# 2.5: المعادلات الخطية - التلاعب والحل (حل اللغز) - الرياضيات

أنت تتسوق في Old Navy لشراء سبع أزياء جديدة. كيف تنفق 110 دولارات للحصول على كل الملابس المطلوبة دون تجاوز ميزانيتك مع الحصول على أكبر عدد ممكن من العناصر 30 دولارًا؟

هذه مشكلة المعادلات الخطية ، وهي توضح كيف يمكنك استخدامها لاتخاذ القرار الأمثل. لنفترض أن (L ) يمثل كمية الملابس عند نقطة السعر المنخفض البالغة 10 دولارات ، و (H ) تمثل كمية الملابس عند نقطة السعر المرتفعة البالغة 30 دولارًا. ينتج عن هذا المعادلات الجبرية التالية:

[L + H = 7 text {(العدد الإجمالي للأزياء التي تحتاجها)} nonumber ]

[ $10 L +$ 30 H = $110 text {(إجمالي ميزانيتك)} nonumber ] من خلال حل هذه المعادلات في وقت واحد ، يمكنك تحديد عدد الملابس التي يمكنك شراؤها عند كل نقطة سعر. سوف تواجه العديد من المواقف مثل هذه في حياتك المهنية ، على سبيل المثال ، في تحقيق أقصى استفادة من القدرة الإنتاجية للشركة المصنعة. افترض أن شركتك تصنع منتجين على نفس خط الإنتاج وتبيع كل إنتاجها. يساهم كل منتج بشكل مختلف في ربحيتك ، ويستغرق تصنيع كل منتج مقدارًا مختلفًا من الوقت. ما هي مجموعة كل من هذه المنتجات التي يجب أن تصنعها بحيث تشغل خط الإنتاج الخاص بك بسعة مع تعظيم الأرباح المحققة؟ يستكشف هذا القسم كيفية حل المعادلات الخطية للمتغيرات غير المعروفة. ## فهم المعادلات لمعالجة المعادلات الجبرية وحل المتغيرات غير المعروفة ، يجب أن تتعرف أولاً على بعض اللغات المهمة ، بما في ذلك المعادلات الخطية مقابل غير الخطية وجوانب المعادلة. الهدف من معالجة وحل المعادلة الخطية هو إيجاد قيمة للمتغير المجهول الذي يجعل المعادلة صحيحة. إذا قمت باستبدال قيمة (x = −1 ) في المثال أعلاه ، فإن الجانب الأيسر من المعادلة يساوي الجانب الأيمن من المعادلة (انظر الشكل أدناه). تُعرف قيمة (x = −1 ) بالجذر أو الحل للمعادلة الخطية. ## حل معادلة خطية بمتغير واحد غير معروف في دراستك لحل المعادلات الخطية ، عليك أن تبدأ بمعالجة معادلة واحدة لحل متغير واحد غير معروف. لاحقًا في هذا القسم ، ستمتد من هذا الأساس إلى حل معادلتين خطيتين بهما مجهولان. ### كيف تعمل لتحديد جذر المعادلة الخطية بمتغير واحد غير معروف فقط ، قم بتطبيق الخطوات التالية: الخطوة 1: هدفك الأول هو فصل المصطلحات التي تحتوي على المعامل الحرفي عن المصطلحات التي لها معاملات عددية فقط. اجمع كل المصطلحات ذات المعاملات الحرفية في جانب واحد فقط من المعادلة واجمع كل المصطلحات باستخدام المعاملات العددية فقط في الجانب الآخر من المعادلة. لا يهم أي الحدود يسير في أي جانب من المعادلة ، طالما أنك تفصل بينهما. لنقل مصطلح من أحد جوانب المعادلة إلى جانب آخر ، خذ المقابل الرياضي للمصطلح الذي يتم نقله وأضفه إلى كلا الجانبين. على سبيل المثال ، إذا كنت تريد تحريك +3 في (4x + 3 = −2x - 3 ) من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن ، فإن المقابل الرياضي للعدد +3 هو −3. عند تحريك أحد المصطلحات ، تذكر القاعدة الأساسية: ما تفعله في جانب واحد من المعادلة يجب أن تفعله أيضًا في الجانب الآخر من المعادلة. كسر هذه القاعدة يكسر المساواة في المعادلة. الخطوة 2: اجمع كل الحدود المتشابهة في كل جانب وقم بتبسيط المعادلة وفقًا لقواعد الجبر. الخطوه 3: في المصطلح الذي يحتوي على المعامل الحرفي ، قم بتقليل المعامل العددي إلى 1 عن طريق قسمة طرفي المعادلة على المعامل العددي. ### ملاحظات هامة عندما لا تكون متأكدًا مما إذا كان الجذر المحسوب دقيقًا ، فإن الطريقة السهلة للتحقق من إجابتك هي أخذ المعادلة الأصلية واستبدال الجذر الخاص بك بدلاً من المتغير. إذا كان لديك الجذر الصحيح ، فإن الطرف الأيسر من المعادلة يساوي الجانب الأيمن من المعادلة. إذا كان لديك جذر غير صحيح ، فسيكون الجانبان غير متساويين. تنتج عدم المساواة عادةً من أحد الأخطاء الثلاثة الأكثر شيوعًا في المعالجة الجبرية: 1. تم كسر قواعد BEDMAS. 2. انتهكت قواعد الجبر. 3. ما تم إجراؤه على أحد طرفي المعادلة لم يتم إجراؤه على الجانب الآخر من المعادلة. ### أشياء يجب الانتباه إليها عندما تنقل حدًا من أحد طرفي المعادلة إلى جانب آخر باستخدام الضرب أو القسمة ، تذكر أن هذا يؤثر على كل حد من طرفي المعادلة. لإزالة (x ) من المقام في المعادلة التالية ، اضرب طرفي المعادلة في (x ): ( dfrac {5} {x} + dfrac {1} {x} = dfrac {2} {x} +2 ) يصبح (x left ( dfrac {5} {x} + dfrac {1} {x} right) = left ( dfrac {2} {x} +2 right) x ) والذي يصبح بعد ذلك (5 + 1 = 2 + 2 x ) ضرب كل مصطلح على كلا الجانبين في (س ) يحافظ على المساواة. ### طرق النجاح يمكن أن تسبب الأرقام السلبية الكثير من الحزن لبعض الناس. عند نقل المصطلحات من جانب معين من المعادلة ، يفضل العديد من الأشخاص تجنب المعاملات العددية السالبة أمام المعاملات الحرفية. إعادة النظر (4x + 3 = −2x - 3 ) ، يمكنك تحريك (4x ) من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن عن طريق طرح (4x ) من كلا الجانبين. ومع ذلك ، في الجانب الأيمن ينتج عن هذا (- 6x ). يتم التغاضي عن السلبية بسهولة أو إسقاطها عن طريق الخطأ في الخطوات المستقبلية. بدلاً من ذلك ، انقل المتغير إلى الجانب الأيسر من المعادلة ، مما ينتج عنه معامل موجب يساوي (6x ). مثال ( PageIndex {1} ): كيفية حل المثال الافتتاحي خذ المثال الحالي في هذا القسم وحلها من أجل (x ): (4x + 3 = −2x - 3 ) المحلول هذه معادلة خطية لأن الأس على المتغير هو 1. عليك حل المعادلة وإيجاد جذر (x ). ما تعرفه بالفعل تم توفير المعادلة بالفعل. كيف ستصل الى هناك طبق الخطوات الثلاث لحل المعادلات الخطية. للوصول إلى الجذر ، يجب عليك اتباع قواعد الجبر ، BEDMAS ، والمساواة. نفذ الخطوة 1: انقل المصطلحات ذات المعاملات الحرفية إلى جانب والمصطلحات ذات المعاملات العددية فقط إلى الجانب الآخر. دعنا نجمع المعامل الحرفي على الجانب الأيسر من المعادلة. انقل (- 2x ) إلى الجانب الأيسر بوضع (+ 2x ) على كلا الجانبين. [4x + 3 = 2x - 3 بلا رقم ] على الجانب الأيمن ، تلغي (- 2x ) و (+ 2x ) إلى الصفر. [4x + 3 ( bf {+ 2x}) = −2x - 3 ( bf {+ 2x}) nonumber ] الخطوة 1 (تابع): جميع المصطلحات التي تحتوي على المعامل الحرفي موجودة الآن على اليسار. لننقل جميع المصطلحات التي تحتوي على معاملات عددية فقط إلى الجانب الأيمن. انقل +3 إلى الجانب الأيمن بوضع −3 على كلا الجانبين. [4x + 3 + 2x = −3 بلا رقم ] في الطرف الأيسر ، نحذف +3 و 3 إلى الصفر. [4x + 3 + 2x ( bf {- 3}) = −3 ( bf {- 3}) nonumber ] الخطوة 2: الشروط مفصولة الآن. اجمع المصطلحات المتشابهة وفقًا لقواعد الجبر. [4x + 2x = −3 - 3 nonumber ] الخطوه 3: المصطلح ذو المعامل الحرفي يتم ضربه بالمعامل العددي 6. لذلك ، اقسم كلا الجانبين على 6. [ bf {6x = −6} nonumber ] ستقسم المعاملات العددية للجانب الأيسر إلى 1. قم بحل المعاملات العددية على الجانب الأيمن. [ dfrac {6 x} { bf {6}} = dfrac {-6} { bf {6}} nonumber ] هذا هو جذر المعادلة. [س = -1 بلا رقم ] جذر المعادلة هو (x = −1 ). للتحقق من دقة التلاعب ، خذ جذر (x = −1 ) واستبدله في المعادلة الأصلية: [4 (−1) + 3 = −2 (1) - 3 بدون رقم ] [- 4 + 3 = 2-3 بلا رقم ] [- 1 = -1 بلا رقم ] الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن ، لذا فإن الجذر صحيح. مثال ( PageIndex {2} ): حل معادلة خطية بمتغير واحد غير معروف حل المعادلة التالية من أجل (m ): ( dfrac {3 m} {4} +2 m = 4 m-15 ) المحلول هذه معادلة خطية لأن الأس على المتغير هو 1. عليك حل المعادلة وإيجاد جذر (م ). ما تعرفه بالفعل تم توفير المعادلة بالفعل. كيف ستصل الى هناك بسّط المعادلات أولاً ثم طبق الخطوات الثلاث لحل المعادلات الخطية. للوصول إلى الجذر ، يجب عليك اتباع قواعد الجبر ، BEDMAS ، والمساواة. يمكنك استخدام نهج يتجنب السلبيات. نفذ أولًا ، بسّط كل الكسور لتسهيل التعامل مع المعادلة. [ dfrac {3 m} {4} +2 m = 4 m-15 nonumber ] لا يزال هناك تبسيط ، اجمع الشروط المتشابهة حيثما أمكن ذلك. [( bf {0.75m}) + 2m = 4m - 15 nonumber ] الخطوة 1: اجمع كل المصطلحات باستخدام المعامل الحرفي على جانب واحد من المعادلة. انقل كل الحدود ذات المعاملات الحرفية إلى الجانب الأيمن. [( bf {2.75 م}) = 4 م - 15 عدد غير رقمي ] الخطوة 1 (تابع): اجمع الحدود المتشابهة وانقل كل الحدود ذات المعاملات العددية فقط إلى الجانب الأيسر. [2.75 م ( bf {- 2.75 م}) = 4 م - 15 ( bf {- 2.75 م}) nonumber ] على الجانب الأيسر ، يلغي كل من (+ 2.75m ) و (- 2.75m ) بعضهما البعض. الآن انقل المعاملات العددية إلى الجانب الأيسر. [( bf {0}) = 4 م - 15 ( bf {- 2.75 م}) غير رقم ] على الجانب الأيمن ، يلغي كل من 15 و +15 بعضهما البعض. [0 ( bf {+ 15}) = 4 م - 15 - 2.75 م ( bf {+ 15}) nonumber ] الخطوة 2: اجمع بين الشروط المتشابهة في كل جانب. [0 ( bf {+ 15}) = 4 م - 2.75 م عدد غير رسمي ] الخطوه 3: اقسم كلا الجانبين على المعامل العددي المصاحب للمعامل الحرفي. [ bf {15 = 1.25m} عدد غير رسمي ] تبسيط. [ dfrac {15} { bf {1.25}} = dfrac {1.25 m} { bf {1.25}} nonumber ] هذا هو جذر المعادلة. [12 = م بلا رقم ] جذر المعادلة هو (م = 12 ). هذا يجعل طرفي المعادلة ، ( dfrac {3 m} {4} +2 م ) و (4 م -15 ) ، يساوي 33. مثال ( PageIndex {3} ): حل معادلة خطية بمتغير واحد غير معروف يحتوي على كسور حل المعادلة التالية لـ (b ) وقرب إجابتك إلى أربعة أرقام عشرية: ( dfrac {5} {8} b + dfrac {2} {5} = dfrac {17} {20} - dfrac { ب} {4} ) المحلول هذه معادلة خطية لأن الأس على المتغير هو 1. عليك حل المعادلة وإيجاد جذر (b ). ما تعرفه بالفعل تم توفير المعادلة بالفعل. على الرغم من أنه يمكنك محاولة مسح كل كسر أو محاولة إيجاد مقام مشترك ، تذكر أنه يمكنك حذف الكسور بتحويلها إلى كسور عشرية. كيف ستصل الى هناك بسّط الكسور إلى صورة عشرية. ثم طبق الخطوات الثلاث لحل المعادلات الخطية. للوصول إلى الجذر ، يجب عليك اتباع قواعد الجبر ، BEDMAS ، والمساواة. نفذ بسّط الكسور وحوّلها إلى أعداد عشرية. [ dfrac {5} {8} b + dfrac {2} {5} = dfrac {17} {20} - dfrac {b} {4} nonumber ] الخطوة 1: انقل حدود المعامل الحرفي إلى الجانب الأيسر. [( bf {0.625}) ب ( bf {+ 0.4}) = ( bf {0.85 - 0.25}) ب بدون رقم ] المعاملات الحرفية في الجانب الأيمن تلغي بعضها البعض. [0.625b + 0.4 + ( bf {0.25b}) = 0.85 - 0.25b + ( bf {0.25b}) nonumber ] انقل حدود المعامل العددي إلى الجانب الأيمن. [0.625b + 0.4 + 0.25b = 0.85 nonumber ] المعاملات العددية في الطرف الأيسر تلغي بعضها البعض. [0.625b + 0.4 + 0.25b ( bf {- 0.4}) = 0.85 ( bf {- 0.4}) nonumber ] الخطوة 2: اجمع بين الشروط المتشابهة في كل جانب. [0.625 ب + 0.25 ب = 0.85 - 0.4 عدد غير رقمي ] الخطوه 3: اقسم كلا الجانبين على المعامل العددي المصاحب للمعامل الحرفي. [ bf {0.875b = 0.45} nonumber ] تبسيط. [ dfrac {0.875 b} { bf {0.875}} = dfrac {0.45} { bf {0.875}} nonumber ] قرّب لأربعة أرقام عشرية حسب التعليمات. [ب = 0.514285 بدون رقم ] هذا هو الجذر. [ب = 0.5143 بلا رقم ] جذر المعادلة ، مقربًا إلى أربعة أرقام عشرية ، هو (ب = 0.5143 ). ## حل معادلتين خطيتين بمتغيرين غير معروفين تعمل عملية المعالجة التي مارستها للتو بشكل جيد لحل معادلة خطية واحدة بمتغير واحد. ولكن ماذا يحدث إذا احتجت إلى حل معادلتين خطيتين بمتغيرين في وقت واحد؟ تذكر عندما كنت في Old Navy تشتري سبع ملابس في وقت سابق من هذا الفصل (المعادلة 1)؟ كنت بحاجة للبقاء ضمن ميزانية التسعير (المعادلة 2). تحتوي كل معادلة على متغيرين غير معروفين يمثلان عدد الملابس الأقل سعراً والأعلى سعراً. الهدف هو اختزال معادلتين بهما مجهولان في معادلة خطية واحدة مع واحدة غير معروفة. بمجرد اكتمال هذا التحويل ، يمكنك بعد ذلك تحديد المتغير غير المعروف من خلال تطبيق الإجراء المكون من ثلاث خطوات لحل معادلة خطية واحدة ، كما تمت مناقشته للتو. عندما تعمل مع معادلتين خطيتين مع مجهولين ، تسمح قواعد الجبر بالمعالجتين التاليتين: 1. ما تفعله في أحد طرفي المعادلة يجب أن يتم على الجانب الآخر من المعادلة للحفاظ على المساواة. لذلك ، يمكنك ضرب أو قسمة أي معادلة على أي رقم دون تغيير جذر المعادلة. على سبيل المثال ، إذا قمت بضرب جميع شروط (x + y = 2 ) في 2 على كلا الجانبين ، مما أدى إلى (2x + 2y = 4 ) ، تظل مساواة المعادلة كما هي وتوجد نفس الجذور. 2. يمكن إضافة المصطلحات الموجودة في نفس الجانب من المعادلة وطرحها بين المعادلات من خلال الجمع بين المصطلحات المتشابهة. لكل من المعادلتين جانب أيسر وجانب أيمن. تسمح هذه القاعدة بأخذ الجانب الأيسر من المعادلة الأولى وإما إضافة أو طرح حدود متشابهة في الجانب الأيسر من المعادلة الثانية. عند تنفيذ هذا الإجراء ، تذكر القاعدة الأولى أعلاه. إذا جمعت الجانبين الأيسر من المعادلتين معًا ، فيجب عليك حينئذٍ إضافة الجانب الأيمن من المعادلتين معًا للحفاظ على المساواة. ### كيف تعمل اتبع هذه الخطوات لحل معادلتين خطيتين بمتغيرين غير معروفين: الخطوة 1: اكتب المعادلتين واحدة فوق الأخرى ، بحيث تصطف عموديًا المصطلحات التي لها نفس المعاملات الحرفية والمصطلحات التي لها المعامل العددي فقط. إذا لزم الأمر ، قد تحتاج المعادلات إلى المعالجة بحيث تكون جميع المعاملات الحرفية على جانب واحد مع المعاملات العددية على الجانب الآخر. الخطوة 2: افحص المعادلتين. من خلال الضرب أو القسمة ، اجعل المعامل العددي على أحد المصطلحات التي تحتوي على معامل حرفي يساوي تمامًا نظيره في المعادلة الأخرى. الخطوه 3: أضف أو اطرح المعادلتين حسب الحاجة لإزالة المصطلح المتطابق من المعادلتين. الخطوة 4: في المعادلة الجديدة ، حل المعامل الحرفي الأخير. الخطوة الخامسة: استبدل جذر المعامل الحرفي المعروف في أي من المعادلتين الأصليتين. إذا اتخذت إحدى المعادلات بنية أبسط ، فاختر تلك المعادلة. الخطوة 6: حل المعادلة التي اخترتها للمعامل الحرفي الآخر. ### طرق النجاح في بعض الأحيان يكون من غير الواضح بالضبط كيف تحتاج إلى ضرب أو قسمة المعادلات لجعل اثنين من المصطلحات متطابقة. على سبيل المثال ، افترض المعادلتين التاليتين: [4.9x + 1.5y = 38.3 nonumber ] [2.7x - 8.6y = 17.8 nonumber ] إذا كان الهدف هو جعل المصطلحات التي تحتوي على المعامل الحرفي (س ) متطابقة ، فهناك حلان بديلين: 1. خذ المعامل العددي الأكبر لـ (x ) واقسمه على المعامل العددي الأصغر. الرقم الناتج هو عامل ضرب المعادلة التي تحتوي على معامل رقمي أصغر. في هذه الحالة ، (4.9 div 2.7 = 1. overline {814} ). اضرب جميع حدود المعادلة الثانية في (1. overline {814} ) لجعل المعاملات العددية لـ (x ) مساوية لبعضها البعض ، مما ينتج عنه زوج المعادلات هذا: [4.9x + 1.5y = 38.3 nonumber ] [4.9 x-15.6 overline {074} y = 32.3 overline {037} text {(كل مصطلح مضروب في} 1. overline {814}) nonumber ] 1. خذ المعادلة الأولى واضربها في المعامل العددي في المعادلة الثانية. ثم خذ المعادلة الثانية واضربها في المعامل العددي في المعادلة الأولى. في هذه الحالة ، اضرب كل الحدود في المعادلة الأولى في 2.7. ثم اضرب كل حدود المعادلة الثانية في 4.9. [13.23 x + 4.05 y = 103.41 text {(كل حد مضروب في} 2.7) nonumber ] [13.23 x-42.14 y = 87.22 text {(كل حد مضروبًا في 4.9)} nonumber ] لاحظ أن كلا الأسلوبين يؤديان بنجاح إلى أن كلا المعادلتين لهما نفس المعامل العددي أمام المعامل الحرفي (x ). ### طرق النجاح في النهاية ، يمكن تحويل كل زوج من المعادلات الخطية مع مجهولين إلى معادلة واحدة من خلال الاستبدال. لإجراء التحويل ، قم بما يلي: 1. حل أي من المعادلتين لأحد المتغيرات غير المعروفة. 2. خذ التعبير الجبري الناتج واستبدله في المعادلة الأخرى. هذه المعادلة الجديدة قابلة للحل لأحد المتغيرات غير المعروفة. 3. استبدل المتغير المكتشف حديثًا بأحد المعادلات الأصلية لتحديد قيمة المتغير المجهول الآخر. خذ المعادلتين التاليتين: [a + b = 4 quad quad 2a + b = 6 nonumber ] 1. ينتج عن حل المعادلة الأولى ل (أ = 4 - ب ). 2. يؤدي استبدال التعبير لـ a في المعادلة الثانية وحل b إلى (2 (4 - b) + b = 6 ) ، والذي يحل كـ (b = 2 ). 3. أخيرًا ، استبدال جذر b في المعادلة الأولى لحساب a يعطي (a + 2 = 4 ) ينتج عنه (a = 2 ). لذلك ، فإن جذور هاتين المعادلتين هي (أ = 2 ) و (ب = 2 ). مثال ( PageIndex {4} ): شراء تلك الملابس تذكر من افتتاحية القسم أنه في التسوق للأزياء هناك نقطتان للسعر 10 دولارات و 30 دولارًا ، وميزانيتك 110 دولارات ، وأنك بحاجة إلى سبع قطع من الملابس. المعادلات أدناه تمثل هذه الشروط. حدد عدد الملابس منخفضة السعر ( (L )) والملابس باهظة الثمن ( (H )) التي يمكنك شراؤها. [L + H = 7 text {}$ 10L + $30H =$ 110 nonumber ]

المحلول

تحتاج إلى تحديد كمية العناصر ذات النقاط المنخفضة السعر ، أو (L ) ، وعناصر النقطة ذات السعر المرتفع ، أو (H ) ضمن ميزانيتك المحدودة. لاحظ أن الأس على المتغيرات هي 1 وأن ​​هناك مجهولين. إذن ، هناك معادلتان خطيتان بهما مجهولان.

ما تعرفه بالفعل

أنت تطلب سبع قطع من الملابس ولديك فقط ميزانية قدرها 110 دولارات. تعبر المعادلات عن علاقات الكمية والميزانية.

كيف ستصل الى هناك

قم بتطبيق الإجراء المكون من ست خطوات لحل معادلتين خطيتين مع مجهولين.

الخطوة 1:

اكتب المعادلات واحدة فوق الأخرى وصطفها.

[ start {array} {lllll} {L} & + & {H} & = & {7} { $10L} & + & {$ 30H} & = & { $110} نهاية {مجموعة} غير رقم ] الخطوة 2: اضرب جميع الحدود في المعادلة الأولى في 10 بحيث يكون (L ) له نفس المعامل العددي في كلا المعادلتين. [ start {array} {lllll} {10L} & + & {10H} & = & {70} {$ 10L} & + & { $30H} & = & {$ 110} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

الخطوه 3:

اطرح المعادلات بطرح كل الحدود في كلا الطرفين.

[ start {array} {llllll} {} & {10L} & + & {10H} & = & {70} { text {subtract}} & { $10L} & + & {$ 30H } & = & { $110} {} & {} & - & {$ 20H} & = & {- $40} end {array} nonumber ] الخطوة 4: حل من أجل (H ) بقسمة كلا الطرفين على 20. [ dfrac {-$ 20 H} {- $20} = dfrac {-$ 40} {- $20} quad H = 2 nonumber ] الخطوة الخامسة: عوّض بالقيمة المعروفة لـ (H ) في إحدى المعادلات الأصلية. المعادلة الأولى بسيطة ، لذا اختر تلك المعادلة. [ start {array} {lllll} {L} & + & {H} & = & {7} {L} & + & {2} & = & {7} end {array} لا يوجد رقم ] الخطوة 6: حل من أجل (L ) بطرح 2 من كلا الطرفين. لديك الآن جذور (L ) و (ح ). [ begin {array} {lllllllll} {L} & + & {2} & - & {2} & = & {7} & - & {2} {} & {} & {} & {} & {L} & = & {5} & {} & {} end {array} nonumber ] يمكنك شراء خمس قطع من الملابس بسعر منخفض وقطعتين من الملابس بسعر مرتفع. يتيح لك ذلك شراء سبع قطع من الملابس والبقاء في حدود ميزانيتك البالغة 110 دولارات. ### طرق النجاح من أصعب مجالات الرياضيات ترجمة الكلمات إلى رموز وعمليات رياضية. للمساعدة في هذه الترجمة ، يسرد الجدول أدناه بعض اللغات الشائعة والرمز الرياضي المرتبط عادةً بالكلمة أو العبارة. لغةرمز الرياضيات مجموع إضافة بالإضافة إلى في الزائدة زاد بمعدل زائد + طرح او خصم انخفض بنسبة تقلص بنسبة أقل ناقص فرق قلل بواسطة - مضروبا مرات نسبة من منتج ل × يقسم قسم قابل للقسمة حاصل القسمة لكل÷ يصبح هو / كان / كان سوف يكون النتائج في المجاميع = أكثر منأكثر من> أقل منأقل من< أكبر من أو يساوي اقل او يساوي لا يساوي مثال ( PageIndex {5} ): حل معادلتين خطيتين بمجهولين لمدينة ملاهي تتقاضى Tinkertown Family Fun Park 15 دولارًا لفرقة معصم الأطفال و 10.50 دولارًا لفرقة معصم البالغين. في يوم صيفي دافئ ، حققت مدينة الملاهي إجمالي إيرادات لفرقة المعصم بلغت 15،783 دولارًا من مبيعات 1،279 سوارًا للمعصم. كم عدد أساور المعصم للبالغين والأطفال التي باعتها الحديقة في ذلك اليوم؟ المحلول أنت بحاجة إلى عدد أساور المعصم الخاصة بالبالغين والأطفال التي يتم بيعها في اليوم المحدد. لذلك ، يجب عليك تحديد مجهولين. ما تعرفه بالفعل سعر أساور المعصم والكمية الإجمالية والمبيعات معروفة: سعر سوار معصم الطفل = 15 دولارًا سعر سوار المعصم للكبار = 10.50 دولار إجمالي الإيرادات = 15،783 دولارًا أمريكيًا إجمالي مبيعات الوحدة = 1،279 كمية أساور معصم الكبار المباعة وكمية أساور معصم الأطفال المباعة غير معروفة: كمية عصابات المعصم الكبار = (أ ) كمية عصابات معصم الطفل = (ج ) كيف ستصل الى هناك 1. اعمل بالكميات اولا. احسب إجمالي مبيعات الوحدات عن طريق إضافة عدد أربطة المعصم الخاصة بالبالغين إلى عدد أساور المعصم الخاصة بالأطفال: [ # text {عصابات معصم الكبار} + # text {عصابات معصم الأطفال} = text {total unit sales} nonumber ] [a + c = 1،279 nonumber ] 1. الآن فكر في أرقام الدولار. يتم حساب إجمالي الإيرادات لأي شركة على أساس سعر الوحدة مضروبًا في الوحدات المباعة. في هذه الحالة ، يجب عليك جمع الإيرادات من منتجين للحصول على إجمالي الإيرادات. [ text {إجمالي إيرادات البالغين} + text {إجمالي إيرادات الأطفال} = text {إجمالي الإيرادات} nonumber ] [ text {(Adult price} times text {Adult guantity}) + text {(Child price} times text {Child quantity)} = text {إجمالي الأرباح} nonumber ] [$ 10.50 a + $15 c =$ 15،783 nonumber ]

1. قم بتطبيق الإجراء المكون من ست خطوات لحل معادلتين خطيتين مع مجهولين.

نفذ

الخطوة 1:

اكتب المعادلات واحدة فوق الأخرى وصطفها.

[ begin {array} {lllll} {a} & + & {c} & = & {1،279} { $10.50a} & + & {$ 15c} & = & { $15،783} نهاية {مجموعة} غير رقم ] الخطوة 2: اضرب كل حدود المعادلة الأولى في 10.5 ، مما ينتج عنه نفس المعامل العددي في كلا المعادلتين. [ start {array} {lllll} { bf {10.50} a} & + & { bf {10.50} c} & = & { bf {13،429.50}} {$ 10.50a} & + & { $15c} & = & {$ 15،783} end {array} nonumber ]

الخطوه 3:

اطرح المعادلات بطرح كل الحدود في كلا الطرفين.

[ start {array} {llllll} {} & { bf {10.50} a} & + & { bf {10.50} c} & = & { bf {13،429.50}} { text {Subtract} } & { underline { $10.50a}} & { underline {+}} & { underline {$ 15c}} & { underline {=}} & { underline { 15،783}} {} & {} & {} & { bf {-4.5c}} & { bf {=}} & { bf {-2،353.50}} end {array} nonumber ] الخطوة 4: حل من أجل (c ) بقسمة كلا الطرفين على −4.5. [ dfrac {-4.5 ج} {- 4.5} = dfrac {-2،353.50} {- 4.5} quad c = 523 nonumber ] الخطوة الخامسة: عوّض بالقيمة المعروفة لـ (c ) في إحدى المعادلات الأصلية. المعادلة الأولى بسيطة ، لذا اختر تلك المعادلة. [ start {array} {lllll} {a} & + & {c} & = & {1،279} {a} & + & { bf {523}} & = & {1،279} end {مجموعة} عدد ] الخطوة 6: حل من أجل a بطرح 523 من كلا الطرفين. لديك الآن جذور (أ ) و (ج ). [ begin {align} a + 523 bf {-523} & = 1،279 bf {-523} a & = 756 end {align} nonumber ] باعت Tinkertown Family Fun Park 523 سوار معصم للأطفال و 756 سوار معصم للبالغين. ## 2.5: المعادلات الخطية - التلاعب والحل (حل اللغز) - الرياضيات الجبر الخطي هو لغة الحوسبة الكمومية. لذلك من الأهمية بمكان تطوير فهم جيد للمفاهيم الرياضية الأساسية التي يُبنى عليها الجبر الخطي ، من أجل الوصول إلى العديد من الإنشاءات المذهلة والمثيرة للاهتمام التي تظهر في الحساب الكمومي. الهدف من هذا القسم هو إنشاء أساس لمعرفة الجبر الخطي التمهيدية ، والتي يمكن للقارئ أن يبني عليها أثناء دراستهم للحوسبة الكمومية. ### النواقل والمسافات المتجهة سنبدأ بحثنا في الجبر الخطي التمهيدي بمناقشة واحدة من أهم الكميات الرياضية في الحساب الكمي: المتجه. رسميا ، أ المتجه يُعرّف | v rangle $كعناصر من مجموعة تُعرف باسم مساحة متجه. تعريف أكثر بديهية وهندسية هو أن المتجه "هو كمية رياضية مع كل من الاتجاه والحجم". على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك متجهًا بمكونات$ x $و$ y $بالصيغة$ start 3 5 نهاية$. يمكن تصور هذا المتجه كسهم يشير في اتجاه وحدات$ 3 $على طول المحور$ x $و$ 5 وحدات $على طول المحور$ y $: لاحظ أن "ذيل" المتجه لا يجب أن يتم وضعه في نقطة الأصل ، وإنما يحتاج فقط إلى الإشارة في الاتجاه الصحيح. في الحوسبة الكمومية ، غالبًا ما نتعامل معها ناقلات الدولة، وهي ببساطة نواقل تشير إلى نقطة معينة في الفضاء تتوافق مع حالة كمية معينة. يمكن تصور ذلك باستخدام كرة بلوخ. على سبيل المثال ، يمكن للمتجه الذي يمثل حالة النظام الكمي أن يبدو مثل هذا السهم ، محاطًا داخل كرة بلوخ ، وهو ما يسمى بـ "فضاء الحالة" لجميع النقاط الممكنة التي يمكن أن تشير إليها نواقل الحالة: تتوافق هذه الحالة الخاصة مع تراكب زوجي بين$ | 0 rangle $و$ | 1 rangle $(السهم في منتصف المسافة بين$ | 0 rangle $في الأعلى و$ | 1 rangle $في أسفل الكرة ). يُسمح لمتجهاتنا بالدوران في أي مكان على سطح الكرة ، وتمثل كل نقطة من هذه النقاط حالة كمية مختلفة. دعنا نعيد النظر في تعريفنا الأكثر رسمية للمتجه ، وهو أن المتجه هو عنصر في مساحة متجه. يجب علينا الآن تحديد فضاء متجه. أ ناقلات الفضاء$ V $أكثر من أ مجال$ F $عبارة عن مجموعة من العناصر (المتجهات) ، حيث ينطبق عليها شرطان. أولا، إضافة ناقلات من متجهين$ | a rangle ، ​​| b rangle in V $سينتج عنه متجه ثالث$ | a rangle + | b rangle = | c rangle $، موجود أيضًا في$ V $. الشرط الثاني هو ذلك الضرب القياسي بين بعض$ | a rangle in V $وبعض$ n in F $، يُشار إليه بـ$ n | a rangle $، موجود أيضًا في$ V $. سنقوم الآن بتوضيح هذا التعريف السابق من خلال العمل من خلال مثال أساسي. دعونا نثبت أن المجموعة$ mathbb^ 2 $فوق الحقل$ mathbb$هو فراغ متجه. نحن نؤكد ذلك$ تبدأ x_1 y_1 end + ابدأ x_2 y_2 end = ابدأ x_1 + x_2 y_1 + y_2 end$موجود في$ mathbb^ 2 دولار. من الواضح أن هذا هو الحال ، حيث أن مجموع رقمين حقيقيين هو رقم حقيقي ، مما يجعل كلا المكونين من أرقام المتجه المشكَّلة حديثًا ، وبالتالي ، فإن المتجه موجود في $mathbb^ 2$ حسب التعريف. كما نؤكد أن:

$n | v rangle = start nx ny end في V للجميع n في mathbb$

هذا صحيح أيضًا ، حيث أن ناتج رقم حقيقي ورقم حقيقي هو رقم حقيقي ، مما يجعل المتجه الجديد بأكمله حقيقيًا ، وبالتالي يثبت هذا البيان.

### المصفوفات وعمليات المصفوفة

دعنا نوجه انتباهنا إلى مفهوم أساسي آخر: أ مصفوفة. المصفوفات هي كائنات رياضية تحول المتجهات إلى متجهات أخرى:

$| v rangle rightarrow | v ' rangle = M | v rangle$

بشكل عام ، تتم كتابة المصفوفات على شكل "مصفوفات" من الأرقام ، تبدو مثل هذا:

يمكننا "تطبيق" مصفوفة على متجه عن طريق ضرب المصفوفة. بشكل عام ، يتضمن ضرب المصفوفة بين مصفوفتين أخذ الصف الأول من المصفوفة الأولى ، وضرب كل عنصر في "شريكه" في العمود الأول من المصفوفة الثانية (يتم ضرب الرقم الأول من الصف في الرقم الأول من المصفوفة العمود ، والرقم الثاني للصف والرقم الثاني من العمود ، وما إلى ذلك). يصبح مجموع هذه الأرقام الجديدة العنصر الأول في الصف الأول من المصفوفة الجديدة. لملء باقي الصف الأول ، نكرر هذه العملية للأعمدة الثانية والثالثة وما إلى ذلك من المصفوفة الثانية. ثم نأخذ الصف الثاني من المصفوفة الأولى ، ونكرر العملية لكل عمود من المصفوفة الثانية ، لإنتاج الصف الثاني. نقوم بهذه العملية حتى نستخدم جميع صفوف المصفوفة الأولى. المصفوفة الناتجة هي المصفوفة الجديدة. هنا مثال:

لإجراء حساب كمي ، لدينا بعض متجه الحالة الكمومية الذي نتعامل معه من خلال تطبيق مصفوفة على هذا المتجه. المتجه هو مجرد مصفوفة بعمود واحد. لتطبيق مصفوفة على متجه ، فإننا نتبع نفس إجراء ضرب المصفوفة الموضح أعلاه. نحن نتلاعب بالكيوبتات في حاسوبنا الكمومي من خلال تطبيق تسلسل بوابات الكم. يمكن التعبير عن كل بوابة كمومية كمصفوفة يمكن تطبيقها على متجهات الحالة ، وبالتالي تغيير الحالة. على سبيل المثال ، البوابة الكمومية الشائعة هي بوابة Pauli-X ، والتي يتم تمثيلها بالمصفوفة التالية:

تعمل هذه البوابة بشكل مشابه للبوابة المنطقية NOT الكلاسيكية. تقوم بتعيين حالة الأساس الحسابي $| 0 rangle$ إلى $| 1 rangle$ و $| 1 rangle$ إلى $| 0 rangle$ (إنها "تقلب" الحالة). نكتب الحالتين الأساسيتين كمتجهات عمود:

$| 0 rangle = start 1 0 نهاية | 1 rangle = ابدأ 0 1 نهاية$

عندما نطبق هذه المصفوفة على كل من المتجهات:

$sigma_x | 0 rangle = start 0 & أمبير 1 1 & أمبير 0 نهاية يبدأ 1 0 نهاية = ابدأ (0) (1) + (1) (0) (1) (1) + (0) (0) النهاية = ابدأ 0 1 نهاية = | 1 rangle$

$sigma_x | 1 rangle = start 0 & أمبير 1 1 & أمبير 0 نهاية يبدأ 0 1 نهاية = ابدأ (0) (0) + (1) (1) (1) (0) + (0) (1) النهاية = ابدأ 1 0 نهاية = | 0 rangle$

تعمل المصفوفة على نواقل الحالة كما هو متوقع.

ضمن الحساب الكمي ، غالبًا ما نواجه نوعين مهمين من المصفوفات: Hermitian و الوحدوي المصفوفات. الأول أكثر أهمية في دراسة ميكانيكا الكم ، لكنه لا يزال ضروريًا للمناقشة في دراسة الحساب الكمي. هذا الأخير له أهمية لا مثيل لها في كل من ميكانيكا الكم والحساب الكمومي. إذا استبعدت مفهومًا واحدًا فقط من هذا القسم الخاص بالجبر الخطي ، فيجب أن يكون مفهوم المصفوفة الوحدوية.

المصفوفة Hermitian هي ببساطة مصفوفة تساويها متقارن تبديل (يشار إليه برمز $dagger$). هذا يعني أن قلب علامة المكونات التخيلية لمصفوفة Hermitian ، ثم عكس مدخلاتها على طول قطرها الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل الزاوية اليمنى) ، ينتج مصفوفة متساوية. على سبيل المثال ، مصفوفة Pauli-Y ، التي يشيع استخدامها في الحساب الكمي ، هي Hermitian:

$sigma_y = start 0 & amp -i i & amp 0 end Rightarrow sigma_y ^ < dagger> = start 0 & أمبير - (i) - (- i) & amp 0 end = ابدأ 0 & amp -i i & amp 0 end = sigma_y دولار لاحظ كيف قمنا بتبديل أماكن$ i $و$ -i $(كما نعكس عبر القطر الرئيسي ، تظل الأصفار دون تغيير) ، ثم قلبنا الإشارة. المصفوفة الوحدوية متشابهة جدًا. على وجه التحديد ، إنها مصفوفة مثل مصفوفة معكوسة يساوي مدور المصفوفة الأصلية. معكوس بعض المصفوفات$ A $، يُرمز له بـ$ A ^ <-1> $، هو مصفوفة مثل: حيث$ mathbb$هي مصفوفة الهوية. مصفوفة الهوية لديها$ 1 s على طول القطر الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) ، و $s في جميع الأماكن الأخرى. يطلق عليها مصفوفة الهوية لأنها تعمل بشكل تافه على أي مصفوفة أخرى (ليس لها تأثير). يمكنك إثبات ذلك بنفسك عن طريق ضرب مصفوفة وحدة في أي مصفوفة أخرى. عندما تصبح المصفوفات أكبر من$ 2 times 2 $، يصبح حساب المعكوس معقدًا بدرجة كافية بحيث يُترك عادةً لأجهزة الكمبيوتر لحسابه. For a$2 imes 2$matrix, the inverse is defined as: where$ ext A$is the determinant of the matrix. In the$2 imes 2$case,$ ext A = ad - bc$. Calculating inverse matrices is rarely important in quantum computing. Since most of the matrices we encounter are unitary, we can assume that the inverse is simply given by taking the conjugate transpose. Let's look at a basic example. The Pauli-Y matrix, in addition to being Hermitian, is also unitary (it is equal to its conjugate transpose, which is also equal to its inverse therefore, the Pauli-Y matrix is its own inverse!). We can verify that this matrix is in fact unitary:$sigma_y = egin 0 & -i i & 0 end sigma_y^ = egin 0 & -i i & 0 end Rightarrow sigma_y^ sigma_y = egin (0)(0) + (-i)(i) & (0)(-i) + (-i)(0) (i)(0) + (0)(i) & (i)(-i) + (0)(0) end = egin 1 & 0 0 & 1 end = mathbb$The reason unitary matrices are important will become more apparent in the section on Hilbert spaces, and more so in the quantum mechanics subtopic of this textbook. The basic idea is that evolution of a quantum state by application of a unitary matrix "preserves" the norm (magnitude) of the quantum state. ### Spanning Sets, Linear Dependence, and Bases We are now in a position to discuss the construction of vector spaces. Consider some vector space$V$. We say that some set of vectors$S$spans a subspace$V_S subset V$(subset closed under vector space operations) of the vector space, if we can write any vector in the subspace as a تركيبة خطية of vectors contained within the spanning set. A linear combination of some collection vectors$|v_1 angle, . |v_n angle$in some vector space over a field$F$is defined as an arbitrary sum of these vectors (which of course will be another vector that we will call$|v angle$):$|v angle = f_1 |v_1 angle + f_2 |v_2 angle + . + f_n |v_n angle = displaystylesum_ f_i |v_i angle$where each$f_i$is some element of$F$. If we have a set of vectors that spans a space, we are saying that any other vector in the vector space can be written as a linear combination of these vectors. A set of vectors$|v_1 angle, . |v_n angle$is said to be linearly dependent if there exist corresponding coefficients for each vector,$b_i in F$, such that:$b_1 |v_1 angle + b_2 |v_2 angle + . + b_n |v_n angle = displaystylesum_ b_i |v_i angle = 0,$where at least one of the$b_i$coefficients is non-zero. This is equivalent to the more intuitive statement that "the set of vectors can be expressed as linear combinations of each other". For example, let us have the set$<|v_1 angle, . |v_n angle >$along with the corresponding coefficients$$, such that the linear combination is equal to$. Since there is at least one vector with a non-zero coefficient, we choose a term in the linear combination $b_a |v_a angle$:

$displaystylesum_ b_i |v_i angle = b_a |v_a angle + displaystylesum_ b_i |v_i angle = 0 Rightarrow |v_a angle = - displaystylesum_ frac |v_i angle = displaystylesum_ c_i |v_i angle$

In the case that $b_a$ is the only non-zero coefficient, it is necessarily true that $|v_a angle$ is the null vector, automatically making the set linearly dependent. If this is not the case, $|v_a angle$ has been written as a linear combination of non-zero vectors, as was shown above. To prove the converse, we assume that there exists some vector $|v_a angle$ in the subspace $|v_1 angle, . |v_n angle$ that can be written as a linear combination of other vectors in the subspace. This means that:

$|v_a angle = displaystylesum_ b_s |v_s angle$

where $s$ is an index that runs over a subset of the subspace. It follows that:

$|v_a angle - displaystylesum_ b_s |v_s angle = |v_a angle - (b_1|v_ angle + . + b_r|v_ angle) = 0$

For all vectors in the subspace that are not included in the subset indexed by $s$, we set their coefficients, indexed by $q$, equal to $. هكذا،$|v_a angle - (b_1|v_ angle + . + b_r|v_ angle) + (0)(|v_ angle + . + |v_ angle) = 0$which is a linear combination of all elements in the subspace$|v_1 angle, . |v_n angle$. This is equal to$, thus completing the proof that the two definitions of linear dependence imply each other.

Let's now consider a basic example. Consider the set of two vectors in $mathbb^2$, consisting of $|a angle = egin 1 0 end$ and $|b angle = egin 2 0 end$. If we choose the field over our vector space to be $mathbb$, then we can create a linear combination of these vectors that equates to $. فمثلا: A set of vectors is said to be linearly independent if there is no vector in the set that can be expressed as a linear combination of all the others. The notion of a أساس is simply a linearly independent spanning set. In this sense, the basis of a vector space is the minimal possible set that spans the entire space. We call the size of the basis set the dimension of the vector space. Bases and spanning sets are important because they allow us to "shrink down" vector spaces and express them in terms of only a few vectors. We can come to certain conclusions about our basis set that we can generalize to the entire vector space, simply because we know every vector in the space is just a linear combination of the basis vectors. In quantum computation, one of the bases that we often encounter is$|0 angle, |1 angle$. We can write any other qubit state as a linear combination of these basis vectors. For instance, the linear combination represents a superposition between the$|0 angle$and$|1 angle$basis state, with equal probability of measuring the state to be in either one of the basis vector states (this is intuitive, as the "weight" or the "amount of each basis vector" in the linear combination is equal, both being scaled by$1/sqrt<2>$). ### Hilbert Spaces, Orthonormality, and the Inner Product Hilbert Spaces are one of the most important mathematical constructs in quantum mechanics and quantum computation. A Hilbert space can be thought of as the state space in which all quantum state vectors "live". The main difference between a Hilbert space and any random vector space is that a Hilbert space is equipped with an منتج داخلي, which is an operation that can be performed between two vectors, returning a scalar. In the context of quantum mechanics and quantum computation, the inner product between two state vectors returns a scalar quantity representing the amount to which the first vector lies along the second vector. From this, the probabilities of measurement in different quantum states (among other things) can be calculated (this will be discussed more in the quantum mechanics subtopic). For two vectors$|a angle$and$|b angle$in a Hilbert space, we denote the inner product as$langle a | b angle$, where$langle a |$is equal to the conjugate transpose of$|a angle$, denoted$|a angle^$. Thus, the inner product between two vectors of the Hilbert space looks something like:$langle a | b angle = egin a_1^ <*>& a_2^ <*>& . & a_n^ <*>end egin b_1 b_2 . . . b_n end = a_1^ <*>b_1 + a_2^ <*>b_2 + . + a_n^ <*>b_n$where$*$denotes the complex conjugate of the vector. One of the most important conditions for a Hilbert space representing a quantum system is that the inner product of a vector with itself is equal to one:$langle psi | psi angle = 1$. This is the so-called normalization condition, which states that the length of the vector squared (each component of the vector is squared and summed together, by definition of the inner product) must be equal to one. The physical significance of this is that the length of a vector in a particular direction is representative of the "probability amplitude" of the quantum system with regards to measurement in that particular state. Obviously, the probability of the quantum system being measured in the state that it is in must be$1$(after all, the sum of the probabilities of finding the quantum system in any particular state must equal$1$). ## Equations Games In this post we present a number of free Algebra Equations Games and Activities that students can use to reinforce their equation solving skills. Simply click on the image of the game, or the provided text link, to open the game in a new window on your web browser. Since most of these games use Flash, Shockwave, or Javascript, they probably will not work on Apple devices. Apple products do not have the functionality to run such applications, but the games should work fine on any normal netbook, laptop, or PC. Battleship One Step Equations This is played just like the classic Battleship game. We click on the opponent’s right hand side grid and get splash circles if there is not a ship on that grid square. However, when there is a ship there, we get given a one step equation to solve. If we get it correct, we get a dot to confirm the hit. If we get it wrong we can try again by clicking back on the dot and re-doing the same equation on our next turn. Note that the game does use negative numbers, and so some questions will look like this: 15 = 5 – x . For this example equation, the correct answer from the multiple choice options will be -10. The game can be played at the following link. This game will not start unless you first click your mouse into the game area, then the cursor movement and space bar shooter start functioning. The equations are one and two step equations involving both positive and negative numbers. The game only has one level, but restarting the game gives a new set of equations to do. The game can be played at the following link. In this game, we need to click and drag numbers down from the top and into the right position to create a balanced equation. In a balanced equation, both sides of the equals sign generate the same number. Eg. 10 x 2 = 5 x 4 . The game can be played at the following link. Equation Match Picture Puzzle This game by BBC requires the free Adobe Shockwave player to be installed on your computer. The object of the game is to match up a pair of equations that both have the same Answer. Eg. We could match x-5 = 2 (which has an answer of x=7) with 3x=21 which also has an answer of 7. When we match correctly, two more parts of the underlying image are revealed. The game has levels, where Level 1 appears to only give simple one step equations. Level 3 gives letters both sides and brackets equations. The game can be played at the following link. One-step adding and subtracting game, as well as a one-step multiplication and division game. The equations are challenging, as they use fractions, negative numbers and decimals. If you get a question correct, you get to aim your ball and have a shot at the basket. This game can be played at the following link. There is this exact same game, but as a Two Step Equations Game, at the following link: There are four levels of this game, but each level always has the same equation to solve for that level. Level 1 is always the same single step equation, and Level 4 is always the equation 4w + 2 = 2w – 4 . However it is till worthwhile giving this game a go. The idea is to go through the solving steps one by one, and if we reach the answer in the least possible steps we get a double tick on our answer. The main page where levels can be selected is at the following link. This game has a mixture of difficulties, ranging from single step with negative numbers, through to brackets equations and fractions. It has a set of three “hints” that are like lifelines, and give clues such as “The answer is not D”. This game can be played at the following link. This is more of an interactive online activity, where we can choose the reversing operation to do, type in the value we want to do the operation to and then press enter to get to the next line. Note that we use the red “:” for doing divided by. We can also make up our own equation, type it in, and then solve it. The activity can be found at the following link. Equation Substitution Match This game required us to install the free “Adobe Shockwave Player” add-in to our browser before we could play the game. The game involves substituting into an equation and working out which is the correct answer. It has three levels of difficulty. The game can be played at the following link. Interactive Equation Balancing This activity is really cool. We can click on the purple buttons to add or remove x’s or ones. As we do this, the items are added or removed from both sides of the balance. The idea is to reduce the items on the balance down until we just have one “x” on the balance. The remaining numbers on the other side of the balance tell us what the answer for the value of “x” is. This activity can be found at the following link. This game involves putting number weights on the balance to match the weight of the strange looking Poodle. Hover the mouse over the bottom right hand corner “Help” button, to get instructions on how to play the game. Hover the mouse over the bottom left hand corner “Hint” button, to reveal the number equation which needs solving. Then click on the number weights to make them go onto the balance and add up to the required answer. To remove a number off the balance, simply click the number on the right hand side of the balance that we want to remove. The game can be played at the following link. Solve Equations Time Trial This game is more of a time trialled Online Test, rather than a game. It focuses on two step equations and includes negative numbers. The game can be played at the following link. In addition, there are XP Math One Step Equations Time Trials activities at the web pages below. These cover One Step Addition, Subtraction, Multiplication, and Division. This one is really a basic primary school game, and involves working out missing values in an addition sum. However it does the train students to be thinking of the concept of balancing, and is good brain exercise when students push themselves against the timer. The game can be played at the following link. That’s it for our selection of Equations Games. These games could be added individually to lessons, or used as a group item when students are revising their work. If you enjoyed this post, why not get a free subscription to our website. You can then receive notifications of new pages directly to your email address. Go to the subscribe area on the right hand sidebar, fill in your email address and then click the “Subscribe” button. To find out exactly how free subscription works, click the following link: If you would like to submit an idea for an article, or be a guest writer on our blog, then please email us at the hotmail address shown in the right hand side bar of this page. ## أسئلة For Questions 1 to 8, find the equations needed to solve the problems. Do not solve. 1. A is 60 kilometres from B. An automobile at A starts for B at the rate of 20 km/h at the same time that an automobile at B starts for A at the rate of 25 km/h. How long will it be before the automobiles meet? 2. Two automobiles are 276 kilometres apart and start to travel toward each other at the same time. They travel at rates differing by 5 km/h. If they meet after 6 h, find the rate of each. 3. Two trains starting at the same station head in opposite directions. They travel at the rates of 25 and 40 km/h, respectively. If they start at the same time, how soon will they be 195 kilometres apart? 4. Two bike messengers, Jerry and Susan, ride in opposite directions. If Jerry rides at the rate of 20 km/h, at what rate must Susan ride if they are 150 kilometres apart in 5 hours? 5. A passenger and a freight train start toward each other at the same time from two points 300 kilometres apart. If the rate of the passenger train exceeds the rate of the freight train by 15 km/h, and they meet after 4 hours, what must the rate of each be? 6. Two automobiles started travelling in opposite directions at the same time from the same point. Their rates were 25 and 35 km/h, respectively. After how many hours were they 180 kilometres apart? 7. A man having ten hours at his disposal made an excursion by bike, riding out at the rate of 10 km/h and returning on foot at the rate of 3 km/h. Find the distance he rode. 8. A man walks at the rate of 4 km/h. How far can he walk into the country and ride back on a trolley that travels at the rate of 20 km/h, if he must be back home 3 hours from the time he started? 1. A boy rides away from home in an automobile at the rate of 28 km/h and walks back at the rate of 4 km/h. The round trip requires 2 hours. How far does he ride? 2. A motorboat leaves a harbour and travels at an average speed of 15 km/h toward an island. The average speed on the return trip was 10 km/h. How far was the island from the harbour if the trip took a total of 5 hours? 3. A family drove to a resort at an average speed of 30 km/h and later returned over the same road at an average speed of 50 km/h. Find the distance to the resort if the total driving time was 8 hours. 4. As part of his flight training, a student pilot was required to fly to an airport and then return. The average speed to the airport was 90 km/h, and the average speed returning was 120 km/h. Find the distance between the two airports if the total flying time was 7 hours. 5. Sam starts travelling at 4 km/h from a campsite 2 hours ahead of Sue, who travels 6 km/h in the same direction. How many hours will it take for Sue to catch up to Sam? 6. A man travels 5 km/h. After travelling for 6 hours, another man starts at the same place as the first man did, following at the rate of 8 km/h. When will the second man overtake the first? 7. A motorboat leaves a harbour and travels at an average speed of 8 km/h toward a small island. Two hours later, a cabin cruiser leaves the same harbour and travels at an average speed of 16 km/h toward the same island. How many hours after the cabin cruiser leaves will it be alongside the motorboat? 8. A long distance runner started on a course, running at an average speed of 6 km/h. One hour later, a second runner began the same course at an average speed of 8 km/h. How long after the second runner started will they overtake the first runner? 9. Two men are travelling in opposite directions at the rate of 20 and 30 km/h at the same time and from the same place. In how many hours will they be 300 kilometres apart? 10. Two trains start at the same time from the same place and travel in opposite directions. If the rate of one is 6 km/h more than the rate of the other and they are 168 kilometres apart at the end of 4 hours, what is the rate of each? 11. Two cyclists start from the same point and ride in opposite directions. One cyclist rides twice as fast as the other. In three hours, they are 72 kilometres apart. Find the rate of each cyclist. 12. Two small planes start from the same point and fly in opposite directions. The first plane is flying 25 km/h slower than the second plane. In two hours, the planes are 430 kilometres apart. Find the rate of each plane. 13. On a 130-kilometre trip, a car travelled at an average speed of 55 km/h and then reduced its speed to 40 km/h for the remainder of the trip. The trip took a total of 2.5 hours. For how long did the car travel at 40 km/h? 14. Running at an average rate of 8 m/s, a sprinter ran to the end of a track and then jogged back to the starting point at an average of 3 m/s. The sprinter took 55 s to run to the end of the track and jog back. Find the length of the track. <a href=”/intermediatealgebraberg/back-matter/answer-key-8-8/”>Answer Key 8.8 ## Cramer's Rule Having covered how to manipulate and evaluate determinants, now we'll explore one of the practical uses of determinants, which is in solving systems of equations. Consider the following system of equations: We could solve this system of equations the old-fashioned way, but we can also do it using determinants. Let's suppose that we have been asked to find the value of y in this system. The first thing we do is we create a determinant out of the coefficients on the left-hand side. I've named this determinant d, because we're going to use it as a denominator: Now I'm going to create another determinant by replacing the coefficients of y with the values on the right-hand side of the equation. I'm going to call this nذ, because we're going to use it as a numerator to help us find y. Systems with Three Unknowns This process may actually be more work than the "old-fashioned" method, if you're solving a system of two equations in two unknowns, but if you have ثلاثة unknowns, it becomes a bit more useful. Especially if you only need to know one of the three unknowns. هنا مثال. Solve for y in the following system: 2x + 5y + 3z = 47 x - 2y + 5z = 38 3x + y + z = 23 Since we only need to find y, we just need nذ: Note that we always need to make sure we have the equations formatted the same way (variables in the same order, with the constant on the opposite side of the equation). Also note that if an equation is missing a variable, we need to include it anyway. For example, if you have a system of equations in x,y, and z, and one of the equations is x + 3z = 5, it needs to be written as x + 0y + 3z = 5. But Wait. Not all systems of equations have a solution, right? If two of the linear equations are parallel, there is no solution, and if two of the linear equations are equivalent, then there could be an infinite number of solutions! So how does Cramer's Rule trap this issue? It's actually pretty simple. If two of the equations are parallel or identical, then their coefficients are either equal or multiples of the other, right? And they become rows in a determinant, and all we need to do is subtract the multiple times the row of smaller coefficients times the row of larger coefficients, and we have a row of zeroes, making the determinant zero. In other words, whenever the system of equations is indeterminate or inconsistent, Cramer's Rule gives you a division by zero, which tells you you can't get solutions. Pretty nice, huh? ## Cooperative Whiteboards Kids practice solving one-step equations in the cooperative whiteboard activity by sharing a whiteboard of some kind and solving problems on their section/whiteboard. You can have them all working on the same problem and then they check with each other to make sure that they have the same answers. Another variation is for everyone to be working on a different problem, but the answers are the same to all the problems. You could set this up in centers and have students rotate. The link for this idea goes to a blog post with a lot of ideas for solving equations. Halfway down the page she describes what she calls “Placemat Equations”, which can be done with dry-erase sleeves or large student whiteboards. You can download a few free placemats, but they are two step equations. If you need a set of problems for this activity, you can click this link for a worksheet of problems you could use. ## Algebra II Help Most Algebra II courses are placed at an important point in the young person&rsquos studies. Whether the course directly follows on his or her first algebra class or is taken after the study of geometry, this class builds on these previously gained skills, preparing the young student for further advanced work in mathematics. Whether you need top Algebra tutors in Miami, Algebra tutors in Kansas City, or top Algebra tutors in Oklahoma City, working with a pro may take your studies to the next level. When Algebra II immediately follows Algebra I, the young student will likely focus on continued growth in manipulating and using equations, building directly on the skills gained in Algebra I. This will require focus on non-linear single-variable equations, focusing on quadratic equations in particular, but with further attention to higher-order polynomials in general. Likewise, more advanced skills in manipulating and using exponents and radicals will greatly augment the equation-solving skills that students gained through previous coursework. In addition to manipulating and solving equations, such students will likely also focus on the concepts needed for evaluating various transformations of equations, particularly graphs of quadratic functions, absolute values, and other non-linear functions. Varsity Tutors offers resources like free Algebra II Practice Tests to help with your self-paced study, or you may want to consider an Algebra II tutor. When Algebra II follows a course in geometry, it is often possible to cover quite a bit more information, as the student will be at a more advanced level than he or she was directly after taking a first algebra course. Having had an additional year of mathematical studies, he or she will arrive with strengthened general skills as well as the understanding of an assortment of new topics pertinent to geometry. In such an Algebra II course, many of the aforementioned skills will be taught&mdashthe various types of equation manipulation, graph transformation, and so forth. However, it will also be easier to consider other topics in preparation for trigonometry and pre-calculus, such as trigonometric identities and conic sections. Whenever it occurs in a young person&rsquos math curriculum, Algebra II is a rigorous and difficult course. Marking an important transition in a student&rsquos mathematical learning, the course requires an increased amount of work and devotion from students. Often, when taking this course, young students are struck by the increased amount of time required outside of class in order to solidify the skills gained each day in school. In all mathematics courses, practice can help one learn the new topics presented however, as the topics become increasingly complex, the amount of work required increases. In addition to the Algebra II Help section and Algebra II tutoring, you may also want to consider taking some of our Algebra II Flashcards. Therefore, in order to succeed, it is critical that a student be rigorously devoted to his or her assigned work. It is very easy for the topics learned in a course of this sort to begin to pile up, leaving a student utterly overwhelmed in a short period of time. Varsity Tutors&rsquo free Algebra 2 Help can assist you in understanding any topic which you have not completely mastered before they begin to cause you trouble in understanding new material in your course. Our Algebra 2 content is divided into specific topics to assist you in pinpointing your exact area of confusion. Clicking on one of these topics will present you with Algebra 2 questions testing that concept, as well as the correct answer and a full explanation. You can work through questions on your own and check your answers, or simply analyze problems as correct examples on which to model your work. Varsity Tutors&rsquo free Algebra II Help can be particularly useful when employed alongside our other free Algebra II resources, including practice tests, diagnostic tests, and flashcards. Answering questions using these three methods can give you feedback about which areas of Algebra II you understand least well and give specificity to your studying. More than any previous mathematics coursework&mdashbe it Algebra I or Geometry&mdashAlgebra II will require daily devotion and assiduous care in order to succeed. However, with such industriousness, it is possible to gain skills that will have great effects in coming years of study in areas of study as disparate as calculus, economics, and physics. Therefore, whenever it might be timed in the curriculum today, Algebra II deserves assiduous attention and devoted labor, for tomorrow&rsquos success may well hinge on this important course. ## 2.5: Linear Equations - Manipulating and Solving (Solving the Puzzle) - Mathematics Solving Linear Inequalities: Advanced Examples (page 3 of 3) • The velocity of an object fired directly upward is given by الخامس = 80 &ndash 32ر , where ر is in seconds. Note that, since I had to divide through by a negative, I had to flip the inequality signs. Note also that you might (as I do) find the above answer to be more easily understood if written the other way around: Looking back at the original question, it did not ask for the value of the variable " ر ", but asked for the times when the velocity was between certain values. So the actual answer is: The velocity will be between 32 and 64 feet per second between 0.5 seconds after launch and 1.5 seconds after launch. Always remember when doing word problems, that, once you've found the value for the variable, you need to go back and re-read the problem to make sure that you're answering the actual question. The inequality " 0.5 < ر < 1.5 " did not answer the actual question regarding time. I had to interpret the inequality and express the values in terms of the original question. First I'll multiply through on the right-hand side, and then solve as usual: 5x + 7 < 3(x + 1) 5x + 7 < 3x + 3 2x + 7 < 3 2x < &ndash4 x < &ndash2 Since I divided through by a positive " 2 " to get the final answer, I didn't have to flip the inequality sign. • You want to invest$30,000 . Part of this will be invested in a stable 5% -simple-interest rate account. The remainder will be "invested" in your father ' s business, and he says that he'll pay you back with 7% interest. Your father knows that you're making these investments in order to pay your child's college tuition with the interest income. What is the least you can "invest" with your father, and still (assuming he really pays you back) get at least $1900 in interest? First, I have to set up equations for this. The interest formula for simple interest is I = Prt, where أنا is the interest, ص is the beginning principal, ص is the interest rate expressed as a decimal, and ر is the time in years. Since no time-frame is specified for this problem, I'll assume that ر = 1. I'll let " x " be the amount that I'm going to "invest" with my father. Then there will be 30000 &ndash x left to invest in the safe account. The interest on the business investment, assuming that I get paid back, will be: The interest on the safe investment will be: (30 000 &ndash x)(0.05)(1) = 1500 &ndash 0.05x Then the total interest is: 0.07x + (1500 &ndash 0.05x) = 0.02x + 1500 I need to get at least$1900 , so:

0.02x + 1500 > 1900
0.02x > 400
x > 20 000

That is, I will need to "invest" at least $20,000 with my father in order to get$1,900 in interest income. Since I want to give him as little money as possible, I will give him the minimum amount:

I will invest \$20,000 at 7%.

• An alloy needs to contain between 46% copper and 50% copper. Find the least and greatest amounts of a 60% copper alloy that should be mixed with a 40% copper alloy in order to end up with thirty pounds of an alloy containing an allowable percentage of copper.

This is similar to a mixture word problem , except that this will involve inequality signs, rather than "equals" signs. I'll set it up the same way, though:

 pounds % copper pounds copper 60% x 0.6 0.6x 40% 30 &ndash x 0.4 0.4(30 &ndash x) = 12 &ndash 0.4x mix 30 between 0.46 and 0.5 between 13.8 and 15

How did I get those values in the bottom right-hand box? I multiplied the total number of pounds in the mixture ( 30 ) by the minimum and maximum percentages ( 46% and 50% , respectively). That is, I multiplied across the bottom row, just as I did in the " 60% " row and the " 40% " row, to get the right-hand column's value. The total amount of copper in the mixture will be the sum of the copper from the two alloys put into the mixture, so I'll add the expressions for the amount of copper from the alloys, and place the total between the minimum and the maximum allowable amounts of copper: Copyright © Elizabeth Stapel 2002-2011 All Rights Reserved

I will need to use between 9 and 15 pounds of the 60% alloy.

First I'll multiply through and simplify then I'll solve:

Why did I move the " 3x " over to the right-hand side (to get to the line marked with a star), instead of moving the " 4x " to the left-hand side? Because by moving the smaller term, I was able to avoid having a negative coefficient on the variable, and therefore I was able to avoid having to remember to flip the inequality when I divided off that coefficient. I find it simpler to work this way I make fewer errors. But it's just a matter of taste.

Why did I switch the inequality in the last line and put the variable on the left? Because I'm more comfortable with inequalities when the answers are formatted this way. Again, it's only a matter of taste. The form of the answer in the previous line, " 4 > x ", is perfectly acceptable. As long as you remember to flip the inequality sign when you multiply or divide through by a negative, you shouldn't have any trouble with solving linear inequalities.

## Symbolic Math Toolbox

Symbolic Math Toolbox™ provides functions for solving, plotting, and manipulating symbolic math equations. You can create, run, and share symbolic math code using the MATLAB ® Live Editor. The toolbox provides functions in common mathematical areas such as calculus, linear algebra, algebraic and ordinary differential equations, equation simplification, and equation manipulation.

Symbolic Math Toolbox lets you analytically perform differentiation, integration, simplification, transforms, and equation solving. You can perform dimensional computations and conversions using SI and US unit systems. Your computations can be performed either analytically or using variable-precision arithmetic, with the results displayed in mathematical typeset.

You can share your symbolic work with other MATLAB users as live scripts or convert them to HTML or PDF for publication. You can generate MATLAB functions, Simulink ® function blocks, and Simscape™ equations directly from symbolic expressions.

## MathHelp.com

Whatever the original form of a linear equation, it is often helpful, especially for graphing, to have the equation rearranged into " ذ= " form. Solving a linear equation in two variables for ذ= is a type of literal-equation solving. Here's how it works:

#### Find the slope of the line with equation 3x + 2ذ = 8

In order to find the slope, it is simplest to put this line equation into slope-intercept form. If I rearrange this line to be in the form " ذ = mx + ب ", it will be easy to read off the slope م . So I'll solve:

I know that the slope of the line is whatever number is multiplied on the x , so my answer is:

I didn't have to solve the equation above for ذ= . I could have picked two x -values, plugged them into the equation, solved for the corresponding ذ -values, plugged the two resulting points into the slope formula, and simplified to find the value of م . But, all things considered, solving for ذ= and simply reading the value of م from the equation was a whole lot easier and faster.

#### Find the slope and the ذ -intercept of the line with equation 2x &ndash ذ = 5 .

I know that, if I can solve the equation for ذ= , I'll be able to read the values of the slope م and the ذ -intercept ب right off of the equation. So I'll solve for " ذ= ":

Now that I have the equation rearranged into slope-intercept form, I can read the values I need right from the equation:

#### Given the line with equation x &ndash 2ذ = 5 , find the slope and the ذ -intercept.

I could go to the trouble of finding two points and computing the slope, or of plugging zero in for x and solving for the ذ -intercept value, but it's simpler to just solve for " ذ= ".

If I prefer, I can flip the sides of the equation, so I get:

This isn't required, but can make things look nicer. Either way, I can now read the required values from the equation:

#### Find the slope and the ذ -intercept of the line with equation 4x + 5ذ = 12 .

The values here are messy, but that's okay. In fact, by simply solving the equation for ذ , I probably helped myself avoid making errors with the fractions. In any case, my answers are:

Sometimes, there is no particular context they just want you to solve the equation for ذ .

#### Solve 4ذ &ndash 5x &ndash 18 = 13x &ndash 2ذ + 6 for ذ

Well, that's certainly. needlessly complicated. Whatever the solution method remains the same: