مقالات

7.5: المقاطع المخروطية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تحديد معادلة القطع المكافئ في شكل قياسي مع التركيز ودليل معين.
  • تحديد معادلة القطع الناقص في شكل قياسي مع بؤر معينة.
  • تحديد معادلة القطع الزائد في شكل قياسي مع بؤر معينة.
  • تعرف على القطع المكافئ أو القطع الناقص أو القطع الزائد من قيمته اللامركزية.
  • اكتب المعادلة القطبية للمقطع المخروطي ذي الانحراف (هـ ).
  • حدد ما إذا كانت المعادلة العامة للدرجة الثانية هي القطع المكافئ أو القطع الناقص أو القطع الزائد.

تمت دراسة المقاطع المخروطية منذ زمن الإغريق القدماء ، واعتبرت مفهومًا رياضيًا مهمًا. في وقت مبكر من 320 قبل الميلاد ، كان علماء الرياضيات اليونانيون مثل Menaechmus و Appollonius و Archimedes مفتونين بهذه المنحنيات. كتب أبولونيوس أطروحة كاملة من ثمانية مجلدات عن المقاطع المخروطية حيث كان ، على سبيل المثال ، قادرًا على اشتقاق طريقة محددة لتحديد مقطع مخروطي من خلال استخدام الهندسة. منذ ذلك الحين ، ظهرت تطبيقات مهمة للمقاطع المخروطية (على سبيل المثال ، في علم الفلك) ، وتستخدم خصائص المقاطع المخروطية في التلسكوبات الراديوية ، وأجهزة استقبال أطباق الأقمار الصناعية ، وحتى الهندسة المعمارية. نناقش في هذا القسم الأقسام الثلاثة الأساسية المخروطية وبعض خصائصها ومعادلاتها.

تحصل المقاطع المخروطية على اسمها لأنه يمكن إنشاؤها عن طريق تقاطع مستوى مع مخروط. المخروط له جزأان متماثلان الشكل يسميان قيلولة. قيلولة واحدة هو ما يقصده معظم الناس بـ "مخروط" ، على شكل قبعة للحفلات. يمكن إنشاء مخروط دائري قائم من خلال تدوير خط يمر عبر الأصل حول ذ-المحور كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ).

يتم إنشاء المقاطع المخروطية عن طريق تقاطع مستوى مع مخروط (الشكل ( PageIndex {2} )). إذا كان المستوى موازيًا لمحور الثورة ( ذ-المحور) ، ثم قطع مخروطي هو القطع الزائد. إذا كان المستوى موازيًا لخط التوليد ، فإن الجزء المخروطي هو قطع مكافئ. إذا كان المستوى متعامدًا على محور الدوران ، فإن الجزء المخروطي يكون دائرة. إذا تقاطع المستوى مع قيلولة واحدة بزاوية مع المحور (بخلاف 90°) ، ثم القسم المخروطي هو قطع ناقص.

القطع المكافئ

يتم إنشاء القطع المكافئ عندما يتقاطع مستوى مع مخروط موازٍ لخط التوليد. في هذه الحالة ، تتقاطع الطائرة مع أحد القيلولة فقط. يمكن أيضًا تعريف القطع المكافئ من حيث المسافات.

التعاريف: التركيز والمخرج والرأس

القطع المكافئ هو مجموعة من جميع النقاط التي المسافة من نقطة ثابتة تسمى التركيز، تساوي المسافة من خط ثابت ، يسمى الدليل. النقطة الواقعة في منتصف المسافة بين التركيز والدليل تسمى قمة الرأس من القطع المكافئ.

يظهر رسم بياني للقطع المكافئ النموذجي في الشكل ( PageIndex {3} ). باستخدام هذا الرسم البياني جنبًا إلى جنب مع صيغة المسافة ، يمكننا اشتقاق معادلة للقطع المكافئ. تذكر صيغة المسافة: بالنظر إلى النقطة P بالإحداثيات ((x_1، y_1) ) والنقطة س بالإحداثيات ((x_2، y_2)، ) يتم تحديد المسافة بينهما بواسطة الصيغة

[d (P، Q) = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

ثم من تعريف القطع المكافئ والشكل ( PageIndex {3} ) ، نحصل على

[د (ف ، ف) = د (ف ، س) ]

[ sqrt {(0 − x) ^ 2 + (p y) ^ 2} = sqrt {(x − x) ^ 2 + (- p y) ^ 2}. ]

تربيع كلا الجانبين وتبسيط الغلة

[ start {align} x ^ 2 + (p y) ^ 2 = 0 ^ 2 + (- p y) ^ 2 x ^ 2 + p ^ 2−2py + y ^ 2 = p ^ 2 + 2py + y ^ 2 x ^ 2−2py = 2py x ^ 2 = 4py. نهاية {محاذاة} ]

لنفترض الآن أننا نريد تغيير موضع الرأس. نستخدم المتغيرات ((ح ، ك) ) للإشارة إلى إحداثيات الرأس. ثم إذا كان التركيز أعلى الرأس مباشرة ، يكون له إحداثيات ((h، k + p) ) والدليل له المعادلة (y = k − p ). يؤدي المرور بنفس الاشتقاق إلى الصيغة ((x − h) ^ 2 = 4p (y − k) ). يؤدي حل هذه المعادلة لـ (y ) إلى النظرية التالية.

معادلات القطع المكافئ: النموذج القياسي

بالنظر إلى فتحة القطع المكافئ لأعلى مع وجود قمة عند ((h، k) ) والتركيز يقع عند ((h، k + p) ) ، حيث (p ) ثابت ، فإن معادلة القطع المكافئ هي معطى بواسطة

[y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k. ]

هذا ال النموذج القياسي من القطع المكافئ.

يمكننا أيضًا دراسة الحالات التي ينفتح فيها القطع المكافئ لأسفل أو إلى اليسار أو اليمين. يمكن أيضًا كتابة المعادلة الخاصة بكل حالة من هذه الحالات بالشكل القياسي كما هو موضح في الرسوم البيانية التالية.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن كتابة معادلة القطع المكافئ في الشكل العام، على الرغم من أنه في هذا الشكل ، لا يمكن التعرف على قيم (h ) و (k ) و (p ) على الفور. تتم كتابة الشكل العام للقطع المكافئ

[ax ^ 2 + bx + cy + d = 0 label {para1} ]

أو

[ay ^ 2 + bx + cy + d = 0. label {para2} ]

المعادلة المرجع {الفقرة 1} تمثل القطع المكافئ الذي يفتح إما لأعلى أو لأسفل. المعادلة المرجع {الفقرة 2} تمثل القطع المكافئ الذي يفتح إما لليسار أو لليمين. لوضع المعادلة في الشكل القياسي ، استخدم طريقة إكمال المربع.

مثال ( PageIndex {1} ): تحويل معادلة القطع المكافئ من عام إلى نموذج قياسي

ضع المعادلة

[x ^ 2−4x − 8y + 12 = 0 ]

إلى الشكل القياسي ورسم القطع المكافئ الناتج.

حل

بما أن y غير مربعة في هذه المعادلة ، فإننا نعلم أن القطع المكافئ يفتح إما لأعلى أو لأسفل. لذلك نحتاج إلى حل هذه المعادلة لإيجاد y ، والتي ستضع المعادلة في الصورة القياسية. للقيام بذلك ، قم أولاً بإضافة (8y ) إلى طرفي المعادلة:

[8y = x ^ 2−4x + 12. ]

الخطوة التالية هي إكمال المربع الموجود على الجانب الأيمن. ابدأ بتجميع أول حدين على الجانب الأيمن باستخدام الأقواس:

[8y = (x ^ 2−4x) +12. ]

حدد بعد ذلك الثابت الذي ، عند إضافته داخل الأقواس ، يجعل الكمية الموجودة داخل الأقواس مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود. للقيام بذلك ، خذ نصف معامل x وقم بتربيعه. هذا يعطي (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) أضف 4 داخل الأقواس واطرح 4 خارج الأقواس ، لذلك لم تتغير قيمة المعادلة:

[8y = (x ^ 2−4x + 4) + 12−4. ]

الآن اجمع الحدود المتشابهة وعالج الكمية الموجودة داخل الأقواس:

[8y = (x − 2) ^ 2 + 8. ]

أخيرًا ، اقسم على 8:

[y = dfrac {1} {8} (x − 2) ^ 2 + 1. ]

هذه المعادلة الآن في الشكل القياسي. بمقارنة هذا بالمعادلة تعطي (h = 2 ، k = 1 ) ، و (p = 2 ). يفتح القطع المكافئ ، بحيث يكون الرأس عند ((2،1) ) ، والتركيز عند ((2،3) ) ، والدليل (y = −1 ). يظهر الرسم البياني لهذا القطع المكافئ على النحو التالي.

تمرين ( PageIndex {1} )

ضع المعادلة (2y ^ 2 − x + 12y + 16 = 0 ) في الصورة القياسية وارسم القطع المكافئ الناتج.

تلميح

حل ل x). تحقق من الاتجاه الذي يفتح به القطع المكافئ.

إجابه

[س = 2 (ص + 3) ^ 2−2 ]

محور تناظر القطع المكافئ العمودي (يفتح لأعلى أو لأسفل) هو خط عمودي يمر عبر الرأس. القطع المكافئ له خاصية عاكسة مثيرة للاهتمام. لنفترض أن لدينا طبق استقبال مع مقطع عرضي مكافئ. إذا دخلت شعاع من الموجات الكهرومغناطيسية ، مثل الضوء أو موجات الراديو ، إلى الطبق في خط مستقيم من قمر صناعي (موازي لمحور التناظر) ، فإن الموجات تنعكس عن الطبق وتتجمع عند بؤرة القطع المكافئ مبين.

فكر في طبق مكافئ مصمم لجمع الإشارات من قمر صناعي في الفضاء. الطبق موجه مباشرة إلى القمر الصناعي ، ويقع جهاز الاستقبال في بؤرة القطع المكافئ. تنعكس موجات الراديو القادمة من القمر الصناعي عن سطح القطع المكافئ إلى جهاز الاستقبال ، الذي يجمع الإشارات الرقمية ويفك تشفيرها. يسمح هذا لجهاز استقبال صغير بجمع الإشارات من زاوية واسعة من السماء. تعمل المصابيح الكاشفة والمصابيح الأمامية في السيارة على نفس المبدأ ، ولكن في الاتجاه المعاكس: يقع مصدر الضوء (أي المصباح الكهربائي) عند البؤرة والسطح العاكس على المرآة المكافئة يركز الشعاع للأمام مباشرة. يسمح هذا لمصباح كهربائي صغير بإضاءة زاوية واسعة من الفضاء أمام المصباح أو السيارة.

الحذف

يمكن أيضًا تعريف القطع الناقص من حيث المسافات. في حالة القطع الناقص ، هناك بؤرتان (جمع التركيز) ودليلان (جمع الدليل). سنلقي نظرة على الأدلة بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا القسم.

التعريف: قطع ناقص

القطع الناقص هو مجموعة جميع النقاط التي يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين (البؤر) ثابتًا.

يظهر رسم بياني للقطع الناقص النموذجي في الشكل ( PageIndex {6} ). في هذا الشكل ، تم تصنيف البؤر على أنها (F ) و (F ′ ). كلاهما نفس المسافة الثابتة من الأصل ، ويتم تمثيل هذه المسافة بالمتغير (c ). لذلك فإن إحداثيات (F ) هي ((ج ، 0) ) وإحداثيات (F ′ ) هي ((- ج ، 0). ) النقاط (P ) و (P ′ ) تقع في نهايات المحور الرئيسي للقطع الناقص ولها إحداثيات ((أ ، 0) ) و ((- أ ، 0) ) ، على التوالي. دائمًا ما يكون المحور الرئيسي هو أطول مسافة عبر القطع الناقص ، ويمكن أن يكون أفقيًا أو رأسيًا. وبالتالي ، فإن طول المحور الرئيسي في هذا القطع الناقص هو (2 أ ). علاوة على ذلك ، يُطلق على (P ) و (P ′ ) رؤوس القطع الناقص. تقع النقاط (Q ) و (Q ′ ) في نهايات الملف محور صغير للقطع الناقص ولها إحداثيات ((0 ، ب) ) و ((0 ، − ب) ، ) على التوالي. المحور الثانوي هو أقصر مسافة عبر القطع الناقص. المحور الثانوي عمودي على المحور الرئيسي.

وفقًا لتعريف القطع الناقص ، يمكننا اختيار أي نقطة على القطع الناقص ويكون مجموع المسافات من هذه النقطة إلى البؤرتين ثابتًا. لنفترض أننا اخترنا النقطة (P ). نظرًا لأن إحداثيات النقطة (P ) هي ((أ ، 0) ، ) مجموع المسافات هو

[د (ف ، ف) + د (ف ، ف ′) = (أ − ج) + (أ + ج) = 2 أ. ]

لذلك فإن مجموع المسافات من نقطة عشوائية A بإحداثيات ((x، y) ) يساوي أيضًا (2a ). باستخدام صيغة المسافة ، نحصل على

[د (أ ، ف) + د (أ ، و ′) = 2 أ. ]

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a ]

اطرح الجذر الثاني من كلا الجانبين وربّع كلا الجانبين:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a− sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

الآن افصل الجذر في الطرف الأيمن عن المربع مرة أخرى:

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx ]

[4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 4a ^ 2 + 4cx ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = a + dfrac {cx} {a} ]

[(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2}. ]

افصل المتغيرات الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة والثوابت على الجانب الأيمن:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

اقسم كلا الجانبين على (a ^ 2 − c ^ 2 ). هذا يعطي المعادلة

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

إذا رجعنا إلى الشكل ( PageIndex {6} ) ، فإن طول كل جزء من مقطعي الخط الأخضر يساوي (أ ). هذا صحيح لأن مجموع المسافات من النقطة (Q ) إلى البؤر (F ) و (F ′ ) يساوي (2 أ ) ، وأطوال هذين الخطين هي مساو. يشكل هذا المقطع المستقيم مثلثًا قائمًا بطول الوتر (أ ) وأطوال الساق (ب ) و (ج ). من نظرية فيثاغورس (ب ^ 2 + ج ^ 2 = أ ^ 2 ) و (ب ^ 2 = أ ^ 2 − ج ^ 2 ). لذلك تصبح معادلة القطع الناقص

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

أخيرًا ، إذا تم نقل مركز القطع الناقص من الأصل إلى نقطة ((ح ، ك) ) ، فلدينا الشكل القياسي التالي للقطع الناقص.

معادلة القطع الناقص في النموذج القياسي

ضع في اعتبارك القطع الناقص مع المركز ((h، k) ) والمحور الرئيسي الأفقي بالطول (2a ) والمحور الرأسي الثانوي بالطول (2 ب ). ثم معادلة هذا القطع الناقص في الشكل القياسي هي

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorEllipse} ]

وتقع البؤر في ((h ± c، k) ) ، حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). معادلات الدلائل هي (x = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

إذا كان المحور الرئيسي عموديًا ، تصبح معادلة القطع الناقص

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} = 1 label {VertEllipse} ]

وتقع البؤر في ((ح ، ك ± ج) ) ، حيث (ج ^ 2 = أ ^ 2 − ب ^ 2 ). معادلات الدلائل في هذه الحالة هي (y = k ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

إذا كان المحور الرئيسي أفقيًا ، فإن القطع الناقص يسمى أفقيًا ، وإذا كان المحور الرئيسي رأسيًا ، فإن القطع الناقص يسمى عموديًا. تكون معادلة القطع الناقص بشكل عام إذا كانت في الشكل

[Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cx + Dy + E = 0 ، ]

أين أ و ب كلاهما موجب أو كلاهما سلبي. لتحويل المعادلة من النموذج العام إلى النموذج القياسي ، استخدم طريقة استكمال المربع.

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد الشكل القياسي للقطع الناقص

ضع المعادلة

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y + 36 = 0 ]

في شكل قياسي ورسم بياني القطع الناقص الناتج.

حل

اطرح أولاً 36 من طرفي المعادلة:

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y = −36. ]

بعد ذلك ، قم بتجميع المصطلحات (x ) معًا والمصطلحات (y ) معًا ، واستخرج العامل المشترك:

[(9x ^ 2−36x) + (4y ^ 2 + 24y) = - 36 ]

[9 (س ^ 2−4 س) +4 (ص ^ 2 + 6 ص) = - 36. ]

نحتاج إلى تحديد الثابت الذي ينتج عنه مربع كامل عند إضافته داخل كل مجموعة من الأقواس. في المجموعة الأولى من الأقواس ، خذ نصف معامل x وربّعها. هذا يعطي (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) في المجموعة الثانية من الأقواس ، خذ نصف معامل ذ وربّعها. هذا يعطي (( dfrac {6} {2}) ^ 2 = 9. ) أضفها داخل كل زوج من الأقواس. نظرًا لأن المجموعة الأولى من الأقواس بها 9 في المقدمة ، فإننا في الواقع نضيف 36 إلى الطرف الأيسر. وبالمثل ، نضيف 36 إلى المجموعة الثانية أيضًا. لذلك تصبح المعادلة

[9 (س ^ 2−4 س + 4) +4 (ص ^ 2 + 6 ص + 9) = - 36 + 36 + 36 ]

[9 (س ^ 2−4 س + 4) +4 (ص ^ 2 + 6 ص + 9) = 36. ]

الآن حلل كلا مجموعتي الأقواس وقسمهما على 36:

[9 (س − 2) ^ 2 + 4 (ص + 3) ^ 2 = 36 ]

[ dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {36} + dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {36} = 1 ]

[ dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} + dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1. ]

المعادلة الآن في الشكل القياسي. بمقارنة هذا بالمعادلة المرجع {VertEllipse} يعطي (h = 2 ، k = −3 ، a = 3 ، ) و (b = 2 ). هذا شكل بيضاوي عمودي مع المركز عند ((2، −3) ) والمحور الرئيسي 6 والمحور الثانوي 4. يظهر الرسم البياني لهذا القطع الناقص على النحو التالي.

تمرين ( PageIndex {2} )

ضع المعادلة

[9x ^ 2 + 16y ^ 2 + 18x − 64y − 71 = 0 ]

في شكل قياسي ورسم بياني القطع الناقص الناتج.

تلميح

حرك الثابت فوق المربع وأكمل المربع.

إجابه

[ dfrac {(x + 1) ^ 2} {16} + dfrac {(y − 2) ^ 2} {9} = 1 ]

وفقًا لقانون كبلر الأول لحركة الكواكب ، فإن مدار كوكب حول الشمس عبارة عن قطع ناقص مع الشمس في إحدى البؤر كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {8A} ). نظرًا لأن مدار الأرض عبارة عن قطع ناقص ، فإن المسافة من الشمس تختلف على مدار العام. من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن الأرض أقرب إلى الشمس في الصيف. في الواقع ، في الصيف بالنسبة لنصف الكرة الشمالي ، تكون الأرض بعيدة عن الشمس عنها خلال فصل الشتاء. يرجع الاختلاف في الموسم إلى ميل محور الأرض في المستوى المداري. المذنبات التي تدور حول الشمس ، مثل مذنب هالي ، لها أيضًا مدارات إهليلجية ، مثلها مثل الأقمار التي تدور حول الكواكب والأقمار الصناعية التي تدور حول الأرض.

تتمتع القطع الناقصة أيضًا بخصائص عاكسة مثيرة للاهتمام: يمر شعاع الضوء المنبعث من تركيز واحد عبر التركيز الآخر بعد انعكاس المرآة في القطع الناقص. يحدث الشيء نفسه مع الموجة الصوتية أيضًا. قاعة التماثيل الوطنية في مبنى الكابيتول الأمريكي بواشنطن العاصمة ، هي غرفة مشهورة في شكل بيضاوي كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {8B} ). كانت هذه القاعة بمثابة مكان اجتماع لمجلس النواب الأمريكي لما يقرب من خمسين عامًا. يتم تحديد موقع بؤرتي هذه الغرفة شبه الإهليلجية بوضوح من خلال علامات على الأرض ، وحتى إذا كانت الغرفة مليئة بالزوار ، عندما يقف شخصان على هذه البقع ويتحدثان مع بعضهما البعض ، يمكنهما سماع بعضهما البعض كثيرًا بشكل أكثر وضوحًا مما يمكنهم سماع شخص يقف بالقرب منهم. تقول الأسطورة أن مكتب جون كوينسي آدامز كان يقع على إحدى البؤر وكان قادرًا على التنصت على أي شخص آخر في المنزل دون الحاجة إلى الوقوف على الإطلاق. على الرغم من أن هذا يصنع قصة جيدة ، إلا أنه من غير المحتمل أن يكون صحيحًا ، لأن السقف الأصلي أنتج الكثير من الصدى لدرجة أنه كان يجب تعليق الغرفة بأكملها بالسجاد لتخفيف الضوضاء. أعيد بناء السقف في عام 1902 وعندها فقط ظهر تأثير الهمس الشهير الآن. معرض هامس آخر شهير - موقع العديد من عروض الزواج - موجود في محطة غراند سنترال في مدينة نيويورك.

القطوع الزائدة

يمكن أيضًا تعريف القطع الزائد من حيث المسافات. في حالة القطع الزائد ، توجد بؤرتان ودليلان. تحتوي القطوع الزائدة أيضًا على خطين مقاربين.

التعريف: القطع الزائد

القطع الزائد هو مجموعة كل النقاط حيث يكون الفرق بين مسافاتها من نقطتين ثابتتين (البؤرتين) ثابتًا.

يظهر الرسم البياني للقطع الزائد النموذجي على النحو التالي.

اشتقاق معادلة القطع الزائد في الشكل القياسي مطابق تقريبًا لاشتقاق القطع الناقص. تكمن عقبة واحدة بسيطة في التعريف: الفرق بين رقمين دائمًا موجب. لنفترض أن (P ) نقطة على القطع الزائد بالإحداثيات ((x، y) ). ثم يعطي تعريف القطع الزائد (| d (P، F_1) −d (P، F_2) | = ثابت ). لتبسيط الاشتقاق ، افترض أن (P ) يقع على الفرع الأيمن من القطع الزائد ، وبالتالي تنخفض أشرطة القيمة المطلقة. إذا كان على الفرع الأيسر ، فسيتم عكس الطرح. رأس الفرع الأيمن له إحداثيات ((أ ، 0) ، ) لذلك

[د (P، F_1) −d (P، F_2) = (ج + أ) - (ج − أ) = 2 أ. ]

وبالتالي فإن هذه المعادلة صحيحة لأي نقطة على القطع الزائد. العودة إلى الإحداثيات ((س ، ص) ) من أجل (ف ):

[d (P، F_1) −d (P، F_2) = 2a ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} - sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a. ]

افصل الجذر الثاني والمربع كلا الجانبين:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = - 2a + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

الآن افصل الجذر في الطرف الأيمن عن المربع مرة أخرى:

(- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx )

(- 4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - 4a ^ 2−4cx )

(- sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - a− dfrac {cx} {a} )

((x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ).

افصل المتغيرات الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة والثوابت على الجانب الأيمن:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

أخيرًا ، قسّم كلا الجانبين على (a ^ 2 − c ^ 2 ). هذا يعطي المعادلة

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

نحدد الآن ب بحيث (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ). هذا ممكن بسبب (c> a ). لذلك تصبح معادلة القطع الزائد

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

أخيرًا ، إذا تم نقل مركز القطع الزائد من الأصل إلى النقطة ((h، k)، ) لدينا الشكل القياسي التالي للقطع الزائد.

معادلة القطع الزائد في الصورة القياسية

ضع في اعتبارك القطع الزائد مع المركز ((h، k) ) والمحور الرئيسي الأفقي والمحور الرأسي الثانوي. ثم معادلة هذا القطع الزائد هي

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorHyperbola} ]

وتقع البؤر في ((h ± c، k)، ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). يتم إعطاء معادلات الخطوط المقاربة بواسطة (y = k ± dfrac {b} {a} (x − h). ) معادلات الدلائل هي

[x = h ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ]

إذا كان المحور الرئيسي عموديًا ، تصبح معادلة القطع الزائد

[ dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

وتقع البؤر في ((h، k ± c)، ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). يتم إعطاء معادلات الخطوط المقاربة بواسطة (y = k ± dfrac {a} {b} (x − h) ). معادلات الموجهات هي

[y = k ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = k ± dfrac {a ^ 2} {c}. ]

إذا كان المحور الرئيسي (المحور العرضي) أفقيًا ، فإن القطع الزائد يسمى أفقيًا ، وإذا كان المحور الرئيسي رأسيًا ، فإن القطع الزائد يسمى عموديًا. تكون معادلة القطع الزائد بشكل عام إذا كانت في الشكل

[Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cx + Dy + E = 0 ، ]

حيث A و B لهما علامتان متعاكستان. لتحويل المعادلة من النموذج العام إلى النموذج القياسي ، استخدم طريقة إكمال المربع.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد النموذج القياسي للقطع الزائد

ضع المعادلة (9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y − 124 = 0 ) في الصورة القياسية وقم برسم القطع الزائد الناتج. ما هي معادلات الخطوط المقاربة؟

حل

أضف أولاً 124 إلى طرفي المعادلة:

(9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y = 124. )

المجموعة التالية x الشروط معا و ذ المصطلحات معًا ، ثم استخرج العوامل المشتركة:

((9x ^ 2 + 36x) - (16y ^ 2−32y) = 124 )

(9 (س ^ 2 + 4x) 16 (ص ^ 2−2 ص) = 124 ).

نحتاج إلى تحديد الثابت الذي ينتج عنه مربع كامل عند إضافته داخل كل مجموعة من الأقواس. في المجموعة الأولى من الأقواس ، خذ نصف معامل x وقم بتربيعه. هذا يعطي (( dfrac {4} {2}) ^ 2 = 4 ). في المجموعة الثانية من الأقواس ، خذ نصف معامل y وقم بتربيعه. هذا يعطي (( dfrac {−2} {2}) ^ 2 = 1. ) أضفها داخل كل زوج من الأقواس. وبالمثل ، نطرح 16 من المجموعة الثانية من الأقواس. لذلك تصبح المعادلة

(9 (س ^ 2 + 4x + 4) −16 (ص ^ 2−2 ص + 1) = 124 + 36−16 )

(9 (س ^ 2 + 4x + 4) −16 (ص ^ 2−2 ص + 1) = 144. )

عامل التالي كلا مجموعتي الأقواس وقسمه على 144:

(9 (س + 2) ^ 2−16 (ص 1) ^ 2 = 144 )

( dfrac {9 (x + 2) ^ 2} {144} - dfrac {16 (y − 1) ^ 2} {144} = 1 )

( dfrac {(x + 2) ^ 2} {16} - dfrac {(y − 1) ^ 2} {9} = 1. )

المعادلة الآن في الشكل القياسي. بمقارنة هذا بالمعادلة المرجع {HorHyperbola} يعطي (h = −2 ، k = 1 ، a = 4 ، ) و (b = 3 ). هذا هو القطع الزائد الأفقي مع المركز عند ((- 2،1) ) والخطوط المقاربة المعطاة بواسطة المعادلات (y = 1 ± dfrac {3} {4} (x + 2) ). يظهر الرسم البياني لهذا القطع الزائد في الشكل ( PageIndex {10} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

ضع المعادلة (4y ^ 2−9x ^ 2 + 16y + 18x − 29 = 0 ) في الصورة القياسية وقم برسم القطع الزائد الناتج. ما هي معادلات الخطوط المقاربة؟

تلميح

حرك الثابت فوق المربع وأكمل المربع. تحقق من الاتجاه الذي يفتح به القطع الزائد

إجابه

( dfrac {(y + 2) ^ 2} {9} - dfrac {(x − 1) ^ 2} {4} = 1. ) هذا قطع زائد رأسي. الخطوط المقاربة (y = −2 ± dfrac {3} {2} (x − 1). )

تحتوي القطوع الزائدة أيضًا على خصائص عاكسة مثيرة للاهتمام. ينعكس الشعاع الموجه نحو بؤرة واحدة للقطع الزائد بواسطة مرآة زائدية باتجاه البؤرة الأخرى. هذا المفهوم موضح في الشكل ( PageIndex {11} ).

هذه الخاصية للقطع الزائد لها تطبيقات مهمة. يتم استخدامه في تحديد الاتجاه الراديوي (نظرًا لأن الاختلاف في الإشارات من برجين ثابت على طول القطعات الزائدة) ، وفي بناء المرايا داخل التلسكوبات (لعكس الضوء القادم من المرآة المكافئة إلى العدسة). حقيقة أخرى مثيرة للاهتمام حول القطوع الزائدة هي أنه بالنسبة للمذنب الذي يدخل النظام الشمسي ، إذا كانت السرعة كبيرة بما يكفي للهروب من جاذبية الشمس ، فإن المسار الذي يسلكه المذنب أثناء مروره عبر النظام الشمسي يكون زائديًا.

الانحراف والمخرج

تتضمن الطريقة البديلة لوصف المقطع المخروطي الموجهات والبؤر وخاصية جديدة تسمى الانحراف. سنرى أن قيمة الانحراف اللامركزي للقسم المخروطي يمكن أن تحدد هذا الشكل المخروطي بشكل فريد.

التعريف: اللامركزية والمخرجات

ال الانحراف (ه ) من المقطع المخروطي يعرف بأنه المسافة من أي نقطة على المقطع المخروطي إلى بؤرته ، مقسومة على المسافة العمودية من تلك النقطة إلى أقرب دليل. هذه القيمة ثابتة لأي قسم مخروطي ، ويمكن أن تحدد المقطع المخروطي أيضًا:

  1. إذا كان (e = 1 ) ، فإن المخروط هو قطع مكافئ.
  2. إذا كان (e <1 ) ، فهو قطع ناقص.
  3. إذا كان (e> 1، ) عبارة عن قطع زائد.

الانحراف اللامركزي في الدائرة يساوي صفرًا. ال الدليل المقطع المخروطي هو الخط الذي يعمل مع النقطة المعروفة بالبؤرة على تحديد المقطع المخروطي. القطوع الزائدة والقطع الناقص غير الدائرية لها بؤرتان ودليلان مرتبطان. القطع المكافئ لها تركيز واحد ودليل واحد.

تظهر الأقسام الثلاثة المخروطية مع أدلةها في الشكل ( PageIndex {12} ).

تذكر من تعريف القطع المكافئ أن المسافة من أي نقطة على القطع المكافئ إلى البؤرة تساوي المسافة من نفس النقطة إلى الدليل. لذلك ، حسب التعريف ، يجب أن يكون الانحراف المركزي للقطع المكافئ 1. معادلات أدلة القطع الناقص الأفقي هي (x = ± dfrac {a ^ 2} {c} ). يقع الرأس الأيمن للقطع الناقص عند ((أ ، 0) ) والتركيز الصحيح هو ((ج ، 0) ). لذلك فإن المسافة من الرأس إلى البؤرة هي (a − c ) والمسافة من الرأس إلى الدليل الأيمن هي ( dfrac {a ^ 2} {c} −c. ) وهذا يعطي الانحراف مثل

[e = dfrac {a − c} { dfrac {a ^ 2} {c} −a} = dfrac {c (a − c)} {a ^ 2 − ac} = dfrac {c (a −c)} {a (a − c)} = dfrac {c} {a}. ]

نظرًا لأن (c a ) ، لذا فإن الانحراف اللامركزي للقطع الزائد أكبر من 1.

مثال ( PageIndex {4} ): تحديد الانحراف المركزي للقسم المخروطي

حدد الانحراف اللامركزي للقطع الناقص الموصوف في المعادلة

( dfrac {(x − 3) ^ 2} {16} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {25} = 1. )

حل

من المعادلة نرى أن (أ = 5 ) و (ب = 4 ). قيمة ال ج يمكن حسابها باستخدام المعادلة (أ ^ 2 = ب ^ 2 + ج ^ 2 ) للقطع الناقص. استبدال قيم أ و ب وحل ل ج يعطي (ج = 3 ). لذلك فإن الانحراف اللامركزي للقطع الناقص هو (e = dfrac {c} {a} = dfrac {3} {5} = 0.6. )

تمرين ( PageIndex {4} )

حدد الانحراف اللامركزي للقطع الزائد الموصوف في المعادلة

( dfrac {(y − 3) ^ 2} {49} - dfrac {(x + 2) ^ 2} {25} = 1. )

تلميح

أوجد أولًا قيمتي a و b ، ثم حدد c باستخدام المعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ).

إجابه

(e = dfrac {c} {a} = dfrac { sqrt {74}} {7} ≈1.229 )

المعادلات القطبية للمقاطع المخروطية

في بعض الأحيان يكون من المفيد كتابة أو تحديد معادلة المقطع المخروطي في الشكل القطبي. للقيام بذلك ، نحتاج إلى مفهوم المعلمة البؤرية. ال المعلمة البؤرية من قسم مخروطي ص تُعرَّف بأنها المسافة من التركيز إلى أقرب دليل. يعطي الجدول التالي المعلمات البؤرية لأنواع مختلفة من المخروطيات ، أين أ هو طول المحور شبه الرئيسي (أي نصف طول المحور الرئيسي) ، ج هي المسافة من الأصل إلى التركيز ، و ه هو اللامركزية. في حالة القطع المكافئ ، يمثل a المسافة من الرأس إلى البؤرة.

الجدول ( PageIndex {1} ): الانحرافات والمعلمات البؤرية للأقسام المخروطية
مخروطي (هـ ) (ع )
الشكل البيضاوي (0 <ه <1 ) ( dfrac {a ^ 2 − c ^ 2} {c} = dfrac {a (1 − e ^ 2)} {c} )
القطع المكافئ (ه = 1 ) (2 أ )
القطع الزائد (ه> 1 ) ( dfrac {c ^ 2 − a ^ 2} {c} = dfrac {a (e ^ 2−1)} {c} )

باستخدام تعريفات المعلمة البؤرية وغرابة القسم المخروطي ، يمكننا اشتقاق معادلة لأي قسم مخروطي في الإحداثيات القطبية. على وجه الخصوص ، نفترض أن إحدى بؤر مقطع مخروطي معين تقع في القطب. ثم باستخدام تعريف المقاطع المخروطية المختلفة من حيث المسافات ، من الممكن إثبات النظرية التالية.

المعادلة القطبية للمقاطع المخروطية

المعادلة القطبية لقسم مخروطي ذو معامل بؤري ص اعطي من قبل

(r = dfrac {ep} {1 ± e cos θ} ) أو (r = dfrac {ep} {1 ± e sin θ}. )

في المعادلة على اليسار ، يكون المحور الرئيسي للمقطع المخروطي أفقيًا ، وفي المعادلة على اليمين يكون المحور الرئيسي عموديًا. للعمل مع مقطع مخروطي مكتوب في الصورة القطبية ، اجعل الحد الثابت في المقام يساوي 1. ويمكن فعل ذلك بقسمة كل من بسط ومقام الكسر على الثابت الذي يظهر أمام علامة الجمع أو السالب في المقام. ثم معامل الجيب أو جيب التمام في المقام هو الانحراف. هذه القيمة تحدد المخروط. إذا ظهر جيب التمام في المقام ، فإن المخروط يكون أفقيًا. إذا ظهرت الجيب ، فإن المخروط يكون عموديًا. إذا ظهر كلاهما ، فسيتم تدوير المحاور. مركز المخروط ليس بالضرورة في الأصل. المركز في الأصل فقط إذا كان المخروط دائرة (أي ، (e = 0 )).

مثال ( PageIndex {5} ): رسم مقطع مخروطي في الإحداثيات القطبية

تحديد وإنشاء رسم بياني للقسم المخروطي الموصوف في المعادلة

(r = dfrac {3} {1 + 2 cos θ} ).

حل

الحد الثابت في المقام هو 1 ، وبالتالي فإن الانحراف المركزي للمخروط هو 2. هذا قطع زائد. يمكن حساب المعامل البؤري p باستخدام المعادلة (ep = 3. ) بما أن (e = 2 ) ، فهذا يعطي (p = dfrac {3} {2} ). تظهر دالة جيب التمام في المقام ، لذا فإن القطع الزائد يكون أفقيًا. اختر بعض القيم لـ (θ ) وأنشئ جدول قيم. ثم يمكننا رسم القطع الزائد بالرسم البياني (الشكل ( PageIndex {13} )).

(θ ) (ص ) (θ ) (ص )
01 (π )−3
( dfrac {π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1.2426 ) ( dfrac {5π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7.2426 )
( dfrac {π} {2} )3 ( dfrac {3π} {2} )3
( dfrac {3π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7.2426 ) ( dfrac {7π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1.2426 )

تمرين ( PageIndex {5} )

تحديد وإنشاء رسم بياني للقسم المخروطي الموصوف في المعادلة

(r = dfrac {4} {1−0.8 sin θ} ).

تلميح

أولاً ، ابحث عن قيم ه و ص، ثم قم بإنشاء جدول قيم.

إجابه

هنا (البريد = 0.8 ) و (ع = 5 ). هذا القسم المخروطي هو قطع ناقص.

المعادلات العامة من الدرجة الثانية

يمكن كتابة معادلة عامة من الدرجة الثانية في النموذج

[Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0. ]

الرسم البياني لمعادلة من هذا الشكل هو مقطع مخروطي. إذا (B ≠ 0 ) ، فسيتم تدوير محاور الإحداثيات. لتحديد المقطع المخروطي ، نستخدم تمييز المقطع المخروطي (4AC − B ^ 2. )

تحديد القسم المخروطي

يجب أن تكون إحدى الحالات التالية صحيحة:

  1. (4AC − B ^ 2> 0 ). إذا كان الأمر كذلك ، فإن الرسم البياني عبارة عن قطع ناقص.
  2. (4AC − B ^ 2 = 0 ). إذا كان الأمر كذلك ، فإن الرسم البياني هو قطع مكافئ.
  3. (4AC − B ^ 2 <0 ). إذا كان الأمر كذلك ، فإن الرسم البياني عبارة عن قطع زائد.

أبسط مثال على معادلة من الدرجة الثانية تتضمن مصطلحًا متقاطعًا هو (xy = 1 ). يمكن حل هذه المعادلة من أجل (y ) للحصول على (y = dfrac {1} {x} ). يسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة القطع الزائد المستطيل كما هو موضح.

الخطوط المقاربة لهذا القطع الزائد هي محوري الإحداثيات (x ) و (y ). لتحديد زاوية دوران المقطع المخروطي θ ، نستخدم الصيغة ( cot 2θ = frac {A − C} {B} ). في هذه الحالة (A = C = 0 ) و (B = 1 ) ، لذلك ( cot 2θ = (0−0) / 1 = 0 ) و (θ = 45 ° ). تتضمن طريقة رسم مقطع مخروطي بمحاور مستديرة تحديد معاملات الشكل المخروطي في نظام الإحداثيات المستدير. تم تسمية المعاملات الجديدة (A ′، B ′، C ′، D ′، E ′، ) و (F ′، ) ويتم تقديمها بواسطة الصيغ

[ start {align} A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sin θ + C sin ^ 2 θ B ′ = 0 C ′ = A sin ^ 2 θ − B الخطيئة θ cos θ + C cos ^ 2θ D ′ = D cos θ + E sin θ E ′ = −D sin θ + E cosθ F ′ = F. نهاية {محاذاة} ]

الإجراء: رسم بياني مخروطي مستدير

الإجراء الخاص برسم المخروط المستدير هو كالتالي:

  1. حدد المقطع المخروطي باستخدام المميز (4AC − B ^ 2 ).
  2. حدد (θ ) باستخدام الصيغة [ cot2θ = dfrac {A − C} {B} label {rot}. ]
  3. احسب (A ′ و B ′ و C ′ و D ′ و E ′ ) و (F ′ ).
  4. أعد كتابة المعادلة الأصلية باستخدام (A ′ و B ′ و C ′ و D ′ و E ′ ) و (F ′ ).
  5. ارسم رسمًا بيانيًا باستخدام المعادلة المستديرة.

مثال ( PageIndex {6} ): تحديد شكل مخروطي مستدير

تحديد المخروط وحساب زاوية دوران المحاور للمنحنى الموصوف بالمعادلة

[13x ^ 2−6 sqrt {3} xy + 7y ^ 2−256 = 0. ]

حل

في هذه المعادلة ، (A = 13 ، B = −6 sqrt {3} ، C = 7 ، D = 0 ، E = 0 ، ) و (F = −256 ). المميز في هذه المعادلة هو

[4AC − B ^ 2 = 4 (13) (7) - (- 6 sqrt {3}) ^ 2 = 364−108 = 256. ]

لذلك هذا الشكل المخروطي هو قطع ناقص.

لحساب زاوية دوران المحاور ، استخدم المعادلة ref {rot}

[ cot 2θ = dfrac {A − C} {B}. ]

هذا يعطي

( cot 2θ = dfrac {A − C} {B} = dfrac {13−7} {- 6 sqrt {3}} = - dfrac { sqrt {3}} {3} ).

لذلك (2θ = 120 ^ o ) و (θ = 60 ^ o ) ، وهي زاوية دوران المحاور.

لتحديد المعاملات التي تم تدويرها ، استخدم الصيغ الواردة أعلاه:

(A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sinθ + C sin ^ 2θ )

(= 13 cos ^ 260 + (- 6 sqrt {3}) cos 60 sin 60 + 7 sin ^ 260 )

(= 13 ( dfrac {1} {2}) ^ 2−6 sqrt {3} ( dfrac {1} {2}) ( dfrac { sqrt {3}} {2}) + 7 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 )

(=4,)

(ب ′ = 0 )

(C ′ = A sin ^ 2θ − B sin θ cos θ + C cos ^ 2θ )

(= 13 sin ^ 260 + (6 sqrt {3}) sin 60 cos 60 + 7 cos ^ 260 )

(= 13 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 + 6 sqrt {3} ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ( dfrac {1} {2} )+7(dfrac{1}{2})^2)

(=16,)

(D′=Dcos θ+Esin θ)

(=(0)cos 60+(0)sin 60)

(=0,)

(E′=−Dsin θ+Ecos θ)

(=−(0)sin 60+(0)cos 60)

(=0)

(F′= F)

(=−256.)

The equation of the conic in the rotated coordinate system becomes

(4(x′)^2+16(y′)^2=256)

(dfrac{(x′)^2}{64}+dfrac{(y′)^2}{16}=1).

A graph of this conic section appears as follows.

تمرين ( PageIndex {6} )

Identify the conic and calculate the angle of rotation of axes for the curve described by the equation

[3x^2+5xy−2y^2−125=0.]

تلميح

Follow steps 1 and 2 of the five-step method outlined above

إجابه

The conic is a hyperbola and the angle of rotation of the axes is (θ=22.5°.)

المفاهيم الرئيسية

  • The equation of a vertical parabola in standard form with given focus and directrix is (y=dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k) where (p) is the distance from the vertex to the focus and ((h,k)) are the coordinates of the vertex.
  • The equation of a horizontal ellipse in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}+dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the major axis has length 2a, the minor axis has length 2b, and the coordinates of the foci are ((h±c,k)), where (c^2=a^2−b^2).
  • The equation of a horizontal hyperbola in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}−dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the vertices are located at ((h±a,k)), and the coordinates of the foci are ((h±c,k),) where (c^2=a^2+b^2).
  • The eccentricity of an ellipse is less than 1, the eccentricity of a parabola is equal to 1, and the eccentricity of a hyperbola is greater than 1. The eccentricity of a circle is 0.
  • The polar equation of a conic section with eccentricity ه is (r=dfrac{ep}{1±ecosθ}) or (r=dfrac{ep}{1±esinθ}), where ص represents the focal parameter.
  • To identify a conic generated by the equation (Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0),first calculate the discriminant (D=4AC−B^2). If (D>0) then the conic is an ellipse, if (D=0) then the conic is a parabola, and if (D<0) then the conic is a hyperbola.

قائمة المصطلحات

conic section
a conic section is any curve formed by the intersection of a plane with a cone of two nappes
directrix
a directrix (plural: directrices) is a line used to construct and define a conic section; a parabola has one directrix; ellipses and hyperbolas have two
discriminant
the value (4AC−B^2), which is used to identify a conic when the equation contains a term involving (xy), is called a discriminant
focus
a focus (plural: foci) is a point used to construct and define a conic section; a parabola has one focus; an ellipse and a hyperbola have two
eccentricity
the eccentricity is defined as the distance from any point on the conic section to its focus divided by the perpendicular distance from that point to the nearest directrix
focal parameter
the focal parameter is the distance from a focus of a conic section to the nearest directrix
general form
an equation of a conic section written as a general second-degree equation
major axis
the major axis of a conic section passes through the vertex in the case of a parabola or through the two vertices in the case of an ellipse or hyperbola; it is also an axis of symmetry of the conic; also called the transverse axis
minor axis
the minor axis is perpendicular to the major axis and intersects the major axis at the center of the conic, or at the vertex in the case of the parabola; also called the conjugate axis
nappe
a nappe is one half of a double cone
standard form
an equation of a conic section showing its properties, such as location of the vertex or lengths of major and minor axes
قمة الرأس
a vertex is an extreme point on a conic section; a parabola has one vertex at its turning point. An ellipse has two vertices, one at each end of the major axis; a hyperbola has two vertices, one at the turning point of each branch

المفاهيم الرئيسية

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ This book is Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 and you must attribute OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة اقتباس مثل هذه.
    • Authors: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • Book title: Calculus Volume 2
    • Publication date: Mar 30, 2016
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • Book URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/7-key-concepts

    © Dec 21, 2020 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 license. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    Breezy Hill Turning

    Conefluence- In this piece nine separate conic sections merge together into the form of a hemisphere. Since the width of each conic section is the the same, the inner edges of the conic sections also describe a hemisphere.----SOLD

    Conefluence- 10&rdquoH x 8&rdquoD. Hemisphere- Big Leaf Maple Burl, Dyes, Lacquer, Colored Epoxy. Stand- Maple, Dye, Acrylic Rod----SOLD

    Conefluence- This work is actually 9 separate turnings that were carefully joined together. Since the width of each conic section is the the same, the inner edges of the conic sections also describe a hemisphere.----SOLD


    The extreme points of the latus rectum of a parabola are (7,5) and (7,3). Find the equation of parabola and the points where it meets the coordinate axis .


    Since you have equation so putting x = 0 and y = 0 one by one you may calculate points where they cut coordinate axis.

    Jegannathan Anandaraman answered this

    Hello Rocky dear, with the data of extreme points of latus rectum 4a = 2
    But there are two possibilities. Parabola may face left ward or right ward
    Let us take first option right ward
    So its equation has to by (y - k)^2 = 4 a ( x- h)
    Now the focus can be found as (7,4)
    So the vertex has to be [(7-1/2) , 4] or (13/2 , 4). This establishes that h = 13/2 and k = 4
    Hence the equation of the parabola
    (y-4)^2 = 2 * (x- 13/2)
    Now to get meeting point with co-ordinate axes plug x = 0 you get meeting with y axis
    Plug y = 0 you would get the meeting point with x axis.
    Hope you would complete the work. All the best


    As we can see the angle between the two curves at point $(2+2sqrt 2,2+2sqrt2)$ is twice the angle formed by the tangent and $x$ -axis and the line $y=x$ .

    The tangent has gradient $f'(2+2sqrt 2)= sqrt<2>+1$

    Thus the angle formed with $x$ -axis is $arctan(sqrt 2+1)=67.5°$

    Less the $45°$ of the angle bisector $y=x$ we see that the curves form an angle

    In a similar way the angle formed by the two curves at the other intersection point is $135°$ .

    The two curves intersect in $Bbb R^2$ in the two points $P_pm=(2pmsqrt 2, 2pmsqrt2)$ . Both points are on the line $x=y$ . So it is enough to get the angle of the tangent of each parabola in $P_pm$ with the line $x=y$ .

    So let us consider first parabola $4(y+1)=x^2$ . Its focus is the origin. Take a look for instance at:

    It is also easy to see this algebraically. The squared distance from a point $P=(x,y)$ to the focus $F=(0,0)$ is $x^2+y^2$ , and the squared distance from $P$ to the horizontal line $(d)$ given by $y=-2$ (diretrix) is $(y+2)^2$ . So the parabola, the geometric locus of all points equally far from $F$ and $(d)$ has the equation $x^2+y^2=(y+2)^2$ . This is our parabola.

    Using the "optical properties", a ray comming verically from "infinity" to the point $P_pm$ is reflected (in the "wall of the parabola", i.e. in the tangent in that point to the "wall"), and the reflection passes through the focus. This means that the we know the angle of the tangent in $P_pm$ at the parabola.

    (Arguably, we still have to show this optical property without differential calculus. else this would be a "cheating answer", since we do not use differentiation, but an argument, that may use it. Is this an issue?)

    For the other parabola, take a "horizontal rays".

    Note: If this is not enough, i will come back with pictures and computations.


    Tests

    You are missed when you are not in class!

    If you miss a test, it is your responsibility to speak to me as soon as possible to determine whether or not your excuse is acceptable. Here is some General Guidance regarding appropriate reasons for absence from a test or examination. If you are in doubt, ask me as soon as possible. However, please note that leaving early for a holiday, making plane reservations to leave early while classes or examinations are scheduled by the University, or planning to attend a social event during University scheduled class times is ليس a legitimate excuse for missing a test.


    7.5 Strategy for Integration

    Introduction: In this lesson we will review all of the integration techniques we have learned thus far and, given a variety of integrals, discuss when to use which techniques. Often, the hardest step in computing an integral is determining which technique to apply and this lesson will focus on how you make that choice.

    Objectives: After this lesson you should be able to:

    • Integrate functions using the following techniques or a combination of these techniques:
      • الاستبدال
      • Integration by Parts
      • Trigonometric Integrals
      • Trigonometric Substitution
      • Partial Fractions

      Video & Notes: Fill out the note sheet for this lesson (7-5-Strategy-for-Integration) as you watch the video. If you prefer, you could read Section 7.5 of your textbook and work out the problems on the notes on your own as practice. Remember, notes must be uploaded to Blackboard weekly for a grade! If for some reason the video below does not load you can access it on YouTube here.

      Homework: Go to WebAssign and complete the 𔄟.5 Integration Strategy” assignment.

      Practice Problems: # 3, 5, 9, 11, 13, 21, 27, 37, 39, 51

      Leave a Reply Cancel reply

      The University of Alaska Fairbanks is an AA/EO employer and educational institution and prohibits illegal discrimination against any individual. Learn more about UA’s notice of nondiscrimination.


      Polynomials describing an ellipse

      A conic goes through the points $((-1,-3), (-1,1), (0,-3), (0,2), (3,0), (3,2))$ with equation $(-5, 4, -4, 7, -4, 24).(x^2, x y, y^2, x, y, 1)=0$, that happens to be an ellipse. The ellipse passes through various other rational points, such as the following:

      Here's a picture of it with various rational points connected by horizontal or vertical lines. The center is at $(5/8, -3/16)$.

      With some amount of extreme numerical hackery I found exact solutions for the major and minor axis.

      Let $A$ be 4 sols of $8125 + 7500 x - 4400 x^2 - 2560 x^3 + 1024 x^4 = 0$.
      Let $B$ be 4 sols of $-181561 - 9768 x - 23744 x^2 + 12288 x^3 + 16384 x^4 = 0$.

      The major axis is $((A_1,B_1),(A_4,B_4))$. The minor axis is $((A_2,B_3),(A_3,B_2))$.

      لماذا ا؟ Where the heck did those polynomials $A$ and $B$ come from that completely solve the problem? Is there some easy and elegant method for finding them? Do they have a name?

      Partially caused by the paper Where is the Cone? I wondered if there was some easy way to find the cone for some random points.

      Here's five simple points leading to a scarier polynomial: $((4,3),(6,2),(7,-5),(-3,3),(-7,-7))$. Let $C$ be $9293912158137116224000000-381181198346659643504000 x^2+3433033712621714056671 x^4 = 0$


      Ellipse and hyperbola

      &emsp&emspWe have studied two types of second-degree relations thus far: parabolas and circles. We now look at another type, the ellipse.

      ELLIPSES &emsp&emspThe definition of an ellipse is also based on distance.

      ELLIPSES&emsp&emspAn ellipse is the set of all points in a plane the sum of whose distances from two fixed points is constant. The two fixed points are called the foci of the ellipse.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspFor example. the ellipse in Figure 3.37 has foci at points F and F '. By the definition, the ellipse is made up of all points P such that the sum d ( P , F ) + d ( R F &rsquo) is constant. The ellipse in Figure 3.37 has its center at the origin. Points V and V &rsquo are the vertices of the ellipse, and the line segment connecting V and V &rsquo is the major axis. The foci always lie on the major axis. The line segment from B to B &lsquo is the minor axis. The major axis has length 2a , and the minor axis has length 2b .

      &emsp&emspIf the foci are chosen to be on the x -axis (or y - axis), with the center of the ellipse at the origin, then the distance formula and the definition of an ellipse can be used to obtain the following result. (See Exercise 43.)

      EQUATION OF AN ELLIPSE

      &emsp&emspThe ellipse centered at the origin with x -intercepts a and -a , and y -intercepts b and -b , has equation

      &emsp&emspIn an equation of an ellipse, the coefficients of x^2 and y^2 must be different positive numbers. (What happens if the coefficients are equal?)

      &emsp&emspAn ellipse is the graph of a relation. As suggested by the graph in Figure 3.37, if the ellipse has equation (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 , the domain is [-a, a ] and the range is [-b, b ]. Notice that the ellipse in Figure 3.37 is symmetric with respect to the x -axis, the y -axis, and the origin. More generally, every ellipse is symmetric with respect to its major axis, its minor axis, and its center.

      &emsp&emspEllipses have many useful applications. As the earth makes its year-long journey around the sun, it traces an ellipse. Spacecraft travel around the earth in elliptical orbits, and planets make elliptical orbits around the sun. An interesting recent application is the use of an elliptical tub in the nonsurgical removal of kidney stones.

      GRAPHING AN ELLIPSE CENTERED AT THE ORIGIN

      &emsp&emspTo gel the form of the equation of an ellipse, divide both sides by 36 .

      &emsp&emspThis ellipse is centered at the origin, with x -intercepts 3 and -3 , and y -intercepts 2 and -2 . Additional ordered pairs that satisfy the equation of the ellipse may be found and plotted as needed (a calculator with a square root key will be helpful). The domain of this relation is -3,3 . and the range is -2,2 . The graph is shown in Figure 3.38.

      &emsp&emsp

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

      FINDING THE EQUATION OF AN ELLIPSE

      &emsp&emspGive the equation of the ellipse with center at the origin, a vertex at (5,0) , and minor axis of length 6 .

      &emsp&emspThe equation will have the form (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 . One vertex is at (5,0) , so a = 5 . The minor axis has length 2b . وبالتالي

      &emsp&emspRecall from Section 3.4 that the circle x^2 + y^2 = r^2 , whose center is at the origin, can be translated away from the origin so that the circle (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 has its center at (h, k) . In a similar manner, an ellipse can be translated so that its center is away from the origin.

      IN SIMPLEST TERMS

      One of the most useful properties of an ellipse is its reflexive property. if a beam is projected from one focus onto the ellipse, it will reflect to the other focus. This feature has helped scientists develop the lithographer, a machine that uses shock waves to crush kidney stones. The waves originate at one focus and are reflected to hit the kidney stone which is positioned at the second focus.

      &emsp&emspTo determine the focus of an ellipse, use the formula b^2=a^2-c^2 , where
      the distance from the center to one end of the major axis is represented by a , the distance from the center to one end of the minor axis is represented by b , and the distance from the center to each focus is represented by c . The foci will lie on the major axis. Solving this formula for c gives c=+-root(a^2-b^2) .

      In finding the foci of the ellipse x^2/25+y^2/9=1 , we see that a^2=25 , b^2=9 and c=+-root(16)=+-4 . Since the center of the ellipse is at (0, 0) , the foci are located at (-4, 0) and (4, 0) .

      GRAPHING AN ELLIPSE TRANSLATED AWAY FROM THE ORIGIN

      &emsp&emsp

      &emsp&emspwe would have an ellipse with center at (0, 0) . The terms in the numerators of the fractions on the left side, however. indicate that this relation represents an ellipse centered at (2, -1) . Graph the ellipse using the fact that a = 3 and b=4 . Stan at (2. -1) and locate two points each 3 units away from (2. -1) on a horizontal line, one to the right of (2. -1) and one to the left. Locate two other points on a vertical line through (2. -1) , one 4 units up and one 4 units down. Since b > a , the vertices are on the
      vertical line through the center. The vertices are (2. 3) and (2. -5) . Find additional points as necessary. The final graph is shown in Figure 3.39. As the graph suggests, the domain is -1,5 , and the range is -5,3 .

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

      HYPERBOLAS&emsp&emspThe definition of an ellipse requires that the sum of the distances form two fixed points be constant. The definition of hyperbola involves the difference rather than the sum.

      HYPERBOLAS&emsp&emspA hyperbole is the set of all points in a plane such that the absolute value of the difference of the distances from two fixed points (called foci) is constant.

      &emsp&emspSome applications of hyperbolas are given in the exercises.

      &emsp&emspAs with ellipses, the equation of a hyperbola can be found from the distance formula and the definition of a hyperbola. (See Exercise 45.)

      EQUATIONS OF HYPERBOLAS

      &emsp&emspA hyperbola centered at the origin, with x -intercepts a and -a , has an equation of the form

      &emsp&emspwhile a hyperbola centered at the origin, with y -intercepts b and -b , has an equation of the form

      &emsp&emspSome texts use y^2/a^2-x^2/b^2=1 for this last equation. For a brief introduction such as this, the form given is commonly used.

      &emsp&emspThe x -intercepts are the vertices of a hyperbola with the equation (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 , and the y -intercepts are the vertices of a hyperbola with the equation (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 . The line segment between the vertices is the transverse axis of the hyperbola&lsquo and the midpoint of the transverse axis is the center of the hyperbola.

      GRAPHING A HYPERBOLA CENTERED AT THE ORIGIN

      &emsp&emspGraph the hyperbola x^2/16-y^2/9=1 .

      &emsp&emspBy the first equation of a hyperbola given earlier. the hyperbole is centered at the origin and has x -intercepts 4 and -4 . However, if x = 0 ,

      &emsp&emspwhich has no real solutions. For this reason, the graph has no y-intercepts. To complete the graph. find some other ordered pairs that belong to it. For example, if x=6 ,

      &emsp&emsp y^2/9=20/16 &emsp&emspMultiply by -1 and combine terms.

      &emsp&emsp y^2=180/16=45/4 &emsp&emspMultiply by 9 lowest terms.

      &emsp&emsp y=+-(3root(5))/(2) &asymp +-3.4 .&emsp&emspTake square roots and use a calculator.

      &emsp&emspThe graph includes the points (6,3.4) and (6, -3.4) . If x = -6 , y &asymp +-3.4 , so the points (-6, 3.4) and (-6, -3.4) also are on the graph. These points, along with other points on the graph, were used to help sketch the final graph shown in Figure 3.40. The graph suggests that the domain of this hyperbola is (-&infin,-4) (4,&infin) , while the range is (-&infin,&infin) . Using the tests for symmetry would show that this hyperbola is symmetric with respect to the x -axis, the y -axis, and the origin.

      &emsp&emsp &emsp&emsp

      &emsp&emspStarting with

      &emsp&emspIf x^2 is very large in comparison to a^2 , the difference x^2-a^2 would be very close to x^2 . If this happens, then the points satisfying equation (*) above would be very close to one of the lines

      &emsp&emspThus, as |x| gets larger and larger, the points of the hyperbola x^2/a^2-y^2/b^2=1 come closer and closer to the lines y=(+-b/a)x . These lines, called the asymptotes of the hyperbola, are very helpful when graphing the hyperbola. An asymptotes is a line that the graph of a relation approaches but never reaches as |x| gets large. Asymptotes are discussed again in Sections 5.1 and 6.6.

      USING ASYMPTOTES TO GRAPH A HYPERBOLA

      &emsp&emsp

      &emsp&emspFor this hyperbola, a = 5 and b = 7 . with these values, y = (+-b/a)x becomes y = (+-7/5)x . Use the x -intercepts: if x = 5 , then y = (+-7/5)(5) = +-7 , and if x = -5 , y = 17 . These four points, (5, 7),(5, -7), (-5, 7) , and (-5, -7) , lead to the rectangle shown in Figure 3.41. The extended diagonals of this rectangle are the asymptotes of the hyperbola. The hyperbola has x -intercepts 5 and -5 . The domain is (-&infin,-5) (5,&infin) , and the range is (-&infin,&infin) . The final graph is shown in Figure 3.41.

      &emsp&emspThe rectangle used to find the asymptotes of the hyperbola in Example 5 is called the fundamental rectangle.

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

      ASYMPTOTES OF A HYPERBOLA

      &emsp&emspThe asymptotes of the hyperbola with equation

      &emsp&emspare the extended diagonals of the fundamental rectangle with vertices at (a, b),(a, -b), (-a, b) , and (-a, -b) .

      &emsp&emspBy using slopes of the diagonals of the fundamental rectangle, we can verify that the equations of the diagonals are as follows.

      EQUATIONS OF ASYMPTOTES

      &emsp&emspThe equations of the asymptotes of either of the hyperbolas (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 or (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 are

      &emsp&emspLike the relations studied earlier in this chapter, hyperbolas may be translated. The type of translation can be determined from the equation. just as it was with parabolas, circles, and ellipses.

      GRAPHING A HYPERBOLA TRANSLATED AWAY FROM THE ORIGIN&emsp

      &emsp&emsp

      &emsp&emspThis hyperbola has the same graph as

      &emsp&emspexcept that it is centered at (-3, -2) . See Figure 3.42.

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

      FINDING THE EQUATION OF A HYPERBOLA

      &emsp&emspWrite the equation of the hyperbola centered at (-2, 1) , with a vertex at (-2. 3) , and with a equal to half of b .

      &emsp&emspSince both the vertex and the center are on the transverse axis, it must be the vertical line x = -2 . The equation will have the form

      &emsp&emspThe distance from the center to the given vertex at (-2, 3) gives b for this hyperbola. Using the distance formula,

      &emsp&emspFrom the information given. a = (1/2)b = (1/2)(2) = 1 , so the equation is

      3.6&emsp&emspTHE CONIC SECTIONS

      &emsp&emspThe graphs of the second degree relations studied in this chapter, parabolas, hyperbolas, ellipses, and circles, are called conic sections since each can be obtained by cutting a cone with a plane. as shown in Figure 3.43.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspAll conic sections presented in this chapter have equations of the form

      &emsp&emspwhere either A or C must be nonzero. The special characteristics of each of the conic sections are summarized below.

      EQUATIONS OF CONIC SECTIONS

      جonic Section Characteristic مثال
      Parabola Either A=0 or C=0 , but not both. y=x^2 x=3y^2+2y-4
      دائرة A=C!=0 x^2+y^2=16
      الشكل البيضاوي A!=C,AC>0 x^2/16+y^2/25=1
      Hyperbola AC<0 x^1-y^2=1

      &emsp&emspThe following chart summarizes our work with conic sections.&emsp

      &emsp&emspIn order lo recognize the type of graph that a given conic section has, it is sometimes necessary to transform the equation into a more familiar form, as shown in the next examples.

      DETERMINING THE TYPE OF A CONIC SECTION FROM ITS EQUATION

      &emsp&emspDecide on the type of conic section represented by each of the following equations, and sketch each graph.

      &emsp&emspDivide each side by 100 to get

      &emsp&emspThis is a hyperbola centered at the origin, with foci on the y -axis, and y -intercepts 2 and -2 The points (5 ,2) (5 ,-2) ,(-5 2) (-5,-2) determine the fundamental rectangle. The diagonals of the rectangle are the asymptotes, and their equations are

      &emsp&emspThe graph is shown in Figure 3.44

      &emsp&emsp

      &emsp&emspRewriting the equation as

      &emsp&emspshows that the equation represents a hyperbola centered at the origin, with asymptotes

      &emsp&emspThe x -intercepts are +-5 the graph is shown in Figure 3.45.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspSince the coefficients of the x^2 and y^2 terms are unequal and both positive, this equation might represent an ellipse. (It might also represent a single point or no points at all.) To find out, complete the square on x and y .

      &emsp&emsp 4(x^2-4x)+9(y^2+6y)=-61 &emsp&emspFactor out a 4 Factor out a 9 .

      &emsp&emsp 4(x^2-4x+4-4)+9(y^2+6y+9-9)=-61 &emsp&emspAdd and subtract the same quantity.

      &emsp&emspThis equation represents an ellipse having center at (2, -3) and graph as shown in Figure 3.46.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspComplete the square on both x and y , as follows

      &emsp&emspThis result shows that the equation is that of a circle of radius 0 that is, the point (4, -5) . Had a negative number been obtained on the right (instead of 0 ), the equation would have represented no points at all, and there would be no graph.

      &emsp&emspSince only one variable is squared ( x , and not y ), the equation represents a parabola. Rearrange the terms to get the term with y (the variable that is not squared) alone on one side. Then complete the square on the other side of the equation.

      &emsp&emspThe parabola has vertex at (3, 2) , and opens downward, as shown in Figure 3.47.

      &emsp&emsp

      DETERMINING THE TYPE OF A CONIC SECTION FROM ITS EQUATION

      &emsp&emspComplete the square on x and on y .

      &emsp&emspBecause of the -36 , it is very tempting to say that this equation does not have a graph. However, the minus sign in the middle on the left shows that the graph is that of a hyperbola. Dividing through by - -36 and rearranging terms gives

      &emsp&emspa hyperbola centered at (1 , 2) , with graph as shown in Figure 3.48.

      &emsp&emsp

      &emsp&emspRelations are sometimes defined as square roots of expressions so that their graphs consist of only a portion of the graph of a complete conic section. The final example illustrates one such relation.

      GRAPHING A RELATION DEFINED BY A SQUARE ROOT

      &emsp&emspSquaring both sides gives

      &emsp&emspUse the fact that 4 = 1/(1/4) to write the equation as

      &emsp&emspthe equation of a hyperbola with y -intercepts 1 and -1 . Use the points (1/2, 1) , (1/2, -1), (-1/2, 1) , and (-l/2, -1) to sketch the asymptotes. Since the given equation y=-root(1+4x^2) restricts y to nonpositive values, the graph is the lower branch of the hyperbola, as shown in Figure 3.49. The domain of y=-root(1+4x^2) is the set of all x such that 1+4x^2>=0 . This condition is satisfied for all x in the interval (-&infin,&infin) . The range is (-&infin,-1) .

      &emsp&emsp

      Let&rsquos see how our math solver generates graph for this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.


      شاهد الفيديو: اجمل سؤال وزاري في القطوع المخروطية (شهر اكتوبر 2021).