مقالات

12.5: العد


عد؟ أنت تعرف بالفعل كيفية العد أو أنك لن تأخذ فصلًا للرياضيات على مستوى الكلية ، أليس كذلك؟ حسنًا ، نعم ، ولكن ما سنحقق فيه حقًا هنا هو طرق العد بكفاءة. عندما نصل إلى المواقف الاحتمالية لاحقًا في هذا الفصل ، سنحتاج إلى حساب بعضها جدا بأعداد كبيرة ، مثل عدد تذاكر اليانصيب الفائزة المحتملة. تتمثل إحدى طرق القيام بذلك في تدوين كل مجموعة محتملة من الأرقام التي قد تظهر على بطاقة يانصيب ، لكن صدقوني: أنت لا تريد القيام بذلك.

العد الأساسي

ومع ذلك ، سنبدأ ببعض الأنواع المعقولة من مشاكل العد من أجل تطوير الأفكار التي سنحتاجها قريبًا.

المثال 21

لنفترض أن لديك في مطعم معين ثلاثة اختيارات للمقبلات (حساء أو سلطة أو أصابع خبز) وخمسة اختيارات لطبق رئيسي (هامبورجر ، ساندويتش ، كيشي ، فاهيتا أو بيتزا). إذا كان مسموحًا لك باختيار عنصر واحد بالضبط من كل فئة لوجبتك ، فكم عدد خيارات الوجبات المختلفة المتوفرة لديك؟

حل

الحل 1: تتمثل إحدى طرق حل هذه المشكلة في سرد ​​كل وجبة ممكنة بشكل منهجي:

( start {array} {lll} text {soup + hamburger} & text {soup + sandwich} & text {soup + quiche} text {soup + fajita} & text {soup + pizza} & text {salad + hamburger} text {salad + sandwich} & text {salad + quiche} & text {salad + fajita} text {salad + pizza} & text {breadsticks + hamburger} & text {breadsticks + sandwich} text {breadsticks + quiche} & text {breadsticks + fajita} & text {breadsticks + pizza} end {array} )

بافتراض أننا فعلنا هذا بشكل منهجي وأننا لم نفوت أي احتمالات ولم نذكر أي احتمال أكثر من مرة ، ستكون الإجابة 15. وهكذا يمكنك الذهاب إلى المطعم 15 ليلة على التوالي وتناول وجبة مختلفة كل ليلة.

الحل 2: هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة وهي سرد ​​جميع الاحتمالات في جدول:

( ابدأ {مجموعة} {| l | l | l | l | l | l |}
hline & textbf {hamburger} & textbf {sandwich} & textbf {quiche} & textbf {fajita} & textbf {pizza}
hline textbf {soup} & text {Soup + burger} & & & &
hline textbf {salad} & text {Salad + burger} & & & &
hline textbf {bread} & e t c. & & & &
hline
نهاية {مجموعة} )

في كل خلية من الخلايا في الجدول ، يمكننا سرد الوجبة المقابلة: حساء + همبرغر في الزاوية اليسرى العليا ، سلطة + هامبرغر أسفلها ، إلخ. ماذا او ما الوجبات الممكنة فقط كم عدد هناك وجبات محتملة ، يمكننا فقط حساب عدد الخلايا والوصول إلى إجابة 15 ، والتي تطابق إجابتنا من الحل الأول. (من الجيد دائمًا حل مشكلة بطريقتين مختلفتين والحصول على نفس الإجابة!)

الحل 3: لدينا بالفعل حلان جيدان تمامًا. لماذا نحتاج الثلث؟ لم تكن الطريقة الأولى منهجية للغاية ، وربما نكون قد أغفلناها بسهولة. كانت الطريقة الثانية أفضل ، ولكن لنفترض أنه بالإضافة إلى المقبلات والطبق الرئيسي ، فقد زاد من تعقيد المشكلة عن طريق إضافة الحلويات إلى القائمة: استخدمنا صفوف الجدول للمقبلات وأعمدة الأطباق الرئيسية— اين ستذهب الحلويات؟ سنحتاج بعدًا ثالثًا ، وبما أن رسم جداول ثلاثية الأبعاد على صفحة ثنائية الأبعاد أو شاشة كمبيوتر ليس بالأمر السهل للغاية ، فنحن بحاجة إلى طريقة أفضل في حالة وجود ثلاث فئات لاختيار النموذج بدلاً من فئتين فقط.

لذا ، عد إلى المشكلة في المثال. ماذا يمكن ان نفعل ايضا؟ لنرسم ملف مخطط الشجرة:

يسمى هذا الرسم التخطيطي "الشجري" لأننا نتفرع في كل مرحلة ، مثل الأغصان على الشجرة. في هذه الحالة ، قمنا أولاً برسم خمسة فروع (واحد لكل طبق رئيسي) ثم قمنا برسم ثلاثة فروع أخرى لكل فرع (واحد لكل طبق مقبلات). نحسب عدد الفروع في المستوى النهائي ونحصل على (مفاجأة ، مفاجأة!) 15.

إذا أردنا ، يمكننا بدلاً من ذلك رسم ثلاثة فروع في المرحلة الأولى للمقبلات الثلاثة ثم خمسة فروع (واحد لكل طبق رئيسي) تتفرع من كل من هذه الفروع الثلاثة.

حسنًا ، نعرف الآن كيفية حساب الاحتمالات باستخدام الجداول والمخططات الشجرية. ستستمر هذه الأساليب في كونها مفيدة في حالات معينة ، لكن تخيل لعبة حيث يكون لديك مجموعتان من البطاقات (مع 52 بطاقة في كل مجموعة) وتختار بطاقة واحدة من كل مجموعة. هل تريد حقًا رسم جدول أو مخطط شجرة لتحديد عدد نتائج هذه اللعبة؟

لنعد إلى المثال السابق الذي تضمن اختيار وجبة من ثلاثة مقبلات وخمسة أطباق رئيسية ، وننظر إلى الحل الثاني الذي استخدم الجدول. لاحظ أن إحدى طرق حساب عدد الوجبات الممكنة هي ببساطة ترقيم كل خلية من الخلايا المناسبة في الجدول ، كما فعلنا أعلاه. ولكن هناك طريقة أخرى لحساب عدد الخلايا في الجدول وهي ضرب عدد الصفوف (3) في عدد الأعمدة (5) للحصول على 15. لاحظ أنه كان بإمكاننا الوصول إلى نفس النتيجة دون عمل جدول على الإطلاق ببساطة عن طريق ضرب عدد اختيارات المقبلات في عدد اختيارات الطبق الرئيسي (5). نحن نعمم هذه التقنية باسم قاعدة العد الأساسية:

قاعدة العد الأساسية

إذا طُلب منا اختيار عنصر واحد من كل فئة من فئتين منفصلتين حيث يوجد (م ) عناصر في الفئة الأولى و (n ) عناصر في الفئة الثانية ، فإن العدد الإجمالي للخيارات المتاحة هو (م ) cdot n )

يسمى هذا أحيانًا بقاعدة الضرب للاحتمالات.

المثال 22

هناك 21 رواية و 18 مجلدا شعريا في قائمة القراءة لدورة اللغة الإنجليزية في الكلية. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن للطالب أن يختار فيها رواية واحدة ومجلد شعر واحد لقراءته خلال الربع؟

حل

يوجد 21 اختيارًا من الفئة الأولى و 18 اختيارًا من الفئة الثانية ، لذلك هناك احتمالات (21 cdot 18 = 378 ).

يمكن تمديد قاعدة العد الأساسية عندما يكون هناك أكثر من فئتين من خلال تطبيقها بشكل متكرر ، كما نرى في المثال التالي.

المثال 23

لنفترض أن لديك في مطعم معين ثلاثة اختيارات للمقبلات (حساء ، سلطة أو أصابع خبز) ، وخمسة اختيارات لطبق رئيسي (همبرغر ، ساندويتش ، كيشي ، فاهيتا أو باستا) وخياران للحلوى (فطيرة أو آيس كريم) إذا كان مسموحًا لك باختيار عنصر واحد بالضبط من كل فئة لوجبتك ، فكم عدد خيارات الوجبات المختلفة المتوفرة لديك؟

حل

هناك 3 اختيارات للمقبلات ، 5 منها للطبق الرئيسي و 2 للحلوى ، لذلك هناك إمكانيات (3 cdot 5 cdot 2 = 30 ).

المثال 24

يتكون الاختبار من 3 أسئلة بصواب أو خطأ. كم عدد الطرق التي يمكن للطالب الإجابة على الاختبار؟

حل

هناك 3 أسئلة. يحتوي كل سؤال على إجابتين محتملتين (صواب أو خطأ) ، لذلك يمكن الإجابة على الاختبار بطريقة مختلفة (2 cdot 2 cdot 2 = 8 ). تذكر أن هناك طريقة أخرى للكتابة (2 cdot 2 cdot 2 ) وهي (2 ^ {3} ) وهي أكثر ضغطًا.

جربه الآن 6

افترض في مطعم معين أن لديك ثمانية اختيارات للمقبلات ، وأحد عشر خيارًا للطبق الرئيسي وخمسة اختيارات للحلوى. إذا كان مسموحًا لك باختيار عنصر واحد بالضبط من كل فئة لوجبتك ، فكم عدد خيارات الوجبات المختلفة المتوفرة لديك؟

إجابه

(8 cdot 11 cdot 5 = 440 ) مجموعات القوائم

التباديل

في هذا القسم ، سنطور طريقة أسرع لحل بعض المشكلات التي تعلمنا بالفعل حلها بوسائل أخرى. لنبدأ ببعض الأمثلة.

المثال 25

كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها إعادة ترتيب أحرف كلمة MATH لتشكيل كلمة رمزية مكونة من أربعة أحرف؟

حل

هذه المشكلة مختلفة بعض الشيء. بدلاً من اختيار عنصر واحد من كل فئة من عدة فئات مختلفة ، فإننا نختار العناصر بشكل متكرر من نفس الفئة (الفئة هي: أحرف كلمة MATH) وفي كل مرة نختار عنصرًا لا تستبدل لذلك ، هناك خيار واحد أقل في المرحلة التالية: لدينا 4 اختيارات للحرف الأول (لنفترض أننا اخترنا A) ، ثم 3 اختيارات للحرف الثاني (M و T و H ؛ لنقل أننا اخترنا H) ، ثم خياران للحرف التالي (M و T ؛ لنفترض أننا اخترنا M) وخيار واحد فقط في المرحلة الأخيرة (T). وبالتالي ، هناك طرق (4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 24 ) لتهجئة رمز يستحق باستخدام الأحرف MATH.

في هذا المثال ، احتجنا إلى حساب (n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 ). تظهر هذه العملية الحسابية غالبًا في الرياضيات ، وتسمى عاملي، ويتم تدوينه (n )!

عاملي

(n! = n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots 3 cdot 2 cdot 1 )

المثال 26

كم عدد الطرق التي يمكن بها توزيع خمس جوائز مختلفة للأبواب على خمسة أشخاص؟

حل

هناك 5 اختيارات للجائزة للشخص الأول ، و 4 اختيارات للثاني ، وهكذا. سيكون عدد الطرق التي يمكن بها توزيع الجوائز هو (5! = 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 120 ).

الآن سننظر في بعض الأمثلة المختلفة قليلاً.

المثال 27

يحضر المنحة الخيرية 25 شخصًا ويتم منح ثلاث شهادات هدايا كجوائز باب: شهادة هدية واحدة بقيمة 100 دولار ، والثانية بقيمة 25 دولارًا والثالثة بقيمة 10 دولارات. بافتراض عدم حصول أي شخص على أكثر من جائزة واحدة ، ما عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها منح شهادات الهدايا الثلاث؟

حل

باستخدام قاعدة العد الأساسية ، يوجد 25 اختيارًا للشخص الذي يتلقى الشهادة ( $ 100 ) ، و 24 خيارًا متبقيًا للشهادة ( $ 25 ) و 23 خيارًا لـ ( $ 10 ) الشهادة ، لذلك توجد (25 cdot 24 cdot 23 = 13،800 ) طرق يمكن من خلالها منح الجوائز.

المثال 28

وصل ثمانية من العدائين إلى النهائيات الأولمبية في سباق 100 متر. ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها منح الميداليات الذهبية والفضية والبرونزية؟

حل

باستخدام قاعدة العد الأساسية ، هناك 8 اختيارات للفائز بالميدالية الذهبية ، و 7 اختيارات متبقية للفضية ، و 6 اختيارات للبرونزية ، لذلك هناك (8 cdot 7 cdot 6 = 336 ) طرق يمكن للميداليات الثلاث القيام بها أن يتم منحها للثمانية متسابقين.

لاحظ أنه في هذه الأمثلة السابقة ، تم منح شهادات الهدايا والميداليات الأولمبية من دون بديل؛ أي بمجرد اختيار الفائز بجائزة الباب الأول أو الميدالية الذهبية ، لن يكون مؤهلاً للحصول على الجوائز الأخرى. وهكذا ، في كل مرحلة تالية من الحل ، يوجد خيار واحد أقل (25 ، ثم 24 ، ثم 23 في المثال الأول ؛ 8 ، ثم 7 ، ثم 6 في الثاني). قارن هذا بحالة اختبار الاختيار من متعدد ، حيث قد تكون هناك خمس إجابات محتملة - أ ، ب ، ج ، د أو هـ - لكل سؤال في الاختبار.

لاحظ أيضًا أن كان ترتيب الاختيار مهمًا في كل مثال: بالنسبة لجوائز الأبواب الثلاثة ، يعني اختيارك أولاً أنك تتلقى أموالاً أكثر ؛ في مثال الألعاب الأولمبية ، فإن الدخول أولاً يعني حصولك على الميدالية الذهبية بدلاً من الميدالية الفضية أو البرونزية. في كل حالة ، إذا اخترنا نفس الأشخاص الثلاثة بترتيب مختلف ، فربما يكون هناك شخص آخر حصل على جائزة 100 دولار ، أو حائز على ميدالية ذهبية مختلفة. (قارن هذا بالموقف حيث يمكننا سحب ثلاثة أسماء من قبعة ليحصل كل منها على شهادة هدية بقيمة 10 دولارات ؛ في هذه الحالة يكون ترتيب الاختيار هو ليس مهم لأن كل فرد من الأشخاص الثلاثة يحصل على نفس الجائزة. الحالات التي يكون فيها الأمر ليس المهم ستتم مناقشته في القسم التالي.)

يمكننا تعميم الموقف في المثالين أعلاه على أي مشكلة من دون بديل أين ال ترتيب الاختيار مهم. إذا كنا نرتب ترتيبًا (r ) العناصر خارج (n ) الاحتمالات (بدلاً من 3 من 25 أو 3 من 8 كما في الأمثلة السابقة) ، فسيتم إعطاء عدد الترتيبات الممكنة بواسطة

(n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots (n-r + 1) )

إذا كنت لا ترى لماذا ((n-r + 1) ) هو الرقم الصحيح الذي يجب استخدامه للعامل الأخير ، فما عليك سوى التفكير في المثال الأول في هذا القسم ، حيث حسبنا (25 cdot 24 cdot 23 ) للحصول على (13800. ) في هذه الحالة (n = 25 ) و (r = 3، ) لذا (n-r + 1 = 25-3 + 1 = 23، ) وهو بالضبط الرقم الصحيح للعامل النهائي.

الآن ، لماذا نرغب في استخدام هذه الصيغة المعقدة في حين أنه من الأسهل استخدام قاعدة العد الأساسية ، كما فعلنا في المثالين الأولين؟ حسنًا ، لن نستخدم هذه الصيغة كثيرًا كثيرًا ، بل قمنا بتطويرها فقط حتى نتمكن من إرفاق رمز خاص وتعريف خاص لهذا الموقف حيث نختار (r ) عناصر من (n ) الاحتمالات من دون بديل وأين ترتيب الاختيار مهم. في هذه الحالة نكتب:

التباديل

(_ {n} P_ {r} = n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots (n-r + 1) )

نقول أن هناك (_ {n} P_ {r} ) التباديل من الحجم (r ) الذي يمكن تحديده من بين (n ) الخيارات من دون بديل متي أمر مهم.

اتضح أنه يمكننا التعبير عن هذه النتيجة بشكل أكثر بساطة باستخدام المضروب.

(_ {n} P_ {r} = frac {n!} {(n-r)!} )

من الناحية العملية ، نستخدم عادةً التكنولوجيا بدلاً من العوامل أو الضرب المتكرر لحساب التباديل.

المثال 29

لدي تسع لوحات ولدي مساحة لعرض أربعة منها فقط في المرة الواحدة على الحائط. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنني القيام بها؟

حل

نظرًا لأننا نختار 4 لوحات من أصل 9 من دون بديل أين ال ترتيب الاختيار مهم هناك (_ 9 P_ {4} = 9 cdot 8 cdot 7 cdot 6 = 3،024 ) تباديل.

المثال 30

كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار اللجنة التنفيذية المكونة من أربعة أشخاص (الرئيس ، نائب الرئيس ، السكرتير ، أمين الصندوق) من بين 16 عضوًا في مجلس إدارة منظمة غير ربحية؟

حل

نريد اختيار 4 أشخاص من أصل 16 بدون استبدال وحيث يكون ترتيب الاختيار مهمًا. إذن الإجابة هي (_ {16} P_ {4} = 16 cdot 15 cdot 14 cdot 13 = 43،680 ).

جربه الآن 7

كم عدد كلمات المرور المكونة من 5 أحرف التي يمكن إنشاؤها باستخدام الأحرف من A إلى Z

  1. إذا سمح بالتكرار
  2. إذا لم يسمح بالتكرار
إجابه

هناك 26 حرفًا.

  1. (26^{5}=11,881,376).
  2. ({26} mathrm {P} _ {5} = 26 cdot 25 cdot 24 cdot 23 cdot 22 = 7،893،600 )

مجموعات

في القسم السابق نظرنا في الموقف حيث اخترنا (r ) عناصر من (n ) الاحتمالات من دون بديل وأين كان ترتيب الاختيار مهمًا. نحن الآن نعتبر موقفًا مشابهًا يكون فيه ترتيب الاختيار ليس مهم.

المثال 31

يحضر المنحة الخيرية 25 شخصًا حيث يتم منح ثلاث شهادات هدايا بقيمة 50 دولارًا كجوائز للباب. بافتراض عدم حصول أي شخص على أكثر من جائزة واحدة ، ما هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها منح شهادات الهدايا؟

حل

باستخدام قاعدة العد الأساسية ، يوجد 25 اختيارًا للشخص الأول ، و 24 خيارًا متبقيًا للشخص الثاني و 23 خيارًا للشخص الثالث ، لذلك توجد (25 cdot 24 cdot 23 = 13800 ) طريقة لاختيار ثلاثة أشخاص. افترض للحظة أن آبي اختير أولاً ، وبي الثانية وسيندي في المرتبة الثالثة ؛ هذه واحدة من 13800 نتيجة محتملة. هناك طريقة أخرى لمنح الجوائز وهي اختيار Abe أولاً ، و Cindy في المرتبة الثانية ، و Bea ثالثًا ؛ هذه نتيجة أخرى من أصل 13800 نتيجة محتملة. ولكن في كلتا الحالتين ، يحصل كل من Abe و Bea و Cindy على 50 دولارًا ، لذلك لا يهم حقًا الترتيب الذي نختارهم به. في كم عدد الطلبات المختلفة التي يمكن اختيارها لأبي وبي وسيندي؟ اتضح أن هناك 6:

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

كيف يمكننا التأكد من أننا أحصيناهم جميعًا؟ نحن بالفعل نختار 3 أشخاص من أصل 3 ، لذلك توجد (3 cdot 2 cdot 1 = 6 ) طرق للقيام بذلك ؛ لم نكن بحاجة حقًا إلى سردها جميعًا ، يمكننا فقط استخدام التباديل!

لذلك ، من أصل 13800 طريقة لاختيار 3 أشخاص من 25 ، ستة منهم تشمل آبي وبي وسيندي. تعمل نفس الحجة مع أي مجموعة أخرى من ثلاثة أشخاص (على سبيل المثال ، Abe و Bea و David أو Frank و Gloria و Hildy) لذلك يتم احتساب كل مجموعة من ثلاثة أشخاص ست مرات. وبالتالي فإن الرقم 13800 أكبر من اللازم بست مرات. سيكون عدد المجموعات المميزة المكونة من ثلاثة أشخاص ( frac {13،800} {6} = 2300 ).

يمكننا تعميم الموقف في هذا المثال أعلاه على أي مشكلة تتعلق باختيار مجموعة من العناصر من دون بديل أين ال ترتيب الاختيار ليس مهم. إذا كنا نختار (r ) عناصر من (n ) الاحتمالات (بدلاً من 3 من 25 كما في الأمثلة السابقة) ، فسيتم تحديد عدد الخيارات الممكنة ، ويمكننا استخدام هذه الصيغة للحساب . ومع ذلك ، ينشأ هذا الموقف بشكل متكرر لدرجة أننا نرفق تدوينًا خاصًا وتعريفًا خاصًا لهذا الموقف حيث نختار (r ) عناصر من (n ) الاحتمالات من دون بديل أين ال ترتيب الاختيار ليس مهم.

مجموعات

من السهل تذكر قانون الغاز المثالي وتطبيقه في حل المشكلات ، طالما أنك تحصل على القيم الصحيحة أ

(_ {n} C_ {r} = frac {_n P_ {r}} {r P_ {r}} )

نقول أن هناك (_ {n} C_ {r} ) مجموعات من الحجم (r ) الذي يمكن تحديده من بين (n ) الخيارات من دون بديل أين الطلب لا يهم.

يمكننا أيضًا كتابة صيغة المجموعات بدلالة العوامل:

(_ {n} C_ {r} = frac {n!} {(n-r)! r!} )

المثال 32

سيتم اختيار مجموعة من أربعة طلاب من فئة مكونة من 35 عضوًا لتمثيل الفصل في مجلس الطلاب. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟

حل

نظرًا لأننا نختار 4 أشخاص من أصل 35 من دون بديل أين ال ترتيب الاختيار ليس مهم هناك مجموعات = (_ {35} C_ {4} = frac {35 cdot 34 cdot 33 cdot 32} {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} = 52.360 ).

جربه الآن 8

تتكون لجنة الاعتمادات في مجلس الشيوخ الأمريكي من 29 عضوًا ؛ تتكون لجنة الدفاع الفرعية التابعة للجنة الاعتمادات من 19 عضوا. بغض النظر عن الانتماء الحزبي أو أي مقاعد خاصة في اللجنة الفرعية ، كم عدد اللجان الفرعية المختلفة المكونة من 19 عضوًا التي يمكن اختيارها من بين أعضاء مجلس الشيوخ الـ 29 في لجنة التخصيصات؟

إجابه

النظام لا يهم. (_ {29} mathrm {C} _ {19} = 20،030،010 ) لجان فرعية محتملة

في المشكلة السابقة جربها الآن افترضنا أنه تم اختيار أعضاء لجنة الدفاع الفرعية التسعة عشر بغض النظر عن الانتماء الحزبي. في الواقع ، لن يحدث هذا أبدًا: إذا كان الجمهوريون يمثلون الأغلبية ، فلن يسمحوا أبدًا لأغلبية الديمقراطيين بالجلوس (وبالتالي السيطرة) على أي لجنة فرعية. (سيكون الأمر نفسه بالطبع صحيحًا إذا كان الديمقراطيون هم المسيطرون.) لذلك دعونا نفكر في المشكلة مرة أخرى ، بشكل أكثر تعقيدًا:

المثال 33

تتكون لجنة المخصصات بمجلس الشيوخ الأمريكي من 29 عضوا و 15 جمهوريا و 14 ديمقراطيا. تتكون لجنة الدفاع الفرعية من 19 عضوا ، 10 جمهوريين و 9 ديمقراطيين. ما عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها اختيار أعضاء لجنة الدفاع الفرعية من بين أعضاء مجلس الشيوخ الـ 29 في لجنة المخصصات؟

حل

في هذه الحالة ، نحتاج إلى اختيار 10 من 15 جمهوريًا و 9 من 14 ديمقراطيًا. هناك طرق (_ {15} C_ {10} = 3003 ) لاختيار 10 الجمهوريين و (_ {14} C_ {9} = 2002 ) طرق لاختيار 9 ديمقراطيين. لكن ماذا الآن؟ كيف ننتهي من المشكلة؟

لنفترض أننا قمنا بإدراج جميع المجموعات الجمهورية المحتملة المكونة من 10 أعضاء في 3003 قصاصة من الورق الأحمر وجميع المجموعات الديمقراطية المحتملة المكونة من 9 أعضاء في قصاصات الورق الأزرق لعام 2002. كم عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار قسيمة حمراء واحدة وقسيمة زرقاء واحدة؟ هذه وظيفة لقاعدة العد الأساسية! نحن ببساطة نختار خيارًا واحدًا من الفئة الأولى وخيارًا واحدًا من الفئة الثانية ، تمامًا كما هو الحال في مشاكل قائمة المطعم من السابق.

يجب أن تكون هناك (3003 cdot 2002 = 6،012،006 ) طرق ممكنة لاختيار أعضاء لجنة الدفاع الفرعية.

الاحتمال باستخدام التباديل والتوليفات

يمكننا استخدام التباديل والتوليفات لمساعدتنا في الإجابة على أسئلة الاحتمال الأكثر تعقيدًا

المثال 34

تم تحديد رقم PIN المكون من 4 أرقام. ما هو احتمال عدم وجود أرقام مكررة؟

حل

يوجد (10 ​​ نص {القيم الممكنة لكل رقم من رقم التعريف الشخصي (أي:} 0،1،2،3،4،5،6،7،8،9) ، ) لذا يوجد (10 ​​ cdot 10 cdot 10 cdot 10 = 10 ^ {4} = 10000 ) إجمالي أرقام PIN الممكنة.

لعدم وجود أرقام متكررة ، يجب أن تكون جميع الأرقام مختلفة ، والتي يتم الاختيار بدون استبدال. يمكننا إما حساب 10 cdot 9 cdot 8 cdot 7 ، أو نلاحظ أن هذا هو نفس التقليب (_ {10} P_ {4} = 5040 ).

احتمال عدم تكرار الأرقام هو عدد أرقام PIN المكونة من 4 أرقام بدون أرقام متكررة مقسومًا على العدد الإجمالي لأرقام PIN المكونة من 4 أرقام. هذا الاحتمال هو ( frac {_ {10} P_ {4}} {10 ^ {4}} = frac {5040} {10000} = 0.504 )

المثال 35

في يانصيب ولاية معينة ، يتم وضع 48 كرة مرقمة من 1 إلى 48 في آلة ويتم سحب ست منها عشوائيًا. إذا كانت الأرقام الستة المسحوبة تتطابق مع الأرقام التي اختارها اللاعب ، فإن اللاعب يربح 1000000 دولار. في هذا اليانصيب ، لا يهم ترتيب الأرقام. احسب احتمال فوزك بجائزة المليون دولار إذا اشتريت تذكرة يانصيب واحدة.

حل

من أجل حساب الاحتمال ، نحتاج إلى حساب العدد الإجمالي للطرق التي يمكن بها رسم ستة أرقام ، وعدد الطرق التي يمكن أن تتطابق فيها الأرقام الستة الموجودة على بطاقة اللاعب مع الأرقام الستة المسحوبة من الجهاز. نظرًا لعدم وجود شرط أن تكون الأرقام بأي ترتيب معين ، فإن عدد النتائج المحتملة لسحب اليانصيب هو (_ {48} C_ {6} = 12،271،512 ). من بين هذه النتائج المحتملة ، قد يتطابق واحد فقط مع جميع الأرقام الستة الموجودة على بطاقة اللاعب ، وبالتالي فإن احتمال الفوز بالجائزة الكبرى هو:

( frac {_6 C_ {6}} {_ {48} C_ {6}} = frac {1} {12271512} حوالي 0.0000000815 )

المثال 36

في يانصيب الولاية من المثال السابق ، إذا تطابق خمسة من الأرقام الستة المرسومة مع الأرقام التي اختارها اللاعب ، يفوز اللاعب بالجائزة الثانية البالغة 1000 دولار. احسب احتمال فوزك بالجائزة الثانية إذا قمت بشراء تذكرة يانصيب واحدة.

حل

كما هو مذكور أعلاه ، فإن عدد النتائج المحتملة لسحب اليانصيب هو (_ {48} C_ {6} = 12،271،512 ). للفوز بالجائزة الثانية ، يجب أن تتطابق خمسة من الأرقام الستة الموجودة على التذكرة مع خمسة من الأرقام الستة الفائزة ؛ بمعنى آخر ، يجب أن نكون قد اخترنا خمسة من الأرقام الستة الفائزة وواحدًا من 42 رقمًا خاسرًا. يتم تحديد عدد الطرق لاختيار 5 من أصل 6 أرقام فائزة بواسطة (_ {6} C_ {5} = 6 ) وعدد الطرق لاختيار 1 من أصل 42 رقمًا خاسرًا تم تحديده بواسطة (_ {42} C_ {1} = 42 ). وبالتالي يتم تحديد عدد النتائج المفضلة من خلال قاعدة العد الأساسية: (_ {6} C_ {5} cdot_ {42} C_ {1} = 6 cdot 42 = 252 ). لذا فإن احتمال الفوز بالجائزة الثانية هو.

( frac { left (_ {6} C_ {5} right) left (_ {42} C_ {1} right)} {_ {48} C_ {6}} = frac {252} {12271512} تقريبًا 0.0000205 )

جربه الآن 9

يحتوي سؤال الاختيار من متعدد في اختبار اقتصادي على 10 أسئلة مع خمس إجابات محتملة لكل منها. احسب احتمال التخمين العشوائي للإجابات والحصول على 9 أسئلة بشكل صحيح.

إجابه

هناك (5 ^ {10} = 9،765،625 ) طرق مختلفة للإجابة على الاختبار. هناك 10 مواقع محتملة للسؤال الفائت ، وفي كل موقع من هذه المواقع توجد 4 إجابات خاطئة ، لذلك هناك 40 طريقة يمكن من خلالها الإجابة على الاختبار بإجابة واحدة خاطئة.

( mathrm {P} (9 text {الإجابات الصحيحة}) = frac {40} {5 ^ {10}} حوالي 0.0000041 ) فرصة

المثال 37

احسب احتمال سحب خمس أوراق عشوائيًا من مجموعة أوراق اللعب والحصول على آص واحد بالضبط.

حل

في العديد من ألعاب الورق (مثل البوكر) ، لا يكون ترتيب سحب البطاقات مهمًا (حيث يمكن للاعب إعادة ترتيب الأوراق في يده بأي طريقة يختارها) ؛ في المشاكل التالية ، سنفترض أن هذا هو الحال ما لم ينص على خلاف ذلك. وبالتالي ، فإننا نستخدم مجموعات لحساب العدد المحتمل لعقرب 5 بطاقات ، (_ {52} C_ {5} ). سيُدخل هذا الرقم في مقام معادلة الاحتمال ، لأنه عدد النتائج المحتملة.

بالنسبة للبسط ، نحتاج إلى عدد الطرق لرسم آص واحد وأربع أوراق أخرى (لا يوجد أي منها آس) من المجموعة. نظرًا لوجود أربعة آص ونريد واحدًا منهم بالضبط ، ستكون هناك (_ 4 C_ {1} ) طرق لاختيار آص واحد ؛ نظرًا لوجود 48 من غير الآسات ونريد 4 منها ، ستكون هناك (_ {48} C_ {4} ) ) طرق لتحديد الأربعة غير الآسات. نستخدم الآن قاعدة العد الأساسية لحساب أنه ستكون هناك طرق (_ {4} C_ {1} cdot _ {48} C_ {4} ) لاختيار آس واحد وأربعة غير آص.

وضع كل هذا معًا ، لدينا

(P ( text {one Ace}) = frac { left (_ {4} C_ {1} right) left (_ {48} C_ {4} right)} {_ {52} C_ {5}} = frac {778320} {2598960} حوالي 0.299 )

المثال 38

احسب احتمال سحب خمس أوراق عشوائيًا من مجموعة أوراق اللعب والحصول على آصتين بالضبط.

حل

الحل مشابه للمثال السابق ، إلا أننا الآن نختار 2 آس من أصل 4 و 3 آص من أصل 48 ؛ يبقى المقام كما هو:

(P ( text {two Aces}) = frac { left (_ {4} C_ {2} right) left (_ {48} C_ {3} right)} {_ {52} C_ {5}} = frac {103776} {2598960} حوالي 0.0399 )

من المفيد ملاحظة أن مشاكل البطاقات هذه تشبه بشكل ملحوظ مشاكل اليانصيب التي تمت مناقشتها سابقًا.

جربه الآن 10

احسب احتمال سحب خمسة أوراق عشوائيًا من مجموعة أوراق اللعب والحصول على ثلاثة آص واثنين من الملوك.

إجابه

ف ( نص {ثلاثة آص وملوكان}) = frac { left (_ {4} C_ {3} right) left (_ {4} C_ {2} right)} {_ {52} C_ {5}} = frac {24} {2598960} حوالي 0.0000092

مشكلة عيد الميلاد

لنأخذ وقفة للنظر في مشكلة مشهورة في نظرية الاحتمالات:

افترض أن لديك غرفة مليئة بـ 30 شخصًا. ما هو احتمال وجود عيد ميلاد مشترك واحد على الأقل؟

خذ تخمينًا في الإجابة على المشكلة أعلاه. هل كان تخمينك منخفضًا إلى حد ما ، مثل حوالي 10٪؟ يبدو أن هذه هي الإجابة البديهية (ربما ( frac {30} {365} )؟). دعونا نرى ما إذا كان ينبغي أن نستمع إلى حدسنا. ومع ذلك ، فلنبدأ بمشكلة أبسط.

المثال 39

افترض أن هناك ثلاثة أشخاص في غرفة. ما هو احتمال وجود عيد ميلاد واحد على الأقل بين هؤلاء الأشخاص الثلاثة؟

حل

هناك العديد من الطرق التي يمكن أن يكون هناك عيد ميلاد مشترك واحد على الأقل. لحسن الحظ هناك طريقة أسهل. نسأل أنفسنا "ما هو البديل عن عيد ميلاد مشترك واحد على الأقل؟" في هذه الحالة ، البديل هو أن هناك رقم أعياد الميلاد المشتركة. بعبارة أخرى ، البديل عن "واحد على الأقل" هو الامتلاك لا أحد. بمعنى آخر ، بما أن هذا حدث مكمل ،

(P ( text {على الأقل واحد}) = 1-P ( text {none}) )

سنبدأ بعد ذلك بحساب احتمال عدم وجود عيد ميلاد مشترك. دعنا نتخيل أنك أحد هؤلاء الأشخاص الثلاثة. يمكن أن يكون عيد ميلادك أي شيء بدون تعارض ، لذلك هناك 365 اختيارًا من أصل 365 لعيد ميلادك. ما هو احتمال عدم مشاركة الشخص الثاني في تاريخ ميلادك؟ هناك 365 يومًا في السنة (دعنا نتجاهل السنوات الكبيسة) وإزالة تاريخ ميلادك من التنافس ، هناك 364 خيارًا ستضمن عدم مشاركة عيد ميلاد مع هذا الشخص ، وبالتالي فإن احتمال ألا يشارك الشخص الثاني تاريخ ميلادك هو ( frac {364} {365} ). الآن ننتقل إلى الشخص الثالث. ما هو احتمال ألا يكون لهذا الشخص الثالث نفس تاريخ ميلادك أنت أو الشخص الثاني؟ هناك 363 يومًا لن تكرر تاريخ ميلادك أو عيد ميلاد الشخص الثاني ، لذا فإن احتمال عدم مشاركة الشخص الثالث في عيد ميلاد مع الأولين هو ( frac {363} {365} ).

نريد أن لا يشارك الشخص الثاني عيد ميلاد معك و الشخص الثالث لا يشارك عيد ميلاد مع أول شخصين ، لذلك نستخدم قاعدة الضرب:

(P ( text {no shared birthday}) = frac {365} {365} cdot frac {364} {365} cdot frac {363} {365} almost 0.9918 )

ثم اطرح من 1 لتحصل على

(P ( text {تاريخ الميلاد المشترك}) = 1-P ( text {لا يوجد عيد ميلاد مشترك}) = 1-0.9918 = 0.0082 ).

هذا رقم صغير جدًا ، لذا ربما يكون من المنطقي أن تكون الإجابة على مشكلتنا الأصلية صغيرة. لنجعل مجموعتنا أكبر قليلاً.

المثال 40

افترض أن خمسة أشخاص في غرفة. ما هو احتمال وجود عيد ميلاد واحد على الأقل بين هؤلاء الأشخاص الخمسة؟

حل

استمرارًا لنمط المثال السابق ، يجب أن تكون الإجابة

(P ( text {shared birthday}) = 1- frac {365} {365} cdot frac {364} {365} cdot frac {363} {365} cdot frac {362} { 365} cdot frac {361} {365} حوالي 0.0271 )

لاحظ أنه يمكننا إعادة كتابة هذا بشكل أكثر إحكاما

(P ( text {shared birthday}) = 1- frac {_ {365} P_5} {365 ^ {5}} almost 0.0271 )

مما يجعل الكتابة في آلة حاسبة أو جهاز كمبيوتر أسهل قليلاً ، وتقترح صيغة لطيفة بينما نواصل زيادة عدد السكان في مجموعتنا.

المثال 41

افترض أن هناك 30 شخصًا في غرفة. ما هو احتمال وجود عيد ميلاد واحد على الأقل بين هؤلاء الثلاثين شخصًا؟

حل

هنا يمكننا الحساب

(P ( text {shared birthday}) = 1- frac {_ {365} P_ {30}} {365 ^ {30}} حوالي 0.706 )

مما يعطينا النتيجة المدهشة أنه عندما تكون في غرفة بها 30 شخصًا ، فهناك احتمال بنسبة 70٪ أن يكون هناك عيد ميلاد مشترك واحد على الأقل!

إذا كنت ترغب في الرهان ، وإذا كان بإمكانك إقناع 30 شخصًا بالكشف عن أعياد ميلادهم ، فقد تتمكن من كسب بعض المال عن طريق المراهنة على صديق بأنه سيكون هناك شخصان على الأقل لهما نفس عيد الميلاد في الغرفة في أي وقت تكون فيه غرفة تتسع لـ 30 شخصًا أو أكثر. (بالطبع ، سوف تحتاج إلى التأكد من أن صديقك لم يدرس الاحتمالات!) لن تكون مضمونًا للفوز ، ولكن يجب أن تربح أكثر من نصف الوقت.

هذه إحدى النتائج العديدة في نظرية الاحتمالية التي تتعارض مع الحدس. أي أنه يتعارض مع غرائزنا. إذا كنت لا تزال لا تصدق الرياضيات ، يمكنك إجراء محاكاة. فقط حتى لا تضطر إلى الالتفاف حول مجموعات من 30 شخصًا ، قام شخص ما بتطوير تطبيق Java صغير حتى تتمكن من إجراء محاكاة للكمبيوتر. انتقل إلى صفحة الويب هذه: http://statweb.stanford.edu/~susan/surprise/Birthday.html ، وبمجرد تحميل التطبيق الصغير ، حدد 30 عيد ميلاد ثم استمر في النقر فوق Start and Reset. إذا كنت تتعقب عدد المرات التي يوجد فيها عيد ميلاد متكرر ، فيجب أن تحصل على عيد ميلاد متكرر حوالي 7 من كل 10 مرات تشغل فيها المحاكاة.

جربه الآن 11

افترض أن هناك 10 أشخاص في غرفة. ما هو احتمال وجود عيد ميلاد واحد على الأقل بين هؤلاء الأشخاص العشرة؟

إجابه

(P ( text {shared birthday}) = 1- frac {_ {365} P_ {10}} {365 ^ {10}} almost 0.117 )


يمكن أن يساعد تعداد الحمضات في تشخيص بعض الحالات. قد يكون لديك عدد كبير من العناصر التالية:

  • متلازمة فرط اليوزينيات الحادة ، وهي حالة نادرة تشبه اللوكيميا ويمكن أن تهدد الحياة
  • اضطراب حساسية مثل الربو أو حمى القش
  • ظروف المناعة الذاتية
  • عدوى تسببها طفيليات أو فطريات
  • رد فعل لبعض الأدوية
  • أزمة
  • المراحل المبكرة من داء كوشينغ ، وهي حالة نادرة يمكن أن تحدث إذا كان لديك الكثير من هرمون يسمى الكورتيزول في دمك
  • الأكزيما (حكة والتهاب الجلد)
  • اللوكيميا واضطرابات الدم الأخرى

12.5: العد

يصف هذا القسم حدود عدد الأعمدة في الجداول وحجم الصفوف الفردية.

حدود عدد الأعمدة

يوجد حد صارم لـ MySQL يبلغ 4096 عمودًا لكل جدول ، ولكن الحد الأقصى الفعال قد يكون أقل بالنسبة لجدول معين. يعتمد حد العمود الدقيق على عدة عوامل:

الحد الأقصى لحجم الصف لجدول يقيد عدد (وربما حجم) الأعمدة لأن الطول الإجمالي لجميع الأعمدة لا يمكن أن يتجاوز هذا الحجم. انظر حدود حجم الصف.

تحدد متطلبات التخزين الخاصة بالأعمدة الفردية عدد الأعمدة التي تناسب حجم الصف الأقصى المحدد. تعتمد متطلبات التخزين لبعض أنواع البيانات على عوامل مثل محرك التخزين وتنسيق التخزين ومجموعة الأحرف. راجع متطلبات تخزين نوع البيانات.

قد تفرض محركات التخزين قيودًا إضافية تحد من عدد أعمدة الجدول. على سبيل المثال ، حد InnoDB هو 1017 عمودًا لكل جدول. انظر حدود InnoDB. للحصول على معلومات حول محركات التخزين الأخرى ، راجع محركات التخزين البديلة.

يحتوي كل جدول على ملف .frm يحتوي على تعريف الجدول. يؤثر التعريف على محتوى هذا الملف بطرق قد تؤثر على عدد الأعمدة المسموح بها في الجدول. راجع القسم 12.6 ، "الحدود المفروضة بواسطة بنية ملف .frm".

حدود حجم الصف

يتم تحديد الحد الأقصى لحجم الصف لجدول معين بعدة عوامل:

يحتوي التمثيل الداخلي لجدول MySQL على حد أقصى لحجم الصف يبلغ 65.535 بايت ، حتى لو كان محرك التخزين قادرًا على دعم صفوف أكبر. تساهم أعمدة BLOB و TEXT فقط من 9 إلى 12 بايت في تحديد حجم الصف لأنه يتم تخزين محتوياتها بشكل منفصل عن باقي الصف.

الحد الأقصى لحجم الصف لجدول InnoDB ، والذي ينطبق على البيانات المخزنة محليًا داخل صفحة قاعدة بيانات ، هو أقل بقليل من نصف صفحة لإعدادات 4 كيلوبايت و 8 كيلوبايت و 16 كيلوبايت و 32 كيلوبايت innodb_page_size. على سبيل المثال ، الحد الأقصى لحجم الصف أقل بقليل من 8 كيلو بايت لحجم الصفحة الافتراضي 16 كيلو بايت InnoDB. بالنسبة لصفحات 64 كيلو بايت ، يكون الحد الأقصى لحجم الصف أقل قليلاً من 16 كيلو بايت. انظر حدود InnoDB.

If a row containing variable-length columns exceeds the InnoDB maximum row size, InnoDB selects variable-length columns for external off-page storage until the row fits within the InnoDB row size limit. The amount of data stored locally for variable-length columns that are stored off-page differs by row format. For more information, see InnoDB Row Formats.

Different storage formats use different amounts of page header and trailer data, which affects the amount of storage available for rows.

For information about InnoDB row formats, see InnoDB Row Formats.

For information about MyISAM storage formats, see MyISAM Table Storage Formats.

Row Size Limit Examples

The MySQL maximum row size limit of 65,535 bytes is demonstrated in the following InnoDB and MyISAM examples. The limit is enforced regardless of storage engine, even though the storage engine may be capable of supporting larger rows.

In the following MyISAM example, changing a column to TEXT avoids the 65,535-byte row size limit and permits the operation to succeed because BLOB and TEXT columns only contribute 9 to 12 bytes toward the row size.

The operation succeeds for an InnoDB table because changing a column to TEXT avoids the MySQL 65,535-byte row size limit, and InnoDB off-page storage of variable-length columns avoids the InnoDB row size limit.

Storage for variable-length columns includes length bytes, which are counted toward the row size. For example, a VARCHAR(255) CHARACTER SET utf8mb3 column takes two bytes to store the length of the value, so each value can take up to 767 bytes.

The statement to create table t1 succeeds because the columns require 32,765 + 2 bytes and 32,766 + 2 bytes, which falls within the maximum row size of 65,535 bytes:

The statement to create table t2 fails because, although the column length is within the maximum length of 65,535 bytes, two additional bytes are required to record the length, which causes the row size to exceed 65,535 bytes:

Reducing the column length to 65,533 or less permits the statement to succeed.

For MyISAM tables, NULL columns require additional space in the row to record whether their values are NULL . Each NULL column takes one bit extra, rounded up to the nearest byte.

The statement to create table t3 fails because MyISAM requires space for NULL columns in addition to the space required for variable-length column length bytes, causing the row size to exceed 65,535 bytes:

For information about InnoDB NULL column storage, see InnoDB Row Formats.

InnoDB restricts row size (for data stored locally within the database page) to slightly less than half a database page for 4KB, 8KB, 16KB, and 32KB innodb_page_size settings, and to slightly less than 16KB for 64KB pages.

The statement to create table t4 fails because the defined columns exceed the row size limit for a 16KB InnoDB page.


'Why This Kolaveri Di?' 12.5 Crore Views And Counting For Dhanush's Viral Hit

'Why This Kolaveri Di?' has been viewed over 12.5 crore times on YouTube since November 16, 2011

Chennai: Actor Dhanush's viral hit 'Why This Kolaveri Di?' may be six-years-old but it has garnered 12.5 crore views on YouTube, a top official of the online visual content provider said today.

"A lot of our signature success started from 'Why This Kolaveri Di?' six years back. It has received 12.5 crore views and that number is still growing," Ajay Vidyasagar, Regional Director-Google Asia Pacific, told reporters here.

Dhanush's viral single 'Why This Kolaveri Di?' (which can be roughly translated to 'Why this rage?') was an instant hit on social media.

"This piece of creativity keeps winning again and again due to fans," Mr Vidyasagar said, adding that the video had inspired many to come up with their own versions of the song too.

Quoting statistics, he said India had witnessed a surge in YouTube viewership in the past few years, even as rural and small towns made a significant contribution. From being a "metro phenomenon" about five years ago, YouTube is now being used by consumers even in many remote villages of the country, he said.

"Film engagement" on the visual platform stood "neck to neck with Hollywood" and teasers and trailers of recent Tamil hits like 'Kabali' and "Baahubali' received 34 million and 22 million hits respectively, Mr Vidyasagar added.

Online hits of many Indian movies even exceeded the viewership of Hollywood films, he said.


12.5: Counting

Red blood cells (RBCs), also called erythrocytes, are cells that circulate in the blood and carry oxygen throughout the body. The RBC count totals the number of red blood cells that are present in your sample of blood. It is one test among several that is included in a complete blood count (CBC) and is often used in the general evaluation of a person's health.

Blood is made up of a few different types of cells suspended in fluid called plasma. In addition to RBCs, there are white blood cells (WBCs) and platelets. These cells are produced in the bone marrow and are released into the bloodstream as they mature. RBCs typically make up about 40% of the blood volume. RBCs contain hemoglobin, a protein that binds to oxygen and enables RBCs to carry oxygen from the lungs to the tissues and organs of the body. RBCs also help transport a small portion of carbon dioxide, a waste product of cell metabolism, from those tissues and organs back to the lungs, where it is expelled.

The typical lifespan of an RBC is 120 days. Thus the bone marrow must continually produce new RBCs to replace those that age and degrade or are lost through bleeding. A number of conditions can affect RBC production and some conditions may result in significant bleeding. Other disorders may affect the lifespan of RBCs in circulation, especially if the RBCs are deformed due to an inherited or acquired defect or abnormality. These conditions may lead to a rise or drop in the RBC count. Changes in the RBC count usually mirror changes in other RBC tests, including the hematocrit and hemoglobin level.

  • If RBCs are lost or destroyed faster than they can be replaced, if bone marrow production is disrupted, or if the RBCs produced do not function normally, or do not contain enough hemoglobin, then you may develop anemia, which affects the amount of oxygen reaching tissues.
  • If too many RBCs are produced and released, then you can develop polycythemia. This can cause thicker blood, decreased blood flow and related problems, such as headache, dizziness, problems with vision, and even excessive clotting or heart attack.

A red blood cell (RBC) count is typically ordered as part of a complete blood count (CBC) and may be used as part of a health checkup to screen for a variety of conditions. This test may also be used to help diagnose and/or monitor a number of diseases that affect the production or lifespan of red blood cells.

An RBC count is ordered as a part of the complete blood count (CBC), often as part of a routine physical or as part of a pre-surgical workup. A CBC may be ordered when you have signs and symptoms suggesting a disease that might affect red blood cell production. Some common signs and symptoms associated with anemia that generally lead to a healthcare practitioner ordering a CBC are:

Some signs and symptoms that may appear with a high RBC count include:

A CBC may also be performed on a regular basis to monitor people who have been diagnosed with conditions such as:

Since an RBC count is performed as part of a complete blood count (CBC), results from other components are taken into consideration. A rise or drop in the RBC count must be interpreted in conjunction with other tests, such as hemoglobin, hematocrit, reticulocyte count, and/or red blood cell indices.

The following table summarizes what results may mean.

Men: 4.5-5.9 x 10 6 /microliter

Women: 4.1-5.1 x 10 6 microliter

    or chronic bleeding
  • RBC destruction (e.g., hemolytic anemia, etc.)
  • Nutritional deficiency (e.g., iron deficiency, vitamin B12 or folate deficiency) or damage
  • Chronic inflammatory disease

from Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 22nd ed.
McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Elsevier Saunders 2011.

Note: Conventional Units are typically used for reporting results in U.S. labs
SI Units are used to report lab results outside of the U.S.

Some causes of a low RBC count (anemia) include:

  • Trauma that leads to loss of blood
  • Conditions that cause red blood cells to be destroyed, such as hemolytic anemia caused by autoimmunity or defects in the red cell itself the defects could be a hemoglobinopathy (e.g., sickle cell anemia), thalassemia, an abnormality in the RBC membrane (e.g., hereditary spherocytosis), or enzyme defect (e.g., G6PD deficiency).
  • Sudden (acute) or chronic bleeding from the digestive tract (e.g., ulcers, polyps, colon cancer) or other sites, such as the bladder or uterus (in women, heavy menstrual bleeding, for example)
  • Nutritional deficiency such as iron deficiency or vitamin B12 or folate deficiency
  • Bone marrow damage (e.g., toxin, radiation or chemotherapy, infection, drugs) such as leukemia, multiple myeloma, myelodysplastic syndrome, or lymphoma or other cancers that spread to the bone marrow
  • Chronic inflammatory disease or condition
  • Kidney failure—severe and chronic kidney diseases lead to decreased production of erythropoietin, a hormone produced by the kidneys that promotes RBC production by the bone marrow.

Some causes of a high RBC count (polycythemia) include:

    —as the volume of fluid in the blood drops, the count of RBCs per volume of fluid artificially rises. —if someone is unable to breathe in and absorb sufficient oxygen, the body tries to compensate by producing more red blood cells. —with this condition, the heart is not able to pump blood efficiently, resulting in a decreased amount of oxygen getting to tissues. The body tries to compensate by producing more red blood cells.
  • Kidney tumor that produces excess erythropoietin
  • التدخين
  • Genetic causes (altered oxygen sensing, abnormality in hemoglobin oxygen release)
  • Polycythemia vera—a rare disease in which the body produces too many RBCs

Your RBC count is interpreted by your healthcare practitioner within the context of other tests that you have had done as well as other factors, such as your medical history. A single result that is slightly high or low may or may not have medical significance. There are several reasons why a test result may differ on different days and why it may fall outside a designated reference range.

  • Biological variability (different results in the same person at different times): If you have the same test done on several different occasions, there's a good chance that one result will fall outside a reference range even though you are in good health. For biological reasons, your values can vary from day to day.
  • Individual variability (differences in results between different people): References ranges are usually established by collecting results from a large population and determining from the data an expected average result and expected differences from that average (standard deviation). There are individuals who are healthy but whose tests results, which are normal for them, do not always fall within the expected range of the overall population.

A test value that falls outside of the established reference range supplied by the laboratory may mean nothing significant. Generally, this is the case when the test value is only slightly higher or lower than the reference range and this is why a healthcare practitioner may repeat a test on you and why they may look at results from prior times when you had the same test performed.

However, a result outside the range may indicate a problem and warrant further investigation. Your healthcare provider will consider your medical history, physical exam, and other relevant factors to determine whether a result that falls outside of the reference range means something significant for you. For more, read the articles on Reference Ranges and What They Mean.

An RBC count can be used to detect a problem with red blood cell production and/or lifespan, but it cannot determine the underlying cause. In addition to the full CBC, some other tests may be performed at the same time or as follow up to help establish a diagnosis. الامثله تشمل:

    —a laboratory professional examines the blood under the microscope to confirm results of a CBC and/or to look abnormal blood cells —determines the number of young (immature) red blood cells —iron is important in the production of red blood cells —these vitamins are also important for red blood cell production
  • In more severe conditions, a bone marrow aspiration and biopsy—usually done by a pathologist to help detect abnormalities in the bone marrow and determine the cause of low or high blood cell counts or abnormal blood cells

First, a healthcare practitioner must determine the cause of someone's abnormal RBC count so the appropriate treatment can be prescribed. For some anemias, treatment may include a dietary supplement or a change in diet to include nutritional foods. In some instances, it may only require a change in the person's current medication. For more severe cases, treatment may involve transfusion with blood from a donor. For some, prescribing a drug to stimulate red cell production in the bone marrow may be required, especially for people who have received chemotherapy or radiation treatments.

يمكن. Some healthcare practitioners' offices are equipped with laboratory instruments and staffed by trained laboratorians who are able to perform this test.

Yes, to the extent that if you eat a well-balanced diet, you can prevent anemia due to a lack of iron, vitamin B12, or folate in the foods you eat. Sometimes use of a supplement is recommended if you are at risk of a vitamin deficiency. However, the most common cause of vitamin B12 deficiency is malabsorption, and the most common cause of iron deficiency is bleeding. These conditions and other RBC problems that are caused by diseases other than nutritional deficiencies will not be corrected by diet.

Fatigue and weakness may indicate a low or high RBC count. Fainting, pallor, shortness of breath, dizziness, and/or altered mental status can also indicate a low RBC count. Disturbed vision, headache, and flushing may be present with increased numbers of RBCs.

A recent blood transfusion can affect results of an RBC count.

Alteration of the number of RBCs is often temporary and can be easily corrected and/or returned to normal levels by treating and resolving the underlying condition.

During pregnancy, body fluids tend to accumulate, thus decreasing the RBC count in relation to fluid volume.

Living at high altitudes causes an increase in RBC count this is the body's response to the decreased oxygen available at these heights.

Women tend to have slightly lower RBC counts than men.

You may be able to find your test results on your laboratory's website or patient portal. However, you are currently at Lab Tests Online. You may have been directed here by your lab's website in order to provide you with background information about the test(s) you had performed. You will need to return to your lab's website or portal, or contact your healthcare practitioner in order to obtain your test results.

Lab Tests Online is an award-winning patient education website offering information on laboratory tests. The content on the site, which has been reviewed by laboratory scientists and other medical professionals, provides general explanations of what results might mean for each test listed on the site, such as what a high or low value might suggest to your healthcare practitioner about your health or medical condition.

The reference ranges for your tests can be found on your laboratory report. They are typically found to the right of your results.

If you do not have your lab report, consult your healthcare provider or the laboratory that performed the test(s) to obtain the reference range.

Laboratory test results are not meaningful by themselves. Their meaning comes from comparison to reference ranges. Reference ranges are the values expected for a healthy person. They are sometimes called "normal" values. By comparing your test results with reference values, you and your healthcare provider can see if any of your test results fall outside the range of expected values. Values that are outside expected ranges can provide clues to help identify possible conditions or diseases.

While accuracy of laboratory testing has significantly evolved over the past few decades, some lab-to-lab variability can occur due to differences in testing equipment, chemical reagents, and techniques. This is a reason why so few reference ranges are provided on this site. It is important to know that you must use the range supplied by the laboratory that performed your test to evaluate whether your results are "within normal limits."

For more information, please read the article Reference Ranges and What They Mean.

The reference ranges 1 provided here represent a theoretical guideline that should not be used to interpret your test results. Some variation is likely between these numbers and the reference range reported by the lab that ran your test. Please consult your healthcare provider.

عمر Conventional Units 2 SI Units 3
0-18 years Not available due to wide variability. See child's lab report for reference range.
ذكر بالغ 4.5-5.9 x 10 6 /microliter 4.5-5.9 x 10 12 /L
أنثى بالغة 4.1-5.1 x 10 6 microliter 4.1-5.1 x 10 12 /L

1 from Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 22nd ed. McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Elsevier Saunders 2011.

2 Conventional Units are typically used for reporting results in U.S. labs

3 SI Units are used to report lab results outside of the U.S.

LOINC Observation Identifiers Names and Codes (LOINC®) is the international standard for identifying health measurements, observations, and documents. It provides a common language to unambiguously identify things you can measure or observe that enables the exchange and aggregation of clinical results for care delivery, outcomes management, and research. يتعلم أكثر.

Listed in the table below are the LOINC with links to the LOINC detail pages. Please note when you click on the hyperlinked code, you are leaving Lab Tests Online and accessing Loinc.org.

LOINC LOINC Display Name
26453-1 RBC (Bld) [#/Vol]
789-8 RBC Auto (Bld) [#/Vol]
790-6 RBC Manual cnt (Bld) [#/Vol]

On This Site

Elsewhere On The Web

Sources Used in Current Review

Wintrobe's Clinical Hematology. الطبعة ال 12. Greer J, Foerster J, Rodgers G, Paraskevas F, Glader B, Arber D, Means R, eds. Philadelphia, PA: Lippincott Williams & Wilkins: 2009, Section 2: The Erythrocyte.

Harmening, D. Clinical Hematology and Fundamentals of Hemostasis, Fifth Edition, F.A. Davis Company, Philadelphia, 2009, Chapter 3.

Sources Used in Previous Reviews

Thomas, Clayton L., Editor (1997). Taber's Cyclopedic Medical Dictionary. F.A. Davis Company, Philadelphia, PA [18th Edition].

Pagana, Kathleen D. & Pagana, Timothy J. (2001). Mosby's Diagnostic and Laboratory Test Reference 5th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO.

Hillman RS and Finch CA. Red Cell Manual (1974). FA Davis, Philadelphia. ص. 23-51.

Pagana, Kathleen D. & Pagana, Timothy J. (© 2007). Mosby's Diagnostic and Laboratory Test Reference 8th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO. ص. 797-799.

Henry's Clinical Diagnosis and Management by Laboratory Methods. 21st ed. McPherson R, Pincus M, eds. Philadelphia, PA: Saunders Elsevier: 2007, Chap 31.

(March 1, 2011) National Heart, Lung and Blood Institute. What is Polycythemia vera? Available online at http://www.nhlbi.nih.gov/health/public/blood/index.htm. Accessed Sep 2011.

(Aug 1, 2010) National Heart, Lung and Blood Institute. فقر دم. Available online at http://www.nhlbi.nih.gov/health/health-topics/topics/anemia/. Accessed Sep 2011.

(June 17, 2011) Conrad M. Anemia. Medscape Reference article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/198475-overview. Accessed Sep 2011.

(August 26, 2011) Harper J. Pediatric Megaloblastic Anemia. eMedicine article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/959918-overview. Accessed Sep 2011.

(June 8, 2011) Artz A. Anemia in Elderly Persons. eMedicine article. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/1339998-overview. Accessed Sep 2011.

(February 9, 2010) Dugdale D. RBC Count. MedlinePlus Medical Encyclopedia. Available online at http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/ency/article/003644.htm. Accessed Sep 2011.

Riley R, et.al. Automated Hematologic Evaluation. Medical College of Virginia, Virginia Commonwealth University. Available online at http://www.pathology.vcu.edu/education/PathLab/pages/hematopath/pbs.html#Anchor-Automated-47857. Accessed Sep 2011.

Kasper DL, Braunwald E, Fauci AS, Hauser SL, Longo DL, Jameson JL eds, (2005). Harrison's Principles of Internal Medicine, 16th Edition, McGraw Hill, Pp 329-336.

Pagana K, Pagana T. Mosby's Manual of Diagnostic and Laboratory Tests. 3rd Edition, St. Louis: Mosby Elsevier 2006, Pp 447-448.

Harmening D. Clinical Hematology and Fundamentals of Hemostasis. Fifth Edition, F.A. Davis Company, Piladelphia, Chapter 3.

Maakaron, J. et. آل. (Updated 2014 October 29). فقر دم. Medscape Drugs & Diseases [On-line information]. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/198475-overview. Accessed November 2014

Lehman, C. and Straseski, J. (Updated 2014 February). فقر دم. ARUP Consult [On-line information]. Available online at http://www.arupconsult.com/Topics/Anemia.html?client_ID=LTD#tabs=0. Accessed November 2014

Gersten, T. (Updated 2014 February 24). RBC count. MedlinePlus Medical Encyclopedia [On-line information]. Available online at http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/ency/article/003644.htm. Accessed November 2014

(2012 May 18). فقر دم. National Heart Lung and Blood Institute [On-line information]. Available online at http://www.nhlbi.nih.gov/health/health-topics/topics/anemia/. Accessed November 2014

Kahsai, D. (Updated 2013 August 2). Acute Anemia. Medscape Drugs & Diseases [On-line information]. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/780334-overview. Accessed November 2014

Curry, C. (Updated 2012 February 3). Erythrocyte Count (RBC). Medscape Drugs & Diseases [On-line information]. Available online at http://emedicine.medscape.com/article/2054474-overview. Accessed November 2014

Pagana, K. D., Pagana, T. J., and Pagana, T. N. (© 2015). Mosby's Diagnostic & Laboratory Test Reference 12th Edition: Mosby, Inc., Saint Louis, MO. Pp 785-791.


How to Prepare for the Test

Most of the time, adults do not need to take special steps before this test. Tell your provider the medicines you are taking, including the ones without a prescription. Some drugs may change the test results.

Medicines that may cause you to have an increase in eosinophils include:

  • Amphetamines (appetite suppressants)
  • Certain laxatives containing psyllium
  • Certain antibiotics
  • Interferon
  • المهدئات

BREAKING: Judge orders Pennsylvania to stop counting certain late ballots

By Calvin Freiburger
By Calvin Freiburger

Big Tech is censoring us. Subscribe to our email list and bookmark LifeSiteNews.com to continue getting our news. Subscribe now.

November 12, 2020 (LifeSiteNews) &mdash Pennsylvania Secretary of the Commonwealth Kathy Boockvar &ldquolacked statutory authority&rdquo to direct state election officials to count mail-in ballots even if they did not receive proof of identification by November 9, President Judge Mary Hannah Leavitt of Pennsylvania ruled Thursday in a victory for the Trump campaign&rsquos legal campaign to prevent the state from being certified for Democrat nominee Joe Biden.

The U.S. Supreme Court ruled before the election that election officials in Pennsylvania (as well as North Carolina) could accept absentee ballots for up to three days after the election, though the court also ruled several days later that all ballots that would arrive beyond the legal deadline be segregated and counted separately, in response to a lawsuit by state Republicans to stop a last-minute rule change by Boockvar that allowed the ballots to be counted and co-mingled with ballots that had arrived on time.

But on Thursday, Leavitt ruled that the Secretary of the Commonwealth &ldquolacked statutory authority to issue the November 1, 2020, guidance to Respondents County Boards of Elections insofar as that guidance purported to change the deadline [. ] for certain electors to verify proof of identification.&rdquo

&ldquoAccordingly, the Court hereby ORDERS that Respondents County Boards of Elections are enjoined from counting any ballots that have been segregated&rdquo pursuant to the court&rsquos previous order on the matter.

WCSI notes that the order represents a victory for the Trump campaign, which needs Pennsylvania&rsquos 20 electoral votes to stand even a chance of securing a second term. Boockvar said Tuesday that the state received approximately 10,000 ballots after the polls closed, and was still in the process of counting 94,000 provisional ballots that had been given to voters on election day. Biden currently holds a 53,978 lead over Trump in the state.


Hemoglobin Level Chart

Normal Hemoglobin Count Ranges Widely Accepted by Physicians
أطفال
ولادة: 13.5 to 24.0 g/dl (mean 16.5 g/dl)
<1 mth: 10.0 to 20.0 g/dl (mean 13.9 g/dl)
1-2 mths: 10.0 to 18.0 g/dl (mean 11.2 g/dl)
2-6 mths: 9.5 to 14.0 g/dl (mean 12.6 g/dl)
0.5 to 2 yrs: 10.5 to 13.5 g/dl (mean 12.0 g/dl)
2 to 6 yrs: 11.5 to 13.5 g/dl (mean 12.5 g/dl)
6-12 yrs: 11.5 to 15.5 g/dl (mean 13.5)
إناث
Age 12-18 yrs: 12.0 to 16.0 g/dl (mean 14.0 g/dl)
Age >18 yrs: 12.1 to 15.1 g/dl (mean 14.0 g/dl)
ذكور
12-18 yrs: 13.0 to 16.0 g/dl (mean 14.5 g/dl)
>18 yrs: 13.6 to 17.7 g/dl (mean 15.5 g/dl)

Low Hemoglobin Count

A slightly low hemoglobin count isn't always a sign of illness, it may be normal for some people. Women who are pregnant commonly have low hemoglobin counts. A low hemoglobin level count is generally defined as less than 13.5 grams of hemoglobin per deciliter (135 grams per liter) of blood for men and less than 12 grams per deciliter (120 grams per liter) for women. In children, the definition varies with age and sex.

Diseases and conditions that cause your body to produce fewer red blood cells include:

  • سرطان
  • التليف الكبدي
  • Leukemia
  • Lead poisoning
  • Aplastic anemia
  • Multiple myeloma
  • Certain medications
  • Iron deficiency anemia
  • Chronic kidney disease
  • Non-Hodgkin's lymphoma
  • Vitamin deficiency anemia
  • Myelodysplastic syndromes
  • Hypothyroidism (under-active thyroid)
  • Hodgkin's lymphoma (Hodgkin's disease)
  • Blood Loss from Bleeding (Internal or External)

Iron Levels

Iron is a mineral that's essential for making healthy red blood cells and hemoglobin. Low iron levels can cause you to feel tired, and extremely low iron levels may cause damage to organs. A low blood count can be caused by not eating enough iron-rich foods, donating blood too frequently, chronic illness, or other invisible causes. The daily requirement of iron can often be achieved by taking iron supplements. Ferrous sulfate 325 mg, taken orally once a day, and by eating foods high in iron. Foods high in vitamin C also are recommended because vitamin C helps your body absorb iron. Food with high iron levels include:

  • Bean Sprouts
  • Beets
  • بروكلي
  • Brussel Sprouts
  • كرنب
  • فرخة
  • حبوب ذرة
  • سمكة
  • فاصوليا خضراء
  • Greens, all kinds
  • كرنب
  • Lamb
  • Lean beef
  • Lima Beans
  • الكبد
  • بلح البحر
  • لحم خنزير
  • بطاطا
  • المحار
  • بازيلاء
  • Tofu
  • طماطم
  • ديك رومى
  • لحم العجل

High Hemoglobin Level

High hemoglobin level is mainly due to low oxygen levels in the blood (hypoxia), present over a long period of time. Reasons for a high hemoglobin level include:

  • الحروق
  • تجفيف
  • Severe COPD
  • Heavy smoking
  • كثرة الحمر الحقيقية
  • Excessive vomiting
  • Living at a high altitude
  • Extreme physical exercise
  • Failure of the right side of the heart
  • Birth defects of the heart, present at birth.
  • Scarring or thickening of the lungs (pulmonary fibrosis) and other severe lung disorders
  • Rare bone marrow diseases that lead to an abnormal increase in the number of blood cells (polycythemia vera)

Hemoglobin A1c Test

  • For people without diabetes, the normal range for the hemoglobin A1c test is between 4% and 5.6%.
  • Hemoglobin A1c levels between 5.7% and 6.4% indicate increased risk of diabetes.
  • Levels of 6.5% or higher indicate diabetes.

The goal for people with diabetes is a hemoglobin A1c less than 7%. The higher the hemoglobin A1c, the higher the risks of developing complications related to diabetes.

Hemoglobin Level Image Charts for Printing

Chart 1


Printable Human Hemoglobin Level Chart.

Chart 2


Alternative Version: Hemoglobin Level Chart shows ideal range for females, males, and younger children.

معلومات عنا

Disabled World is an independent disability community established in 2004 to provide disability news and information to people with disabilities, seniors, and their family and/or carers. See our homepage for informative reviews, exclusive stories and how-tos. You can connect with us on social media such as Twitter and Facebook or learn more about Disabled World on our about us page.


5 years and counting: Ex-treasure hunter still stuck in federal prison

COLUMBUS, Ohio (AP) — A former deep-sea treasure hunter is about to mark his fifth year in jail for refusing to disclose the whereabouts of 500 missing coins made from gold found in an historic shipwreck.

Research scientist Tommy Thompson isn’t incarcerated for breaking the law. Instead, he’s being held in contempt of court for an unusually long stretch — well past the normal maximum limit of an 18-month internment in cases of witnesses refusing to cooperate.

But nothing is usual about Thompson’s case, which dates to his discovery of the S.S. Central America, known as the Ship of Gold, in 1988. The gold rush-era ship sank in a hurricane off South Carolina in 1857 with thousands of pounds of gold aboard, contributing to an economic panic.

Despite an investors lawsuit and a federal court order, Thompson still won’t cooperate with authorities trying to find those coins, according to court records, federal prosecutors and the judge who found Thompson in contempt.

“He creates a patent for a submarine, but he can’t remember where he put the loot,” federal Judge Algenon Marbley said during a 2017 hearing.

Thompson’s legal troubles stem from the 161 investors who paid Thompson $12.7 million to find the ship, never saw any proceeds and finally sued.

Back in 2012, a different federal judge ordered Thompson to appear in court to disclose the coins’ whereabouts. Instead, Thompson fled to Florida where he lived with his longtime female companion at a hotel where he was living near Boca Raton. U.S. marshals tracked him down and arrested him in early 2015.

Thompson pleaded guilty for his failure to appear and was sentenced to two years in prison and a $250,000 fine. Thompson’s criminal sentence has been delayed until the issue of the gold coins is resolved.

That April 2015 plea deal required Thompson to answer questions in closed-door sessions about the whereabouts of the coins, which the government says are worth $2 million to $4 million. Importantly, he must also “assist” interested parties in finding the coins under that deal.

Thompson refused several times, and on Dec. 15, 2015, Marbley found Thompson in contempt of court and ordered him to stay in jail — and pay a $1,000 daily fine — until he responds.

In late October of this year, Thompson appeared by video for his latest hearing.

“Mr. Thompson, are you ready to answer the seminal question in this case as to the whereabouts of the gold?” Marbley said.

“Your honor, I don’t know if we’ve gone over this road before or not, but I don’t know the whereabouts of the gold,” Thompson responded. “I feel like I don’t have the keys to my freedom.”

And with that, Thompson settled back into his current situation: housed in a federal prison in Milan, Michigan, he’s now spent more than 1,700 days in jail and owes nearly $1.8 million in fines — and counting. Thompson’s attorney declined to comment.

Thompson, 68, has said he suffers from a rare form of chronic fatigue syndrome that has created problems with short-term memory.

He’s previously said, without providing details, that the coins were turned over to a trust in Belize.

The government contends Thompson is refusing to cooperate and that there’s no connection between his ailment and his ability to explain where the coins are.

A federal law addresses individuals like Thompson, known as “recalcitrant witnesses.”

The law holds that 18 months is generally the limit for jail time for contempt of court orders. But a federal appeals court last year rejected Thompson’s argument that that law applies to him.

Thompson hasn’t just refused to answer questions, the court ruled: He’s also violated the requirement that he “assist” the parties by refusing to execute a limited power of attorney to allow that Belizean trust to be examined, as required under his plea deal.

“The order isn’t intended to solely seek information, it’s to seek information for the purposes of recovering these unique assets,” said law professor and legal analyst Andrew Geronimo, director of Case Western University’s First Amendment Clinic.

Earlier this year, Marbley denied Thompson’s request for release over concerns he’s at risk for contracting the coronavirus behind bars. Marbley said Thompson didn’t present proper evidence for his risk level, and also noted he remains a flight risk.


1. Adel K, Raizman J, Chen Y, et al: Complex biological profile of hematologic markers across pediatric, adult, and geriatric ages: establishment of robust pediatric and adult reference intervals on the basis of the Canadian Health Measures Survey. Clin Chem 201561:8

2. CLSI. Defining, Establishing, and Verifying Reference Intervals in the Clinical Laboratory Approved Guideline, Third Edition. CLSI document EP28-A3c. Wayne, PA, Clinical and Laboratory Standards Institute, 2008

3. Soldin J, Brugnara C, Wong EC: Pediatric Reference Intervals. Fifth Edition. AACC Press. Washington, DC, 2005. ISBN 1-594250-32-4


شاهد الفيديو: French Numbers 1 to 20 French Essentials Lesson 2 (شهر اكتوبر 2021).