مقالات

2.17: المفاهيم - الرياضيات


  1. أسفرت الانتخابات عن فوز المرشح "أ" ، وجاء المرشح "ب" في المرتبة الثانية ، والمرشح "ج" في المرتبة الثالثة. إذا كان لا بد من إجراء الانتخابات مرة أخرى لسبب ما ، وقرر "ج" الانسحاب من الانتخابات ، مما أدى إلى فوز "ب" ، فما هو معيار الإنصاف الأساسي الذي تم انتهاكه في هذه الانتخابات؟
  1. أسفرت الانتخابات عن فوز المرشح "أ" ، وجاء المرشح "ب" في المرتبة الثانية ، والمرشح "ج" في المرتبة الثالثة. إذا كان لا بد من إجراء الانتخابات مرة أخرى لسبب ما وقام العديد من الأشخاص الذين صوتوا لصالح C بتغيير تفضيلاتهم لصالح A ، مما جعل B هو الفائز ، فما هو معيار الإنصاف الأساسي الذي تم انتهاكه في هذه الانتخابات؟
  1. أسفرت الانتخابات عن فوز المرشح "أ" ، وجاء المرشح "ب" في المرتبة الثانية ، والمرشح "ج" في المرتبة الثالثة. في حالة المقارنة المباشرة ، إذا فضلت غالبية الأشخاص "ب" إلى "أ" أو "ج" ، فما هو معيار الإنصاف الأساسي الذي تم انتهاكه في هذه الانتخابات؟
  1. أسفرت الانتخابات عن فوز المرشح "أ" ، وجاء المرشح "ب" في المرتبة الثانية ، والمرشح "ج" في المرتبة الثالثة. إذا حصل "ب" على أغلبية أصوات المركز الأول ، فما هو معيار الإنصاف الأساسي الذي تم انتهاكه في هذه الانتخابات؟

2.17: المفاهيم - الرياضيات

رياضيات 300: مفاهيم الرياضيات الأساسية. الرياضيات 300: مفاهيم الرياضيات الأساسية
ربيع 2017

معلم: Paul Hacking، LGRT 1235H، [email protected]
تا: شيلبي كوكس ، [email protected]

الاجتماعات
الفصول: الثلاثاء والخميس ، 1:00 م - 2:15 م ، في LGRT 143.
Coseminar: الثلاثاء 4:00 مساءً - 4:50 مساءً ، LGRT 1234 الأربعاء 4:00 مساءً - 4:50 مساءً ، LGRT 1114 ، والأربعاء 5:00 مساءً - 5:50 مساءً ، LGRT 1114.
ساعات العمل: الثلاثاء 2:30 مساءً - 3:30 مساءً والأربعاء 2:00 مساءً - 3:00 مساءً في LGRT 1235H (Paul Hacking) الأربعاء 3:00 مساءً - 4:00 مساءً في LGRT 1117 (شيلبي كوكس).

نص الدورة: الاستدلال الرياضي: الكتابة والإثبات، بواسطة T. Sundstrom ، متاح للتنزيل المجاني على موقع المؤلف هنا.

المتطلبات الأساسية: رياضيات 132.

الهدف هو أن تتعلم قراءة وفهم وبناء أدلة متماسكة وصحيحة منطقيًا ، بحيث يمكنك بسهولة الانتقال من حساب التفاضل والتكامل إلى دورات المبتدئين الأكثر نظرية ، وخاصة الجبر المجرد والتحليل الحديث. بدءًا من البديهيات الصريحة والتعاريف المحددة بدقة ، ستقوم بشكل منهجي بتطوير افتراضات أساسية حول الأعداد الصحيحة والحساب المعياري والاستقراء والتكرار والأرقام الحقيقية والمجموعات اللانهائية وموضوعات أخرى قد يسمح بها الوقت. سيتم تزويدك بالخلفية المطلوبة حول المنطق والمجموعات والوظائف. لكل فصل تقريبًا ، ستنشئ براهين رياضية مكتوبة. من المتوقع أن تشارك بنشاط في الفصل ، بما في ذلك في الندوة المشتركة.

سنغطي الفصول من 1 إلى 9 من الكتاب المدرسي.

سيكون هناك واجبات منزلية أسبوعية ، مستحقة في بداية فصل الخميس. (أول واجب منزلي يوم الخميس 2/2/2017).

سيكون هناك اختباران نصفي وامتحان نهائي واحد على النحو التالي:

منتصف المدة 1: الثلاثاء 2/28/2017 ، 7:00 مساءً - 8:30 مساءً ، LGRT 206.
منهج منتصف الفصل الأول هو الأقسام 2.1 و 2.2 و 2.3 و 2.4 و 3.1 و 3.2 و 3.3 من سوندستروم.
ستكون هناك جلسة مراجعة لمنتصف المدة 1 يوم الاثنين 2/27/2017 ، 7:00 مساءً - 8:30 مساءً ، في LGRT 202.
يرجى تجربة مشاكل المراجعة هنا قبل جلسة المراجعة.

منتصف المدة 2: الثلاثاء 4/11/17 ، 7:00 مساءً - 8:30 مساءً ، LGRT 206.
منهج منتصف الفصل 2 هو الأقسام 3.1 و 3.2 و 3.3 و 3.4 و 3.5 و 4.1 و 4.2 و 4.3 و 8.1 و 8.2 و 8.3 من سوندستروم.
ستكون هناك جلسة مراجعة لمنتصف المدة 2 يوم الاثنين 4/10/17 ، 7:00 مساءً - 8:30 مساءً ، في LGRT 204.
يرجى تجربة مشاكل المراجعة هنا قبل جلسة المراجعة.

إمتحان نهائي: الأربعاء 5/10/17 ، 10:30 صباحًا - 12:30 مساءً ، في LGRT 143.
منهج الاختبار النهائي هو الأقسام 2.1 و 2.2 و 2.3 و 2.4 و 3.1 و 3.2 و 3.3 و 3.4 و 3.5 و 4.1 و 4.2 و 4.3 و 5.1 و 5.2 و 5.3 و 6.1 و 6.3 و 6.4 و 6.5 و 7.1 و 7.2 ، 7.3 و 8.1 و 8.2 و 8.3 من Sundstrom. (انظر أيضًا سجل الفصل هنا.)
ستكون هناك جلسة مراجعة للاختبار النهائي يوم الثلاثاء 5/9/17 ، 7:00 مساءً - 8:30 مساءً ، في LGRT 204.
يرجى تجربة مشاكل المراجعة هنا قبل جلسة المراجعة.

يُسمح لك بورقة ملاحظات بحجم حرف واحد (كلا الجانبين) لكل اختبار. الآلات الحاسبة ، والملاحظات الإضافية ، والكتاب المدرسي ليس مسموح بها في الامتحانات والاختبارات. يجب عليك إحضار معرف الطالب (UCard) الخاص بك إلى كل اختبار.

سيتم احتساب درجة دورتك الدراسية على النحو التالي: الواجبات المنزلية والاختبارات 30٪ ، الامتحانات النصفية 20٪ لكل منهما ، الامتحان النهائي 30٪.


2.17: المفاهيم - الرياضيات

2.035: مواضيع خاصة في الرياضيات مع تطبيقات

6 وحدات موضوعية - ربيع 2007

هذا العام ، سيغطي موضوع 2.035 مواضيع مختارة من الجبر الخطي و ال حساب الاختلافات. سوف يستهدف بشكل أساسي (ولكن ليس حصريًا) الطلاب الذين يهدفون إلى دراسة الميكانيكا (ميكانيكا المواد الصلبة ، وميكانيكا الموائع ، وطرق الطاقة ، إلخ) ، وستقدم الدورة بعض الأدوات الرياضية المستخدمة في هذه الموضوعات. ستكون التطبيقات مرتبطة في الغالب (ولكن ليس حصريًا) بالبنى المجهرية للمواد الصلبة البلورية.

  • المدرب: Rohan Abeyaratne، 3-173، x3-2201، [email protected]
  • المصطلح: فصل الربيع 2007
  • المتطلبات الأساسية: المصفوفات وحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات
  • الوقت: الثلاثاء و / أو الخميس 11: 00-12: 30 (6 وحدات تخضع 14 فصلًا)
  • المكان: غرفة 1-134
  1. ج. نولز ، مسافات المتجهات الخطية والتنسورات الديكارتية، أكسفورد ، 1998
  2. روهان أبياراتني ، ملاحظات محاضرة حول ميكانيكا الجوامد المرنة: المجلد الأول: استعراض موجز لبعض المقدمات الرياضية ، كتاب إلكتروني مجاني ، 2006. تنزيل من http://web.mit.edu/abeyaratne/lecture_notes.html

مخطط الدورة التدريبية المؤقتة:

  • مسافات المتجهات الخطية
  • المساحات الإقليدية المتجهية
  • التحولات الخطية
  • موتر ديكارت

حساب الاختلافات: (6 فئات)

  • الاختلاف الأول
  • الاختلاف الثاني.
  • المبادئ المتغيرة في الميكانيكا.
  • الحلول التقريبية.

وضع العلامات: نصف الفصل = 40٪ ، الامتحان النهائي = 60٪

مزيد من المراجع: (قيد الحجز بمكتبة باركر).

  1. IM Gelfand ، محاضرات في الجبر الخطي، دوفر ، 1989.
  2. P. R. Halmos ، مسافات متجهة ذات أبعاد محدودة، فان نوستراند-رينهولد ، 1958.
  3. IM Gelfand و S.V. فومين ، حساب الاختلافات، برنتيس هول ، 1963.
  4. جياكوينتا وس. هيلدربرانت ، حساب الاختلافات أنا، سبرينغر ، 1996.
  5. جيه إل تروتمان ، التفاضل التفاضلي مع التحدب الأولي، Springer-Verlag ، 1983.

الجدول الزمني المؤقت للدورة

قراءات معينة ومجموعات المشاكل:

  • قراءة الصفحات 1-8 (نولز)
  • المفاهيم الأساسية: مساحة المتجه ، الاستقلال الخطي ، أبعاد مساحة المتجه ، أساس مساحة المتجه ، مكونات المتجه
  • مشاكل العمل 1.1 إلى 1.11 (نولز)
  • قراءة الصفحات 9-17 (نولز)
  • المفاهيم الأساسية: المنتج العددي ، طول المتجه ، المسافة بين المتجهات ، الزاوية بين المتجهات ، الأساس المتعامد
  • مشاكل العمل 1.12 إلى 1.20 (نولز)
  • اقرأ الصفحات ١٨-٢٠ ، ٢٣-٢٦ (نولز)
  • المفاهيم الأساسية: التحولات الخطية ، الفضاء الجزئي الثابت ، مشكلة القيمة الذاتية
  • مشاكل العمل 2.1 ، 2.3 ، 2.6 ، 2.17 باستثناء أسئلة حول تحويلات المفرد / غير المفرد / العكسي (نولز)
  • قراءة الفصل 2 (نولز)
  • المفاهيم الأساسية: الفراغ الفارغ ، التحولات الخطية المفردة / غير الفردية ، المعكوس ، مكونات التحول الخطي
  • مشاكل العمل 2.1-2.5 ، 2.8 ، 2.9 ، 2.11 ، 2.15 - 2.17
  • قراءة الصفحات 27-32 ، 42-46 (نولز)
  • المفاهيم الأساسية: مكونات التحول الخطي ، المكونات في قواعد مختلفة ، المتغيرات العددية ، الموترات الديكارتية ، الموترات المتماثلة ، التنسورات المنحرفة المتماثلة
  • مشاكل العمل 3.1-3.12 (نولز)
  • اقرأ الصفحات 42-52 (باستثناء منتجات Tensor) ، 56-57 (نولز)
  • المفاهيم الأساسية: القيم الذاتية للموتر المتماثل ، الأساس الرئيسي ، موتر محدد موجب ، موتر متعامد ، موتر متعامد صحيح / غير لائق
  • مشاكل العمل 3.13-3.18 ، 3.20 ، 3.24-3.26 (نولز)
  • اقرأ الصفحات 44 ، 57-59 (نولز) ، الفصول 2 و 3 (أبياراتني)
  • المفاهيم الأساسية: ناتج موتر لمتجهين ، التحلل القطبي لموتر غير مفرد
  • مشاكل العمل 3.3-3.7 ، 3.11-3.16 ، 3.22 ، 3.23 (نولز)

الامتحان النصفي: (3 أبريل و 3-5 أبريل)

  • الجزء الأول: في الفصل. الثلاثاء 3 أبريل ، 11:00 ص - 12:30 م. يمكنك استخدام ملاحظات الفصل المكتوبة بخط اليد فقط.
  • الجزء 2: خذ المنزل. يوم الخميس 5 أبريل الساعة 11 صباحًا. يمكنك استخدام برنامج Knowles وملاحظات الفصل المكتوبة بخط اليد فقط.
  • الامتحان القديم: منتصف الفصل الدراسي الجزء الأول ، امتحان منتصف الفصل الدراسي الجزء الثاني

الاختبار النهائي: (تم توزيعه في 8 مايو ، موعد استحقاقه 15 مايو)

  • سيتم إجراء الاختبار النهائي بالكامل إلى المنزل.
  • سيتم تسليم الامتحان في الفصل يوم 8 مايو.
  • يجب أن يتم تسليم الحلول الخاصة بك في موعد لا يتجاوز 11 صباحًا في 15 مايو.
  • ستكون جميع المشكلات في حساب التباينات.
  • سيكون هناك 6 مشاكل يمكنك حل أي منها 5. يجب ألا تخصص أكثر من ساعتين لأي مشكلة واحدة.
  • سيحسب الاختبار النهائي 50٪ من درجتك.


مواضيع الرياضيات الموسعة & # 038 تحرير المساعدة في AcademicHelp.net

في بعض دورات الرياضيات ، خاصة في الكلية أو الجامعة ، قد يقوم المعلم بتعيين مشروع مقال حول موضوعات مقالة موسعة في الرياضيات. في البداية ، قد يبدو الأمر شاقًا حقًا. يختلف حل المعادلات عن الكتابة عنها ، وفي البداية ستشعر أنك غير مألوف بشأن الموضوعات. لكننا هنا لمساعدتك في أي مهمة رياضية منزلية صعبة. إنه شيء يمكن تنفيذه تمامًا لخبرائنا.


خصائص تقسيم الأعداد الصحيحة - الأهمية

معرفة خصائص قسمة الأعداد الصحيحة أمر مهم لأن معظم المرشحين غالبًا ما يختلطون بين خصائص الضرب والقسمة. كلتا العمليتين لها خصائص مختلفة وهي إلزامية لاتباع جميع القواعد. تساعد الخصائص في حل العديد من المشكلات بطريقة سهلة. للتذكير ، الأرقام الصحيحة هي أرقام موجبة أو سالبة ، بما في ذلك الصفر. جميع خصائص الضرب والطرح والقسمة والجمع قابلة للتطبيق على الأعداد الصحيحة. يتم الإشارة إلى الأعداد الصحيحة بالحرف "Z".

قواعد تقسيم الأعداد الصحيحة

القاعدة 1: حاصل قسمة عددين موجبين (+) موجب (+).

القاعدة 2: حاصل قسمة عدد صحيح موجب (+) وعدد صحيح سالب (-) سالب (-).

القاعدة 3: حاصل قسمة عددين سالبين (-) موجب (+).

باختصار ، إذا كانت علامات العددين هي نفسها ، فستكون النتيجة موجبة. إذا كانت علامات العددين مختلفين ، فستكون النتيجة سالبة.

خصائص قسم الأعداد الصحيحة

القسمة هي العملية العكسية للضرب.

لنأخذ مثال الأعداد الصحيحة ،

24/4 مما يعني أن قسمة 24 على 4 ليست سوى إيجاد عدد صحيح عند ضربه في 4 يعطينا 24 ، مثل هذا العدد الصحيح هو 6.

وبالتالي ، لكل بيان ضرب للأرقام الكاملة ، هناك عبارتان قسمة.

1. قسمة عدد صحيح سالب على عدد صحيح موجب

عندما يتم قسمة رقم سالب على رقم موجب ، ستكون النتيجة سالبة دائمًا.

  1. قسّم الرقم المعطى على أنه العدد الصحيح أولاً.
  2. ثم أضف رمز ناقص قبل حاصل القسمة. وهكذا نحصل على النتيجة النهائية في صورة عدد صحيح سالب.

2. قسمة عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب

عندما يتم قسمة عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب ، ستكون النتيجة سالبة دائمًا.

  1. قسّم الرقم المعطى على أنه العدد الصحيح أولاً.
  2. ثم أضف رمز ناقص قبل حاصل القسمة. وهكذا نحصل على النتيجة النهائية في صورة عدد صحيح سالب.

3. قسّم عددًا صحيحًا سالبًا على عدد صحيح سالب

عندما يتم قسمة عدد صحيح سالب على عدد صحيح سالب ، فإن النتيجة ستكون دائمًا موجبة.

  1. قسّم الرقم المعطى على أنه العدد الصحيح أولاً.
  2. ثم أضف رمز زائد قبل حاصل القسمة. وهكذا نحصل على النتيجة النهائية كعدد صحيح موجب.

4. الإغلاق تحت خاصية التقسيم

بشكل عام ، تكون خاصية الإغلاق ، إذا كان هناك عددان صحيحان ، فإن إضافة أو طرح هذه الأعداد الصحيحة ينتج عنها عدد صحيح. لكن تقسيم الأعداد الصحيحة لا يتبع خاصية الإغلاق.

دعونا نفكر في زوج الأعداد الصحيحة.

(-12) / (- 6) = 2 (النتيجة عدد صحيح)

(-5) / (- 10) = -1/2 (النتيجة ليست عددًا صحيحًا)

من الأمثلة المذكورة أعلاه ، نستنتج أن الأعداد الصحيحة ليست مغلقة عند القسمة.

5. الملكية التبادلية للقسمة

تنص الخاصية التبادلية على أن تبديل أو تغيير ترتيب الأعداد الصحيحة لا يؤثر على النتيجة النهائية. لا يتبع تقسيم الأعداد الصحيحة الخاصية التبادلية أيضًا.

دعونا ننظر في أزواج الأعداد الصحيحة.

من الأمثلة المذكورة أعلاه ، نستنتج أن الأعداد الصحيحة ليست تبادلية للأعداد الصحيحة.

6. قسمة عدد صحيح على الصفر

أي عدد صحيح مقسوم على صفر لا يعطي نتيجة أو نتيجة لا معنى لها.

عندما يتم قسمة الصفر على عدد صحيح غير الصفر ينتج عن ذلك صفر.

7. قسمة عدد صحيح على 1

عندما يتم قسمة عدد صحيح على 1 ، فإنه يعطي النتيجة 1.

يوضح المثال أعلاه أنه عندما يتم قسمة عدد صحيح سالب على 1 ، فإنه يعطي نفس العدد الصحيح السالب.

أمثلة على خصائص قسمة الأعداد الصحيحة

تحقق من أن أ / (ب + ج) ≠ (أ / ب) + (أ / ج) عندما أ = 8 ، ب = - 2 ، ج = 4.

ومن ثم يتم التحقق من المعادلة أعلاه.

(- 80) / (4) ليس هو نفسه 80 / (- 4). خطأ صحيح

نظرًا لأن (- 80) / (4) = 80 / (- 4) ، فإن العبارة أعلاه خاطئة.

المحلول: [(– 8)+4)]/[(–5)+1]

من السؤال (-15625) / (- 125)

أوجد قيمة [32 + 2 * 17 + (- 6)] / 15

كيف تقسم الأعداد الصحيحة؟

  1. بعد قسمة الرقم الأول من المقسوم على القاسم ، إذا كان المقسوم عليه عددًا أكبر من الرقم الأول من المقسوم ، فاقسم أول رقمين من المقسوم على القاسم وهكذا.
  2. اكتب دائمًا حاصل القسمة فوق المقسوم.
  3. اضرب قيمة حاصل القسمة في المقسوم عليه واكتب قيمة المنتج تحت المقسوم.
  4. اطرح قيمة المنتج من المقسوم وأنزل الرقم التالي من المقسوم.
  5. كرر الحل من الخطوة 1 حتى لا يتبقى أي أرقام في المقسوم.
  6. أخيرًا ، تحقق من الحل بضرب حاصل القسمة.

آمل أن تتمكن الآن من الحصول على المعلومات الكاملة حول خصائص قسم الأعداد الصحيحة. احصل على آخر التحديثات حول جميع أنواع المفاهيم الرياضية مثل الأعداد الصحيحة ، والوقت والعمل ، والأنابيب والصهاريج ، والنسب والنسب ، والاختلافات ، وما إلى ذلك. اتبع جميع المقالات للحصول على توضيح كامل حول موضوع الأعداد الصحيحة. ترقبوا موقعنا للحصول على البيانات أو المعلومات الكاملة المتعلقة بالمفاهيم الرياضية.


المهام

لإكمال هذا القسم ، يجب أن تعرف كيفية كتابة المتباينات في تدوين الفترة. انظر القسم بعنوان & ldquoIntervals، & rdquo الصفحات 337-338 من الكتاب المدرسي.

حساب التفاضل والتكامل هو مجال الرياضيات الذي يتخصص في حل المشكلات من خلال إنشاء الوظيفة أو الوظائف التي تمثل الكميات المعنية. في هذه الدورة التمهيدية ، ستتعلم كيفية تطبيق أنواع مختلفة من الوظائف لحل المشكلات ، ونأمل أن تقدر في هذه العملية مدى قوة مفهوم الوظيفة في حل المشكلات. لكن قبل أن نناقش الدوال ، يجب أن نأخذ في الاعتبار المتغيرات والعلاقات.

في الرياضيات ، تسمى الكميات & ldquovariables. & rdquo تسمى الكميات التي لا تتغير بالمتغيرات الثابتة أو الثوابت ، وتسمى الكميات التي لا تتغير بالمتغيرات المتغيرة أو ببساطة المتغيرات.

التعريف 2.1. أ عامل هي كمية قد تتغير أو لا تتغير (تختلف) وفقًا لما تمثله.

قد تعتقد أن هذا التعريف يحتوي على تناقض ، لكن ما نعتزمه هو أن نمنح أنفسنا المرونة في تغيير ثابت إلى متغير إذا احتجنا إلى ذلك. في هذه الدورة ، جميع المتغيرات هي أرقام حقيقية.

مثال 2.1. عمرك متغير متغير. يتغير (يتغير) كل عام مع تقدمك في العمر ، لكنه يصبح ثابتًا عند وفاتك.

مثال 2.2. الدخل متغير متغير (آمل أن يزداد). يتغير وفقًا لتعديلات تكلفة المعيشة ، والترقيات ، وما إلى ذلك.

مثال 2.3. مسافة الجسم المتحرك من أصله متغير متغير.

مثال 2.4. حجم الصندوق الخشبي متغير ثابت. [لماذا ا؟]

مثال 2.5. حجم مكعب الجليد الذائب متغير. [يوافق على؟]

بشكل عام ، من السهل تحديد متى يكون المتغير ثابتًا أو متغيرًا. ضع في اعتبارك التمارين التالية.

تمارين
  1. هل عدد الأطفال في الأسرة متغير أم متغير ثابت؟
  2. هل تسارع الجاذبية الأرضية و rsquos متغير ثابت؟
  3. هل عدد الأيام في السنة ثابت أم متغير متغير؟

عند العمل مع المتغيرات ، من المهم معرفة الكميات المتغيرة وأيها ثابت.

عندما نحدد متغيرًا واحدًا أو أكثر ، نقوم بتسميتها لسهولة الرجوع إليها ، لذلك يجب أن يكون للمتغيرات المختلفة أسماء مختلفة. بمجرد تسمية متغير ، نقوم بتمثيله كرمز ، فهذه هي الخطوة الأولى في التفكير المجرد وما يسميه علماء الرياضيات & ldquomathematical modeling. & rdquo نوع الرمز ليس مهمًا ، ولكن لتسهيل معالجة المتغيرات ، فإننا نميل إلى منحهم رموزًا ترتبط بما يمثلونه ، باستخدام أقل عدد ممكن من الأحرف أو الشخصيات الأخرى. نظرًا لأن كل شخص يمكنه اختيار رمز مختلف لكل متغير ، بمجرد تعيين رمز ، يجب أن نجعل الآخرين يعرفون ما يمثله الرمز. أي أننا نخصص أسماء المتغيرات والرموز المقابلة لها لتحديدها.

حدد دائمًا المتغيرات التي تستخدمها وقم بإعطاء أسماء مختلفة للمتغيرات المختلفة.

من الملائم أيضًا التفكير في النطاق المحتمل لقيم المتغيرات التي نحددها.

مثال 2.6. يمكننا تعيين الرموز I و & # x0024 للمتغيرات التي تشير إلى نوعين مختلفين من الدخل. يمكننا تحديدها بالقول: & ldquo نشير إلى الدخل الذي حصل عليه الموظف قبل عام 2000 ، وبواسطة & # x0024 الدخل الذي حصل عليه نفس الموظف بعد عام 2000. & rdquo ما هي القيم الممكنة لـ I و & # x0024؟ نتوقع أن يكون I و & # x0024 أرقامًا موجبة غير صفرية حقيقية ، أي & # x003E 0 و & # x0024 & # x003E 0.

مثال 2.7. بالنسبة إلى المتغير & ldquoage & rdquo ، يمكننا تعيين الحرف A ونذكر: & ldquo يُشار إلى عمر الشخص (بالسنوات) بالرمز A. & rdquo المتغير A موجب أو صفر ، ومن المحتمل أن يكون من الآمن افتراض أنه أقل من 120 ، وبالتالي ، فإن 0 & # x2264 A & # x003C 120 أي نطاق من قيم A هو الفاصل الزمني [0،120).

المثال 2.8. يمكن تمثيل المتغير & ldquodistance & rdquo بواسطة s ، ويمكننا القول: & ldquo. . . المسافة $ s $ لجسم متحرك. . . . المتغير $ s $ موجب أي s & # x2265 0.

تمارين
  1. ما هو الرمز الذي ستعطيه للمتغير & ldquovolume لمكعب ثلج & rdquo؟ كيف تترجمها؟
  2. كيف تحدد المتغير & ldquothe درجة حرارة الجسم للإنسان الحي & rdquo؟ ما هو المدى المحتمل لقيم هذا المتغير؟

بعد تحديد المتغيرات ، يجب أن نحاول فهم العلاقات الممكنة فيما بينها.

المثال 2.9. إن & ldquoincome & rdquo للموظف مرتبط بعدد & ldquonumber الموظف & rsquos ساعات العمل. & rdquo إذن لدينا علاقة بين المتغيرات المتغيرة & ldquoincome & rdquo و & ldquonumber of work hours. & rdquo

المثال 2.10. تعتمد تكلفة إرسال رسالة بريدية على وزنها ، لذلك لدينا علاقة بين المتغيرات المتغيرة و ldquoweight من حرف & rdquo و & ldquocost من طابع البريد. & rdquo

المثال 2.11. & ldquoarea من أي مثلث & rdquo تعتمد على & ldquol length لقاعدتها وارتفاعها. & rdquo إذن لدينا علاقة بين المتغيرات & ldquoarea للمثلث & rdquo و & ldquol length للقاعدة والارتفاع. & rdquo

المثال 2.12. & ldquodistance & rdquo لكائن متنقل يعتمد على & ldquotime & rdquo الذي تم السفر.

لاحظ أنه في الأمثلة المذكورة أعلاه ، لدينا متغيرات ذات صلة لأننا وجدنا علاقة تبعية بينهما. لكن يمكننا أيضًا ربط المتغيرات بناءً على معايير أخرى.

المثال 2.13. يمكننا ربط & ldquoSocial Insurance Number & rdquo للمواطن الكندي مع بلده أو لها & ldquoage في عام 1998. & rdquo

المثال 2.14. & ldquoage & rdquo الخاص بك يمكن أن تكون مرتبطة ldquoweight الخاص بك. & rdquo

التعريف 2.2. أ علاقة هو ارتباط بين متغيرين أو بين عدة متغيرات.

يجب إنشاء المعيار المستخدم لربط المتغيرات و [مدش] أي ، تعريفه و [مدش] لتأسيسه ، يجب أن نقدم نموذجًا رياضيًا.

مثال 2.15. في المثال 2.9 لدينا العلاقة بين المتغير & ldquoincome & rdquo والمتغير & ldquonumber من ساعات العمل. & rdquo نبدأ بتحديد هذه المتغيرات. دعني أكون الدخل وأكون عدد ساعات العمل. هناك طريقتان لتحديد العلاقة بين هذين المتغيرين:

بواسطة أزواج مرتبة. يشير الزوج (w ، I) إلى أن I و w متغيرين مرتبطين. لتأسيس العلاقة بينهما ، نقول أن العلاقة هي مجموعة الأزواج (ث ، أنا) حيث أنا هو الدخل المكتسب لساعات العمل ، ونكتب & # x007B (w، I) | أنا الدخل المكتسب عن ساعات العمل & # x007D. يمكننا أيضًا تسمية هذه العلاقة ، لنقل T ونكتبها

تتم قراءة الأقواس $ <> $ كـ & ldquothe مجموعة من ، & rdquo والرمز | تقرأ كـ & ldquosuch that & rdquo or & ldquowhere. & rdquo إذن التعبير هو ، & ldquo T هي مجموعة جميع أزواج النموذج (w ، I) بحيث يكون الدخل لساعات العمل. & rdquo

من خلال تعريف صريح للعلاقة. نقرر اسم العلاقة أولاً ، لنقل & # x00A0 T ثم نكتب w T I للإشارة إلى أن w مرتبط بـ I بواسطة T. نحدد هذه العلاقة صراحة على النحو التالي:

$ wTI $ إذا وفقط إذا كان $ I $ هو الدخل المكتسب مقابل $ w $ لساعات العمل.

في حساب التفاضل والتكامل ، نفضل الترميز الذي يستخدم الأزواج المرتبة.

مثال 2.16. في المثال 2.10 ، لدينا متغيرات تكلفة البريد والوزن ، والتي نحددها على أنها P و w ، على التوالي. إذا قمنا بتسمية العلاقة C ، فإننا إما نكتب

يجب قراءتها كـ & ldquo C هي مجموعة جميع الأزواج (w ، P) بحيث تكون P هي تكلفة طابع البريد لقطعة بريد بوزن w ، & rdquo أو نكتب w CP iff [1] P هي تكلفة الترحيل قطعة من البريد من الوزن ث.

قرأنا أن & ldquo P مرتبطة بـ w بالعلاقة C إذا وفقط إذا كانت P هي تكلفة إرسال قطعة بريد ذات وزن ث. & rdquo

المثال 2.17. في المثال 2.11 ، نعرّف A على أنها مساحة مثلث ، و b و h كقاعدة المثلث وارتفاعه ، على التوالي. نسمي العلاقة T ونعرّفها على أنها

(b، h) T A iff A هي مساحة المثلث بقاعدته b وارتفاعه h.

المثال 2.18. راجع المثال 2.13. سنجعل رقم التأمين الاجتماعي هو رقم التأمين الاجتماعي للشخص ، وسنسمح لـ A أن يكون ذلك الشخص و rsquos في عام 1998. نحن نسمي العلاقة K ، ولدينا

$ K = ( mbox، أ) | A $ هو عمر الشخص المرتبط بـ $ mbox في عام 1998$

دولار م بوكس K ، A $ iff $ A $ هو عمر الشخص المرتبط بـ $ mbox في عام 1998$.

المثال 2.19. تكتب العلاقة S بين عدد صحيح موجب n وجذره التربيعي q كـ

نظرًا لأن لدينا بالفعل رمزًا للدلالة على الجذر التربيعي لعدد صحيح موجب n ، يمكننا أيضًا كتابة S = & # x007B (n، n) | n & # x2009 هو & # x2009 a & # x2009 موجب & # x2009 عدد صحيح & # x007D.

تمارين
  1. كيف تحدد العلاقة في المثال 2.12؟
  2. كيف تقرأ العلاقة أدناه؟
  3. T = & # x007B ((ب ، ح) ، أ) | A & # x2009 هو & # x2009 & # x2009 area & # x2009 of & # x2009 a & # x2009 triangle & # x2009 of & # x2009 base & # x2009 b & # x2009 and & # x2009 height & # x2009 h & # x007 د
  4. كيف تقرأ العلاقة أدناه؟
  5. (b، h) & # x2009 T A iff A هي مساحة المثلث بالقاعدة b والارتفاع h
  6. حدد المتغيرات & ldquoage & rdquo و & ldquoweight & rdquo وأثبت علاقتها كما هو موضح في المثال 2.14.
  7. كيف تقرأ العلاقة أدناه؟
  8. T = & # x007B (أ ، ص) | A & # x2009 هو & # x2009 عمرك & # x2009 & # x2009 في & # x2009 عام & # x2009 & # x2009 y & # x007D

بمجرد إنشاء العلاقة (تعريفها) ، يمكننا تحديد الأزواج المعينة التي تنتمي إليها.

التعريف 2.3. نقول أن الزوج (أ ، ب) ينتمي إلى علاقة T إذا كان a مرتبطًا بـ b بواسطة T ، ونكتب (a ، b) & # x2208 T. إذا لم يكن a مرتبطًا بـ b بواسطة T ، فإننا نكتب (a، b) & # x2209 T.

العلاقة T هي محددة جيدا إذا استطعنا تحديد ما إذا كان أي زوج معين (أ ، ب) ينتمي إلى العلاقة T أم لا.

من المثال 2.15 ، يمكننا أن نرى أنه إذا كان الزوج (1 2 ، 5 0 0) & # x2208 T ، فعند 1 2 ساعة من العمل يكون الدخل $ $ 500 mbox <.> 00 $ ، نرى أيضًا أن زوج (1 2، 0) & # x2209 T ، حيث لا يمكن أن يكون الدخل $ mbox <.> 00 $ مقابل 12 دولارًا من ساعات العمل. ومن الواضح أيضًا أن (& # x2212 4، 100) & # x2209 T.

في المثال 2.16 ، نكتب (2 0 ، 0. 5 0) للإشارة إلى أنه بالنسبة لقطعة بريد تزن 2 جرام ، فإن تكلفة البريد هي 0 دولار. 5 0.

في المثال 2.17 لدينا ((4، 3)، 6) & # x2208 T و ((5، 2)، 7) & # x2209 T.

في المثال 2.19 ، لدينا (9، 3) & # x2208 S، (9، - 3) & # x2208 S و (9، 4) & # x2209 S. [لماذا ا؟]

لاحظ أن الترتيب الذي يتم تقديم الزوج به مهم ، فالأزواج (1 2 ، 5 0 0) و (5 0 0 ، 1 2) في العلاقة T من المثال 2.15 ليست هي نفسها: كما قلنا (1 2 ، 5 0 0) يعني أن دخل 1 2 ساعة من العمل هو $ 5 0 0. 0 0 ، الزوج (5 0 0 ، 1 2) يقول أنه في 5 0 0 ساعة من العمل يكون الدخل 1 2 دولار. 0 0.

تمارين
  1. ضع في اعتبارك العلاقة
  2. م = & # x007B (ث ، أ) | A & # x2009 هو & # x2009 & # x2009 المنطقة & # x2009 من & # x2009 a & # x2009 مربع & # x2009 من & # x2009 جانب & # x2009 s & # x007D.
  3. حدد زوجًا موجودًا في M وزوجًا ليس في M.
  4. وضح ما إذا كان الزوج (3 4 ، 2 0 0 0) ينتمي إلى العلاقة
  5. T = & # x007B (أ ، ص) | A & # x2009 هو & # x2009 عمرك & # x2009 & # x2009 في & # x2009 عام & # x2009 & # x2009 y & # x007D.

نستخدم تدوينًا خاصًا عندما تكون هناك علاقة تبعية بين المتغيرات. في المثال 2.15 ، يعتمد الدخل على عدد ساعات العمل w ، ونعبر عن هذه الحقيقة بكتابة I (w). في المثال 2.16 ، نكتب P (w) للإشارة إلى أن تكلفة P لترحيل قطعة بريد تعتمد على وزنها. في المثال 2.17 ، قيل لنا أن A (b، h) & mdash تعتمد مساحة المثلث على قاعدته b والارتفاع h. في المثال 2.12 ، تعتمد المسافة المقطوعة $ s $ على الوقت الذي تم قطعه t وبالتالي ، s (t). ومع ذلك ، في المثال 2.18 ، لا يعتمد المتغير SIN على المتغير A. هذه ليست علاقة تبعية ، لذلك ليس من الصحيح كتابة A (SIN).

التعريف 2.4. إذا كان المتغير F يعتمد على المتغير m ، نكتب F (m). في هذه الحالة ، نشير إلى F باسم المتغير التابعو م باسم متغير مستقل.

للراحة ، تأخذ علاقة التبعية اسم المتغير التابع F. علاوة على ذلك ، فإن الزوج (أ ، ب) ينتمي إلى العلاقة F iff F (a) = b.

لاحظ أنه إذا كان الزوج (أ ، ب) ينتمي إلى العلاقة F ، فإن a هو المتغير المستقل و b هو المتغير التابع. عندما نكتب F (a) = b ، فإننا نشير إلى شيئين: F تعتمد على a ، والقيمة F التي تقابل a هي b. لذلك نكتب

العلاقة في المثال 2.15 هي علاقة تبعية ، وبالتالي ، لم يعد يشار إليها باسم T بدلاً من ذلك ، يطلق عليها I. لاحظ أن أنا (1 2) = 5 0 0 لأن (1 2 ، 5 0 0) تنتمي إلى العلاقة. العبارة I (1 0) = 7 0 تشير إلى أنه بالنسبة ل 1 0 ساعة عمل ، يكون الدخل 7 دولار. 0 0 أي أن الزوج (1 0 ، 7 0) ينتمي إلى العلاقة أنا. ندرك أيضًا أن (- 4 ، 1 0 0) لا تنتمي إلى العلاقة وبالتالي ، أنا (- 4) غير معرف.

في المثال 2.16 ، P (2 0) = 0. 5 0 في المثال 2.17 ، A (3 ، 4) = 6 وفي المثال 2.19 ، S (9) = 3 ، S (9) = - 3 و S (9) & # x2260 4.

تمارين
  1. هل العلاقة في المثال 2.11 هي علاقة تبعية؟ كيف تكتبه؟
  2. إذا كانت $ s $ هي المسافة المقطوعة (بالأمتار) و t هي الوقت (بالثواني) ، فإن s (t) هي علاقة التبعية بين $ s $ و t. كيف تكتب العبارة ، & ldquothe الكائن يسافر 5 0 م في 3 0 ثوان ، & rdquo في شكل رمزي؟
  3. حدد علاقة التبعية بين أزواج المتغيرات التالية.
    1. درجة الحرارة T ، وعامل برودة الرياح ج
    2. تكلفة المعيشة L والضرائب ر
    3. مقدار الفائدة المدفوعة ص ، والمبلغ الأساسي P

    المشاكل التي يبحث فيها التفاضل والتكامل هي تلك التي يمكن تمثيلها بعلاقة التبعية ، حيث يتم تحديد المتغير التابع بشكل فريد من خلال قيمة المتغير المستقل أو المتغيرات. نحن نسمي هذه العلاقات الخاصة & ldquofunctions. & rdquo تتعلق بعض الوظائف بالمتغيرات التي تتغير فيما يتعلق بالوقت ، مثل المسافة والسرعة والمساحة والحجم والسكان وما إلى ذلك. [لاحظ أنه في وقت معين ، هناك مسافة واحدة فقط ، سرعة واحدة ، مساحة واحدة ، حجم واحد أو مجموعة واحدة.]

    في هذه الدورة ، نحن نأخذ في الاعتبار فقط وظائف متغيرة مستقلة لأكثر من متغير مستقل ، مثل تلك الموضحة في المثال 2.17 ، والتي تمت دراستها في دورات أكثر تقدمًا.

    التعريف 2.5. أ وظيفة هي علاقة تبعية F بين متغيرين ، بحيث إذا كانت الأزواج (أ ، ب) و (أ ، ج) تنتمي إلى العلاقة [أي إذا كانت F (أ) = ب و F (أ) = ج] ، إذن ب = ج. أي أن المتغير التابع F المرتبط بالمتغير المستقل أ يتم تحديده بشكل فريد.

    إذا كان الزوجان (أ ، ب) و (أ ، ج) ينتميان إلى علاقة و b & # x2260 ج ، فإن العلاقة ليست دالة.

    مثال 2.20. في المثال 2.19 ، العلاقة $ S $ هي علاقة تبعية ، لكنها ليست دالة ، لأن $ S (9) = 3 $ و $ S (9) = -3 $. أي أنها ليست دالة لأن كلا الزوجين $ (9،3) $ و $ (9، -3) $ ينتميان إلى $ S $.

    المثال 2.21. العلاقة بين مساحة المربع وطول ضلعه هي دالة لأن كل طول من ضلع المربع و rsquos مرتبط بمنطقة واحدة فقط.

    مثال 2.22. ضريبة السلع والخدمات التي ندفعها مقابل منتج بتكلفة $ C $ هي علاقة تبعية ، GST ($ C $) ، وهي دالة. [لماذا ا؟]

    العلاقات في المثالين 2.15 و 2.16 هي دالات. [لماذا ا؟]

    لاحقًا ، سنحتاج إلى حل المشكلات عن طريق إنشاء الوظيفة أو الوظائف التي تمثل المشكلة. المفتاح للقيام بذلك هو فهم علاقة التبعية بين متغيرات المشكلة.

    لقد ظللنا نولي اهتمامًا لمجموعة قيم المتغيرات التابعة والمستقلة. نطاقات القيم هذه مهمة لتحديد المتغيرات التي نعمل معها. لدينا أسماء خاصة لهم.

    التعريف 2.6. ال نطاق $ D_F $ للدالة $ F (s) $ أكبر مجموعة من القيم المقبولة للمتغير المستقل $ s $.

    ال نطاق أو مرتبة R F لدالة F هي أكبر مجموعة من قيم المتغير التابع F.

    وبالتالي ، فإن الزوج (الأزواج ، F) ينتمي إلى الوظيفة F ، إذا كان $ s $ في $ D_F $ و F في RF.

    للعثور على مجال الوظيفة ، اسأل نفسك، ldquo وما هي القيم الممكنة للمتغير المستقل؟& rdquo

    إذا كانت لدينا دالة F مع المتغير المستقل v & mdash ، أي F (v) و mdash ، فما نحاول القيام به بعد ذلك هو إيجاد تعبير رياضي يعطي قيمة F لكل قيمة v. هذا التعبير الرياضي هو التمثيل الرياضي (نموذج) للدالة F. يشار إلى هذا النموذج أيضًا باسم & ldquoformula & rdquo لـ F. في هذه الدورة ، يجب أن تتضمن الصيغة التي نريدها الثوابت والمتغير v فقط. أي أننا نريد التعبير عن F بدلالة المتغير المستقل v فقط.

    مثال 2.23. إذا كانت A (s) هي الدالة التي تعطي المنطقة A لمربع الضلع $ s $ ، فإن التمثيل الرياضي لـ A هو s 2. [لماذا؟] لذا نكتب A (s) = s 2. في هذه الحالة ، يتم التعبير عن A بدلالة s. مجال ومدى الدالة A هو الفاصل الزمني D A = R A = [0 ، & # x221E). [لماذا ا؟]

    يمكن استخدام الصيغة A (s) = s 2 لحل أي مشكلة تتعلق بمساحة المربع. لاحظ أن A (1 0) = 1 0 0 ، وهذا يعني أن مساحة مربع الضلع 1 0 هي 1 0 0. نقول أن & ldquot ، قيمة A عند 1 0 هي 1 0 0 ، & rdquo أو & ldquothe area A هي 1 0 0 إذا كان $ s $ 1 0. & rdquo

    مثال 2.24. إذا كان $ < text> (C) $ هي دالة المثال 2.22 أعلاه ، ثم $ < text> (ج) = 0.05 ج. [أوافق؟] ما هي صيغة التكلفة الإجمالية $ T $ (بما في ذلك ضريبة السلع والخدمات) التي ندفعها مقابل منتج بتكلفة $ C $؟ أي ما هو النموذج الرياضي (الصيغة) بدلالة $ C $ من $ T $؟ ما هي قيمة $ T $ لعنصر بسعر $ $ 165.45 $؟

    مثال 2.25. إذا كان الدخل مدفوعًا فأنا بمعدل 1 دولار. 5 0 لكل ساعة ، فإن النموذج الرياضي للدالة I (w) في المثال 2.15 هو I (w) = 1 0. 5 0 واط. دخل 1 0 ساعة عمل هو أنا (1 0) = 1 0 5. 0 0. على الرغم من أنه يمكننا ضرب 1 0. 5 0 by a negative number, it does not make sense to say that the value of I at - 2 is - 2 1 that is, it is true that I ( - 2 ) = 1 0 . 5 0 ( - 2 ) = - 2 1 , but the meanings of I and w are lost here. The domain and range of this function are the interval D I = R I = [ 0 , ∞ ) , and we say that we cannot evaluate the function I at negative numbers, not because we cannot multiply 1 0 . 5 0 by a negative number, but because the variable w represents worked hours, and this variable takes only positive values.

    We now have the concepts of mathematical domain, as defined in Definition 2.6, above, and of physical domain, as the set of acceptable values of the independent variable, according to what the independent and dependent variables involved represent.

    Example 2.26. If $A$ is the area of an equilateral triangle with side $s$, then the formula of the function $A(s)$ in terms of $s$ is $(sqrt 3 )/4$ that is,

    To arrive at this relation, we must study the area of equilateral triangles. The area of any triangle is half of the product of the base and the height. The base of the equilateral triangle is $s$. To find the height h (height is a variable) we use Pythagoras&rsquo Theorem.

    Figure 2.1. Equilateral triangle with side equal to $s$

    According to Pythagoras&rsquo Theorem,

    since h and $s$ are positive. [Why?] Therefore,

    and the area is as indicated.

    An equilateral triangle with side 5 6 has an area of

    A ( 5 6 ) = 5 6 2 3 4 ≈ 1 3 5 7 . 9 3 .

    In words, the area of an equilateral triangle with side 5 6 is approximately equal to 1 3 5 7 . 9 3 . What are the domain and range of A ? What is the value of A at 9 ? What is the interpretation of A ( 4 ) = 4 3 ?

    ملحوظة: We are ignoring the units for the time being. Be aware, however, that you will be expected to use the correct units in assignments or examinations.

    Example 2.27. If the area of a rectangle is 1 6 m 2 , what is the formula for P ( l ) , where P is the perimeter of the rectangle and l is the length of one of its sides? In other words, how can we express P in terms of l ?

    Step 1

    We start with a picture of the problem:

    Figure 2.2. Rectangle with length equal to l , and width equal to w

    Step 2

    $l$ is the length of the base
    $w$ is the height of the rectangle

    $P$ is the perimeter of the rectangle
    $A$ is the area

    Step 3

    We relate the variables to what we already know about the perimeter and area of the rectangle hence, P = 2 l + 2 w and A = l w = 1 6 .

    Since we want to find a formula for the perimeter that depends only on l , we must substitute for the variable w an expression with only l s. بالتالي،

    w = 1 6 l and P = 2 l + 2 1 6 l = 2 l + 3 2 l ,

    and we conclude that P ( l ) = 2 l + 3 2 l .

    We have found the formula that gives the perimeter P of a rectangle of side l and area 1 6  m 2 . We can find the value of P for any positive value of l &mdashall we have to do is to apply the formula. فمثلا،

    P ( 6 ) = 2 ( 6 ) + 3 2 6 = 5 2 3 .

    We call this process &ldquoevaluating P at 6 ,&rdquo and the answer is expressed as, &ldquothe value of P at 6 is $52/3$.&rdquo

    The domain and range of P are the interval ( 0 , ∞ ) . [Agree?]

    What is the perimeter of a rectangle of area 1 6 m 2 if one of its sides is 5 m?

    تمارين
    1. A rectangle has perimeter of $20$ m. Express the area of the rectangle as a function of the length of one of its sides.
    2. Express the surface area of a cube as a function of its volume.
    3. An open rectangular box with volume 2 m 2 has a square base. Express the surface area of the box as a function of the length of a side of the base.
    4. The cost of renting a car is $ 5 0 . 0 0 plus 4 3 cents per kilometre traveled.
      1. Define the variables that correspond to this problem, and establish the relation of dependency between them.
      2. Find the formula that gives the rental cost in terms of the kilometres traveled.
      3. Give the domain and range of this function.
      4. What is the cost for renting a car in Edmonton to travel to Calgary? Include the appropriate taxes.

      The formulas or mathematical models of functions can take different forms. We cannot always give a single formula for a function. For instance, in Example 2.16, the cost of postage P is fixed depending on a certain range of values of w . That is, P is $ 0 . 5 0 if 0 < w ≤ 3 0 and P is $ 1 . 0 0 if 3 0 < w ≤ 1 0 0 . In this case, we write

      As you can see, P ( 1 0 2 ) = 1 . 7 0 and P ( 1 0 0 ) = 1 . 0 0 . The range of P , written as a set, is < 0 . 5 0 , 1 . 0 0 , 1 . 7 0 , 2 . 4 5 >, and the domain of P is the interval ( 0 , 5 0 0 ] . See Example 2.10.

      We may also be able to give different formulas for different ranges of the independent variable. Consider a function defined as follows:

      First, we notice that the values for $s$ are in the intervals ( 0 , 5 0 ) and ( 5 0 , 6 0 ] , that is ( 0 , 5 0 ) ∪ ( 5 0 , 6 0 ] is the domain of g . Then 5 0 and 0 are not in the domain, in other words there is no value for g at 0 or 5 0 . And we say that g is undefined at 0 and 5 0 . Observe also that g is not defined at any number bigger than 6 0 (e.g., 6 0 . 0 0 1 or 1 9 8 ), nor is it defined for negative numbers.

      James Stewart, the author of your textbook, calls the functions defined in this fashion متعدد التعريف functions, and we will adopt this name. See Examples 7 and 8 on pages 14 and 15 of the textbook.

      تمارين
      1. For each of the piecewise functions (i)-(iv), below,
        1. ( f(x) = <eginx & mbox x + 1 & mbox نهاية> )
        2. ( f(x) = <egin2x + 3 & mbox 3 − x & mbox نهاية> )
        3. ( f(x) = <eginx + 2 & mbox x^2 & mbox نهاية> )
        4. ( f(x) = <egin-1 & mbox 3x + 2 & mbox 7 - 2x & mbox end> )
        1. give the domain of the function f .
          Hint: For function (iv), see Box 6 on page 341 of the textbook.
        2. give the values of f ( 1 ) and f ( - 1 ) .

        Finally, we may not be able to find one given formula for a function, but we may be able to give a table of pairs that belong to the function (see Example 4 on page 12 of the textbook). This is the case when we make a finite number of observations, such as temperature, population, number of consumers of a product, etc.

        Example 2.28. The table below shows the population of a certain city recorded every two years for 10 years.

        Table showing the population, ص, of a certain city recorded on a particular year, ص
        ص ص
        56000 1990
        56800 1992
        57000 1994
        57500 1996
        57850 1998
        58000 2000

        The variables are the population P and the year Y when the population was recorded. The function is P ( Y ) . This table indicates that the pairs

        $(1990,56000)$, $(1992,56800)$, $(1994,57000)$, $(1996,57500)$, $(1998,57850)$, $(2000,58000)$

        are in the function P . So P ( 1990 ) = 56000 , P ( 1992 ) = 56800 , and so on.

        If the data show a certain pattern or uniformity, one would hope to be able to associate a formula to the function. Different techniques are available.

        تمارين
        1. If a metal rod is being heated, its volume depends on the temperature. If T denotes the temperature (in °C) and V the volume (in m 3 ), then V ( T ) , and the domain of the function V is all possible values of the temperature T . We have the following recorded volumes: Table showing how the volume of metal rod, الخامس, varies with the temperature, تي
          الخامستي
          1570
          1875
          2180
          2078
          1875
          1672
          1. What do you observe about the volume of the rod with respect to the temperature?
          2. What is the value of V for T = 80 ?
          3. Estimate the volume of the rod when the temperature is 73 °C.

          So far we have been working with functions for which the variables have a very specific interpretation however, to get to the problems we want to solve, we must learn to work with functions in a general sense. That is, we must learn to work with functions and their corresponding formulas when the variables do not have any specific meaning. We must learn about the general properties of functions, and we must learn to do different operations with them. Once we can perform these operations, we will be able to solve problems using functions. This learning approach is the same as the one you used when learning to read: you learned the basic alphabet first.

          For example, in general terms, we defined the domain of a function as the set of possible values of the independent variable. In Example 2.23, the variables of the function A ( s ) have specific meaning. Therefore, the domain of the function A ( s ) is the interval [ 0 , ∞ ) because s represents a positive quantity: the length of one side of a square. However, if we ignore the meaning of s as a length, and consider the function A ( s ) = s 2 in general terms, then we see that we can evaluate the function A at any value of s , including negative numbers:

          Hence, the domain of the function A ( s ) = s 2 in general is all of the real numbers.

          Working in general terms has its advantages, because different practical problems can be solved with functions that share the same formula.

          Example 2.29. If we consider the function

          T ( t ) = t 2 + 5 t − 1 2 t − 3 ,

          in general terms, then we can evaluate the function T for any value of t except t = 3 ∕ 2 . For this value of t , the denominator of this expression is zero that is, the expression is undefined. So, for any value of t other than t = 3 ∕ 2 , it is possible to apply the formula of T .

          You can check that T ( 3 ∕ 4 ) = - 2 . 0 8 3 3 3 , and that T ( - 5 . 6 7 ) = - 0 . 1 9 5 1 8 .

          Since 3 ∕ 2 is the only value for which T is not defined, the domain of T is all real numbers except 3 ∕ 2 . In interval notation, we would write

          If T represents the temperature of an object at time t , then the possible values of t are all positive real numbers except t = 3 ∕ 2 . In interval notation, the domain is

          Example 2.30. The domain of the function

          consists of all numbers such that c - 6 ≥ 0 (since only positive numbers have real square roots). So, the domain of F is all real numbers greater than or equal to 6 that is, c ≥ 6 , or in interval notation, [ 6 , ∞ ) .

          We can also write, F ( c ) = c - 6 only for c ≥ 6 .

          Example 2.31. What is the domain of

          To find the domain, we look for those values a for which we may have problems evaluating H ( a ) , either because the denominator is 0 for this particular value, or because the square root is negative. We see that what we need is 2 a - 8 > 0 , so a > 4 . So the domain of H is all values a that are strictly greater than 4&mdashin interval notation ( 4 , ∞ ) .

          Example 2.32. For the function

          we see that s - 1 ≥ 0 (the square root must be non-negative), and the divisor must be nonzero.

          If 2 cos  s - 1 = 0 then cos  s = 1 ∕ 2 , and therefore,

          s = π 3 + 2 k π and s = - π 3 + 2 k π , for any integer k .

          Since s ≥ 1 , the function is undefined for

          s = π 3 , and for all s = ( 6 k ± 1 ) π 3 , for any k > 0 .

          We conclude that the domain is all numbers s ≥ 1 , except

          s = π 3 , and s = ( 6 k ± 1 ) π 3 , for any integer k > 1 .

          If we have a function with its corresponding formula, we need to understand what we mean by &ldquoevaluating the function.&rdquo

          at 9 , we replace the independent variable a by 9 in the formula:

          H ( 9 ) = 9 - 6 2 ( 9 ) - 8 = 3 1 0 .

          We can also evaluate the function at any other expression in the same way. For example, we can evaluate this function at x + h by replacing the independent variable a by x + h :

          تمارين

          f ( x ) = 5 x + 4 x 2 - 3 x + 2

          Express the domain of each of the functions below in interval notation.

          هامش

          [1] It is customary to write iff instead of &ldquoif and only if&rdquo.


          Share this knowledge with your friends!

          Last reply by: Professor Selhorst-Jones
          Thu Jul 13, 2017 1:33 PM

          Post by John Stedge on July 13, 2017

          For solving equations of unusual things i got y^2=27/z-x^2 would this also be considered correct?

          Last reply by: Professor Selhorst-Jones
          Wed Oct 7, 2015 11:14 AM

          Post by Peter Ke on October 4, 2015

          For the percent example at 11:00. I thought 30% off means multiplying 70 by .30 and same for 20% off from the coupon. But, instead you did 100% - 30% = 70% and multiply 70 by .70, why is that? Can you explain it pls?

          Last reply by: Professor Selhorst-Jones
          Sun Apr 20, 2014 8:54 PM

          Post by Tommy Lunceford on April 15, 2014

          During the Domain and Range example, does the +3 change to a negative -3 just because its under the square root sign or because of the negative in front of the square root symbol?

          If that negative sign in front of the square root symbol was not there, would it still turn into a -3 or remain positive as it is under the square root symbol?

          Math Concept Petting Zoo: Part 1

          • If you want to do well on the Math section of the SAT, you need to be familiar with a wide variety of concepts. This is the first of two lessons covering the vast majority of the concepts on the SAT.
          • In the first lesson, we'll generally cover topics relating to the interaction of numbers, equations, and functions. The second lesson will focus more on geometry, shapes, and a few miscellaneous topics.
          • In the Zoo, each concept will be presented by showing a question based on the concept. While there will be some explanation of the questions, the point of the Zoo is to quickly review concepts, not teach them.
          • As you watch this lesson, make sure you have a pencil and paper. Make sure you could solve each problem on your own قبل the answer is revealed. If you're not absolutely certain you could, pause the video and try to work it out yourself before you continue watching.
          • Whenever you find a concept you don't know well, write it down and note how much help you need.
          • Later, after you've finished watching the lesson, go study the concepts you wrote down. Begin with the ones you find most difficult. Watch the corresponding SAT Math-specific lessons, and if you still need more help, browse Educator.com, search the web, or talk to someone who is good at math.
          • Here's a list of all the concepts in this half of the Zoo:
            • Intersection and Union,
            • Sequences / Patterns,
            • Even/Odd Properties,
            • Primes,
            • Percent,
            • Percent Change,
            • Average: Mean, Median, Mode,
            • Absolute Value,
            • Solving Equations for Unusual Things,
            • Distance = Speed · Time,
            • Radicals,
            • Exponents,
            • Concept of a Function,
            • Domain and Range,
            • Function Transformations,
            • Expanding Factors (aka: FOIL),
            • Factoring,
            • Solving Polynomials.

            Math Concept Petting Zoo: Part 1

            Lecture Slides are screen-captured images of important points in the lecture. Students can download and print out these lecture slide images to do practice problems as well as take notes while watching the lecture.


            2.17: Concepts - Mathematics

            Department Chairperson: Rohan Attele

            Faculty: Victor K. Akatsa, Kapila Rohan Attele, Jan-Jo Chen, Johng-Chern Chern, Raymond

            H. Y. Chu, John F. Erickson, Dawit Getachew, Lun-Pin Ho, Daniel J. Hrozencik, Lixing (Adam) Jia, Paul M. Musial, Sharon O’Donnell, Howard A. Silver (Emeritus), Richard J. Solakiewicz, Marjorie M. Stinespring (Emeritus), Luis Vidal-Ascon, Guang-Nay Wang, Jesse Y. Wang, Asmamaw Yimer, George I. Zazi

            The Department of Mathematics and Computer Science offers a Bachelor of Science degree in Mathematics with two options: (a) Mathematics (b) Secondary Teaching. Within the Mathematics option, a student may take an actuarial science concentration. The built-in flexibility of the Mathematics option will prepare students for careers in banks, insurance, industry, government, or to pursue advanced degrees in mathematics.

            Completion of the Secondary Teaching option in Mathematics qualifies students for an Initial Type 09 Illinois High School Certificate with a high school endorsement in mathematics for grades 9–12, and a middle grade endorsement in mathematics for grades 6–8.

            Certification requires the successful completion of the Illinois Certification Tests of Basic Skills, Mathematics, and Assessment of Professional Teaching (Secondary 6–12). The secondary teaching program is accredited by the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), and meets Illinois State Board of Education (ISBE) standards in mathematics education.

            The department offers a minor sequence in mathematics. It will provide students majoring in other disciplines access to more potent professional tools, and help them to gain a deeper understanding of their own fields.

            All entering freshmen and transfer students are required to take the university placement examination in mathematics. These students may not register for any mathematics or computer science course until they have taken the examinations. These examinations are designed to place students into the appropriate mathematics course from Applied Intermediate Algebra to Calculus. Students may not use MATH 0880/088, 0900/090, 0950/095, 0980/098, 0990/099, 160 or 161 toward satisfying general education mathematics or university graduation requirements. Credit will not be given for any mathematics course which is a prerequisite for a course in which a grade of C or better has already been earned.

            Mathematics Option (with concentrations in Mathematics and Actuarial Science)

            Admission to the program is contingent upon completion of MATH 1210/163 or MATH 1250/171 with a grade of C or higher, cumulative grade point average of 2.0 or higher, and acceptance by the department.

            The department will not accept D grades in any required major courses or required supportive courses, either as transfer credit or completed at Chicago State University.

            Requirements include completion of 120 semester hours of work: 39 hours in general education 44 hours in mathematics 15 hours of supportive courses 22 hours in electives selected with the departmental advisor’s approval and passing the examination on the state and federal constitutions.

            By demonstrating proficiency, a student may be able to obtain credit for certain mathematics and computer science courses at the recommendation of the department.

            Specific Requirements (Mathematics Concentration)

            The 9 credit hours in Physical and Life Sciences must be selected from BIOL/CHEM/PHYS/PHSCI and include at least one laboratory course.

            Required Courses (44 credit hours)

            MATH 1900/180, 2200/201, 2300/230, 1410/261 or 1415, 1420/262, 2430/263, 2550/271, 4110/342, and 4940/392 one of the following - MATH 4210/327, 4230/308, or 4250/361 one of the following – MATH 4410/358 or 4450/356 one of the following in applied mathematics – MATH 3820/325, 4510/354, 4520/355, 4600/315, 4650/318, 4800/350, or 4840/326 two additional courses selected from the above or MATH 2800/283, 3210/329, 3800/313, 4710/345, 4900/370.

            Required Supportive Courses (15 credit hours)

            Physical and Life Sciences that must be selected from BIOL/CHEM/PHYS/PHSCI: three additional credit hours CPTR 1100/141, nine additional credit hours selected from accounting, biology, botany, chemistry (1550/155 or above) computer science (above 1100/141), economics, mathematics (2810/251 only), physics, zoology. At least two courses must be from the same discipline.

            Elective Courses (22 credit hours)

            22 credit hours of electives selected with the department advisor’s approval.

            Specific Requirements (Actuarial Science Concentration)

            Required Courses (44 credit hours)

            MATH 1900/180, 1410/261 or 1415, 1420/262, 2200/201, 2300/230, 2430/263, 2550/271, 3630/274, 3800/313, 4110/342, 4600/315, 4650/318, and 4940/392 one of the following:

            MATH 2800/283, 3820/325, 4230/308, 4840/326, 4800/350 or 4900/370.

            Required Supportive Courses (15 credit hours)

            Physical and Life Sciences that must be selected from BIOL/CHEM/PHYS/PHSCI: three additional credit hours complete one of the following two sets of courses: CPTR 1100/141, ACCT 2110/110 and 2111/111, and FIN 2660/266 or CPTR 1100/141, ACCT 2110/110, FIN 2660/266 and 3680/368. ECON 1010/101 and 1020/102 are strongly recommended to fulfill the General Education Social Science requirement.

            Elective Courses (22 credit hours)

            22 credit hours of electives selected with the department advisor’s approval.

            Secondary Teaching Option in Mathematics

            To be considered for recommendation for admission to the College of Education, students must have:

            • completed MATH 1420/262 and two 4000/300-level mathematics courses with a grade of C or higher
            • completed with a grade of C or higher, or be concurrently enrolled in MATH 2430/263 and MATH 4110/342
            • passed the Illinois State Basic Skills Examination, and a 2.5 GPA or higher in 1000-level and above mathematics courses.
            • Pass the examination on the state and federal constitutions.
            • Complete 120 credit hours in: General Education 39 credit hours, Area of Specialization 50 credit hours, Professional Education 27 credit hours, Elective Courses 4 credit hours.

            Specific General Education Requirements

            General Education 39 credit hours: the 3 hours in mathematics is satisfied by the major.

            In addition, the nine credit hours in Physical and Life Sciences must include a two-course science laboratory sequence. Also, the nine hours in Social Sciences must be chosen from the following:

            HIST 1300/130 or 1310/131 or POL 1010/101 PSYC 1100/141 and 2040/204.

            Area of Specialization: 50 credit hours

            Required Mathematics Courses (47 credit hours)

            MATH 1900/180, 1410/261 or 1415, 1420/262, 2200/201, 2300/230, 2430/263, 4010/347, 4020/348, 4250/361, 4110/342, 4450/356 or 4410/358, 4600/315, and 4710/345 at least six

            additional hours selected from MATH 2550/271, 2800/283, 3210/329, 3820/325, 4210/327, 4230/308, 4410/358, 4450/356, 4510/354, 4650/318, 4800/350, 4840/326, 4900/370 or 4940/392.

            Required Supportive Courses: (3 credit hours)

            MATH 0920/092 or pass state teacher certification subject matter test in mathematics

            MATH 2810/251 or three additional hours in the Physical and Life Sciences (BIOL/CHEM/PHYS/PH SCI).

            Professional Education (27 credit hours)

            ELCF 1520/152 and 2000/200 PSYC 2020/206 S ED 4301/301 and 4303/303* ELCF 5500/353* READ 4100/306* CAS 3630/363*, MATH 4000/363* and 4005/375*.

            Course must be passed with at least a grade of C.

            * Restricted to students admitted to the College of Education.

            Elective Courses (4 credit hours)

            Sample Curriculum Pattern (Mathematics Option, Mathematics Concentration)


            BümoBrain Live Class Program Refunds

            Cancellations for live classes must be made at least 7 calendar days prior to the first class date of said cancelled program. For instance, if Client cancels a live class program that is scheduled to start on March 20, 2021, then the program should be cancelled no later than March 13, 2021 by 11:59 PM Pacific Time. For such cancellations, Client will receive a full refund within 3 business days. Any cancellation within 7 days of the first class of said program will not be eligible for a refund. Client cannot transfer a credit for such classes for another class for any reason. Should Client want to switch classes, Client must cancel original classes/program and book new classes. Should Client cancel and be eligible for a refund and has not received a refund, please email [email protected]

            Have Questions?


            2.17: Concepts - Mathematics

            Since 1986 the Mathematics section at ICTP has played an important role in fostering mathematics research and education in developing countries. Research is carried out in various fields of Mathematics by the permanent staff, postdocs, and graduate students, as well as by scientific visitors from all over the world.

            Typically, the section organizes from 5 to 10 focused activities a year involving an average of 100 participants. These activities are the core of the section's activities and are crucial for disseminating current mathematics knowledge of the highest level as widely as possible.

            In addition the Mathematics section, like all the other sections at ICTP, participates in the Diploma program. Since 2011 Diploma students can apply to stay on to work on a PhD in Mathematics in a joint program with SISSA.

            The Mathematics section also offers opportunities for postdocs and research fellows click here for latest announcements.

            Once a month, the section organises The Basic Notions Seminar Series to broaden the understanding of some mathematical concepts.

            Mathematics Section is Hiring!

            Deadline extension: Senior Research Scientist to lead Algebraic Geometry research

            Remembering M.S. ناراسيمهان

            Colleagues to host online memorial meetings on 4 & 7 June

            Celebrating Physics Excellence

            ICTP Prize ceremony will honour 2019 recipients

            In Memoriam

            The Future is in Data

            ICTP among academic and business partners of new data science institute

            ICTP's 2021 Dirac Medal

            Nomination deadline extended to 25 June

            Alicia Dickenstein Wins L'Oreal-UNESCO International Award

            Argentinian mathematician and ICTP Simons Associate honored

            Deadline 15 February

            ICTP Postgraduate Diploma Programme

            Mathematics Role Model

            Carolina Araujo accepts 2020 Ramanujan Prize

            2021 Ramanujan Prize

            Nomination deadline 1 March 2021

            Seminars view all

            Europe/Rome 2021-06-18 14:00:00 2021-07-16 16:00:00 IGAP/MPIM lecture course “From 3-manifold invariants to number theory” Research Group: Geometry and Mathematical Physics Course Type: PhD Course Questions from topology have led to interesting number theory for many years, a famous example being the occurrence of Bernoulli numbers in connection with stable homotopy groups and exotic spheres, but some developments from the last few years have led to much deeper relationships and to highly non-trivial ideas in number theory. The course will attempt to describe some of these new interrelationships, which arise from the study of quantum invariants of knot complements and other 3-dimensional manifolds. [Joint work with Stavros Garoufalidis] Topics to be studied include: * The dilogarithm function, the 5-term relation, and triangulations of 3-manifolds * Quantum invariants of 3-folds (Witten-Reshetikhin-Turaev and Kashaev invariant) definitions and first properties * The Habiro ring (this is a really beautiful algebraic object that should be much better known and in which both of the above-named quantum invariants live) * Perturbative series (formal power series in h) associated to knots * Turning divergent power series into actual functions (this has connections with resurgence theory and involves some quite fun analytic considerations) * Numerical methods (the ones needed are surprisingly subtle) * Holomorphic functions in the upper half-plane (q-series) associated to knots * Modular properties of both the Habiro-like and of the holomorphic invariants These topics are all interconnected in a very beautiful way, formally summarized at the end by a single matrix invariant having different realizations in the Habiro world, the formal power series world, and the q-series world. Although some quite advanced topics will be reached or touched upon, the course assumes no prerequisites beyond standard basic definitions from either topology, number theory, or analysis. To access the course use the following Zoom coordinates: Zoom meeting ID 969 5251 6566 Password 307018 Zoom Link: https://zoom.us/j/96952516566?pwd=Z3NyZW04M2YxSHo2MWdlOHJ4MlNpUT09 Online/Presence ICTP [email protected] 18 Jun 2021 - 16 Jul 2021

            » IGAP/MPIM lecture course “From 3-manifold invariants to number theory”

            Activities view all

            Europe/Rome 2021-07-19 08:00:00 2021-07-23 22:00:00 Trieste Algebraic Geometry Summer School (TAGSS) 2021 - Hyperkähler and Prym varieties: classical and new results | (smr 3609) An ICTP Virtual Meeting Hyperkähler manifolds are a class of manifolds with vanishing first Chern class, constituting an active area of current research.  Another fundamental problem concerns moduli space of polarized abelian varieties, studied via Prym varieties and the Prym map to the moduli of abelian varieties.   Hyperkähler manifolds, an overview and some open problems   Hyperkähler manifolds are mainly characterized by their second cohomology. The period maps from the moduli spaces of hyperkähler manifolds to the period domains of their second cohomology are surjective, which is a rare phenomenon happening almost exclusively in weight 1 and weight 2. The course will give an introduction to hyperkähler manifolds and their known examples, survey some of the known results, and present some open problems. In the examples, interesting connections between hyperkähler manifolds, Fano manifolds and abelian varieties will be shown.   Prym varieties   The course we will review the classical theory and recent advances on Prym varieties and the Prym map, with special focus on the low genera cases which display beautiful geometry. The moduli aspect and the appearances of Prym varieties in other mathematical contexts will also be discussed.   Topics: Characterization of hyperkähler manifolds via their cohomology Period maps from the moduli spaces of hyperkähler manifolds to the period domains of their second cohomology Connections between hyperkähler manifolds, Fano manifolds and abelian varieties Fano manifolds Abelian varieties and Polarized abelian varieties Prym varieties and the Prym map: classical theory and applications Speakers: E. IZADI, University of California, San Diego, USA A. ORTEGA, Humboldt-Universität zu Berlin, Germany Additional: Contributed talks: Participants interested in giving a short communication are invited to submit an abstract. Registration: There is no registration fee. Online - ICTP [email protected] 19 Jul 2021 - 23 Jul 2021

            » Trieste Algebraic Geometry Summer School (TAGSS) 2021 - Hyperkähler and Prym varieties: classical and new results | (smr 3609)

            Europe/Rome 2021-08-12 08:00:00 2021-08-20 22:00:00 EAUMP-ICTP School: Topics in Concrete Mathematics | (smr 3604) This is an EMA (Ecole Mathematique Africaine) School of CIMPA. This hybrid School is nominally based at the ICTP-East African Institute for Fundamental Research [EAIFR] in Kigali, Rwanda it will offer students concrete and effective mathematical tools from algebra, group theory and geometry that can be applied to any scientific field. Consisting of 8 working days 12-15 August and 17-20 August, with one rest day the  2+2 courses shall be running concurrently. Lectures will be given remotely by video link. Description of Courses: WEEK 1 [12-15 August] R. K. Ramakrishna: Class numbers of number rings A. Taribi: Group representation theory and combinatorics WEEK 2 [17-20 August]: C. Kurujyibwami / B. Szendroi: Lie algebras K. Wendland: Modular forms Online - ICTP [email protected] 12 Aug 2021 - 20 Aug 2021

            » EAUMP-ICTP School: Topics in Concrete Mathematics | (smr 3604)

            Europe/Rome 2021-08-16 08:00:00 2021-08-20 22:00:00 AGRA IV (Arithmetic, Groups and Analysis) - Part I (smr 3617) An IMPA - ICTP Online School -  held in Spanish and Portuguese The AGRA series of summer schools (Santiago de Chile, 2012 Cusco, 2015 Córdoba, 2018) has as its goal to foster the development of number theory in Latin America: it provides a formative experience for young researchers, and it also brings together senior and mid-career mathematicians working in the field. The primary languages for this event are going to be Spanish and Portugese. Description: The target audience of AGRA includes undergraduate students, graduate students and young researchers with a serious interest in number theory and neighboring fields. The AGRA IV has been divided into two parts: part 1 is this online school in August 2021, while part 2 is preliminarily scheduled to take place in the first semester of 2022 in Cabo Frio, Brazil. The adjoined list of topics is representative of the two parts. The AGRA series has traditionally been held in Spanish but, this time, Spanish and Portuguese will share a role as primary languages of the school. Part 1 will consist of 4 minicourses delivered by a pool of distinguished mathematicians, followed by tutorials and problem sessions.   Topics: • Arithmetic geometry • Group approximations • Arithmetic combinatorics • Mahler measure • Model theory • Square-tiled surfaces • Analytic methods in number theory Programme: Minicourse 1: Introducción al análisis de Fourier de orden superior (Introduction to higher order Fourier analysis) • Julia Wolf (Cambridge, UK) • Pablo Candela (UAM / ICMAT, Spain)   Minicourse 2: Aritmética de variedades de alta dimensión (Arithmetic of high dimensional varieties) * • Tony Varilly-Alvarado (Rice, USA) • Damiano Testa (Warwick, UK) Minicourse 3: Combinatória de superfícies quadriculadas e geometria de espaços de módulos (Combinatorics of lattice surfaces and geometry of moduli spaces) • Carlos Matheus (École Polytechnique / CNRS, France) • Vincent Delecroix (Bordeaux / CNRS, France) Minicourse 4: Ecuaciones diofantinas con pocas soluciones (Diophantine equations with few solutions) • Hector Pasten (PUC, Chile) *preliminary title. Registration:  There is no registration fee   Online - ICTP [email protected] 16 Aug 2021 - 20 Aug 2021

            » AGRA IV (Arithmetic, Groups and Analysis) - Part I (smr 3617)

            Europe/Rome 2021-11-15 07:00:00 2021-12-10 21:00:00 Markov Partitions and Young Towers in Hyperbolic Dynamics | (smr 3642) In the 1970s, Sinai, Ruelle, and Bowen, developed groundbreaking new ideas and techniques which made it possible to apply the powerful results of Ergodic Theory to concrete, and sometimes quite explicit, differentiable dynamical systems. In particular they showed that smooth Uniformly Hyperbolic systems admit Markov Partitions, from which one can obtain a Symbolic Coding with a finite number of symbols. This Symbolic Coding makes it possible to apply methods from statistical mechanics to describe the statistical properties of the system through the construction of a particular class of invariant measures which are now called Sinai-Ruelle-Bowen (SRB) measures. Over the last 20 years there has been a huge progress in extending the results of Sinai, Ruelle, and Bowen, to the much larger class of more general (Nonuniformly) Hyperbolic systems, including systems with discontinuities/singularities. The geometry of these systems is much more complicated and one cannot expect to be able to code them with a symbolic dynamics with a finite number of symbols, making them much more challenging to study. Two inter-related but distinct approaches have emerged. At the end of the 1990s, Lai-Sang Young introduced a construction which is now generally refereed to as a Young Tower, based on constructing an induced uniformly hyperbolic system within the given system. More recently, around 2013, Sarig generalised the original Sinai-Ruelle-Bowen approach to construct infinite Markov Partitions. Both approaches have proved quite powerful and have been used to construct SRB measures and to study their statistical properties in a number of classes of dynamical systems of great interest. On the other hand, both approaches are also technically non-trivial and as a consequence, notwithstanding the applications of both to similar systems and their inevitable underlying connections, most researchers have developed an expertise in either one or the other. The main purpose of this event is to bring together experts in both areas in order to create opportunities to understand better the similarities and differences between them, and the advantages and disadvantages of the two approaches. The entire event will be held online with 2 mini courses by José Ferreira Alves on Young Towers and Yuri Lima on Markov Partitions. These mini-courses will be introductory and require only some familiarity with Uniformly Hyperbolic Dynamics and will be spread out over a period of 2 to 3 weeks, and be accompanied by some additional tutorial sessions, in order to give participants time to actually study the material and consolidate their knowledge. The mini courses will then be followed by a week of research level seminars describing recent results on these topics. Mini-Course Lecturers: José Ferreira Alves, U. of Porto, Portugal Yuri Lima, UFC, Brazil Speakers: Jerome Buzzi (Paris) Sylvain Crovisier (Paris) Peyman Eslami (Rome) Carlos Matheus (Paris) Ian Melbourne (Warwick) Snir Ben Ovadia (Weizmann) Yakov Pesin (Penn State) Omri Sarig (Weizmann) Agnieska Zelerowicz (F, Maryland) Hong-Kun Zhang (F, Amherst) Online - ICTP [email protected] 15 Nov 2021 - 10 Dec 2021

            » Markov Partitions and Young Towers in Hyperbolic Dynamics | (smr 3642)


            شاهد الفيديو: محاضرة 17. الفصل الرابع. المفاهيم الرياضية 13 (شهر اكتوبر 2021).