى وقارن النتائج.

معيار S.CP.5
التعرف على مفاهيم الاحتمال الشرطي والاستقلالية وشرحها في اللغة اليومية والمواقف اليومية. على سبيل المثال ، قارن بين فرصة الإصابة بسرطان الرئة إذا كنت مدخنًا وفرصة أن تكون مدخنًا إذا كنت مصابًا بسرطان الرئة.

معيار S.CP.6
أوجد الاحتمال الشرطي لـ أ معطى ب ككسر من ب& rsquos النتائج التي تنتمي أيضًا إلى أ، وتفسير الإجابة من حيث النموذج.

مرتبة الشرف - العنصر: العدد والكمية - نظام الأرقام المركب (N.CN)
قم بإجراء عمليات حسابية بأرقام مركبة (المعيار N.CN.3). تمثل الأعداد المركبة وعملياتها على المستوى المركب (المواصفات N.CN.4.5).

الشرف - معيار N.CN.3
أوجد مرافق العدد المركب ، استخدم الاتحادات لإيجاد معاملات وحواجز الأعداد المركبة.

الشرف - معيار N.CN.4
مثل الأعداد المركبة على المستوى المركب في شكل مستطيل ، واشرح لماذا يمثل الشكل المستطيل لعدد مركب معين نفس العدد.

الشرف - معيار N.CN.5
تمثيل الجمع والطرح والضرب هندسيًا على المستوى المعقد باستخدام خصائص هذا التمثيل للحساب. على سبيل المثال ، (-1 + & # 87303 i) 3 = 8 لأن (-1 + & # 87303 i) لها المعامل 2 والوسيطة 120 & deg.

مرتبة الشرف - العنصر: الجبر - التفكير باستخدام المعادلات وعدم المساواة (A.REI)
حل أنظمة المعادلات (المعايير A.REI.8 9).

الشرف - المعيار A.REI.8
تمثيل نظام المعادلات الخطية كمعادلة أحادية المصفوفة في متغير متجه.

مرتبة الشرف - المعيار A.REI.9
أوجد معكوس المصفوفة إذا كان موجودًا ، واستخدمه لحل أنظمة المعادلات الخطية (باستخدام التكنولوجيا لمصفوفات ذات أبعاد 3 × 3 أو أكبر).

مرتبة الشرف - العنصر: الوظائف - وظائف الترجمة (F.IF)
تحليل الوظائف باستخدام تمثيلات مختلفة (المعيار FIF.10 1111).

الشرف - المعيار F.IF.10
استخدم تدوين سيجما لتمثيل مجموع متسلسلة حسابية أو هندسية محدودة.

الشرف - المعيار F.IF.11
تمثيل المتسلسلات جبريًا ورسوميًا وعدديًا.

مرتبة الشرف - العنصر: الهندسة - التعبير عن الخصائص الهندسية بالمعادلات (G-GPE)
ترجم بين الوصف الهندسي والمعادلة للقسم المخروطي (المواصفات G.GPE.2.3).

مع مرتبة الشرف - معيار G.GPE.2
اشتق معادلة القطع المكافئ بتركيز ودليل.

الشرف - معيار G.GPE.3
اشتق معادلات القطع الناقص والقطع الزائدة بالنظر إلى البؤر ، باستخدام حقيقة أن مجموع أو اختلاف المسافات من البؤر ثابت.

مرتبة الشرف - العنصر: الإحصاء والاحتمال - الاحتمال الشرطي وقواعد الاحتمال (S.CP)
افهم الاستقلالية والاحتمال الشرطي واستخدمهما لتفسير البيانات (المعايير S.CP.2.3). استخدم قواعد الاحتمال لحساب احتمالات الأحداث المركبة في نموذج احتمالية موحد (المعايير S.CP.7.78).

الشرف - معيار S.CP.2
افهم أن الحدثين A و B مستقلان إذا كان احتمال حدوث A و B معًا ناتجًا عن احتمالاتهما ، واستخدم هذا التوصيف لتحديد ما إذا كانا مستقلين.

الشرف - معيار S.CP.3
افهم الاحتمال الشرطي لـ أ معطى ب مثل ف (أ و ب) / ف (ب)، وتفسير استقلال A و ب كقوله أن الاحتمال الشرطي ب معطى أ هو نفس احتمال ب.

الشرف - معيار S.CP.7
طبق قاعدة الإضافة ، الفوسفور (أ أو ب) = ف (أ) + ف (ب) ف ف (أ و ب)، وتفسير الإجابة من حيث النموذج.

الشرف - معيار S.CP.8
تطبيق قاعدة الضرب العامة في نموذج احتمالي موحد ، الفوسفور (أ و ب) = الفوسفور (أ) الفوسفور (ب|أ) = ف (ب) ف (أ|ب)، وتفسير الإجابة من حيث النموذج.

تم إنتاج هذه المواد من قبل المعلمين في ولاية يوتا ومن أجلهم. يمكن نسخ نسخ من هذه المواد مجانًا لاستخدامها في الفصول الدراسية والمعلمين. عند توزيع هذه المواد ، يجب منح الائتمان لمجلس التعليم بولاية يوتا. لا يجوز نشر هذه المواد ، كليًا أو جزئيًا ، أو بأي تنسيق آخر ، دون الحصول على إذن كتابي من مجلس التعليم بولاية يوتا ، 250 شرق 500 جنوب ، صندوق بريد 144200 ، مدينة سالت ليك ، يوتا 84114-4200.


نظرية الرسم البياني

أول ما يتبادر إلى ذهنك عندما يقول شخص ما "رسم بياني" ربما يكون رسم بياني أو مخطط دائري أو مخطط عمودي. ماذا لو قلنا لك أنه بطريقة مشابهة جدًا يمكنك رسم كل وظيفة تعرفها؟ في أول فكرة تبدو غريبة بعض الشيء ، لكن هذا النوع من تمثيل الوظيفة له العديد من التطبيقات. يمكن أن يساعدك على التعلم ووضع الأشياء بسهولة في منظورها الصحيح.

دروس نظرية الرسم البياني

سنتعلم في هذا الدرس & # 8217 كيفية رسم الرسوم البيانية للوظائف الزائدية. الجيب الزائدي ، $ sinh $ كما تعلمنا من قبل ، الجيب الزائدي ،

إذا كان $ a $ هو الأساس المحدد ، $ a & gt0 $ ، $ a neq 1 $ ، وإذا كان $ x $ هو أي رقم حقيقي ، فإن الوظيفة $ f (x) = a ^ x $ تسمى الوظيفة الأسية. ال

مجال الوظيفة $ f (x) = | x | $ هو مجموعة كل الأرقام الحقيقية ، $ mathbb$ والنطاق هو المجموعة الفرعية غير السالبة لـ $ mathbb$ ، أو مجموعة الكل.

العدد المركب $ z = x + yi $ يمكن كتابته كزوج مرتب $ (x، y) $ من الأعداد الحقيقية. لذلك ، يمكننا ربط النقاط في الأعداد المركبة

رسم الدوال المنطقية ليس بالأمر الصعب حقًا. هناك بعض الحسابات ، اعتمادًا على الوظيفة.

كل وظيفة صادفتها لها مجالها ومجالها.

تعرف على كيفية رسم رسم بياني لدوال الجيب وجيب التمام والظل والظل والدالة العكسية والمزيد.

المستوى الإحداثي هو خط أرقام ثنائي الأبعاد. وهي تتألف من محورين خطين عموديين: المحور السيني والمحور الصادي.

يمكن رسم كل دالة كرسم بياني. تحتاج إلى اتباع بعض القواعد لرسم دالة تربيعية.

كل رسم بياني رأيته له وظيفته الخاصة. هذا هو سبب أهمية الرسوم البيانية. يتيح لنا رؤية صورة تخبرنا في لحظة واحدة بكل شيء نريد معرفته بدلاً من البحث والاطلاع على كميات هائلة من البيانات. إنه يوفر لنا الوقت وفي النهاية & # 8211 إنه ممتع.

للوصول إلى بعض الأشياء المعقدة والمثيرة للاهتمام ، عليك أولاً المرور بأجزاء بسيطة. أولا يجب أن تتعلم عن تنسيق الطائرة. تمامًا مثلما قمت بالانتقال من خط الإحداثيات إلى تنسيق المستوى ، قد تقوم قريبًا بإجراء نفس الانتقال من المستوى الإحداثي إلى تنسيق الفضاء. من هناك يمكنك أن تتخيل فقط. إذا كنت مهتمًا بهذا ، يمكنك أن تصبح واحدًا من الأشخاص القلائل الذين يمكنهم بالفعل تخيل مساحات متعددة الأبعاد ، كل هذا يتوقف عليك. قبل أن تطفو إلى الفضاء متعدد الأبعاد ، عليك أولاً ترتيب الأشياء في مستوى مثلثي بسيط. هناك عدد لا يحصى من الوظائف المختلفة في انتظار أن يتم رسمها.

سوف تتعلم الكثير عن الرسوم البيانية للوظائف المثلثية أيضًا. تطبيقاتهم لا تعد ولا تحصى. يمكن استخدام الوظائف الجيبية لتمثيل أي ظاهرة تعرض نمط موجة ، على سبيل المثال التيارات الكهربائية والبث الإذاعي والمد والجزر المنخفضة والمرتفعة في المحيط والطرق السريعة والمباني. أيضًا ، تتكون الموسيقى من موجات يمكن وصفها باستخدام الجيب وجيب التمام. يمكن أن توضح الرسوم البيانية تان وتشرح قدرات دوائر مزيل البطارية. إذن ، في الأساس ، أينما نظرت حول الرسم البياني المثلثي ستجده هناك.

لن تتعلم فقط الرسوم البيانية المثلثية أو الرسوم البيانية البسيطة. سوف تتعلم كيفية رسم أي وظيفة هناك.


فلوريدا- الرياضيات: الجبر

تم تبني معايير ولاية صن شاين من الجيل التالي: 2008

MA.912.A.1: توسيع وتعميق فهم الأعداد الحقيقية والمركبة من خلال مقارنة التعبيرات وإجراء الحسابات الحسابية ، خاصة تلك التي تتضمن الجذور التربيعية والأسس. استخدم خصائص الأعداد الحقيقية لتبسيط التعبيرات والمعادلات الجبرية ، وتحويلها بين وحدات القياس المختلفة باستخدام تحليل الأبعاد.

MA.912.A.1.1: معرفة الأشكال المكافئة للأرقام الحقيقية (بما في ذلك الأسس الصحيحة والجذور ، النسب المئوية ، الترميز العلمي ، القيمة المطلقة ، الأعداد المنطقية ، الأرقام غير المنطقية).

MA.912.A.1.4: إجراء عمليات على الأعداد الحقيقية (بما في ذلك الأسس الصحيحة ، والجذور ، والنسب المئوية ، والترميز العلمي ، والقيمة المطلقة ، والأرقام المنطقية ، والأرقام غير المنطقية) باستخدام مسائل متعددة الخطوات ومسائل العالم الحقيقي.

MA.912.A.1.5: استخدام التحليل البعدي (الوحدة) لإجراء تحويلات بين وحدات القياس ، بما في ذلك المعدلات.

MA.912.A.1.6: تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للأعداد المركبة وتنفيذ العمليات الأساسية.

MA.912.A.2: رسم وتفسير الرسوم البيانية للعلاقات. افهم تدوين الدالة ومفهومها ، وابحث عن المجالات والنطاقات ، واربط المعادلات بالدوال.

MA.912.A.2.1: إنشاء رسم بياني لتمثيل حالة العالم الحقيقي.

MA.912.A.2.2: تفسير رسم بياني يمثل حالة من العالم الحقيقي.

MA.912.A.2.3: وصف مفهوم الوظيفة ، واستخدام تدوين الوظيفة ، وتحديد ما إذا كانت العلاقة المعينة دالة ، وربط المعادلات بالدوال.

MA.912.A.2.4: تحديد مجال ومدى العلاقة.

MA.912.A.2.5: رسم معادلات القيمة المطلقة والمتباينات في متغيرين.

MA.912.A.2.6: تحديد الوظائف المشتركة ورسم بياني لها (بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر ، القيمة الخطية والعقلانية والتربيعية والتكعيبية والجذرية والمطلقة).

MA.912.A.2.7: إجراء عمليات (الجمع والطرح والقسمة والضرب) للوظائف جبريًا وعدديًا وبيانيًا.

MA.912.A.2.9: التعرف على الوظائف المحددة وتفسيرها ورسمها البياني على أساس القطعة ، باستخدام التكنولوجيا وبدونها.

MA.912.A.2.10: وصف ورسم تحويلات الوظائف.

MA.912.A.2.11: حل المسائل التي تنطوي على وظائف وعكساتها.

MA.912.A.2.12: حل المسائل باستخدام المتغيرات المباشرة والعكسية والمشتركة.

MA.912.A.3: حل المعادلات الخطية والمتباينات.

MA.912.A.3.1: يحل المعادلات الخطية في متغير واحد يتضمن تبسيط التعابير الجبرية.

MA.912.A.3.2: تحديد وتطبيق الخصائص التوزيعية والترابطية والتبادلية للأعداد الحقيقية وخصائص المساواة.

MA.912.A.3.3: حل المعادلات الحرفية لمتغير محدد.

MA.912.A.3.4: حل ورسم المتباينات البسيطة والمركبة في متغير واحد وتكون قادرة على تبرير كل خطوة في الحل.

MA.912.A.3.5: تمثيل وحل تطبيقات متعددة الخطوات وتطبيقات العالم الحقيقي التي تتضمن المعادلات الخطية وعدم المساواة وحلها بشكل رمزي.

MA.912.A.3.6: حل ورسم حلول معادلات القيمة المطلقة والمتباينات بمتغير واحد.

MA.912.A.3.7: إعادة كتابة معادلات الخط في صيغة الميل والمقطع والصيغة القياسية.

MA.912.A.3.8: رسم خطًا باستخدام أي من المعلومات التالية: جدول القيم ، تقاطع x و y ، نقطتان ، المنحدر والنقطة ، معادلة الخط في شكل تقاطع الميل ، النموذج القياسي ، أو شكل نقطة الانحدار.

MA.912.A.3.9: تحديد ميل الخط وتقاطع x وتقاطع y مع رسمه البياني أو معادلته أو نقطتين على الخط.

MA.912.A.3.10: اكتب معادلة للخط مع الأخذ بأي من المعلومات التالية: نقطتان على الخط ، وميله ونقطة واحدة على الخط ، أو الرسم البياني الخاص به. أيضًا ، أوجد معادلة لخط جديد موازٍ لخط معين ، أو عموديًا على خط معين ، عبر نقطة معينة على الخط الجديد.

MA.912.A.3.11: اكتب معادلة لخط يمثل مجموعة بيانات واستخدم المعادلة أو الرسم البياني لعمل تنبؤات. صف ميل الخط من حيث البيانات ، مع إدراك أن الميل هو معدل التغيير.

MA.912.A.3.12: ارسم معادلة خطية أو متباينة في متغيرين باستخدام تقنية الرسوم البيانية وبدونها. اكتب معادلة أو متباينة ممثلة برسم بياني معين.

MA.912.A.3.13: استخدم رسم بياني لتقريب حل نظام المعادلات الخطية أو المتباينات في متغيرين مع التكنولوجيا وبدونها.

MA.912.A.3.14: حل أنظمة المعادلات الخطية والمتباينات في متغيرين وثلاثة متغيرين باستخدام طرق الرسوم والتعويض والحذف.

MA.912.A.3.15: حل مشاكل العالم الحقيقي التي تتضمن أنظمة المعادلات الخطية والمتباينات في متغيرين وثلاثة متغيرات.

MA.912.A.4: إجراء عمليات على كثيرات الحدود. ابحث عن عوامل كثيرة الحدود ، وتعلم تقنيات خاصة لتحليل المعادلات التربيعية. افهم العلاقات بين حلول المعادلات متعددة الحدود وأصفار دالة كثيرة الحدود وتقاطع x للرسم البياني وعوامل كثير الحدود.

MA.912.A.4.1: تبسيط المقادير الأحادية والتعبيرات الأحادية باستخدام قوانين الأسس المتكاملة.

MA.912.A.4.2: جمع وطرح وضرب كثيرات الحدود.

MA.912.A.4.3: عوامل التعبيرات كثيرة الحدود.

MA.912.A.4.4: قسمة كثيرات الحدود على أحادية ومتعددة الحدود بتقنيات مختلفة ، بما في ذلك القسمة التركيبية.

MA.912.A.4.5: رسم وظائف كثيرة الحدود باستخدام التكنولوجيا وبدونها ووصف السلوك النهائي.

MA.912.A.4.6: استخدم نظريات السلوك متعدد الحدود (بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر النظرية الأساسية للجبر ، نظرية الباقي ، نظرية الجذر العقلاني ، ديكارت؟ قاعدة الإشارات ، ونظرية الجذر المتقارن) للعثور على أصفار دالة كثيرة الحدود.

MA.912.A.5: تبسيط التعابير المنطقية وحل المعادلات المنطقية باستخدام ما تعلموه حول تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل.

MA.912.A.5.4: حل النسب الجبرية.

MA.912.A.5.6: تحديد الفواصل القابلة للإزالة وغير القابلة للإزالة والخطوط المقاربة الرأسية والأفقية والمائلة لرسم بياني لدالة كسرية ، والعثور على الأصفار ، ورسم الدالة بيانيًا

MA.912.A.5.7: حل مشاكل العالم الحقيقي التي تتضمن معادلات منطقية (خليط ، مسافة ، عمل ، فائدة ، ونسبة).

MA.912.A.6: تبسيط وتنفيذ العمليات على التعابير والمعادلات الجذرية. ترشيد تعبيرات الجذر التربيعي وفهم واستخدام مفاهيم الأسس السلبية والعقلانية. جمع وطرح وضرب وقسم وبسط التعبيرات الجذرية والتعبيرات ذات الأسس الكسرية. حل المعادلات الجذرية والمعادلات ذات الحدود ذات الأسس المنطقية.

MA.912.A.6.1: تبسيط التعبيرات الجذرية.

MA.912.A.6.2: جمع وطرح وضرب وقسمة التعبيرات الجذرية (الجذور التربيعية وما فوق).

MA.912.A.6.5: حل المعادلات التي تحتوي على تعبيرات جذرية.

MA.912.A.7: رسم الرسوم البيانية للوظائف التربيعية.حل المعادلات التربيعية وحل هذه المعادلات بالتحليل إلى عوامل وإكمال المربع وباستخدام الصيغة التربيعية. استخدم الآلات الحاسبة بالرسوم البيانية لإيجاد حلول تقريبية للمعادلات التربيعية.

MA.912.A.7.1: رسم المعادلات التربيعية باستخدام تقنية الرسوم البيانية وبدونها.

MA.912.A.7.2: حل المعادلات التربيعية على الأعداد الحقيقية بالتحليل ، وباستخدام الصيغة التربيعية.

MA.912.A.7.3: حل المعادلات التربيعية على الأعداد الحقيقية بإكمال المربع.

MA.912.A.7.4: استخدم المميز لتحديد طبيعة جذور المعادلة التربيعية.

MA.912.A.7.5: حل المعادلات التربيعية على نظام الأعداد المركبة.

MA.912.A.7.6: تحديد محور التناظر ، والرأس ، والمجال ، والمدى ، والتقاطع (القطع) من أجل قطع مكافئ معين.

MA.912.A.7.8: استخدام المعادلات التربيعية لحل مشاكل العالم الحقيقي.

MA.912.A.8: فهم مفاهيم الدوال اللوغاريتمية والأسية. ارسم الدوال الأسية بيانيًا وحل مشاكل النمو والانحلال. افهم العلاقة العكسية بين الأس واللوغاريتمات واستخدمها لإثبات قوانين اللوغاريتمات وحل المعادلات. تحويل اللوغاريتمات بين القواعد وتبسيط التعبيرات اللوغاريتمية.

MA.912.A.8.1: تحديد الدوال الأسية واللوغاريتمية وتحديد علاقتها.

MA.912.A.8.3: رسم بياني للدوال الأسية واللوغاريتمية.

MA.912.A.8.5: حل المعادلات اللوغاريتمية والأسية.

MA.912.A.8.7: حل تطبيقات النمو الأسي والاضمحلال.

MA.912.A.9: اكتب المعادلات وارسم الرسوم البيانية للمقاطع المخروطية (الدائرة ، القطع الناقص ، القطع المكافئ ، القطع الزائد) ، وبالتالي ربط التمثيل الجبري بتمثيل هندسي.

MA.912.A.9.1: اكتب معادلات المقاطع المخروطية في الشكل القياسي والشكل العام ، من أجل تحديد المقطع المخروطي وإيجاد خصائصه الهندسية (البؤر ، والخطوط المقاربة ، والغرابة ، وما إلى ذلك).

MA.912.A.9.2: رسم المقاطع المخروطية مع وبدون استخدام تقنية الرسوم البيانية.

MA.912.A.9.3: حل مشاكل العالم الحقيقي التي تتضمن مقاطع مخروطية.

MA.912.A.10: بشكل عام ، كل الرياضيات هي حل مشكلة. في جميع الرياضيات ، استخدم مهارات حل المشكلات ، واختر كيفية التعامل مع المشكلة ، واشرح المنطق ، وتحقق من النتائج

MA.912.A.10.1: استخدام مجموعة متنوعة من استراتيجيات حل المشكلات ، مثل رسم مخطط ، وعمل مخطط ، والتخمين - والتدقيق ، وحل مشكلة أبسط ، وكتابة معادلة ، والعمل إلى الوراء ، وإنشاء جدول.

MA.912.A.10.3: تحديد ما إذا كانت عبارة معينة دائمًا ، أو أحيانًا ، أو غير صحيحة (عبارات تتضمن تعبيرات خطية أو تربيعية ، معادلات ، أو متباينات تعبيرات عقلانية أو جذرية أو وظائف لوغاريتمية أو أسية)


شاهد الفيديو: صف الثالث المتوسطفصل الدراسي الاول. 1 - 4. حل المعادلات التي تحتوي متغيرا في طرفيها. الجزء الثالث (شهر اكتوبر 2021).