مقالات

10.6: الطائرات - الرياضيات


يمكن اعتبار أي سطح مستوٍ ، مثل الحائط أو سطح الطاولة أو قطعة صلبة من الورق المقوى ، على أنه يمثل جزءًا من الطائرة. ضع في اعتبارك قطعة من الورق المقوى عليها علامة (P ) عليها. يمكن للمرء أن يأخذ مسمارًا ويلصقه بالورق المقوى عند (P ) بحيث يكون الظفر عموديًا على الورق المقوى ؛ انظر الشكل 10.54.

يوفر هذا الظفر "مقبض" للورق المقوى. تحريك الورق المقوى حول التحركات (P ) إلى مواقع مختلفة في الفضاء. إمالة الظفر (مع الإبقاء على (P ) ثابتًا) يميل الورق المقوى. كل من تحريك وإمالة يحدد الورق المقوى مستوى مختلفًا في الفضاء. في الواقع ، يمكننا تحديد مستوى من خلال: 1) موقع (P ) في الفضاء ، و 2) اتجاه الظفر.

أظهر القسم السابق أنه يمكن للمرء تحديد خط معطى نقطة على الخط واتجاه الخط (عادةً ما يتم توفيره بواسطة متجه). يمكن للمرء أن يدلي ببيان مماثل حول الطائرات: يمكننا تحديد مستوى في الفضاء بالنظر إلى نقطة على المستوى واتجاه "وجوه" المستوى (باستخدام الوصف أعلاه ، اتجاه الظفر). مرة أخرى ، معلومات الاتجاه سيتم توفيره بواسطة متجه ، يسمى أ ناقلات الطبيعي، هذا متعامد مع المستوى.

ماذا تعني عبارة "متعامد مع المستوى" بالضبط؟ اختر أي نقطتين (P ) و (Q ) في المستوى ، واعتبر المتجه ( vec {PQ} ). نقول متجه ( vec n ) متعامد مع المستوى إذا كان ( vec n ) متعامدًا مع ( vec {PQ} ) لجميع اختيارات (P ) و (Q ) ؛ أي ، إذا ( vec n cdot vec {PQ} = 0 ) للجميع (P ) و (Q ).

هذا يعطينا طريقة لكتابة معادلة تصف المستوى. لنفترض (P = (x_0، y_0، z_0) ) أن تكون نقطة في المستوى واجعل ( vec n = langle a، b، c rangle ) متجهًا عاديًا للمستوى. النقطة (Q = (x، y، z) ) تقع في المستوى المحدد بواسطة (P ) و ( vec n ) إذا ، وفقط إذا ، ( vec {PQ} ) متعامد مع ( vec n ). مع العلم ( vec {PQ} = langle x-x_0، y-y_0، z-z_0 rangle ) ، ضع في اعتبارك:

[ ابدأ {محاذاة}
vec {PQ} cdot vec n & = 0 notag
langle x-x_0، y-y_0، z-z_0 rangle cdot langle a، b، c rangle & = 0 notag
أ (x-x_0) + b (y-y_0) + c (z-z_0) & = 0 label {eq: planes1} end {align} ]
تُعرّف المعادلة المرجع {eq: planes1} ملف ضمني وظيفة تصف الطائرة. ينتج المزيد من الجبر:

[ax + by + cz = ax_0 + by_0 + cz_0. لا علامه]

الجانب الأيمن هو مجرد رقم ، لذلك نستبدلها بـ (d ):

[ax + by + cz = d label {eq: planes2}. ]

طالما أنه (c neq 0 ) ، يمكننا حل (z ):

[z = frac1c (d-ax-by). التسمية {eq: planes3} ]

المعادلة ref {eq: planes3} مفيدة بشكل خاص حيث يمكن للعديد من برامج الكمبيوتر رسم وظائف في هذا النموذج. المعادلات المرجع {eq: planes1} و المرجع {eq: planes2} لها أسماء محددة ، معطاة بعد ذلك.

تعريف 63 معادلات المستوى في الصور القياسية والعامة

[a (x-x_0) + b (y-y_0) + c (z-z_0) = 0 ؛ ]

المعادلة الشكل العام هو

[فأس + ب + تشيك = د. ]

المفتاح الذي يجب تذكره في هذا القسم هو: لإيجاد معادلة المستوى ، نحتاج إلى نقطة ومتجه عادي. سنقدم عدة أمثلة لإيجاد معادلة المستوى ، وفي كل منها أنواع مختلفة من المعلومات. في كل حالة ، نحتاج إلى استخدام المعلومات المعطاة لإيجاد نقطة على المستوى ومتجه عادي.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد معادلة مستوى.

اكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط (P = (1،1،0) ) ، (Q = (1،2 ، -1) ) و (R = (0،1،2) ) ) بالشكل القياسي.

حل
نحتاج إلى متجه ( vec n ) متعامد مع المستوى. نظرًا لوجود (P ) و (Q ) و (R ) في المستوى ، كذلك تكون المتجهات ( vec {PQ} ) و ( vec {PR} ) ؛ ( vec {PQ} times vec {PR} ) متعامد مع ( vec {PQ} ) و ( vec {PR} ) وبالتالي الطائرة نفسها.

من السهل حساب ( vec n = vec {PQ} مرات vec {PR} = langle 2،1،1 rangle ). يمكننا استخدام أي نقطة نرغب فيها في الطائرة (أي من (P ) أو (Q ) أو (R ) سيفعل) ونختار (P ) بشكل تعسفي. بعد التعريف 63 ، تكون معادلة المستوى في الشكل القياسي هي

[2 (x-1) + (y-1) + z = 0. ]

تم رسم المستوى في الشكل 10.55.

لقد أوضحنا للتو حقيقة أن أي ثلاث نقاط غير خطية تحدد المستوى. (هذا هو السبب في أن البراز ذي الأرجل الثلاثة لا "يتأرجح" ؛ فالثلاثة أقدام دائمًا تقع في الطائرة. سيهتز كرسي بأربعة أرجل ما لم تكن جميع الأقدام الأربعة في نفس المستوى.)

مثال ( PageIndex {2} ): إيجاد معادلة مستوى.

تحقق من أن السطور ( ell_1 ) و ( ell_2 ) ، التي ترد معادلاتها البارامترية أدناه ، تتقاطع ، ثم أعط معادلة المستوى الذي يحتوي على هذين السطرين بشكل عام.

[ ell_1: start {array} {ccc} x & = & - 5 + 2s y & = & 1 + s z & = & - 4 + 2s end {array} qquad qquad
ell_2: start {array} {ccc} x & = & 2 + 3t y & = & 1-2t z & = & 1 + t end {array} ]

حل
من الواضح أن الخطوط ليست متوازية. إذا لم يتقاطعوا ، فهم منحرفون ، مما يعني عدم وجود مستوى يحتوي على كليهما. إذا تقاطعوا ، فهناك مثل هذا المستوى.

للعثور على نقطة تقاطعهم ، قمنا بتعيين المعادلات (x ) و (y ) و (z ) متساوية مع بعضها البعض وحلنا من أجل (s ) و (t ):

[ start {array} {ccc} -5 + 2s & = & 2 + 3t 1 + s & = & 1-2t -4 + 2s & = & 1 + t end {array} quad Rightarrow quad s = 2، quad t = -1. ]

عندما (s = 2 ) و (t = -1 ) ، تتقاطع الخطوط عند النقطة (P = (-1،3،0) ).

لنفترض أن ( vec d_1 = langle 2،1،2 rangle ) و ( vec d_2 = langle 3 ، -2،1 rangle ) هما اتجاهات الخطوط ( ell_1 ) و ( ell_2 ) على التوالي. سيكون المتجه العادي للمستوى الذي يحتوي على هذين الخطين متعامدًا أيضًا مع ( vec d_1 ) و ( vec d_2 ). وهكذا نجد متجهًا عاديًا ( vec n ) عن طريق الحساب ( vec n = vec d_1 times vec d_2 = langle 5،4-7 rangle ).

يمكننا اختيار أي نقطة في المستوى نكتب بها معادلتنا ؛ كل سطر يعطينا خيارات لا نهائية للنقاط. نختار (P ) نقطة التقاطع. نتبع التعريف 63 لكتابة معادلة المستوى بشكل عام:

[ ابدأ {محاذاة *}
5 (x + 1) +4 (y-3) -7z & = 0
5x + 5 + 4y-12 -7z & = 0
5x + 4y-7z & = 7.
النهاية {محاذاة *} ]

معادلة الطائرة بشكل عام هي (5x + 4y-7z = 7 ) ؛ تم رسمه في الشكل 10.56.

مثال ( PageIndex {3} ): إيجاد معادلة مستوى

اكتب معادلة المستوى القياسي للمستوى الذي يمر عبر النقطة (P = (- 1،0،1) ) ومتعامد مع السطر مع معادلة المتجه ( vec ell (t) = langle -1،0،1 rangle + t langle 1،2،2 rangle ).

حل

نظرًا لأن المستوى يجب أن يكون متعامدًا مع الخط ، يجب أن يكون المستوى متعامدًا مع اتجاه الخط المعطى بواسطة ( vec d = langle 1،2،2 rangle ). نستخدم هذا كمتجه طبيعي. وبالتالي ، فإن معادلة المستوى ، في الشكل القياسي ، هي

[(x + 1) + 2y + 2 (z-1) = 0. ]

تم رسم الخط والمستوى في الشكل 10.57.

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد تقاطع مستويين

أعط المعادلات البارامترية للخط الذي يمثل تقاطع المستويات (p_1 ) و (p_2 ) ، حيث:

[ ابدأ {محاذاة *}
p_1 &: x- (y-2) + (z-1) = 0
ص_2 &: -2 (س -2) + (ص + 1) + (ض -3) = 0
النهاية {محاذاة *} ]

حل
لإيجاد معادلة خط ، نحتاج إلى نقطة على الخط واتجاهه.

يمكننا إيجاد نقطة على الخط عن طريق حل كل معادلة من مستويات (z ):

[ ابدأ {محاذاة *}
p_1 &: z = -x + y-1
p_2 &: z = 2x-y-2
النهاية {محاذاة *} ]

يمكننا الآن تعيين هاتين المعادلتين مع بعضهما البعض (أي أننا نجد قيم (س ) و (ص ) حيث يكون للمستويات نفس قيمة (ض )):

[ ابدأ {محاذاة *}
-x + ص -1 & = 2 س-ص -2
2y & = 3x-1
y & = frac12 (3x-1)
النهاية {محاذاة *} ]

يمكننا اختيار أي قيمة لـ (س ) ؛ نختار (س = 1 ). هذا يحدد أن (y = 1 ). يمكننا الآن استخدام معادلات أي من المستويين لإيجاد (z ): when (x = 1 ) و (y = 1 ) ، (z = -1 ) على كلا المستويين. لقد وجدنا نقطة (P ) على السطر: (P = (1،1، -1) ).

نحتاج الآن إلى اتجاه الخط المستقيم. نظرًا لأن الخط يقع في كل مستوى ، فإن اتجاهه متعامد مع متجه عادي لكل مستوى. بالنظر إلى معادلات (p_1 ) و (p_2 ) ، يمكننا تحديد متجهاتها العادية بسرعة. لـ (p_1 ) ، ( vec n_1 = langle 1، -1،1 rangle ) و (p_2 ) ، ( vec n_2 = langle -2،1،1 rangle. ) الاتجاه المتعامد لكلا الاتجاهين هو ناتجهما المتقاطع: ( vec d = vec n_1 times vec n_2 = langle -2 ، -3 ، -1 rangle. )

المعادلات البارامترية للخط المار بـ (P = (1،1، -1) ) في اتجاه (d = langle -2، -3، -1 rangle ) هي:

[ ell: quad x = -2t + 1 quad y = -3t + 1 quad z = -t-1. ]

تم رسم المستويات والخط في الشكل 10:58.

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد تقاطع مستوى وخط

ابحث عن نقطة التقاطع ، إن وجدت ، للخط ( ell (t) = langle 3، -3، -1 rangle + t langle -1،2،1 rangle ) والمستوى الذي يحتوي على المعادلة بشكل عام (2x + y + z = 4 ).

حل
توضح معادلة المستوى أن المتجه ( vec n = langle 2،1،1 rangle ) هو متجه عادي للمستوى ، وتوضح معادلة الخط أن الخط يتحرك بالتوازي مع ( vec د = langle -1،2،1 rangle ). نظرًا لأن هذه ليست متعامدة ، فنحن نعلم أن هناك نقطة تقاطع. (إذا كان هناك متعامد ، فهذا يعني أن المستوى والخط متوازيان ، إما أنهما لم يتقاطعان مطلقًا أو كان الخط في المستوى نفسه).

لإيجاد نقطة التقاطع ، نحتاج إلى إيجاد قيمة (t ) بحيث تفي ( ell (t) ) بمعادلة المستوى. ستساعد إعادة كتابة معادلة الخط باستخدام المعادلات البارامترية:

[ ell (t) = left { start {align} x & = 3-t y & = - 3 + 2t z & = -1 + t end {align} right .. ]

يتيح لنا استبدال (x ) و (y ) و (z ) في معادلة المستوى بالتعبيرات التي تحتوي على (t ) الموجودة في معادلة السطر تحديد (t ) القيمة التي تشير إلى نقطة التقاطع:

[ ابدأ {محاذاة *}
2 س + ص + ض & = 4
2 (3-t) + (-3 + 2t) + (-1 + t) & = 4
ر & = 2.
النهاية {محاذاة *} ]

عندما (t = 2 ) ، فإن النقطة الموجودة على السطر تفي بمعادلة المستوى ؛ هذه النقطة هي ( ell (2) = langle 1،1،1 rangle ). وبالتالي فإن النقطة ((1،1،1) ) هي نقطة التقاطع بين المستوى والخط ، كما هو موضح في الشكل 10.59.

المسافات

مثلما كان من المفيد العثور على مسافات بين النقاط والخطوط في القسم السابق ، من الضروري أيضًا في كثير من الأحيان العثور على المسافة من نقطة إلى مستوى.

ضع في اعتبارك الشكل 10.60 ، حيث تم رسم مستوى متجه عادي ( vec n ) يحتوي على نقطة (P ) ونقطة (Q ) ، وليس على المستوى ، معطى. نقيس المسافة من (Q ) إلى المستوى عن طريق قياس طول إسقاط ( vec {PQ} ) على ( vec n ). أي أننا نريد:

[ norm { text {proj} _ {، vec n} ، { vec {PQ}}} = norm { frac { vec n cdot vec {PQ}} { norm n ^ 2} vec n} = frac {| vec n cdot vec {PQ} |} { norm n} label {eq: plane_dist} ]

المعادلة ref {eq: plane_dist} مهمة لأنها تفعل أكثر من مجرد تحديد المسافة بين نقطة ومستوى. سنرى كيف يسمح لنا بالعثور على عدة مسافات أخرى أيضًا: المسافة بين المستويات المتوازية والمسافة بين الخط والمستوى. نظرًا لأن المعادلة المرجع {eq: plane_dist} مهمة ، فإننا نعيد صياغتها كفكرة أساسية.


شكل 10.60: توضيح إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى.

الفكرة الرئيسية 51 المسافة من نقطة إلى طائرة

دع مستوى متجهًا عاديًا ( vec n ) ، واجعل (Q ) نقطة. المسافة (ح ) من (س ) إلى الطائرة هي

[h = frac {| vec n cdot vec {PQ} |} { norm n}، ]

حيث (P ) هي أي نقطة في المستوى.

مثال ( PageIndex {6} ): المسافة بين نقطة ومستوى

أوجد المسافة بين النقطة (Q = (2،1،4) ) والمستوى بالمعادلة (2x-5y + 6z = 9 ).

حل
باستخدام معادلة المستوى ، نجد المتجه العادي ( vec n = langle 2، -5،6 rangle ). للعثور على نقطة على المستوى ، يمكننا أن نجعل (x ) و (y ) أي شيء نختاره ، ثم لنفترض أن (z ) أي شيء يلبي المعادلة. يبدو أن ترك (س ) و (ص ) يساوي 0 أمرًا بسيطًا ؛ هذا يجعل (z = 1.5 ). وهكذا ندع (P = langle 0،0،1.5 rangle ) و ( vec {PQ} = langle 2،1،2.5 rangle. )

يتم إعطاء المسافة (h ) من (Q ) إلى المستوى بواسطة Key Idea 51:

[ ابدأ {محاذاة *}
h & = frac {| vec n cdot vec {PQ} |} { norm n}
& = frac {| langle 2، -5،6 rangle cdot langle 2،1،2.5 rangle |} { norm { langle 2، -5،6 rangle}}
& = frac {| 14 |} { sqrt {65}}
& حوالي 1.74.
النهاية {محاذاة *} ]

يمكننا استخدام Key Idea 51 لإيجاد مسافات أخرى. بالنظر إلى مستويين متوازيين ، يمكننا إيجاد المسافة بين هذين المستويين عن طريق ترك (P ) نقطة على أحد المستويات و (Q ) نقطة على المستوى الآخر. إذا كان ( ell ) عبارة عن خط موازٍ للمستوى ، فيمكننا استخدام فكرة المفتاح للعثور على المسافة بينهما أيضًا: مرة أخرى ، دع ( ) يكون نقطة في المستوى ودع (س ) ) تكون أي نقطة على الخط. (يمكن للمرء أيضًا استخدام Key Idea 50.) يحتوي قسم التمرين على مشكلات من هذه الأنواع.

لم يستكشف هذان القسمان الماضيان الخطوط والطائرات في الفضاء كتمرين للفضول الرياضي. ومع ذلك ، هناك العديد والعديد من التطبيقات لهذه المفاهيم الأساسية. يمكن نمذجة الأشكال المعقدة (أو ، تقريبي) باستخدام الطائرات. على سبيل المثال ، قد يكون لجزء من السطح الخارجي للطائرة شكل معقد ، ولكنه أملس ، وسيرغب المهندسون في معرفة كيفية تدفق الهواء عبر هذه القطعة وكذلك كيفية تراكم الحرارة بسبب احتكاك الهواء. يصعب تطبيق العديد من المعادلات التي تساعد في تحديد تدفق الهواء وتبديد الحرارة على الأسطح العشوائية ، ولكن من السهل تطبيقها على الطائرات. من خلال تقريب سطح بملايين الطائرات الصغيرة ، يمكن للمرء أن يصمم بسهولة أكبر السلوك المطلوب.


قسم منهج الرياضيات

هذا المنهج هو استشاري فقط. للحصول على تفاصيل حول منهج مدرس معين (بما في ذلك الكتب) ، راجع صفحة دورة المعلم. للحصول على قائمة بالدورات التي يتم تدريسها كل ربع سنة ، ارجع إلى صفحة الدورات.

MAT 16C: حساب التفاضل والتكامل القصير

مقدمة في المعادلات التفاضلية

فصل المتغيرات (وضح كيفية اشتقاق معادلة النمو الأسي والانحلال).

درجات DE الخطية من الدرجة الأولى (أعط الطلاب تمرينًا على حل خليط من De's الخطي والقابل للفصل).

تطبيقات DE (قد ترغب في تغطية النمو اللوجستي في الصفحة 410 لاحظ الخطأ في تلميح الدراسة)

الطائرات والأسطح الرباعية

وظائف متغيرات متعددة ، منحنيات المستوى.

القيم القصوى النسبية لوظائف متغيرين.

تطبيقات التكاملات المزدوجة: الحجم والقيمة المتوسطة (قد ترغب في إظهار كيفية العثور على أحجام المواد الصلبة التي يحدها سطحان).

تعريف المتسلسلة اللانهائية ، اختبار التباعد ، المتسلسلة الهندسية.

سلسلة P ، اختبار النسبة (قد ترغب في تقديم اختبار المقارنة).

سلسلة القوة ، نظرية تايلور.

سلسلة Maclaurin لسلسلة الجيب وجيب التمام ، المتسلسلة ذات الحدين (تعيين المشكلات لتقدير قيم الدالة والتكاملات المحددة باستخدام هذه المتسلسلات)

كثيرات حدود تايلور (نظرية تايلور مع المتبقي ، الصفحة 694 ، اختيارية).


ضع المعادلتين معًا في نظام ، واضبط $ x = 0 $ (على سبيل المثال) وحل من أجل $ y ، z $ للحصول على نقطة فعلية على خط التقاطع. برفقة متجه الاتجاه والنقطة البعيدة $ P $ ، يمكننا تحديد ثلاث نقاط من المستوى المطلوب ومن ثم تحديد معادلة لها.

تحرير دوستر (انظر التعليقات)

x دولار = 0: ابدأ y-2z-3 = 0 -y + z-2 = 0 end$ $ $ أضفهم وستحصل على:

يبدأ $ \ -z-5 ، z = -5 -y + z-2 = 0 ، y = -7 end Rightarrow $ Point $ (0، -7، -5) $ ، نسميها Q ، على خط التقاطع.

إذن لدينا الآن نقطتان $ P (-1،4،2) $ و $ Q (0، -7، -5) $ على المستوى المطلوب والمتجه ث هذا يوازي المستوى المطلوب. لإيجاد معادلة المستوى المطلوب ، نحتاج إلى متجه عادي بالنسبة له ، ويمكننا إيجاد المتجه العادي بأخذ حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متوازيين للمستوى المطلوب. لدينا بالفعل ث لذلك سيكون المتجه الآخر

الآن سيكون المتجه العادي إلى المستوى المطلوب هو الناتج المتقاطع لـ ث و PQ:

PQ x ث= $ ابدأ i & amp j & amp k 1 & amp -11 & amp -7 1 & amp 10 & amp 6 end= أنا ابدأ -11 & أمبير -7 10 & أمبير 6 نهاية-ج ابدأ 1 & amp -7 1 & amp 6 النهاية+ ك تبدأ 1 & amp -11 1 & amp 10 end= 4i-13j + 21 ألف دولار


ملخص الدرس 10

في بعض الأحيان نرغب في معرفة ما إذا كان قد تم وصف حالتين بواسطة نفس المعدل. للقيام بذلك ، يمكننا كتابة نسبة معادلة لحالة واحدة أو لكلتا الحالتين بحيث يكون لجزء واحد من نسبها نفس القيمة. ثم يمكننا مقارنة الجزء الآخر من النسب.

على سبيل المثال ، هل يصنع خليط الدهان هذين نفس درجة اللون البرتقالي؟

  • تمزج كيران 9 ملاعق صغيرة من الطلاء الأحمر مع 15 ملعقة صغيرة من الطلاء الأصفر.
  • يمزج تايلر 7 ملاعق صغيرة من الطلاء الأحمر مع 10 ملاعق صغيرة من الطلاء الأصفر.

إليك خط رقم مزدوج يمثل خليط طلاء Kiran. النسبة 9:15 تعادل النسب 3: 5 و 6:10.

بالنسبة لـ 10 ملاعق صغيرة من الطلاء الأصفر ، كانت تخلط كيران في 6 ملاعق صغيرة من الطلاء الأحمر. هذا طلاء أحمر أقل مما يمزج تايلر مع 10 ملاعق صغيرة من الطلاء الأصفر. النسب 6:10 و 7:10 ليست متكافئة ، لذلك لن يكون هذان النوعان من الدهانات بنفس درجة اللون البرتقالي.

عندما نتحدث عن شيئين يحدثان بالمعدل نفسه ، فإننا نعني أن نسب الكميات في الحالتين متكافئة. هناك أيضًا شيء محدد حول الموقف هو نفسه.

  • إذا كانت اثنتان من الخنافس يتحركان بنفس المعدل ، فإنهما يسافران بنفس المعدل نفس السرعة الثابتة.
  • إذا تم بيع كيسين من التفاح بنفس السعر ، فسيكون لديهم نفس سعر الوحدة.
  • إذا قمنا بخلط نوعين من العصير بنفس المعدل ، فإن الخلائط لها نفس الطعم.
  • إذا مزجنا لونين من الطلاء بنفس المعدل ، فإن الخلائط لها نفس الظل.

نظرا لطائرتين. a_1x + a_2y + a_3z = ج. و . b_1x + b_2y + b_3z = د. مع نواقل طبيعية. أ langle a_1 ، a_2 ، a_3 rangle. و . ب. على التوالي ، سيكونون دائمًا

موازى إذا كانت نسبة المساواة صحيحة.

عمودي إذا كان حاصل الضرب النقطي لناقلاتهم الطبيعية هو. 0.

تعيين في غير. 90 ^ دائري. الزاوية إذا لم تكن المستويات متوازية ولا متعامدة ، ففي هذه الحالة يكون زاوية بين الطائرات من قبل

أين . أ. و . ب. هي النواقل العادية للطائرات المعينة ،. أ cdot. هو حاصل الضرب النقطي للمتجهات ،. | أ |. هو مقدار المتجه. أ. (طوله) و. | ب |. هو مقدار المتجه. ب. (طوله). يمكننا إيجاد مقدار كلا المتجهين باستخدام صيغة المسافة

لمتجه ثلاثي الأبعاد حيث النقطة. (x_1 ، y_1 ، z_1). هو الأصل. (0،0،0).


أجب على هذا السؤال

أسئلة متعددة الاختيارات ذات زوايا هندسية مضمنة

الجزء BC مماس للدائرة A عند B وللدائرة D عند C (غير مرسوم بمقياس) AB = 10 BC = 25 و DC = 3. أوجد AD لأقرب جزء من عشرة. تلميح: ارسم خطًا إضافيًا من D إلى المقطع BA.

الهندسة

القطعة المستقيمة ab هي قطر الدائرة O التي إحداثيات مركزها (6،8). ما هي إحداثيات النقطة ب إذا كانت إحداثيات النقطة أ هي (4،2)

الهندسة

n المستوي xy ، الرسم البياني لـ y = x ^ 2 والدائرة التي بها مركز (0،1) ونصف القطر 3 بها عدد نقاط التقاطع؟

أي بيان حول الكرة صحيح؟ أ طول قطر الكرة هو ضعف طول نصف قطر الكرة. ب- الدائرة الكبرى للكرة هي دائرة ثلاثية الأبعاد. C الدائرة الكبرى للكرة هي

صيغة نقطة المنتصف الهندسية

دائرة على المستوى الإحداثي لها قطر مع نقاط نهاية عند (6،8) و (15،8). ما إحداثيات مركز الدائرة؟ ما هو نصف قطر الدائرة؟ حدد إحداثيات نقطة أخرى على الدائرة.

الفيزياء

يتم ثني سلك رفيع منتظم في نصف دائرة نصف قطرها r ، وتحديد إحداثيات مركز كتلته فيما يتعلق بأصل الإحداثيات في مركز الدائرة الكاملة

الهندسة

تعرف الدائرة O بالمعادلة x2 + (y - 2) 2 = 25. ارسم مركز الدائرة O واكتب إحداثيات نقطة واحدة بقيم تكاملية تقع على الدائرة O.

الرياضيات

يتم وضع نظام إحداثيات xyz مع أصله في مركز الأرض ، بحيث يكون خط الاستواء في المستوى xy ، ويكون للقطب الشمالي إحداثيات (0 ، 0 ، 3960) ، ويحتوي المستوى xz على خط الزوال الأولي . ابحث عن الإحداثيات

نقطتا نهاية قطر الدائرة هي P (-7، -4) و Q (-1،10) ، أوجد إحداثيات مركز هذه الدائرة.

الرياضيات

يقع مركز الدائرة عند النقطة (3 ، -6) التي يبلغ نصف قطرها 6 وحدات. أ) أوجد معادلة الدائرة. ب) ما المسافة من مركز الدائرة إلى الخط y = 2x + 10.

الهندسة

يتقاطع مستوى مع كرة نصف قطرها 13 سم. المسافة من مركز الكرة إلى أقرب نقطة على المستوى هي 5 cm. ما نصف قطر الدائرة التي تقاطع الكرة والمستوى؟ أ.

أوجد 3 إحداثيات على الدائرة عندما يكون مركز الدائرة (4 ، -3) ونصف القطر يساوي 5 ساعدني. شكرا لك :)


قانون كولوم & # 8217 - المشاكل والحلول

1. رسوم نقطتين ، س أ = +8 درجة مئوية و س ب = -5 μC ، مفصولة بمسافة r = 10 cm. ما مقدار القوة الكهربائية. الثابت k = 8.988 x 10 9 Nm 2 C −2 = 9 x 10 9 Nm 2 C −2.

المسؤول ب (q ب ) = -5 درجة مئوية = -5 × 10 -6 درجة مئوية

المسافة بين الشحنة A و B (r AB ) = 10 سم = 0.1 م

مطلوب : مقدار القوة الكهربائية

مقدار القوة الكهربائية:

2. اثنين من الجسيمات المشحونة كما هو موضح في الشكل أدناه. س ص = +10 μC و Q ف = +20 μC مفصولة بمسافة r = 10 cm. ما مقدار القوة الكهروستاتيكية.

المسؤول P (Q ص ) = +10 درجة مئوية = +10 × 10 -6 درجة مئوية

الشحن Q (Q س ) = +20 درجة مئوية = +20 × 10 -6 درجة مئوية

المسافة بين الشحنة P و Q (r PQ ) = 12 سم = 0.12 م = 12 × 10 -2 م

مطلوب : حجم القوة الكهربائية

3. ثلاثة جسيمات مشحونة مرتبة في خط كما هو موضح في الشكل أدناه. الشحن A = -5 μC ، الشحن B = +10 μC والشحن C = -12 μC. احسب صافي القوة الكهروستاتيكية على الجسيم B بسبب الشحنتين الأخريين.

المسؤول A (q أ ) = -5 درجة مئوية = -5 × 10 -6 درجة مئوية

المسؤول ب (q ب ) = +10 درجة مئوية = +10 × 10 -6 درجة مئوية

المسؤول C (q ج ) = -12 درجة مئوية = -12 × 10 -6 درجة مئوية

المسافة بين الجسيمين A و B (r AB ) = 6 سم = 0.06 م = 6 × 10 -2 م

المسافة بين الجسيم B و C (r قبل الميلاد ) = 4 سم = 0.04 م = 4 × 10 -2 م

مطلوب : مقدار واتجاه صافي القوة الكهروستاتيكية على الجسيم ب

القوة الكلية المؤثرة على الجسيم B هي مجموع متجه للقوة F بكالوريوس على الجسيم B بواسطة الجسيم A والقوة F قبل الميلاد على الجسيم B بواسطة الجسيم C.

القوة F بكالوريوس على الجسيم B بواسطة الجسيم A:

يشير اتجاه القوة الكهروستاتيكية إلى الجسيم أ (أشر إلى اليسار).

القوة F قبل الميلاد على الجسيم B بواسطة الجسيم A:

يشير اتجاه القوة الكهروستاتيكية إلى الجسيم C (أشر إلى اليمين).

القوة الكهروستاتيكية الصافية على الجسيم ب :

F ب = F. AB & # 8211 ف قبل الميلاد = 675 نيوتن - 125 نيوتن = 550 نيوتن.

يشير اتجاه صافي القوة الكهروستاتيكية على الجسيم B إلى الجسيم C (يشير إلى اليمين).

4. + س 1 = 10 درجة مئوية ، + س 2 = 50 درجة مئوية و Q 3 مفصولة كما هو موضح في الشكل أدناه. ما الشحنة الكهروستاتيكية على الجسيم 3 إذا كانت القوة الكهروستاتيكية الكلية على الجسيم 2 تساوي صفرًا.

المسؤول 1 (q 1 ) = +10 درجة مئوية = +10 × 10 -6 درجة مئوية

المسؤول 2 (q 2 ) = +50 درجة مئوية = +50 × 10 -6 درجة مئوية

المسافة بين الشحنة 1 و 2 (r 12 ) = 2 سم = 0.02 م = 2 × 10 -2 م

المسافة بين الشحنة 2 والشحنة 3 (r 23 ) = 6 سم = 0.06 م = 6 × 10 -2 م

القوة الكهروستاتيكية الصافية على الجسيم 2 (F 2 ) = 0

القوة الكلية المؤثرة على الجسيم 2 هي مجموع متجه للقوة F 21 المؤثرة على الجسيم 2 بواسطة الجسيم 1 والقوة F 23 على الجسيم 2 بواسطة الجسيم 3.

القوة F 21 تمارس على الجسيم 2 بواسطة الجسيم 1:

يشير اتجاه القوة الكهروستاتيكية إلى الجسيم 3 (أشر إلى اليمين).

القوة F 23 على الجسيم 2 بواسطة الجسيم 3:

يشير اتجاه القوة الكهروستاتيكية إلى الجسيم 1 (أشر إلى اليسار).


أساسيات G-Code: فهم مستويات الأدوات (G17 و G18 و # 038 G19)

في هذا الفيديو الجديد المقدم من @ G-Code Tutor Marc Cronin ، سنلقي نظرة على طائرات الأدوات التي نستخدمها عند برمجة G-code على آلة CNC.

عند برمجة G-code على آلة CNC ، حصلنا على ثلاث طائرات (وأكواد) للاختيار من بينها:

  • G17 إذا كنت تخطط للعمل في مستوى X & ampY
  • G18 إذا كنت تخطط للعمل في مستوى X & ampZ
  • G19 إذا كنت تخطط للعمل في مستوى Y & ampZ

عادةً ما يحدد مبرمجو CNC مستوى العمل عندما يتضمن التطبيق معالجة نصف قطر. عندما نختار G18 أو G19 ، ستعمل الأداة على تشكيل نصف قطر خارج الطاولة ، صعودًا وهبوطًا على المحور Z ، بينما نختار الأمر G17 & # 8211 عادةً المستوى الافتراضي & # 8211 ستنتقل الأداة سرير الآلة.

على الرغم من استخدام الطائرات في الغالب عند برمجة آلات الطحن باستخدام الحاسب الآلي ، إلا أن هناك حالات يطلب فيها من مبرمجي CNC تحديد الطائرات في تطبيق مخرطة CNC. في مخرطة CNC ذات الأدوات الحية أو آلة الطاحونة ، سنستخدم رموز G هذه لإخبار الماكينة بالمحور الذي نعمل عليه.

لذا في المخرطة ، سيكون G17 هو مستوى الدوران القياسي ، وبالنسبة لآلات الطحن ، هذا هو الشكل الذي نميل إلى إعادة الماكينة إليه بشكل افتراضي عندما يتم تشغيلها. عادةً ما يتم استخدام G18 عند العمل باستخدام الأدوات الحية على وجه الجزء. مثال نموذجي هو العملية التي تتطلب حفر ثقوب خارج المركز على وجه قطعة العمل باستخدام أدوات مدفوعة. عادةً ما يتم استخدام G19 للعمليات الجانبية ، مثل حفر حفرة على جانب المادة باتجاه خط الوسط.

لمعرفة المزيد حول الطائرات وتحرير G-code أو تحسين مهارات البرمجة لديك ، تفضل بزيارة Gcodetutor.com.

تأكد من إعجابك والاشتراك في موقعنا قناة يوتيوب لمزيد من مقاطع فيديو تشغيل المعادن!


أسئلة ممارسة الرياضيات في ACT مع حلول مفصلة - نموذج 1

يتم تقديم حلول وتفسيرات تفصيلية لـ 60 سؤالًا في الرياضيات. الأسئلة هي تلك الموجودة في نموذج ACT 1.


حل
نظرًا لأن أطوال الضلعين AB و AC متساويان ، فإن المثلث متساوي الساقين ، وبالتالي فإن الزاويتين B و C متساويتان في الحجم. ومن ثم يتم إعطاء الزاوية A بواسطة
180 - (70 درجة + 70 درجة) = 40 درجة


حل
لنفترض أن x هو طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع. نظرًا لأن BH عمودي على BC ، فيمكننا كتابة نظرية فيثاغورا (المطبقة على المثلث ABH)
س 2 = (س / 2) 2 + (2 & # 87303) 2
تبسيط المعادلة أعلاه
× 2 = × 2/4 + (4) (3)
4 × 2 = × 2 + (16) (3)
3 × 2 = (16) (3)
× 2 = 16
حل لإيجاد x = 4
تُعطى المساحة أ في المثلث من خلال
أ = (1/2) AH * BC = (1/2) * 2 & # 87303 * 4 = 4 & # 87303

حل
مطلوب منا إيجاد قيمة x ومن ثم الحاجة إلى عزل x. أضف 11 لطرفي المعادلة وبسّط
8 ص + 11 = 3 س - 11 + 11
8 ص + 11 = 3 س
قسّم طرفي المعادلة على 3 لإيجاد x كما يلي
(8y + 11) / 3 = x


حل
نوجد الوتر BA أولًا ونستخدمه لإيجاد cos (A).
درجة البكالوريوس = & # 8730 (3 2 + 4 2) = 5
cos (A) = الضلع المجاور / الوتر = 3/5

من بين ما يلي ، أفضل تمثيل رسومي ممكن لـ y = -2 / | x - 3 |


حل
| س - 3 | دائمًا موجب أو صفر. ومن ثم - 1 / | x - 3 | تكون دائمًا سالبة باستثناء x = 3 حيث لا يتم تعريفها. الرسم البياني في C أسفل المحور x وبالتالي فهو قريب من الرسم البياني لـ y = -2 / | x - 3 |


حل
لنجد أولًا الزاوية ABC باستخدام مجموع زوايا المثلث ABC.
حجم الزاوية ABC = 180 درجة - (26 درجة + 131 درجة) = 23 درجة
الزوايا ABC و CBD مكملتان. لذلك
حجم الزاوية CBD = 180 درجة - 23 درجة = 157 درجة


حل
دعونا نجد تقاطع x و y للخط المعطى معادلته.
تقاطع س: ص = 0 ، 0 = -2 س + 2 ، س = 1 ، (1 ، 0)
تقاطع ص: س = 0 ، ص = 2 ، س = 1 ، (0 ، 2)
باستخدام x و y يقاطع الرسم البياني للخزانة للرسم البياني لـ y = -2x + 2 هو الرسم البياني D).

بما أن tan Y * tan X = 1 ، فإن tan (X + Y) غير معرّف وبالتالي X + Y = 90.


حل
تان (60 درجة) = 1 / س
حل ل x
س = 1 / تان (60 درجة) = 1 / & # 87303

حل
قسّم طرفي المتراجحة المعطاة على - 3 وعكس رمز المتراجحة
- 3x / - 3 & # 8804 12 / - 3
x & # 8804 -4
المتباينة أعلاه تتوافق مع الرسم البياني في C).


حل
تم تحديد المساحة الإجمالية للوجهين الأمامي والخلفي
2 (4x)
المساحة الإجمالية للوجوه اليمنى واليسرى معطاة
2 (4x)
المساحة الإجمالية للوجوه العلوية والسفلية معطاة
2(16)
تم تحديد المساحة الإجمالية لجميع الوجوه الستة بواسطة
2 (4x) + 2 (4x) + 2 (16) = 16x + 32 = 128
حل ما سبق من أجل x
س = 6 بوصات


حل
يتم إعطاء المساحة الإجمالية للمستطيل بواسطة
7 * (6 + 4) = 70 بوصة مربعة
يتكون الجزء غير المظلل من المستطيل من ثلاثة مثلثات تعطى مساحتها الإجمالية
(1/2) * 6 * 7 + (1/2) * 4 * 4 + (1/2) * 3 * 2 = 32 بوصة مربعة
مساحة المنطقة المظللة تساوي المساحة الكلية للمستطيل مطروحًا منها إجمالي المساحة غير المظللة. لذلك
70 - 32 = 38 بوصة مربعة


حل
استخدم الزاوية ب للكتابة
تان (60 درجة) = AC / BC
حل من أجل AC
AC = BC tan (60 درجة) = 20 & # 87303


حل
إذا كانت مساحة ABDE هي 200 ، إذن
AB = & # 8730200 = 10 & # 87302 بوصة
إذا كانت مساحة BCGF هي 100 ، إذن
BC = & # 8730100 = 10 بوصات
نستخدم الآن نظرية فيثاغورا في المثلث الأيمن ABC لإيجاد AC
أج 2 = (10 & # 87302) 2 + 10 2
AC = 10 & # 87303

حل
منحدر BD
= - CD / AD = - AB / AD = - AB / (3 * AB) = - 1/3

ما هو حاصل ضرب الحلين الحقيقيين للمعادلة

2 س = 3 - س 2
حل
حلل المعادلة 2x = 3 - x 2 وحلها
س 2 + 2 س - 3 = 0
(س - 1) (س + 3) = 0
الحلول: x = 1 و x = -3
حاصل ضرب الحلول = 1 * (- 3) = -3


المضلعات المنتظمة

المضلع المنتظم جميع أضلاعه متساوية وجميع الزوايا متساوية:

ان مثلث متساوي الاضلاع (3 جوانب)
لديها 3 خطوط التماثل
أ ميدان (4 جوانب)
لديها 4 خطوط التماثل
أ البنتاغون العادي (5 جوانب)
لديها 5 خطوط التماثل
أ السداسي العادي (6 جوانب)
لديها 6 خطوط التماثل
أ مضلع منتظم (7 جوانب)
لديها 7 خطوط التماثل
أ مثمن منتظم (8 جوانب)
لديها 8 خطوط التماثل

ويستمر النمط:

  • مضلع منتظم من 9 الجانبين 9 خطوط التماثل
  • مضلع منتظم من 10 الجانبين 10 خطوط التماثل
  • .
  • مضلع منتظم من & مثل & quot الجانبين & مثل & quot خطوط التماثل


شاهد الفيديو: الرياضيات. استكشاف مساحة المستطيل (شهر اكتوبر 2021).