مقالات

11.6: معدلات فائدة الأقساط - الرياضيات


تعلن Canada One RV أنه يمكنك شراء مقطورة Residence 40 'Park Model ، بقيمة 32،999 دولارًا ، مقابل 181.84 دولارًا كل أسبوعين على مدى السنوات العشر القادمة. تقدم شركة Toronto Hyundai عرض "Smokin 'Hot Deal" لسيارة Hyundai بسعر ٩٩٠٠ دولار مع مدفوعات ٦٩ دولارًا كل أسبوعين لمدة سبع سنوات. السؤال في كل هذه المواقف هو هل يجب أن تدفع دفعة واحدة أم على أقساط؟

لاحظ في كل هذه الحالات أن إجمالي المدفوعات أعلى من سعر شراء العنصر. على سبيل المثال ، 407 ETR يدفع 3.25 دولارًا أمريكيًا شهريًا ، بإجمالي 39.00 دولارًا أمريكيًا في السنة! من منظور مالي بحت ، يمكن التعامل مع الفرق من 21.50 دولارًا كمبلغ فائدة يتم تحصيله لعدم دفع المبلغ السنوي بالكامل مقدمًا. لكن ما هو معدل الفائدة الذي تدفعه؟

في الاستثمار ، يجب عليك اختيار أعلى سعر فعال يحمل مستوى مخاطرة يمكنك قبوله. إذا قمت بتقديم مساهمات ثابتة للاستثمار ، فما معدل الفائدة الذي يجب أن تحصل عليه لتحقيق هدفك المستقبلي؟ فيما يتعلق بالديون ، هل تعرف ما يتم تحصيله منك؟ هذا هو أموالك التي كسبتها بصعوبة ، لذا ربما يمكنك العثور على عرض أفضل بسعر أقل من شخص آخر؟ في الأعمال التجارية ، فائدة الديون هي مصاريف تؤثر على تسعير المنتجات ويمكن خصمها من ضريبة الدخل. لحساب الفائدة ، يحتاج العمل إلى معرفة سعر الفائدة الذي يتم تحصيله.

لديك العديد من الأسباب لحساب معدل الفائدة السنوي. في هذا القسم الأخير حول الأقساط السنوية ، ستقوم بإجراء هذا الحساب لكل من المعاشات العادية والمعاشات المستحقة.

المعاشات العادية والمعاشات المستحقة

يجب عليك حساب معدل الفائدة على المعاش السنوي في مجموعة متنوعة من المواقف:

  • لتحديد سعر الفائدة المفروضة على أي دين
  • لتحديد معدل الفائدة الذي يكسبه الاستثمار
  • لحساب معدل الفائدة المطلوب للادخار للوصول إلى الهدف خلال فترة زمنية معينة
  • لحساب معدل الفائدة المطلوب المطلوب لاستمرار سلسلة المدفوعات خلال فترة زمنية معينة

يظهر جدول زمني نموذجي لسعر الفائدة غير المعروف على المعاش السنوي في الشكل أدناه.

يجب معرفة جميع المتغيرات باستثناء سعر الفائدة الاسمي ، (IY ). في أي من طرفي المخطط الزمني:

  • إذا كنت تعرف (PV_ {DUE} ) أو (PV_ {ORD} ) ، فقد يكون هناك (FV ) على الجانب الآخر أيضًا. (FV_ {DUE} ) و (FV_ {ORD} ) و (PV ) لن تظهر.
  • إذا كنت تعرف (FV_ {DUE} ) أو (FV_ {ORD} ) ، فقد يكون هناك (PV ) على الجانب الآخر. (PV_ {DUE} ) و (PV_ {ORD} ) و (FV ) لن تظهر.

الصيغة

تنشأ أكثر الظروف إثارة للاهتمام عندما تحاول حل أي قيمة مستقبلية أو معادلات قيمة سنوية للقيمة الحالية ، سواء كانت عادية أو مستحقة ، لسعر الفائدة. تمت إعادة طباعة الصيغة 11.2 أدناه للتوضيح ؛ ومع ذلك ، فإن نفس النقطة تنطبق على الصيغ 11.3 إلى 11.5.

[ text {Formula} 11.2: FV_ {ORD} = PMT left [ dfrac { left [(1 + i) ^ { frac {CY} {PY}} right] ^ {N} -1} {(1 + i) ^ { frac {CY} {PY}} - 1} right] nonumber ]

في هذه الصيغة ، يظهر (FV_ {ORD} ) أو (PMT ) أو (N ) مرة واحدة فقط. يتيح لك ذلك معالجة الصيغة بسهولة لحل هذه المتغيرات ، كما فعلنا في الأقسام السابقة. ومع ذلك ، فإن معدل الفائدة الدوري ، (i ) ، يظهر في الصيغة مرتين. هذه ليست مشكلة عادة لأنه يمكنك تطبيق القواعد الأساسية للجبر لعزل ودمج المصطلحات المتشابهة ، ولكن ليس كذلك في هذه الحالة.

لتوضيح الصعوبة ، عيّن (PMT ) = $ 1 واجعل (CY = PY ). هذا يجعل المعادلة تبدو كما يلي:

[FV_ {ORD} = dfrac {(1 + i) ^ N-1} {i} nonumber ]

إذا قمت بإعادة ترتيب الصيغة لديك

[iFV_ {ORD} + 1 = (1 + i) ^ N nonumber ]

يمكن عزل (i ) على الجانب الأيسر ، لكن الحرف i الموجود على الجانب الأيمن هو جزء من قاعدة الأس. لإلغاء الأس (N ) ، تحتاج إلى رفع كلا طرفي المعادلة إلى الأس (1 / N ) ، للوصول إلى ما يلي:

[ left (iFV_ {ORD} +1 right) ^ { frac {1} {N}} = 1 + i nonumber ]

لاحظ النتيجة: الآن أصبح الجانب الأيسر (i ) جزءًا من قاعدة الأس ، بينما يمكن عزل (i ) على الجانب الأيمن مجانًا. ليس الكثير من التحسن ، أليس كذلك؟ لإصلاح هذا الأمر ، ستحتاج إلى أخذ طرفي المعادلة إلى الأس (N ) ، مما يعيدك إلى معضلتك الأصلية. إنها حلقة لا نهاية لها بلا حل.

خلاصة القول هي أنه لا توجد طريقة جبرية لعزل (i ) في هذه المعادلة. وبالتالي ، لا يمكن إعادة ترتيب الصيغ 11.2 إلى 11.5 لعزل هذا المتغير. إذن كيف تحلها؟ هناك طريقتان:

  1. المحاولة و الخطأ. في هذه الطريقة اليدوية ، يمكنك ببساطة الاستمرار في إدخال قيم مختلفة لـ (i ) ومحاولة تحديد القيمة الفعلية للمتغير. ربما تبدأ بـ (i ) = 1٪ وتكتشف أن (FV_ {ORD} ) منخفض جدًا. ثم تحاول (i ) = 2٪ وتكتشف أن (FV_ {ORD} ) مرتفع جدًا. الآن أنت تعلم أن أنا بين 1٪ و 2٪ ، لذا ربما تحاول 1.5٪. تكرر هذه العملية حتى تحصل على رقم دقيق بما فيه الكفاية. كما يمكنك أن تتخيل ، فإن هذه العملية تستغرق وقتًا طويلاً للغاية ، ومملة ، وعرضة للأخطاء ، لذلك لم يعد أحد يقوم بهذه العملية يدويًا بعد الآن.
  2. استخدم التكنولوجيا. سواء كنت تستخدم الآلات الحاسبة أو جداول البيانات ، فإن هذه الأدوات مبرمجة مسبقًا بتقنية التجربة والخطأ ويمكنها إجراء ملايين التكرارات في أقل من ثانية للعثور على الحل. لذلك ، تفترض جميع المشكلات في هذا القسم أن لديك حق الوصول إلى التكنولوجيا ، لذلك لا تظهر حلول جبرية في حسابات الصيغة.

كيف تعمل

اتبع هذه الخطوات لحل أي معدل فائدة رمزي:

الخطوة 1: تحديد نوع الأقساط. ارسم جدولًا زمنيًا لتصور السؤال.

الخطوة 2: حدد المتغيرات التي تعرفها ، بما في ذلك (CY و PMT و PY ) والسنوات. يجب عليك أيضًا تحديد قيمة لواحد من (PV_ {ORD} ) أو (PV_ {DUE} ) أو (FV_ {ORD} ) أو (FV_ {DUE} ). قد يكون لديك أو لا يكون لديك قيمة لـ (FV ) أو (PV ).

الخطوه 3: استخدم الصيغة 11.1 لحساب N. أدخل جميع المتغيرات الستة المعروفة في تقنيتك وقم بحل معدل الفائدة.

ملاحظات هامة

يتطلب حل معدل الفائدة الاسمي على BAII + إدخال جميع المتغيرات الستة الأخرى باستثناء (I / Y ). ثم اضغط CPT (I / Y ) لحل المشكلة. نظرًا لتقنية التجربة والخطأ ، فقد تستغرق الآلة الحاسبة بضع ثوانٍ لحساب الإجابة. إذا أصبحت شاشتك فارغة وترددت الآلة الحاسبة ، فهذا أمر طبيعي! يجب أن تلتزم القيم التي تدخلها في القيمة الحالية ( (PV )) والقيمة المستقبلية ( (FV )) ودفع الأقساط السنوية ( (PMT )) باتفاقية علامة التدفق النقدي. تذكر أنه في BAII + ، يمثل (I / Y ) معدل الفائدة الاسمي ، والذي يتراكم وفقًا للقيمة التي أدخلتها في المتغير (C / Y ).

أشياء يجب الانتباه إليها

عند تحديد سعر الفائدة ، انتبه جيدًا لشكل سعر الفائدة المطلوب:

  1. دوري ( (i )): ما هو معدل الفائدة الشهري؟
  2. الاسمي ( (IY ) مع (CY ≠ 1 )): ما هو معدل الفائدة المركب شهريًا؟
  3. سارية ( (IY ) مع (CY = 1 )): ما هو معدل الفائدة السنوي المركب أو الفعلي؟

طرق النجاح

إذا كنت تريد معرفة سعر الفائدة الاسمي والفعال في أي موقف ، فهناك طريقتان لإنتاج الإجابات. الخطوة الأولى في كلتا الطريقتين هي حل مشكلة معدل الفائدة الاسمي باستخدام القيمة المناسبة للتردد المركب ( (CY )). ثم لحساب المعدل الفعلي ، يمكنك القيام بأحد الإجراءات التالية:

  1. قم بتغيير (CY ) إلى قيمة واحدة ( (CY = 1 )) وأعد حساب (IY ). يفضل هذا الكتاب هذه الطريقة لأنها الطريقة الأسهل والأقل عرضة للخطأ.
  2. خذ معدل الفائدة الاسمي المحسوب وقم بتحويله إلى معدل فائدة فعلي باستخدام الصيغة 9.4 (تحويل سعر الفائدة) ، أو الآلة الحاسبة (وظيفة I Conv) ، أو قالب Excel الفصل 9 (الذي يستخدم وظيفة EFFECT في Excel). تنتج هذه التقنية نفس الحل الأساسي ؛ ومع ذلك ، فإن لديها فرصة أكبر للخطأ وقد تفتقر إلى الدقة إذا لم يتم استخدام الكسور العشرية الكافية.

التمرين ( PageIndex {1} ): أعطه بعض التفكير

هل من الممكن في المواقف المالية أن تكون القيمة المحسوبة لسعر الفائدة الاسمي (IY ) سالبة؟

إجابه

نعم هذا ممكن. تتقلب العديد من الاستثمارات مثل الأسهم بناءً على ظروف السوق. من الممكن أن يفقد الاستثمار قيمته بعد شرائه ، مما ينتج عنه معدل عائد سلبي.

مثال ( PageIndex {1} ): تأجير لامتلاكك

يقدم متجر Smartchoice ، وهو متجر للإيجار بغرض التملك ، جهاز كمبيوتر محمول صغير الحجم مقاس 10 بوصات طراز Inspiron من Dell بسعر 399 دولارًا أمريكيًا للنقد والحمل. وبدلاً من ذلك ، يمكنك دفع 59.88 دولارًا شهريًا في الدفعات مقدمًا وامتلاك الكمبيوتر المحمول بعد عام واحد. ما هو معدل الفائدة الذي يتم تحصيله فعليًا على خطة الإيجار المنتهي بالتملك؟

المحلول

الخطوة 1:

يتم إجراء الدفعات في بداية فترات الدفع ، وتختلف الفترة المركبة وفترات الدفع. لذلك ، هذا هو راتب سنوي مستحق. قم بحل معدل الفائدة الفعلي ، وهو معدل الفائدة الاسمي ، (IY ) ، الذي يحتوي على تكرار مركب واحد.

ما تعرفه بالفعل

الخطوة 1 (تابع):

الجدول الزمني لمعاش التقاعد يظهر أدناه.

الخطوة 2:

(PV_ {DUE} ) = 399 دولارًا ، (CY ) = 1 ، (PMT ) = 59.88 دولارًا ، (PY ) = 12 ، السنوات = 1

كيف ستصل الى هناك

الخطوه 3:

قم بتطبيق الصيغة 11.1 والصيغة 11.5. أدخل المعلومات في الآلة الحاسبة لحل (IY ) (والتي تطبق تلقائيًا الصيغة 9.1 لتحويل (i ) إلى (IY )).

نفذ

الخطوه 3:

(ن = 12 مرات 1 = 12 ) مدفوعات

[ $ 399 = $ 59.88 left [ dfrac {1- left [ dfrac {1} {(1 + i) ^ { frac {1} {12}}} right] ^ {12} } {(1 + i) ^ { frac {1} {12}} - 1} right] times (1 + i) frac {1} {12} nonumber ]

انظر تعليمات الآلة الحاسبة للحل.

تعليمات الآلة الحاسبة

وضعنأنا / صPVPMTFVالسنة التحضيريةج / ص
BGN12الجواب: 337.975924399-59.880121

يوضح الشكل الفائدة الفعلية وقيمة الكمبيوتر المحمول التي تشكل المدفوعات. معدل الفائدة الفعلي الذي يتم تحصيله بموجب خطة سداد الإيجار المنتهي بالتملك هو 337.9759٪.

مثال ( PageIndex {2} ): معدل الفائدة المطلوب للسماح بتوفير مشروع رأس المال

تودع شركة Cubonic Industries 30 ألف دولار في نهاية كل ربع سنة لتوفير ما يصل إلى 550 ألف دولار لمشروع رأسمالي في أربع سنوات. لتحقيق هدفها ، ما هو معدل الفائدة الاسمي المركب كل ثلاثة أشهر الذي تطلبه شركة Cubonic Industries على استثماراتها؟ ما هو المعدل الفعال؟

المحلول

الخطوة 1:

هناك سؤالان هنا. السؤال الأول حول معدل الفائدة الاسمي ينطوي على راتب سنوي بسيط عادي. قم بحل هذا من أجل (IY ) عندما (CY ) = 4. السؤال الثاني حول المعدل الفعال يتضمن راتبًا سنويًا عاديًا. حل هذا من أجل (IY ) عندما (CY ) = 1.

ما تعرفه بالفعل

الخطوة 1 (تابع):

الجدول الزمني لكلا السؤالين يظهر أدناه.

الخطوة 2:

راتب سنوي بسيط عادي: (FV_ {ORD} ) = 550.000 دولار ، (CY ) = 4 ، (PMT ) = 30000 دولار ، (PY ) = 4 ، السنوات = 4

الأقساط العامة العادية: كلها متشابهة باستثناء (CY ) = 1

كيف ستصل الى هناك

الخطوه 3:

قم بتطبيق الصيغة 11.1 والصيغة 11.2.

راتب سنوي بسيط عادي: أدخل المعلومات في الآلة الحاسبة وحل من أجل (IY ).

المعاش العام العادي: قم بتغيير (CY ) إلى 1 (للمعدل الفعال) وأعد حساب (IY ). لاحظ أنه بالنسبة لكلا المعاشات السنوية ، تقوم الآلة الحاسبة تلقائيًا بتطبيق الصيغة 9.1 لتحويل (i ) إلى (IY ).

نفذ

الخطوه 3:

(ن = 4 مرات 4 = 16 ) مدفوعات

المعاش العادي البسيط:

[ $ 550،000 = $ 30،000 left [ dfrac { left [(1 + i) ^ { frac {4} {4}} right] ^ {16} -1} {(1 + i) ^ { frac {4} {4}} - 1} right] nonumber ]

المعاش العام العادي:

[ $ 550،000 = $ 30،000 left [ dfrac { left [(1 + i) ^ { frac {1} {4}} right] ^ {16} -1} {(1 + i) ^ { frac {1} {4}} - 1} right] nonumber ]

راجع تعليمات الآلة الحاسبة أدناه للحصول على حل لكل سؤال.

تعليمات الآلة الحاسبة

اكتبنأنا / صPVPMTFVالسنة التحضيريةج / ص
بسيط16الجواب: 7.1459080-3000055000044
عام ( الجذور )الجواب: 7.339689 ( الجذور ) ( الجذور ) ( الجذور ) ( الجذور )1

يوضح الشكل مقدار رأس المال والفائدة التي تشكل الرصيد النهائي. لكي تحقق Cubonic Industries هدفها الادخاري ، يجب أن تكسب المدخرات السنوية 7.1459٪ مركبة ربع سنوية ، أو 7.3397٪ فعليًا.

مثال ( PageIndex {3} ): معدل الفائدة المطلوب لتحقيق هدف RRSP

لقد وفر أماديوس بالفعل 5000 دولار في خطة RRSP الخاصة به اليوم. لنفترض أنه استمر في تقديم مساهمات بقيمة 250 دولارًا في بداية كل شهر على مدار الـ 14 عامًا القادمة. لكي يحقق هدفه في الحصول على 100000 دولار ، ما هو معدل العائد الشهري الاسمي الذي يجب أن يكسبه استثماره؟

المحلول

الخطوة 1:

يتم إجراء الدفعات في بداية فترات الدفع ، وتكون الفترة المركبة وفترات السداد هي نفسها. لذلك ، هذا هو راتب سنوي بسيط مستحق. قم بحل معدل الفائدة الاسمي الشهري ، (IY ).

ما تعرفه بالفعل

الخطوة 1 (تابع):

الجدول الزمني لمساهمات RRSP يظهر أدناه.

الخطوة 2:

(FV_ {DUE} ) = 100000 دولار ، (PV ) = 5000 دولار ، (CY ) = 12 ، (PMT ) = 250 دولارًا ، (PY ) = 12 ، السنوات = 14

كيف ستصل الى هناك

الخطوه 3:

قم بتطبيق الصيغة 11.1 وستقوم الآلة الحاسبة في نفس الوقت بحل الصيغتين 9.3 و 11.3. القسط السنوي بسيط ، لذلك (N ) هو نفس الرقم لكل من عدد المدفوعات والمركبات. أدخل المعلومات في الآلة الحاسبة وحل من أجل (IY ).

نفذ

الخطوه 3:

(ن = 12 مرات 14 = 168 ) مدفوعات

[ $ 100،000 - $ 5،000 (1 + i) ^ {168} = $ 250 left [ dfrac { left [(1 + i) ^ { frac {12} {12}} right] ^ {168} -1} {(1 + i) ^ { frac {12} {12}} - 1} right] times (1 + i) ^ { frac {12} {12}} nonumber ]

انظر تعليمات الآلة الحاسبة للحل.

تعليمات الآلة الحاسبة

وضعنأنا / صPVPMTFVالسنة التحضيريةج / ص
BGN168الجواب: 8.808808-5000-2501000001212

يوضح الشكل مقدار رأس المال والفائدة التي تشكل الرصيد النهائي. معدل الفائدة الاسمي الذي يجب أن يكسبه Amadeus على استثماره هو 8.8088٪ شهريًا.

مثال ( PageIndex {4} ): راتب سنوي عادي بالقيمة الحالية ورصيد مستحق في المستقبل

تتطلع جيما لشراء سيارة نيسان باثفايندر جديدة مقابل 54904.64 دولارًا أمريكيًا بما في ذلك جميع الرسوم وضرائب المبيعات. يمكنها تحمل دفع ما لا يزيد عن 1500 دولار في نهاية كل شهر ، وتريد تخفيض الرصيد المدين إلى 30 ألف دولار بعد عامين ، عندما يمكنها سداد السيارة من خلال صندوقها الاستئماني. ما هو الحد الأقصى لمعدل الفائدة الفعلي الذي يمكن تحصيله على قرض السيارة لتحقيق أهدافها؟

المحلول

الخطوة 1:

يتم إجراء الدفعات في نهاية فترات الدفع ، وتختلف الفترة المركبة وفترات الدفع. لذلك ، هذا هو المعاش العام العادي. قم بحل معدل الفائدة الفعلي (IY ).

ما تعرفه بالفعل

الخطوة 1 (تابع):

الجدول الزمني لقرض السيارة يظهر أدناه.

الخطوة 2:

(PV_ {ORD} ) = 54904.64 دولارًا ، (FV ) = 30000 دولار ، (CY ) = 1 ، (PMT ) = 1500 دولار ، (PY ) = 12 ، السنوات = 2

كيف ستصل الى هناك

الخطوه 3:

قم بتطبيق الصيغة 11.1 ، وستقوم الآلة الحاسبة بحل الصيغتين 9.3 و 11.4 في نفس الوقت. * لاحظ أنه نظرًا لأن القسط السنوي عام ، فإن المركبات (N ) والمدفوعات (N ) أرقام مختلفة. يتطلب وضع هذين العنصرين في نفس المعادلة أن (N ) يأخذ قيمة واحدة تساوي عدد المدفوعات (متطلب الأقساط السنوية). في هذا الصدد ، يجب تحويل معدل الفائدة الدوري المستخدم في الصيغة 9.3 ليتوافق مع تكرار الدفع. يمكنك تحقيق ذلك باستخدام نفس الأس ( dfrac {CY} {PY} ) من صيغ الأقساط السنوية. أدخل المعلومات في الآلة الحاسبة وحل من أجل (IY ).

نفذ

الخطوه 3:

(ن = 12 مرات 2 = 24 ) مدفوعات

[ $ 54،904.64- dfrac { $ 30،000} { left [(1 + i) ^ { frac {1} {12}} right] ^ {24}} = $ 1،500 left [ dfrac {1- left [ frac {1} {(1 + i) ^ { frac {1} {12}}} right] ^ {24}} {(1 + i) ^ { frac {1} {12}} - 1} right] nonumber ]

انظر تعليمات الآلة الحاسبة للحل.

تعليمات الآلة الحاسبة

نأنا / صPVPMTFVالسنة التحضيريةج / ص
24الجواب: 13.52701954904.64-1500-30000121

يوضح الشكل مقدار رأس المال والفائدة التي تشكل المدفوعات. ستتمكن جيما من شراء السيارة إذا تمكنت من الحصول على قرض للسيارة بفائدة أقل من 13.527٪.


شاهد الفيديو: رياضة مالية 1 - الفائدة البسيطة و الفائدة المركبة (شهر اكتوبر 2021).