مقالات

9.5: حساب التفاضل والتكامل والدوال القطبية - الرياضيات


حدد القسم السابق الإحداثيات القطبية ، مما أدى إلى الوظائف القطبية. لقد بحثنا في رسم هذه الدوال وحل سؤال أساسي حول الرسوم البيانية لها ، أي أين يتقاطع رسمان بيانيان قطبيان؟

نوجه انتباهنا الآن إلى الإجابة على أسئلة أخرى تتطلب حلولها استخدام حساب التفاضل والتكامل. أساس الكثير مما يتم في هذا القسم هو القدرة على تحويل الدالة القطبية (r = f ( theta) ) إلى مجموعة من المعادلات البارامترية. باستخدام الهويات (x = r cos theta ) و (y = r sin theta ) ، يمكننا إنشاء المعادلات البارامترية (x = f ( theta) cos theta ) ، (y = f ( theta) sin theta ) وطبق مفاهيم القسم 9.3.

الدوال القطبية و ( frac {dy} {dx} )

نحن مهتمون بخطوط المماس في رسم بياني معين ، بغض النظر عما إذا كان هذا الرسم البياني ناتجًا عن معادلات مستطيلة أو حدودية أو قطبية. في كل من هذه السياقات ، يكون ميل خط الظل هو ( frac {dy} {dx} ). بالنظر إلى (r = f ( theta) ) ، فإننا عمومًا ليس يهتم بـ (r ^ prime = f ^ prime ( theta) ) ؛ يصف مدى سرعة التغييرات (r ) فيما يتعلق ( theta ). بدلاً من ذلك ، سنستخدم (x = f ( theta) cos theta ) ، (y = f ( theta) sin theta ) لحساب ( frac {dy} {dx} ) .

باستخدام Key Idea 37 لدينا [ frac {dy} {dx} = frac {dy} {d theta} Big / frac {dx} {d theta}. ]

يتطلب كل من المشتقين على الجانب الأيمن من المساواة استخدام قاعدة المنتج. نذكر النتيجة المهمة كفكرة أساسية.

الفكرة الرئيسية 41 إيجاد ( frac {dy} {dx} ) باستخدام الدوال القطبية

لنفترض أن (r = f ( theta) ) دالة قطبية. مع (x = f ( theta) cos theta ) و (y = f ( theta) sin theta ) ،

[ frac {dy} {dx} = frac {f ^ prime ( theta) sin theta + f ( theta) cos theta} {f ^ prime ( theta) cos theta -f ( ثيتا الخطيئة ثيتا}. ]

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن ( frac {dy} {dx} ) باستخدام الدوال القطبية.

النظر في Limacon (r = 1 + 2 sin theta ) على ([0،2 pi] ).

  1. أوجد معادلات المماس والخطوط العادية للرسم البياني في ( theta = pi / 4 ).
  2. أوجد أين يوجد في الرسم البياني خطوط مماس رأسية وأفقية.

حل

  1. نبدأ بحساب ( frac {dy} {dx} ). مع (f ^ prime ( theta) = 2 cos theta ) ، لدينا [ start {align *} frac {dy} {dx} & = frac {2 cos theta sin theta + cos theta (1 + 2 sin theta)} {2 cos ^ 2 theta- sin theta (1 + 2 sin theta)} & = frac { cos ثيتا (4 sin theta + 1)} {2 ( cos ^ 2 theta- sin ^ 2 theta) - sin theta}. end {align *} ]

    عندما ( theta = pi / 4 ) ، ( frac {dy} {dx} = - 2 sqrt {2} -1 ) (هذا يتطلب القليل من التبسيط). في الإحداثيات المستطيلة ، النقطة على الرسم البياني عند ( theta = pi / 4 ) هي ((1+ sqrt {2} / 2،1 + sqrt {2} / 2) ). وبالتالي فإن المعادلة المستطيلة للخط المماس للحلقة عند ( theta = pi / 4 ) هي [y = (- 2 sqrt {2} -1) big (x- (1+ sqrt { 2} / 2) كبير) +1+ sqrt {2} / 2 حوالي -3.83 × + 8.24. ] تم رسم Limacon وخط الظل في الشكل 9.47.
    الخط العمودي له العكس - الميل المقلوب هو خط المماس ، لذا فإن معادلته هي
    [y almost frac {1} {3.83} x + 1.26. ]

  2. لإيجاد خطوط الظل الأفقية ، نجد أين ( frac {dy} {dx} = 0 ) ؛ وهكذا نجد أن بسط معادلتنا ( frac {dy} {dx} ) يساوي 0.
    [ cos theta (4 sin theta + 1) = 0 quad Rightarrow quad cos theta = 0 quad text {or} quad 4 sin theta + 1 = 0. ]
    في ([0،2 pi] ) ( cos theta = 0 ) عندما ( theta = pi / 2، 3 pi / 2 ).

    الإعداد (4 sin theta + 1 = 0 ) يعطي ( theta = sin ^ {- 1} (- 1/4) almost -0.2527 = -14.48 ^ circ ). نريد النتائج في ([0،2 pi] ) ؛ ندرك أيضًا أن هناك حلين ، أحدهما في الربع 3 (^ text {rd} ) والآخر في 4 (^ text {th} ). باستخدام الزوايا المرجعية ، لدينا حلين هما ( theta = 3.39 ) و (6.03 ) راديان. تم إعطاء النقاط الأربع التي حصلنا عليها حيث يكون لليماكون خطًا أفقيًا مماسًا في الشكل 9.47 بنقاط مملوءة بالأسود.

    لإيجاد الخطوط الرأسية للماس ، قمنا بتعيين مقام ( frac {dy} {dx} = 0 ).
    [ start {align *} 2 ( cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta) - sin theta & = 0. text {تحويل ( cos ^ 2 theta ) المصطلح إلى (1- sin ^ 2 theta ):} & 2 (1- sin ^ 2 theta- sin ^ 2 theta) - sin theta & = 0 4 sin ^ 2 theta + sin theta -1 & = 0. text {تعرف على هذا باعتباره تربيعيًا في المتغير ( sin theta ).} & text {باستخدام الصيغة التربيعية ، لدينا} sin theta & = frac {-1 pm sqrt {33}} {8}. end {align *} ]

    نحل ( sin theta = frac {-1+ sqrt {33}} 8 ) و ( sin theta = frac {-1- sqrt {33}} 8 ):
    [ begin {align *} sin theta & = frac {-1+ sqrt {33}} 8 & sin theta & = frac {-1- sqrt {33}} {8} theta & = sin ^ {- 1} left ( frac {-1+ sqrt {33}} 8 right) & theta & = sin ^ {- 1} left ( frac {- 1- sqrt {33}} 8 right) theta & = 0.6399 & theta & = -1.0030 end {align *} ]

    في كل من الحلين أعلاه ، نحصل فقط على أحد الحلين المحتملين لأن ( sin ^ {- 1} x ) لا يعرض سوى الحلول في ([- pi / 2، pi / 2] ) ، الأربعة (^ text {th} ) و (1 ^ text {st} ). مرة أخرى باستخدام الزوايا المرجعية ، لدينا:
    [ sin theta = frac {-1+ sqrt {33}} 8 quad Rightarrow quad theta = 0.6399، 3.7815 text {radians} ]
    و
    [ sin theta = frac {-1- sqrt {33}} 8 quad Rightarrow quad theta = 4.1446، 5.2802 text {radians.} ]
    تظهر هذه النقاط أيضًا في الشكل 9.47 بنقاط مملوءة بالأبيض.

عندما يتقاطع الرسم البياني للدالة القطبية (r = f ( theta) ) مع القطب ، فهذا يعني أن (f ( alpha) = 0 ) لزاوية ما ( alpha ). وبالتالي فإن صيغة ( frac {dy} {dx} ) في مثل هذه الحالات بسيطة جدًا ، حيث يتم تقليلها إلى

[ frac {dy} {dx} = tan alpha. ]

هذه المعادلة تجعل نقطة مثيرة للاهتمام. يخبرنا أن ميل خط الظل عند القطب هو ( tan alpha ) ؛ يوضح لنا بعض أعمالنا السابقة (انظر ، على سبيل المثال ، المثال 9.4.3) أن الخط المار بالقطب ذي المنحدر ( tan alpha ) له معادلة قطبية ( theta = alpha ). وهكذا عندما يلمس الرسم البياني القطبي القطب عند ( theta = alpha ) ، فإن معادلة خط الظل عند القطب هي ( theta = alpha ).

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن خطوط الظل في القطب.

دعونا (r = 1 + 2 sin theta ) ، ليمكون. أوجد معادلات المستقيمين المماس للرسم البياني عند القطب.

حل

نحتاج إلى معرفة متى (r = 0 ).

[ ابدأ {محاذاة *}
1 + 2 الخطيئة ثيتا & = 0
الخطيئة ثيتا & = -1/2
theta & = frac {7 pi} {6} ، frac {11 pi} 6.
النهاية {محاذاة *} ]

وبالتالي فإن معادلات خطوط الظل ، في القطبية ، هي ( ثيتا = 7 بي / 6 ) و ( ثيتا = 11 بي / 6 ). في شكل مستطيل ، خطوط الظل هي (y = tan (7 pi / 6) x ) و (y = tan (11 pi / 6) x ). يمكن رؤية خدعة Limacon الكاملة في الشكل 9.47 ؛ نقوم بتكبير خطوط الظل في الشكل 9.48.

ملحوظة: تذكر أن مساحة قطاع دائرة نصف قطرها ص تقابلها الزاوية ( theta ) هي (A = frac {1} {2} theta r ^ 2 ).


منطقة

عند استخدام الإحداثيات المستطيلة ، فإن المعادلات (x = h ) و (y = k ) تحدد الخطوط الرأسية والأفقية ، على التوالي ، وتؤدي مجموعات هذه الخطوط إلى إنشاء مستطيلات (ومن هنا جاء اسم "الإحداثيات المستطيلة"). ثم من الطبيعي إلى حد ما استخدام المستطيلات لتقريب المساحة كما فعلنا عند التعرف على التكامل المحدد.

عند استخدام الإحداثيات القطبية ، تشكل المعادلات ( theta = alpha ) و (r = c ) خطوطًا من خلال الأصل والدوائر المتمركزة في الأصل ، على التوالي ، وتشكل مجموعات هذه المنحنيات قطاعات من الدوائر. من الطبيعي إلى حد ما حساب مساحة المناطق المحددة بالدوال القطبية عن طريق التقريب أولاً مع قطاعات الدوائر.

ضع في اعتبارك الشكل 9.49 (أ) حيث يتم تحديد المنطقة المحددة بواسطة (r = f ( theta) ) في ([ alpha، beta] ). (لاحظ كيف أن "جوانب" المنطقة هي الخطوط ( theta = alpha ) و ( theta = beta ) ، بينما في الإحداثيات المستطيلة ، غالبًا ما تكون "جوانب" المناطق عبارة عن خطوط عمودية (س = أ ) و (س = ب ).)

قسّم الفاصل ([ alpha، beta] ) إلى (n ) فترات فرعية متباعدة بشكل متساوٍ مثل ( alpha = theta_1 < theta_2 < cdots < theta_ {n + 1} = beta ) . طول كل فترة فرعية هو ( Delta theta = ( beta- alpha) / n ) ، مما يمثل تغييرًا بسيطًا في الزاوية. يمكن تقريب مساحة المنطقة المحددة بواسطة (i ، ^ text {th} ) subinterval ([ theta_i، theta_ {i + 1}] ) بقطاع من دائرة بنصف قطر (f (c_i) ) ، لبعض (c_i ) في ([ theta_i، theta_ {i + 1}] ). مساحة هذا القطاع هي ( frac12f (c_i) ^ 2 Delta theta ). يظهر هذا في الجزء (ب) من الشكل ، حيث تم تقسيم ([ alpha، beta] ) إلى 4 فترات فرعية. نحن نقرب مساحة المنطقة بأكملها من خلال تلخيص مناطق جميع القطاعات:

[ text {Area} almost sum_ {i = 1} ^ n frac12f (c_i) ^ 2 Delta theta. ]

هذا مبلغ ريمان. بأخذ حد المجموع كـ (n to infty ) ، نجد المساحة الدقيقة للمنطقة في شكل تكامل محدد.

نظرية 83 منطقة منطقة قطبية

لنكن (f ) مستمرًا وغير سالب في ([ alpha، beta] ) ، حيث (0 leq beta- alpha leq 2 pi ). مساحة (A ) المنطقة التي يحدها المنحنى (r = f ( theta) ) والخطوط ( theta = alpha ) و ( theta = beta ) هي

[A = frac12 int_ alpha ^ beta f ( theta) ^ 2 d theta = frac12 int_ alpha ^ beta r ^ {، 2} d theta ]

تنص النظرية على أن (0 leq beta- alpha leq 2 pi ). هذا يضمن أن المنطقة لا تتداخل مع نفسها ، مما يعطي نتيجة لا تتوافق مباشرة مع المنطقة.

مثال ( PageIndex {3} ): مساحة المنطقة القطبية

أوجد مساحة الدائرة المحددة بواسطة (r = cos theta ). (تذكر أن هذه الدائرة لها نصف قطر (1/2 ).)

حل

هذا تطبيق مباشر للنظرية 83. يتم تتبع الدائرة في ([0، pi] ) ، مما يؤدي إلى التكامل

[ ابدأ {محاذاة *}
text {Area} & = frac12 int_0 ^ pi cos ^ 2 theta d theta
& = frac12 int_0 ^ pi frac {1+ cos (2 theta)} {2} d theta
& = frac14 big ( theta + frac12 sin (2 theta) big) Bigg | _0 ^ pi
& = frac14 بي.
النهاية {محاذاة *} ]

بالطبع ، لقد عرفنا بالفعل مساحة الدائرة ذات نصف القطر (1/2 ). قمنا بعمل هذا المثال لتوضيح أن صيغة المنطقة صحيحة.

ملحوظة: المثال 9.5.3 يتطلب استخدام ( int cos ^ 2 theta d theta ). يتم التعامل مع هذا بشكل جيد باستخدام صيغة تقليل الطاقة كما هو موجود في الجزء الخلفي من هذا النص. نظرًا لطبيعة معادلة المنطقة ، يلزم غالبًا تكامل ( cos ^ 2 theta ) و ( sin ^ 2 theta ). نقدم هنا هذه التكاملات غير المحددة كإجراء لتوفير الوقت.

[ int cos ^ 2 theta d theta = frac12 theta + frac14 sin (2 theta) + C ]

[ int sin ^ 2 theta d theta = frac12 theta- frac14 sin (2 theta) + C ]

مثال ( PageIndex {4} ): مساحة المنطقة القطبية

ابحث عن مساحة القلب (r = 1 + cos theta ) المرتبطة بين ( theta = pi / 6 ) و ( theta = pi / 3 ) ، كما هو موضح في الشكل 9.50.

حل
هذا مرة أخرى تطبيق مباشر لنظرية 83.

[ ابدأ {محاذاة *}
text {Area} & = frac12 int _ { pi / 6} ^ { pi / 3} (1+ cos theta) ^ 2 d theta
& = frac12 int _ { pi / 6} ^ { pi / 3} (1 + 2 cos theta + cos ^ 2 theta) d theta
& = frac12 left ( theta + 2 sin theta + frac12 theta + frac14 sin (2 theta) right) Bigg | _ { pi / 6} ^ { pi / 3}
& = frac18 big ( pi + 4 sqrt {3} -4 big) حوالي 0.7587.
النهاية {محاذاة *} ]

المساحة بين المنحنيات

أدت دراستنا للمنطقة في سياق الوظائف المستطيلة بشكل طبيعي إلى إيجاد منطقة محدودة بين المنحنيات. نحن نعتبر الأمر نفسه في سياق الوظائف القطبية. الفهرس {الدوال القطبية! المساحة بين المنحنيات}

ضع في اعتبارك المنطقة المظللة الموضحة في الشكل 9.51. يمكننا إيجاد مساحة هذه المنطقة عن طريق حساب المنطقة التي يحدها (r_2 = f_2 ( theta) ) وطرح المنطقة التي يحدها (r_1 = f_1 ( theta) ) في ([ alpha، بيتا] ). هكذا

[ text {Area} = frac12 int_ alpha ^ beta r_2 ^ {، 2} d theta - frac12 int_ alpha ^ beta r_1 ^ {، 2} d ثيتا = frac12 int_ alpha ^ beta big (r_2 ^ {، 2} -r_1 ^ {، 2} big) d theta. ]

منطقة الفكرة الرئيسية 42 بين المنحنيات القطبية

منطقة (أ ) المنطقة التي يحدها (r_1 = f_1 ( ثيتا) ) و (r_2 = f_2 ( ثيتا) ) ، ( ثيتا = ألفا ) و ( ثيتا = beta ) ، حيث (f_1 ( theta) leq f_2 ( theta) ) على ([ alpha، beta] ) ، هو

[A = frac12 int_ alpha ^ beta big (r_2 ^ {، 2} -r_1 ^ {، 2} big) d theta. ]

مثال ( PageIndex {5} ): المنطقة الواقعة بين المنحنيات القطبية

أوجد المنطقة المحصورة بين المنحنيات (r = 1 + cos theta ) و (r = 3 cos theta ) ، كما هو موضح في الشكل 9.52.

حل
علينا إيجاد نقاط التقاطع بين هاتين الدالتين. نضعهم على قدم المساواة مع بعضهم البعض ، نجد:

[ ابدأ {محاذاة *}
1+ cos theta & = 3 cos theta
كوس ثيتا & = 1/2
theta & = pm pi / 3
النهاية {محاذاة *} ]

وهكذا ندمج ( frac12 big ((3 cos theta) ^ 2- (1+ cos theta) ^ 2 big) ) في ([- pi / 3، pi / 3] ).

[ ابدأ {محاذاة *}
text {Area} & = frac12 int _ {- pi / 3} ^ { pi / 3} big ((3 cos theta) ^ 2- (1+ cos theta) ^ 2 big ) د ثيتا
& = frac12 int _ {- pi / 3} ^ { pi / 3} big (8 cos ^ 2 theta-2 cos theta-1 big) d theta
& = big (2 sin (2 theta) - 2 sin theta + 3 theta big) Bigg | _ {- pi / 3} ^ { pi / 3}
& = 2 بي.
النهاية {محاذاة *} ]

من المثير للدهشة أن المنطقة الواقعة بين هذه المنحنيات لها قيمة "لطيفة"

مثال ( PageIndex {6} ): منطقة محددة بمنحنيات قطبية

ابحث عن المنطقة المحصورة بين المنحنيات القطبية (r = 1 ) و (r = 2 cos (2 theta) ) ، كما هو موضح في الشكل 9.53 (أ).

حل

علينا إيجاد نقطة التقاطع بين المنحنيين. ضبط الوظيفتين متساويتين ، لدينا

[2 cos (2 theta) = 1 quad Rightarrow quad cos (2 theta) = frac12 quad Rightarrow quad 2 theta = pi / 3 quad Rightarrow quad theta = بي / 6. ]

في الجزء (ب) من الشكل ، نقوم بتكبير المنطقة ونلاحظ أنها ليست مقيدة حقًا ما بين منحنيان قطبيان ، ولكن بالأحرى بواسطة منحنيان قطبيان ، مع ( ثيتا = 0 ). يقسم الخط المتقطع المنطقة إلى أجزائها المكونة. تحت الخط المتقطع ، يتم تحديد المنطقة بواسطة (r = 1 ) ، ( ثيتا = 0 ) و ( ثيتا = بي / 6 ). (ملاحظة: الخط المتقطع يقع على السطر ( theta = pi / 6 ).) فوق الخط المتقطع ، تحد المنطقة (r = 2 cos (2 theta) ) و ( ثيتا = بي / 6 ). نظرًا لأن لدينا منطقتين منفصلتين ، فإننا نجد المساحة باستخدام تكاملين منفصلين.

اتصل بالمنطقة الواقعة أسفل الخط المتقطع (A_1 ) والمنطقة الواقعة فوق الخط المتقطع (A_2 ). يتم تحديدها من خلال التكاملات التالية:
[A_1 = frac12 int_0 ^ { pi / 6} (1) ^ 2 d theta qquad A_2 = frac12 int _ { pi / 6} ^ { pi / 4} big (2 كوس (2 ثيتا) كبير) ^ 2 د ثيتا. ]
(الحد الأعلى للحوسبة المتكاملة (A_2 ) هو ( pi / 4 ) كما (r = 2 cos (2 theta) ) عند القطب عندما ( ثيتا = بي / 4 ).)

نحذف تفاصيل التكامل ونترك للقارئ التحقق من (A_1 = pi / 12 ) و (A_2 = pi / 12- sqrt {3} / 8 ) ؛ إجمالي المساحة (A = pi / 6- sqrt {3} / 8 ).

طول القوس

نظرًا لأننا قد درسنا بالفعل طول قوس المنحنيات المحددة بواسطة المعادلات المستطيلة والبارامترية ، فإننا نعتبرها الآن في سياق المعادلات القطبية. تذكر أن طول القوس (L ) للرسم البياني المحدد بواسطة المعادلات البارامترية (x = f (t) ) ، (y = g (t) ) على ([a، b] ) هو

[L = int_a ^ b sqrt {f ^ prime (t) ^ 2 + g ^ prime (t) ^ 2} dt = int_a ^ b sqrt {x ^ prime (t) ^ 2 + y ^ prime (t) ^ 2} dt. label {eq: polar_arclength} ]

الآن ضع في اعتبارك الوظيفة القطبية (r = f ( theta) ). نستخدم مرة أخرى الهويات (x = f ( theta) cos theta ) و (y = f ( theta) sin theta ) لإنشاء معادلات حدودية تعتمد على الدالة القطبية. نحسب (x ^ prime ( theta) ) و (y ^ prime ( theta) ) كما فعلنا من قبل عند حساب ( frac {dy} {dx} ) ، ثم نطبق المعادلة ref {مكافئ: polar_arclength}.

يمكن تبسيط التعبير (x ^ prime ( theta) ^ 2 + y ^ prime ( theta) ^ 2 ) بشكل كبير ؛ نترك هذا كتمرين ونذكر أن [x ^ prime ( theta) ^ 2 + y ^ prime ( theta) ^ 2 = f ^ prime ( theta) ^ 2 + f ( theta) ^ 2. ]
هذا يقودنا إلى صيغة طول القوس.

الفكرة الرئيسية 43 طول قوس المنحنيات القطبية

لنفترض (r = f ( theta) ) أن تكون دالة قطبية مع (f ^ prime ) متصلة على فاصل مفتوح (I ) يحتوي على ([ alpha، beta] ) ، حيث يتتبع الرسم البياني نفسه مرة واحدة فقط. طول القوس (L ) للرسم البياني الموجود على ([ alpha، beta] ) هو
[L = int_ alpha ^ beta sqrt {f ^ prime ( theta) ^ 2 + f ( theta) ^ 2} d theta = int_ alpha ^ beta sqrt {(r ^ رئيس) ^ 2 + r ^ 2} د ثيتا. ]

مثال ( PageIndex {7} ): طول قوس ليمكون

أوجد طول قوس اللامكون (r = 1 + 2 sin t ).

حل

مع (r = 1 + 2 sin t ) ، لدينا (r ^ prime = 2 cos t ). تم تتبع Limacon مرة واحدة في ([0،2 pi] ) ، مما يعطينا حدود التكامل. تطبيق Key Idea 43 لدينا

[ ابدأ {محاذاة *}
L & = int_0 ^ {2 pi} sqrt {(2 cos theta) ^ 2 + (1 + 2 sin theta) ^ 2} d theta
& = int_0 ^ {2 pi} sqrt {4 cos ^ 2 theta + 4 sin ^ 2 theta +4 sin theta + 1} d theta
& = int_0 ^ {2 pi} sqrt {4 sin theta + 5} d theta
& حوالي 13.3649.000
النهاية {محاذاة *} ]



الشكل 9.54:
الليماكون في المثال 9.5.7 الذي يقاس طول قوسه.

لا يمكن حل التكامل النهائي من حيث الدوال الأولية ، لذلك لجأنا إلى التقريب العددي. (قاعدة سمبسون ، مع (n = 4 ) ، تقارب القيمة بـ (13.0608 ). باستخدام (n = 22 ) تعطي القيمة أعلاه ، وهي دقيقة لأربعة أماكن بعد العلامة العشرية.)

مساحة السطح

تقودنا صيغة قياس طول القوس إلى صيغة مساحة السطح. تستند الفكرة الرئيسية التالية إلى Key Idea 39.

الفكرة الرئيسية 44 منطقة سطحية صلبة للثورة

ضع في اعتبارك الرسم البياني للمعادلة القطبية (r = f ( theta) ) ، حيث (f ^ prime ) مستمر على فاصل مفتوح يحتوي على ([ alpha، beta] ) الذي فيه الرسم البياني لا تعبر نفسها.

  1. مساحة سطح المادة الصلبة التي تشكلت من خلال تدوير الرسم البياني حول الشعاع الأولي ( ( theta = 0 )) هي: [ text {مساحة السطح} = 2 pi int_ alpha ^ beta f ( theta ) sin theta sqrt {f ^ prime ( theta) ^ 2 + f ( theta) ^ 2} d theta. ]
  2. مساحة سطح المادة الصلبة التي تشكلت من خلال تدوير الرسم البياني حول الخط ( theta = pi / 2 ) هي: [ text {Surface Area} = 2 pi int_ alpha ^ beta f ( theta ) cos theta sqrt {f ^ prime ( theta) ^ 2 + f ( theta) ^ 2} d theta. ]

مثال ( PageIndex {8} ): يتم تحديد مساحة السطح بمنحنى قطبي

ابحث عن مساحة السطح التي تشكلت بتدوير بتلة واحدة من منحنى الوردة (r = cos (2 theta) ) حول محوره المركزي (انظر الشكل 9.55.

حل

نختار ، كما يتضح من الشكل ، أن ندور جزء المنحنى الذي يقع على ([0، pi / 4] ) حول الشعاع الأولي. باستخدام Key Idea ref {idea: surface_area_polar} وحقيقة أن (f ^ prime ( theta) = -2 sin (2 theta) ) ، لدينا

[ ابدأ {محاذاة *}
text {مساحة السطح} & = 2 pi int_0 ^ { pi / 4} cos (2 theta) sin ( theta) sqrt { big (-2 sin (2 theta) big ) ^ 2 + كبير ( cos (2 ثيتا) كبير) ^ 2} د ثيتا
& حوالي 1.36707.
النهاية {محاذاة *} ]

التكامل هو آخر لا يمكن تقييمه من حيث الوظائف الأولية. قاعدة سمبسون ، مع (n = 4 ) ، تقارب القيمة عند (1.36751 ).٪ ؛ مع (n = 10 ) ، تكون القيمة دقيقة حتى 4 منازل عشرية.

كان هذا الفصل حول المنحنيات في المستوى. في حين أن هناك رياضيات عظيمة يمكن اكتشافها في بعدين من المستوى ، فإننا نعيش في عالم ثلاثي الأبعاد ، وبالتالي يجب علينا أيضًا أن ننظر إلى القيام بالرياضيات ثلاثية الأبعاد - أي في الفضاء. يبدأ الفصل التالي استكشافنا للفضاء من خلال تقديم موضوع ثلاثة أبعاد، وهي كائنات رياضية مفيدة وقوية بشكل لا يصدق.


أصعب 5 مشاكل في التفاضل والتكامل في العالم

أنا حاليًا في منتصف طريقتي في حساب التفاضل والتكامل 2 وأنا على وشك الإنهاك العقلي. ومع ذلك ، أريد بشدة أن أعرف ما هي أصعب مشاكل التفاضل والتكامل وما قد يتطلبه حلها. أيضًا ، أريد أن أعرف ما هي التطبيقات الواقعية التي قد تكون لديهم إذا تم حلها.

لقد أجريت بعض الأبحاث وكان ما اكتشفته مثيرًا حقًا. هناك في الواقع العديد من مشاكل التفاضل والتكامل التي لم يتم حلها والتي ، إذا تم حلها ، يمكن أن يكون لها بعض التطبيقات الثورية في العالم الحقيقي عبر العديد من المجالات.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أن تكسب اثنتان من المشاكل التي جعلت هذه القائمة شخصًا 1000000 دولار ، يمنحها معهد كلاي للرياضيات إذا تم العثور على حل. هذه المشاكل الخمس التي لم يتم حلها هي من بين أصعب المشاكل في العالم التي تقع في عالم التفاضل والتكامل.


المراجعات

راجعه آندي ريتش ، أستاذ الرياضيات ، PALNI ، جامعة مانشستر في 19/12/19

لديه كل المواضيع المعتادة وبعد ذلك بعض. أحببت تطوير الأشكال التفاضلية في النهاية وكان الفصل 11 بمثابة دعابة لأشياء ذات مستوى أعلى. كان التطور واضحًا بما يكفي وآمل أن يحصل عليه معظم الطلاب في هذا المستوى. اقرأ أكثر

راجعه آندي ريتش ، أستاذ الرياضيات ، PALNI ، جامعة مانشستر في 19/12/19

تصنيف الشمولية: 5 انظر أقل

لديه كل المواضيع المعتادة وبعد ذلك بعض. أحببت تطوير الأشكال التفاضلية في النهاية وكان الفصل 11 بمثابة دعابة لأشياء ذات مستوى أعلى. كان التطور واضحًا بدرجة كافية لدرجة أنني آمل أن يتمكن معظم الطلاب في هذا المستوى من الحصول عليه. كانت بعض الأمثلة المفضلة لدي مفقودة: على سبيل المثال ، قوانين cycloid واشتقاق قوانين Kepler & # 39s من قوانين نيوتن ، لكن كل شخص لديه مفضلاته الخاصة لذلك أنا موافق على ذلك. عند مناقشة الاستمرارية متعددة المتغيرات ، كان من الجيد سحب مناقشة المسارين التي تظهر في النص وإبرازها كنظرية ، ولكن هذه كلها نقاط ثانوية. ما زلت أعطي هذا النص 5 للشمول.

تصنيف دقة المحتوى: 5

شكواي الوحيدة هنا هي مناقشة الالتواء. يصف الالتواء على أنه & quot؛ & quot؛ مما يعطيني فكرة خاطئة. التذبذب يعني التحرك ذهابًا وإيابًا وهو ما يمكن أن يحدث في الطائرة. الالتواء & quottwisting & quot خارج الطائرة. الرياضيات كلها صحيحة والمؤلف صادق بشأن المكان الذي يتم فيه تجريف الأشياء تحت البساط ، على سبيل المثال ، في إثبات نظرية Green & # 39s.

الملاءمة / تصنيف طول العمر: 5

هذه ليست مشكلة كبيرة لنصوص الرياضيات.

ممتاز! تفسيرات جيدة وواضحة للأفكار الكامنة وراء النظرية ، على سبيل المثال ، مضاعفات لاغرانج التي يتم تقديمها أحيانًا على أنها سحر ، ولكن هنا تحفزها الأفكار الهندسية. معالجة جيدة لقواعد السلسلة متعددة الأبعاد عن طريق ضرب المصفوفة بقسم واحد للصورة المفاهيمية وقسم عن الحسابات. المخططات الجيدة طوال الوقت ، موجودة عند الحاجة للمساعدة في الفهم ، على سبيل المثال ، إظهار العلاقة بين معلمتين مختلفتين عند إثبات أن قيمة التكامل مستقلة عن المعلمات.

كان التقسيم إلى أجزاء وفصول وأقسام منطقيًا ولم تكن الأقسام طويلة جدًا.

المنظمة / الهيكل / معدل التدفق: 5

حسن. تقدم المقدمة وجدول المحتويات الخطوط العريضة للمنظمة وتجعل من السهل العثور على الموضوعات. قد يكون من المفيد تقديم الإحداثيات القطبية في وقت سابق.

لا مشاكل التي رأيتها. من السهل التنقل أثناء التنقل باستخدام جزء الإشارات المرجعية في Adobe. تظهر الرسوم التوضيحية الملونة الجيدة الصور الهندسية عندما تكون مفيدة.

تصنيف الأخطاء النحوية: 5

تصنيف الملاءمة الثقافية: 5

أنا حقا أحب هذا النص. إنه أكثر نظرية ، وأكثر استنادًا إلى الإثبات مما أقوم بتدريسه عادةً ، وقد أتخطى بعضًا من ذلك إذا كنت أدرس من هذا النص ، لكنني أعتقد أنه من الجيد تضمين البراهين في النص. أحببت عرض الأشكال التفاضلية في النهاية. أعتقد أن إضافة واحدة إلى الفصل 11 كمحاولة إضافية ومحاولة إظهار العلاقة بين مختلف النظريات ، ستكون إعداد تسلسل deRham في R ^ 3 وإظهار كيف يأتي التدرج ، والتفاف ، والتباعد في هذا التسلسل الموحد الفردي . (هذا يصل إلى طوبولوجيا المساحة الأساسية التي ألمح إليها المؤلف بالفعل في أماكن مختلفة.) كان أسلوب المحادثة رائعًا: & الاقتباس للعثور على الحد الأقصى لوظيفة مثل. هو سخيف & مثل على سبيل المثال. الفكاهة منتشرة في كل مكان ، على سبيل المثال ، بما في ذلك صورة النيص كمثال للثدييات ذات التوجه. يبدو أن هناك تمارين وفيرة. بشكل عام ، أعتقد أن هذا نص ممتاز لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.


مشاكل في تحويل المعادلات المستقيمة إلى الصورة القطبية

المشكلة 1

  • دعونا نعيد كتابة المعادلات على النحو التالي:
    2 (س 2 + ص 2) - س + ص = 0
  • نستخدم الآن الصيغ التي تعطي العلاقة بين الإحداثيات القطبية والمستطيلة: R 2 = x 2 + y 2، y = R sin t و x = R cos t:
    2 (R 2) - R cos t + R sin t = 0
  • أخرج العامل R
    R (2 R - cos t + sin t) = 0
  • المعادلة أعلاه تعطي:
    R = 0
    أو
    2 R - cos t + sin t = 0
  • المعادلة R = 0 هي القطب. ولكن تم تضمين القطب في الرسم البياني للمعادلة الثانية 2 R - cos t + sin t = 0 (تحقق من ذلك بالنسبة إلى t = & # 960/4 ، R = 0). لذلك يمكننا الاحتفاظ بالمعادلة الثانية فقط.
    2 R - cos t + sin t = 0
    أو
    R = (1/2) (cos t - sin t)

المشكلة 2

    استخدم y = R sin t و x = R cos t في المعادلة الآتية:
    س + ص = 0
    R cos t + R sin t = 0


رياضيات 181: حساب التفاضل والتكامل II

Math 181 هو الفصل الثاني من تسلسل حساب التفاضل والتكامل القياسي المكون من ثلاثة فصول دراسية. على هذا النحو ، فإن هدفها هو مواصلة دراسة التفاضل والتكامل على الخط الحقيقي ، والتي بدأت في الرياضيات 180 (حساب التفاضل والتكامل 1) ، مع التركيز على التكامل ، وأساسيات المتتاليات والمتسلسلات ، بالإضافة إلى الأوصاف البارامترية للمجموعات في المستوى.

منح الائتمان

حق

مواد الدورة

كتاب مدرسي

حساب التفاضل والتكامل: المتساميون الأوائل بقلم ويليام بريجز ولايل كوكران ، الطبعة الثالثة، نشرته أديسون ويسلي.

لاحظ أن رمز MyLabMath مطلوب لهذه الدورة بينما الكتاب المدرسي المطبوع اختياري.

رقم ISBN لدخول فصل دراسي واحد هو 9780135329221 ، ورقم ISBN للوصول إلى فصول دراسية متعددة هو 9780135329276. سيتوفر الموقع في الأسبوع 0 ، وهو الأسبوع الذي يسبق بدء الفصول الدراسية. لاحظ أن أرقام ISBN هذه فقط هي التي ستعمل مع الدورة التدريبية MyLabMath. الكتاب الذي تم شراؤه باستخدام وصول MyLabMath من أمازون أو مصادر أخرى فاز على الأرجح & # 8217t مع رمز الوصول MyLabMath.

تمت تغطية الفصول من 6 إلى 10 في الرياضيات 181.

رمز الوصول MyMathLab

يمكن شراء رمز MyLabMath عبر الإنترنت بعد التسجيل في MyMathLab من خلال Blackboard ، أو في متجر الكتب UIC ، مع الكتاب المدرسي أو بدونه. تأكد من أن كود MyMathLab مرتبط بدورة Blackboard. يشتمل رمز MyMathLab على نسخة إلكترونية من الكتاب المدرسي ، ويعد شراء نسخة مادية أمرًا اختياريًا.

يمكن للطلاب القادمين من Math 180 في UIC استخدام نفس رمز الوصول لـ Math 181 ، إذا لم تنته صلاحيته.

حزمة ورقة العمل

سيتم استخدام حزمة أوراق العمل في جلسات حل المشكلات يومي الثلاثاء والخميس. يمكن العثور على نسخة إلكترونية قابلة للطباعة منها على موقع Blackboard أو عن طريق الاتصال بأي مدرس دورة تدريبية أو TA. يمكن شراء نسخة ورقية مباشرة من مكتبة UIC.

تحقق من Blackboard للحصول على الجدول المحدث والمعلومات الخاصة بالفصل الدراسي.


الرسوم المتحركة حساب التفاضل والتكامل مع Mathcad

البيان
يمكن ان يكون حدسي تفسر على النحو التالي:
الرقم L يقترب من قيم الدالة f (x) المقابلة لقيم x التي تقترب من c.
يتم توضيح مثالين:

لاحظ أن قيم الارتفاع / التشغيل الموجبة موضحة بالقيم الخضراء السلبية موضحة باللون الأحمر.

يمكن مشاهدة هذه الرسوم المتحركة للوظائف التالية:

حاليًا ، تتوفر الرسوم المتحركة المقابلة للسلسلة p التالية:

تم توضيح هذا التعريف لاثنين من القطع الناقص مع الانحرافات المختلفة

منحنى تبدأ الأشعة في
تركيز نقاط أخرى
الشكل البيضاوي
س 2/9 + ص 2/4 = 1
(الجذر التربيعي (5)، 0) ( 1, 1 ), ( 0, 0 ),
(0، - sqrt (2))، (- 2، 0)
القطع المكافئ
ص 2 = س
( 0.25, 0 ) ( 1, 0 )

يمكن حساب المساحة داخل منحنى حدودي (x (t)، y (t)) بالصيغ التالية

نوضح استخدام هذه الصيغ لحساب المساحة في المثالين أدناه. يتم تقريب التكاملات المحددة مع مجاميع Riemann المقابلة ، ويتوافق كل إطار للرسوم المتحركة مع إضافة مصطلح واحد إلى المجموع. المنطقة المقابلة للمصطلح الحالي محاطة بمستطيل - إذا كان المصطلح موجبًا ، يكون المستطيل أخضر ، وإلا فسيكون أحمر.
تم تصوير المجموع الجزئي للمصطلحات المضمنة بالفعل باستخدام نمط منقط - النقاط خضراء داخل المنطقة التي يتم حساب مساحتها بعامل +1 ، تتوافق النقاط الحمراء مع المناطق التي تم حسابها بعامل -1.

أو
إذا تم اجتياز المنحنى عكس اتجاه عقارب الساعة ، و
أو
إذا تم اجتياز المنحنى في اتجاه عقارب الساعة.
المنطقة داخل المنحنى الصيغة المستخدمة


عكس عقارب الساعه

حجم ملف AVI: 134 كيلوبايت
(أو جرب رسمًا متحركًا أقصر مع 83 كيلو بايت)

حجم ملف AVI: 166 كيلوبايت
(أو جرب رسمًا متحركًا أقصر بحجم 102 كيلوبايت)


في اتجاه عقارب الساعة

حجم ملف AVI: 75 كيلوبايت

حجم ملف AVI: 73 كيلو بايت

أثناء الرسوم المتحركة لكل مخطط قطبي ، فإن القيم المقابلة لـ و سيتم جدولة. تتوفر الرسوم المتحركة للمنحنيات القطبية التالية:

9.5: حساب التفاضل والتكامل والدوال القطبية - الرياضيات

نعلم أنه إذا تم إعطاء منحنى سلس بواسطة المعادلات البارامترية

بشرط F (ر) ≠ 0.

لإيجاد ميل المنحنى القطبي ص = F (θ) ، يجب علينا أولاً التعبير عن المنحنى بصيغة بارامترية. حيث

إذا F (θ) قابلة للتفاضل ، لذا فهي كذلك x و ذ ومن بعد

أيضا إذا ومن بعد

عند القيام بالتمرين ، غالبًا ما يكون من الأسهل ببساطة التعبير عن المعادلة القطبية بارامترًا ، ثم العثور عليها دى/dx، بدلا من حفظ الصيغة.

(أ) أوجد منحدر القلب ص = 2 (1 + cos θ) عند انظر الشكل N4–24.

(ب) أين يكون المماس للمنحنى أفقيًا؟

الشكل N4 - 24

(أ) الاستخدام ص = 2 (1 + كوس θ) ، x = ص كوس θ ، ذ = ص الخطيئة θ و ص = −2 خطيئة θ إذن

في

(ب) نظرًا لأن الشكل القلبي متماثل مع θ = 0 ، فنحن بحاجة إلى النظر فقط في النصف العلوي من المنحنى للجزء (ب). الظل أفقي حيث (قدمت ). حيث عوامل إلى 2 (2 cos θ - 1) (cos θ + 1) ، والتي تساوي 0 من أجل cos أو −1 ، أو π. من الجزء (أ) ، لا يساوي 0 عند π. لذلك ، يكون المماس أفقيًا فقط عند (وبالتناظر ، في ).

يتضح من الشكل N4–24 ذلك ص (θ) يفعل ليس أعط منحدر القلب. كـ θ يختلف من 0 إلى يختلف المنحدر من إلى 0 إلى + (مع دوران المماس عكس اتجاه عقارب الساعة) ، مع الأخذ في الاعتبار كل قيمة حقيقية. ومع ذلك، ص (θ) تساوي −2 sin θ ، والتي تأخذ القيم فقط بين 2 و 2!

ملخص الفصل

استعرضنا في هذا الفصل العديد من تطبيقات المشتقات. لقد رأينا كيفية إيجاد منحدرات المنحنيات واستخدمنا هذه المهارة لكتابة معادلات للخطوط المماس للمنحنى. غالبًا ما توفر هذه الخطوط تقديرات تقريبية جيدة جدًا لقيم الوظائف. لقد بحثنا في الطرق التي يمكن أن تساعدنا بها المشتقات في فهم سلوك الوظيفة. يمكن للمشتق الأول أن يخبرنا ما إذا كانت الدالة تتزايد أو تتناقص وتحديد نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى. يمكن للمشتق الثاني أن يخبرنا ما إذا كان الرسم البياني للدالة مقعرًا لأعلى أو لأسفل وتحديد نقاط الانقلاب. لقد راجعنا كيفية استخدام المشتقات لتحديد سرعة وتسارع جسم متحرك على طول خط ووصف العلاقات بين معدلات التغيير.

بالنسبة لطلاب BC Calculus ، استعرض هذا الفصل إيجاد منحدرات منحنيات محددة بشكل حدودي أو في شكل قطبي. لقد راجعنا أيضًا استخدام المتجهات لوصف موضع ، وسرعة ، وتسارع الأجسام المتحركة على طول المنحنيات.

إذا كنت صاحب حقوق الطبع والنشر لأي مادة واردة على موقعنا وتعتزم إزالتها ، فيرجى الاتصال بمسؤول الموقع للحصول على الموافقة.


رياضيات 2210 | حساب التفاضل والتكامل الثالث

يتم تنظيم مقاطع فيديو المحاضرات بترتيب يتوافق مع الكتاب الحالي الذي نستخدمه لدوراتنا التدريبية Math2210 ، Calculus 3 (حساب التفاضل والتكامل ، مع المعادلات التفاضلية ، بقلم Varberg و Purcell و Rigdon ، الطبعة التاسعة التي نشرتها Pearson). لقد قمنا بترقيم مقاطع الفيديو للرجوع إليها بسرعة ، لذا فمن الواضح بشكل معقول أن كل مقطع فيديو لاحق يفترض معرفة بمواد مقاطع الفيديو السابقة. إلى جانب محاضرة الفيديو لكل موضوع ، قمنا بتضمين "الملاحظات المسبقة" و "الملاحظات اللاحقة" وهي ملاحظات المحاضرة قبل حل المشكلات وبعد أن عملنا على كل شيء أثناء المحاضرة ، على التوالي. قد ترغب في تنزيل الملاحظات لاستخدامها كمرجع أثناء مشاهدة فيديو المحاضرة ، أو للرجوع إليها لاحقًا.

إذا وجدت خطأ في المحاضرة أو مشكلة في الفيديو ، أو إذا كنت ترغب في إبداء ملاحظات لنا حول هذه المحاضرات ، يرجى إرسال بريد إلكتروني إلى [email protected] للقيام بذلك.


ملاحظة: لم يتم تسجيل مقاطع الفيديو هذه بصوت ستريو. إذا كنت تستمع إلى مقاطع الفيديو هذه على سماعات الرأس ، فقد ترغب في التفكير في تعيين قنوات الصوت الخاصة بك لتظهر من كلا الجانبين. سيعطيك هذا المستند فكرة عن كيفية تحقيق ذلك.

  • 1 فيديو محاضرة عن المعادلات البارامترية
    • 1 ملاحظات مسبقة
    • 1 بعد ملاحظات
    • 2 ملاحظات مسبقة
    • 2 ملاحظات بوست
    • 3 ملاحظات مسبقة
    • 3 ملاحظات بوست
    • 4 ملاحظات مسبقة
    • 4 ملاحظات Post
    • 5 ملاحظات مسبقة
    • 5 ملاحظات Post
    • 6 ملاحظات مسبقة
    • 6 ملاحظات بوست
    • 7 ملاحظات مسبقة
    • 7 ملاحظات بوست
    • 8 ملاحظات مسبقة
    • 8 ملاحظات Post
    • 9 ملاحظات مسبقة
    • 9 ملاحظات Post
    • 10 ملاحظات مسبقة
    • 10 ملاحظات بوستية
    • 11 ملاحظات مسبقة
    • 11 ملاحظات بوست
    • 12 ملاحظات مسبقة
    • 12 ملاحظات Post
    • 13 ملاحظات مسبقة
    • 13 ملاحظات لاحقة
    • 14 ملاحظات مسبقة
    • 14 ملاحظات لاحقة
    • 15 ملاحظات مسبقة
    • 15 ملاحظات لاحقة
    • 16 ملاحظات مسبقة
    • 16 ملاحظات لاحقة
    • 17 ملاحظات مسبقة
    • 17 ملاحظات لاحقة
    • 18 ملاحظات مسبقة
    • 18 ملاحظات لاحقة
    • 19 ملاحظات مسبقة
    • 19 ملاحظات لاحقة
    • 20 Pre Notes
    • 20 Post Notes
    • 21 Pre Notes
    • 21 Post Notes
    • 22 Pre Notes
    • 22 Post Notes
    • 23 Pre Notes
    • 23 Post Notes
    • 24 Pre Notes
    • 24 Post Notes
    • 25 Pre Notes
    • 25 Post Notes
    • 26 Pre Notes
    • 26 Post Notes
    • 27 Pre Notes
    • 27 Post Notes
    • 28 Pre Notes
    • 28 Post Notes
    • 29 Pre Notes
    • 29 Post Notes
    • 30 Pre Notes
    • 30 Post Notes
    • 31 Pre Notes
    • 31 Post Notes
    • 32 Pre Notes
    • 32 Post Notes

    The Polar Form of a Complex Number

    are points on the circle of radius one centered at the origin.

    Think of the point moving counterclockwise around the circle as the real number moves from left to right. Similarly, the point moves clockwise if decreases. And whether increases or decreases, the point returns to the same position on the circle whenever changes by or by or by where k is any integer.

    Exercise: Prove de Moivre's formula

    Now picture a fixed complex number on the unit circle

    Consider multiples of z by a real, positive number r .

    As r grows from 1, our point moves out along the ray whose tail is at the origin and which passes through the point z . As r shrinks from 1 toward zero, our point moves inward along the same ray toward the origin. The modulus of the point is r . We call the angle which this ray makes with the x-axis, the argument of the number z . All the numbers rz have the same argument. نحن نكتب

    Just as a point in the plane is completely determined by its polar coordinates , a complex number is completely determined by its modulus and its argument.

    Notice that the argument is not defined when r =0 and in any case is only determined up to an integer multiple of .

    Why not just use polar coordinates? What's new about this way of thinking about points in the plane?


    إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

    قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

    يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

    الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

    يجب عليك تضمين ما يلي:

    توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

    أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

    تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
    101 طريق هانلي ، جناح 300
    سانت لويس ، مو 63105


    شاهد الفيديو: 49-Polar Coordinatesالمحاور القطبية: Part One (شهر اكتوبر 2021).