مقالات

16.3: حقول المتجهات المحافظة


أهداف التعلم

  • وصف المنحنيات البسيطة والمغلقة. تحديد المناطق المتصلة والمتصلة ببساطة.
  • اشرح كيفية العثور على دالة محتملة لحقل ناقل متحفظ.
  • استخدم النظرية الأساسية لتكاملات الخط لتقييم خط متكامل في حقل متجه.
  • اشرح كيفية اختبار حقل متجه لتحديد ما إذا كان حقلًا متحفظًا.

في هذا القسم ، نواصل دراسة الحقول الموجهة المحافظة. ندرس النظرية الأساسية لتكامل الخط ، وهو تعميم مفيد للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل لتكاملات خطية لحقول المتجه المحافظة. نكتشف أيضًا كيفية اختبار ما إذا كان حقل ناقل معين متحفظًا ، وتحديد كيفية بناء وظيفة محتملة لحقل ناقل معروف بأنه متحفظ.

المنحنيات والمناطق

قبل مواصلة دراستنا لحقول المتجهات المحافظة ، نحتاج إلى بعض التعريفات الهندسية. تعتمد جميع النظريات في الأقسام اللاحقة على التكامل عبر أنواع معينة من المنحنيات والمناطق ، لذلك نقوم هنا بتطوير تعريفات تلك المنحنيات والمناطق. نحدد أولاً نوعين خاصين من المنحنيات: المنحنيات المغلقة والمنحنيات البسيطة. كما تعلمنا ، فإن المنحنى المغلق هو الذي يبدأ وينتهي عند نفس النقطة. المنحنى البسيط هو الذي لا يتقاطع مع نفسه. المنحنى المغلق والبسيط في نفس الوقت هو منحنى مغلق بسيط (الشكل ( PageIndex {1} )).

التعريف: منحنيات مغلقة

المنحنى (C ) هو أ منحنى مغلق إذا كان هناك معلمة ( vecs r (t) ) ، (a≤t≤b ) لـ (C ) بحيث تتجاوز المعلمات المنحنى مرة واحدة تمامًا و ( vecs r (a) = vecs ص (ب) ). المنحنى (C ) هو منحنى بسيط إذا كان (C ) لا يتقاطع مع نفسه. بمعنى ، (C ) بسيط إذا كان هناك معلمات ( vecs r (t) ) ، (a≤t≤b ) من (C ) بحيث ( vecs r ) هو واحد لواحد أكثر من ((أ ، ب) ). من الممكن لـ ( vecs r (a) = vecs r (b) ) ، مما يعني أن المنحنى البسيط مغلق أيضًا.

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد ما إذا كان المنحنى بسيطًا ومغلقًا

هو المنحنى ذو المعلمات ( vecs {r} (t) = left langle cos t، frac { sin (2t)} {2} right rangle ) ، (0≤t≤2 pi ) منحنى بسيط مغلق؟

المحلول

لاحظ أن ( vecs {r} (0) = ⟨1،0⟩ = vecs r (2 pi) ) ؛ لذلك ، المنحنى مغلق. ومع ذلك ، فإن المنحنى ليس بسيطًا. لمشاهدة هذا ، لاحظ أن ( vecs {r} left ( frac { pi} {2} right) = ⟨0،0⟩ = vecs {r} left ( frac {3 pi} {2} right) ) ، وبالتالي يتقاطع المنحنى عند نقطة الأصل (الشكل ( PageIndex {2} )).

تمرين ( PageIndex {1} )

هل المنحنى معطى بالمعلمات ( vecs {r} (t) = ⟨2 cos t، 3 sin t⟩ )، (0≤t≤6 pi ) ، منحنى مغلق بسيط؟

تلميح

ارسم المنحنى.

إجابه

نعم

ترتبط العديد من النظريات في هذا الفصل بالتكامل على منطقة ما بالتكامل فوق حدود المنطقة ، حيث تكون حدود المنطقة عبارة عن منحنى مغلق بسيط أو اتحاد من المنحنيات المغلقة البسيطة. لتطوير هذه النظريات ، نحتاج إلى تعريفين هندسيين للمناطق: منطقة متصلة ومنطقة متصلة ببساطة. المنطقة المتصلة هي المنطقة التي يوجد فيها مسار في المنطقة يربط أي نقطتين تقعان داخل تلك المنطقة. المنطقة المتصلة ببساطة هي منطقة متصلة ليس بها أي ثقوب. هذان المفهومان ، جنبًا إلى جنب مع فكرة المنحنى المغلق البسيط ، يسمحان لنا بتحديد عدة تعميمات للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل لاحقًا في الفصل. هذان التعريفان صالحان للمناطق في أي عدد من الأبعاد ، لكننا معنيون فقط بالمناطق ذات البعدين أو الثلاثة أبعاد.

التعريف: المناطق المتصلة

منطقة د هو منطقة متصلة إذا ، لأي نقطتين (P_1 ) و (P_2 ) ، هناك مسار من (P_1 ) إلى (P_2 ) مع وجود أثر داخلي بالكامل د. منطقة د هي منطقة متصلة ببساطة إذا د متصل بأي منحنى مغلق بسيط ج التي تقع في الداخل د، ومنحنى ج يمكن تقليصها باستمرار إلى حد ما مع البقاء بالكامل في الداخل د. في بعدين ، ترتبط المنطقة ببساطة إذا كانت متصلة وليس بها ثقوب.

جميع المناطق المتصلة ببساطة متصلة ببعضها البعض ، ولكن ليست كل المناطق المتصلة متصلة ببساطة (الشكل ( PageIndex {3} )).

تمرين ( PageIndex {2} )

هل المنطقة في الصورة أدناه متصلة؟ هل المنطقة متصلة ببساطة؟

تلميح

ضع في اعتبارك التعريفات.

إجابه

المنطقة في الشكل متصلة. المنطقة في الشكل ليست متصلة ببساطة.

النظرية الأساسية لتكاملات الخط

الآن بعد أن فهمنا بعض المنحنيات والمناطق الأساسية ، دعنا نعمم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل على التكاملات الخطية. تذكر أن النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل تنص على أنه إذا كانت الدالة (f ) لها مشتق عكسي (F ) ، فإن تكامل (f ) من (أ ) إلى (ب ) يعتمد فقط على قيم (F ) في (أ ) وفي (ب ) - أي ،

[ int_a ^ bf (x) ، dx = F (b) −F (a). ]

إذا اعتبرنا التدرج مشتقًا ، فإن نفس النظرية تنطبق على تكاملات خط المتجه. نظهر كيف يعمل هذا باستخدام مثال تحفيزي.

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم تكامل الخط والمشتقات العكسية لنقاط النهاية

دع ( vecs {F} (x، y) = ⟨2x، 4y⟩ ). احسب ( displaystyle int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) ، حيث ج هو الجزء المستقيم من ((0،0) ) إلى ((2،2) ) (الشكل ( PageIndex {4} )).

المحلول

نستخدم الطريقة من القسم السابق لحساب ( int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ). منحنى ج يمكن تحديد معلمات بواسطة ( vecs {r} (t) = ⟨2t، 2t⟩ )، (0≤t≤1 ). ثم ، ( vecs {F} ( vecs r (t)) = ⟨4t، 8t⟩ ) و ( vecs r ′ (t) = ⟨2،2⟩ ) ، مما يعني أن

[ start {align *} int_C vecs {F} · d vecs {r} & = int_0 ^ 1⟨4t، 8t⟩ · ⟨2،2⟩dt [4pt] & = int_0 ^ 1 (8 طن + 16 طن) dt = int_0 ^ 1 24tdt [4pt] & = { big [12t ^ 2 big]} _ 0 ^ 1 = 12. النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن ( vecs {F} = vecs nabla f ) ، حيث (f (x، y) = x ^ 2 + 2y ^ 2 ). إذا اعتقدنا أن التدرج مشتق ، فإن (f ) هو "مشتق عكسي" لـ ( vecs {F} ). في حالة التكاملات أحادية المتغير ، تكامل المشتق (g ′ (x) ) هو (g (b) −g (a) ) ، حيث أ هي نقطة بداية فترة التكامل و ب هي نقطة النهاية. إذا كانت تكاملات الخط المتجه تعمل مثل التكاملات ذات المتغير الفردي ، فإننا نتوقع أن يكون ( vecs {F} ) (f (P_1) −f (P_0) ) ، حيث (P_1 ) هي نقطة النهاية منحنى التكامل و (P_0 ) هي نقطة البداية. لاحظ أن هذا هو الحال بالنسبة لهذا المثال:

[ int_C vecs {F} cdot d vecs {r} = int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = 12 nonumber ]

و

[f (2،2) −f (0،0) = 4 + 8−0 = 12. لا يوجد رقم]

بعبارة أخرى ، يمكن حساب تكامل "المشتق" عن طريق تقييم "المشتق العكسي" عند نقاط نهاية المنحنى والطرح ، تمامًا كما هو الحال بالنسبة للتكاملات أحادية المتغير.

تقول النظرية التالية أنه في ظل ظروف معينة ، ما حدث في المثال السابق ينطبق على أي مجال تدرج. تنطبق نفس النظرية على تكاملات خط المتجه ، والتي نسميها النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

النظرية: النظرية الأساسية لتكامل الخط

يترك ج كن منحنى سلس متعدد الأقسام مع تحديد المعلمات ( vecs r (t) ) ، (a≤t≤b ). لنفترض (f ) أن تكون دالة من متغيرين أو ثلاثة متغيرات ذات مشتقات جزئية من الدرجة الأولى موجودة ومستمرة على ج. ثم،

[ int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). التسمية {FunTheLine} ]

دليل - إثبات

أولا،

[ int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} = int_a ^ b vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) ، dt. لا يوجد رقم ]

بقاعدة السلسلة ،

[ dfrac {d} {dt} (f ( vecs r (t)) = vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) nonumber ]

لذلك ، من خلال النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ،

[ start {align *} int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} & = int_a ^ b vecs nabla f ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t ) dt [4pt] & = int_a ^ b dfrac {d} {dt} (f ( vecs r (t)) dt [4pt] & = { big [f ( vecs r (t )) big]} _ {t = a} ^ {t = b} [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). end {align * } ]

(مربع)

نحن نعلم أنه إذا كان ( vecs {F} ) حقل متجه محافظ ، فهناك دالة محتملة (f ) مثل ( vecs nabla f = vecs F ). وبالتالي

[ int_C vecs F · d vecs r = int_C vecs nabla f · d vecs {r} = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). ]

بعبارة أخرى ، تمامًا كما هو الحال مع النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، فإن حساب سطر متكامل ( int_C vecs F · d vecs {r} ) ، حيث ( vecs {F} ) محافظ ، هو اثنان -خطوة العملية:

  1. ابحث عن دالة محتملة ("مشتقة عكسية") (f ) لـ ( vecs {F} ) و
  2. احسب قيمة (f ) عند نقاط نهاية (C ) وحساب الفرق بينهما (f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) ).

ضع في اعتبارك ، مع ذلك ، أن هناك فرقًا رئيسيًا واحدًا بين النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل والنظرية الأساسية لتكاملات الخط:
يجب أن يكون لدالة متغير واحد مستمر مشتق عكسي. ومع ذلك ، فإن الحقل المتجه ، حتى لو كان مستمرًا ، لا يحتاج إلى وظيفة محتملة.

مثال ( PageIndex {3} ): تطبيق النظرية الأساسية

حساب ( int_C vecs {F} cdot d vecs {r} ) ، حيث ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨2x ln y، dfrac {x ^ 2 } {y} + z ^ 2،2yz⟩ ) و (C ) هو منحنى ذو معلمات ( vecs {r} (t) = ⟨t ^ 2، t، t⟩ )، (1 ≤t≤e )

  1. بدون استخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط و
  2. باستخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

المحلول

1. أولاً ، دعنا نحسب التكامل بدون النظرية الأساسية لتكاملات الخط وبدلاً من ذلك استخدم الطريقة التي تعلمناها في القسم السابق:

[ start {align *} int_C vecs {F} cdot dr & = int_1 ^ e vecs F ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) ، dt [ 4pt] & = int_1 ^ e⟨2t ^ 2 ln t، dfrac {t ^ 4} {t} + t ^ 2،2t ^ 2⟩ cdot ⟨2t، 1،1⟩ ، dt [ 4pt] & = int_1 ^ e (4t ^ 3 ln t + t ^ 3 + 3t ^ 2) ، dt [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t ، dt + int_1 ^ ه (t ^ 3 + 3t ^ 2) ، dt [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t ، dt + { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} + t ^ 3 كبير]} _ 1 ^ e [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t ، dt + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3 - dfrac {1} {4 } −1 [4pt] & = int_1 ^ e 4t ^ 3 ln t ، dt + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3 - dfrac {5} {4} end {align *} ]

يتطلب التكامل ( displaystyle int_1 ^ e t ^ 3 ln t ، dt ) تكاملًا حسب الأجزاء. دع (u = ln t ) و (dv = t ^ 3 ). ثم (u = ln t ) ، (dv = t ^ 3 )

و

[du = dfrac {1} {t} ، dt، ؛ ؛ v = dfrac {t ^ 4} {4}. nonumber ]

وبالتالي،

[ begin {align *} int_1 ^ et ^ 3 ln t ، dt & = { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} ln t Big]} _ 1 ^ e− dfrac { 1} {4} int_1 ^ et ^ 3 ، dt [4pt] & = dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} left ( dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} right). النهاية {محاذاة *} ]

هكذا،

[ start {align *} int_C vecs F cdot d vecs {r} & = 4 int_1 ^ et ^ 3 ln t ، dt quad + quad dfrac {e ^ 4} {4 } + e ^ 3 - dfrac {5} {4} [4pt] & = 4 left ( dfrac {e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} left ( dfrac { e ^ 4} {4} - dfrac {1} {4} right) right) + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3− dfrac {5} {4} [4pt ] & = e ^ 4− dfrac {e ^ 4} {4} + dfrac {1} {4} + dfrac {e ^ 4} {4} + e ^ 3− dfrac {5} {4} [4pt] & = e ^ 4 + e ^ 3−1. النهاية {محاذاة *} ]

2. بالنظر إلى أن (f (x، y، z) = x ^ 2 ln y + yz ^ 2 ) دالة محتملة لـ ( vecs F ) ، فلنستخدم النظرية الأساسية للتكاملات الخطية لحساب التكامل. لاحظ أن

[ start {align *} int_C vecs F cdot d vecs {r} & = int_C vecs nabla f cdot d vecs {r} [4pt] & = f ( vecs r (هـ)) - f ( vecs r (1)) [4pt] & = f (e ^ 2، e، e) −f (1،1،1) [4pt] & = e ^ 4 + البريد ^ 3−1. النهاية {محاذاة *} ]

هذا الحساب أكثر وضوحًا من الحساب الذي قمنا به في (أ). طالما لدينا دالة محتملة ، فإن حساب تكامل الخط باستخدام النظرية الأساسية لتكامل الخط أسهل بكثير من الحساب بدون النظرية.

يوضح المثال ( PageIndex {3} ) ميزة لطيفة للنظرية الأساسية لتكامل الخط: فهو يسمح لنا بحساب العديد من تكاملات خط المتجه بسهولة أكبر. طالما أن لدينا دالة محتملة ، فإن حساب تكامل الخط ما هو إلا مسألة تقييم الوظيفة المحتملة عند نقاط النهاية والطرح.

تمرين ( PageIndex {3} )

بالنظر إلى أن (f (x، y) = {(x − 1)} ^ 2y + {(y + 1)} ^ 2x ) دالة محتملة لـ ( vecs F (x، y) = ⟨2xy− 2y + {(y + 1)} ^ 2، {(x − 1)} ^ 2 + 2yx + 2x⟩ ) ، حساب متكامل ( int_C vecs F · d vecs r ) ، حيث (C ) هو النصف السفلي من دائرة الوحدة الموجهة عكس اتجاه عقارب الساعة.

تلميح

تقول النظرية الأساسية لفواصل الخط أن هذا التكامل يعتمد فقط على قيمة (f ) عند نقاط نهاية (C ).

إجابه

2

للنظرية الأساسية لتكاملات الخط نتيجتان مهمتان. النتيجة الأولى هي أنه إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا و (C ) منحنى مغلق ، فإن تداول ( vecs {F} ) على طول (C ) يساوي صفرًا وهذا هو ، ( int_C vecs F · d vecs r = 0 ). لمعرفة سبب صحة ذلك ، دع (f ) وظيفة محتملة لـ ( vecs {F} ). نظرًا لأن (C ) منحنى مغلق ، فإن النقطة الطرفية ( vecs r (b) ) لـ (C ) هي نفسها ( vecs r (a) ) لـ (C ) - أي ( vecs r (a) = vecs r (b) ). لذلك ، من خلال النظرية الأساسية لتكامل الخط ،

[ start {align} oint_C vecs F · d vecs r & = oint_C vecs nabla f · d vecs r [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) [4pt] & = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (b)) [4pt] & = 0. نهاية {محاذاة} ]

تذكر أن سبب تسمية حقل ناقل متحفظ ( vecs {F} ) "محافظ" هو أن مثل هذه الحقول المتجهية تشكل قوى يتم فيها حفظ الطاقة. لقد أظهرنا أن الجاذبية مثال على هذه القوة. إذا فكرنا في حقل المتجه ( vecs {F} ) في التكامل ( oint_C vecs F · d vecs r ) كحقل جاذبية ، فإن المعادلة ( oint_C vecs {F} · d vecs {r} = 0 ) يتبع. إذا كان الجسيم ينتقل على طول مسار يبدأ وينتهي في نفس المكان ، فإن الشغل الذي تقوم به الجاذبية على الجسيم يساوي صفرًا.

النتيجة الثانية المهمة للنظرية الأساسية لتكاملات الخط (المعادلة المرجع {FunTheLine}) هي أن تكاملات الخط لحقول المتجه المحافظة مستقلة عن المسار - بمعنى أنها تعتمد فقط على نقاط النهاية لمنحنى معين ، ولا تعتمد على المسار بين نقاط النهاية.

التعريف: مسار الاستقلال

لنكن ( vecs {F} ) حقل متجه مع المجال (D ) ؛ مستقل عن المسار (أو مسار مستقل) إذا

[ int_ {C_1} vecs {F} · d vecs {r} = int_ {C_2} vecs {F} · d vecs {r} ]

لأي مسارات (C_1 ) و (C_2 ) في (D ) بنفس النقاط الأولية والنهائية.

تم ذكر النتيجة الثانية رسميًا في النظرية التالية.

نظرية: الحقول المحافظة

إذا كان ( vecs {F} ) عبارة عن ملف مجال ناقلات المحافظ، فإن ( vecs {F} ) مستقل عن المسار.

دليل - إثبات

لنفترض أن (D ) يشير إلى مجال ( vecs {F} ) واجعل (C_1 ) و (C_2 ) مسارين في (D ) لهما نفس النقاط الأولية والنقطة النهائية (الشكل ( PageIndex {5} )). اتصل بالنقطة الأولية (P_1 ) والنقطة النهائية (P_2 ). نظرًا لأن ( vecs {F} ) محافظ ، فهناك دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ). بواسطة النظرية الأساسية لتكامل الخط ،

[ int_ {C_1} vecs {F} · d vecs {r} = f (P_2) −f (P_1) = int_ {C_2} vecs {F} · d vecs {r}. لا يوجد رقم]

لذلك ، ( int_ {C_1} vecs F · d vecs r = int_ {C_2} vecs F · d vecs r ) و ( vecs {F} ) مستقلان عن المسار.

(مربع)

لتصور ما يعنيه استقلال المسار ، تخيل ثلاثة متنزهين يتسلقون من المعسكر الأساسي إلى قمة الجبل.يأخذ Hiker 1 طريقًا شديد الانحدار مباشرة من المخيم إلى الأعلى. يأخذ Hiker 2 طريقًا متعرجًا ليس شديد الانحدار من المخيم إلى الأعلى. يبدأ Hiker 3 بالسير في الطريق شديد الانحدار ولكن في منتصف الطريق إلى الأعلى يقرر أنه صعب للغاية بالنسبة له. لذلك يعود إلى المخيم ويسلك الطريق غير شديد الانحدار إلى الأعلى. جميع المتجولون الثلاثة يسافرون على طول مسارات في مجال الجاذبية. نظرًا لأن الجاذبية هي القوة التي يتم فيها الحفاظ على الطاقة ، فإن مجال الجاذبية متحفظ. من خلال استقلالية المسار ، يكون إجمالي حجم العمل الذي تم إنجازه عن طريق الجاذبية على كل من المتجولين هو نفسه لأنهم بدأوا جميعًا في نفس المكان وانتهوا في نفس المكان. يتضمن العمل الذي يقوم به المتنزهون عوامل أخرى مثل الاحتكاك وحركة العضلات ، وبالتالي فإن إجمالي كمية الطاقة التي ينفقها كل واحد ليس هو نفسه ، ولكن صافي الطاقة المنفقة ضد الجاذبية هو نفسه لجميع المتنزهين الثلاثة.

لقد أظهرنا أنه إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا ، فإن ( vecs {F} ) يكون مستقلاً عن المسار. اتضح أنه إذا كان مجال ( vecs {F} ) مفتوحًا ومتصلًا ، فإن العكس يكون صحيحًا أيضًا. بمعنى ، إذا كان ( vecs {F} ) مستقلًا عن المسار وكان مجال ( vecs {F} ) مفتوحًا ومتصلًا ، فإن ( vecs {F} ) يكون محافظًا. لذلك ، فإن مجموعة حقول المتجه المحافظة في المجالات المفتوحة والمتصلة هي بالضبط مجموعة الحقول المتجهة المستقلة عن المسار.

نظرية: اختبار استقلالية المسار للحقول المحافظة

إذا كان ( vecs {F} ) عبارة عن حقل متجه مستمر مستقل عن المسار وكان المجال (D ) لـ ( vecs {F} ) مفتوحًا ومتصلًا ، إذن ( vecs {F } ) محافظ.

دليل - إثبات

لقد أثبتنا نظرية الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ). الإثبات الخاص بحقول المتجه في (ℝ ^ 3 ) مشابه. لإثبات أن ( vecs F = ⟨P، Q⟩ ) محافظ ، يجب أن نجد دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ). تحقيقا لهذه الغاية ، دع (X ) تكون نقطة ثابتة في (د ). لأي نقطة ((س ، ص) ) في (د ) ، دع (ج ) يكون مسارًا من (س ) إلى ((س ، ص) ). حدد (f (x، y) ) من خلال (f (x، y) = int_C vecs F · d vecs r ). (لاحظ أن تعريف (f ) هذا منطقي فقط لأن ( vecs {F} ) مستقل عن المسار. إذا لم يكن ( vecs {F} ) مستقلاً عن المسار ، فقد يكون ذلك ممكنًا للعثور على مسار آخر (C ′ ) من (X ) إلى ((x، y) ) بحيث ( int_C vecs F · d vecs r ≠ int_C vecs F · d vecs r ) ، وفي مثل هذه الحالة (f (x، y) ) لن تكون دالة.) نريد أن نظهر أن (f ) له الخاصية ( vecs nabla f = vecs F ).

نظرًا لأن المجال (D ) مفتوح ، فمن الممكن العثور على قرص متمركز في ((س ، ص) ) بحيث يتم احتواء القرص بالكامل داخل (د ). دع ((a، y) ) مع (a

[f (x، y) = int_ {C_1} vecs F · d vecs r + int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. nonumber ]

لا يعتمد التكامل الأول على (س ) ، لذلك

[f_x (x، y) = dfrac {∂} {∂x} int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

إذا قمنا بتحديد المعلمات (C_2 ) بواسطة ( vecs r (t) = ⟨t ، y⟩ ) ، (a≤t≤x ) ، إذن

[ start {align *} f_x (x، y) & = dfrac {∂} {∂x} int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r [4pt] & = dfrac { } {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) ، dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot dfrac {d} {dt} (⟨t، y⟩) ، dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x vecs F ( vecs r (t)) cdot ⟨1،0⟩ ، dt [4pt] & = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x P (t، y) ، dt. [4pt] end {محاذاة *} ]

حسب النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل (الجزء الأول) ،

[f_x (x، y) = dfrac {∂} {∂x} int_a ^ x P (t، y) ، dt = P (x، y). nonumber ]

تظهر حجة مماثلة باستخدام مقطع خط عمودي بدلاً من مقطع خط أفقي أن (f_y (x، y) = Q (x، y) ).

لذلك ( vecs nabla f = vecs F ) و ( vecs {F} ) محافظان.

(مربع)

لقد أمضينا الكثير من الوقت في مناقشة وإثبات النظريات أعلاه ، ولكن يمكننا تلخيصها ببساطة: حقل متجه ( vecs F ) في مجال مفتوح ومتصل يكون متحفظًا إذا وفقط إذا كان مستقلاً عن المسار. من المهم معرفة ذلك لأن حقول المتجهات المحافظة مهمة للغاية في التطبيقات ، وهذه النظريات تعطينا طريقة مختلفة لعرض ما يعنيه أن تكون محافظًا باستخدام استقلالية المسار.

مثال ( PageIndex {4} ): إظهار أن حقل المتجه ليس محافظًا

استخدم استقلالية المسار لإظهار أن حقل المتجه ( vecs F (x، y) = ⟨x ^ 2y، y + 5⟩ ) ليس متحفظًا.

المحلول

يمكننا الإشارة إلى أن ( vecs {F} ) ليس متحفظًا من خلال إظهار أن ( vecs {F} ) ليس مستقلاً عن المسار. نقوم بذلك بإعطاء مسارين مختلفين ، (C_1 ) و (C_2 ) ، يبدأ كلاهما عند ((0،0) ) وينتهي عند ((1،1) ) ، ومع ذلك ( int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r ).

لنفترض أن (C_1 ) هو المنحنى الذي يحتوي على المعلمات ( vecs r_1 (t) = ⟨t ، ، t⟩ ) ، (0≤t≤1 ) واجعل (C_2 ) هو المنحنى مع المعلمات ( vecs r_2 (t) = ⟨t، ، t ^ 2⟩ )، (0≤t≤1 ) (الشكل ( PageIndex {7} ).). ثم

[ start {align *} int_ {C_1} vecs {F} · d vecs r & = int_0 ^ 1 vecs F ( vecs r_1 (t)) · vecs r_1 ′ (t) ، dt [4pt] & = int_0 ^ 1⟨t ^ 3، t + 5⟩ · ⟨1،1⟩ ، dt = int_0 ^ 1 (t ^ 3 + t + 5) ، dt [ 4pt] & = { Big [ dfrac {t ^ 4} {4} + dfrac {t ^ 2} {2} + 5t Big]} _ 0 ^ 1 = dfrac {23} {4} end { محاذاة *} ]

و

[ start {align *} int_ {C_2} vecs F · d vecs r & = int_0 ^ 1 vecs F ( vecs r_2 (t)) · vecs r_2 ′ (t) ، dt [4pt] & = int_0 ^ 1⟨t ^ 4، t ^ 2 + 5⟩ · ⟨1،2t⟩ ، dt = int_0 ^ 1 (t ^ 4 + 2t ^ 3 + 10t) ، dt [4pt] & = { Big [ dfrac {t ^ 5} {5} + dfrac {t ^ 4} {2} + 5t ^ 2 Big]} _ 0 ^ 1 = dfrac {57} {10 }. النهاية {محاذاة *} ]

منذ ( int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r ) ، قيمة سطر تكامل ( vecs {F} ) يعتمد على المسار بين نقطتين معينتين. لذلك ، لا يعد ( vecs {F} ) مستقلاً عن المسار ، و ( vecs {F} ) ليس محافظًا.

تمرين ( PageIndex {4} )

أظهر أن ( vecs {F} (x، y) = ⟨xy، ، x ^ 2y ^ 2⟩ ) ليس مسارًا مستقلاً من خلال اعتبار مقطع السطر من ((0،0) ) إلى ( (0،2) ) وقطعة الرسم البياني لـ (y = dfrac {x ^ 2} {2} ) التي تنتقل من ((0،0) ) إلى ((0،2) ).

تلميح

احسب تكاملات الخط المقابلة.

إجابه

إذا كان (C_1 ) و (C_2 ) يمثلان المنحنيين ، إذن [ int_ {C_1} vecs F cdot d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F cdot d vecs r. لا يوجد رقم]

حقول المتجهات المحافظة والوظائف المحتملة

كما تعلمنا ، تنص النظرية الأساسية لتكاملات الخط على أنه إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا ، فإن حساب ( int_C vecs F · d vecs r ) يتكون من خطوتين: أولاً ، ابحث عن دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ) وثانيًا ، احسب (f (P_1) −f (P_0) ) ، حيث (P_1 ) هي نقطة نهاية (C ) ) و (P_0 ) هي نقطة البداية. لاستخدام هذه النظرية في حقل محافظ ( vecs {F} ) ، يجب أن نكون قادرين على إيجاد دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ). لذلك ، يجب أن نجيب على السؤال التالي: بالنظر إلى حقل متجه محافظ ( vecs {F} ) ، كيف يمكننا العثور على دالة (f ) بحيث ( vecs nabla f = vecs {F} )؟ قبل إعطاء طريقة عامة لإيجاد دالة محتملة ، دعنا نحفز الطريقة بمثال.

مثال ( PageIndex {5} ): البحث عن دالة محتملة

ابحث عن دالة محتملة لـ ( vecs F (x، y) = ⟨2xy ^ 3،3x ^ 2y ^ 2 + cos (y)⟩ ) ، وبذلك أظهر أن ( vecs {F} ) محافظ .

المحلول

افترض أن (f (x، y) ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} ). ثم ، ( vecs nabla f = vecs F ) ، وبالتالي

[f_x (x، y) = 2xy ^ 3 ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ f_y (x، y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos y. لا يوجد رقم]

دمج المعادلة (f_x (x، y) = 2xy ^ 3 ) فيما يتعلق (x ) ينتج عنها المعادلة

[f (x، y) = x ^ 2y ^ 3 + h (y). لا يوجد رقم]

لاحظ أنه نظرًا لأننا ندمج دالة ذات متغيرين فيما يتعلق بـ (x ) ، يجب أن نضيف ثابت تكامل يكون ثابتًا بالنسبة إلى (x ) ، ولكنه قد يظل دالة لـ (y ). يمكن تأكيد المعادلة (f (x، y) = x ^ 2y ^ 3 + h (y) ) بأخذ المشتق الجزئي فيما يتعلق بـ (x ):

[ dfrac {∂f} {∂x} = dfrac {∂} {∂x} (x ^ 2y ^ 3) + dfrac {∂} {∂x} (h (y)) = 2xy ^ 3 + 0 = 2xy ^ 3. لا يوجد رقم]

بما أن (f ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} ) ،

[f_y (x، y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos (y)، nonumber ]

وبالتالي

[3x ^ 2y ^ 2 + g ′ (y) = 3x ^ 2y ^ 2 + cos (y). لا يوجد رقم]

هذا يعني أن (h ′ (y) = cos y ) ، لذلك (h (y) = sin y + C ). وبالتالي، أي دالة النموذج (f (x، y) = x ^ 2y ^ 3 + sin (y) + C ) دالة محتملة. أخذ ، على وجه الخصوص ، (C = 0 ) يعطي الدالة المحتملة (f (x، y) = x ^ 2y ^ 3 + sin (y) ).

للتحقق من أن (f ) دالة محتملة ، لاحظ أن ( vecs nabla f (x، y) = ⟨2xy ^ 3،3x ^ 2y ^ 2 + cos y⟩ = vecs F ).

تمرين ( PageIndex {5} )

ابحث عن دالة محتملة لـ ( vecs {F} (x، y) = ⟨e ^ xy ^ 3 + y، 3e ^ xy ^ 2 + x⟩ ).

تلميح

اتبع الخطوات في المثال ( PageIndex {5} ).

إجابه

(و (س ، ص) = ه ^ س ص ^ 3 + س ص )

يمتد منطق المثال السابق إلى إيجاد الوظيفة المحتملة لأي حقل متجه متحفظ في (ℝ ^ 2 ). وبالتالي ، لدينا استراتيجية حل المشكلات التالية للعثور على الوظائف المحتملة:

استراتيجية حل المشكلات: إيجاد وظيفة محتملة لمجال ناقل محافظ ( vecs {F} (x، y) = ⟨P (x، y)، Q (x، y)⟩ )

  1. ادمج (ف ) بالنسبة إلى (س ). ينتج عن هذا دالة على الشكل (g (x، y) + h (y) ) ، حيث (h (y) ) غير معروف.
  2. خذ المشتق الجزئي لـ (g (x، y) + h (y) ) بالنسبة لـ (y ) ، والذي ينتج عنه الدالة (gy (x، y) + h ′ (y) ) .
  3. استخدم المعادلة (gy (x، y) + h ′ (y) = Q (x، y) ) لإيجاد (h ′ (y) ).
  4. ادمج (h ′ (y) ) لإيجاد (h (y) ).
  5. أي دالة بالنموذج (f (x، y) = g (x، y) + h (y) + C ) حيث (C ) ثابت ، هي دالة محتملة لـ ( vecs { F}).

يمكننا تكييف هذه الاستراتيجية لإيجاد وظائف محتملة لحقول المتجه في (ℝ ^ 3 ) ، كما هو موضح في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {6} ): البحث عن دالة محتملة في (ℝ ^ 3 )

ابحث عن دالة محتملة لـ (F (x، y، z) = ⟨2xy، x ^ 2 + 2yz ^ 3،3y ^ 2z ^ 2 + 2z⟩ ) ، وبذلك أظهر أن ( vecs {F} ) محافظ.

المحلول

افترض أن (f ) دالة محتملة. ثم ، ( vecs nabla f = vecs {F} ) وبالتالي (f_x (x ، y ، z) = 2xy ). ينتج عن دمج هذه المعادلة فيما يتعلق بـ (x ) المعادلة (f (x، y، z) = x ^ 2y + g (y، z) ) لبعض الوظائف (g ). لاحظ ، في هذه الحالة ، أن ثابت التكامل بالنسبة لـ (x ) هو دالة (y ) و (z ).

بما أن (f ) وظيفة محتملة ،

[x ^ 2 + 2yz ^ 3 = f_y (x، y، z) = x ^ 2 + g_y (y، z). لا يوجد رقم]

وبالتالي،

[g_y (y، z) = 2yz ^ 3. لا يوجد رقم]

دمج هذه الوظيفة فيما يتعلق بإنتاجية (ص )

[g (y، z) = y ^ 2z ^ 3 + h (z) nonumber ]

لبعض الوظائف (ح (ض) ) من (ض ) وحدها. (لاحظ أنه نظرًا لأننا نعلم أن (g ) دالة فقط (y ) و (z ) ، لا نحتاج إلى كتابة (g (y ، z) = y ^ 2z ^ 3 + ح (س ، ض) ).) لذلك ،

[f (x، y، z) = x ^ 2y + g (y، z) = x ^ 2y + y ^ 2z ^ 3 + h (z). لا يوجد رقم]

للعثور على (f ) ، يجب علينا الآن فقط العثور على (h ). بما أن (f ) وظيفة محتملة ،

[3y ^ 2z ^ 2 + 2z = g_z (y، z) = 3y ^ 2z ^ 2 + h ′ (z). لا يوجد رقم]

هذا يعني أن (h ′ (z) = 2z ) ، لذلك (h (z) = z ^ 2 + C ). يعطي ترك (C = 0 ) الوظيفة المحتملة

[f (x، y، z) = x ^ 2y + y ^ 2z ^ 3 + z ^ 2. لا يوجد رقم]

للتحقق من أن (f ) دالة محتملة ، لاحظ أن ( vecs nabla f (x، y، z) = ⟨2xy، x ^ 2 + 2yz ^ 3،3y ^ 2z ^ 2 + 2z⟩ = vecs F (س ، ص ، ض) ).

تمرين ( PageIndex {6} )

ابحث عن دالة محتملة لـ ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨12x ^ 2، cos y cos z، 1− sin y sin z⟩ ).

تلميح

باتباع المثال ( PageIndex {6} ) ، ابدأ بالتكامل فيما يتعلق بـ (x ).

إجابه

(f (x، y، z) = 4x ^ 3 + sin y cos z + z )

يمكننا تطبيق عملية إيجاد دالة محتملة لقوة الجاذبية. تذكر أنه إذا كان للجسم كتلة وحدة وكان موجودًا في الأصل ، فإن قوة الجاذبية في (^ 2 ) التي يمارسها الجسم على كائن آخر من كتلة الوحدة عند النقطة ((x ، y) ) من خلال حقل المتجه

( vecs F (x، y) = - G left langle dfrac {x} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} ، dfrac {y} {{( س ^ 2 + ص ^ 2)} ^ {3/2}} يمين rangle ) ،

حيث (G ) هو ثابت الجاذبية العام. في المثال التالي ، نبني دالة محتملة لـ ( vecs {F} ) ، وبالتالي تأكيد ما نعرفه بالفعل: أن الجاذبية متحفظة.

مثال ( PageIndex {7} ): البحث عن دالة محتملة

ابحث عن دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} (x، y) = - G left langle dfrac {x} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}} ، dfrac {y} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ).

المحلول

افترض أن (f ) دالة محتملة. ثم ، ( vecs nabla f = vecs {F} ) وبالتالي

[f_x (x، y) = dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}}. nonumber ]

لدمج هذه الوظيفة فيما يتعلق (x ), يمكننا استخدام (u ) - الاستبدال. إذا (u = x ^ 2 + y ^ 2 ) ، إذن ( dfrac {du} {2} = x ، dx ) ، لذلك

[ begin {align *} int dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} ، dx & = int dfrac {−G} {2u ^ {3/2}} ، du [4pt] & = dfrac {G} { sqrt {u}} + h (y) [4pt] & = dfrac {G} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y) end {align *} ]

لبعض الوظائف (ح (ص) ). وبالتالي،

[f (x، y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y). nonumber ]

بما أن (f ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} ) ،

[f_y (x، y) = dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} nonumber ].

بما أن (f (x، y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} + h (y) ) ، (f_y (x، y) ) يساوي أيضًا ( dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} + h ′ (y) ).

وبالتالي،

[ dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} + h ′ (y) = dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2 )} ^ {3/2}} ، nonumber ]

مما يعني أن (ح ′ (ص) = 0 ). وبالتالي ، يمكننا اعتبار (h (y) ) أي ثابت ؛ على وجه الخصوص ، يمكننا ترك (ح (ص) = 0 ). الوظيفة

[f (x، y) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} nonumber ]

هي دالة محتملة لمجال الجاذبية ( vecs {F} ). لتأكيد أن (f ) دالة محتملة ، لاحظ ذلك

[ start {align *} vecs nabla f (x، y) & = ⟨− dfrac {1} {2} dfrac {G} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}} (2x) ، - dfrac {1} {2} dfrac {G} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} (2y)⟩ [4pt] & = ⟨ dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3/2}} ، dfrac {Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ {3 / 2}⟩ [4pt] & = vecs F (x، y). النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

ابحث عن دالة محتملة (f ) لقوة الجاذبية ثلاثية الأبعاد ( vecs {F} (x، y، z) = left langle dfrac {−Gx} {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}} ، dfrac {−Gy} {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}} ، dfrac {−Gz } {{(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)} ^ {3/2}} right rangle ).

تلميح

اتبع استراتيجية حل المشكلات.

إجابه

(f (x، y، z) = dfrac {G} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

اختبار حقل متجه

حتى الآن ، عملنا مع الحقول المتجهة التي نعرف أنها محافظة ، ولكن إذا لم يتم إخبارنا بأن حقل المتجه محافظ ، فنحن بحاجة إلى أن نكون قادرين على اختبار ما إذا كان حقلًا محافظًا. تذكر أنه إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا ، فإن ( vecs {F} ) له خاصية الجزئية العرضية (راجع خاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields). أي إذا كان ( vecs F = ⟨P ، Q ، R⟩ ) محافظًا ، إذن (P_y = Q_x ) ، (P_z = R_x ) ، و (Q_z = R_y ) لذا ، إذا كان ( vecs {F} ) يحتوي على خاصية الجزئية التبادلية ، فهل ( vecs {F} ) متحفظ؟ إذا كان مجال ( vecs {F} ) مفتوحًا ومتصلًا ببساطة ، فإن الإجابة هي نعم.

نظرية: الاختبار الشامل للحقول المحافظة

إذا كان ( vecs {F} = ⟨P، Q، R⟩ ) عبارة عن حقل متجه في منطقة مفتوحة ومتصلة ببساطة (D ) و (P_y = Q_x ) ، (P_z = R_x ) ، و (Q_z = R_y ) طوال (D ) ، ثم ( vecs {F} ) محافظ.

على الرغم من أن إثبات هذه النظرية خارج نطاق النص ، يمكننا اكتشاف قوتها ببعض الأمثلة. لاحقًا ، نرى لماذا من الضروري أن تكون المنطقة متصلة ببساطة.

بدمج هذه النظرية مع الخاصية الجزئية العرضية ، يمكننا تحديد ما إذا كان حقل متجه معينًا متحفظًا أم لا:

نظرية: الملكية المشتركة للأجزاء المحافظة

لنفترض أن ( vecs {F} = P، Q، R⟩ ) يكون حقلاً متجهًا في منطقة مفتوحة ومتصلة ببساطة (D ). ثم (P_y = Q_x ) و (P_z = R_x ) و (Q_z = R_y ) طوال (D ) فقط إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا.

نسخة هذه النظرية في (ℝ ^ 2 ) صحيحة أيضًا. إذا كان ( vecs F (x، y) = P، Q⟩ ) عبارة عن حقل متجه في مجال مفتوح ومتصل ببساطة في (ℝ ^ 2 ) ، فإن ( vecs F ) يكون متحفظًا إذا وفقط إذا (P_y = Q_x ).

مثال ( PageIndex {8} ): تحديد ما إذا كان حقل المتجه محافظًا

حدد ما إذا كان حقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = ⟨xy ^ 2z، x ^ 2yz، z ^ 2⟩ ) محافظًا.

المحلول

لاحظ أن مجال ( vecs {F} ) هو كل (ℝ ^ 2 ) و (ℝ ^ 3 ) متصل ببساطة. لذلك ، يمكننا استخدام الملكية الجزئية التبادلية لحقول المتجهات المحافظة لتحديد ما إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا. يترك

[P (x، y، z) = xy ^ 2z nonumber ]

[Q (x، y، z) = x ^ 2yz nonumber ]

و

[R (x، y، z) = z ^ 2. nonumber ]

بما أن (Q_z (x، y، z) = x ^ 2y ) و (R_y (x، y، z) = 0 ) ، فإن حقل المتجه ليس محافظًا.

مثال ( PageIndex {9} ): تحديد ما إذا كان حقل المتجه محافظًا

تحديد حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨x ln (y)، ، dfrac {x ^ 2} {2y}⟩ ) محافظ.

المحلول

لاحظ أن مجال ( vecs {F} ) هو جزء من (ℝ ^ 2 ) حيث (y> 0 ). وبالتالي ، فإن مجال ( vecs {F} ) هو جزء من مستوى فوق محور (x ) - وهذا المجال متصل ببساطة (لا توجد ثقوب في هذه المنطقة وهذه المنطقة متصلة). يترك

[P (x، y) = x ln (y) ؛ ؛ text {and} ؛ ؛ Q (x، y) = dfrac {x ^ 2} {2y}. لا يوجد رقم]

ثم (P_y (x، y) = dfrac {x} {y} = Q_x (x، y) ) وبالتالي فإن ( vecs {F} ) محافظ.

تمرين ( PageIndex {8} )

حدد ما إذا كان ( vecs {F} (x، y) = ⟨ sin x cos y، ، cos x sin y⟩ ) محافظًا.

تلميح

يستخدم الملكية الجزئية التبادلية لحقول المتجهات المحافظة من القسم السابق.

إجابه

إنه متحفظ.

عند استخدام الملكية الجزئية التبادلية لحقول المتجهات المحافظة، من المهم أن تتذكر أن النظرية هي أداة ، ومثل أي أداة ، لا يمكن تطبيقها إلا في ظل الظروف المناسبة. في حالة الملكية الجزئية التبادلية لحقول المتجهات المحافظة، لا يمكن تطبيق النظرية إلا إذا كان مجال حقل المتجه متصلاً ببساطة.

لمعرفة الخطأ الذي يمكن أن يحدث عند إساءة تطبيق النظرية ، ضع في اعتبارك حقل المتجه من المثال ( PageIndex {4} ):

[ vecs F (x، y) = dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} ، hat { mathbf i} + dfrac {−x} {x ^ 2 + y ^ 2} ، hat { mathbf j}. ]

هذا الحقل المتجه يفي بالخاصية الجزئية العرضية ، منذ ذلك الحين

[ dfrac {∂} {∂y} left ( dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} right) = dfrac {(x ^ 2 + y ^ 2) −y (2y)} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ 2} = dfrac {x ^ 2 − y ^ 2} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ 2} ]

و

[ dfrac {∂} {∂x} left ( dfrac {−x} {x ^ 2 + y ^ 2} right) = dfrac {- (x ^ 2 + y ^ 2) + x (2x )} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ 2} = dfrac {x ^ 2 − y ^ 2} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ 2}. ]

نظرًا لأن ( vecs {F} ) يفي بخاصية الجزئية العرضية ، فقد نميل إلى استنتاج أن ( vecs {F} ) محافظ. ومع ذلك ، فإن ( vecs {F} ) ليس متحفظًا. لرؤية هذا ، دعونا

[ vecs r (t) = ⟨ cos t، sin t⟩، ؛ ؛ 0≤t≤ pi ]

تكون معلمة للنصف العلوي من دائرة الوحدة الموجهة عكس اتجاه عقارب الساعة (أشر إلى هذا (C_1 )) ودع

[ vecs s (t) = ⟨ cos t، - sin t⟩، ؛ ؛ 0≤t≤ pi ]

تكون معلمة للنصف السفلي من دائرة الوحدة الموجهة باتجاه عقارب الساعة (أشر إلى هذا (C_2 )). لاحظ أن (C_1 ) و (C_2 ) لهما نفس نقطة البداية ونقطة النهاية. منذ ({ sin} ^ 2 t + { cos} ^ 2 t = 1 ) ،

[ vecs F ( vecs r (t)) cdot vecs r ′ (t) = ⟨ sin (t) ، - cos (t)⟩ cdot ⟨− sin (t) ، cos ( ر)⟩ = −1 ]

و

[ vecs F ( vecs s (t)) · vecs s ′ (t) = ⟨− sin t، - cos t⟩ · ⟨− sin t، - cos t⟩ = { sin} ^ 2 t + { cos} ^ 2t = 1. ]

وبالتالي،

[ int_ {C_1} vecs F · d vecs r = int_0 ^ { pi} −1 ، dt = - pi ]

و

[ int_ {C_2} vecs F · d vecs r = int_0 ^ { pi} 1 ، dt = pi. ]

وبالتالي ، (C_1 ) و (C_2 ) لهما نفس نقطة البداية ونقطة النهاية ، ولكن ( int_ {C_1} vecs F · d vecs r ≠ int_ {C_2} vecs F · d vecs r ). لذلك ، لا يعد ( vecs {F} ) مستقلاً عن المسار و ( vecs {F} ) ليس محافظًا.

للتلخيص: ( vecs {F} ) يفي بخاصية الجزئية العرضية ومع ذلك فإن ( vecs {F} ) ليس متحفظًا. ماذا حصل؟ هل هذا يتناقض الملكية الجزئية التبادلية لحقول المتجهات المحافظة؟ تكمن المشكلة في أن مجال ( vecs {F} ) هو بالكامل (ℝ ^ 2 ) باستثناء الأصل. بعبارة أخرى ، يحتوي مجال ( vecs {F} ) على فجوة في الأصل ، وبالتالي فإن المجال غير متصل ببساطة. نظرًا لأن المجال غير متصل ببساطة ، الملكية الجزئية التبادلية لحقول المتجهات المحافظة لا ينطبق على ( vecs {F} ).

نغلق هذا القسم من خلال النظر في مثال على فائدة النظرية الأساسية لتكاملات الخط. الآن بعد أن أصبح بإمكاننا اختبار ما إذا كان حقل المتجه متحفظًا ، يمكننا دائمًا تحديد ما إذا كان يمكن استخدام النظرية الأساسية لتكامل الخط لحساب تكامل خط متجه. إذا طُلب منا حساب جزء لا يتجزأ من النموذج ( int_C vecs F · d vecs r ) ، فيجب أن يكون سؤالنا الأول: هل ( vecs {F} ) محافظ؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، فيجب أن نجد دالة محتملة ونستخدم النظرية الأساسية لتكامل الخط لحساب التكامل. إذا كانت الإجابة لا ، فإن النظرية الأساسية لتكامل الخط لا يمكن أن تساعدنا وعلينا استخدام طرق أخرى ، مثل استخدام الطريقة من القسم السابق (باستخدام ( vecs F ( vecs r (t)) ) و ( vecs r '(t) )).

مثال ( PageIndex {10} ): استخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط

حساب تكامل سطر ( int_C vecs F · d vecs r ) ، حيث ( vecs F (x، y، z) = ⟨2xe ^ yz + e ^ xz، ، x ^ 2e ^ yz، ، x ^ 2e ^ y + e ^ x⟩ ) و (C ) هو أي منحنى سلس ينتقل من الأصل إلى ((1،1،1) ).

المحلول

قبل محاولة حساب التكامل ، نحتاج إلى تحديد ما إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا وما إذا كان مجال ( vecs {F} ) متصلًا ببساطة. مجال ( vecs {F} ) هو كامل (ℝ ^ 3 ) ، وهو متصل وليس به ثقوب. لذلك ، فإن مجال ( vecs {F} ) متصل ببساطة. يترك

[P (x، y، z) = 2xe ^ yz + e ^ xz، ؛ ؛ س (س ، ص ، ض) = س ^ 2e ^ yz ، ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ R (x، y، z) = x ^ 2e ^ y + e ^ x nonumber ]

بحيث ( vecs {F} (س ، ص ، ض) = ⟨P ، Q ، R⟩ ). نظرًا لأن مجال ( vecs {F} ) متصل ببساطة ، يمكننا التحقق من الأجزاء المتقاطعة لتحديد ما إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا. لاحظ أن

[ start {align *} P_y (x، y، z) & = 2xe ^ yz = Q_x (x، y، z) [4pt] P_z (x، y، z) & = 2xe ^ y + e ^ x = R_x (x، y، z) [4pt] Q_z (x، y، z) & = x ^ 2e ^ y = R_y (x، y، z). end {align *} ]

لذلك ، ( vecs {F} ) محافظ.

لتقييم ( int_C vecs F · d vecs r ) باستخدام النظرية الأساسية لتكامل الخط ، نحتاج إلى إيجاد دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ). لنفترض أن (f ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} ). ثم ، ( vecs nabla f = vecs F ) ، وبالتالي (f_x (x ، y ، z) = 2xe ^ yz + e ^ xz ). يؤدي دمج هذه المعادلة فيما يتعلق بـ (x ) إلى (f (x، y، z) = x ^ 2e ^ yz + e ^ xz + h (y، z) ) لبعض الوظائف (h ). التفريق بين هذه المعادلة بالنسبة إلى (y ) يعطي (x ^ 2e ^ yz + h_y (y، z) = Q (x، y، z) = x ^ 2e ^ yz ) ، مما يعني أن (h_y (ص ، ض) = 0 ). لذلك ، (h ) هي دالة لـ (z ) فقط ، و (f (x ، y ، z) = x ^ 2e ^ yz + e ^ xz + h (z) ). لإيجاد (h ) ، لاحظ أن (f_z = x ^ 2e ^ y + e ^ x + h ′ (z) = R = x ^ 2e ^ y + e ^ x ). لذلك ، (ح ′ (ض) = 0 ) ويمكننا أن نأخذ (ح (ض) = 0 ). دالة محتملة لـ ( vecs {F} ) هي (f (x، y، z) = x ^ 2e ^ yz + e ^ xz ).

الآن بعد أن أصبح لدينا دالة محتملة ، يمكننا استخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط لتقييم التكامل. بالنظرية ،

[ start {align *} int_C vecs F · d vecs r & = int_C vecs nabla f · d vecs r [4pt] & = f (1،1،1) −f ( 0،0،0) [4pt] & = 2e. النهاية {محاذاة *} ]

التحليلات

لاحظ أنه إذا لم نتعرف على أن ( vecs {F} ) متحفظ ، فسنضطر إلى تحديد معلمات (C ) واستخدام الطريقة من القسم السابق. نظرًا لأن المنحنى (C ) غير معروف ، فإن استخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط أسهل بكثير.

تمرين ( PageIndex {9} )

حساب متكامل ( int_C vecs F · d vecs r ) ، حيث ( vecs {F} (x، y) = ⟨ sin x sin y، 5− cos x cos y⟩ ) و (C ) عبارة عن نصف دائرة بنقطة البداية ((0، pi) ) ونقطة النهاية ((0، - pi) ).

تلميح

استخدم النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

إجابه

(- 10 بي )

مثال ( PageIndex {11} ): تم العمل على جسيم

لنفترض ( vecs F (x، y) = ⟨2xy ^ 2،2x ^ 2y⟩ ) أن يكون حقل قوة. افترض أن الجسيم يبدأ حركته في الأصل وينهي حركته في أي نقطة في مستوى غير موجود على المحور (س ) أو المحور (ص ). علاوة على ذلك ، يمكن نمذجة حركة الجسيم باستخدام معلمات سلسة. بيّن أن ( vecs {F} ) يقوم بعمل إيجابي على الجسيم.

المحلول

نوضح أن ( vecs {F} ) يقوم بعمل إيجابي على الجسيم من خلال إظهار أن ( vecs {F} ) محافظ ثم باستخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

لإثبات أن ( vecs {F} ) محافظ ، افترض أن (f (x، y) ) كانت دالة محتملة لـ ( vecs {F} ). ثم ، ( vecs nabla f (x، y) = vecs F (x، y) = ⟨2xy ^ 2،2x ^ 2y⟩ ) وبالتالي (f_x (x، y) = 2xy ^ 2 ) و (f_y (x، y) = 2x ^ 2y ). المعادلة (fx (x، y) = 2xy ^ 2 ) تعني أن (f (x، y) = x ^ 2y ^ 2 + h (y) ). ينتج عن اشتقاق كلا الجانبين بالنسبة إلى (y ) (f_y (x، y) = 2x ^ 2y + h ′ (y) ). لذلك ، (ح ′ (ص) = 0 ) ويمكننا أن نأخذ (ح (ص) = 0 ).

إذا كان (f (x، y) = x ^ 2y ^ 2 ) ، لاحظ أن ( vecs nabla f (x، y) = ⟨2xy ^ 2،2x ^ 2y⟩ = vecs F ) ، وبالتالي فإن (f ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} ).

لنفترض ((أ ، ب) ) أن النقطة التي يتوقف عندها الجسيم هي الحركة ، ودع (C ) يشير إلى المنحنى الذي يمثل حركة الجسيم. العمل الذي أنجزه ( vecs {F} ) على الجسيم هو ( int_C vecs {F} · d vecs {r} ). بواسطة النظرية الأساسية لتكامل الخط ،

[ start {align *} int_C vecs F · d vecs r & = int_C nabla f · d vecs r [4pt] & = f (a، b) −f (0،0) [4pt] & = a ^ 2b ^ 2. النهاية {محاذاة *} ]

منذ (أ ≠ 0 ) و (ب ≠ 0 ) ، على افتراض ، (أ ^ 2 ب ^ 2> 0 ). لذلك ، يقوم ( int_C vecs F · d vecs r> 0 ) و ( vecs {F} ) بعمل إيجابي على الجسيم.

التحليلات

لاحظ أن هذه المشكلة ستكون أكثر صعوبة بدون استخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط. لتطبيق الأدوات التي تعلمناها ، سنحتاج إلى إعطاء معلمات منحنى واستخدام الطريقة من القسم السابق. نظرًا لأن مسار الحركة (C ) يمكن أن يكون غريبًا كما نرغب (طالما أنه سلس) ، فقد يكون من الصعب جدًا تحديد معلمات حركة الجسيم.

تمرين ( PageIndex {10} )

لنفترض ( vecs {F} (x، y) = ⟨4x ^ 3y ^ 4،4x ^ 4y ^ 3⟩ ) ، وافترض أن الجسيم ينتقل من النقطة ((4،4) ) إلى ( (1،1) ) على طول أي منحنى سلس. هل الشغل الذي تم إنجازه بواسطة ( vecs {F} ) على الجسيم موجب أم سالب أم صفر؟

تلميح

استخدم النظرية الأساسية لتكاملات الخط.

إجابه

سلبي

المفاهيم الرئيسية

  • تتطلب النظريات في هذا القسم منحنيات مغلقة أو بسيطة أو كليهما ، ومناطق متصلة أو متصلة ببساطة.
  • يمكن حساب تكامل الخط في حقل متجه محافظ باستخدام النظرية الأساسية لتكاملات الخط. هذه النظرية هي تعميم للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل في أبعاد أعلى. يؤدي استخدام هذه النظرية عادةً إلى تسهيل حساب خط التكامل.
  • الحقول المحافظة مستقلة عن المسار. يعتمد الخط المتكامل للحقل المحافظ فقط على قيمة الوظيفة المحتملة عند نقاط نهاية منحنى المجال.
  • بالنظر إلى حقل المتجه ( vecs {F} ) ، يمكننا اختبار ما إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا باستخدام خاصية Cross-part. إذا كان ( vecs {F} ) يحتوي على خاصية جزئية متقاطعة وكان المجال متصلًا ببساطة ، فإن ( vecs {F} ) يكون محافظًا (وبالتالي لديه وظيفة محتملة). إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا ، فيمكننا إيجاد وظيفة محتملة باستخدام إستراتيجية حل المشكلات.
  • إن دوران مجال ناقل متحفظ على مجال متصل ببساطة عبر منحنى مغلق يساوي صفرًا.

المعادلات الرئيسية

  • النظرية الأساسية لتكاملات الخط
    ( displaystyle int_C vecs nabla f · d vecs r = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) )
  • تداول مجال متحفظ على منحنى ج التي تضم منطقة متصلة ببساطة
    ( displaystyle oint_C vecs nabla f · d vecs r = 0 )

قائمة المصطلحات

منحنى مغلق
منحنى يبدأ وينتهي عند نفس النقطة
منطقة متصلة
منطقة يمكن فيها توصيل أي نقطتين بواسطة مسار به أثر موجود بالكامل داخل المنطقة
النظرية الأساسية لتكاملات الخط
تعتمد قيمة سطر متكامل ( displaystyle int_C vecs ∇f⋅d vecs r ) فقط على قيمة (f ) عند نقاط نهاية (C: displaystyle int_C vecs ∇f⋅ د vecs r = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)) )
استقلال المسار
حقل متجه ( vecs {F} ) لديه استقلالية المسار إذا ( displaystyle int_ {C_1} vecs F⋅d vecs r = displaystyle int_ {C_2} vecs F⋅d vecs r ) لأي منحنيات (C_1 ) و (C_2 ) في مجال ( vecs {F} ) بنفس النقاط الأولية والنقاط النهائية
منحنى بسيط
منحنى لا يتقاطع مع نفسه
منطقة متصلة ببساطة
منطقة متصلة ولديها خاصية أن أي منحنى مغلق يقع بالكامل داخل المنطقة يشمل نقاطًا موجودة بالكامل داخل المنطقة

حقول ناقلات غير محافظة

قم بتنزيل الفيديو من iTunes U أو Internet Archive.

كريستين براينر: أهلا بكم من جديد في التلاوة. في هذا الفيديو ، أريد أن نعمل على المشكلة التالية ، وهي إظهار أن حقل المتجه هذا ليس متحفظًا. ومجال المتجه هو ناقص y * i زائد x * j ، الكل مقسومًا على x تربيع زائد y تربيع. لذا يمكنك التفكير في هذا في مكونين منفصلين ، إذا كنت بحاجة إلى ذلك ، مثل ناقص y على x تربيع زائد y تربيع i زائد x على x تربيع زائد y تربيع j. هذا هو بالضبط نفس الشيء. لذا هدفك هو إظهار أن حقل المتجه هذا ليس متحفظًا ولماذا لا تعمل على ذلك لبعض الوقت ، أوقف الفيديو مؤقتًا ، وبعد ذلك عندما تكون مستعدًا لرؤية الحل الخاص بي ، يمكنك إعادة الفيديو احتياطيًا.

لذا نرحب بعودتك. حسنًا ، ربما اعتقد بعضكم أن لدي خطأ مطبعي في هذه المشكلة في البداية ، وأردت منكم أن تظهروا أنها ، في الواقع ، كانت متحفظة ، لكنها في الواقع ليست مجالًا متحفظًا. واسمحوا لي أن أشرح كيف يمكننا أن نظهر أنه ليس متحفظًا ولماذا ربما ما فعلته في البداية لمحاولة إظهار أنه لم ينجح. لذلك ربما كانت تلك الصياغة محيرة بعض الشيء ، لكن دعني أخوضك في شرحها.

لذا فإن أول شيء أتخيل أنك جربته هو أنك نظرت إلى M sub و N x. إذن M في هذه الحالة هو سالب y على x تربيع زائد y تربيع. و N في هذه الحالة ، N في هذه الحالة ، هي x على x تربيع زائد y تربيع. لذا إذا عملت على ذلك ، فربما تكون قد فعلت ذلك أو ربما لم تفعله ، وسأريك فقط. M sub y - دعني أتحقق مرة أخرى - هل y تربيع ناقص x تربيع على x تربيع زائد y تربيع ، أعتقد بوجود مربع إضافي عليه. نعم. وهذا أيضًا يساوي N x. يمين؟

ما تعرفه حتى الآن ، ما كنت قد فكرت به على الفور ، كان جيدًا ، N x ناقص M الفرعية y هو تجعيد F وهذا يساوي 0 ، وبالتالي فإن حقل المتجه هذا محافظ. لكن المشكلة هي أن النظرية التي كنت تفكر فيها لا تصح. والسبب هو وجود فرضيتين في تلك النظرية. أحدهما هو أنه إذا قمت بتعريف حقل المتجه هذا ، إذا سميته F بالحقل الكبير ، حقل المتجه - أو النظرية هي أن حرف F الكبير محدد في كل مكان ، و curl F يساوي 0 ، يشير إلى F محافظة.

حسنا. هذه هي النظرية التي ربما كنت تحاول استخدامها. ترى من هذا أن تجعيد F يساوي 0 ، لكن المشكلة هي الجزء الأول من هذه العبارة ، أن F معرّفة في كل مكان ، ليست صحيحة. في الواقع ، هناك مكان واحد في R ^ 2 حيث لم يتم تعريف هذا الحقل المتجه ، وذلك عندما تكون x تساوي 0 و y تساوي 0. لأنه في هذه المرحلة ، من الواضح أن المقام هو صفر ونواجه مشكلة.لذلك لا يمكنك استخدام هذه النظرية لتقول أن F محافظة لأنها غير محددة في كل مكان. أو يجب أن أكون حذرا كيف أقول ذلك. هناك في مكان ما لم يتم تعريفه. لذلك على الرغم من أن تجعيد F يساوي 0 ، فإن الجزء الأول من العبارة غير صحيح. لذلك لا يمكنك الحصول على أي شيء من هذه النظرية. لذا فإن معرفة تجعيد F يساوي 0 لا يخبرك ما إذا كان متحفظًا أم لا. نعم؟

والآن ما سأفعله هو أنني سأعرض - لقد أخبرتك أننا نريد أن نظهر أنه ليس متحفظًا. سأريكم كيف يمكننا إظهار ذلك. وما سنفعله هو أننا سنجد حلقة ، حلقة مغلقة ، لذا منحنى مغلق في R ^ 2 ، عندما أقوم بدمج هذا الحقل المتجه فوق هذا المنحنى المغلق ، لا أحصل على صفر. ومن ثم نعرف أن مجال المتجه ليس متحفظًا. لذلك هذا ما سنفعله. لذلك اسمحوا لي أن أكتبها بشكل صريح ثم سنكتشف المنحنى الذي نريده ، ثم سنقوم بتعديل المنحنى بشكل مناسب.

لذلك سأعرض ، بالنسبة لبعض المنحنيات المغلقة - سأختار المنحنى الخاص بي وسأقوم بالتكامل مع المنحنى المغلق وسأقوم بدمج هذا. ناقص y على x تربيع زائد y تربيع dx زائد x على x تربيع زائد y تربيع dy. وسأوضح أنني إذا اخترت منحنىًا معينًا ، فسأحصل على شيء لا يساوي الصفر ، حسنًا؟ والمنحنى الذي سأختاره هو دائرة الوحدة. إذن سنجعل C دائرة الوحدة. لنفترض أن C تساوي - سأكتب دائرة الوحدة فقط.

ولكن كيف يمكنني تحديد معلمات دائرة الوحدة بسهولة؟ يمكنني تحديد معلمات دائرة الوحدة بسهولة بواسطة x يساوي جيب التمام ثيتا و y يساوي جيب ثيتا. لذا اسمحوا لي أن أفعل ذلك. ولماذا أختار دائرة الوحدة؟ سنرى لماذا هذا في ثانية. إذن سنجعل x يساوي ثيتا و y يساوي جيب تمام ثيتا. والآن نحن نعرف ما يحدث هنا ونعرف ما يحدث هنا. بالمناسبة ، ما هو x تربيع زائد y تربيع؟ إنها جيب التمام التربيعي ثيتا زائد جيب تربيع ثيتا ، وهو ما يساوي 1. هذا هو بالضبط مربع نصف القطر وبما أننا على دائرة الوحدة ، فإن هذا هو 1. ولهذا اخترت دائرة الوحدة لأنني أردت أن يكون المقام هو بسيط جدا.

حسنًا ، لقد حصلت على الحرفين x و y. الآن ما هو DX؟ سيكون dx مساويًا لسالب الجيب ثيتا د ثيتا. وماذا دى؟ سأكتبها هنا مباشرة. سيساوي dy جيب التمام ثيتا d ثيتا. لذا اسمحوا لي أن أشير مرة أخرى إلى ما كنا نفعله هنا. نريد تحديد معلمات دائرة الوحدة. لقد اخترت تحديد معلماتها في ثيتا ، وهو ما لم أخبرك به بحدودي حتى الآن ، لكنني فعلت كل شيء آخر. كنت بحاجة لمعرفة معنى x و y وأيضًا ما هو dx و dy. والآن يمكنني البدء في الاستبدال.

لذلك دعونا نفهم ما سأحصل عليه عندما أبدأ بالتعويض. أنا أتكامل الآن. مرة أخرى ، قلت إنني لم أذكر الحدود. ما هي حدود ثيتا للحصول على دائرة الوحدة بأكملها؟ سأقوم فقط بالتكامل من 0 إلى 2 * pi. لذلك أقوم بدمج من 0 إلى 2 * pi. هذا يأخذني على طول الطريق حول الدائرة. ناقص y هو سالب جيب الزاوية ثيتا. هذا الجزء هو 1 كما ذكرت سابقًا. ثم dx يساوي سالب الجيب ثيتا d ثيتا. إذن لدي سالب شرط جيب ثيتا مضروبًا في ناقص جيب ثيتا. هذا سوف يعطيني جيب مربع ثيتا د ثيتا. ثم هذا الحد ، الحد الثاني ، عندما أقوم بالتكامل على المنحنى ، سأعيد كتابة واحد آخر هنا بشكل منفصل مؤقتًا. x هي جيب التمام ثيتا. x تربيع زائد y تربيع يساوي 1. و dy هو جيب التمام ثيتا d ثيتا. لذا أحصل على جيب التمام التربيعي ثيتا د ثيتا. حسنا؟

الآن نحن هنا. إذا حاولت دمج كلاهما بشكل منفصل ، فقد يستغرق الأمر وقتًا طويلاً جدًا وسيكون نوعًا من الإزعاج. لكن إذا لاحظت ، لأنه يمكنني إضافة هذه التكاملات ، يمكنني الجمع - لها نفس الحدود ، لذا يمكنني وضعها معًا مرة أخرى. جيب جيب تربيع ثيتا زائد جيب جيب التمام يساوي 1 دائمًا. وهذه متطابقة مثلثية من الجيد معرفتها. إذن هذا في الواقع يساوي التكامل من 0 إلى 2 * pi لـ d ثيتا.

لذا اسمحوا لي أن أعود مرة أخرى وأتأكد من أننا نفهم. نحن نتكامل من 0 إلى 2 * pi sin تربيع ثيتا د ثيتا زائد جيب التمام التربيع ثيتا د ثيتا. هذا مجرد جيب تربيع ثيتا زائد جيب تمام تربيع ثيتا د ثيتا. هذا هو 1. 1 مرة d ثيتا. ولكن ما هذا؟ حسنًا ، هذا التكامل من 0 إلى 2 pi من d ثيتا يتم تقييمه عند 2 * pi و 0. أحصل بالفعل على 2 * pi ، وهو على وجه الخصوص لا يساوي 0 ، أليس كذلك؟ هذا يوضح لك في الواقع أن حقل المتجه هذا ليس متحفظًا.

الآن لماذا هذا منطقي؟ هذا منطقي لأنني إذا فكرت حقًا في ما أفعله - في الواقع ، هذا هو المكان الذي ربما يكون فيه في النهاية أكثر منطقية - ما تفعله هو أنك تنظر في كيفية تغير ثيتا كما تفعل انتقل إلى نقطة الأصل مرة واحدة. وتتغير ثيتا بمقدار 2 * بي. إذا ذهبت طوال الوقت تقريبًا ، فإن قيمة ثيتا تبدأ من 0 ثم ترتفع إلى 2 * pi. وهذا هو بالضبط المكان الذي يأتي منه 2 * pi. هذا في الواقع هو كيف كنت ستتمكن من إظهار أن حقل المتجه هذا ليس متحفظًا.

لذا دعني أعود وأذكرك فقط من أين أتينا. بدأنا بحقل ناقل وأردنا معرفة ما إذا كان غير متحفظ. أردنا أن نظهر - آسف - لم يكن متحفظًا. لذا فإن أول شيء قد ترغب في التحقق منه ، والذي ربما فعلت ، هو ما إذا كان الضفيرة صفرًا. وفي الحقيقة ، التجعيد هو صفر. وربما كنت تعتقد ، حسنًا ، ربما تكون قد فعلت شيئًا خاطئًا ، أو ربما كتبت شيئًا خاطئًا. لكن لا يمكننا في الواقع أن نناشد النظرية التي تريد مناشدتها للتوصل إلى أي استنتاج حول حقل المتجه ، لأن حقل المتجه في مثالنا لم يتم تعريفه لكل قيمة (x ، y). لذلك بالنسبة لكل قيمة في المستوى xy ، لا يمكننا تحديد F. هناك قيمة واحدة لا يمكننا تحديد F. ومن ثم لا يمكننا القول أنه إذا كانت قيمة curl تساوي 0 ، فإن حقل المتجه يكون محافظًا. لا يمكننا استخلاص أي استنتاجات من هذه النظرية.

ثم كان علينا أن نجد طريقة لإظهار أنها ليست متحفظة دون النظر إلى الضفيرة. وهذا يرقى إلى إظهار وجود منحنى مغلق عندما أدمج هذا المنحنى المغلق - عندما أنظر إلى ما يفعله حقل المتجه على هذا المنحنى المغلق - أحصل على شيء غير صفري. واخترنا مثالاً سهلاً. هذا في الواقع ما سيبدو عليه التكامل على المنحنى المغلق في x و y. جعلنا منحنىنا المغلق هو دائرة الوحدة ، ثم وضعنا معلمات في ثيتا. ونرى أن ما يفعله حقل المتجه هذا في الواقع هو النظر إلى ما هو d ثيتا؟ إنه يكتشف ما هو د ثيتا. وهكذا اكتشفنا أن التكامل من 0 إلى 2 * pi لـ d ثيتا ليس صفرًا بشكل واضح. وهذا يعطينا أن حقل المتجه ليس متحفظًا. هذا هو المكان الذي سأتوقف فيه.


مسار مستقل

$ int_ textbf cdot : d textbf$

يكون مسار مستقل في منطقة ذات مجال قوة منتظم لكل منحنى سلس متعدد التعريف (C ) من نقطة ثابتة إلى أخرى .. كما هو موضح في المثال 15.3.1. هذا مشتق من النظرية الأساسية لتكامل الخط حيث ( textbf) مستمر و محافظ على منطقة مفتوحة.

منطقة في المستوى ، أو ثلاثة أبعاد ، هي متصل عندما يمكن ضم أي نقطتين في المنطقة من خلال منحنى سلس متعدد التعريف يقع بالكامل داخل المنطقة ، كما هو موضح في الشكل 15.3.6. في المنطقة المفتوحة التي هي متصل، المسار المستقل

نظرية 15.3.2 مسار الحقول المتجهية المستقلة والمحافظة

إذا كان ( textbf) مستمر في منطقة متصلة مفتوحة ، ثم الخط لا يتجزأ

$ int_ textbf cdot : d textbf$

يكون المسار مستقلاً إذا وفقط إذا كان ( textbf) محافظ.
دليل - إثبات إذا كان ( textbf) محافظ ، إذن ، من خلال النظرية الأساسية لتكامل الخط ، فإن تكامل الخط هو مسار مستقل. حدد الآن العكس لمنطقة الطائرة (R ). اسمحوا ( textbf(س ، ص) = M textbf+ N textbf) واجعل ((x_ <0>، y_ <0>) ) نقطة ثابتة في (R ). لأي نقطة ((x، y) ) في (R ) ، اختر منحنى سلس متعدد التشكيل (C ) يمتد من ((x_ <0> ، y_ <0>) ) إلى (( x ، y) ) ، وحدد (f ) من خلال

(و (س ، ص) ) $ = int_ textbf cdot : d textbf$
$ = int_ م: dx + N: dy. $

المنحنى (C ) مضمون في (R ) لأن (R ) متصل. إثبات أن (f ) دالة محتملة لـ ( textbf) من خلال النظر في مسارين مختلفين من ((x_ <0>، y_ <0>) ) إلى ((x، y) ). ال أول المسار اختر نقطة ((x_ <1> ، y) ) في (R ) مثل (x ne x_ <1> ). هذا ممكن لأن (R ) مفتوح. ثم اختر (C_ <1> ) و (C_ <2> ) ، كما هو موضح في الشكل 15.3.7. باستخدام استقلالية المسار يتبع ذلك

(و (س ، ص) ) $ = int_ M : dx + N : dy $
$ = int_> M : dx + N : dy + int_> M : dx + N : dy. $
$ = g (y) + int_> م: dx. :::: لون text <لا يعتمد على> x text <و> dy = 0> $

المشتق الجزئي لـ (f ) بالنسبة إلى (x ) هو

بالنسبة إلى ثانيا المسار اختر نقطة ((x_ <1> ، y) ). استخدام منطق مشابه لذلك المستخدم للمسار الأول يختتم بـ

( nabla f (x، y) ) (= f_(س ، ص) textbf + f_(س ، ص) textbf )
(= M textbf + N textbf)
(= textbf(س ، ص) )

وإذا اتبعت ذلك ( textbf) محافظ.

مثال 15.3.4 البحث عن عمل في حقل قوة المحافظين

أوجد مجال القوة المعطى بواسطة

( textbf(س ، ص) = ه ^ cos y textbf - ه ^ الخطيئة ص textbf + 2 textbf )

$ int_ textbf cdot : d textbf$

هو مسار مستقل ، واحسب العمل الذي أنجزه ( textbf) على كائن يتحرك على طول منحنى (C ) من ((0، pi / 2،1) ) إلى ((1، pi، 3) ).
المحلول التعبير عن مجال القوة بالشكل

( textbf(س ، ص ، ض) = M textbf+ N textbf+ P textbf)

ينتج (م = ه ^ cos y ) ، (N = -e ^ sin y ) و (P = 2 ). تنتج المشتقات الجزئية

$ frac < جزئي P> < جزئي ص> $ (=0) $ = frac < جزئي N> < جزئي z> $
$ frac < جزئي P> < جزئي x> $ (=0) $ = frac < جزئي M> < جزئي z> $
و
$ frac < جزئي N> < جزئي x> $ (= - ه ^ الخطيئة ص ) $ = frac < جزئي M> < جزئي y>. $

لذلك ، ( textbf) محافظ. إذا كانت (f ) دالة محتملة لـ ( textbf)، من ثم

(F_(س ، ص ، ض) ) (= البريد ^ مريح)
(F_(س ، ص ، ض) ) (= - ه ^ الخطيئة ص )
و
(F_(س ، ص ، ض) ) (= 2.)

ينتج عن التكامل فيما يتعلق بـ (x ) و (y ) و (z ) بشكل منفصل

(و (س ، ص ، ض) ) $ = int f_(س ، ص ، ض) : dx $ $ = int e ^ cos y : dx = e ^ cos y + g (y، z) $
(و (س ، ص ، ض) ) $ = int f_(x، y، z) : dy $ $ = int -e ^ sin y : dy = e ^ cos y + h (x، z) $
و
(و (س ، ص ، ض) ) $ = int f_(x، y، z) : dz $ $ = int 2 : dz = 2z + k (x، y). $

ينتج عن الجمع بين جميع إصدارات (f (x، y، z) ) الثلاثة

لذلك ، فإن العمل الذي قام به ( textbf) على طول أي منحنى (C ) من ((0، pi / 2،1) ) إلى ((1، pi، 3) ) هو

(ث ) $ = int_ textbf cdot : d textbf $
$ = left [ vphantom < frac <1> <2>> e ^ cos y + 2z right] _ <(0، pi / 2،1)> ^ <(1، pi، 3)> $
(= (- e + 6) - (0 + 2) = 4-e. )

نظرية 15.3.3 الشروط المكافئة

اسمحوا ( textbf(س ، ص ، ض) = M textbf+ N textbf+ P textbf) لها مشتقات جزئية أولية مستمرة في منطقة متصلة مفتوحة (R ) ، وليكن (C ) منحنى سلس متعدد التعريف في (R ). الشروط أدناه متكافئة

1. ( textbf) محافظ. هذا هو ، ( textbf = nabla f ) لبعض الوظائف (f ).
2. ( int_ textbf cdot د textbf ) مسار مستقل.
3. ( int_ textbf cdot د textbf= 0 ) لكل مغلق منحنى (ج ) في (ص ).

منحنى (C ) معطى بواسطة ( textbf(t) ) لـ (a leqslant t leqslant b ) هو مغلق عندما ( textbf(أ) = textbf(ب)). وفقًا للنظرية الأساسية لتكاملات الخط ، إذا كان ( textbf) مستمر ومحافظ في منطقة مفتوحة (R ) ، ثم الخط لا يتجزأ كل مغلق المنحنى (C ) يساوي 0.

مثال 15.3.5 تقييم تكامل خط

$ int_> textbf cdot د textbf,$

و (C_ <1> ) هو المسار شبه الدائري من ((0،0) ) إلى ((2،0) ) ، كما هو موضح في الشكل 15.3.8.
المحلول هناك ثلاثة خيارات ممكنة.

حيث (0 leqslant t leqslant pi ). هذا ينتج

(د textbf = textbf^ < prime> (t) : dt = ( sin t textbf+ cos t textbf: دت )

$ int_> textbf cdot د textbf = int_ <0> ^ < pi> ( sin t + sin ^ <4> t + cos t + 3 sin ^ <2> t cos t-3 sin ^ <2> t cos ^ <2> t) : dt. $

تعقيد التكامل وحده يلغي هذا الخيار.

ومن خلال النظرية الأساسية ،

$ W = int_> textbf cdot د textbf = f (2،0) -f (0،0) = 2. $

هذا ينتج التكامل

$ int_> textbf cdot د textbf= int_> textbf cdot د textbf= int_ <0> ^ <2> 1 : dt = left. vphantom < frac <1> <2>> t right] _ <0> ^ <2> = 2. $

أسهل خيار بين الثلاثة.


هندسة الحقول الثابتة

أي من حقول المتجه في الشكل 14.8.1 متحفظ؟

عادة ما يكون من السهل تحديد ما إذا كان حقل متجه معين ليس متحفظ: ما عليك سوى العثور على مسار مغلق لا يتلاشى حوله دوران الحقل المتجه. ولكن كيف يمكن للمرء أن يظهر أن حقل متجه معين يكون محافظ؟ ضع في اعتبارك الحقول المتجهة في الشكل 14.8.2. من السهل أن نرى أن الشكل على اليمين هو ليس محافظ. لكن ماذا عن الذي على اليسار؟

حقل المتجه المحافظ هو تدرج دالة محتملة. تشكل الأسطح "متساوية الجهد" ، التي تكون الوظيفة المحتملة عليها ثابتة ، خريطة طبوغرافية للوظيفة المحتملة ، ومن ثم يكون التدرج هو حقل المنحدر على خريطة السطح هذه. هذا القياس دقيق لوظائف متغيرين محافظين هما الحقول المتجهية التي تتوافق مع خرائط توبو.

توفر هذه الحقيقة تقنية رسومية لتحديد ما إذا كان حقل متجه معين (في بعدين) متحفظًا: حاول رسم خريطة topo الخاصة به. دعنا نعطيها محاولة. نعم بالفعل ، يبدو أن حقل المتجه على اليسار في الشكل 14.8.3 متحفظ ، والحقل الموجود على اليمين ليس كذلك. ما هي القواعد؟

يجب أن تكون منحنيات المستوى متعامدة في كل مكان على حقل المتجه.

يجب أن تكون منحنيات المستوى قريبة من بعضها حيث يكون حجم المتجه كبيرًا.

قد لا تتقاطع منحنيات المستوى المقابلة لقيم مختلفة.

هنا مثالان آخران. أي من حقول المتجه في الشكل 14.8.4 محافظ؟


16.3: حقول المتجهات المحافظة

يقوم المقرن بإجراء حسابات علمية حاسمة والتي ، من خلال تصميم نظام المحور والتحدث ، لا يمكن أو لا يمكن معالجتها بواسطة نماذج المكونات ولكنها ضرورية للتكامل المقترن. يقدم هذا القسم وصفًا لهذه الحسابات.

16.1 رسم الخرائط

المقرن مسؤول عن تعيين البيانات (وتسمى أيضًا الاستيفاء أو إعادة التجريد) من شبكة نموذج إلى آخر. يقوم المقرن بتنفيذ هذا التعيين كمضاعف متجه مصفوفة والذي في حالة تعيين بيانات الغلاف الجوي لشبكة المحيط سيكون:

تحتوي المصفوفة 1x على جميع نقاط شبكة الغلاف الجوي في مستوى أفقي ثنائي الأبعاد غير متحرك في متجه واحد بينما تحتوي المصفوفة x1 على جميع النقاط في شريحة أفقية ثنائية الأبعاد لشبكة المحيط. بالنسبة لجو T42 وشبكة محيط x1 ، ستحتوي المصفوفة على صفوف وأعمدة! لحسن الحظ ، فإن معظم عناصر المصفوفة هي صفر وهذه في الحقيقة مصفوفة مضاعفة قليلة. يخزن المقرن فقط العناصر غير الصفرية ومواقعها ويقوم بعملية الضرب مع العنصر المقابل من شبكة الغلاف الجوي والعنصر من المحيط باستخدام cpl_map_bun وطريقة MCT الأساسية ، sMatAvMult.

يتم تخزين أوزان التعيين في ملفات ويتم حسابها مسبقًا باستخدام حزمة التهيئة الكروية وإعادة التهيئة (SCRIP). انظر http://climate.lanl.gov/Software/SCRIP/. يتم استخدام طريقتين لحساب الأوزان في المقرنة. يتم تعيين جميع بيانات الحالة بأوزان محسوبة باستخدام مخطط الاستيفاء ثنائي الخطوط الخاص بـ SCRIP بينما يتم تعيين جميع التدفقات بأوزان محسوبة باستخدام مخطط إعادة رسم الخرائط المحافظ من الدرجة الثانية لـ SCRIP.

بالنظر إلى افتراضات 3 شبكات فقط (القسم 9.2) ، هناك 5 مجموعات من أوزان الخرائط التي قرأها المقرن: التعيينات ثنائية الخطية والمحافظة للغلاف الجوي إلى شبكات المحيط ، والتعيينات ثنائية الخطية والمحافظة للمحيط إلى الغلاف الجوي وإعادة رسم خرائط تحفظية لـ من نهر إلى شبكة المحيط (من الواضح أنه ليست هناك حاجة إلى المحيط إلى النهر).

لاحظ أن مخطط ترقيم نقاط الشبكة المذكور في القسم 10.2 موجود أيضًا في حساب أوزان التعيين: يتوافق رقم نقطة شبكة النموذج مع رقم الصف أو العمود الخاص بتلك النقطة في مصفوفة التعيين.

16.2 تدفقات الغلاف الجوي / المحيط

يحسب المقرن التدفقات بين الغلاف الجوي والمحيط للأسباب التالية: وفقًا للاتفاقية ، يتم حساب التدفقات بين نموذجين بدرجات دقة مختلفة على الشبكة ذات الدقة الأعلى. لا يمكن لنموذج الغلاف الجوي حساب التدفقات لأن ذلك سيتطلب معرفة شبكة المحيط. يتواصل المحيط مع المقرنة مرة واحدة في اليوم فقط لتحديث التدفقات بشكل شبه يومي ، يتم حساب التدفقات في المقرنة. يستقبل المقرن بيانات حالة المحيط ويبقيها ثابتة أثناء حساب التدفقات الجديدة مع كل استقبال لبيانات الغلاف الجوي الجديدة. يتم تعيين التدفقات الجديدة إلى شبكة الغلاف الجوي وإرسالها إلى الغلاف الجوي. يحافظ المقرن أيضًا على مجموع التدفقات الجارية ويرسل متوسط ​​الوقت إلى المحيط. يتم حساب تدفقات الغلاف الجوي والمحيطات باستخدام الصيغ أدناه.

يتم حساب التدفقات عبر الواجهة من الصيغ المجمعة والتعبيرات العامة

حيث يتم إعطاء مقاييس السرعة المضطربة بواسطة

أين كثافة سطح الغلاف الجوي ، هي الحرارة النوعية ، W / m / K هو ثابت ستيفان بولتزمان ، هو انبعاث السطح البيني ، وهو البياض السطحي لإشعاع الموجة الطويلة الحادث ،. في (16.2) الاختلافات ، ويتم تحديدها في كل واجهة وفقًا لاتفاقية التدفقات التي تكون موجبة لأسفل. يتم ببساطة حساب الإشعاع المنعكس من الموجات الطويلة المنعكسة من خلال افتراض انبعاثية ، وبياض سطح الماء لإشعاع الموجة الطويلة الحادث.

معاملات النقل في (16.2) ، التي تم تحويلها إلى ارتفاع ، مع مراعاة معامل الثبات المناسب ، هي:

أين هو ثابت فون كارمان وخصائص التدفق المدمجة ، للزخم والكميات ، هي وظائف معلمة الاستقرار ،. هذه الوظائف كما هي مستخدمة في قارنة التوصيل هي:

2 ln [0.5 (1 + X)] + ln [0.5 (1 + X ^ 2)] - 2 tan ^ <-1> X + 0.5 pi

فوق واجهات الغلاف الجوي ومعلمة الاستقرار

حيث يتم حساب درجة الحرارة المحتملة الافتراضية ، وهي أدنى مستوى للرطوبة الجوية ، ودرجة الحرارة المحتملة ، على التوالي ، و.

بالإضافة إلى التدفقات السطحية ، يتطلب نموذج الغلاف الجوي البيدوس السطحي الفعال لكل من الإشعاع المباشر والمنتشر عند كل طول موجي. يتم استخدامها في مكالمة واحدة إلى إجراءات إشعاع الغلاف الجوي التي تتطلب متطلبات حسابية. يعطي هذا النداء البياض الجوي الهابط للإشعاع المنتشر ، (). إذا كانت البيدوس المباشر والمنتشر ، () و () للأسطح المختلفة أسفل خلية شبكة الغلاف الجوي معروفة ، يتم حساب معاملات الانتثار المتعددة ، ومع التغطية الجزئية لكل نوع سطح ، يتم إعطاء البيدوس بواسطة

يضمن استخدام هذه البيدوس أن الإشعاع الشمسي الذي يخرج من قاع الغلاف الجوي مطابق لمجموع حسابات الإشعاع ، كل منها يستخدم و. في الوقت الحاضر ، ومع ذلك ، يتم تبسيط حسابات البياض إلى حد كبير بافتراض ذلك. لا يحتاج هذا البياض إذن إلى أن يتم تمريره من الغلاف الجوي إلى قارنة التوصيل ، وتقوم أداة التوصيل ببساطة بحساب البيدوس الفعال الذي سيتم تمريره إلى الغلاف الجوي

بشكل عام ، يعتبر تقسيم الإشعاع بين الأسطح دالة على الطول الموجي ، وبالتالي الطول الموجي. ومن ثم ، يجب إجراء التقسيم الصحيح لكل نطاق طول موجي ضمن شفرة نقل الإشعاع لنموذج الغلاف الجوي. يتم تبسيط هذا الإجراء بشكل كبير عن طريق تقسيم صافي الإشعاع الشمسي داخل المقرنة.

في السطح البيني بين الغلاف الجوي والمحيط ، يُفترض أيضًا أن الهواء القريب من السطح مشبع ،

حيث تكون درجة حرارة سطح البحر ، كجم / م و كلفن ، والعامل 0.98 يمثل ملوحة المحيط. تصبح الاختلافات (16.2)

حيث يُفترض حاليًا أن التيار السطحي لا يكاد يذكر.

طول خشونة الزخم ، بالأمتار ، هو دالة للرياح الجوية عند ارتفاع 10 أمتار ، كما يلي:

حيث م / ث و م ث. معامل السحب المقابل عند ارتفاع 10 أمتار والاستقرار المحايد هو

طول خشونة الحرارة ، هو دالة على الاستقرار ، وبالنسبة للتبخر ، هو ثابت مختلف:

zeta leq 0 Z ^ e & = & 9.5 مرات 10 ^ <-5> م. نهاية -->

نظرًا لأن هي نفسها دالة للمقاييس المضطربة (16.2) ، وبالتالي التدفقات ، فإن الإجراء التكراري مطلوب بشكل عام لحل (16.1). أولاً ، يتم تعيينه بشكل تدريجي أكبر من الصفر عندما يشير اختلاف درجة حرارة الهواء والبحر إلى طبقات مستقرة ، وإلا فإنه يتم ضبطه على الصفر. في كلتا الحالتين ، ثم يتم العثور على معاملات التحويل الأولية من أطوال الخشونة عند هذا و. كما هو الحال مع الجليد البحري ، تُستخدم هذه المعاملات لتقريب مقاييس التدفق الأولية (16.2) ويبدأ التكرار الأول بحسابات محدثة لـ و. يتم بعد ذلك تحويل سرعة الرياح إلى قيمتها المحايدة المكافئة عند ارتفاع 10 أمتار:

تُستخدم سرعة الرياح هذه لتحديث معاملات النقل وبالتالي مقاييس التدفق. يبدأ التكرار الثاني والأخير بتحديث آخر لـ. ثم تعطي مقاييس التدفق النهائي التدفقات المحسوبة بواسطة (16.1).

بالنسبة لمكونات الجليد والأرض والمحيطات ، هناك أربعة أنواع من البيدات السطحية التي يستخدمها مكون الغلاف الجوي لحساب أربعة مكونات مقابلة للموجة القصيرة المتجهة نحو الأسفل. بعد ذلك ، يتم استخدام الأربعة ألبيدوس ، جنبًا إلى جنب مع الحقول الموجية القصيرة الهابطة ، لحساب تدفق الموجات القصيرة الممتص من الغلاف الجوي إلى مكونات السطح:

حيث يتوافق مع مكونات الموجات القصيرة القريبة / المنتشرة والمرئية / المنتشرة والأشعة تحت الحمراء القريبة / المباشرة والمرئية / المباشرة.

يحسب كل من مكونات الأرض والجليد البيدوس السطحي الخاص به ، وبالنظر إلى حقول الموجة القصيرة الهابطة ، يحسب صافي إشعاع الموجة القصيرة الممتص. بالنسبة لعنصر المحيط ، فإن المقرن هو الذي يحسب بياض سطح المحيط ويحسب صافي إشعاع الموجات القصيرة الممتص. ثم يرسل المقرن حقل الموجة القصيرة الممتص إلى مكون المحيط.

يتم حساب البيدوس سطح الأرض بواسطة المكون الأرضي ويتم تمريره إلى مكون الغلاف الجوي. لا يتم تغيير هذه البيدوس بواسطة المقرنة بأي شكل من الأشكال. لاحظ أن مكون الغلاف الجوي قد يكون نموذجًا نشطًا يحسب موجة قصيرة هابطة مرة واحدة في الساعة ، أو قد يكون نموذج بيانات يغذي المقرنة بموجة قصيرة يومية منخفضة الموجة. تقع على عاتق المستخدم مسؤولية التأكد من أن البيدوس الذي يرسله نموذج الأرض مناسب مع الأخذ في الاعتبار نوع الحقول ذات الموجات القصيرة التي يوفرها مكون الغلاف الجوي.

16.3.2 الجليد السطحي البياض

يتم حساب سطح البيدوس الجليدي بواسطة مكون الجليد ويمرر عبر المقرنة إلى مكون الغلاف الجوي. هذه البيدات هي `` 60 درجة مرجعية ألبيدوس '' ليس لها دورة نهارية. استنادًا إلى متغير قائمة أسماء المدخلات ، flx_albav (انظر القسم 4 من دليل المستخدم) ، سوف يقوم المقرن إما بتمرير هذه البيدات إلى مكون الغلاف الجوي دون تغيير (في هذه الحالة يتم اعتبارها متوسط ​​البيدوس يوميًا) ، أو تفرض دورة يومية ألبيدوس (في هذه الحالة تعتبر ألبيدوس لحظية). عندما يضيف المقرن دورة نهارية إلى البياض الجليدي ، فإن هذا يتكون من مجرد ضبط البيدوس على 1.0 على الجانب المظلم من الأرض.

16.3.3 سطح المحيط البيدوس

على عكس مكونات الجليد والأرض ، يحسب المقرن بياض سطح المحيط. هناك طريقتان يمكن للمقرنة من خلالها حساب بياض المحيط: بدورة نهارية (لحظية) أو بدون دورة نهارية (المتوسط ​​اليومي). متغير قائمة أسماء المدخلات (متغير قائمة أسماء flx_albav) يحدد الخيار الذي ينفذه المقرن.

إذا تم حساب ألبيدوس كمتوسط ​​يومي للبيدوس ، فسيتم تعيين جميع ألبيدوس المحيطات الأربعة على 0.06 في كل مكان ، بغض النظر عن الوقت من اليوم أو الوقت من العام.

إذا تم حساب ألبيدوس على أنها ألبيدوس لحظية ، فسيتم ضبط المحيطات الأربعة على 1.0 على الجانب المظلم من الأرض ، وحيث تكون الزاوية الشمسية أكبر من الصفر ، يتم تعيين البيدوس على قيمة لها قيمة سنوية و a دورة نهارية. يميز البياض المحيط بين الإشعاع المباشر والمنتشر. البياض المباشر يعتمد على زاوية ذروة الطاقة الشمسية ، في حين أن الانتشار ليس كذلك. لا يوجد اعتماد طيفي على البياض ، ولا اعتماد على سرعة الرياح السطحية. التعبيرات لكل من البياض المباشر والمنتشر مأخوذة من Briegleb et al. (1986) ، استنادًا إلى النوبات مع ملاحظات المحيط البياض ، من الجيد للداخل. إن تعبيرات البياض صالحة للمحيطات المفتوحة ، ولا تشمل تأثيرات الهيدروسولات المعلقة في المياه القريبة من السطح.

للحصول على تفاصيل كاملة ، انظر Briegleb، BP، P.Minnis، V Ramanathan، and E.Harrison، 1986. `` مقارنة بين ألبيدوس السماء الصافية الإقليمية المستنبطة من ملاحظات الأقمار الصناعية ومقارنات النماذج. . 25 ، ص 214 - 226.

16.4 تطبيع المنطقة

يتم تطبيع المنطقة في المقرن لتصحيح الفروق الطفيفة بين المساحة الإجمالية للكرة التي يفترضها النموذج وبرنامج SCRIP (القسم 16.1). يحسب برنامج SCRIP أوزان المساحة لكل شبكة بالإضافة إلى أوزان التعيين بين شبكتين. ومع ذلك ، قد يكون لكل نموذج طريقته الخاصة لحساب مساحة خلية الشبكة. وبالتالي ، عندما يتم إجراء إعادة التعيين المحافظ لاستيفاء التدفق من شبكة إلى أخرى ، فإنه يحافظ على التدفق الكلي فوق الكرة ولكن قد يكون للكرة مساحة إجمالية مختلفة قليلاً في المقرنة مقارنة بكل نموذج. وهذا بدوره سيؤثر على الحفظ العالمي للكميات المتدفقة. لتصحيح هذا التأثير ، يضاعف المقرن جميع التدفقات المستلمة بنسبة المنطقتين فور تلقي التدفقات من أحد المكونات:

ثم يتم استخدام التدفق المصحح داخل المقرن لرسم الخرائط وأي حسابات أخرى.

يستقبل المقرن من كل نموذج أثناء تهيئة العقد (ثانية. 10.2) ويخزنه في مجال (ثانية 8.1) تحت سمة `` المنطقة '' بينما تتم قراءته من ملفات وزن تعيين برنامج سكريب أثناء تهيئة MAP وتخزينه في المجال تحت سمة `` aream ''. يتم حساب كسور المساحة باستخدام طريقة areafact_init من areafact_mod.F90. قبل إرسال التدفقات المحسوبة أو المعينة إلى نموذج من المقرنة ، يتم ضربها في.

16.5 الدمج والأوزان الجزئية

عند إدخال نموذجين أو أكثر إلى نموذج آخر ، يتم تشكيل حقل الإدخال عن طريق دمج المخرجين. مثال على ذلك هو الغلاف الجوي حيث يمكن لخلية شبكة الغلاف الجوي أن تفتح محيطًا مفتوحًا ومغطى بالجليد البحري. في هذه الحالة في CCSM3 ، يتم حساب تدفق جليد الغلاف الجوي بواسطة نموذج الجليد بينما يتم حساب تدفق الغلاف الجوي والمحيط بواسطة المقرنة. قبل الإرسال إلى الغلاف الجوي ، يجب دمج هذه التدفقات:

هو التدفق الكلي في الغلاف الجوي ، وهو جزء الجليد على شبكة الغلاف الجوي ، ومثال على الوزن الجزئي للسطح ، وهو تدفق من الجليد إلى الغلاف الجوي محسوبًا بواسطة نموذج الجليد. الشروط الأخرى أو تدفقات الغلاف الجوي الأرضي والمحيطات. الدول ، مثل درجة حرارة السطح ، يتم دمجها أيضًا بهذه الطريقة. لاحظ أن هذا الدمج يتم بعد أن يتم تعيين جميع التدفقات على شبكة الغلاف الجوي. في هذه الحالة دائمًا 1. يجب أيضًا دمج تدفقات المحيطات لخلايا شبكة المحيط المغطاة جزئيًا بالجليد. على سبيل المثال ، إجمالي تدفق الزخم في المحيط هو المجموع المرجح لإجهاد الرياح وسحب الجليد البحري.


حلول للفصل 16.3: النظرية الأساسية لتكاملات الخط

حلول للفصل 16.3: النظرية الأساسية لتكاملات الخط

  • 16.3.1: يوضح الشكل منحنى وخريطة محيطية لدالة غرادها.
  • 16.3.2: جدول قيم دالة ذات تدرج مستمر. .
  • 310: 16.3.3 حدد ما إذا كان مجال متجه متحفظًا أم لا. لو أنه .
  • 310: 16.3.4 حدد ما إذا كان مجال متجه متحفظًا أم لا. لو أنه .
  • 16.3.5: 310 حدد ما إذا كان مجال متجه متحفظًا أم لا. لو أنه .
  • 310: 16.3.6 حدد ما إذا كان حقل متجه متحفظًا أم لا. لو أنه .
  • 16.3.7: 310 حدد ما إذا كان مجال متجه متحفظًا أم لا. لو أنه .
  • 16.3.8: 310 حدد ما إذا كان حقل متجه متحفظًا أم لا. لو أنه .
  • 16.3.9: 310 حدد ما إذا كان حقل متجه متحفظًا أم لا. لو أنه .
  • 310: 16.3.10 حدد ما إذا كان مجال متجه متحفظًا أم لا. لو أنه .
  • 16.3.11: يوضح الشكل مجال المتجه وثلاثة منحنيات تبدأ من (1.
  • 1218: 16.3.12 (أ) ابحث عن دالة بحيث و (ب) استخدم الجزء (أ) للتقييم.
  • 16.3.13: 1218 (أ) ابحث عن دالة بحيث و (ب) استخدم الجزء (أ) للتقييم.
  • 16.3.14: 1218 (أ) ابحث عن دالة مثل ذلك و (ب) استخدم الجزء (أ) للتقييم.
  • 16.3.15: 1218 (أ) ابحث عن دالة بحيث و (ب) استخدم الجزء (أ) للتقييم.
  • 16.3.16: 1218 (أ) ابحث عن دالة بحيث و (ب) استخدم الجزء (أ) للتقييم.
  • 16.3.17: 1218 (أ) ابحث عن دالة بحيث و (ب) استخدم الجزء (أ) للتقييم.
  • 16.3.18: 1218 (أ) ابحث عن دالة بحيث و (ب) استخدم الجزء (أ) للتقييم.
  • 16.3.19: 1920 أظهر أن تكامل الخط مستقل عن المسار والتقييمات.
  • 16.3.20: 1920 أظهر أن تكامل الخط مستقل عن المسار والتقييمات.
  • 16.3.21:. افترض أنك طُلب منك تحديد المنحنى الذي يتطلب المقاود.
  • 16.3.22: افترض أن التجربة تحدد أن مقدار العمل المطلوب f.
  • 16.3.23: 2324 أوجد الشغل المبذول بواسطة مجال القوة لتحريك جسم من.
  • 16.3.24: 2324 أوجد الشغل المبذول بواسطة مجال القوة لتحريك جسم من.
  • 16.3.25: 2526 هل حقل المتجه الموضح في الشكل متحفظ؟ يشرح.
  • 16.3.26: 2526 هل حقل المتجه الموضح في الشكل متحفظ؟ يشرح.
  • 16.3.27: إذا ، استخدم قطعة الأرض لتخمين ما إذا كانت متحفظة. ثم حدد wh.
  • 16.3.28: اسمحوا ، أين. أوجد المنحنيات التي لم تغلق وتفي بالحرف الإلكتروني.
  • 16.3.29: أظهر أنه إذا كان حقل المتجه متحفظًا ، وله استمرارية.
  • 16.3.30: استخدم التمرين 29 لتوضيح أن تكامل السطر ليس مستقلاً.
  • 16.3.31: 3134 حدد ما إذا كانت المجموعة المعطاة (أ) مفتوحة أم لا ، (ب) متصلة.
  • 16.3.32: 3134 حدد ما إذا كانت المجموعة المعطاة (أ) مفتوحة أم لا ، (ب) متصلة.
  • 16.3.33: 3134 حدد ما إذا كانت المجموعة المعينة (أ) مفتوحة أم لا ، (ب) متصلة.
  • 16.3.34: 3134 حدد ما إذا كانت المجموعة المعطاة (أ) مفتوحة أم لا ، (ب) متصلة.
  • 16.3.35: دع. (أ) أظهر ذلك. (ب) أظهر أنه ليس مستقلاً عن المسار. [أهلا.
  • 16.3.36: (أ) لنفترض أن هذا مجال معكوس لقوة التربيع ، أي لسوم.
الكتاب المدرسي: حساب التفاضل والتكامل: المتساميون المبكرة
الطبعة: 7
المؤلف: أميس ستيوارت
رقم ال ISBN: 9780538497909

حساب التفاضل والتكامل: كتب المتساميون المبكرة بواسطة ISBN: 9780538497909. تم إنشاء دليل بقاء الكتاب المدرسي هذا للكتاب المدرسي: حساب التفاضل والتكامل: المتسامي المبكر ، الطبعة: 7. منذ 36 مشكلة في الفصل 16.3: النظرية الأساسية لتكامل الخط كانت موجودة أجاب ، أن أكثر من 55014 طالبًا قد شاهدوا حلولًا كاملة خطوة بخطوة من هذا الفصل. يغطي دليل بقاء الكتاب المدرسي الموسع الفصول التالية وحلولها. الفصل 16.3: تتضمن النظرية الأساسية لتكامل الخط 36 حلاً كاملاً خطوة بخطوة.

يتم تقييد الدالة أدناه إذا كان هناك رقم ب مثل ذلك ب؟ ƒ (x) لكل x في مجال f.

مجموعة من النقاط في مستوى متساوية البعد عن نقطة ثابتة تسمى المركز

فاصل زمني يتضمن نقاط النهاية الخاصة به

الوظيفة المحددة بواسطة ƒ & # 39 (x) = limh: 0ƒ (x + h) - ƒ (x) h لكل x حيث يوجد الحد

جمع ومعالجة المعلومات العددية

متغير يؤثر على متغير استجابة.

معادلة مكتوبة بأسس بدلاً من اللوغاريتمات.

Ax + By + C = 0 ، حيث لا يكون كل من A و B صفرًا.

تُعطى مساحة with ABC مع semiperimeter s بواسطة 2s1s - a21s - b21s - c2.

معادلة يمكن كتابتها بالصيغة ax + b = 0 ، حيث a و b عددان حقيقيان و Z 0

دالة يمكن كتابتها بالصيغة ƒ (x) = mx + b ، حيث و b عددان حقيقيان

العدد الذي يحتوي على عوامل n لـ a ، حيث n هو الأس و a هو الأساس.

دالة تكون فيها ƒ (x) كثيرة حدود في x، p. 158.

في الطائرة i = & lt1، 0 & gt and j = & lt0،1 & gt in space i = & lt1،0،0 & gt، j = & lt0،1،0 & gt k = & lt0،0،1 & gt

الخط x = a خط مقارب عمودي للرسم البياني للدالة ƒ إذا كان limx: a + 1x2 = q أو lim x: a- ƒ1x2 = q.


16.3: حقول المتجهات المحافظة

نحن نعلم من النظرية أن حقل المتجه يكون متحفظًا إذا كانت هناك وظيفة من هذا القبيل. علاوة على ذلك ، نحن نعلم أن الحقول المحددة في المناطق الجيدة بشكل مناسب تكون متحفظة إذا كانت غير منطقية.

يمكننا التحقق مما إذا كان الحقل متحفظًا باستخدام وظيفة curl في حزمة vect. على سبيل المثال ، دعنا نتحقق من الحقل.

نظرًا لأن التجعيد ليس صفرًا ، فإن الحقل ليس متحفظًا. ماذا عن

نظرًا لأن الضفيرة تساوي صفرًا ، فإن هذا المجال متحفظ. لذا فإن الوظيفة المرضية موجودة. يمكننا إيجاد الجهد القياسي في Maxima مع الوظيفة المحتملة (أيضًا في الحزمة vect).

لاحظ ، مع ذلك ، أنه بسبب خطأ في Maxima في وقت كتابة هذا التقرير ، نحتاج إلى القيام ببعض الأعمال الرائعة. لا يمكننا استخدام الحرف x في استدعاء الوظيفة بدلاً من ذلك سنقوم بتغييره إلى حرف آخر. عندما نفعل ذلك ، يجب أن نتبعه من خلال دعوة لعوامل التوسع.

يمكننا بسهولة التحقق من ذلك يرضي. تتيح لنا النظرية الأساسية لتكاملات الخط الآن حساب تكاملات الخط التي تبدو مثل

الذي يبسط إلى. لذلك ، على سبيل المثال ، بالنسبة لمنحنى بنقطة ابتدائية ونقطة نهائية لدينا

أن تكون مساوية لـ (باستخدام النتيجة من المحتمل أعلاه)

كل ما سبق يمكن القيام به في ثلاثة أبعاد أيضًا. نحتاج فقط إلى عمل عوامل التحجيم ([x ، y ، z]) وعوامل التحجيم ([u ، v ، w]) ، عندما يكون ذلك مناسبًا.


الحقول المتجهية اللاعاقية والملف اللولبي

الاسم الأقدم للحقل المحافظ هو غير عقلاني. يشير هذا إلى حقيقة أن مثل هذا المجال يفتقر إلى "دوامات" تدور في دوائر.

الاسم الأقدم للحقل الذي يكون تباعده صفر هو الملف اللولبي. يشير هذا إلى حقيقة أنه وفقًا لمعادلات ماكسويل ، فإن تباعد المجال المغناطيسي هو صفر ، و "الملف اللولبي" هو مصطلح تقليدي للمغناطيس الكهربائي.

يبدو أن كلا المصطلحين لم يعدا قيد الاستخدام في حوالي عام 1960. [1] [2] [3]


تكاملات الخط لحقول المتجهات غير المحافظة

تذكر من The Fundamental Theorem for Line Integrals أنه إذا كان $ mathbb$ حقل متجه متحفظ و $ phi $ دالة محتملة لـ $ mathbb$ مثل هذا $ mathbb = nabla phi $ ، ثم $ mathbb$ مستقل عن المسار ، وإذا كان $ C $ عبارة عن منحنى ذو معلمات مثل $ vec(t) $ مقابل $ a ≤ t ≤ b $ ثم:

سننظر الآن في استخدام هذه الخاصية في الحقول المتجهة غير المحافظة تقريبيا تحفظا.

على سبيل المثال ، افترض أننا نريد تقييم تكامل السطر التالي حيث $ C $ هو منحنى تقاطع الأسطح $ z = ln (1 + x) $ و $ y = x $ من النقطة $ (0، 0، 0) $ إلى $ (1، 1، ln 2) $:

اسمحوا $ mathbf (x، y، z) = (2x sin ( pi y) - e ^ z) vec + ( pi x ^ 2 cos ( pi y) - 3e ^ z) vec - xe ^ z vec$. لاحظ أن:

الآن ضع في اعتبارك الحقل $ mathbf^ * (x ، y ، z) = (2x sin ( pi y) - e ^ z) vec + ( pi x ^ 2 cos ( pi y) - 3e ^ z) vec + (- xe ^ z - 3ye ^ z) vec$ إذًا ليس من الصعب التحقق من أن $ frac < جزئي P ^ *> < جزئي y> = frac < جزئي Q ^ *> < جزئي x> $ ، $ frac < جزئي P ^ *> < جزئي z> = frac < جزئي R ^ *> < جزئي x> $ و $ frac < جزئي Q ^ *> < جزئي z> = frac < جزئي R ^ *> < جزئي ص> دولار. في الواقع ، $ mathbf^ * $ حقل متجه متحفظ. لنفترض أن $ phi $ دالة محتملة لـ $ mathbf^ * $. ثم يجب أن يكون لدينا هذا $ frac < جزئي phi> < جزئي x> = P ^ * $ ، $ frac < جزئي phi> < جزئي y> = Q ^ * $ و $ frac < جزئي phi> < جزئي z> = R ^ * $. من المعادلة الأولى لدينا ما يلي:

سنفرق الآن جزئيًا بين الطرفين بالنسبة إلى $ y $ للحصول على ذلك:

نعلم بالفعل أن $ frac < جزئي phi> < جزئي y> = Q ^ * (x، y، z) = pi x ^ 2 cos ( pi y) - 3e ^ z $ مما يعني أن :

نفرق الآن جزئيًا بين كلا الطرفين بالنسبة إلى $ z $ للحصول على ذلك:

نعلم بالفعل أن $ frac < جزئي phi> < جزئي z> = R ^ * (x، y، z) = -xe ^ z - 3ye ^ z $ مما يعني أن $ g '(z) = 0 $ so $ int g '(z) : dz = int 0 : dz $ لذا $ g (z) = C $ و $ C = 0 $ لدينا هذه الدالة المحتملة لـ $ mathbf^ * $ هو:

وبالتالي فإن هذا يعني أنه إذا أخذنا الخط المتكامل على طول $ C $ لكلا طرفي المعادلة أعلاه ، إذن:

ومع ذلك ، منذ $ mathbf^ * $ هو حقل متجه متحفظ ، ومن ثم يمكن تقييمه باستخدام الوظيفة المحتملة التي قمنا بحسابها مسبقًا ، و:

لاحظ أننا قللنا بشكل كبير من مشكلة إيجاد قيمة التكامل الخطي. الآن نحتاج فقط إلى تقييم $ int_C 3ye ^ z : dz $. يجب علينا أولاً تحديد معلمات المنحنى $ C $. تذكر أن $ C $ هو منحنى تقاطع $ z = ln (1 + x) $ و $ y = x $. دع $ x = t $. ثم $ y = t $ و $ z = ln (1 + t) $ وهكذا يتم إعطاء معلمة لـ $ C $ لـ ≤ t ≤ 1 $ بواسطة:

كما ترى - يمكننا في بعض الأحيان تبسيط العمل المتضمن في تقييم تكاملات الأسطر على الحقول الصعبة عن طريق كسر الحقل الأصلي في مجموع حقل متجه متحفظ و & quot؛ متبق & quot؛


اشرح كيفية العثور على دالة محتملة لحقل ناقل متحفظ. حقول المتجهات المحافظة واستقلال المسار

المصدر: upload.wikimedia.org

يجب أن تحتوي الحقول المتجهة التي تعتبر محافظة محليًا ولكن ليس عالميًا على ثغرات لم يتم تحديدها فيها. مجال ناقلات المحافظ - ويكيبيديا

هناك نوعان من المفاهيم المرتبطة ارتباطًا وثيقًا: حقول المتجهات المحافظة - YouTube

يجب أن تحتوي الحقول المتجهة التي تعتبر محافظة محليًا ولكن ليس عالميًا على ثغرات لم يتم تحديدها فيها. كيفية إظهار أن حقل المتجه محافظ: 9 خطوات.

وصف المنحنيات البسيطة والمغلقة المثال الثاني للخط المتكامل للمتجه المحافظ.

هذا تفسير غير ممكن (أو. 보존 장이 란؟ (حقول ناقلات المحافظين) - YouTube

تصفح الصور والرسومات والتصاميم الميدانية المحافظة الخاصة بنا من +79.322 رسومات فيكتور مجانية. حقل ناقل المحافظ

الخط المتكامل من نقطة إلى أخرى مستقل عن اختيار المسار الذي يربط بين النقطتين 15 3 حقول المتجهات المحافظة واستقلال المسار.

المصدر: d2vlcm61l7u1fs.cloudfront.net

تعتبر حقول المتجه المحافظة ذات أهمية خاصة بالنسبة للفيزياء ، حيث يتساوى التكامل على طول مسارين يربطان نفس النقطتين. تم الحل: بالنسبة إلى حقل المتجه المحافظ F (x.y. Z) = (y Z.

المصدر: image1.slideserve.com

من الناحية الرسومية ، يكون حقل المتجه متحفظًا إذا لم يكن لديه ميل إلى `` الدوران. & # 039 & # 039 إذا كان يدور ، فستكون قيمة تكامل الخط معتمدة على المسار. PPT - الفصل 16 - عرض متجه لحساب التفاضل والتكامل في PowerPoint.

ندرس النظرية الأساسية لتكاملات الخط ، وهو تعميم مفيد للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل إلى & # 8230 Math 32B Sample Problems

من خلال النظرية الأساسية للتكاملات الخطية ، فإن الحقل المتجه الذي يكون متحفظًا يعادل خطًا مغلقًا لا يتجزأ منه يساوي صفرًا. حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات - صعوبة فهم الدليل.


شاهد الفيديو: متجهات أولي ثانوي (شهر اكتوبر 2021).