مقالات

11.5E: تمارين لمعادلات الخطوط والمستويات في الفضاء - الرياضيات


في التدريبات من 1 إلى 4 ، يتم إعطاء النقاط (P ) و (Q ). دع (L ) هو الخط الذي يمر عبر النقاط (P ) و (Q ).

أ. أوجد المعادلة المتجهة للخط (L ).

ب. أوجد المعادلات البارامترية للخط (L ).

ج. أوجد المعادلات المتماثلة للخط (L ).

د. ابحث عن المعادلات البارامترية للقطعة المستقيمة المحددة بواسطة (P ) و (Q ).

1) (P (−3،5،9)، Q (4، −7،2) )

إجابه:
أ. ( vecs r = ⟨− 3،5،9⟩ + t⟨7، ،12، ،7⟩، ، t∈R؛ )
ب. (س = −3 + 7 طن ، ، ص = 5−12 طن ، ، ض = 9−7 طن ، ، تي ∈R ؛ )
ج. ( frac {x + 3} {7} = frac {y − 5} {- 12} = frac {z − 9} {- 7}؛ )
د. (س = −3 + 7 طن ، ، ص = 5−12 طن ، ، ض = 9−7 طن ، ، 0 le t le 1 )

2) (ف (4،0،5) ، س (2،3،1) )

3) (P (−1،0،5)، Q (4،0،3) )

إجابه:
أ. ( vecs r = ⟨− 1،0،5 + t⟨5،0 ، −2⟩ ، t R ؛ )
ب. (س = −1 + 5 طن ، ص = 0 ، ض = 5t2 طن ، t∈R ؛ )
ج. ( frac {x + 1} {5} = frac {z − 5} {- 2}، y = 0؛ )
د. (س = −1 + 5 ت ، ص = 0 ، ض = 5t2 طن ، تي [0،1] )

4) (P (7، −2،6)، Q (−3،0،6) )

للتمارين من 5 إلى 8 ، يتم إعطاء النقطة (P ) والمتجه ( vecs v ). دع (L ) هو الخط الذي يمر بالنقطة (P ) بالاتجاه ( vecs v ).

أ. أوجد المعادلات البارامترية للخط (L ).

ب. أوجد المعادلات المتماثلة للخط (L ).

ج. أوجد تقاطع الخط مع المستوى (xy ) -.

5) (P (1، −2،3)، ، vecs v = ⟨1،2،3⟩ )

إجابه:
أ. (س = 1 + تي ، ص = −2 + 2 ت ، ض = 3 + 3 طن ، تي ∈R ؛ )
ب. ( frac {x − 1} {1} = frac {y + 2} {2} = frac {z − 3} {3}؛ )
ج. ((0، −4،0) )

6) (P (3،1،5) ، ، vecs v = ⟨1،1،1⟩ )

7) (P (3،1،5)، ، vecs v = vecd {QR}، ) حيث (Q (2،2،3) ) و (R (3،2،3) ) )

إجابه:
أ. (س = 3 + تي ، ص = 1 ، ض = 5 ، تي∈R ؛ )
ب. (ص = 1 ، ض = 5 ؛ )
ج. (الخط لا يتقاطع مع (س ص ) - المستوى. )

8) (P (2،3،0)، ، vecs v = vecd {QR}، ) حيث (Q (0،4،5) ) و (R (0،4،6 ) )

للتمرينين 9 و 10 ، يتم إعطاء السطر (L ).

أ. ابحث عن نقطة (P ) تنتمي إلى الخط ومتجه الاتجاه ( vecs v ) من الخط. Express ( vecs v ) في شكل مكون.

ب. أوجد المسافة من الأصل إلى الخط (L ).

9) (س = 1 + تي ، ص = 3 + تي ، ض = 5 + 4 طن ، تي∈R )

إجابه:
أ. متجه النقطة والاتجاه المحتمل هو (P (1،3،5) ) و ( vecs v = ⟨1،1،4⟩ ) ، لكن هذه الإجابات ليست فريدة.
ب. ( sqrt {3} ) وحدة

10) (−x = ص + 1 ، ض = 2 )

11) أوجد المسافة بين النقطة (A (−3،1،1) ) وخط المعادلات المتماثلة

(س = − ص = −z. )

إجابه:
وحدات ( frac {2 sqrt {2}} { sqrt {3}} = frac {2 sqrt {6}} {3} )

12) أوجد المسافة بين النقطة (A (4،2،5) ) وخط المعادلات البارامترية

(س = −1 − t ، ص = −t ، ض = 2 ، t∈R. )

للتمارين من 13 إلى 14 ، يتم إعطاء الأسطر (L_1 ) و (L_2 ).

أ. تحقق مما إذا كانت السطور (L_1 ) و (L_2 ) متوازيتان.

ب. إذا كان الخطان (L_1 ) و (L_2 ) متوازيين ، فأوجد المسافة بينهما.

13) (L_1: x = 1 + t ، y = t ، z = 2 + t ، t∈R ، L_2: x − 3 = y − 1 = z − 3 )

إجابه:
أ. (موازي؛)
ب. وحدات ( frac { sqrt {2}} { sqrt {3}} = frac { sqrt {6}} {3} )

14) (L_1: x = 2، y = 1، z = t، L_2: x = 1، y = 1، z = 2−3t، t∈R )

15) بيّن أن الخط المار بالنقاط (P (3،1،0) ) و (Q (1،4، −3) ) عمودي على الخط الذي يحتوي على المعادلة (x = 3t، y = -32 + 8 طن ، ض = −9 + 6 طن ، ر. )

إجابه:
( vecd {PQ} = lt -2، 3، -3 gt ) هو متجه الاتجاه للخط المار بالنقاط (P ) و (Q ) ، ومتجه الاتجاه للخط المحدد بالمعادلات البارامترية أعلاه هي ( vecs v = lt 3، 8، 6 gt. )
نظرًا لأن ( vecs v cdot vecd {PQ} = -6 + 24-18 = 0 ) ، فإن متجهي الاتجاه متعامدين.
كل ما نحتاج إلى توضيحه الآن هو أن المستقيمين يتقاطعان.
الخط المار بالنقاط (P (3،1،0) ) و (Q (1،4، −3) ) له معادلات حدودية: (x = 3 - 2u )، (y = 1 + 3u ) و (ض = -3u ).
عند تعيين إحداثيات (x ) - و (z ) - للخطين متساوية ، نحصل على نظام المعادلات:
[3t = 3 - 2u quad text {and} quad -9 + 6t = -3u nonumber ]
يعطينا حل هذا النظام باستخدام الاستبدال (u = -3 ) و (t = 3 ). إن إدخال قيم (t ) و (u ) مرة أخرى في المعادلات البارامترية لهذين الخطين يعطينا نقطة التقاطع مع الإحداثيات ( يسار (9 ، -8 ، 9 يمين) ) على كلا السطرين .
لذلك تتقاطع الخطوط والخط المار بالنقطتين (P ) و (Q ) مع متجه الاتجاه ( vecd {PQ} ) عموديًا على الخط الآخر.

16) هل خطوط المعادلات (x = −2 + 2t ، y = −6 ، z = 2 + 6t ) و (x = −1 + t ، y = 1 + t ، z = t ، t∈ R ، ) عمودي على بعضها البعض؟

17) أوجد نقطة تقاطع خطوط المعادلات (x = −2y = 3z ) و (x = −5 − t، y = −1 + t، z = t − 11، t∈R. )

إجابه:
( (−12,6,−4))

18) ابحث عن نقطة تقاطع المحور (س ) مع خط المعادلات البارامترية (س = 10 + تي ، ص = 2−2 طن ، ض = −3 + 3 طن ، تي آر. )

للتمارين من 19 إلى 22 ، يتم إعطاء الأسطر (L_1 ) و (L_2 ). تحديد ما إذا كانت الخطوط مساو, موازية لكن غير متساوية, انحراف، أو متقاطعة.

19) (L_1: x = y − 1 = z ) و (L_2: x − 2 = −y = frac {z} {2} )

إجابه:
الخطوط منحرفة.

20) (L_1: x = 2t ، y = 0 ، z = 3 ، t∈R ) و (L_2: x = 0 ، y = 8 + s ، z = 7 + s ، s∈R )

21) (L_1: x = −1 + 2t ، y = 1 + 3t ، z = 7t ، t∈R ) و (L_2: x − 1 = frac {2} {3} (y − 4) = frac {2} {7} z − 2 )

إجابه:
الخطوط متساوية.

22) (L_1: 3x = y + 1 = 2z ) و (L_2: x = 6 + 2t ، y = 17 + 6t ، z = 9 + 3t ، t∈R )

23) ضع في اعتبارك السطر (L ) من المعادلات المتماثلة (x − 2 = −y = frac {z} {2} ) والنقطة (A (1،1،1). )

أ. ابحث عن المعادلات البارامترية لخط موازٍ لـ (L ) يمر بالنقطة (A ).

ب. ابحث عن معادلات متماثلة لخط مائل إلى (L ) والذي يمر بالنقطة (A ).

ج. ابحث عن معادلات متماثلة لخط يتقاطع مع (L ) ويمر بالنقطة (A ).

إجابه:
أ. (س = 1 + ر ، ص = 1 − ر ، ع = 1 + 2 ت ، ر∈ ص )
ب. على سبيل المثال ، الخط الذي يمر عبر (أ ) مع متجه الاتجاه (ي: س = 1 ، ض = 1 )
ج. على سبيل المثال ، الخط الذي يمر عبر (A ) والنقطة ((2،0،0) ) التي تنتمي إلى (L ) هي خط يتقاطع ؛ (L: frac {x − 1} {- 1} = y − 1 = z − 1 )

24) ضع في اعتبارك السطر (L ) من المعادلات البارامترية (x = t ، y = 2t ، z = 3 ، t∈R. )

أ. ابحث عن المعادلات البارامترية لخط موازٍ لـ (L ) يمر عبر الأصل.

ب. ابحث عن المعادلات البارامترية لانحراف الخط إلى (L ) الذي يمر عبر الأصل.

ج. أوجد المعادلات المتماثلة لخط يتقاطع مع (L ) ويمر عبر الأصل.

للتمارين 25-28 ، يتم إعطاء النقطة (P ) والمتجه ( vecs n ).

أ. ابحث عن المعادلة العددية للمستوى الذي يمر عبر (P ) وله متجه عادي ( vecs n ).

ب. ابحث عن الشكل العام لمعادلة المستوى الذي يمر عبر (P ) وله متجه عادي ( vecs n ).

25) (P (0،0،0)، n = 3 hat { imath} −2 hat { jmath} +4 hat {k} )

إجابه:
أ. (3 س − 2 ص + 4 ع = 0 )
ب. (3 س − 2 ص + 4 ع = 0 )

26) (P (3،2،2)، vecs n = 2 hat { imath} +3 hat { jmath} - hat {k} )

27) (P (1،2،3) ، vecs n = ⟨1،2،3⟩ )

إجابه:
أ. ((x − 1) +2 (y − 2) +3 (z − 3) = 0 )
ب. (س + 2 ص + 3 ع 14 = 0 )

28) (P (0،0،0) ، vecs n = ⟨− 3،2 ، −1⟩ )

بالنسبة للتدريبات 29 - 32 ، يتم إعطاء معادلة المستوى.

أ. ابحث عن المتجه العادي ( vecs n ) إلى المستوى. التعبير عن ( vecs n ) باستخدام متجهات الوحدة القياسية.

ب. ابحث عن تقاطعات المستوى مع كل من محاور الإحداثيات (تقاطعاتها).

ج. ارسم الطائرة.

29) [T] (4x + 5y + 10z − 20 = 0 )

إجابه:
أ. ( vecs n = 4 hat { imath} +5 hat { jmath} +10 hat {k} )
ب. ((5،0،0)، (0،4،0)، ) و ((0،0،2) )

ج.

30) (3 س + 4 ص − 12 = 0 )

31) (3 س − 2 ص + 4 ع = 0 )

إجابه:
أ. ( vecs n = 3 hat { imath} −2 hat { jmath} +4 hat {k} )
ب. ((0،0،0) )

ج.

32) (س + ض = 0 )

33) معطى النقطة (P (1،2،3) ) والمتجه ( vecs n = hat { imath} + hat { jmath} ) ، ابحث عن النقطة (Q ) على (x ) - محور مثل ( vecd {PQ} ) و ( vecs n ) متعامدين.

إجابه:
( (3,0,0))

34) أظهر عدم وجود مستوى عمودي على ( vecs n = hat { imath} + hat { jmath} ) يمر عبر النقاط (P (1،2،3) ) و (Q (2،3،4) ).

35) أوجد المعادلات البارامترية للخط المار بالنقطة (P (2،1،3) ) المتعامدة على مستوى المعادلة (2x − 3y + z = 7. )

إجابه:
(س = −2 + 2 طن ، ص = 1−3 طن ، ض = 3 + تي ، تي ∈R )

36) أوجد المعادلات المتماثلة للخط المار بالنقطة (P (2،5،4) ) المتعامدة على مستوى المعادلة (2x + 3y − 5z = 0. )

37) أظهر أن السطر ( frac {x − 1} {2} = frac {y + 1} {3} = frac {z − 2} {4} ) يوازي المستوى (x − 2y + ض = 6 ).

38) أوجد الرقم الحقيقي (α ) بحيث يكون خط المعادلات البارامترية (س = t ، ص = 2 − t ، z = 3 + t ، t∈R ) موازٍ لمستوى المعادلة ( αx + 5y + z − 10 = 0. )

بالنسبة للتدريبات 39-42 ، يتم إعطاء معادلتين.

أ. تحديد ما إذا كانت الطائرات موازى, متعامد، أو لا هذا ولا ذاك.

ب. إذا لم تكن المستويات متوازية ولا متعامدة ، فأوجد قياس الزاوية بين المستويين. عبر عن الإجابة بالدرجات مقربة لأقرب عدد صحيح.

ج. إذا تقاطعت المستويات ، فابحث عن خط تقاطع المستويات ، مقدمًا المعادلات البارامترية لهذا الخط.

39) [T] (x + y + z = 0 ، 2x − y + z − 7 = 0 )

إجابه:
أ. الطائرات ليست متوازية ولا متعامدة.
ب. (62 درجة )
ج. (س = -1 + 2 طن )
(ص = -4 + ر )
(ض = 5 - 3 طن )

40) (5x − 3y + z = 4، x + 4y + 7z = 1 )

41) (x − 5y − z = 1، 5x − 25y − 5z = −3 )

إجابه:
أ. الطائرات متوازية.

42) [T] (x − 3y + 6z = 4 ، 5x + y − z = 4 )

للتدريبات 43-46 ، حدد ما إذا كان الخط المعطى يتقاطع مع المستوى المحدد. إذا تقاطعوا ، فاذكر نقطة التقاطع.

43) المستوى: (2x + y - z = 11 ) الخط: (x = 1 + t ، ، y = 3-2t ، ، z = 2 + 4t )

إجابه:
يتقاطعان عند النقطة ((-1 ، 7 ، -6) ).

44) المستوى: (- x + 2y + z = 2 ) الخط: (x = 1 + 2t ، ، y = -2 + t ، ، z = 5 - 3t )

إجابه:
يتقاطعان عند النقطة ((- frac {1} {3}، - frac {8} {3}، 7) ).

5) المستوى: (x - 3y + 2z = 4 ) الخط: (x = 2 - t، ، y = t، ، z = 4 + 2t )

إجابه:
لا يتقاطع الخط مع هذا المستوى.

46) المستوى: (x - 3y + 2z = 10 ) الخط: (x = 2 - t ، ، y = t ، ، z = 4 + 2t )

إجابه:
الخط في الواقع مضمن بالكامل في هذا المستوى ، لذا فإن كل نقطة على الخط موجودة على المستوى. على سبيل المثال ، عندما (t = 0 ) لدينا النقطة ، ((2 ، 0 ، 4) ).

47) بيّن أن خطوط المعادلات (x = t، y = 1 + t، z = 2 + t، t∈R، ) و ( frac {x} {2} = frac {y − 1 } {3} = z − 3 ) انحراف ، وأوجد المسافة بينهما.

إجابه:
وحدات ( frac {1} { sqrt {6}} = frac { sqrt {6}} {6} )

48) بيّن أن خطوط المعادلات (x = −1 + t ، y = −2 + t ، z = 3t ، t∈R ، ) و (x = 5 + s ، y = −8 + 2s ، z = 7s، s∈R ) انحراف ، وأوجد المسافة بينهما.

49) ضع في اعتبارك النقطة (C (−3،2،4) ) ومستوى المعادلة (2x + 4y − 3z = 8 ).

أ. أوجد نصف قطر الكرة التي يكون مركزها (ج ) مماسًا للمستوى المحدد.

ب. أوجد النقطة P من التماس.

إجابه:
أ. (r = frac {18} { sqrt {29}} = frac {18 sqrt {29}} {29} )
ب. (P (- frac {51} {29}، frac {130} {29}، frac {62} {29}) )

50) ضع في اعتبارك مستوى المعادلة (x − y − z − 8 = 0. )

أ. أوجد معادلة الكرة التي يكون المركز (C ) عند نقطة الأصل مماسًا للمستوى المحدد.

ب. أوجد المعادلات البارامترية للخط الذي يمر عبر الأصل ونقطة التماس.

51) طفلان يلعبان بالكرة. الفتاة ترمي الكرة إلى الصبي. تتحرك الكرة في الهواء ، وتنحني (3 ) قدم إلى اليمين ، وتسقط (5 ) قدمًا بعيدًا عن الفتاة (انظر الشكل التالي). إذا كان المستوى الذي يحتوي على مسار الكرة عموديًا على الأرض ، فأوجد معادلتها.

إجابه:
(4x − 3y = 0 )

52) [T] يخصص جون (د ) دولارات لاستهلاك ثلاث سلع شهريًا من الأسعار (أ ، ب ) ، و (ج ). في هذا السياق ، يتم تعريف معادلة الميزانية على أنها (ax + by + cz = d ، ) حيث (x≥0 ، y≥0 ) ، و (z≥0 ) تمثل عدد العناصر المشتراة من كل من البضائع. يتم تحديد مجموعة الميزانية بواسطة ({(x، y، z) | ax + by + cz≤d، x≥0، y≥0، z≥0}، ) ومستوى الميزانية هو جزء من المستوى من المعادلة (ax + by + cz = d ) التي (x≥0 ، y≥0 ) ، و (z≥0 ). ضع في اعتبارك (أ = 8 دولارات ، ب = 5 دولارات ، ج = 10 دولارات ، ) و (د = 500 دولار. )

أ. استخدم CAS لرسم بياني لمجموعة الميزانية ومستوى الميزانية.

ب. بالنسبة إلى (z = 25، ) ، ابحث عن معادلة الموازنة الجديدة وارسم مجموعة الميزانية في نفس نظام الإحداثيات.

53) [T] ضع في اعتبارك ( vecs r (t) = ⟨ sin t، cos t، 2t⟩ ) متجه موضع الجسيم في الوقت (t∈ [0،3] ) ، حيث يتم التعبير عن مكونات ( vecs r ) بالسنتيمتر ويتم قياس الوقت بالثواني. لنفترض أن ( vecd {OP} ) يكون متجه موضع الجسيم بعد (1 ) ثانية.

أ. حدد متجه السرعة ( vecs v (1) ) للجسيم بعد (1 ) ثانية.

ب. أوجد المعادلة العددية للمستوى المتعامد مع (v (1) ) ويمر بالنقطة (P ). يسمى هذا المستوى المستوى الطبيعي لمسار الجسيم عند النقطة (P ).

ج. استخدم CAS لتصور مسار الجسيم مع متجه السرعة والمستوى العادي عند النقطة (P ).

إجابه:
أ. ( vecs v (1) = ⟨ cos 1، - sin 1، 2⟩ )
ب. (( cos 1) (س− الخطيئة 1) - ( الخطيئة 1) (y− cos 1) +2 (ض − 2) = 0 )
ج.

54) [T] لوح شمسي مركب على سطح منزل. يمكن اعتبار اللوحة موضوعة عند نقاط الإحداثيات (بالأمتار) (A (8،0،0) و B (8،18،0) و C (0،18،8) و ) و ( د (0،0،8) ) (انظر الشكل التالي).

أ. ابحث عن الشكل العام لمعادلة المستوى الذي يحتوي على اللوحة الشمسية باستخدام النقاط (A ، B ، ) و (C ) ، وأظهر أن متجهها الطبيعي يعادل ( vecd {AB} × vecd {م}. )

ب. ابحث عن المعادلات البارامترية للخط (L_1 ) التي تمر عبر مركز اللوحة الشمسية ولها متجه اتجاه ( vecs s = frac {1} { sqrt {3}} hat { imath} + frac {1} { sqrt {3}} hat { jmath} + frac {1} { sqrt {3}} hat {k}، ) الذي يشير إلى موقع الشمس في وقت معين من يوم.

ج. أوجد المعادلات المتماثلة للخط (L_2 ) الذي يمر عبر مركز اللوحة الشمسية ويكون عموديًا عليها.

د. حدد زاوية ارتفاع الشمس فوق الألواح الشمسية باستخدام الزاوية بين الخطوط (L_1 ) و (L_2 ).

المساهمون

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

تمارين و LaTeX من تحرير بول سيبرغر

المشكلات 15 و 43 - 46 التي أنشأها Paul Seeburger