مقالات

11.5: المقاطع المخروطية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • تحديد معادلة القطع المكافئ في شكل قياسي مع التركيز ودليل معين.
  • تحديد معادلة القطع الناقص في شكل قياسي مع بؤر معينة.
  • تحديد معادلة القطع الزائد في شكل قياسي مع بؤر معينة.
  • تعرف على القطع المكافئ أو القطع الناقص أو القطع الزائد من قيمته اللامركزية.
  • اكتب المعادلة القطبية للمقطع المخروطي ذي الانحراف (هـ ).
  • حدد ما إذا كانت المعادلة العامة للدرجة الثانية هي القطع المكافئ أو القطع الناقص أو القطع الزائد.

تمت دراسة المقاطع المخروطية منذ زمن الإغريق القدماء ، واعتبرت مفهومًا رياضيًا مهمًا. في وقت مبكر من 320 قبل الميلاد ، كان علماء الرياضيات اليونانيون مثل Menaechmus و Appollonius و Archimedes مفتونين بهذه المنحنيات. كتب أبولونيوس أطروحة كاملة من ثمانية مجلدات عن المقاطع المخروطية حيث كان ، على سبيل المثال ، قادرًا على اشتقاق طريقة محددة لتحديد مقطع مخروطي من خلال استخدام الهندسة. منذ ذلك الحين ، ظهرت تطبيقات مهمة للمقاطع المخروطية (على سبيل المثال ، في علم الفلك) ، وتستخدم خصائص المقاطع المخروطية في التلسكوبات الراديوية ، ومستقبلات أطباق الأقمار الصناعية ، وحتى الهندسة المعمارية. نناقش في هذا القسم الأقسام الثلاثة الأساسية المخروطية وبعض خصائصها ومعادلاتها.

تحصل المقاطع المخروطية على اسمها لأنه يمكن إنشاؤها عن طريق تقاطع مستوى مع مخروط. المخروط له جزأان متماثلان الشكل يسميان قيلولة. قيلولة واحدة هو ما يقصده معظم الناس بـ "مخروط" ، على شكل قبعة للحفلات. يمكن إنشاء مخروط دائري قائم من خلال تدوير خط يمر عبر الأصل حول ذ-المحور كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ).

يتم إنشاء المقاطع المخروطية عن طريق تقاطع مستوى مع مخروط (الشكل ( PageIndex {2} )). إذا كان المستوى موازيًا لمحور الثورة ( ذ-المحور) ، ثم قطع مخروطي هو القطع الزائد. إذا كان المستوى موازيًا لخط التوليد ، فإن الجزء المخروطي هو قطع مكافئ. إذا كان المستوى متعامدًا على محور الدوران ، فإن الجزء المخروطي يكون دائرة. إذا تقاطع المستوى مع قيلولة واحدة بزاوية مع المحور (بخلاف 90°) ، ثم القسم المخروطي هو قطع ناقص.

القطع المكافئ

يتم إنشاء القطع المكافئ عندما يتقاطع مستوى مع مخروط موازٍ لخط التوليد. في هذه الحالة ، تتقاطع الطائرة مع أحد القيلولة فقط. يمكن أيضًا تعريف القطع المكافئ من حيث المسافات.

التعاريف: التركيز والمخرج والرأس

القطع المكافئ هو مجموعة من جميع النقاط التي المسافة من نقطة ثابتة تسمى التركيز، تساوي المسافة من خط ثابت ، يسمى الدليل. النقطة الواقعة في منتصف المسافة بين التركيز والدليل تسمى قمة الرأس من القطع المكافئ.

يظهر رسم بياني للقطع المكافئ النموذجي في الشكل ( PageIndex {3} ). باستخدام هذا الرسم البياني جنبًا إلى جنب مع صيغة المسافة ، يمكننا اشتقاق معادلة للقطع المكافئ. تذكر صيغة المسافة: بالنظر إلى النقطة P بالإحداثيات ((x_1، y_1) ) والنقطة س بالإحداثيات ((x_2، y_2)، ) يتم تحديد المسافة بينهما بواسطة الصيغة

[d (P، Q) = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

ثم من تعريف القطع المكافئ والشكل ( PageIndex {3} ) ، نحصل على

[د (ف ، ف) = د (ف ، س) ]

[ sqrt {(0 − x) ^ 2 + (p y) ^ 2} = sqrt {(x − x) ^ 2 + (- p y) ^ 2}. ]

تربيع كلا الجانبين وتبسيط الغلة

[ start {align} x ^ 2 + (p y) ^ 2 = 0 ^ 2 + (- p y) ^ 2 x ^ 2 + p ^ 2−2py + y ^ 2 = p ^ 2 + 2py + y ^ 2 x ^ 2−2py = 2py x ^ 2 = 4py. نهاية {محاذاة} ]

لنفترض الآن أننا نريد تغيير موضع الرأس. نستخدم المتغيرات ((ح ، ك) ) للإشارة إلى إحداثيات الرأس. ثم إذا كان التركيز أعلى الرأس مباشرة ، يكون له إحداثيات ((h، k + p) ) والدليل له المعادلة (y = k − p ). يؤدي المرور بنفس الاشتقاق إلى الصيغة ((x − h) ^ 2 = 4p (y − k) ). يؤدي حل هذه المعادلة لـ (y ) إلى النظرية التالية.

معادلات القطع المكافئ: النموذج القياسي

بالنظر إلى القطع المكافئ الذي يفتح لأعلى مع وجود قمة عند ((h، k) ) والتركيز يقع عند ((h، k + p) ) ، حيث (p ) ثابت ، فإن معادلة القطع المكافئ هي معطى بواسطة

[y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k. ]

هذا ال النموذج القياسي من القطع المكافئ.

يمكننا أيضًا دراسة الحالات التي ينفتح فيها القطع المكافئ لأسفل أو إلى اليسار أو اليمين. يمكن أيضًا كتابة المعادلة الخاصة بكل حالة من هذه الحالات بالشكل القياسي كما هو موضح في الرسوم البيانية التالية.

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن كتابة معادلة القطع المكافئ في الشكل العام، على الرغم من أنه في هذا الشكل ، لا يمكن التعرف على قيم (h ) و (k ) و (p ) على الفور. تتم كتابة الشكل العام للقطع المكافئ

[ax ^ 2 + bx + cy + d = 0 label {para1} ]

أو

[ay ^ 2 + bx + cy + d = 0. label {para2} ]

المعادلة المرجع {الفقرة 1} تمثل القطع المكافئ الذي يفتح إما لأعلى أو لأسفل. المعادلة المرجع {الفقرة 2} تمثل القطع المكافئ الذي يفتح إما لليسار أو لليمين. لوضع المعادلة في الشكل القياسي ، استخدم طريقة إكمال المربع.

مثال ( PageIndex {1} ): تحويل معادلة القطع المكافئ من عام إلى نموذج قياسي

ضع المعادلة

[x ^ 2−4x − 8y + 12 = 0 ]

إلى الشكل القياسي ورسم القطع المكافئ الناتج.

المحلول

بما أن y غير مربعة في هذه المعادلة ، فإننا نعلم أن القطع المكافئ يفتح إما لأعلى أو لأسفل. لذلك نحتاج إلى حل هذه المعادلة لإيجاد y ، والتي ستضع المعادلة في الصورة القياسية. للقيام بذلك ، قم أولاً بإضافة (8y ) إلى طرفي المعادلة:

[8y = x ^ 2−4x + 12. ]

الخطوة التالية هي إكمال المربع الموجود على الجانب الأيمن. ابدأ بتجميع أول حدين على الجانب الأيمن باستخدام الأقواس:

[8y = (x ^ 2−4x) +12. ]

حدد بعد ذلك الثابت الذي ، عند إضافته داخل الأقواس ، يجعل الكمية الموجودة داخل الأقواس مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود. للقيام بذلك ، خذ نصف معامل x وقم بتربيعه. هذا يعطي (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) أضف 4 داخل الأقواس واطرح 4 خارج الأقواس ، لذلك لم تتغير قيمة المعادلة:

[8y = (x ^ 2−4x + 4) + 12−4. ]

الآن اجمع الحدود المتشابهة وعالج الكمية الموجودة داخل الأقواس:

[8y = (x − 2) ^ 2 + 8. ]

أخيرًا ، اقسم على 8:

[y = dfrac {1} {8} (x − 2) ^ 2 + 1. ]

هذه المعادلة الآن في الشكل القياسي. بمقارنة هذا بالمعادلة تعطي (h = 2 ، k = 1 ) ، و (p = 2 ). يفتح القطع المكافئ ، بحيث يكون الرأس عند ((2،1) ) ، والتركيز عند ((2،3) ) ، والدليل (y = −1 ). يظهر الرسم البياني لهذا القطع المكافئ على النحو التالي.

تمرين ( PageIndex {1} )

ضع المعادلة (2y ^ 2 − x + 12y + 16 = 0 ) في الصورة القياسية وارسم القطع المكافئ الناتج.

تلميح

حل ل x). تحقق من الاتجاه الذي يفتح به القطع المكافئ.

إجابه

[س = 2 (ص + 3) ^ 2−2 ]

محور تناظر القطع المكافئ العمودي (يفتح لأعلى أو لأسفل) هو خط عمودي يمر عبر الرأس. القطع المكافئ له خاصية عاكسة مثيرة للاهتمام. لنفترض أن لدينا طبق استقبال مع مقطع عرضي مكافئ. إذا دخلت شعاع من الموجات الكهرومغناطيسية ، مثل الضوء أو موجات الراديو ، إلى الطبق في خط مستقيم من قمر صناعي (موازٍ لمحور التناظر) ، فإن الموجات تنعكس عن الطبق وتتجمع عند بؤرة القطع المكافئ مثل مبين.

فكر في طبق مكافئ مصمم لجمع الإشارات من قمر صناعي في الفضاء. الطبق موجه مباشرة إلى القمر الصناعي ، ويقع جهاز الاستقبال في بؤرة القطع المكافئ. تنعكس موجات الراديو القادمة من القمر الصناعي عن سطح القطع المكافئ إلى جهاز الاستقبال ، الذي يجمع الإشارات الرقمية ويفك تشفيرها. يسمح هذا لجهاز استقبال صغير بجمع الإشارات من زاوية واسعة من السماء. تعمل المصابيح الكاشفة والمصابيح الأمامية في السيارة على نفس المبدأ ، ولكن في الاتجاه المعاكس: يقع مصدر الضوء (أي المصباح الكهربائي) عند البؤرة والسطح العاكس على المرآة المكافئة يركز الشعاع للأمام مباشرة. يسمح هذا لمصباح كهربائي صغير بإضاءة زاوية واسعة من الفضاء أمام المصباح أو السيارة.

الحذف

يمكن أيضًا تعريف القطع الناقص من حيث المسافات. في حالة القطع الناقص ، هناك بؤرتان (جمع التركيز) ودليلان (جمع الدليل). سنلقي نظرة على الأدلة بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا القسم.

التعريف: قطع ناقص

القطع الناقص هو مجموعة جميع النقاط التي يكون مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين (البؤر) ثابتًا.

يظهر رسم بياني للقطع الناقص النموذجي في الشكل ( PageIndex {6} ). في هذا الشكل ، تم تصنيف البؤر على أنها (F ) و (F ′ ). كلاهما نفس المسافة الثابتة من الأصل ، ويتم تمثيل هذه المسافة بالمتغير (c ). لذلك فإن إحداثيات (F ) هي ((ج ، 0) ) وإحداثيات (F ′ ) هي ((- ج ، 0). ) النقاط (P ) و (P ′ ) تقع في نهايات المحور الرئيسي للقطع الناقص ولها إحداثيات ((أ ، 0) ) و ((- أ ، 0) ) ، على التوالي. دائمًا ما يكون المحور الرئيسي هو أطول مسافة عبر القطع الناقص ، ويمكن أن يكون أفقيًا أو رأسيًا. وبالتالي ، فإن طول المحور الرئيسي في هذا القطع الناقص هو (2 أ ). علاوة على ذلك ، يُطلق على (P ) و (P ′ ) رؤوس القطع الناقص. تقع النقاط (Q ) و (Q ′ ) في نهايات الملف محور صغير للقطع الناقص ولها إحداثيات ((0 ، ب) ) و ((0 ، − ب) ، ) على التوالي. المحور الثانوي هو أقصر مسافة عبر القطع الناقص. المحور الثانوي عمودي على المحور الرئيسي.

وفقًا لتعريف القطع الناقص ، يمكننا اختيار أي نقطة على القطع الناقص ويكون مجموع المسافات من هذه النقطة إلى البؤرتين ثابتًا. لنفترض أننا اخترنا النقطة (P ). نظرًا لأن إحداثيات النقطة (P ) هي ((أ ، 0) ، ) مجموع المسافات هو

[د (ف ، ف) + د (ف ، ف ′) = (أ − ج) + (أ + ج) = 2 أ. ]

لذلك فإن مجموع المسافات من نقطة عشوائية A بإحداثيات ((x، y) ) يساوي أيضًا (2a ). باستخدام صيغة المسافة ، نحصل على

[د (أ ، ف) + د (أ ، و ′) = 2 أ. ]

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a ]

اطرح الجذر الثاني من كلا الجانبين وربّع كلا الجانبين:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a− sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

الآن افصل الجذر في الطرف الأيمن عن المربع مرة أخرى:

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx ]

[4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 4a ^ 2 + 4cx ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = a + dfrac {cx} {a} ]

[(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2}. ]

افصل المتغيرات الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة والثوابت على الجانب الأيمن:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

اقسم كلا الجانبين على (a ^ 2 − c ^ 2 ). هذا يعطي المعادلة

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

إذا رجعنا إلى الشكل ( PageIndex {6} ) ، فإن طول كل من مقطعي الخط الأخضر يساوي (أ ). هذا صحيح لأن مجموع المسافات من النقطة (Q ) إلى البؤر (F ) و (F ′ ) يساوي (2 أ ) ، وأطوال هذين الخطين هي مساو. يشكل هذا المقطع المستقيم مثلثًا قائمًا بطول الوتر (أ ) وأطوال الساق (ب ) و (ج ). من نظرية فيثاغورس (ب ^ 2 + ج ^ 2 = أ ^ 2 ) و (ب ^ 2 = أ ^ 2 − ج ^ 2 ). لذلك تصبح معادلة القطع الناقص

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

أخيرًا ، إذا تم نقل مركز القطع الناقص من الأصل إلى نقطة ((ح ، ك) ) ، فلدينا الشكل القياسي التالي للقطع الناقص.

معادلة القطع الناقص في النموذج القياسي

ضع في اعتبارك القطع الناقص مع المركز ((h، k) ) والمحور الرئيسي الأفقي بالطول (2a ) والمحور الرأسي الثانوي بالطول (2 ب ). ثم معادلة هذا القطع الناقص في الشكل القياسي هي

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorEllipse} ]

وتقع البؤر في ((h ± c، k) ) ، حيث (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). معادلات الدلائل هي (x = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

إذا كان المحور الرئيسي عموديًا ، تصبح معادلة القطع الناقص

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} = 1 label {VertEllipse} ]

وتقع البؤر في ((ح ، ك ± ج) ) ، حيث (ج ^ 2 = أ ^ 2 − ب ^ 2 ). معادلات الدلائل في هذه الحالة هي (y = k ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

إذا كان المحور الرئيسي أفقيًا ، فإن القطع الناقص يسمى أفقيًا ، وإذا كان المحور الرئيسي رأسيًا ، فإن القطع الناقص يسمى عموديًا. تكون معادلة القطع الناقص بشكل عام إذا كانت في الشكل

[Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cx + Dy + E = 0 ، ]

أين أ و ب كلاهما موجب أو كلاهما سلبي. لتحويل المعادلة من النموذج العام إلى النموذج القياسي ، استخدم طريقة استكمال المربع.

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد الشكل القياسي للقطع الناقص

ضع المعادلة

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y + 36 = 0 ]

إلى الشكل القياسي ورسم القطع الناقص الناتج.

المحلول

اطرح أولاً 36 من طرفي المعادلة:

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y = −36. ]

بعد ذلك ، قم بتجميع المصطلحات (x ) معًا والمصطلحات (y ) معًا ، واستخرج العامل المشترك:

[(9x ^ 2−36x) + (4y ^ 2 + 24y) = - 36 ]

[9 (س ^ 2−4 س) +4 (ص ^ 2 + 6 ص) = - 36. ]

نحتاج إلى تحديد الثابت الذي ينتج عنه مربع كامل عند إضافته داخل كل مجموعة من الأقواس. في المجموعة الأولى من الأقواس ، خذ نصف معامل x وربّعها. هذا يعطي (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) في المجموعة الثانية من الأقواس ، خذ نصف معامل ذ وربّعها. هذا يعطي (( dfrac {6} {2}) ^ 2 = 9. ) أضفها داخل كل زوج من الأقواس. نظرًا لأن المجموعة الأولى من الأقواس بها 9 في المقدمة ، فإننا في الواقع نضيف 36 إلى الطرف الأيسر. وبالمثل ، نضيف 36 إلى المجموعة الثانية أيضًا. لذلك تصبح المعادلة

[9 (س ^ 2−4 س + 4) +4 (ص ^ 2 + 6 ص + 9) = - 36 + 36 + 36 ]

[9 (س ^ 2−4 س + 4) +4 (ص ^ 2 + 6 ص + 9) = 36. ]

الآن حلل كلا مجموعتي الأقواس وقسمهما على 36:

[9 (س − 2) ^ 2 + 4 (ص + 3) ^ 2 = 36 ]

[ dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {36} + dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {36} = 1 ]

[ dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} + dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1. ]

المعادلة الآن في الشكل القياسي. بمقارنة هذا بالمعادلة المرجع {VertEllipse} يعطي (h = 2 ، k = −3 ، a = 3 ، ) و (b = 2 ). هذا شكل بيضاوي عمودي مع المركز عند ((2، −3) ) والمحور الرئيسي 6 والمحور الثانوي 4. يظهر الرسم البياني لهذا القطع الناقص على النحو التالي.

تمرين ( PageIndex {2} )

ضع المعادلة

[9x ^ 2 + 16y ^ 2 + 18x − 64y − 71 = 0 ]

إلى الشكل القياسي ورسم القطع الناقص الناتج.

تلميح

حرك الثابت فوق المربع وأكمل المربع.

إجابه

[ dfrac {(x + 1) ^ 2} {16} + dfrac {(y − 2) ^ 2} {9} = 1 ]

وفقًا لقانون كبلر الأول لحركة الكواكب ، فإن مدار كوكب حول الشمس عبارة عن قطع ناقص مع الشمس في إحدى البؤر كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {8A} ). نظرًا لأن مدار الأرض عبارة عن قطع ناقص ، فإن المسافة من الشمس تختلف على مدار العام. من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن الأرض أقرب إلى الشمس في الصيف. في الواقع ، في الصيف بالنسبة لنصف الكرة الشمالي ، تكون الأرض بعيدة عن الشمس عنها خلال فصل الشتاء. يرجع الاختلاف في الموسم إلى ميل محور الأرض في المستوى المداري. المذنبات التي تدور حول الشمس ، مثل مذنب هالي ، لها أيضًا مدارات إهليلجية ، مثلها مثل الأقمار التي تدور حول الكواكب والأقمار الصناعية التي تدور حول الأرض.

تتمتع القطع الناقصة أيضًا بخصائص عاكسة مثيرة للاهتمام: يمر شعاع الضوء المنبعث من تركيز واحد عبر البؤرة الأخرى بعد انعكاس المرآة في القطع الناقص. يحدث الشيء نفسه مع الموجة الصوتية أيضًا. قاعة التماثيل الوطنية في مبنى الكابيتول الأمريكي بواشنطن العاصمة ، هي غرفة مشهورة في شكل بيضاوي كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {8B} ). كانت هذه القاعة بمثابة مكان اجتماع لمجلس النواب الأمريكي لما يقرب من خمسين عامًا. يتم تحديد موقع بؤرتي هذه الغرفة شبه الإهليلجية بوضوح من خلال علامات على الأرض ، وحتى إذا كانت الغرفة مليئة بالزوار ، عندما يقف شخصان على هذه البقع ويتحدثان مع بعضهما البعض ، يمكنهما سماع بعضهما البعض كثيرًا بشكل أكثر وضوحًا مما يمكنهم سماع شخص يقف بالقرب منهم. تقول الأسطورة أن مكتب جون كوينسي آدامز كان يقع على إحدى البؤر وكان قادرًا على التنصت على أي شخص آخر في المنزل دون الحاجة إلى الوقوف على الإطلاق. على الرغم من أن هذا يصنع قصة جيدة ، إلا أنه من غير المحتمل أن يكون صحيحًا ، لأن السقف الأصلي أنتج الكثير من الصدى لدرجة أنه كان يجب تعليق الغرفة بأكملها بالسجاد لتخفيف الضوضاء. أعيد بناء السقف في عام 1902 وعندها فقط ظهر تأثير الهمس الشهير الآن. معرض هامس آخر شهير - موقع العديد من عروض الزواج - موجود في محطة غراند سنترال في مدينة نيويورك.

القطوع الزائدة

يمكن أيضًا تعريف القطع الزائد من حيث المسافات. في حالة القطع الزائد ، توجد بؤرتان ودليلان. تحتوي القطوع الزائدة أيضًا على خطين مقاربين.

التعريف: القطع الزائد

القطع الزائد هو مجموعة كل النقاط حيث يكون الفرق بين مسافاتها من نقطتين ثابتتين (البؤرتين) ثابتًا.

يظهر الرسم البياني للقطع الزائد النموذجي على النحو التالي.

اشتقاق معادلة القطع الزائد في الشكل القياسي مطابق تقريبًا لاشتقاق القطع الناقص. تكمن عقبة واحدة بسيطة في التعريف: الفرق بين رقمين يكون دائمًا موجبًا. لنفترض أن (P ) نقطة على القطع الزائد بالإحداثيات ((x، y) ). ثم يعطي تعريف القطع الزائد (| d (P، F_1) −d (P، F_2) | = ثابت ). لتبسيط الاشتقاق ، افترض أن (P ) يقع على الفرع الأيمن من القطع الزائد ، وبالتالي تنخفض أشرطة القيمة المطلقة. إذا كان على الفرع الأيسر ، فسيتم عكس الطرح. رأس الفرع الأيمن له إحداثيات ((أ ، 0) ، ) لذلك

[د (P، F_1) −d (P، F_2) = (ج + أ) - (ج − أ) = 2 أ. ]

وبالتالي فإن هذه المعادلة صحيحة لأي نقطة على القطع الزائد. العودة إلى الإحداثيات ((س ، ص) ) من أجل (ف ):

[d (P، F_1) −d (P، F_2) = 2a ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} - sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a. ]

افصل الجذر الثاني والمربع كلا الجانبين:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = - 2a + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

الآن افصل الجذر في الطرف الأيمن عن المربع مرة أخرى:

(- 2cx = 4a ^ 2-4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx )

(- 4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - 4a ^ 2−4cx )

(- sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - a− dfrac {cx} {a} )

((x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ).

افصل المتغيرات الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة والثوابت على الجانب الأيمن:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

أخيرًا ، قسّم كلا الجانبين على (a ^ 2 − c ^ 2 ). هذا يعطي المعادلة

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

نحدد الآن ب بحيث (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ). هذا ممكن بسبب (c> a ). لذلك تصبح معادلة القطع الزائد

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

أخيرًا ، إذا تم نقل مركز القطع الزائد من الأصل إلى النقطة ((h، k)، ) لدينا الشكل القياسي التالي للقطع الزائد.

معادلة القطع الزائد في الصورة القياسية

ضع في اعتبارك القطع الزائد مع المركز ((h، k) ) والمحور الرئيسي الأفقي والمحور الرأسي الثانوي. ثم معادلة هذا القطع الزائد هي

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 label {HorHyperbola} ]

وتقع البؤر في ((h ± c، k)، ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). يتم إعطاء معادلات الخطوط المقاربة بواسطة (y = k ± dfrac {b} {a} (x − h). ) معادلات الدلائل هي

[x = h ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ]

إذا كان المحور الرئيسي عموديًا ، تصبح معادلة القطع الزائد

[ dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

وتقع البؤر في ((h، k ± c)، ) حيث (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). يتم إعطاء معادلات الخطوط المقاربة بواسطة (y = k ± dfrac {a} {b} (x − h) ). معادلات الموجهات هي

[y = k ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = k ± dfrac {a ^ 2} {c}. ]

إذا كان المحور الرئيسي (المحور العرضي) أفقيًا ، فإن القطع الزائد يسمى أفقيًا ، وإذا كان المحور الرئيسي رأسيًا ، فإن القطع الزائد يسمى عموديًا. تكون معادلة القطع الزائد بشكل عام إذا كانت في الشكل

[Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cx + Dy + E = 0 ، ]

حيث A و B لهما إشارات متعاكسة. لتحويل المعادلة من النموذج العام إلى النموذج القياسي ، استخدم طريقة إكمال المربع.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد النموذج القياسي للقطع الزائد

ضع المعادلة (9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y − 124 = 0 ) في الصورة القياسية وقم برسم القطع الزائد الناتج. ما هي معادلات الخطوط المقاربة؟

المحلول

أضف أولاً 124 إلى طرفي المعادلة:

(9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y = 124. )

المجموعة التالية x الشروط معا و ذ المصطلحات معًا ، ثم استخرج العوامل المشتركة:

((9x ^ 2 + 36x) - (16y ^ 2−32y) = 124 )

(9 (س ^ 2 + 4x) 16 (ص ^ 2−2 ص) = 124 ).

نحتاج إلى تحديد الثابت الذي ينتج عنه مربع كامل عند إضافته داخل كل مجموعة من الأقواس. في المجموعة الأولى من الأقواس ، خذ نصف معامل x وقم بتربيعه. هذا يعطي (( dfrac {4} {2}) ^ 2 = 4 ). في المجموعة الثانية من الأقواس ، خذ نصف معامل y وقم بتربيعه. هذا يعطي (( dfrac {−2} {2}) ^ 2 = 1. ) أضفها داخل كل زوج من الأقواس. وبالمثل ، نطرح 16 من المجموعة الثانية من الأقواس. لذلك تصبح المعادلة

(9 (س ^ 2 + 4x + 4) −16 (ص ^ 2−2 ص + 1) = 124 + 36−16 )

(9 (س ^ 2 + 4x + 4) −16 (ص ^ 2−2 ص + 1) = 144. )

عامل التالي كلا مجموعتي الأقواس وقسمه على 144:

(9 (س + 2) ^ 2−16 (ص 1) ^ 2 = 144 )

( dfrac {9 (x + 2) ^ 2} {144} - dfrac {16 (y − 1) ^ 2} {144} = 1 )

( dfrac {(x + 2) ^ 2} {16} - dfrac {(y − 1) ^ 2} {9} = 1. )

المعادلة الآن في الشكل القياسي. بمقارنة هذا بالمعادلة المرجع {HorHyperbola} يعطي (h = −2 ، k = 1 ، a = 4 ، ) و (b = 3 ). هذا هو القطع الزائد الأفقي مع المركز عند ((- 2،1) ) والخطوط المقاربة المعطاة بواسطة المعادلات (y = 1 ± dfrac {3} {4} (x + 2) ). يظهر الرسم البياني لهذا القطع الزائد في الشكل ( PageIndex {10} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

ضع المعادلة (4y ^ 2−9x ^ 2 + 16y + 18x − 29 = 0 ) في الصورة القياسية وقم برسم القطع الزائد الناتج. ما هي معادلات الخطوط المقاربة؟

تلميح

حرك الثابت فوق المربع وأكمل المربع. تحقق من الاتجاه الذي يفتح به القطع الزائد

إجابه

( dfrac {(y + 2) ^ 2} {9} - dfrac {(x − 1) ^ 2} {4} = 1. ) هذا قطع زائد رأسي. الخطوط المقاربة (y = −2 ± dfrac {3} {2} (x − 1). )

تحتوي القطوع الزائدة أيضًا على خصائص عاكسة مثيرة للاهتمام. ينعكس الشعاع الموجه نحو بؤرة واحدة للقطع الزائد بواسطة مرآة زائدية باتجاه البؤرة الأخرى. هذا المفهوم موضح في الشكل ( PageIndex {11} ).

هذه الخاصية للقطع الزائد لها تطبيقات مهمة. يتم استخدامه في تحديد الاتجاه الراديوي (نظرًا لأن الاختلاف في الإشارات من برجين ثابت على طول القطعات الزائدة) ، وفي بناء المرايا داخل التلسكوبات (لعكس الضوء القادم من المرآة المكافئة إلى العدسة). حقيقة أخرى مثيرة للاهتمام حول القطوع الزائدة هي أنه بالنسبة للمذنب الذي يدخل النظام الشمسي ، إذا كانت السرعة كبيرة بما يكفي للهروب من جاذبية الشمس ، فإن المسار الذي يسلكه المذنب أثناء مروره عبر النظام الشمسي يكون زائديًا.

الانحراف والمخرج

تتضمن الطريقة البديلة لوصف المقطع المخروطي الموجهات والبؤر وخاصية جديدة تسمى الانحراف. سنرى أن قيمة الانحراف اللامركزي للقسم المخروطي يمكن أن تحدد هذا الشكل المخروطي بشكل فريد.

التعريف: اللامركزية والمخرجات

ال الانحراف (ه ) من المقطع المخروطي يعرف بأنه المسافة من أي نقطة على المقطع المخروطي إلى بؤرته ، مقسومة على المسافة العمودية من تلك النقطة إلى أقرب دليل. هذه القيمة ثابتة لأي قسم مخروطي ، ويمكن أن تحدد المقطع المخروطي أيضًا:

  1. إذا كان (e = 1 ) ، فإن المخروط هو قطع مكافئ.
  2. إذا كان (e <1 ) ، فهو قطع ناقص.
  3. إذا كان (e> 1، ) عبارة عن قطع زائد.

الانحراف اللامركزي في الدائرة يساوي صفرًا. ال الدليل المقطع المخروطي هو الخط الذي يعمل مع النقطة المعروفة بالبؤرة على تحديد المقطع المخروطي. القطوع الزائدة والقطع الناقص غير الدائرية لها بؤرتان ودليلان مرتبطان. القطع المكافئ لها تركيز واحد ودليل واحد.

تظهر الأقسام الثلاثة المخروطية مع أدلةها في الشكل ( PageIndex {12} ).

تذكر من تعريف القطع المكافئ أن المسافة من أي نقطة على القطع المكافئ إلى البؤرة تساوي المسافة من نفس النقطة إلى الدليل. لذلك ، بحكم التعريف ، يجب أن يكون الانحراف المركزي للقطع المكافئ 1. معادلات أدلة القطع الناقص الأفقي هي (x = ± dfrac {a ^ 2} {c} ). يقع الرأس الأيمن للقطع الناقص عند ((أ ، 0) ) والتركيز الصحيح هو ((ج ، 0) ). لذلك فإن المسافة من الرأس إلى البؤرة هي (a − c ) والمسافة من الرأس إلى الدليل الأيمن هي ( dfrac {a ^ 2} {c} −c. ) وهذا يعطي الانحراف مثل

[e = dfrac {a − c} { dfrac {a ^ 2} {c} −a} = dfrac {c (a − c)} {a ^ 2 − ac} = dfrac {c (a −c)} {a (a − c)} = dfrac {c} {a}. ]

نظرًا لأن (c a ) ، لذا فإن الانحراف اللامركزي للقطع الزائد أكبر من 1.

مثال ( PageIndex {4} ): تحديد الانحراف المركزي للقسم المخروطي

حدد الانحراف اللامركزي للقطع الناقص الموصوف في المعادلة

( dfrac {(x − 3) ^ 2} {16} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {25} = 1. )

المحلول

من المعادلة نرى أن (أ = 5 ) و (ب = 4 ). قيمة ال ج يمكن حسابها باستخدام المعادلة (أ ^ 2 = ب ^ 2 + ج ^ 2 ) للقطع الناقص. استبدال قيم أ و ب وحل ل ج يعطي (ج = 3 ). لذلك فإن الانحراف اللامركزي للقطع الناقص هو (e = dfrac {c} {a} = dfrac {3} {5} = 0.6. )

تمرين ( PageIndex {4} )

حدد الانحراف اللامركزي للقطع الزائد الموصوف في المعادلة

( dfrac {(y − 3) ^ 2} {49} - dfrac {(x + 2) ^ 2} {25} = 1. )

تلميح

أوجد أولًا قيمتي a و b ، ثم حدد c باستخدام المعادلة (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ).

إجابه

(e = dfrac {c} {a} = dfrac { sqrt {74}} {7} ≈1.229 )

المعادلات القطبية للمقاطع المخروطية

في بعض الأحيان يكون من المفيد كتابة أو تحديد معادلة المقطع المخروطي في الشكل القطبي. للقيام بذلك ، نحتاج إلى مفهوم المعلمة البؤرية. ال المعلمة البؤرية من قسم مخروطي ص تُعرَّف بأنها المسافة من التركيز إلى أقرب دليل. يعطي الجدول التالي المعلمات البؤرية لأنواع مختلفة من المخروطيات ، أين أ هو طول المحور شبه الرئيسي (أي نصف طول المحور الرئيسي) ، ج هي المسافة من الأصل إلى التركيز ، و ه هو اللامركزية. في حالة القطع المكافئ ، يمثل a المسافة من الرأس إلى البؤرة.

الجدول ( PageIndex {1} ): الانحرافات والمعلمات البؤرية للأقسام المخروطية
مخروطي (هـ ) (ع )
الشكل البيضاوي (0 <ه <1 ) ( dfrac {a ^ 2 − c ^ 2} {c} = dfrac {a (1 − e ^ 2)} {c} )
القطع المكافئ (ه = 1 ) (2 أ )
القطع الزائد (ه> 1 ) ( dfrac {c ^ 2 − a ^ 2} {c} = dfrac {a (e ^ 2−1)} {c} )

باستخدام تعريفات المعلمة البؤرية وغرابة القسم المخروطي ، يمكننا اشتقاق معادلة لأي قسم مخروطي في الإحداثيات القطبية. على وجه الخصوص ، نفترض أن إحدى بؤر مقطع مخروطي معين تقع في القطب. ثم باستخدام تعريف المقاطع المخروطية المختلفة من حيث المسافات ، من الممكن إثبات النظرية التالية.

المعادلة القطبية للمقاطع المخروطية

المعادلة القطبية لقسم مخروطي ذو معامل بؤري ص اعطي من قبل

(r = dfrac {ep} {1 ± e cos θ} ) أو (r = dfrac {ep} {1 ± e sin θ}. )

في المعادلة على اليسار ، يكون المحور الرئيسي للمقطع المخروطي أفقيًا ، وفي المعادلة على اليمين يكون المحور الرئيسي عموديًا. للعمل مع مقطع مخروطي مكتوب في الصورة القطبية ، اجعل الحد الثابت في المقام يساوي 1. ويمكن فعل ذلك بقسمة كل من بسط ومقام الكسر على الثابت الذي يظهر أمام علامة الجمع أو السالب في المقام. ثم معامل الجيب أو جيب التمام في المقام هو الانحراف. هذه القيمة تحدد المخروط. إذا ظهر جيب التمام في المقام ، فإن المخروط يكون أفقيًا. إذا ظهرت الجيب ، فإن المخروط يكون عموديًا. إذا ظهر كلاهما ، فسيتم تدوير المحاور. مركز المخروط ليس بالضرورة في الأصل. المركز في الأصل فقط إذا كان المخروط دائرة (أي ، (e = 0 )).

مثال ( PageIndex {5} ): رسم مقطع مخروطي في الإحداثيات القطبية

تحديد وإنشاء رسم بياني للقسم المخروطي الموصوف في المعادلة

(r = dfrac {3} {1 + 2 cos θ} ).

المحلول

الحد الثابت في المقام هو 1 ، وبالتالي فإن الانحراف المركزي للمخروط هو 2. هذا قطع زائد. يمكن حساب المعامل البؤري p باستخدام المعادلة (ep = 3. ) بما أن (e = 2 ) ، فهذا يعطي (p = dfrac {3} {2} ). تظهر دالة جيب التمام في المقام ، لذا فإن القطع الزائد يكون أفقيًا. اختر بعض القيم لـ (θ ) وأنشئ جدول قيم. ثم يمكننا رسم القطع الزائد بالرسم البياني (الشكل ( PageIndex {13} )).

(θ ) (ص ) (θ ) (ص )
01 (π )−3
( dfrac {π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1.2426 ) ( dfrac {5π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7.2426 )
( dfrac {π} {2} )3 ( dfrac {3π} {2} )3
( dfrac {3π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7.2426 ) ( dfrac {7π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1.2426 )

تمرين ( PageIndex {5} )

تحديد وإنشاء رسم بياني للقسم المخروطي الموصوف في المعادلة

(r = dfrac {4} {1−0.8 sin θ} ).

تلميح

أولاً ، ابحث عن قيم ه و ص، ثم قم بإنشاء جدول قيم.

إجابه

هنا (البريد = 0.8 ) و (ع = 5 ). هذا القسم المخروطي هو قطع ناقص.

المعادلات العامة من الدرجة الثانية

يمكن كتابة معادلة عامة من الدرجة الثانية في النموذج

[Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0. ]

الرسم البياني لمعادلة من هذا الشكل هو مقطع مخروطي. إذا (B ≠ 0 ) ، فسيتم تدوير محاور الإحداثيات. لتحديد المقطع المخروطي ، نستخدم تمييز المقطع المخروطي (4AC − B ^ 2. )

تحديد القسم المخروطي

يجب أن تكون إحدى الحالات التالية صحيحة:

  1. (4AC − B ^ 2> 0 ). إذا كان الأمر كذلك ، فإن الرسم البياني عبارة عن قطع ناقص.
  2. (4AC − B ^ 2 = 0 ). إذا كان الأمر كذلك ، فإن الرسم البياني هو قطع مكافئ.
  3. (4AC − B ^ 2 <0 ). إذا كان الأمر كذلك ، فإن الرسم البياني عبارة عن قطع زائد.

أبسط مثال على معادلة من الدرجة الثانية تتضمن مصطلحًا متقاطعًا هو (xy = 1 ). يمكن حل هذه المعادلة من أجل (y ) للحصول على (y = dfrac {1} {x} ). يسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة القطع الزائد المستطيل كما هو موضح.

الخطوط المقاربة لهذا القطع الزائد هي محوري الإحداثيات (x ) و (y ). لتحديد زاوية دوران المقطع المخروطي θ ، نستخدم الصيغة ( cot 2θ = frac {A − C} {B} ). في هذه الحالة (A = C = 0 ) و (B = 1 ) ، لذلك ( cot 2θ = (0−0) / 1 = 0 ) و (θ = 45 ° ). تتضمن طريقة رسم مقطع مخروطي بمحاور مستديرة تحديد معاملات الشكل المخروطي في نظام الإحداثيات المستدير. تم تسمية المعاملات الجديدة (A ′، B ′، C ′، D ′، E ′، ) و (F ′، ) ويتم تقديمها بواسطة الصيغ

[ start {align} A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sin θ + C sin ^ 2 θ B ′ = 0 C ′ = A sin ^ 2 θ − B الخطيئة θ cos θ + C cos ^ 2θ D ′ = D cos θ + E sin θ E ′ = −D sin θ + E cosθ F ′ = F. نهاية {محاذاة} ]

الإجراء: رسم بياني مخروطي مستدير

الإجراء الخاص برسم المخروط المستدير هو كالتالي:

  1. حدد المقطع المخروطي باستخدام المميز (4AC − B ^ 2 ).
  2. حدد (θ ) باستخدام الصيغة [ cot2θ = dfrac {A − C} {B} label {rot}. ]
  3. احسب (A ′ و B ′ و C ′ و D ′ و E ′ ) و (F ′ ).
  4. أعد كتابة المعادلة الأصلية باستخدام (A ′ و B ′ و C ′ و D ′ و E ′ ) و (F ′ ).
  5. ارسم رسمًا بيانيًا باستخدام المعادلة المستديرة.

مثال ( PageIndex {6} ): تحديد شكل مخروطي مستدير

تحديد المخروط وحساب زاوية دوران المحاور للمنحنى الموصوف بالمعادلة

[13x ^ 2−6 sqrt {3} xy + 7y ^ 2−256 = 0. ]

المحلول

في هذه المعادلة ، (A = 13 ، B = −6 sqrt {3} ، C = 7 ، D = 0 ، E = 0 ، ) و (F = −256 ). المميز في هذه المعادلة هو

[4AC − B ^ 2 = 4 (13) (7) - (- 6 sqrt {3}) ^ 2 = 364−108 = 256. ]

لذلك هذا الشكل المخروطي هو قطع ناقص.

لحساب زاوية دوران المحاور ، استخدم المعادلة ref {rot}

[ cot 2θ = dfrac {A − C} {B}. ]

هذا يعطي

( cot 2θ = dfrac {A − C} {B} = dfrac {13−7} {- 6 sqrt {3}} = - dfrac { sqrt {3}} {3} ).

لذلك (2θ = 120 ^ o ) و (θ = 60 ^ o ) ، وهي زاوية دوران المحاور.

لتحديد المعاملات التي تم تدويرها ، استخدم الصيغ الواردة أعلاه:

(A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sinθ + C sin ^ 2θ )

(= 13 cos ^ 260 + (- 6 sqrt {3}) cos 60 sin 60 + 7 sin ^ 260 )

(= 13 ( dfrac {1} {2}) ^ 2−6 sqrt {3} ( dfrac {1} {2}) ( dfrac { sqrt {3}} {2}) + 7 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 )

(=4,)

(ب ′ = 0 )

(C ′ = A sin ^ 2θ − B sin θ cos θ + C cos ^ 2θ )

(=13sin^260+(6sqrt{3})sin 60 cos 60+7cos^260)

(=13(dfrac{sqrt{3}}{2})^2+6sqrt{3}(dfrac{sqrt{3}}{2})(dfrac{1}{2})+7(dfrac{1}{2})^2)

(=16,)

(D′=Dcos θ+Esin θ)

(=(0)cos 60+(0)sin 60)

(=0,)

(E′=−Dsin θ+Ecos θ)

(=−(0)sin 60+(0)cos 60)

(=0)

(F′= F)

(=−256.)

The equation of the conic in the rotated coordinate system becomes

(4(x′)^2+16(y′)^2=256)

(dfrac{(x′)^2}{64}+dfrac{(y′)^2}{16}=1).

A graph of this conic section appears as follows.

تمرين ( PageIndex {6} )

Identify the conic and calculate the angle of rotation of axes for the curve described by the equation

[3x^2+5xy−2y^2−125=0.]

تلميح

Follow steps 1 and 2 of the five-step method outlined above

إجابه

The conic is a hyperbola and the angle of rotation of the axes is (θ=22.5°.)

المفاهيم الرئيسية

  • The equation of a vertical parabola in standard form with given focus and directrix is (y=dfrac{1}{4p}(x−h)^2+k) where (p) is the distance from the vertex to the focus and ((h,k)) are the coordinates of the vertex.
  • The equation of a horizontal ellipse in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}+dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the major axis has length 2a, the minor axis has length 2b, and the coordinates of the foci are ((h±c,k)), where (c^2=a^2−b^2).
  • The equation of a horizontal hyperbola in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}−dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the vertices are located at ((h±a,k)), and the coordinates of the foci are ((h±c,k),) where (c^2=a^2+b^2).
  • The eccentricity of an ellipse is less than 1, the eccentricity of a parabola is equal to 1, and the eccentricity of a hyperbola is greater than 1. The eccentricity of a circle is 0.
  • The polar equation of a conic section with eccentricity ه is (r=dfrac{ep}{1±ecosθ}) or (r=dfrac{ep}{1±esinθ}), where p represents the focal parameter.
  • To identify a conic generated by the equation (Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0),first calculate the discriminant (D=4AC−B^2). If (D>0) then the conic is an ellipse, if (D=0) then the conic is a parabola, and if (D<0) then the conic is a hyperbola.

قائمة المصطلحات

conic section
a conic section is any curve formed by the intersection of a plane with a cone of two nappes
directrix
a directrix (plural: directrices) is a line used to construct and define a conic section; a parabola has one directrix; ellipses and hyperbolas have two
discriminant
the value (4AC−B^2), which is used to identify a conic when the equation contains a term involving (xy), is called a discriminant
focus
a focus (plural: foci) is a point used to construct and define a conic section; a parabola has one focus; an ellipse and a hyperbola have two
eccentricity
the eccentricity is defined as the distance from any point on the conic section to its focus divided by the perpendicular distance from that point to the nearest directrix
focal parameter
the focal parameter is the distance from a focus of a conic section to the nearest directrix
general form
an equation of a conic section written as a general second-degree equation
major axis
the major axis of a conic section passes through the vertex in the case of a parabola or through the two vertices in the case of an ellipse or hyperbola; it is also an axis of symmetry of the conic; also called the transverse axis
minor axis
the minor axis is perpendicular to the major axis and intersects the major axis at the center of the conic, or at the vertex in the case of the parabola; also called the conjugate axis
nappe
a nappe is one half of a double cone
standard form
an equation of a conic section showing its properties, such as location of the vertex or lengths of major and minor axes
vertex
a vertex is an extreme point on a conic section; a parabola has one vertex at its turning point. An ellipse has two vertices, one at each end of the major axis; a hyperbola has two vertices, one at the turning point of each branch

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections

Conic Sections Class 11 Maths NCERT Solutions are extremely helpful while doing your homework. NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections All Exercises were prepared by Experienced LearnCBSE.in Teachers.

Free download NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections Ex 11.1, Ex 11.2, Ex 11.3, Ex 11.4 and Miscellaneous Exercise PDF in Hindi Medium as well as in English Medium for CBSE, Uttarakhand, Bihar, MP Board, Gujarat Board, BIE, Intermediate and UP Board students, who are using NCERT Books based on updated CBSE Syllabus for the session 2019-20.


11.5: Conic Sections - Mathematics

Write Practise Exam

Mathematics - Conic Sections

Mathematics

Physics

Chemistry

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15

Question - 1

The equation of parabola having vertex (0, 0) passing through (2, 3) and axis is X - axis, is

Question - 2

If the points (0, 4) and (0, 2) are respectively the vertex and focus of a parabola, then the equation of the parabola is

Question - 3

The equation of the parabola, whose axis is parallel to Y - axis and which passes through the points (0, 4), (1, 9) and (-2, 6), is

  • A (y=2left( x+frac < 3 >< 4 > ight) ^< 2 >+frac < 23 >< 8 >)
  • B (y=2left( x+frac < 3 >< 2 > ight) ^< 2 >-frac < 1 >< 2 >)
  • C (y=2left( x+frac < 3 >< 5 > ight) ^< 2 >+frac < 1 >< 2 >)
  • D (y=2left( x+frac < 1 >< 2 > ight) ^< 2 >-frac < 1 >< 2 >)

Question - 4

The equation(s) of the common tangent(s) to the parabolas y 2 - 4x - 2y + 5 = 0 and y 2 = - 4x is/are

Question - 5

The locus of the middle points of the chords of the parabola y 2 = 4x which touch the parabola x 2 = -8y is

Question - 6

If e is the eccentricity of the ellipse ( frac < < x >^ < 2 >>< < a >^ < 2 >> +frac < < y >^ < 2 >>< < b >^ < 2 >> =1) then

Question - 7

If P is a point on the ellipse (frac < < x >^ < 2 >> < 16 >+frac < < y >^ < 2 >> < 25 >=1) whose foci are S and S', then PS + PS' is equal to

Question - 8

The equation of the ellipse whose focus is (1, -1), the directrix x - y - 3 = 0 and eccentricity (frac < 1 > < 2 >) is

Question - 9

The number of points outside outside the ellipse on units major axis from which a normal (other than the X - axis) can be drawn to the ellipse is

Question - 10

From the point A(4, 3), tangents are drawn to the ellipse (frac < < x >^ < 2 >> < 16 >+frac < < y >^ < 2 >> < 9 >=1) to touch the ellipse at B and C. EF is a tangent to the ellipse parallel to the line BC and toward the point A. The distance of A from EF is equal to.


11.5: Conic Sections - Mathematics

Write Practise Exam

Mathematics - Conic Sections

Mathematics

Physics

Chemistry

NEET Biology 2020

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15

Question - 1

The equation of parabola having vertex (0, 0) passing through (2, 3) and axis is X - axis, is

Question - 2

If the points (0, 4) and (0, 2) are respectively the vertex and focus of a parabola, then the equation of the parabola is

Question - 3

The equation of the parabola, whose axis is parallel to Y - axis and which passes through the points (0, 4), (1, 9) and (-2, 6), is

  • A (y=2left( x+frac < 3 >< 4 > ight) ^< 2 >+frac < 23 >< 8 >)
  • B (y=2left( x+frac < 3 >< 2 > ight) ^< 2 >-frac < 1 >< 2 >)
  • C (y=2left( x+frac < 3 >< 5 > ight) ^< 2 >+frac < 1 >< 2 >)
  • D (y=2left( x+frac < 1 >< 2 > ight) ^< 2 >-frac < 1 >< 2 >)

Question - 4

The equation(s) of the common tangent(s) to the parabolas y 2 - 4x - 2y + 5 = 0 and y 2 = - 4x is/are

Question - 5

The locus of the middle points of the chords of the parabola y 2 = 4x which touch the parabola x 2 = -8y is

Question - 6

If e is the eccentricity of the ellipse ( frac < < x >^ < 2 >>< < a >^ < 2 >> +frac < < y >^ < 2 >>< < b >^ < 2 >> =1) then

Question - 7

If P is a point on the ellipse (frac < < x >^ < 2 >> < 16 >+frac < < y >^ < 2 >> < 25 >=1) whose foci are S and S', then PS + PS' is equal to

Question - 8

The equation of the ellipse whose focus is (1, -1), the directrix x - y - 3 = 0 and eccentricity (frac < 1 > < 2 >) is

Question - 9

The number of points outside outside the ellipse on units major axis from which a normal (other than the X - axis) can be drawn to the ellipse is

Question - 10

From the point A(4, 3), tangents are drawn to the ellipse (frac < < x >^ < 2 >> < 16 >+frac < < y >^ < 2 >> < 9 >=1) to touch the ellipse at B and C. EF is a tangent to the ellipse parallel to the line BC and toward the point A. The distance of A from EF is equal to.


Let’s take a look at topics and sub-topics of class 11 Maths Chapter 11, Conic Sections

Section 11.2 – In this section, you’ll acquire knowledge on different sections of a cone and related concepts such as vertex, axis, generator of a cone and degenerated conic sections. You’ll also learn how a cone can be converted into a circle, ellipse, parabola and hyperbola.

Section 11.3 – In this section, you’ll learn what a circle is and related concepts such as the centre of a circle, radius and equation of a circle.

Section 11.4 – In this section, you’ll study what is a parabola, and related concepts such as directrix and axis of a parabola, focus, degenerate case of parabola, standard equations and latus rectum of a parabola.

Section 11.5 – In this section, you’ll learn what an ellipse is and the related concepts – the foci, centre, vertices, major axis and minor axis of an ellipse. You’ll also study about the relationship between semi-major axis, semi-minor axis and the distance of the focus from the centre of the ellipse, special cases, eccentricity, standard equations and latus rectum of an ellipse.

Section 11.6 – In this section, you’ll study what a hyperbola is and related concepts like difference, foci of hyperbola, the transverse axis, centre, vertices, eccentricity, standard equation, equilateral hyperbola, Latus rectum and various observations of a hyperbola.

In this chapter, you are provided with several diagrams and examples along with their solutions for a clear understanding of Conic Sections. To know more about Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections, you should explore the exercises below. You can also download the Conic Sections Class 11 NCERT Solutions PDF, solved by expert Maths trainers.

Published on 2020-02-07 09:30:32 by arunima . Last Modified on 2020-02-07 09:30:32


Please feel free to comment about your thoughts and questions in regards to the topic. If you want to check some videos for math in YouTube just click this link https://www.youtube.com/channel/UCHvWY3PTPR8M_gSTQi7lbhA

and proceed to Mathematics Playlist

MATH LET Review Online

SAGOT KO SA "DOUBLE MEANING" NA SINABI NYO!

⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️ ⚠️

Yung ibang pictures na ginamit ko ay reply comment Ng ilang nag comment, credits SA Inyo :)

Salamat Po! :) Dahil nagustohan nyo!
Mabuhay Po kayo


NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 Exercise 11.4

NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 Conic Sections Ex 11.4

Question 1:

Ans:

Question 2:

Ans:

السؤال 3:

Ans:

السؤال 4:

Ans:

السؤال الخامس:

Ans:

Question 6:

Ans:

السؤال 7:

Ans:

Question 8:

Ans:

Question 9:

Ans:

Question 10:

Ans:

Question 11:

Ans:

Question 12:

Ans:

Question 13:

Ans:

Question 14:

Ans:

Question 15:

Ans:


NO LONGER AVAIL-Calc: ET 1st edition

Your students are allowed unlimited access to WebAssign courses that use this edition of the textbook at no additional cost.

Access is contingent on use of this textbook in the instructor's classroom.

  • Chapter 1: Precalculus Review
    • 1.1 Real Numbers, Functions, Equations, and Graphs (18)
    • 1.2 Linear and Quadratic Functions (20)
    • 1.3 The Basic Classes of Functions (15)
    • 1.4 Trigonometric Functions (11)
    • 1.5 Inverse Functions (12)
    • 1.6 Exponential and Logarithmic Functions (14)
    • 1.7 Technology: Calculators and Computers (11)
    • 2.1 Limits, Rates of Change, and Tangent Lines (11)
    • 2.2 Limits: A Numerical and Graphical Approach (12)
    • 2.3 Basic Limit Laws (11)
    • 2.4 Limits and Continuity (12)
    • 2.5 Evaluating Limits Algebraically (15)
    • 2.6 Trigonometric Limits (13)
    • 2.7 Intermediate Value Theorem (11)
    • 2.8 The Formal Definition of a Limit (11)
    • 3.1 Definition of the Derivative (11)
    • 3.2 The Derivative as a Function (16)
    • 3.3 Product and Quotient Rules (11)
    • 3.4 Rates of Change (12)
    • 3.5 Higher Derivatives (12)
    • 3.6 Derivatives of Trigonometric Functions (13)
    • 3.7 The Chain Rule (14)
    • 3.8 Implicit Differentiation (12)
    • 3.9 Derivatives of Inverse Functions (11)
    • 3.10 Derivatives of Logarithmic Functions (14)
    • 3.11 Related Rates (11)
    • 4.1 Linear Approximation and Applications (10)
    • 4.2 Extreme Values (12)
    • 4.3 The Mean Value Theorem and Monotonicity (12)
    • 4.4 The Shape of a Graph (12)
    • 4.5 Graph Sketching and Asymptotes (11)
    • 4.6 Applied Optimization (16)
    • 4.7 L'Ho'pital's Rule (11)
    • 4.8 Newton's Method (11)
    • 4.9 Antiderivatives (11)
    • 5.1 Approximating and Computing Area (11)
    • 5.2 The Definite Integral (11)
    • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus, Part I (11)
    • 5.4 The Fundamental Theorem of Calculus, Part II (11)
    • 5.5 Net or Total Change as the Integral of a Rate (11)
    • 5.6 Substitution Method (11)
    • 5.7 Integrals of Exponential and Logarithmic Functions (11)
    • 5.8 Exponential Growth and Decay (11)
    • 6.1 Area Between Two Curves (11)
    • 6.2 Setting Up Integrals: Volumes, Density, Average Value (11)
    • 6.3 Volumes of Revolution (11)
    • 6.4 The Method of Cylindrical Shells (11)
    • 6.5 Work and Energy (11)
    • 7.1 Numerical Integration (11)
    • 7.2 Integration by Parts (11)
    • 7.3 Trigonometric Integrals (11)
    • 7.4 Trigonometric Substitution (11)
    • 7.5 Integrals of Hyperbolic and Inverse Hyperbolic Functions (11)
    • 7.6 The Method of Partial Fractions (11)
    • 7.7 Improper Integrals (11)
    • 8.1 Arc Length and Surface Area (10)
    • 8.2 Fluid Pressure and Force (11)
    • 8.3 Center of Mass (11)
    • 8.4 Taylor Polynomials (11)
    • 9.1 Separable Equations (12)
    • 9.2 Models Involving ذ' = ك(y-b) (12)
    • 9.3 Graphical and Numerical Methods (12)
    • 9.4 The Logistic Equation (11)
    • 9.5 First-order Linear Equations (11)
    • 10.1 Sequences (11)
    • 10.2 Summing an Infinite Series (11)
    • 10.3 Convergence of Series with Positive Terms (11)
    • 10.4 Absolute and Conditional Convergence (11)
    • 10.5 The Ratio and Root Tests (11)
    • 10.6 Power Series (11)
    • 10.7 Taylor Series (11)
    • 11.1 Parametric Equations (11)
    • 11.2 Arc Length and Speed (11)
    • 11.3 Polar Coordinates (11)
    • 11.4 Area and Arc Length in Polar Coordinates (11)
    • 11.5 Conic Sections (11)
    • 12.1 Vectors in the Plane (11)
    • 12.2 Vectors in Three Dimensions (11)
    • 12.3 Dot Product and the Angle Between Two Vectors (11)
    • 12.4 The Cross Product (11)
    • 12.5 Planes in Three-Space (11)
    • 12.6 Survey of Quadric Surfaces (11)
    • 12.7 Cylindrical and Spherical Coordinates (11)
    • 13.1 Vector-Valued Functions (11)
    • 13.2 Calculus of Vector-Valued Functions (11)
    • 13.3 Arc Length and Speed (10)
    • 13.4 Curvature (10)
    • 13.5 Motion in Three-Space (10)
    • 13.6 Planetary Motion According to Kepler and Newton (11)
    • 14.1 Functions in Two or More Variables (11)
    • 14.2 Limits and Continuity in Several Variables (11)
    • 14.3 Partial Derivatives (11)
    • 14.4 Linear Approximation, Differentiability, and Tangent Planes (11)
    • 14.5 The Gradient and Directional Derivatives (11)
    • 14.6 The Chain Rule (11)
    • 14.7 Optimization in Several Variables (11)
    • 14.8 Lagrange Multipliers: Optimizing with a Constraint (11)
    • 15.1 Integrals in Several Variables (11)
    • 15.2 Double Integrals over More General Regions (11)
    • 15.3 Triple Integrals (11)
    • 15.4 Integration in Polar, Cylindrical, and Spherical Coordinates (11)
    • 15.5 Change of Variables (10)
    • 16.1 Vector Fields (11)
    • 16.2 Line Integrals (11)
    • 16.3 Conservative Vector Fields (11)
    • 16.4 Parameterized Surfaces and Surface Integrals (11)
    • 16.5 Integrals of Vector Fields (11)
    • 17.1 Green's Theorem (11)
    • 17.2 Stokes' Theorem (10)
    • 17.3 Divergence Theorem (11)

    Refer To Figure 11 5 Identify The Curves In The Diagram

    G average variable cost curve. F average total cost curve.

    Extremely Massive Quasars Are Not Good Proxies For Dense

    17 refer to figure 10 4.

    Refer to figure 11 5 identify the curves in the diagram. When the marginal product of labor rises a the. Haverage fixed cost curve. H average fixed cost curve.

    19 if the marginal cost curve is below the average variable cost curve then a average variable cost is increasing. Identify the curves in the diagram. Figure 12 5 figure 125 shows cost and demand curves facing a typical firm in a constantcost perfectly competitive industry.

    F average total cost curve. Refer to figure 11 5. B a to c.

    7 refer to figure 11 5. Identify the curves in the diagram. Suppose the price of pilates sessions rise to 30 while income and the price of yoga sessions remain unchanged.

    H average fixed cost curve. A e marginal cost curves f average. F average total cost curve.

    A e marginal cost curves f average total cost curve. G average variable cost curve. 18 refer to figure 11 5.

    C fixed cost falls as capacity rises. C a to d. Identify the curves in the diagram.

    G average variable cost curve h marginal cost curve b e marginal cost curve. Identify the curves in the diagram. If another worker adds 9 units of output to a group of workers who had an average product of 7 units then the average product of labor.

    Curve g approaches curve f because a marginal cost is above average variable costs. E average fixed cost curve. 10 refer to figure 11 1.

    Faverage total cost curve. In a diagram that shows the marginal product of labor on the vertical axis and labor on the horizontal axis the marginal product curve 10 a never intersects the horizontal axis. 25 a e average fixed cost curve.

    B average fixed cost falls as output rises. The vertical difference between curves f and g measures 18 refer to figure 10 4. Show transcribed image text refer to figure 11 5 identify the curves in the diagram.

    D d to b. Identify the curves in the diagram. 17 refer to figure 11 5.

    B intersects the horizontal axis at a point corresponding to the 5th worker. The substitution effect of this price change is represented by the movement from a a to b. Identify the curves in the diagram.

    This preview has intentionally blurred sections. G average variable cost curve. E marginal cost curve.

    H average fixed cost curve. G average variable cost curve. 6 refer to figure 10 7.

    25 refer to figure 11 5. Figure 10 4 pic 16 refer to figure 10 4. Sign up to view the full version.

    Identify the curves in the diagram. Home study business economics economics questions and answers refer to figure 11 4. D the 5th worker is hired.

    Identify the curves in the diagram. Refer to figure 125.

    Cyclic Behavior Of Iron Ore Fines On Board Bulk Carriers Scale

    Ethnic And Age Differences In Prediction Of Mortality By Mid Upper

    Solved Refer To Figure 11 5 Identify The Curves In The D

    11 5 Conic Sections Mathematics Libretexts

    Igf I Receptor Mutations Resulting In Intrauterine And Postnatal

    Momentum Driven Winds From Radiatively Efficient Black Hole

    Understanding Diagnostic Tests Part 3 Receiver Operating

    Short Stature In Childhood Challenges And Choices Nejm

    Process Identification Ambiguity Between Advection Dispersion

    An Oscillatory Short Term Memory Buffer Model Can Account For Data

    Signaling Cross Talk Between Mhc Class Ii Molecular Conformers In

    Experimental Frequency Response Curves A Max A L 2 0 Vs F

    The Ribonucleic Complex Hur Malat1 Represses Cd133 Expression And

    Mean Field Analysis Of Orientation Selectivity In Inhibition

    The Impact Of 18 Fluorodeoxyglucose Positron Emission Tomography On

    The Effect Of Different Linkers On Target Cell Catabolism And

    Dynamic Loading On Flexible Floating Anticollision System Due To

    Final Exam Economics 200 With Goya Tocchet At College Of

    State Of The Art Of Hurricane Vulnerability Estimation Methods A

    Analysis Of Genomic Breakpoints In P190 And P210 Bcr Abl Indicate

    Anemia And Diabetes In The Absence Of Nephropathy Diabetes Care

    Temperature As A Risk Factor For Hospitalisations Among Young

    Final Exam Economics 200 With Goya Tocchet At College Of

    Curve Of Snrr Versus Order Of Identified Ar Model For Audio Case


    Engineering Mathematics - Calculus ePrep Course forUniversity Preparation

    Due to the constraints of time, only the first ten chapters are compulsory for certification purposes, but materials and support for the remaining seven chapters are also available.

    I. Compulsory Chapters

    Chapter 1: Functions and Limits

    1.1: Four Ways to Represent a Function

    1.2: Mathematical Models: A Catalog of Essential Functions

    1.3: New Functions from Old Functions

    1.4: The Tangent and Velocity Problems

    1.5: The Limit of a Function

    1.6: Calculating Limits Using the Limit Laws

    1.7: The Precise Definition of a Limit

    Chapter 2: Derivatives

    2.1: Derivatives and Rates of Change

    2.2: The Derivative as a Function

    2.3: Differentiation Formulas

    2.4: Derivatives of Trigonometric Functions

    2.6: Implicit Differentiation

    2.7: Rates of Change in the Natural and Social Sciences

    2.9: Linear Approximations and Differentials

    Chapter 3: Applications of Differentiation

    3.1: Maximum and Minimum Values

    3.2: The Mean Value Theorem

    3.3: How Derivatives Affect the Shape of a Graph

    3.4: Limits at Infinity Horizontal Asymptotes

    3.5: Summary of Curve Sketching

    3.6: Graphing with Calculus and Calculators

    Chapter 4: Integrals

    4.3: The Fundamental Theorem of Calculus

    4.4: Indefinite Integrals and the Net Change Theorem

    Chapter 5: Applications of Integration

    5.3: Volumes by Cylindrical Shells

    5.5: Average Value of a Function

    Chapter 6: Inverse Functions

    6.2: Exponential Functions and Their Derivatives

    6.2*: The Natural Logarithmic Function

    6.3*: The Natural Exponential Function

    6.4: Derivatives of Logarithmic Functions

    6.4*: General Logarithmic and Exponential Functions

    6.5: Exponential Growth and Decay

    6.6: Inverse Trigonometric Functions

    6.8: Indeterminate Forms and l’Hospital’s Rule

    Chapter 7: Techniques of Integration

    7.2: Trigonometric Integrals

    7.3: Trigonometric Substitution

    7.4: Integration of Rational Functions by Partial Fractions

    7.5: Strategy for Integration

    7.6: Integration Using Tables and Computer Algebra Systems

    7.7: Approximate Integration

    Chapter 8: Further Applications of Integration

    8.2: Area of a Surface of Revolution

    8.3: Applications to Physics and Engineering

    8.4: Applications to Economics and Biology

    Chapter 9: Differential Equations

    9.1: Modeling with Differential Equations

    9.2: Direction Fields and Euler’s Method

    9.4: Models for Population Growth

    Chapter 10: Parametric Equations and Polar Coordinates

    10.1: Curves Defined by Parametric Equations

    10.2: Calculus with Parametric Curves

    10.4: Areas and Lengths in Polar Coordinates

    10.6: Conic Sections in Polar Coordinates

    Chapter 11: Infinite Sequences and Series

    11.3: The Integral Test and Estimates of Sums

    11.6: Absolute Convergence and the Ratio and Root Tests

    11.7: Strategy for Testing Series

    11.9: Representations of Functions as Power Series

    11.10: Taylor and Maclaurin Series

    11.11: Applications of Taylor Polynomials

    Chapter 12: Vectors and the Geometry of Space

    12.1: Three-Dimensional Coordinate Systems

    12.5: Equations of Lines and Planes

    12.6: Cylinders and Quadric Surfaces

    Chapter 13: Vector Functions

    13.1: Vector Functions and Space Curves

    13.2: Derivatives and Integrals of Vector Functions

    13.3: Arc Length and Curvature

    13.4: Motion in Space: Velocity and Acceleration

    Chapter 14: Partial Derivatives

    14.1: Functions of Several Variables

    14.2: Limits and Continuity

    14.4: Tangent Planes and Linear Approximations

    14.6: Directional Derivatives and the Gradient Vector

    14.7: Maximum and Minimum Values

    Chapter 15: Multiple Integrals

    15.1: Double Integrals over Rectangles

    15.3: Double Integrals over General Regions

    15.4: Double Integrals in Polar Coordinates

    15.5: Applications of Double Integrals

    15.8: Triple Integrals in Cylindrical Coordinates

    15.9: Triple Integrals in Spherical Coordinates

    15.10: Change of Variables in Multiple Integrals

    Chapter 16: متجه حساب التفاضل والتكامل

    16.3: The Fundamental Theorem for Line Integrals

    16.6: Parametric Surfaces and Their Areas

    16.9: The Divergence Theorem

    Chapter 17: Second-Order Differential Equations

    17.1: Second-Order Linear Equations

    17.2: Nonhomogeneous Linear Equations

    17.3: تطبيقات المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية

    What You Get in this ePrep Course

    I. Free Textbook
    “Calculus” is a very popular Calculus textbook, authored by James Stewart, 8th Ed. Millions of students worldwide have used the textbooks by James Stewart.
    II. Free Consultation
    A retired NTU professor is acting as the tutor. You can consult him via email or WhatsApp.
    ثالثا. Materials Online
    1. Notes, video lessons and PowerPoint files.
    2. Answers/solutions to all questions/problems in the textbook.
    3. Online exercises.
    4. Problems and solutions in files.
    5. Bonus learning materials in other branches of mathematics, including algebra, geometry, trigonometry, probability, and statistics, as well as on other subjects such as business finance, corporate finance, engineering economy, economics, physics, mechanics, Python programming, life science, biotechnology, and psychology.
    رابعا. Digital Certificate
    A digital certificate will be issued if you have successfully completed this ePrep course and passing all the tests at the end of each of the ten compulsory chapters.

    Samples of Engineering Mathematics- Calculus ePrep Course Materials

    1. Video Lesson (Area between Curves)

    This video lesson discusses the determination of the area between two curves, by first finding the points of intersection, and then determine the area of the region bounded by the two curves by integrating the areas of the tiny triangles within the region.

    2. Problem and Solution (Integration)

    3. Review of Algebra (Binomial Theorem)

    Algebra is a very important and more fundamental branch of mathematics and it provides a useful tool for solving calculus problems. A review of algebra is therefore performed before the study of calculus.

    Sample Supplementary Course Materials

    – From Other Mathematics ePrep Courses

    1. Video Lesson on Maths for Managerial, Life and Soc Sc (Exponential Functions)

    This video lesson illustrates the solution steps in solving a half-life problem as an exponential decay model.

    2. Video Lesson on Probability (Probability of Discrete Events)

    This video lesson illustrates using the concept of sample space to solve a discrete event probability problem.

    3. Video Lesson on Statistics (Confidence Interval)

    This video lesson illustrates how we can use the sample mean, standard deviation, and sample size to compute the confidence interval for the population mean.

    Samples of Bonus Course Materials

    1. Video Lesson on Business Finance (Ordinary Annuity and Annuity Due)

    This short video lesson illustrates what annuity is and how annuity due differs.

    2. Video Lesson on Corporate Finance (Sustainable Growth Model)

    This video lesson illustrates that the Sustainable Growth Model is for a business that wants to maintain a target payout ratio and capital structure without issuing new equity, and it provides an estimate of the annual percentage increase in sales that can be supported.

    3. Cross-Word Puzzle on Biotechnology (Principle of Genetic Transfer)

    4. Worked Example on Engineering Economy (Project Evaluation)

    A retrofitted space-heating system is being considered for a small office building. The system can be purchased and installed for $110,000, and it will save an estimated 300,000 kilowatt-hours (kWh) of electric power each year over a six-year period. A kilowatt-hour of electricity costs .10, and the company uses a MARR of 15% per year in its economic evaluations of refurbished systems. The market value of the system will be $8,000 at the end of six years, and additional annual operating and maintenance expenses are negligible. Use the PW method to determine whether this system should be installed.

    To find the PW of the proposed heating system, we need to find the present equivalent of all associated cash flows.

    The estimated annual savings in electrical power is worth 300,000 kWh × .10/kWh = $30,000 per year.

    PW(15%) = −$110,000 + $30,000 (P/A, 15%, 6) + $8,000 (P/F, 15%, 6)

    = −$110,000 + $30,000(3.7845) + $8,000(0.4323)

    Since PW(15%)≥ 0, we conclude that the retrofitted space-heating system should be installed.

    MARR = Minimum Acceptable Rate of Return

    (P/A, 15%, 6) and (P/F, 15%, 6) are factors that can be obtained from tables, software, financial calculator, or by applying formulas.


    شاهد الفيديو: م10 الفصل الثاني ربط القطوع المخروطية احيائي - تطبيقي حسام الحلو 2020 (شهر اكتوبر 2021).