مقالات

11.3: القيمة الحالية للمعاشات - الرياضيات


هل سبق لك أن لاحظت أن أسعار المنتجات باهظة الثمن لا يتم الإعلان عنها بشكل عام؟ بدلاً من ذلك ، تقوم الشركات التي تسوق هذه المنتجات عالية التذكرة بالترويج لمبالغ دفع الأقساط السنوية ، وليس سعر الملصق الفعلي. لماذا يتم الإعلان عن السيارة بهذه الطريقة؟ عدديًا ، يبدو مبلغ 193 دولارًا أفضل بكثير من 32000 دولار!

في الأعمال التجارية ، سواء كنت تقوم بإعداد المستهلكين بخطط سداد أو شراء عقود قروض وبيعها ، فأنت بحاجة إلى حساب القيم الحالية. كمستهلك ، تواجه حسابات القيمة الحالية بعدة طرق:

  • كيفية أخذ مبالغ السداد المعلن عنها وتحويلها إلى السعر الفعلي الذي يجب عليك دفعه.
  • تحقيق الأهداف المالية من خلال التخطيط لخطة RRSP الخاصة بك ، الأمر الذي يتطلب معرفة مقدار الأموال التي تحتاجها في البداية.

يطور هذا القسم معادلات القيمة الحالية لكل من المعاشات العادية والمعاشات المستحقة. مثل حسابات القيمة المستقبلية ، تستوعب هذه الصيغ كلاً من المعاشات البسيطة والعامة حسب الحاجة. من الاستثمارات ، سنقوم بعد ذلك بتوسيع حسابات الأقساط لتشمل القروض أيضًا.

المعاشات العادية والمعاشات المستحقة

تساوي القيمة الحالية لأي راتب سنوي مجموع كل القيم الحالية لجميع مدفوعات الأقساط السنوية عند نقلها إلى بداية فترة الدفع الأولى. على سبيل المثال ، لنفترض أنك ستتلقى 1000 دولار من المدفوعات السنوية في نهاية كل فترة دفع للسنوات الثلاث القادمة من استثمار يربح 10٪ سنويًا. كم من المال يجب أن يكون في القسط السنوي في البداية لتحقيق ذلك؟ في هذه الحالة ، لديك راتب سنوي بسيط عادي. يوضح الشكل أدناه المفهوم الأساسي للقيمة الزمنية للنقود ويوضح الحسابات في نقل جميع المدفوعات إلى التاريخ المحوري في بداية الجدول الزمني.

لاحظ أن جميع الدفعات الثلاثة موجودة في تاريخك المحوري ، وتتطلب استثمارًا بقيمة 2،486.85 دولارًا اليوم. في المقابل ، ماذا يحدث لجدولك الزمني وحساباتك إذا تمت هذه المدفوعات في بداية كل فترة دفع؟ في هذه الحالة ، لديك راتب سنوي بسيط مستحق. يوضح الشكل التالي الجدول الزمني والحسابات الخاصة بك.

لاحظ أن دفعتين فقط من المدفوعات الثلاثة يجب أن تكون موجودة في تاريخك المحوري لأن الدفعة الأولى هي بالفعل في التاريخ المحوري. يكون إجمالي الاستثمار لمرتب سنوي مستحق أعلى عند 2،735.54 دولارًا أمريكيًا نظرًا لسحب الدفعة الأولى على الفور ، لذلك يكسب رأس مال أصغر فائدة أقل من الأقساط السنوية العادية.

الشكل التالي أدناه يتناقض مع نوعي الأقساط السنوية. عند العمل من اليمين إلى اليسار على الجدول الزمني ، يتمثل الاختلاف الرئيسي في أن القسط السنوي المستحق يحتوي على مركب واحد أقل أهمية لإزالته. تحتوي شريحة المرة الأولى (من اليمين) على رصيد صفري ، بينما يحتوي القسط السنوي العادي على رصيد يحتاج إلى خصم الفائدة. لاحظ أنه إذا حصلت على القسط السنوي المستحق وأزلت مركبًا إضافيًا من الفائدة ، فستصل إلى 2،735.54 دولارًا أمريكيًا (1 + 0.1) = 2486.85 دولارًا أمريكيًا ، وهي القيمة الحالية للمعاش السنوي العادي المقابل.

الصيغة

كما هو الحال مع حسابات القيمة المستقبلية ، فإن حساب القيم الحالية عن طريق نقل كل دفعة يدويًا إلى قيمتها الحالية يستغرق وقتًا طويلاً للغاية عندما يكون هناك أكثر من دفعات قليلة. وبالمثل ، تسمح لك صيغ الأقساط بنقل جميع المدفوعات في وقت واحد في عملية حسابية واحدة. يتم تقديم صيغ المعاشات العادية والمعاشات السنوية المستحقة معًا.

الصيغة 11.4 والصيغة 11.5

يتم إجراء الملاحظات التالية حول هاتين الصيغتين:

  1. تتكيف الصيغ مع كل من المعاشات البسيطة والعامة. في حالة المعاشات البسيطة ، يتطابق التردد المركب بالفعل مع تكرار الدفع ، لذلك لا يتطلب أي تحويل ؛ عدديًا ، ينتج الأس ( dfrac {CY} {PY} ) حاصل قسمة 1 ويزيل نفسه من الصيغة. في حالة المعاشات العامة ، يقوم الأس بتحويل التكرار المركب لمعدل الفائدة لمطابقة تكرار الدفع.
  2. هاتان الصيغتان للقيمة الحالية متطابقتان في هيكل معادلات القيمة المستقبلية ، وهما أيضًا معادلات معقدة تتضمن المعدل والجزء والقاعدة. هنا القيمة الحالية ( (PV_ {ORD} ) أو (PV_ {DUE} )) = الجزء ، (PMT ) = القاعدة ، وكل شيء آخر = المعدل. البسط ، (1- left [ dfrac {1} {(1 + i) ^ { frac {CY} {PY}}} right] ^ {N} ) ، ينتج النسبة المئوية الإجمالية للانخفاض في دخل سنوي؛ المقام ، ((1 + i) ^ { frac {CY} {PY}} - 1 ) ، ينتج النسبة المئوية للتغيير مع كل دفعة ؛ يؤدي تقسيم هذه التغييرات بنسبة 2٪ إلى إنشاء نسبة ترتبط بها القيمة الحالية بمدفوعات الأقساط السنوية نفسها. للتوضيح ، افترض أن (i ) = 5٪ ، (N ) = 2 ، و (CY = PY ) = 1. استبدال هذه الأرقام في الصيغة يعطي ما يلي: [ dfrac {1- left [ dfrac {1} {(1 + i) ^ { frac {CY} {PY}}} right] ^ N} {(1 + i) ^ { frac {CY} {PY}} - 1} = dfrac {1- left [ dfrac {1} {(1 + .05) ^ { frac {1} {1}}} right] ^ {2}} {(1 + .05) ^ { frac {1} {1}} - 1} = dfrac {0.092970} {0.05} = 1.859410 nonumber ] من هذه الأرقام ، من الواضح أن مقدار القيمة الحالية يمثل انخفاضًا بنسبة 9.2970٪ (البسط ) إجمالي. مع كل دفعة يكون النقصان 5٪ (المقام). لذلك ، فإن نسبة القيمة الحالية الإجمالية لكل دفعة ( (PMT )) هي 1.859410. إذا كان مبلغ الدفعة السنوية (PMT ) = 1،000 دولار أمريكي ، فإن قيمة (PV_ {ORD} = $ 1،000 (1.859410) = $ 1،859.41 ).
  3. الاختلاف الوحيد عن القسط السنوي العادي هو مضاعفة المصطلح الإضافي ((1 + i) ^ { frac {CY} {PY}} ). ينتج عن الضرب إزالة عدد أقل من المركبات ذات الأهمية من القسط السنوي العادي.

كيف تعمل

اتبع هذه الخطوات لحساب القيمة الحالية لأي راتب سنوي عادي أو راتب سنوي مستحق:

الخطوة 1: تحديد نوع الأقساط. ارسم جدولًا زمنيًا لتصور السؤال.

الخطوة 2: حدد المتغيرات التي تعرفها ، بما في ذلك (FV ، IY ، CY ، PMT ، PY ) ، والسنوات.

الخطوه 3: استخدم الصيغة 9.1 لحساب (i ).

الخطوة 4: إذا كان (FV ) = $ 0 ، تابع إلى الخطوة 5. إذا كانت هناك قيمة غير صفرية لـ (FV ) ، تعامل معها على أنها دفعة واحدة. قم بتطبيق الصيغة 9.2 لتحديد (N ) لأن هذا ليس حساب الأقساط السنوية. انقل القيمة المستقبلية إلى بداية مقطع الوقت باستخدام الصيغة 9.3 ، مع إعادة ترتيب (PV ).

الخطوة الخامسة: استخدم الصيغة 11.1 لحساب (N ). قم بتطبيق إما Formula 11.4 أو Formula 11.5 بناءً على نوع الأقساط. إذا قمت بحساب قيمة حالية في الخطوة 4 ، فقم بدمج القيم الحالية من الخطوتين 4 و 5 للوصول إلى إجمالي القيمة الحالية.

ملاحظات هامة

احتساب مبلغ الفائدة. إذا كنت مهتمًا بمعرفة مقدار الاهتمام الذي تمت إزالته في حساب القيمة الحالية ، فكيِّف الصيغة 8.3 ، حيث (I = S - P = FV - PV ). القيمة الحالية ( (PV )) هي الحل إما للصيغة 11.4 أو الصيغة 11.5. يتم توسيع (FV ) في الصيغة 8.3 ليشمل مجموع كل الأموال المستقبلية ، لذلك يتم استبداله بـ (N × PMT + FV ). لذلك ، تعيد كتابة الصيغة 8.3 كـ (I = (N × PMT + FV) - PV ).

حاسبة BAII + الخاصة بك. إذا كانت القيمة المستقبلية للدفع الواحد (FV) متضمنة في حساب القيمة الحالية ، فإنك تحتاج إلى عمليتي حساب للصيغة باستخدام الصيغة 9.3 وإما الصيغة 11.4 أو الصيغة 11.5. تقوم الآلة الحاسبة بإجراء هاتين العمليتين الحسابيتين في وقت واحد إذا أدخلت قيمًا تتبع اصطلاح علامة التدفق النقدي لكل من (FV ) و (PMT ).

التمرين ( PageIndex {1} ): أعطه بعض التفكير

بالنسبة لمرتين سنويين متساويين للاستثمار ، هل ستكون القيمة الحالية للمعاش السنوي العادي والمعاش السنوي المستحق هي نفسها أو مختلفة؟

إجابه

سيكونون مختلفين. يكون للمعاش المستحق دائمًا القيمة الحالية الأكبر نظرًا لأنه يزيل مركب فائدة أقل من المعاش السنوي العادي.

مثال ( PageIndex {1} ): المبلغ المطلوب في وقت التقاعد

يخطط رودريغيز للحصول على دخل إجمالي سنوي قدره 50000 دولار في نهاية كل عام عندما يتقاعد في سن 65. يخطط لإفراغ الحساب بحلول سن 78 ، وهو متوسط ​​العمر المتوقع للرجل الكندي. إذا كان الحساب يربح 5.1٪ مركبًا سنويًا ، فما مقدار الأموال التي يجب أن تكون في الحساب عند تقاعده؟

حل

الخطوة 1:

المدفوعات في نهاية فترات الدفع ، والفترة المركبة وفترات الدفع هي نفسها. هذا ، لذلك ، هو راتب سنوي بسيط عادي. احسب قيمتها في البداية ، وهي قيمتها الحالية ، أو (PV_ {ORD} ).

ما تعرفه بالفعل

الخطوة 1 (تابع):

الجدول الزمني لحساب العميل يظهر أدناه.

الخطوة 2:

(FV ) = $ 0 ، (IY ) = 5.1٪ ، (CY ) = 1 ، (PMT ) = 50000 دولار ، (PY ) = 1 ، السنوات = 13

كيف ستصل الى هناك

الخطوه 3:

تطبيق الصيغة 9.1.

الخطوة 4:

بما أن (FV ) = $ 0 ، تجاوز هذه الخطوة.

الخطوة الخامسة:

قم بتطبيق الصيغة 11.4 والصيغة 11.5.

نفذ

الخطوه 3:

(أنا = 5.1 ٪ div 1 = 5.1 ٪ )

الخطوة الخامسة:

(ن = 1 مرات 13 = 13 ) مدفوعات

[PV_ {ORD} = $ 50،000 left [ dfrac {1- left [ frac {1} {(1 + 0.051) ^ { frac {1} {1}}} right] ^ {13 }} {(1 + 0.051) ^ { frac {1} {1}} - 1} right] = $ 466،863.69 nonumber ]

تعليمات الآلة الحاسبة

نأنا / صPVPMTFVالسنة التحضيريةج / ص
135.1الجواب: -466،863.69450000011

يوضح الشكل مقدار رأس المال والفائدة التي تشكل المدفوعات. سيحتاج رودريغيز إلى الحصول على 466،863.69 دولارًا في حسابه عندما يبلغ 65 عامًا إذا كان يريد تلقي 13 عامًا من مدفوعات 50،000 دولار.

مثال ( PageIndex {2} ): ترك الميراث

إعادة حساب المثال ( PageIndex {1} ) مع تطبيق ثلاثة تغييرات:

  1. يريد رودريغيز أن يترك ميراثًا بقيمة 100 ألف دولار لأطفاله (بافتراض وفاته في سن 78).
  2. المدفوعات في بداية العام.
  3. معدل فائدته 5.1٪ مركب على أساس نصف سنوي.

احسب القيمة الحالية ومقدار الفائدة.

حل

الخطوة 1:

يتم إجراء الدفعات في بداية فترات الدفع ، وتختلف الفترة المركبة (نصف سنوية) وفترات الدفع (سنويًا). هذا هو الآن راتب سنوي مستحق. احسب قيمتها في البداية ، وهي قيمتها الحالية ، أو (PV_ {DUE} ).

ما تعرفه بالفعل

الخطوة 1 (تابع):

الجدول الزمني لحساب العميل يظهر أدناه.

الخطوة 2:

(FV ) = 100000 دولار ، (IY ) = 5.1٪ ، (CY ) = 2 ، (PMT ) = 50000 دولار ، (PY ) = 1 ، السنوات = 13

كيف ستصل الى هناك

الخطوه 3:

تطبيق الصيغة 9.1.

الخطوة 4:

نظرًا لوجود قيمة مستقبلية ، قم بتطبيق Formula 9.2 و Formula 9.3.

الخطوة الخامسة:

قم بتطبيق الصيغة 11.4 والصيغة 11.5.

الخطوة 6:

لحساب الفائدة ، قم بتطبيق وتكييف الصيغة 8.3 ، حيث (FV = N × PMT + FV ) و (I = FV - PV )

نفذ

الخطوه 3:

(أنا = 5.1 ٪ div 2 = 2.55 ٪ )

الخطوة 4:

(ن = 2 مرات 13 = 26 ) مركبات

[ begin {align} $ 100،000 & = PV (1 + 0.0255) ^ {26} PV & = $ 100،000 div 1.0255 ^ {26} & = $ 51،960.42776 end {align} nonumber ]

الخطوة الخامسة:

(ن = 1 مرات 13 = 13 ) مدفوعات

[ start {align} PV_ {DUE} & = $ 50،000 left [ dfrac {1- left [ frac {1} {(1 + 0.0255) ^ { frac {2} {1}}} right] ^ {13}} {(1 + 0.0255) ^ { frac {2} {1}} - 1} right] times (1 + 0.0255) ^ { frac {2} {1}} & = $ 489،066.6372 end {align} nonumber ]

[PV = $ 51،960.42776 + $ 489،066.6372 = $ 541،027.07 nonumber ]

الخطوة 6:

[ begin {align} I & = (13 times $ 50،000 + $ 100،000) - 541،027.07 I & = $ 750،000 - $ 541،027.07 & = $ 208،972.93 end {align} nonumber ]

تعليمات الآلة الحاسبة

وضعنأنا / صPVPMTFVالسنة التحضيريةج / ص
BGN135.1الجواب: -541،027.0655000010000012

يوضح الشكل مقدار رأس المال والفائدة التي تشكل المدفوعات. سيحتاج رودريغيز إلى مزيد من المال ، وسيحتاج إلى 541،027.07 دولارًا في حسابه عندما يبلغ 65 عامًا إذا كان يريد الحصول على 13 عامًا من مدفوعات 50،000 دولار مع ترك ميراث بقيمة 100،000 دولار لأطفاله. سيكسب حسابه 208.972.93 دولارًا على مدار الإطار الزمني.

ملاحظات هامة

إذا كان أي من المتغيرات ، بما في ذلك (IY ، CY ، PMT ) ، أو (PY ) ، يتغير بين نقطة بداية ونهاية الأقساط السنوية ، أو إذا تم إجراء أي إيداع أو سحب إضافي للدفع ، فإن هذا يؤدي إلى مقطع زمني جديد يجب التعامل معه بشكل منفصل. سيكون هناك بعد ذلك مقاطع زمنية متعددة تتطلب منك العمل من اليمين إلى اليسار عن طريق تكرار الخطوات من 3 إلى 5 في الإجراء. تذكر أن القيمة الحالية في بداية مقطع الوقت الواحد تصبح القيمة المستقبلية في نهاية مقطع الوقت التالي. يوضح المثال ( PageIndex {3} ) هذا المفهوم.

مثال ( PageIndex {3} ): التكيف مع التضخم

متابعة مع المثالين السابقين ، يدرك رودريغيز أنه يحتاج أثناء تقاعده إلى إجراء نوع من التعديل على دخله الإجمالي السنوي لمراعاة ارتفاع تكاليف المعيشة. وبالتالي ، سيأخذ 50000 دولار في بداية كل عام لمدة ست سنوات ، ثم يزيدها إلى 60 ألف دولار للرصيد. افترض أن معدل الفائدة الخاص به لا يزال 5.1٪ كل نصف سنوي وأنه لا يزال يريد ترك ميراث 100000 دولار لأطفاله. كم من المال يجب أن يكون في صندوق التقاعد الخاص به في سن 65؟

حل

الخطوة 1:

هناك تغيير في المتغيرات بعد ست سنوات. نتيجة لذلك ، تحتاج إلى جزأين زمنيين. في كلا الجزأين ، يتم إجراء الدفعات في بداية الفترة ، وتختلف الفترات المركبة وفترات الدفع. هذه نوعان من المعاشات العامة متتالية المستحقة. تحتاج إلى حساب القيمة الحالية الناتجة ، أو (PV_ {DUE} ).

ما تعرفه بالفعل

الخطوة 1 (تابع):

الجدول الزمني لحساب العميل يظهر أدناه.

الخطوة 2:

المقطع الزمني 1 (يبدأ من الجانب الأيمن): (FV ) = 100000 دولار ، (IY ) = 5.1٪ ، (CY ) = 2 ، (PMT ) = 60.000 دولار ، (PY ) = 1 ، سنوات = 7

المقطع الزمني 2: (FV = PV_1 ) من الجزء الزمني 1 ، (IY ) = 5.1٪ ، (CY ) = 2 ، (PMT ) = 50000 دولار ، (PY ) = 1 ، السنوات = 6

كيف ستحصل

هناك لكل مقطع زمني كرر الخطوات التالية:

الخطوه 3:

تطبيق الصيغة 9.1.

الخطوة 4:

تطبيق Formula 9.2 و Formula 9.3.

الخطوة الخامسة:

قم بتطبيق الصيغة 11.1 والصيغة 11.5.

نفذ

لجزء المرة الأولى (بدءًا من الجانب الأيمن):

الخطوه 3:

(أنا = 5.1 ٪ div 2 = 2.55 ٪ )

الخطوة 4:

(ن = 2 مرات 7 = 14 ) مركبات

[ $ 100،000 = PV (1 + 0.0255) ^ {14} nonumber ]

[PV_1 = 5100000 div 1.0255 ^ {14} = 70،291.15736 nonumber ]

الخطوة الخامسة:

(ن = 1 مرات 7 = 7 ) مدفوعات

[PV_ {DUE 1} = $ 60،000 left [ dfrac {1- left [ frac {1} {(1 + 0.0255) ^ { frac {2} {1}}} right] ^ { 7}} {(1 + 0.0255) ^ { frac {2} {1}} - 1} right] times (1 + 0.0255) ^ { frac {2} {1}} = $ 362،940.8778 nonumber ]

[ text {Total} PV_1 = $ 70،291.15736 + $ 362،940.8778 = $ 433،232.0352 nonumber ]

لشريحة المرة الثانية:

الخطوه 3:

(i ) يبقى كما هو = 2.55٪

الخطوة 4:

(ن = 2 مرات 6 = 12 ) مركبات

[ $ 433،232.0352 = PV (1 + 0.0255) ^ {12} nonumber ]

[PV_ {2} = $ 433،232.0352 div 1.0255 ^ {12} = $ 320،252.5426 nonumber ]

الخطوة الخامسة:

(ن = 1 مرات 6 = 6 ) مدفوعات

[PV_ {DUE 2} = $ 50،000 left [ dfrac {1- left [ frac {1} {(1 + 0.0255) ^ { frac {2} {1}}} right] ^ { 6}} {(1 + 0.0255) ^ { frac {2} {1}} - 1} right] times (1 + 0.0255) ^ { frac {2} {1}} = $ 265،489.8749 nonumber ]

[ text {Total} PV_ {2} = $ 320،252.5426 + $ 265،489.8749 = $ 585،742.42 nonumber ]

تعليمات الآلة الحاسبة

جزء الوقتوضعنأنا / صPVPMTFVالسنة التحضيريةج / ص
1BGN75.1الجواب: 433.232.03526000010000012
2 ( الجذور )6 ( الجذور )الجواب: -585،742.417550000433,232.0352 ( الجذور ) ( الجذور )

يوضح الشكل مقدار رأس المال والفائدة التي تشكل المدفوعات. لزيادة دخله التقاعدي بمقدار 10000 دولار بعد ست سنوات ، يحتاج رودريغيز إلى استثمار 585.742.42 دولارًا في صندوق التقاعد الخاص به في سن 65.

العمل مع القروض

في بداية هذا الفصل ، اشتريت منزلك الأول وبدأت في الحصول على قرض عقاري قيمته 150 ألف دولار بمعدل 5٪ مركب نصف سنوي. افترض أن الرهن العقاري الخاص بك مدته خمس سنوات. قبل انتهاء هذا المصطلح ، عليك أن تبدأ في التسوق في مختلف المؤسسات المالية للعثور على أفضل سعر لفترة الرهن العقاري التالية. سيكون لدى هذه المؤسسات المالية الأخرى سؤال واحد ملح: كم ما زلت مدينًا برهنك العقاري ، وبالتالي ، ما المبلغ الذي تحتاجه للاقتراض منها؟

حتى هذه النقطة ، تناول هذا الفصل فقط مفهوم المعاشات الاستثمارية. لكن ماذا عن الديون؟ تنطبق جميع مفاهيم الأقساط أيضًا على اقتراض المال. عند العمل مع القروض ، قد تكون هناك حاجة إلى حسابات القيمة المستقبلية والقيمة الحالية ، وهذا هو سبب تأجيل هذا الموضوع إلى هذه النقطة.

بصفتك مستهلكًا ، ربما تكون مهتمًا أكثر بالميزان المستحق على أي من ديونك في أي وقت. جعلت تكنولوجيا اليوم من السهل معرفة رصيدك الحالي من خلال زيارة حسابك المصرفي عبر الإنترنت ؛ ومع ذلك ، فإن الحساب المصرفي لا يساعدك في تحديد رصيدك المستقبلي في وقت معين. لمعرفة ذلك ، تحتاج إلى حسابات الأقساط السنوية.

وبالمثل ، تطبق الشركات حسابات الأقساط في كل وقت. يجب أن تكون التقارير المالية المستمرة دقيقة. لتوفير نظرة ثاقبة على الحالة المالية الحقيقية للشركة ، يجب أن تعكس الميزانيات العمومية ليس فقط الأموال المستحقة الدفع أو المستحقة القبض اليوم ، ولكن أيضًا جميع التدفقات النقدية المستقبلية مثل تلك الناشئة عن المعاشات. يتطلب شراء وبيع عقود العمل ، مثل بيع خطة سداد للمستهلك إلى مؤسسة مالية ، العمل مع المدفوعات المستقبلية وخصم تلك المدفوعات حتى تاريخ بيع العقد.

في هذا القسم ، سوف تحسب أرصدة القروض في أي وقت معين طوال مدة القرض. كذلك ، سوف تستكشف كيفية شراء عقود القروض وبيعها.

الرصيد المستحق على أي عقد قرض

لتحديد الرصيد المستحق على أي قرض بدقة في أي وقت ، ابدأ دائمًا برأس مال بداية القرض ثم اقتطع المدفوعات التي تم سدادها. هذا يعني حساب القيمة المستقبلية باستخدام سعر الفائدة للقرض.

قد يتساءل البعض عن سبب عدم تمكنهم من معرفة رصيد القرض بالبدء في نهاية القرض (حيث تكون القيمة المستقبلية صفراً ، حيث لا يوجد رصيد) وحساب القيمة الحالية للمدفوعات المستحقة؟ الإجابة هي أن دفع الأقساط (PMT ) دائمًا ما يكون رقمًا تقريبًا تقريبًا (يتم استكشاف هذه الخاصية بمزيد من التفصيل في القسم 11.4 ، عندما تتعلم كيفية حساب مدفوعات الأقساط السنوية). ولذلك فإن كل دفعة لها اختلاف طفيف عن قيمتها الحقيقية ، والتي تتراكم مع كل دفعة لاحقة. على سبيل المثال ، افترض أنك قمت بحساب دفعتك رياضيًا على أنها $ 500.0045. نظرًا لأنه لا يمكنك دفع أكثر من رقمين عشريين ، فإن دفعاتك الفعلية هي 500.00 دولار. تم إسقاط 0.0045 دولار أمريكي ، مما يعني أن كل دفعة تقوم بها هي أقل من 0.0045 دولار أمريكي عما هو مطلوب رياضيًا. إذا قمت بإجراء 100 من هذه المدفوعات ، فإن الخطأ 0.0045 دولار يتراكم إلى 0.45 دولار بالإضافة إلى الفائدة. هذا يعني أنه يجب زيادة الدفعة الأخيرة بمقدار 0.45 دولار أو أكثر لسداد قرضك. وبالتالي ، فإن الدفعة الأخيرة هي مبلغ مختلف عن كل دفعة أخرى.

ولتعقيد الأمور أكثر ، قد يكون مبلغ الدفعة الأخيرة غير معروف ولا يمكن حسابه ، خاصة إذا كانت أسعار الفائدة متغيرة. لا يمكنك حساب قيمة حالية من رقم غير معروف ولا يمكنك استخدام صيغة الأقساط حيث يكون الدفع بمبلغ مختلف. يقدم الفصل 13 مزيدًا من التفاصيل حول مفاهيم مدفوعات القروض وأرصدة القروض وفروق الدفع النهائية. في الوقت الحالي ، يمكنك أن تستنتج أن الحساب الدقيق لرصيد القرض يتم تحقيقه من خلال صيغة الأقساط السنوية للقيمة المستقبلية.

الصيغة

القروض هي في الغالب مبالغ سنوية عادية تتطلب تطبيق الصيغة 11.2 (قيمة المعاش العادية المستقبلية) لحساب الرصيد المستقبلي ، (FV_ {ORD} ). هذا هو الافتراض الأساسي في إجراء حسابات القرض ما لم ينص على خلاف ذلك. في حالة نادرة لقرض منظم باعتباره راتبًا سنويًا مستحقًا ، يمكنك تطبيق الصيغة 11.3 (قيمة الأقساط السنوية المستحقة في المستقبل) لحساب القيمة المستقبلية ، (FV_ {DUE) ).

يتطلب حساب المبلغ الإجمالي للفائدة المدفوعة على قرض (كليًا أو لأي جزء زمني) مرة أخرى تكييف الصيغة 8.3 ( (I = S - P = FV - PV )) ، حيث:

  • يمثل مصطلح القيمة المستقبلية ( (FV )) في الصيغة إجمالي رأس المال والفائدة مجتمعة. في الأقساط السنوية للقرض ، يشتمل الدفع السنوي على هذين العنصرين. كذلك ، فإن أي أصل مستقبلي متبقي في نهاية القرض ، أو رصيد مستقبلي قائم ، يجب أيضًا أن يؤخذ في الاعتبار في الحساب. ومن ثم ، يتم توسيع (FV ) في أي فترة زمنية في الصيغة لتشمل كلا هذين العنصرين واستبدالها بـ (N × PMT + FV ).
  • القيمة الحالية ( (PV )) في الصيغة هي ما بدأت به. هو المبلغ الافتتاحي للقرض. لذلك ، يظل تكييف الصيغة 8.3 كما تمت مناقشته سابقًا ويتم كتابته على النحو التالي: [I = (N × PMT + FV) - PV nonumber ].

كيف تعمل

إن حل رصيد القرض المستقبلي هو حساب الأقساط السنوية للقيمة المستقبلية. لذلك ، يمكنك استخدام نفس الخطوات الموضحة في القسم 11.2. ومع ذلك ، تحتاج إلى تعديل تفسيرك لهذه الخطوات لأرصدة القروض. يساعدك الشكل أدناه على فهم هذه الاختلافات.

  • يشكل أصل القرض القيمة الحالية أو (PV ). في الخطوة 4 ، عندما تنقل القيمة الحالية إلى المستقبل ، تمثل إجابتك ( (FV )) المبلغ الإجمالي المستحق على القرض مع الفائدة كما لو لم يتم سداد أي مدفوعات.
  • في الخطوة 5 ، تمثل القيمة المستقبلية للدفع السنوي ( (FV_ {ORD} )) إجمالي المبلغ المدفوع مقابل القرض بفائدة. مع كل من (FV ) و (FV_ {ORD} ) في نفس التاريخ البؤري ، يسمح لك المفهوم الأساسي للقيمة الزمنية للمال بأخذ (FV ) وطرح (FV_ { ORD} ) لإنتاج الرصيد المستحق على القرض.

دعنا نحسب المبلغ الذي ما زلت مدينًا به على منزلك الجديد الذي تبلغ قيمته 150 ألف دولار بعد خمس سنوات من سداد 872.41 دولارًا شهريًا بمعدل 5٪ مركبة على أساس نصف سنوي:

الخطوة 1: هيكل الرهن العقاري الخاص بك مبين في الشكل أعلاه. نظرًا لأن الدفعات في نهاية الفترة ، واختلاف الفاصل الزمني للدفع والتكرار المركب ، يكون لديك راتب سنوي عام عادي.

الخطوة 2: المتغيرات المعروفة هي (PV ) = 150000 دولار ، (IY ) = 5٪ ، (CY ) = 2 ، (PMT ) = 872.41 دولارًا ، (PY ) = 12 ، والسنوات = 5 .

الخطوه 3: معدل الفائدة الدوري (i ) = 5٪ 2 = 2.5٪.

الخطوة 4: (N ) = 2 × 5 = 10 مركبات ، (FV ) = 150000 دولار (1 + 0.025) 10 = 192،012.6816 دولارًا

الخطوة الخامسة: (N ) = 12 × 5 = 60 دفعة

[FV_ {ORD} = $ 872.41 left [ dfrac { left [(1 + 0.025) ^ { frac {2} {12}} right] ^ {60} -1} {(1 + 0.025 ) ^ { frac {2} {12}} - 1} right] = $ 59،251.59215 nonumber ]

لذلك ، إذا كان القرض غير المسدد بقيمة 192،012.6816 دولارًا وكانت مدفوعاتك تبلغ 59251.59215 دولارًا ، فإن رصيدك الذي لا يزال مستحقًا هو 192،012.6816 دولارًا - 59251.59215 دولارًا = 132،761.09 دولارًا. مقدار الفائدة المدفوعة هو I = (60 × 872.41 دولارًا + 132.761.09 دولارًا) - 150.000.00 دولارًا = 35105.69 دولارًا. مع مدفوعات يبلغ مجموعها 872.41 دولارًا × 60 = 52344.60 دولارًا ، فهذا يعني أن مبلغ 17،238.91 دولارًا فقط ذهب بالفعل نحو المبلغ الأساسي!

ملاحظات هامة

طريقة القيمة الحالية للوصول إلى رصيد دائن. في الحالات النادرة التي تكون فيها الدفعة النهائية مساوية تمامًا لجميع مدفوعات الأقساط السنوية الأخرى ، يمكنك الوصول إلى الرصيد المستحق من خلال حساب الأقساط السنوية للقيمة الحالية. ومع ذلك ، يجب استيفاء هذا الشرط الصارم. في هذه الحالة ، نظرًا لأنك تبدأ في نهاية القرض ، فإن القيمة المستقبلية دائمًا هي صفر ، لذلك لإعادة جميع المدفوعات إلى التاريخ المحوري ، فأنت تحتاج فقط إلى Formula 11.4.

حاسبة BAII + الخاصة بك. سيؤدي التطبيق الصحيح لاتفاقية توقيع التدفق النقدي للقيمة الحالية ودفع الأقساط السنوية تلقائيًا إلى قيمة مستقبلية تتطابق مع أصل القرض والمدفوعات. بافتراض أنك المقترض ، أدخل القيمة الحالية ( (PV )) كرقم موجب لأنك تتلقى المال. تقوم بإدخال الدفعة السنوية ( (PMT )) كرقم سالب لأنك تدفع المال. عندما تحسب القيمة المستقبلية ( (FV )) ، فإنها تعرض رقمًا سالبًا ، مما يشير إلى أنه رصيد مستحق.

التمرين ( PageIndex {2} ): أعطه بعض التفكير

على أي قرض بفائدة في أي وقت ، هل سيتم تخفيض رأس المال بمبلغ مساوٍ للمدفوعات المسددة ، أو أكثر من المدفوعات المسددة ، أو أقل من المدفوعات المسددة؟

إجابه

سيتم تخفيض رأس المال بمبلغ أقل من المدفوعات. يذهب جزء من المدفوعات دائمًا نحو الفائدة التي يتم تحصيلها على القرض.

مثال ( PageIndex {4} ): الرصيد المستحق في شاحنة جديدة

قبل عامين ، اشترت جيليان سيارة فورد F-250 جديدة مقابل 71،482.08 دولارًا أمريكيًا مع دفعة أولى قدرها 5000 دولار أمريكي والباقي تم تمويله من خلال وكالة فورد الخاصة بها بمعدل 5.9٪ مركب شهريًا. لقد كانت تسدد دفعات شهرية قدرها 1،282.20 دولار. ما هو رصيدها اليوم؟ ما مقدار الفائدة التي دفعتها حتى الآن؟

حل

الخطوة 1:

يتم إجراء الدفعات في نهاية فترات الدفع ، وتكون الفترة المركبة وفترات السداد هي نفسها. لذلك ، هذا هو راتب سنوي بسيط. احسب قيمتها بعد عامين من بدئها ، وهي قيمتها المستقبلية ، أو (FV_ {ORD} ). بمجرد أن تعرف (FV_ {ORD} ) ، يمكنك تحديد مقدار الفائدة ، أو (I ).

ما تعرفه بالفعل

الخطوة 1 (تابع):

الجدول الزمني للادخار السنوي يظهر أدناه.

الخطوة 2:

(PV ) = 71،482.08 دولارًا أمريكيًا - 5000 دولار أمريكي = 66482.08 دولارًا أمريكيًا ، (IY ) = 5.9٪ ، (CY ) = 12 ، (PMT ) = 1،282.20 دولارًا ، (PY ) = 12 ، السنوات = 2

كيف ستصل الى هناك

الخطوه 3:

تطبيق الصيغة 9.1.

الخطوة 4:

تطبيق Formula 9.2 و Formula 9.3.

الخطوة الخامسة:

قم بتطبيق الصيغة 11.1 والصيغة 11.2. القيمة المستقبلية النهائية هي الفرق بين إجابات الخطوة 4 والخطوة 5.

الخطوة 6:

لحساب الفائدة ، قم بتطبيق الصيغة المعدلة 8.3 ، حيث (I = (N × PMT + FV) - PV ).

الخطوه 3:

[i = 5.9 ٪ div 12 = 0.491 overline {6} ٪ nonumber ]

الخطوة 4:

(ن = 12 مرات 2 = 24 ) مركبات

[FV = $ 66،482.08 (1 + 0.00491 overline {6}) ^ {24} = $ 74،786.94231 nonumber ]

الخطوة الخامسة:

(ن = 12 مرات 2 = 24 ) مدفوعات

[FV_ {ORD} = $ 1،282.20 left [ dfrac { left. (1 + 0.00491 overline {6}) ^ { frac {12} {12}} right] ^ {24} -1} {(1 + 0.00491 overline {6}) ^ { frac {12} {12}} - 1} right] = $ 32،577.13179 nonumber ]

[FV = 74،786.94231 $ - 32،577.13179 USD = $ 42،209.81 nonumber ]

الخطوة 6:

[ begin {align} I & = (24 times $ 1،282.20 + $ 42،209.81) - $ 66،482.08 & = $ 72،982.61 - $ 66،482.08 & = $ 6،500.53 end {align} لا يوجد رقم ]

تعليمات الآلة الحاسبة

نأنا / صPVPMTFVالسنة التحضيريةج / ص
245.966482.08-1282.2الجواب: -42209.810521212

يوضح الشكل مقدار رأس المال والفائدة التي تشكل المدفوعات. بعد عامين من سداد الدفعات الشهرية ، أصبح لدى جيليان رصيد مدين على فورد F-250 قدره 42209.81 دولارًا. إجمالاً ، دفعت 30772.80 دولارًا أمريكيًا في المدفوعات ، منها 6500.53 دولارًا تم دفعها للفائدة على قرضها.

بيع عقد القرض

من الشائع بيع عقود القروض من تجار التجزئة إلى المؤسسات المالية. على سبيل المثال ، عندما يقوم المستهلك بعملية شراء من Sleep Country Canada بموجب خطة السداد الخاصة به ، يتم تنفيذ التمويل فعليًا من خلال شريكه Citi Financial. في معظم حالات البيع بالتجزئة ، قد يعني هذا أن Sleep Country Canada تتلقى الأموال على الفور عن طريق بيع العقد إلى Citi Financial ، بينما تتحمل Citi Financial المسؤولية المالية لتحصيل المدفوعات.

عندما تشتري شركة تمويل عقد قرض من مؤسسة أخرى ، فإنها تستثمر بشكل أساسي في المدفوعات المستقبلية لعقد القرض. تتفق الشركتان بشكل عام على سعر فائدة مربح لشركة التمويل وتستخدمه لتحديد المبلغ ، المعروف باسم سعر البيع ، الذي تدفعه شركة التمويل إلى المؤسسة الأخرى لشراء العقد. يغطي هذا الكتاب فقط حسابات معدل الفائدة الثابتة بمبالغ الدفع النهائية المعروفة.

في السابق ، تمت مناقشة كيف أن الدفعة الأخيرة في القرض تختلف دائمًا تقريبًا عن كل دفعة أخرى في الأقساط السنوية بسبب اختلاف التقريب في مبلغ الأقساط السنوية. وبالتالي ، فإن بيع عقد القرض يحتاج إلى حساب القيمة الحالية لجميع مدفوعات الأقساط المتبقية (باستثناء آخر دفعة) بالإضافة إلى القيمة الحالية للدفع النهائي الفردي المعدل كما هو موضح في هذا الشكل.

الصيغة

كما هو واضح في الشكل ، هناك حاجة إلى عمليتين حسابيتين. الأول ينطوي على حساب الأقساط السنوية للقيمة الحالية باستخدام الصيغة 11.4. لاحظ أن القسط السنوي يوقف دفعة واحدة بعد انتهاء عقد القرض ، لذلك تحتاج إلى استخدام (N - 1 ) بدلاً من (N ). تتضمن العملية الحسابية الثانية حسابًا للقيمة الحالية للدفعة الواحدة بمعدل ثابت باستخدام الصيغة 9.3 المعاد ترتيبها لـ (PV ). وبالتالي ، ليست هناك حاجة إلى صيغ جديدة لإكمال هذا الحساب.

كيف تعمل

تتطابق الخطوات المتبعة في بيع أي عقد قرض تقريبًا مع أي حساب سنوي للقيمة الحالية مع وجود اختلافات طفيفة فقط كما هو مذكور أدناه.

الخطوة 1: لا تغييرات.

الخطوة 2: حدد المتغيرات المعروفة ، بما في ذلك (PMT ، PY ) ، والسنوات ، إلى جانب (IY ) و (CY ) الذي تم التفاوض عليه حديثًا. حدد أيضًا مبلغ الدفعة الأخيرة ، وهو (FV ).

الخطوه 3: استخدم الصيغة 9.1 لحساب (i ).

الخطوة 4: الدفعة الأخيرة هي (FV ) ، والتي تعاملها كدفعة واحدة. قم بتطبيق الصيغة 9.2 لتحديد (N ) لأن هذه الخطوة ليست حساب الأقساط السنوية. انقل القيمة المستقبلية إلى بداية مقطع الوقت باستخدام الصيغة 9.3 ، مع إعادة ترتيب (PV ).

الخطوة الخامسة: استخدم الصيغة 11.1 لحساب (N ) واطرح 1 لإزالة الدفعة النهائية (حيث يتم احتسابها في الخطوة 4). قم بتطبيق الصيغة 11.4 (أو الصيغة 11.5 إذا كان راتبًا سنويًا مستحقًا) لحساب القيمة الحالية. أضف كلا القيمتين الحاليتين من الخطوتين 4 و 5 معًا للوصول إلى إجمالي القيمة الحالية ، والتي تُعرف باسم إجمالي عائدات البيع.

مثال ( PageIndex {5} ): تبيع فورد عقد الشاحنة

استمرارًا في شراء Jillian's Ford F-250 ، تذكر أن مدفوعات Jillian الشهرية ثابتة عند 1،282.20 دولارًا لمدة خمس سنوات. افترض أنه بعد عامين ، ترغب شركة فورد في بيع العقد إلى شركة تمويل أخرى ، والتي توافق على معدل خصم قدره 10.8٪ مركب نصف سنوي. الدفعة النهائية لـ Jillian معروفة بـ 1،282.49 دولار. ما هي حصيلة البيع؟

حل

الخطوة 1:

يتم إجراء الدفعات في نهاية فترات الدفع ، وتختلف الفترة المركبة (نصف سنوية) وفترات الدفع (الشهرية). لذلك ، هذا هو المعاش العام العادي. احسب قيمتها في تاريخ البيع ، وهي قيمتها الحالية ، أو (PV_ {DUE} ) ، بالإضافة إلى القيمة الحالية للدفع النهائي ، أو (PV ).

ما تعرفه بالفعل

الخطوة 1 (تابع):

الجدول الزمني لبيع عقد القرض يظهر أدناه.

الخطوة 2: (FV ) = 1،282.49 دولارًا ، (IY ) = 10.8٪ ، (CY ) = 2 ، (PMT ) = 1،282.20 دولارًا ، (PY ) = 12 ، السنوات = 3

كيف ستصل الى هناك

الخطوه 3:

تطبيق الصيغة 9.1.

الخطوة 4:

لمبلغ الدفعة النهائية ، قم بتطبيق Formula 9.2 و Formula 9.3 ، مع إعادة ترتيب (PV ).

الخطوة الخامسة:

بالنسبة إلى الأقساط السنوية ، قم بتطبيق Formula 11.1 (سحب الدفعة الأخيرة) و Formula 11.4.

نفذ

الخطوه 3:

[i = 10.8 ٪ div 2 = 5.4 ٪ بدون رقم ]

الخطوة 4:

(ن = 2 مرات 3 = 6 ) مركبات

[ $ 1،282.49 = PV (1 + 0.054) ^ {6} nonumber ]

[PV = $ 1،282.49 div 1.054 ^ {6} = $ 935.427906 nonumber ]

الخطوة الخامسة:

(ن = 12 مرات 3-1 = 35 ) دفعات

[PV_ {ORD} = $ 1،282.20 left [ dfrac {1- left [ frac {1} {(1 + 0.054) ^ { frac {2} {12}}} right] ^ {35 }} {(1 + 0.054) ^ { frac {2} {12}} - 1} right] = $ 38،477.10711 nonumber ]

[PV = $ 935.427906 + $ 38،477.10711 = $ 39،412.54 nonumber ]

تعليمات الآلة الحاسبة

جزءنأنا / صPVPMTFVالسنة التحضيريةج / ص
الدفعة النهائية610.8الجواب: -935.42790601282.4922
دخل سنوي35 ( الجذور )الجواب: -38،477.107111282.20122

يوضح الشكل القيمة الحالية ومبالغ الفائدة في المعاملة. ستدفع شركة التمويل 39.412.54 دولارًا أمريكيًا للعقد. في المقابل ، يتلقى 35 دفعة بقيمة 1،282.20 دولارًا أمريكيًا ودفعة واحدة قدرها 1282.49 دولارًا أمريكيًا بإجمالي اسمي يبلغ 46159.49 دولارًا أمريكيًا.


احسب الفائدة البسيطة والقيمة المستقبلية والقيمة الحالية

لحساب الفائدة البسيطة ، نحتاج إلى استخدام الصيغة التالية:

الفائدة البسيطة I = الرئيسي x السعر x الوقت

الفائدة هي المبلغ الإجمالي للفائدة المدفوعة.
أصل المبلغ هو المبلغ المقترض ،
المعدل هو النسبة المئوية للمبلغ الأساسي المحتسب كفائدة كل عام.
الوقت هو الوقت المناسب.

7. أوجد الفائدة البسيطة 1 لمبلغ القرض المحدد.
4000 دولار اقترضت بنسبة 6٪ لمدة 3 سنوات.

الرئيسي P = 4000 دولار
المعدل r = 6٪ = 6/100 = 0.06
الوقت t = 3

لإيجاد الفائدة البسيطة ، نضرب 4000 × 0.06 × 3 لنحصل على ذلك:

8. أوجد الفائدة البسيطة الأولى لمبلغ القرض المحدد.
490 دولارًا تم اقتراضها بمعدل 6/3/4٪ لمدة 271 يومًا.

الرئيسي P = 490 دولارًا
المعدل r = 6 3/4٪ = 6.75٪ = 0.0675
الوقت t = 271 يومًا 365 يومًا / سنة = 0.74 سنة

لإيجاد الفائدة البسيطة ، نضرب 490 × 0.0675 × 0.74 لنحصل على ذلك:

9. أوجد الفائدة البسيطة 1 لمبلغ القرض المحدد.
تم اقتراض 5669 دولارًا بمعدل 11 3/4 ٪ من 1 يوليو إلى 31 ديسمبر من نفس العام.

الرئيسي P = 5669 دولارًا
المعدل r = 11 3/4٪ = 11.75٪ = 0.1175
الوقت t = 6 أشهر ÷ 12 شهرًا / سنة = 0.5 سنة

للعثور على الفائدة البسيطة ، نضرب 5669 × 0.1175 × 0.5 لنحصل على ذلك:

لحساب القيمة المستقبلية ، نحتاج إلى استخدام الصيغ التالية -
القيمة المستقبلية (FV) A = الأساسي (1 + المعدل) ^ الوقت
أ = ف (1 + ص) ^ ر

القيمة المستقبلية ، أ هو إجمالي المبلغ المستحق (رأس المال + الفائدة)
أصل المبلغ هو المبلغ المقترض ،
المعدل.

ملخص الحل

يحتوي الحل المرفق على مشاكل متعددة تتعلق بالفائدة البسيطة والفائدة المركبة. هناك أمثلة حول كيفية حساب القيمة الحالية بناءً على القيمة المستقبلية للقرض وأمثلة مماثلة حول كيفية حساب القيمة المستقبلية.


Karnataka 1st PUC Basic Maths Question Bank مع الإجابات

كارناتاكا 1st PUC Basic Maths Schemabus and Marking Scheme

Karnataka 1st PUC Basic Maths Blue Print of Model Question Paper

I PUC Basic Mathematics Weightage Given to the Curriculum

I PUC Basic Mathematics Unit Wise Weightage

I PUC Basic Mathematics Instructions to Question Paper Setters

1. Part E : 2 marks Question must be from chapters
(i) Number theory (ii) Averages.
2. Part E : 4 marks from chapters
(i) Sets, Relation and Functions
(ii) Progressions
(iii) Linear Functions
(iv) Straight Lines.
3. The question paper consists of five parts A, B, C, D & E.
4. Part A carries 10 marks, Part B carries 20 marks, Part C carries 30 marks, Part D carries 30 marks and Part E carries 10 marks.
5. Write the question numbers properly as indicated in the question paper.

Chapter 1 Number Theory (Total – 8 hrs)

  • 1.0 Introduction
  • 1.1 Natural Numbers
  • 1.2 Whole numbers
  • 1.3 Integers
  • 1.4 Odd and Even Numbers
  • 1.5 Prime Numbers
  • 1.6 Composite Numbers
  • 1.7 Fundamental theorem of arithmetic
  • 1.8 Least Common Multiple
  • 1.9 Highest common factor
  • 1.10 Finding H.C.F using the product of numbers given
  • 1.11 Finding H.C.F of fractions
  • 1.12 Rational Numbers
  • 1.13 Irrational Numbers
  • 1.14 Real Numbers
  • 1.15 Complex numbers

Chapter 2 Sets, Relations and Functions (Total – 16 hrs)

  • 2.0 Introduction
  • 2.1 Sets
  • 2.2 Methods of describing a set
  • 2.3 Null set
  • 2.4 Singleton set
  • 2.5 Finite set and Infinite sets
  • 2.6 Equal and equivalent sets
  • 2.7 Subset
  • 2.8 Universal Set
  • 2.9 Operation on Sets
  • 2.10 Complement set
  • 2.11 Algebra of sets
  • 2.12 Venn diagrams
  • 2.13 Ordered pairs
  • 2.14 Equality of ordered pairs
  • 2.15 Cartesian product pairs
  • 2.16 Worked examples
  • 2.17 Relation
  • 2.18 Domain and range of a relation
  • 2.19 Inverse relation
  • 2.20 Types of relation
  • 2.21 Worked Examples
  • 2.22 Functions
  • 2.23 Domain, co-domain and range
  • 2.24 Different types of functions
  • 2.25 Worked Examples

Chapter 3 Theory of Indices (Total – 4 hrs)

Chapter 4 Logarithms (Total – 6 hrs)

  • 4.1 Introduction
  • 4.2 Definition of Logarithm
  • 4.3 Laws of Logarithm
  • 4.4 Common Logarithm

Chapter 5 Progressions (Total – 12 hrs)

  • 5.1 Introduction
  • 5.2 Sequences
  • 5.3 Series
  • 5.4 Arithmetic Progressions
  • 5.5 nth term of an A.P
  • 5.6 Sum to ‘n’ terms of an A.P
  • 5.7 Geometric progression
  • 5.8 nth term of GP
  • 5.9 Sum to n terms of GP
  • 5.10 Sum to infinite G.P
  • 5.11 Harmonic progression
  • 5.12 nth term of H.P
    5.13 Arithmetic, Geometric and harmonic means

Chapter 6 Theory of Equations (Total – 12 hrs)

  • 6.1 Introduction and definition of equation
  • 6.2 Degrees of the equation and different types of equations
  • 6.3 Linear equation in one variable
  • 6.4 Simultaneous linear equation in two variables and different methods
  • 6.5 Quadratic equation and its solution
  • 6.6 Nature of the roots of the quadratic equation
  • 6.7 Cubic equation, examples and solution
  • 6.8 Synthetic division

Chapter 7 Linear Inequalities (Total – 6 hrs)

  • 7.1 Introduction
  • 7.2 Inequalities
  • 7.3 Linear inequalities in one variable
  • 7.4 System of linear inequations in one variable
  • 7.5 Application of Linear inequalities
  • 7.6 Linear inequalities in two variable
  • 7.7 System of Linear Inequations in two variables and their graphical solution

Unit II: Commercial Arithmetic

Chapter 8 Simple Interest and Compound Interest (Total – 8 hrs)

  • 8.1 Introduction
  • 8.2 Simple interest
  • 8.3 Compound Interest
  • 8.4 Nominal and effective rate of interest
  • 8.5 Varying rate of interest
  • 8.6 Depreciation
  • 8.7 Using compound interest formula for growth rate
  • 8.8 Problems related to simple interest and compound interest

Chapter 9 Annuities (Total – 6 hrs)

  • 9.1 Definition and types of annuity immediate
  • 9.2 Future value of annuity immediate
  • 9.3 Present value of annuity immediate
  • 9.4 Future value of an annuity due
  • 9.5 Present value of an annuity due
  • 9.6 Perpetuity
  • 9.7 Deferred annuity

Chapter 10 Averages (Total – 4 hrs)

  • 10.1 Introduction
  • 10.2 Types of Average
  • 10.3 Simple Average
  • 10.4 Weighted Average
  • 10.5 Combined Average

Chapter 11 Percentage, Profit and Loss (Total – 6 hrs)

  • 11.1 Conversion of the percentage to ratio fraction, decimal and vice versa
  • 11.2 Percentage increase, the percentage decrease
  • 11.3 Application problems involving percentages
  • 11.4 Profit and Loss, Cost price, Selling price, Profit, Loss, Profit percentage, Loss percentage, definition and formula
  • 11.5 Application problems

Chapter 12 Linear Functions (Total – 4 hrs)

  • 12.1 Introduction
  • 12.2 Definition
  • 12.3 Linear Revenue, Cost and profit function
  • 12.4 Break-Even Analysis

Chapter 13 Angles and Trigonometric Ratios (Total – 6 hrs)

  • 13.1 Introduction
  • 13.2 Measurement of angles
  • 13.3 Trigonometric ratios of acute angle
  • 13.4 Relation between the trigonometric ratios

Chapter 14 Standard Angles and Allied Angles (Total – 6 hrs)

  • 14.1 Trigonometric Ratios of standard angles
  • 14.2 Signs of Trigonometric ratios
  • 14.3 Allied angles

Unit IV: Analytical Geometry

Chapter 15 Co-Ordinate System in a Plane (Total – 5 hrs)

  • 15.1 مقدمة
  • 15.2 Rectangular Cartesian Co-ordinate system in a plane
  • 15.3 Distance Formula
  • 15.4 Section Formula
  • 15.5 Centroid Formula, Midpoint formula
  • 15.6 Area of the Triangle and quadrilateral

Chapter 16 Locus and its Equations (Total – 3 hrs)

Chapter 17 Straight Line (Total – 3 hrs)

  • 17.1 مقدمة
  • 17.2 Slope or Gradient of a line
  • 17.3 Slope of Parallel Lines and Perpendicular Lines
  • 17.4 SJope of the line joining two points
  • 17.5 Standard forms of Equation of straight lines
  • 17.6 Equation of a line in general form
  • 17.7 Intersection of two lines
  • 17.8 Condition for concurrency of three lines
  • 17.9 Length of the perpendicular from a point to a line
  • 17.10 Distance between parallel lines

We hope the given Karnataka 1st PUC Class 11 Basic Maths Question Bank with Answers Solutions, Notes, Guide Pdf Free Download of 1st PUC Basic Maths Textbook Questions and Answers, Model Question Papers with Answers, Study Material 2020-2021 in English Medium and Kannada Medium will help you.

If you have any queries regarding Karnataka State Board NCERT Syllabus 1st Year PUC Class 11 Basic Maths Question Bank with Answers Pdf, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Attendance and homework are mandatory. Make-up exams are given only for highly extenuating circumstances. You must provide appropriate WRITTEN documentation of your reason for being absent from a scheduled exam. Make-up exams will be scheduled at the instructor s discretion and convenience.

You are the only person responsible for your registration in this class. If you do not wish to continue the course, you have to talk to your degree councilor. If you quit coming to class and do not drop, I will be forced to assign you a grade based on the work you have completed. This is usually an F. Please do not let this situation occur. If you have more than 6 (3 times) unexcused absences, your final grade will be dropped by " TWO "(" One ") letter grades.


الكلمات الدالة

We acknowledge financial support from the Social Science and Humanities Research Council (435-2016-1109), as well as the continuing support of the Direction de la recherche at HEC Montréal, the Retirement and Savings Institute (ire.hec.ca), and CIRANO for their continuing support. We thank David Boisclair for the design of the questionnaire, and we thank Moshe Milevsky and CANNEX for providing us with access to pricing data. Boyer holds the Power Corporation of Canada Research Chair in the Department of Finance, Box-Couillard is a graduate student in the Department of Applied Economics, and Michaud holds the Industrielle Alliance Research Chair in the Department of Applied Economics. All authors can be reached at surn[email protected]


Present value annuities

For present value annuities, regular equal payments/installments are made to pay back a loan or bond over a given time period. The reducing balance of the loan is usually charged compound interest at a certain rate. In this section we learn how to determine the present value of a series of payments.

Consider the following example:

Kate needs to withdraw ( ext, ext<1 000>) from her bank account every year for the next three years. How much must she deposit into her account, which earns ( ext<10>\%) per annum, to be able to make these withdrawals in the future? We will assume that these are the only withdrawals and that there are no bank charges on her account.

To calculate Kate's deposit, we make (P) the subject of the compound interest formula:

We determine how much Kate must deposit for the first withdrawal:

We repeat this calculation to determine how much must be deposited for the second and third withdrawals:

Notice that for each year's withdrawal, the deposit required gets smaller and smaller because it will be in the bank account for longer and therefore earn more interest. Therefore, the total amount is:

We can check these calculations by determining the accumulated amount in Kate's bank account after each withdrawal:


Business Mathematics

Business Mathematics by Clendenen/Salzman teaches students the mathematical skills they need to be successful in business, emphasizing mastery of business concepts and scenarios that require a mathematical solution. With a strong focus on current issues, real companies, and pragmatic business scenarios, the authors cover the full spectrum of basic business math, placing every concept in context with relevant examples. With time-proven pedagogy, relevant business applications and case studies, and a strong MyMathLab course, this program teaches students mathematical skills and concepts within the context of business applications.

This text provides a better teaching and learning experience, for you and your students. Here's how:

Improve Results: MyMathLab delivers proven results in helping students succeed and provides engaging experiences that personalize learning.
Grounded in the business world and actual companies:This text presents insights that reflect business realities that students will actually encounter in the business world.
Extensive usage of data and graphics: Helps students visualize, analyze, and discuss the information they are working with.
Excellent exercises: Gives students a variety of practice to help them understand and master the material.


Note: You are purchasing a standalone product MyMathLab does not come packaged with this content. MyMathLab is not a self-paced technology and should only be purchased when required by an instructor. If you would like to purchase both the physical text and MyMathLab, search for:

0321937031 / 9780321937032 Business Mathematics plus MyMathLab with Pearson eText -- Access Card Package


Optimal investment choices post-retirement in a defined contribution pension scheme

In defined contribution pension schemes, the financial risk is borne by the member. Financial risk occurs both during the accumulation phase (investment risk) and at retirement, when the annuity is bought (annuity risk). The annuity risk faced by the member can be reduced through the “income drawdown option”: the retiree is allowed to choose when to convert the final capital into pension within a certain period of time after retirement. In some countries, there is a limiting age when annuitization becomes compulsory (in UK this age is 75). In the interim, the member can withdraw periodic amounts of money to provide for daily life, within certain limits imposed by the scheme’s rules (or by law).

In this paper, we investigate the income drawdown option and define a stochastic optimal control problem, looking for optimal investment strategies to be adopted after retirement, when allowing for periodic fixed withdrawals from the fund. The risk attitude of the member is also considered, by changing a parameter in the disutility function chosen. We find that there is a natural target level of the fund, interpretable as a safety level, which can never be exceeded when optimal control is used.

Numerical examples are presented in order to analyse various indices — relevant to the pensioner — when the optimal investment allocation is adopted. These indices include, for example, the risk of outliving the assets before annuitization occurs (risk of ruin), the average time of ruin, the probability of reaching a certain pension target (that is greater than or equal to the pension that the member could buy immediately on retirement), the final outcome that can be reached (distribution of annuity that can be bought at limit age), and how the risk attitude of the member affects the key performance measures mentioned above.


Business Mathematics

Business Mathematics by Clendenen and Salzman teaches students the mathematical skills they need for success in business, emphasizing mastery of business concepts and scenarios that require a mathematical solution. With a strong focus on current issues, real companies, and pragmatic business scenarios, the authors cover the full spectrum of basic business math, placing every concept in context with relevant examples.


Along with an updated MyLab (TM) Math course, the 14th Edition has been significantly revised to modernize the text, improve discussions, and make the material more meaningful to students. This revision is packed with data, examples, graphs, photographs, and case studies that demonstrate the material's relevance as it teaches students to interpret data and information. A global perspective is emphasized through examples and exercises that highlight issues in other countries.


Also available with MyLab Math

By combining trusted author content with digital tools and a flexible platform, MyLab personalizes the learning experience and improves results for each student.


Note: You are purchasing a standalone product MyLab Math does not come packaged with this content. Students, if interested in purchasing this title with MyLab Math, ask your instructor to confirm the correct package ISBN and Course ID. Instructors, contact your Pearson representative for more information.


If you would like to purchase both the physical text and MyLab Math, search for:


0135195969 / 9780135195963 Business Mathematics Plus MyLab Math with Pearson eText - Access Card Package

0134693329 / 9780134693323 Business Mathematics, 14e

0134836235 / 9780134836232 MyLab Math with Pearson eText - Access Card - for Business Mathematics, 14/e
show more


About the Author(s)

Marge Lial (late) was always interested in math it was her favorite subject in the first grade! Marge's intense desire to educate both her students and herself has inspired the writing of numerous best-selling textbooks. Marge, who received bachelor's and master's degrees from California State University at Sacramento, was affiliated with American River College. An avid reader and traveler, her travel experiences often found their way into her books as applications, exercise sets, and feature sets. Her interest in archeology lead to trips to various digs and ruin sites, producing some fascinating problems for her textbooks involving such topics as the building of Mayan pyramids and the acoustics of ancient ball courts in the Yucatan.

Raymond N. Greenwell earned a B.A. in Mathematics and Physics from the University of San Diego, and an M.S. in Statistics, an M.S. in Applied Mathematics, and a Ph.D. in Applied Mathematics from Michigan State University, where he earned the graduate student teaching award in 1979. After teaching at Albion College in Michigan for four years, he moved to Hofstra University in 1983, where he currently is Professor of Mathematics.

Raymond has published articles on fluid mechanics, mathematical biology, genetic algorithms, combinatorics, statistics, and undergraduate mathematics education. He is a member of MAA, AMS, SIAM, NCTM, and AMATYC. He has served as governor of the Metropolitan New York Section of the MAA, as well as webmaster and liaison coordinator, and he received a distinguished service award from the Section in 2003. He is an outdoor enthusiast and leads trips in the Sierra Club&rsquos Inner City Outings program.

Nathan P. Ritchey earned a B.A. in Mathematics with a minor in Music from Mansfield University of Pennsylvania. He earned a M.S. in Applied Mathematics and a Ph.D. in Mathematics from Carnegie Mellon University. He is former chair of the Department of Mathematics and Statistics at Youngstown State University and is currently serving as the dean of the College of Science and Health Professions at Edinboro University. He has published articles in economics, honors education, medicine, mathematics, operations research, and student recruitment. Nate is a Consultant/Evaluator for the North Central Association's Higher Learning Commission and regularly participates in program evaluations.

In recognition of his numerous activities, Nate has received the Distinguished Professor Award for University Service, the Youngstown Vindicator's "People Who Make a Difference Award," the Watson Merit Award for Department Chairs, the Spirit in Education Award from the SunTex corporation, and the Provost's Merit Award for significant contributions to the Honors Program.

Pearson Higher Education offers special pricing when you choose to package your text with other student resources. If you're interested in creating a cost-saving package for your students contact your Pearson Higher Education representative.


شاهد الفيديو: القيمة الحالية لمبلغ ولدفعات- Present Value of a Single Amount and of Annuities (شهر اكتوبر 2021).