مقالات

3.8: تمارين (استكشاف) - رياضيات


  1. في الولايات المتحدة ، تستخدم الهيئة الانتخابية في الانتخابات الرئاسية. تُمنح كل ولاية عددًا من الناخبين يساوي عدد الممثلين (بناءً على عدد السكان) وأعضاء مجلس الشيوخ (2 لكل ولاية) في الكونجرس. نظرًا لأن معظم الولايات تمنح الفائز في التصويت الشعبي في ولايتها جميع الأصوات الانتخابية في ولايتها ، تعمل الهيئة الانتخابية كنظام تصويت مرجح. لاستكشاف كيفية عمل الهيئة الانتخابية ، سنلقي نظرة على دولة صغيرة بها 4 ولايات فقط. فيما يلي نتيجة انتخاب افتراضي:

( ابدأ {مجموعة} {| l | l | l | l | l |}
hline textbf {State} & textbf {Smalota} & textbf {Medigan} & textbf {Bigonia} & textbf {Hugodo}
hline text {Population} & 50،000 & 70،000 & 100،000 & 240،000
hline text {Votes for A} & 40،000 & 50،000 & 80،000 & 50،000
hline text {Votes for B} & 10،000 & 20،000 & 20،000 & 190،000
hline
نهاية {مجموعة} )

  1. إذا لم تستخدم هذه الدولة هيئة انتخابية ، فمن سيفوز في الانتخابات؟
  2. افترض أن كل ولاية تحصل على صوت انتخابي واحد لكل 10000 شخص. قم بإعداد نظام تصويت مرجح لهذا السيناريو ، واحسب مؤشر قوة Banzhaf لكل ولاية ، ثم احسب الفائز إذا منحت كل ولاية جميع أصواتها الانتخابية للفائز في الانتخابات في ولايتها.
  3. افترض أن كل ولاية تحصل على صوت انتخابي واحد لكل 10000 شخص ، بالإضافة إلى صوتين إضافيين. قم بإعداد نظام تصويت مرجح لهذا السيناريو ، واحسب مؤشر قوة Banzhaf لكل ولاية ، ثم احسب الفائز إذا منحت كل ولاية جميع أصواتها الانتخابية للفائز في الانتخابات في ولايتها.
  4. لنفترض أن كل ولاية تحصل على صوت انتخابي واحد لكل 10000 شخص ، ومنحها بناءً على عدد الأشخاص الذين صوتوا لكل مرشح. بالإضافة إلى ذلك ، يحصلون على صوتين يتم منحهما للفائز بالأغلبية في الولاية. احسب الفائز في ظل هذه الشروط.
  5. هل يبدو أن الدولة الفردية تتمتع بسلطة أكبر في الهيئة الانتخابية في ظل توزيع الأصوات من الجزء ج أو من الجزء د؟
  6. ابحث في تاريخ الهيئة الانتخابية لاستكشاف سبب تقديم النظام بدلاً من استخدام التصويت الشعبي. بناءً على أبحاثك وخبراتك ، حدد رأيك وادافع عنه بشأن ما إذا كان نظام الهيئة الانتخابية عادلاً أم لا.
  1. غالبًا ما تتم مناقشة قيمة الهيئة الانتخابية (انظر المشكلة السابقة للحصول على نظرة عامة) في الانتخابات الحديثة. ابحث عن مقالة أو ورقة تقدم حجة لصالح أو ضد الهيئة الانتخابية. قم بتقييم المصدر ولخص المقال ، ثم قدم رأيك في سبب موافقتك أو عدم موافقتك على وجهة نظر الكاتب. إذا تم ذلك في الفصل ، قم بتشكيل مجموعات وإجراء مناقشة.

التمرين 3.8: إيجاد الجذر التربيعي لكثير الحدود بطريقة القسمة


2. أوجد الجذر التربيعي للتعبير


3. أوجد قيم أ و ب إذا كانت كثيرات الحدود التالية مربعات كاملة

(ط) 4x 4 − 12x 3 + 37x 2 + bx +أ

(ثانيا) فأس 4 + bx 3 + 361x 2 + 220x + 100


4. أوجد قيم م و ن إذا كانت التعبيرات التالية مربعات كاملة

(أنا)

(ثانيا) x 4 − 8x 3 + مكس 2 + nx + 16


الإجابات:

1. (ط) | x 2 − 6x + 3 | (الثاني) | 2x 2 - 7x - 3 | (ثالثا) | 4x 2 + 1 | (رابعا) | 11x 2 - 9x - 12 |


شرح الحل

الزوج المرتب (2 ، 6) هو حل لنظام المعادلات الخطية

لذلك ، البديل الأول (س ، ص) = (2 ، 6) في المعادلة س + ص = 8 ،

بما أن العبارة الأخيرة صحيحة ، فإن (2 ، 6) تفي بالمعادلة س + ص = 8.

الآن استبدل (x، y) = (2، 6) في المعادلة 3 x & # x2212 y = 0،

& emsp & emsp 3 x & # x2212 y = 0 3 (2) & # x2212 6 = 0 6 & # x2212 6 = 0 0 = 0

نظرًا لأن العبارة الأخيرة صحيحة ، فإن (2 ، 6) تفي بالمعادلة 3 x & # x2212 y = 0.

وبالتالي ، (2 ، 6) هو حل لنظام المعادلات الخطية

لديك سؤال واجب منزلي؟

اشترك في تعلم bartleby! اطرح على الخبراء المتخصصين 30 سؤالاً في الواجبات المنزلية كل شهر. بالإضافة إلى ذلك ، سيكون لديك إمكانية الوصول إلى الملايين من إجابات الكتب المدرسية خطوة بخطوة!


السؤال رقم 1.
حلل كل من كثيرات الحدود التالية إلى عوامل باستخدام القسمة التركيبية:
(i) x 3 & # 8211 3x 2 & # 8211 10x + 24
(2) 2x 3 & # 8211 3x 2 & # 8211 3x + 2
(iii) -7x + 3 + 4x 3
(4) x 3 + x 2 & # 8211 14x & # 8211 24
(ت) × 3 & # 8211 7 س + 6
(vi) x 3 & # 8211 10x 2 & # 8211 x + 10
حل:
(i) x 3 & # 8211 3x 2 & # 8211 10x + 24
لنفترض أن p (x) = x 3 & # 8211 3x 2 & # 8211 10x + 24
مجموع كل العوامل المشتركة = 1 & # 8211 3 & # 8211 10 + 24 = 25 & # 8211 13 = 12 0
ومن ثم فإن (x & # 8211 1) ليس عاملاً.
مجموع الكفاءة المشتركة للقوى الزوجية الثابتة = -3 + 24 = 21
مجموع العوامل المشتركة للقوى الفردية = 1 & # 8211 10 = & # 8211 9
21 ≠ -9
ومن ثم فإن (x + 1) ليس عاملاً.
ص (2) = 2 3 & # 8211 3 (2 2) & # 8211 10 × 2 + 24 = 8 & # 8211 12 & # 8211 20 + 24
= 32 & # 8211 32 = 0 (x & # 8211 2) عامل.
الآن نستخدم القسمة التركيبية لإيجاد عامل آخر

Thqs (x & # 8211 2) (x + 3) (x & # 8211 4) هي العوامل.
∴ x 3 & # 8211 3x 2 & # 8211 10x + 24 = (x & # 8211 2) (x + 3) (x & # 8211 4)

(ii) 2x 2 & # 8211 3x 2 & # 8211 3x + 2
لنفترض أن p (x) = 2x 3 & # 8211 3x 2 & # 8211 3x + 2
مجموع جميع العوامل المشتركة
2 – 3 – 3 + 2 = 4 – 6 = -2 ≠ 0
∴ (x & # 8211 1) ليس عاملاً
مجموع العوامل المشتركة للقوى الزوجية لـ x بثابت = -3 + 2 = & # 8211 1
مجموع العوامل المشتركة للقوى الفردية لـ x = 2-3 = -1
(-1) = (-1)
∴ (x + 1) عامل
لنجد العوامل الأخرى باستخدام القسمة التركيبية

حاصل القسمة هو 2x 2 & # 8211 5x + 2 = 2x & # 8211 4x & # 8211 x + 2 = 2x (x & # 8211 2) & # 8211 1 (x & # 8211 2)
= (x & # 8211 2) (2x & # 8211 1)
∴ 2x 3 & # 8211 3x 2 & # 8211 3x + 2 = (x + 1) (x & # 8211 2) (2x & # 8211 1)

(iii) -7x + 3 + 4x 3
دع p (x) = 4x 3 + 0x 2 & # 8211 7x + 3
مجموع العوامل المشتركة = 4 + 0 & # 8211 7 + 3
= 7 – 7 = 0
∴ (x- 1) عامل
مجموع العوامل المشتركة للقوى الزوجية لـ x بثابت = 0 + 3 = 3
مجموع العوامل المشتركة للقوى الفردية لـ x مع الثابت = 4 & # 8211 7 = -3
-3 ≠ -3
∴ (x + 1) ليس عاملاً
باستخدام القسمة التركيبية ، دعونا نجد العوامل الأخرى.


الحاصل هو 4x 2 + 4x & # 8211 3
= 4x ​​2 + 6x & # 8211 2x & # 8211 3
= 2x (2x + 3) & # 8211 1 (2x + 3)
= (2x + 3) (2x & # 8211 1)
∴ العوامل هي (x & # 8211 1) و (2x + 3) و (2x & # 8211 1)
∴ -7x + 3 + 4x 3 = (x + 1) (2x + 3) (2x & # 8211 1)

(4) x 3 + x 2 & # 8211 14x & # 8211 24
لنفترض أن p (x) = x 3 + x 2 & # 8211 14x & # 8211 24
مجموع العوامل المشتركة = 1 + 1 & # 8211 14 & # 8211 24 = -36 ≠ 0
∴ (x & # 8211 1) ليس عاملاً
مجموع العوامل المشتركة لقوى x الزوجية مع الثابت = 1 & # 8211 24 = -23
مجموع العوامل المشتركة للقوى الفردية لـ x = 1 & # 8211 14 = -3
-23 ≠ -13
∴ (x + 1) ليس أيضًا عاملاً
ص (2) = 2 3 + 2 2 & # 8211 14 (2) & # 8211 24 = 8 + 4 & # 8211 28 & # 8211 24
= 12 & # 8211 52 ≠ 0 ، (x & # 8211 2) ليس عاملاً
ص (-2) = (-2) 3 + (-2) 2 & # 8211 14 (-2) & # 8211 24
= -8 + 4 + 28 – 24 = 32 – 32 = 0
∴ (x + 2) عامل
لإيجاد العوامل الأخرى ، دعونا نستخدم القسمة التركيبية.

∴ العوامل هي (س + 2) ، (س + 3) ، (س + 4)
∴ x 3 + x 2 & # 8211 14x & # 8211 24 = (x + 2) (x + 3) (x & # 8211 4)

(ت) × 3 & # 8211 7 س + 6
دع p (x) = x 3 + 0x 2 & # 8211 7x + 6
مجموع العوامل المشتركة = 1 + 0 & # 8211 7 + 6 = 7 & # 8211 7 = 0
∴ (x- 1) عامل
مجموع العوامل المشتركة للقوى الزوجية لـ x بثابت = 0 + 6 = 6
مجموع معامل الأس الفردية لـ x = 1 & # 8211 7 = -7
6 ≠ -7
∴ (x + 1) ليس عاملاً
لإيجاد العوامل الأخرى ، دعونا نستخدم القسمة التركيبية.

∴ العوامل هي (x & # 8211 1) ، (x & # 8211 2) ، (x + 3)
∴ x 3 + 0x 2 & # 8211 7x + 6 = (x & # 8211 1) (x & # 8211 2) (x + 3)

(vi) x 3 & # 8211 10x 2 & # 8211 x + 10
لنفترض أن p (x) = x 3 & # 8211 10x 2 & # 8211 x + 10
مجموع العوامل المشتركة = 1 & # 8211 0 & # 8211 1 + 10
= 11 – 11 = 0
∴ (x & # 8211 1) عامل
مجموع العوامل المشتركة لقوى x الزوجية مع الثابت = -10 + 10 = 0
مجموع الكفاءات المشتركة للقوى الفردية = 1 & # 8211 1 = 0
∴ (x + 1) عامل
تقسيم الاصطناعية

∴ x 3 + 10x 2 & # 8211 x + 10 = (x & # 8211 1) (x + 1) (x & # 8211 10)


السؤال رقم 1.
أوجد الجذر التربيعي لكثيرات الحدود التالية بطريقة القسمة
(i) x 4 & # 8211 12x 3 + 42x 2 & # 8211 36x + 9
(ii) 37x 2 & # 8211 28x 3 + 4x 4 + 42x + 9
(3) 16x 4 + 8x 2 + 1
(4) 121x 4 & # 8211198x 3 & # 8211183x 2 + 216x + 144
حل:
طريقة القسمة المطولة في إيجاد الجذر التربيعي لكثير الحدود تكون مفيدة عندما تكون درجات كثير الحدود أعلى.


السؤال 2.
أوجد الجذر التربيعي للتعبير ( frac>> -10 فارك+ 27-10 فارك+ فارك>>)
حل:

السؤال 3.
أوجد قيمتي a و b إذا كانت كثيرات الحدود التالية مربعات كاملة
(ط) 4x 4 & # 8211 12x 3 + 37x 2 + bx + a
(ii) ax 4 + bx 3 + 361ax 2 + 220x + 100
حل:
(أنا)

لأنها مربع كامل.
الباقي = 0
⇒ ب + 42 = 0 ، أ & # 8211 49 = 0
ب = -42 ، أ = 49

(ii) ax 4 + bx 3 + 361ax 2 + 220x + 100

بما أن الباقي هو 0
أ = 144
ب = 264

السؤال 4.
أوجد قيمتي m و n إذا كانت التعبيرات التالية مربعة كاملة
(i) ( frac <1>> - فارك <6>> + فارك <13>> + فارك+ n )
(ii) x 4 & # 8211 8x 3 + mx 2 + nx + 16
حل:
(أنا)

(ثانيا)

بما أن الباقي هو 0 ،
م = 24 ، ن = -32


ما هو الاستقصاء الرياضي؟

يشير الاستقصاء الرياضي إلى الاستكشاف المستمر للوضع الرياضي. يميز نفسه عن حل المشكلات لأنه مفتوح النهاية.

سمعت لأول مرة عن تحقيقات الرياضيات في عام 1990 عندما حضرت دورة للدراسات العليا في أستراليا. أحبه على الفور وأصبح منذ ذلك الحين أحد أنشطتي الرياضية المفضلة لطلابي الذين كانوا فخورين جدًا بأنفسهم عندما انتهوا من تحقيقهم الأول.

حل المشكلات هو نشاط متقارب. لها هدف محدد & # 8211 حل المشكلة. من ناحية أخرى ، يعد الاستقصاء الرياضي نشاطًا متشعبًا. في التحقيقات الرياضية ، من المتوقع أن يطرح الطلاب مشاكلهم الخاصة بعد الاستكشاف الأولي للوضع الرياضي. يتيح استكشاف الموقف وصياغة المشكلات وحلها الفرصة لتطوير التفكير الرياضي المستقل والمشاركة في العمليات الرياضية مثل تنظيم البيانات وتسجيلها والبحث عن الأنماط والتخمين والاستنتاج وتبرير وتفسير التخمينات والتعميمات. إن عمليات التفكير هذه هي التي تمكن الفرد من تعلم المزيد من الرياضيات ، وتطبيق الرياضيات في تخصصات أخرى وفي المواقف اليومية وحل المشكلات الرياضية (وغير الرياضية).

يتيح التدريس من خلال الاستقصاء الرياضي للطلاب التعرف على الرياضيات ، وخاصة طبيعة النشاط الرياضي والتفكير. كما أنها تجعلهم يدركون أن تعلم الرياضيات يتضمن الحدس ، والاستكشاف المنهجي ، والتخمين والاستدلال ، وما إلى ذلك وليس عن حفظ واتباع الإجراءات الحالية. الهدف النهائي للتحقيق الرياضي هو تطوير عادات العقل الرياضية للطلاب # 8217.

على الرغم من أن الطلاب قد يقومون بنفس البحث الرياضي ، إلا أنه من غير المتوقع أن يأخذهم جميعًا في الاعتبار نفس المشكلة من نقطة بداية معينة. تعني & # 8220 Open-endness & # 8221 في العديد من الاستقصاءات أيضًا أن الطلاب قد لا يغطون الموقف بالكامل. ومع ذلك ، على الأقل بالنسبة للرضا الشخصي للطالب ، فإن تحقيق بعض النتائج المحددة للتحقيق أمر مرغوب فيه. ما هو أساسي هو أن الطلاب سيختبرون العمليات الرياضية التالية التي تشكل محور البحث الرياضي:

  • الاستكشاف المنهجي للحالة المعينة
  • صياغة المشاكل والتخمينات
  • محاولة تقديم مبررات رياضية للتخمينات.

في هذا النوع من النشاط والتدريس ، يتم منح الطلاب المزيد من الفرص لتوجيه خبراتهم التعليمية الخاصة. لاحظ أنه يمكن تحويل مهمة حل مشكلة إلى مهمة تحقيق عن طريق توسيع المشكلة عن طريق تغيير أحد الشروط على سبيل المثال. لمعرفة المزيد حول حل المشكلات وكيفية اختلافها مع التحقيق في الرياضيات ، اقرأ رسالتي حول التمارين وحل المشكلات والتحقيق في الرياضيات.

يشتكي بعض الآباء وحتى المعلمين من أن الطلاب لا يتعلمون الرياضيات في هذا النوع من النشاط. في الواقع لن يفعلوا ذلك إذا لم يناقش المعلم نتائج الاستقصاء ، وتسليط الضوء على المفاهيم الخاطئة وتصحيحها ، وتوليف نتائج الطلاب ومساعدة الطلاب على الربط بين مفاهيم الرياضيات التي تم تناولها في الاستقصاء. هذا غني عن القول أنه يجب على المعلمين محاولة التحقيق أولاً قبل إعطائه للطلاب.

أعتقد أن الاستقصاء الرياضي هو تعليم بنائي في أفضل حالاته. للحصول على نموذج للدرس ، اقرأ المضلعات والتعبيرات الجبرية.

يقدم الكتاب أدناه التحقيق & # 8220start-up & # 8221 لطلاب الكلية.


هل تبحث عن شيء محدد؟ ربما تمرين لتكملة الموضوع الذي تدرسه في المدرسة في الوقت الحالي. انتقل باستخدام خريطة الرياضيات الخاصة بنا للعثور على التمارين والألغاز ومبتدئين في دروس الرياضيات مجمعة حسب الموضوع.

إذا وجدت هذا النشاط مفيدًا ، فلا تنسَ تسجيله في مخطط عملك أو نظام إدارة التعلم. عنوان URL القصير ، الجاهز للنسخ واللصق ، هو كما يلي:

بدلاً من ذلك ، إذا كنت تستخدم Google Classroom ، فكل ما عليك فعله هو النقر فوق الرمز الأخضر أدناه لإضافة هذا النشاط إلى أحد فصولك الدراسية.

قد يكون من الجدير أن نتذكر أنه إذا توقف Transum.org عن العمل لأي سبب من الأسباب ، فهناك مواقع معكوسة على Transum.com و Transum.info تحتوي على معظم الموارد المتاحة هنا على Transum.org.

عند التخطيط لاستخدام التكنولوجيا في درسك ، يكون لديك دائمًا خطة بديلة!

هل لديك أي تعليق؟ من المفيد دائمًا تلقي التعليقات ويساعد في جعل هذا المورد المجاني أكثر فائدة لمن يتعلمون الرياضيات في أي مكان في العالم. اضغط هن لتدخل التعليق.


شاهد الفيديو: الكسور المتكافئة - رياضيات الصف الرابع الفصل الثاني (شهر اكتوبر 2021).