مقالات

2.2: الدالات ذات القيم المتجهة ومنحنيات الفضاء


أهداف التعلم

  • اكتب المعادلة العامة لدالة متجهية القيمة في شكل مكون وصيغة وحدة متجه.
  • التعرف على المعادلات البارامترية لمنحنى الفضاء.
  • صف شكل اللولب واكتب معادلته.
  • حدد حد دالة ذات قيمة متجهة.

تجمع دراستنا للوظائف ذات القيمة المتجهية أفكارًا من فحصنا السابق لحساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ووصفنا للمتجهات في ثلاثة أبعاد من الفصل السابق. في هذا القسم ، نوسع المفاهيم من الفصول السابقة ونفحص أيضًا الأفكار الجديدة المتعلقة بالمنحنيات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تدعم هذه التعريفات والنظريات عرض المواد في بقية هذا الفصل وأيضًا في الفصول المتبقية من النص.

تعريف دالة ذات قيمة متجهة

تتمثل خطوتنا الأولى في دراسة حساب الدوال ذات القيمة المتجهية في تحديد ماهية الدالة ذات القيمة المتجهية بالضبط. يمكننا بعد ذلك إلقاء نظرة على الرسوم البيانية للدوال ذات القيمة المتجهية ومعرفة كيفية تعريفها للمنحنيات في كلا البعدين وثلاثة أبعاد.

التعريف: دالات ذات قيمة متجهة

الدالة ذات القيمة المتجهة هي دالة في النموذج

[ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} ؛ ؛ text {or} ؛ ؛ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} + h (t) ، hat { mathbf {k}}، ]

حيث وظائف المكون (f ) و (g ) و (h ) هي وظائف ذات قيمة حقيقية للمعامل (t ). يتم أيضًا كتابة الدوال ذات القيمة المتجهية في النموذج

[ vecs r (t) = ⟨f (t) ، ، g (t)⟩ ؛ ؛ text {or} ؛ ؛ vecs r (t) = ⟨f (t) ، ، g (t) ، ، h (t)⟩. ]

في كلتا الحالتين ، يحدد الشكل الأول للدالة دالة ثنائية الأبعاد ذات قيمة متجهة ؛ يصف النموذج الثاني دالة ثلاثية الأبعاد ذات قيمة متجهة.

يمكن أن تقع المعلمة (t ) بين رقمين حقيقيين: (a≤t≤b ). الاحتمال الآخر هو أن قيمة (t ) قد تأخذ جميع الأرقام الحقيقية. أخيرًا ، قد يكون لوظائف المكون نفسها قيود مجال تفرض قيودًا على قيمة (t ). غالبًا ما نستخدم (t ) كمعامل لأن (t ) يمكن أن يمثل الوقت.

مثال ( PageIndex {1} ): تقييم الدالات ذات القيمة المتجهية وتحديد المجالات

لكل من الوظائف ذات القيمة المتجهة التالية ، قم بتقييم ( vecs r (0) ) ، ( vecs r ( frac { pi} {2}) ) ، و ( vecs r ( frac {2 pi} {3}) ). هل أي من هذه الوظائف لها قيود المجال؟

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = 3 tan t ، hat { mathbf {i}} + 4 sec t ، hat { mathbf {j}} + 5t ، hat { mathbf { ك}})

حل

  1. لحساب كل من قيم الدالة ، استبدل القيمة المناسبة لـ (t ) في الدالة:

    ابدأ {محاذاة *} vecs r (0) ؛ = 4 cos (0) hat { mathbf {i}} + 3 sin (0) hat { mathbf {j}} [4pt] = 4 hat { mathbf {i}} + 0 قبعة { mathbf {j}} = 4 قبعة { mathbf {i}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ؛ = 4 cos left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {j}} [4pt] = 0 hat { mathbf {i}} + 3 hat { mathbf {j}} = 3 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r يسار ( فارك {2 بي} {3} يمين) ؛ = 4 cos left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {j}} [4pt] = 4 left (- tfrac {1} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 left ( tfrac { sqrt {3}} { 2} right) hat { mathbf {j}} = - 2 hat { mathbf {i}} + tfrac {3 sqrt {3}} {2} hat { mathbf {j}} نهاية {محاذاة *}

    لتحديد ما إذا كانت هذه الوظيفة لها أي قيود على المجال ، ضع في الاعتبار وظائف المكون بشكل منفصل. دالة المكون الأول هي (f (t) = 4 cos t ) ووظيفة المكون الثاني هي (g (t) = 3 sin t ). لا توجد قيود على أي من هاتين الوظيفتين ، لذا فإن مجال ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf { j}} ) هي جميع الأرقام الحقيقية.
  2. لحساب كل من قيم الدالة ، استبدل القيمة المناسبة لـ ر في الوظيفة: [ start {align *} vecs r (0) ؛ = 3 tan (0) hat { mathbf {i}} + 4 sec (0) hat { mathbf {j}} + 5 (0) hat { mathbf {k}} [4pt ] = 0 hat { mathbf {i}} + 4j + 0 hat { mathbf {k}} = 4 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ؛ = 3 tan left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {k}}، ، text {which غير موجود} [4pt] vecs r يسار ( frac {2 pi} {3} right) ؛ = 3 tan left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac {2 pi} {3} right) قبعة { mathbf {j}} + 5 left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {k}} [4pt] = 3 (- sqrt {3}) hat { mathbf {i}} + 4 (−2) hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} [4pt] = (- 3 sqrt {3}) hat { mathbf {i}} - 8 hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} end {align * } ] لتحديد ما إذا كانت هذه الوظيفة لها أي قيود مجال أم لا ، ضع في الاعتبار وظائف المكون بشكل منفصل. دالة المكون الأول هي (f (t) = 3 tan t ) ، وظيفة المكون الثاني هي (g (t) = 4 sec t ) ، ووظيفة المكون الثالث هي (h (t) = 5 طن). لم يتم تحديد الدالتين الأوليين للمضاعفات الفردية لـ ( frac { pi} {2} ) ، لذلك لم يتم تعريف الوظيفة للمضاعفات الفردية لـ ( frac { pi} {2} ). لذلك ، [ text {D} _ { vecs r} = Big {t ، | ، t ≠ frac {(2n + 1) pi} {2} Big } ، nonumber ] حيث (n ) هو أي عدد صحيح.

تمرين ( PageIndex {1} )

للدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) ، hat { mathbf {i}} + (4t + 1) ، hat { mathbf {j}} ) ، قم بتقييم ( vecs r (0) ، ، vecs r (1) ) ، و ( vecs r (−4) ). هل هذه الوظيفة لها أي قيود المجال؟

تلميح

استبدل القيم المناسبة لـ (t ) في الوظيفة.

إجابه:

( vecs r (0) = hat { mathbf {j}}، ، vecs r (1) = - 2 hat { mathbf {i}} + 5 hat { mathbf {j}} ، ، vecs r (−4) = 28 hat { mathbf {i}} - 15 hat { mathbf {j}} )

نطاق ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) hat { mathbf {i}} + (4t + 1) hat { mathbf {j}} ) هو جميع الأرقام الحقيقية.

يوضح المثال ( PageIndex {1} ) مفهومًا مهمًا. يتكون مجال الدالة ذات القيمة المتجهة من أرقام حقيقية. يمكن أن يكون المجال جميع الأرقام الحقيقية أو مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية. يتكون نطاق الدالة ذات القيمة المتجهة من متجهات. يتم تعيين كل رقم حقيقي في مجال دالة ذات قيمة متجه إلى متجه ثنائي أو ثلاثي الأبعاد.

الرسوم البيانية الدالات ذات القيمة المتجهية

تذكر أن متجه المستوى يتكون من كميتين: الاتجاه والحجم. بالنظر إلى أي نقطة في الطائرة ( نقطة أولية) ، إذا تحركنا في اتجاه معين لمسافة محددة ، فإننا نصل إلى نقطة ثانية. هذا يمثل النقطه المقصوده من المتجه. نحسب مكونات المتجه بطرح إحداثيات النقطة الأولية من إحداثيات النقطة النهائية.

يعتبر المتجه في الموقف القياسي إذا كانت النقطة الأولية تقع في الأصل. عند رسم دالة ذات قيمة متجهية ، فإننا عادةً ما نرسم المتجهات في مجال الوظيفة في الموضع القياسي ، لأن القيام بذلك يضمن تفرد الرسم البياني. تنطبق هذه الاتفاقية أيضًا على الرسوم البيانية للوظائف ثلاثية الأبعاد ذات القيمة المتجهية. الرسم البياني لدالة ذات قيمة متجهة للنموذج

[ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} nonumber ]

يتكون من مجموعة من جميع النقاط ((f (t) ، ، g (t)) ) ، ويسمى المسار الذي تتبعه منحنى مستوي. الرسم البياني لدالة ذات قيمة متجهة للنموذج

[ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} + h (t) ، hat { mathbf {k}} nonumber ]

يتكون من مجموعة من جميع النقاط ((f (t) ، ، g (t) ، ، h (t)) ) ، والمسار الذي تتبعه يسمى منحنى الفضاء. يُطلق على أي تمثيل لمنحنى مستو أو منحنى فضاء باستخدام دالة ذات قيمة متجهية a ناقل المعلمات من المنحنى.

كل منحنى مستوي ومنحنى فضاء له امتداد اتجاه، يشار إليها بأسهم مرسومة على المنحنى ، والتي توضح اتجاه الحركة على طول المنحنى مع زيادة قيمة المعلمة (t ).

مثال ( PageIndex {2} ): رسم دالة ذات قيمة متجه

قم بإنشاء رسم بياني لكل من الوظائف ذات القيمة الاتجاهية التالية:

  1. منحنى المستوى الذي يمثله ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} ) ، ( 0≤t≤2 pi )
  2. منحنى المستوى الذي يمثله ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) ، hat { mathbf { j}} ) ، (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
  3. منحنى الفضاء يمثله ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 4 sin t ، hat { mathbf {j}} + t ، قبعة { mathbf {k}} ) ، (0≤t≤4 pi )

حل

1. كما هو الحال مع أي رسم بياني ، نبدأ بجدول قيم. ثم نرسم رسمًا بيانيًا لكل متجه في العمود الثاني من الجدول في الوضع القياسي ونوصل النقاط الطرفية لكل متجه لتشكيل منحنى (الشكل ( PageIndex {1} )). يتضح أن هذا المنحنى عبارة عن قطع ناقص متمركز في الأصل.

الجدول ( PageIndex {1} ): جدول القيم لـ ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} ) ، (0≤t≤2 pi )
(ر ) (vecs r (t) ) (ر ) ( vecs r (t) )
(0) (4 قبعة { mathbf {i}} ) ( بي ) (- 4 قبعة { mathbf {i}} )
( dfrac { pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) (- 2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) (-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
(2 بي ) (4 قبعة { mathbf {i}} )

2. جدول قيم ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) ، hat { mathbf {j}} ) ، (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} ) كما يلي:

جدول قيم ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) ، hat { mathbf {j }} ) ، (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
(ر ) (vecs r (t) ) (ر ) ( vecs r (t) )
(0) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {5 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {2}} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {2}} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {7 pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} )

الرسم البياني لهذا المنحنى عبارة عن قطع ناقص يتمركز في نقطة الأصل.

3. نمر بنفس الإجراء لوظيفة متجه ثلاثية الأبعاد.

جدول قيم ( mathrm {r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} + t hat { mathbf {k }}} ) ، ( mathrm {0≤t≤4 pi} )
(ر ) ( vecs r (t) ) (ر ) (vecs r (t) )
( ماذرم {0} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( mathrm { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} + pi hat { mathbf {k}} )
( dfrac { pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac { pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {5 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + frac { pi} {2} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {2} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {7 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( mathrm {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + 2 pi hat { mathbf {k}}} )

ثم تكرر القيم نفسها ، باستثناء حقيقة أن معامل ( hat { mathbf {k}} ) يتزايد دائمًا ( ( PageIndex {3} )). هذا المنحنى يسمى الحلزون. لاحظ أنه إذا تم حذف المكون ( hat { mathbf {k}} ) ، فإن الوظيفة تصبح ( vecs r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} ) ، وهي دائرة نصف قطرها 4 تتمركز في الأصل.

قد تلاحظ أن الرسوم البيانية في الأجزاء أ. وب. متطابقة. يحدث هذا لأن الوظيفة التي تصف المنحنى b هي ما يسمى بإعادة معاملات الوظيفة التي تصف المنحنى a. في الواقع ، يحتوي أي منحنى على عدد لا حصر له من عمليات الإصلاح ؛ على سبيل المثال ، يمكننا استبدال (t ) بـ (2t ) في أي من المنحنيات الثلاثة السابقة دون تغيير شكل المنحنى. قد يتغير الفاصل الزمني الذي يتم تعريف (t ) خلاله ، لكن هذا كل شيء. نعود إلى هذه الفكرة لاحقًا في هذا الفصل عندما ندرس معلمات طول القوس. كما ذكرنا ، اسم شكل منحنى الرسم البياني في ( PageIndex {3} ) هو حلزون. المنحنى يشبه الزنبرك ، بمقطع عرضي دائري ينظر لأسفل على طول المحور (ض ). من الممكن أن يكون الحلزون بيضاوي الشكل في المقطع العرضي أيضًا. على سبيل المثال ، الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} + t ، hat { mathbf {k}} ) يصف الحلزون البيضاوي. إسقاط هذا اللولب في المستوى (س ص ) هو قطع ناقص. أخيرًا ، تشير الأسهم الموجودة في الرسم البياني لهذا اللولب إلى اتجاه المنحنى حيث (t ) يتقدم من (0 ) إلى (4) ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = (t ^ 2−1) hat { mathbf {i}} + (2t − 3) hat { mathbf {j}} ) ، (0≤t≤3 ).

تلميح

ابدأ بعمل جدول للقيم ، ثم ارسم المتجهات لكل قيمة (t ).

إجابه

في هذه المرحلة ، قد تلاحظ تشابهًا بين الدوال ذات القيمة المتجهية والمنحنيات ذات المعلمات. في الواقع ، بالنظر إلى دالة ذات قيمة متجهة ( vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} ) يمكننا تحديد (x = f (t) ) و (y = g (t) ). إذا كان هناك قيد على قيم (t ) (على سبيل المثال ، (t ) مقيد بالفاصل ([أ ، ب] ) لبعض الثوابت (أ <ب ) ، فإن هذا القيد يتم فرضه على المعلمة. عندئذٍ يتفق الرسم البياني للوظيفة ذات المعلمات مع الرسم البياني للدالة ذات القيمة المتجهية ، باستثناء أن الرسم البياني ذو القيمة المتجهية سيمثل المتجهات بدلاً من النقاط. نظرًا لأنه يمكننا تحديد معلمات منحنى محدد بواسطة دالة (y = f (x) ) ، من الممكن أيضًا تمثيل منحنى مستوى تعسفي بواسطة دالة ذات قيمة متجهة.

حدود واستمرارية دالة ذات قيمة متجهية

نلقي الآن نظرة على نهاية دالة ذات قيمة متجهة. هذا مهم لفهم دراسة التفاضل والتكامل للوظائف ذات القيمة المتجهية.

التعريف: حد دالة ذات قيمة متجهة

دالة ذات قيمة متجهة ( vecs r ) تقترب من الحد ( vecs L ) عندما تقترب (t ) من (a ), مكتوبة

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs L، ]

قدمت

[ lim limits_ {t to a} big | vecs r (t) - vecs L big | = 0. ]

في المثال التالي ، نوضح كيفية حساب حد دالة ذات قيمة متجهة.

مثال ( PageIndex {3} ): تقييم حد دالة Vector-Valued

لكل من الوظائف ذات القيمة المتجهة التالية ، احسب ( lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ) من أجل

  1. ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = frac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + frac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j }} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} )

حل

  1. استخدم المعادلة ref {Th1} واستبدل القيمة (t = 3 ) في التعبيرين المكونين:

[ start {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ؛ = lim limits_ {t to 3} left [(t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} right] [5pt] = left [ lim limits_ {t to 3} (t ^ 2−3t + 4) right] hat { mathbf {i}} + left [ lim limits_ {t to 3} (4t + 3) right] hat { mathbf {j}} [5pt] = 4 hat { mathbf {i}} + 15 hat { mathbf {j}} end {محاذاة *} ]

  1. استخدم المعادلة ref {Th2} واستبدل القيمة (t = 3 ) في التعبيرات المكونة الثلاثة:

[ start {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ؛ = lim limits_ {t to 3} left ( dfrac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + dfrac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j}} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} right) [5pt] = left [ lim limits_ {t to 3} left ( dfrac { 2t − 4} {t + 1} right) right] hat { mathbf {i}} + left [ lim limits_ {t to 3} left ( dfrac {t} {t ^ 2 +1} right) right] hat { mathbf {j}} + left [ lim limits_ {t to 3} (4t − 3) right] hat { mathbf {k}} [5pt] = tfrac {1} {2} hat { mathbf {i}} + tfrac {3} {10} hat { mathbf {j}} + 9 hat { mathbf {k} } نهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {3} )

احسب ( lim limits_ {t to 2} vecs r (t) ) للوظيفة ( vecs r (t) = sqrt {t ^ 2 + 3t - 1} ، hat { mathbf {i}} - (4t-3) hat { mathbf {j}} - sin frac {(t + 1) pi} {2} hat { mathbf {k}} )

تلميح

استخدم المعادلة ref {Th2} من النظرية السابقة.

إجابه

[ lim limits_ {t to 2} vecs r (t) = 3 hat { mathbf {i}} - 5 hat { mathbf {j}} + hat { mathbf {k}} ]

الآن بعد أن عرفنا كيفية حساب حد دالة ذات قيمة متجهية ، يمكننا تحديدها الاستمرارية عند نقطة لمثل هذه الوظيفة.

تعريفات

دع (و ) ، (ز ), و (ح ) تكون وظائف (t ). بعد ذلك ، الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) هي مستمر عند النقطة (t = أ ) إذا استمرت الشروط الثلاثة التالية:

  1. ( vecs r (a) ) موجود
  2. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) ) موجود
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

وبالمثل ، الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) هو مستمر عند النقطة (t = أ ) إذا استمرت الشروط الثلاثة التالية:

  1. ( vecs r (a) ) موجود
  2. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) ) موجود
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

ملخص

  • الدالة ذات القيمة المتجهة هي دالة في الشكل ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) أو ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) ، حيث يعمل المكون (f ) ، (g ), و (ح ) وظائف ذات قيمة حقيقية للمعامل (t ).
  • الرسم البياني لوظيفة ذات قيمة متجهة للنموذج ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) هو يسمى ب منحنى مستوي. الرسم البياني لدالة ذات قيمة متجهة على شكل ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h ( t) hat { mathbf {k}} ) يسمى أ منحنى الفضاء.
  • من الممكن تمثيل منحنى مستوى تعسفي بواسطة دالة ذات قيمة متجهة.
  • لحساب حد دالة ذات قيمة متجهية ، احسب حدود وظائف المكون بشكل منفصل.

المعادلات الرئيسية

  • دالة ذات قيمة متجهة
    ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) أو ( vecs r (t) = f ( t) قبعة { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) ، أو ( vecs r (t ) = ⟨f (t) ، g (t)⟩ ) أو ( vecs r (t) = ⟨f (t) ، g (t) ، h (t)⟩ )

  • حد دالة ذات قيمة متجهة
    ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} ) أو ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t إلى a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} + [ lim limits_ { t to a} h (t)] hat { mathbf {k}} )

قائمة المصطلحات

وظائف المكون
وظائف المكون للدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) هي ( f (t) ) و (g (t) ) ، والوظائف المكونة للدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) قبعة { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) هي (f (t) ) ، (g (t) ) و (h (ر) )
حلزون
منحنى ثلاثي الأبعاد على شكل حلزوني
حد دالة ذات قيمة متجهة
دالة ذات قيمة متجهة ( vecs r (t) ) لها حد ( vecs L ) حيث (t ) تقترب (a ) إذا ( lim limits {t to a} يسار | vecs r (t) - vecs L right | = 0 )
منحنى مستوي
مجموعة الأزواج المرتبة ((f (t) ، g (t)) ) مع تحديد المعادلات البارامترية (x = f (t) ) و (y = g (t) )
الإصلاح
معلمات بديلة لوظيفة ذات قيمة متجهية معينة
منحنى الفضاء
مجموعة الثلاثيات المرتبة ((f (t) ، g (t) ، h (t)) ) مع المعادلات البارامترية المحددة (x = f (t) ) ، (y = g (t) ) و (ض = ح (ر) )
ناقل المعلمات
أي تمثيل لمنحنى مستوي أو فضاء باستخدام دالة ذات قيمة متجهة
دالة ذات قيمة متجهة
دالة بالنموذج ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) أو ( vecs r ( t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) ، حيث المكون وظائف (و ) ، (ز ), و (ح ) وظائف ذات قيمة حقيقية للمعامل (t ).

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • حرره بول سيبرغر (كلية مجتمع مونرو)


شاهد الفيديو: -الفضاء المتري ماهيته وشروطهالدالة المترية. فضاءات مترية شائعة. (شهر اكتوبر 2021).