مقالات

6.4: القيمة الحالية للمعاش السنوي والدفع بالتقسيط


أهداف التعلم

ستتعلم في هذا القسم:

  1. أوجد القيمة الحالية للمعاش السنوي.
  2. ابحث عن مبلغ الأقساط على القرض.

القيمة الحالية للزمن

في القسم 6.2 ، تعلمنا إيجاد القيمة المستقبلية لمبلغ إجمالي ، وفي القسم 6.3 ، تعلمنا إيجاد القيمة المستقبلية لمعاش سنوي. وبوجود هذين المفهومين في متناول اليد ، سنتعلم الآن كيفية إطفاء القرض ، وإيجاد القيمة الحالية للمعاش السنوي.

ال القيمة الحالية من القسط السنوي هو مبلغ المال الذي سنحتاجه الآن حتى نتمكن من سداد الدفعات في الأقساط السنوية في المستقبل. بمعنى آخر ، القيمة الحالية هي القيمة الحالية لتيار مستقبلي من المدفوعات.

نبدأ بتقسيم هذا خطوة بخطوة لفهم مفهوم القيمة الحالية للمعاش السنوي. بعد ذلك ، توفر الأمثلة طريقة أكثر فاعلية لإجراء الحسابات من خلال العمل مع المفاهيم والحسابات التي اكتشفناها بالفعل في القسمين 6.2 و 6.3.

لنفترض أن كارلوس يمتلك شركة صغيرة ويوظف مديرًا مساعدًا لمساعدته في إدارة العمل. افترض أنه 1 يناير الآن. يخطط كارلوس لدفع مكافأة لمساعد مديره بقيمة 1000 دولار في نهاية هذا العام ومكافأة أخرى بقيمة 1000 دولار في نهاية العام التالي. حققت أعمال كارلوس أرباحًا جيدة هذا العام ، لذا فهو يريد وضع الأموال الخاصة بمكافآت مساعده المستقبلية في حساب توفير الآن. سيحصل المال الذي يضعه الآن على فائدة بمعدل 4٪ سنويًا تتراكم سنويًا أثناء وجوده في حساب التوفير.

ما مقدار المال الذي يجب أن يضعه كارلوس في حساب التوفير الآن حتى يتمكن من سحب 1000 دولار بعد عام واحد من الآن و 1000 دولار أخرى بعد عامين من الآن؟

في البداية ، يبدو هذا وكأنه صندوق غارق. لكن الأمر مختلف. في صندوق غرق ، نضع أموالًا في الصندوق مع مدفوعات دورية للادخار حتى تتراكم إلى مبلغ مقطوع محدد يمثل القيمة المستقبلية في نهاية فترة زمنية محددة.

في هذه الحالة ، نريد أن نضع مبلغًا إجماليًا في حساب التوفير الآن ، بحيث يكون المبلغ الإجمالي هو المبلغ الأساسي ، ( mathrm {P} ). ثم نريد سحب هذا المبلغ كسلسلة من المدفوعات على فترات ؛ في هذه الحالة ، تكون عمليات السحب بمثابة راتب سنوي يدفع 1000 دولار في نهاية كل عامين.

نحتاج إلى تحديد المبلغ الذي نحتاجه في الحساب الآن ، القيمة الحالية ، حتى نتمكن من سحب المدفوعات الدورية لاحقًا.

نستخدم صيغة الفائدة المركبة من القسم 6.2 مع (r ) = 0.04 و (n ) = 1 للتركيب السنوي لتحديد القيمة الحالية لكل دفعة قدرها 1000 دولار.

ضع في اعتبارك الدفعة الأولى البالغة 1000 دولار في نهاية العام 1. دع P1 تكون قيمتها الحالية

[ $ 1000 = P_ {1} (1.04) ^ {1} text {so} P_ {1} = $ 961.54 nonumber ]

الآن ضع في اعتبارك الدفعة الثانية البالغة 1000 دولار في نهاية العام 2. دع P2 هي قيمته الحالية

[ $ 1000 = P_ {2} (1.04) ^ {2} text {so} P_ {2} = $ 924.56 nonumber ]

لتسديد دفعات 1000 دولار في الأوقات المحددة في المستقبل ، فإن المبلغ الذي يحتاج كارلوس إلى إيداعه الآن هو القيمة الحالية (P = P_ {1} + P_ {2} = $ 961.54 + $ 924.56 = $ 1886.10 )

كان الحساب أعلاه مفيدًا لتوضيح معنى القيمة الحالية للمعاش السنوي.
لكنها ليست طريقة فعالة لحساب القيمة الحالية. إذا كان لدينا عدد كبير من مدفوعات الأقساط السنوية ، فسيكون الحساب خطوة بخطوة طويلًا ومضجرًا.

مثال ( PageIndex {1} ) يحقق ويطور طريقة فعالة لحساب القيمة الحالية لمعاش سنوي ، من خلال ربط القيمة المستقبلية (المتراكمة) لمعاش سنوي وقيمته الحالية.

مثال ( PageIndex {1} )

لنفترض أنك ربحت يانصيبًا يدفع 1000 دولار شهريًا على مدار العشرين عامًا القادمة. لكنك تفضل الحصول على المبلغ بالكامل الآن. إذا كان سعر الفائدة 8٪ كم ستقبل؟

حل

تحتاج مشكلة القيمة الحالية الكلاسيكية هذه إلى اهتمامنا الكامل لأن التبرير الذي نستخدمه لحل هذه المشكلة سيتم استخدامه مرة أخرى في المشكلات التي يجب اتباعها.

ضع في اعتبارك ، لأغراض الجدال ، أن شخصين هما السيد كاش والسيد كريديت قد ربحا نفس اليانصيب البالغ 1000 دولار شهريًا على مدار العشرين عامًا القادمة. السيد كريديت سعيد بدفعه الشهري البالغ 1000 دولار ، ولكن السيد كاش يريد الحصول على المبلغ بالكامل الآن.

مهمتنا هي تحديد المبلغ الذي يجب أن يحصل عليه السيد كاش. نحن نسبب ما يلي:

إذا قبل السيد كاش P بالدولار ، فإن P بالدولار المودع بنسبة 8 ٪ لمدة 20 عامًا يجب أن ينتج عنه نفس المبلغ مثل الدفعات الشهرية البالغة 1000 دولار لمدة 20 عامًا. بمعنى آخر ، نحن نقارن القيم المستقبلية لكل من السيد كاش والسيد كريديت ، ونود أن تتساوى القيم المستقبلية.

نظرًا لأن السيد كاش يتلقى مبلغًا مقطوعًا قدره (س ) دولارات ، يتم إعطاء قيمته المستقبلية من خلال صيغة المبلغ المقطوع التي درسناها في القسم 6.2 ، وهو كذلك

[ mathrm {A} = mathrm {P} (1 + .08 / 12) ^ {240} nonumber ]

نظرًا لأن السيد Credit يتلقى سلسلة من المدفوعات ، أو راتب سنوي ، بقيمة 1000 دولار شهريًا ، يتم تقديم قيمته المستقبلية من خلال صيغة الأقساط التي تعلمناها في القسم 6.3. هذه القيمة

[ mathrm {A} = frac { $ 1000 left [(1 + .08 / 12) ^ {240} -1 right]} {. 08/12} nonumber ]

الطريقة الوحيدة التي سيوافق بها السيد كاش على المبلغ الذي يحصل عليه هي إذا كانت هاتان القيمتان المستقبليتان متساويتين. لذلك جعلناهم متساويين ونحل العدد المجهول.

[ ابدأ {مجموعة} {l}
mathrm {P} (1 + .08 / 12) ^ {240} = frac { $ 1000 left [(1 + .08 / 12) ^ {240} -1 right]} {. 08/12 }
mathrm {P} (4.9268) = 1000 $ (589.02041)
mathrm {P} (4.9268) = 589020.41 دولارًا
mathrm {P} = $ 119،554.36
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

القيمة الحالية لمعاش سنوي عادي قدره 1000 دولار شهريًا لمدة 20 عامًا بنسبة 8 ٪ هي 119،554.36 دولارًا أمريكيًا

يجب أن يلاحظ القارئ أيضًا أنه إذا أخذ السيد كاش مبلغه الإجمالي ( mathrm {P} ) = 119،554.36 دولارًا أمريكيًا واستثمره بنسبة 8 ٪ مركبة شهريًا ، فسيكون لديه قيمة متراكمة من ( mathrm {A} ) = 589،020.41 دولارًا في 20 عامًا.

سداد أقساط على قرض

إذا احتاج شخص أو شركة إلى شراء شيء ما أو دفع ثمنه الآن (سيارة ، منزل ، رسوم جامعية ، معدات لمشروع تجاري) ولكن لا يملك المال ، فيمكنه اقتراض المال كقرض.

يتلقون مبلغ القرض المسمى المبلغ الأساسي (أو القيمة الحالية) الآن ويلتزمون بسداد المبلغ الأساسي في المستقبل على مدى فترة زمنية محددة (مدة القرض) ، كدفعات دورية منتظمة مع الفائدة.

يفحص المثال ( PageIndex {2} ) كيفية حساب دفعة القرض ، باستخدام منطق مشابه لـ Example ( PageIndex {1} ).

مثال ( PageIndex {2} )

ابحث عن الدفعة الشهرية للسيارة التي تبلغ تكلفتها 15000 دولار إذا تم إطفاء القرض على مدى خمس سنوات بمعدل فائدة 9٪.

حل

مرة أخرى ، ضع في اعتبارك السيناريو التالي:

يذهب شخصان ، السيد كريديت ، لشراء نفس السيارة التي تبلغ تكلفتها 15000 دولار. يدفع النقد نقدًا ويذهب بعيدًا ، لكن كريديت يريد سداد دفعات شهرية لمدة خمس سنوات.

مهمتنا هي تحديد مبلغ الدفعة الشهرية. يدفع الائتمان مليون دولار شهريًا ، ثم يجب أن ينتج عن المبلغ المودع بالمليون دولار شهريًا بنسبة 9 ٪ لمدة 5 سنوات نفس المبلغ الذي تم إيداعه بمبلغ 15000 دولار أمريكي لمدة 5 سنوات.

مرة أخرى ، نحن نقارن القيم المستقبلية لكل من السيد كريديت ، ونود أن تكون هي نفسها.

نظرًا لأن السيد كاش يدفع مبلغًا مقطوعًا قدره 15000 دولار ، فإن قيمته المستقبلية تُعطى بواسطة صيغة المبلغ المقطوع ، وهي كذلك

[ $ 15000 (1 + .09 / 12) ^ {60} nonumber ]

يرغب السيد كريديت في إجراء سلسلة من الدفعات ، أو راتب سنوي ، بقيمة (x ) دولار شهريًا ، ويتم تحديد قيمتها المستقبلية من خلال صيغة الأقساط السنوية ، وهذه القيمة هي

[ frac { mathrm {x} left [(1 + .09 / 12) ^ {60} -1 right]} {. 09/12} nonumber ]

جعلنا المقدار المستقبلي متساويين ونحل قيمة المجهول.

[ ابدأ {مجموعة} {l}
$ 15000 (1 + .09 / 12) ^ {60} = frac {m left [(1 + .09 / 12) ^ {60} -1 right]} {. 09/12}
15000 دولار (1.5657) = م (75.4241)
311.38 دولار = م
نهاية {مجموعة} غير رقم ]

لذلك ، فإن الدفعة الشهرية اللازمة لسداد القرض هي 311.38 دولارًا أمريكيًا لمدة خمس سنوات.

القسم 6.4 ملخص

نلخص الطريقة المستخدمة في الأمثلة ( PageIndex {1} ) و ( PageIndex {2} ) أدناه.

معادلة إيجاد القيمة الحالية للمعاش السنوي,

أو دفعة التقسيط للحصول على قرض

إذا تم دفع مبلغ (م ) دولارات في حساب (n ) مرات في السنة بفائدة (r ) ، فإن القيمة الحالية ( mathrm {P} ) من الأقساط السنوية بعد (t ) سنوات

[ mathbf {P} ( mathbf {1} + mathbf {r} / mathbf {n}) ^ { mathbf {n} mathbf {t}} = frac { mathbf {m} left [( mathbf {1} + mathbf {r} / mathbf {n}) ^ { mathbf {n} mathbf {t}} - mathbf {1} right]} { mathbf {r} / mathbf {n}} ]

عند استخدامه لقرض ، يكون المبلغ ( mathrm {P} ) هو مبلغ القرض ، و (m ) هو الدفعة الدورية اللازمة لسداد القرض على مدى (t ) سنوات مع ( n ) المدفوعات في السنة.

إذا كانت القيمة الحالية أو مبلغ القرض مطلوبًا ، فقم بحل (P )

إذا كانت هناك حاجة إلى الدفع الدوري ، فقم بحل (م ).

لاحظ أن الصيغة تفترض أن فترة السداد هي نفس الفترة المركبة. إذا لم تكن هذه هي نفسها ، فإن هذه الصيغة لا تنطبق.

أخيرًا ، نلاحظ أن العديد من كتب الرياضيات والمالية المحدودة تطور صيغة القيمة الحالية للمعاش بشكل مختلف.

بدلاً من استخدام الصيغة:

[ mathrm {P} (1+ mathrm {r} / mathrm {n}) ^ { mathrm {nt}} = frac { mathrm {m} left [(1+ mathrm {r} / mathrm {n}) ^ { mathrm {nt}} - 1 right]} { mathrm {r} / mathrm {n}} label {6.4.1} ]

وحل القيمة الحالية ( mathrm {P} ) بعد استبدال القيم العددية للعناصر الأخرى في الصيغة ، تقوم العديد من الكتب المدرسية أولاً بحل معادلة ( mathrm {P} ) من أجل تطوير صيغة القيمة الحالية. ثم يمكن استبدال المعلومات الرقمية في صيغة القيمة الحالية وتقييمها ، دون الحاجة إلى حل جبري لـ ( mathrm {P} ).

طريقة بديلة للعثور على القيمة الحالية للمعاش السنوي

تبدأ بالصيغة المرجع {6.4.1}: ( mathrm {P} (1+ mathrm {r} / mathrm {n}) ^ { mathrm {nt}} = frac { mathrm {m} يسار [(1+ mathrm {r} / mathrm {n}) ^ { mathrm {nt}} - 1 right]} { mathrm {r} / mathrm {n}} )

قسّم كلا الجانبين على ((1 + r / n) ^ {n t} ) لعزل ( mathrm {P} ) وتبسيط

[P = frac {m left [(1 + r / n) ^ {nt} -1 right]} {r / n} cdot frac {1} {(1 + r / n) ^ { nt}} غير رقم ]

[P = frac {m left [1- (1 + r / n) ^ {- n t} right]} {r / n} label {6.4.2} ]

يعتقد مؤلفو هذا الكتاب أنه من الأسهل استخدام الصيغة ref {6.4.1} في الجزء العلوي من هذه الصفحة وحلها من أجل ( mathrm {P} ) أو (m ) حسب الحاجة. في هذا النهج ، هناك عدد أقل من الصيغ التي يجب فهمها ، ويجد العديد من الطلاب أنه من الأسهل تعلمها. في المشاكل المتبقية من هذا الفصل ، عندما تتطلب مشكلة حساب القيمة الحالية لمعاش سنوي ، سيتم استخدام الصيغة المرجع {6.4.1}.

ومع ذلك ، يفضل بعض الأشخاص الصيغة ref {6.4.2} ، ومن الصحيح رياضيًا استخدام هذه الطريقة. لاحظ أنه إذا اخترت استخدام الصيغة ref {6.4.2} ، فعليك توخي الحذر عند التعامل مع الأس السالب في الصيغة. وإذا احتجت إلى إيجاد السداد الدوري ، فستظل بحاجة إلى إجراء الجبر لإيجاد قيمة m.

سيكون من الجيد مراجعة مدرسك لمعرفة ما إذا كان لديه تفضيل أم لا. في الواقع ، يمكنك عادةً إخبار مدرسك بما يفضله من خلال ملاحظة كيفية شرحه أو شرحها لهذه الأنواع من المشكلات في الفصل.


القيمة الحالية لمعاش

القيمة الحالية للقسط السنوي هي سلسلة من الأقساط النقدية التي تتم على مدى فترة زمنية معينة. في القسط السنوي العادي ، يتم توزيع هذه المدفوعات في نهاية فترة الدفع. ولكن إذا كنت ستضخ أموالًا في المعاش السنوي اليوم ، فما قيمة هذه الأموال الآن ، مع العلم أنك ستتلقى مدفوعات مستقبلية؟

تشير كلمة "قيمة" هنا إلى الحدود المالية التي يمكن أن تصل إليها سلسلة من المدفوعات. القيمة الحالية للراتب السنوي هي قيمة الأموال التي ستستثمرها الآن كمقابل سنوي ، وتتأثر بشكل مباشر بالفوائد والمدفوعات التي ستدفعها الأقساط في المستقبل.

من أجل تحقيق ذلك ، تراعي هذه الصيغة ما يُعرف بالقيمة الزمنية للنقود. ببساطة ، الأموال التي تستثمرها الآن لها قيمة أكبر من نفس المبلغ الذي ستستثمره في المستقبل. هذا لأن الأموال التي تستثمرها الآن لديها فترة زمنية أطول لتراكم الفائدة. عند البحث عن القيمة الحالية للمعاش السنوي ، إذا كان لديك خيار دفع 1000 دولار اليوم أو استثمار 1000 دولار اليوم ، فستكون قيمة الأموال المستثمرة أعلى بسبب قدرتها على كسب الفائدة.


كيف يتم اشتقاق صيغة الدفع السنوية المتزايدة باستخدام القيمة الحالية؟

تم العثور على صيغة حساب الدفعة الأولية على راتب سنوي متزايد من خلال إعادة ترتيب القيمة الحالية لصيغة الأقساط المتزايدة

يمكن حساب الدفعة الأولية عن طريق قسمة كلا الجانبين على الجزء الثاني من الصيغة الموضحة أعلاه مباشرة ، والتي يمكن عرضها على شكل

هذا يترك الدفعة الأولية مساوية للقيمة الحالية مقسومة على هذا القسم الثاني. يمكن بعد ذلك تبسيط ذلك بضرب PV في مقلوب المقام ، مما سيعيد الصيغة الموضحة في أعلى الصفحة.


الفصل الرابع: المعاشات والقروض

استمر في إيداع نفس المبلغ في كل عيد ميلاد لاحق حتى كان
31 سنة. بعد إيداع $ 3،300
في عيد ميلاده الحادي والثلاثين ، قرر أوريا التخلي عن خطة الادخار الخاصة به.

لم يدخر مرة أخرى ، لكنه ترك المدخرات المتراكمة في الحساب المصرفي. دفع البنك سعر فائدة 11.5٪.

القيمة المستحقة = PMT x [(1 + i) ^ n - 1] / i

القيمة المالية المستحقة = 3300 × [(1 + 0.115) ^ 14 - 1] / 0.115

القيمة المالية المستحقة = 103،028.1454 دولار

الجزء 2: 31 إلى 65
FV للفائدة السنوية

PV = 103،028.1454 دولارًا
ن = 34
أنا = 11.5٪

لأن 2 هي الدفعة الأخيرة ولكن 3 عند انتهاء تلك الفترة.

PMT = FVannuity / [(1 + i) ^ n - 1] / i

PMT = 16000
---------
[ ( 1 + 0.03 ) ^ (5) - 1 ] / 0.03

عادي = متأخرات (ابدأ لاحقًا)

مناسبة للإيصالات:
مدفوعات الإيجار ، وقسط التأمين على الحياة ، وما إلى ذلك ، تدفع فاتورة بطاقة الائتمان الخاصة بك لشهر سبتمبر مقابل الرسوم المتكبدة في أغسطس)

PV:
& quot ما الذي يجب أن أدفعه لك الآن للحصول على 10٪ من أرباحك لبقية حياتك؟ & quot

FV: إذا كان لديّ 1.00 دولار اليوم ، فماذا أتوقع بشكل معقول أن يكون هذا يستحق في غضون عام من خلال الاستثمار؟

المعاش المستحق - عدد فترات الفائدة أقل من عدد الدفعات بمدة واحدة

المعاش المستحق = ابدأ الآن (-1 = عادي)

مناسبة للدفعات:
قرض الإسكان ، ودفع الرهن العقاري ، والسندات التي تحمل قسيمة ، وما إلى ذلك.

PV:
إذا بدأ عقد الإيجار الخاص بك في يناير ، فيمكنك ميزانية أقل لفاتورة ديسمبر ، نظرًا لأن لديك 11 شهرًا لاستثمارها وعرضها للوصول إلى مستوى الإيجار المطلوب.

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
أنا
قيمة PVannuity = 100 x (1 - (1 / (1 + 0.10) ^ 4)
---------------
0.10
PVannuity = 316.99 دولارًا

لذا ، أدخل & quot30 & quot في المربع & quot؛ سنوات دخل التقاعد & quot. افترض أن معدل الفائدة 8٪. أدخل & quot75000 & quot ك & quot دخلك الدوري في التقاعد. & quot

القيمة السنوية المستحقة = PMT x [(1 + i) ^ n - 1] / i x (1 + i)

الأجر السنوي المستحق = 100 دولار أمريكي × [(1 + 0.10) ^ 4 - 1] / 0.10 × (1 + 0.10)

الأجر السنوي المستحق = 100 دولار أمريكي × [(1 + 0.10) ^ 4 - 1] / 0.10 × (1 + 0.10)

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
أنا
قيمة PVannuity = 33000 × (1 - (1 / (1 + 0.13) ^ 8)
---------------
0.13
PVannuity = 158359.42 دولارًا أمريكيًا

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
أنا
قيمة PVannuity = 24000 × (1 - (1 / (1 + 0.09) ^ 18)
---------------
0.09

ما هي القيمة الحالية لتلك المدفوعات بعد عام واحد من اليوم؟

PMT = 250 دولارًا
أنا = 5.6٪
ن = 2 لأنها تبدأ في عام واحد

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
-----------
أنا
PVannuity = 250 × (1- (1 / (+1+0.056) ^ 2)
---------------
0.056

إذا تقاعدت في سن 67 ، فستكون الاستحقاق 2،256 دولارًا أمريكيًا في الشهر. إذا كنت تتوقع أن تعيش حتى سن 85 ، فمتى يجب أن تتقاعد وتبدأ في المطالبة بمزايا التقاعد؟

نظرًا لأن الفوائد مؤكدة ما دمت على قيد الحياة ، فإن معدل الخصم المناسب هو السعر الخالي من المخاطر. نظرًا لأننا لا ندمج التضخم في الفوائد ، يجب علينا استخدام سعر فائدة حقيقي.

المعدل الحقيقي الخالي من المخاطر هو 2٪ سنويًا. افترض أنه يتم تحصيل المزايا في نهاية كل شهر. عبر عن إجابتك على أنها الاختلاف في القيمة المستقبلية للمزايا.

لحل القيمة الحالية لتدفقات التدفق النقدي المختلط ، نجد القيمة الحالية للمعاش السنوي ، ثم نضيف القيمة الحالية لأي تدفقات نقدية أخرى.

1. ابحث عن PV للدفعة الأولى (1835 دولارًا أمريكيًا)

للدفعة الأولى المستلمة في السنة الأولى ، الاستبدال
FV = 1،835 دولار
أنا = 0.02
ن = 1
في القيمة الحالية

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (1،835 دولارًا أمريكيًا) / (1 + 0.02) ^ 1
PV = 1799.02 دولار

وبالتالي ، فإن القيمة الحالية لـ
1،835 دولارًا مخفضًا في
2.0٪ لمدة عام واحد هو 1،799.02 دولار

2. البحث عن PV من الدفعة الثانية ($ 2،256)
للدفعة الثانية المستلمة في السنة الثانية ، الاستبدال

FV = 2256 دولارًا
أنا = 0.02 ،
ن = 2 (سنتان من الآن)
في معادلة القيمة الحالية

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (2،256) / (1 + 0.02) ^ 2
PV = 2168.40 دولارًا أمريكيًا

وبالتالي ، فإن القيمة الحالية لـ
2،256 دولارًا بسعر مخفض
2٪ لمدة سنتين هي 2،168.40 دولار.

3. البحث عن PV من الأقساط
للعثور على القيمة الحالية للقسط السنوي العادي مع المدفوعات في السنوات من 3 إلى 20 ، تحتاج أولاً إلى حساب قيمة الأقساط السنوية في السنة 2 ثم خصم القيمة لمدة عامين للعثور على قيمتها الحالية في السنة 0.

استخدم برنامج EXCEL
PMT = الرقم الأول
أنا = 0.120
ن = 23

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
أنا
PVann = 20.00 دولارًا × (1- (1 / (1 + 0.02) ^ 23)
---------------
0.02
PVannuity = 365844.08 دولارًا أمريكيًا

4. إحضار PV إلى الوقت صفر
لجلب القيمة الحالية إلى الوقت صفر ، يجب خصم القيمة الحالية للمعاش السنوي لمدة عامين آخرين:

FV = 365844.08 دولارًا
أنا = 0.0 2
ن = 2 (بدأت المدفوعات نهاية العام 2)

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (365844.08) / (1 + 0.02) ^ 2
PV = 351،637.91 دولارًا

5. أضف جميع تدفقات التدفق النقدي
أخيرًا ، القيمة الحالية لتيار التدفقات النقدية هذا هي مجموع القيم الحالية للمدفوعات من العامين 1 و 2 والمعاش السنوي في السنوات من 3 إلى 22:

PV0 = 1799.02 دولارًا أمريكيًا + 2168.40 دولارًا أمريكيًا + 351.637.91 دولارًا أمريكيًا

سيكون أول دفعتين
28000 دولار و 25000 دولار في عام وسنتين على التوالي ، ثم 15000 دولار سنويًا بعد ذلك لمدة 20 عامًا.

لحل القيمة الحالية لتدفقات التدفق النقدي المختلط ، نجد القيمة الحالية للمعاش السنوي ، ثم نضيف القيمة الحالية لأي تدفقات نقدية أخرى.

1. البحث عن PV من الدفعة الأولى

للدفعة الأولى المستلمة في السنة الأولى ، الاستبدال
FV = 28000 دولار ،
أنا = 0.120
ن = 1 (سنة واحدة من الآن)
في القيمة الحالية

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (28000) / (1 + 0.120) ^ 1
PV = 25000.00 دولار

وبالتالي ، فإن القيمة الحالية لـ
28000 دولار مخصومة في
12.0٪ لمدة عام واحد هو 25000.00 دولار

2. البحث عن PV من الدفعة الثانية
للدفعة الثانية المستلمة في السنة الثانية ، الاستبدال

FV = 25000 دولار ،
أنا = 0.120 ،
ن = 2 (سنتان من الآن)
في معادلة القيمة الحالية

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (25000) / (1 + 0.120) ^ 2
PV = 19،929.85 دولارًا

وبالتالي ، فإن القيمة الحالية لـ
25000 دولار مخفضة في
12.0٪ لمدة سنتين هي 19،929.85 دولار.

3. البحث عن PV من الأقساط
يحتوي جزء الأقساط السنوية من التدفقات النقدية على 20 دفعة مع الدفعة الأولى في السنة 3 ، وبالتالي فإن تطبيق معادلة الأقساط السنوية يعطي القيمة الحالية اعتبارًا من السنة 2 (قبل عام واحد من الدفعة الأولى). أستعاض

في معادلة القيمة الحالية لمقابل سنوي عادي يعطي المبلغ في نهاية السنة 2

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
أنا
PVann = 15000 دولار × (1- (1 / (1 + 0.120) ^ 20)
---------------
0.120
PVannuity = 112،041.65 دولارًا أمريكيًا

4. إحضار PV إلى الوقت صفر
لجلب القيمة الحالية إلى الوقت صفر ، يجب خصم القيمة الحالية للمعاش السنوي لمدة عامين آخرين:

FV = 112،041.65 دولارًا أمريكيًا
أنا = 0.120
ن = 2 (بدأت المدفوعات نهاية العام 2)

PV = (FV) / (1 + i) ^ n
PV = (112،041.65) / (1 + 0.120) ^ 2
PV = 89318.92 دولارًا

5. أضف جميع تدفقات التدفق النقدي
أخيرًا ، القيمة الحالية لتيار التدفقات النقدية هذا هي مجموع القيم الحالية للمدفوعات من العامين 1 و 2 والمعاش السنوي في السنوات من 3 إلى 22:

PV0 = 25000.00 دولارًا أمريكيًا + 19.929.85 دولارًا أمريكيًا + 89318.92 دولارًا أمريكيًا

كم يجب التبرع به لمنح كرسي باسمك إذا كان الراتب والمزايا 78000 دولار وكان معدل الفائدة 7 ٪؟

3. حدد التاريخ البؤري.
هناك اتجاهان فقط يمكنك من خلاله تحريك الأموال: للأمام أو للخلف. إذا اخترت تاريخًا بؤريًا في نهاية الجدول الزمني ، فأنت تتحرك نقدًا إلى الأمام (قيمة مستقبلية). إذا اخترت تاريخًا محوريًا في بداية الجدول الزمني ، فأنت تقوم بنقل الأموال النقدية إلى الوراء (الخصم).

4. تحديد ما إذا كانت التدفقات النقدية مبالغ مقطوعة أو أقساط سنوية.
إذا كان لديك تدفق نقدي واحد أو إذا كان هناك تدفقات نقدية متعددة بمبالغ متفاوتة ، فأنت تتعامل مع مبالغ مقطوعة. إذا كانت هناك تدفقات نقدية متعددة بنفس القيمة ، فسيكون لديك راتب سنوي. (إذا استمر القسط السنوي إلى الأبد ، فسيكون لديك إلى الأبد).

1. ابحث عن القيمة الحالية لكل راتب سنوي عادي

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
أنا
PMT = 15000 دولار
أنا = 4٪
ن = 2

PVannuity = 15 كيلو × (1- (1 / (1+ 0.04) ^ 2)
---------------
0.04
PVannuity = 24291.42 دولارًا أمريكيًا

2. البحث عن القيمة الحالية لكل راتب سنوي عادي

PVannuity = PMT x (1 - (1 / (1 + i) ^ n)
---------------
أنا
PMT = 20000 دولار
أنا = 4٪
ن = 2

PVannuity = 20 كيلو × (1- (1 / (1+ 0.04) ^ 2)
---------------
0.04
PVannuity = 37721.89 دولارًا

3. خصم إلى السنة 0
= 1 / (1 + أنا) ^ ن
= 1 / ( 1 + 0.04 ) ^ 2
= 0.9245

4. إضافة
الخطوة 1 + (الخطوة 2 × الخطوة 3)

الخطوة 1: قم بحل القيمة الحالية لعمليات سحب التقاعد اعتبارًا من تاريخ تقاعدك. عمليات السحب هذه في نهاية الفترة ، لذلك نحسب القيمة الحالية لمعاش سنوي عادي بدفعات شهرية.

ما هي القيمة الحالية عند التقاعد للسحوبات خلال سنوات التقاعد؟

PV = PMT x (1 - (1 / (1+ (i / m)) ^ n x m)
---------------
أنا أكون
PMT = 11000 دولار
أنا = 3.5٪
ن = 25

PVannuity = 11 كيلو × (1- (1 / (1 + 0.035 / 12) ^ 25 × 12)
---------------
0.035/12
PVannuity = 2197259.71 دولارًا أمريكيًا

الخطوة 2: حل مجموعة من الأقساط السنوية لنهاية الفترة التي تساوي قيمتها المستقبلية (عند التقاعد) القيمة الحالية من الخطوة 1. المعادلة المعممة للعثور على الدفعة مع الأخذ في الاعتبار القيمة المستقبلية للمعاش السنوي العادي تعطى على النحو التالي:

القيمة المالية = 2197259.71 دولارًا أمريكيًا
PMT = 11000 دولار
م = 12
أنا = 5.5٪ / 12
أنا = 0.00458
ن = 360

PMT = FVannuity / [(1 + i) ^ (n) - 1] / i
PMT = 2197259.71 دولارًا أمريكيًا / [(1 + 0.00458) ^ (360) - 1] /0.00458

يقول محاميك أنه يمكنك توقع دفع تعويضات من شركة التأمين التابعة للمقهى
8000 دولار سنويًا لمدة 12 عامًا.

حل أولاً من أجل PV من الأقساط السنوية في الوقت 1

PVan = PMT x [1 - (1 / ((1 + i) ^ n))] / i

PVan = PMT x [1 - (1 / ((1 + i) ^ n))] / i

PVan = 8000 × [1 - (1 / ((1 + 0.027) ^ 12))] / 0.027

أعد هذا PV إلى الوقت 0.

بالون = FVn = الرئيسي × (1 + i) ^ n

بالون = FVn = الرئيسي × (1 + i) ^ n

بالون = 100،000 × (1.11 ^ 5)

بالون = FVn = الرئيسي × (1 + i) ^ n

FVannuity = PMT x [(1 + i) ^ n - 1] / i

القيمة المالية = 367.21 دولارًا أمريكيًا × [(1 + 0.05) ^ 3 - 1] / 0.05

مقدار الفائدة المكتسبة بسبب إعادة الاستثمار هو مجرد الفرق بين القيمة المستقبلية للمدفوعات الثلاث ومجموع المدفوعات الثلاثة. هذا المبلغ هو ما كنت ستحصل عليه في السنة الثالثة إذا لم تكسب أي فائدة من خلال إعادة الاستثمار. على سبيل المثال ، إذا قمت بحشو المدفوعات تحت مرتبتك!

مقدار الفائدة المتضمن في الدفعات الثلاث هو الفرق بين مجموع الدفعات الثلاث وأصل القرض.

الفائدة على المدفوعات = (3 × 367.21 دولارًا أمريكيًا) - 1000 دولار أمريكي = 101.63 دولارًا أمريكيًا

يسلط هذا المثال الضوء على نقطتين مهمتين حول القروض المطفأة:

تأتي الفائدة على مدفوعات القروض المطفأة في شكلين: (1) كل دفعة تحتوي على فائدة و (2) يتلقى المُقرض المدفوعات قبل نهاية المدة وبالتالي يمكن كسب الفائدة من خلال استثمارها.

رأس المال = 29000 دولار
PVIFA = [(1 / (1 + i) ^ n) - 1] / i
PVIFA = [(1 / (1 + 0.12) ^ 6) - 1] / 0.12

إجمالي الفائدة التي يدفعها المقترض على مدى فترة القرض هي:

إجمالي الفائدة = (الدفع × عدد المدفوعات) − مبلغ القرض

رأس المال = 3300 دولار
PVIFA = [(1 / (1 + i) ^ n) - 1] / i
PVIFA = [(1 / (1 + 0.06) ^ 2) - 1] / 0.06

2. استحقاق الفائدة
= الملكية الرئيسية x i

4. سداد أصل القرض
= PMT - الفوائد المستحقة

5. أصل الدين في نهاية العام
= الملكية الرئيسية السابقة - العلاقات العامة

لاحظ أن الدفعة المقدمة غير مخصومة لأنها تحدث في الوقت 0 عند توقيع عقد الإيجار.

لاحظ أيضًا أن الاستحواذ متضمن. يتم تضمينه بغض النظر عما إذا اخترت ممارسة خيار الاستحواذ لأن الجانب الأيسر يجب أن يساوي الجانب الأيمن من المعادلة.

تبلغ تكلفة سيارة BMW 650i Cabriolet سعر التجزئة المقترح من الشركة المصنعة (MSRP) وهو 105500 دولار (افترض أن هذا السعر يشمل جميع المصاريف النثرية ، مثل الشحن وإعداد الوكيل ، اللازمة لإخراج السيارة من المجموعة).

رأس المال = 105000 دولار
الدفعة المقدمة = 0 دولار
PVIFAdue = 32.1692 دولارًا أمريكيًا
PMT =؟
الشراء = 58.025 دولارًا
PVIF = 0.7896

PMT = (الرئيسي - الدفعة المقدمة - Buyout * PVIF) / PVIFAdue

لأن معادلة قيمة عقود الإيجار تساوي أصل المعاملة (سعر السيارة) إلى القيمة الحالية لجميع المدفوعات بموجب عقد الإيجار اللازمة لسداد هذا الالتزام بالكامل.

فترة إطفاء الوحدات السكنية النموذجية هي 25 سنة. وبالتالي ، سيستغرق المقترض 25 عامًا لسداد القرض بالكامل.

ي = [(1 + (i / 2)) ^ (2 / م)] - 1

ي = [(1 + (0.05 / 2)) ^ (2/12)] - 1

1. ابحث عن j
ي = [(1 + (i / 2)) ^ (2 / م)] - 1

PVIFA = (i / j) x [1 - (1 / ((1 + j) ^ nxm)]
(ي ، 300)

j = [(1 + (0.065 / 2)) ^ (2/52)] - 1

لأن المدة أقصر من (أو تساوي) فترة الاستهلاك وهي الفترة التي يتم خلالها الاتفاق على معدل الفائدة (والمدفوعات).

رأس المال = 200000 دولار
PVIFA = [(1 / (1 + i) ^ n) - 1] / i
PVIFA = [(1 / (1 + 0.11) ^ 25) - 1] / 0.11

2. استحقاق الفائدة
= الملكية الرئيسية x i
= 200000 × 0.11
= $22,000

4. سداد أصل القرض
= PMT - الفوائد المستحقة
= $23,748.05 - $22,000
= $1748.05

5. أصل الدين في نهاية العام
= الملكية الرئيسية السابقة - العلاقات العامة
= $200,000 - $1748.05
= $198,251.95

سيارة BMW M5
الدفع الخلفي ، 500 حصان ، 0-100 في 4.7 ثانية
MSRP = 90000 دولار
المدة = 24 شهر
أبريل = 3.5٪
دفعة أولى =
المدفوعات الشهرية = 3888.24 دولار

عدد المدفوعات = 24
الدفعة = 3888.24 دولار
رأس المال = 90.000 دولار

الفائدة على المدفوعات = 24 × 3888.24 دولارًا أمريكيًا - 90 ألف دولار أمريكي

ي = [(1 + (0.056 / 2)) ^ (2/12)] - 1

أصل المبلغ = 47000 دولار
الدفعة المقدمة = 0 دولار
PVIFAdue = 42.33195011 دولارًا أمريكيًا
PMT =؟
الشراء = 19000 دولار
PVIF = 0.777757261

PMT = (الرئيسي - الدفعة المقدمة - Buyout * PVIF) / PVIFAdue

PMT = (47000 دولار - 0 - 19000 دولار * 0.777757261) / 42.33195011 دولارًا أمريكيًا

1. ابحث عن j
ي = [(1 + (i / 2)) ^ (2 / م)] - 1
j = [(1 + (0.049 / 2)) ^ (2 / لكل منهما)] - 1

PVIFA = (i / j) x [1 - (1 / ((1 + j) ^ nxm)]
(ي ، م)

1. احسب الدفع
PMT = المدير / PVIFA

رأس المال = 200000 دولار
PVIFA = [(1 / (1 + i) ^ n) - 1] / i
PVIFA = [(1 / (1 + 0.11) ^ 25) - 1] / 0.11

ب. بعد عامين تريد سداد المبلغ الأساسي المتبقي وإنهاء القرض. كم مدين بعد سنتين؟

ج. بعد عامين ما مقدار الفائدة التي دفعتها؟

د. اليوم هو الذكرى السنوية الثانية لبدء القرض وقد قمت للتو بتسديد دفعة القرض. ما مقدار الفائدة التي سيتم تضمينها في دفعة القرض التالية؟

أ) ما هي دفعات الإيجار قبل الضريبة مع عدم وجود دفعة أولى؟

ب) مع عقود الإيجار ، يتم دفع ضريبة المبيعات على مدفوعات الإيجار والاستحواذ. إذا كان معدل ضريبة المبيعات 4٪ فما هي القيمة الحالية للضرائب المدفوعة على عقد الإيجار عند خصمها بسعر الإيجار؟

أ) ما هي دفعات الإيجار قبل الضريبة مع عدم وجود دفعة أولى؟

PMT = (الرئيسي - الدفعة المقدمة - Buyout * PVIF) / PVIFAdue

إذا كان معدل ضريبة المبيعات 4٪ فما هي القيمة الحالية للضرائب المدفوعة على عقد الإيجار عند خصمها بسعر الإيجار؟

للعثور على القيمة الحالية للضرائب المدفوعة على مدفوعات الإيجار ، قم بتطبيق نفس الصيغة للقيمة الحالية لعقد الإيجار المستخدم أعلاه ، وضرب مبالغ الدفع والشراء في معدل الضريبة.

تذكر أن معدل الضريبة هو 0.04 ، الدفعة المقدمة = ،
PMT = 8،903.74 دولار أمريكي ، PVIFAdue = 2.907938 ،
الشراء = 23،750 دولارًا أمريكيًا ، و PVIF = 0.909831.

PVtaxes =
(0.04) دفعة مقدمة + (0.04) PMT × PVIFAdue + (0.04) Buyout × PVIF
=
(0.04)$8,903.74×2.907938+(0.04)$23,750×0.909831

ما هي طريقة الشراء التي تولد دفعات أكبر لضرائب التجزئة على أساس القيمة الحالية؟

ج) ضريبة المبيعات على الشراء النقدي

وبالتالي ، فإن سداد القرض الشهري هو 808.33 دولارًا أمريكيًا.

كان الاستحواذ 10560 دولارًا مستحقًا في نهاية مدة عقد الإيجار. الآن (بعد عامين من توقيع عقد الإيجار ولكن قبل دفع الإيجار الخامس والعشرين بقليل) تم إصدار سيارة جديدة بتصميم أفضل وقوة حصانية أكبر بنسبة 20٪. تريد الخروج من عقد الإيجار القديم واستئجار السيارة الجديدة. يسعد تاجر السيارات بأخذ سيارتك القديمة منك وإلغاء عقد الإيجار إذا كان لديك رصيد إيجابي في السيارة. يتم تعريف حقوق الملكية على أنها القيمة السوقية للسيارة (اليوم) مطروحًا منها المبلغ الأساسي القائم. القيمة السوقية لسيارتك القديمة هي
​$17,380.

الأصل = DP + PMT x PVIFAdue + Buyout x PVIF

حل الآن من أجل المبدأ
المتبقية باستخدام معادلة القيمة لعقد الإيجار ، أين
دفعة أولى =،
PMT = 278.92 دولارًا أمريكيًا ،
PVIFAdue = 23.324145 ،
و
PVIF = 0.941835.

2. حقوق الملكية = القيمة السوقية - الملكية الأساسية
وبالتالي ، فإن المبلغ الأساسي المتبقي على مدفوعات الإيجار هو 16451.35 دولارًا.
ابحث الآن عن حقوق الملكية بطرح رأس المال المتبقي من القيمة السوقية لإعادة البيع.

حقوق الملكية = القيمة السوقية − الملكية الأساسية

= $17,380−​$16,451.35
= 928.65 دولار

2. قم بحل عدد السنوات باستخدام شرط أن القيمة الحالية للمبالغ الأساسية تساوي القيمة الحالية للمدفوعات.
PV من الرئيسي = PV من المدفوعات
يتكون رأس المال من جزأين - الرهن الأصلي على الأرض (والذي تم تقديمه بالفعل من حيث القيمة الحالية) وتكاليف تحسين الأرض.

يتم خصم الأخير بواسطة PVIFj ، n × m ،

يتم ضرب مدفوعات الرهن العقاري بـ PVIFAj ، n × m ، حيث يجب حل j = 0.018577 ، و m = 4 ، و n.

الأصل الأصلي + تكاليف تحسين الأرض × PVIF
=
PMT × PVIFA
4100000 دولار أمريكي + 574000 دولار أمريكي × PVIF0.018577 ، 12 × 4
=
90.535 دولارًا أمريكيًا × PVIFA0.018577 ، ن × 4
فيما يلي معادلة PVIFj ، n × m لمبدأ تحسين الأرض ، حيث j هو معدل الفائدة الدوري ، و n هو عدد السنوات التي سيتم خصمها ، و m هو عدد الدفعات في السنة.
PVIFj ، n × m = 1 (1 + j) n × m
حل من أجل PVIFj ، n × m ، حيث j = 0.018577 ، n = 12 ، و m = 4.
PVIFj ، ن × م
=
1 (1 + ي) ن × م
=
1(1+0.018577)12×4
=
0.4133280.413328
(تقريب لأقرب ستة منازل عشرية.)
الصيغة الخاصة بعامل الفائدة للقيمة الحالية لمقابل سنوي عادي ، PVIFAj ، n × m ، معطاة أدناه ، حيث j هو معدل الفائدة الدوري ، n هو عدد السنوات ، و m هو عدد المدفوعات كل سنة.
PVIFAj ، n × m = 1j × 1−1 (1 + j) n × m
اجمع جميع المتغيرات المعروفة في معادلة واحدة حيث n ، عدد سنوات مدفوعات الرهن العقاري ، هو المتغير غير المعروف الوحيد الذي يحتاج إلى حل من أجله.
4100000 دولار أمريكي + 574000 دولار أمريكي × PVIF0.018577 ، 12 × 4
=
90.535 دولارًا أمريكيًا × PVIFA0.018577 ، ن × 4
ابدأ بعزل n.
$4,100,000+$574,000×0.413328
=
90.535 دولارًا أمريكيًا × 1j × 1−1 (1 + j) ن × م
$4,100,000+$574,000×0.413328
=
90.535 دولارًا أمريكيًا × 10.018577 × 1−1 (1 + 0.018577) ن × 4
1−11.018577n
=
0.018577($4,100,000+$574,000×0.413328)$90,535
1−11.018577n
=
0.8899660.889966
(تقريب لأقرب ستة منازل عشرية.)
تواصل عزل ن.
1−11.018577n
=
0.889966
11.018577n
=
1−0.889966
1.018577n
=
11−0.889966
خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الجانبين وحل من أجل n.
1.018577n
=
11−0.889966
ln1.018577n
=
ln11−0.889966
n × ln (1.018577)
=
ln10.110034
ن
=
ln10.110034ln (1.018577)
ن
=
120120
(التقريب إلى أقرب عدد صحيح.)
سيستغرق سداد الرهن 120 ربعًا للسيد جرينجينز. اقسم عدد الأرباع على 4 لتحديد إجمالي عدد السنوات التي سيستغرقها سداد الرهن العقاري.
1204=3030
(التقريب إلى أقرب عدد صحيح.)
وبالتالي ، سوف يستغرق السيد جرينجينز 30 عامًا لسداد الرهن العقاري.
السؤال كامل. اضغط على المؤشرات الحمراء لرؤية الإجابات غير الصحيحة.


جدول الأسعار للقيمة الحالية لمعاش عادي قدره 1

ن 1% 2% 3% 4% 5% 6% 8% 10% 12%
1 0.9901 0.9804 0.9709 0.9615 0.9524 0.9434 0.9259 0.9091 0.8929
2 1.9704 1.9416 1.9135 1.8861 1.8594 1.8334 1.7833 1.7355 1.6906
3 2.9410 2.8839 2.8286 2.7751 2.7233 2.6730 2.5771 2.4869 2.4018
4 3.9020 3.8077 3.7171 3.6299 3.5460 3.4651 3.3121 3.1699 3.0374
5 4.8534 4.7135 4.5797 4.4518 4.3295 4.2124 3.9927 3.7908 3.6048
6 5.7955 5.6014 5.4172 5.2421 5.0757 4.9173 4.6229 4.3553 4.1114
7 6.7282 6.4720 6.2303 6.0021 5.7864 5.5824 5.2064 4.8684 4.5638
8 7.6517 7.3255 7.0197 6.7327 6.4632 6.2098 5.7466 5.3349 4.9676
9 8.5660 8.1622 7.7861 7.4353 7.1078 6.8017 6.2469 5.7590 5.3283
10 9.4713 8.9826 8.5302 8.1109 7.7217 7.3601 6.7101 6.1446 5.6502
11 10.3676 9.7869 9.2526 8.7605 8.3064 7.8869 7.1390 6.4951 5.9377
12 11.2551 10.5753 9.9540 9.3851 8.8633 8.3838 7.5361 6.8137 6.1944
13 12.1337 11.3484 10.6350 9.9857 9.3936 8.8527 7.9038 7.1034 6.4236
14 13.0037 12.1063 11.2961 10.5631 9.8986 9.2950 8.2442 7.3667 6.6282
15 13.8651 12.8493 11.9380 11.1184 10.3797 9.7123 8.5595 7.6061 6.8109
16 14.7179 13.5777 12.5611 11.6523 10.8378 10.1059 8.8514 7.8237 6.9740
17 15.5623 14.2919 13.1661 12.1657 11.2741 10.4773 9.1216 8.0216 7.1196
18 16.3983 14.9920 13.7535 12.6593 11.6896 10.8276 9.3719 8.2014 7.2497
19 17.2260 15.6785 14.3238 13.1339 12.0853 11.1581 9.6036 8.3649 7.3658
20 18.0456 16.3514 14.8775 13.5903 12.4622 11.4699 9.8182 8.5136 7.4694
21 18.8570 17.0112 15.4150 14.0292 12.8212 11.7641 10.0168 8.6487 7.5620
22 19.6604 17.6581 15.9369 14.4511 13.1630 12.0416 10.2007 8.7715 7.6447
23 20.4558 18.2922 16.4436 14.8568 13.4886 12.3034 10.3711 8.8832 7.7184
24 21.2434 18.9139 16.9355 15.2470 13.7986 12.5504 10.5288 8.9847 7.7843
25 22.0232 19.5235 17.4132 15.6221 14.0939 12.7834 10.6748 9.0770 7.8431
26 22.7952 20.1210 17.8768 15.9828 14.3752 13.0032 10.8100 9.1610 7.8957
27 23.5596 20.7069 18.3270 16.3296 14.6430 13.2105 10.9352 9.2372 7.9426
28 24.3164 21.2813 18.7641 16.6631 14.8981 13.4062 11.0511 9.3066 7.9844
29 25.0658 21.8444 19.1885 16.9837 15.1411 13.5907 11.1584 9.3696 8.0218
30 25.8077 22.3965 19.6004 17.2920 15.3725 13.7648 11.2578 9.4269 8.0552

يعد جدول الأقساط السابقة مفيدًا كمرجع سريع ، ولكنه يوفر فقط قيمًا للفترات الزمنية المنفصلة وأسعار الفائدة التي قد لا تتوافق تمامًا مع سيناريو العالم الحقيقي. وفقًا لذلك ، استخدم صيغة الأقساط في جدول بيانات إلكتروني لحساب المبلغ الصحيح بدقة أكبر. صيغة حساب القيمة الحالية للمعاش السنوي العادي هي:


يتم حساب القيمة الحالية لصيغة الأقساط عن طريق تحديد القيمة الحالية التي يتم حسابها عن طريق مدفوعات الأقساط السنوية على مدار الفترة الزمنية مقسومة على معدل خصم زائد ويتم تحديد القيمة الحالية للقسط السنوي بضرب الدفعات الشهرية المتساوية بواحد مطروحًا منها القيمة الحالية مقسومة على الخصم معدل.

  • C هو التدفق النقدي لكل فترة
  • أنا هو معدل الفائدة
  • ن هو تكرار المدفوعات

تفسير

The PV formula will determine at a given period, the present value of several future timely interval payments. The PV of annuity formula can be seen from the formula that it depends upon the time value of money concept, in which a one-dollar amount of money in the current day is more worthy than the same dollar that shall be due at a date which is going to happen in future. Also, the PV of the annuity formula takes care of the frequency of payment, whether it’s annual, semi-annual, monthly, etc. and accordingly does calculation or say compounding.

Examples

Example #1

Suppose that there is an annuity payment of $1,000 for the next 25 years beginning at every end of the year. You are required to compute the present value of the annuity, assuming a rate of interest is 5%.

Here the annuities begin at the end of the year, and therefore, n will be 25, C is $1,000 for the next 25 years, and i is 5%.

Use the following data for the calculation of the PV of an annuity.

  • Cash flow per Period (C): 1000.00
  • Number of Period (n): 25.00
  • Rate of Interest (i): 5.00%

So, the calculation of the PV of an annuity can be done as follows –

Present Value of the Annuity will be –

Present Value of an Annuity = 14,093.94

Example #2

John is currently working in an MNC where he is paid $10,000 annually. In his compensation, there is a 25% portion, which is will be paid an annuity by the company. This money is deposited twice in a year, starting 1 st July and second is due on the 1 st of January and will continue till the next 30 years, and at the time of redemption, it would be tax-exempt.

He was also given an option at the time of joining to take $60,000 at once, but that would be subject to tax at the rate of 40%. You are required to assess whether John should take the money now or wait until 30 years to receive the same, assuming he is not in the requirement of funds, and the risk-free rate in the market is 6%.

Here, the annuities begin at the end of the semi-annually and therefore n will be 60 (30*2), C is $1,250 ($10,000 * 25% / 2) for next 30 years and i is 2.5% (5%/2).

Use the following data for the calculation of the present value of an annuity.

So, the calculation of the (PV) present value of an annuity formula can be done as follows –

Present Value of the Annuity will be –

Present Value of an Annuity = $38,635.82

Hence, if John opts for an annuity, then he would receive $38,635.82.

The second option is he opts for $60,000, which is before tax, and if we deduct a tax of 40%, then the amount in hand will be $36,000.

Therefore, John should opt for annuity since there is a benefit of $2,635.82

Example #3

Two different retirement products are being offered to Mrs. Carmella as she is nearing retirement. Both of the products will start their cash flow at the age of 60 years and continue annuity till 80 years of age. Below are more details of the products. You are required to compute the present value of the annuity and advise, which is the better product for Mrs. Carmella?

Assume Rate of interest 7%.

Annuity Amount = $2,500 per period. Payment frequency =Quarterly.Payment will be at the beginning of the period.

Annuity Amount = 5,150 per period. Payment frequency =Semi-Annually. Payment will be at the end of the period

=$2,500 x [ (1 – (1+1.75%) -79 ) / 0.0175 ]

Present Value of Annuity = $106,575.83

Now we need to add $2,500 to above present value since that was received at the start of the period and hence total amount will be 1,09,075.83

The 2 nd option is paying semi-annually. Hence n will be 40 (20*2), i will be 3.50% (7%/2), and C is $5,150.

So, the calculation of the PV of an annuity for a product Y can be done as follows –

Present Value of Annuity for Product Y will be –

= $5,150 x [ (1 – (1+3.50%) -40 ) / 0.035 ]

Present Value of Annuity = $ 109,978.62

There is only $902.79 excess when opted for option 2. Hence Mrs. Carmella should select opt 2.

Relevance and Uses

The formula is quite important not only in calculating the retirement options, but this can also be used for cash outflows in case of capital budgeting, where there could be an example of rent or periodic interest paid, which are mostly static hence those can be discounted back by using this annuity formula. Also, one has to be cautious while using the formula as one needs to determine if the payments are made at the beginning of the period or at the end of the period, as the same can affect the values of cash flows due to compounding effects.

Recommended Articles

This has been a guide to the (PV) Present Value of an Annuity Formula. Here we discuss how to calculate the Present Value of an Annuity along with practical examples and downloadable excel templates. You may learn more about Valuations from the following articles –


What Is an Annuity?

An annuity is a financial contract you enter with an insurance company. You’ll pay a certain amount of money up front or as part of a payment plan, and get a predetermined annual payment in return. You can receive annuity payments either indefinitely or for a predetermined length of time. Regular payments are one of the pros of annuities.

There are two types of annuity contracts:

    offer guaranteed interest rates paid over a certain period of time.
  1. Variable annuities don’t have guaranteed payouts, meaning that you’ll have more freedom to invest your money in different ways, and thus your payments will be tied to those investments’ performance. This can result in higher returns, but also runs the risk of lower returns.

Keep in mind that money spent on an annuity grows tax-deferred. That means that when you eventually start making withdrawals, the amount you contributed to the annuity is not taxed, although your earnings are taxed at your regular income tax rate.


What Are Pensions?

Pensions are an employment benefit and a way for a company to help workers finance their retirement. Pension plans date back to ancient Rome, when soldiers received pensions after years of service. Pensions became popular in the United States when President Franklin Roosevelt introduced the world’s largest defined benefit pension plan in 1935 with the Social Security Administration.

As the American middle class grew following World War II, many employers offered pensions as an employee benefit.

Employers who make monthly payments to former workers use pension funds that both the employer and employees paid into during the years the employee was working.

Since the early 2000s, the number of workplace pension programs has dwindled many companies found it difficult to fund pensions over a long period of time while also pleasing shareholders who wanted more profits and fewer long-term liabilities.

The bulk of employers today with pension plans are federal, state and local governments, and branches of the U.S military. Federal pensions serve 2.3 million active civilian employees. State and local pensions cover 14.8 million active participants. The government issues pensions in various forms, including defined benefit and defined contribution plans.

Some private companies and unions still offer pensions as a benefit, as well. Private sector pensions hold more than $2.2 trillion in assets and cover around 44 million working Americans.

Some employers use their money to fund and control pensions. Others work with insurance companies to set up third-party annuities for employees, which provide security and relieve the company of the long-term financial obligation. Companies that use pension annuities include Verizon, General Motors, Ford and Heinz.


Calculating the Payment in an Ordinary Annuity (PMT)

Present value calculations allow us to determine the amount of the recurring payments in an ordinary annuity if we know the other components: present value, interest rate, and the length of the annuity. Exercises 5 and 6 will demonstrate how to solve for the payment amount.

Exercise #5

On June 1, 2020, Grandma deposited $1,733 into an account to help pay for Emily's summer volleyball camp for four consecutive years. The first camp is scheduled for June 2021. The account earns 6% interest per year, compounded annually. The interest earned on the account balance is deposited into the account on May 31 of each year. If Grandma wants the balance to be at the end of the four years, how much should she withdraw for Emily each June?

The following timeline helps us visualize the facts:

Calculation of Exercise #5 using the PVOA Table

Using the above information and factors from our PVOA Table, we can solve for the unknown payment amount (PMT) as follows:

We use simple algebra and the appropriate present value factor to determine that Grandma can withdraw $500 each June 1 beginning in 2021.

The following table shows the account activity, confirming that $500 can be withdrawn each year for four years:

Exercise #6

Your company plans to borrow $10,152 on January 1, 2021. You would like to repay the loan by making six semiannual loan payments beginning on June 30, 2021. The payments will be equal amounts and will cover a portion of both the interest (10% per year compounded semiannually) and the principal repayment. The payments will be paid on each June 30 and December 31. What will be the amount of each of the six payments?

Calculation of Exercise #6 using the PVOA Table

Our first step is to construct a timeline to organize the information:

Using the above information and factors from our PVOA Table, we can solve for the unknown payment amount (PMT) with the following equation:

We use simple algebra and the appropriate present value factor to determine that each of the six payments will be $2,000. The first payment will be made on June 30, 2021 and the final payment will occur on December 31, 2023.

The following loan amortization schedule shows the amount of interest and principal contained in each loan payment and confirms that the loan will be paid by December 31, 2023.


Several provisions of CSRS require reduction of annuities on an actuarial basis. Under each of these provisions, OPM is required to issue regulations on the method of determining the reduction to ensure that the present value of the reduced annuity plus a lump-sum equals, to the extent practicable, the present value of the unreduced benefit. The regulations for each of these benefits provide that OPM will publish a notice in the Federal Register whenever it changes the factors used to compute the present values of these benefits.

Section 831.2205(a) of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the method for computing the reduction in the beginning rate of annuity payable to a retiree who elects an alternative form of annuity under 5 U.S.C. 8343a. That reduction is required to produce an annuity that is the actuarial equivalent of the annuity of a retiree who does not elect an alternative form of annuity. The present value factors listed below are used to compute the annuity reduction under section 831.2205(a) of title 5, Code of Federal Regulations.

Section 831.303(c) of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of these factors for computing the reduction to complete payment of certain redeposits of refunded deductions based on periods of service that ended before March 1, 1991, under section 8334(d)(2) of title 5, United States Code section 1902 of the National Defense Authorization Act for Fiscal Year 2010, Public Law 111-84.

Section 831.663 of Title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of similar factors for computing the reduction required for certain elections to provide survivor annuity benefits based on a post-retirement marriage under section 8339(j)(5)(C) or (k)(2) of title 5, United States Code. Under section 11004 of the Omnibus Budget Reconciliation Act of 1993, Public Law 103-66, effective October 1, 1993, OPM ceased collection of these survivor election deposits by means of either a lump-sum payment or installments. Instead, OPM is required to establish a permanent actuarial reduction in the annuity of the retiree. This means that OPM must take the amount of the deposit computed under the old law and translate it into a lifetime reduction in the retiree's benefit.

Subpart F of part 847 of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of similar factors for computing the deficiency the retiree must pay to receive credit for certain service with nonappropriated fund instrumentalities made creditable by an election under section 1043 of Public Law 104-106. Subpart I of part 847 of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of present value factors for employees that elect to credit nonappropriated fund instrumentality service to qualify for immediate retirement under section 1132 of Public Law 107-107. Start Printed Page 19172

Sections 839.1114-1121 of title 5, Code of Federal Regulations, prescribes the use of these factors for computing the reduction required for certain service credit deposits, Government Thrift Savings Plan contributions, or for previous payment of the FERS Basic Employee Death Benefit in annuities subject to the Federal Erroneous Retirement Coverage Corrections Act (FERCCA) under the provisions of Public Law 106-265. Retirees and survivors who owe a larger deposit because of a retirement coverage error can choose to pay the additional deposit amount or their annuity will be actuarially reduced to account for the deposit amount that remains unpaid. Additionally, retirees and survivors of deceased employees who received Government contributions to their Thrift Savings Plan account after being corrected to FERS and who later elect CSRS Offset under FERCCA keep the Government contributions and associated earnings in their Thrift Savings Plan account. Instead of adjusting the Thrift Savings Plan account, FERCCA requires that the CSRS-Offset annuity be actuarially reduced. Also, survivors that received the FERS Basic Employee Death Benefit and elect CSRS Offset under FERCCA do not have to pay back the Basic Employee Death Benefit. Instead, OPM actuarially reduces the survivor annuity payable. These reductions under FERCCA allow the annuity to be actuarially reduced in a way that, on average, allows the Fund to recover the amount of the missing lump sum over the recipient's lifetime.

The present value factors currently in effect were published by OPM (84 FR 22525) on May 17, 2019. On April 6, 2020, OPM published a notice to revise the normal cost percentage under the Federal Employees' Retirement System (FERS) Act of 1986, Public Law 99-335, based on changed assumptions adopted by the Board of Actuaries of the CSRS. Those changes require corresponding changes in present value factors used to produce actuarially equivalent benefits when required by the Civil Service Retirement Act. The revised factors will become effective on October 1, 2020. For alternative forms of annuity and redeposits of employee contributions, the new factors will apply to annuities that commence on or after October 1, 2020. See 5 CFR 831.2205 and 831.303(c). For survivor election deposits, the new factors will apply to survivor reductions that commence on or after October 1, 2020. See 5 CFR 831.663(c) and (d). For obtaining credit for service with certain nonappropriated fund instrumentalities, the new factors will apply to cases in which the date of computation under sections 847.603 or 847.809 of title 5, Code of Federal Regulations, is on or after October 1, 2020. See 5 CFR 842.602, 842.616, 847.603, and 847.809. For retirement coverage corrections under FERCCA, the new factors will apply to annuities that commence on or after October 1, 2020, or in the case of previous payment of the Basic Employee Death Benefit, the new factors will apply to deaths occurring on or after October 1, 2020. See 5 CFR 839.1114-1121 and 5 CFR 831.303(d).

OPM is, therefore, revising the tables of present value factors to read as follows:

CSRS Present Value Factors Applicable to Annuity Payable Following an Election Under Section 8339(j) or (k) or Section 8343a of Title 5, United States Code, or Under Section 1043 of Public Law 104-106 or Under Section 1132 of Public Law 107-107 or Under FERCCA or Following a Redeposit Under Section 8334(d)(2) of Title 5, United States Code

CSRS Present Value Factors Applicable to Annuity Payable Following an Election Under Section 1043 of Public Law 104-106 or Under Section 1132 of Public Law 107-107 or Under FERCCA


شاهد الفيديو: كيف تغيرت طريقة حساب المعاش في قانون التأمينات الجديد (شهر اكتوبر 2021).