مقالات

9.4: اختبارات المقارنة


أهداف التعلم

  • استخدم اختبار المقارنة لاختبار التقارب المتسلسل.
  • استخدم اختبار مقارنة الحد لتحديد تقارب سلسلة.

لقد رأينا أن الاختبار المتكامل يسمح لنا بتحديد تقارب أو تباعد سلسلة من خلال مقارنتها بتكامل غير لائق ذي صلة. في هذا القسم ، نوضح كيفية استخدام اختبارات المقارنة لتحديد تقارب أو تباعد سلسلة من خلال مقارنتها بسلسلة معروفة تقاربها أو تباعدها. عادةً ما تُستخدم هذه الاختبارات لتحديد تقارب السلاسل التي تشبه السلاسل الهندسية أو (p ) - سلسلة.

اختبار المقارنة

في القسمين السابقين ، ناقشنا فئتين كبيرتين من السلاسل: سلسلة هندسية و (ع ) - سلسلة. نحن نعلم بالضبط متى تتقارب هذه السلسلة ومتى تتباعد. نوضح هنا كيفية استخدام التقارب أو الاختلاف لهذه السلسلة لإثبات التقارب أو الاختلاف لسلسلة أخرى ، باستخدام طريقة تسمى اختبار المقارنة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السلسلة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2 + 1}. ]

هذه السلسلة تشبه السلسلة المتقاربة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2} ]

نظرًا لأن المصطلحات في كل سلسلة موجبة ، فإن تسلسل المجاميع الجزئية لكل سلسلة يتزايد بشكل رتيب. علاوة على ذلك ، منذ ذلك الحين

[0 < dfrac {1} {n ^ 2 + 1} < dfrac {1} {n ^ 2} ]

لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة (n ) ، (k ^ { text {th}} ) المجموع الجزئي (S_k ) من ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1 } {n ^ 2 + 1} ) يرضي

[S_k = sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2 + 1} < sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2} < sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

(انظر الشكل ( PageIndex {1a} ) والجدول ( PageIndex {1} ).) نظرًا لأن السلسلة الموجودة على اليمين تتقارب ، فإن التسلسل ({S_k} ) محدد أعلاه. نستنتج أن ({S_k} ) هو تسلسل متزايد رتيب محدد أعلاه. لذلك ، من خلال نظرية التقارب أحادية اللون ، يتقارب ({S_k} ) ، وبالتالي

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2 + 1} ]

يتقارب.

وبالمثل ، انظر إلى السلسلة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n − 1/2}. ]

هذه السلسلة تشبه السلسلة المتباعدة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n}. ]

تسلسل المجاميع الجزئية لكل سلسلة يتزايد بشكل رتيب و

[ dfrac {1} {n − 1/2}> dfrac {1} {n}> 0 ]

لكل عدد صحيح موجب (n ). لذلك ، فإن مجموع (k ^ { text {th}} ) الجزئي (S_k ) من

[ sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n − 1/2} ]

استوفي

[S_k = sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n − 1/2}> sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n}. ]

(راجع الشكل ( PageIndex {1n} ) والجدول ( PageIndex {1} )). نظرًا لأن السلسلة ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n} ) تتباعد إلى ما لا نهاية ، فإن تسلسل المبالغ الجزئية ( displaystyle sum ^ k_ {n = 1} frac {1} {n} ) غير مقيد. وبالتالي ، فإن ({S_k} ) هو تسلسل غير محدود ، وبالتالي يتباعد. نستنتج أن

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n − 1/2} ]

يتباعد.

جدول ( PageIndex {1} ): مقارنة سلسلة بـ (p ) - سلسلة ( (p = 2 ))
(ك)12345678
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2 + 1} )0.50.70.80.85880.89730.92430.94430.9597
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2} )11.251.36111.42361.46361.49141.51181.5274
Table ( PageIndex {2} ): مقارنة سلسلة بالسلسلة التوافقية
(ك)12345678

(displaystyle sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n − 1/2})

22.66673.06673.35243.57463.75643.91034.0436
( displaystyle sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n} )11.51.83332.09332.28332.452.59292.7179

اختبار المقارنة

  1. افترض أن هناك عددًا صحيحًا (N ) مثل (0≤a_n≤b_n ) للجميع (n≥N ). إذا تقارب ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فإن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتقارب.
  2. افترض وجود عدد صحيح (N ) بحيث (a_n≥b_n≥0 ) للجميع (n≥N. ) إذا ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) يتباعد ، ثم ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد.

دليل

نثبت الجزء الأول. إثبات الجزء الثاني. هو المانع للجزء الأول. لنفترض أن ({S_k} ) هو تسلسل المجاميع الجزئية المرتبطة بـ ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) ، ودع ( displaystyle L = sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ). منذ الشروط (a_n0، )

[S_k = a_1 + a_2 + ⋯ + a_k≤a_1 + a_2 + ⋯ + a_k + a_ {k + 1} = S_ {k + 1}. لا يوجد رقم]

لذلك ، فإن تسلسل المجاميع الجزئية آخذ في الازدياد. علاوة على ذلك ، منذ (a_n≤b_n ) للجميع (n≥N ) ، إذن

[ sum_ {n = N} ^ ka_n≤ sum_ {n = N} ^ kb_n≤ sum_ {n = 1} ^ ∞b_n = L. لا يوجد رقم]

لذلك ، للجميع (k≥1 ) ،

[S_k = (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1}) + sum_ {n = N} ^ ka_n≤ (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1}) + L. لا يوجد رقم]

نظرًا لأن (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1} ) هو رقم محدد ، فإننا نستنتج أن التسلسل ({S_k} ) محدد أعلاه. لذلك ، ({S_k} ) هو تسلسل متزايد محدد أعلاه. من خلال نظرية التقارب أحادية اللون ، نستنتج أن ({S_k} ) يتقارب ، وبالتالي فإن السلسلة ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) تتقارب.

لاستخدام اختبار المقارنة لتحديد التقارب أو الاختلاف في سلسلة ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) ، من الضروري إيجاد سلسلة مناسبة لمقارنتها. نظرًا لأننا نعرف خصائص التقارب للسلسلة الهندسية و (p ) - المتسلسلة ، فغالبًا ما يتم استخدام هذه السلاسل. إذا كان هناك عدد صحيح (N ) مثل هذا بالنسبة للجميع (n≥N ) ، فإن كل مصطلح يكون أقل من كل مصطلح مطابق لسلسلة متقاربة معروفة ، ثم ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) تتقارب. وبالمثل ، إذا كان هناك عدد صحيح (N ) مثل ذلك بالنسبة للجميع (n≥N ) ، فإن كل مصطلح هو أكبر من كل مصطلح مطابق لسلسلة متباعدة معروفة ، ثم ( displaystyle sum_ {n = 1 } ^ ∞a_n ) يتباعد.

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام اختبار المقارنة

لكل من السلاسل التالية ، استخدم اختبار المقارنة لتحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد.

  1. ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ = dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} )
  2. ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ = dfrac {1} {2 ^ n + 1} )
  3. ( displaystyle sum_ {n = 2} ^ ∞ = dfrac {1} { ln ، n} )

حل

أ. قارن بـ ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3} ). بما أن ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3} ) هو a (p ) - سلسلة مع (p = 3 ) ، فإنه يتقارب. إضافه على،

[ dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} < dfrac {1} {n ^ 3} nonumber ]

لكل عدد صحيح موجب (n ). لذلك ، يمكننا استنتاج أن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} ) يتقارب.

ب. قارن بـ ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} left ( dfrac {1} {2} right) ^ n ). بما أن ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ left ( dfrac {1} {2} right) ^ n ) هي سلسلة هندسية تحتوي على (r = dfrac {1} {2} ) و ( left | dfrac {1} {2} right | <1 ) ، يتقارب. أيضا،

[ dfrac {1} {2 ^ n + 1} < dfrac {1} {2 ^ n} non Number ]

لكل عدد صحيح موجب (n ). لذلك ، نرى أن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {2 ^ n + 1} ) يتقارب.

ج. قارن بـ ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1} {n} ). حيث

[ dfrac {1} { ln n}> dfrac {1} {n} non Number ]

لكل عدد صحيح (n≥2 ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1} {n} ) يتباعد ، لدينا هذا ( displaystyle sum ^ ∞_ { n = 2} dfrac {1} { ln n} ) يتباعد.

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم اختبار المقارنة لتحديد ما إذا كانت السلسلة ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {n} {n ^ 3 + n + 1} ) تتقارب أو تتباعد.

تلميح

ابحث عن قيمة (p ) مثل ( dfrac {n} {n ^ 3 + n + 1} ≤ dfrac {1} {n ^ p} ).

إجابه

السلسلة تتقارب.

اختبار مقارنة الحد

يعمل اختبار المقارنة بشكل جيد إذا تمكنا من العثور على سلسلة مماثلة تفي بفرضية الاختبار. ومع ذلك ، قد يكون من الصعب أحيانًا العثور على سلسلة مناسبة. تأمل السلسلة

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1}. ]

من الطبيعي مقارنة هذه السلسلة بالسلسلة المتقاربة

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

ومع ذلك ، فإن هذه السلسلة لا تفي بالفرضية اللازمة لاستخدام اختبار المقارنة بسبب

[ dfrac {1} {n ^ 2−1}> dfrac {1} {n ^ 2} ]

لجميع الأعداد الصحيحة (n≥2 ). على الرغم من أنه يمكننا البحث عن سلسلة مختلفة للمقارنة بها ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} frac {1} {n ^ 2−1}، ) بدلاً من ذلك نوضح كيف يمكننا استخدام اختبار المقارنة المحدودة لمقارنة

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ فارك {1} {n ^ 2−1} ]

و

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ فارك {1} {n ^ 2}. ]

دعونا نفحص الفكرة الكامنة وراء اختبار المقارنة المحدد. ضع في اعتبارك سلسلتين ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ). بشروط موجبة (a_n ) و (b_n ) وتقييمها

[ lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n}. ]

إذا

[ lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n} = L ≠ 0، ]

ثم ، من أجل (n ) كبيرة بما يكفي ، (a_n≈Lb_n ). لذلك ، تتقارب كلتا السلسلتين أو تتباعد كلتا السلسلتين. للسلسلة ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} frac {1} {n ^ 2−1} ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1 } {n ^ 2} ) ، نرى ذلك

[ lim_ {n → ∞} dfrac {1 / (n ^ 2−1)} {1 / n ^ 2} = lim_ {n → ∞} dfrac {n ^ 2} {n ^ 2−1 } = 1. ]

بما أن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 2} frac {1} {n ^ 2} ) يتقارب ، فإننا نستنتج أن

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1} ]

يتقارب.

يمكن استخدام اختبار المقارنة في حالتين أخريين. افترض

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = 0. ]

في هذه الحالة ، ({a_n / b_n} ) هو تسلسل محدود. نتيجة لذلك ، يوجد ثابت (M ) مثل (a_n≤Mb_n ). لذلك ، إذا تقارب ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n) ، فإن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتقارب. من ناحية أخرى ، افترض

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = ∞. ]

في هذه الحالة ، ({a_n / b_n} ) هو تسلسل غير محدود. لذلك ، لكل ثابت (M ) يوجد عدد صحيح (N ) مثل ذلك (a_n≥Mb_n ) للجميع (n≥N.) لذلك ، إذا ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) يتباعد ، ثم ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد أيضًا.

اختبار مقارنة الحد

دع (a_n ، b_n≥0 ) للجميع (n≥1. )

  1. إذا ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n} = L ≠ 0، ) ثم ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) كلاهما يتقارب أو يتباعد.
  2. إذا كان ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n} = 0 ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) يتقارب ، إذن ( displaystyle ) مجموع ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتقارب.
  3. إذا كان ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n} = ∞ ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) تباعد ، ثم ( displaystyle ) مجموع ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد.

لاحظ أنه إذا تباعد ( dfrac {a_n} {b_n} → 0 ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فإن اختبار مقارنة الحد لا يعطي أي معلومات. وبالمثل ، إذا تقارب ( dfrac {a_n} {b_n} → ∞ ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فلن يوفر الاختبار أي معلومات أيضًا. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السلسلتين ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} { sqrt {n}} ) و ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2} ). هاتان السلسلتان عبارة عن سلسلة (p ) - تحتوي على (p = frac {1} {2} ) و (p = 2 ) ، على التوالي. بما أن (p = frac {1} {2} <1، ) السلسلة ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} { sqrt {n}} ) تتباعد. من ناحية أخرى ، بما أن (p = 2> 1 ) ، فإن السلسلة ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2} ) تتقارب. ومع ذلك ، لنفترض أننا حاولنا تطبيق اختبار المقارنة المحدود ، باستخدام المتقارب (ع ) - سلسلة ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 3} ) كسلسلة المقارنة. أولا ، نحن نرى ذلك

[ dfrac {1 / sqrt {n}} {1 / n ^ 3} = dfrac {n ^ 3} { sqrt {n}} = n ^ {5/2} → ∞ ؛ نص {as} ؛ n → ∞. ]

وبالمثل ، نرى ذلك

[ dfrac {1 / n ^ 2} {1 / n ^ 3} = n → ∞ ؛ نص {as} ؛ n → ∞. ]

لذلك ، إذا كان ( dfrac {a_n} {b_n} → ∞ ) عندما يتقارب ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞b_n ) ، فإننا لا نحصل على أي معلومات حول تقارب أو تباعد ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ).

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام اختبار مقارنة الحدود

لكل من السلاسل التالية ، استخدم اختبار مقارنة الحد لتحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد. إذا لم يتم تطبيق الاختبار ، فقل ذلك.

  1. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n} +1} )
  2. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} )
  3. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac { ln (n)} {n ^ 2} )

حل

أ. قارن هذه السلسلة بـ ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n}} ). احسب

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {1 / ( sqrt {n} +1)} {1 / sqrt {n}} = lim_ {n → ∞} dfrac { sqrt {n }} { sqrt {n} +1} = lim_ {n → ∞} dfrac {1 / sqrt {n}} {1 + 1 / sqrt {n}} = 1. )

من خلال اختبار مقارنة الحد ، بما أن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n}} ) يتباعد ، ثم ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n} +1} ) يتباعد.

ب. قارن هذه السلسلة بـ ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} left ( dfrac {2} {3} right) ^ n ). نحن نرى ذلك

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {(2 ^ n + 1) / 3 ^ n} {2 ^ n / 3 ^ n} = lim_ {n → ∞} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} ⋅ dfrac {3 ^ n} {2 ^ n} = lim_ {n → ∞} dfrac {2 ^ n + 1} {2 ^ n} = lim_ {n → ∞} يسار [1+ يسار ( tfrac {1} {2} right) ^ n right] = 1. )

لذلك،

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {(2 ^ n + 1) / 3 ^ n} {2 ^ n / 3 ^ n} = 1.)

بما أن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} left ( dfrac {2} {3} right) ^ n ) يتقارب ، فإننا نستنتج أن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} ) يتقارب.

ج. بما أن ( ln n

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac { ln n / n ^ 2} {1 / n} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n} {1} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} {n}. )

من أجل تقييم ( displaystyle lim_ {n → ∞} ln n / n ) ، قم بتقييم الحد كـ (x → ∞ ) للدالة الحقيقية القيمة ( ln (x) / x ) ). هاتان الحدين متساويتان ، ويسمح لنا إجراء هذا التغيير باستخدام قاعدة L’Hôpital. نحصل

( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac {lnx} {x} = lim_ {x → ∞} dfrac {1} {x} = 0.)

لذلك ، ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac { ln n} {n} = 0 ) ، وبالتالي ،

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {( ln n) / n ^ 2} {1 / n} = 0. )

نظرًا لأن الحد هو (0 ) ولكن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n} ) يتباعد ، فإن اختبار مقارنة الحد لا يوفر أي معلومات.

قارن مع ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2} ) بدلاً من ذلك. في هذه الحالة،

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {( ln n) / n ^ 2} {1 / n ^ 2} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} {n ^ 2 } ⋅ dfrac {n ^ 2} {1} = lim_ {n → ∞} ln n = ∞. )

نظرًا لأن الحد هو (∞ ) ولكن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2} ) متقارب ، فإن الاختبار لا يزال لا يوفر أي معلومات.

والآن نحاول سلسلة بين الاثنين التي جربناها بالفعل. باختيار السلسلة ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ {3/2}} ) ، نرى ذلك

( displaystyle lim_ {n → ∞} dfrac {( ln n) / n ^ 2} {1 / n ^ {3/2}} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n ^ {3/2}} {1} = lim_ {n → ∞} dfrac { ln n} { sqrt {n}} ).

على النحو الوارد أعلاه ، من أجل تقييم ( displaystyle lim_ {n → ∞} frac { ln n} { sqrt {n}} ) ، قم بتقييم الحد كـ (x → ∞ ) من الحقيقي- دالة ذات قيمة ( frac { ln n} { sqrt {n}} ). باستخدام قاعدة L’Hôpital ،

( displaystyle lim_ {x → ∞} dfrac { ln x} { sqrt {x}} = lim_ {x → ∞} dfrac {2 sqrt {x}} {x} = lim_ { x → ∞} dfrac {2} { sqrt {x}} = 0 ).

نظرًا لأن الحد هو (0 ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ {3/2}} ) يتقارب ، يمكننا استنتاج أن ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac { ln n} {n ^ 2} ) يتقارب.

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم اختبار مقارنة الحدود لتحديد ما إذا كانت السلسلة ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {5 ^ n} {3 ^ n + 2} ) تتقارب أو تتباعد.

تلميح

قارن مع سلسلة هندسية.

إجابه

المسلسل يتباعد.

المفاهيم الرئيسية

  • تستخدم اختبارات المقارنة لتحديد تقارب أو تباعد السلاسل ذات المصطلحات الإيجابية.
  • عند استخدام اختبارات المقارنة ، غالبًا ما تتم مقارنة السلسلة ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) بسلسلة هندسية أو سلسلة.

قائمة المصطلحات

اختبار المقارنة
إذا كان (0≤a_n≤b_n ) لجميع (n≥N ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) يتقارب ، ثم (displaystyle sum ^ ∞_ { n = 1} a_n ) تتقارب ؛ إذا كان (a_n≥b_n≥0 ) لجميع (n≥N ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) يتباعد ، ثم (displaystyle sum ^ ∞_ { n = 1} a_n ) يتباعد.
اختبار المقارنة المحدودة
افترض (a_n ، b_n≥0 ) للجميع (n≥1 ). إذا كان ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n / b_n → L ≠ 0 ) ، إذن (displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n) و (displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) كلاهما يتقارب أو كلاهما يتباعد ؛ إذا كان ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n / b_n → 0 ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) يتقارب ، إذن ( displaystyle sum ^ ∞_ { n = 1} a_n ) تتقارب. إذا تباعد ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n / b_n → ∞ ) و ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ثم ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد.

معاينة المحتوى

حتى الآن ، تضمنت جميع أمثلةنا اختبار ما إذا كانت نسبة سكانية واحدة ص يساوي بعض القيمة (p_0 ). الآن ، دعنا نوجه انتباهنا قليلاً إلى اختبار ما إذا كانت نسبة سكانية واحدة (p_1 ) تساوي نسبة سكانية ثانية (p_2 ). بالإضافة إلى ذلك ، تضمنت معظم أمثلةنا حتى الآن اختبارات الذيل الأيسر التي تتضمن الفرضية البديلة (H_A القولون p & lt p_0 ) أو الاختبارات ذات الذيل الأيمن التي تتضمن الفرضية البديلة (H_A القولون p & gt p_0 ) . هنا ، دعنا ننظر إلى مثال يختبر المساواة بين نسبتين مقابل البديل الذي لا يتساوى فيهما. باستخدام الترميز الإحصائي ، سنختبر:

(H_0 القولون p_1 = p_2 ) مقابل (H_A القولون p_1 ne p_2 )


C ++ أسرع 9.4 مرة من Python في اختبار العدد الأولي

الأعداد الأولية هي مجال مثير للاهتمام للبحث. أ رقم اولي، ويسمى أيضا رئيس باختصار ، هو رقم طبيعي (عدد صحيح موجب) أكبر من واحد ليس ناتجًا عن رقمين طبيعيين أصغر. إذا لم يكن الرقم أوليًا ، فسيتم تسميته a عدد مؤلف. هناك العديد من الأسئلة الرياضية المتعلقة بالأعداد الأولية والتي لم يتم حلها بعد. العثور عليها وعلاقاتها وتأثيرها على بعض الوظائف الأخرى ، رسوميات مثيرة للاهتمام حقًا في الظواهر الرياضية.

في عالم البرمجة اليوم ، بايثون تحظى بشعبية كبيرة وسهلة الاستخدام. إنها تحظى بشعبية بسبب الدعم المقدم من الشركات الكبرى (مثل Google) ومكتباتها وأطر عملها الناجحة على تقنية الذكاء الاصطناعي. إنها لغة برمجة رائعة موجهة للكائنات ومفسرة وتفاعلية. غالبًا ما تتم مقارنتها بـ C / C ++ أو Delphi أو Lisp أو Tcl أو Perl أو Ruby أو C # أو Visual Basic أو Visual Fox Pro أو Scheme أو Java. لغة بايثون واضحة جدا ولديها بعض الأشياء العملية. يحتوي على وحدات وفئات واستثناءات وأنواع بيانات ديناميكية عالية المستوى وكتابة ديناميكية. هناك واجهات للعديد من استدعاءات النظام والمكتبات ، وكذلك لأنظمة النوافذ المختلفة. تتم كتابة الوحدات النمطية المدمجة الجديدة بسهولة في C أو C ++. يمكن استخدام Python أيضًا كلغة امتداد للتطبيقات الأخرى المكتوبة بلغات أخرى والتي تحتاج إلى سهولة الاستخدام. Python مجاني للاستخدام ويمكن العثور على مزيد من المعلومات من صفحة الويب الرسمية الخاصة بهم https://www.python.org/

C و C ++ هما أسرع لغات البرمجة وأكثرها قوة ، ومن السهل حساب الأعداد الأولية بأسرع ما يمكن. في هذه الاختبارات ، سنستخدم C ++ Builder الذي يحتوي على IDE رائع ، بما في ذلك برامج التحويل البرمجي لـ Win32 و Win64 و Android و iOS. يحتوي C ++ Builder على كل من CLANG Enhanced C / C ++ Compiler و Embarcadero & # 8217s new Bcc C / C ++ Compiler. كما أنه يتميز ببرنامج RAD Studio IDE حديث وعالي الإنتاجية ، وأدوات مصحح الأخطاء ، واتصال مؤسسي لتسريع تطوير واجهة المستخدم عبر الأنظمة الأساسية. يمكنك تطوير التطبيقات القائمة على واجهة المستخدم الرسومية بسهولة ، لأنها تأتي مع إطار عمل VCL الحائز على جائزة لتطبيقات Windows الأصلية عالية الأداء وإطار FireMonkey (FMX) القوي لواجهات المستخدم عبر الأنظمة الأساسية. هناك إصدار مجاني من C ++ Builder Community Edition يمكن استخدامه من قبل الطلاب والمبتدئين والشركات الناشئة ذات القيود.

يمكنك تنزيل الإصدار المجاني من C ++ Builder Community Edition من هنا: https://www.embarcadero.com/products/cbuilder/starter. يمكن للمطورين المحترفين استخدام إصدارات Professional أو Architect أو Enterprise من C ++ Builder. يرجى زيارة https://www.embarcadero.com/products/cbuilder.

يمكن استخدام Python داخل مشاريع Delphi ويتم اختبار وظيفة الأرقام الأولية هذه من قبل في Delphi وفي Python هنا https://www.youtube.com/watch؟v=aCz5h96ObUM مع Kiriakos Vlahos. هنا ، استلهمنا هذا الفيديو ونحاول إجراء نفس الاختبارات على نفس الوظيفة في C ++. تم شرح البحث عن الأرقام الأولية في C ++ بالتفصيل جيدًا في هذا تعلم بسهولة العثور على الأرقام الأولية في C ++ الحديثة انشر هنا.

هنا ، قمنا بمقارنة سرعة وظائف Prime Number في C ++ Builder 10.4 و Python 3.9.1.


9.4: اختبارات المقارنة

أتخلص من مجموعة بيانات عن مرضى زراعة الكلى وأبحث في فرق وقت البقاء على قيد الحياة بين العديد من أمراض الكلى بعد الزرع.

- المجموعة الأولى: 66 مريضاً ، 20 فعالية

- المجموعة الثانية: 83 مريض ، 8 أحداث

- المجموعة 3: 702 مريض ، 53 فعالية

يتم مراقبة الأحداث غير الصحيحة.

بعد إجراء عملية "proc lifetest" التالية ، ينتهي بنا الأمر بمخطط البقاء على قيد الحياة:

بيانات عمر proc = مخططات DATASET = البقاء على قيد الحياة
الوقت الوقت * الموت (0)
مرض ستراتا / ضبط = توكي
يركض

لقد وجدنا اختبارًا مهمًا (p & lt0.0001) لرتبة السجل ومقارنات مهمة لاحقة بين جميع المجموعات. لذلك ، على عكس ما يوحي به الشكل ، وجدنا فرقًا كبيرًا بين المرض 2 و 3 (ع = 0.0257 بعد تعديل توكي).

أجريت نفس التحليل في R مع ناجي الحزمة ولم أجد فرقًا كبيرًا بين المجموعتين. في الواقع ، يبدو أن الاختبار اللاحق في R يعتمد على اختبار Log-Rank بما في ذلك مجموعات الاهتمام فقط. وبالفعل ، إذا أردنا تشغيل عمر إجراء على مجموعة بيانات بما في ذلك المرض 2 و 3 فقط ، فقد تم العثور على نفس القيمة الاحتمالية غير المهمة (p = 0.58).

رأينا أن إحصاء اختبار المقارنات المتعددة "z²jl" يتضمن بيانات عن العينة المجمعة. لذلك ، عند مقارنة الأمراض 2 مقابل 3 ، يتم تضمين بيانات المرض 1 ضمنيًا في الخوارزمية. ينعكس هذا في الفرق بين "إحصائيات الرتبة" و "مصفوفة التغاير" الخاصة بهم. يرى:

- مصفوفة الإحصاء اللوغاريتمي ومصفوفة التغاير باستخدام مجموعتين فقط

- مصفوفة إحصائية لوغاريتمية ومصفوفة التغاير باستخدام 3 مجموعات

لنفترض أن هذا النوع من اختبار اللوغاريتم اللاحق المخصص يعتمد على الأساس المنطقي للاختبار اللاحق في ANOVA ، حيث من الممكن أن يوفر الاختبار اللاحق نتائج مختلفة عن اختبارات t المنفصلة. ومع ذلك ، في حالتنا ، تختلف قيم p بشكل كبير ، وقبل كل شيء ، من الصعب أن نجادل في أن المرض 2 و 3 يظهران بقاءًا مختلفًا بشكل كبير بناءً على مخطط KM الموضح سابقًا.

لقد لاحظت أن أجزاء كبيرة من وثائق SAS تشير إلى عمل Klein and Moeschberger ، 1997. ومع ذلك ، عند فحص هذا العمل ، لم يُقال سوى القليل عن الاختبارات المتعددة. الملاحظات الوحيدة ذات الصلة التي استطعت استنتاجها هي:

(ص 237) "إذا كان المرء مهتمًا بمقارنة مجموعات K بطريقة متزامنة زوجية ، فيجب إجراء تعديل لاختبارات متعددة. ومن هذه الطرق التي يمكن استخدامها طريقة Bonferroni للمقارنات المتعددة."

(ص 241) "باستخدام اختبار تسجيل الترتيب ، قم بإجراء الاختبارات الزوجية الثلاثة للفرضية [.] لكل اختبار ، استخدم فقط الأفراد الذين لديهم المرحلة j أو j +1 من المرض. قم بإجراء تعديل على القيمة الحرجة الخاصة بك للاختبارات المتعددة لإعطاء اختبار مستوى تقريبي 0.05 ".

أيضًا ، لم أجد أي أدبيات حول إحصائية اختبار اللوغاريتمات اللاحقة التي تتضمن استخدام العينة المجمعة.

في عام 2012 ، بدأت مناقشة مماثلة في هذا المنتدى:

الإجابة على أن الدلالة الإحصائية ناتجة عن حجم العينة لا ترضي حقًا. أعلم أن حجم العينة الخاص بي يختلف اختلافًا كبيرًا ، لكنني لا أعتقد أن هذه هي المشكلة.

المشكلة الأكبر بالنسبة لي ، هي أنه لا يبدو أن هناك اتساقًا عبر الاختبارات المختلفة وأن SAS تستخدم إحصائية اختبار لا يمكنني العثور على أي توثيق لها.


محركات خارجية بقوة 9.9 حصاناً قيد الاختبار

في الوقت الحاضر ، تحزم أربع ضربات بقوة 9.9 حصانًا الكمية المناسبة من الثقب لمحرك زورق متنقل. الجانب السلبي ، كما قد تكون خمنت ، هو وزنهم الثقيل. يتراوح وزن البحارة العمليين الثلاثة المختبرين من 82 إلى 92 رطلاً. كلها محركات ذات أسطوانتين مبردة بالمياه وتستهلك حوالي ربع لتر من الزيت ، وجميعها نماذج تعمل بالسحب ، مع الإختناقات التي يجب استخدامها فقط عندما يكون المحرك باردًا. تأتي جميعها مع خزان وقود بلاستيكي قياسي سعة 3.1 جالون وخرطوم وقود ومروحة من الألومنيوم. فيما يتعلق بالدفع ، لا يمتلك أي من هذه المحركات الخارجية كل شيء. لذلك بعد تقييم مدى سهولة تشغيل كل محرك ونقله وتخزينه وصيانته ، استندنا في توصياتنا إلى وزن كل محرك إيجابيات وسلبيات.

قد يكون بعض البحارة المبحرين راضين عن زورق لا يتحرك بالكاد ، أحدهم مدفوع بالعضلة وزوج من المجاديف أو زورق خارجي صغير للغاية (انظر بحار عملي ديسمبر 2006). ولكن عندما تحزم قاربًا صغيرًا به عدد قليل من الأشخاص والإمدادات ، فإن هذا القدر من القوة والأمبير سواء كان إنسانًا أو حصانًا و emdashjust لا يقطعها. يوفر السطح الخارجي الأكبر الجاذبية اللازمة لنقل طاقمك وبضائعك من قارب إلى شاطئ وأمبير داش ومن ثم إلى الخلف بطريقة آمنة وفي الوقت المناسب.

في الوقت الحاضر ، تحزم ضربات رباعية تبلغ قوتها 9.9 حصانًا الكمية المناسبة من اللكمة. 8 حصان رباعي الأشواط ( بحار عملي 15 كانون الثاني (يناير) 2004) قد لا يزال يعاني مع قارب محمّل بالكامل ، في حين أن محركًا بقوة 15 حصانًا يمكن أن يحد من الإفراط في القتل ، حيث يمكن أن تصبح العديد من المطاطية والمطاطية الهيكلية الصلبة (RIBs) شريرة ويصعب التحكم فيها عند دفعها بسرعة كبيرة.

الجانب السلبي ، كما قد تكون خمنت ، هو وزن هذه المحركات.

بحار عملي تتراوح محركات الاختبار الثلاثية من 82 إلى 92 رطلاً ، لذلك لم تكن متأكدًا من سبب تصنيفها لبعض الشركات المصنعة على أنها & ldquoportable. & rdquo كانت مصارعة هذه العملاقة داخل وخارج زورقنا تجربة رائعة.

تأمين ثلاثة محركات للقوارب الصغيرة: ميركوري 9.9 ، هوندا 9.9 ، وتوهاتسو 9.8 و أمبمدشال 15 بوصة ، نماذج ذات عمود قصير. لم نتمكن من العثور على سوزوكي 9.9 ، لكننا نخطط لاختبار واحدة في الأشهر القليلة المقبلة. رفضت Yamaha المشاركة في هذا الاختبار لأن الشركة تقول إنها خرجت مع إعادة تصميم 9.9. مرة أخرى ، نخطط لاختبار هذا المحرك والإبلاغ عنه عندما يصبح متاحًا.

اختبرت الثلاثي كمحركات زورق ، ولكن العديد من النتائج التي توصلنا إليها فيما يتعلق بالأعمدة القصيرة وانبعاث الأمبير لبدء التشغيل والتحكم في الخانق والوصول إلى الصيانة والضمان وما إلى ذلك ، يجب أن تكون ampemdash مفيدة للبحارة الذين يبحثون عن نموذج مساعد (عمود طويل).

تستهلك كل هذه المحركات ذات الأسطوانتين والمبردة بالمياه حوالي ربع لتر من الزيت. كلها نماذج تعمل بالسحب ، مع الإختناقات التي يجب استخدامها فقط عندما يكون المحرك باردًا. تأتي جميعها مع خزان وقود بلاستيكي قياسي سعة 3.1 جالون وخرطوم وقود ومروحة من الألومنيوم. قام كل من Tohatsu و Mercury بإعادة محركاتهما بضمان لمدة ثلاث سنوات قامت هوندا مؤخرًا بزيادة ضمانها إلى خمس سنوات. جميع المحركات تحمل أعلى تصنيف للانبعاثات: ثلاث نجوم.

تقدم هوندا وميركوري وتوهاتسو أيضًا هذه المحركات مع بدء التشغيل الكهربائي و / أو التحكم في إمالة الطاقة. هوندا هي المحرك الوحيد في مجموعتنا الاختبارية المزود بمولد قياسي بقدرة 6 أمبير. يعتبر المولد اختياريًا في Tohatsu ، ويأتي طراز Mercury Big Foot 9.9 مزودًا بمولد بسعة 6 أمبير.

تعد هوندا إلى حد بعيد المحرك الأثقل والأغلى في المجموعة ، حيث يصل وزنها إلى ما يزيد قليلاً عن 90 جنيهاً بسعر تجزئة يبلغ 3003 دولارات. Tohatsu هو الأخف وزنا (81.5 جنيهًا) والأقل تكلفة (2067 دولارًا للبيع بالتجزئة). يأتي Mercury بسعر 84 رطلاً ، مع MSRP يبلغ 2595 دولارًا.

ماذا عن أسعار الشوارع؟ تبيع شركة Defender Industries ، المتخصصة في اللوحات الخارجية الصغيرة ، Mercury مقابل 2086 دولارًا ، و Tohatsu مقابل 1،773 دولارًا ، وهوندا مقابل 2337 دولارًا.

المغيرون وأزرار الإيقاف

توجد نواقل تروس هوندا وتوهاتسو في القسم الأمامي من المحرك ، لكن ميركوري يدمج ناقل الحركة في مقبض المحراث. هذه ميزة جميلة ، في رأينا. هناك جانب سلبي واحد بسيط مع Mercurys & ldquoshift في المقبض وميزة rdquo ، وفقًا لـ

بحار عملي المستشار التقني إريك كلوكارس. & ldquo قال بعض المالكين إنه عندما تكون أيديهم ملطخة بالزيت أو واقي الشمس ، يصبح من الصعب تحريك دواسة الوقود داخل وخارج الحواجز. & rdquo لم يكن لدى أحد الفاحصين ، الذي كانت يداه مبللة بالواقي من الشمس ، مشكلة.

يعتبر Mercury أيضًا المحرك الوحيد الذي يقوم بتثبيت زر إيقاف المحرك على وجه الخانق ، مما يمنع السائق من الاضطرار إلى الالتفاف للعثور عليه. زر توقف Tohatsus في الخلف على وجه المحرك ، في حين أن Hondas حوالي ثلث الطريق أسفل الحارث. الثلاثة لديهم حراثة تمتد 18 بوصة من العارضة.

كما هو الحال مع معظم الأشواط الأربعة ، يجب تغيير زيت المحرك لجميع محركات الاختبار الثلاثة لدينا بعد أول 20 ساعة من التشغيل ثم بعد كل 100 ساعة من التشغيل. لا يحتوي كل من Mercury و Tohatsu على فلاتر زيت. هوندا تفعل ، والوصول إليها يتطلب إزالة غطاء لوحة على الجانب الأيمن.

يجب تخزين كل هذه المحركات في مواضع محددة لمنع زيت المحرك من دخول الاسطوانات. يجب أن يتم تخزين Mercury و Tohatsu على جانبي المحراث (المنفذ) على جزء الكوع من المحراث ، مما يجعلها أقل استقرارًا عند تخزينها من Honda ، التي يتم تخزينها على جانبها الذي لا يوجد به حراثة (يمين).

جميع المحركات الثلاثة لديها & ldquobumps & rdquo على القلنسوة التي يستريحون عليها. سيكون من الرائع لو كانت تلك المطبات مغطاة بالمطاط للحماية وللمساعدة في منع الحركة أثناء التخزين.

يلعب شطف هذه المحركات بالمياه العذبة دورًا رئيسيًا في المتانة على المدى الطويل. تقدم جميع الشركات المصنعة الثلاثة مرفقًا للتدفق. هوندا لديها منفذ تدفق على powerhead ، في حين أن منفذ التدفق على Mercury و Tohatsu موجود في الوحدة السفلية.

تعتبر هوندا أصعب محرك في النقل بسبب وزنها وموقع مقبض الحمل في مقدمة المحرك. يتم تثبيت هذا المقبض البلاستيكي في الجزء العلوي من القوس المستعرض بين المقابض اللولبية المشبكية. لا يزال بإمكان الدعامة الدوارة ، حتى عندما تكون في أضيق وضعها ، أن تتحرك عندما ترفع المحرك من المقبض.

نحن نفضل مقابض الحمل الأمامية المصنوعة من الألومنيوم في Tohatsu و Mercury لأنها أكبر وملحومة بجزء غير متحرك من المحرك.

على الجانب الإيجابي ، فإن مزلاج القلنسوة الخلفية لهوندا هو أفضل بكثير من مزلاج Mercury أو Tohatsus البلاستيكية.

قال المختبرين إن هوندا كان من الصعب رفعها وأقل من المحركين الآخرين بسبب وزنها الأكبر. إن ذراع الإمالة على الجانب الأيمن كبير ويسهل العثور عليه. يجب أن تمتد الرافعة التي تضبط شد دوران المحرك إلى الأمام بعيدًا حتى يسهل الوصول إليها وضبطها. على الجانب الإيجابي ، فإن منفذ التدفق المثبت على الجانب يجعله أسهل في التدفق بينما لا يزال على الزورق.

يعتقد المختبرين أيضًا أن ذراع النقل في Tohatsu يتحرك بسلاسة أكثر من Honda.

من وجهة نظرنا ، يجب أن يكون المؤشر الموجود على دواسة الوقود الذي يخبرك ما إذا كان المحرك في وضع البداية أو التسارع أكثر وضوحًا.

على الماء ، دفعت هوندا زورقنا إلى سرعة قصوى تبلغ 15 عقدة ، والتي كانت أبطأ بعقدتين كاملتين من كل من Tohatsu و Mercury. لكن من الواضح أن هوندا كانت المحرك الأكثر هدوءًا بشكل عام ، حيث سجلت 62 ديسيبل فقط عند الخمول و 87 ديسيبل عند 10 عقدة.

حققت هوندا أفضل أرقام حرق الوقود أيضًا.

ثقيلته ويتعثر في بعض المناطق سهلة الاستخدام ، لكن هوندا التي تعمل بهدوء ، بمولدها القياسي ، يجب أن تؤخذ في الاعتبار كمحرك إضافي.

بوزن 84 رطلاً ، فإن عطارد هو الوزن المتوسط ​​في مجموعتنا الاختبارية. مع مقبض الحمل الأمامي الكبير والمنطقة المريحة أسفل القلنسوة الموجودة على الظهر ، يمكنك الحصول على قبضة جيدة لسحبها حولها. يمكن أن يستخدم عطارد بعض المطبات الأكبر (مثل الموجودة في هوندا) للتخزين بجانب الميناء.

واجهنا بعض الصعوبة في معرفة كيفية تشغيل آلية قفل تحرير الإمالة على عطارد. لرفع المحرك أو خفضه ، يجب عليك التأكد من أن الخانق في الوضع الأمامي وأن زر قفل التحرير في موضعه غير المؤمَّن. لخفض المحرك ، يجب إعادة الزر إلى الوضع غير المؤمَّن ويجب إمالة المحرك على طول الطريق حتى يحرر القفل ويسمح للمحرك بالسقوط.

كان أداء عطارد جيدًا على الماء. لقد ربطت Tohatsu للحصول على أفضل سرعة قصوى (17 عقدة) ، وكانت مستويات الضوضاء مساوية أو قريبة جدًا من Hondas.

الزئبق لديه الكثير من أجله. نحن نحب ناقل الحركة في دواسة الوقود وزر التوقف الذي يسهل الوصول إليه. إنه خفيف مثل Tohatsu ، وخانقه القابل للطي يجعل التخزين أسهل. انها بحار عملي أفضل خيار.

توهاتسو أخف وزنًا من عطارد ببضعة أرطال ، ولديها 9.8 حصان بدلاً من 9.9 ، لكن فرق القوة لا يكاد يذكر. على الرغم من أن Tohatsu و Mercury هما في الأساس نفس المحرك ، إلا أن Tohatsu يفتقر إلى بعض الميزات التي تجعل Mercury أسهل في العمل ، مثل ناقل الحركة في المقبض. But it also suffers from the same shortcomings that we cited about the Mercury (flimsy aft cowling latch and tiller-side storage).

Another difference between the two is the design of the tilt-release mechanism. The Tohatsus lever is located on the starboard side. The lever should be bigger, but

Practical Sailor testers had no problem releasing and locking the engine.

The Tohatsu was the loudest engine of the three, with a wide-open-throttle decibel level of 92 and 90 decibels at 10 knots. At idle, it was in the same ballpark as its competitors. Fuel usage and top speed were identical to the Mercury.

The Tohatsu lacks some of the attractive features found on the Mercury, but its significantly less expensive than the other two engines. Its our Budget Buy.

None of these engines has it all, so our recommendations are based on weighing their pluses and minuses.

We would not recommend the Honda for those who anticipate having to mount and remove the engine from the dinghy frequently&emdasheven if you plan to use a halyard and winch for muscle. Its too heavy and cumbersome&emdashand that plastic handle makes it even more difficult to move around. Wed recommend the Honda for permanent installation, however. Its quiet, fuel-efficient, has standard charging capability, a five-year warranty. And don&rsquot forget about Hondas reputation for durability.

If you anticipate using your dinghy a great deal, wed seriously consider the Mercury, our Best Choice. Its the most user-friendly engine in our group, provides peppy performance, and runs quietly.

If you want to save some money and don&rsquot care about the location of the shift or stop button, the inexpensive Tohatsu is a no-brainer.


Octane Shootout

Ever since high-octane leaded gasoline vanished from the scene, theres been an undercurrent of concern among hot rodders every time they fill up at the pump. For the most part, daily driven hot rods have adapted to greatly reduced fuel quality by embracing stroker kits, nitrous oxide, specialized camshaft grinds, aluminum heads, and lower static compression ratios. It must be working cars just keep getting faster.

To explore the impact of fuel quality on engine performance, we stuck a 10.4:1-compression-ratio 360 Mopar on the DTS dyno at Joe Jills Superior Automotive. Then we beat it up, making 40 power pulls to see if octane rating has a significant impact on power and if ignition timing can be effectively manipulated to ward off detonation without heavily penalizing output. Does fuel additive really increase the octane of pump gas? And does boosting the fuels octane really make more power on a typical street engine? The results are surprising.

87-Octane Unleaded: 396.0 hp/401.3 lb-ft

You pull up to the pump in your hot street whip the needles on E. Youve only got 20 bucks, and you have to make it count. Premium is 30 cents a gallon more expensive than the cheap stuff. You roll the dice, grab the nozzle marked Regular, and start filling.

Approximating this scenario, we filled our 2-gallon fuel cell with a dose of 87 octane and set the total ignition timing at 31 degrees BTDC. Despite the sleazy gas and heavy dyno loading, the smooth power curves indicated no sign of detonation. Then we tried 34 degrees and still no sign of detonation. Yet another counter-clockwise twist of the Accel Billetproof electronic distributor gave the Mopar 36 degrees total despite the lousy gas, the motor liked the additional timing.

Could it take more? Pushing the envelope further, we dialed it up to 38. Detonation had found us. The most telling evidence of detonation was seen in the 300-rpm drop where peak horsepower was made and in the way the smooth power curves of the previous tests had become a jagged mess at 4,200 rpm all the way up to our self-imposed 6,000-rpm limit. The peaks and valleys on the dyno chart reveal uncontrolled combustion causing fluctuations in peak cylinder pressure and, as a result, hiccups in the force delivered to the business end of the crankshaft. See Test 1 in the sidebar below.

87-Octane Unleaded With 104+ Octane Booster: 397.9 hp/403.1 lb-ft

The rent is due and the kid needs new sneakers, so youre running the cheap stuff again. You add one 16-ounce bottle of octane boost to your 20-gallon tank, cross your fingers and hit the road.

To see if we could turn sows-ear 87- octane into silk-purse go-juice, we shut off the dynos fuel pump and let the test motor drain the Edelbrock 750s bowl dry at idle. Then we added 2 ounces of Super 104+ additive to the 2 gallons of 87 in the fuel cell. With timing set at a conservative 31 degrees, we saw no appreciable difference, but wed only just begun. Twisting the sparker up to 34 degrees BTDC delivered 6 hp, and we were still far from the motors likely detonation zone. At 36 degrees we noted that more peak horsepower was made at a higher engine speed, a clear sign that the chemical enhancement was keeping detonation at bay. Further proof of the benefit came when we cranked it well into what should have been rattle city with 38 degrees of timing. Power readings were on their way down due to mechanical factors related to the efficiency limits of the heads, cam, and induction rather than fuel quality. Despite this, the motor still made peak power at 5,800 rpm, a full 400 rpm more than without booster. Convincing proof that the Super 104+ was thwarting detonation.

If some is good, then more must be better, right? Doubling the dose of octane booster to 4 ounces in the 2-gallon fuel cell (like putting two 16-ounce bottles in a 20-gallon tank), and leaving the timing set at 38, we gained 1.5 hp. While power wasnt improved significantly, the 5,700-rpm horsepower peak and smooth torque and horsepower curves indicated continued protection against abnormal combustion. Octane booster works, but double-dosing an engine like ours wasnt worth the added expense. See Test 2 in the sidebar below..

91-Octane Unleaded: 402.1 hp/409.4 lb-ft

The bills are paid and youve got a few extra coins rolling around in your pockets, so you give your motor what it should have had in the first placethe good stuff: 91 octane.

While some parts of the country can brag about as much as 94 octane, left-coasters must make do with 91. With the timing set conservatively at 31 degrees BTDC, the sturdy 360 surpassed the best 87-octane numbers by 2 hp and 5 lb-ft. At 34 degrees, the numbers dipped, but recovered when we bumped timing to 36 degrees, delivering our highest numbers yet and breaking the 400hp mark.

There was no doubt that the higher octane fuel was good for a few extra ticks on both the torque and horsepower charts, but would it finally allow us to advance timing to 38 degrees BTDC without losing power? No dice: At 38 degrees, the numbers fell by 8.2 hp and 11.9 lb-ft, illuminating the reality that there is a difference between chemical potential and mechanical potential. If testing reveals that an engine is most efficient with timing set at 36 degrees BTDC, it will not necessarily produce more power even if high-octane fuel allows the use of more ignition advance. Still, our testing was far from over. See Test 3 in the sidebar below.

91-Octane Unleaded With 104+ Octane Booster: 399.8 hp/403.6 lb-ft

Youre off to the local bracket races. You know your pump-gas motor will be flogged pretty hard, so for insurance, you pour a bottle of octane booster in the tank and roll into the staging lanes.

Once again, Jill shut off the dyno fuel pump and let the 360 idle itself dry. Then the customary 2 ounces of Super 104+ were added to 2 gallons of 91-octane, and the torture test resumed. Starting again at 31 degrees of timing, the motor dropped a few points. It recovered some ground at 34 degrees, and just like the other tests, made best power at 36 degrees total. Going further, we advanced timing to 38 and lost a little more power double-dosing the booster with the timing set at 38 brought a slight improvement. The power numbers generated with the boosted 91-octane are lower than those made with non-boosted 91, an indication that the fuel additive may have slowed the burn speed and reduced cylinder pressure. One thing is certain, there was no detonation present or wed have seen it on the dyno charts and in reduced peak crank speed numbers. See Test 4 in the sidebar below.

100-Octane Unleaded: 403.5 hp/407.5 lb-ft

Youve heard some of the local street rats whisper about 100-octane unleaded being sold straight from the pump. Its like some flashback to the 60s, but is it too good to be true? You just have to try some.

Even though we were pretty sure detonation wouldnt be a problem with so much octane coursing through our 10.4:1 360s veins, we began with the 31-degree setting to maintain consistency and to see if any noteworthy patterns emerged.

The dyno video monitor flashed just over 400 hp. Moving up to 34 degrees BTDC delivered virtually identical results, and 36 degrees bought almost 3 hp while torque remained nearly constant. At 38 degrees, the numbers were largely unaffected. The motor seemed indifferent to the increased timing, but in contrast to previous cycles run using the lower fuel grades, the amount of power sacrificed with timing set at 38 was negligible. To see if more timing would translate into more power, we did the unthinkable and moved up to 40 BTDC and let it rip. The results amazed and confounded us. Testing thus far confirmed that this particular motor combination really liked 36 degrees total, regardless of fuel quality. Any more or any less cost powernot much, but the numbers consistently fell. But now with 100-octane, the power seemed to remain stable despite the substantial 4-degree jump in timing. Whats more impressive is the fact that the 100-octane fuel was the only grade tested thus far producing maximum torque and horsepower numbers that never fell below the 400 mark. Our conclusion was that octane was not the sole factor at play, and that the 100-octane had superior burn characteristics to the MTBE-laden pump gas available here in California. See Test 5 in the sidebar below.

114-Octane Leaded: 408.3 hp/414.7 lb-ft

You love to watch professional drag racing on TV and jump with joy when the Pro Stockers run. So why shouldnt you also jump at the chance to run the very same gasoline in your hot rod? Its gotta run faster, right?

Taking our motor through its now well-established paces, we rang up our highest numbers yet at the 31-degree setting. We couldnt wait to get to the 36-degree sweet spot, but exercised restraint and followed the plan, dialing in 34 degrees. لما؟ Power was dropping? A backup run at 34 BTDC confirmed it. Gotta be some kind of fluke. Well get it all back and then some at 36 degrees. Or so we thought. We saw another drop at 36 degrees, and crumbs of no significance at 38 degrees. Through it all there were no signs of detonation. To rule out the possibility of error, we restored the timing to 31 degrees and watched the output jump back up to 406.6 hp at 5,700 and 413.7 lb-ft at 4,500. Further exploring the apparent benefit of retarded timing, Jill cranked in a mere 29-degree setting and output began sliding downward, losing 5.1 hp and 4.2 lb-ft. Why hadnt more timing increased power? Probably because the 114 had even better burn characteristics than the 100. Its hydrocarbons vaporized and burned more readily, releasing energy sooner and accounting for why it required less spark lead to reach complete combustion. The octane level was not the operative hererather it was the superior hydrocarbon content and vaporization characteristics of the racing fuel. See Test 6 in the sidebar below.

Frankly, the results of our test were a bit confounding. We consulted the chemists at Super 104+ and our pal Tim Wusz at 76 to help figure out what had happened. Heres what we learned:

First, the octane booster did work. However, we saw that octane alone does not deliver horsepower it only allows more complete utilization of the hard parts in the engine. Wusz said, An engine does not know what the octane rating of the fuel is, unless it is too low note that we made less power by adding booster to 91-octane fuel. The lower the octane of the base fuel, the more benefit youll get from octane booster.

Also, the Edelbrock heads on our test motor have high-efficiency combustion chambers that are very tolerant of low octane levels, and their aluminum construction helps, too. Older chamber designs may not be as efficient and may succumb to abnormal combustion more easily.

But most of all, we discovered that our presumption that higher-octane fuels burn slower than lower-octane fuels (and therefore require more ignition lead) is largely incorrect. There are too many other fuel-formulation issues at work to assign a general rule about octane. Race fuel tends to have a more powerful formulation than pump gas, regardless of octane rating, because it is denser and can release more power and heat. (Note that we made the best power with 114 octane with the least ignition lead, indicating it had the fastest burn time.) California pump gas is blended with methyl tertiary-butyl ether (MTBE), alcohol, and other ingredients damaging to performance. Knowing what we know now, well always experiment with ignition timingboth higher and lower settingswhen we change fuels rather than presuming that more power can be made with more octane due to more timing.


9.4: Comparison Tests

I dispose of a dataset on kidney transplant patients and I am looking at the survival time difference between several kidney diseases after transplantation.

- group 1: 66 patients, 20 events

- group 2: 83 patients, 8 events

- group 3: 702 patients, 53 events

Non-events are being right-censored.

After running the following 'proc lifetest', we end up with this survival plot:

proc lifetest data=DATASET plots=survival
time time*Death(0)
strata disease / adjust=tukey
run

We found a significant (p<0.0001) Log-Rank test and significant post-hoc comparisons between all the groups. So, in contrast to what the figure suggests, we found a significant difference between disease 2 and 3 (p=0.0257 after Tukey adjustement).

I ran the same analysis in R with the package survminer and found no significant difference between the two groups. In fact, it appeared that the post-hoc testing in R is based on the Log-Rank test including only the groups of interest. And indeed, if we would run a proc lifetest on a dataset including only disease 2 and 3, the same, non-significant p-value (p=0.58) was found.

we saw that the multiple comparisons test statistic 'z²jl' includes data on the pooled sample. So, when comparing diseases 2 versus 3, data on disease 1 is implicitly involved in the algorithm. This is reflected in the difference between the 'Rank Statistics' and their 'Covariance matrix'. يرى:

- log-rank statistic and covariance matrix using 2 groups only

- log-rank statistic and covariance matrix using 3 groups

Let's say this kind of post-hoc Log-Rank testing is based on the rationale of post-hoc testing in ANOVA, where it is possible that a post-hoc test provides different results than the separate t-tests. However, in our case the p-values differ hugely and, above all, it is rather difficult to argue that disease 2 and 3 show a significantly different survival based on the KM-plot shown earlier.

I noticed that large parts of the SAS documentation refer to the work of Klein and Moeschberger, 1997 . Yet, when inspecting this work, very little is being said about multiple testing. The only relevant remarks I could deduce were:

(p.237) "If one is interested in comparing K groups in a pairwise simultaneous manner then an adjustment for multiple tests must be made. One such method that can be used is the Bonferroni method of multiple comparisons."

(p.241) "Using the log-rank test, perform the three pairwise tests of the hypothesis [. ] For each test, use only those individuals with stage j or j +1 of the disease. Make an adjustment to your critical value for multiple testing to give an approximate 0.05 level test."

Also, I have found no literature on a post-hoc Log-Rank test statistic that involves using the pooled sample.

In 2012 a similar discussion was started on this forum:

The answer that the statistical significance is caused by the sample size is not really satisfying to me. I know my sample size are varying greatly, but I don't believe this is the problem.

The larger issue for me, is that there seems to be no consistency across different tests and that SAS makes use of a test statistic of which I cannot find any documentation.


2010 Mazda CX-9 AWD

The CX-9 is Mazda&rsquos largest offering&mdasha three-row, seven-seat SUV that&rsquos powered by a sweet 3.7-liter V-6 that makes 273 hp and 270 lb-ft of torque. CX-9s are offered in front- and all-wheel-drive configurations. The vehicle received an extensive refresh for the 2010 model year that included new front and rear lights and the &ldquoMazda family face,&rdquo which is the polite way of saying it got a gaping maw planted across its front bumper. Pretty it ain&rsquot. Inside, there are enhanced seating surfaces and richer materials, as well as the liberal use of chrome accents. Active headrests are now fitted to all models. Finally, there are a few changes to the list of available features, among them a redesigned climate-control system for the rear seats and a new, 4.3-inch LCD that provides a more intuitive interface for the audio and phone systems.

For a biggish SUV, the CX-9 offers the most enjoyable driving experience in its class. Mazda seems to take the view that just because a vehicle has to haul humans and cargo around, it doesn&rsquot have to be a fun-free zone. The CX-9 has communicative steering, really good body control for an SUV, and actually seems to like corners, which isn&rsquot always the case with this type of vehicle. The ride quality is surprisingly supple in view of this athleticism.

Performance is solid, too. Even though the mechanicals carry over unchanged from 2009, we thought we&rsquod see if the big smiley face up front added a spring to the CX-9&rsquos step. We&rsquove now tested a number of CX-9s, and this latest all-wheel-drive Grand Touring model was right in the same accelerative ballpark: 0 to 60 mph in 7.8 seconds and a standing quarter-mile time of 16.0 at 88 mph. Skidpad grip was 0.77 g, slightly down on the best CX-9 number of 0.81 g but still commendable for such a large SUV. We&rsquove always been impressed by the vehicle&rsquos braking performance, and this example managed to stop from 70 mph in 176 feet, stellar for a large crossover SUV and just shy of the CX-9&rsquos 173-foot record set by our long-term 2008 model.

Fuel consumption isn&rsquot the strongest suit, however. The EPA says the CX-9 is good for urban and highway mileage of 15 and 21 mpg, but we only managed 15 mpg combined in our time with the vehicle. This was probably because there was a large portion of urban mileage, as we averaged 19 mpg on a past comparison test that involved a lot more highway driving. Even so, the CX-9&rsquos mileage was midpack on that comparo.

The refined interior finishes&mdashchrome accents and piano black trim pieces&mdashenhance what is already a classy space. The larger information screen is easy to use, and a keyless access fob is more grown up than the silly key card Mazda used to offer. Externally, we&rsquore not sure about the front end, but it&rsquos, um, certainly distinctive. The CX-9 is a solidly competitive proposition in this class, finishing second in a six-way comparison test in November 2008, where it ultimately lost out to our perennial favorite, the Honda Pilot.

There are three versions of the CX-9: Sport, Touring, and Grand Touring. The base CX-9 comes pretty well equipped at $29,385 add about $1400 for all-wheel drive. A GT version like our tester ($33,395 base with front-wheel drive) adds fog lights a memory-equipped power driver&rsquos seat keyless start and rain-sensing windshield wipers. The GT also gets 20-inch wheels and a blind-spot-warning system. Leather seating that&rsquos standard on the Touring model is carried over.

One advantage of the GT model is that it&rsquos possible to specify some desirable goodies that aren&rsquot available on lesser versions. The only way to get a rear-seat entertainment system, a towing package, or a navigation system is to buy the GT model. Our tester came equipped with all-wheel drive ($1400) a navigation system ($1665) a rear-bumper step plate ($150) a power rear liftgate ($400) and a package that bundles a sunroof with an uplevel Bose audio system and Sirius satellite radio ($2255). Grand total: $39,265. True sybarites would add the rear-seat entertainment system for an additional $3055, but you don&rsquot need that&mdashor any other extras, really&mdashto enjoy driving this big Mazda.


Presenting the results of a t-test

When reporting your t-test results, the most important values to include are the ر-value، ال p-value, and the degrees of freedom for the test. These will communicate to your audience whether the difference between the two groups is statistically significant (a.k.a. that it is unlikely to have happened by chance).

You can also include the summary statistics for the groups being compared, namely the mean and standard deviation. In R, the code for calculating the mean and the standard deviation from the data looks like this:

flower.data %>%
group_by(Species) %>%
summarize(mean_length = mean(Petal.Length),
sd_length = sd(Petal.Length))

In our example, you would report the results like this:


How Much Of The Disease Are We Finding Through Tests?

This graph shows the total daily number of virus tests conducted in each state and of those tests, how many were positive each day. The trend line in blue shows the average percentage of tests that were positive over the last 7 days. The rate of positivity is an important indicator because it can provide insights into whether a community is conducting enough testing to find cases. If a community’s positivity is high, it suggests that that community may largely be testing the sickest patients and possibly missing milder or asymptomatic cases. A lower positivity may indicate that a community is including in its testing patients with milder or no symptoms. The WHO has said that in countries that have conducted extensive testing for COVID-19, should remain at 5% or lower for at least 14 days.

This initiative relies upon publicly available data from multiple sources. States are not consistent in how and when they release and update their data, and some may even retroactively change the numbers they report. This can affect the percentages you see presented in these data visualizations. We are taking steps to account for these irregularities in how we present the information, but it is important to understand the full context behind these data.

7-Day Averages: The CRC calculates the rolling 7-day average separately for daily cases and daily tests, and then for each day calculate the percentage over the rolling averages. Some states may be calculating the positivity percentage for each day, and then doing the rolling 7-day average. The reason why we use our approach is because testing capacity issues and uneven reporting cadences create a lot of misleading peaks and valleys in the data. Since we want to give a 7-day average, it is more fair to average the raw data and then calculate the ratios. Otherwise, days when a large number of negative tests are released all at once—and positivity is going to be very low—will have the same weight as days when data was steadily released, and the overall result is going to be lower. Our approach is applied to all our testing data to correct for these uneven data release patterns.

Johns Hopkins experts in global public health, infectious disease, and emergency preparedness have been at the forefront of the international response to COVID-19.

This website is a resource to help advance the understanding of the virus, inform the public, and brief policymakers in order to guide a response, improve care, and save lives.


شاهد الفيديو: ЗАБРАЛ НОВЫЙ BMW X6 с 4 ТУРБИНАМИ за МЛН! Прощай GLE Coupe и Q8? Обзор и тест-драйв в Москве. (شهر اكتوبر 2021).