مقالات

6.2: الفائدة المركبة - الرياضيات


أهداف التعلم

ستتعلم في هذا القسم:

  1. أوجد القيمة المستقبلية لمبلغ مقطوع.
  2. أوجد القيمة الحالية لمبلغ مقطوع.
  3. ابحث عن معدل الفائدة الفعلي.

الفائدة المركبة

في القسم الأخير ، قمنا بفحص المشكلات التي تنطوي على اهتمام بسيط. يتم احتساب الفائدة البسيطة بشكل عام عندما تكون فترة الإقراض قصيرة وغالبًا ما تكون أقل من عام. عندما يتم إقراض الأموال أو اقتراضها لفترة زمنية أطول ، إذا تم دفع الفائدة (أو تحصيلها) ليس فقط على رأس المال ، ولكن أيضًا على الفائدة السابقة ، فإننا نقول إن الفائدة هي يضاعف.

لنفترض أننا قمنا بإيداع 200 دولار في حساب يدفع فائدة 8٪. في نهاية عام واحد ، سيكون لدينا 200 دولار + 200 دولار (.08) = 200 دولار (1 + .08) = 216 دولارًا.

لنفترض الآن أننا وضعنا هذا المبلغ ، 216 دولارًا ، في نفس الحساب. بعد عام آخر ، سيكون لدينا 216 دولارًا + 216 دولارًا (.08) = 216 دولارًا (1 + .08) = 233.28 دولارًا.

لذا فقد تراكمت قيمة الإيداع الأولي البالغ 200 دولار أمريكي إلى 233.28 دولارًا أمريكيًا في غضون عامين. لاحظ كذلك أنه لو كانت الفائدة بسيطة ، لكان هذا المبلغ قد تراكم إلى 232 دولارًا فقط. سبب ارتفاع المبلغ قليلاً هو أن الفائدة (16 دولارًا) التي ربحناها في السنة الأولى ، تمت إعادتها إلى الحساب. وهذا المبلغ البالغ 16 دولارًا أمريكيًا نفسه قد حصل لمدة عام واحد على فائدة قدرها 16 دولارًا (.08) = 1.28 دولارًا أمريكيًا ، مما أدى إلى الزيادة. لذلك اكتسبنا فائدة على رأس المال وكذلك على الفائدة السابقة ، ولهذا نسميها الفائدة المركبة.

لنفترض الآن أننا تركنا هذا المبلغ ، 233.28 دولارًا ، في البنك لسنة أخرى ، سيكون المبلغ النهائي 233.28 دولارًا + 233.28 دولارًا (.08) = 233.28 دولارًا (1 + .08) = 251.94 دولارًا.

الآن دعونا نلقي نظرة على الجزء الرياضي من هذه المسألة حتى نتمكن من ابتكار طريقة أسهل لحل هذه المسائل.

بعد عام واحد ، أصبح لدينا 200 دولار (1 + .08) = 216 دولارًا

بعد عامين ، أصبح لدينا 216 دولارًا (1 + .08)

لكن 216 دولارًا = 200 دولار (1 + .08) ، لذلك يصبح التعبير أعلاه

[ $ 200 (1 + .08) (1 + .08) = $ 200 (1 + .08) ^ 2 = $ 233. 28 nonumber ]

بعد ثلاث سنوات ، وصلنا

[ $ 233.28 (1 + .08) = $ 200 (1 + .08) (1 + .08) (1 + .08) nonumber ]

والتي يمكن كتابتها كـ

[ $ 200 (1 + .08) ^ {3} = $ 251.94 nonumber ]

لنفترض أنه طُلب منا إيجاد المبلغ الإجمالي في نهاية 5 سنوات ، فسنحصل عليه

[200 (1 + .08) ^ {5} = $ 293.87 nonumber ]

نلخص ما يلي:

المبلغ الأصلي

$200

= $200

المبلغ بعد عام واحد

$200(1 + .08)

= $216

المبلغ بعد عامين

$200(1 + .08)2

= $233.28

المبلغ بعد ثلاث سنوات

$200(1 + .08)3

= $251.94

المبلغ بعد خمس سنوات

$200(1 + .08)5

= $293.87

المبلغ بعد ر سنوات

$200(1 + .08)ر

فترات التكوّن

غالبًا ما تُركب البنوك الفائدة أكثر من مرة في السنة. ضع في اعتبارك البنك الذي يدفع فائدة 8٪ ولكنه يجمعها أربع مرات في السنة ، أو ربع سنوي. هذا يعني أن البنك سيدفع فائدة كل ربع سنة تساوي ربع 8٪ أو 2٪.

الآن إذا قمنا بإيداع 200 دولار في البنك ، فبعد ربع واحد سيكون لدينا ( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ) أو 204 دولارات أمريكية.

بعد ربعين ، سيكون لدينا ( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {2} ) أو 208.08 دولارًا.

بعد عام واحد ، سيكون لدينا ( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {4} ) أو 216.49 دولارًا.

بعد ثلاث سنوات ، سيكون لدينا ( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {12} ) أو 253.65 دولارًا ، إلخ.

المبلغ الأصلي

$200

= $200

المبلغ بعد ربع واحد

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) )

= $204

المبلغ بعد ربعين

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {2} )

= $208.08

المبلغ بعد عام واحد

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {4} )

= $216.49

المبلغ بعد عامين

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {8} )

= $234.31

المبلغ بعد ثلاث سنوات

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {12} )

= $253.65

المبلغ بعد خمس سنوات

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {20} )

= $297.19

المبلغ بعد ر سنوات

( $ 200 left (1+ frac {.08} {4} right) ^ {4t} )

لذلك ، إذا استثمرنا مبلغًا إجماليًا من (P ) دولارات بسعر فائدة (r ) ، مضاعفًا (n ) مرات في السنة ، ثم بعد (t ) سنوات يتم إعطاء المبلغ النهائي بواسطة

[A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n t} ]

تستخدم الأمثلة التالية صيغة الفائدة المركبة (A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n t} )

مثال ( PageIndex {1} )

إذا تم استثمار 3500 دولار أمريكي بمعدل 9٪ مركب شهريًا ، فماذا ستكون القيمة المستقبلية في غضون أربع سنوات؟

حل

من الواضح أنه يتم دفع فائدة قدرها .09 / 12 كل شهر لمدة أربع سنوات. تتضاعف الفائدة (4 مرات 12 = 48 ) مرة خلال فترة الأربع سنوات. نحن نحصل

[ mathrm {A} = $ 3500 left (1+ frac {.09} {12} right) ^ {48} = $ 3500 (1.0075) ^ {48} = $ 5009.92 nonumber ]

3500 دولار أمريكي يتم استثمارها بمعدل 9٪ شهريًا سوف يتراكم إلى 5009.92 دولار أمريكي في أربع سنوات.

مثال ( PageIndex {2} )

ما المبلغ الذي يجب استثماره في حساب يدفع 9٪ مركبة يوميًا حتى يتراكم إلى 5000 دولار في خمس سنوات؟

حل

نحن نعرف القيمة المستقبلية ، لكننا بحاجة إلى إيجاد الأصل.

[ ابدأ {مجموعة} {l}
$ 5000 = P left (1+ frac {.09} {365} right) ^ {365 times 5}
5000 دولار = ف (1.568225)
3188.32 دولار = ص
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

يتم استثمار 3188،32 دولارًا أمريكيًا في حساب يدفع 9 ٪ مركبة يوميًا إلى 5000 دولار أمريكي في غضون خمس سنوات.

مثال ( PageIndex {3} )

إذا تم استثمار 4000 دولار أمريكي بمعدل 4٪ مركبًا سنويًا ، فكم من الوقت سيستغرق التجميع إلى 6000 دولار أمريكي؟

حل

(n = 1 ) لأن المركب السنوي يعني مضاعفة مرة واحدة فقط في السنة. يتم تبسيط الصيغة إلى (A = (1 + r) ^ {t} ) عندما (n = 1 ).

[ ابدأ {محاذاة}
6000 دولار & = 4000 (1 + .04) ^ {t}
frac {6000} {4000} & = 1.04 ^ {t}
1.5 & = 1.04 ^ {t}
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

نستخدم اللوغاريتمات لإيجاد قيمة (t ) لأن المتغير (t ) موجود في الأس.

[t = log _ {1.04} (1.5) nonumber ]

باستخدام تغيير الصيغة الأساسية يمكننا حل من أجل (t ):

[t = frac { ln (1.5)} { ln (1.04)} = 10.33 text {years} nonumber ]

يستغرق الأمر 10.33 سنة لكي يتراكم 4000 دولار إلى 6000 دولار إذا استثمر بفائدة 4٪ ، تتضاعف سنويًا

مثال ( PageIndex {4} )

إذا تم استثمار 5000 دولار الآن لمدة 6 سنوات فما هو معدل الفائدة المركب كل ثلاثة أشهر المطلوب للحصول على قيمة متراكمة قدرها 8000 دولار.

حل

لدينا (n = 4 ) للتركيب ربع السنوي.

[ ابدأ {محاذاة}
8000 دولار & = 5000 دولار يسار (1+ فارك {r} {4} يمين) ^ {4 مرات 6}
frac { $ 8000} { $ 5000} & = left (1+ frac {r} {4} right) ^ {24}
1.6 & = left (1+ frac {r} {4} right) ^ {24}
نهاية {محاذاة} غير رقم ]

نستخدم الجذور لإيجاد (t ) لأن المتغير (r ) موجود في الأساس ، بينما الأس رقم معروف.

[ sqrt [24] {1.6} = 1 + frac { mathrm {r}} {4} nonumber ]

تحتوي العديد من الآلات الحاسبة على مفتاح أو وظيفة "الجذر النوني". في آلة حاسبة TI-84 ، يوجد هذا في قائمة الرياضيات. يمكن أيضًا حساب الجذور كأُسس كسرية ؛ إذا لزم الأمر ، يمكن إعادة كتابة الخطوة السابقة كـ

[1.6 ^ {1/24} = 1 + frac { mathrm {r}} {4} nonumber ]

نحصل على قيمة الطرف الأيسر من المعادلة

[ ابدأ {مجموعة} {l}
1.0197765 = 1 + frac { mathrm {r}} {4}
0.0197765 = frac { mathrm {r}} {4}
mathrm {r} = 4 (0.0197765) = 0.0791
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

مطلوب معدل فائدة 7.91٪ حتى يتراكم 5000 دولار المستثمر الآن إلى 8000 دولار في نهاية 6 سنوات ، مع الفائدة المركبة كل ثلاثة أشهر.

معدل الفائدة الفعلي

يتعين على البنوك تحديد سعر الفائدة من حيث "العائد الفعال" " أو "معدل الفائدة الفعلي"، لأغراض المقارنة. يُطلق على المعدل الفعال أيضًا اسم النسبة المئوية السنوية (APY) أو معدل النسبة السنوية (APR).

المعدل الفعلي هو معدل الفائدة المركب سنويًا والذي يكون معادلاً للسعر المحدد والفترات المركبة. يوضح المثال التالي كيفية حساب المعدل الفعال.

لفحص العديد من الاستثمارات لمعرفة أيها يحتوي على أفضل سعر ، نجد ونقارن المعدل الفعال لكل استثمار.

يوضح المثال ( PageIndex {5} ) كيفية حساب المعدل الفعال.

مثال ( PageIndex {5} )

إذا كان البنك "أ" يدفع فائدة مركبة 7.2٪ شهريًا ، فما هو معدل الفائدة الفعلي؟
إذا دفع البنك "ب" 7.25٪ فائدة مركبة نصف سنوية ، فما هو معدل الفائدة الفعلي؟ أي بنك يدفع فائدة أكبر؟

حل

البنك أ: لنفترض أننا قمنا بإيداع دولار واحد في هذا البنك وتركناه لمدة عام ، فسنحصل عليه

[ ابدأ {مجموعة} {l}
1 يسار (1+ frac {0.072} {12} يمين) ^ {12} = 1.0744
mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} = 1.0744-1 = 0.0744
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

حصلنا على فائدة قدرها 1.0744 دولارًا أمريكيًا - 1.00 دولارًا أمريكيًا = 0.0744 دولارًا أمريكيًا على استثمار 1 دولار أمريكي.

معدل الفائدة الفعلي 7.44٪ ، غالبًا ما يشار إليه باسم APY أو APR.

البنك ب: يتم احتساب المعدل الفعلي على النحو التالي

[ mathbf {r} _ { mathrm {EFF}} = 1 left (1+ frac {0.072} {2} right) ^ {2} -1 = .0738 nonumber ]

معدل الفائدة الفعلي 7.38٪.

يدفع البنك "أ" فائدة أعلى قليلاً ، بمعدل فعال يبلغ 7.44٪ ، مقارنةً بالبنك "ب" بمعدل فعال 7.38٪.

تفاقم مستمر

يمكن مضاعفة الفائدة سنويًا ونصف سنويًا وربع سنويًا وشهريًا ويوميًا. باستخدام نفس طرق الحساب ، يمكننا تجميع كل ساعة وكل دقيقة وحتى كل ثانية. نظرًا لأن فترة التركيب أقصر وأقصر ، فإننا نتحرك نحو مفهوم التركيب المستمر.

لكن ماذا نعني عندما نقول أن الفائدة تتضاعف باستمرار ، وكيف نحسب هذه المبالغ؟ عندما تتراكم الفائدة "مرات عديدة بلا حدود" ، نقول أن الفائدة هي يضاعف بشكل مستمر. هدفنا التالي هو اشتقاق صيغة لنمذجة المركب المستمر.

لنفترض أننا وضعنا دولارًا واحدًا في حساب يدفع فائدة بنسبة 100٪. إذا تم تجميع الفائدة مرة واحدة في السنة ، فسيكون المبلغ الإجمالي بعد عام واحد ( $ 1 (1 + 1) = $ 2 ).

  • إذا تم تجميع الفائدة بشكل نصف سنوي ، في عام واحد سيكون لدينا ( $ 1 (1 + 1/2) ^ {2} = $ 2.25 )
  • إذا تم تجميع الفائدة كل ثلاثة أشهر ، في عام واحد سيكون لدينا ( $ 1 (1 + 1/4) ^ {4} = $ 2.44 )
  • إذا تم مضاعفة الفائدة شهريًا ، فسيكون لدينا في عام واحد ( $ 1 (1 + 1/12) ^ {12} = $ 2.61 )
  • إذا تم مضاعفة الفائدة يوميًا ، فسيكون لدينا في عام واحد ( $ 1 (1 + 1/365) ^ {365} = $ 2.71 )

نعرض النتائج على النحو التالي:

تواتر المضاعفة

معادلة

المبلغ الإجمالي

سنويا

($ 1(1 + 1))

$2

نصف سنوى

($ 1(1+1 / 2)^{2})

$2.25

ربعي

($ 1(1+1 / 4)^{4}=$ 2.44)

$2.44140625

شهريا

($ 1(1+1 / 12)^{12})

$2.61303529

يوميا

($ 1(1+1 / 365)^{365})

$2.71456748

ساعيا

($ 1(1+1 / 8760)^{8760})

$2.71812699

كل دقيقة

($1(1+1 / 525600)^{525600})

$2.71827922

كل ثانية

($ 1(1+1 / 31536000)^{31536000} )

$2.71828247

بشكل متواصل

( $ 1 (2.718281828 ldots) )

$2.718281828...

لقد لاحظنا أن دولار واحد استثمرناه لا ينمو بدون قيود. يبدأ في الاستقرار إلى رقم غير نسبي 2.718281828 ... بالاسم "ه"بعد عالم الرياضيات العظيم أويلر.

في الرياضيات ، نقول إنه عندما (n ) أصبح كبيرًا بشكل غير محدود ، فإن التعبير يساوي ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} ) ه.

لذلك من الطبيعي أن يكون العدد ه تلعب دورًا في التركيب المستمر.
يمكن إظهار أنه عندما (n ) يصبح التعبير كبيرًا بشكل لا نهائي ( left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n t} = e ^ {r t} )

لذلك ، يترتب على ذلك أنه إذا استثمرنا $ (P ) بسعر فائدة (r ) سنويًا ، مركبًا بشكل مستمر ، بعد (t ) سنوات ، سيتم منح المبلغ النهائي بواسطة

[A = P cdot e ^ {rt} nonumber ]

مثال ( PageIndex {6} )

يتم استثمار 3500 دولار بنسبة 9٪ مركبة بشكل مستمر. ابحث عن القيمة المستقبلية في 4 سنوات.

حل

باستخدام صيغة التركيب المستمر ، نحصل على (A = Pe ^ {rt} ).

تبدأ {محاذاة}
A & = $ 3500 e ^ {0.09 times 4}
A & = $ 3500 e ^ {0.36}
أ & = 5016.65 دولار
نهاية {محاذاة}

مثال ( PageIndex {7} )

إذا تم استثمار مبلغ بنسبة 7٪ مركبة بشكل مستمر ، فما هو معدل الفائدة الفعلي؟

حل

إذا قمنا بإيداع 1 دولار في البنك بنسبة 7٪ مركبة بشكل مستمر لمدة عام واحد ، وطرحنا ذلك دولارًا واحدًا من المبلغ النهائي ، فإننا نحصل على معدل الفائدة الفعلي بالأرقام العشرية.

[ ابدأ {مجموعة} {l}
mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} = 1 mathrm {e} ^ {0.07} -1
mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} = 1.0725-1
mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} =. 0725 text {or} 7.25 ٪
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

مثال ( PageIndex {8} )

إذا تم استثمار مبلغ بنسبة 7٪ مضاعفة بشكل مستمر ، فكم من الوقت سيستغرق مضاعفة؟

نحن نقدم حلين.

يستخدم الحل 1 اللوغاريتمات لحساب الإجابة الدقيقة ، لذا يفضل. لقد استخدمنا هذه الطريقة بالفعل في مثال ( PageIndex {3} ) لحل مشكلة الوقت اللازم لتراكم الاستثمار إلى قيمة مستقبلية محددة.

يوفر الحل 2 حلاً تقديريًا لا ينطبق إلا على مضاعفة الوقت ، ولكن ليس على المضاعفات الأخرى. يجب أن يكتشف الطلاب من مدرسهم ما إذا كان هناك تفضيل لطريقة الحل التي سيتم استخدامها لمضاعفة مشاكل الوقت.

الحل: الحل 1: حساب الجواب بالضبط: (P e ^ {0.07t} = A ).

لا نعرف القيمة الأولية للمدير ولكننا نعلم أن القيمة المتراكمة هي ضعف (ضعف) الأصل.

[ mathrm {P} _ {e} ^ {0.07t} = 2 mathrm {P} nonumber ]

نقسم كلا الجانبين على ( mathrm {P} )

[e ^ {. 07 t} = 2 nonumber ]

باستخدام اللوغاريتم الطبيعي:

[ ابدأ {مجموعة} {l}
.07 mathrm {t} = ln (2)
mathrm {t} = ln (2) / .07 = 9.9 : mathrm {سنوات}
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

يستغرق الأمر 9.9 سنوات حتى تتضاعف الأموال إذا تم استثمارها بفائدة مستمرة بنسبة 7٪.

الحل 2: تقدير الإجابة باستخدام قانون 70:

يعد قانون 70 أداة مفيدة لتقدير الوقت اللازم لمضاعفة قيمة الاستثمار. إنه تقريب وليس دقيقًا ويأتي من حلنا السابق. حسبنا ذلك

[ mathrm {t} = ln (2) / mathrm {r} text {where} mathrm {r} text {كان 0.07 في هذا الحل.} nonumber ]

تقييم ( ln (2) = 0.693 ) يعطي (t = 0.693 / mathrm {r} ). يؤدي ضرب البسط والمقام في 100 إلى (t = 69.3 / (100 mathrm {r}) )

إذا قدرنا 69.3 في 70 وحددنا معدل الفائدة كنسبة مئوية بدلاً من رقم عشري ، نحصل على قانون 70:

قانون 70: عدد السنوات المطلوبة لمضاعفة النقود 70 سعر الفائدة

  • لاحظ أن هذا تقدير تقريبي فقط.
  • يتم تحديد سعر الفائدة كنسبة مئوية (وليس عشري) في قانون 70.

باستخدام قانون 70 يعطينا (t ) ≈ 70/7 = 10 وهو قريب من قيمة 9.9 سنوات المحسوبة في الحل 1 ولكن ليس بالضبط.

الوقت المضاعف التقريبي بالسنوات كدالة لسعر الفائدة

معدل الفائدة السنوي

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

عدد السنوات لمضاعفة النقود

70

35

23

18

14

12

10

9

8

7

يقترب النمط الموجود في الجدول من قانون 70.

مع توفر التكنولوجيا لإجراء العمليات الحسابية باستخدام اللوغاريتمات ، سنستخدم قانون 70 فقط لتقديرات سريعة لمضاعفة الأوقات. استخدام قانون 70 كتقدير لا يصلح إلا لمضاعفة المرات ، وليس المضاعفات الأخرى ، لذلك فهو ليس بديلاً لمعرفة كيفية إيجاد حلول دقيقة.

ومع ذلك ، يمكن أن يكون قانون 70 مفيدًا للمساعدة في تقدير العديد من مشاكل "مضاعفة الوقت" عقليًا ، والتي يمكن أن تكون مفيدة في تطبيقات الفائدة المركبة بالإضافة إلى التطبيقات الأخرى التي تنطوي على النمو الأسي.

مثال ( PageIndex {9} )

  1. في ذروة معدل النمو في الستينيات ، تضاعف عدد سكان العالم لمدة 35 عامًا. في ذلك الوقت ، ما هو معدل النمو تقريبًا؟
  2. اعتبارًا من عام 2015 ، بلغ معدل النمو السنوي لسكان العالم حوالي 1.14٪. بناءً على هذا المعدل ، أوجد وقت المضاعفة التقريبي.

حل

أ. وفقًا لقانون 70 ،

الوقت المضاعف = (35 حوالي 70 div r )

(r حوالي 2 ) معبراً عنها كنسبة مئوية

لذلك ، كان عدد سكان العالم ينمو بمعدل تقريبي 2٪ في الستينيات.

ب .. وفقا لقانون 70 ،

مضاعفة الوقت (t حوالي 70 div r = 70 div 1.14 حوالي 61 ) سنة

إذا استمر سكان العالم في النمو بمعدل نمو سنوي قدره 1.14٪ ، فسوف يستغرق الأمر 61 عامًا تقريبًا حتى يتضاعف عدد السكان.

القسم 6.2 ملخص

يوجد أدناه ملخص للصيغ التي قمنا بتطويرها للحسابات التي تتضمن الفائدة المركبة:

الفائدة المركبة ( mathbf {n} ) مرات في السنة

  1. إذا تم استثمار مبلغ ( mathrm {P} ) لمدة (t ) سنوات بسعر فائدة (r ) في السنة ، مضاعفًا (n ) مرات في السنة ، فسيتم إعطاء القيمة المستقبلية بواسطة [A = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {nt} ] ( mathbf {P} ) يسمى الأساسي ويسمى أيضًا القيمة الحالية.
  2. إذا دفع البنك سعر فائدة (r ) سنويًا ، مركبًا (n ) مرات في السنة ، فسيتم تحديد معدل الفائدة الفعلي بواسطة [ mathbf {r} _ { mathrm {EFF}} = يسار (1+ frac {r} {n} يمين) ^ {n} -1 ]

مصلحة متراكمة باستمرار

  1. إذا تم استثمار مبلغ ( mathrm {P} ) لمدة (t ) سنوات بسعر فائدة (r ) سنويًا ، متضاعفًا بشكل مستمر ، فسيتم إعطاء القيمة المستقبلية بواسطة [ mathrm {A} = mathrm {P} e ^ {rt} ]
  2. إذا دفع البنك سعر فائدة (r ) سنويًا ، مركبًا (n ) مرات في السنة ، فسيتم تحديد معدل الفائدة الفعلي بواسطة [ mathrm {r} _ { mathrm {EFF}} = e ^ { mathbf {r}} - 1 ]
  3. قانون 70 ينص على ذلك

عدد سنوات مضاعفة النقود ما يقرب من 70 ÷ معدل الفائدة


في البنوك وشركات التأمين والمؤسسات المالية الأخرى ، عند إصدار قروض أو قبول الودائع ، لا يتم احتساب الفائدة على رأس المال الأصلي طوال الفترة. يحسبون الفائدة على فترات منتظمة مثل ربع سنوي أو نصف سنوي أو سنوي. تضاف الفائدة إلى رأس المال ويتم احتساب الفائدة الإضافية على رأس المال والفائدة المستحقة. في هذه الحالات ، يزيد الرئيسي. نقول أن الفائدة تتضاعف في كل هذه المواقف. يعد مفهوم التركيب مفيدًا جدًا في التنبؤ بسكان بلد ما ، ونمو إنتاج الغذاء ، وانحلال مادة مشعة ، إلخ.

في الفائدة المركبة للوحدة ، ندرس حساب الفائدة المركبة ونشتق الصيغة لإيجاد الفائدة المركبة.


6.2: الفائدة المركبة - الرياضيات

بواسطة نيوفان & raquo الأربعاء يناير 02 ، 2019 في الساعة 12:35 مساءً

لقد بحثت ورأيت موضوعًا حول هذا الموضوع ولكن لم أفهمه تمامًا ، وأحب المنتديات والنشاط. لذلك فكرت لماذا لا تجعل موضوع جديد.

الرجاء الإجابة على هذا كما لو كنت تتحدث إلى طفل يبلغ من العمر 10 سنوات

أنا أبحث عن حساب أساس عادل هنا. لقد بدأت جدول بيانات جديدًا. هدفي النهائي هو مجرد الحصول على عمود يوضح لي القيمة الصافية لثروتي بعد __ عدد السنوات ، مع مساهماتي السنوية مع ذكر متوسط ​​معدل عائد بنسبة 6٪. ها هي أعمدتي حتى الآن:

العمود أ = صافي القيمة الحالية
العمود ب = متوسط ​​الدخل السنوي المتوقع
العمود ج = معدل الضريبة الفعلي المتوقع
العمود D = متوسط ​​النسبة المئوية المتوقعة من الدخل الذي سأحتفظ به
العمود E = متوسط ​​الدخل المتوقع الذي سأحتفظ به (بعد الدخل الضريبي)
العمود F = متوسط ​​تكلفة نمط الحياة / الإنفاق

العمود H = المساهمة السنوية المتوقعة في الاستثمارات (والتي هي أساسًا E2-F2)

هذا في الغالب للترفيه ، لذا فإن الاقتراحات مرحب بها ولكني أعتقد أنني أريد مجالًا يأخذ صافي ثروتي (أ) يضيف في مساهمتي السنوية المتوقعة (ح) ويخبرني ماذا سيكون هذا المبلغ .. 3 ، 5 ، 10 ، 15 ، 20 سنة بمعدل عائد 6٪.

أفضل سيناريو للحالة هو إذا كان بإمكاني الحصول على عمود كامل يسرد ما سيبدأ هذا المبلغ بعد عام واحد من الآن ، لنقل 40 عامًا من الآن إذا كان ذلك منطقيًا. ثم مع تقدمي في الحياة ، إذا تغير الدخل السنوي المتوقع أو تغيرت النفقات ، فسأقوم بتحرير هذا العمود.

شكرا! أنا أحب هذه الأدوات.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة لوب & raquo الأربعاء يناير 02، 2019 1:27 مساءً

وبالتالي لا تتردد في نشر شيء ما ليس كإجابة ، ولكن & quot ؛ لمجرد التسلية & quot.

إذا كان عمرك 10 سنوات ، فلا داعي للقلق بشأن صافي الثروة في المستقبل ، ولكن بشأن طريقك إلى الحياة المستقبلية.

إذا كبرت ، يجب ألا تتوقع ولا تطمح إلى معدل عائد بنسبة 6 ٪. إن القدرة على الحصول على مثل هذا المعدل على مدى فترة طويلة لما يسمى الاستثمار غير المرتبط بالشرط المسبق للقيام بأشياء ذات قيمة للآخرين يتطلب أن تعيش في مجتمع ينقل جميع الثروات المتبقية إلى أولئك الذين لديهم بالفعل معظمها.

إذا كنت تتقدم في العمر وتعرف شيئًا عن التاريخ ، فيجب أن تستمتع بالمغامرة لبدء حساباتك افتراضيًا على افتراض أن تكون Chech in Pardubice في عام 1930.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الخميس 03 يناير 2019 1:43 صباحًا

وبالتالي لا تتردد في نشر شيء ما ليس كإجابة ، ولكن & quot ؛ لمجرد التسلية & quot.

إذا كان عمرك 10 سنوات ، فلا داعي للقلق بشأن صافي الثروة في المستقبل ، ولكن بشأن طريقك إلى الحياة المستقبلية.

إذا كبرت ، يجب ألا تتوقع ولا تطمح إلى معدل عائد بنسبة 6 ٪. إن القدرة على الحصول على مثل هذا المعدل على مدى فترة طويلة لما يسمى الاستثمار غير المرتبط بالشرط المسبق للقيام بأشياء ذات قيمة للآخرين يتطلب أن تعيش في مجتمع ينقل جميع الثروات المتبقية إلى أولئك الذين لديهم بالفعل معظمها.

إذا كنت تتقدم في العمر وتعرف التاريخ ، فيجب أن تستمتع بالمغامرة لبدء حساباتك افتراضيًا على افتراض أن تكون Chech in Pardubice في عام 1930.

الضحك بصوت مرتفع! أعتقد أنني كنت أطلب إدخالًا إضافيًا مع هذا التعليق الذي يبلغ من العمر 10 أعوام لم يكن أنا. أنا متأكد من أنك كنت ساخرًا (وكان ذلك مضحكًا) ولكن فقط في حالة أنني لست 10.

ومع ذلك ، بعيدًا عن الموضوع ، فأنا مستثمر جاد جدًا وسعر فائدة 6 ٪ محافظ وواقعي على حد سواء لمحفظة الصناديق 3 الكسولة التي يتم تقسيمها تقريبًا بنسبة 90/10 (سندات الأسهم). تاريخيا ، كان متوسط ​​معدل العائد ما يقرب من 9٪ عائد سنوي. 6٪ مسؤول عن التضخم وهو رقم آمن للاستخدام! عبرت الأصابع لم نصل إلى عام 1931 مرة أخرى

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة راسل ب & raquo الخميس 03 يناير 2019 2:45 صباحًا

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الخميس 03 يناير 2019 الساعة 2:54 صباحًا

نظرت ، لم أكن متأكدًا من الوظيفة التي كانت صحيحة ومن ثم هذا الموضوع. إنها عملية حسابية مباشرة إلى الأمام ولكن صفحة المساعدة جعلتها أكثر تعقيدًا ، وأنا أقدر أي إرشادات.

غالبًا ما أستخدم موقع الويب هذا لحساب الفائدة المركبة ^ فأنا في الأساس أريد فقط حساب الفائدة المركبة السنوية البالغ 6٪ في المستند إذا كان ذلك منطقيًا. شكرا مقدما!

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة MrProgrammer & raquo الخميس 03 يناير 2019 4:42 صباحًا

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الخميس 03 يناير 2019 5:13 صباحًا

على الرغم من أن هذا يبدو وكأنه حساب لمرة واحدة. هل هناك طريقة للحصول على الرقم النهائي (الفائدة المركبة) لاستخدام الأعمدة A و E و F لحساب هذا الرقم المتحرك؟ سيكون مثل A + (E-F) + ___ (عدد السنوات في المستقبل بفائدة مركبة بنسبة 6٪) = صافي الثروة المتوقعة. أو شيء من هذا القبيل.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الخميس 03 يناير 2019 6:43 صباحًا

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الخميس 03 يناير 2019 8:17 صباحًا

لذلك ، اكتشفت كيف أجعل هذا العمل. نحن سوف. ربما كان هذا هو ما كنت تقصده منذ البداية ، ولكن بدلاً من القيم الرقمية التي أدخلتها ، قمت للتو بإنشاء تلك الأعمدة والصفوف. ثم أنشأت عمودًا منفصلاً جديدًا بأرقام تبدأ من 1 إلى 20 ، لتكون بمثابة # السنوات في المستقبل. يبدو الكود الخاص بي الآن كما يلي: = -FV (0.06J21H2A2)

J21 هي المنطقة العشوائية حيث أضفت الأرقام بدءًا من 1 ولكني سأقوم بتنظيفها. على أي حال ، نوع من الأعمال؟ الشيء الوحيد الذي يحيرني هو أن الأرقام تختلف قليلاً عن تلك الآلة الحاسبة عبر الإنترنت التي ربطتها أعلاه. أعتقد أنه ربما يكون هذا هو النوع الصحيح من المعادلة ولكن بطريقة ما يختلف تاريخ البدء & quot عن الآلة الحاسبة عبر الإنترنت أو شيء من هذا القبيل .. لا أعرف ، ولكنه قريب بما يكفي حتى في 10 سنوات خارجًا ليجعلني أعتقد أنه يفعل الشيء نفسه بشكل عام شيء. أي فكرة عما يحدث هنا؟

تحرير: حسنًا ، بمجرد أن أذهب إلى 17 عامًا في المستقبل ، يبدأ الرقم في الظهور بعيدًا جدًا. جعلني أعتقد أنه خطأ في حساب الفائدة. لا أعرف ، لكن أفضل تخميني هو أن مستند OpenOffice هذا يحسب الفائدة مرة واحدة سنويًا ، بينما الفائدة المركبة الحقيقية للاستثمار في الأسهم تتراكم في الواقع طوال العام؟ أي فكرة عن الحساب الذي يجب أن أستخدمه؟

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة 418 & raquo الخميس 03 يناير 2019 6:13 مساءً


تتبع الحسابات في جدول بيانات قواعد الرياضيات ، على سبيل المثال ، ينتج عن ضرب قيمة العملة في نسبة مئوية رقم به 4 منازل عشرية على الأقل. إذا كان جدول البيانات يعرض مبلغًا من العملات ، فسيتم إخفاء المنازل العشرية الزائدة عن العرض ولكن لا يزال جدول البيانات يستخدمها في العمليات الحسابية المستقبلية. هذا يمكن أن يؤدي إلى أخطاء مركبة.
حاول تقريب نتائج كل عملية ضرب (ROUND (Number Count)) إلى منزلتين عشريتين.
تحقق مما إذا كنت تحصل على ارتباط أفضل بين النتائج.
يحرر: بدلاً من استخدام وظيفة الصندوق الأسود المضمنة مثل FV حيث لا تعرف كيف تجري حساباتها ، سأستخدم ورقة واحدة لإجراء جميع العمليات الحسابية الفردية على أساس فترة زمنية. ثم ابحث عن التناقضات الصغيرة وقم بإجراء أي تصحيحات مطلوبة قبل أن تصبح كبيرة.
إذا لزم الأمر ، يمكن للورقة الثانية أن تعرض قيم الاهتمام فقط.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الجمعة يناير 04، 2019 7:19 am


تتبع الحسابات في جدول بيانات قواعد الرياضيات ، على سبيل المثال ، إذا ضربت قيمة العملة في نسبة مئوية ، فستحصل على رقم به 4 منازل عشرية على الأقل. إذا كان جدول البيانات يعرض مبلغًا من العملات ، فسيتم إخفاء المنازل العشرية الزائدة عن العرض ولكن لا يزال جدول البيانات يستخدمها في العمليات الحسابية المستقبلية. هذا يمكن أن يؤدي إلى أخطاء مركبة.
حاول تقريب نتائج كل عملية ضرب (ROUND (Number Count)) إلى منزلتين عشريتين.
تحقق مما إذا كنت تحصل على ارتباط أفضل بين النتائج.
يحرر: بدلاً من استخدام وظيفة الصندوق الأسود المضمنة مثل FV حيث لا تعرف كيف تجري حساباتها ، سأستخدم ورقة واحدة لإجراء جميع الحسابات الفردية على أساس فترة زمنية. ثم ابحث عن التناقضات الصغيرة وقم بإجراء أي تصحيحات مطلوبة قبل أن تصبح كبيرة.
إذا لزم الأمر ، يمكن للورقة الثانية أن تعرض قيم الاهتمام فقط.

انا اقدر مساعدتك! لكن هذه ليست المشكلة التي أواجهها. لا يزال هذا طلبًا لم يتم حله.

بشكل أساسي ، الحساب الذي استخدمته أعلاه لا يحسب الفائدة المركبة بشكل صحيح. يجب أن أصدق أن موقع الويب صحيح وأن الحساب الذي استخدمته خاطئ ، لأنه يتم حساب فائدة بنسبة 6٪ فقط مرة واحدة سنويًا بدلاً من حسابها طوال العام كما تفعل الأسهم بشكل طبيعي.

هل تعرف ما هي العملية الحسابية التي يمكنني استخدامها؟

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة روبليد & raquo الجمعة يناير 04، 2019 7:40 am

إذا كنت تستخدم FV ، فهل تعكس الوسيطة الثالثة عدد الدفعات التي سيتم إجراؤها خلال الفترة؟

إذا كنت تستخدم طريقة أخرى ، فربما تقوم بتحميل نموذج لجدول بيانات (وليس صورة) ، يعرض العملية والبيانات التي تستخدمها ، مما يوضح الأخطاء التي ذكرتها. لا يمكننا تخمين ما هو موجود بالفعل في جدول البيانات الخاص بك.

[المنتدى] كيفية إرفاق مستند هنا لاحظ أن الحد الأقصى لحجم الملف هو 128 كيلو بايت. إذا كان ملفك أكبر ، فاستخدم موقع مشاركة الملفات مثل Mediafire وانشر الرابط هنا. يحتوي الرابط أيضًا على معلومات حول كيفية إخفاء هوية وثيقتك إذا كانت تحتوي على معلومات سرية.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الجمعة يناير 04، 2019 9:35 صباحًا

كتب robleyd: إذا كنت تستخدم FV ، فهل تعكس الوسيطة الثالثة عدد الدفعات التي سيتم إجراؤها خلال الفترة؟

إذا كنت تستخدم طريقة أخرى ، فربما تقوم بتحميل نموذج لجدول بيانات (وليس صورة) ، يعرض العملية والبيانات التي تستخدمها ، مما يوضح الأخطاء التي ذكرتها. لا يمكننا تخمين ما هو موجود بالفعل في جدول البيانات الخاص بك.

[المنتدى] كيفية إرفاق مستند هنا لاحظ أن الحد الأقصى لحجم الملف هو 128 كيلو بايت. إذا كان ملفك أكبر ، فاستخدم موقع مشاركة الملفات مثل Mediafire وانشر الرابط هنا. يحتوي الارتباط أيضًا على معلومات حول كيفية إخفاء هوية وثيقتك إذا كانت تحتوي على معلومات سرية.

ها أنت ذا! لقد قمت بتحرير الأرقام إلى أرقام بسيطة للرياضيات ، وأرفقت جدول البيانات هنا. لقد أضفت بعض الملاحظات هناك لمن يقرأ ، بما في ذلك الهدف من جدول البيانات الخاص بي وبعض الأمثلة على الأماكن التي لا يعمل فيها.

ملاحظة - إذا كنت تعرف طريقة لجعل المستند أكثر نظافة ولا تزال تحقق نفس الشيء ، فأنا كلي آذان صاغية!

هذا يعني الكثير بالنسبة لي ، وأنا أقدر حقًا مساعدة أي شخص في حل هذا الأمر.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة روبليد & raquo الجمعة يناير 04، 2019 10:26 صباحا

لسبب واحد ، أعتقد أنك تقارن التفاح بالبرتقال! حاول تغيير موقع الشمبانزي لعمل إضافات في نهاية فترة التركيب وانظر كيف تتم مقارنة القيم بعد ذلك. للأسف ، تغفل التعليمات دون اتصال لـ FV الوسيطات الخاصة بالنوع:

يبدو أيضًا أن الورقة الخاصة بك لم تتم مزامنتها لمدة عام - لديك قيم السنة 1 في J في صف العام الثاني.

أيضًا ، لا تحتاج إلى تكرار نفس القيم لعناصر مثل صافي القيمة ، يمكنك الرجوع إليها باستخدام مراجع مطلقة. [دروس] المراجع المطلقة والنسبية والمختلطة

إذا كنت مستخدمًا جديدًا لجداول البيانات ، فقد تجد ما يلي بمثابة موارد مفيدة بالإضافة إلى الارتباط أعلاه ..

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الجمعة يناير 04، 2019 10:51 am

كتب روبليد: لسبب واحد ، أعتقد أنك تقارن التفاح بالبرتقال! حاول تغيير موقع الشمبانزي لعمل إضافات في نهاية فترة التركيب وانظر كيف تتم مقارنة القيم بعد ذلك. للأسف ، تغفل التعليمات دون اتصال لـ FV الوسيطات الخاصة بالنوع:

يبدو أيضًا أن الورقة الخاصة بك لم تتم مزامنتها لمدة عام - لديك قيم السنة 1 في J في صف العام الثاني.

أيضًا ، لا تحتاج إلى تكرار نفس القيم لعناصر مثل صافي القيمة ، يمكنك الرجوع إليها باستخدام مراجع مطلقة. [دروس] المراجع المطلقة والنسبية والمختلطة

إذا كنت مستخدمًا جديدًا لجداول البيانات ، فقد تجد ما يلي بمثابة موارد مفيدة بالإضافة إلى الارتباط أعلاه ..

نعم ، لقد اكتشفت أن السنوات كانت غير متزامنة وأصلحت ذلك.

فيما يتعلق بوقت إضافة الإضافات ، فهذه نقطة رائعة. ومع ذلك ، لم يكن أي من الخيارين (البداية أو النهاية) دقيقًا ، فهل هناك أي طريقة لمحاكاة إضافته بالتساوي على مدار 12 شهرًا التي يمكنك التفكير فيها؟

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة روبليد & raquo الجمعة يناير 04، 2019 11:14 am

بناء على ما؟ بمقارنة نتائج FV ونتائج الشمبانزي لأول 6 سنوات ، باستخدام نفس المعايير ، أرى نفس النتائج مع المائة. لم أكلف نفسي عناء البحث عن أي نتائج أخرى.

لقد ذكرت سابقًا أنه يمكنك تعديل الوسيطة الثالثة إلى FV لتعكس تكرار المدفوعات التي تفترضها حاليًا دفعة واحدة كل عام. موقع الشمبانزي لديه نفس الخيار.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الجمعة يناير 04، 2019 11:20 am

بناء على ما؟ بمقارنة نتائج FV ونتائج الشمبانزي لأول 6 سنوات ، باستخدام نفس المعايير ، أرى نفس النتائج مع المائة. لم أكلف نفسي عناء البحث عن أي نتائج أخرى.

لقد ذكرت سابقًا أنه يمكنك تعديل الوسيطة الثالثة إلى FV لتعكس تكرار المدفوعات التي تفترضها حاليًا دفعة واحدة كل عام. موقع الشمبانزي لديه نفس الخيار.

أوه ، لقد قصدت أنها ليست دقيقة في الحياة الواقعية ، لأنه في الحياة الواقعية لا تستثمر كل أموالك في بداية أو نهاية العام ولكن (عادةً) طوال هاها. هذا هو ما عنيته.

أنا متحمس لأنني أقترب من معرفة ذلك .. أنت على حق ، لقد حصلت على الأرقام المتطابقة تمامًا.

أنا حقًا أقرأ الأشياء التي تقولها وبعض المقالات في الوقت الحالي. لإنقاذي بعض الوقت ، هل هناك أي طريقة يمكنك من خلالها إخباري بما ستكون عليه الصيغة في الواقع إذا كنت ستقدمها بحيث يتم توزيع المساهمة السنوية على 12 شهرًا؟ الكود لراحتك موجود هنا ، = -FV (0.06I3H2A2) ولا أعرف مكان إضافة شيء في NumPeriods ، لكنني سأستمر في البحث! إذا كان بإمكانك فعل ذلك ، فافعل هذه الصيغة من فضلك.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة روبليد & raquo الجمعة يناير 04، 2019 11:30 صباحا

أنت تستخدم العمود I كوسيطة ثالثة لـ FV ، عدد النقاط. غير ذلك ليناسب احتياجاتك. انظر إلى صيغة FV في حال لم تكن قد نظرت إليها بعناية.

يرجى قراءة الوثائق بعناية.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الجمعة يناير 04، 2019 11:39 am

كتب robleyd: أنت تستخدم العمود I كوسيطة ثالثة لـ FV ، عدد النقاط. غير ذلك ليناسب احتياجاتك. انظر إلى صيغة FV في حال لم تكن قد نظرت إليها بعناية.

يرجى قراءة الوثائق بعناية.

لقد قرأته. لا أفهم بنسبة 100٪ ولكن قد تكون لدي فكرة. وبالتالي. في الأساس ما أفعله هو تغيير العمود الذي سأذهب إليه. 1.1 ، 1.2 ، 1.3. 1.12 ، 2.1 ، 2.2. 2.12 ، 3.1 وما إلى ذلك ، بدلاً من 1،2،3،4 فقط. إلخ؟

إذا كان تغييرًا بسيطًا يمكنني إجراؤه على الصيغة ، فيرجى كتابتها هنا. شكرا! كدنا نصل.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة روبليد & raquo الجمعة يناير 04، 2019 12:09 مساءً

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة نيوفان & raquo الجمعة يناير 04، 2019 1:13 مساءً

لا أعلم لماذا لا تكتب الصيغة فقط. إجاباتك هذه ليست منطقية بالنسبة لي.

أعلاه ، قلت بشكل أساسي كيف يمكنني إضافة فترات مقسمة إلى 1.1 ، 1.2 ، 1.3 ، إلخ حتى 1.12 ثم انتقل إلى 2. هل هذا ما تقوله؟ كان من الممكن أن تقول & quotyes & quot لذلك. عذرًا ، أنا لست متقدمًا تقريبًا كما أنت مع هذا الآن.

رد: حساب الفائدة المركبة

بواسطة MrProgrammer & raquo الجمعة يناير 04، 2019 6:00 مساءً

= -FV (0.06I7H6A6 1) في الخلية J8 يعطي 452307.04 دولارًا. ربما اكتشفت ذلك بالفعل. 1 أو 0 كمعامل أخير لـ FV () يتوافق مع اختيار البداية أو النهاية في الخيار الأخير للحاسبة عبر الإنترنت.

Attach a document demonstrating that situation and showing your expected value of the Estimated Net Worth (as a number not as a formula). We don't know how you want it calculated and you don't explain what values you put in the online calculator to get the results you want to duplicate in Calc.

Re: Compound interest calculation

بواسطة robleyd » Sat Jan 05, 2019 7:38 am

I was trying to encourage you to think about what you are doing and learn how to do it for yourself. You want to get results for payments made each month a month being 1/12th of a year.Let's look at the arguments for the FV function.

FV(rate numperiods payment presentvalue type)

rate: the (fixed) interest rate per period.
You are working on an annual interest rate of 6 percent on a monthly basis that will be 6 divided by 12 (months in a year that comes to 1/2 or .5 percent a month recall that we are talking interest rate per period and the period you want to work with is a month. So the value for the first argument is .5

Code: Select all Expand viewCollapse view numperiods: the total number of payment periods in the term.
This will vary according to your needs for example, a value of 1 here represents a period of one month. So for a year, the value would be 12, for two years 24 and so on. Simply multiply the number of years by 12, the number of months in a year. For example, an investment over a period of 30 years would be 360 months.

Code: Select all Expand viewCollapse view payment: the payment made each period. If presentvalue is given, this may omitted (defaults to 0).
Your sample spreadsheet used a value of $53,300 a year as the payment rate so dividing that by the number of months in a year - 12 - we get a monthly payment of $4,441.67 (approximately).

Code: Select all Expand viewCollapse view presentvalue: the lump sum payment at the start of the term (optional - defaults to 0). With a loan, this would normally be the sum borrowed with a bond this would generally be 0.
This was shown in your sample spreadsheet as $100,000

Code: Select all Expand viewCollapse view type: when payments are made (optional - defaults to 0):

0 - at the end of each period.
1 - at the start of each period (including a payment at the start of the term).
Does your financial institution pay interest at the beginning of a period, or at the end? Choose whichever option is appropriate.

Code: Select all Expand viewCollapse view The value of money is time-dependent for example, $100 today would be worth $110 in a year if invested at a 10% interest rate.

FV returns the future value at the end of the term, of a lump sum payment (presentvalue) at the start of the term and a payment being made each period for numperiods periods, at fixed rate interest, compounded each period.

That should give you all the information you need. I don't think I can simplify it any further so I'll bow out at this stage.

Re: Compound interest calculation

بواسطة NewOOfan » Tue Jan 08, 2019 7:37 am

We all learn differently. I learn a lot better by reverse engineering something, it's helpful and I do better that way and learn significantly faster when I can reverse engineer a code, that's why I'm asking for you to type out the code for me. I'm still "learning on my own" we all learn by reading something that somebody else wrote, I still took the initiative of signing up and asking questions for something I don't understand right? لول.

Way earlier in this thread I basically said should I increase column i to be monthly periods instead of an annual period and it sounds like that's what you're suggesting. So right now column "i" is just 1-25 representing 1 year in the future to 25 years in the future. Now, if I understand your post, column "i" should be 1-300 representing 1 month from now to 300 months from now (25 years). That seems really inefficient there must be some better way. I ultimately just want 25 rows, each one being those future years representing expected net worth. 300 rows works I guess still, and maybe I'll find a way to have a new page just pick every 12th number or something.

Also, your question " Does your financial institution pay interest at the beginning of a period, or at the end? Choose whichever option is appropriate. " if I understand your question correctly, stocks do not work like that. Compound interest works throughout every day of the year while the markets are open. Gains are simply re-invested every second of the day. Having a calculation that adds monthly contributions is just a lot easier than trying to break it down by day and I don't need that level of detail. وبالتالي. I'm not sure whether to type 0 or 1 when you ask when the interest is paid but for the sake of simplicity I'll just keep it after the month period, it's splitting hairs at that point.

There are so many questions I have that aren't getting answered here, so if you're willing to just simply adjust the code (should only take a few seconds) I am pretty sure I can reverse engineer it to understand it a lot faster and more effectively. It would save us all a bunch of time and I'd pass the lesson on someday to someone else who needs it! Column K is the main thing I'm looking for.

I think I can only attach one document per post, so here on this post is sort of how I'd like the document to read . I'll post right after this with my best edit given your advice above.

Again, I do appreciate your help and I'm getting closer. it's just ugly and not efficient the way I'd like. If you or anyone can just adjust this for a few seconds, I will learn from it and pass on the favor in my future.


Compound Interest Calculator

بواسطة Jon R April 30, 2017 -->

Find the compound interest earned from an investment with this Compound Interest Calculator. Input principal, yearly interest rate, the amount of years the interest has been compounding, and how many times per year the interest is compounded.

What is compound interest and how do you find compound interest?

To find the final value of an investment use this compound interest
formula:
Investment Value = P x ( 1 + r/n ) (Y x n)

r = Yearly Interest Rate in decimal form ( example: 5% in decimal form
is .05 )

Y = Life of the investment in years

n = how many times per year the interest is compounded

Example: An original investment of $5,000 held for 3.5 years at an
interest rate of 5% would result in the following values.


Annual Percentage Yield

The Annual Percentage Yield (APY), referenced as the effective annual rate in finance, is the rate of interest that is earned when taking into consideration the effect of compounding.

There are various terms used when compounding is not considered including nominal interest rate, stated annual interest rate, and annual percentage rate(APR).

In the formula, the stated interest rate is shown as ص. A bank may show this as simply "interest rate". The annual percentage yield formula would be applied to determine what the effective yield would be if the account was compounded given the stated rate. ال ن in the annual percentage yield formula would be the number of times that the financial institution compounds. For example, if a financial institution compounds the account monthly, ن would equal 12.


Answer Key 6.2




  1. 1





























Understanding the Mathematics of Personal Finance: An Introduction to Financial Literacy

Understanding the Mathematics of Personal Finance explains how mathematics, a simple calculator, and basic computer spreadsheets can be used to break down and understand even the most complex loan structures. In an easy-to-follow style, the book clearly explains the workings of basic financial calculations, captures the concepts behind loans and interest in a step-by-step manner, and details how these steps can be implemented for practical purposes. Rather than simply providing investment and borrowing strategies, the author successfully equips readers with the skills needed to make accurate and effective decisions in all aspects of personal finance ventures, including mortgages, annuities, life insurance, and credit card debt.

The book begins with a primer on mathematics, covering the basics of arithmetic operations and notations, and proceeds to explore the concepts of interest, simple interest, and compound interest. Subsequent chapters illustrate the application of these concepts to common types of personal finance exchanges, including:

Loan amortization and savings

Mortgages, reverse mortgages, and viatical settlements

The book provides readers with the tools needed to calculate real costs and profits using various financial instruments. Mathematically inclined readers will enjoy the inclusion of mathematical derivations, but these sections are visually distinct from the text and can be skipped without the loss of content or complete understanding of the material. In addition, references to online calculators and instructions for building the calculations involved in a spreadsheet are provided. Furthermore, a related Web site features additional problem sets, the spreadsheet calculators that are referenced and used throughout the book, and links to various other financial calculators.

Understanding the Mathematics of Personal Finance is an excellent book for finance courses at the undergraduate level. It is also an essential reference for individuals who are interested in learning how to make effective financial decisions in their everyday lives.

Buy Both and Save 25%!

This item: Understanding the Mathematics of Personal Finance: An Introduction to Financial Literacy


6.2: Compound Interest - Mathematics

Savings instruments in which earnings are continually reinvested, such as mutual funds and retirement accounts, use compound interest. على المدى يضاعف refers to interest earned not only on the original value, but on the accumulated value of the account.

ال annual percentage rate (APR) of an account, also called the nominal rate, is the yearly interest rate earned by an investment account. على المدى nominal is used when the compounding occurs a number of times other than once per year. In fact, when interest is compounded more than once a year, the effective interest rate ends up being أكبر than the nominal rate! This is a powerful tool for investing.

We can calculate the compound interest using the compound interest formula, which is an exponential function of the variables time ر, principal ص, APR ص, and number of compounding periods in a year ن:

For example, observe the table below, which shows the result of investing $1,000 at 10% for one year. Notice how the value of the account increases as the compounding frequency increases.

تكرر Value after 1 year
سنويا $1100
Semiannually $1102.50
ربعي $1103.81
شهريا $1104.71
يوميا $1105.16

A General Note: The Compound Interest Formula

Compound interest يمكن حسابها باستخدام الصيغة

  • أ(ر) is the account value,
  • ر is measured in years,
  • ص is the starting amount of the account, often called the principal, or more generally present value,
  • ص is the annual percentage rate (APR) expressed as a decimal, and
  • ن is the number of compounding periods in one year.

Example 7: Calculating Compound Interest

If we invest $3,000 in an investment account paying 3% interest compounded quarterly, how much will the account be worth in 10 years?

حل

Because we are starting with $3,000, ص = 3000. Our interest rate is 3%, so ص = 0.03. Because we are compounding quarterly, we are compounding 4 times per year, so ن = 4. We want to know the value of the account in 10 years, so we are looking for أ(10), the value when ر = 10.

The account will be worth about $4,045.05 in 10 years.

Try It 7

An initial investment of $100,000 at 12% interest is compounded weekly (use 52 weeks in a year). What will the investment be worth in 30 years?

Example 8: Using the Compound Interest Formula to Solve for the Principal

A 529 Plan is a college-savings plan that allows relatives to invest money to pay for a child’s future college tuition the account grows tax-free. Lily wants to set up a 529 account for her new granddaughter and wants the account to grow to $40,000 over 18 years. She believes the account will earn 6% compounded semi-annually (twice a year). To the nearest dollar, how much will Lily need to invest in the account now?

حل

The nominal interest rate is 6%, so ص = 0.06. Interest is compounded twice a year, so ك = 2.

We want to find the initial investment, ص, needed so that the value of the account will be worth $40,000 in 18 years. Substitute the given values into the compound interest formula, and solve for ص.

Lily will need to invest $13,801 to have $40,000 in 18 years.

Try It 8

Refer to Example 8. To the nearest dollar, how much would Lily need to invest if the account is compounded quarterly?


كيفمالWorks Educator

If you don’t think there’s anything awe-inspiring about compound interest—think again.

Albert Einstein asserted that it’s mankind’s greatest invention. He deemed it “the eighth wonder of the world”.(1) That’s the same guy who came up with the theory of relativity! On the other hand, Thomas Aquinas, the influential medieval philosopher and theologian, thought charging interest was unnatural and unjust.(2) How could a coin grow more coins without dark magic at play? That’s not how money works, right?

If you’re still scratching your head wondering why they had such strong reactions, let’s break down how compound interest works and see what the hype is really about!

What is compound interest? <br> Merriam-Webster defines compound interest as “interest earned on principal plus interest that was earned earlier.” Let’s clarify that definition.

Let’s say you put $10,000 into a bank account that pays 5% interest annually. After 1 year, the bank will pay you $500 for letting them hold your money. The next year they’ll pay you 5% of $10,500, which comes out to $525. You now have $11,025. This will keep repeating until you withdraw your money.

In the short term, that doesn’t seem like such a big deal. Having an extra $1,000 is nice, but that won’t get your family to Disney World and back. However, over time those little gains start to accelerate. After 10 years you would have $16,289. Another 10 years would bring the total to $26,533 (more than double what you started with). After 50 years your $10,000 would have grown into $114,674. That’s over 10x as much as you started with! And that’s with no effort on your part. Your money is growing more money!

Things to consider <br> A few things to keep in mind when working with compound interest. Your interest rate is a key driver on how quickly your money will grow when it’s compounding. Swap out the 5% interest rate for 1% and you’ll only wind up with $16,446… after 50 years. But crank the rate up to 10% and your 50 year total is $1,173,909!

Monthly contributions also make a big splash on your compound interest outcome. Just contributing $100 a month to your initial $10,000 dollars with a 5% interest rate more than triples your total to $365,892!

So… is it magic? <br> Those calculations may seem like sorcery. But you don’t need a book of magic spells to leverage compound interest and put your money to work. It just comes down to simple math that we’ve known about for centuries.(3) The key to growing your money is to think of it like a seed rather than something you exchange for a good or service. Make plans to meet with a licensed financial professional to discuss how the power of compound interest can help lay the groundwork for your savings strategy.


4.1#1,2,3,5,7,9,16
4.2#1,2,3,5ad,8,11
4.3#1-5,7,15,16,21(optional)
4.4#1,4,6,17,18(optional)
4.6#4-8,14ad,17
4.7#1-8,11-13,16
Ch Review p.293 #3,5-8,10-13,15,16,18,19

Getting started activity- A-H and #1-4
5.1 Reflecting questions A,B,C, #1-4
5.2#1-4,7,11,12,15,19
5.3#1-4,15
Mid Unit Review (any 6 of the 9 questions)
5.4#1-3,4,9,(12 optional), 15
5.5 #1-4,6 (will accept 5-8 of any questions from this asn’t for credit)
5.6#1-3,5,6,9
Review asn’t p. 367 ODD #1-21 (#15 optional)


شاهد الفيديو: الرياضيات المالية الجزء 2 الفائدة المركبة (شهر اكتوبر 2021).