مقالات

14.1E: التكاملات المتكررة والمساحة (تمارين)


الشروط والمفاهيم

1. عند تكامل (f_x (x، y) ) بالنسبة إلى (x ) ، ثابت التكامل ج هو حقًا: (C (x) text {أو} C (y) )؟ ماذا يعني هذا؟

إجابه:
سيكون ثابت التكامل (C (y) ) نظرًا لأن (y ) يعتبر ثابتًا في التكامل ، وبالتالي ، يمكن أن تحتوي الوظيفة الأصلية (f ) على مصطلحات هي وظائف (y ) التي تم فقدها عند أخذ المشتق الجزئي بالنسبة إلى المتغير (x ).

2. يسمى تكامل التكامل المتكرر _________ __________.

إجابه:
تكررت دمج أو مضاعف دمج

3. عند تقييم تكامل متكرر من النموذج ( displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} ، dy ، dx ) ، ندمج من _______ إلى ________ ، إذن من الى __________.

إجابه:
نتكامل من الأسفل ل أعلى، ثم من غادر ل حق. هنا ، من (y = g_1 (x) ) إلى (y = g_2 (x) ) ، ثم من (x = a ) إلى (x = b ).
بشكل عام ، نتكامل من منحنى ل منحنى ثم من هدف ل هدف.

4. أحد فهم التكامل المتكرر هو أن ( displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} ، dy ، dx ) يعطي _______ منطقة مستوية.

إجابه:
منطقة

مشاكل

في التدريبات 5-10 ، قم بتقييم التكامل المتكامل والمتكرر اللاحق.

5. (a) ( displaystyle int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy )
(ب) ( displaystyle int _ {- 3} ^ 2 int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy ، dx )

إجابه:
(أ) ( displaystyle int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy ) (= quad left (6x ^ 2y + 2xy ^ 2 - y ^ 3 right) بيج | _2 ^ 5 ) (= رباعي 30x ^ 2 + 50x - 125 - (12x ^ 2 + 8x - 8) ) (= رباعي 18x ^ 2 + 42x - 117 )
(ب) ( displaystyle int _ {- 3} ^ 2 int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy ، dx ) (= quad displaystyle int _ {- 3 } ^ 2 يسار (18x ^ 2 + 42x - 117 right) ، dx ) (= quad left (6x ^ 3 + 21x ^ 2 -117x right) bigg | _ {- 3} ^ 2 ) (= رباعي 48 + 84-234- (-162 +189 +351) ) (= رباعي -102-378 ) (= رباعي 480 )

6. (a) ( displaystyle int_0 ^ pi (2x cos y + sin x) ، dx )
(ب) ( displaystyle int_ {0} ^ { pi / 2} int_0 ^ pi (2x cos y + sin x) ، dx ، dy )

7. (a) ( displaystyle int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy )
(ب) (displaystyle int_0 ^ 2 int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy ، dx)

إجابه:
(a) ( displaystyle int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy ) (= quad left ( frac {x ^ 2y ^ 2} {2} - frac {y ^ 2} {2} + 2y right) bigg | _1 ^ x ) (= quad frac {x ^ 4} {2} - frac {x ^ 2} {2} + 2x - ( frac {x ^ 2} {2} - frac {1} {2} + 2) ) (= quad frac {x ^ 4} {2} - x ^ 2 + 2x - frac {3} {2} )
(ب) ( displaystyle int_0 ^ 2 int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy ، dx ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ 2 left ( left ( frac {x ^ 4} {2} - x ^ 2 + 2x - frac {3} {2} right) ، dx ) (= quad left ( frac {x ^ 5} {10} - frac {x ^ 3} {3} + x ^ 2 - frac {3} {2} x right) bigg | _ {0} ^ 2 ) (= quad frac {32} { 10} - frac {8} {3} + 4 - 3 - 0 ) (= quad frac {96} {30} - frac {80} {30} + frac {30} {30} ) (= quad dfrac {23} {15} )

8. (a) ( displaystyle int_y ^ {y ^ 2} (x-y) ، dx )
(ب) ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 int_y ^ {y ^ 2} (x-y) ، dx ، dy )

9. (a) ( displaystyle int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx )
(ب) ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx ، dy )

إجابه:
(أ) ( displaystyle int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx quad ) (= quad left ( sin x sin y right) bigg | _0 ^ ص ) (= رباعي الخطيئة ^ 2 ص )
(ب) ( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx ، dy quad ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ { pi} sin ^ 2 y ، dy quad ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ { pi} frac {1- cos 2y} {2} ، dy quad ) (= quad dfrac {y - frac {1} {2} sin 2y} {2} bigg | _ {0} ^ { pi} quad ) (= quad frac { pi} {2} - 0 quad ) (= quad dfrac { pi} {2} )

10. (a) ( displaystyle int_0 ^ {x} left ( frac {1} {1 + x ^ 2} right) ، dy )
(ب) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ {x} left ( frac {1} {1 + x ^ 2} right) ، dy ، dx )

في التدريبات 11-16 ، يتم إعطاء رسم بياني لمنطقة مستوية (R ). أعط التكاملات المتكررة ، مع كلا أوامر التكامل (dy ، dx ) و (dx ، dy ) ، التي تعطي مساحة (R ). احسب أحد التكاملات المتكررة لإيجاد المساحة.

11.

إجابه:
( text {Area} = displaystyle int_1 ^ 4 int _ {- 2} ^ 1 1 ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int _ {- 2} ^ 1 int_1 ^ 4 1 ، dx ، يوم )
( displaystyle int _ {- 2} ^ 1 int_1 ^ 4 1 ، dx ، dy quad ) (= quad displaystyle int _ {- 2} ^ 1 x bigg | _1 ^ 4 ، dy quad ) (= quad displaystyle int _ {- 2} ^ 1 3 ، dy quad ) (= quad 3y bigg | _ {- 2} ^ 1 quad ) (= quad 3 (3) quad ) (= quad 9 ، text {Units} ^ 2 )

12.

13.

إجابه:
( text {Area} = displaystyle int_2 ^ 4 int_ {x-1} ^ {7-x} 1 ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_ {1} ^ 3 int_ {2} ^ {y + 1} 1 ، dx ، dy quad + quad displaystyle int_ {3} ^ 5 int_ {2} ^ {7-y} 1 ، dx ، dy quad )
( displaystyle int_2 ^ 4 int_ {x-1} ^ {7-x} 1 ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_2 ^ 4 y bigg | _ {x -1} ^ {7-x} ، dx quad ) (= quad displaystyle int_2 ^ 4 (8 - 2x) ، dx quad ) (= quad (8x - x ^ 2 ) bigg | _2 ^ 4 = 32 - 16 - 16 + 4 quad ) (= quad 4 ، text {Units} ^ 2 )

14.

15.

إجابه:
( text {Area} = displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 4} ^ { sqrt {x}} 1 ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_ { 0} ^ 1 int_ {y ^ 2} ^ { sqrt [4] {y}} 1 ، dx ، dy quad )
( displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 4} ^ { sqrt {x}} ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_0 ^ 1 y bigg | _ { x ^ 4} ^ { sqrt {x}} ، dx quad ) (= quad displaystyle int_0 ^ 1 ( sqrt {x} - x ^ 4) ، dx quad ) ( = quad ( frac {2} {3} x ^ {3/2} - frac {x ^ 5} {5}) bigg | _0 ^ 1 quad ) (= quad frac {2 } {3} - frac {1} {5} quad ) (= quad frac {10} {15} - frac {3} {15} ) (= quad dfrac {7 } {15} ، نص {وحدات} ^ 2 )

16.

في التدريبات 17-22 ، يتم إعطاء التكاملات المتكررة التي تحسب مساحة المنطقة ص في الطائرة (س ص ). ارسم المنطقة ص، وإعطاء التكامل (التكامل) المتكرر الذي يعطي مساحة ص بترتيب التكامل المعاكس.

17. ( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {4-x ^ 2} ، dy ، dx )

إجابه:
( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {4-x ^ 2} ، dy ، dx quad ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ 4 int _ {- sqrt {4-y}} ^ { sqrt {4-y}} ، dx ، dy )

18. ( displaystyle int_ {0} ^ 1 int_ {5-5x} ^ {5-5x ^ 2} ، dy ، dx )

19. ( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {4-y ^ 2}} ، dx ، dy )

إجابه:
( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {4-y ^ 2}} ، dx ، dy quad ) (= quad displaystyle int_ {0} ^ 4 int _ {- frac {1} {2} sqrt {16-x ^ 2}} ^ { frac {1} {2} sqrt {16-x ^ 2}} ، dy ، dx )

20. ( displaystyle int _ {- 3} ^ 3 int _ {- sqrt {9-x ^ 2}} ^ { sqrt {9-x ^ 2}} ، dy ، dx )

21. ( displaystyle int_ {0} ^ 1 int _ {- sqrt {y}} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy + int_1 ^ 4 int_ {y-2} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy )

إجابه:
( displaystyle int_ {0} ^ 1 int _ {- sqrt {y}} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy + int_1 ^ 4 int_ {y-2} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy quad ) (= quad displaystyle int _ {- 1} ^ 2 int_ {x ^ 2} ^ {x + 2} ، dy ، dx )

22. ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 int _ {(x-1) / 2} ^ {(1-x) / 2} ، dy ، dx )


حساب التفاضل والتكامل النشط - متعدد المتغيرات + متجه

كيف نحسب التكامل المزدوج على المستطيل باعتباره تكاملًا متكررًا ، ولماذا تعمل هذه العملية؟

تذكر أننا حددنا التكامل المزدوج للدالة المستمرة (f = f (x، y) ) على مستطيل (R = [a، b] times [c، d] )

حيث يتم وصف المتغيرات والترميز المختلفة في القسم 11.1. وبالتالي ، ( iint_R f (x، y) ، dA ) هو حد لمجموع Riemann المزدوجة ، ولكن بينما يخبرنا هذا التعريف بالضبط ما هو التكامل المزدوج ، فإنه ليس مفيدًا جدًا لتحديد قيمة التكامل المزدوج . لحسن الحظ ، هناك طريقة لعرض التكامل المزدوج باعتباره تكررت التكامل، مما يجعل الحسابات مجدية في كثير من الحالات.

ترتبط وجهة نظر التكامل المتكرر ارتباطًا وثيقًا بفكرة مهمة من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير. عندما درسنا المواد الصلبة للثورة ، مثل تلك الموضحة في الشكل 11.2.1 ، رأينا أنه في بعض الظروف يمكننا قطع المادة الصلبة بشكل عمودي على المحور وأن تكون كل شريحة تقريبًا عبارة عن قرص دائري. من هناك ، تمكنا من إيجاد حجم كل قرص ، ثم استخدام التكامل لإضافة أحجام الشرائح. فيما يلي ، نحن قادرون على استخدام التكاملات الفردية لتعميم هذا النهج للتعامل مع أشكال هندسية أكثر عمومية.

معاينة النشاط 11.2.1.

لنفترض (f (x، y) = 25-x ^ 2-y ^ 2 ) في المجال المستطيل (R = [-3،3] times [-4،4] text <.> )

كما هو الحال مع المشتقات الجزئية ، قد نتعامل مع أحد المتغيرات في (f ) على أنه ثابت ونفكر في الوظيفة الناتجة كدالة لمتغير واحد. نحن الآن نتحرى ما يحدث إذا تكاملنا بدلاً من الاشتقاق.

اختر قيمة ثابتة لـ (x ) داخل ([- 3،3] text <.> ) دعنا

ما المعنى الهندسي لقيمة (A (x) ) بالنسبة للسطح المحدد بواسطة (f text <.> ) (تلميح: فكر في التتبع الذي تحدده القيمة الثابتة لـ (x ) text <،> ) وفكر في كيفية ارتباط (A (x) ) بالصورة الموجودة على اليسار في الشكل 11.2.2.)

للحصول على قيمة ثابتة لـ (x text <،> ) قل (x_i ^ * text <،> ) ما المعنى الهندسي لـ (A (x_i ^ *) Delta x text <؟ > ) (تلميح: ضع في اعتبارك كيف يرتبط (A (x_i ^ *) Delta x ) بالصورة الموجودة على اليمين في الشكل 11.2.2.)

نظرًا لأن (f ) مستمر في (R text <،> ) يمكننا تحديد الوظيفة (A = A (x) ) في كل قيمة (x ) في ([- 3 ، 3] text <.> ) الآن فكر في تقسيم (x ) - الفاصل الزمني ([- 3،3] ) إلى فترات فرعية (m ) ، واختيار قيمة (x_i ^ * ) في كل من تلك الفترات الفرعية. ماذا سيكون معنى المجموع ( sum_^ m A (x_i ^ *) Delta x text <؟> )

اشرح سبب تحديد ( int_ <-3> ^ 3 A (x) ، dx ) القيمة الدقيقة للحجم تحت السطح (z = f (x، y) ) فوق المستطيل (R نص <.> )

القسم الفرعي 11.2.1 التكاملات المتكررة

تعمل الأفكار التي استكشفناها في نشاط المعاينة 11.2.1 بشكل عام وتؤدي إلى فكرة التكامل المتكرر. لنفترض أن (f ) دالة مستمرة في مجال مستطيل (R = [a، b] times [c، d] text <،> ) ودعنا

تحدد الوظيفة (A = A (x) ) قيمة منطقة المقطع العرضي (حسب المنطقة التي نعني بها المنطقة "الموقعة") في اتجاه (y ) للقيمة الثابتة لـ (x ) صلبة يحدها بين السطح المحدد بواسطة (f ) و (س ص ) - المستوى.

يتم تحديد قيمة منطقة المقطع العرضي هذه من خلال الإدخال (x ) في (A text <.> ) بما أن (A ) هي دالة لـ (x text <،> ) فهي تتبع أنه يمكننا دمج (A ) فيما يتعلق بـ (x text <.> ) عند القيام بذلك ، نستخدم قسم ([a ، b] ) ونقوم بتقريب التكامل المعطى بواسطة

حيث (x_i ^ * ) هو أي رقم في الفاصل الزمني الفرعي ([x_، x_i] text <.> ) يمثل كل مصطلح (A (x_i ^ *) Delta x ) في المجموع تقريبًا لشريحة مقطعية ثابتة من السطح في اتجاه (y ) مع عرض ثابت لـ ( Delta x ) كما هو موضح في الشكل 11.2.3. نضيف الأحجام الموقعة لهذه الشرائح كما هو موضح في الإطارات في الشكل 11.2.3 للحصول على تقدير تقريبي لإجمالي الحجم الموقّع.

نظرًا لأننا نسمح لعدد الفترات الفرعية في الاتجاه (x ) بالاقتراب من اللانهاية ، يمكننا أن نرى أن مجموع Riemann ( sum_يقترب ^ m A (x_i ^ *) Delta x ) من الحد وهذا الحد هو مجموع وحدات التخزين الموقعة المرتبطة بالوظيفة (f ) على (R text <.> ) لذلك ، منذ ( A (x) ) يتم تحديده من خلال تكامل ، لدينا

ومن ثم ، يمكننا حساب التكامل المزدوج لـ (f ) over (R ) من خلال دمج (f ) فيما يتعلق بـ (y ) في ([c، d] text <،> ) ثم تكامل الدالة الناتجة من (س ) فيما يتعلق (س ) في ([أ ، ب] نص <.> ) التكامل المتداخل

يسمى تكررت التكامل، ونرى أن كل تكامل مزدوج يمكن تمثيله بتكامل واحد.

لقد اخترنا التكامل أولاً فيما يتعلق بـ (y text <.> ) توضح نفس الوسيطة أنه يمكننا أيضًا العثور على التكامل المزدوج باعتباره تكاملًا متكررًا فيما يتعلق بـ (x ) أولاً ، أو

تُعرف حقيقة أن التكامل في أي من الترتيبين في نفس القيمة باسم نظرية فوبيني.

نظرية فوبيني.

إذا كانت (f = f (x، y) ) دالة متصلة على مستطيل (R = [a، b] times [c، d] text <،> ) إذن

تمكننا نظرية Fubini من تقييم التكاملات المتكررة دون اللجوء إلى تعريف النهايات. بدلاً من ذلك ، بالعمل مع تكامل واحد في كل مرة ، يمكننا استخدام النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير لإيجاد القيمة الدقيقة لكل تكامل ، بدءًا من التكامل الداخلي.

النشاط 11.2.2.

لنفترض (f (x، y) = 25-x ^ 2-y ^ 2 ) في المجال المستطيل (R = [-3،3] times [-4،4] text <.> )

بالنظر إلى (x ) باعتباره ثابتًا ثابتًا ، استخدم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل لتقييم التكامل

لاحظ أنك ستتكامل فيما يتعلق بـ (y text <،> ) وتحتفظ بثابت (x ). يجب أن تكون نتيجتك دالة لـ (س ) فقط.

بعد ذلك ، استخدم النتيجة من (أ) جنبًا إلى جنب مع النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل لتحديد قيمة ( int_ <-3> ^ 3 A (x) ، dx text <.> )

ما قيمة ( iint_R f (x، y) ، dA text <؟> ) ما الطريقتان المختلفتان اللتان يمكننا من تفسير معنى هذه القيمة؟

النشاط 11.2.3.

دعونا (f (x، y) = x + y ^ 2 ) على المستطيل (R = [0،2] times [0،3] text <.> )

أوجد قيمة ( iint_R f (x، y) ، dA ) باستخدام تكامل متكرر. اختر أمرًا للتكامل عن طريق تحديد ما إذا كنت تريد التكامل أولاً مع مراعاة (x ) أو (y text <.> )

قم بتقييم ( iint_R f (x، y) ، dA ) باستخدام التكامل المتكرر الذي يكون ترتيب تكامله عكس الترتيب الذي اخترته في (أ).

القسم الفرعي 11.2.2 ملخص

يمكننا تقييم التكامل المزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) على مستطيل (R = [a، b] times [c، d] ) على أنه تكامل متكرر في واحد من اثنين طرق:

( int_a ^ b left ( int_c ^ d f (x ، y) ، dy right) ، dx text <،> ) أو

( int_c ^ d left ( int_a ^ b f (x، y) ، dx right) ، dy text <.> )

تعمل هذه العملية لأن كل جزء متكامل يمثل منطقة مقطعية (موقعة) والتكامل الخارجي ثم يجمع كل مناطق المقطع العرضي (الموقعة). تضمن نظرية Fubini أن القيمة الناتجة هي نفسها ، بغض النظر عن الترتيب الذي نتكامل به.


حساب التفاضل والتكامل النشط - متعدد المتغيرات + متجه

كيف نحدد التكامل المزدوج على منطقة غير مستطيلة؟

ما الشكل العام الذي يمتلكه التكامل المتكرر على منطقة غير مستطيلة؟

تذكر أننا حددنا التكامل المزدوج للدالة المستمرة (f = f (x، y) ) على مستطيل (R = [a، b] times [c، d] )

حيث يكون الترميز كما هو موضح في القسم 11.1. علاوة على ذلك ، رأينا أنه يمكننا تقييم تكامل مزدوج ( iint_R f (x، y) ، dA ) over (R ) باعتباره تكاملًا متكررًا لأي من النموذجين

من الطبيعي أن نتساءل كيف يمكننا تعريف وتقييم تكامل مزدوج على منطقة غير مستطيلة نستكشف أحد الأمثلة في نشاط المعاينة التالي.

معاينة النشاط 11.3.1.

رباعي الوجوه هو شكل ثلاثي الأبعاد له أربعة أوجه ، كل منها مثلث. صورة الرباعي السطوح (T ) برؤوس ((0،0،0) text <،> ) ((1،0،0) text <،> ) ((0،1 ، 0) text <،> ) و ((0،0،1) ) على اليسار في الشكل 11.3.1. إذا وضعنا رأسًا واحدًا في الأصل وتركنا المتجهات ( va text <،> ) ( vb text <،> ) و ( vc ) تحدد بحواف رباعي السطوح التي لها أحد طرفي الأصل ، ثم الصيغة التي تخبرنا بحجم (V ) رباعي السطوح هي

استخدم الصيغة (11.3.1) لإيجاد حجم رباعي السطوح (T text <.> )

بدلاً من الحفظ أو البحث عن صيغة حجم رباعي السطوح ، يمكننا استخدام تكامل مزدوج لحساب حجم رباعي السطوح (T text <.> ) لمعرفة كيف ، لاحظ أن الوجه العلوي من رباعي السطوح (T ) هو المستوى الذي تكون معادلته

بشرط أن نتمكن من استخدام تكامل متكرر في منطقة غير مستطيلة ، فسيتم إعطاء حجم رباعي الوجوه بواسطة تكامل متكرر من النموذج

المشكلة الجديدة هنا هي كيف نجد حدود التكاملات مع ملاحظة أن حدود التكامل الخارجي موجودة في (x text <،> ) بينما الحدود الداخلية في (y text <،> ) منذ ذلك الحين لقد اخترنا (dA = dy ، dx text <.> ) لرؤية المجال الذي نحتاج إلى التكامل عليه ، فكر في وضع الوقوف فوق رباعي الوجوه بالنظر إليه مباشرة ، مما يعني أننا نقوم بإسقاط رباعي السطوح بأكمله على الطائرة (س ص ). المجال الناتج هو المنطقة المثلثية الموضحة على اليمين في الشكل 11.3.1. اشرح لماذا يمكننا تمثيل منطقة المثلث بالمتباينات

(تلميح: ضع في اعتبارك شريحة المقطع العرضي الموضحة على اليمين في الشكل 11.3.1.)

اشرح لماذا من المنطقي الآن كتابة الحجم المتكامل بالصيغة

استخدم النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل لحساب التكامل المتكرر

وقارن بنتائجك من الجزء (أ). (كما هو الحال مع التكاملات المتكررة على مناطق مستطيلة ، ابدأ بالتكامل الداخلي.)

القسم الفرعي 11.3.1 التكاملات المزدوجة فوق المناطق العامة

حتى الآن ، تعلمنا أن التكامل المزدوج على منطقة مستطيلة يمكن تفسيره بإحدى طريقتين:

( iint_R f (x، y) ، dA ) يخبرنا بحجم المواد الصلبة الرسم البياني (f ) الحدود فوق (xy ) - الطائرة فوق المستطيل (R ) ناقص حجم المواد الصلبة الرسم البياني (f ) حدود أسفل (س ص ) - مستوى أسفل المستطيل (ص نص <> )

( فارك <1> iint_R f (x، y) ، dA text <،> ) حيث (A (R) ) هي مساحة (R ) تخبرنا بمتوسط ​​قيمة الوظيفة (f ) في (R text <.> ) إذا (f (x، y) geq 0 ) في (R text <،> ) يمكننا تفسير متوسط ​​قيمة (f ) في ( R ) مثل ارتفاع المربع الذي يحتوي على القاعدة (R ) التي لها نفس حجم حجم السطح المحدد بواسطة (f ) فوق (R text <.> )

كما رأينا في نشاط المعاينة 11.1.1 ، يمكن اعتبار دالة (f = f (x، y) ) على مناطق بخلاف المناطق المستطيلة ، وبالتالي نريد أن نفهم كيفية إعداد وتقييم التكاملات المزدوجة على non مناطق مستطيلة. لاحظ أنه إذا استطعنا ، فإن تفسيري التكامل المزدوج المذكورين أعلاه سيمتدان بشكل طبيعي إلى المناطق الصلبة ذات القواعد غير المستطيلة.

لذلك ، افترض أن (f ) هي دالة مستمرة في مجال مغلق ومحدود (D text <.> ) على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك (D ) على أنه المجال الدائري الموضح على اليسار في الشكل 11.3.2.

يمكننا إرفاق (D ) في مجال مستطيل (R ) كما هو موضح على اليمين في الشكل 11.3.2 وتوسيع الوظيفة (f ) ليتم تعريفها على (R ) حتى نتمكن من استخدم تعريف التكامل المزدوج على مستطيل. نمد (f ) بطريقة تجعل قيمه عند النقاط في (R ) غير الموجودة في (D ) تساهم بقيمة 0 في قيمة التكامل. بمعنى آخر ، حدد دالة (F = F (x، y) ) على (R ) كـ

نقول بعد ذلك أن التكامل المزدوج لـ (f ) over (D ) هو نفسه التكامل المزدوج لـ (F ) over (R text <،> ) وبالتالي

في الممارسة العملية ، نتجاهل كل ما هو موجود في (R ) ولكن ليس في (D text <،> ) لأن هذه المناطق تساهم بـ 0 في قيمة التكامل.

تمامًا كما هو الحال مع التكاملات المزدوجة على المستطيلات ، يمكن تقييم التكامل المزدوج على المجال (D ) على أنه تكامل متكرر. إذا كان بالإمكان وصف المنطقة (D ) من خلال المتباينات (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ) و (a leq x leq b text <،> ) حيث (g_1 = g_1 (x) ) و (g_2 = g_2 (x) ) هي وظائف فقط (x text <،> ) ثم

بدلاً من ذلك ، إذا تم وصف المنطقة (D ) بواسطة المتباينات (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ) و (c leq y leq d text <،> ) حيث (h_1 = h_1 (y) ) و (h_2 = h_2 (y) ) هي وظائف فقط (y text <،> ) لدينا

يعتبر هيكل التكامل المتكرر ذا أهمية خاصة:

في تكامل مزدوج مكرر:

يجب أن تكون حدود التكامل الخارجي ثوابت

يجب أن تكون حدود التكامل الداخلي ثوابت أو من حيث المتغير المتبقي فقط - أي إذا كان التكامل الداخلي متعلقًا بـ (y text <،> ) فإن حدوده قد تشمل فقط (x ) والثوابت والعكس صحيح.

سننظر بعد ذلك في مثال مفصل.

مثال 11.3.3.

دع (f (x، y) = x ^ 2y ) يتم تعريفه على المثلث (D ) برؤوس ((0،0) text <،> ) ((2،0) text <،> ) و ((2،3) ) كما هو موضح على اليسار في الشكل 11.3.4.

لتقييم ( iint_D f (x، y) ، dA text <،> ) يجب علينا أولاً وصف المنطقة (D ) من حيث المتغيرات (x ) و (y text < .> ) نحن نأخذ طريقتين.

المقاربة 1: الدمج أولاً فيما يتعلق بـ (y text <.> )

في هذه الحالة ، اخترنا تقييم التكامل المزدوج باعتباره تكاملًا متكررًا في الصورة

وبالتالي نحن بحاجة إلى وصف (د ) من حيث عدم المساواة

نظرًا لأننا نتكامل فيما يتعلق بـ (y ) أولاً ، فإن التكامل المتكرر له الشكل

حيث (A (x) ) هي منطقة مقطعية في اتجاه (ص ). لذلك نحن نقوم بتقطيع المجال بشكل عمودي على المحور (x ) - ونريد أن نفهم الشكل الذي ستبدو عليه منطقة المقطع العرضي للمادة الصلبة الكلية. تظهر عدة شرائح من المجال في الصورة الوسطى في الشكل 11.3.4. على شريحة ذات قيمة (س ) ثابتة ، يتم تقييد قيم (ص ) أدناه بمقدار 0 وما فوق بإحداثي (ص ) على وتر المثلث الأيمن. وبالتالي ، (g_1 (x) = 0 text <> ) لإيجاد (y = g_2 (x) text <،> ) نحتاج إلى كتابة الوتر كدالة في (x text <. > ) يربط الوتر النقطتين (0،0) و (2،3) وبالتالي يحتوي على معادلة (y = frac <3> <2> x text <.> ) وهذا يعطي الحد الأعلى على (y ) كـ (g_2 (x) = frac <3> <2> x text <.> ) المقطع العرضي الرأسي الموجود في أقصى اليسار عند (x = 0 ) وأقصى اليمين عند ( س = 2 نص <،> ) لذلك لدينا (أ = 0 ) و (ب = 2 نص <.> ) لذلك ،

نقيم التكامل المتكرر عن طريق تطبيق النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل أولاً على التكامل الداخلي ، ثم على التكامل الخارجي ، ونجد ذلك

في هذه الحالة ، اخترنا تقييم التكامل المزدوج باعتباره تكاملًا متكررًا في الصورة

وبالتالي تحتاج إلى وصف (د ) من حيث عدم المساواة

نظرًا لأننا نتكامل فيما يتعلق بـ (x ) أولاً ، فإن التكامل المتكرر له الشكل

حيث (A (y) ) هي مساحة المقطع العرضي للمادة الصلبة في اتجاه (x ). تظهر عدة شرائح من المجال - عموديًا على المحور (y ) - على اليمين في الشكل 11.3.4. على شريحة ذات قيمة (y ) ثابتة ، يتم تقييد قيم (x ) أدناه بإحداثي (x ) على وتر المثلث الأيمن والأعلى بمقدار 2. لذا (h_2 (y) = 2 text <> ) لإيجاد (h_1 (y) text <،> ) نحتاج إلى كتابة الوتر كدالة لـ (y text <.> ) حل المعادلة السابقة التي لدينا من أجل الوتر ( (y = frac32 x )) لـ (x ) يعطينا (x = frac <2> <3> y text <.> ) هذا يجعل (h_1 (y) = frac <2> <3> y text <.> ) أدنى مقطع عرضي أفقي عند (y = 0 ) والأعلى عند (y = 3 text <،> ) لذلك لدينا (ج = 0 ) و (د = 3 نص <.> ) لذلك ،

نقوم بتقييم التكامل المتكرر الناتج كما في السابق عن طريق تطبيق النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل مرتين ، ووجدنا ذلك

نرى ، بالطبع ، أنه في الحالة التي يمكن فيها وصف (D ) بطريقتين مختلفتين ، لا يهم الترتيب الذي نختار به إعداد وتقييم التكامل المزدوج ، وتؤدي نفس القيمة إلى أي منهما قضية.

يوازي معنى التكامل المزدوج على منطقة غير مستطيلة (D text <،> ) المعنى فوق منطقة مستطيلة. خاصه،

( iint_D f (x، y) ، dA ) يخبرنا بحجم المواد الصلبة الرسم البياني (f ) الحدود فوق (xy ) - الطائرة فوق المنطقة المغلقة والمحدودة (D ) ) ناقص حجم المواد الصلبة الرسم البياني (f ) الحدود أسفل (xy ) - المستوى الموجود أسفل المنطقة (D text <> )

( فارك <1> iint_R f (x، y) ، dA text <،> ) حيث (A (D) ) هي مساحة (D ) تخبرنا بمتوسط ​​قيمة الوظيفة (f ) في (D text <.> ) إذا (f (x، y) geq 0 ) في (D text <،> ) يمكننا تفسير متوسط ​​قيمة (f ) في ( D ) مثل ارتفاع المادة الصلبة مع القاعدة (D ) ومنطقة المقطع العرضي الثابتة (D ) التي لها نفس حجم السطح المحدد بواسطة (f ) فوق (D ) نص <.> )

النشاط 11.3.2.

ضع في اعتبارك التكامل المزدوج ( iint_D (4-x-2y) ، dA text <،> ) حيث (D ) هي المنطقة المثلثية ذات الرؤوس (0،0) ، (4،0) ، و (0،2).

اكتب التكامل المعطى كتكامل متكرر من النموذج ( iint_D (4-x-2y) ، dy ، dx text <.> ) ارسم صورة معنونة لـ (D ) مع المقاطع العرضية ذات الصلة.

اكتب التكامل المعطى كتكامل متكرر من النموذج ( iint_D (4-x-2y) ، dx ، dy text <.> ) ارسم صورة معنونة لـ (D ) مع المقاطع العرضية ذات الصلة.

قم بتقييم التكاملين المتكررين من (أ) و (ب) ، وتحقق من أنهما ينتجان نفس القيمة. قدم تفسيرًا واحدًا على الأقل لمعنى نتيجتك.

النشاط 11.3.3.

ضع في اعتبارك التكامل المتكرر ( int_^ int_^<>> (4x + 10y) ، dy ، dx text <.> )

ارسم منطقة التكامل ، (D text <،> ) من أجلها

حدد التكامل المتكرر المكافئ الذي ينتج عن التكامل بالترتيب المعاكس ( (dx ، dy text <،> ) بدلاً من (dy ، dx )). أي تحديد حدود التكامل من أجلها

احسب أحد التكاملات المتكررة أعلاه. اشرح ما تخبرك به القيمة التي حصلت عليها.

قم بإعداد وتقييم تكامل واحد محدد لتحديد المساحة الدقيقة لـ (D text <،> ) (A (D) text <.> )

حدد القيمة المتوسطة الدقيقة لـ (f (x، y) = 4x + 10y ) over (D text <.> )

النشاط 11.3.4.

ضع في اعتبارك التكامل المتكرر ( int_^ int_^ ه ^ ، dy ، dx text <.> )

اشرح لماذا لا يمكننا إيجاد مشتق عكسي بسيط لـ (e ^) فيما يتعلق بـ (y text <،> ) وبالتالي لا يمكن تقييم ( int_^ int_^ ه ^ ، dy ، dx ) بالترتيب المشار إليه باستخدام النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

بالنظر إلى أن ( iint_D e ^ ، dA = int_^ int_^ ه ^ ، dy ، dx text <،> ) ارسم منطقة التكامل ، (D text <.> )

أعد كتابة التكامل المعطى بالترتيب المعاكس باستخدام (dA = dx ، dy text <.> ) (تلميح: قد تحتاج إلى أكثر من تكامل.)

استخدم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل لتقييم التكامل المتكرر الذي طورته في (د). اكتب جملة واحدة لشرح معنى القيمة التي وجدتها.

ما هو الدرس المهم الذي يقدمه هذا النشاط فيما يتعلق بالترتيب الذي نضع فيه التكامل المتكرر؟

ملخص القسم الفرعي 11.3.2

للتكامل المزدوج ( iint_D f (x، y) ، dA ) فوق منطقة غير مستطيلة (D text <،> ) نرفق (D ) في مستطيل (R ) ثم قم بتمديد التكامل و (f ) إلى دالة (F ) بحيث (F (x ، y) = 0 ) في جميع النقاط في (R ) خارج (D ) و ( F (x، y) = f (x، y) ) لجميع النقاط في (D text <.> ) ثم نحدد ( iint_D f (x، y) ، dA ) لتكون متساوية إلى ( iint_R F (x، y) ، dA text <.> )

في التكامل المزدوج المتكرر ، يجب أن تكون حدود التكامل الخارجي ثوابت بينما يجب أن تكون الحدود على التكامل الداخلي ثوابت أو من حيث المتغير المتبقي فقط. بعبارة أخرى ، التكامل المزدوج المتكرر له أحد الأشكال التالية (والذي ينتج عنه نفس القيمة):

حيث (g_1 = g_1 (x) ) و (g_2 = g_2 (x) ) هي دوال لـ (x ) فقط والمنطقة (D ) موصوفة بالتباينات (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ) و (a leq x leq b ) أو

حيث (h_1 = h_1 (y) ) و (h_2 = h_2 (y) ) هي وظائف (y ) فقط والمنطقة (D ) موصوفة بالتباينات (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ) و (c leq y leq d text <.> )


التفاضل المتعدد المتغيرات

في حساب التفاضل والتكامل في الفصل الأول ، تعلمنا كيفية حساب تكاملات النموذج ( int_a ^ bf dx ) على طول المقاطع المستقيمة (المسطحة) ([a ، b] text <.> ) هذا الفصل الدراسي ، في السطر وحدة متكاملة ، تعلمنا كيفية تغيير المقطع إلى منحنى ، مما سمح لنا بحساب تكاملات النموذج ( int_C fds ) على طول أي منحنى (C text <،> ) بدلاً من مجرد المنحنيات (المقاطع) ) على المحور (س ).

يعطي التكامل ( int_a ^ b dx = b-a ) طول المقطع ([a، b] text <.> )

يعطي التكامل ( int_C ds ) طول ( s ) منحنى (C نص <.> )

في الوحدة المتكاملة المزدوجة ، تعلمنا كيفية حساب التكاملات المزدوجة ( iint_R fdA ) على طول المناطق المسطحة (R ) في المستوى. في هذه الوحدة سنتعلم الآن كيفية تغيير المنطقة المسطحة (R ) إلى سطح منحني (S text <،> ) ثم حساب تكاملات النموذج ( iint_S fd sigma ) على طول منحني الأسطح. يشير التفاضل (د سيغما ) إلى مساحة صغيرة من السطح. نحن نعلم بالفعل أن ( iint_R dA ) يعطي مساحة (R text <.> ) سنقوم بتعريف ( iint_S d sigma ) بحيث يعطي مساحة السطح (S ) نص <.> )

تمرين 12.1.1

ضع في اعتبارك السطح (S ) الذي قدمه (z = 9-x ^ 2-y ^ 2 ) (لقد رأينا هذا السطح عدة مرات). معلمة من هذا السطح

أضف إلى مخطط السطح القطع المكافئة التي قدمها ( vec r (x، 0) text <،> ) ( vec r (x، 1) text <،> ) و ( vec r ( x، 2) text <،> ) وكذلك القطع المكافئ المعطى بواسطة ( vec r (0، y) text <،> ) ( vec r (1، y) text <،> ) و ( vec r (2، y) text <.> )

يجب أن يكون لديك شكل مكافئ مقلوب ، مع رسم 6 قطع مكافئ مختلفة على الأقل على السطح. يجب أن تقسم هذه القطع المكافئة السطح إلى مجموعة من الرقع المختلفة.

يجب أن تنتهي المهمة السابقة بسطح في العديد من التصحيحات. هدفنا هو إيجاد مساحة كل رقعة ، حيث تكون كل رقعة تقريبًا مثل متوازي الأضلاع.

عند النقطة ((2،1) نص <،> ) ارسم كلا المتجهين.

تشكل هذه المتجهات حواف متوازي الأضلاع. أضف هذا متوازي الأضلاع إلى صورتك.

بيّن أن مساحة متوازي الأضلاع التي تكون حوافها هي المتجهات ( ds frac < جزئي vec r> < جزئي x> (x ، y) ) و ( ds frac < جزئي vec r > < جزئي y> ) هو ( sqrt <1 + 4x ^ 2 + 4y ^ 2> text <.> )

ما هو جزء من تعريف / معاني المنتج التبادلي.

أوجد مساحة متوازي الأضلاع التي تكون حوافها المتجهات ( ds frac < جزئي vec r> < جزئي x> dx ) و ( ds frac < جزئي vec r> < جزئي y > dy text <،> ) حيث لم يتم تحديد (dx ) و (dy ) بعد.

في المشكلة السابقة ، أوضحت أن مساحة متوازي الأضلاع ذات الحواف المعطاة بواسطة ( frac < جزئي vec r> < جزئي x> dx ) و ( frac < جزئي vec r> < الجزئي y> dy ) هو

هذه المساحة الصغيرة تقارب مساحة رقعة صغيرة على السطح. إذا أضفنا كل هذه المساحات ، يجب أن نحصل على مساحة السطح.

التعريف 12.1.1

دع (S ) يكون سطح. لنفترض ( vec r (u ، v) = (x ، y ، z) ) أن تكون معلمة للسطح ، حيث تشكل الحدود على (u ) و (v ) منطقة (R ) ) في الطائرة (uv ). ثم عنصر مساحة السطح (يمثل قليلا من السطح) هو

يبدأ د سيغما = يسار | فارك < جزئي vec r> < جزئي u> مرات فارك < جزئي vec r> < جزئي v> يمين | dudv = left | vec r_u times vec r_v right | dudv. نهاية

تكامل السطح للدالة المستمرة (f (x ، y ، z) ) على طول السطح (S ) هو

إذا سمحنا (f = 1 text <،> ) فإن مساحة سطح (S ) هي ببساطة

يخبرنا هذا التعريف بكيفية حساب أي تكامل سطحي. الخطوات متطابقة تقريبًا مع خطوات تكامل الخط.

ابدأ بالحصول على معلمات ( vec r ) للسطح (S ) حيث تشكل الحدود منطقة (R text <.> )

ابحث عن القليل من مساحة السطح عن طريق حساب (d sigma = left | frac < جزئي vec r> < جزئي u> مرات frac < جزئي vec r> < جزئي v> يمين | dudv. )

اضرب (f ) ب (d sigma text <،> ) واستبدل كل (x text <،> ) (y text <،> ) (z ) بما هم يساوي من البارامتر.

ادمج الوظيفة السابقة مع حدود (R text <،> ).

تمرين 12.1.2

ضع في اعتبارك السطح (S ) المعطى بواسطة (z = 9-x ^ 2-y ^ 2 text <،> ) لـ (z geq 0 text <.> ) معلمات هذا السطح هي

يبدأ vec r (x، y) = (x، y، 9-x ^ 2-y ^ 2)، text 9-x ^ 2-y ^ 2 geq 0. end

أعط مجموعة من المتباينات لـ (x ) و (y ) التي تصف المنطقة (R ) التي نحتاج إلى التكامل عليها. يجب أن تكون المتباينات بصيغة يمكنك استخدامها كحدود تكامل مزدوج.

ابحث عن (d sigma = left | vec r_x times vec r_y right | dxdy text <.> )

قم بإعداد تكامل السطح ( iint_S d sigma ) كتكامل مزدوج متكرر على (R text <.> )

حول التكامل أعلاه إلى تكامل في الإحداثيات القطبية (لا تنسَ اليعقوبي).

تمرين 12.1.3

ضع في اعتبارك السطح (S ) المعطى بواسطة (z = 9-x ^ 2-y ^ 2 text <،> ) لـ (z geq 0 text <.> ) معلمات مختلفة لهذا السطح هو

يبدأ vec r (r، theta) = (r cos theta، r sin theta، 9-r ^ 2) text 9-r ^ 2 geq 0. end

أعط مجموعة من عدم المساواة لـ (r ) و ( theta ) التي تصف المنطقة (R_) التي نحتاج إلى التكامل معها. يجب أن تكون المتباينات بصيغة يمكنك استخدامها كحدود تكامل مزدوج.

ابحث عن (d sigma = left | vec r_r times vec r_ theta right | drd theta text <.> )

قم بإعداد تكامل السطح ( iint_S d sigma ) كتكامل مزدوج متكرر على (R_ نص <.> )

تمرين 12.1.4

ابحث عن مساحة السطح (S ) المعطاة بواسطة (z = 9-x ^ 2-y ^ 2 text <،> ) لـ (z geq 0 text < .> ) قم بذلك عن طريق حساب أي من التكاملات من المشكلتين السابقتين.

تمرين 12.1.5

إذا تم تحديد السطح (S ) بواسطة ( vec r (x ، y) = (x ، y ، f (x ، y)) text <،> ) أظهر أن (d sigma = sqrt <1 + f_x ^ 2 + f_y ^ 2> dxdy ) (حساب حاصل الضرب التبادلي).

إذا كان ( vec r (x، z) = (x، f (x، z)، z) text <،> ) ما الذي يساوي (d sigma ) (حساب منتج متقاطع - يجب أن ترى نمط)؟

استخدم النمط الذي اكتشفته لحساب (d sigma ) بسرعة للسطح (x = 4-y ^ 2-z ^ 2 text <.> )

قم بإعداد تكامل مزدوج متكرر من شأنه أن يعطي مساحة السطح (S ) لـ (x geq 0 text <.> )

تمرين 12.1.6

ضع في اعتبارك الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 text <.> ) سنجد (d sigma ) باستخدام معلمتين مختلفتين.

إذا كنت تستخدم المعلمة المستطيلة ( vec r (x، y) = (x، y، sqrt) text <،> ) ما هو (d sigma text <؟> ) [تلميح ، استخدم المشكلة السابقة.]

لماذا لا يمكن استخدام هذه المعلمات إلا إذا كان السطح يحتوي على قيم موجبة (z )؟

إذا كنت تستخدم المعلمات الكروية

يبدأ vec r ( phi، theta) = (a sin phi cos theta، a sin phi sin theta، a cos phi) ، end

يبدأ د سيجما = (أ ^ 2 | خطيئة فاي |) د فاي د ثيتا = (أ ^ 2 خطيئة فاي) د فاي د ثيتا ، نهاية

حيث يمكننا تجاهل القيم المطلقة إذا طلبنا (0 leq phi leq pi text <.> ) على طول الطريق ، ستظهر ذلك

يبدأ vec r_ phi times vec r_ theta = a ^ 2 sin phi ( sin phi cos theta، sin phi sin theta، cos phi). نهاية

سترغب في حفظ هذه النتيجة.

يمكننا حساب متوسط ​​القيمة ، النقط الوسطى ، مركز الكتلة ، لحظات القصور الذاتي ، ونصف قطر الدوران كما كان من قبل. نحن فقط نستبدل (dA ) بـ (d sigma text <،> ) وجميع الصيغ هي نفسها.

تمرين 12.1.7

ضع في اعتبارك نصف الكرة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = a ^ 2 ) لـ (z geq 0 text <.> )

قم بإعداد صيغة تعطي ( bar z ) للنقطة الوسطى لنصف الكرة الأرضية. أقترح عليك استخدام معلمات كروية ، حيث أن الحدود بسيطة إلى حد ما ، ونحن نعلم (d sigma = (a ^ 2 sin phi) d phi d theta ) من المشكلة السابقة.

احسب التكاملات في المعادلة.

قم بإعداد صيغة متكاملة لـ (R_z text <،> ) نصف قطر الدوران حول المحور (z ) بشرط أن تكون الكثافة ثابتة.

القسم الفرعي 12.1.1 التدفق عبر سطح

أهداف

تعلم كيفية حساب التدفق عبر السطح (قانون غاوس)

نريد الآن أن ننظر إلى تدفق حقل متجه عبر سطح (S text <.> ) في قسم سطر متكامل ، حددنا التدفق الخارجي لحقل متجه (F ) عبر منحنى ( C ) ليكون سطرًا متكاملًا ( ds int_C vec F cdot vec n ds text <،> ) حيث ( vec n ) هو نقطة متجه عادية خارج المنطقة المحاطة بمنحنى (C text <.> ) عندما نريد العثور على تدفق حقل متجه عبر سطح ما ، يجب علينا تحديد الاتجاه الذي نريد حساب التدفق. يجب علينا بعد ذلك التأكد من أن المتجه العادي ( vec n ) نختار استخدام النقاط بالفعل في الاتجاه المطلوب. إن تدفق حقل متجه ( vec F ) عبر سطح (S ) هو تكامل السطح

يبدأ text = Phi = iint_S vec F cdot vec n d sigma. نهاية

ستساعدنا المشكلة التالية في تبسيط حساب ( vec nd sigma text <.> )

تمرين 12.1.8

بالنسبة لكلا الجزأين من هذا التمرين ، تم إجراء الحسابات المتضمنة بالفعل في المشكلات السابقة. تحتاج فقط إلى تجميع المعلومات هنا.

ضع في اعتبارك مرة أخرى السطح (z = 9-x ^ 2-y ^ 2 text <.> )

استخدام المعلمات ( vec r (x، y) = (x، y، 9-x ^ 2-y ^ 2) )

ابحث عن متجه عادي للوحدة ( vec n ) على السطح بحيث يشير ( vec n ) إلى أعلى بعيدًا عن (z ) - المحور. تأكد من شرح كيف تعرف أن المتجه الطبيعي الذي تقدمه يشير إلى أعلى بعيدًا عن المحور (ض ).

حدد ما يساوي (d sigma ) وكذلك ( vec n d sigma text <.> )

استخدام المعلمات ( vec r (r، theta) = (r cos theta، r sin theta، 9-r ^ 2) )

ابحث عن متجه عادي للوحدة ( vec n ) على السطح بحيث يشير ( vec n ) إلى أسفل باتجاه (z ) - المحور. تأكد من شرح كيف تعرف أن المتجه الطبيعي الذي تقدمه يشير إلى أسفل نحو المحور (ض ).

حدد ما يساوي (d sigma ) وكذلك ( vec n d sigma text <.> )

في المشكلة أعلاه ، أظهرنا أن ( vec nd sigma = pm ( vec r_x times vec r_y) dxdy ) وأن ( vec nd sigma = pm ( vec r_r times vec r_ theta) drd theta text <.> ) لم نعد بحاجة إلى إيجاد حجم الضرب التبادلي ، ولكن يجب علينا تحديد العلامة الصحيحة لوضعها على حاصل الضرب التبادلي. هذا يوضح لنا أنه يمكننا كتابة التدفق على شكل

يبدأ text = Phi = iint_S vec F cdot vec n d sigma = iint_<>> vec F cdot ( pm vec r_u times vec r_v) dudv. نهاية

تمرين 12.1.9

أكمل هذا التحدي أو التمرين التالي (نفس السؤال ، ولكن بمزيد من المساعدة / الإرشادات التفصيلية).

ضع في اعتبارك المخروط (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) والحقل المتجه ( vec F = (2x + 3y، x-2y، yz) text <.> ) قم بإعداد تكامل متكرر هذا من شأنه أن يعطي تدفق ( vec F ) للخارج (بعيدًا عن (ض ) - المحور) لجزء المخروط بين (ض = 1 ) و (ض = 3 نص <. > )

تمرين 12.1.10

ضع في اعتبارك المخروط (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) والحقل المتجه ( vec F = (2x + 3y، x-2y، yz) text <.> ) نريد الإعداد تكامل متكرر من شأنه أن يعطي تدفق ( vec F ) للخارج (بعيدًا عن (z ) - المحور) لجزء المخروط بين (z = 1 ) و (ض = 3 ) نص <.> )

ابدأ بتحديد معلمات المخروط باستخدام معلمات قطبية

بعد ذلك ، احصل على حدود (r ) و ( theta ) التي تعد ثوابت.

احسب المتجه الطبيعي وانظر إلى المكون الثالث لتحديد ما إذا كان يشير لأعلى أو لأسفل.

أخيرًا ، أدخل كل شيء في الصيغة.

عندما يكون السطح مسطحًا ، يمكنك غالبًا تحديد المتجه الطبيعي دون الحاجة إلى إجراء أي نواتج متقاطعة. سنحسب الآن تدفق حقل متجه للخارج عبر الوجوه الستة للمكعب.

تمرين 12.1.11

أوجد تدفق ( vec F = (x + y، y، z) ) للخارج عبر سطح المكعب في الربع الأول الذي يحده < (x = 2، y = 3، z = 5 ) >. يحتوي المكعب على 6 أسطح ، لذلك علينا حساب التدفق عبر جميع الأسطح الستة.

املأ الجدول أدناه لكتابة تكامل التدفق عبر كل سطح ، ثم احسب كل متكامل ومجموع لإيجاد التدفق الكلي. يجب أن تكون قادرًا على إكمال كل جزء لا يتجزأ من خلال النظر في النقط الوسطى ومساحة السطح لكل من الأسطح الستة المختلفة.

سطح - المظهر الخارجي ( vec r (u، v) ) ( vec n ) ( vec F ( vec r (u، v)) ) ( vec F cdot vec n ) تدفق
رجوع (س = 0 ) ( يسار lt 0 ، ص ، ض يمين & GT ) ( يسار lt -1،0،0 يمين & GT ) ( vec F (0، y، z) = left lt y، y، z right & gt ) (- ص ) ( iint_ < text Back> -y d sigma = - bar y sigma = - ( frac <3> <2>) (15) )
الجبهة (س = 2 ) ( يسار lt 2 ، ص ، ض يمين & GT ) ( vec F (2، y، z) = left lt 2 + y، y، z right & gt )
اليسار (ص = 0 ) (0 ) (لماذا؟)
صحيح (ص = 3 ) ( يسار lt x، 3، z يمين & gt ) ( يسار lt 0،1،0 يمين & GT ) ( vec F (x، 3، z) = left lt x + 3،3، z right & gt ) 3 30 (لماذا؟)
أسفل (ض = 0 )
أعلى (ض = 3 )
الجدول 12.1.2 جدول حساب التدفق من خلال صندوق.

أظهر أن إجمالي التدفق هو 90.

القسم الفرعي 12.1.2 الممارسة الحسابية

يتم توفير هذه لمساعدتك في تحقيق مهارات أفضل في الإجابات الحسابية الأساسية.


CLP-3 حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

افترض أنك تريد حساب كتلة اللوحة التي تملأ المنطقة ( cR ) في (xy ) - المستوى. افترض كذلك أن كثافة اللوح ، على سبيل المثال بالكيلوجرام لكل متر مربع ، تعتمد على الموضع. اتصل بالكثافة (f (x، y) text <.> ) للتبسيط سنفترض أن ( cR ) هي المنطقة الواقعة بين المنحنى السفلي (y = B (x) ) و المنحنى العلوي (y = T (x) ) مع (x ) يعمل من (a ) إلى (b text <.> ) أي ،

سنعبر عن هذه الكتلة بعد قليل بتكامل ثنائي الأبعاد. كإحماء ، تذكر الإجراء الذي استخدمناه لإعداد تكامل (بعد واحد) يمثل مساحة ( cR ) في المثال 1.5.1 من نص CLP-2.

قسم ( cR ) إلى (n ) شرائح عمودية ضيقة ، كل عرض ( De x = frac text <.> ) دلالة بواسطة (x_i = a + i ، De x ) the (x ) - تنسيق الحافة اليمنى لرقم الشريحة (i text <.> )

لكل (i = 1،2، dots، n text <،> ) رقم الشريحة (i ) به (x ) يعمل من (x_) إلى (x_i text <.> ) نحن نقرب مساحتها بمساحة المستطيل. نختار رقمًا (x_i ^ * ) بين (x_) و (x_i ) وتقريبًا للشريحة بواسطة مستطيل يكون قمته عند (y = T (x_i ^ *) ) وأسفله عند (y = B (x_i ^ *) text <. > ) المستطيل محدد باللون الأزرق في الشكل أدناه.

يمكننا الآن توسيع هذا الإجراء للحصول على كتلة ( cR ) بدلاً من مساحة ( cR text <.> ) علينا فقط استبدال تقريبنا ( كبير [T (x_i ^ *) ) -B (x_i ^ *) big] De x ) من مساحة الشريحة (i ) بالتقريب لكتلة الشريحة (i text <.> ) للقيام بذلك ، نحن

قسّم رقم الشريحة (i ) إلى (m ) مستطيلات صغيرة ، كل من العرض ( De x ) والارتفاع ( De y = frac <1> big [T (x_i ^ *) - B (x_i ^ *) big] text <.> ) يُرمز إليه ب (y_j = B (x_i ^ *) + j ، De y ) the ( ص ) - تنسيق الجزء العلوي من رقم المستطيل (ي نص <.> )

هذا هو أول تكامل مزدوج. هناك نوعان من الرموز القياسية المختلفة لهذا التكامل.

التعريف 3.1.1.

تسمى التكاملات الثلاثة الأخيرة هنا التكاملات المتكررة لأسباب واضحة.

لتقييم التكامل ( displaystyle int_a ^ b int_^ و كبير (س ، ص كبير) ، دي ، دي نص <،> )

  • قم أولاً بتقييم التكامل الداخلي ( int_^ و كبير (س ، ص كبير) ، دي) باستخدام الحدود الداخلية للتكامل ، ومعاملة (x ) باعتباره ثابتًا واستخدام تقنيات تكامل متغير واحد معياري ، مثل تلك الموجودة في نص CLP-2. نتيجة التكامل الداخلي هي دالة لـ (x ) فقط. أطلق عليه (F (x) text <.> )
  • ثم احسب التكامل الخارجي ( int_a ^ b F (x) ، dee text <،> ) التي تكاملها هي إجابة التكامل الداخلي. مرة أخرى ، يتم تقييم هذا التكامل باستخدام تقنيات التكامل المتغير الفردي القياسية.

لتقييم التكامل ( displaystyle int_a ^ b dee int_^ دي ، و كبير (س ، ص كبير) نص <،> )

  • قم أولاً بتقييم التكامل الداخلي ( int_^ دي، f big (x، y big) ) باستخدام حدود التكامل الموجودة بجوار ( dee نص <.> ) في الواقع ( دي) مكتوب بجانب ( int_^) لتوضيح أن حدود التكامل (B (x) ) و (T (x) ) مخصصة لـ (y ) - لا يتجزأ. ربما كتبت في الماضي هذا التكامل كـ ( int_^ و كبير (س ، ص كبير) دي text <.> ) نتيجة التكامل الداخلي هي مرة أخرى دالة (x ) فقط. أطلق عليه (F (x) text <.> )
  • ثم قم بتقييم التكامل الخارجي ( int_a ^ b dee، F (x) text <،> ) التي تكاملها هي الإجابة على التكامل الداخلي وحدود تكاملها بجانب ( dee نص <.> )

في هذه المرحلة ، قد تتساءل "هل يتعين علينا دائمًا استخدام الشرائح الرأسية؟" و "هل يتعين علينا دائمًا التكامل فيما يتعلق بـ (ص ) أولاً؟" الجواب "لا". يقودنا هذا إلى التفكير في "الشرائح الأفقية".

القسم الفرعي 3.1.2 الشرائح الأفقية

وجدنا ، عند حساب مناطق المناطق في المستوى (س ص ) ، أنه غالبًا ما يكون من المفيد استخدام الشرائح الأفقية ، بدلاً من الشرائح الرأسية. انظر ، على سبيل المثال ، المثال 1.5.4 في نص CLP-2. وينطبق الشيء نفسه عند إنشاء تكاملات متعددة الأبعاد. لذلك نكرر الآن إجراء الإعداد للقسم الأخير ، ولكن نبدأ بالشرائح الأفقية ، بدلاً من الشرائح الرأسية. سيكون هذا الإجراء مفيدًا عند التعامل مع مناطق النموذج

هنا (L (y) ) (" (L )" تعني "يسار") هي أصغر قيمة مسموح بها لـ (x text <،> ) عندما يكون الإحداثي (y ) هو (y text <،> ) و (R (y) ) (" (R )" تعني "right") هي أكبر قيمة مسموح بها لـ (x text <،> ) عندما (y ) - الإحداثي هو (y text <.> ) لنفترض أننا نرغب في تقييم كتلة اللوحة التي تملأ المنطقة ( cR text <،> ) وأن كثافة اللوحة هي (f (x، y) text <.> ) نتبع بشكل أساسي نفس الإجراء الذي استخدمناه مع الشرائح العمودية ، ولكن مع تبديل أدوار (x ) و (y ).

  • اختر رقمًا طبيعيًا (n ) (سنرسله لاحقًا إلى ما لا نهاية). ثم
  • قسّم الفاصل الزمني (c le y le d ) إلى (n ) فترات فرعية ضيقة ، كل عرض ( De y = frac text <.> ) تقطع كل فترة فرعية شريحة أفقية رفيعة من المنطقة (انظر الشكل أدناه).
  • نحن نقرب رقم الشريحة (i ) بواسطة مستطيل أفقي رفيع (يشار إليه بالمستطيل الرمادي الداكن الطويل في الشكل أدناه). في هذه الشريحة ، يعمل الإحداثي (y ) - على نطاق ضيق للغاية. نختار رقمًا (y_i ^ * text <،> ) في مكان ما في هذا النطاق. نحن نقرب الشريحة (i ) بواسطة مستطيل يكون جانبه الأيسر عند (x = L (y_i ^ *) ) ويكون جانبه الأيمن عند (x = R (y_i ^ *) text <.> )
  • إذا كنا نحسب مساحة ( cR text <،> ) فسنقوم الآن بتقريب مساحة الشريحة (i ) بواسطة ( big [R (x_i ^ *) - L (x_i ^ *) big] De y text <،> ) وهي مساحة المستطيل بالعرض ( big [R (x_i ^ *) - L (x_i ^ *) big] ) والارتفاع ( دي ص نص <.> )

للحصول على الكتلة ، تمامًا كما فعلنا أعلاه مع الشرائح الرأسية ، نحن

  • اختر عددًا طبيعيًا آخر (م ) (سنرسله لاحقًا إلى ما لا نهاية) ، ثم
  • قسّم رقم الشريحة (i ) إلى (m ) مستطيلات صغيرة ، كل من الارتفاع ( De y ) والعرض ( De x = frac <1> كبير [R (y_i ^ *) - L (y_i ^ *) كبير] نص <.> )

لكل (j = 1،2، dots، m text <،> ) رقم المستطيل (j ) يحتوي (x ) على نطاق ضيق جدًا. نختار رقمًا (x_j ^ * ) في مكان ما في هذا النطاق. انظر إلى المستطيل الأسود الصغير في الشكل أدناه.


14.1E: التكاملات المتكررة والمساحة (تمارين)

المدرب: البروفيسور نيكولا بيتروف ، 802 PHSC ، (405) 325-4316 ، npetrov AT math.ou.edu. مدرس قسم المناقشة: Devin W. Mitchell، 1028 PHSC، dmitchell AT math.ou.edu ->

ساعات العمل: الاثنين 2: 30-3: 30 مساءً ، الثلاثاء 9: 30-10: 30 صباحًا ، أو عن طريق التعيين ، في 802 PHSC.

مركز الرياضيات OU (PHSC 209) - افتح MT 9: 30-7 ، WRF 9: 30-5: 30 ، الأحد 3-7

وصف كتالوج الدورة: المتطلب السابق: 2924 بدرجة C أو أفضل. تكرار ساعة واحدة من 2433 وثلاث ساعات من 2443. المتجهات ووظائف المتجهات ، وظائف المتغيرات المتعددة ، التفاضل الجزئي والتدرجات ، التكامل المتعدد ، تكاملات الخط والسطح ، نظريات Green-Stokes-Gauss. (F ، Sp ، Su)

نص: ستيوارت ، حساب التفاضل والتكامل (الطبعة السابعة) ، Brooks / Cole ، 2012 ، ISBN: 978-0-8400-5818-8

مستودع MyMedia للأمثلة العاملة: رابط إلى MyMedia ، وإرشادات حول كيفية استخدامه ، وقائمة بالأمثلة حسب القسم.

تحقق من مدونة الرياضيات OU! إنه مثير للاهتمام حقًا!

  • المتجهات وهندسة الفضاء: استعراض موجز للناقلات والجبر المتجه ، معادلات الخطوط والمستويات ، الأسطوانات والأسطح الرباعية.
  • دالات المتجهات: دوال المتجهات ومنحنيات الفضاء ، ومشتقات وتكامل دوال المتجهات ، وطول القوس لمنحنيات الفضاء (الانحناء إذا سمح الوقت بذلك) ، والحركة في الفضاء (السرعة والتسارع).
  • المشتقات الجزئية: دوال ذات متغيرات متعددة وحدود واستمرارية دوال متعددة المتغيرات ، مشتقات جزئية ، مستويات الظل والتقريب الخطي ، قاعدة السلسلة للمشتقات الجزئية ، المشتقات الاتجاهية والتدرجات ، القيم القصوى والدنيا للوظائف ذات المتغيرات المتعددة ، مضاعفات لاغرانج.
  • تكاملات متعددة: التكاملات المزدوجة على المستطيلات ، التكاملات المتكررة ، التكاملات المزدوجة على المناطق العامة ، التكاملات المزدوجة في الإحداثيات القطبية ، مساحة السطح ، التكاملات الثلاثية ، التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية ، التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الكروية.
  • ناقلات حساب التفاضل والتكامل: الحقول المتجهة ، تكاملات الخط ، النظرية الأساسية لتكاملات الخط ، نظرية جرين ، الضفيرة والتباعد ، الأسطح البارامترية وتكاملات سطح مساحتها ، نظرية ستوكس ، نظرية التباعد.
  • الواجب المنزلي 1 (المشاكل المعطاة في 19 ، 20 ، 21 يناير) ، مستحق 25 يناير (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 2 (المشاكل المعطاة في 26 ، 27 ، 28 يناير) ، مستحق 2 فبراير (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 3 (المشاكل المعطاة في 2 ، 3 ، 4 فبراير) ، مستحق 9 فبراير (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 4 (المشاكل المعطاة في 9 ، 10 ، 11 فبراير) ، مستحق 16 فبراير (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 5 (المشاكل المعطاة ليوم 16 ، 18 فبراير) ، مستحق 25 فبراير (الخميس).
  • الواجب المنزلي 6 (المشاكل المعطاة في 23 ، 24 ، 25 فبراير) ، مستحق 1 مارس (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 7 (المشاكل المعطاة في 1 ، 2 ، 3 مارس) ، مستحق 8 مارس (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 8 (المشاكل المعطاة في 8 ، 9 ، 10 مارس) ، مستحق في 22 مارس (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 9 (المشاكل المعطاة في 22 ، 24 ، 29 ، 31 مارس) ، مستحق 5 أبريل (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 10 (المشاكل المعطاة في 5 ، 6 ، 7 أبريل) ، مستحق 12 أبريل (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 11 (المشاكل المعطاة في 12 ، 13 ، 14 أبريل) ، مستحق في 19 أبريل (الثلاثاء)
  • الواجب المنزلي 12 (المشاكل المعطاة في 19 ، 20 ، 21 أبريل) ، مستحق في 26 أبريل (الثلاثاء)

    المحاضرة 1 (الثلاثاء 19 يناير):أنظمة إحداثيات ثلاثية الأبعاد: ماذا يعني "البعد"؟ ينسق الفضاء صن الديكارتية (صفة من اسم عائلة Ren & eacute ديكارت) تنسق في ثلاثة أبعاد ، والقاعدة اليمنى نصفان من ص، أربعة أرباع من ص 2 ، ثمانية اوكتانت من ص 3 إسقاط نقطة على مستوى إحداثي وعلى محور إحداثيات منتج ديكارتي للمجموعات ، ص 3 مثل ص& مراتص& مراتص معادلات الكائنات في ص 3 صيغة المسافة في ص 3 (والاشتقاق على أساس نظرية فيثاغورس) معادلة الخط المستقيم في ص 2 ، معادلة الدائرة في ص 2 ، معادلة الكرة في ص 3 [ثانية. 12.1]
    ثلاثة أبعاد: متجه الإزاحة ، النقاط الأولية والنهائية ماذا يفعل ش=الخامس يعني؟ إضافة المتجهات ("قاعدة المثلث" و "قاعدة متوازي الأضلاع") ، "العددية" = "العدد" ، ضرب المتجه بواسطة العدد القياسي ، فرق المتجهات (المحددة من خلال العمليتين الأخريين) ، مكونات المتجه ، الموضع إضافة متجه وضرب متجه بواسطة عددي في المكونات [الصفحات 815-819 من الثانية. 12.2]
    الواجب المنزلي: تمارين 12.1 / 7, 9, 12, 16, 22, 28, 30, 38 12.2 / 4, 8, 16.
    FFT: تمارين 12.1 / 5, 13, 21, 27, 33, 37, 41 12.2 / 3, 7, 13.
    ملاحظة: ال FFT ("Fالطود Fأو تييجب حل التمارين ") مثل مشاكل الواجبات المنزلية العادية ، ولكن لا يلزم تسليمها.


تمارين: الفصل 3 ، القسم 4

  1. يترك تكون مجموعة من المحتوى 0. اسمحوا كن مجموعة الكل مثل ذلك ليس من المحتوى 0. أظهر ذلك هي مجموعة من القياسات 0.

هذا يتبع من المشكلة 3-8 والنظرية 3-6 ، لكن هذا ليس استقراء.

واحد لديه وكذلك من قبل Fubini ،

حيث يجب تحديد الحدود العليا.

بواسطة Fubini ، التكامل المتكرر باليد اليسرى عادل أين

بعد التلميح ، إذا ليس صفرًا في نقطة ما ، ثم قد نفترض (عن طريق استبدال مع إذا لزم الأمر أنه إيجابي في . لكن الاستمرارية تعني أنها موجبة على المستطيل تحتوي . ولكن بعد ذلك تكاملها هو أيضا إيجابي.

من ناحية أخرى ، باستخدام Fubini يعطي:

لتجنب التداخل ، من الملائم إبقاء المجموعة في الوضع الإيجابي نصف طائرة. للقيام بذلك ، دعونا أن تكون مجموعة الأردن الأصلية القابلة للقياس في - الطائرة ، واستبدالها بـ . يمكن استخدام النظرية 3-9 لإثبات ذلك هل الأردن قابل للقياس إذا هو.

لكن ذلك غير موجود.

المشكلة بها خطأ مطبعي لا ينبغي أن يكون المؤلف قد قام بتبديل ترتيب الحجج لأن هذا يقلل من أهمية التأكيد.

ما هو ، ل في المناطق الداخلية من ?

يترك تكون في الداخل ، يصلح . نحن لدينا

باستخدام التلميح ، لدينا . واحد لديه

    تجد و .

نحن لدينا وهكذا بقاعدة السلسلة يمتلك المرء

اظهر ذلك .

    يترك يكون تحويلًا خطيًا لأحد الأنواع التالية:

إذا هو مستطيل ، تبين أن حجم هو .

في الحالات الثلاث ، هو و 1 و 1 على التوالي. إذا كان المستطيل الأصلي ، ومن بعد هو

إذا هو غير مفرد ، فهو عبارة عن تكوين للتحولات الخطية للأنواع الموجودة في الجزء (أ) من المشكلة. حيث هو مضاعف ، تتبع النتيجة في هذه الحالة.


دليل الحلول لحساب التفاضل والتكامل 11E لارسون

P. التحضير للحساب.
الرسوم البيانية والنماذج. النماذج الخطية ومعدلات التغيير. الوظائف والرسوم البيانية الخاصة بهم. مراجعة الدوال المثلثية. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

1. حدود وخصائصها.
معاينة حساب التفاضل والتكامل. إيجاد الحدود بيانيا وعدديا. تقويم الحدود تحليلياً. الاستمرارية وحدود الجانب الواحد. حدود لانهائية. مشروع القسم: الرسوم البيانية وحدود الدوال المثلثية. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

2. التمايز.
المشتق ومشكلة الخط المماس. قواعد التمايز الأساسية ومعدلات التغيير. قواعد المنتج والحاصل والمشتقات ذات الترتيب الأعلى. قاعدة السلسلة. الاشتقاق الضمني. مشروع القسم: أوهام بصرية. معدلات مرتبطة. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

3. تطبيقات التمايز.
Extrema في فترة. نظرية رول ونظرية القيمة المتوسطة. وظائف الزيادة والنقصان واختبار المشتق الأول. مشروع القسم: حتى متعدد الحدود من الدرجة الرابعة. التقعر والاختبار الاشتقاقي الثاني. حدود في إنفينيتي. ملخص رسم المنحنى. مشاكل التحسين. مشروع القسم: الحد الأدنى من الوقت. طريقة نيوتن. التفاضل. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

4. التكامل.
المشتقات العكسية والتكامل غير المحدد. منطقة. مجموع ريمان والتكاملات المحددة. النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. مشروع القسم: شرح النظرية الأساسية. التكامل بالتعويض. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

5. وظائف LOGARITHMIC ، و EXPONENTIAL ، وغيرها من الوظائف المتجاوزة.
الوظيفة اللوغاريتمية الطبيعية: التمايز. الوظيفة اللوغاريتمية الطبيعية: التكامل. وظائف معكوسة. الوظائف الأسية: التفاضل والتكامل. قواعد أخرى غير الإلكترونية والتطبيقات. مشروع القسم: استخدام أدوات الرسم البياني لتقدير المنحدر. أشكال غير محددة وقاعدة L’Hopital. الدوال المثلثية المعكوسة: التفاضل. الدوال المثلثية المعكوسة: التكامل. وظائف الزائدية. مشروع القسم: خريطة مركاتور. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

6. المعادلات التفاضلية.
المنحدرات وطريقة أويلر. النمو والانحلال. فصل المتغيرات والمعادلة اللوجيستية. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى. قسم المشروع: إنقاص الوزن. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

7. تطبيقات التكامل.
مساحة المنطقة الواقعة بين منحنيين. وحدة التخزين: طريقة القرص. المجلد: طريقة شل. مشروع القسم: زحل. طول القوس وسطوح الدوران. عمل. مشروع القسم: هرم خوفو. اللحظات ومراكز الكتلة والنقاط الوسطى. ضغط السوائل وقوة السوائل. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

8. تقنيات التكامل والتكامل غير المناسب.
قواعد التكامل الأساسية. تكامل اجزاء. التكاملات المثلثية. مشروع القسم: منتج واليس. التعويض المثلثي. الكسور الجزئية. تكامل رقمي. التكامل بالجداول وتقنيات التكامل الأخرى. التكاملات غير الصحيحة. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

9. سلسلة لانهائية.
المتتاليات. السلسلة والتقارب. مشروع القسم: جدول اختفاء كانتور. الاختبار المتكامل وسلسلة p. مشروع القسم: سلسلة الهارمونيك. مقارنات بين السلاسل. سلسلة بالتناوب. اختبارات النسبة والجذر. تايلور متعدد الحدود والتقريب. سلسلة الطاقة. تمثيل الوظائف حسب سلسلة القوة. سلسلة تايلور وماكلورين. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

10. المخاريط ، المعادلات البارامترية ، والمنسقات القطبية.
المخروطيات وحساب التفاضل والتكامل. منحنيات المستوى والمعادلات البارامترية. مشروع القسم: سيكلويدس. المعادلات البارامترية وحساب التفاضل والتكامل. الإحداثيات القطبية والرسوم البيانية القطبية. مشروع القسم: كاسيني أوفال. المساحة وطول القوس في الإحداثيات القطبية. المعادلات القطبية للمخروطيات وقوانين كبلر. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

11. المتجهات وهندسة الفضاء.
النواقل في الطائرة. إحداثيات ونواقل الفضاء في الفضاء. حاصل الضرب القياسي لمتجهين. الناتج المتقاطع لمتجهين في الفضاء. خطوط وطائرات في الفضاء. مشروع القسم: المسافات في الفضاء. الأسطح في الفضاء. إحداثيات أسطوانية وكروية. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

12. الوظائف ذات القيمة المتجهية.
الدالات ذات القيمة المتجهية. مشروع القسم: Witch of Agnesi. التمايز والتكامل بين الدوال ذات القيم المتجهية. السرعة والتسارع. ناقلات الظل والمتجهات العادية. طول القوس والانحناء. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

13. وظائف المتغيرات المتعددة.
مقدمة في وظائف عدة متغيرات. الحدود والاستمرارية. المشتقات الجزئية. التفاضل. قواعد السلسلة لوظائف عدة متغيرات. المشتقات الاتجاهية والتدرجات. مستويات الظل والخطوط العادية. مشروع القسم: زهور برية. Extrema لدوال متغيرين. تطبيقات إكستريما لوظائف متغيرين. مشروع القسم: بناء خط أنابيب. مضاعفات لاغرانج. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

14. تكامل متعدد.
التكاملات المتكررة والمساحة في المستوى. التكاملات المزدوجة والحجم. تغيير المتغيرات: الإحداثيات القطبية. مركز الكتلة ولحظات القصور الذاتي. مشروع القسم: مركز الضغط على الشراع. مساحة السطح. مشروع القسم: المساحة السطحية في الإحداثيات القطبية. التكاملات الثلاثية والتطبيقات. التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية. مشروع القسم: المجالات المجعدة والوعرة. تغيير المتغيرات: اليعاقبة. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.

15. تحليل المتجهات.
الحقول المتجهة. تكاملات الخط. حقول المتجهات المحافظة واستقلال المسار. نظرية جرين. مشروع القسم: الدوال الزائدية والمثلثية. الأسطح البارامترية. تكاملات السطح. مشروع القسم: زائدي من ورقة واحدة. نظرية الاختلاف. نظرية ستوكس. تمارين المراجعة. مشروع القسم: جهاز قياس المسافات. ملاحظة. حل المشاكل.

16. معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية * عبر الإنترنت.
معادلات الدرجة الأولى بالضبط. معادلات خطية متجانسة من الدرجة الثانية. معادلات خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية. مشروع القسم: القفز بالمظلة. سلسلة حلول المعادلات التفاضلية. تمارين المراجعة. ملاحظة. حل المشاكل.
الملحق.

أ. براهين لنظريات مختارة.
جداول التكامل.
جيم مراجعة حساب التفاضل والتكامل (الويب).
ج 1. الأعداد الحقيقية وخط الأعداد الحقيقية.
ج 2. الطائرة الديكارتية.
D. التناوب والمعادلة العامة من الدرجة الثانية (ويب).
E. الأرقام المركبة (الويب).
F. الأعمال والتطبيقات الاقتصادية (الويب).
G. تركيب النماذج على البيانات (الويب).


14.1E: التكاملات المتكررة والمساحة (تمارين)

في هذا القسم نبحث في التكاملات المزدوجة ونوضح كيف يمكننا استخدامها لإيجاد حجم مجسم على منطقة مستطيلة في xy

-طائرة. تتشابه العديد من خصائص التكاملات المزدوجة مع تلك التي ناقشناها بالفعل للتكاملات الفردية.

المجلدات والتكاملات المزدوجة

نبدأ بالنظر في المساحة الموجودة فوق منطقة مستطيلة ر. اعتبر دالة متصلة f (x، y) ≥0

من متغيرين محددين في المستطيل المغلق ر:

يشير إلى المنتج الديكارتي للفترتين المغلقتين [أ ، ب]

يتكون من أزواج مستطيلة (س ، ص)

يمثل سطحًا فوق xy

هو ارتفاع السطح عند النقطة (س ، ص).

كن صلبًا يقع فوق R

([حلقة الوصل]). قاعدة المادة الصلبة هي المستطيل R.

-طائرة. نريد إيجاد الحجم الخامس

في مستطيلات صغيرة ريج ،

([حلقة الوصل]). نفعل ذلك بقسمة الفترة [أ ، ب]

فترات فرعية وتقسيم الفاصل الزمني [c، d]

حجم صندوق مستطيل رفيع فوق منطقة ريج

هي نقطة عينة عشوائية في كل ريج

كما هو موضح في الشكل التالي.

باستخدام نفس الفكرة لجميع المستطيلات الفرعية ، نحصل على الحجم التقريبي لـ S الصلب

يُعرف هذا المبلغ باسم أ مبلغ ريمان مضاعف <: data-type = "term"> ويمكن استخدامها لتقريب قيمة حجم المادة الصلبة. هنا يعني المجموع المزدوج أنه لكل مستطيل فرعي نقوم بتقييم الوظيفة عند النقطة المختارة ، وضربها في مساحة كل مستطيل ، ثم نضيف كل النتائج.

كما رأينا في حالة المتغير الفردي ، نحصل على تقريب أفضل للحجم الفعلي إذا م و ن تصبح أكبر.

لاحظ أن المجموع يقترب من حد في كلتا الحالتين والحد هو حجم الجسم الصلب مع القاعدة ر. نحن الآن جاهزون لتحديد التكامل المزدوج.

فوق المنطقة المستطيلة R

ثم الحجم الخامس من صلب سالتي تقع فوق R

- الطائرة وتحت الرسم البياني F، هو التكامل المزدوج للدالة f (x ، y)

إذا كانت الوظيفة سالبة على الإطلاق ، فيمكن اعتبار التكامل المزدوج وحدة تخزين "موقَّعة" بطريقة مشابهة للطريقة التي حددنا بها صافي المساحة الموقعة في The Definite Integral <: .target-Chapter>.

فوق المنطقة المستطيلة R = [0،2] × [0،2]

ضع تكاملًا مزدوجًا لإيجاد قيمة الحجم المشار إليه من المادة الصلبة س التي تقع فوق R

يقسم ر إلى أربعة مربعات حيث m = n = 2 ،

واختر نقطة العينة كنقطة الزاوية اليمنى العليا لكل مربع (1،1) ، (2،1) ، (1،2) ،

([رابط]) لتقريب الحجم الموقع للمادة الصلبة س التي تقع فوق R

يقسم ر إلى أربعة مربعات حيث m = n = 2 ،

واختر نقطة العينة كنقطة وسط لكل مربع: (1 / 2،1 / 2) ، (3 / 2،1 / 2) ، (1 / 2،3 / 2) ، و (3 / 2،3 / 2)

لتقريب الحجم الموقع.

تقريب الحجم الموقّع باستخدام مجموع Riemann مع m = n = 2

أيضًا ، نقاط العينة هي (1 ، 1) ، (2 ، 1) ، (1 ، 2) ، (2 ، 2) كما هو موضح في الشكل التالي.

تقريب الحجم الموقّع باستخدام مجموع Riemann مع m = n = 2 ،

في هذه الحالة تكون نقاط العينة (1/2 ، 1/2) ، (3/2 ، 1/2) ، (1/2 ، 3/2) ،

فوق المنطقة المستطيلة R = [0،2] × [0،2].

يقسم ر في نفس المربعات الأربعة مع m = n = 2 ،

واختر نقاط العينة كنقطة الزاوية اليسرى العلوية لكل مربع (0،1) ، (1،1) ، (0،2) ،

([رابط]) لتقريب الحجم الموقع للمادة الصلبة س التي تقع فوق R

لاحظ أننا قمنا بتطوير مفهوم التكامل المزدوج باستخدام منطقة مستطيلة ر. يمكن أن يمتد هذا المفهوم إلى أي منطقة عامة. ومع ذلك ، عندما لا تكون المنطقة مستطيلة ، فقد لا تتناسب جميع المستطيلات الفرعية تمامًا معها ر، خاصة إذا كانت منطقة القاعدة منحنية. ندرس هذا الموقف بمزيد من التفصيل في القسم التالي ، حيث ندرس المناطق التي لا تكون دائمًا مستطيلة وقد لا تتناسب المستطيلات الفرعية تمامًا مع المنطقة ر. أيضًا ، قد لا تكون الارتفاعات دقيقة إذا كان السطح z = f (x ، y)

منحني. ومع ذلك ، فإن الأخطاء الموجودة على الجوانب والارتفاع حيث قد لا تتناسب القطع تمامًا مع المادة الصلبة س نهج 0 كما م و ن نهج اللانهاية. أيضًا ، التكامل المزدوج للدالة z = f (x ، y)

موجود بشرط أن تكون الوظيفة f

ليس متقطعًا جدًا. إذا كانت الوظيفة محدودة ومستمرة ر باستثناء عدد محدود من المنحنيات المتجانسة ، فإن التكامل المزدوج موجود ونقول ذلك f

هذا يعني أنه عندما نستخدم إحداثيات مستطيلة ، فإن التكامل المزدوج فوق منطقة R

يمكن كتابتها كـ ∬Rf (x، y) dxdy

لنقم الآن بسرد بعض الخصائص التي يمكن أن تكون مفيدة في حساب التكاملات المزدوجة.

خواص التكاملات المزدوجة

تعتبر خصائص التكاملات المزدوجة مفيدة جدًا عند حسابها أو التعامل معها بأي طريقة أخرى. نذكر هنا ست خواص للتكاملات المزدوجة. يشار إلى الخواص 1 و 2 بخطية التكامل ، والخاصية 3 هي إضافة التكامل ، والخاصية 4 هي رتابة التكامل ، ويتم استخدام الخاصية 5 لإيجاد حدود التكامل. يتم استخدام الخاصية 6 إذا كانت f (x، y)

هو نتاج وظيفتين g (x)

قابلة للتكامل فوق المنطقة المستطيلة ر س و تي هي مناطق فرعية من ر وافترض ذلك م و م هي أرقام حقيقية.


CLP-2 حساب التفاضل والتكامل

وبذلك نصل إلى طريقة تسمى "التكامل بالأجزاء".

للقيام بذلك ، نبدأ بقاعدة المنتج وندمج. تذكر أن قاعدة المنتج تقول

الآن هذا ، في حد ذاته ، ليس مفيدًا بشكل رهيب. من أجل تطبيقه ، نحتاج إلى وظيفة يكون تكاملها عبارة عن مجموع من المنتجات في هذا الشكل بالضبط (u '(x) v (x) + u (x) v' (x) text <.> ) هذا متخصص للغاية.

ومع ذلك ، إذا قمنا بمضايقة هذا الأمر قليلاً:

اجعل أحد التكاملات في الطرف الأيسر

تبديل الجانبين الأيمن والأيسر

يبدأ int u (x) ، v '(x) dee & amp = u (x) v (x) - int u '(x) ، v (x) dee نهاية

في هذه الصورة نأخذ تكامل منتج واحد ونعبر عنه بدلالة تكامل منتج مختلف. إذا عبرنا عن ذلك على هذا النحو ، فلا يبدو أنه مفيد للغاية. ومع ذلك ، إذا كان التكامل الثاني أسهل ، فإن هذه العملية تساعدنا.

دعونا نقوم بمثال بسيط قبل شرح ذلك بشكل أكثر عمومية.

مثال 1.7.1 ( int xe ^ x dee)

احسب التكامل ( ds int xe ^ x dee نص <.> )

    نبدأ بأخذ المعادلة أعلاه

لذلك تم تحويل التكامل الأصلي الأكثر صعوبة إلى مسألة الحوسبة سهلة.

تسمى العملية التي استخدمناها في المثال أعلاه "التكامل بالأجزاء". عندما تكون أداة الدمج لدينا منتجًا نحاول كتابته كـ (u (x) v '(x) ) - نحتاج إلى اختيار عامل واحد ليكون (u (x) ) والآخر ليكون (v '(x) text <.> ) ثم نحسب (u' (x) ) و (v (x) ) ثم نطبق النظرية التالية:

نظرية 1.7.2 التكامل بالأجزاء

دع (u (x) ) و (v (x) ) قابلين للتفاضل باستمرار. ثم

إذا كتبنا (dv ) من أجل (v '(x) dee) و ( دي) لـ (u '(x) dee) (كما تقترح قاعدة الاستبدال) ، تصبح الصيغة

يُعرف تطبيق هذه الصيغة بالتكامل بالأجزاء.

البيان المقابل للتكاملات المحددة هو

ليس من السهل تطبيق التكامل بالأجزاء مثل قاعدة المنتج للمشتقات. هذا لأنه يعتمد علينا

  1. اختيار حكيم (u (x) ) و (v '(x) text <،> ) ثم
  2. الحوسبة (u '(x) ) و (v (x) ) - الأمر الذي يتطلب منا عدم التمايز (v' (x) text <،> ) وأخيراً
  3. أن التكامل ( int u '(x) v (x) dee) أسهل من التكامل الذي بدأنا به.

لاحظ أن أي مشتق عكسي لـ (v '(x) ) سيفي بالغرض. جميع المشتقات العكسية لـ (v '(x) ) من الشكل (v (x) + A ) مع (A ) ثابت. يعطي وضع هذا في صيغة التكامل بالأجزاء

لذلك فإن هذا الثابت (A ) سيلغي دائمًا.

في معظم التطبيقات (ولكن ليس كلها) ، سيكون التكامل لدينا نتاجًا لعاملين ، لذلك لدينا خياران لـ (u (x) ) و (v '(x) text <.> ) عادةً أحدهما ستكون الاختيارات "جيدة" (من حيث أنها تؤدي إلى تكامل أبسط) بينما سيكون الآخر "سيئًا" (لا يمكننا التمييز بين اختيارنا لـ (v '(x) ) أو أن التكامل الناتج يكون أصعب). دعونا نوضح ما نعنيه بالعودة إلى مثالنا السابق.

المثال 1.7.3 ( int xe ^ x dee) - تكرارا

التكامل الخاص بنا هو نتاج عاملين

يمنحنا هذا خيارين واضحين لـ (u ) و (v ' text <:> )

يجب أن نستكشف كلا الخيارين:

    إذا أخذنا (u (x) = x ) و (v '(x) = e ^ x text <.> ) ثم نحسب بسرعة

مع اختيارنا ، ندمج الأجزاء للحصول عليها

المنطق أعلاه هو سير عمل نموذجي للغاية عند استخدام التكامل حسب الأجزاء.

غالبًا ما يستخدم التكامل بالأجزاء

  • لإزالة عوامل (x ) من التكامل ومثل (xe ^ x ) باستخدام ذلك ( diff <>س = 1 ) و
  • لإزالة ( log x ) من التكامل باستخدام ذلك ( diff <> السجل س = فارك <1>) و
  • لإزالة دوال المثلثات العكسية ، مثل ( arctan x text <،> ) من التكامل باستخدام ذلك ، على سبيل المثال ، ( diff <> arctan x = frac <1> <1 + x ^ 2> text <.> )
المثال 1.7.4 ( int x sin x dee)

مرة أخرى لدينا حاصل ضرب عاملين يعطينا خيارين محتملين.

    إذا اخترنا (u (x) = x ) و (v '(x) = sin x text <،> ) فسنحصل على

بمجرد أن نتدرب على هذا قليلاً ، لا نحتاج حقًا إلى الكتابة بنفس القدر. دعونا نحلها مرة أخرى ، ولكن مع إظهار ما نحتاج إليه فقط.

  • نستخدم التكامل بالأجزاء لحل التكامل.
  • اضبط (u (x) = x ) و (v '(x) = sin x text <.> ) ثم (u' (x) = 1 ) و (v (x) = - cos x text <،> ) و

إنها ممارسة قياسية جدًا لتقليل التدوين بدرجة أكبر في هذه المشكلات. كما هو مذكور أعلاه ، يكتب العديد من الأشخاص صيغة التكامل بالأجزاء على أنها

حيث ( dee، دي) اختصار لـ (u '(x) dee، v '(x) dee text <.> ) دعونا نكتب المثال السابق باستخدام هذا الترميز.

المثال 1.7.5 ( int x sin x dee) مرة أخرى

حل: باستخدام التكامل بالأجزاء ، قمنا بتعيين (u = x ) و ( dee= الخطيئة س دي text <.> ) هذا يجعل ( dee= 1 دي) و (v = - cos x text <.> ) وبالتالي

يمكنك أن ترى أن هذه طريقة رائعة جدًا لكتابة هذه المشكلات وسنواصل استخدام هذا الاختصار في الأمثلة التالية أدناه.

يمكننا أيضًا استخدام التكامل حسب الأجزاء للتخلص من القوى الأعلى لـ (x text <.> ) نحتاج فقط إلى تطبيق الطريقة أكثر من مرة.

مثال 1.7.6 ( int x ^ 2 e ^ x dee)

    دع (u = x ^ 2 ) و ( dee= ه ^ س دي text <.> ) وهذا يعطي ( dee= 2x دي) و (v = e ^ x text <،> ) و

سيعمل تطبيق مماثل متكرر للتكامل حسب الأجزاء مع التكاملات

حيث (P (x) ) هي كثيرة الحدود و (A، B، C، a، b، c ) هي ثوابت.

الآن دعونا نلقي نظرة على التكاملات التي تحتوي على اللوغاريتمات. لا نعرف المشتق العكسي لـ ( log x text <،> ) لكن يمكننا حذف ( log x ) من التكامل باستخدام التكامل بالأجزاء مع (u = log x text < .> ) تذكر ( log x = log_e x = ln x text <.> )

المثال 1.7.7 ( int x log x dee)

لدينا خياران لـ (u ) و ( dee نص <.> )

  1. اضبط (u = x ) و ( dee= تسجيل x دي text <.> ) وهذا يعطي ( dee= دي) ولكن من الصعب حساب (v ) - لم نقم بذلك بعد 1 سنفعل قريبًا. . قبل المضي قدمًا في هذا المسار ، يجب أن ننظر لنرى ما سيحدث مع الخيار الآخر.
  2. اضبط (u = log x ) و ( dee= س دي text <.> ) وهذا يعطي ( dee= فارك <1> دي) و (v = frac <1> <2> x ^ 2 text <،> ) وعلينا التكامل

المثال 1.7.8 ( int log x dee)

ليس من الواضح على الفور أنه يجب على المرء استخدام التكامل بالأجزاء لحساب التكامل

نظرًا لأن Integrand ليس منتجًا. لكن يجب أن نثابر - في الواقع هذا موقف يساعد فيه تدويننا الأقصر على توضيح كيفية المضي قدمًا.

  • في المثال السابق ، رأينا أنه يمكننا إزالة العامل ( سجل س ) عن طريق تعيين (u = تسجيل س ) واستخدام التكامل حسب الأجزاء. دعونا نحاول تكرار هذا. عندما نقوم بهذا الاختيار ، نضطر بعد ذلك إلى اتخاذ ( dee= دي) - أي أننا نختار (v '(x) = 1 text <.> ) بمجرد قيامنا بهذه الحركة الخفية ، فإن كل شيء يتبع مباشرة تمامًا.
  • ثم لدينا ( dee = فارك <1> دي) و (v = x text <،> ) وتعطينا صيغة التكامل بالأجزاء

تعمل نفس الطريقة تقريبًا تمامًا لحساب المشتقات العكسية لـ ( arcsin (x) ) و ( arctan (x) text <:> )

المثال 1.7.9 ( int arctan (x) dee) و ( int arcsin (x) dee)

حساب المشتقات العكسية للجيب المعكوس ودوال الظل العكسي.

  • مرة أخرى ، لا تعتبر أي من هذه التكاملات منتجات ، لكن هذا لا يمثل عائقًا. في كلتا الحالتين قمنا بتعيين ( dee= دي) (على سبيل المثال (v '(x) = 1 )) واختر (v (x) = x text <.> )
  • بالنسبة إلى التان المعكوس ، نختار (u = arctan (x) text <،> ) لذلك ( dee= فارك <1> <1 + س ^ 2> دي نص <:> )

استخدم الآن قاعدة الاستبدال مع (w (x) = 1 + x ^ 2، w '(x) = 2x )

يبدأ & amp = x arctan (x) - int frac <2>cdot frac<1> دي & amp = x arctan (x) - frac <1> <2> int frac <1> دي & amp = x arctan (x) - frac <1> <2> log | w | + C & amp = x arctan (x) - frac <1> <2> log | 1 + x ^ 2 | + C qquad نص & amp = x arctan (x) - frac <1> <2> log (1 + x ^ 2) + C end

استخدم الآن قاعدة الاستبدال مع (w (x) = 1-x ^ 2، w '(x) = - 2x )

يبدأ & amp = x arcsin (x) - int frac <-w '(x)> <2> cdot w ^ <-1/2> dee & amp = x arcsin (x) + frac <1> <2> int w ^ <-1/2> dee & amp = x arcsin (x) + frac <1> <2> cdot 2 w ^ <1/2> + C & amp = x arcsin (x) + sqrt <1-x ^ 2 > + C النهاية

هناك العديد من الأمثلة الأخرى التي يمكننا القيام بها ، لكننا سننتهي بأحد صعب.

المثال 1.7.10 ( int e ^ x sin x dee)

حل: دعونا نحاول هذا بسذاجة قليلاً ثم سنعود ونفعل ذلك بعناية أكبر (ونجاح).

يمكننا اختيار إما (u = e ^ x، dee= الخطيئة س دي) أو بالطريقة الاخرى.

    دعونا (u = e ^ x، dee= الخطيئة س دي text <.> ) ثم ( dee= ه ^ س دي) و (v = - cos x text <.> ) وهذا يعطي

مثال 1.7.11 ( int_a ^ b e ^ x sin x dee) و ( int_a ^ b e ^ x cos x dee)

هذه المرة سنقوم بعمل التكاملين

أكثر أو أقل في نفس الوقت.

اختر (u = e ^ x، dee = الخطيئة س دي text <،> ) لذا (v = - cos x، dee= ه ^ س دي)

يبدأ & amp = كبير [-e ^ x cos x Big] _a ^ b + int_a ^ b e ^ x cos x dee نهاية

اختر (u = e ^ x، dee = كوس س دي text <،> ) لذا (v = sin x، dee= ه ^ س دي)

يبدأ & amp = كبير [e ^ x sin x Big] _a ^ b - int_a ^ b e ^ x sin x dee نهاية