مقالات

4.4: المربعات اللاتينية - الرياضيات


التعريف: مربع لاتيني

أ المربع اللاتيني الترتيب (n ) عبارة عن (n times n ) شبكة مليئة برموز (n ) بحيث يظهر كل رمز مرة واحدة في كل صف وعمود.

مثال ( PageIndex {1} )

هنا مربع لاتيني من أجل 4:

عادةً ما نستخدم الأعداد الصحيحة (1 ldots n ) للرموز. هناك العديد والعديد من المربعات اللاتينية للترتيب (n ) ، لذلك من المفيد تحديد العدد من خلال الموافقة على عدم حساب المربعات اللاتينية التي "تتطابق حقًا" مع المربعات المختلفة. إن أبسط طريقة للقيام بذلك هي التفكير مخفض المربعات اللاتينية. المربع اللاتيني المصغر هو المربع الذي يكون فيه الصف الأول (1 ldots n ) (بالترتيب) والعمود الأول كذلك (1 ldots n ).

مثال ( PageIndex {2} )

خذ بعين الاعتبار هذه الساحة اللاتينية:

4231
2413
1342
3124

ترتيب الصفوف والأعمدة ليس مهمًا حقًا لفكرة المربع اللاتيني. إذا أعدنا ترتيب الصفوف والأعمدة ، فيمكننا اعتبار النتيجة في جوهرها نفس المربع اللاتيني. من خلال إعادة ترتيب الأعمدة ، يمكننا تحويل المربع أعلاه إلى هذا:

1234
3412
2341
4123

ثم يمكننا تبديل الصفين الثاني والثالث:

1234
2341
3412
4123

هذا المربع اللاتيني في شكل مختزل ، وهو في الأساس نفس المربع الأصلي.

هناك طريقة أخرى بسيطة لتغيير مظهر المربع اللاتيني دون تغيير هيكله الأساسي وهي تبادل الرموز.

مثال ( PageIndex {3} )

بدءًا من نفس المربع اللاتيني كما في السابق:

4231
2413
1342
3124

يمكننا تبادل الرموز 1 و 4 للحصول على:

1234
2143
4312
3421

الآن إذا قمنا بتبديل الصفوف الثلاثة والأربعة نحصل على:

1234
2143
3421
4312

لاحظ أن هذا المربع اللاتيني في شكل مختزل ، لكنه يختلف عن الشكل المختزل من المثال السابق ، على الرغم من أننا بدأنا بالمربع اللاتيني نفسه. وبالتالي ، قد نرغب في اعتبار بعض المربعات اللاتينية المختصرة مماثلة لبعضها البعض.

التعريف: فئات النظائر والنظائر

اثنين من المربعات اللاتينية النظائر إذا كان يمكن تحويل كل منهما إلى الآخر عن طريق تبديل الصفوف والأعمدة والرموز. هذه العلاقة النظيرية هي علاقة تكافؤ. فئات التكافؤ هي iسوتوبي الطبقات.

يبدو من الصعب حساب المربعات اللاتينية بدون قوة حسابية كبيرة. عدد المربعات اللاتينية معروف فقط حتى (n = 11 ). فيما يلي القيم القليلة الأولى لجميع المربعات اللاتينية ، والمربعات اللاتينية المختزلة ، والمربعات اللاتينية غير النظيرية (أي عدد فئات النظائر):

(ن)الجميعمخفضغير النظائر
1111
2211
31211
457642
5161280562

كيف ننتج مربع لاتيني؟ إذا كنت تعرف ما هي المجموعة ، فيجب أن تعلم أن جدول الضرب لأي مجموعة محدودة هو مربع لاتيني. (أيضًا ، أي مربع لاتيني هو جدول الضرب لـ a كواسي جروب.) حتى لو لم تصادف مجموعات بهذا الاسم ، فقد تعرف بعضها. على سبيل المثال ، بالنظر إلى الأعداد الصحيحة modulo (n ) تحت الإضافة ، فإن جدول الإضافة هو مربع لاتيني.

مثال ( PageIndex {4} )

مثال 4.3.6 هنا جدول جمع الأعداد الصحيحة ، النموذج 6:

012345
123450
234501
345012
450123
501234

مثال 4.3.7 هنا طريقة أخرى لتوليد العديد من المربعات اللاتينية. ابدأ بالصف الأول (1، ldots، n ). ضع في اعتبارك المجموعات (A_i = [n] شرطة مائلة عكسية {i } ). من التمرين 1 في قسم 4.1 نحن نعلم أن نظام المجموعة هذا يحتوي على الكثير SDRس؛ إذا كان (x_1 ، x_2 ، ldots ، x_n ) هو ملف SDR، يمكننا استخدامه للصف الثاني. بشكل عام ، بعد أن اخترنا الصفوف (1 ، ldots ، ي ) ، نسمح لـ (A_i ) أن تكون مجموعة الأعداد الصحيحة التي لم يتم اختيارها للعمود (i ). يحتوي نظام المجموعة هذا على ملف SDR، والتي نستخدمها للصف (ي + 1 ).

التعريف 4.3.8 افترض أن (A ) و (B ) مربعان لاتينيان للترتيب (n ) ، مع إدخالات (A_ {i، j} ) و (B_ {i، j} ) في الصف (i ) والعمود (ي ). شكل المصفوفة (M ) بإدخالات (M_ {i، j} = (A_ {i، j}، B_ {i، j}) ) ؛ سنشير إلى هذه العملية كـ (M = A cup B ). نقول أن (أ ) و (ب ) متعامد إذا كان (M ) يحتوي على جميع (n ^ 2 ) الأزواج المرتبة ((a، b) ) ، (1 le a le n ) ، (1 le b le n ) ، أي جميع عناصر ( {0،1 ، ldots ، n-1 } مرات {0،1 ، ldots ، n-1 } ).

كما سنرى ، من السهل العثور على مربعات ترتيب لاتينية متعامدة (n ) إذا كان (n ) غريبًا ؛ ليس من الصعب جدًا العثور على مربعات لاتينية متعامدة من الترتيب (4k ) ، ومن الصعب ولكن من الممكن العثور على مربعات ترتيب لاتينية متعامدة (4k + 2 ) ، باستثناء الأوامر (2 ) و (6 ) ). في القرن الثامن عشر الميلادي ، أظهر أويلر وجود مربعات لاتينية متعامدة لجميع الرتب باستثناء الترتيب (4k + 2 ) ، وخمن أنه لا توجد مربعات لاتينية متعامدة من الترتيب (6 ). في عام 1901 ، أظهر عالم الرياضيات الهاوي غاستون تاري أنه في الواقع لا يوجد أي ترتيب ، من خلال إظهار أن جميع الاحتمالات لمثل هذه المربعات اللاتينية فشلت في أن تكون متعامدة. في عام 1959 تبين أخيرًا أن هناك مربعات لاتينية متعامدة لجميع الطلبات الأخرى.

نظرية 4.3.9

هناك أزواج من المربعات اللاتينية المتعامدة (n ) عندما (n ) فردية.

دليل

يمكن اختصار هذا الدليل باستخدام أفكار نظرية المجموعة ، لكننا سنقدم نسخة قائمة بذاتها. ضع في اعتبارك جدول الإضافة لتعديل الإضافة (n ):

0 ( cdots ) (ي ) ( cdots ) (ن -1 )
00 ( cdots ) (ي ) ( cdots ) (ن -1 )
( vdots )
(أنا)(أنا) ( cdots ) (أنا + ي ) ( cdots ) (n + i-1 )
( vdots )
(ن -1 ) (ن -1 ) ( cdots ) (n + j-1 ) ( cdots ) (ن -2 )

ندعي أولاً أن هذا (بدون الصف الأول والعمود بالطبع) هو مربع لاتيني به رموز (0،1، ldots، n-1 ). ضع في اعتبارك إدخالين في الصف (i ) ، قل (i + j ) و (i + k ). إذا كان (i + j equiv i + j pmod {n} ) ، إذن (j equiv k ) ، لذلك (j = k ). وبالتالي ، فإن جميع إدخالات الصف (i ) مميزة ، لذا فإن كل من (0،1 ، ldots ، n-1 ) يظهر مرة واحدة بالضبط في الصف (i ). والدليل على أن كل منها يظهر مرة واحدة في أي عمود مشابه. نسمي هذا المربع اللاتيني (A ). (لاحظ أن كل شيء صحيح حتى الآن سواء كان (n ) فرديًا أو زوجيًا.)

الآن شكل مربعًا جديدًا (B ) بإدخالات (B_ {i، j} = A_ {2i، j} = 2i + j ) ، حيث من خلال (2i ) و (2i + j ) نحن تعني تلك القيم mod (n ). وبالتالي فإن الصف (i ) من (B ) هو نفس الصف (2i ) من (A ). الآن ندعي أن صفوف (B ) هي بالضبط صفوف (A ) بترتيب مختلف. للقيام بذلك ، يكفي إظهار أنه إذا (2i equiv 2k pmod {n} ) ، إذن (i = k ). هذا يعني أن جميع صفوف (ب ) مميزة ، وبالتالي يجب أن تكون جميع صفوف (أ ).

افترض دون فقدان العمومية أن (i ge k ). إذا (2i equiv 2k pmod {n} ) ثم (n يقسم 2 (i-k) ). بما أن (n ) غريب ، (n يقسم (i-k) ). بما أن (i ) و (k ) موجودان في (0،1، ldots، n-1 )، (0 le i-k le n-1 ). من بين هذه القيم ، فقط (0 ) قابل للقسمة على (n ) ، لذلك (i-k = 0 ). وبالتالي فإن (B ) هو أيضًا مربع لاتيني.

لتوضيح أن (A cup B ) يحتوي على كافة (n ^ 2 ) عناصر ( {0،1، ldots، n-1 } مرات {0،1، ldots، n -1 } ) ، يكفي إظهار عدم تماثل عنصرين من (أ كوب ب ). افترض أن ((i_1 + j_1،2i_1 + j_1) = (i_2 + j_2،2i_2 + j_2) ) (الحساب هو تعديل (n )). ثم بطرح المعادلات (i_1 = i_2 ) ؛ مع المعادلة الأولى هذا يعني (j_1 = j_2 ).

(ميدان)

المثال 4.3.10 عندما (n = 3 )، $$ left [ matrix {0 & 1 & 2 cr 1 & 2 & 0 cr 2 & 0 & 1 cr} right] cup left [ matrix {0 & 1 & 2 cr 2 & 0 & 1 cr 1 & 2 & 0 cr} right] = left [ matrix {(0،0) & (1،1) & (2،2) cr (1،2) & (2،0) & (0،1) cr (2،1) & (0،2) & (1،0) cr} right]. $$

تتمثل إحدى الطرق الواضحة لبناء المربعات اللاتينية ، وأزواج المربعات اللاتينية المتعامدة ، في البدء بمربعات لاتينية أصغر واستخدامها لإنتاج مربعات أكبر. سننتج مربعًا لاتينيًا من أجل (mn ) من مربع ترتيب لاتيني (m ) وآخر من أجل (n ).

لنفترض (A ) أن يكون مربعًا لاتينيًا (m ) به رموز (1 ، ldots ، m ) ، و (B ) أحد الترتيب (n ) برموز (1 ، ldots ، n ). لنكن (c_ {i، j} ) ، (1 le i le m ) ، (1 le j le n ) ، (mn ) رموزًا جديدة. قم بتكوين شبكة (mn times mn ) عن طريق استبدال كل إدخال من (B ) بنسخة من (A ). ثم استبدل كل إدخال (i ) في هذه النسخة من (A ) بـ (c_ {i ، j} ) ، حيث يمثل (j ) إدخال (B ) الذي تم استبداله. نشير إلى هذا المربع اللاتيني الجديد (أ مرات ب ). إليك مثال ، دمج (4 times 4 ) مربع لاتيني مع (3 times 3 ) مربع لاتيني لتشكيل مربع لاتيني (12 times 12 ):}

(1)(2)(3)(4)
(2)(3)(4)(1)
(3)(4)(1)(2)
(4)(1)(2)(3)
(مرات )
(1)(2)(3)
(2)(3)(1)
(3)(1)(2)
(=)
(ج_ {1،1} ) (ج_ {2،1} ) (ج_ {3،1} ) (ج_ {4،1} )
(ج_ {2،1} ) (ج_ {3،1} ) (ج_ {4،1} ) (ج_ {1،1} )
(ج_ {3،1} ) (ج_ {4،1} ) (ج_ {1،1} ) (ج_ {2،1} )
(ج_ {4،1} ) (ج_ {1،1} ) (ج_ {2،1} ) (ج_ {3،1} )
(ج_ {1،2} ) (ج_ {2،2} ) (ج_ {3،2} ) (ج_ {4،2} )
(ج_ {2،2} ) (ج_ {3،2} ) (ج_ {4،2} ) (ج_ {1،2} )
(ج_ {3،2} ) (ج_ {4،2} ) (ج_ {1،2} ) (ج_ {2،2} )
(ج_ {4،2} ) (ج_ {1،2} ) (ج_ {2،2} ) (ج_ {3،2} )
(ج_ {1،3} ) (ج_ {2،3} ) (ج_ {3،3} ) (ج_ {4،3} )
(ج_ {2،3} ) (ج_ {3،3} ) (ج_ {4،3} ) (ج_ {1،3} )
(ج_ {3،3} ) (ج_ {4،3} ) (ج_ {1،3} ) (ج_ {2،3} )
(ج_ {4،3} ) (ج_ {1،3} ) (ج_ {2،3} ) (ج_ {3،3} )
(ج_ {1،2} ) (ج_ {2،2} ) (ج_ {3،2} ) (ج_ {4،2} )
(ج_ {2،2} ) (ج_ {3،2} ) (ج_ {4،2} ) (ج_ {1،2} )
(ج_ {3،2} ) (ج_ {4،2} ) (ج_ {1،2} ) (ج_ {2،2} )
(ج_ {4،2} ) (ج_ {1،2} ) (ج_ {2،2} ) (ج_ {3،2} )
(ج_ {1،3} ) (ج_ {2،3} ) (ج_ {3،3} ) (ج_ {4،3} )
(ج_ {2،3} ) (ج_ {3،3} ) (ج_ {4،3} ) (ج_ {1،3} )
(ج_ {3،3} ) (ج_ {4،3} ) (ج_ {1،3} ) (ج_ {2،3} )
(ج_ {4،3} ) (ج_ {1،3} ) (ج_ {2،3} ) (ج_ {3،3} )
(ج_ {1،1} ) (ج_ {2،1} ) (ج_ {3،1} ) (ج_ {4،1} )
(ج_ {2،1} ) (ج_ {3،1} ) (ج_ {4،1} ) (ج_ {1،1} )
(ج_ {3،1} ) (ج_ {4،1} ) (ج_ {1،1} ) (ج_ {2،1} )
(ج_ {4،1} ) (ج_ {1،1} ) (ج_ {2،1} ) (ج_ {3،1} )
(ج_ {1،3} ) (ج_ {2،3} ) (ج_ {3،3} ) (ج_ {4،3} )
(ج_ {2،3} ) (ج_ {3،3} ) (ج_ {4،3} ) (ج_ {1،3} )
(ج_ {3،3} ) (ج_ {4،3} ) (ج_ {1،3} ) (ج_ {2،3} )
(ج_ {4،3} ) (ج_ {1،3} ) (ج_ {2،3} ) (ج_ {3،3} )
(ج_ {1،1} ) (ج_ {2،1} ) (ج_ {3،1} ) (ج_ {4،1} )
(ج_ {2،1} ) (ج_ {3،1} ) (ج_ {4،1} ) (ج_ {1،1} )
(ج_ {3،1} ) (ج_ {4،1} ) (ج_ {1،1} ) (ج_ {2،1} )
(ج_ {4،1} ) (ج_ {1،1} ) (ج_ {2،1} ) (ج_ {3،1} )
(ج_ {1،2} ) (ج_ {2،2} ) (ج_ {3،2} ) (ج_ {4،2} )
(ج_ {2،2} ) (ج_ {3،2} ) (ج_ {4،2} ) (ج_ {1،2} )
(ج_ {3،2} ) (ج_ {4،2} ) (ج_ {1،2} ) (ج_ {2،2} )
(ج_ {4،2} ) (ج_ {1،2} ) (ج_ {2،2} ) (ج_ {3،2} )

نظرية 4.3.11

f (A ) و (B ) هي مربعات لاتينية ، وكذلك (A times B ).

دليل

ضع في اعتبارك رمزين (c_ {i، j} ) و (c_ {k، l} ) في نفس الصف. إذا كانت المواضع التي تحتوي على هذه الرموز في نفس نسخة (A ) ، فإن (i not = k ) ، بما أن (A ) مربع لاتيني ، وبالتالي فإن الرموز (c_ {i ، j} ) و (c_ {k، l} ) مميزان. بخلاف ذلك ، (j not = l ) ، لأن (B ) مربع لاتيني. الوسيطة هي نفسها للأعمدة.

(ميدان)

اللافت أن هذه العملية تحفظ التعامد:

نظرية 4.3.12

إذا كانت (A_1 ) و (A_2 ) مربعات ترتيب لاتينية (م ) ، (B_1 ) و (B_2 ) مربعات ترتيب لاتينية (n ) ، (A_1 ) و (A_2 ) متعامدين ، و (B_1 ) و (B_2 ) متعامدان ، ثم (A_1 مرات B_1 ) متعامد مع (A_1 مرات B_2 ).

دليل

نشير إلى محتويات (A_i times B_i ) بواسطة (C_i (w، x، y، z) ) ، مما يعني الإدخال في الصف (w ) والعمود (x ) من نسخة (A_i ) الذي حل محل الإدخال في الصف (y ) والعمود (z ) من (B_i ) ، والذي نشير إليه (B_i (y ، z) ). نستخدم (A_i (w، x) ) للإشارة إلى الإدخال في الصف (w ) والعمود (x ) لـ (A_i ).

افترض أن ((C_1 (w، x، y، z)، C_2 (w، x، y، z)) = (C_1 (w '، x'، y '، z')، C_2 (w '، x '، y'، z ')) )، حيث ((w، x، y، z) not = (w'، x '، y'، z ') ). إما ((w، x) not = (w '، x') ) أو ((y، z) not = (y '، z') ). إذا كان الأخير ، إذن ((B_1 (y، z)، B_2 (y، z)) = (B_1 (y '، z')، B_2 (y '، z')) ) ، تناقض منذ (B_1 ) متعامد مع (B_2 ). ومن ثم ((y، z) = (y '، z') ) و ((w، x) not = (w '، x') ). لكن هذا يعني أن ((A_1 (w، x)، A_2 (w، x)) = (A_1 (w '، x')، A_2 (w '، x')) ) ، تناقض. ومن ثم فإن (A_1 times B_1 ) متعامد مع (A_1 times B_2 ).

(ميدان)

نريد بناء مربعات لاتينية متعامدة من أجل (4k ). اكتب (4k = 2 ^ m cdot n ) ، حيث (n ) غريب و (m ge 2 ). نحن نعلم أن هناك مربعات لاتينية متعامدة حسب الترتيب (n ) ، حسب النظرية 4.3.9. إذا كانت هناك مربعات لاتينية متعامدة من الترتيب (2 ^ م ) ، إذن حسب النظرية 4.3.12 يمكننا إنشاء مربعات لاتينية متعامدة بالترتيب (4k = 2 ^ m cdot n ).

للحصول على مربع لاتيني من أجل (2 ^ م ) ، نستخدم أيضًا النظرية 4.3.12. يكفي العثور على مربعين متعامدين لاتيني من الترتيب (4 = 2 ^ 2 ) واثنين من الترتيب (8 = 2 ^ 3 ). ثم تكرر تطبيق النظرية 4.3.12 يسمح لنا ببناء مربعات لاتينية متعامدة من أجل (2 ^ م ) ، (م جي 2 ).

مربعان لاتينيان متعامدان بالترتيب 4:

$$ يسار [ مصفوفة {1 & 2 & 3 & 4 cr 2 & 1 & 4 & 3 cr 3 & 4 & 1 & 2 cr 4 & 3 & 2 & 1 cr} right] left [ matrix {1 & 2 & 3 & 4 cr 3 & 4 & 1 & 2 cr 4 & 3 & 2 & 1 cr 2 & 1 & 4 & 3 cr} right] ،

واثنان من الرتبة 8:

[ مصفوفة {1 و 3 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 2 كر 5 و 2 و 7 و 1 و 8 و 4 و 6 و 3 كر 6 و 4 و 3 و 8 و 1 و 2 و 5 و 7 كر 7 و 8 و 5 و 4 و 2 و 1 و 3 و 6 كر 8 و 7 و 2 و 6 و 5 و 3 و 1 و 4 كر 2 و 5 و 8 و 3 و 7 و 6 و 4 و 1 كر 3 و 1 و 6 و 2 و 4 و 8 و 7 و 5 كر 4 و 6 و 1 و 7 و 3 و 5 و 2 و 8 كر} الحق] $$ يسار يسار [ مصفوفة {1 و 4 و 5 و 6 و 7 و 8 و 2 و 3 كر 8 و 2 و 6 و 5 و 3 و 1 و 4 و 7 كر 2 و 8 و 3 و 7 و 6 و 4 و 1 و 5 cr 3 & 6 & 2 & 4 & 8 & 7 & 5 & 1 cr 4 & 1 & 7 & 3 & 5 & 2 & 8 & 6 cr 5 & 7 & 1 & 8 & 4 & 6 & 3 & 2 cr 6 & 3 & 8 & 1 & 2 & 5 & 7 & 4 cr 7 & 5 & 4 & 2 & 1 & 3 & 6 & 8 cr} right]. $$


المربعات اللاتينية 4x4 والأنماط الأبجدية

يمكن تمثيل السجادة السحرية الأساسية ذات الدفع الرباعي بالنقاط والمسافات. أي خط في أي اتجاه بطول أربعة يحتوي على نقطتين ، أي أنه يجمع إلى 2 أي منطقة 4x4 محددة هو نمط عموم السحر. يمكننا أن نأخذ أربع عينات من هذه السجادة الكبيرة ، ونقوم بتدوير اثنتين منها ، ونصنع أربعة سجاد سحري ممكن طلبهم.

التعويض الأبجدي.

نظرًا لأنها تشبه إلى حد ما أحرف الأبجدية ، فقد تم إعطاؤهم حرفًا للتعرف عليها.

السجادة السحرية الأبجدية المركبة

يتم استبدال النقطة في كل من المربعات أعلاه بحرفها الخاص. ثم يتم دمج المربعات الأربعة لتشكيل المربع المركب على اليسار ثم السجادة الأكبر على اليمين.

يوجد نمط مركب واحد فقط. هذا المربع المركب هو أساس كل المربعات الأربعة السحرية. أي مساحة 4x4 تحتوي على كل حرف مرتين في كل صف وكل سطر وكل قطري. لإنشاء مربع سحري 4x4 فعلي ، سيتم استبدال الأحرف الموجودة في هذا المربع ، على التوالي ، بـ 8 و 4 و 2 و 1 (انظر صفحة 4x4 الرئيسية).

نمط أنيق.

عندما يتكرر النمط ، تظهر سجادة سحرية كبيرة - ممتعة ومتناسقة - مما يجعل النمط الملون المثير للاهتمام على اليسار.

ليست ساحة لاتينية

بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذه ليست "ساحة لاتينية". يستخدم المربع اللاتيني للطلب N أحرف N مرات ، ويحتوي كل صف وكل عمود على حرف واحد من كل حرف. يمكن تحويل المربع أعلاه إلى مربعين لاتينيين.

مربعتان لاتينية 4x4

يجمع الرسم التوضيحي أدناه بين مربعين لاتينيين 4x4 في مربع واحد يسمى Graeco-Latin Square للراحة ويستخدم الأحرف الرومانية الكبيرة والصغيرة بدلاً من استخدام الأحرف الرومانية واليونانية. الأحرف الموجودة في المربع الجديد مشتقة من المربع أعلاه:

A عندما لا يكون S و N موجودين
B عندما يكون N موجودًا
C عندما يكون S موجودًا
D عند وجود كل من S و N
أ في حالة عدم وجود C أو A
ب عندما يكون C موجودًا
ج عندما يكون A موجودًا
د عند وجود كل من C و A

أ ب ج د
ج د أ ب
ب أ د ج
د ج ب أ
+
أ د ج ب
د أ ب ج
ب ج د أ
ج ب أ د
=
أأ ب نسخة ديسيبل
قرص مضغوط دا أب قبل الميلاد
ب مكيف د كاليفورنيا
دي سي سي بي با ميلادي

ليس بان ماجيك.

يُظهر فحص اللغة اليونانية اللاتينية الناتجة أن الصفوف والأعمدة هي حتماً "سحرية" - فهي تحتوي على حرف من كل حرف. ومع ذلك ، هذا ليس صحيحًا بالنسبة لأي من الأقطار التي يمكن أن يضيفوها فقط إلى المجموع السحري للاستبدالات العددية المختارة بشكل مناسب.

قيمة محدودة للمربعات اللاتينية 4x4.

بسبب هذا القيد ، فإن استخدام المربعات اللاتينية محدود فقط في إنشاء مربعات سحرية 4x4. هناك نوعان من المربعات الأبجدية الأخرى الممكنة بحجم 4 × 4 وجميعها موضحة أدناه. والثالث ليس حتى لاتينيًا في ذلك ، الآن ، فقط الأقطار تحتوي على واحد من كل حرف.


إصدارات بديلة من التعامد

(و) المربعات اللاتينية الجزئية المتعامدة بشكل متبادل

مربعان لاتينيان جزئيان (ليسا متميزين بالضرورة) متعامد إذا ، عند وضعهما جنبًا إلى جنب ، لا يظهر أي زوج مرتب من العناصر أكثر من مرة. تسمى مجموعة من المربعات اللاتينية الجزئية r متوافق إذا كان لكل منهما ص الخلايا المشغولة وهذه الخلايا المشغولة في مواقع مقابلة.

ويترتب على ذلك ، على وجه الخصوص ، مربع لاتيني جزئي للترتيب ن الذي لديه فقط ن من خلاياه المحتلة متعامد مع و ن- متوافق مع نفسه. وبالتالي ، فإن معظم الاهتمام جزئي ن × ن المربعات اللاتينية التي تحتوي على أكثر من ن مليئة الخلايا. نشأ هذا المفهوم ، الذي يرجع إلى عبد الغفار (1996) ، فيما يتعلق بنظرية الترميز: أي في تقليل وقت الاسترجاع للعناصر التي تنتمي إلى ملف كبير من البيانات المخزنة على عدة أقراص.

يترك من(ص) تشير إلى الحد الأقصى لعدد المتعامد الزوجي ص- المربعات اللاتينية الجزئية المتوافقة. بالنسبة للتطبيق أعلاه ، كان عبد الغفار مهتمًا بإيجاد حدود لـ من(ص) متي ص & GT ن. أظهر ذلك ، ل ن + 1 ≤ صن 2 ,

لاحظ أن هذه النتيجة تعني على وجه الخصوص ذلك من(ن 2 ) ≤ ن - 1. أظهر عبد الغفار كذلك أن ، ل ن +1 ≤ ص ≤ 2ن, من(ص) = ⌊ص(ص − 1)/2(صن) ⌋ - 2 وقام ببناء المربعات التي تلبي الحد الأخير.

في تطبيق نظرية الترميز المذكورة سابقًا ، تم تحديد الحدود أعلاه من(ص) إعطاء حدود لأفضل وقت ممكن للاسترجاع.


4.4: المربعات اللاتينية - الرياضيات

للتذكير ، يجب أن نذكر هنا أن طلب المربع السحري هو عدد الخلايا الموجودة على أحد جوانبه.

تذكر أن أقدم مربع سحري مسجل من الدرجة الرابعة يبدو أنه تم العثور عليه في نقش في خاجوراهو بالهند يرجع تاريخه إلى حوالي 1000-1100 م.

سوف نفحص طريقة لإنشاء 44 مربعًا سحريًا ، ولكن هذه الطريقة لا تولد المربع الموجود في الهند. (ليست هذه هي الطريقة الوحيدة ، لكنها سريعة ومؤكدة.) نبدأ بإنشاء مصفوفة ذات 44 مربعًا ثم نرسم خطين قطريين للحصول على شكل على النحو التالي.


نبدأ بعد ذلك من الزاوية اليسرى العليا لوضع الرقم 1 ، 2 ، 3. 14،15،16 في الخلايا. ومع ذلك ، لا نضع رقمًا في أي خلية يظهر فيها الخط القطري. نبدأ بالرقم 1 ، لكن هذه الخلية بها خط قطري ، لذلك ننتقل إلى الخلية التالية الفارغة وندخل 2 ، ثم نضع 3 في الخلية التالية. تحتوي الخلية الأخيرة في الصف الأول على خط قطري ، لذلك لا نكتب في 4. ننتقل إلى الصف التالي وندخل 5 في الخلية الأولى ، وهي فارغة ، والخليتان التاليتان لهما خط قطري ، لذلك نحن تخطي 6 و 7. نواصل هذا النمط حتى نصل إلى الخلية الأخيرة في الصف الأخير. سيبدو مربعنا كما يلي:

نبدأ الآن في الزاوية اليمنى السفلية ونعمل في طريقنا إلى الوراء باستخدام الأرقام 1،4،6،7،10،11،13 ، و 16. وضعنا هذا الرقم في الخلايا التي كانت في الأصل تحتوي على خطوط قطرية تبدأ بـ 1 في الركن الأيمن السفلي. يبدو منتجنا النهائي كما يلي:

نرى أنه في المربع النهائي لدينا كل صف وعمود ومجموع قطري للرقم السحري 34 ، والذي تم العثور عليه ، كما ذكرنا أعلاه ، من خلال حساب 4 (4 2 + 1) / 2.

بمجرد أن يكون لدينا هذا المربع ، يمكننا ذلك بحرص أعد ترتيب الصفوف والأعمدة للحصول على 44 مربعًا سحريًا آخر. فيما يلي بعض التغييرات في المربع السحري الأصلي البالغ عددها 44.

لاحظ في إعادة الترتيب أن الأرقام الموجودة في المربع السحري الأصلي 44 تبقى معًا. أي أن الأرقام 16،2،3،13 التي تظهر في الصف الأول ستكون دائمًا معًا ، بترتيب معين ، في صف أو عمود في مربع جديد. هذا صحيح بالنسبة لجميع المجموعات الأخرى المكونة من أربعة أعداد. على سبيل المثال ، إذا كان لديك صف أو عمود يحتوي على الرقمين 3 و 6 ، فيجب أن يحتوي هذا الصف أو العمود أيضًا على الرقمين 10 و 15.

في الأمثلة التي أعيد ترتيبها أعلاه ، فإن المربع السحري الأخير له أهمية تاريخية خاصة في الرياضيات والفن. يظهر هذا المربع السحري في خلفية النقش ميلينكوليا بواسطة Albrecht D & uumlrer ، وهو ما فعله عام 1514. لاحظ أن الرقمين 15 و 14 (تاريخ النقش) يظهران معًا في منتصف الصف السفلي. يمكن رؤية هذا النقش في العديد من الأماكن. واحد ملائم هو WebMuseum. إذا لم يوصلك هذا الرابط إلى هناك ، فجرّب الباب الأمامي. نقطة الدخول الرئيسية إلى WebMuseum هي Pyramide.


تمارين 4.3

المثال 4.3.1 أظهر أنه لا يوجد سوى مربع لاتيني واحد مخفض من أجل 3.

المثال 4.3.2 تحقق من أن العلاقة النظيرية هي علاقة تكافؤ.

المثال 4.3.3 ابحث عن جميع المربعات اللاتينية الأربعة المختصرة بالترتيب 4. أظهر أنه يوجد على الأكثر فصلين نظيريين للطلب 4.

المثال 4.3.4 أظهر أن نظام المجموعة الثانية المحدد في المثال 4.3.7 يحتوي على ملف SDR كما ادعى.

مثال 4.3.5 أظهر أنه لا توجد مربعات لاتينية متعامدة من الترتيب 2.

مثال 4.3.6 أوجد المربعات اللاتينية المتعامدة بالترتيب 5 $ كما هو موضح في النظرية 4.3.9. اعرض إجابتك كما في المثال 4.3.10.

المثال 4.3.7 أثبت أنه لإنشاء مربعات لاتينية متعامدة بالترتيب $ 2 ^ m $ و $ m ge2 $ ، يكفي العثور على مربعين لاتينيين متعامدين بالترتيب 4 $ = 2 ^ 2 $ واثنين من الأمر $ 8 = 2 ^ 3 $.

مثال 4.3.8 $ n times n $ المربّع اللاتيني $ A $ هو متماثل إذا كان متماثلًا حول القطر الرئيسي ، أي $ A_= أ_$ لكل $ i $ و $ j $. من السهل العثور على مربعات لاتينية متماثلة: كل نموذج لجدول الإضافة $ n $ هو مثال ، كما في المثال 4.3.6. المربع اللاتيني هو عاطل إذا ظهر كل رمز على القطر الرئيسي. وضح أنه إذا كان $ A $ متماثلًا وقادرًا على نفسه ، فإن $ n $ يكون غريبًا. ابحث عن مربع لاتيني متماثل قيمته 5 دولارات في 5 دولارات.

المثال 4.3.9 ال تبديل موضع $ A ^ top $ لمربع لاتيني $ A $ هو انعكاس $ A $ عبر القطر الرئيسي ، بحيث يكون $ A_^ أعلى = A_$. المربع اللاتيني متعامد ذاتيًا إذا كان $ A $ متعامدًا مع $ A ^ top $. بيِّن أنه لا يوجد مربع لاتيني متعامد ذاتيًا. 3. ابحث عن واحد من الترتيب 4.


الباحثون في نظرية التصميم الاندماجي ومجالات الإحصاء مثل تصميم وتحليل التجارب. قد يكون الكتاب أيضًا موضع اهتمام علماء الرياضيات الهواة المهتمين بالمربعات السحرية ، وتصميم دورات الألعاب و / أو المربعات اللاتينية المتعلقة بألغاز سودوكو.

الفصل الأول: الخصائص الأولية

  • 1.1 جدول الضرب لمجموعة شبه
  • 1.2 جدول كايلي للمجموعة
  • 1.3 النظائر
  • 1.4 الاقتران والضمور
  • 1.5 المستعرضات والتعيينات الكاملة
  • 1.6 المربعات الفرعية والمجموعات الفرعية اللاتينية

الفصل الثاني: أنواع خاصة من المربعات اللاتينية

  • 2.1 هويات Quasigroup والمربعات اللاتينية
  • 2.2 مجموعات شبه من بعض الأنواع الخاصة ومفهوم الترابط المعمم
  • 2.3 الأنظمة الثلاثية و quasigroups
  • 2.4 المربعات الجماعية ونواة الحلقات
  • 2.5 المستعرضات في المربعات اللاتينية القائمة على المجموعة
  • 2.6 المربعات اللاتينية كاملة

الفصل الثالث: المربعات اللاتينية الجزئية والمستعرضات الجزئية

  • 3.1 المستطيلات اللاتينية والمربعات اللاتينية للصف
  • 3.2 مجموعات الحرجة وألغاز سودوكو
  • 3.3 مشاكل فوكس
  • 3.4 المربعات اللاتينية غير الكاملة والمجموعات شبه الجزئية
  • 3.5 المستعرضات الجزئية والمستعرضات المعممة

الفصل الرابع: تصنيف وتعداد المربعات اللاتينية والمستطيلات اللاتينية

  • 4.1 مجموعة Autotopism من شبه المجموعة
  • 4.2 تصنيف المربعات اللاتينية
  • 4.3 تاريخ تصنيف وتعداد المربعات اللاتينية
  • 4.4 تعداد المستطيلات اللاتينية
  • 4.5 تعداد المستعرضات
  • 4.6 حصر المربعات الفرعية

الفصل الخامس: مفهوم التعامد

  • 5.1 أسئلة موجودة لمجموعات غير مكتملة من المربعات اللاتينية المتعامدة
  • 5.2 مجموعات كاملة من المربعات اللاتينية المتعامدة والطائرات الإسقاطية
  • 5.3 مجموعات من MOLS بالحجم الأقصى والأدنى
  • 5.4 المتعامد أشباه المجموعات ، المجموعات والأنظمة الثلاثية
  • 5.5 المربعات المتعامدة الذاتية والمجموعات شبه المتعامدة لاتينية متعامدة أخرى
  • 5.6 التعامد في الهياكل الأخرى المتعلقة بالمربعات اللاتينية

الفصل السادس: الروابط بين المربعات اللاتينية والمربعات السحرية

  • 6.1 مربعات لاتينية قطرية (أو سحرية)
  • 6.2 بناء المربعات السحرية بمساعدة المربعات اللاتينية المتعامدة
  • 6.3 نتائج إضافية على المربعات السحرية
  • 6.4 ساحات القاعة: بناؤها واستخداماتها

الفصل السابع: إنشاءات المربعات اللاتينية المتعامدة التي تتضمن إعادة ترتيب الصفوف والأعمدة


القسم 3 الحالة

في هذه الحالة ، لدينا مستويات مختلفة لكل من عوامل الصف والعمود. مرة أخرى ، في سيناريو مصنعنا ، سيكون لدينا آلات مختلفة و عوامل مختلفة في ثلاث مكررات. بمعنى آخر ، سيتم دمج هذين العاملين في مكررات التجربة.

نكتب هذا النموذج على النحو التالي:

استخدمنا هنا المصطلحات المتداخلة لكل من عوامل الكتلة التي تمثل حقيقة أن مستويات هذه العوامل ليست هي نفسها في كل من التكرارات.

يشمل تحليل جدول التباين ما يلي:


أي شيء ما عدا المربع: من الساحات السحرية إلى سودوكو

هناك أسطورة صينية قديمة تقول شيئًا كهذا. منذ حوالي ثلاثة آلاف عام ، حدث فيضان كبير في الصين. من أجل تهدئة إله النهر المضطرب ، قدم الناس قربانًا إلى نهر لو ، لكنه لم يكن من الممكن إرضاؤه. في كل مرة يقدمون فيها قرابين ، تظهر سلحفاة من النهر. في أحد الأيام ، لاحظ صبي علامات على ظهر السلحفاة يبدو أنها تمثل الأعداد & # 13 من 1 إلى 9. وقد تم ترتيب الأرقام بطريقة جعلت كل سطر يصل إلى 15. ومن ثم فهم الناس أن عرضهم لم يكن هو الكمية المناسبة.

كانت العلامات الموجودة على ظهر السلحفاة في الواقع مربعًا سحريًا. المربع السحري عبارة عن شبكة مربعة مليئة بالأرقام ، بحيث يتم جمع كل صف وكل عمود والقطرين إلى نفس الرقم. هذا ما كان سيبدو عليه المربع السحري من Lo Shu. يحتوي على ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة ، وإذا قمت بجمع الأرقام في أي صف أو عمود أو قطري ، فستحصل دائمًا على & # 13 15.

هنا بناء جزئي لمربع سحري 5 × 5. بدءًا من 1 ، ملأت الأرقام حتى 10. لا توجد مساحة شمال شرق 1 ، لذلك وضعت الرقم 2 في الصف السفلي ، متبوعًا بالرقم 3. مرة أخرى ، نظرًا لأن الرقم 3 موجود على الحافة ، 4 يذهب على الجانب الآخر. يجب أن يتم وضع الرقم 6 في الخلية حيث يوجد الرقم 1 ، ولكن نظرًا لأن هذه الخلية مشغولة ، فقد أضع الرقم 6 أسفل 5 & # 13 مباشرة واستمر حتى 10. حاول إكمال المربع ثم حاول إنشاء جزء خاص بك.

في حين أن هذا ، المعروف باسم طريقة السيامي، ربما تكون الطريقة الأكثر شهرة لصنع المربعات السحرية ، توجد طرق أخرى. نشر مدير المدرسة الألماني يوهان فولهابر طريقة مشابهة للطريقة السيامية قبل أن يكتشفها دي لو لوبير. طريقة أخرى هي طريقة الاستحلاب بواسطة John & # 13 هورتون كونواي ، عالم رياضيات بريطاني غزير الإنتاج. يمكن إثبات أن هذه الطرق تعمل باستخدام الجبر ، لكن هذا ليس بالأمر السهل!

المربعات السحرية ذات الترتيب المتساوي

على الرغم من أنه يمكن استخدام الطريقة السيامية لإنشاء مربع سحري لأي رقم فردي ، إلا أنه لا توجد طريقة بسيطة تعمل مع جميع المربعات السحرية ذات الترتيب الزوجي. لحسن الحظ ، هناك طريقة لطيفة يمكننا استخدامها إذا كان ترتيب المربع عددًا زوجيًا يقبل القسمة على 4. (بالنسبة لأولئك المهتمين ، طريقة لوكس تم اختراعه بواسطة J. H. Conway للتعامل مع الأرقام الزوجية التي لا تقبل القسمة & # 13 على 4).

بدلاً من قول "أرقام قابلة للقسمة على 4" ، يقول علماء الرياضيات عادةً "أرقام النموذج 4K". على سبيل المثال ، 12 من الشكل 4K، لأنه يمكنك استبدال ك مع 3. باستخدام نفس الفكرة ، يمكن تسمية الأرقام التي تعطي الباقي من 2 عند تقسيمها على 4 بأرقام النموذج 4 كيلو + 2.

لذا ابدأ باختيار ترتيب المربع ، وتأكد من أنه من الشكل 4Kوترقيم الخلايا 1 ل (4k) 2 بدءًا من أعلى اليسار والعمل على طول الصفوف. ثم قسّم المربع إلى 4 × 4 مربعات فرعية ، وحدد الأرقام الموجودة على الأقطار الرئيسية لكل مربع فرعي. في المثال ، هذه هي الأرقام الملونة التي يكون ترتيب المربع بها & # 13 4 ، وبالتالي فإن المربع الفرعي 4 × 4 هو المربع نفسه.

الآن قم بتبديل أقل رقم تم وضع علامة عليه بأعلى رقم مميز ، وثاني أقل رقم تم وضع علامة عليه مع ثاني أعلى رقم مميز ، وهكذا. طريقة أخرى لقول هذا هو أنه إذا كان للمربع السحري أمر ن، قم بتبديل الأرقام التي يتم جمعها ن 2 + 1. في هذا المثال بالذات ، الترتيب هو 4 ، لذلك علينا تبديل الأرقام التي تضيف ما يصل إلى 17: 1 و 16 و 4 و 13 و # 13 6 و 11 و 7 و 10.

إذا قلبت هذه الساحة السحرية ، فستكون مطابقة لتلك التي رسمها الفنان الألماني الشهير ألبريشت دورر. يمكنك رؤيته في زاوية نقشه ميلينكوليا.

قصة فارس

كما يعرف أي لاعب شطرنج ، فإن المربع السحري للطلب 8 يحتوي على نفس عدد الخلايا الموجودة في رقعة الشطرنج. هذا التشابه يعني أنه يمكننا إنشاء نوع خاص من المربعات السحرية بناءً على حركات قطعة الشطرنج.

الفارس قطعة مثيرة للاهتمام ، لأنه على عكس القطع الأخرى ، لا يتحرك رأسيًا أو أفقيًا أو قطريًا على طول خط مستقيم. بدلاً من ذلك ، يتحرك الفارس على شكل حرف L كما هو موضح في الرسم التخطيطي. لكن هل يمكن لفارس يتحرك بهذه الطريقة أن يزور كل مربع على رقعة الشطرنج مرة واحدة بالضبط؟

باستخدام مفهوم جولة الفارس ، تمكن ويليام بيفرلي من إنتاج مربع سحري ، كما هو موضح أدناه. يتم ترقيم الخلايا بالتسلسل ، حيث يزورها الفارس. على الرغم من أن مجموع الصفوف والأعمدة يصل إلى 260 ، فإن الأقطار الرئيسية لا تصل إلى 260 ، لذلك بالمعنى الدقيق للكلمة هو مربع شبه سحري. في الواقع ، غالبًا ما يطلق على الساحة السحرية القائمة على جولة الفارس & # 13 جولة سحرية ، لذا فإن ما أنتجته بيفرلي في عام 1848 هو جولة شبه سحرية!

للوهلة الأولى ، يبدو أن المربع السحري التالي لـ Feisthamel يناسب الفاتورة. مجموع الصفوف والأعمدة والأقطار 260. لسوء الحظ ، إنها مجرد جولة جزئية للفارس ، حيث توجد قفزة من 32 إلى 33.

إذن متى يمكن تحويل جولة الفارس إلى ساحة سحرية؟ في عام 2003 ، حل كل من Stertenbrink و Meyrignac أخيرًا هذه المشكلة عن طريق حساب كل مجموعة ممكنة. وجدوا 140 جولة شبه سحرية ، لكن لم يكن هناك جولات سحرية. مات!

الساحات اللاتينية

المربعات اللاتينية هي الأسلاف الحقيقيون للعبة Sudoku (سودوكو). يمكنك العثور على أمثلة لمربعات لاتينية في الأدب العربي يزيد عمره عن 700 عام. اكتشفها أويلر بعد عدة قرون ، الذي رآها نوعًا جديدًا من المربعات السحرية ، وبفضله نطلق عليها اسم المربعات اللاتينية.

المربعات اللاتينية عبارة عن شبكات مليئة بالأرقام أو الحروف أو الرموز ، بحيث لا يظهر أي رقم مرتين في نفس الصف أو العمود. الفرق بين المربع السحري والمربع اللاتيني هو عدد الرموز المستخدمة. على سبيل المثال ، هناك 16 رقمًا مختلفًا في مربع سحري 4 × 4 ، لكنك تحتاج فقط إلى 4 أرقام أو أحرف مختلفة لإنشاء مربع لاتيني 4 × 4.

الآن إذا نظرنا إلى المربعات الثلاثة السفلية ، فإن أحد الصفوف يحتوي بالفعل على 6 أرقام. لقد اتصلت بالخلايا الفارغة A و B و C (بالترتيب من اليسار إلى اليمين) ، والأرقام المفقودة هي 3 و 7 و 8. إذا نظرت إلى الخلية C ، فإن الرقم الوحيد الذي يمكن إدخاله فيها هو 7. هذا لأن العمود الذي يقع فيه C يحتوي بالفعل على 3 و 8.

أصبح العثور على A و B الآن بسيطًا جدًا. يوجد بالفعل 3 في نفس العمود B ، لذا يجب أن يكون B هو 8. وهذا يعني أن A يجب أن يكون 3. حل بقية اللغز أصعب قليلاً ، ولكنه يستحق الجهد المبذول.

انتشر جنون السودوكو في جميع أنحاء العالم ، ولا يظهر أي علامات على التباطؤ. تم تطوير العديد من الأشكال من السمة الأساسية ، مثل إصدارات 16 في 16 ومجموعات متعددة الشبكات (يمكنك تجربة ملف فرق مزدوج سودوكو في زائد لغز). ولكن كما هو الحال مع الساحات السحرية والمربعات اللاتينية ، فإن شعبية لعبة Sudoku ستعتمد & # 13 على ما إذا كان بإمكانها الاستمرار في تقديم تحديات جديدة.


تصميم المربعات اللاتينية

في صفحة الويب هذه ، نصف المفاهيم الأساسية لتصميمات المربعات اللاتينية. يمكن العثور على معلومات إضافية في صفحات الويب التالية:

أ الساحة اللاتينية يحتوي التصميم على عاملين مزعجين (الصفوف والعواميد) وعامل معالجة واحد ، لكل منهما نفس العدد من المستويات ، يُشار إليه ص. لا تكرارات ولا تفاعلات. إذا أشرنا إلى تأثيرات المعالجة المحتملة بالحروف اللاتينية ، فإن جميع الصفوف والأعمدة هي تباديل لهذه الأحرف (بدون صفوف متكررة ولا أعمدة متكررة).

ل ص = 4 و ص = 5 ، التكوينات الممكنة هي:

الشكل 1 - تكوينات لاتين سكوير

لاحظ أن هناك العديد من التكوينات 4 × 4 أو أكبر ، على الرغم من أن العديد منها مكافئ بمعنى أنه يمكن الحصول على واحد من الآخر عن طريق تبديل صف واحد أو أكثر و / أو أعمدة. في الواقع ، هناك 4 تكوينات 4 × 4 غير مكافئة و 56 تكوينًا غير مكافئ 5 × 5. اتضح أن جميع التكوينات 3 × 3 متكافئة.

مثال 1: يريد المصنع تحديد ما إذا كان هناك فرق كبير بين أربع طرق مختلفة لتصنيع مكون الطائرة ، بناءً على عدد المليمترات للجزء من القياس القياسي. تم تخصيص أربعة مشغلين وأربع آلات للدراسة. يستخدم تصميم المربعات اللاتينية لحساب عوامل الإزعاج للمشغلين والآلات.

يظهر تمثيل تصميم المربعات اللاتينية في الشكل 2 حيث A و B و C و D هي طرق التصنيع الأربعة وتتوافق الصفوف مع المشغلين وتتوافق الأعمدة مع الآلات.

الشكل 2 - تمثيل المربعات اللاتينية

لأغراضنا ، سوف نستخدم التمثيلات المكافئة التالية (انظر الشكل 3):

الشكل 3 - تصميم المربعات اللاتينية

يأخذ النموذج الخطي لتصميم المربعات اللاتينية الشكل:

An Excel implementation of the design is shown in Figure 4.

Figure 4 – Latin Square Analysis

The left side of Figure 4 contains the data range in Excel format (equivalent to the left side of Figure 3). The middle part of Figure 4 contains the means of each of the factor levels. Representative formulas used are shown in Figure 5.

Cell Factor Formula
L4 Row =AVERAGE(H4:K4)
H8 عمودي =AVERAGE(H4:H7)
H11 Treatment =AVERAGEIF($B$8:$E$11,H10,$B$4:$E$7)

Figure 5 – Formulas for factor means

The right side of Figure 4 contains the ANOVA analysis. The degrees of freedom for all three factors is 3 (cells P4, P5, P6), equal to the number to ص – 1, as calculated by =COUNT(B4:B7)-1. dfتي = ص 2 – 1 = 15, while dfه = (r–1)(r–2) = 6.

Formulas for the sum of squares (SS) terms are shown in Figure 6. The other values in Figure 4 are calculated in the usual way.

Cell Factor Formula
O5 Treatment =DEVSQ(H11:K11)*(P5+1)
O6 Rows =DEVSQ(L4:L7)*(P6+1)
O7 Columns =DEVSQ(H8:K8)*(P7+1)
O8 Error =O9-SUM(O5:O7)
O9 مجموع =DEVSQ(H4:K7)

Figure 6 – Formulas for sums of squares

We see from Figure 4 that there is a significant difference between the four methods (p-value = 0.03345 < .04 = α). There is no significant difference between the operators or between the machines, and so blocking on these factors may not have been necessary in this case.

The analysis is similar when the standard (i.e. stacked) input format is used (see Figure 7). على سبيل المثال the mean for row 1 (cell G4) can be calculated by the formula

The mean for treatment A (cell I4) can be calculated by using the formula

Figure 7 – Latin Square Analysis for stacked format

Observation: In the usual three-factor design, the minimum sample size would be 4 × 4 × 4 = 64, while in this design we only require a sample size of 4 × 4 = 16.

Observation: Latin Squares can also be used for a three-factor ANOVA when there are no replications, even when the row and column factors are not nuisance factors, but factors of interest.


تنصل

Registration on or use of this site constitutes acceptance of our User Agreement, Privacy Policy and Cookie Statement, and Your California Privacy Rights (User Agreement updated 1/1/21. Privacy Policy and Cookie Statement updated 5/1/2021).

© 2021 Advance Local Media LLC. All rights reserved (About Us).
The material on this site may not be reproduced, distributed, transmitted, cached or otherwise used, except with the prior written permission of Advance Local.

Community Rules apply to all content you upload or otherwise submit to this site.


Latin Square in C++

In this tutorial, we are going to learn about the Latin square.

The latin square is a matrix (3 x 3) in the form

If you carefully observe the pattern of the above matrix, then you will find out that the last number of the previous row comes as the first element of the next row.

We have to write the program that generates the above matrix for the input n.

Let's see the steps to write the program for the generation of the latin square.

  • Initialise the n with any number you like.
  • Initialise a number with the value n + 1 call it as mid.
  • Write a loop that iterates from 1 to n both inclusive.
    • Assign the value of mid to a temp variable.
    • Write a loop until temp reaches to the value n.
      • Print the temp.
      • Print the value.

      If you run the above code, then you will get the following result.


      شاهد الفيديو: Latin Square Design--Ali S. Hassoon (شهر اكتوبر 2021).