مقالات

8.2: الطرق المستمرة 1 - طرق الفاصل / المنتقي والمقسوم الوحيد


طريقة Divider / Chooser وطريقة Lone Divider هما طريقتان بسيطتان إلى حد ما لتقسيم مجموعة متصلة S. تعمل طريقة Lone Divider مع ثلاثة لاعبين أو أكثر ولكنها تعمل بشكل أفضل مع ثلاثة أو أربعة لاعبين فقط. طريقة Divider / Chooser هي حالة خاصة لطريقة Lone Divider للاعبين فقط.

طريقة الفاصل / المنتقي

إذا كان لديك أشقاء ، فمن المحتمل أنك استخدمت طريقة Divider / Chooser للقسمة العادلة كطفل. تذكر عندما طلبت أمي من أحد الأطفال أن يكسر قالب الحلوى إلى نصفين ثم اختار الطفل الآخر النصف الذي سيأخذه: كان هذا هو طريقة المقسم / المنتقي. إنها طريقة بسيطة للغاية لتقسيم عنصر واحد مستمر بين لاعبين. ببساطة ، يقطع أحد اللاعبين ويختار اللاعب الآخر. استدعاء الكائن المراد تقسيمه S. الحاجز هو اللاعب الذي يقطع الكائن S. يضطر الحاجز إلى قطع الكائن S بطريقة تجعله / هي راضياً عن أي من القطعتين كحصة عادلة. ثم يختار المختار القطعة التي يعتبرها حصة عادلة. بمجرد أن يختار المنتقي قطعة ، يحصل الحاجز على القطعة المتبقية. يحصل الحاجز دائمًا على نصف قيمة S. تمامًا. ينتهي المحدد في بعض الأحيان بأكثر من نصف قيمة S. يبدو هذا متناقضًا ولكن تذكر أن كل لاعب لديه نظام قيم خاص به.

مثال ( PageIndex {1} ): طريقة المقسم / المحدد مع بيتزا

يريد بيل وتيد تقسيم بيتزا نصف جبن ونصف بيبروني. بيل يحب بيتزا الجبن ولكن ليس البيبروني ويحب تيد جميع أنواع البيتزا على قدم المساواة.

  1. إذا كان بيل يقطع ويختار تيد ، فقم بوصف التقسيم العادل.

يحب بيل الجبن ولكن لا يحب البيبروني لذا فهو يرى كل قيمة البيتزا في جزء الجبن. يقطع البيتزا بطريقة ينتهي بها نصف جزء الجبن في كل قطعة. الطريقة الأكثر وضوحًا للقيام بذلك هي قصها إلى نصفين عموديًا. قد تعتقد أن بيل سيختار نصف البيتزا كجانب الجبن ونصف جانب الببروني على أمل أن ينتهي به الأمر بجانب الجبن بالكامل. ومع ذلك ، لن يكون هذا قسمة ينتج عنها نصفين متساويين في عينيه. بمعنى آخر ، يمكن أن ينتهي به الأمر مع جانب الببروني بالكامل الذي لا يحبه.

نظرًا لأن تيد يحب جميع أنواع البيتزا بالتساوي وكلا الجزأين متماثلان ، فلا يهم القطعة التي يختارها تيد. لنفترض أنه اختار القطعة الموجودة على اليمين.

تيد سعيد لأنه حصل على نصف البيتزا ، وهي حصة عادلة في نظام القيم الخاص به.

كان بيل سعيدًا لأنه حصل على نصف جزء الجبن من البيتزا ، ونصف القيمة (أو حصة عادلة) في نظام القيم الخاص به.

  1. إذا اختار تيد تخفيضات وبيل ، فقم بوصف ثلاثة أقسام عادلة مختلفة.

تذكر أن أحد افتراضاتنا هو أن تيد لا يعرف أن بيل يحب جزء الجبن فقط من البيتزا. نظرًا لأن تيد يحب جميع أنواع البيتزا بالتساوي ، يجب عليه قطع البيتزا إلى النصف من حيث الحجم (بالنسبة للبيتزا ثنائية الأبعاد ، قم بتقطيعها إلى النصف من حيث المساحة).

  1. يمكن أن يقطع تيد البيتزا إلى نصفين عموديًا مثلما فعل بيل في الجزء (أ). لا يهم القطعة التي اختارها بيل لأن القطعتين متماثلتان.
  1. يمكن أن يقطع تيد البيتزا إلى نصفين أفقيًا بحيث تكون القطعة الواحدة عبارة عن جبن والقطعة الأخرى كلها ببروني.

سيختار بيل نصف الجبن وسيحصل تيد على نصف البيبروني. يسعد بيل لأنه يحصل على 100٪ من قيمة البيتزا في نظام القيم الخاص به. تيد سعيد لأنه يحصل على 50٪ من قيمة البيتزا في نظام قيمه.

  1. يمكن أن يقطع تيد البيتزا بزاوية بحيث تكون كل قطعة جزءًا من البيبروني وجزءًا من الجبن.

نظرًا لأن بيل يحب جزء الجبن فقط ، فعليه اختيار القطعة الموجودة على اليسار مع نسبة 75٪ من جزء الجبن للبيتزا. يسعد بيل لأنه يحصل على 75٪ من قيمة البيتزا في نظام قيمه. تيد سعيد لأنه يحصل على 50٪ من قيمة البيتزا في نظام قيمه.

مثال ( PageIndex {2} ): طريقة الحاجز / المحدد مع شطيرة فرعية (تابع المثال ( PageIndex {4} ))

في المثال ( PageIndex {4} ) ، يريد جورج وتيد تقسيم شطيرة مقاس 12 بوصة بقيمة 9 دولارات. نصف السندويتش نباتي ونصف الساندويتش عبارة عن كرات اللحم. جورج لا يأكل اللحم على الإطلاق. يحب تيد جزء اللحم المفروم ضعف الجزء النباتي. لقد اكتشفنا بالفعل كيف يجب على كل لاعب قطع الشطيرة.

  1. إذا قطع جورج أي قطعة يجب أن يختارها تيد؟

يرى تيد قطعة كرات اللحم بقيمة 6 دولارات والجزء النباتي بقيمة 3 دولارات. نصف الجزء النباتي سيكون بقيمة 1.50 دولارًا له. سيكون للجزء الأكبر من الشطيرة قيمة 6.00 دولارات + 1.50 دولار = 7.50 دولارات والجزء الأصغر من الشطيرة ستكون قيمته 1.50 دولار. يجب أن يختار الجزء الأكبر من الشطيرة.

  1. إذا قطع تيد أي قطعة يجب أن يختارها جورج؟

لا يأكل جورج اللحم ، لذا فإن قطعة كرات اللحم الأصغر تساوي 0 دولارًا له. تحتوي القطعة الأكبر حجمًا على كل الجزء النباتي من الشطيرة بحيث تحتوي على كل القيمة بالنسبة له. يجب أن يختار جورج القطعة الأكبر التي تبلغ قيمتها 9 دولارات.

لاحظ أنه في المثال ( PageIndex {2} ) ، الجزء (أ) ، كانت قطعة تيد تساوي 7.50 دولارات بالنسبة له وفي الجزء (ب) كانت قطعة جورج تساوي 9 دولارات بالنسبة له. في كلتا الحالتين ، ينتهي الأمر بالاختيار بأكثر من حصة عادلة. يحصل الحاجز دائمًا على حصة عادلة تمامًا. بالنظر إلى الاختيار ، من الأفضل دائمًا أن تكون المختار بدلاً من الحاجز.

طريقة المقسم الوحيد:

طريقة المقسّم / المنتقي تعمل فقط للاعبين اثنين. لأكثر من لاعبين يمكننا استخدام طريقة تسمى طريقة Lone Divider. الفكرة الأساسية هي أن الحاجز يقطع الكائن إلى أجزاء. أما باقي اللاعبين ، الذين يطلق عليهم المختارون ، فيعرضون على القطع التي يشعرون أنها أسهم عادلة. يُمنح كل منتقي قطعة يعتبرها حصة عادلة مع انتقال القطعة المتبقية إلى الحاجز. كما رأينا في طريقة Divider / Chooser ، يحصل الحاجز دائمًا على حصة عادلة تمامًا ولكن قد يحصل المختارون على أكثر من حصة عادلة.

مثال ( PageIndex {3} ): طريقة القسمة الوحيدة ، مثال أساسي

ثلاثة أبناء عمومة ، روس ، وسام ، وتوم يريدون تقسيم كعكة على شكل قلب. يرسمون القش لاختيار الحاجز ويتم اختيار روس. يجب أن يقسم روس الكعكة إلى ثلاث قطع. يجب أن تكون كل قطعة حصة عادلة في نظام قيمته. افترض أن روس يقسم الكعكة كما هو موضح في الشكل التالي.

يقوم سام وتوم الآن بالمزايدة على كل قطعة من الكعكة. يحددون بشكل خاص ومستقل قيمة كل قطعة من الكعكة وفقًا لنظام القيمة الخاص بهم.

يرى سام قيمة الكعكة على النحو التالي: قطعة أ - 40٪ ، قطعة ب - 30٪ ، قطعة ج - 30٪.

يرى توم قيمة الكعكة على النحو التالي: قطعة أ - 35٪ ، قطعة ب - 35٪ ، قطعة ج - 30٪.

نظرًا لوجود ثلاثة لاعبين ، فإن الحصة العادلة ستكون 1/3 أو 33.3٪.

يكتب كل لاعب القطع التي قد يعتبرونها حصة عادلة من الكعكة. هذه تسمى العطاءات.

سيقدم سام عرضًا {أ} وسيقدم توم عرضًا {أ ، ب}.

لا سام ولا توم يعتبران القطعة (ج) حصة عادلة ، لذا فإن القطعة (ج) تذهب إلى روس ، الحاجز.

يعتبر سام أن الجزء أ فقط هو حصة عادلة ، لذا امنح سام القطعة أ.

سيكون توم راضيًا عن أي من القطعتين أ أو ب. بما أن القطعة أ أعطيت لسام ، حصل توم على القطعة ب

لاحظ أن سام يعتقد أن قطعته تساوي 40٪ من القيمة ويعتقد توم أن قطعته تساوي 35٪ من القيمة ، لذلك حصل كلاهما على أكثر من حصة عادلة. حصل المقسم روس على قطعة تساوي بالضبط 33.3٪ أو نصيب عادل في رأيه. يتلقى الحاجز دائمًا حصة عادلة تمامًا باستخدام هذه الطريقة.

ملخص طريقة Lone Divider:

  1. يستخدم اللاعبون n طريقة عشوائية لاختيار الحاجز. لاعبو n-1 الآخرون جميعهم مختارون.
  2. يقسم الحاجز الكائن S إلى عدد n من القطع المتساوية في نظام القيم الخاص به.
  3. يقوم كل من المختارين بتعيين قيمة لكل جزء من العنصر ويقدم عرضه / عطاءها. العطاء عبارة عن قائمة بالقطع التي قد يعتبرها اللاعب حصة عادلة.
  4. يتم تخصيص القطع باستخدام العطاءات. في بعض الأحيان ، في حالة التعادل ، يجب دمج قطعتين وتقسيمهما مرة أخرى لإرضاء جميع اللاعبين.

مثال ( PageIndex {4} ): طريقة المقسم الفردي مع كعكة ، بدون مواجهة

يتم تقسيم الكعكة بين أربعة لاعبين ، إيان وجاك وكينت ولاري. يقوم اللاعبون برسم قش ويتم اختيار إيان ليكون الحاجز. يقسم إيان الكعكة إلى أربع قطع ، S1 و S2 و S3 و S4. كل من هذه القطع ستكون حصة عادلة لإيان. يقوم اللاعبون الثلاثة الآخرون بتعيين قيم لكل قطعة كما تم تلخيصها في Table ( PageIndex {9} ).

الجدول ( PageIndex {9} ): تقييم اللاعبين للمشاركة

S1

S2

S3

4 س

ايان

25%

25%

25%

25%

جاك

40%

30%

20%

10%

كينت

15%

35%

35%

15%

لاري

40%

20%

20%

20%

نظرًا لوجود أربعة لاعبين ، فإن الحصة العادلة هي 25٪ من الكعكة. يقدم المختارون الثلاثة عطاءاتهم على النحو التالي:

جاك: {S1، S2}، Kent: {S2، S3} ولاري: {S1}

التوزيع مباشر إلى حد ما. يحصل Larry على S1 لأنها القطعة الوحيدة التي يعتبرها حصة عادلة. مع الحصول على S1 ، سيحصل جاك على S2 ، وهو نصيبه العادل الوحيد المتبقي. مع أخذ S2 ، سيحصل كينت على S3 ، وهي حصته العادلة الوحيدة المتبقية. هذا يترك S4 للمقسم إيان.

مثال ( PageIndex {5} ): طريقة الفصل المنفرد مع قطعة أرض ، مواجهة بسيطة

تريد إيمي وبوب وكارلي تقسيم قطعة أرض باستخدام طريقة الفاصل الوحيد. يرسمون القش ويتم اختيار بوب كمقسم. يرسم بوب خطوطًا على الخريطة لتقسيم الأرض إلى ثلاث قطع متساوية القيمة وفقًا لنظام القيم الخاص به.

عرضت إيمي وكارلي على قطعة الأرض التي قد يعتبرونها أسهمًا عادلة. كلاهما يحب الشاطئ والحقول ولكن ليس الأشجار ، لذا فإن عروضهما هي إيمي: {ب ، ج} وكارلي: {ب ، ج}.

نظرًا لأن لا إيمي ولا كارلي يريدان القطعة أ مع الأشجار ، فإن تلك القطعة ستذهب إلى الحاجز بوب.

سيكون كل من إيمي وكارلي سعداء بأي من القطع المتبقية. طريقة بسيطة لتخصيص القطع هي رمي عملة معدنية لمعرفة من يحصل على القطعة B مع الشاطئ. سيحصل اللاعب الآخر على قطعة C مع الحقول.

مثال ( PageIndex {6} ): طريقة الفصل المنفرد بقطعة أرض ، مواجهة أكثر تعقيدًا

دعونا نلقي نظرة على الأرض في المثال ( PageIndex {5} ) مرة أخرى. لنفترض هذه المرة أن العطاءات هما إيمي: {ب} وكارلي: {ب}.

نظرًا لأن كل من إيمي وكارلي يريدان نفس قطعة الأرض ، فلدينا مواجهة. لا تريد أي من المرأتين القطعتين A و C ، لذا أعط واحدة منهما للمقسم بوب. اقذف عملة معدنية لاختيار القطعة التي سيحصل عليها. لنفترض أن القرعة أدت إلى حصول بوب على القطعة أ.

لحل المواجهة ، قمنا بدمج القطعتين B و C لعمل قطعة واحدة كبيرة.

لدينا الآن قطعة أرض واحدة مقسمة بالتساوي بين لاعبين. يمكن لإيمي وكارلي استخدام طريقة Divider / Chooser لإنهاء القسمة. اقذف عملة معدنية لتحديد الحاجز. افترض أنه تم اختيار إيمي لتقسيم الأرض وتقسيمها كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {13} ).

لنفترض أن كارلي اختار القطعة E ، وترك القطعة D لإيمي ، لإكمال التقسيم العادل.

يمكنك أن ترى من الأمثلة السابقة أن طريقة الفاصل المنفرد تكون في بعض الأحيان مباشرة جدًا للأمام وفي أحيان أخرى قد تكون أكثر تعقيدًا. تخيل مدى تعقيد الطريقة التي يمكن أن تصبح بها 10 لاعبين. بغض النظر عن عدد اللاعبين أو مدى تعقيد التقسيم ، تبقى حقيقة واحدة. يحصل المختارون دائمًا على حصة عادلة على الأقل بينما يحصل الحاجز على حصة عادلة فقط. من الأفضل أن تكون منتقيًا من الفاصل.


مشكلة تقسيم الكيك ثلاثي الاتجاهات

هذا لغز. لا أعرف ما إذا كان بإمكانك وصفها بأنها فلسفية.

هنا & # 8217s طريقة عادلة لتقطيع الكعكة إلى جزأين ، أحدهما لـ A والآخر لـ B. A يجعل القطع ويختار B. إذن ، لدى "أ" سبب يجعل النصفين بالحجم نفسه ، وإلا فإن "ب" ستأخذ الشريحة الأكبر.

السؤال هو ، هل يمكنك وصف طريقة عادلة مماثلة لتقطيع الكعكة إلى ثلاثة أجزاء ، من أجل A و B و C؟ إذا قطعت A واختارت ، فيمكن لـ A أن تقطع الكعكة عمدًا بحيث يحصل B على شريحة أكبر. شخص ما يحصل على قطع ، أو ربما أول قطع. شخص ما يختار الشريحة الأولى ، لنفسه أو لشخص آخر ، وبالمثل مع الشريحة الثانية.

& # 8217re لا يسمح لك بتدوير عملة أو رمي النرد ، أو القيام بأي عمل ينطوي على الصدفة.

هل يمكن القيام بذلك دون وجود أسباب محتملة للشكوى "أ" أو "ب" أو "ج"؟

هذا مثال على مشكلة التقسيم العادل. يكون التقسيم عادلاً إذا كان نسبيًا (يحصل كل مشارك n على 1 / n) وخالي من الحسد (لا يشعر أي مشارك أن الآخر يحصل على حصة أكبر مما فعلته).

لن أصفها بأنها مشكلة فلسفية على وجه التحديد ، لكن التقسيم العادل أمر بالغ الأهمية ، على سبيل المثال ، لتسويات الطلاق (الودية) أو الانقسامات / المعاهدات الإقليمية ، وبالتالي فهي تهم المحامين والسياسيين والمفاوضين ، وكذلك علماء الرياضيات / علماء المنطق الذين يفكرون في الحلول.

في بعض الأحيان نتعامل مع سلع مستمرة (قابلة للقسمة إلى قطع صغيرة بشكل عشوائي ، كما هو الحال مع الكعك) أحيانًا مع سلع منفصلة (غير قابلة للتجزئة ، كما هو الحال مع القطط أو السيارات) حيث يتعين علينا التوصل إلى مقياس للمقارنة.

أنت تصف تقسيمًا عادلًا لشخصين للسلع المستمرة (حاجز واحد ، منتقي واحد).

3-. 4- ، 5 ، - & # 8230 إجراء n-person هو امتداد لهذا حيث لدينا فاصل واحد / عدة مختارين (طريقة Lone Divider) ، أو منتقي واحد / عدة فواصل (طريقة Lone Chooser) ، بالإضافة إلى المزيد طريقة Last-Diminisher المعقدة.

إليك أبسط طريقة Lone-Divider:

تقسم الكعكة إلى ثلاث قطع ، X و Y و Z.

يذكر كل من "ب" و "ج" اختيارها:

الحالة 1. يختار B X ، يختار C Y (أو العكس).

إذن ، B و C يحصلان على الشريحة المختارة ، A يحصل Z

الحالة 2. يختار كل من B و C X (أو Y).

لذلك ، يتم دمج X (أو Y) مع قل Y (أو X) و B / C قم بفصل واختيار شخصين على XY.

هذا بسيط ، طالما لا أحد يمانع في الشرائح ذات الشكل الفردي.

يتشارك "أ" و "ب" و "ج" قطعة من الكعكة. يقوم A بعمل القطع الأول ، الذي لا يمكن أن ينصف الكيكة بالكامل B ثم يقوم بإجراء العديد من القطع حسب الضرورة لإنتاج ثلاث قطع. تختار C قطعتها أولاً ، والثانية ، والثالثة B. نظرًا لأن "ب" ستختار الأخير ، يتم تحفيزها لأخذ أي قطع افتتاحي صنعه "أ" وتحويله إلى الترتيب الأكثر إنصافًا. إذا كانت تتمتع بامتيازات C على نفقة A & # 8217 ، فيمكنها أن تتوقع أن A ستعيدها من خلال تركها مع أسوأ قطعة. نظرًا لأن A يمكنه فقط إجراء قطع جزئي ، وليس تقطيع الكعكة بالكامل إلى نصفين ، ولأن B يمكنه إجراء العديد من الشقوق اللازمة لإنتاج ما مجموعه ثلاث قطع ، فلا توجد طريقة لـ A لتمييز C على حساب B & # 8217s.

الاحتمال الوحيد الذي يتركه هذا مفتوحًا هو أن B ستريد ، لأي سبب من الأسباب ، أن تضع A في وضع غير مؤات & # 8211 ولن تمانع في أن تكون هي نفسها محرومة بنفس الطريقة. يصعب تفسير الوحشية قصيرة النظر في أي نموذج ، على الرغم من أنها يمكن القول إنها إحدى السمات المميزة للإنسان.


تمارين إضافية

  1. صف قسمة عادلة للورثين عند حصولهما على حصص متساوية.
  2. صف قسمة عادلة للورثين إذا كانت حصصهما 2/5 و 3/5 على التوالي.
  1. صف قسمة عادلة للورثين عند حصولهما على حصص متساوية.
  2. صف قسمة عادلة للورثين إذا كانت حصصهما 1/5 و 4/5 على التوالي.

    صف قسمة عادلة للورثة الثلاثة عندما يحصلون على حصص متساوية.

ثلاثة كائنات غير قابلة للتجزئة X و Y و Z يتم تقاسمها بالتساوي بين أربعة أشخاص. افترض أن هذه العناصر الثلاثة لها قيم بالدولار إلى الأربعة على النحو التالي:


نص العرض التقديمي

التعلم الأساسي • سيتفهم الطلاب ويكونون قادرين على استخدام طريقة الحاجز - المنتقي.

طريقة الحاجز-المنتقي • يمكن استخدام هذه الطريقة في أي وقت تتضمن لعبة التقسيم العادل لاعبين ومجموعة مستمرة S (كعكة ، بيتزا ، قطعة أرض ، إلخ). • يُعرف باسم طريقة "أنا قطعت - اخترت".

طريقة اختيار المقسم • يقوم أحد اللاعبين ، وهو المقسم ، بتقسيم S إلى سهمين ، ويختار اللاعب الآخر ، الذي يسمى المنتقي ، الحصة التي يريدها ، تاركًا القطعة الأخرى للمقسم.

طريقة الحاجز-المنتقي • تضمن هذه الطريقة حصول كل من الحاجز والمختار على حصة عادلة (مع لاعبين ، وهذا يعني حصة بقيمة 50٪ أو أكثر من إجمالي قيمة S).

طريقة الحاجز-المنتقي • عدم معرفة ما يحب ويكره المنتقي (افتراض الخصوصية) ، يمكن للمقسم أن يضمن لنفسه فقط حصة بنسبة 50٪ من خلال تقسيم S إلى نصفين متساويين في القيمة (افتراض العقلانية) يضمن المنتقي حصة 50٪ أو أفضل من خلال اختيار القطعة هو أو هي يحب أكثر.

مثال - داميان وكليو يقسمان كعكة الجبن • في أول موعد لهما ، يذهب داميان وكليو إلى معرض المقاطعة. يشترون معًا تذكرة يانصيب ، ولحسن الحظ ، فازوا بنصف كعكة الجبن بالفراولة ونصف الشوكولاتة. يحب داميان الشوكولاتة والفراولة بنفس القدر ، لذا يرى أن نصفي الشوكولاتة والفراولة متساويان في القيمة.

مثال - داميان وكليو يقسمان كعكة الجبن • من ناحية أخرى ، تكره كليو الشوكولاتة - فهي تعاني من حساسية تجاهها وتمرض إذا أكلت أيًا منها - لذا فإن قيمة الكعكة في عينيها هي 0٪ لنصف الشوكولاتة ، و 100٪ لجزء الفراولة.

مثال - داميان وكليو يقسمان كعكة الجبن • لضمان التقسيم العادل ، سنفترض أنه لا أحد منهم يعرف أي شيء عن إبداءات الإعجاب وعدم الإعجاب لدى الآخر.

مثال - داميان وكليو يقسمان كعكة الجبن • تطوع داميان للذهاب أولاً (الحاجز). يقطع الكعكة إلى قسم عقلاني تمامًا من الكعكة بناءً على نظام القيم الخاص به - كل قطعة تمثل نصف الكعكة وتساوي بالنسبة له نصف القيمة الإجمالية للكعكة.

مثال - داميان وكليو يقسمان كعكة الجبن • حان الآن دور كليو للاختيار ، واختيارها واضح ، وستختار القطعة التي تحتوي على الجزء الأكبر من الفراولة.

مثال - داميان وكليو يقسمان كعكة الجبن • هذا تقسيم عادل للكيك - يحصل كلا اللاعبين على قطع بقيمة 50٪ أو أكثر.

طريقة الحاجز-المنتقي • من الأفضل دائمًا أن تكون المنتقي بدلاً من الحاجز - يضمن الفاصل حصة تساوي بالضبط 50٪ من S لكن المنتقي يمكن أن ينتهي بحصة تزيد قيمتها عن 50٪. • أفضل طريقة لتحديد من هو المنتقي ومن هو الحاجز هي قرعة العملة ، مع حصول الفائز على امتياز الاختيار.

طريقة Lone-Divider • المباريات التمهيدية: ثلاثة لاعبين ، أحدهم هو الفاصل ، واللاعبان الآخران سيكونان من المرشحين. • من الأفضل أن تكون منتقيًا بدلاً من فاصل ، وبالتالي فإن قرار من هو الذي يتم اتخاذه عن طريق السحب العشوائي (رمي النرد ، سحب البطاقات من سطح السفينة ، إلخ). • سنسمي الحاجز D والمختارين C1 و C2.

طريقة Lone-Divider • الخطوة 1 (التقسيم): يقسم الحاجز D الكعكة إلى ثلاثة أسهم (s1 و s2 و s3). سيحصل D على أحد هذه الأسهم ، لكن في هذه المرحلة لا يعرف أيًا منهما. • عدم معرفة الحصة التي ستكون له أمر بالغ الأهمية - فهو يجبر D على تقسيم الكعكة إلى ثلاثة أسهم متساوية القيمة.

طريقة Lone-Divider • الخطوة 2 (تقديم العطاءات): تعلن C1 (عادةً عن طريق الكتابة على قصاصة من الورق) أي من القطع الثلاث تعتبر أسهمًا عادلة لها. بشكل مستقل ، C2 تفعل الشيء نفسه. هذه العطاءات. • يجب أن يسرد عرض الأسعار الذي يقدمه المختار كل قطعة يعتبرها حصة عادلة (أي تساوي ثلث الكعكة أو أكثر).

طريقة Lone-Divider • للحفاظ على متطلبات الخصوصية ، من المهم أن يتم تقديم العطاءات بشكل مستقل ، دون أن يكون المختارون خاضعين لعطاءات بعضهم البعض.

طريقة Lone-Divider • الخطوة 3 (التوزيع): معبرًا عنها من حيث القيمة ، القطعة U هي قطعة يقدرها كل من المختارين بأقل من 33 1/3٪ من الكعكة ، والقطعة C هي قطعة واحدة على الأقل من المختارين (ربما كلاهما) بقيمة 33 1/3٪ أو أكثر. • اعتمادًا على عدد القطع C ، هناك حالتان منفصلتان يجب مراعاتهما.

طريقة Lone-Divider • الحالة 1: عندما يكون هناك قطعتان C أو أكثر ، هناك دائمًا طريقة لإعطاء كل مختار قطعة مختلفة من بين القطع المدرجة في herbid. • بمجرد أن تحصل كل عازف على قطعتها ، يحصل الحاجز على آخر قطعة متبقية. • في هذه المرحلة ، حصل كل لاعب على نصيب عادل ، وتم الانتهاء من تقسيم عادل.

طريقة Lone-Divider • الحالة 1: في بعض الأحيان قد ينتهي بنا المطاف في موقف حيث تُعجب C1 بقطعة C2 أفضل من مقطوعة C2 والعكس صحيح. في هذه الحالة ، من المعقول تمامًا إضافة خطوة غير رسمية نهائية والسماح لهم بالتبادل - وهذا من شأنه أن يجعل كل منهم أكثر سعادة مما كان عليه بالفعل.

طريقة Lone-Divider • الحالة 2: عندما يكون هناك قطعة C واحدة ، فهذا يعني أن كلا المختارين يقدمان عطاءات على نفس القطعة.

طريقة Lone-Divider • الحالة 2: الحل يتطلب القليل من الإبداع. أولاً ، نعتني بالمقسم D - الذي تتساوى فيه جميع القطع في القيمة - من خلال إعطائه إحدى القطع التي لا يريدها أي من المنتقيين.

طريقة Lone-Divider • الحالة 2: بعد أن يحصل D على قطعته ، يتم إعادة تجميع القطعتين المتبقيتين (القطعة C والقطعة U المتبقية) في قطعة واحدة نسميها القطعة B.

طريقة Lone-Divider • الحالة 2: يمكننا العودة إلى طريقة منتقي التقسيم لإنهاء التقسيم العادل: يقوم أحد اللاعبين بتقطيع القطعة B إلى قطعتين ويختار اللاعب الآخر القطعة التي يحبها بشكل أفضل.

مثال - مقسم وحيد مع 3 اللاعبون (الحالة 1 ، الإصدار 1) • Dale ، و Cindy ، و Cher يقسمون كعكة باستخدام طريقة Steinhaus للفاصل الوحيد. إنهم يرسمون البطاقات من مجموعة أوراق متجانسة جيدًا ، ويقوم دايل برسم البطاقة المنخفضة (حظ سيئ!) ويجب أن يكون الفاصل. • الخطوة 1 (التقسيم): دايل يقسم الكعكة إلى ثلاث قطع s1 و s2 و s3. يوضح الجدول 3-1 قيم القطع الثلاث في عيون كل لاعب.

مثال - مقسم وحيد مع 3 لاعبين (الحالة 1 ، الإصدار 1) • الخطوة 2 (تقديم العطاءات): يمكننا أن نفترض أن قائمة عروض Cindy موجودة وقائمة عروض شير أيضًا .

مثال - مقسم وحيد مع 3 لاعبين (الحالة 1 ، الإصدار 1) • الخطوة 3 (التوزيع): القطع C هي s1 و s3. هناك نوعان من التوزيعات الممكنة. توزيع واحد سيكون: سيندي يحصل على s1 ، شير يحصل على s3 ، وديل يحصل على s2. • التوزيع الأفضل (التوزيع الأمثل) سيكون: سيندي تحصل على s3 ، شير يحصل على s1 ، وديل يحصل على s2. • في حالة التوزيع الأول ، سيستفيد كل من سيندي وشير من تبادل القطع ، ولا يوجد سبب منطقي يمنعهم من القيام بذلك.

مثال 3.2 Lone Divider مع 3 لاعبين (الحالة 1 ، الإصدار 1) • تابع الخطوة 3 (التوزيع): وهكذا ، باستخدام افتراض العقلانية ، يمكننا أن نستنتج أنه في أي من الحالتين ، ستكون النتيجة النهائية هي نفسها: تحصل سيندي على s3 ، وتحصل Cher على s1 ، و Dalegets s2.

مثال - مقسم وحيد مع 3 لاعبين (الحالة 1 ، الإصدار 2) سنستخدم نفس الإعداد كما في المثال 3.2 – Dale هو الحاجز ، و Cindy و Cherare هما المحددان. • الخطوة 1 (التقسيم): دايل يقسم الكعكة إلى ثلاث قطع s1 و s2 و s3. يوضح الجدول 3-2 قيم القطع الثلاث في عيون كل لاعب.

مثال 3.3 Lone Divider مع 3 لاعبين (الحالة 1 ، الإصدار 2) • الخطوة 2 (تقديم العطاءات): قائمة عروض سيندي هي فقط ، وقائمة عروض شير هي فقط.

مثال 3.3 Lone Divider مع 3 لاعبين (الحالة 1 ، الإصدار 2) • الخطوة 3 (التوزيع): هذا هو أبسط المواقف ، حيث لا يوجد سوى توزيع واحد ممكن للقطع: سيندي يحصل على s2 ، شير يحصل على s1 ، وديل يحصل على s3.


نص العرض التقديمي

طريقة المنتقي المنفرد الملاحظات 13 - القسم 3.4

التعلم الأساسي • سيتفهم الطلاب ويكونون قادرين على استخدام طريقة الاختيار الفردي لتقسيم البضائع بشكل عادل.

طريقة المنتقي الوحيد (3 لاعبين) • في هذه الطريقة ، يلعب أحد اللاعبين دور المختار ، ويبدأ جميع اللاعبين الآخرين في لعب دور المقسمات. • التصفيات: لدينا منتقي واحد كان فاصلين ، D1 و D2. • نقرر من هو ماذا عن طريق قرعة عشوائية.

طريقة المنتقي الوحيد (3 لاعبين) • الخطوة 1 (التقسيم): D1 و D2 يقسمان S فيما بينهما إلى سهمين عادلين باستخدام طريقة الفاصل - المنتقى. • لنفترض أن D1 ينتهي بـ s1 بـ D2 وينتهي بـ s2.

طريقة المنتقي الوحيد (3 لاعبين) • الخطوة 2 (التقسيم الفرعي): يقسم كل فاصل حصته إلى ثلاث أسهم فرعية. • وهكذا ، D1 يقسم s1 إلى ثلاثة أسهم فرعية ، والتي سوف نسميها s1a و s1b و s1c و D2 يقسم s2 إلى ثلاثة أسهم فرعية ، والتي سنسميها s2a و s2b و s2c.

طريقة المنتقي الوحيد (3 لاعبين) • الخطوة 3 (التحديد): يختار المنتقي C الآن واحدة من ثلاث مشاركات فرعية لـ D1 وواحدة من ثلاث مشاركات فرعية لـ D2 (أيهما يفضل). يشكل هذان المشتركان الفرعيان الحصة النهائية لـ C. ثم تحتفظ D1 بالمشاركين الفرعيين المتبقيين من s1 ، بينما تحتفظ D2 بالمشاركين الفرعيين المتبقيين من s2.

مثال - طريقة المنتقي المنفرد • ديفيد ودينة وشير يقسمون كعكة برتقال أناناس باستخدام طريقة الاختيار الوحيد. تقدر قيمة الكعكة من قبل كل منهم بـ 27 دولارًا ، ويتوقع كل منهم أن ينتهي به الأمر بحصة لا تقل عن 9 دولارات ، وأنظمة القيم الفردية الخاصة بهم (غير معروفة لبعضها البعض ، ولكنها متاحة لنا كمراقبين خارجيين) هي:

مثال - طريقة المنتقي المنفرد • ديفيد يحب الأناناس والبرتقال نفس الشيء. • دينة تحب البرتقال لكنها تكره الأناناس. • تحب شير الأناناس ضعف ما تحب البرتقال.

مثال - طريقة المنتقي المنفرد • بعد الاختيار العشوائي ، يصبح Cher هو المختار ، وبالتالي يتخطى 1 و 2. • الخطوة 1 (التقسيم): يبدأ David و Dinah بتقسيم الكعكة بينهما باستخدام طريقة divider-chooser. بعد قلب العملة ، قام ديفيد بتقطيع الكعكة إلى قطعتين.

مثال - طريقة المنتقي المنفرد • الخطوة 1 (التقسيم) ، تابع: بما أن دينة لا تحب الأناناس ، فإنها ستأخذ النصيب مع اللون البرتقالي.

مثال - طريقة المنتقي المنفرد • الخطوة 2 (التقسيم الفرعي): يقسم ديفيد حصته إلى ثلاثة أسهم فرعية متساوية القيمة في رأيه (جميعها بالحجم نفسه).

مثال - طريقة المنتقي المنفرد • الخطوة الثانية (التقسيم الفرعي): تقوم دينة أيضًا بتقسيم حصتها إلى ثلاث أسهم فرعية أصغر يكون رأيها متساويًا في القيمة. • تذكر أن دينة مشابك الأناناس. وهكذا ، فقد قامت بإجراء التخفيضات بطريقة تجعلها تمتلك ثلث اللون البرتقالي في كل من الأسهم الفرعية.

مثال - طريقة المنتقي المنفرد • الخطوة 3 (التحديد): حان الآن دور شير لاختيار مشاركة واحدة من ثلاثة مشتركين لديفيد ومشاركة واحدة من دينة ثلاثة.

مثال - طريقة المنتقي المنفرد • الخطوة 3 (التحديد) ، تابع: سيختار شير أحد قطعتي الأناناس من David’ssubshares وإسفين البرتقال والأناناس الكبير من Dinah’ssubshares.

مثال - طريقة المنتقي المنفرد • الخطوة 3 (التحديد): يتم عرض التقسيم العادل النهائي للكعكة. حصل David على حصة نهائية بقيمة 9 دولارات ، وحصلت Dinah على حصة نهائية بقيمة 12 دولارًا ، وحصلت Cher على حصة نهائية بقيمة 14 دولارًا. ديفيد راضٍ ، ودينة سعيدة ، وشير غير ثابت.

طريقة الاختيار الفردي للاعبين N • في الحالة العامة للاعبين N ، تتضمن طريقة الاختيار الفردي منتقي واحد Cand N - 1 فواصل D1 ، D2 ، ... ، DN – 1. • كما هو الحال دائمًا ، من الأفضل أن يكون اختيارًا من الحاجز ، لذلك يتم تحديد المنتقي عن طريق سحب عشوائي.

طريقة الاختيار الفردي للاعبين N • الخطوة 1 (التقسيم): D1 ، D2 ، ... ، DN – 1 قسّم بشكل عادل المجموعة S فيما بينها ، كما لو أن C لم تكن موجودة. • هذا تقسيم عادل بين لاعبي N - 1 ، لذلك يحصل كل منهم على حصة يعتبرها تساوي على الأقل 1 / (N – 1) thof S.

طريقة الاختيار الفردي للاعبين N • الخطوة 2 (التقسيم الفرعي): يقسم كل حاجز حصته أو حصتها إلى عدد N من الأسهم الفرعية. • الخطوة 3 (التحديد): يبدأ المنتقي C أخيرًا في اللعب. يختار C مشاركة فرعية واحدة من كل فاصل - مشاركة فرعية واحدة من D1 ، وواحدة من D2 ، وهكذا. • في النهاية ، ينتهي الأمر C بأسهم فرعية N - 1 ، والتي تشكل المشاركة النهائية لـ C ، ويحصل كل فاصل على الأسهم الفرعية المتبقية N - 1 في تقسيمها الفرعي.

طريقة المنتقي المنفرد • عندما يتم تشغيلها بشكل صحيح ، فإن طريقة الاختيار الفردي تضمن أن كل شخص ، سواء كان مقسمًا أو منتقيًا ، ينتهي به المطاف بحصة عادلة.


المعيار 14 - الرياضيات المتقطعة - الصفوف 5-6

المؤشرات والأنشطة

تظهر مؤشرات التقدم التراكمية للصف الثامن أدناه بخط غامق. يتبع كل مؤشر أنشطة توضح كيف يمكن معالجته في الفصل الدراسي في الصفين الخامس والسادس.

بناءً على المعرفة والمهارات المكتسبة في الدرجات السابقة ، ستكون الخبرات مثل جميع الطلاب في الصفوف 5-6:

6. استخدم القائمة المنهجية ، والعد ، والاستدلال في مجموعة متنوعة من السياقات المختلفة.

    يحدد الطلاب عدد السندويشات المختلفة أو الهامبرغر التي يمكن إنشاؤها في المطاعم المحلية باستخدام مزيج من المكونات المحددة.

7. التعرف على النماذج الرياضية المنفصلة المشتركة ، واستكشاف خصائصها ، وتصميمها لمواقف محددة.

    يقوم الطلاب بتجربة رسم الخرائط الخيالية التي يمكن تلوينها بلونين وثلاثة وأربعة ألوان (حيث يجب أن يكون للبلدان المجاورة ألوان مختلفة) ، ويشرحون لماذا لا يمكن أن تكون خرائطهم الوهمية والخرائط الحقيقية مثل خريطة الولايات الخمسين. ملونة بألوان أقل. لاحظ أنه ثبت في عام 1976 أنه لا يمكن رسم أي خريطة على سطح مستو يتطلب أكثر من أربعة ألوان. يحتوي كتاب تلوين الرياضيات على مجموعة متنوعة من أنشطة تلوين الخرائط ، بالإضافة إلى الخلفية التاريخية لمشكلة تلوين الخريطة.

8. تجربة العمليات التكرارية والعودية بمساعدة الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر.

    يطور الطلاب طريقة لحل مشكلة برج هانوي: هناك ثلاثة أوتاد ، أولها مكدس خمسة أقراص ، كل منها أصغر من الموجودة تحتها (انظر الرسم البياني أدناه) المشكلة هي نقل المجموعة بأكملها إلى الثالث الوتد ، الأقراص المتحركة ، واحدًا تلو الآخر ، من أي أوتاد إلى أي من الوتدين الآخرين ، مع عدم وضع قرص على قرص أصغر. كم عدد الحركات المطلوبة للقيام بذلك؟

9. استكشاف طرق تخزين المعلومات ومعالجتها وإيصالها.

    بعد مناقشة الطرق الممكنة لتوصيل الرسائل عبر ملعب كرة قدم ، تبتكر فرق الطلاب طرقًا لإرسال رسالة قصيرة (باستخدام الأعلام ، والمصابيح اليدوية ، وإشارات الذراع ، وما إلى ذلك). يتلقى كل فريق رسالة بنفس الطول ويجب أن ينقلها إلى أعضاء الفريق في الطرف الآخر من الحقل بأسرع ما يمكن وبدقة.

10. ابتكار ووصف واختبار الخوارزميات لحل مشاكل البحث والتحسين.

    يستخدم الطلاب إجراء منهجيًا للعثور على العدد الإجمالي للطرق من موقع في بلدتهم إلى آخر ، وأقصر طريق من هذا القبيل. (راجع حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية.)

مراجع

بينيت ، س ، وآخرون. التقسيم العادل: الحصول على حصتك العادلة. اتحاد الرياضيات وتطبيقاتها (COMAP). الوحدة رقم 9 ، 1987.

كيسي ونانسي ومايك فيلووز. هذه هي MEGA-Mathematics! - قصص وأنشطة للتفكير الرياضي وحل المشكلات والتواصل. لوس ألاموس ، كاليفورنيا: مختبرات لوس ألاموس الوطنية ، 1993. (نسخة متاحة على الإنترنت في http://www.c3.lanl.gov/mega-math)

تشافي ، د. رسم الصور بخط واحد. اتحاد الرياضيات وتطبيقاتها (COMAP). الوحدة رقم 21 ، 1992.

كوزينز ، إم ، و آر بورتر. حل المشكلات باستخدام الرسوم البيانية. اتحاد الرياضيات وتطبيقاتها (COMAP). الوحدة رقم 6 ، 1987.

فرانسيس ، ر. كتاب التلوين لعالم الرياضيات. اتحاد الرياضيات وتطبيقاتها (COMAP). الوحدة رقم 13.

جارلاند ، ترودي. فيبوناتشي الرائع. بالو ألتو ، كاليفورنيا: منشورات ديل سيمور ، 1987.

هاكل ، هيلين. كتاب الشفرة السرية. اطلب الكتب.

كيني ، إم جيه ، إد. الرياضيات المتقطعة عبر المنهج الدراسي K-12. 1991 الكتاب السنوي للمجلس الوطني لمدرسي الرياضيات (NCTM). ريستون ، فيرجينيا ، 1991.

بول ، أ. ثمانية أيادي مستديرة. نيويورك: هاربر كولينز ، 1991.

بيتجن ، هاينز أوتو ، وآخرون. الفركتلات للفصل الدراسي: الأنشطة الاستراتيجية ، المجلد الأول والثاني. Reston، VA: NCTM and New York: Springer- Verlag، 1992.

روزنشتاين ، جي جي ، دي فرانزبلو ، إف روبرتس ، محرران. الرياضيات المتقطعة في المدارس: إحداث تأثير. وقائع مؤتمر DIMACS 1992 حول "الرياضيات المتقطعة في المدارس". سلسلة DIMACS في الرياضيات المتقطعة وعلوم الكمبيوتر النظرية. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 1997. (Available online from this chapter in http://dimacs.rutgers.edu/archive/nj_math_coalition/framework.html/.)

Wahl, Mark. Mathematical Mystery Tour: Higher-Thinking Math Tasks . Tucson, AZ: Zephyr Press, 1988.

برمجة

Logo . Many versions of Logo are commercially available.

Tabletop, Jr . Broderbund, TERC.

Video

Geometry: New Tools for New Technologies , videotape by the Consortium for Mathematics and Its Applications (COMAP). Lexington, MA, 1992.

On-Line Resources

The Framework will be available at this site during Spring 1997. In time, we hope to post additional resources relating to this standard, such as grade-specific activities submitted by New Jersey teachers, and to provide a forum to discuss the Mathematics Standards .


Line plot with a numeric x-axis

If the variable on x-axis is numeric, it can be useful to treat it as a continuous or a factor variable depending on what you want to do :


Why long division works

I feel the long division algorithm AND why it works presents quite a complex thing for students to learn, so in this case I don't see a problem with students first learning the algorithmic steps (the "how"), and later delving into the "why". Trying to do both simultaneously may prove to be too much to some.

However, once the student has a basic mastery of كيف to do long division, it is time to also study what it is based on. To learn more about that, please see:

Why long division works (based on repeated subtraction)

Worksheets

Long division worksheets
Create an unlimited supply of worksheets for long division (grades 4-6), including with 2-digit and 3-digit divisors. The worksheets can be made in html or PDF format - both are easy to print. You can also customize them using the generator.


Tuesday, November 13, 2018

AP Calculus AB - Wednesday November 13 2018 CH 2.5 Implicit Differentiation

We dove in on implicit differentiation, differentiating different variables other than x with respect to x. The last video is how to do two problems on the homework.


Keywords: AP Calculus AB, implicit differentiation

Geometry - Tuesday November 13 2018 Trigonometric Ratios SOH CAH TOA #2 Finding Angles and #3 Word Problems

We continued trigonometry today by finding angles of a right triangle. We also applied these ratios in word problems.


Keywords: trigonometry, trigonometric ratios, inverse sine, inverse cosine, inverse tangent, arcsine, arccosine, arctangent, word problems, opposite, adjacent, hypotenuse


Wednesday, February 15

8:00 Geometry - We began our discussion of Ch. 8, focusing on similarities and proportions that exist in a right triangle (Sec. 8.1). HW for Thursday - Complete the guided notes packet that was distributed in class today.

12:00/1:00 Geometry- Today we discussed section 8.2 which is the basics of right triangle trigonometry. For class today Look at this sketch to help you answer some questions in your packet. HW for Thursday- 8.2 #23-27 odd, 28-30, 37-43 odd.

Algebra 2/Trig- today we discussed 7.3 which is the beginning of Logarithmic functions. HW for Thursday- page 509, #17-29, 33, 34


شاهد الفيديو: 1958 -3022 إذا باع شخص أرضا فهل لجاره حق الشفعة - الشيخ صالح الفوزان (شهر اكتوبر 2021).