مقالات

2.S: المتتاليات (ملخص)


يفتش!

كل يوم يتضاعف مخزونك من حبوب الإسبريسو المغطاة بالشوكولاتة السحرية (تنقسم كل واحدة إلى نصفين) ، ولكن بعد ذلك تأكل 5 منها. لديك 10 في بداية اليوم 0.

  1. اكتب الحدود القليلة الأولى من المتسلسلة. ثم أعط تعريفًا تعاوديًا للتسلسل واشرح كيف تعرف أنه صحيح.
  2. أثبت ، باستخدام الاستقراء ، أن الرقم الأخير من عدد الحبوب لديك في (n ) اليوم هو دائمًا 5 للجميع (n ge 1 text {.} )
  3. ابحث عن صيغة مغلقة للحد (n ) من التسلسل وأثبت أنها صحيحة عن طريق الاستقراء.

في هذا الفصل اكتشفنا المتواليات والاستقراء الرياضي. عندما يكون لدينا العديد من الحالات (ربما عددًا غير محدود) ، غالبًا ما يكون من الأسهل وصف حالة معينة من خلال توضيح كيفية ارتباطها بالحالات الأخرى ، بدلاً من وصفها تمامًا. بالنسبة إلى التسلسلات ، يمكننا وصف (n ) المصطلح في التسلسل عن طريق تحديد كيفية ارتباطه بـ السابق مصطلح. عند إظهار عبارة تتضمن المتغير (n ) يكون صحيحًا لجميع قيم (n text {،} ) يمكننا وصف سبب صحة حالة (n = k ) على أساس سبب حالة (n = k-1 ) صحيحة.

في حين أن التفكير في المشكلات بشكل تكراري غالبًا ما يكون أسهل من التفكير فيها مطلقًا (على الأقل بعد أن تعتاد على التفكير بهذه الطريقة) ، فإن هدفنا النهائي هو تجاوز هذا الوصف التكراري. بالنسبة للتسلسلات ، نريد إيجادها الصيغ المغلقة للمصطلح (n ) من التسلسل. بالنسبة للبراهين ، نريد أن نعرف أن العبارة صحيحة بالفعل بالنسبة (n ) معين (ليس فقط في ظل افتراض أن العبارة صحيحة بالنسبة لقيمة (n ) السابقة). رأينا في هذا الفصل بعض الطرق للانتقال من الأوصاف العودية إلى الأوصاف المطلقة.

  • إذا زادت شروط التسلسل بفارق ثابت أو نسبة ثابتة (كلاهما أوصاف متكررة) ، فإن التسلسلات تكون حسابية أو هندسية ، على التوالي ، ولدينا صيغ مغلقة لكل منها بناءً على المصطلحات الأولية والاختلاف المشترك أو نسبة.
  • إذا زادت شروط التسلسل بمعدل متعدد الحدود (أي ، إذا كانت الاختلافات بين المصطلحات تشكل تسلسلًا مع صيغة مغلقة متعددة الحدود) ، فإن التسلسل نفسه يُعطى بواسطة صيغة متعددة الحدود مغلقة (درجة واحدة أكثر من تسلسل اختلافات).
  • إذا زادت شروط التسلسل بمعدل أسي ، فإننا نتوقع أن تكون الصيغة المغلقة للتسلسل أسيًا. غالبًا ما تحتوي هذه التسلسلات على صيغ متكررة لطيفة نسبيًا ، و تقنية الجذر المميزة يسمح لنا بإيجاد الصيغة المغلقة لهذه التسلسلات.
  • إذا أردنا إثبات أن العبارة صحيحة لجميع قيم (n ) (أكبر من بعض القيم الصغيرة الأولى) ، ويمكننا وصف سبب كون العبارة صحيحة لـ (n = k ) يعني أن العبارة صحيحة لـ (n = k + 1 text {،} ) ثم ملف مبدأ الاستقراء الرياضي يعطينا أن العبارة صحيحة لجميع قيم (n ) (أكبر من الحالة الأساسية).

حاولنا أن نفهم طوال الفصل لماذا هذه الحقائق المذكورة أعلاه صحيحة. وهذا ما تحاول البراهين تحقيقه جزئيًا ، سواء عن طريق الاستقراء أم لا: فهي تفسر سبب كون الحقائق الرياضية في الواقع حقائق. بينما نطور قدرتنا على التفكير في الرياضيات ، من الجيد التأكد من أن أساليب تفكيرنا سليمة. فرع الرياضيات الذي يتعامل مع تقرير ما إذا كان التفكير جيدًا أم لا المنطق الرياضي، موضوع الفصل التالي.

مراجعة الفصل

1

ابحث عن (3 + 7 + 11+ cdots + 427 text {.} )

إجابه

( frac {430 cdot 107} {2} = 23005 text {.} )


شاهد الفيديو: لمن فاته مباريات اليوم!! شاهد جميع اهداف مباريات اليوم الاربعاء 21-7-2021 شاشة كاملة (شهر اكتوبر 2021).