مقالات

1: المعادلات الخطية - الرياضيات


أهداف التعلم

ستتعلم في هذا الفصل:

  1. ارسم معادلة خطية.
  2. أوجد ميل الخط المستقيم.
  3. حدد معادلة خط.
  4. حل الأنظمة الخطية.
  5. حل مسائل التطبيق باستخدام المعادلات الخطية.

الصورة المصغرة: الخطوط الحمراء والزرقاء في هذا الرسم البياني لها نفس الميل (التدرج) ؛ الخطان الأحمر والأخضر لهما نفس تقاطع y (يعبران المحور y في نفس المكان). (CC BY-SA 1.0 ؛ ElectroKid عبر ويكيبيديا)


الرياضيات PreCalculus Mathematics في نبراسكا

حتى هذه النقطة ، تعلمنا كيفية إنشاء الرسوم البيانية التي تعكس المعادلات الخطية وكيفية إنشاء المعادلات الخطية مع الرسوم البيانية. في هذا القسم ، سنقدم سمتين يمكن أن تمتلكهما أزواج الخطوط حتى نتمكن من الاستمرار في بناء معادلات خطية بخصائص مختلفة.

في هذا القسم ، ستفعل.

تعرف على معنى وجود سطرين

تعرف على معنى وجود سطرين

تحديد ما إذا كانت الخطوط متوازية أم متعامدة أم لا من معادلاتها

بناء معادلات خطية للخطوط ذات الخصائص المختلفة

المستقيمات الفرعية المتوازية والعمودية

هي خطوط في نفس المستوى ولا تتقاطع أبدًا. يتوازى خطان مختلفان في نفس المستوى إذا كانت ميلهما متماثلًا في الرموز ، إذا كان ميل السطر الأول (m_1 ) وميل خط مختلف هو (m_2 text <،> ) إذن تكون المنحدرات متوازية إذا (m_1 = m_2 text <.> )

مثال 90

ابحث عن معادلة للخط المار عبر ((4،1) ) وبالتوازي مع (x-2y = -2 text <.> )

لإيجاد ميل الخط المحدد ، أوجد قيمة (y text <.> )

هنا السطر المحدد له ميل (m_1 = frac <1> <2> text <.> ) السطر الذي نبنيه موازيًا لهذا الخط وبالتالي سيكون له نفس الميل ، لذلك (m_2 = frac <1> <2> text <.> ) نظرًا لأننا حصلنا على نقطة ولدينا الآن الميل ، فسنختار استخدام صيغة الميل والنقطة في المعادلات الخطية لتحديد صيغة الميل وتقاطع المعادلة.

نقطتنا هي ((4،1) ) وميلنا هو (m = frac <1> <2> text <.> )

يتم إعطاء معادلة الخط بواسطة (y-1 = dfrac <1> <2> (x-4) text <.> )

من المهم أن يكون لديك فهم هندسي لهذا السؤال. يظهر السطر الذي أعطينا ، (x-2y = -2 text <،> ) باللون الأزرق. يظهر السطر الذي أنشأناه ، (y-1 = frac <1> <2> (x-4) text <،> ) باللون الأرجواني. لاحظ أن الميل هو نفسه عند السطر المحدد ، لكنهما خطوط مميزة (أي أنهما ليس لهما نفس (y ) - التقاطع).

هي خطوط في نفس المستوى تتقاطع بزوايا قائمة (90 درجة). خطان غير عموديان ، في نفس المستوى مع المنحدرات (m_1 ) و (m_2 text <،> ) متعامدين إذا كان ناتج منحدراتهما (- 1 text <،> ) (m_1 ) cdot m_2 = -1 text <.> ) يمكننا حل (m_1 ) والحصول على (m_1 = - frac <1> text <.> ) في هذا النموذج ، نرى أن الخطوط العمودية لها منحدرات. بشكل عام ، بالنظر إلى الأرقام الحقيقية غير الصفرية (أ ) و (ب النص <،> ) إذا كان ميل السطر الأول يُعطى بواسطة (m_1 = frac text <،> ) فإن ميل الخط العمودي هو (m_2 = - frac نص <.> )

على سبيل المثال ، المقابل المقابل لـ (m_1 = - frac <3> <5> ) هو (m_2 = frac <5> <3> text <.> ) يمكننا التحقق من أن المنحدرين ينتجان عموديًا سطور إذا كان ناتجها (- 1 نص <.> )

مثال 91

ابحث عن معادلة للخط المار عبر ((- 5 ، -2) ) وعمودي على الرسم البياني (س + 4 ص = 4 نص <.> )

لإيجاد ميل الخط المحدد ، أوجد قيمة (y text <.> )

الخط المعطى له ميل (m_1 = - frac <1> <4> text <.> ) نظرًا لأننا نبني خطًا متعامدًا مع هذا الخط ، يجب أن تكون منحدراتهما متقابلة ، وبالتالي الخط نحن يجب أن يكون للإنشاء ميل من (m_2 = + frac <4> <1> = 4 text <.> ) الآن يمكننا استبدال المنحدر ، (m_2 = 4 text <،> ) و نقطة معينة ، ((- 5 ، -2) نص <،> ) في شكل منحدر ونقطة:

تُعطى معادلة الخط العمودي بواسطة (y + 2 = 4 (x + 5) text <.> )

هندسيًا ، نرى أن الرسم البياني (y = 4x + 18 text <،> ) الموضح على أنه الخط المتقطع في الرسم البياني ، يمر عبر ((- 5 ، -2) ) وعمودي على الرسم البياني من (y = - frac <1> <4> x + 1 text <.> )

مثال 92

ابحث عن معادلة للخط المار عبر ((- 5، -1) ) وعمودي على ( frac <1> <3> x- frac <1> <2> y = -2 text <. > )

لإيجاد ميل الخط المعطى ، نقوم بالحل من أجل (y text <:> )

يحتوي السطر المحدد على ميل (m_1 = frac <2> <3> text <،> ) لذلك يجب أن يحتوي السطر الذي نبنيه على ميل من (m_2 = - frac <3> <2> text <.> ) باستخدام هذا والنقطة ((- 5 ، -1) نص <،> ) يمكننا استخدام صيغة ميل ونقطة لكتابة المعادلة التالية:


صيغ الرياضيات للفصل 10 (الفصل)

قبل الدخول في قائمة الصيغ ، دع & # 8217s تحقق من الفصول الرئيسية من Class 10 Maths التي تتطلب الصيغ:

معادلات الرياضيات للصف 10 للتقدم الحسابي (AP)

إذا كانت a1 ، a2 ، a3 ، a4 & # 8230 .. هي مصطلحات AP و d هي الفرق المشترك بين كل حد ، فيمكن كتابة التسلسل على النحو التالي: a ، a + d ، a + 2d ، a + 3d ، a + 4d & # 8230 & # 8230 a + nd. حيث a هو الحد الأول و (a + nd) هو الحد (n & # 8211 1). لذلك ، فإن صيغة حساب الحد التاسع من AP تُعطى على النحو التالي:

الحد n th = a + (n-1) d

مجموع المصطلح n من AP حيث أ هي الفترة الأولى ، د هو الاختلاف المشترك ، و ل هو المصطلح الأخير كما يلي:

سن = ن / 2 [2 أ + (س -1) د] أو سن = ن / 2 [أ + ل]

معادلات الرياضيات للفصل العاشر للمعادلات الخطية

المعادلات الخطية في متغيرات واحد واثنين وثلاثة لها الأشكال التالية:

معادلة خطية في متغير واحدالفأس + ب = 0حيث a ≠ 0 و a & amp b أرقام حقيقية
معادلة خطية في متغيرين الفأس + ب + ج = 0حيث a ≠ 0 & amp b ≠ 0 و a ، b & amp c أرقام حقيقية
معادلة خطية في ثلاثة متغيراتالفأس + ب + تشيك + د = 0حيث أ ≠ 0 ، ب 0 ، ج 0 ، أ ، ب ، ج ، د هي أعداد حقيقية

يتم إعطاء زوج المعادلات الخطية في متغيرين على النحو التالي:

ملاحظة سريعة: يمكن أيضًا تمثيل المعادلات الخطية في شكل رسوم بيانية.

صيغ حساب المثلثات للفصل 10 الرياضيات

تغطي الصيغ المثلثية للفئة 10 الدوال المثلثية الأساسية لمثلث قائم الزاوية ، أي الجيب (sin) وجيب التمام (cos) والظل (tan) التي يمكن استخدامها لاشتقاق قاطع التمام (cos) ، القاطع (ثانية) ، و ظل التمام (سرير).

لنفترض أن المثلث القائم الزاوية ABC قائم الزاوية عند النقطة B ويكون ( angle theta ) إحدى الزاويتين الأخريين.

ال الجدول المثلثي تتألف قيم هذه الدوال المثلثية للزوايا القياسية كما يلي:

زاوية30°45°60°90°
sinθ01/21/√2√3/21
كوسθ1√3/21/√2½0
تاني01/√31√3غير معرف
cotθغير معرف√311/√30
ثانية12/√3√22غير معرف
cosecغير معرف2√22/√31

بعض الصيغ المثلثية الأخرى مذكورة أدناه:

  1. الخطيئة (90° - θ) = كوس θ
  2. كوس (90° - θ) = الخطيئة θ
  3. تان (90° - θ) = سرير نقال θ
  4. سرير أطفال (90° - θ) = تان θ
  5. ثانية (90° - θ) = cosecθ
  6. كوسيك (90° - θ) = ثانيةθ
  7. الخطيئة 2 θ + كوس 2 θ = 1
  8. sec 2 θ = 1 + tan 2 θ لـ 0° ≤ θ & lt 90°
  9. Cosec 2 θ = 1 + cot 2 θ لـ 0° θ ≤ 90°

معادلات الرياضيات للفئة 10 للجبر والمعادلات التربيعية

لمعرفة معادلات الجبر للفئة 10 ، عليك أولاً التعرف على المعادلات التربيعية.

الصيغة التربيعية: للمعادلة التربيعية صx 2 + فx + r = 0 ، قيم x وهي حلول المعادلة التي أعطيت من خلال:

الآن أنت تعرف المعادلة التربيعية الأساسية.

دعنا الآن ننتقل إلى قائمة معادلات الجبر للفئة 10:

  1. (أ + ب) 2 = أ 2 + ب 2 + 2 أب
  2. (أ-ب) 2 = أ 2 + ب 2-2 أب
  3. (أ + ب) (أ-ب) = أ 2 - ب 2
  4. (س + أ) (س + ب) = س 2 + (أ + ب) س + أب
  5. (س + أ) (س - ب) = س 2 + (أ - ب) س - أب
  6. (أ + ب) 3 = أ 3 + ب 3 + 3 أب (أ + ب)
  7. (أ - ب) 3 = أ 3 - ب 3 - 3 أب (أ - ب)
  8. (س - أ) (س + ب) = س 2 + (ب - أ) س - أب
  9. (س - أ) (س - ب) = س 2 - (أ + ب) س + أب
  10. (س + ص + ع) 2 = س 2 + ص 2 + ع 2 + 2 س ص + 2 ع + 2 سز
  11. (س + ص - ض) 2 = س 2 + ص 2 + ع 2 + 2 س ص - 2 س - 2 س ز
  12. (س - ص + ع) 2 = س 2 + ص 2 + ع 2 - 2 س ص - 2 ع + 2 سز
  13. (س - ص - ع) 2 = س 2 + ص 2 + ع 2 - 2 س ص + 2 س - 2 سز
  14. x 3 + y 3 + z 3 - 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 - xy - yz -xz)
  15. س 2 + ص 2 = ½ [(س + ص) 2 + (س - ص) 2]
  16. (x + a) (x + b) (x + c) = x 3 + (a + b + c) x 2 + (ab + bc + ca) x + abc
  17. س 3 + ص 3 = (س + ص) (س 2 - س ص + ص 2)
  18. س 3 - ص 3 = (س - ص) (س 2 + س ص + ص 2)
  19. x 2 + y 2 + z 2 -xy - yz - zx = ½ [(x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2]

ملاحظة سريعة: ستكون هذه الصيغ مهمة في الفصول العليا والامتحانات التوافقية المختلفة. لذا احفظها وافهمها جيدًا.

الصنف 10 معادلات الرياضيات للدائرة

تعمل صيغ الدائرة كأساس للقياس. صيغ دائرة الرياضيات للصف 10 لدائرة نصف قطرها ص ترد أدناه:

  • 1. محيط الدائرة = 2 r
  • 2. مساحة الدائرة = π r 2
  • 3. مساحة قطاع الزاوية θ = (/ 360) × π r 2
  • 4. طول قوس لقطاع زاوية θ = (/ 360) × 2 π r

معادلات الرياضيات للفئة 10 لمساحة السطح وحجم الأمبير

هذه الصيغ مهمة جدًا لحل أسئلة الحيض بنجاح. ابحث أدناه عن الصيغ في شكل مجدول لراحتك.

هنا LSA = مساحة السطح الجانبية ،

معادلات الرياضيات من فئة 10 للإحصاء

تتعلق الإحصائيات في الفئة 10 بشكل أساسي بإيجاد المتوسط ​​والوسيط وطريقة البيانات المعطاة. الصيغ الإحصائية موضحة أدناه:

(I) متوسط ​​البيانات المجمعة يمكن العثور عليها بثلاث طرق.

  1. الطريقة المباشرة: x̅ = ( فارك < sum_^F_x_> < sum_^F_> ) ، حيث fأنا xأنا هو مجموع ملاحظات i = 1 إلى n و fأنا هو عدد المشاهدات من أجل i = 1 إلى n
  2. الطريقة المفترضة : = أ + ( فارك < سوم_^F_د_> < sum_^F_>)
  3. طريقة الانحراف الخطوة: x̅ = أ + ( فارك < سوم_^F_ش> < sum_^F_> مرات ح )

(ثانيا) طريقة البيانات المجمعة: الوضع = l + ( frac<>-f_ <0>> <2f_ <1> -f_ <0> -f_ <2>> times h )

(III) الوسيط للبيانات المجمعة: الوسيط = l + ( frac < frac<2>-cf> مرات ح )

بعض الأسئلة الشائعة حول صيغ الرياضيات للفصل العاشر

فيما يلي بعض الأسئلة المتداولة التي يطرحها الطلاب بخصوص معادلات الرياضيات للصف 10.

الإجابة: يتطلب تعلم الصيغ الرياضية أو حفظها الكثير من الممارسة. أولاً ، تعرف على الفصل والمفاهيم ، ثم حاول فهم كيفية اشتقاق الصيغة ثم احفظها.

الإجابة: الشكل الرسمي هو مجموعة من التعليمات التي تنتج النتيجة المرجوة بينما تحتوي المعادلة على عوامل عددية. بالنسبة للمعادلة ، يجب أن يكون LHS مساويًا لـ RHS.

الإجابة: لتعلم الصيغ الرياضية بسهولة ، يمكنك الحصول على مساعدة من الصيغ الواردة في هذه المقالة. يمكنك تعلمها مباشرة من المقالة أو يمكنك أخذ نسخة مطبوعة.

الإجابة: يمكن للطلاب الذين يبحثون عن مساحات السطح ومعادلات الحجم عرضها من خلال هذه المقالة.

هذه بعض الصيغ المهمة للصف 10 الرياضيات. ستثبت معادلات الرياضيات هذه للفصل 10 أنها مفيدة في عملية التعلم الخاصة بك. ستجدها مفيدة أثناء مراجعة منهج الرياضيات للصف 10 من CBSE.

حل مجانا أسئلة الرياضيات للصف 10 والرجوع إلى هذه الصيغ للحصول على درجات أفضل في امتحانات لوحة الصف 10:

صيغ الرياضيات للفئة 8صيغ القياس
جدول حساب المثلثاتالنسب المثلثية

إذا كان لديك أي استفسارات بخصوص هذه المقالة على معادلات الرياضيات للفصل الأول0 ، لا تتردد في السؤال في قسم التعليقات أدناه. ونحن سوف نعود اليكم في أقرب وقت ممكن.


المعادلات الخطية

المعادلة N هي عبارة جبرية يكون فيها الفعل "يساوي" =. تتضمن المعادلة رقمًا غير معروف ، يُطلق عليه عادةً x. اليك مثال بسيط:

"بعض الأرقام زائد 4 يساوي 10."

نقول أن للمعادلة ضلعان: الطرف الأيسر x + 4 والجانب الأيمن 10.

نظرًا لأن x يظهر للقوة الأولى ، فإننا نسميها معادلة خطية. تسمى المعادلة الخطية أيضًا بمعادلة الدرجة الأولى.

درجة أي معادلة هي أعلى الأس الذي يظهر على الرقم المجهول. تسمى معادلة الدرجة الأولى خطية لأن الرسم البياني لها ، كما سنرى لاحقًا ، خط مستقيم.

المعادلة - تلك العبارة - ستصبح صحيحة فقط عندما يكون للمجهول قيمة معينة ، والتي نسميها حل المعادلة.

من الواضح أن حل هذه المعادلة هو 6:

6 هي القيمة الوحيدة لـ x التي تكون العبارة "x + 4 = 10" صحيحة. نقول أن x = 6 تحقق المعادلة.

الآن ، الجبر يعتمد على كيف تبدو الأشياء. بقدر ما تبدو الأشياء ، إذن ، سنعرف أننا حللنا معادلة عندما عزلنا x على اليسار.

لماذا اليسار؟ لأن هذه هي الطريقة التي نقرأ بها ، من اليسار إلى اليمين. "x يساوي..."

في الشكل القياسي للمعادلة الخطية - يظهر ax + b = 0 - x على اليسار.

في الواقع ، لقد رأينا ذلك ، لأي معادلة تبدو كالتالي:

x + أ = ب ،
سيبدو الحل دائمًا كما يلي:
x = ب & ناقص أ.
إذا
x + 4 = 10,
ومن بعد
x = 10 & ناقص 4
= 6.

هناك زوجان من العمليات العكسية. الجمع والطرح والضرب والقسمة.

بشكل رسمي ، لحل المعادلة ، يجب علينا عزل المجهول في أحد طرفي المعادلة.

يجب أن نحصل على a و b و c في الطرف الآخر ، بحيث يكون x وحده.

كيف نحول رقمًا من جانب واحد من المعادلة
للاخر؟

من خلال كتابتها على الجانب الآخر مع العملية العكسية.

هذا هو قانون العاكسات. يتبع من قاعدتي الدرس 5.

مثال 1. حل هذه المعادلة:

أ س & ناقص ب + ج = د .
حل. نظرًا لأنه يتم طرح b على اليسار ، فسنضيفه إلى اليمين:
أ س + ج = د + ب.
نظرًا لأنه تم إضافة c إلى اليسار ، فسنطرحه على اليمين:
فأس = د + ب & ناقص ج.
وأخيرًا ، بما أن a يتضاعف على اليسار ، فسنقسمه على اليمين:
x = د + ب & ناقص ج
أ

لقد حللنا المعادلة.

حل أي معادلة خطية ، إذن ، سينقسم إلى أربعة أشكال ، تقابل العمليات الحسابية الأربع. فيما يلي القواعد الأساسية لحل أي معادلة خطية. في كل حالة ، سننتقل إلى الجانب الآخر.

1. إذا كانت x + a = b ، فإن x = b & ناقص a.

"إذا تمت إضافة رقم على جانب واحد من المعادلة ،
قد نطرحه على الجانب الآخر ".

2. إذا كانت س & ناقص أ = ب ، فإن س = ب + أ.

"إذا تم طرح رقم على جانب واحد من المعادلة ،
قد نضيفه على الجانب الآخر ".

"إذا ضرب رقم جانبًا واحدًا من المعادلة ،
قد نقسمها على الجانب الآخر ".

"إذا كان الرقم يقسم جانبًا واحدًا من المعادلة ،
قد نضربها في الجانب الآخر ".

في كل حالة ، تم إزاحة a إلى الجانب الآخر عن طريق العملية العكسية. سيكون من الممكن حل أي معادلة خطية من خلال تطبيق واحدة أو أكثر من هذه القواعد ..

عندما تكون العمليات الجمع أو الطرح (النموذجان 1 و 2) ، فإننا نسمي ذلك التحويل.

قد نحول المصطلح إلى الجانب الآخر من المعادلة
عن طريق تغيير علامته.

+ a ينتقل إلى الجانب الآخر كـ & ناقص a.

ينتقل & ناقص a إلى الجانب الآخر كـ + a.

يعتبر التحويل من أكثر العمليات المميزة للجبر ، ويُعتقد أنه معنى كلمة الجبر ، وهي من أصل عربي. (تعلم علماء الرياضيات العرب الجبر في الهند ، ومن هناك أدخلوه إلى أوروبا). التحويل هو أسلوب أولئك الذين يستخدمون الجبر بالفعل في العلوم والرياضيات - لأنه ماهر. وكما نحن على وشك أن نرى ، فإنه يحافظ على التسلسل المنطقي الواضح للعبارات. علاوة على ذلك ، فإنه يؤكد أنك تقوم بالجبر بعيونك. عندما ترى

x + أ = ب ،
ثم ترى على الفور أن + a ينتقل إلى الجانب الآخر كـ & ناقص a:
x = ب & ناقص أ.

ما يتم تدريسه غالبًا هو كتابة & ناقص a على كلا الجانبين ، ورسم خط وإضافة.

أولاً ، لن ترى ذلك أبدًا في أي نص في حساب التفاضل والتكامل. ما ستراه هو تسلسل منطقي من البيانات ، ونحن على وشك الوصول إليه.

علاوة على ذلك ، أثبتنا أننا قد نتبادل ببساطة. ليس من الضروري إثبات ذلك مرة أخرى في كل مرة تحل فيها معادلة.

(هل يتعين عليك إثبات نظرية فيثاغورس في كل مرة تقوم بتطبيقها؟ لا ، أنت لا تفعل ذلك).

إذا كنت تريد أن تتخيل أنك طرحت a من كلا الجانبين ، فلا بأس. لكن أن تكتبه ليس ماهرا.

هذا ما ستراه في نص حساب التفاضل والتكامل الخاص بك.

دعونا نفكر مرة أخرى في معادلة المثال 1.

هذه الجملة الجبرية - تلك العبارة - ستعني منطقيًا عبارات أخرى. سنرى الآن التسلسل المنطقي الذي يؤدي إلى العبارة النهائية ، وهي الحل.

يتم "تحويل" المعادلة الأصلية (1) عن طريق تبديل المصطلحات أولاً. العبارة (1) تعني العبارة (2).

ثم يتم تحويل هذا البيان عن طريق القسمة على. العبارة (2) تعني العبارة (3) ، وهي الحل.

وهكذا نحل المعادلة عن طريق تحويلها - تغيير شكلها - بيانًا بعبارة ، سطراً بسطر وفقًا لقواعد الجبر ، حتى يتم عزل x أخيرًا على اليسار. هذه هي الطريقة التي تكتب بها كتب الرياضيات (ولكن للأسف ليست الكتب التي تعلم الجبر!). كل سطر عبارة عن بيان مقروء خاص به يتبع السطر أعلاه - مع عدم وجود علامات شطب.

بمعنى آخر ، ما هو الحساب؟ إنه تحول منفصل للرموز. في الحساب نقوم بتحويل "19 + 5" إلى "24". في الجبر نقوم بتحويل "x + a = b" إلى "x = b & minus a."

المشكلة 1. اكتب التسلسل المنطقي للعبارات التي ستحل هذه المعادلة لـ x:

لمعرفة الإجابة ، مرر الماوس من اليسار إلى اليمين
فوق المنطقة الملونة.
لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق "تحديث" ("إعادة تحميل").
هل المشكلة بنفسك أولا!

أولاً ، قم بتغيير الشروط. خط 2).

ليس من الضروري كتابة المصطلح 0 على اليمين.

ثم اقسم على معامل x.

المشكلة 2. اكتب التسلسل المنطقي للعبارات التي ستحل هذه المعادلة لـ x:

في المسائل 3 و 4 و 5 ، يتم إعطاء الحل فقط. يجب على الطالب كتابة التسلسل المنطقي للجمل التي تؤدي إليه.

المشكلة الثالثة. حل من أجل x: (p & minus q) x + r = s

المسألة 5. حل من أجل x: 2 x + 1 = 0

كل من المعادلات أعلاه هي في الشكل القياسي ، وهي:

لا يعني أ. هذا يعني معامل x. و ب لا تعني ب. هذا يعني مهما كانت الشروط.

هذا هو سبب تسميته بالنموذج. مهما كان شكله.

المشكلة 6. يحل: الفأس + ب = 0.
x = &ناقص ب
أ

توضح هذه المعادلة البسيطة القيام بالجبر بأعينك. يجب أن يرى الطالب الحل على الفور. يجب أن ترى أن b ستنتقل إلى الجانب الآخر كـ & ناقص b ، وأن تقسم الإرادة.

المسألة 7. حل من أجل x: ax = 0 (a 0).

الآن ، عندما يكون حاصل ضرب عددين هو 0 ، فيجب أن يكون أحدهما على الأقل 0. (الدرس 6.) لذلك ، أي معادلة بهذه الصيغة لها الحل ،

يمكننا حل ذلك بشكل رسمي ، بالطبع ، بالقسمة على a.

المشكلة 9. اكتب تسلسل العبارات التي ستحل هذه المعادلة:

عندما ننتقل من الخط (1) إلى السطر (2) ، ويبقى ناقص x على اليسار. على سبيل المثال ، المصطلحات في السطر (1) هي 6 و & ناقص x.

لقد "حللنا" المعادلة عندما عزلنا x - وليس ناقص x - على اليسار. لذلك ننتقل من الخط (3) إلى الخط (4) عن طريق تغيير الإشارات على كلا الجانبين. (الدرس 5.)

بدلاً من ذلك ، كان بإمكاننا حذف & ناقص x على اليسار من خلال تغيير جميع الإشارات فورًا:

يمكننا حل هذا بسهولة - في سطر واحد - ببساطة عن طريق نقل x إلى اليسار ، وما هو على اليسار إلى اليمين:

في هذا المثال ، + x على اليمين. نظرًا لأننا نريد + x على اليسار ، يمكننا تحقيق ذلك من خلال تبادل الجوانب:

ملاحظة: عندما نتبادل الجوانب ، لا تتغير العلامات.

عند نقل c ، يتبع الحل بسهولة:

باختصار ، عندما يكون & ناقص x على اليمين ، يكون من الماهر ببساطة نقله. ولكن عندما يكون + x على اليمين ، يمكننا استبدال الأضلاع.

المشكلة 18. حل ل cos & theta ("cosine thay -ta").

الشيء الذي يجب رؤيته هو أن هذه المعادلة لها نفس شكل المشكلة 17 بالضبط. cos & theta هما المجهولان. ستحلها تمامًا مثل المشكلة 17.

الجبر هو التعرف على الشكل. ولا يوجد سوى عدد محدود.


الرياضيات الأساسية العملية: أسئلة ممارسة المعادلة الخطية

تُصنف المعادلات الخطية كنوع من مسائل الجبر في رفيق دراسة الرياضيات الأساسية الرسمية ، لكنها تتصرف مثل الأسئلة الوظيفية بعدة طرق. المعادلة الخطية هي معادلة تنص على الطريقة التي سيتصرف بها متغيرين جبريين دائمًا فيما يتعلق ببعضهما البعض ، حتى عندما تتغير القيم.

بعبارة أخرى ، تُظهر المعادلات الخطية المتغيرات التي تعتمد على بعضها البعض - عندما تتغير قيمة أحد المتغيرات ، ستتغير قيمة المتغير الآخر أيضًا. وستكون التغييرات متوقعة. لإعطاء مثال بسيط للغاية ، افترض أن قيم x و ذ متصلة ، بحيث كلما كانت قيمة x ترتفع بمقدار 1 ، قيمة ذ يزيد أيضًا بمقدار 1. هذا متوقع جدًا ، أليس كذلك؟

ولكن حتى ذلك الحين ، لا تزال هناك نقطة عندها x و ذ تقاطع. هذه هي النقطة التي عندها x هو 0. في المعادلة الموصوفة في الفقرة أعلاه ، إذا ذ هي 0 عندما x هو أيضا 0، من المعادلة الخطية x = ذ. هذا بسبب x و ذ إرادة دائما لها نفس القيمة إذا تقاطعت عند 0 وكل رقم يرتفع بمقدار 1 عندما يزيد الرقم الآخر بمقدار 1. يمكنك أن ترى كيف أن المعادلة الخطية لـ x و ذيرتفع التكافؤ الدقيق في الجدول التالي:


جدول للمعادلة الخطية س = ص

يمكن التعبير عن هذه العلاقة نفسها برسم أ خط (ومن هنا الاسم خطي المعادلة) على مستوى إحداثيات:

الرسم البياني للمعادلة الخطية س = ص
ستكون المعادلات الخطية التي ستصادفها في أسئلة الرياضيات الأساسية الخاصة بتطبيق براكسيس أكثر تعقيدًا بالطبع. قد تتضمن علاقة خطية أكثر نموذجية ذ زيادة بمقدار 8 في كل مرة x يزيد بمقدار 2. 8 هو أربعة أضعاف ما يصل إلى 2 ، وهذا يعني ذلك ذ يزيد 4 مرات بأسرع ما يمكن x.

لذلك من حيث الزيادة المترابطة x و ذ, ذ = 4x. الآن إذا ذ و x كلاهما يلتقيان عند 0 ، إذن ذ = 4x ستكون المعادلة الخطية الصحيحة. ومع ذلك ، في Praxis Core ، من المحتمل أن يكون التقاطع أيضًا أكثر تعقيدًا من المثال أعلاه. دعنا نقول ذلك ذ هو 3 عندما x هو 0. لإضافة هذا التقاطع إلى ذ = 4x، يمكنك إعادة كتابة المعادلة الخطية كـ ذ = 4x + 3. في اختبار Core Math ، سيبدو جدول هذه المعادلة كما يلي:

جدول للمعادلة الخطية ص =4x + 3

وقد يبدو الرسم البياني للمعادلة كما يلي:

الرسم البياني للمعادلة الخطية س = ص


المعادلات القابلة للاختزال إلى الشكل الخطي

ضع في اعتبارك الأمثلة التالية لنرى كيف يمكننا تقليل المعادلات التي تتضمن النسب إلى الشكل الخطي.

    انقل المصطلح المتغير & lsquox & rsquo إلى الجانب الأيسر والمصطلحات العددية على الجانب الأيمن من المعادلة عن طريق تغيير علامتها.

قسّم كلا الطرفين على 4 لإيجاد قيمة x.


قاعدة كرامر والحذف الغاوسي هما خوارزميتان جيدتان للأغراض العامة (انظر أيضًا المعادلات الخطية المتزامنة). إذا كنت تبحث عن رمز ، فتحقق من GiNaC و Maxima و SymbolicC ++ (بناءً على متطلبات الترخيص الخاصة بك ، بالطبع).

تحرير: أعلم أنك تعمل في C land ، لكن علي أيضًا أن أضع كلمة جيدة لـ SymPy (نظام جبر كمبيوتر في Python). يمكنك تعلم الكثير من خوارزمياتها (إذا كنت تستطيع قراءة القليل من بيثون). أيضًا ، تخضع لترخيص BSD الجديد ، في حين أن معظم حزم الرياضيات المجانية هي GPL.

يمكنك حل هذا باستخدام برنامج تمامًا بنفس الطريقة التي تحلها يدويًا (بالضرب والطرح ، ثم إعادة النتائج في المعادلات). هذه رياضيات قياسية جدًا على مستوى المدرسة الثانوية.

إذا عوضت بهذه القيم مرة أخرى في A و B و C ، فستجد أنها صحيحة.

الحيلة هي استخدام مصفوفة بسيطة 4 × 3 والتي يتم تقليلها بدورها إلى مصفوفة 3 × 2 ، ثم 2 × 1 وهو "أ = ن" ، ن هو رقم حقيقي. بمجرد حصولك على ذلك ، يمكنك إدخاله في المصفوفة التالية للحصول على قيمة أخرى ، ثم هاتين القيمتين في المصفوفة التالية حتى تحل جميع المتغيرات.

بشرط أن يكون لديك N معادلات مميزة ، يمكنك دائمًا حل المتغيرات N. أقول مميزة لأن هذين الاثنين ليسا:

هم ال نفس ضربت المعادلة في اثنين حتى لا تتمكن من الحصول على حل منها - ضرب الأول في اثنين ثم الطرح يترك لك العبارة الصحيحة ولكن عديمة الفائدة:

على سبيل المثال ، إليك بعض رموز C التي تعمل على المعادلات المتزامنة التي وضعتها في سؤالك. أولاً ، بعض الأنواع والمتغيرات الضرورية ووظيفة الدعم لطباعة المعادلة وبداية الرئيسي:

بعد ذلك ، اختزال المعادلات الثلاث ذات ثلاثة مجاهيل إلى معادلتين مجهولتين:

بعد ذلك ، اختزال المعادلتين ذات مجهولين إلى معادلة واحدة مع واحدة غير معروفة:

الآن بعد أن أصبح لدينا صيغة من النوع number1 = unknown * number2 ، يمكننا ببساطة إيجاد القيمة غير المعروفة بـ unknown & lt- number1 / number2. بعد ذلك ، بمجرد معرفة هذه القيمة ، استبدلها في إحدى المعادلات ذات مجهولين واحسب القيمة الثانية. ثم استبدل كل من هذين المجهولين (المعروفين الآن) في إحدى المعادلات الأصلية ولديك الآن قيم جميع المجاهيل الثلاثة:


المعادلات الخطية

المعادلات الخطية هي أبسط أنواع المعادلات التي تصادفك في الرياضيات. قد يُطلب منك حل معادلة خطية:

أو لرسم الرسم البياني لمعادلة خطية مثل ص = 2 س + 1 ، وهو خط مستقيم ، أو لحل المعادلات الخطية المتزامنة:

نحن جميعًا نحل المعادلات الخطية في رؤوسنا طوال الوقت دون أن نلاحظها. على سبيل المثال ، إذا اشتريت قرصين مضغوطين ، بنفس السعر ، وكتابًا ، وعلمت أنك أنفقت 20 جنيهًا إسترلينيًا في المجموع وأن الكتاب كان 6 جنيهات إسترلينية ، فأنت تحل المعادلة الخطية 2 س + 6 = 20 لمعرفة أن سعر كل قرص مضغوط كان 7 جنيهات إسترلينية.

لكن استخدام المعادلات الخطية يتجاوز بكثير المشاكل اليومية مثل هذه.

رسومات الحاسوب

يستخدم مبرمجو رسومات الكمبيوتر ما يسمى & # 8220 الجبر الخطي & # 8221. كمثال بسيط خذ الشكل أدناه. يمكننا وصف موقع كل نقطة على الصورة بواسطة نظام إحداثيات. النقطة لها إحداثيات (س ، ص) إذا كان بإمكانك الوصول إليها من النقطة التي يلتقي فيها المحاوران عن طريق أخذها x خطوات في الاتجاه الأفقي و y خطوات في الاتجاه العمودي. افترض الآن أنك ترغب في تدوير تلك الصورة في اتجاه عقارب الساعة خلال سدس دورة. ثم يمكنك حساب أن كل نقطة كانت لها إحداثيات سابقًا (س ، ص) ينتقل الآن إلى الموضع مع الإحداثيات

الإحداثيان الجديدين لهما شكل مشابه للمعادلات الخطية أعلاه ، ولهذا السبب ينتهي الأمر بمبرمجي الرسومات إلى حل الكثير من المعادلات الخطية.

هذا مثال بسيط - يمكنك أن تتخيل أنه إذا كانت الصور المعنية أكثر تعقيدًا ، على سبيل المثال ثلاثية الأبعاد ، وإذا كان الكائن سيتحرك بطريقة أكثر تعقيدًا ، فيجب أن يكون المبرمج قادرًا على التعامل مع عدد المعادلات الخطية المتزامنة ، التي تتضمن العديد من المتغيرات.

اقتصاديات

الاقتصاد هو مجال آخر يستخدم المعادلات الخطية كثيرًا. فكر ، على سبيل المثال ، في العرض والطلب. سيعتمد طلبك على منتج - لوح شوكولاتة أو سيارة - على سعر المنتج ومقدار الربح ، من بين أمور أخرى. إذا كان المنتج باهظ الثمن ، ولم تكن بهذا الثراء ، فربما لا تريد الكثير منه. إذا كانت رخيصة ، مثل لوح الشوكولاتة ، فقد تحتاج إلى الكثير (إلا إذا كنت قلقًا بشأن أسنانك). غالبًا ما يتم التعبير عن الطلب على أنه معادلة خطية:
D = a - bP + cI، أين د هو الطلب ، ص السعر و أنا دخلك. يمكنك مشاهدة هذا د ينخفض ​​إذا ص ترتفع (هذا هو سبب علامة الطرح) ، وترتفع مع ارتفاع دخلك. بطريقة مماثلة ، يمكن التعبير عن العرض بمعادلة خطية. يعمل الاقتصاديون وغيرهم من الأشخاص في عالم المال مع هذا النوع من المعادلات طوال الوقت.

دراسة الجينات

تظهر أنظمة المعادلات الخطية أيضًا كثيرًا في دراسة الجينات. إذا كنت ترغب في معرفة ما يفعله جين معين بالفعل ، عليك أن ترى كيف يؤثر على جميع العمليات الكيميائية في أجسامنا. هناك المئات من تلك التي تحدث في أجسامنا طوال الوقت ، على سبيل المثال ننتج السكريات والبروتينات. يمكن التعبير عن طريقة عمل هذه العمليات وكيفية تأثيرها على بعضها البعض من خلال أنظمة كبيرة من المعادلات الخطية.

هذه مجرد ثلاثة أمثلة لكيفية استخدام هذه المعادلات في العالم الحقيقي. لكن هناك شيء آخر مهم جدًا عنها: إنها أبسط المعادلات الموجودة. تُستخدم المعادلات في العديد من المجالات لنمذجة العالم من حولنا. سيستخدمها عالم الأحياء للحصول على فكرة عن كيفية تغير مجموعة الحيوانات بمرور الوقت. سيستخدمها خبير اقتصادي أو مستشار مالي للتنبؤ بالاقتصاد أو الأرباح المستقبلية للشركة. سيستخدمها المهندس لتحديد النسب الدقيقة للمبنى ، مثل الجسر أو مكشطة السماء ، وكم ونوع المواد التي يجب استخدامها. باختصار ، المعادلات هي حقيقة من حقائق الحياة لكثير من الناس ، ولكي تكون قادرًا على العمل معهم ، عليك أن تبدأ بأبسط المعادلات - المعادلات الخطية.


ولفرام موارد الويب

الأداة رقم 1 لإنشاء العروض التوضيحية وأي شيء تقني.

استكشف أي شيء باستخدام محرك المعرفة الحسابي الأول.

استكشف آلاف التطبيقات المجانية في مجالات العلوم والرياضيات والهندسة والتكنولوجيا والأعمال والفن والتمويل والعلوم الاجتماعية والمزيد.

انضم إلى مبادرة تحديث تعليم الرياضيات.

حل التكاملات مع ولفرام | ألفا.

تصفح مسائل الواجب المنزلي خطوة بخطوة من البداية إلى النهاية. تساعدك التلميحات على تجربة الخطوة التالية بنفسك.

مشاكل وإجابات تمارين عشوائية غير محدودة مع حلول مدمجة خطوة بخطوة. تدرب على الإنترنت أو قم بعمل ورقة دراسة قابلة للطباعة.

مجموعة من أدوات التدريس والتعلم التي صممها خبراء التعليم في Wolfram: كتاب مدرسي ديناميكي ، وخطط الدروس ، وعناصر واجهة المستخدم ، والعروض التوضيحية التفاعلية ، والمزيد.


عن الكتاب

يغطي هذا النص المواد القياسية للدورة الأولى للطلاب الجامعيين في الولايات المتحدة: الأنظمة الخطية وطريقة غاوس ، والمساحات المتجهة ، والخرائط والمصفوفات الخطية ، والمحددات ، والمتجهات الذاتية والقيم الذاتية ، بالإضافة إلى موضوعات إضافية مثل مقدمات التطبيقات المختلفة. يحتوي على مجموعات تمارين مكثفة مع إجابات عملية لجميع التمارين ، بما في ذلك البراهين ، وشرائح المتعاطي للاستخدام في الفصول الدراسية ، ودليل معمل لعمل الكمبيوتر. النهج هو تنموي. على الرغم من إثبات كل شيء ، إلا أنه يقدم المواد بقدر كبير من التحفيز والعديد من الأمثلة الحسابية والتمارين التي تتراوح من عمليات التحقق الروتينية إلى بعض التحديات. المواد المساعدة متوفرة على رابط الناشر.


شاهد الفيديو: Math Show. حل المعادلات الخطية. الصف الثامن (شهر اكتوبر 2021).