مقالات

2.7: مشتقات الدوال المعكوسة - الرياضيات


تذكر أن الدالة (y = f (x) ) يُقال إنها كذلك واحد لواحد إذا اجتاز اختبار الخط الأفقي ؛ وهذا يعني أنه بالنسبة لقيمتين مختلفتين (x ) (x_1 ) و (x_2 ) ، نقوم بذلك ليس لديك (f (x_1) = f (x_2) ). بوضوح ، (f (-1) = f (1) ) ، لذلك (f ) ليس واحدًا لواحد في مجاله العادي ، ولكن عن طريق تقييد (f ) إلى ((0 ، infty) ) ، (f ) هو واحد لواحد.

الآن تذكر أن وظائف واحد لواحد لها مقلوب. بمعنى ، إذا كان (f ) واحدًا لواحد ، فإن له وظيفة عكسية ، يُرمز إليها بـ (f ^ {- 1} ) ، بحيث إذا (f (a) = b ) ، ثم ( و ^ {- 1} (ب) = أ ). مجال (f ^ {- 1} ) هو نطاق (f ) والعكس صحيح. لتسهيل التدوين ، قمنا بتعيين (g = f ^ {- 1} ) والتعامل مع (g ) كدالة في (x ).

بما أن (f (a) = b ) يعني (g (b) = a ) ، عندما نؤلف (f ) و (g ) نحصل على نتيجة جيدة: [f big (g) (ب) كبير) = و (أ) = ب ] بشكل عام ، (f كبير (g (x) كبير) = x ) و (g كبير (f (x) كبير) = س). يعطينا هذا طريقة مناسبة للتحقق مما إذا كانت وظيفتان مقلوبتان لبعضهما البعض: قم بتكوينهما وإذا كانت النتيجة (x ) ، فعندئذٍ يكونان معكوسين (في المجالات المناسبة).

عندما تقع النقطة ((أ ، ب) ) على الرسم البياني لـ (و ) ، فإن النقطة ((ب ، أ) ) تقع على الرسم البياني (ز ). يقودنا هذا إلى اكتشاف أن الرسم البياني لـ (g ) هو انعكاس (f ) عبر السطر (y = x ). في الشكل 2.29 ، نرى دالة مخططة جنبًا إلى جنب مع معكوسها. انظر كيف تقع النقطة ((1،1.5) ) على رسم بياني واحد ، بينما تقع ((1.5،1) ) على الرسم البياني الآخر. بسبب هذه العلاقة ، يمكن نقل كل ما نعرفه عن (f ) بسرعة إلى معرفة حول (ز ).

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الشكل 2.30 حيث يتم رسم خط الظل إلى (f ) عند النقطة ((أ ، ب) ). هذا الخط لديه ميل (f ^ prime (a) ). من خلال الانعكاس عبر (y = x ) ، يمكننا أن نرى أن الخط المماس لـ (g ) عند النقطة ((b ، a) ) يجب أن يكون له ميل ( frac {1} {f ^ رئيس (أ)} ). هذا يخبرنا بعد ذلك أن (g ^ prime (b) = frac {1} {f ^ prime (a)}. )

انصح:

لقد اكتشفنا وجود علاقة بين (f ^ prime ) و (g ^ prime ) بطريقة رسومية في الغالب. يمكننا أن ندرك هذه العلاقة تحليليًا أيضًا. دعونا (y = g (x) ) ، حيث مرة أخرى (g = f ^ {- 1} ). نريد إيجاد (y ^ prime ). بما أن (y = g (x) ) ، نعلم أن (f (y) = x ). باستخدام قاعدة السلسلة والتفاضل الضمني ، خذ مشتق كلا الجانبين من هذه المساواة الأخيرة.

[ start {align *} frac {d} {dx} Big (f (y) Big) & = frac {d} {dx} Big (x Big) f ^ prime ( y) cdot y ^ prime & = 1 y ^ prime & = frac {1} {f ^ prime (y)} y ^ prime & = frac {1} {f ^ رئيس (ز (س))} نهاية {محاذاة *} ]

هذا يقودنا إلى النظرية التالية.

نظرية 22: مشتقات الدوال المعكوسة

لنفترض أن (f ) قابل للتفاضل وواحد إلى واحد في فترة زمنية مفتوحة (I ) ، حيث (f ^ prime (x) neq 0 ) للجميع (x ) في (I ) ، دع (J ) يكون نطاق (f ) في (I ) ، دع (g ) يكون دالة عكسية لـ (f ) ، وليكن (f (أ) = ب ) لبعض (أ ) في (أنا ). ثم (g ) هي دالة قابلة للتفاضل في (J ) ، وعلى وجه الخصوص ،

(1. left (f ^ {- 1} right) ^ prime (b) = g ^ prime (b) = frac {1} {f ^ prime (a)} ) quad نص {and} quad 2. left (f ^ {- 1} right) ^ prime (x) = g ^ prime (x) = frac {1} {f ^ prime (g (x) )} )

نتائج نظرية 22 ليست تافهة. قد يبدو التدوين محيرا في البداية. يجب أن تكسب الدراسة المتأنية مع الأمثلة الفهم.

في المثال التالي نطبق نظرية 22 على دالة القوسين.

مثال 75: إيجاد مشتقة دالة مثلثية عكسية

دع (y = arcsin x = sin ^ {- 1} x ). أوجد (y ^ prime ) باستخدام النظرية 22.

حل

اعتمادًا على تدويننا المحدد مسبقًا ، دعنا (g (x) = arcsin x ) و (f (x) = sin x ). هكذا (f ^ prime (x) = cos x ). بتطبيق النظرية ، لدينا

[ begin {align *} g ^ prime (x) & = frac {1} {f ^ prime (g (x))} & = frac {1} { cos ( arcsin x )}. النهاية {محاذاة *} ]

هذا التعبير الأخير لا يضيء على الفور. سيساعد رسم الشكل ، كما هو موضح في الشكل 2.32. تذكر أنه يمكن النظر إلى دالة الجيب على أنها تأخذ زاوية وتعيد نسبة أضلاع مثلث قائم الزاوية ، على وجه التحديد ، النسبة "المقابلة على الوتر. '' هذا يعني أن الدالة القوسية تأخذ كمدخل نسبة من الأضلاع والمرتجعات زاوية. يمكن إعادة كتابة المعادلة (y = arcsin x ) كـ (y = arcsin (x / 1) ) ؛ أي ، ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية حيث يكون طول الوتر 1 والضلع المقابل لـ الزاوية التي قياسها (y ) لها طول (x ) وهذا يعني أن طول الضلع الأخير ( sqrt {1-x ^ 2} ) باستخدام نظرية فيثاغورس.

[ text {لذلك} cos ( sin ^ {- 1} x) = cos y = sqrt {1-x ^ 2} / 1 = sqrt {1-x ^ 2}، text {result in} ] [ frac {d} {dx} big ( arcsin x big) = g ^ prime (x) = frac {1} { sqrt {1-x ^ 2}}. ]

تذكر أن الإدخال (x ) من الدالة القوسية هو نسبة جانب من المثلث القائم إلى الوتر ؛ لن تكون القيمة المطلقة لهذه النسبة أبدًا أكبر من 1. لذا فإن الجزء الداخلي من الجذر التربيعي لن يكون سالبًا أبدًا.

من أجل جعل (y = sin x ) واحدًا إلى واحد ، نقيد مجاله بـ ([- pi / 2 ، pi / 2] ) ؛ في هذا المجال ، النطاق هو ([- 1،1] ). لذلك فإن مجال (y = arcsin x ) هو ([- 1،1] ) والنطاق هو ([- pi / 2، pi / 2] ). عندما (x = pm 1 ) ، لاحظ كيف أن مشتق دالة القوسين غير معرّف ؛ هذا يتوافق مع حقيقة أنه مثل (x to pm1 ) ، فإن الخطوط المماسية للقوس تقترب من الخطوط الرأسية ذات المنحدرات غير المحددة.

في الشكل 2.33 نرى (f (x) = sin x ) و (f ^ {- 1} = sin ^ {- 1} x ) رسمًا بيانيًا في المجالات الخاصة بكل منهما. الخط المماس لـ ( sin x ) عند النقطة (( pi / 3، sqrt {3} / 2) ) به ميل ( cos pi / 3 = 1/2 ). ميل النقطة المقابلة على ( sin ^ {- 1} x ) ، النقطة (( sqrt {3} / 2 ، pi / 3) ) ، هو [ frac {1} { sqrt {1 - ( sqrt {3} / 2) ^ 2}} = frac {1} { sqrt {1-3 / 4}} = frac {1} { sqrt {1/4}} = frac {1} {1/2} = 2، ] التحقق مرة أخرى من أنه عند النقاط المقابلة ، تحتوي الدالة وعكسها على منحدرات مقلوبة.

باستخدام تقنيات مماثلة ، يمكننا إيجاد مشتقات جميع الدوال المثلثية العكسية. في الشكل 2.31 ، نعرض قيود مجالات الدوال المثلثية القياسية التي تسمح لها بأن تكون قابلة للعكس.

نظرية 23: مشتقات الدوال المثلثية المعكوسة

الدوال المثلثية العكسية قابلة للتفاضل في جميع المجموعات المفتوحة الموجودة في مجالاتها (كما هو موضح في الشكل 2.31) ومشتقاتها كما يلي:

[ ابدأ {محاذاة} & 1. frac {d} {dx} big ( sin ^ {- 1} (x) big) = frac {1} { sqrt {1-x ^ 2}} qquad && 4. frac {d} {dx} big ( cos ^ {- 1} (x) big) = - frac {1} { sqrt {1-x ^ 2}} & 2. frac {d} {dx} كبير ( sec ^ {- 1} (x) big) = frac {1} {| x | sqrt {x ^ 2-1}} && 5. frac {d} {dx} big ( csc ^ {- 1} (x) big) = - frac {1} {| x | sqrt {x ^ 2-1}} & 3. frac {d} {dx} big ( tan ^ {-1} (x) big) = frac {1} {1 + x ^ 2} && 6. frac {d} {dx} big ( cot ^ {- 1} (x) big) = - frac {1} {1 + x ^ 2} end {align} ]

لاحظ كيف أن المشتقات الثلاثة الأخيرة هي مجرد أضداد للمشتقات الثلاثة الأولى ، على التوالي. لهذا السبب ، يتم استخدام الثلاثة الأولى بشكل حصري تقريبًا في هذا النص.

في القسم 2.3 ، ذكرنا بدون إثبات أو تفسير أن ( frac {d} {dx} big ( ln x big) = frac {1} {x} ). يمكننا الآن تبرير ذلك باستخدام نظرية 22 ، كما هو موضح في المثال.

مثال 76: إيجاد مشتق y = ln x

استخدم النظرية 22 لحساب ( frac {d} {dx} big ( ln x big) ).

حل

اعرض (y = ln x ) كمعكس لـ (y = e ^ x ). لذلك ، باستخدام تدويننا القياسي ، دعنا (f (x) = e ^ x ) و (g (x) = ln x ). نرغب في العثور على (g ^ prime (x) ). تعطي النظرية 22:

[ begin {align *} g ^ prime (x) & = frac {1} {f ^ prime (g (x))} & = frac {1} {e ^ { ln x }} & = frac {1} {x}. النهاية {محاذاة *} ]

في هذا الفصل ، حددنا المشتق ، وأعطينا القواعد لتسهيل حسابه ، ونظرًا لمشتقات عدد من الوظائف القياسية. نعيد ذكر أهمها في النظرية التالية ، التي تهدف إلى أن تكون مرجعًا لمزيد من العمل.

نظرية 24: مسرد لمشتقات الوظائف الأولية

لنفترض أن (u ) و (v ) دالات قابلة للتفاضل ، واجعل (أ ) و (ج ) و (n ) أرقامًا حقيقية ، (أ> 0 ) ، ( neq 0 ).


لقد أظهرنا سابقًا النتيجة المتعلقة بقاعدة السلسلة.

ضع في اعتبارك $ I $ و $ J $ فترتين من $ mathbb$ ودالتان $ u ، v $ محدد بواسطة

$ تبدأ u & amp: أنا rightarrow mathbb v & amp: J rightarrow mathbb نهاية $

مثل $ f (I) مجموعة فرعية J $. لنفترض أن $ x $ نقطة في الفترة الزمنية $ I $.
إذا كان $ u $ قابلاً للتفاضل عند $ x $ وكان $ v $ قابلاً للتفاضل عند $ u (x) $ ، فإن الوظيفة المركبة $ u circ v $ قابلة للتفاضل عند $ x $ ، ويتم إعطاء قاعدة Chaine بواسطة


مشتقات الدوال المعكوسة & # 8211 صفحة 2

نجد أولاً الدالة العكسية (x = varphi left (y right) ) للدالة المعينة (y = f left (x right) ) التي تتزايد بشكل رتيب لأي (x in mathbb). التعبير عن (س ) بدلالة (ص: )

الآن أوجد المشتق (f & # 8217 left (x right): )

مثال 5.

يتم تعريف دالة arccosine ورتيبة على الفاصل ( left [<& # 8211 1،1> right] ). وبالتالي ، فإن مجال الوظيفة الأصلية له الشكل:

اكتب الدالة العكسية (x = varphi left (y right): )

احسب مشتق الدالة الأصلية من خلال مشتق الدالة العكسية:

لاحظ أن المشتق لم يتم تعريفه عند النقاط الحدودية (x = 0 ) و (x = 1 ) لمجال الوظيفة (y = f left (x right). )

مثال 6.

يتم تعريف هذه الوظيفة وزيادة رتابة بشكل رتيب لـ (x gt 0 ). لذلك يمكننا بناء الدالة العكسية على هذه الفترة. التعبير عن (س ) بدلالة (ص: )

الآن نحدد مشتق الوظيفة المعينة (y = f left (x right) ) باستخدام نظرية الدالة العكسية:

استبدل تعبير الوظيفة الأصلية بدلاً من (y: )

مثال 7.

الوظيفة العكسية لهذه الوظيفة هي كما يلي:

أوجد مشتق الوظيفة الأصلية (y = f left (x right): )

يمكن ملاحظة أن مشتق الوظيفة (y = arctan < large frac <1> normalsize> ) يختلف فقط في علامة مشتق الوظيفة (y = arctan x ).

المثال 8.

هذه الوظيفة هي معكوس الدالة التربيعية (x = varphi left (y right) = . ) لذلك ، مشتقها معطى بواسطة

المثال 9.

اكتب الدالة (x = varphi left (y right) ) وهي معكوس الدالة المعطاة (y = f left (x right): )

ثم المشتق (f & # 8217 left (x right) ) له الشكل التالي:

المثال 10.

في هذا المثال ، إيجاد التعبير المشترك للدالة العكسية ومشتقاتها سيكون مرهقًا جدًا. لذلك نحسب مشتقة الدالة الأصلية ثم نحسب مقلوبها.

قيمة المشتق (f & # 8217 left (x right) ) في (x = 1 ) تساوي

[f & # 8217 اليسار ( right) = 5 cdot <1 ^ 4> + 6 cdot <1 ^ 2> + 3 = 14. ]

الدالة نفسها عند النقطة (x = 1 ) تأخذ القيمة

[ص اليسار ( right) = <1 ^ 5> + 2 cdot <1 ^ 3> + 3 cdot 1 = 6. ]

من خلال نظرية الوظيفة العكسية ، نحصل على:

المثال 11.

حدد مشتق الوظيفة الأصلية:

لاحظ أن النقطة (x = <2> normalsize> ) تفصل مناطق التناقص ( (x & lt <2> normalsize> ) ) وزيادة ( (x & gt <2> normalsize> )) للوظيفة الأصلية. لكل من الفواصل الزمنية ، يوجد فرع خاص به للدالة العكسية ، والذي يُشار إليه على أنه (< varphi _1> left (y right) ) و (< varphi _2> left (y right) . ) يمكن الحصول على تعبيرات هذه الدوال بشكل صريح عن طريق حل المعادلة (y = f left (x right) ) فيما يتعلق (x: )

يتم تحديد مشتق الدالة العكسية بواسطة الصيغة

استبدال التعبيرات الصريحة لـ (x = < varphi _1> left (y right) ) و (x = < varphi _2> left (y right) ) لكلا فرعي الدالة العكسية ، نحن لدينا:

النقطة (x = 1 ) تتوافق مع القيمة (y = <1 ^ 2> & # 8211 1 = 0 ) وتقع على الفرع (< varphi _2> left (y right) ) الدالة العكسية. يتم الحصول على مشتق الدالة العكسية عند هذه النقطة

المثال 12.

عندما (س = 0 ، ) تأخذ الدالة المعطاة القيمة

[ص اليسار ( حق) = + 2 cdot 0 + 1 = 2. ]

مشتق الدالة (y = f left (x right) ) وقيمتها عند النقطة (x = 0 ) متساويان:

من خلال نظرية الدالة العكسية ، نجد:

المثال 13.

احسب قيمة الوظيفة الأصلية ومشتقاتها عند النقطة (x = 1: )

الآن يمكننا إيجاد مشتق الدالة العكسية (x = varphi left (y right): )

المثال 14.

يتم تعريف الوظيفة الأصلية (y = f left (x right) ) من أجل (x gt 0 ). مشتقها في هذا المجال موجب:

ومن ثم ، فإن الوظيفة تتزايد بشكل رتيب ولها وظيفة عكسية. من خلال نظرية الوظيفة العكسية ، لدينا:

في هذه الحالة ، لا يمكن التعبير عن الوظيفة (x left (y right) ) بشكل صريح. ومع ذلك ، باستخدام الصيغة الأخيرة ، يمكننا بسهولة تحديد قيمة مشتق الدالة العكسية عند (x = 1. ) مبدئيًا ، نحسب القيمة المقابلة لـ (y: )

[ص اليسار ( يمين) = <1 ^ 2> + 2 ln 1 = 1 + 0 = 1. ]

المثال 15.

اذا حكمنا من خلال المشتق:

تحتوي الوظيفة على ثلاث فترات من الرتابة:

  1. (x in left (<& # 8211 infty، & # 8211 1> right) ) - تتزايد الوظيفة
  2. (x in left (<& # 8211 1، 1> right) ) - تتناقص الوظيفة
  3. (x in left (<1، infty> right) ) - تتزايد الوظيفة.

يمكن تعيين كل فترة إلى دالة عكسية خاصة بها. علاوة على ذلك ، نفترض أن الدالة العكسية تتوافق مع الفترة الأولى التي تحتوي على النقطة (س = -2. )

مشتق الدالة العكسية له الشكل:

الدالة نفسها عند (x = -2 ) متساوية

ثم قيمة مشتق الدالة العكسية عند النقطة المشار إليها هي

المثال 16.

احسب مشتق الدالة المعينة:

كما يتضح ، يغير المشتق إشارة عند المرور عبر النقطة (س = 0 ) ، أي تقل الوظيفة لـ (س لتر 0 ) وتزيد من أجل (س جي تي 0 ). علاوة على ذلك ، فإننا نعتبر الفرع الذي يحتوي على النقطة (س = 2 ). في هذه المنطقة ، توجد دالة عكسية. مشتقها من الصيغة

بالنظر إلى أن (ص غادر ( right) = 3 cdot <2 ^ 2> & # 8211 1 = 11، ) نحصل على:

المثال 17.

الوظيفة (y = f left (x right) = < log _2> left (< fracتم تعريف <3>> right) ) من أجل (x gt 0 ) وزيادة رتيبة في هذا الفاصل الزمني. وبالتالي ، لها دالة عكسية (x = varphi left (y right): )

من خلال نظرية الدالة العكسية ، نجد:

هنا استخدمنا الهوية اللوغاريتمية التالية:

المثال 18.

نستخدم حقيقة أن الدالة القوسية هي معكوس دالة القاطع. نفترض أن مشتق القاطع معروف:

ضع في الاعتبار أن القاطع يساوي ( sqrt 2 ) في (y = < large frac < pi> <4> normalsize>: )

ثم لدينا نظرية الدالة العكسية

وفقًا لذلك ، فإن قيمة مشتق ( textx ) عند النقطة (x = sqrt 2 ) تساوي:

المثال 19.

احسب مشتق الدالة المعينة:

يمكن ملاحظة أن المشتق موجب لـ (x gt 0 ). ومن ثم ، فإن الوظيفة في هذه المنطقة تزيد بشكل رتيب ولها وظيفة عكسية (س = فارفي يسار (ص يمين) ). يتم التعبير عن مشتق الدالة العكسية بواسطة الصيغة

المثال 20.

الدالات (y = text x ) (الجيب الزائدي العكسي) و (x = sinh y ) (الجيب الزائدي) هي وظائف معكوسة بشكل متبادل. لذلك ، من خلال نظرية الدالة العكسية ، يمكننا كتابة:

التعبير عن ( cosh x ) بدلالة ( sinh x ) باستخدام الهوية

بالنظر إلى أن ( sinh left (< textx> right) = x، ) نحصل على التعبير التالي لمشتق دالة الجيب الزائدية المعكوسة:


قبل أن نتحدث عن الدوال المثلثية العكسية ، دعنا نراجع الدوال المعكوسة بشكل عام. إذا أردنا إيجاد معكوس دالة ، فإننا نعوض عن الكل. x. مع. ذ. و كل. ذ. مع. x. 'س. إذن ، إذا أردنا إيجاد معكوس. ص = الخطيئة. نقلب المتغيرات ونحصل على. س = الخطيئة. ثم نحل هذه المعادلة لـ. ذ. بأخذ الجيب العكسي (. sin ^ <-1>. أو. arcsin.) لكلا الجانبين ، لأن. الخطيئة ^ <-1>. و ال . الخطيئة. سوف تلغي في الجانب الأيمن.

. الخطيئة ^ <-1>. و . أركسين. كلاهما يشير إلى عكس. الخطيئة. وظيفة ويمكن استخدامها بالتبادل. تذكر ذلك

أقوم بإنشاء دورات عبر الإنترنت لمساعدتك في تحسين حصة الرياضيات. اقرأ أكثر.

لأن بعض الناس يعتقدون بشكل غير صحيح أن قاعدة الأس السالبة يمكن تطبيقها على الدوال المثلثية العكسية ، يجادل آخرون بذلك. أركسين. أكثر وضوحًا ويجب استخدامه دائمًا بدلاً من. الخطيئة ^ <-1>. للإشارة إلى الدالة المثلثية العكسية. يجب عليك استخدام أي تدوين يناسبك ، إلا إذا كان أستاذك يتوقع منك استخدام واحدة منها باستمرار. الحقيقة هي أنك عادة ما ترى كلاهما مستخدمًا ، لذلك يجب أن تكون على دراية بكليهما وتذكر أنهما يعنيان نفس الشيء.

يُظهر أول عمودين من الرسم البياني أدناه الدوال المثلثية العكسية الستة ومشتقاتها ، عندما تكون وظيفة "الداخل" عادلة. x. يأخذ العمودان الثالث والرابع في الاعتبار قاعدة السلسلة ويذكراننا بالضرب في مشتقة الدالة الداخلية.


مرحبا!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


التفاضل والتكامل المنسق

ما هو مشتق دالة اللوغاريتم الطبيعي؟

ما هي مشتقات الدوال المثلثية العكسية ( arcsin (x) ) و ( arctan (x) text <؟> )

إذا كان (g ) هو معكوس دالة قابلة للتفاضل (f text <،> ) كيف يتم حساب (g ') من حيث (f text <،> ) (f' نص <،> ) و (g text <؟> )

تركز الكثير من الرياضيات على مفهوم الوظيفة. في الواقع ، خلال دراستنا لحساب التفاضل والتكامل ، نحقق في سلوك الوظائف ، مع التركيز بشكل خاص على مدى سرعة تغير ناتج الوظيفة استجابة للتغيرات في المدخلات. نظرًا لأن كل وظيفة تمثل عملية ، فإن السؤال الطبيعي الذي يجب طرحه هو ما إذا كان يمكن عكس هذه العملية أم لا. بمعنى ، إذا عرفنا الإخراج الناتج عن الوظيفة ، فهل يمكننا (بشكل فريد) تحديد المدخلات التي أدت إلى ذلك؟ وإذا عرفنا مدى سرعة تغير عملية معينة ، فهل يمكننا تحديد مدى سرعة تغير العملية العكسية؟

واحدة من أهم الوظائف في جميع الرياضيات هي الدالة الأسية الطبيعية (f (x) = e ^ x text <.> ) معكوسها ، اللوغاريتم الطبيعي (g (x) = ln (x) text <،> ) مهم بالمثل. أحد أهدافنا في هذا القسم هو معرفة كيفية التفريق بين دالة اللوغاريتم. أولاً ، نقوم بمراجعة بعض المفاهيم الأساسية المحيطة بالوظائف وعكساتها في المثال 2.69.

المثال 2.69

المعادلة (y = frac <5> <9> (x-32) ) تتعلق بدرجة الحرارة المعطاة في (x ) درجة فهرنهايت لدرجة الحرارة المقابلة (y ) المقاسة بالدرجات المئوية.

اكتب (x ) (درجة حرارة فهرنهايت) بدلالة (y ) (درجة حرارة مئوية) عن طريق حل المعادلة (y = frac <5> <9> (x-32) ) لـ (x ) نص <.> )

لنفترض أن (C (x) = frac <5> <9> (x-32) ) هي الوظيفة التي تأخذ درجة حرارة فهرنهايت كمدخل وتنتج درجة حرارة مئوية مكافئة كإخراج. بالإضافة إلى ذلك ، دع (F (y) ) هي الوظيفة التي تحول درجة الحرارة المعطاة في (y ) درجة مئوية إلى درجة الحرارة المكافئة (F (y) ) المقاسة بالدرجات فهرنهايت. استخدم عملك في (أ) لكتابة صيغة لـ (F (y) text <.> )

بعد ذلك ، ضع في اعتبارك الوظيفة المركبة المحددة بواسطة (p (x) = F (C (x)) text <.> ) استخدم الصيغ لـ (F ) و (C ) لتحديد تعبير لـ ( p (x) ) وبسّط هذا التعبير قدر الإمكان. ماذا تلاحظ؟

الآن ، دع (r (y) = C (F (y)) text <.> ) استخدم صيغ (F ) و (C ) لتحديد تعبير لـ (r (y) ) وبسّط هذا التعبير قدر الإمكان. ماذا تلاحظ؟

ما قيمة (C '(x) text <؟> ) لـ (F' (y) text <؟> ) كيف تبدو هذه القيم مرتبطة؟

ابدأ بضرب طرفي المعادلة في ( frac <9> <5> text <.> )

كيف يجب أن يرتبط (F (y) ) و (x )؟

كيف تقارن وحدات (س ) بوحدات (ص (س) نص <؟> )

كيف تقارن وحدات (y ) بوحدات (r (y) text <؟> )

الوحدات الموجودة على (C '(x) ) هي درجات مئوية لكل درجة فهرنهايت ، والوحدات الموجودة على (F' (y) ) هي درجات فهرنهايت لكل درجة مئوية.

(C '(x) = frac59 ) هو مقلوب (F' (y) = frac95 text <.> )

لحل المعادلة (y = frac59 (x-32) ) لـ (x text <،> ) أولاً نضرب كلا الجانبين في ( frac95 ) ثم نضيف (32 نص <: > )

من المعادلة الأولية (y = frac59 (x-32) ) التي تربط درجة حرارة (x ) درجة فهرنهايت بدرجة الحرارة المكافئة (y ) درجة مئوية ، قلنا أن (C (x) ) = y text <.> ) وبالمثل ، عملنا في الجزء (أ) أعاد كتابة هذه المعادلة في الشكل (x = frac95y + 32 ) مما يدل على نفس العلاقة بين درجة حرارة (س ) درجة فهرنهايت و (ص ) درجة مئوية. يجب أن تكون الحالة ، إذن ، أن (F (y) = x text <.> ) وبالتالي فإن صيغة (F ) هي

في الجزء (ب) ، قلنا أن (C (x) = y ) و (F (y) = x text <.> ) بناءً على ذلك ، يجب أن يكون الأمر كذلك

لكننا سنلقي نظرة فاحصة على التحقق مرة أخرى. رصد:

لفهم هذا ، نلاحظ أن الدالة (p ) تأخذ درجة حرارة (x text <،> ) بالدرجات فهرنهايت ، وتدفعها خلال الوظيفة (C ) لتحويلها إلى (C (x) ) درجة مئوية ، ثم تدفع النتيجة عبر الدالة (F ) لتحويلها مرة أخرى إلى درجات فهرنهايت. نظرًا لأن (F ) و (C ) يقوم كل منهما فقط بتحويل وحدات درجة حرارة معينة ، ووحدات (F (C (x)) ) هي نفس الوحدات الموجودة على (x text <،> ) من المعقول تمامًا أن ينتهي الأمر بالمعادلة (x = F (C (x)) text <.> )

الحالة مع (r (y) = C (F (y)) ) مماثلة لتلك الموصوفة في الجزء (ج). في الجزء (ب) ، قلنا أن (C (x) = y ) و (F (y) = x text <.> ) بناءً على ذلك ، يجب أن يكون الأمر كذلك

لكننا سنلقي نظرة فاحصة على التحقق مرة أخرى. رصد:

لفهم هذا ، نلاحظ أن الوظيفة (r ) تأخذ درجة حرارة (y text <،> ) بالدرجات المئوية ، وتدفعها خلال الوظيفة (F ) لتحويلها إلى (F (y) ) درجة فهرنهايت ، ثم يدفع النتيجة من خلال الوظيفة (C ) لتحويلها مرة أخرى إلى درجات مئوية. نظرًا لأن (F ) و (C ) يقوم كل منهما فقط بتحويل وحدات درجة حرارة معينة ، ووحدات (C (F (y)) ) هي نفس الوحدات الموجودة على (y text <،> ) من المعقول تمامًا أن ينتهي الأمر بالمعادلة (y = C (F (y)) text <.> )

من هذا والجزء (ج) ، نستنتج أن (C ) و (F ) زوجان من.

بما أن (C (x) = frac59 (x-32) text <،> ) نعلم أن (C '(x) = frac59 ) درجة مئوية لكل درجة فهرنهايت. وبالمثل ، بما أن (F (y) = frac95y + 32 text <،> ) نعلم أن (F '(y) = frac95 ) درجة فهرنهايت لكل درجة مئوية. نلاحظ أن هذه القيم هي قيم متبادلة لبعضها البعض ، كما هو متوقع من الوحدات الموجودة في كل منها.

حقائق أساسية عن القسم الفرعي حول الدوال المعكوسة

وظائف معكوسة

الوظيفة (f: A to B ) هي قاعدة تربط كل عنصر في المجموعة (A ) بعنصر واحد فقط في المجموعة (B text <.> ) نسميه ( أ ) من (f ) و (ب ) من (f نص <.> ) إذا كانت هناك وظيفة (g: B إلى A ) مثل (g (f (أ)) = أ ) لكل اختيار محتمل لـ (أ ) في المجموعة (أ ) و (و (ز (ب)) = ب ) لكل (ب ) في المجموعة (B text <،> ) ثم نقول أن (g ) هو لـ (f text <.> )

غالبًا ما نستخدم الترميز (f ^ <-1> ) (اقرأ ("f ) - معكوس") للإشارة إلى معكوس (f text <.> ) الدالة العكسية تبطل عمل (f text <.> ) في الواقع ، إذا (y = f (x) text <،> ) ثم

وبالتالي ، فإن المعادلتين (y = f (x) ) و (x = f ^ <-1> (y) ) تقولان نفس الشيء. الاختلاف الوحيد بين المعادلتين هو أن إحداهما يتم حلها من أجل (x text <،> ) بينما يتم حل الأخرى من أجل (y text <.> )

هنا نذكر أنفسنا بإيجاز ببعض الحقائق الأساسية حول الدوال العكسية.

الملاحظة 2.70

للدالة (f: A to B text <،> )

(f ) له معكوس إذا وفقط إذا كان (f ) هو واحد لواحد 10 A وظيفة (f ) بشرط ألا يؤدي أي مدخلين مختلفين إلى نفس الإخراج. وعلى 11 يتم توفير دالة (f ) بحيث يمكن تحقيق كل عنصر محتمل من المجال المشترك كمخرج للدالة لبعض اختيار المدخلات من المجال.

بشرط وجود (f ^ <-1> ) ، فإن مجال (f ^ <-1> ) هو المجال السري لـ (f text <،> ) والمجال الرمزي لـ (f ^ <- 1> ) هو مجال (f text <> )

(f ^ <-1> (f (x)) = x ) لكل (x ) في مجال (f ) و (f (f ^ <-1> (y)) = y ) لكل (y ) في المجال المشترك لـ (f text <> )

(y = f (x) ) إذا وفقط إذا (x = f ^ <-1> (y) text <.> )

تكشف الحقيقة الأخيرة عن علاقة خاصة بين الرسوم البيانية لـ (f ) و (f ^ <-1> text <.> ) إذا كانت هناك نقطة ((x ، y) ) تقع على الرسم البياني لـ (y = f (x) text <،> ) فمن الصحيح أيضًا أن (x = f ^ <-1> (y) text <،> ) مما يعني أن النقطة ((y، x) ) تقع على الرسم البياني لـ (f ^ <-1> text <.> ) وهذا يوضح لنا أن الرسوم البيانية لـ (f ) و (f ^ <-1> ) هي انعكاسات من بعضها البعض عبر السطر (y = x text <،> ) لأن هذا الانعكاس هو بالضبط الإجراء الهندسي الذي يبدل الإحداثيات في زوج مرتب. في الشكل 2.71 أدناه ، نرى هذا موضحًا من خلال الرسوم البيانية لـ (y = f (x) ) و (y = f ^ <-1> (x) text <،> ) حيث (f ( x) = 2 ^ x text <.> ) النقاط المحددة ( big (-1، frac <1> <2> big) ) و ( big ( frac <1> <2 >، - 1 big) ) قم بتمييز انعكاس المنحنيات عبر الخط (y = x text <.> )

الشكل 2.71 الرسم البياني للدالة (y = f (x) ) مع معكوسها (y = f ^ <-1> (x) text <.> )

لإغلاق مراجعتنا للحقائق المهمة حول المقلوبات ، نتذكر أن الدالة الأسية الطبيعية (f (x) = e ^ x ) لها وظيفة عكسية ، وهي اللوغاريتم الطبيعي (f ^ <-1> (y) = ln (y) text <.> ) وبالتالي ، فإن الكتابة (y = e ^ x ) قابلة للتبديل مع (x = ln (y) text <،> ) بينما أيضًا ( ln ( e ^ x) = x ) لكل رقم حقيقي (x text <،> ) و (e ^ < ln (y)> = y ) لكل رقم حقيقي موجب (y text <. > )

القسم الفرعي مشتق دالة اللوغاريتم الطبيعي

فيما يلي ، نجد صيغة لمشتق (g (x) = ln (x) text <.> ) للقيام بذلك ، نستفيد من حقيقة أننا نعرف مشتق الأس الطبيعي دالة ، معكوس (g text <.> ) على وجه الخصوص ، نعلم أن الكتابة (g (x) = ln (x) ) تعادل الكتابة (e ^ = x text <.> ) الآن ، نفرق بين طرفي هذه المعادلة ونلاحظ ذلك

الجانب الأيمن هو ببساطة (1 text <> ) من خلال تطبيق قاعدة السلسلة على الجانب الأيسر ، نجد ذلك

بعد ذلك نحل من أجل (g '(x) ) ونحصل على

أخيرًا ، نتذكر أن (g (x) = ln (x) text <،> ) لذا (e ^ = e ^ < ln (x)> = x text <.> ) هكذا

مشتق من اللوغاريتم الطبيعي

لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة (x text <،> ) ( frac[ ln (x)] = frac <1> نص <.> )

هذه القاعدة الخاصة بدالة اللوغاريتم الطبيعي تنضم الآن إلى قائمة قواعد الاشتقاق الأساسية. لاحظ أن هذه القاعدة تنطبق فقط على القيم الموجبة لـ (x text <،> ) لأن هذه هي القيم الوحيدة التي يتم تعريف ( ln (x) ) لها.

لاحظ أيضًا أنه لأول مرة في عملنا ، أدى التمييز بين وظيفة أساسية لنوع معين إلى وظيفة ذات طبيعة مختلفة تمامًا: مشتق اللوغاريتم الطبيعي ليس لوغاريتمًا آخر ، ولا حتى دالة أسية ، بل بالأحرى واحد عقلاني.

يمكن الآن حساب مشتقات اللوغاريتمات بالتنسيق مع جميع القواعد المعروفة حتى الآن. على سبيل المثال ، إذا (f (t) = ln (t ^ 2 + 1) text <،> ) ثم بقاعدة السلسلة ، (f '(t) = frac <1> cdot 2t text <.> )

هناك اتصالات مثيرة للاهتمام بين الرسوم البيانية لـ (y = f (x) ) و (y = f ^ <-1> (x) text <،> ) مع (f (x) = e ^ x ) و (f ^ <-1> (x) = ln (x) text <.> )

في الشكل 2.72 على اليمين ، نتذكر أنه نظرًا لأن الدالة الأسية الطبيعية لها خاصية مشتقها نفسه ، فإن ميل الظل إلى (y = e ^ x ) يساوي ارتفاع المنحنى عند هذه النقطة. على سبيل المثال ، عند النقطة (A = ( ln (0.5) ، 0.5) text <،> ) يكون ميل خط الظل (m_A = 0.5 text <،> ) وعند (B = ( ln (5)، 5) text <،> ) ميل خط الظل هو (m_B = 5 text <.> )

عند النقاط المقابلة (A ') و (B' ) على الرسم البياني لوظيفة اللوغاريتم الطبيعي (والتي تأتي من عكس (A ) و (B ) عبر السطر (y = x ) )) ، نعلم أن ميل خط الظل هو مقلوب (x ) - إحداثي النقطة (منذ ( frac[ ln (x)] = frac <1>)). وهكذا ، عند (A '= (0.5، ln (0.5)) text <،> ) لدينا (m_ = frac <1> <0.5> = 2 text <،> ) وفي (B '= (5، ln (5)) text <،> ) (m_ = فارك <1> <5> نص <.> )

على وجه الخصوص ، نلاحظ أن (م_ = فارك <1>) و (م_ = فارك <1> text <.> ) هذه ليست مصادفة ، ولكنها في الواقع تنطبق على أي منحنى (y = f (x) ) ومعكوسه ، بشرط وجود معكوس. هذا بسبب انعكاس الرسوم البيانية عبر السطر (y = x text <:> ) الانعكاس يغير أدوار (x ) و (y text <،> ) وبالتالي عكس الارتفاع وجري ، لذا فإن ميل الدالة العكسية عند النقطة المنعكسة هو مقلوب ميل الدالة الأصلية.


القسم الفرعي 7.2.1 تمارين

استخدم حقيقة أن ( lzoo= e ^ x ) مع التفاضل الضمني لتوضيح أن ( lzoo> = فارك <1> text <.> ) ابدأ باستخدام حقيقة أن (y = fe < ln>) يعني أن (e ^ y = x ) (و (x & gt0 )). خطوتك الأولى هي التفريق بين طرفي المعادلة (e ^ y = x ) بالنسبة إلى (x text <.> )

استخدم حقيقة أن ( lzoo> = فارك <1>) مع التمايز الضمني لتوضيح أن ( lzoo= e ^ x text <.> ) ابدأ باستخدام حقيقة أن (y = e ^ x ) يعني ضمناً أن ( fe < ln>= x text <.> ) خطوتك الأولى هي التفريق بين طرفي المعادلة ( fe < ln>= x ) بالنسبة إلى (x text <.> )

استخدم حقيقة أن ( lzoo> = fe < sec ^ 2>) مع التمايز الضمني لتوضيح أن ( lzoo>> = frac <1> <1 + x ^ 2> text <.> ) ابدأ باستخدام حقيقة أن (y = fe < tan ^ <-1>>) يعني أن ( fe < tan>= x ) (و (- frac < pi> <2> lt y lt frac < pi> <2> )). خطوتك الأولى هي اشتقاق طرفي المعادلة ( fe < tan>= x ) فيما يتعلق بـ (x text <.> ) يرجى ملاحظة أنك ستحتاج إلى استخدام هوية فيثاغورس التي تربط وظائف الظل والقاطع أثناء العمل على هذه المشكلة.

/>
هذا العمل مرخص بموجب رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف - المشاركة بالمثل 4.0 دولي.


إثبات القاعدة المشتقة لوظيفة المهد المعكوس

تتم كتابة دالة الظل المشترك المعكوسة بالشكل $ cot ^ <-1> <(x)> $ أو $ operatorname<(x)> $ في حساب المثلثات العكسي عندما نأخذ $ x $ كمتغير ، والذي يمثل عددًا حقيقيًا. تمايز أو مشتق دالة المهد العكسي بالنسبة إلى $ x $ مكتوب في الشكلين التاليين في الرياضيات.

يمكن اشتقاق تمايز دالة المهد العكسي رياضيًا باستخدام المبدأ الأول ويتم استخدامه كصيغة في حساب التفاضل. لذلك ، دعونا نتعلم كيفية اشتقاق قاعدة التفاضل لدالة سرير الطفل العكسي رياضيًا.

مشتق دالة Cot في صيغة Limit

وفقًا للتعريف الأساسي للمشتق ، يمكن كتابة مشتق دالة التمام العكسي بالنسبة إلى $ x $ في صيغة نهائية.

دع $ Delta x = h $ ، إذن يمكن كتابة المعادلة بـ $ h $ بدلاً من $ Delta x $.

الآن ، تمايز $ operatornameيمكن اشتقاق <(x)> $ function فيما يتعلق بـ $ x $ من المبدأ الأول.

قم بتقييم النهاية بالتعويض المباشر

دعونا & # 8217s نحاول استخدام طريقة التعويض المباشر لحساب الدالة المثلثية العكسية حيث يقترب $ h $ من الصفر.

It gives us an indeterminate form, which clears that the direct substitution method is not recommendable for evaluation.

Simplify the Inverse trigonometric function

Now, we have to think about alternative approach. So, comeback to the first step for finding the derivative of inverse cotangent function.

In limits, there is no formula in inverse cotangent function but we have a limit rule in its reciprocal function inverse tangent function and it is possible to convert the inverse cot functions into inverse tan function by the constant property of inverse trigonometric functions.

Now, we can transform every inverse cot function as inverse tan function in the definition of the derivative of inverse cotangent function.

The difference of the inverse tan function can be simplified by the difference identity of inverse tan functions.

As per this formula, we can simplify the inverse trigonometric expression in the numerator.

The limit of the function in rational form is similar to the limit rule of inverse tan function. For using this formula, the expression in the denominator should be same as the argument in the inverse tan function. Therefore, we have to do some adjustments in the denominator and it helps us to use the limit rule of inverse tan function in this case.

The inverse trigonometric expression in rational form can be separated as two factors.

Now, the product rule of limits can be used to evaluate the limit of the product by the product of their limits.

Evaluate the Limits of the functions

The first multiplying function can be evaluated by direct substitution as $h$ approaches zero but do not take any step on the second multiplying function at this time.

The second factor is almost same as the limit rule of inverse tan function but the input of the limiting operation should also be same as argument of the inverse tan function or denominator. Now, let us calculate the approaching value for the input of limiting operation.

$(1) ,,,$ If $h , o, 0$ then $-h , o, -0$. Therefore $-h , o, 0$

$(2) ,,,$ If $h , o, 0$ then $x+h , o, x+0$. Therefore $x+h , o, x$

$(3) ,,,$ If $x+h , o, x$ then $x(x+h) , o, x imes x$. Therefore $x(x+h) , o, x^2$

$(4) ,,,$ If $x(x+h) , o, x^2$ then $1+x(x+h) , o, 1+x^2$

Now, evaluate the approaching value of the rational expression $dfrac<-h><1+x(x+h)>$

Let $z ,=, dfrac<-h><1+(x+h)x>$, then $z , o, 0$ as $h$ approaches $.

Now, express the second multiplying function in terms of $z$.

As per the limit rule of inverse trigonometric functions, the limit of quotient of inverse tan function by its argument is equal to one as its input approaches zero.


Derivatives of inverse functions

Boy oh boy, I thought the Chain Rule was frustrating. At least there is a wealth of information to help the unwary Calculus student.
I've spent the last three hours working on one problem. I've read the section on "Derivatives of Inverse Functions" from five different textbooks. I've watched the few videos I can find that discuss the inverses of algebraic - as opposed to the ubiquitous trigonometric - functions. I'm no closer to finding a method than I was yesterday, when I spent another two hours on the same problem.

The textbook gives a "real number" أ and a "function" و (خ). It says to use the function F and the given real number أ to find (f -1 )'(a).

The problem is that the solution manual, the examples, and everything else I can find is skipping the ONLY step that is confusing me.

Take the problem
f(x) = x 3 - 1, a=26
After much trial and error, I plug in
26 = x 3 -1
27 = x 3
3 = x

My problem is, for the more complicated questions that come after this (and even the question above I probably wouldn't have solved on my own, thanks to the ridiculously simplistic example (that's singular) given in the book), finding x when a=n is a hassle. Take, for instance,

f(x) = 1/27 (x 5 + 2x 3 ), a=-11

How do I find the output of و (خ) to get the input of (f -1 )'(x)?


[Calculus II] Memorizing tips for derivatives of inverse trig functions?

CalcII has made me realize how much I don't have memorized that I need to memorize. My professor expects us to memorize the derivatives of the inverse trig functions but I'm having trouble since they're all so similar. أي نصائح؟

You don't have to memorize what you can quickly prove.

dy/dx=1/cos(y) if sin(y)=x then y=arcsin(x) so

dy/dx=1/cos(arcsin(x)) do you know how to simplify the RHS?

Thank you. I think I can simplify that!

There are only two to remember. The tan one you can see by inspection it comes from tan' = sec 2 and sec 2 =1+tan 2.

The sin and cos ones are the same but opposite in sign, so that's the only difficult thing to remember.

To remember which way around the signs are, Iɽ mentally sketch out a graph of sin and cos, where they cross the x axis ( y=0) at x=0 and x=pi/2 resepctively, and note that the gradient of cos is negative there, but the gradient of sin is positive.


شاهد الفيديو: محاضره تكامل الدوال المثلثيه المعكوسه الاولى (شهر اكتوبر 2021).